2018届高考数学(理)二轮复习寒假作业(二十七) 小题限时保分练——泉州一模试题节选(注意命题点分布)

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泉州市2018届高三单科质量检查理科数学(含解析)(2018.01)

（B）x x 1
（C） x

1

x

1 2
（D） x

1 2

x

1

（2）已知 z 为复数 z 的共轭复数， 1 i z 2i ，则 z
（A） 1 i
（B） 1 i
（C）1 i
（D）1 i
（3）设等差数列an 的前 n 项和为 Sn .若 a2 a1 2 ， S5 S4 9 ，则 a50
日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢？”可用如图所示的程序框图解决此类问题.
现执行该程序框图，输入的 d 的值为 33，则输出的 i 的值为
（A）4
（B）5
（C）6
（D）7
（8）下列函数中，图象关于原点对称且单调递增的是
（A） f x sin x x
（B） f x ln x 1 ln x 1
e
x

ax

e
2,
x
0, 0,
恰有两个零点，则实数
a
的取值范围是
（A） 0,1
（B） e, （C） 0,1 e, （D） 0,1 e2,
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分。
（13）在平面直角坐标系 xOy 中，角的顶点在原点，始边与 x 轴的非负半轴重合，终边
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。（17）（本小题满分 10 分）
已知抛物线 C : y2 2 px( p 0) 的焦点为 F ，点 A( p , a)(a 0)ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ在 C 上， AF 3 . 4
（Ⅰ）求 C 的方程； AF

福建省泉州市2018届高三12月联考数学(理)试题 Word版含答案

福建省泉州市2018届高三12月联考数学（理）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{|(3)(1)0}A x x x =-+≥，4{|}5B y y =<-，则A B = （） A ．{|1}x x ≤- B ．{|3}x x ≥C ．5{|}4x x <-D ．5{|1}4x x -≤<- 2.已知向量(2)0a a b ∙+= ，||||2a b == ，则向量,a b的夹角为（）A ．6πB ．3πC ．23π D ．56π 3.将函数1sin()26y x π=-的图象上的所有的点横坐标缩短为原来的12（纵坐标不变），再将所得的图象向右平移3π个单位，则所得的函数图象对应的解析式为（）A ．1cos()44y x π=-B ．sin y x =-C ．cos y x =-D ．sin()6y x π=+ 4.已知等比数列{}n a 满足：13a =，13521a a a ++=，则357a a a ++=（） A ． 21 B ． 42 C. 63 D ．84 5.已知“x k >”是“311x <+”的充分不必要条件，则k 的取值范围为（） A ．(,1]-∞- B ．[1,)+∞ C. [2,)+∞ D ．(2,)+∞6.《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何？”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分五钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，问五人各得多少钱？”（“钱”是古代一种重量单位），这个问题中，甲所得为（）钱 A ．53 B ．32 C. 43 D ．547.如图可能是下列哪个函数的图象（）A ．221xy x =-- B ．2sin 41x x y x =+ C. ln xy x= D ．2(2)x y x x e =-8.已知函数2016()2016log )2016x x f x x -=+-，则关于x 的不等式(31)()0f x f x ++>的解集为（）A ．(,0)-∞B ．(0,)+∞ C. 1(,)4-∞- D ．1(,)4-+∞ 9.在ABC ∆中，,E F 分别为边,AB AC 上的点，且2AE EB = ，AF FC = ，若||3AB = ，||2AC =，60A =，则BF EF ∙=（）A ．72 B ．92 C. 134 D ．15410.已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，且675S S S >>，给出下列五个命题：①0d <；②110S >；③120S <；④数列{}n S 中的最大项为11S ；⑤67||||a a >，其中正确命题的个数为（）A ． 2B ． 3 C. 4 D ．5 11.已知,,x y z 为正实数，则222xy yzx y z+++的最大值为（）A B ．1 12.已知点P 是ABC ∆的中位线EF 上任意一点，且//EF BC ，实数,x y 满足0PA xPB yPC ++=，设ABC ∆，PBC ∆，PCA ∆，PAB ∆的面积分别为123,,,S S S S ，记11S S λ=，22SS λ=，33S Sλ=，则23λλ∙取最大值时，3x y +的值为（） A ．12 B ．32C. 1 D ．2 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知幂函数()y f x =的图象过点(4,2)，则14log (2)f = ．14.11(2)ex dx x+⎰的值为．15.设偶函数()f x 对任意x R ∈，都有1(3)()f x f x +=-，且当[3,2]x ∈--时，()4f x x =，则(2018)f = ．16.在锐角ABC ∆中，sin 2sin sin A B C =，则tan tan tan A B C 的最小值为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 设函数()sin(2)(0)f x x ϕπϕ=+-<<，()y f x =图象的一条对称轴是直线8x π=．（1）求ϕ；（2）求函数()y f x =的单调递增区间；（3）证明：直线520x y c -+=与函数()y f x =的图象不相切．18. 在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且232cos cos sin()sin cos()25A B B A B B A C ---++=-．（1）求cos A 的值；（2）若a =5b =，求向量BA 在BC方向上的投影．19. 设函数()ln mf x x x=+，m R ∈．（1）当m e =（e 为自然对数的底数）时，求()f x 的最小值；（2）讨论函数'()()3xg x f x =-零点的个数．20. 已知函数11()22f x x =-，若对于数列{}n a 满足：114()4n n n a f a a +-=-+*(,2)n N n ∈≥，且11a =-，22a =．（1）求证：数列1{}n n a a --*(,2)n N n ∈≥为等差数列，并求数列{}n a 的通项公式；（2）设123n n n a b n-+=⨯，若数列{}n b 的前n 项和为n S ，求n S ．21. 设二次函数2()(0)f x ax bx c a =++>，方程()0f x x -=的两个根12,x x 满足1210x x a<<<．（1）当1(0,)x x ∈时，证明：1()x f x x <<；（2）设函数()f x 的图象关于直线0x x =对称，证明：102x x <．22.已知函数2()()ln x a f x x-=（其中a 为常数）．（1）当0a =时，求函数()f x 的单调区间；（2）当01a <<时，设函数()f x 的3个极值点为123,,x x x ，123x x x <<，证明：13x x +>．福建省泉州市2018届高三12月联考数学（理）试题答案及评分标准一选择题ACC BCC DDB BAD 二填空题 13.41-14.2e 15.8- 16.8 三解答题 17（1）.∵8x π=是函数()y f x =的一条对称轴，∴282k ππϕπ⨯+=+，k Z ∈，∵0πϕ-<<，∴34πϕ=-．（2）由3()sin(2)4f x x π=-，得3222,242k x k k Z πππππ-≤-≤+∈， ∴5,88k x k k Z ππππ+≤≤+∈，即()y f x =的单调递增区间为5[,]()88k k k Z ππππ++∈ (3)∵'3|||2cos(2)|24y x π=-≤，∴曲线()y f x =的切线的斜率的取值范围为[2,2]-，而直线520x y c -+=的斜率为522>，[来源:学+科+网Z+X+X+K]所以直线520x y c -+=与函数()y f x =的图像不相切.18. (1)由232cos cos sin()sin cos()25A B B A B B A C ---++=-，可得3cos()cos sin()sin 5A B B A B B ---=-，即3cos()cos 5A B B A -+==-，∴3cos 5A =-(2)由正弦定理得sin sin b A B a ==a b >，∴A B >，∴4B π=．由余弦定理得2223525()5c c =+-⨯⨯-，解得1,7c c ==-（舍）BA 在BC方向上的投影：||cos cos BA B c B ==19.(1)当m e =时，()ln e f x x x =+，∴'2()x e f x x-= [来源:学科网ZXXK]当(0,)x e ∈时，'()0f x <，()f x 在(0,)x e ∈上是减函数；当(,)x e ∈+∞时，'()0f x >，()f x 在(,)x e ∈+∞上是增函； ∴当x e =时，()f x 取最小值()ln 2ef e e e=+=． (2)∵函数'2()()(0)33x x m xf x f x x x -=-=->，令()0g x =，得31(0)3m x x x =-+>；设31()(0)3x x x x ϕ=-+≥，则'2()1(1)(1)x x x x ϕ=-+=--+ 当(0,1)x ∈时，'()0x ϕ>，()x ϕ在(0,1)x ∈上是增函数；当(1,)x ∈+∞时，'()0x ϕ<，()x ϕ在(1,)x ∈+∞上是减函数；当1x =是()x ϕ的极值点，且是唯一极大值点，∴1x =是()x ϕ的最大值点； ∴()x ϕ的最大值为2(1)3ϕ=，又(0)0ϕ=结合()y x ϕ=的图像，可知：[来源:学科网ZXXK]①当23m >时，函数()g x 无零点； ②当23m =时，函数()g x 有且只有一个零点；③当203m <<时，函数()g x 有两个零点；④当0m ≤时，函数()g x 有且只有一个零点；综上：当23m >时，函数()g x 无零点；当23m =或0m ≤时，函数()g x 有且只有一个零点；当203m <<时，函数()g x 有且只有两个零点；20.(1) 1111114()44()422(2)22n n n n n n n a f a a a a a a n +---=-+=--+=-+≥ 即11()()2(2)n n n n a a a a n +----=≥，∵121,2a a =-=，∴213a a -=， ∴数列1{}n n a a +-是一个以3为首项，以2为公差的等差数列；则132(1)21n n a a n n +-=+-=+，21211a a -=⨯+，32221a a -=⨯+，……，12(1)1(2)n n a a n n --=-+≥累加得212[12(1)](1)2n a a n n n =++++-+-=- .验证1n =时上式成立，∴22n a n =-(2) 21122233n n n n a n b n n n--+-+==⨯=⨯，则0121121323333n n n S b b b n -=+++=⨯+⨯+⨯++⨯12331323333n n S n =⨯+⨯+⨯++⨯两式作差得：01211313213131313333132n n n nnn n S n n n ----=⨯+⨯+⨯++⨯-⨯=-⨯=-⨯--∴13(21)313424n n n n n n S --⨯+=+⨯=21.(1)令()()F x f x x =-，1210x x a<<<， ∵()0f x x -=的两个根12,x x ， ∴可以设12()()()F x a x x x x =--，当1(0,)x x ∈时，由于12x x <，得12()()0x x x x --> 又0a >，得12()()()0F x a x x x x =-->即()f x x > 又1112()[()]()[1()]x f x x x F x x x a x x -=--=-+-，∵1210x x a<<<，∴10x x ->，2221()110a x x ax ax ax +-=+->->， [来源:学科网]得1()0x f x ->，∴1()f x x <(2)由题意知函数()y f x =的对称轴为02b x a=-， ∵()0f x x -=有两个根12,x x ，即12,x x 为方程2(1)0ax b x c +-+=的根，∴121b x x a -+=-，120122ax ax b x a a+-=-=，因为∵21ax <，∴11022ax xx a <=．22.(1)当0a =时，2()ln x f x x=，'2(2ln 1)()(ln )x x f x x -=；∵当(0,1)x ∈时，'()0f x <，当x ∈时，'()0f x <，当)x ∈+∞时，'()0f x >，∴函数()x f的单调递减区间为；单调递增区间为)+∞(2)由题意知，'2()(2ln 1)()ln a x a x x f x x-+-=，令函数()2ln 1a h x x x =+-，则'22()x ah x x -=，[来源:学。

福建省泉州第一中学2018届高三下学期第一次模拟考试四月-数学理-试题

泉州一中2018届高考模拟试卷数学(理)(本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．满分150分，考试时间120分钟)第Ⅰ卷(选择题满分60分)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个选项符合题意)1．已知集合A ＝{x |y ＝4x －x 2}，B ＝{x ||x |≤2}，则A ∪B ＝( )A ．[－2,2]B ．[－2,4]C ．[0,2]D ．[0,4]2． “a ＝1”是“复数z ＝(a 2－1)＋2(a ＋1)i(a ∈R )为纯虚数”的( )A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件3．设直线y ＝kx 与椭圆x 24＋y 23＝1相交于A ，B 两点，分别过A ，B 向x 轴作垂线，若垂足恰好为椭圆的两个焦点，则k 等于( )A.32 B ．±32 C ．±12 D.124．如果圆x 2＋y 2＝n 2至少覆盖曲线f (x )＝3sin πx n(x ∈R )的一个最高点和一个最低点，则正整数n 的最小值为( )A ．1B ．2C ．3D ．45．运行如图所示的程序框图，则输出的S 值为( )A.29－129B.29＋129C.210－1210D.210210＋16．函数g (x )＝2e x ＋x －3⎠⎛12t 2d t 的零点所在的区间是( ) A ．(－3，－1) B ．(－1,1)C ．(1,2)D ．(2,3)7．在平面上，过点P 作直线l 的垂线所得的垂足称为点P 在直线l 上的投影．由区域⎩⎪⎨⎪⎧ x －2≤0，x ＋y ≥0，x －3y ＋4≥0中的点在直线x ＋y －2＝0上的投影构成的线段记为AB ，则|AB |＝( )A ．2 2B ．4C ．3 2D ．68．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A ．24＋6πB ．12πC ．24＋12πD ．16π9．已知四面体P －ABC 中，P A ＝4，AC ＝27，PB ＝BC ＝23，P A ⊥平面PBC ，则四面体P －ABC 的外接球半径为( )A ．2 2B ．2 3C ．4 2D ．4 310．已知(x +2) (2x －1)5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5，则2a 2＋3a 3＋4a 4＋5a 5＝( )A ．10B ．5C ．1D ．011．已知抛物线y 2＝4x 的准线与x 轴相交于点P ，过点P 且斜率为k (k >0)的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，F 为抛物线的焦点，若|FB |＝2|F A |，则AB 的长度为( )A.32 B ．2 C.172D.17 12．已知曲线f (x )＝k e－2x 在点x ＝0处的切线与直线x －y －1＝0垂直，若x 1，x 2是函数g (x )＝f (x )－|ln x |的两个零点，则( )A ．1<x 1x 2< eB.1e <x 1x 2<1 C ．2<x 1x 2<2 e D.2e <x 1x 2<2。

2018届福建省泉州市高三(5月)第二次质量检查数学(理)试题Word版含答案

2018届福建省泉州市高三（5月）第二次质量检查数学（理）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}065,122<+-=>=x x x B x A x ，则=B C A ( )A ．()3,2B ．(][)+∞∞-,32,C ．(][)+∞,32,0D ．[)+∞,32.已知复数i a z +=().R a ∈若2<z ，则2i z +在复平面内对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3.公差为2的等差数列{}n a 的前n 项和为.n S 若123=S ，则=3a ( ) A ．4 B ．6 C ．8 D ．14 4.已知实数y x ,满足约束条件y x z y x xy +=⎩⎨⎧≤--≤,022，则满足1≥z 的点()y x ,所构成的区域面积等于( ) A ．41 B ．21 C. 43D ．1 5.榫卯是古代中国建筑、家具及其他器械中常见的结构方式，是在两个构件上采用凹凸部位相结合的一种连接方式，突出部分叫做“榫头”，某“榫头”的三视图及其部分尺寸如图所示，则该“榫头”的体积等于( )A ．12B ．13 C.14 D ．156.执行一次如图所示的程序框图，若输出i 的值为0，则下列关于框图中函数()()R x x f ∈的表述，正确的是( )A ．()x f 是奇函数，且为减函数B ．()x f 是偶函数，且为增函数 C.()x f 不是奇函数，也不为减函数 D ．()x f 不是偶函数，也不为增函数7.已知以O 为中心的双曲线C 的一个焦点为P F ,为C 上一点，M 为PF 的中点，若OMF ∆为等腰直角三角形，则C 的离心率等于( )A ．12-B ．12+ C. 22+ D ．215+ 8.已知曲线()⎪⎭⎫⎝⎛<+=22sin :πϕϕx y C 的一条对称轴方程为6π=x ，曲线C 向左平移()0>θθ个单位长度，得到的曲线E 的一个对称中心为⎪⎭⎫⎝⎛0,6π，则θϕ-的最小值是( ) A ．12π B ．4π C.3π D ．125π 9.在梯形ABCD 中，060,32,2,1,//=∠===ACD BD AC AB CD AB ,则=AD ( ) A ．2 B ．7 C. 19 D ．3613-10.某密码锁共设四个数位，每个数位的数字都可以是4,3,2,1中的任一个，现密码破译者得知：甲所设的四个数字有且仅有三个相同；乙所设的四个数字有两个相同，另两个也相同；丙所设的四个数字有且仅有两个相同；丁所设的四个数字互不相同，则上述四人所设密码最安全的是( ) A ．甲 B ．乙 C.丙 D ．丁11.已知直线PB PA ,分别于半径为1的圆O 相切于点().12,2,,PO B A λλ-+==，若点M 在圆O 的内部（不包括边界），则实数λ的取值范围是( ) A ．()1,1- B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛32,0 C.⎪⎭⎫ ⎝⎛1,31 D ．()1,012.已知函数()().,2ax ax x g e x f x -==，若曲线()x f y =上存在两点，这两点关于直线x y =的对称点都在曲线()x g y =上，则实数a 的取值范围是( )A ．()1,0B ．()+∞,1 C. ()+∞,0 D ．()()+∞,11,0第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知椭圆134:22=+y x C 的左顶点、上顶点，右焦点分别为F B A ,,，则=⋅AF AB ．14.已知曲线x x y C 2:2+=在点()0,0处的切线为l ，则由l C ,以及直线1=x 围成的区域的面积等于．15.在平面直角坐标系xOy 中，角θ的终边经过点()()11,≥x x P ，则θθs i n c o s +的取值范围是．16.已知在体积为π12的圆柱中，CD AB ,分别是上、下底面两条不平行的直径，则三棱锥BCD A -的体积的最大值等于．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.在数列{}n a 中,().221,4211n n a n na a n n +=+-=+ （Ⅰ）求证：数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列；（Ⅱ）求数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a 1的前n 项和n S ；18.某测试团队为了研究“饮酒”对“驾车安全”的影响，随机选取100名驾驶员先后在无酒状态、酒后状态下进行“停车距离”测试，测试的方案：电脑模拟驾驶，以某速度匀速行驶，记录下驾驶员的“停车距离”（驾驶员从看到意外情况到车子停下所需要的距离），无酒状态与酒后状态下的试验数据分别列于表1表.2已知表1 数据的中位数估计值为26，回答以下问题.(Ⅰ)求b a ,的值，并估计驾驶员无酒状态下停车距离的平均数；（Ⅱ）根据最小二乘法，由表2的数据计算y 关于x 的回归方程∧∧∧+=a b y ；（Ⅲ）该测试团队认为：驾驶员酒后驾车的平均“停车距离”y 大于（Ⅰ）中无酒状态下的停车距离平均数的3倍，则认定驾驶员是“醉驾”.请根据(Ⅱ)中的回归方程,预测当每毫升血液酒精含量大于多少毫克时为“醉驾”？（附：回归方程ˆy ba ∧∧=+中，()1221,.ni ii nii x y n x y b a y b x xnx∧∧∧==-⋅==--∑∑）19.如图，在三棱锥BCD A -中，平面ABD ⊥平面42,60,,0===∠=BC BD CBD AD AB BCD ，点E 在CD 上，.2EC DE = （Ⅰ）求证：BE AC ⊥；（Ⅱ）若二面角D BA E --的余弦值为515，求三棱锥BCD A -的体积.20.在平面直角坐标系xOy 中,抛物线()02:2>=p py x C 的焦点为F ,过点F 的直线l 交C 于B A ,两点,交x 轴于点B D ,到x 轴的距离比BF 小1. (Ⅰ)求C 的方程；（Ⅱ）若AO D BO F S S ∆∆=，求l 的方程.21.已知函数().ln k kx x x f +-= (Ⅰ)若()0≥x f 有唯一解,求实数k 的值；（Ⅱ）证明：当1≤a 时，()().12--<-+ax e k kx x f x x （附：39.7,48.4,10.13ln ,69.02ln 223≈≈≈≈e e ）请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为⎩⎨⎧=+=ααsin cos 1y x ，（α为参数）；在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C 的极坐标方程为.sin cos 2θθρ=（Ⅰ）求1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（Ⅱ）若射线()0:≥=x kx y l 分别交21,C C 于B A ,两点（B A ,异于原点），当(]3,1∈k 时，求OB OA ⋅的取值范围.23.选修4-5：不等式选讲已知函数().a x a x x f ++-= （Ⅰ）当2=a 时，解不等式()6>x f ；（Ⅱ）若关于x 的不等式()12-<a x f 有解，求实数a 的取值范围.2018届福建省泉州市高三（5月）第二次质量检查数学（理）试题试卷答案一、选择题1-5:CBBCC 6-10:DBABC 11、12：BD二、填空题13.6 14.3115.(]2,1 16.8 三、解答题17.解：（Ⅰ）()n n a n na n n 22121+=+-+的两边同时除以()1+n n ，得()*+∈=-+N n na n a nn 211，所以数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a n 是首项为4，公差为2的等差数列. （Ⅱ）由（Ⅰ），得()121-+=n a na n，即22+=n na n即n n a n 222+=，故()()⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⋅=+-+⋅=+=11121112122112n n n n n n n n a n ,所以⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=111312121121n n S n , ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++++-⎪⎭⎫ ⎝⎛++++=113121131211n n ,().1211121+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=n nn 18.解：（Ⅰ）依题意，得2650106-=a ，解得40=a ，又10036=++b a ，解得24=b ；故停车距离的平均数为.27100255100845100243510040251002615=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯（Ⅱ）依题意，可知60,50==y x ，22222250590705030106050590907070605050303010⨯-++++⨯⨯-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=∧b 107=, 255010760=⨯-=∧a ,所以回归直线为.257.0+=∧x y（Ⅲ）由（Ⅰ）知当81>y 时认定驾驶员是“醉驾” 令81>∧y ，得81257.0>+x ，解得80>x ,当每毫升血液酒精含量大于80毫克时认定为“醉驾”. 19.解：（Ⅰ）取BD 的中点，连接.,,EO CO AO 因为OD BO AD AB ==,，所以BD AO ⊥,又平面⊥ABD 平面BCD ,平面 ABD 平面⊂=AO BD BCD ,平面ABD , 所以⊥AO 平面BCD ,又⊂BE 平面BCD ,所以.BE AO ⊥在BCD ∆中，EC DE BC BD 2,2==,所以2==ECDEBC BD ，由角平分线定理，得DBE CBE ∠=∠，又2==BO BC ，所以CO BE ⊥,又因为⊂=AO O CO AO , 平面⊂CO ACO ,平面ACO , 所以⊥BE 平面ACO ,又⊂AC 平面ACO ，所以.BE AC ⊥（Ⅱ）在BCD ∆中，060,42=∠==CBD BC BD ,由余弦定理得32=CD ，所以222BD CD BC =+，即090=∠BCD , 所以DE BE EDB EBD ==∠=∠,300，所以BD EO ⊥,结合（Ⅰ）知，OA OD OE ,,两两垂直，以O 为原点，分别以向量,,的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系xyz O -（如图），设()0>=t t AO,则()()⎪⎪⎭⎫⎝⎛-0,0,332,0,2,0,,0,0E B t A , 所以()⎪⎪⎭⎫⎝⎛==0,2,332,,2,0BE t BA , 设()z y x n ,,=是平面ABE 的一个法向量，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅,0,0BE n BA n 即⎪⎩⎪⎨⎧=+=+0233202y x tz y ，整理，得⎪⎩⎪⎨⎧-=-=,2,3y t z y x 令1-=y ，得23,1,.n t ⎛⎫=- ⎪⎭因为⊥OE 平面ABD ,所以()1,0,0m =是平面ABD 的一个法向量.又因为二面角D BA E --的余弦值为515，所以5154133,cos 2=++=><t n m ，解得2=t 或2-=t （舍去），又⊥AO 平面BCD ,A 所以AO 是三棱锥BCD A -的高, 故.3343222123131=⨯⨯⨯⨯=⋅⋅=∆-BCD BCD A S AO V 20.：（Ⅰ）C 的准线方程为2py -=，由抛物线的定义，可知BF 等于点B 到C 的准线的距离，即2P y BF B +=, 又因为点B 到x 轴的距离比BF 小1，所以12+=+B B y Py ，故12=P，解得2=P ，所以C 的方程为.42y x =（Ⅱ）由（Ⅰ）得C 的焦点()1,0F ，因为直线l 交C 于B A ,两点，交x 轴于点D ，所以l 的斜率存在且不为0，故可设l 的方程为()()().,,,,011111y x B y x A k kx y ≠+=，则⎪⎭⎫⎝⎛-0,1k D . 联立方程组⎩⎨⎧+==,1,42kx y y x ，消去y ，得.0442=--kx x()()01616414422>+=-⨯⨯--=∆k k ,由韦达定理，得.4,42121-==+x x k x x 设点O 到直线l 的距离为d ,则.21,21AD d S BF d S AOD BOF ⋅=⋅=∆∆ 又AO D BO F S S ∆∆=，所以AD BF =.又F D B A ,,,在同一直线上，所以FB DA =，从而211x k x =⎪⎭⎫ ⎝⎛--，即k x x 112==, 因为()()()()4444221221212-⨯-=-+=-k x x x x x x , 所以()()221444⎪⎭⎫ ⎝⎛=-⨯-k k ，整理，得01161624=-+k k , 故4252-=k ，解得225-±=k , 所以l 的方程为1225+-±=x y . 21.解:(Ⅰ)函数()x f 的定义域为().,0+∞要使()0≥x f 有唯一解,只需满足()0max =x f ,且()0max =x f 的解唯一,()xkx x f -='1, ①当0≤k 时,()0>'x f ,故()x f 在()+∞,0上单调递增,且()01=f ,所以()0≥x f 的解集为[)+∞,1,不符合题意；②当0>k ，且⎥⎦⎤ ⎝⎛∈k x 1,0时，()()x f x f ,0≥'单调递增；当⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞∈,1k x 时，()()x f x f ,0<'单调递减，所以()x f 有唯一的一个最大值为⎪⎭⎫⎝⎛k f 1, 令()()01ln 1>--=⎪⎭⎫⎝⎛=k k k k f k g ，则()()kk k g g 1,01-='=, 当10<<k 时，()0<'x g ,故()k g 单调递减；当1>k 时，故()k g 单调递增，所以()()01=≥g k g ，故令01ln 1=--=⎪⎭⎫ ⎝⎛k k k f ,解得1=k ，此时()x f 有唯一的一个最大值为()1f ，且()01=f ，故()0≥x f 的解集是{}1，符合题意；综上，可得.1=k（Ⅱ）要证当1≤a 时，()(),1--<-+ax e k kx x f x x即证当1≤a 时，01ln 2>---x x ax e x ,即证.01ln 2>---x x x e x由（Ⅰ）得，当1=k 时，()0≤x f ,即1ln -≤x x ，又0>x ，从而()1ln -≤x x x x ,故只需证0122>-+-x x e x ，当0>x 时成立；令()()0122≥-+-=x x x e x h x ，则()14+-='x e x h x ,令()()x h x F '=，则()4-='x e x F ，令()0='x F ，得.2ln 2=x因为()x F '单调递增，所以当(]2ln 2,0∈x 时，()()()x F x F x F ,0,0≤≤'单调递减，即()x h '单调递减，当()+∞∈,2ln 2x 时，()()x F x F '>',0单调递增，即()x h '单调递增，且()()()0182,020,02ln 854ln 2>+-='>='<-='e h h h ,由零点存在定理，可知()()2,2ln 2,2ln 2,021∈∃∈∃x x ，使得()()021='='x h x h ，故当10x x <<或2x x >时，()()x h x h ,0>'单调递增；当21x x x <<时，()()x h x h ,0<'单调递减，所以()x h 的最小值是()00=h 或().2x h由()02='x h ，得1422-=x e x ，()()()122252122222222---=-+-=-+=x x x x x e x h x ,因为()2,2ln 22∈x ，所以()02>x h ,故当0>x 时，所以()0>x h ,原不等式成立.22.解：（Ⅰ）由⎩⎨⎧=+=ααsin ,cos 1y x 可得()αα2222sin cos 1+=+-y x , 即1C 的普通方程为().1122=+-y x 方程θθρsin cos 2=可化为θρθρsin cos 22= ()* ,将⎩⎨⎧==θρθρsin cos y x ,代入方程()*，可得y x =2,所以2C 的直角坐标方程为y x =2，（Ⅱ）联立方程组()⎩⎨⎧==+-,,1122kx y y x 解得.12,1222⎪⎭⎫ ⎝⎛++k k k A 联立方程组⎩⎨⎧==,,2x y kx y 可得()2,k k B ，故k k k k k OB OA 21121222=⋅+⋅+⋅+=⋅, 又(]3,1∈k ,所以(].32,2∈⋅OB OA 23.解：（Ⅰ）当2=a 时，()⎪⎩⎪⎨⎧-<-≤≤->=++-=,2,2,22,4,2,222x x x x x x x x f当2>x 时，可得,62>x ，解得.3>x当22≤≤-x 时，因为64>不成立，故此时无解；当2-<x 时，由62>-x 得，故此时.3-<x综上所述，不等式()6>x f 的解集为()().,33,+∞-∞-（Ⅱ）因为()a a x a x a x a x x f 2=---≥++-=,要使关于x 的不等式()12-<a x f 有解，只需122-<a a 成立. 当0≥a 时，122-<a a 即,122-<a a 解得21+>a ，或21-<a （舍去）；当0<a 时，122-<a a ，即,122-<-a a 解得21+->a （舍去），或21--<a ；所以，的取值范围为()().,2121,+∞+--∞-。

