2020届广东省深圳市高三下学期第一次调研数学(理)试题解析

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2020届广东省深圳市高三下学期第一次调研数学
（理）试题
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：
___________
注意事项：注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2、请将答案正确填写在答题卡上
一、单选题
1．集合
1
{|1}
2
A x x
=-＜＜，集合B＝{x|x2＜x}，则A∩B＝（）
A．
1
1
2
⎛⎫
-
⎪
⎝⎭
，B．（﹣1，0）C．
1
2
⎛⎫
⎪
⎝⎭
，D．（0，1）
答案：C
先化简集合B，再利用交集的定义求解．解：
∵集合
1
{|1}
2
A x x
=-＜＜，
集合B＝{x|x2＜x}＝{x|0＜x＜1}，
∴A∩B＝{x|0＜x
1
2
＜}＝（0，
1
2
）．
故选：C．
点评：
本题考查主要集合的基本运算，还考查运算求解能力，属于基础题．2．下列函数中为奇函数的是（）
A．y＝x2﹣2x B．y＝x2cos x C．y＝2x+2﹣x D．
1
1
x y ln
x
-=
+
答案：D
根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性，综合即可得答案．
解：
对于A，y＝x2﹣2x，其定义域为R，有f（﹣x）＝x2+2x，f（﹣x）≠f（x）且f（﹣x）≠﹣f（x），即函数f（x）既不是奇函数也不是偶函数，不符合题意；
对于B，y＝x2cos x，其定义域为R，有f（﹣x）＝x2cos x＝f（x），f（x）为偶函数，不符合题意；
对于C，y＝2x+2﹣x，其定义域为R，有f（﹣x）＝2x+2﹣x＝f（x），f（x）为偶函数，不合题意；
对于D，y＝ln 1
1
x
x
-
+
，有
1
1
x
x
-
+
＞0，解可得﹣1＜x＜1，即其定义域为（﹣1，1），有f
（﹣x）＝ln 1
1
x
x
+
=-
-
ln
1
1
x
x
-
=-
+
f（x），为奇函数，符合题意；
故选：D．
点评：
本题考查函数奇偶性的判断，关键是函数奇偶性的定义，属于基础题．
3．已知复数z＝i2019+i2020，则z的共轨复数z=（）
A．﹣1+i B．1﹣i C．1+i D．﹣1﹣i
答案：C
直接利用复数i4n＝1运算化简，然后利用共轭复数的概念得答案．
解：
∵i4n＝1，
∴复数z＝i2019+i2020＝i3+1＝1﹣i，
∴z的共轨复数z=1+i．
故选：C．
点评：
本题考查了复数的高次乘方运算和共轭复数的概念，还考查了运算求解的能力，属于基础题．
4．已知π是圆周率，e为自然对数的底数，则下列结论正确的是（）
A．lnπ＞ln3＞log3e B．lnπ＞log3e＞ln3
C．ln3＞log3e＞lnπD．ln3＞lnπ＞log3e
答案：A
利用对数函数的性质求解．
解：
∵函数对数y＝lnx和y＝log3x在（0，+∞）上单调递增，且π＞3＞e，
∴lnπ＞ln3＞lne＝1，
又∵log3e＜log33＝1，
∴lnπ＞ln3＞log3e，
故选：A．
点评：
本题考查利用对数函数的性质比较大小，属于基础题，
5．将直线l：y＝2x+1绕点4（1，3）按逆时针方向旋转45°得到直线l′，则直线l′
的方程为（ ） A ．2x ﹣y +1＝0 B ．x ﹣y +2＝0
C ．3x ﹣2y +3＝0
D ．3x +y ﹣6＝0
答案：D
直接利用到角公式和点斜式方程求出结果． 解：
直线l ：y ＝2x +1绕点4（1，3）按逆时针方向旋转45°得到直线l ′， 设直线l ′的斜率为k ，则根据到角公式的应用，
2
45112k tan k
-︒=
=+，解得k ＝﹣3，
所以直线l ′的方程为y ﹣3＝﹣3（x ﹣1），整理得3x +y ﹣6＝0． 故选：D ． 点评：
本题主要考查到角公式，直线方程，还考查学生的运算能力和转换能力，属于基础题． 6．已知数列{a n }为等比数列，若a 1+a 4＝2，a 12+a 42＝20，则a 2a 3＝（ ） A ．﹣8 B ．8 C ．﹣16 D ．16
答案：A
直接利用关系式的转化和等比性质的应用求出结果． 解：
数列{a n }为等比数列，若a 1+a 4＝2，
所以：22
114424a a a a ++=，
因为a 12+a 42＝20， 所以2a 1a 4＝﹣16， 整理得a 2a 3＝a 1a 4＝﹣8． 故选：A ． 点评：
本题主要考查等比数列的性质的应用，还考查运算求解能力，属于基础题． 7．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）
A ．9π
B ．
223
π
C ．
283
π
D ．
343
π
答案：D
根据几何体的三视图可得直观图为：该几何体为上面为一个半径为2的半球，下面为底面半径为2，高为3的半圆柱体． 解：
由三视图可知：该几何体为上面为一个半径为2的半球，下面为底面半径为2，高为3的半圆柱体． 如图所示：
故V 231234232233
πππ=
⨯⨯⨯+⨯⨯=． 故选：D ． 点评：
本题主要考查三视图和直观图形之间的转换，几何体的体积和表面积公式的应用，还考查空间想象和运算的能力，属于基础题．
8．已知过原点O 的直线l 与曲线():4x
C y x e =-相切，则l 的斜率为（ ）
A ．e -
B ．2e -
C ．3-
D ．e
答案：B
设切点为()(
),4m
m m e -，然后利用导数求出切线方程，将()0,0代入即可．
解：
由题意设切点为()(),4m
m m e
-，
()4x y x e =-Q ，()3x y x e '∴=-，()3m k m e ∴=-∵y ′＝e x （x ﹣3）．
所以，切线l 的方程为()()()43m
m
y m e e
m x m --=--，
因为切线l 过原点，可得2440m m -+=，2m ∴=，2k e =-. 故选：B ． 点评：
本题考查导数的几何意义与切线的求法，属于基础题．
9．珠算被誉为中国的第五大发明，最早见于汉朝徐岳撰写的《数术记遗》•2013年联合国教科文组织正式将中国珠算项目列入教科文组织人类非物质文化遗产．如图，我国传统算盘每一档为两粒上珠，五粒下珠，也称为“七珠算盘”．未记数（或表示零）时，每档的各珠位置均与图中最左档一样；记数时，要拨珠靠梁，一个上珠表示“5”，一个下珠表示“1”，例如：当千位档一个上珠、百位档一个上珠、十位档一个下珠、个位档一个上珠分别靠梁时，所表示的数是5515．现选定“个位档”、“十位档”、“百位档”和“千位档”，若规定每档拨动一珠靠梁（其它各珠不动），则在其可能表示的所有四位数中随机取一个数，这个数能被3整除的概率为（ ）
A ．
1
2
B ．
25
C ．
38
D ．
13
答案：C
这是一个古典概型，基本事件总数n ＝24＝16，然后利用列举法得到这个数能被3整除包含的基本事件数，代入公式求解。

