2017版《高考调研》大一轮复习(新课标,数学理)题组训练第一章集合与简易逻辑题组3 Word版含解析

题组层级快练(三)
1．下列命题的否定是真命题的是( ) A ．有些实数的绝对值是正数 B ．所有平行四边形都不是菱形 C ．任意两个等边三角形都是相似的 D ．3是方程x 2－9＝0的一个根
答案 B
2．若p ：∀x ∈R ，sinx ≤1，则( ) A ．綈p ：∃x ∈R ，sinx>1 B ．綈p ：∀x ∈R ，sinx>1 C ．綈p ：∃x ∈R ，sinx ≥1 D ．綈p ：∀x ∈R ，sinx ≥1 答案 A
解析 由于命题p 是全称命题，对于含有一个量词的全称命题p ：∀x ∈M ，p(x)，它的否定綈p ：∃x ∈M ，綈p(x)，故应选A. 3．下列命题中是假命题的是( ) A ．∀x ∈(0，π
2)，x>sinx
B ．∃x 0∈R ，sinx 0＋cosx 0＝2
C ．∀x ∈R ，3x >0
D ．∃x 0∈R ，lgx 0＝0 答案 B
解析 对于A ，结合三角函数线，易知当x ∈(0，π
2)时，有sinx<x ，因此A 正确；对于B ，
注意到sinx ＋cosx ＝2sin(x ＋π
4)≤2<2，因此不存在x 0∈R ，使得sinx 0＋cosx 0＝2，B 不
正确；对于C ，易知3x >0，因此C 正确；对于D ，注意到lg1＝0，因此D 正确．综上所述，选B.
4．(2015·湖北文)命题“∃x 0∈(0，＋∞)，lnx 0＝x 0－1”的否定是( ) A ．∀x ∈(0，＋∞)，lnx ≠x －1 B ．∀x ∉(0，＋∞)，lnx ＝x －1 C ．∃x ∈(0，＋∞)，lnx ≠x 0－1 D ．∃x ∉(0，＋∞)，lnx ＝x 0－1 答案 A
解析 特称命题的否定为全称命题，所以∃x 0∈(0，＋∞)，lnx 0＝x 0－1的否定是∀x ∈(0，＋∞)，lnx ≠x －1，故选A.
5．(2016·江南十校联考)已知命题p ：∀x ∈R ，2x <3x ；命题q ：∃x ∈R ，x 3＝1－x 2，则下列命题中为真命题的是( ) A ．p ∧q B ．p ∧(綈q) C ．(綈p)∧q D ．(綈p)∧(綈q)
答案 C
解析 对命题p ，令x ＝0，则2x ＝20＝1，3x ＝30＝1，故命题p 是假命题；对于命题q ，令f(x)＝x 3＋x 2－1，则函数f(x)的图像在R 上连续，由于f(0)＝－1<0，f(1)＝1>0，由零点存在定理知，存在c ∈(0，1)，使得f(c)＝0，所以命题q 是真命题，因此复合命题(綈p)∧q 是真命题．
6．(2016·沧州七校联考)命题p ：∃α，β∈R ，使tan (α＋β)＝tan α＋tan β；命题綈q ：∀x ∈R ，x 2＋x ＋1≥0.则下列命题中真命题为( ) A ．p ∧q B ．p ∧(綈q) C ．(綈p)∧(綈q) D ．(綈p)∧q
答案 B
解析 对于命题p ，取α＝π，则左边＝tan (α＋β)＝tan(π＋β)＝tan β，右边＝tan π＋tan β＝tan β，左边＝右边，命题p 是真命题；对于命题綈q ，由于x 2＋x ＋1＝(x ＋12)2＋3
4>0，故
命题綈q 是真命题，由复合命题的真假性判断知B 选项正确． 7．命题“∀x ∈R ，(1
3)x >0”的否定是( )
A ．∃x 0∈R ，(1
3)x 0<0
B ．∀x 0∈R ，(1
3)x ≤0
C ．∀x 0∈R ，(1
3)x <0
D ．∃x 0∈R ，(1
3)x 0≤0
答案 D
解析 全称命题“∀x ∈R ，(1
3)x >0”的否定是把量词“∀”改为“∃”，并把结论进行否定，
即把“>”改为“≤”．故选D.
8．已知命题p ：抛物线y ＝2x 2的准线方程是y ＝－1
2，命题q ：若函数f(x ＋1)为偶函数，则
f(x)的图像关于x ＝1对称，则下列命题是真命题的是( ) A ．p ∧q B ． p ∧(綈q) C ．(綈p)∧(綈q) D ．p ∨q
答案 D
解析 抛物线y ＝2x 2，即x 2＝12y 的准线方程是y ＝－1
8；当函数f(x ＋1)为偶函数时，函数f(x
＋1)的图像关于直线x ＝0对称，函数f(x)的图像关于直线x ＝1对称(注：将函数f(x)的图像向左平移一个单位长度可得到函数f(x ＋1)的图像)，因此命题p 是假命题，q 是真命题，p ∧q ，p ∧(綈q)，(綈p)∧(綈q)都是假命题，p ∨q 是真命题．
9．下列命题中的假命题是( ) A ．∀x ∈R ，2x －
1>0
B ．∀x ∈N *，(x －1)2>0
C ．∃x ∈R ，lnx<1
D ．∃x ∈R ，tanx ＝2
答案 B
解析 因为当x ＝1时，(x －1)2＝0，所以B 为假命题，故选B.