2018届福建省泉州市高三质检理科数学试题及答案

泉州市2018届高三质检数学试卷（理科）一、本大题共10小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数z=（其中i为虚数单位）在复平面内对应的点在（） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限D．第四象限2．已知集合A={x|x+1＜0}，B={x|3﹣x＞0}，那么集合A∩B（） A．{x|x＜﹣1} B．{x|x＜3} C．{x|﹣1＜x＜3} D．∅3．某程序的框图如图所示，运行该程序时，若输入的x=0.1，则运行后输出的y值是（）A．﹣1 B． 0.5 C． 2D．104．在二项式（2x+3）n的展开式中，若常数项为81，则含x3的项的系数为（）A．216 B． 96 C．81 D．165．已知等比数列{a n}的首项a1=1，公比q≠1，且a2，a1，a3成等差数列，则其前5项的和S5=（）A．31 B． 15 C． 11 D．56．已知某产品连续4个月的广告费用x i（千元）与销售额y i（万元），经过对这些数据的处理，得到如下数据信息：①x i=18，y i=14；②广告费用x和销售额y之间具有较强的线性相关关系；③回归直线方程=x+中的=0.8（用最小二乘法求得）．那么，当广告费用为6千元时，可预测销售额约为（）A． 3.5万元B． 4.7万元C． 4.9万元D． 6.5万元7．已知l，m为不同的直线，α，β为不同的平面，如果l⊂α，且m⊂β，那么下列命题中不正确的是（）A．“l⊥β”是“α⊥β”的充分不必要条件B．“l⊥m”是“l⊥β”的必要不充分条件C．“m∥α”是“l∥m”的充要条件D．“l⊥m”是“α⊥β”的既不充分也不必要条件8．在如图所示的棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，若点P是正方形BCC1B1的中心，则三棱锥P﹣AB1D1的体积等于（）A．B．C．D．9．某数学爱好者设计了一个食品商标，如果在该商标所在平面内建立如图所示的平面直角坐标系xOy，则商标的边缘轮廓线AOC恰是函数y=tan的图象，边缘轮廓线AEC恰是一段所对的圆心角为的圆弧．若在图中正方形ABCD内随机选取一点P，则点P落在商标区域内的概率等于（）A．B．C．D．10．（2018•泉州一模）如图，对于曲线Ψ所在平面内的点O，若存在以O为顶点的角α，使得α≥∠AOB对于曲线Ψ上的任意两个不同的点A、B恒成立，则称角α为曲线Ψ上的任意两个不同的点A、B 恒成立，则称角α为曲线Ψ的相对于点O的“界角”，并称其中最小的“界角”为曲线Ψ的相对于点O的“确界角”．已知曲线C：y=（其中e=2.71828…是自然对数的底数），O为坐标原点，则曲线C的相对于点O的“确界角”为（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分，请将答案填在答题卷的相应位置．11．（4分）（2018•泉州一模）（x2+sinx）dx= _________ ．12．（4分）（2018•泉州一模）若对满足不等式组的任意实数x，y，都有2x+y≥k成立，则实数k的最大值为_________ ．13．（4分）（2018•泉州一模）已知直线l过双曲线C：3x2﹣y2=9的右顶点，且与双曲线C的一条渐近线平行．若抛物线x2=2py（p＞0）的焦点恰好在直线l上，则p= _________ ．14．（4分）（2018•泉州一模）已知：△AOB中，∠AOB=90°，AO=h，OB=r，如图所示，先将△AOB绕AO所在直线旋转一周得到一个圆锥，再在该圆锥内旋转一个长宽都为，高DD 1=1的长方体CDEF﹣C1D1E1F1．若该长方体的顶点C，D，E，F都在圆锥的底面上，且顶点C1，D1，E1，F1都在圆锥的侧面上，则h+r的值至少应为_________ ．15．（4分）（2018•泉州一模）定义一种向量运算“⊗”：⊗=（，是任意的两上向量）．对于同一平面内的向量，，，，给出下列结论：①⊗=⊗；②λ（⊗）=（λ）⊗（λ∈R）；③（+）⊗=⊗+⊗④若是单位向量，则|⊗|≤||+1以上结论一定正确的是_________ ．（填上所有正确结论的序号）三、解答题：本大题共5小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．（13分）（2018•泉州一模）某校高三年段共有1000名学生，将其按专业发展取向分成普理、普文、艺体三类，如图是这三类的人数比例示意图．为开展某项调查，采用分层抽样的方法从这1000名学生中抽取一个容量为10的样本．（Ⅰ）试求出样本中各个不同专业取向的人数；（Ⅱ）在样本中随机抽取3人，并用ξ表示这3人中专业取向为艺体的人数．试求随机变量ξ的数学期望和方差．17．（13分）（2018•泉州一模）已知函数f（x）=2sin•cos﹣2cos2+（ω＞0），其图象与直线y=2的相邻两个公共点之间的距离为2π．（Ⅰ）若x∈[0，π]，试求出函数f（x）的单调递减区间；（Ⅱ）△ABC的三个内角A，B，C及其所对的边a，b，c满足条件：f（A）=0，a=2，且b，a，c成等比数列．试求在方向上的抽影n的值．18．（13分）（2018•泉州一模）已知M（0，），N（0，﹣），G （x，y），直线MG与NG的斜率之积等于﹣．（Ⅰ）求点G的轨迹Γ的方程；（Ⅱ）过点P（0，3）作一条与轨迹Γ相交的直线l．设交点为A，B．若点A，B均位于y轴的右侧，且=，请求出x轴上满足|QP|=|QB|的点Q的坐标．19．（13分）（2018•泉州一模）设函数f（x）=﹣x n+ax+b（a，b∈R，n∈N*），函数g（x）=sinx．（Ⅰ）当a=b=n=3时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）当a=b=1，n=2时，求函数h（x）=g（x）﹣f（x）的最小值；（Ⅲ）当n=4时，已知|f（x）|≤对任意x∈[﹣1，1]恒成立，且关于x的方程f（x）=g（x）有且只有两个实数根x1，x2．试证明：x1+x2＜0．20．（14分）（2018•泉州一模）几何特征与圆柱类似，底面为椭圆面的几何体叫做“椭圆柱”．图1所示的“椭圆柱”中，A′B′，AB 和O′，O分别是上、下底面两椭圆的长轴和中心，F1、F2是下底面椭圆的焦点．图2是图1“椭圆柱”的三视图及其尺寸，其中俯视图是长轴在一条水平线上的椭圆．（Ⅰ）若M，N分别是上、下底面椭圆的短轴端点，且位于平面AA′B′B的两侧．①求证：OM∥平面A′B′N；②求平面ABN与平面A′B′N所成锐二面角的余弦值；（Ⅱ）若点N是下底面椭圆上的动点，N′是点N在上底面的投影，且N′F1，N′F2与下底面所成的角分别为α、β，请先直观判断tan （α+β）的取值范围，再尝试证明你所给出的直观判断．本题有21、22、23三个选答题，每小题7分，请考生任选2个小题作答，满分7分．如果多做，则按所做的前两题记分．【选修4-2：矩阵与变换】21．（7分）（2018•泉州一模）在平面直角坐标系xOy中，线性变换σ将点（1，0）变换为（1，0），将点（0，1）变换为（1，2）．（Ⅰ）试写出线性变换σ对应的二阶矩阵A；（Ⅱ）求矩阵A的特征值及属于相应特征值的一个特征向量．【选修4-4：坐标系与参数方程】22．（7分）（2018•泉州一模）平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），圆C的方程为x2+y2=4．以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求直线l和圆C的极坐标方程；（Ⅱ）求直线l和圆C的交点的极坐标（要求极角θ∈[0，2π））【选修4-5：不等式选讲】23．（2018•泉州一模）设函数f（x）=+的最大值为M．（Ⅰ）求实数M的值；（Ⅱ）求关于x的不等式|x﹣1|+|x+2|≤M的解集．2014届泉州市普通中学高中毕业班质量检查理科数学试题参考解答及评分标准说明：一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则．二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．四、只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分50分．1．D 2．A 3．A 4．B 5．C 6．B 7．C 8．D 9．C 10．A二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题4分，满分20分.11．2312． 2 13. 6 14． 4 15．①④三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16．本小题主要考查概率、统计的基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力以及应用意识，考查必然与或然思想等．满分13分．解：（Ⅰ）由题意，可得该校普理生、普文生、艺体生的人数比例为2：2：1， …………2分所以10人的样本中普理生、普文生、艺体生的人数分别为4人，4人，2人.…………4分（Ⅱ）由题意，可知0,1,2ξ=， …………5分3082310567(0)12015C C P C ξ====，2182310567(1)12015C C P C ξ====，128231081(2)12015C C P C ξ====，所以随机变量ξ的分布列为…………9分18．本题主要考查直线、圆锥曲线的方程和性质，直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想等．满分13分．解：（Ⅰ）(0),(0),MG NG y y k x k x x x -=≠=≠ …………2分由已知有3(0)4y y x x x +⋅=-≠，化简得轨迹Γ的方程为221(0)43x y x +=≠. …5分（Ⅱ）设直线l 的方程为3(0)y kx k =+<，1122(,),(,)A x y B x y (120,0x x >>). …6分因为BA AP =，(0,3)P ，所以212x x =. ……………………………① …7分联立方程组223,3412y kx x y =+⎧⎨+=⎩，消去y 得22(43)24240k x kx +++=， ……（*）…8分所以1222443k x x k -++=………②， 1222434x x k ⋅=+………………③. …9分由①得212122()9x x x x =+，又由②③得，222()8124343k k k -++=，所以293,42k k ==±.因为120,0x x >>，所以12224403k k x x +=+>-，0k <，所以32k =-. …………11分当32k =-时，方程（*）可化为2320x x -+=，解得11x =，22x =，所以(2,0)B (3(1,)2A ). …12分法一：因为QP QB =，A 是PB 的中点，所以QA l ⊥，23AQ k =.设(,0)Q m ,则32213m =-，解得54m =-，所以Q 的坐标为5(,0)4-. …………13分法二：设(,0)Q m ,因为QP QB =，所以229(2)m m +=-，解得54m =-，所以Q 的坐标为5(,0)4-. …………13分19．本题主要考查函数、导数、函数的零点等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想、特殊与一般思想、有限与无限思想等．满分13分．解：（Ⅰ）当3a b n ===时，3()33f x x x =-++，2()33f x x '=-+. …1分解()0f x '>得11x -<<；解()0f x '<得11x x ><-或. …………2分故()f x 的单调递增区间是(1,1)-，单调递减区间是(,1)-∞-和(1,)+∞. …………4分另解：当3a b n ===时，3()33f x x x =-++，2()33f x x '=-+. …1分令()0f x '=解得1x =-或1x =. ………2分()f x '的符号变化规律如下表：…………3分故()f x 的单调递增区间是(1,1)-，单调递减区间是(,1)-∞-和(1,)+∞. …………4分（Ⅱ）当1a b ==且2n =时，2()sin 1h x x x x =+--，则()cos 21h x x x '=+-， ……5分令()()x h x ϕ'=，则()sin 2x x ϕ'=-+，……6分因为()sin 2x x ϕ'=-+的函数值恒为正数，所以()x ϕ在(,)-∞+∞上单调递增，又注意到(0)0ϕ=，所以，当0x > 时，()()(0)0x h x h ϕ''=>=，()h x 在(0,)+∞ 单调递增；当0x < 时，()()(0)0x h x h ϕ''=<=，()h x 在(,0)-∞ 单调递减 . ……8分所以函数()()()h x g x f x =-的最小值min ()(0)1h x h ==-. …………9分另解：当1a b ==且2n =时，2()sin 1h x x x x =+--，则()cos 21h x x x '=+-， ……5分令()cos 210h x x x '=+-=，得cos 21x x =-+. 考察函数cos y x =和21y x =-+的图象，可知：当0x < 时，函数cos y x =的图象恒在21y x =-+图象的下方，()0h x '<；当0x > 时，函数cos y x =的图象恒在21y x =-+图象的上方，()0h x '>.所以()h x 在(,0)-∞ 单调递减，在(0,)+∞ 单调递增， ……8分所以函数()()()h x g x f x =-的最小值min ()(0)1h x h ==-. …………9分（Ⅲ）因为对任意[1,1]x ∈-，都有1()2f x ≤，所以111(0),(1),(1)222f f f ≤≤-≤，即11,22111+,22111+,22b a b a b ⎧-≤≤⎪⎪⎪-≤-+≤⎨⎪⎪-≤--≤⎪⎩亦即 11,(1)2213+,(2)2213+,(3)22b a b a b ⎧-≤≤⎪⎪⎪≤≤⎨⎪⎪≤-≤⎪⎩由（2）+（3）得13(4)22b ≤≤，再由（1）（4），得12b =，将12b =代入（2）（3）得0a =. 当0a =，12b =时，41()2f x x =-+. …………10分因为[1,1]x ∈-，所以201x ≤≤，401x ≤≤，410x -≤-≤，4111222x -≤-+≤，所以41()2f x x =-+符合题意. …………11分设41()()()sin 2F x f x g x x x =-=-+-.因为1111(2)16sin(2)0,(1)1sin(1)sin1sin 022262F F π-=-+--<-=-+--=->-=，111(0)sin 00,(1)1sin1sin10222F F =->=-+-=--<， ……12分又因为已知方程()()f x g x =有且只有两个实数根12,x x （不妨设12x x <），所以有1221,01x x -<<-<<，故120x x +<. …………13分20．本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系、空间向量、三角函数等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力及运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想、函数与方程思想、特殊与一般思想及应用意识. 满分14分. 解：（Ⅰ）（i ）连结','O M O N ，∵''O O O ⊥底面，''O M O ⊂底面，∴''O O O M ⊥. …1分∵'''O M A B ⊥，'''O O AA B B ⊂平面，''''A B AA B B ⊂平面，''A B ''O O O =，∴'''O M AA B B ⊥平面. …2分类似可证得''ON AA B B ⊥平面，∴'//O M ON . 又∵'O M ON =， ∴四边形'ONO M 为平行四边形， ∴'OM O N . …3分又∵'','''OM A B N O N A B N ⊄⊂平面平面， ∴OM 平面''A B N . …………4分（ii ）由题意，可得'AA =，短轴长为2. …5分如图，以O 为原点，AB 所在直线为x 轴，'OO 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系O xyz -.则有2(1,0,0),(0,1,0),'(F N A B ，∴'(2,1,6),'(2,NA NB =--=-， …6分 ∵z 轴⊥平面ABN ，∴可取平面ABN 的一个法向量1(0,0,1)n =.设平面''A B N 的一个法向量为2(,,)n x y z =，则'20,'20n NA y n NB x y ⎧⋅=--+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，化简得0,x y =⎧⎪⎨-+=⎪⎩，取1z =，得2n =. …8分设平面ABN 与平面''A B N 所成锐二面角为θ.则12127cos 7||||n n nn θ⋅==⋅.…………9分（Ⅱ）当点N 为下底面上椭圆的短轴端点时，12NF NF ==1'tan tan NN NF αβ===3παβ==， 23παβ+=，tan()αβ+=当点N 为下底面上椭圆的长轴端点（如右顶点）时，11NF =，21NF =，1'tan NNNF α=2'tan NN NF β=tan tantan()1tan tan 5αβαβαβ++==--. 直观判断tan()αβ+的取值范围为[5-. （说明：直观判断可以不要求说明理由.） …10分 ∵'N 是点N 在上底面的投影，∴'N N ⊥上底面'O ，∵上下两底面互相平等， ∴'N N ⊥下底面O ，即'N N ⊥平面ABN ，∴12','N F N N F N ∠∠分别为12','N F N F 与下底面所成的角，即12','N F N N F N αβ∠=∠=. …11分又∵12,NF NF ⊂平面ABN ， ∴12','NN NF NN NF ⊥⊥. 设12,NF m NF n ==，则m n +=，且12''tan ,tan NN NN NF m NF nαβ==＝＝，∴)tan()66m n mn mn mn αβ+++===--. …12分∵m n +=，∴2)(2mn m m m =-=-+.11m -≤≤,∴ 12mn ≤≤. …13分∴564mn -≤-≤-，6mn ≤≤--.从而证得：tan()αβ+的取值范围为[]5-. …………14分21．（1）（本小题满分7分）选修4—2：矩阵与变换本小题主要考查矩阵与变换等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想.满分7分.解：（Ⅰ）设a b c d ⎛⎫=⎪⎝⎭A ，则1100a c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭A ，0112b d ⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭A ，所以1102⎛⎫=⎪⎝⎭A ； …………3分（Ⅱ）矩阵A 的特征多项式为11()(1)(2)02f λλλλλ--==---，............4 令()0f λ=，得矩阵A 的特征值为121,2λλ==. (5)对于特征值11λ=，解相应的线性方程组00,00x y x y ⋅-=⎧⎨⋅-=⎩，即0y =，令1x =，得该方程的一组非零解1,x y =⎧⎨=⎩，所以110⎛⎫= ⎪⎝⎭ξ是矩阵A 的属于特征值11λ=的一个特征向量. (6)对于特征值22λ=，解相应的线性方程组0,000x y x y -=⎧⎨⋅+⋅=⎩，即x y =，令1x =，得该方程的一组非零解1,1x y =⎧⎨=⎩，所以211⎛⎫= ⎪⎝⎭ξ是矩阵A 的属于特征值22λ=的一个特征向量. …………7分（2）（本小题满分7分）选修4—4:坐标系与参数方程本小题主要考查参数方程、极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想等.满分7分.解：（Ⅰ）直线l的普通方程为20x +-=， …………………………（*）将cos ,sin x y ρθρθ==代入（*），得cos sin 20ρθθ+-=，……1分化简得线l 的方程为cos()13πρθ-=， ……2分圆C 的极坐标方程为2ρ=. …………3分（Ⅱ）联立方程组2,cos()13ρπρθ=⎧⎪⎨-=⎪⎩，消去ρ得1cos()32πθ-=， ………4分因为[0,2)θπ∈，所以5333πππθ-≤-<，所以33ππθ-=-或33ππθ-=，………6分所以直线l 和圆C 的交点的极坐标为2(2,0),(2,)3π. …………7分（3）（本小题满分7分）选修4—5：不等式选讲本小题主要考查绝对值的含义、柯西不等式等基础知识，考查运算求解能力以及推理论证能力，考查函数与方程思想、数形结合思想等.满分7分. 解：（Ⅰ）()3f x ==+≤=，……2分当且仅当4x =时等号成立. ……3分故函数()f x 的最大值3M =.（Ⅱ）由绝对值三角不等式，可得12(1)(2)3x x x x -++≥--+=. ……4分所以不等式123x x -++≤的解x ，就是方程123x x -++=的解. ……5分由绝对值的几何意义，可得当且仅当21x -≤≤时，123x x -++=. ……6分所以不等式12x x M -++≤的解集为{|21}x x -≤≤. ……7分。