解：
选定“个位档”、“十位档”、“百位档”和“千位档”， 规定每档拨动一珠靠梁（其它各珠不动）， 则在其可能表示的所有四位数中随机取一个数， 基本事件总数n ＝24＝16，
这个数能被3整除包含的基本事件有：
5511，5115，5151，1155，1515，1551，共6个，
这个数能被3整除的概率为P 63168
==． 故选：C ． 点评：
本题主要考查古典概型的概率的求法，还考查考查运算求解能力，属于基础题． 10．已知过抛物线y 2
＝4x 焦点F 的直线与抛物线交于P ，Q 两点，M 为线段PF 的中点，连接OM ，则△OMQ 的最小面积为（ ） A ．1 B ．2
C ．2
D ．4
答案：B
由题意可得直线PQ 的斜率不为0，设直线PQ 的方程，与抛物线联立，可得PF 的中点M 的纵坐标，有S △OMQ ＝S △OFQ +S △OMF ═
12|OF |•|112y -y 2|12=•12121
()2
y y -，整理由2
14
y +y 221222y y ≥-⋅⋅求解。

解： 如图所示：
设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），设P 在x 轴上方，
由题意可得直线PQ 的斜率不为0，设直线PQ 的方程为x ＝my +1， 联立直线与抛物线的方程2
1
4x my y x =+⎧⎨
=⎩
， 整理可得y 2
﹣4my ﹣4＝0，y 1+y 2＝4m ，y 1y 2＝﹣4，
因为M 为PF 的中点，所以y M 1
2y =， 所以S △OMQ ＝S △OFQ +S △OMF 12=|OF |•|112
y -y 2|1
2=•
1。