10．已知命题p ，若ab ＝0，则a ＝0，则綈p 为________；命题p 的否命题为________． 答案 若ab ＝0，则a ≠0；若ab ≠0，则a ≠0.
11．(2016·邯郸一中测试)若命题p 的否定是“对所有正数x ，x>x ＋1”，则命题p 是________．
答案 ∃x 0∈(0，＋∞)，x 0≤x 0＋1
解析 因为p 是綈p 的否定，所以只需将全称命题变为特称命题，再对结论否定即可． 12．已知命题“∀x ∈R ，sinx －a ≥0”是真命题，则a 的取值范围是________． 答案 (－∞，－1]
解析 由题意，对∀x ∈R ，a ≤sinx 成立．由于对∀x ∈R ，－1≤sinx ≤1，所以a ≤－1. 13．若命题“∃x 0∈R ，x 02＋(a －1)x 0＋1≤0”为假命题，则实数a 的取值范围为________． 答案 (－1，3)
解析 由“∃x 0∈R ，x 02＋(a －1)x 0＋1≤0”为假命题，得“∀x ∈R ，x 2＋(a －1)x ＋1>0”为真命题，所以Δ＝(a －1)2－4<0，解得－1<a<3，所以a 的取值范围为(－1，3)．
14．(2016·四川绵阳中学模拟)已知命题p ：∃x ∈[0，π2]，cos2x ＋cosx －m ＝0为真命题，
则实数m 的取值范围是________． 答案 [－1，2]
解析 令f(x)＝cos2x ＋cosx ＝2cos 2x ＋cosx －1＝2(cosx ＋14)2－9
8，由于x ∈[0，π2]，所以cosx
∈[0，1]．于是f(x)∈[－1，2]，因此实数m 的取值范围是[－1，2]．
15．(2015·山东)若“∀x ∈[0，π
4]，tanx ≤m ”是真命题，则实数m 的最小值为________．
答案 1
解析 ∵0≤x ≤π
4
，∴0≤tanx ≤1，
∵“∀x ∈[0，π
4]，tanx ≤m ”是真命题，∴m ≥1.
∴实数m 的最小值为1.
16．设命题p ：c 2<c 和命题q ：∀x ∈R ，x 2＋4cx ＋1>0.若p 和q 有且仅有一个成立，求实数c 的取值范围．
答案 (－12，0]∪[1
2，1)
解析 p ：由c 2<c ，得0<c<1； q ：由Δ＝16c 2－4<0，得－12<c<1
2.
要使p 和q 有且仅有一个成立，则 实数c 的取值范围为(－12，0]∪[1
2
，1)．
17．(2016·江西新课程适应性考试)已知p ：“对任意的x ∈[2，4]，log 2x －a ≥0”，q ：“存在x ∈R ，x 2＋2ax ＋2－a ＝0”．若p ，q 均为命题，而且“p 且q ”是真命题，求实数a 的取值范围．
答案 a ≤－2或a ＝1
解析 p ：a ≤1，q ：4a 2－4(2－a)≥0，即a ≤－2或a ≥1.因为p 且q 是真命题，所以a ≤－2或a ＝1.
1．命题“所有奇数的立方都是奇数”的否定是( ) A ．所有奇数的立方都不是奇数 B ．不存在一个奇数，它的立方是偶数 C ．存在一个奇数，它的立方是偶数 D ．不存在一个奇数，它的立方是奇数
答案 C
解析 全称命题的否定是特称命题，即“存在一个奇数，它的立方是偶数”．
2．已知命题p ：“∀x ∈[1，2]，1
2x 2－lnx －a ≥0”与命题q ：“∃x ∈R ，x 2＋2ax －8－6a ＝
0”都是真命题，求实数a 的取值范围． 答案 (－∞，－4]∪[－2，1
2
]
解析 命题p ：a ≤1
2x 2－lnx 在x ∈[1，2]上恒成立，
令f(x)＝12x 2－lnx ，f ′(x)＝x －1x ＝（x －1）（x ＋1）
x ，
当1<x<2时，f ′(x)>0，∴f(x)min ＝f(1)＝1
2.
∴a ≤12.即p ：a ≤12
.
命题q ：Δ＝4a 2－4(－8－6a)≥0，∴a ≥－2或a ≤－4. 综上，a 的取值范围为(－∞，－4]∪[－2，12
]．。