福建省泉州市2018届高三1月单科质量检查数学(理) Word版含答案

泉州市2018届高中毕业班单科质量检查理科数学试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）已知集合{}210A x x =-≥，{}210B x x =-≤，则A B = （A ）{}1x x ≥- （B ）{}1x x ≥ （C ）112x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭ （D ）112x x ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭【命题意图】本小题主要考查解不等式、交集等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，考查数学运算．【试题简析】因为1{|}2A x x =≥，{|11}B x x =-≤≤，所以1{|1}2A B x x =≤ ，故选D. 【错选原因】错选A ：误求成A B ；错选B ：集合B 解错，解成{}11或B x x x =≤-≥；错选C ：集合A 解错，解成1{|}2A x x =≤.【变式题源】（2015全国卷I·理1）已知集合{}1A x x =<，{}31x B x =<，则（A ）{|0}A B x x =< （B ）A B =R （C ）{|1}A B x x => （D ）A B =∅（2）已知z 为复数z 的共轭复数，()1i 2i z -=，则z =（A ）1i --（B ）1i -+（C ）1i - （D ）1i + 【命题意图】本小题主要考查复数的运算、共轭复数等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，考查数学运算．【试题简析】因为22(1)11(1)(1)i i i z i i i i +===-+--+，所以1z i =--，故选（A ）. 【错选原因】错选B ：求出1z i =-+，忘了求z ；错选C ：错解1i z =+；错选D ：错解1i z =-.【变式题源】（2015全国卷Ⅰ·文3）已知复数z 满足(z -1)i =1+i ，则z=A ．-2-iB ．-2+iC ．2-iD ．2+i（3）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S .若212a a -=，549S S -=，则50a =（A ）99 （B ）101 （C ） 2500 （D ）4592⨯【命题意图】本小题主要考查等差数列等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，考查数学运算．【试题简析】依题意得，212d a a =-=，5549a S S =-=，所以5054599a a d =+=，故选C.【错选原因】错选A ：n S 的公式记忆错误，导致计算错误；错选B ：n S 的公式记忆错误，导致计算错误；错选D ：误认为544S S a -=.【变式题源】（2017全国卷Ⅰ·理4）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，648S =，则{}n a 的公差为A ．1B ．2C ．4D ．8（4）已知点(2,1)在双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>的渐近线上，则E 的离心率等于（A（B（C（D【命题意图】本小题主要考查双曲线的渐近线、离心率等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，考查数学运算．【试题简析】由题意得，点(2,1)在直线b y x a =上，则12b a =，所以e == B. 【错选原因】错选A ：误认为222c a b =-导致错误；错选C ：误认为双曲线的焦点在y 轴上.错选D ：未判断双曲线的焦点位置. 【变式题源】（2013全国卷Ⅰ·理4）已知双曲线C ：2222=1x y a b -(a ＞0，b ＞0)C 的渐近线方程为（A ）y ＝14x ± （B ）y ＝13x ± （C ）y ＝12x ± （D ）y x =± （5）已知实数,x y 满足1,30,220,x x y x y ≥⎧⎪+-≤⎨⎪--≤⎩则z x y =-的最大值为（A ）-1 （B ）13（C ）1 （D ）3【命题意图】本小题主要考查线性规划等基础知识；考查运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想、函数与方程思想，考查直观想象、数学运算等．【试题简析】由已知条件，可行域如右图阴影部分.其中阴影区域三角形的三个顶点分别为54(1,0),(1,2),(,)33，把三个点分别代入z x y =-检验得：当1,0x y ==时，z 取得最大值1，故选D.【错选原因】错选A ：误把z -的最大值当成z x y =-的最大值；错选B ：误把z 的最小值当成z x y =-的最大值；错选C ：误把z -的最小值当成z x y =-的最大值.【变式题源】（2017全国卷Ⅰ·理14）设x ，y 满足约束条件21,21,0,x y x y x y +≤⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩则32z x y =-的最小值为．（6）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（A ）16π3 （B ）11π2 （C ）17π3 （D ） 35π6【命题意图】本小题主要考查三视图、空间几何体的体积，等基础知识，考查空间想像能力、运算求解能力、创新意识，考查化归与转化思想、数形结合思想，考查数学抽象、直观想象等．【试题简析】该几何体可以看成：在一个半球上叠加一个14圆锥，然后挖掉一个相同的14圆锥，所以该几何体的体积和半球的体积相等，因此321633V r ππ==，故选A. 【错选原因】错选B ：把该几何体可以看成：在一个半球上叠加一个14圆锥，且未挖掉一个相同的14圆锥. 错选C ：把该几何体可以看成：在一个半球上叠加一个12圆锥，且未挖掉一个相同的14圆锥. 错选D ：圆锥的公式记忆错误.【变式题源】（2016全国卷Ⅰ·理6）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径．若该几何体的体积是328π，则它的表面积是（A ）π17 （B ）π18（C ）π20 （D ）π28（7）《九章算术》中的“两鼠穿墙”问题为“今有垣厚五尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢？”可用如图所示的程序框图解决此类问题.现执行该程序框图，输入的d 的值为33，则输出的i 的值为（A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）7【命题意图】本小题主要考查程序框图，数列求和等基础知识；考查学生的运算求解能力及数据处理能力；考查化归与转化思想、分类与整合思想；考查数学抽象和数学运算等.【试题简析】解法一：0,0,1,1i S x y ====开始执行，然后11,11,2,2i S x y ==+==⋅⋅⋅ 111115,(124816)(1)33,32,2481632i S x y ==+++++++++<==，再执行一行，然后输出6i = 解法二：本题要解决的问题是数列求和的问题，11211111,2,,2(2)22n n n a a a n --=+=+⋅⋅⋅=+≥ 1233n a a a ++⋅⋅⋅+≥，解得n 的最小值为6.【错选原因】错选A ：可能把2x x =误当成2x x =来算；错选B ：当执行到5i =时，11113224816S =++++，学生估值失误，误以为会达到33或按四舍五入得到. 错选D ：可能先执行了1i i =+后才输出.【变式题源】（2015年全国卷Ⅱ·理8）右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”. 执行该程序框图，若输入a ，b 分别为14，18，则输出的a = （A ）0（B ）2 （C ）4 （D ）14（8）下列函数中，图象关于原点对称且单调递增的是（A ）()sin f x x x =-（B ）()()()ln 1ln 1f x x x =--+ （C ）()e e 2x xf x -+= （D ）()e 1e 1x x f x -=+【命题意图】本小题主要考查函数的图象与奇偶性、单调性、定义域等基础知识；考查学生的运算求解能力；考查数形结合思想、特殊与一般思想；考查数学抽象、直观想象和数学运算等.【试题简析】A 选项：()cos 10f x x '=-≤，不符合图象上升这个条件；B 选项：定义域不关于原点对称；C 选项函数图象先减后增，在0x =时函数取得最小值；故选D【错选原因】错选A ：符合图象关于原点对称这个条件；错选B ：有的学生可能会通过各种方法判断函数的单调性，却忽略了定义域不关于原点对称；错选C ：有的学生可能根据函数过(0,0)而错选此项.【变式题源】（2011年全国卷Ⅱ·理2）下列函数中，既是偶函数又在+∞（0，）单调递增的函数是（）（A ）3y x = （B ）||1y x =+ （C ）21y x =-+（D ）||2x y -=（9）已知 1.50.5a -=，6log 15b =，5log 16c =，则（A ）b c a << （B ）c b a << （C ）a b c << （D ）a c b <<【命题意图】本小题主要考查指对数函数等基础知识；考查学生的推理论证能力、运算求解能力以及数据处理能力；考查化归与转化思想、函数与方程思想；考查数学运算和数据分析.【试题简析】 1.5 1.5655log 15log 15log 16220.5-<<<<=【错选原因】错选B ：对数函数的换底公式不熟悉导致；错选D ：对数函数的换底公式不熟悉导致；错选C ：指数的运算不过关导致.【变式题源】（2013年全国卷Ⅱ·理8）设3log 6a =，5log 10b =，7log 14c =，则（A ）c b a >>（B ）b c a >> （C ）a c b >> （D ）a b c >>（10）已知1(,2)2P 是函数()sin()(0)f x A x ωϕω=+>图象的一个最高点,,B C 是与P 相邻的两个最低点．若7cos 25BPC ∠=，则()f x 的图象对称中心可以是（A ）()0,0 （B ）()1,0 （C ） ()2,0 （D ）()3,0【命题意图】本小题考查三角函数的图象和性质、解三角形、二倍角公式等基础知识；考查学生的抽象概括能力、运算求解能力以及数据处理能力；考查数形结合思想、化归与转化思想以及函数与方程思想；考查数学抽象、直观想象和数学分析等.【试题简析】如图，取BC 的中点D ，连结PD ，则4PD =，设BD x =，则PB PC =余弦定理可得，2222(2)cos x BPC =+-∠，解得3x =，57(,2),(,2)22B C ---，,BP CP 的中点都是()f x 图象的对称中心.故选C .【错选原因】错选A ：平时缺乏训练，只记得正弦函数的对称中心是(0,0)错选B ：误把最高点的2当成了周期；错选D ：这类同学可以求出函数的周期是6，但没注意到函数并未过原点.【变式题源】（2015年全国卷I·理8）函数()f x =cos()x ωϕ+的部分图象如图所示，则()f x 的单调递减区间为（A ）13(,),44k k k ππ-+∈Z （B ）13(2,2),44k k k ππ-+∈Z （C ）13(,),44k k k -+∈Z （D ）13(2,2),44kk k -+∈Z（11）已知直线l ：0mx y m -+=，圆C ：()224x a y -+=.若对任意[1,)a ∈+∞，存在l 被C 截得弦长为2，则实数m 的取值范围是（A）[ （B）(,)-∞+∞（C）[ （D）(,)-∞+∞【命题意图】本小题主要考查直线与圆、点到直线的距离、解三角形等基础知识；考查学生的抽象概括能力、运算求解能力以及数据处理能力；考查化归与转化思想、数形结合思想、必然与或然思想；考查数学抽象、数学建模、数学运算与数据分析等.【试题简析】解法一：由题意可得，圆心C 到l的距离d === 所以223(1)3m a =+-，又因为1a ≥，所以203m<≤，0m ≤<或0m <. 解法二：由题意可得，圆心C 到l的距离d =又l ：0mx y m -+=恒过定点()1,0A -，1a ≥，所以2AC ≥，另设直线l 的倾斜角为θ，所以sin (0,2AC θ=∈，所以l 的斜率tan [m θ=∈ .【错选原因】错选A ：在计算223[(1)3]m a =+-时，分子误当成1来计算；错选B ：分离变量时，误把223[(1)3]m a =+-写成22[(1)3]3a m +-=；错选D ：把最后的23m ≤计算成23m ≥【变式题源】（2016年全国卷Ⅱ·理4）圆2228130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-=的距离为1，则a =（A ）43-（B ）34- （C （D ）2（12）已知函数()222,0,e e ,0,x x x a x f x ax x ⎧++<⎪=⎨-+-≥⎪⎩恰有两个零点，则实数a 的取值范围是（A ）()0,1 （B ）()e,+∞ （C ）()()0,1e,+∞ （D ）()()20,1e ,+∞ 【命题意图】本小题主要考查二次函数的图象与性质、分段函数的图象、复合函数的图象以及零点问题等知识点；考查学生的抽象概括能力、运算求解能力以及应用意识；考查数形结合思想、分类与整合、函数与方程思想；考查数学抽象、数学运算和数据分析等.【试题简析】解法一：当0x =时，2()1e 0f x =--≠，故0x =不是函数()f x 的零点.当(0,)x ∈+∞时，()0f x =等价于2e e x a x+=，令2e e ()(0)x g x x x +=>，则22e e e ()x x x g x x--'=，当2x <时，()0g x '<，当2x =时，()0g x '=，当2x >时，()0g x '>；所以2()[e ,)g x ∈+∞，①当01a <<时，()f x 在(,0)-∞有两个零点，故()f x 在(0,)+∞没有零点，从而2e a <，所以01a <<；②当0a ≤或1a =时，()f x 在(,0)-∞有一个零点，故()f x 在(0,)+∞有一个零点，此时不合题意；③当1a >时，()f x 在(,0)-∞有没有零点，故()f x 在(0,)+∞有两个零点，从而2e a >.综上可得01a <<或2e a >.故选D.解法二：当[0,)x ∈+∞时，2()e e x f x ax =-+-，()e x f x a '=-+，①当01a <<时，()f x 在(,0)-∞有两个零点，又当[0,)x ∈+∞时，2max ()(ln 1)e 0f x a a =--<，故()f x 在[0,)+∞没有零点，所以01a <<； ②当0a ≤或1a =时，()f x 在(,0)-∞有一个零点，又当[0,)x ∈+∞时，()e 0x f x a '=-+<，()f x 在[0,)+∞上单调递减，故2()(0)1e 0f x f ≤=--<，不合题意；③当1a >时，()f x 在(,0)-∞有没有零点，此时()f x 在[0,)+∞上必有两个零点.当[0,)x ∈+∞时，当ln x a <时，()0f x '>，当ln x a =时，()0f x '=，当ln x a >时，()0f x '<，所以2ma x ()(ln )ln ef x f a a a a ==-+-，要使()f x 在[0,)+∞上必有两个零点，只需满足2ma x ()(ln )ln e 0f x f a a a a ==-+->. 令2()ln eg t t t t =--，则'()ln g t t =，当1t >时，'()0g x >，故()g t 单调递增.又2(e )0g =，故2ln e 0a a a -+->即2()(e )g a g >，解得2e a >.综上可得01a <<或2e a >.故选D.【错选原因】错选A ：只会做二次函数部分，无视另一种情况，即左右各有一个零点.错选B ：用特殊值0或1代入，发现不成立，故排除了其他三个选项得到；错选C ：可能根本没去做，综合了A 和B ，于是选C. 【变式题源】（2013年全国卷I·理11）已知函数f (x )＝220ln(1)0.x x x x x ⎧-+≤⎨+>⎩，，，若|f (x )|≥ax ，则a 的取值范围是( )（A ）(－∞，0] （B ）(－∞，1] （C ）[－2,1] （D ）[－2,0]二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

2018年福建省泉州市高考数学一模试卷(理科)

2018年福建省泉州市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 设集合A ={y|y =2x }，B ={x|y =log 2(1−x 2)}，则A ∩B =( ) A.{x|−1<x <1} B.{x|0<x <1} C.{x|x >1} D.⌀2. 设复数z 满足(2+i)z =2−i ，则|z|=( ) A.1 B.√2 C.2 D.43. 若√3sinx −cosx =1，则cos(2x −π3)=( ) A.−1B.−12C.12D.14. 已知点P 是边长为2的正三角形内任意一点，则P 到三个顶点的距离均大于1的概率是（） A.π6 B.√3π6C.6−π6D.6−√3π65. 若x ，y 满足约束条件{x ≥1x −y ≤0x +y −4≥0，则z =x 2+y 2的最小值为（）A.2B.2√2C.8D.106. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A.24+4√2B.24+8√2C.28+4√2D.28+8√27. (x +1x +y)7的展开式中，x 3y 2的系数为（） A.5B.21C.1052D.1058. 已知a =0.5−0.3，b =0.25−0.2，c =log 23，则（） A.c 0,|φ|<π2)在(0,π3)上单调，且f(π3)=f(π2)=−f(0)，则φ=()A.−π3B.−π6C.π6D.π310. 已知抛物线C:y2=4x的焦点为F，过F的直线l与C相交于M，N两点，线段MN的中点为P，若|MN|=8，则|PF|=()A.√2B.√3C.2D.2√211. 已知正四棱锥P−ABCD的所有顶点都在同一球面上，若球的半径为3，则该四棱锥的体积的最大值为()A.643B.32C.54D.6412. 设点P在直线2x−y−14=0上，点Q在曲线y=x+lnx上，线段PQ的中点为M，O为坐标原点，则|OM|的最小值为（）A.√10B.√412C.3√52D.5√22二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．已知向量a→与b→满足(a→−b→)⊥b→，且a→在b→方向上的投影为2，则|b→|=________．市质检后，小明总是想隐瞒自己的数学成绩，他的四个同学对此很好奇，聚在一起猜测：甲：“小明得90分．”乙：“小明得分不到95分．”丙：“小明最多得100分．”丁：“小明至少得90分．”若他们四人中只有一人猜对了，则猜对的人是________．已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0, b>0)的左、右焦点分别为F1，F2．过F1的直线与C的左、右两支分别交于A，B两点，且|AB|=|BF2|，cos∠BAF2=14，则C的离心率为________．在平面四边形ABCD中，∠ABC=120∘，BC=5，AB+AC=2BC，若△BCD的面积为10√3，则△ACD的周长的最小值为________．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．等比数列{a n}是递增数列，满足a2a3=32，且a1，9，a4成等差数列．(1)求{a n}的通项公式；(2)设b n=log2a na n，求数列{b n}的前n项和T n．如图（1），在四边形ABCD中，AD // BC，∠BAD=90∘，AB=2√3，BC=4，AD=6，E是AD上的点，AE=13AD．将△ABE沿BE折起到△A1BE的位置，且A1C=4，如图（2）．（1）求证：平面A1BE⊥平面BCDE；（2）若P为线段BE上任一点，求直线PA1与平面A1CD所成角的正弦值的最大值．已知椭圆E:x2a +y2b=1(a>b>0)的短轴长为2，且两个焦点和短轴的两个端点恰为一个正方形的四个顶点，过E的左焦点F且不与坐标轴垂直的直线l与E交于A，B两点，线段AB的垂直平分线m与x轴，y轴分别交于M，N两点，交线段AB于点C．(Ⅰ)求E的方程；(Ⅱ)设O为坐标原点，记△FCM的面积为S1，△OMN的面积为S2，且λ=S1S2，当λ∈[2, 5]时，求l的斜率的取值范围．某校对初三年的100名学生进行立定跳远的模拟测试，所得成绩如图所示．若立定跳远的成绩达到2.4米及以上，则评定为优秀；若成绩在[2.1, 2.4)（单位：米），则评定为良好；若成绩在[1.9, 2.1)（单位：米）则评定为及格；成绩未达到1.9米则评定为不及格．(Ⅰ)求本次立定跳远模拟测试中该校学生的优秀率并估算优秀学生的平均成绩；(Ⅱ)在本次立定跳远模拟测试成绩中成绩没达到2.0米的学生中抽取两位，记X为不及格的人数，写出X的分布列，并求X的数学期望；( III)若本次模拟考试的其中一位考试不及格的同学通过最后的训练，他的立定跳远成绩为{1.85, 1.86, 1.87, 1.88, 1.89, 1.90, 1.91, 1.92, 1.93, 1.94}中随机等可能的一个值，考试时有两种方案供学生选择：（1）一次测试，成绩达到1.9米评定为及格；（2）可测三次，取成绩最好的一次，成绩达到1.93米评定为及格；请帮该同学选择更容易及格的方案．已知函数f(x)=alnx −x 2+1． (Ⅰ)讨论f(x)的单调性； (Ⅱ)求证：ln222+ln332+⋯+lnn n 2<(n−1)(2n+1)4(n+1)(n ≥2)．请考生在第（22）、（23）两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做第一个题目计分，作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，曲线C 1:{x =tcosαy =tsinα (t 为参数，t ≠0)，其中0≤α<π．以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2:ρ=2cosθ，C 3:ρ=2√3sinθ． (Ⅰ)求C 2与C 3交点的直角坐标；(Ⅱ)若C 1与C 2相交于点A ，C 1与C 3相交于点B ，求△ABC 2面积的最大值． [选修4-5：不等式选讲]已知函数f(x)=|x −a|+|2x −a|．(Ⅰ)当a =2时，求不等式f(x)≥4的解集； (Ⅱ)求证：f(x)+f(−1x )≥6．参考答案与试题解析2018年福建省泉州市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.【答案】 B【考点】交集及其运算【解析】利用交集定义直接求解．【解答】集合A ={y|y =2x }={y|y >0}，B ={x|y =log 2(1−x 2)}={x|−1<x <1}， ∴ A ∩B ={x|0<x <1}． 2.【答案】 A【考点】复数的模【解析】推导出z =2−i2+i =−45i +35，由此能求出|z|．【解答】∵ (2+i)z =2−i ， ∴ z =2−i2+i =(2−i)2(2+i)(2−i)=4−4i+i 24−i =3−4i 4+1=−45i +35，∴ |z|=√(−45)2+(35)2=(1)故选：A ．3.【答案】 C【考点】二倍角的余弦公式两角和与差的正弦公式【解析】由题意利用两角和的正弦公式求得sin(x −π6)=12，再利用二倍角的余弦公式求得 cos(2x −π3)=1−2sin 2(x −π6) 的值．【解答】解：若√3sinx −cosx =1，则 2(√32sinx −12cosx)=1，即2sin(x −π6)=1，即 sin(x −π6)=12，所以cos(2x −π3)=1−2sin 2(x −π6)=1−2×14=12.故选C . 4.【答案】 D【考点】几何概型计算（与长度、角度、面积、体积有关的几何概型）【解析】求出满足条件的正三角形ABC 的面积，再求满足条件正三角形ABC 内的点到三角形的顶点A 、B 、C 的距离均不小于1的图形的面积，代入几何概型公式，结合对立事件的概率得答案．【解答】满足条件的正三角形ABC 如下图所示：边长AB =2，其中正三角形ABC 的面积S 三角形=12×22sin π3=√3；满足到正三角形ABC 的顶点A 、B 、C 的距离至少有一个小于1的平面区域为图中阴影部分所示，加起来是一个半径为1的半圆， ∴ S 阴影=12π×12=π2，∴ 使取到的点到三个顶点A 、B 、C 的距离都大于1的概率是： P =1π2√3=6−√3π6，5.【答案】 C【考点】简单线性规划【解析】画出满足条件的平面区域，求出角点的坐标，结合z =x 2+y 2的几何意义求出其最小值即可．【解答】画出满足条件的平面区域，如图示：由{x +y −4=0x −y =0，解得A(2, 2)， z =x 2+y 2的几何意义表示平面区域内的点到原点的距离的平方，故z =x 2+y 2=4+4=8， 6.【答案】 A【考点】由三视图求体积【解析】利用三视图判断几何体的形状，然后利用三视图的数据求解几何体的表面积即可．【解答】由题意可知：几何体的直观图如图：上部是四棱锥，下部是正方体，棱长为2，几何体的表面积：5×2×3+2×12×2×2+2×12×2×2√2=24+4√2．7.【答案】D【考点】二项式定理的应用【解析】7个因式中，有2个因式取y，4个因式取x，一个因式取1x，即可得到含x3y2的项．【解答】(x+1x +y)7表示7个因式(x+1x+y)的乘积，要得到x3y2的项，需有2个因式取y，4个因式取x，一个因式取1x，故x3y2的系数为C72⋅C54⋅C11=105，8.【答案】B【考点】对数值大小的比较【解析】利用指数函数与对数函数的单调性直接求解．【解答】∵a=0.5−0.3>0.50=1，b=0.25−0.2=0.5−0.4=20.4>20.3=0.5−0.3=a，c=log23>20.4=0.25−0.2=b，∴a<b<c．9.【答案】A【考点】三角函数的图象三角函数的周期性及其求法【解析】根据函数f(x)在区间(0, π3)上单调求得0<ω≤3，再由f(π3)=f(π2)=−f(0)求得f(x)的一条对称轴与一个对称中心，由此求得ω的值，再求φ的值．【解答】函数f(x)=sin(ωx+φ)，其中ω>0，|φ|<π2；若f(x)在区间(0, π3)上单调，π3−0≤T2=πω，解得0<ω≤3；又f(π3)=f(π2)=−f(0)，∴ x =π3+π22=5π12为f(x)=sin(ωx +φ)的一条对称轴，且(π3+02, 0)即(π6, 0)为f(x)=sin(ωx +φ)的一个对称中心，∴ T4=π2ω=5π12−π6=π4，解得ω=2∈(0, 3]， ∴ f(x)=sin(2x +φ)； ∴ f(π3)=f(π2)=−f(0)，∴ sin(2π3+φ)=sin(π+φ)=−sinφ， ∴ φ=−π3． 10.【答案】D【考点】直线与抛物线的位置关系【解析】根据抛物线方程可求得准线方程，进而根据抛物线的定义可知|MN|=x 1+x 2+p ，求解M 的坐标，利用距离公式求解即可．【解答】依题意可知p =2，焦点坐标为(1, 0)，过F 的直线l 设为y =k(x −1)．准线方程为x =−1，根据抛物线的定义，可知|MN|=x 1+1+x 2+1=(8) 可得x 1+x 2=(6)M 的横坐标为：3，线段MN 的中点为P 的横坐标为3，由{y =k(x −1)y 2=4x ，可得：k 2x 2−(2k 2+4)x +k 2=0，可得x 1+x 2=6=2k 2+4k 2，解得k =±1，M 的纵坐标±2，则|PF|=√(3−1)2+(±2)2=2√2 11.【答案】 A【考点】利用导数研究函数的最值球内接多面体【解析】设下底面的边长为a ，四棱锥的高为ℎ，可得a 2=12ℎ−2ℎ2，得出四棱锥的体积关于a 的函数V(ℎ)，求出V 的极大值点，计算四棱锥的体积的最大值．【解答】解：正四棱锥P −ABCD 的所有顶点都在同一球面上，若球的半径为3，设下底面的边长为a ，四棱锥的高为ℎ，则：下底面的中心O 1到A 的距离O 1A =√22a ，可得OO 12+O 1A 2=OA 2，即(√2a2)2+(ℎ−3)2=32，可得a 2=12ℎ−2ℎ2，则该四棱锥的体积V =13×a 2ℎ=13(12ℎ−2ℎ2)ℎ，令f(ℎ)=4ℎ2−23ℎ3，f′(ℎ)=8ℎ−2ℎ2，当ℎ∈(0, 4)时，f(ℎ)单调递增，ℎ∈(4, +∞)时，f(ℎ)单调递减， ∴ ℎ=4时，则该四棱锥的体积的最大值为4×42−23×43=643.故选A . 12.【答案】 C【考点】函数与方程的综合运用利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】画出图象，分析|OM|的最小值的位置，然后求解即可．【解答】点P 在直线2x −y −14=0上，点Q 在曲线y =x +lnx 上，利用函数的图象如图：作出直线2x −y −14=0的平行线与曲线相切，则切点为Q ，此时PQ 的中点在蓝色直线上，线段PQ 的中点为M ，O 为坐标原点，则|OM|的最小值就是原点与蓝色直线的距离．设切点为：(m, n)，则：y′=1+1x ，切线的斜率为：1+1m =2，解得m =1，切点坐标(1, 1)，切线方程为：y −1=2(x −1)，即2x −y −1=(0)到2x −y −1=0与2x −y −14=0等距离的直线方程为：2x −y −152=(0)所以|OM|的最小值为：152√22+12=3√52．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．【答案】 2【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系【解析】根据向量的垂直可得即a →⋅b →=b →2，再根据投影的定义可得a →∗b →|b →|=|b →|2|b →|=|b →|=2【解答】∵ 向量a →与b →满足(a →−b →)⊥b →， ∴ (a →−b →)⋅b →=0，即a →⋅b →=b →2，∵ a →在b →方向上的投影为2，∴a →∗b →|b →|=|b →|2|b →|=|b →|=2，【答案】丁【考点】进行简单的合情推理【解析】分别假设猜对的人是甲、乙、丙、丁，分析题设条件，能求出猜对的人是谁．【解答】假设甲猜对了，则乙、丙和丁都猜对了，与题意不符，故甲没猜对；假设乙猜对了，则丙也猜对了，与题意不符，故乙没猜对；假设丙猜对了，则甲、乙都猜对了，与题意不符，故丙没猜对；假设丁猜对了，甲、乙、丙都没猜对，则小明的数学成绩超过100分，满足题意．综上，若他们四人中只有一人猜对了，则猜对的人是丁．【答案】 √6【考点】双曲线的特性【解析】设|AB|=|BF 2|=n ，|BF 1|=m ，根据双曲线的定义和|AB|=|BF 2|可得|AF 2|=4a ，|AF 1|=2a ，再根据余弦定理可得c 2=6a 2，从而求出e 的值．【解答】设|AB|=|BF 2|=n ，|BF 1|=m ， ∴ m −n =2a ，∵ |AF 2|−|AF 1|=2a ，∴ |AF 2|=|AF 1|+2a =2a +|BF 1|−|AB|=2a +m −n =4a ， ∴ |AF 1|=2a ∵ cos∠BAF 2=14， ∴ cos∠F 1AF 2=−14，由余弦定理可得cos∠F 1AF 2=−14 =(4a)2+(2a)2−4c 22∗4a∗2a，整理可得c 2=6a 2， ∴ c =√6a ， ∴ e =ca =√6，【答案】 20【考点】三角形求面积【解析】由题意，根据余弦定理求出AB 、AC 的长度，以B 为坐标原点，BA 所在直线为x 轴，建立直角坐标系，求得A ，C 的坐标，直线BC 的方程，由面积公式可得D 到直线BC 的距离，可得D 所在直线的方程，设A 关于直线的对称点A ′，运用中点坐标公式和两直线垂直的条件：斜率之积为−1，再由三点共线取得最小值，即可得到所求最小值．【解答】 △ABC 中，AC 2=BC 2+AB 2−2BC ⋅ABcos120∘， ∴ AC 2=25+AB 2+5AB ，① 又AB +AC =2BC =10，②；由①②联立解得AB =3，AC =7；以B 为坐标原点，BA 所在直线为x 轴，建立直角坐标系，可得A(−3, 0)，B(0, 0)，C(52, 5√32)，由△BCD 的面积为10√3，设D 到直线BC:y =√3x 的距离为d ，可得12d ⋅5=10√3，解得d =4√3，设D(m, n)，可得d =√3m−n|1+3=4√3，由D 在直线BC 的上方，可得D 在直线√3x −y +8√3=0上，设A(−3, 0)关于直线√3x −y +8√3=0的对称点为A ′(s, t)，可得t s+3=−√33，s−32⋅√3−t2+8√3=0，解得s =−212，t =5√32，即A ′(−212, 5√32)，可得AD +CD ≥A ′C =5+212=13，即△ACD 的周长的最小值为13+7=(20)三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．【答案】解：(1)设等比数列的公比为q(q >1)，由已知得{a 12q 3=32,a 1+a 4=a 1+a 1q 3=18,解得{a 1=2q =2 或{a 1=16q =12（不合题意，舍去），所以{a n }的通项公式为a n =2n ． (2)由(1)得b n =log 2a n a n=log 22n 2n=n 2n，则T n =1×121+2×122+3×123+ ⋯+(n −1)×12n−1+n ×12n ，所以12T n =1×122+2×123+3×124+ ⋯+(n −1)×12n +n ×12n+1，将以上两式相减得12T n =12+122+123+⋯+12n −n2n+1 =12(1−12n )1−12−n n+1 =1−12n−n 2n+1，整理得T n =2−n+22n．所以数列{b n }的前n 项和T n =2−n+22n．【考点】等差中项数列的求和等比数列的通项公式【解析】(Ⅰ)利用已知条件求出数列的首项与公比，然后求{a n }的通项公式； (Ⅱ)化简b n =log 2a n a n，利用错位相减法，求解数列的和即可．【解答】解：(1)设等比数列的公比为q(q >1)，由已知得{a 12q 3=32,a 1+a 4=a 1+a 1q 3=18,解得{a 1=2q =2 或{a 1=16q =12（不合题意，舍去），所以{a n }的通项公式为a n =2n ． (2)由(1)得b n =log 2a n a n=log 22n 2n=n 2n，则T n =1×121+2×122+3×123+ ⋯+(n −1)×12n−1+n ×12n ，所以12T n =1×12+2×12+3×12+ ⋯+(n −1)×12n +n ×12n+1，将以上两式相减得12T n =12+122+123+ ⋯+12n −n2n+1 =12(1−12n )1−12−n 2n+1=1−12n −n2n+1，整理得T n =2−n+22n．所以数列{b n }的前n 项和T n =2−n+22n．【答案】（1）证明：取BE 的中点O ，连结A 1O ，CO ，CE ．在四边形ABCD 中，AD // BC ，∠BAD =90∘，AB =2√3，BC =4，AD =6，AE =13AD ，所以A 1E =AE =2，BE =DE =4．所以四边形BCDE 为菱形，且△BCE 为等边三角形．又因为BO =EO ，所以CO ⊥BE ．因为A 1O =12BE =2，CO =2√3，A 1C =4，所以A 1O 2+CO 2=A 1C 2，即CO ⊥A 1O ．又因为A 1O ∩BE =O ，所以CO ⊥平面A 1BE ．又因为CO ⊂平面BCDE ，所以平面A 1BE ⊥平面BCDE ．（2）解：以O 为原点，向量OB →,OC →的方向分别为x 轴、y 轴的正方向建立空间直角坐标系O −xyz （如图），则C(0,2√3,0)，D(−4,2√3,0)，A 1(−1,0,√3)．设P(t, 0, 0)(−2≤t ≤2)，所以PA 1→=(−1−t,0,√3)，CD →=(−4,0,0)，A 1C →=(1,2√3,−√3)．设n →=(x, y, z)是平面A 1CD 的一个法向量，则{n →⋅CD →=0,n →⋅A 1C →=0, 即{−4x =0,x +2√3y −√3z =0. 令y =1，得n →=(0, 1, 2)．设直线PA 1与平面A 1CD 所成角为θ，则sinθ=|cos⟨PA 1→,n →⟩|=√3√(t+1)2+3×√5≤2√55，当且仅当t =−1时，即点P 的坐标为(−1, 0, 0)时等号成立，所以直线PA 1与平面A 1CD 所成角的正弦值的最大值为2√55．【考点】平面与平面垂直直线与平面所成的角【解析】此题暂无解析【解答】（1）证明：取BE 的中点O ，连结A 1O ，CO ，CE ．在四边形ABCD 中，AD // BC ，∠BAD =90∘，AB =2√3，BC =4，AD =6，AE =13AD ，所以A 1E =AE =2，BE =DE =4．所以四边形BCDE 为菱形，且△BCE 为等边三角形．又因为BO =EO ，所以CO ⊥BE ．因为A 1O =12BE =2，CO =2√3，A 1C =4，所以A 1O 2+CO 2=A 1C 2，即CO ⊥A 1O ．又因为A 1O ∩BE =O ，所以CO ⊥平面A 1BE ．又因为CO ⊂平面BCDE ，所以平面A 1BE ⊥平面BCDE ．（2）解：以O 为原点，向量OB →,OC →的方向分别为x 轴、y 轴的正方向建立空间直角坐标系O −xyz （如图），则C(0,2√3,0)，D(−4,2√3,0)，A 1(−1,0,√3)．设P(t, 0, 0)(−2≤t ≤2)，所以PA 1→=(−1−t,0,√3)，CD →=(−4,0,0)，A 1C →=(1,2√3,−√3)．设n →=(x, y, z)是平面A 1CD 的一个法向量，则{n →⋅CD →=0,n →⋅A 1C →=0, 即{−4x =0,x +2√3y −√3z =0. 令y =1，得n →=(0, 1, 2)．设直线PA 1与平面A 1CD 所成角为θ，则sinθ=|cos⟨PA 1→,n →⟩|=√3√(t+1)2+3×5≤2√55，当且仅当t =−1时，即点P 的坐标为(−1, 0, 0)时等号成立，所以直线PA 1与平面A 1CD 所成角的正弦值的最大值为2√55．【答案】（本小题满分1(Ⅰ)由题意可得2b =2，b =1，半焦距c =1，所以a 2=b 2+c 2=2，所以E 的方程x 22+y 2=1．(Ⅱ)由(Ⅰ)得F(−1, 0)，设直线l 的方程为y =k(x +1)，A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)．联立方程组{y =k(x +1)x 22+y 2=1 消去y ，得(2k 2+1)x 2+4k 2x +2k 2−2=0，由韦达定理得x 1+x 2=−4k 22k 2+1，x 1x 2=2k 2−22k 2+1，所以点C 的坐标为(−2k 22k 2+1,k2k 2+1)，可得直线m 的方程为y −k 2k 2+1=−1k(x +2k 22k 2+1)，易得M(−k 22k +1,0)，N(0,−k2k 2+1)，所以S 1=12(−k 22k 2+1+1)|k2k 2+1|=|k|(k 2+1)2(2k 2+1)2， S 2=12∗k 22k 2+1∗|k|2k 2+1=|k 3|2(2k 2+1)2， λ=S1S 2=k 2+1k 2=1+1k 2∈[2,5brack ，所以k ∈(−1,−12)∪(12,1)，即l 的斜率的取值范围为(−1,−12)∪(12,1)．【考点】椭圆的标准方程椭圆的定义椭圆的应用直线与椭圆的位置关系【解析】(Ⅰ)利用已知条件求出椭圆的几何量，然后求E 的方程；(Ⅱ)设直线l 的方程为y =k(x +1)，A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)联立{y =k(x +1)x 22+y 2=1消去y ，得(2k 2+1)x 2+4k 2x +2k 2−2=0，利用韦达定理，求出C 的坐标，求出MN 的坐标，然后求解面积之比，推出结果．【解答】（本小题满分1(Ⅰ)由题意可得2b =2，b =1，半焦距c =1，所以a 2=b 2+c 2=2，所以E 的方程x 22+y 2=1．(Ⅱ)由(Ⅰ)得F(−1, 0)，设直线l 的方程为y =k(x +1)，A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)．联立方程组{y =k(x +1)x 22+y 2=1消去y ，得(2k 2+1)x 2+4k 2x +2k 2−2=0，由韦达定理得x 1+x 2=−4k 22k 2+1，x 1x 2=2k 2−22k 2+1，所以点C 的坐标为(−2k 22k 2+1,k2k 2+1)，可得直线m 的方程为y −k 2k 2+1=−1k (x +2k 22k 2+1)，易得M(−k 22k 2+1,0)，N(0,−k2k 2+1)，所以S 1=12(−k 22k 2+1+1)|k2k 2+1|=|k|(k 2+1)2(2k 2+1)2， S 2=12∗k 22k 2+1∗|k|2k 2+1=|k 3|2(2k 2+1)2， λ=S 1S 2=k 2+1k 2=1+1k 2∈[2,5brack ，所以k ∈(−1,−12)∪(12,1)，即l 的斜率的取值范围为(−1,−12)∪(12,1)．【答案】(Ⅰ)根据本次模拟测试成绩的分布直方图，优秀率为0.1×(0.6+0.8+1.2)=0.26， 26位优秀学生的平均成绩为126×(12×2.45+8×2.55+6×2.65)=2.527≈2.53． (Ⅱ)本次立定跳远模拟测试成绩中成绩没达到2.0米的学生共：0.1×(0.2+0.6)×100=8位，其中不及格的有0.1×0.2×100=2位，则X 可能的取值为0，1，2， P(X =0)=C 62C 82=1528，P(X =1)=C 21C61C 82=1228，P(X =2)=C 22C 82=128，所以X 的分布列为E(X)=0×1528+1×1228+2×128=12．( III)一次测试，该同学的成绩要达到1.9米的概率为0.5，若测试三次，取成绩最好的一次，三次成绩均未达到1.93米的概率为0.83=0.512，则采用这种方案学生要达到及格的概率为1−0.512=0.488<0.5，所以该同学应该选择一次测试．【考点】离散型随机变量及其分布列离散型随机变量的期望与方差【解析】(Ⅰ)根据本次模拟测试成绩的分布直方图，优秀率为0.1×(0.6+0.8+1.2)，利用平均成绩的计算方法可得：26位优秀学生的平均成绩．(Ⅱ)本次立定跳远模拟测试成绩中成绩没达到2.0米的学生共：0.1×(0.2+0.6)×100=8位，其中不及格的有0.1×0.2×100=2位，则X 可能的取值为0，1，2，利用超几何分布列的计算公式即可得出．( III)一次测试，该同学的成绩要达到1.9米的概率为0.(5)若测试三次，取成绩最好的一次，利用相互独立概率计算公式可得：三次成绩均未达到1.93米的概率．再利用相互对立事件概率计算公式可得：采用这种方案学生要达到及格的概率．【解答】(Ⅰ)根据本次模拟测试成绩的分布直方图，优秀率为0.1×(0.6+0.8+1.2)=0.26， 26位优秀学生的平均成绩为126×(12×2.45+8×2.55+6×2.65)=2.527≈2.53．(Ⅱ)本次立定跳远模拟测试成绩中成绩没达到2.0米的学生共：0.1×(0.2+ 0.6)×100=8位，其中不及格的有0.1×0.2×100=2位，则X可能的取值为0，1，2，P(X=0)=C62C82=1528，P(X=1)=C21C61C82=1228，P(X=2)=C22C82=128，所以X的分布列为E(X)=0×1528+1×1228+2×128=12．( III)一次测试，该同学的成绩要达到1.9米的概率为0.5，若测试三次，取成绩最好的一次，三次成绩均未达到1.93米的概率为0.83=0.512，则采用这种方案学生要达到及格的概率为1−0.512=0.488<0.5，所以该同学应该选择一次测试．【答案】（本小题满分1（1）f(x)的定义域为(0, +∞)，f′(x)=ax −2x=a−2x2x．①当a≤0时，f′(x)≤0，f(x)在(0, +∞)上单调递减；②当a>0时，由f′(x)<0解得x>√a2；由f′(x)>0解得0<x<√a2；所以f(x)在(0,√a2)上单调递增，在(√a2,+∞)上单调递减．（2）证明：由(Ⅰ)得当a=2时，f(x)max=f(1)=21n1−1+1=0，即21nx−x2+1≤0当且仅当x=1时等号成立．所以21nn−n2+1<0(n≥2)，lnn<n2−12(n≥2)，lnn n2<12(1−1n2)<12[1−1n(n+1)]=12−12(1n−1n+1)(n≥2)，所以ln222+ln332+⋯+lnnn2<n−12−12(12−13+13−14+⋯+1n−1n+1)=n−12−12(12−1n+1)，即ln222+ln332+⋯+lnnn2<(n−1)(2n+1)4(n+1)．【考点】利用导数研究函数的单调性利用导数研究函数的最值【解析】(Ⅰ)求出f(x)的定义域为(0, +∞)，f′(x)=ax −2x=a−2x2x．通过①当a≤0时，②当a>0时，判断导函数的符号，推出函数的单调性即可；(Ⅱ)由(Ⅰ)得当a=2时，f(x)max=f(1)=0，推出lnn<n2−12(n≥2)，利用放缩法得到lnnn 2<12−12(1n −1n+1)(n ≥2)，然后证明即可．【解答】（本小题满分1（1）f(x)的定义域为(0, +∞)，f ′(x)=ax−2x =a−2x 2x．①当a ≤0时，f ′(x)≤0，f(x)在(0, +∞)上单调递减；②当a >0时，由f ′(x)<0解得x >√a 2；由f ′(x)>0解得0<x <√a2；所以f(x)在(0,√a 2)上单调递增，在(√a2,+∞)上单调递减．（2）证明：由(Ⅰ)得当a =2时，f(x)max =f(1)=21n1−1+1=0，即21nx −x 2+1≤0当且仅当x =1时等号成立．所以21nn −n 2+1<0(n ≥2)，lnn <n 2−12(n ≥2)，lnn n 2<12(1−1n 2)<12[1−1n(n+1)]=12−12(1n −1n+1)(n ≥2)，所以ln222+ln332+⋯+lnn n 2<n−12−12(12−13+13−14+⋯+1n −1n+1)=n−12−12(12−1n+1)，即ln222+ln332+⋯+lnn n 2<(n−1)(2n+1)4(n+1)．请考生在第（22）、（23）两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做第一个题目计分，作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．[选修4-4：坐标系与参数方程]【答案】（本小题满分1选修4−4：坐标系与参数方程 (Ⅰ)∵ 曲线C 2:ρ=2cosθ，∴ 曲线C 2的直角坐标方程为x 2+y 2−2x =0， ∵ C 3:ρ=2√3sinθ．∴ 曲线C 3的直角坐标方程为x 2+y 2−2√3y =0．联立{x 2+y 2−2x =0x 2+y 2−2√3y =0 ，解得{x =0y =0 或{x =32y =√32 ∴ C 2与C 3交点的直角坐标为(0, 0)和(32,√32)．(Ⅱ)曲线C 1的极坐标方程为θ=α(ρ∈R, ρ≠0)，其中0≤α<π． ∴ A 的极坐标为(2cosα, α)，B 的极坐标为(2√3sinα,α)， ∴ |AB|=|2cosα−2√3sinα|，又C 2到直线C 1的距离为sinα， ∴ S △ABC 2=|2cosα−2√3sinα|∗sinα2=|2sin(2α+π3)−√3|2，∴ 当2α+π3=3π2，即α=7π12时，S △ABC 2取得最大值，最大值为1+√32．【考点】圆的极坐标方程参数方程与普通方程的互化【解析】(Ⅰ)分别求出曲线C 2和曲线C 3的直角坐标方程，联立方程组能求出C 2与C 3交点的直角坐标．(Ⅱ)曲线C 1的极坐标方程为θ=α(ρ∈R, ρ≠0)，其中0≤α<π，求出A 的极坐标为(2cosα, α)，B 的极坐标为(2√3sinα,α)，从而|AB|=|2cosα−2√3sinα|，再由C 2到直线C 1的距离为sinα，能求出△ABC 2面积的最大值．【解答】（本小题满分1选修4−4：坐标系与参数方程 (Ⅰ)∵ 曲线C 2:ρ=2cosθ，∴ 曲线C 2的直角坐标方程为x 2+y 2−2x =0， ∵ C 3:ρ=2√3sinθ．∴ 曲线C 3的直角坐标方程为x 2+y 2−2√3y =0．联立{x 2+y 2−2x =0x 2+y 2−2√3y =0 ，解得{x =0y =0 或{x =32y =√32 ∴ C 2与C 3交点的直角坐标为(0, 0)和(32,√32)．(Ⅱ)曲线C 1的极坐标方程为θ=α(ρ∈R, ρ≠0)，其中0≤α<π．∴ A 的极坐标为(2cosα, α)，B 的极坐标为(2√3sinα,α)， ∴ |AB|=|2cosα−2√3sinα|，又C 2到直线C 1的距离为sinα， ∴ S △ABC 2=|2cosα−2√3sinα|∗sinα2=|2sin(2α+π3)−√3|2，∴ 当2α+π3=3π2，即α=7π12时，S △ABC 2取得最大值，最大值为1+√32． [选修4-5：不等式选讲]【答案】（本小题满分1选修4−5：不等式选讲(Ⅰ)当a =2时，f(x)=|x −2|+|2x −2|．①当x ≤1时，f(x)=|x −2|+|2x −2|=2−x +2−2x =4−3x ≥4，得x ≤0； ②当1<x <2时，f(x)=|x −2|+|2x −2|=2−x +2x −2=x ≥4，无解； ③当x ≥2时，f(x)=|x −2|+|2x −2|=x −2+2x −2=3x −4≥4，得x ≥83；综上所述，不等式的解集为{x|x ≤0或x ≥83}．(Ⅱ)f(x)+f(−1x )=|x −a|+|2x −a|+|−1x −a|+|−2x −a| =(|x −a|+|−1x −a|)+(|2x −a|+|−2x−a|)≥|(x −a)−(−1x −a)|+|(2x −a)−(−2x−a)|=|x +1x |+|2x +2x |=|x|+1|x|+|2x|+2|x|≥6（当且仅当x =±1时取等号），命题得证．【考点】绝对值不等式的解法与证明不等式的证明【解析】(Ⅰ)当a=2时，f(x)=|x−2|+|2x−2|．通过①当x≤1时，②当1<x<2时，③当x≥2时，去掉绝对值符号求解不等式的解集即可．(Ⅱ)化简f(x)+f(−1x)，利用绝对值的几何意义，以及基本不等式转化求解证明即可．【解答】（本小题满分1选修4−5：不等式选讲(Ⅰ)当a=2时，f(x)=|x−2|+|2x−2|．①当x≤1时，f(x)=|x−2|+|2x−2|=2−x+2−2x=4−3x≥4，得x≤0；②当1<x<2时，f(x)=|x−2|+|2x−2|=2−x+2x−2=x≥4，无解；③当x≥2时，f(x)=|x−2|+|2x−2|=x−2+2x−2=3x−4≥4，得x≥83；综上所述，不等式的解集为{x|x≤0或x≥83}．(Ⅱ)f(x)+f(−1x )=|x−a|+|2x−a|+|−1x−a|+|−2x−a|=(|x−a|+|−1x−a|)+(|2x−a|+|−2x−a|)≥|(x−a)−(−1x−a)|+|(2x−a)−(−2x−a)|=|x+1x |+|2x+2x|=|x|+1|x|+|2x|+2|x|≥6（当且仅当x=±1时取等号），命题得证．。

高三数学-2018年泉州市高中毕业班质量检测数学(理科)

2018年泉州市高中毕业班质量检测数学（理科）试题参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么球的表面积公式 ()()()P A B P A P B +=+24πS R =如果事件A 、B 相互独立，那么其中R 表示球的半径()()()P A B P A P B ⋅=⋅球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那34π3V R =么在n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率其中R 表示球的半径()(1)k kn k n n P k C p p -=-第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本题共有12个小题，每小题5分，共60分;在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，把正确的代号填在答题卡指定位置上1、tan(2)4y x π=+的最小正周期是（） ....842A B C D ππππ2、复数61)i -（的值是（）A. 8iB. – 8iC. 8D. – 83、等差数列 {a n }的前n 项和为S n ，若a 3+a 17=10,则S 19的值为（） A. 55 B.95 C. 100 D. 1904、椭圆221y x m+=的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m 的值为（） A ．41 B ．21C ．2D ．4 5、函数)1(log 2-=x y 的反函数1()fx -的图像是（）A B6、已知,a b R ∈，下列命题正确的是（）A.若a >| b |,则 a 2>b 2B. 若a > b ,则 a 2>b 2C. 若| a |> b ,则 a 2>b 2D.22||,a b a b ≠≠若则7、关于直线a 、b 、l 与平面M 、N ，下面命题中正确的是（） A.若a //M ,b //M , 则a //b B. 若a //M ,b ⊥a , 则b ⊥M C.若,,,,a M b M l a l b l M⊂⊂⊥⊥⊥且则 D. 若,//,a M a N M N ⊥⊥则8、将4张互不相同的彩色照片与3张互不相同的黑白照片排成一排，任何两张黑白照片都不相邻的不同排法的种数是（）A ．3444A A B ．3344A A C ．3544C A D ．3544A A9、已知O 、A 、M 、B 为平面上四点，满足(1),12OM OB OA λλλ=+-∈（，），则（） A. 点M 在线段AB 上 B. 点B 在线段AM 上C. 点A 在线段BM 上D. O 、A 、M 、B 四点共线 10、若函数等于则都有对任意实数)4(),4()4(,)sin(3)(πππϕωf x f x f x x x f -=++= A. 0 B. 3 C. -3 D. 3或-311、过点P （-1，0）作圆C:221)(2)1x y -+-=（的两切线，设两切点为A 、B,圆心为C ，则过A 、B 、C 的圆的方程是（）A. 22(1)2x y +-=B. 22(1)1x y +-=C. 22(1)4x y -+=D.22(1)1x y -+=12.若函数()(01)xxf x ka a a a -=+>≠且既是奇函数，又是增函数，那么)(log )(k x x g a +=的图象是( )第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分,把答案填在答题卡对应题号的横线上.13、商场在某天的促销活动中，对上午８时至下午１３时的销售额进行统计，其频率分布直方图如右图所示．已知８时至９时的销售额为２.５万元，则１０时至１１时的销售额为万元．14、点（2，3）与点（3，1）在直线x-y-1=0的侧（填写同或异）15、已知球面上有三点,,A B C ，6AB BC CA ===，球心到平面ABC 的距离为2，则球的半径为16、“设曲线C 的方程为()y f x =，若lim x yk x→∞=，且lim()x y kx b →∞-=，则y kx b =+是曲线C 的渐近线”.根据以上定义可得曲线121y x x=+-的一条渐近线方程为 . .三、解答题：(本大题共6小题，共74分)解答应写出文字说明证明过程或推演步骤17、甲、乙两人独立参加就业应聘考试，根据两人专业知识、应试表现、仪容仪表等综合因素考虑，两人合格率分别为2132、. （Ⅰ）两人恰好有一人合格的概率；8 9 10 11 12 130.400.250.150.10时间（Ⅱ）求合格人数ξ的数学期望. 18、（本小题满分12分）在⊿ABC 中，角A B C 、、的对边分别是a b c 、、，已知2cos 22A b cc+=．（Ⅰ）试判断⊿ABC 的形状；（Ⅱ）若3,9,AB BC AB AC ⋅=-⋅=求角B 的大小．19、正方体1111ABCD A B C D -中，11AA =，M 为AD 上一点，13DM AD =, N 为1BD 上一点，1:1:3D N NB =，MCBD P =，（Ⅰ）求证：NP ⊥平面ABCD ；（Ⅱ）求平面PNC 与平面11CC D D 所成的角.20、某花木场存放装满泥土的花盆，每堆最底层(第一层)摆放呈长20只，宽14只的矩形，上面各层均比它的下一层长宽各少一只．已知每只装满泥土的花盆的重量为2kg ，为使堆放稳定，每两层之间放有一块耐压的轻质薄板(重量忽略不计)．每只花盆的最大抗压力为8kg ，所有花盆不破碎、不变形．（Ⅰ）求第n 层(自下而上，下同)摆放多少只花盆?（Ⅱ）问这堆花盆能否摆7层？如果能，求出第7层的花盆数；如果不能，说明理由，并求这堆花盆最多可摆多少只.21、如图，在OAB ∆中，23==OB OA ，CA BC 51=，以OA 、OB所在直线为渐近线的双曲线1c 恰好经过点C ，且离心率为2．（Ⅰ）求双曲线1c 的标准方程；（Ⅱ）直线l 与（Ⅰ）中的双曲线1c 的右支相交于,P Q 两点(其中点P 在第一象限，Q在第四象限)，若线段OP 的中点D 在椭圆143:222=+y x c 上，且P D Q ∆的面积A1PDQ S ∠=tan 2411，求直线l 的方程. 22．（本小题满分14分）已知函数()ln(),f x x m =+2()4,0g x ax x a =+≠ （1）设0m =，),()()(x g x f x h -=若h (x )存在单调递减区间，求a 的取值范围； (2) 若m=1,且当ｘ>０时，11)(+>+x kx x f 恒成立, 试求正整数k 的最大值． 2018年泉州市高中毕业班质量检测数学（理科）参考答案一、选择题答案：二、填空题答案：13、10 1）、异侧 15、 4 16、 21y x =- 三、解答题（17）（Ⅰ）解：分别记甲、乙两人合格的事件为A 、B ，则P(A)21(),(),32P A P B == 所以两人中恰好有一人合格的概率()()()321111()()()()32322P P AB AB P AB P AB P A P B P A P B =+=+=⋅+⋅=⋅+⋅=分故两人中恰好有一人合格的概率是1.2……………………………………6分. （Ⅱ）ξ的分布列如下表：则合格人数ξ的数学期望：17012.6236E ξ=⋅+⋅+⋅=………………………………12分（18）解：（Ⅰ）在21cos ,cos ,cos ,222A A a c b ABC A c c++∆==∴=中……………3分由余弦定理得：222=2b c a bbc c+- 故：222c a b =+所以⊿ABC 是以角C 为直角的直角三角形。

2018届高考数学二轮复习寒假作业(打包29套_有答案)理

寒假作业(一) 集合与常用逻辑用语(注意解题的速度)一、选择题1．设集合A ＝{x |log 2x <0}，B ＝{m |m 2－2m <0}，则A ∪B ＝( ) A ．(－∞，2) B ．(0,1) C ．(0,2)D ．(1,2)解析：选C 由题意可得A ＝(0,1)，B ＝(0,2)，所以A ∪B ＝(0,2)．2．(2017·沈阳一检)命题p ：“∀x ∈N *，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ≤12”的否定为( )A ．∀x ∈N *，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x >12B ．∀x ∉N *，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x >12C ．∃x 0∉N *，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 0>12D ．∃x 0∈N *，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 0>12解析：选D 命题p 的否定是把“∀”改成“∃”，再把“⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ≤12”改为“⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 0>12”即可．3．(2017·山东高考)设函数y ＝4－x 2的定义域为A ，函数y ＝ln(1－x )的定义域为B ，则A ∩B ＝( )A ．(1,2)B ．(1,2]C ．(－2,1)D ．[－2,1)解析：选D 由题意可知A ＝{x |－2≤x ≤2}，B ＝{x |x <1}，故A ∩B ＝{x |－2≤x <1}． 4．若集合M ＝⎩⎨⎧x ∈R ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＋2x －1≤0，N 为自然数集，则下列选项中正确的是( )A ．M ⊆{x |x ≥1}B ．M ⊆{x |x >－2}C ．M ∩N ＝{0}D ．M ∪N ＝N解析：选C ∵M ＝⎩⎨⎧x ∈R ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＋2x －1≤0＝{x |－2≤x <1}，N 为自然数集，∴M ⊆{x |x ≥1}错误，M ⊆{x |x >－2}错误，M ∩N ＝{0}正确，M ∪N ＝N 错误．5．(2018届高三·洛阳五校联考)已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2－3x －4>0}，B ＝{x |－2≤x ≤2}，则如图所示的阴影部分所表示的集合为( )A ．{x |－2≤x <4}B ．{x |x ≤2或x ≥4}C ．{x |－2≤x ≤－1}D ．{x |－1≤x ≤2}解析：选D 由Venn 图知阴影部分表示的集合为(∁R A )∩B ，依题意得A ＝{x |x <－1或x >4}，因此∁R A ＝{x |－1≤x ≤4}，故(∁R A )∩B ＝{x |－1≤x ≤2}．6．设集合A ＝{x |x >－1}，B ＝{x ||x |≥1}，则“x ∈A 且x ∉B ”成立的充要条件是( ) A ．－1<x ≤1 B ．x ≤1 C ．x >－1D ．－1<x <1解析：选D 由题意可知，x ∈A ⇔x >－1，x ∉B ⇔－1<x <1，所以“x ∈A 且x ∉B ”成立的充要条件是－1<x <1.7．已知集合A ＝{x ||x |≤2}，B ＝{x |x 2－3x ≤0，x ∈N}，则A ∩B ＝( ) A ．{0,4} B ．{－2，－1,0} C ．{－1,0,1}D ．{0,1,2}解析：选D ∵A ＝{x ||x |≤2}＝{x |－2≤x ≤2}，B ＝{x |x 2－3x ≤0，x ∈N}＝{0,1,2,3}，∴A ∩B ＝{0,1,2}．8．(2017·天津高考)设θ∈R ，则“⎪⎪⎪⎪⎪⎪θ－π12<π12”是“sin θ<12”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 法一：由⎪⎪⎪⎪⎪⎪θ－π12<π12，得0<θ<π6，故sin θ<12.由sin θ<12，得－7π6＋2k π<θ<π6＋2k π，k ∈Z ，推不出“⎪⎪⎪⎪⎪⎪θ－π12<π12”．故“⎪⎪⎪⎪⎪⎪θ－π12<π12”是“sin θ<12”的充分而不必要条件．法二：⎪⎪⎪⎪⎪⎪θ－π12<π12⇒0<θ<π6⇒sin θ<12，而当sin θ<12时，取θ＝－π6，⎪⎪⎪⎪⎪⎪－π6－π12＝π4>π12. 故“⎪⎪⎪⎪⎪⎪θ－π12<π12”是“sin θ<12”的充分而不必要条件． 9．已知命题p ：∀a ∈R ，方程ax ＋4＝0有解；命题q ：∃m 0>0，直线x ＋m 0y －1＝0与直线2x ＋y ＋3＝0平行．给出下列结论，其中正确的有( )①命题“p ∧q ”是真命题； ②命题“p ∧(綈q )”是真命题； ③命题“(綈p )∨q ”为真命题； ④命题“(綈p )∨(綈q )”是真命题． A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个解析：选B 因为当a ＝0时，方程ax ＋4＝0无解，所以命题p 为假命题；当1－2m ＝0，即m ＝12时两条直线平行，所以命题q 是真命题．所以綈p 为真命题，綈q 为假命题，所以①错误，②错误，③正确，④正确．故正确的命题有2个．10．下列说法中正确的是( )A ．“f (0)＝0”是“函数f (x )是奇函数”的充要条件B ．若p ：∃x 0∈R ，x 20－x 0－1>0，则綈p ：∀x ∈R ，x 2－x －1<0 C ．若p ∧q 为假命题，则p ，q 均为假命题D ．命题“若α＝π6，则sin α＝12”的否命题是“若α≠π6，则sin α≠12”解析：选D 当f (0)＝0时，函数f (x )不一定是奇函数，如f (x )＝x 2，所以A 错误；若p ：∃x 0∈R ，x 20－x 0－1>0，则綈p ：∀x ∈R ，x 2－x －1≤0，所以B 错误；p ，q 只要有一个是假命题，则p ∧q 为假命题，所以C 错误；否命题是将原命题的条件和结论都否定，D 正确．11．设集合S ＝{A 0，A 1，A 2，A 3}，在S 上定义运算⊕：A i ⊕A j ＝A k ，k 为i ＋j 除以4的余数(i ，j ＝0,1,2,3)，则满足关系式(x ⊕x )⊕A 2＝A 0的x (x ∈S )的个数为( )A ．4B ．3C ．2D ．1解析：选C 因为x ∈S ＝{A 0，A 1，A 2，A 3}，故x 的取值有四种情况．若x ＝A 0，根据定义得，(x ⊕x )⊕A 2＝A 0⊕A 2＝A 2，不符合题意，同理可以验证x ＝A 1，x ＝A 2，x ＝A 3三种情况，其中x ＝A 1，x ＝A 3符合题意，故选C.12．若f (x )是R 上的增函数，且f (－1)＝－4，f (2)＝2，设P ＝{x |f (x ＋t )＋1<3}，Q ＝{x |f (x )<－4}，若“x ∈P ”是“x ∈Q ”的充分不必要条件，则实数t 的取值范围是( )A ．(－∞，－1]B ．(－1，＋∞)C ．[3，＋∞)D ．(3，＋∞)解析：选D P ＝{x |f (x ＋t )＋1<3}＝{x |f (x ＋t )<2}＝{x |f (x ＋t )<f (2)}，Q ＝{x |f (x )<－4}＝{x |f (x )<f (－1)}，因为函数f (x )是R 上的增函数，所以P ＝{x |x ＋t <2}＝{x |x <2－t }，Q ＝{x |x <－1}，要使“x ∈P ”是“x ∈Q ”的充分不必要条件，则有2－t <－1，即t >3.二、填空题13．已知全集为R ，集合A ＝{x |x －1≥0}，B ＝{x |－x 2＋5x －6≤0}，则A ∪∁R B ＝________. 解析：因为A ＝{x |x －1≥0}＝[1，＋∞)，B ＝{x |－x 2＋5x －6≤0}＝{x |x 2－5x ＋6≥0}＝{x |x ≤2或x ≥3}，∁R B ＝(2,3)，所以A ∪∁R B ＝[1，＋∞)．答案：[1，＋∞)14．若“∀x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3，m ≥2tan x ”是真命题，则实数m 的最小值为________．解析：当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3时，2tan x 的最大值为2tan π3＝23，∴m ≥23，实数m 的最小值为2 3.答案：2 315．已知集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪4≤⎝ ⎛⎭⎪⎫122－x≤16，B ＝[a ，b ]，若A ⊆B ，则a －b 的取值范围是________．解析：集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪4≤⎝ ⎛⎭⎪⎫122－x≤16＝{x |22≤2x －2≤24}＝{x |4≤x ≤6}＝[4,6]，∵A ⊆B ，∴a ≤4，b ≥6，∴a －b ≤4－6＝－2，即a －b 的取值范围是(－∞，－2]．答案：(－∞，－2]16．设全集U ＝{(x ，y )|x ，y ∈R}，集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤2x }，B ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤4x }，给出以下命题：①A ∩B ＝A ，②A ∪B ＝B ，③A ∩(∁U B )＝∅，④B ∩(∁U A )＝U ，其中正确命题的序号是________．解析：集合A 表示的是以(1,0)为圆心，1为半径的圆及其内部的点构成的集合，集合B 表示的是以(2,0)为圆心，2为半径的圆及其内部的点构成的集合，易知A ⊆B ，利用Venn 图可知，①②③正确，④错误．答案：①②③寒假作业(二) 函数的图象与性质(注意速度和准度)一、“12＋4”提速练1．已知函数y ＝2x ＋1，x ∈{x ∈Z|0≤x <3}，则该函数的值域为( ) A ．{y |1≤y <7} B ．{y |1≤y ≤7} C ．{1,3,5,7}D ．{1,3,5}解析：选D 由题意可知，函数的定义域为{0,1,2}，把x ＝0,1,2代入函数解析式可得y ＝1,3,5，所以该函数的值域为{1,3,5}．2．函数f (x )＝ln ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1x ＋1－x 2的定义域为( )A ．(－1,1]B ．(0,1]C ．[0,1]D ．[1，＋∞)解析：选B 由条件知⎩⎪⎨⎪⎧1＋1x>0，x ≠0，1－x 2≥0.即⎩⎪⎨⎪⎧x <－1或x >0，x ≠0，－1≤x ≤1.则x ∈(0,1]．∴原函数的定义域为(0,1]．3．(2017·成都第一次诊断性检测)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋3)＝f (x )，且当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，32时，f (x )＝－x 3，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫112＝( )A ．－18 B.18C ．－1258 D.1258解析：选B 由f (x ＋3)＝f (x )知，函数f (x )的周期为3，又函数f (x )为奇函数，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫112＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝18.4．(2018届高三·长沙四校联考)函数y ＝ln|x |－x 2的图象大致为( )解析：选A 令f (x )＝ln|x |－x 2，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)且f (－x )＝ln|x |－x 2＝f (x )，故函数y ＝ln|x |－x 2为偶函数，其图象关于y 轴对称，排除B 、D ；当x >0时，y ＝ln x －x 2，则y ′＝1x －2x ，当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，22时，y ′＝1x －2x >0，y ＝ln x －x 2单调递增，排除C.故A 符合．5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－2，x ≤0，－log 3x ，x >0，且f (a )＝－2，则f (7－a )＝( )A ．－log 37B ．－34C ．－54D ．－74解析：选D 当a ≤0时，2a－2＝－2无解；当a >0时，由－log 3a ＝－2，解得a ＝9，所以f (7－a )＝f (－2)＝2－2－2＝－74.6．(2017·全国卷Ⅰ)函数f (x )在(－∞，＋∞)单调递减，且为奇函数．若f (1)＝－1，则满足－1≤f (x －2)≤1的x 的取值范围是( )A ．[－2,2]B ．[－1,1]C ．[0,4]D ．[1,3]解析：选D ∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )．∵f (1)＝－1，∴f (－1)＝－f (1)＝1.故由－1≤f (x －2)≤1，得f (1)≤f (x －2)≤f (－1)．又f (x )在(－∞，＋∞)单调递减，∴－1≤x －2≤1， ∴1≤x ≤3.7．(2017·衡阳四中月考)函数y ＝f (x )在区间[0,2]上单调递增，且函数f (x ＋2)是偶函数，则下列结论成立的是( )A ．f (1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72<f (1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52<f (1) D ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52<f (1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72 解析：选B 因为函数f (x ＋2)是偶函数，所以f (x ＋2)＝f (－x ＋2)，即函数f (x )的图象关于x ＝2对称，又因为函数y ＝f (x )在区间[0,2]上单调递增，所以函数y ＝f (x )在区间[2,4]上单调递减．因为f (1)＝f (3)，72>3>52，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72<f (3)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72<f (1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52.8．设函数f (x )＝x 3(a x ＋m ·a －x)(x ∈R ，a >0且a ≠1)是偶函数，则实数m 的值为( ) A ．－1 B ．1 C ．2D ．－2解析：选A 法一：因为函数f (x )＝x 3(a x ＋m ·a －x)(x ∈R ，a >0且a ≠1)是偶函数，所以f (－x )＝f (x )对任意的x ∈R 恒成立，所以－x 3(a －x＋m ·a x )＝x 3(a x ＋m ·a －x )，即x 3(1＋m )(a x ＋a －x )＝0对任意的x ∈R 恒成立，所以1＋m ＝0，即m ＝－1.法二：因为f (x )＝x 3(a x ＋m ·a －x )是偶函数，所以g (x )＝a x ＋m ·a －x是奇函数，且g (x )在x ＝0处有意义，所以g (0)＝0，即1＋m ＝0，所以m ＝－1.9．若函数f (x )＝x 2－2ax ＋a 在区间(－∞，1)上有最小值，则函数g (x )＝f xx在区间(1，＋∞)上一定( )A ．有最小值B ．有最大值C ．是减函数D ．是增函数解析：选D ∵函数f (x )＝x 2－2ax ＋a 在区间(－∞，1)上有最小值，图象开口向上，对称轴为x ＝a ，∴a <1.∴g (x )＝f x x ＝x ＋ax－2a . 若a ≤0，则g (x )＝x ＋ax－2a 在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递增．若0<a <1，则g (x )＝x ＋a x－2a 在(a ，＋∞)上单调递增，故g (x )在(1，＋∞)上单调递增．综上可得g (x )＝x ＋ax－2a 在(1，＋∞)一定是增函数．10．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－ln x －x ，x >0，－ln －x ＋x ，x <0，则关于m 的不等式f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1m <ln 12－2的解集为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12B ．(0,2)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 D ．(－2,0)∪(0,2)解析：选C 因为函数f (x )的定义域(－∞，0)∪(0，＋∞)关于原点对称，又当x >0时，－x <0，f (－x )＝－ln x －x ＝f (x )，同理，当x <0时，也有f (－x )＝f (x )，所以f (x )为偶函数．因为f (x )在(0，＋∞)上为减函数，且f (2)＝－ln 2－2＝ln 12－2，所以由偶函数的性质知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪1m <f (2)，且m ≠0，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪1m >2，且m ≠0，解得0<m <12或－12<m <0. 11．若函数f (x )＝x 2＋ln(x ＋a )与g (x )＝x 2＋e x－12(x <0)的图象上存在关于y 轴对称的点，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，e)B ．(e ，＋∞)C ．(0，e)D ．(0， e ]解析：选C 若函数f (x )与g (x )的图象上存在关于y 轴对称的点，则f (x )与g (－x )＝x 2＋e －x －12(x >0)的图象有交点，也就是方程ln(x ＋a )＝e －x －12有正数解，即函数y ＝e －x －12与函数y ＝ln(x ＋a )的图象在(0，＋∞)上有交点，结合图象可知，只需ln a <e 0－12，∴ln a <12，∴0<a < e.12．已知函数f (x )的定义域为D ，若对任意x 1，x 2∈D ，当x 1<x 2时，都有f (x 1)≤f (x 2)，则称函数f (x )在D 上为非减函数．设函数f (x )在[0,1]上为非减函数，且满足以下三个条件：①f (0)＝0；②f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＝12f (x )；③f (1－x )＝2－f (x )，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫18＝( )A.32 B ．1C ．2 D.52解析：选A 令x ＝1，可得f (1)＝2，那么f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝12f (1)＝1，令x ＝12，可得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫16＝12f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12，令x ＝13，可得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝12f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝12，因为函数是非减函数，所以12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫18≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫17≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫16＝12，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫18＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫17＝12，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫18＝1＋12＝32.13．设f (x )是周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，f (x )＝2x (1－x )，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝________.解析：因为f (x )是奇函数，且当0≤x ≤1时，f (x )＝2x (1－x )，所以当－1≤x <0时，0<－x ≤1，f (－x )＝－2x (1＋x )＝－f (x )，即f (x )＝2x (1＋x )(－1≤x <0)．又f (x )的周期为2，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×12＝－12.答案：－1214．已知函数f (x )＝4＋x 2ln 1＋x 1－x 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12上的最大值与最小值分别为M 和m ，则M ＋m ＝________.解析：令g (x )＝x 2ln 1＋x 1－x，则g (－x )＝(－x )2ln 1－x 1＋x ＝－x 2ln 1＋x 1－x ＝－g (x )，所以函数g (x )为奇函数，其图象关于原点对称，则函数g (x )＝f (x )－4的最大值M －4和最小值m －4之和为0，即M －4＋m －4＝0，∴M ＋m ＝8.答案：815．(2018届高三·江西师大附中月考)已知函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2x－a 2x 在[0,1]上单调递增，则a 的取值范围为________．解析：令2x＝t ，t ∈[1,2]，则y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪t －a t在[1,2]上单调递增．当a ＝0时，y ＝|t |＝t在[1,2]上单调递增显然成立；当a >0时，函数y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪t －a t ，t ∈(0，＋∞)的单调递增区间是[a ，＋∞)，此时a ≤1，即0<a ≤1时成立；当a <0时，函数y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪t －a t ＝t －a t，t ∈(0，＋∞)的单调递增区间是[－a ，＋∞)，此时－a ≤1，即－1≤a <0时成立．综上可得a 的取值范围是[－1,1]．答案：[－1,1]16．已知函数f (x )的定义域为A ，若x 1，x 2∈A 且f (x 1)＝f (x 2)时总有x 1＝x 2，则称f (x )为单函数．例如：函数f (x )＝2x ＋1(x ∈R)是单函数．给出下列命题：①函数f (x )＝x 2(x ∈R)是单函数； ②指数函数f (x )＝2x(x ∈R)是单函数；③若f (x )为单函数，x 1，x 2∈A 且x 1≠x 2，则f (x 1)≠f (x 2)； ④在定义域上具有单调性的函数一定是单函数．其中真命题的序号是________．解析：对于①，当x 1＝2，x 2＝－2时，f (x 1)＝4＝f (x 2)，故①错；对于②，f (x )＝2x为单调递增函数，故②正确；而③④显然正确．答案：②③④二、能力拔高练1．当a >0时，函数f (x )＝(x 2＋2ax )e x的图象大致是( )解析：选B 由f (x )＝0，得x 2＋2ax ＝0，解得x ＝0或x ＝－2a ，∵a >0，∴x ＝－2a <0，故排除A 、C ；当x 趋近于－∞时，e x趋近于0，故f (x )趋近于0，排除D.2．设曲线y ＝f (x )与曲线y ＝x 2＋a (x >0)关于直线y ＝－x 对称，且f (－2)＝2f (－1)，则a ＝( )A ．0 B.13 C.23D ．1解析：选 C 依题意得，曲线y ＝f (x )，即为－x ＝(－y )2＋a (y <0)，化简后得y ＝－－x －a ，即f (x )＝－－x －a ，于是有－2－a ＝－21－a ，解得a ＝23.3．已知定义在D ＝[－4,4]上的函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x 2＋5x ＋4|，－4≤x ≤0，2|x －2|，0<x ≤4，对任意x ∈D ，存在x 1，x 2∈D ，使得f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)，则|x 1－x 2|的最大值与最小值之和为( )A ．7B ．8C ．9D ．10解析：选 C 作出函数f (x )的图象如图所示，由任意x ∈D ，f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)知，f (x 1)，f (x 2)分别为f (x )的最小值和最大值，由图可知|x 1－x 2|max ＝8，|x 1－x 2|min ＝1，所以|x 1－x 2|的最大值与最小值之和为9，故选C.4．已知定义在R 上的偶函数f (x )在[0，＋∞)上单调递减，若不等式f (x 3－x 2＋a )＋f (－x 3＋x 2－a )≥2f (1)对x ∈[0,1]恒成立，则实数a 的取值范围为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2327，1B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2327，1 C ．[1,3]D ．(－∞，1]解析：选B ∵函数f (x )是定义域在R 上的偶函数，且－x 3＋x 2－a ＝－(x 3－x 2＋a )，∴f (x 3－x 2＋a )＋f (－x 3＋x 2－a )≥2f (1)对x ∈[0,1]恒成立等价于2f (x 3－x 2＋a )≥2f (1)对x∈[0，1]恒成立，又∵f (x )在[0，＋∞)上单调递减，∴－1≤x 3－x 2＋a ≤1对x ∈[0,1]恒成立．设g (x )＝x 3－x 2，则g ′(x )＝x (3x －2)，则g (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，23上单调递减，在⎝ ⎛⎦⎥⎤23，1上单调递增，又g (0)＝g (1)＝0，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝－427，∴g (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－427，0.∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≤1，a －427≥－1，∴a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2327，1.5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x >0，x ＋1，x ≤0，g (x )＝log 2x ，若f (a )＋f (g (2))＝0，则实数a的值为________．解析：因为函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x >0，x ＋1，x ≤0，g (x )＝log 2x ，所以g (2)＝log 22＝1，f (g (2))＝f (1)＝1，由f (a )＋f (g (2))＝0，得f (a )＝－1.当a >0时，因为f (a )＝a 2>0，所以此时不符合题意；当a ≤0时，f (a )＝a ＋1＝－1，解得a ＝－2. 答案：－26.如图放置的边长为1的正方形PABC 沿x 轴滚动，点B 恰好经过原点，设顶点P (x ，y )的轨迹方程是y ＝f (x )，则对函数y ＝f (x )有下列判断：①函数y ＝f (x )是偶函数；②对任意的x ∈R ，都有f (x ＋2)＝f (x －2)；③函数y ＝f (x )在区间[2,3]上单调递减；④函数y ＝f (x )在区间[4,6]上是减函数．其中判断正确的序号是________．解析：如图，从函数y ＝f (x )的图象可以判断出，图象关于y 轴对称，每4个单位图象重复出现一次，在区间[2,3]上，随x 增大，图象是往上的，在区间[4,6)上图象是往下的，所以①②④正确，③错误．答案：①②④寒假作业(三) 基本初等函数、函数与方程(注意速度和准度)一、“12＋4”提速练1．(2018届高三·吉林实验中学摸底)若f (x )是幂函数，且满足f 9f 3＝2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝( )A.12 B.14 C ．2D ．4解析：选B 设f (x )＝x α，由f 9f 3＝9α3α＝3α＝2，得α＝log 32，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝⎝ ⎛⎭⎪⎫19log 32＝14. 2．已知函数f (x )＝x 2＋x ＋c ，若f (0)＞0，f (p )＜0，则必有( ) A ．f (p ＋1)＞0 B ．f (p ＋1)＜0C ．f (p ＋1)＝0D ．f (p ＋1)的符号不能确定解析：选A 由题意知，f (0)＝c ＞0，函数图象的对称轴为x ＝－12，则f (－1)＝f (0)＞0，设f (x )＝0的两根分别为x 1，x 2(x 1＜x 2)，则－1＜x 1＜x 2＜0，根据图象知，x 1＜p ＜x 2，故p ＋1＞0，f (p ＋1)＞0.3．已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－cos x ，则f (x )在[0,2π]上的零点个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C 作出函数g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 与h (x )＝cos x 的图象(图略)，可知函数g (x )与h (x )在[0,2π]上的交点个数为3，所以函数f (x )在[0,2π]上的零点个数为3.4．已知a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫79－14，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫9715，c ＝log 279，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．b <a <cB ．c <a <bC ．c ⎝ ⎛⎭⎪⎫9715＝b ，而b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫9715>1，c ＝log 279<log 21＝0，∴c 0，f (2)·f (3)<0，∴函数f (x )的零点位于区间[2,3]内．6.(2017·潍坊模拟)已知函数f (x )＝(x －a )(x －b )(其中a >b )的图象如图所示，则函数g (x )＝log a (x －b )的图象大致是( )解析：选B 法一：结合二次函数的图象可知，a >1，－11，－11,0<－b <1，在g (x )＝log a (x －b )中，取x ＝0，得g (0)＝log a (－b )<0，只有选项B 符合，故选B.7.已知奇函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧f x ，x ＞0，gx ，x ＜0.若f (x )＝a x(a ＞0，a ≠1)对应的图象如图所示，则g (x )＝( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12－xB ．－⎝ ⎛⎭⎪⎫12xC ．2－xD ．－2x解析：选D 由图象可知，当x ＞0时，函数f (x )单调递减，则0＜a ＜1，∵f (1)＝12，∴a ＝12，即函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，当x ＜0时，－x ＞0，则f (－x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x＝－g (x )，即g (x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x ＝－2x ，故g (x )＝－2x ，x ＜0. 8．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ，x ≤0，|lg x |，x >0，则函数g (x )＝f (1－x )－1的零点个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C g (x )＝f (1－x )－1＝⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2＋21－x －1，1－x ≤0，|lg 1－x |－1，1－x >0＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋2，x ≥1，|lg 1－x |－1，x <1.易知当x ≥1时，函数g (x )有1个零点，当x <1时，函数有两个零点，所以函数g (x )的零点共有3个．9．已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x＋a 的图象经过第二、三、四象限，g (a )＝f (a )－f (a ＋1)，则g (a )的取值范围为( )A ．(2，＋∞)B ．(－∞，－1)C ．(－1,2)D ．(－∞，2)解析：选A ∵函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x＋a 的图象经过第二、三、四象限，∴a <－1.则g (a )＝f (a )－f (a ＋1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13a ＋a －⎝ ⎛⎭⎪⎫13a ＋1－a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＝23·⎝ ⎛⎭⎪⎫13a .∵a <－1，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫13a >3，则23·⎝ ⎛⎭⎪⎫13a>2，故g (a )的取值范围是(2，＋∞)．10．定义在R 上的偶函数f (x )满足：对任意的x 1，x 2∈(－∞，0)(x 1≠x 2)，都有f x 1－f x 2x 1－x 2<0.则下列结论正确的是( )A ．f (0.32)<f (20.3)<f (log 25) B ．f (log 25)<f (20.3)<f (0.32) C ．f (log 25)<f (0.32)<f (20.3) D ．f (0.32)<f (log 25)<f (20.3)解析：选A ∵对任意的x 1，x 2∈(－∞，0)，且x 1≠x 2，都有f x 1－f x 2x 1－x 2<0，∴f (x )在(－∞，0)上是减函数．又∵f (x )是R 上的偶函数，∴f (x )在(0，＋∞)上是增函数．∵0<0.32<20.3<log 25，∴f (0.32)<f (20.3)<f (log 25)．11．定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在[0,2]上为增函数，若方程f (x )＝m (m >0)在区间[－8,8]上有四个不同的根x 1，x 2，x 3，x 4，则x 1＋x 2＋x 3＋x 4的值为( )A ．8B ．－8C ．0D ．－4解析：选B ∵f (x －4)＝－f (x )，∴f (x －8)＝f (x )， ∴函数f (x )是以8为周期的周期函数，又由f (x －4)＝－f (x )可得f (x ＋2)＝－f (x ＋6)＝－f (x －2)，因为f (x )是奇函数，所以f (x ＋2)＝－f (x －2)＝f (2－x )，所以f (x )的图象关于x ＝2对称，结合在[0,2]上为增函数，可得函数的大致图象如图，由图看出，四个交点中的左边两个交点的横坐标之和为2×(－6)，另两个交点的横坐标之和为2×2，所以x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝－8.12．对于函数f (x )和g (x )，设α∈{x |f (x )＝0}，β＝{x |g (x )＝0}，若存在α，β，使得|α－β|≤1，则称f (x )与g (x )互为“零点相邻函数”．若函数f (x )＝ex －1＋x －2与g (x )＝x 2－ax －a ＋3互为“零点相邻函数”，则实数a 的取值范围是( )A ．[2,4]B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，73C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤73，3 D ．[2,3]解析：选D 函数f (x )＝ex －1＋x －2的零点为x ＝1，设g (x )＝x 2－ax －a ＋3的零点为b ，若函数f (x )＝e x －1＋x －2与g (x )＝x 2－ax －a ＋3互为“零点相邻函数”，则|1－b |≤1，∴0≤b ≤2.由于g (x )＝x 2－ax －a ＋3必经过点(－1,4)，∴要使其零点在区间[0,2]上，则⎩⎪⎨⎪⎧g 0≥0，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋3≥0，⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22－a ·a2－a ＋3≤0，解得2≤a ≤3.13．(2017·陕西质检)已知函数y ＝4a x －9－1(a >0且a ≠1)恒过定点A (m ，n )，则log m n＝________.解析：依题意知，当x －9＝0，即x ＝9时，y ＝4－1＝3，故定点为A (9,3)，所以m ＝9，n ＝3，故log m n ＝log 93＝12.答案：1214．若函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |－m 有两个零点，则m 的取值范围是________．解析：在同一平面直角坐标系内，画出y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |和y ＝m 的图象，如图所示，由于函数有两个零点，故0<m <1.答案：(0,1)15．对于实数a 和b ，定义运算a *b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a b ＋1，a ≥b ba ＋1，a <b，则ln e 2*⎝ ⎛⎭⎪⎫19－12＝________.解析：∵a *b ＝⎩⎪⎨⎪⎧ab ＋1，a ≥b ，b a ＋1，a <b ，ln e 2＝2<⎝ ⎛⎭⎪⎫19－12＝3，∴ln e 2]19－12＝3×(2＋1)＝9.答案：916．(2018届高三·河北衡水中学月考)已知函数f 1(x )＝|x －1|，f 2(x )＝13x ＋1，g (x )＝f 1x ＋f 2x2＋|f 1x －f 2x |2，若a ，b ∈[－1,5]，且当x 1，x 2∈[a ，b ]时，g x 1－g x 2x 1－x 2＞0恒成立，则b －a 的最大值为________．解析：当f 1(x )≥f 2(x )时，g (x )＝f 1x ＋f 2x2＋f 1x －f 2x2＝f 1(x )；当f 1(x )＜f 2(x )时，g (x )＝f 1x ＋f 2x 2＋f 2x －f 1x2＝f 2(x )．综上，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f 1x ，f 1x ≥f 2x ，f 2x ，f 1x ＜f 2x ，即g (x )是f 1(x )，f 2(x )两者中的较大者．在同一平面直角坐标系中分别画出函数f 1(x )与f 2(x )的图象，如图所示，则g (x )的图象如图中实线部分所示．由图可知g (x )在[0，＋∞)上单调递增，又g (x )在[a ，b ]上单调递增，故a ，b ∈[0,5]，所以b －a 的最大值为5.答案：5二、能力拔高练1．若函数y ＝a －a x(a >0且a ≠1)的定义域和值域都是[0,1]，则log a 56＋log a 485＝( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C ∵当a >1时，函数y ＝a －a x在[0,1]上单调递减，∴a －1＝1且a －a ＝0，解得a ＝2；当0<a <1时，函数y ＝a －a x在[0,1]上单调递增，∴a －1＝0且a －a ＝1，此时无解．∴a ＝2，因此log a 56＋log a 485＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫56×485＝log 28＝3. 2．已知函数f (x )＝4x－m ·2x＋1只有一个零点，则m ＝( ) A ．1 B ．－1 C ．2D ．－2解析：选C 依题意，方程4x－m ·2x＋1＝0只有一个实数根，设t ＝2x(t >0)，则t 2－mt ＋1＝0，由Δ＝m 2－4＝0，解得m ＝±2，当m ＝2时，t ＝1，即2x ＝1，则x ＝0；当m ＝－2时，t ＝－1，即2x＝－1(舍去)．故函数只有一个零点时，m ＝2.3．(2017·云南一检)已知a ，b ，c ，d 都是常数，且a >b ，c >d .若f (x )＝2 017－(x －a )(x －b )的零点为c ，d ，则下列不等式正确的是( )A ．a >c >b >dB ．a >b >c >dC ．c >d >a >bD ．c >a >b >d解析：选 D f (x )＝2 017－(x －a )·(x －b )＝－x 2＋(a ＋b )x －ab ＋2 017，又f (a )＝f (b )＝2 017，c ，d 为函数f (x )的零点，且a >b ，c >d ，所以可在平面直角坐标系中作出函数f (x )的大致图象，如图所示，由图可知c >a >b >d ，故选D.4．(2017·成都二诊)已知函数f (x )＝a x(a >0且a ≠1)的反函数的图象经过点⎝⎛⎭⎪⎫22，12.若函数g (x )的定义域为R ，当x ∈[－2,2]时，有g (x )＝f (x )，且函数g (x ＋2)为偶函数，则下列结论正确的是( )A ．g (π)<g (3)<g (2)B ．g (2)<g (3)<g (π)C ．g (π)<g (2)<g (3)D ．g (2)<g (π)<g (3)解析：选B 因为函数f (x )的反函数的图象经过点⎝⎛⎭⎪⎫22，12，所以函数f (x )的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22，所以a 12＝22⇒a ＝12.函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x在R 上单调递减．函数g (x ＋2)为偶函数，所以函数g (x )的图象关于直线x ＝2对称，又x ∈[－2,2]时，g (x )＝f (x )且f (x )单调递减，所以x ∈[2,6]时，g (x )单调递增，根据对称性，可知距离对称轴x ＝2越远的自变量，对应的函数值越大，所以g (2)<g (3)<g (π)．故选B.5．设函数f (x )，g (x )的定义域分别为M ，N ，且M N .若对任意的x ∈M ，都有g (x )＝f (x )，则称g (x )是f (x )的“拓展函数”．已知f (x )＝13log 2x ，若g (x )是f (x )的“拓展函数”，且g (x )为偶函数，则符合条件的函数g (x )的一个解析式是________．解析：由题意可知，当x >0时，g (x )＝13log 2x ，又函数g (x )是偶函数，故当x <0时，g (x )＝13log 2(－x )，所以g (x )＝13log 2|x |(x ≠0)．答案：g (x )＝13log 2|x |(x ≠0)(其他符合条件的函数也可以)6．(2017·云南玉溪统考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x >a ，x 2＋5x ＋2，x ≤a ，函数g (x )＝f (x )－2x 恰有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是________．解析：由题意知g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x >a ，x 2＋3x ＋2，x ≤a ，因为g (x )有三个不同的零点，所以2－x＝0在x >a 时有一个解，由x ＝2得a <2；由x 2＋3x ＋2＝0得x ＝－1或x ＝－2，则由x ≤a 得a ≥－1.综上，a 的取值范围为[－1,2)．答案：[－1,2)寒假作业(四) 导数的运算及几何意义(注意解题的速度)一、选择题1．已知函数f (x )＝1xcos x ，则f ′(x )等于( )A.cos xx2B.－sin xx2C.cos x －x sin xx2D ．－cos x ＋x sin xx2解析：选D f ′(x )＝－1x 2cos x －sin x x ＝－cos x ＋x sin xx2. 2．已知f (x )＝x 33＋ax 2＋x 是奇函数，则f (3)＋f ′(1)＝( )A ．14B ．12C ．10D ．－8解析：选A 由题意得，f (－x )＝－f (x )，所以a ＝0，f (x )＝x 33＋x ，f ′(x )＝x 2＋1，故f (3)＋f ′(1)＝14.3．已知某个车轮旋转的角度α(rad)与时间t (s)的函数关系是α＝π0.32t 2(t ≥0)，则车轮启动后第1.6 s 时的瞬时角速度是( )A ．20π rad/sB ．10π rad/sC ．8π rad/sD ．5π rad/s解析：选B 由题意可得α′＝πt 0.16，车轮启动后第1.6 s 时的瞬时角速度为π×1.60.16＝10π rad/s.4．(2018届高三·广州五校联考)曲线y ＝e 12x 在点(4，e 2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( )A.92e 2 B ．4e 2C ．2e 2D ．e 2解析：选D ∵y ′＝12e 12x ，∴k ＝12e 142⨯＝12e 2，∴切线方程为y －e 2＝12e 2(x －4)，令x ＝0，得y ＝－e 2，令y ＝0，得x ＝2，∴所求面积为S ＝12×2×|－e 2|＝e 2.5．若⎠⎛12(x －a )d x ＝⎠⎜⎛0π4cos 2x d x ，则a 等于( )A ．－1B ．1C ．2D ．4解析：选B ⎠⎛12(x －a )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－ax | 21＝32－a ，⎠⎜⎛0π4cos 2x d x ＝12sin 2x ＝12.由32－a ＝12，得a ＝1.6．若f (x )＝2xf ′(1)＋x 2，则f ′(3)等于( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选B ∵f (x )＝2xf ′(1)＋x 2， ∴f ′(x )＝2f ′(1)＋2x .∴f ′(1)＝2f ′(1)＋2，∴f ′(1)＝－2， ∴f ′(x )＝－4＋2x . ∴f ′(3)＝－4＋6＝2.7．(2018届高三·湖南名校联考)设f (x )＝⎩⎨⎧1－x 2，x ∈[－1，1，x 2－1，x ∈[1，2]，则21-⎰f (x )dx 的值为( )A.π2＋43B.π2＋3 C.π4＋43D.π4＋3解析：选A21-⎰f (x )d x ＝11-⎰1－x 2d x ＋21⎰(x 2－1)d x ＝12π×12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－x | 21＝π2＋43.8.如图，y ＝f (x )是可导函数，直线l ：y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，g ′(x )是g (x )的导函数，则g ′(3)＝( )A ．－1B ．0C ．2D ．4解析：选B 结合图象及题意可知直线l 与曲线f (x )相切的切点为(3,1)，将其代入直线方程得k ＝－13，所以f ′(3)＝－13，且g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，所以g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)＝1＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝0. 9．(2017·成都一诊)已知曲线C 1：y 2＝tx (y >0，t >0)在点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫4t ，2处的切线与曲线C 2：y ＝e x ＋1＋1也相切，则t 的值为( )A ．4e 2B ．4e C.e 24D.e 4解析：选A 由y ＝tx ，得y ′＝t 2tx ，则切线斜率为k ＝t4，所以切线方程为y －2＝t 4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －4t ，即y ＝t 4x ＋1.设切线与曲线y ＝e x ＋1＋1的切点为(x 0，y 0)．由y ＝e x ＋1＋1，得y ′＝ex ＋1，则由e x 0＋1＝t 4，得切点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫ln t4－1，t 4＋1，故切线方程又可表示为y －t 4－1＝t4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －ln t4＋1，即y ＝t4x －t4ln t 4＋t2＋1，所以由题意，得－t4ln t 4＋t2＋1＝1，即ln t4＝2，解得t ＝4e 2.10.函数y ＝f (x )的图象如图所示，f ′(x )为f (x )的导函数，则f ′(1)，f ′(2)，f (2)－f (1)的大小关系是( )A ．f′(1)<f′(2)<f (2)－f (1)B ．f′(2)<f (2)－f (1)<f′(1)C ．f′(2)<f ′(1)<f (2)－f (1)D ．f′(1)<f (2)－f (1)<f′(2)解析：选D 由题意得(1，f (1))，(2，f (2))两点连线的斜率为f 2－f 12－1＝f (2)－f (1)，而f ′(1)，f ′(2)分别表示函数f (x )在点(1，f (1))，(2，f (2))处的切线的斜率，结合图象可知f ′(1)<f2－f 12－1<f ′(2)，即f ′(1)<f (2)－f (1)<f ′(2)．11．已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝12x 2＋mx ＋72(m <0)，直线l 与函数f (x )，g (x )的图象都相切，且与f (x )图象的切点为(1，f (1))，则m 的值为( )A ．－1B ．－3C ．－4D ．－2解析：选D ∵f ′(x )＝1x ，∴直线l 的斜率为k ＝f′(1)＝1，又f (1)＝0，∴切线l 的方程为y ＝x －1.g′(x )＝x ＋m ，设直线l 与g (x )的图象的切点为(x 0，y 0)，则有x 0＋m ＝1，y 0＝x 0－1，y 0＝12x 20＋mx 0＋72，m <0，解得m ＝－2.12．给出定义：设f ′(x )是函数y ＝f (x )的导函数，f ″(x )是函数f ′(x )的导函数，若方程f ″(x )＝0有实数解x 0，则称点(x 0，f (x 0))为函数y ＝f (x )的“拐点”．已知函数f (x )＝3x ＋4sin x －cos x 的拐点是M (x 0，f (x 0))，则点M ( )A ．在直线y ＝－3x 上B ．在直线y ＝3x 上C ．在直线y ＝－4x 上D ．在直线y ＝4x 上解析：选B f ′(x )＝3＋4cos x ＋sin x ，f ″(x )＝－4sin x ＋cos x ，由题意知4sin x 0－cos x 0＝0，所以f(x 0)＝3x 0，故M(x 0，f(x 0))在直线y ＝3x 上．二、填空题13．已知直线y ＝－x ＋m 是曲线y ＝x 2－3ln x 的一条切线，则m 的值为________．解析：因为直线y ＝－x ＋m 是曲线y ＝x 2－3ln x 的切线，所以令y ′＝2x －3x＝－1，得x ＝1或x ＝－32(舍去)，即切点为(1,1)，又切点(1,1)在直线y ＝－x ＋m 上，所以m ＝2.答案：214．若m >1，则f (m )＝⎠⎛1m ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－4x 2d x 的最小值为________．解析：f (m )＝⎠⎛1m ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－4x 2d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4x | m1＝m ＋4m －5≥4－5＝－1，当且仅当m ＝2时等号成立，故f (m )的最小值为－1.答案：－115．已知曲线f (x )＝2x 3－3x ，过点M (0,32)作曲线f (x )的切线，则切线方程是________．解析：设切点坐标为N (x 0,2x 30－3x 0)，则切线的斜率k ＝f ′(x 0)＝6x 20－3，故切线方程为y ＝(6x 20－3)x ＋32，又点N 在切线上，∴2x 30－3x 0＝(6x 20－3)x 0＋32，解得x 0＝－2，∴切线方程为y ＝21x ＋32. 答案：y ＝21x ＋32 16．已知点P 在曲线y ＝4e x＋1上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是________．解析：根据题意得f ′(x )＝－4e xe 2x ＋2e x＋1， ∴k ＝－4e x＋1e x ＋2≥－42＋2＝－1，当且仅当e x＝1e x 时等号成立，且k <0，则曲线y ＝f (x )在切点处的切线的斜率－1≤k <0，又k ＝tan α，结合正切函数的图象，可得α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π寒假作业(五) 导数的应用(注意命题点的区分度)一、选择题1．函数f (x )＝3＋x ln x 的单调递增区间是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e B ．(e ，＋∞)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞ D.⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，e解析：选C f ′(x )＝ln x ＋1，由f ′(x )>0，得x >1e，故f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞. 2．函数f (x )＝(x 2－1)2＋2的极值点是( ) A ．x ＝1 B ．x ＝－1 C ．x ＝1或－1或0 D ．x ＝0 解析：选C ∵f (x )＝x 4－2x 2＋3，∴由f ′(x )＝4x 3－4x ＝4x (x ＋1)(x －1)＝0，得x ＝0或x ＝1或x ＝－1，又当x <－1时f ′(x )<0，当－1<x <0时，f ′(x )>0，当0<x <1时，f ′(x )<0，当x >1时，f ′(x )>0， ∴x ＝0,1，－1都是f (x )的极值点．3．(2017·长春三模)定义在R 上的函数f (x )满足：f ′(x )＞f (x )恒成立，若x 1＜x 2，则e x 1f (x 2)与e x 2f (x 1)的大小关系为( )A ．e x 1f (x 2)＞e x 2f (x 1)B ．e x 1f (x 2)＜e x 2f (x 1)C ．e x 1f (x 2)＝e x 2f (x 1)D ．e x 1f (x 2)与e x 2f (x 1)的大小关系不确定解析：选A 设g (x )＝f xex，则g ′(x )＝f ′x e x －f x e x ex2＝f ′x －f xex，由题意知g ′(x )＞0，所以g (x )在R 上单调递增，当x 1＜x 2时，g (x 1)＜g (x 2)，即f x 1e x 1＜f x 2e x 2，所以e x 1f (x 2)＞e x 2f (x 1)． 4．已知x ＝2是函数f (x )＝x 3－3ax ＋2的极小值点，那么函数f (x )的极大值为( ) A ．15 B ．16 C ．17 D ．18解析：选D f ′(x )＝3x 2－3a ，因为x ＝2是函数f (x )＝x 3－3ax ＋2的极小值点，所以f ′(2)＝12－3a ＝0，解得a ＝4，所以函数f (x )的解析式为f (x )＝x 3－12x ＋2，f ′(x )＝3x 2－12.由3x 2－12＝0，得x ＝±2，故函数f (x )在(－2,2)上是减函数，在(－∞，－2)，(2，＋∞)上是增函数，由此可知当x ＝－2时，函数f (x )取得极大值f (－2)＝18.5．若函数f (x )＝13x 3＋x 2－23在区间(a ，a ＋5)上存在最小值，则实数a 的取值范围是( )A ．[－5,0)B ．(－5,0)C ．[－3,0)D ．(－3,0)解析：选C 由题意，f ′(x )＝x 2＋2x ＝x (x ＋2)，故f (x )在(－∞，－2)，(0，＋∞)上是增函数，在(－2，0)上是减函数，作出其图象如图所示，令13x 3＋x 2－23＝－23得，x ＝0或x＝－3，则结合图象可知⎩⎪⎨⎪⎧－3≤a ＜0，a ＋5＞0，解得a ∈[－3,0) .6．(2017·浙江高考)函数y ＝f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则函数y ＝f (x )的图象可能是( )解析：选D 由f ′(x )的图象知，f ′(x )的图象有三个零点，故f (x )在这三个零点处取得极值，排除A 、B ；记导函数f ′(x )的零点从左到右分别为x 1，x 2，x 3，又在(－∞，x 1)上f ′(x )<0，在(x 1，x 2)上f ′(x )>0，所以函数f (x )在(－∞，x 1)上单调递减，排除C ，故选D.7．若函数f (x )＝cos x ＋2xf ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6的大小关系是( )A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6 C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6 D ．不确定解析：选C 因为f ′(x )＝－sin x ＋2f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，所以f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝－sin π6＋2f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，所以f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝12.因为f ′(x )＝－sin x ＋1≥0恒成立，所以f (x )＝cos x ＋x 是R 上的增函数，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6. 8．(2018届高三·黄冈调研)定义在区间(0，＋∞)上的函数y ＝f (x )使不等式2f (x )<xf ′(x )<3f (x )恒成立，其中y ＝f ′(x )为y ＝f (x )的导函数，则( )A ．8<f 2f 1<16 B ．4<f 2f 1<8C ．3<f 2f 1<4 D ．2<f 2f 1<3 解析：选B ∵xf ′(x )－2f (x )>0，x >0，∴⎣⎢⎡⎦⎥⎤f x x 2′＝f ′x ·x 2－2xf x x 4＝xf ′x －2f x x 3>0， ∴y ＝f xx 2在(0，＋∞)上单调递增， ∴f 222>f 112，即f 2f 1>4.∵xf ′(x )－3f (x )<0，x >0，∴⎣⎢⎡⎦⎥⎤f x x 3′＝f ′x ·x 3－3x 2f x x 6＝xf ′x －3f x x 4<0， ∴y ＝f xx 3在(0，＋∞)上单调递减， ∴f 223<f 113，即f 2f 1<8.综上，4<f 2f 1<8. 9．(2017·张掖一诊)定义在R 上的可导函数f (x )满足f (1)＝1，且2f ′(x )>1，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，3π2时，不等式f (2cos x )>32－2sin 2x 2的解集为( )A.⎝⎛⎭⎪⎫π3，4π3 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，4π3C.⎝⎛⎭⎪⎫0，π3D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，π3解析：选D 令g (x )＝f (x )－x 2－12，则g ′(x )＝f ′(x )－12>0，∴g (x )在R 上单调递增，且g (1)＝f (1)－12－12＝0，∵f (2cos x )－32＋2sin 2x 2＝f (2cos x )－2cos x 2－12＝g (2cos x )， ∴f (2cos x )>32－2sin 2x 2，即g (2cos x )>0， ∴2cos x >1，又x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，3π2，∴x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，π3.10．已知函数f (x )＝e xx2－k ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋ln x ，若x ＝2是函数f (x )的唯一一个极值点，则实数。

2018届福建省泉州市高三第二次质量检查数学试卷(理) 含答案解析

2018届福建省泉州市高三第二次质量检查数学试卷（理）含答案解析注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．考生作答时，将答案答在答题卡上．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效．在草稿纸、试题卷上答题无效．3．选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题答案使用5.0毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚．4．保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破损．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）已知集合(){},|1A x y y x ==-，(){},|1B x y y x ==-+，则A B =I（A ）∅（B ）{}1（C ）{}0,1（D ）(){}1,0（2）设向量a ，b 满足，()3-=g a a b ，则a 与b 的夹角为（A （B （C （D （3）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S .若136a a +=，416S =，则4a =（A ）6（B ）7（C ）8（D ）9（4）若双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点()40F ，到其渐近线的距离为2，则C 的渐近线方程为（A ）y x = （B ）y =（C ）y x =（D ）y =（5）执行如图所示的程序框图，若输出的2=S ，则判断框内可以填入（A ）5<i（B ）6<i（C ）7<i（D ）8<i（6）若函数()()()()sin 0,0,0,f x A x A ωϕωϕ=+>>∈π的部分图象如图所示，则()f x 的一条对称轴为（A ）1121x =-π （B ）56x =-π （C ）1112x =π （D ）76x =π（第（5）题图）（第（6）题图）（7）李雷和韩梅梅两人都计划在国庆节的7天假期中，到“东亚文化之都--泉州”“二日游”，若他们不同一天出现在泉州，则他们出游的不同方案共有（A ）16种（B ）18种（C ）20种（D ）24种（8）已知偶函数()f x 在()0,+∞上单调递增，则（A ）()()ee23f f >-（B ）()()23ee f f >-（C ）((0.5log 0.5f f >（D ）0.5f f >（9视图，则该几何体的体积为（A ）32π （B ）53π（C ）116π（D ）136（10）已知正三棱柱111ABC A B C -111,B C BB 的中点.1p ：1//AC MN ；2p ：11AC C N ⊥； 3p ：1B C ⊥平面AMN ；4p ：异面直线AB 与MN 其中正确的结论是（A ）12,p p（B ）23,p p（C ）24,p p（D ）34,p p（11）已知椭圆()2222:10+=>>x y C a b a b的左、右焦点分别为1F ，2F ．2F 也是抛物线2:2(0)E y px p=>的焦点，点A为C与E的一个交点，且直线1AF的倾斜角为45︒，则C的离心率为（A（B1（C）3（D1（12x的方程()0f f x⎡⎤=⎣⎦的实数解最多有（A）4个（B）7个（C）10个（D）12个二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．（13对应的点位于第三象限，则实数a的取值范围是 .（14）若,x y满足约束条件2,0,20,xx yx y≥-⎧⎪+≥⎨⎪-+≤⎩则2z x y=-的最大值为 .（15）甲和乙玩一个猜数游戏，规则如下：已知五张纸牌上分别写有112n⎛⎫- ⎪⎝⎭（*,5n n∈≤≤N1）五个数字，现甲、乙两人分别从中各自随机抽取一张，然后根据自己手中的数推测谁手上的数更大．甲看了看自己手中的数，想了想说：我不知道谁手中的数更大；乙听了甲的判断后，思索了一下说：我也不知道谁手中的数更大．假设甲、乙所作出的推理都是正确的，那么乙手中的数是 .（16）已知数列{}n a，{}n b，{}n c满足1112,2,2,n n n nn n n nn n n na ab cb a b cc a b c+++=++⎧⎪=++⎨⎪=++⎩且18a=，14b=，1c=，则数列{}n na的前n项和为 .三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（17）（本小题满分12分）△ABC的内角,,A B C的对边分别为,,a b c，且cosb A c=-．（Ⅰ）求B；（Ⅱ）若c=cos10A=，求△ABC的面积．（18）（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，//AD BC ，2AB BC ==，4AD PD ==，60BAD ∠=o ，120ADP ∠=o ，点E 为PA 的中点．（Ⅰ）求证：//BE 平面PCD ；（Ⅱ）若平面PAD ⊥平面ABCD ，求直线BE 与平面PAC 所成角的正弦值．（19）（本小题满分12分）某工厂有两台不同机器A 和B 生产同一种产品各10万件，现从各自生产的产品中分别随机抽取20件，进行品质鉴定，鉴定成绩的茎叶图如下所示：[80,90)的产品，质量等级为良好；鉴定成绩达到[60,80)的产品，质量等级为合格．将这组数据的频率视为整批产品的概率．（Ⅰ）从等级为优秀的样本中随机抽取两件，记X 为来自B 机器生产的产品数量，写出X 的分布列，并求X 的数学期望；（Ⅱ）完成下列22⨯列联表，以产品等级是否达到良好以上（含良好）为判断依据，判断能不能在误差不超过0.05的情况下，认为B 机器生产的产品比A 机器生产的产品好；（III 润为5元/件，A 机器每生产10万件的成本为20万元，B 机器每生产10万件的成本为30万元；该工厂决定：按样本数据测算，两种机器分别生产10万件产品，若收益之差达到5万元以上，则淘汰收益低的机器，若收益之差不超过5万元，则仍然保留原来的两台机器.你认为该工厂会仍然保留原来的两台机器吗？附：1.独立性检验计算公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++．2.临界值表：PECDA（20）（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>经过点(2，离心率为2．（Ⅰ）求E 的方程；（Ⅱ）过E 的左焦点F 且斜率不为0的直线l 与E 相交于A ，B 两点，线段AB 的中点为C ，直线OC 与直线4x =-相交于点D ，若△ADF 为等腰直角三角形，求l 的方程．（21）（本小题满分12分）函数()()ln 1f x x ax =++的图像与直线2y x =相切．（Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）证明：对于任意正整数n ，选考题：请考生在第（22）、（23）两题中任选一题作答。

福建省泉州市2018届高考适应性模拟试卷理科数学(一)(含答案)

准考证号________________ 姓名________________（在此卷上答题无效）保密★启用前泉州市2018届高考适应性模拟（一）理科数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）设集合{}|2xA y y ==，(){}22|log 1B x y x ==-，则A B =I（A ）{}11x x -<<（B ）{}01x x <<（C ）{}1x x >（D ）∅（2）设复数z 满足()2i 2i z +=-，则z =（A ）1（B ）2（C ）2（D ）4（3cos 1x x -=，则πcos 23x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（A ）1-（B ）12-（C ）12（D ）1（4）已知点P 是边长为2的正三角形内任意一点，则P 到三个顶点的距离均大于1的概率是（A（B ）3π6（C ）66π- （D（5）若,x y 满足约束条件1,0,40,x x y x y ≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≥⎩则22z x y =+的最小值为（A ）2（B（C ）8（D ）102842+（D ）28+x ⎝⎭（A ）5（B ）21（C ）1052（D ）105（8）已知0.30.5a -=，0.20.25b -=，2log 3c =，则（A ）c b a <<（B ）a b c <<（C ）c a b <<（D ）a c b <<（9）已知函数()()πsin 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭在π0,3⎛⎫⎪⎝⎭上单调，且()ππ032f f f ⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则ϕ= （A ）π3-（B ）π6-（C ）π6（D ）π3（10）已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过F 的直线l 与C 相交于M ，N 两点，线段MN 的中点为P ，若8MN =，则PF =（A（B ）3（C ）2（D ）22（11）已知正四棱锥P ABCD -的所有顶点都在同一球面上，若球的半径为3，则该四棱锥的体积的最大值为（A ）643（B ）32（C ）54（D ）64（12）设点P 在直线2140x y --=上，点Q 在曲线ln y x x =+上，线段PQ 的中点为M ，O 为坐标原点，则OM 的最小值为（A（B （C （D二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．（13）已知向量a 与b 满足()-⊥a b b ，且a 在b 方向上的投影为2，则=b . （14）市质检后，小明总是想隐瞒自己的数学成绩，他的四个同学对此很好奇，聚在一起猜测：甲：“小明得90分.” 乙：“小明得分不到95分.” 丙：“小明最多得100分.” 丁：“小明至少得90分.” 若他们四人中只有一人猜对了，则猜对的人是 .（15）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ．过1F 的直线与C 的左、右两支分别交于A ，B 两点，且2=AB BF ，21cos 4BAF ∠=，则C 的离心率为 . （16）在平面四边形ABCD 中，120ABC ∠=︒，5BC =，2AB AC BC +=，若BCD △的面积为103则ACD △的周长的最小值为 .三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（17）（本小题满分12分）等比数列{}n a 是递增数列，满足3232a a =，且1a ，9，4a 成等差数列. （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设2log nn na b a =，求数列{}n b 的前n 项和n T . （18）（本小题满分12分）如图18-1，在四边形ABCD 中，AD BC ∥，90BAD ∠=︒，23AB =，4BC =，6AD =，E 是AD 上的点，13AE AD =．将ABE ∆沿BE 折起到1A BE ∆的位置，且14A C =，如图18-2．（Ⅰ）求证：平面1A BE ^平面BCDE ；（Ⅱ）若P 为线段BE 上任一点，求直线1PA 与平面1A CD 所成角的正弦值的最大值．D（19）（本小题满分12分）已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的短轴长为2，且两个焦点和短轴的两个端点恰为一个正方形的四个顶点，过E 的左焦点F 且不与坐标轴垂直的直线l 与E 交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线m 与x 轴，y 轴分别交于M ，N 两点，交线段AB 于点C . （Ⅰ）求E 的方程；（Ⅱ）设O 为坐标原点，记FCM △的面积为1S ，OMN △的面积为2S ，且12S S λ=，当[]2,5λ∈时，求l 的斜率的取值范围. （20）（本小题满分12分）某校对初三年的100名学生进行立定跳远的模拟测试，所得成绩如图所示．若立定跳远的成绩达到2．4米及以上，则评定为优秀；若成绩在[)2.1,2.4（单位:米），则评定为良好；若成绩在[)1.9,2.1（单位:米）则评定为及格；成绩未达到1.9米则评定为不及格．（Ⅰ）求本次立定跳远模拟测试中该校学生的优秀率并估算优秀学生的平均成绩；（Ⅱ）在本次立定跳远模拟测试成绩中成绩没达到2.0米的学生中抽取两位，记X 为不及格的人数，写出X 的分布列，并求X 的数学期望；（III ）若本次模拟考试的其中一位考试不及格的同学通过最后的训练，他的立定跳远成绩为{}1.85,1.86,1.87,1.88,1.89,1.90,1.91,1.92,1.93,1.94中随机等可能的一个值，考试时有两种方案供学生选择：（1）一次测试，成绩达到1.9米评定为及格；（2）可测三次，取成绩最好的一次，成绩达到1.93米评定为及格；请帮该同学选择更容易及格的方案．（21）（本小题满分12分）已知函数()2ln 1f x a x x =-+. （Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）求证:()()()()222121ln 2ln 3ln 22341n n n n n n -++++<≥+. 请考生在第（22）、（23）两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做第一个题目计分，作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．（22）（本小题满分10分）选修44-：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线1C ：x tcos y tsin αα==⎧⎨⎩，（t 为参数，0t ≠），其中0πα≤<.以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C ：2cos ρθ=，3C ：23ρθ=. （Ⅰ）求2C 与3C 交点的直角坐标；（Ⅱ）若1C 与2C 相交于点A ，1C 与3C 相交于点B ，求2ABC △面积的最大值. （23）（本小题满分10分）选修45-：不等式选讲已知函数()2f x x a x a =-+-.（Ⅰ）当2a =时，求不等式()4f x ≥的解集；（Ⅱ）求证：()16f x f x ⎛⎫+-≥ ⎪⎝⎭．泉州市2018届高考适应性模拟（一）理科数学试题参考答案评分说明：1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分60分．（1）B （2）A （3）C （4）D （5）C （6）A （7）D（8）B（9）A（10）D（11）A（12）C二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分20分．（13）2（14）丁（15（16）20三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（17）（本小题满分12分）解析：（Ⅰ）由题意设等比数列的公比为()1q q >. ........................................................................................... 1分由已知得2313141132,18,a q a a a a q ⎧=⎪⎨+=+=⎪⎩............................................................................................................. 3分解得12,2,a q =⎧⎨=⎩或116,12a q =⎧⎪⎨=⎪⎩（不合，舍去）， ................................................................................................. 5分所以{}n a 的通项公式为2nn a =. .................................................................................................................. 6分（Ⅱ）由（Ⅰ）得22log log 2=22nn n nn n a nb a ==， ...................................................................................... 7分则()12311111112+3++1+22222n n nT n n -=⨯+⨯⨯-⨯⨯，所以()234+111111112+3++1+222222n n n T n n =⨯+⨯⨯-⨯⨯， ............................................................ 8分将以上两式相减得23+1+1+111111111122+++1122222222212n n n n n n n n n n T ⎛⎫- ⎪⎝⎭=+-=-=---， .......... 11分整理得222n n n T +=-. 所以数列{}n b 的前n 项和222n n n T +=-. .................................................................................................. 12分（18）（本小题满分12分）解法一：（Ⅰ）取BE 中点O ，连结1,,AO CO CE ．在四边形ABCD 中，//AD BC ，90BAD ∠=︒，3AB =，4BC =，6AD =，13AE AD =，所以12A E AE ==，4BE DE ==， ....................................................................................................... 1分所以四边形BCDE 为菱形，且BCE ∆为等边三角形.又BO EO =，所以CO BE ⊥， .................................................................................................................. 2分又1122AO BE ==，23CO =14AC =，所以22211A O CO A C +=，即1CO A O ⊥， ............................................................................................... 3分又1AO BE O =I ，所以CO ⊥平面1A BE ， ............................................................................................. 4分又CO ⊂平面BCDE ，所以平面1A BE ^平面BCDE ． ....................................................................... 5分（Ⅱ）以O 为原点，向量,OB OC 的方向分别为x 轴、y 轴的正方向建立空间直角坐标系O xyz -（如所以(11PA t =--，(4,0,0)CD =-，1(1AC =， .................................................. 7分设(),,x y z =n 是平面1A CD 的法向量，则10,0,CD A C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即40,2330,x x z -=⎧⎪⎨+=⎪⎩ 令1y =，得(0,1,2)=n . ............................................................................................................................ 9分设直线1PA 与平面1A CD 所成角为θ，所以()122325sin cos ,135PA t θ==≤++⨯n ，........................................................................ 11分当且仅当1t =-时，即点P 的坐标为()1,0,0-时等号成立，所以直线1PA 与平面1A CD 25. ............................................................... 12分D解法二：（Ⅰ）过1A 作1A O BE ⊥，垂足为O ，连结,CO CE ．在四边形ABCD 中，//AD BC ，90BAD ∠=︒，3AB =，4BC =，6AD =，13AE AD =，所以12A E AE ==，4BE DE ==， ....................................................................................................... 1分所以13AO =，3BO =，60AEB EBC ∠=∠=︒，所以2222cos6013CO BC BO BC BO =+-⋅⋅︒=，所以13CO = ................................................ 2分又14AC =，所以22211A O CO A C +=，即1A O CO ⊥， ........................................................................ 3分又COBE O =，所以1A O ⊥平面BCDE ， ........................................................................................... 4分又1AO ⊂平面1A BE ，所以平面1A BE ^平面BCDE ． ......................................................................... 5分（Ⅱ）以O 为原点，向量1,OB OA 的方向分别为x 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系O xyz -（如图），所以(1PA t =-，(4,0,0)CD =-，1(1AC =， ...................................................... 7分设(),,x y z =n 是平面1A CD 的法向量，则10,0,CD A C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即40,2330,x x z -=⎧⎪⎨+=⎪⎩ 令1y =，得(0,1,2)=n . ............................................................................................................................. 9分设直线1PA 与平面1A CD 所成角为θ，所以122325sin cos ,35PA t θ==≤+⨯n ， ................................................................................. 11分当且仅当0t =时，即点P 的坐标为()0,0,0时等号成立，所以直线1PA 与平面1A CD 25. ............................................................... 12分D解法三：（Ⅰ）同解法二；（Ⅱ）设直线1PA 与平面1A CD 所成角为θ，点P 到平面1A CD 的距离为h . 由11P A CD A PCD V V --=得111133A CD PCD h S A E S ∆∆⋅⋅=⋅⋅， .............................................................................. 6分所以11PCDA CDA E S h S ∆∆⋅=， .................................................................................................................................. 7分又1EO =，4ED =，120DEO ∠=︒，所以2222cos12021OD EO ED EO ED =+-⋅⋅︒=，所以21DO =............................................ 8分又1A E ED ⊥，13A E =，所以126A D =所以1215A CD S ∆=43PCD S ∆=， ..................................................................................................... 9分所以h ==， ..................................................................................................................... 10分因为115sin hPA PA θ==，所以当1PA 取最小值时，sin θ的值最大， ............................................... 11分又1PAsin θ所以直线1PA 与平面1A CD 所成角的正弦值的最大值为55. ............................................................... 12分（19）（本小题满分12分）解析：（Ⅰ）由题意可得22b =，1b =，半焦距1c =，.................................................................................. 2分所以2222a b c =+=， ................................................................................................................................. 3分所以E 的方程2212x y +=. ............................................................................................................................ 4分（Ⅱ）由（Ⅰ）得()1,0F -，设直线l 的方程为()1y k x =+，11(,)A x y ，22(,)B x y . ..................... 5分联立方程组()221,1,2y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩消去y ，得()2222214220k x k x k +++-=， ......................................... 6分由韦达定理得2122421k x x k -+=+，21222221k x x k -=+， ................................................................................. 7分所以点C 的坐标为2222,2121k k k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭， .................................................................................................... 8分可得直线m 的方程为222122121kk y x k k k ⎛⎫-=-+ ⎪++⎝⎭，易得22,021k M k ⎛⎫- ⎪+⎝⎭，20,21k N k -⎛⎫ ⎪+⎝⎭， ................................................................................................... 9分所以()()221222211122121221k k k k S k k k +⎛⎫-=+= ⎪++⎝⎭+， ()3222222122121221k k k S k k k =⋅⋅=+++， ................................................................................................. 10分 []212221112,5S k S k kλ+===+∈， ............................................................................................................ 11分所以111,,122k ⎛⎫⎛⎫∈--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即l 的斜率的取值范围为111,,122⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. ........................................ 12分（20）（本小题满分12分）解析：（Ⅰ）根据本次模拟测试成绩的分布直方图，优秀率为0.1(0.60.8 1.2)0.26⨯++=， ................... 1分26位优秀学生的平均成绩为1(12 2.458 2.556 2.65) 2.527 2.5326⨯⨯+⨯+⨯=≈． ........................... 3分（Ⅱ）本次立定跳远模拟测试成绩中成绩没达到2.0米的学生共：0.1(0.20.6)1008⨯+⨯=位，其中不及格的有0.10.21002⨯⨯=位，则X 可能的取值为0,1,2， ...................................................... 4分262815(0)28===C P X C ，11262812(1)28===C C P X C ，22281(2)28===C P X C ，所以X 的分布列为 X0 1 2 P 1528 1228 128.7分 ()1512110122828282E X =⨯+⨯+⨯=． ..................................................................................................... 8分（III ）一次测试，该同学的成绩要达到1.9米的概率为0.5， ................................................................ 9分若测试三次，取成绩最好的一次，三次成绩均未达到1.93米的概率为30.80.512=， ..................... 10分则采用这种方案学生要达到及格的概率为10.5120.4880.5-=<， .................................................... 11分所以该同学应该选择一次测试． .................................................................................................................. 12分（21）（本小题满分12分）解析：（Ⅰ）()f x 的定义域为()0+∞，，()222a a x f x x x x-'=-=. .......................................................... 1分 ①当0a ≤时，()0f x '≤，()f x 在()0+∞，上单调递减； ................................................................... 2分 ②当0a >时，由()0f x '<解得2a x >；由()0f x '>解得02a x <<； ....................................... 4分所以()f x 在02a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，上单调递增，在2a ⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭，上单调递减. .............................................................. 5分（Ⅱ）由（Ⅰ）得当2a =时，()()max 12ln1110f x f ==-+=，即22ln 10x x -+≤当且仅当1x =时等号成立. ...................................................................................... 6分所以()22ln 102n n n -+<≥，()21ln 22n n n -<≥， .......................................................................... 7分 ...................................................... 9分2ln 1111111111222334122n n n n n n --⎛⎫⎛++<--+-++-=- ⎪ +⎝⎭⎝ .. 11分 ()()2121ln n n n n -+++< .............................................................................................. 12分（22）（本小题满分10分）选修44-：坐标系与参数方程解析：（Ⅰ）曲线2C 的直角坐标方程为2220x y x +-=， .............................................................................. 1分曲线3C 的直角坐标方程为22230x y y +-=. ........................................................................................ 2分解得0,0x y =⎧⎨=⎩或3,23,2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.............................................................................................................................. 4分所以2C 与3C 交点的直角坐标为()0,0和33,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭................................................................................... 5分（Ⅱ）曲线1C 的极坐标方程为θα=（,0R ρρ∈≠），其中0πα≤<. ............................................ 6分因此A 的极坐标为()2cos ,αα，B 的极坐标为()23sin,αα， ......................................................... 7分，又2C 到直线1C 的距离为sin α， .................................................... 8分 .................................................... 9分所以当π3π232α+=，即7π12α=时，2ABC S △取得最大值，最大值为312+. .................................... 10分（23）（本小题满分10分）选修45-：不等式选讲解析：（Ⅰ）当2a =时，()222f x x x =-+-.①当1x ≤时，()222222434f x x x x x x =-+-=-+-=-≥，得0x ≤； ............................... 2分 ②当12x <<时，()2222224f x x x x x x =-+-=-+-=≥，无解； ....................................... 3分 ③当2x ≥时，()222222344f x x x x x x =-+-=-+-=-≥，得83x ≥； .......................... 4分综上所述，不等式的解集为803x x x ⎧⎫≤≥⎨⎬⎩⎭或． ...................................................................................... 5分（Ⅱ）()2112f x f x a x a a a x x x ⎛⎫+-=-+-+--+-- ⎪⎝⎭.............................................................. 6分()()121222x a a x a a x a a x a a x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+--+-+--≥----+---- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ .............. 8分 1212226||x x x x x x x x =+++=+++≥（当且仅当1x =±时取等号），命题得证． .................... 10分。

[名师版]福建省2018届高三上学期期末考试数学(理)有答案

泉港一中2017-2018学年上学期期末考试高三数学（理科）试题（考试时间：120分钟总分：150分）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知i 为虚数单位，若复数2i z i =-，则（） A ． B ．C ．D ．2. 设常数a ∈R ，集合A ＝{x|(x －1)(x －2)≥0}，B ＝{x|x ≥a}．若A ∪B ＝R ，则a 的取值范围为( )．(－∞，1) B ．(－∞，1] C ．(2，＋∞) D ．[2，＋∞)3. 我国古代数学算经十书之一的《九章算术》有一衰分问题：今有北乡八千一百人，西乡七千四百八十八人，南乡六千九百一十二人，凡三乡，发役三百人，则北乡遣（）. 104人 B. 108人 C. 112人 D. 120人 4.在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若，则ABC ∆为（）A ．等腰三角形B ．直角三角形 C.等腰直角三角形 D ．等腰三角形或直角三角形5. 已知数列{}n a 满足：时，2p p q a a +=，则{}n a 的前12项和（）A ． 94B ．-94 C. -126 D ．126 6.设α、β、γ为平面，为m 、n 、l 直线，则m β⊥的一个充分条件是 A 、,,l m l αβαβ⊥=⊥ B 、,,m αγαγβγ=⊥⊥C 、,,n n m αβα⊥⊥⊥D 、,,m αγβγα⊥⊥⊥7.按下图所示的程序框图运算：若输出2k =，则输入x 的取值范围是（）A. (]20,25 B ．(]30,57 C.(]30,32 D ．(]28,578.已知变量,x y 满足条件23033010x y x y y +-≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，若目标函数z ax y =+仅在点()3,0处取得最大值，则a 的取值范围是（）A ． 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭C ． 1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ D ．1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭9. 如图，圆O 与x 轴的正半轴的交点为A ，点B ，C 在圆O 上，点B 的坐标为()1,2-，点C 位于第一象限，AOC α∠=，若BC =，则2sin cos222ααα+=（） A． BD．10. 已知,,A B P 是双曲线22221x y a b-=上的不同三点，且AB 连线经过坐标原点，若直线,PA PB 的斜率乘积23PA PB k k =，则该双曲线的离心率e =（）A11.一个棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的全面积为（）ABC D12.已知函数()2x f x e =，()1ln 2g x x =+，对a R ∀∈，()0,b ∃∈+∞，使得()()f a g b =，则b a -的最小值为（） A ．ln 212+B ．ln 212-C.1 D1- 第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．） 13. 设()()()25501251111x a a x a x a x +=+-+-++-…，则125a a a +++=… ．14.如图，平面内有三个向量15. 设{a n }是等比数列，公比q =S n 为{a n }的前n 项和。

2018届高考数学二轮复习寒假作业(二十七)小题限时保分练——大连一模试题节选(注意命题点分布)文

寒假作业(二十七) 小题限时保分练——大连一模试题节选(注意命题点分布)(时间：40分钟满分：80分)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.i7＋3i ＝( ) A.316－716i B.316＋716i C ．－316＋716iD ．－316－716i解析：选Bi7＋3i ＝7－7＋7－＝316＋716i.2．已知集合A ＝{x |(2x －5)(x ＋3)>0}，B ＝{1,2,3,4,5}，则(∁R A )∩B ＝( ) A ．{1,2,3} B ．{2,3} C ．{1,2}D ．{1}解析：选C 根据题意，由(2x －5)(x ＋3)＞0，得x ＜－3或x ＞52，即A ＝{x |(2x －5)(x＋3)＞0}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫xx ＜－3或x ＞52，则∁R A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x －3≤x ≤52，又由B ＝{1,2,3,4,5}，得(∁R A )∩B ＝{1,2}．3．某公司为了解该公司800名员工参加运动的情况，对公司员工半年来的运动时间进行统计得到如图所示的频率分布直方图，则运动时间超过100小时的员工有( )A ．360人B ．480人C ．600人D ．240人解析：选B 根据频率分布直方图，运动时间超过100小时的频率是(0.016＋0.008)×25＝0.6，所求的频数为800×0.6＝480(人)．4．《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造的一种标准量器——商鞅铜方升，其主体部分的三视图如图所示，则该量器的容积为( )A ．252B ．189C ．126D ．63解析：选A 由三视图，可得直观图为长、宽、高分别为12,7,3的长方体，体积为12×7×3＝252，故选A.5．函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π3的图象的一条对称轴方程是( )A ．x ＝－11π24B ．x ＝π8C ．x ＝π4D ．x ＝11π24解析：选D 对于函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π3，令4x －π3＝k π＋π2，k ∈Z ，求得x ＝k π4＋5π24，k ∈Z ，故函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π3的图象的对称轴方程为x ＝k π4＋5π24，k ∈Z ，令k ＝1，可得函数的一条对称轴方程为x ＝11π24.6．已知单位向量a 与b 的夹角为120°，则|a －3b |＝( ) A. 3B ．2 3C.13D.15解析：选C 由题得，a ·b ＝1×1×cos 120°＝－12，∴(a －3b )2＝a 2－6a ·b ＋9b 2＝1＋3＋9＝13，∴|a －3b |＝13.7．已知等比数列{a n }的前n 项积为T n ，若log 2a 3＋log 2a 7＝2，则T 9的值为( ) A ．±512 B ．512 C ．±1 024D ．1 024 解析：选B 由log 2a 3＋log 2a 7＝2，可得log 2(a 3a 7)＝2，即a 3a 7＝4，则a 5＝2或a 5＝－2(负值舍去)，所以等比数列{a n }的前9项积T 9＝a 1a 2·…·a 8a 9＝(a 5)9＝512.8．运行如图所示的程序框图，若输出的k 的值为13，则判断框中可以填( )A ．m ＞7?B ．m ≥7?C ．m ＞8?D ．m ＞9?解析：选A 由程序框图知n ＝2m ，k ＝2m －1，∵输出的k 的值为13，∴k ＝2m －1＝13，解得m ＝7，∴判断框中可以填“m ＞7？”，故选A.9．已知过原点的直线l 1与直线l 2：x ＋3y ＋1＝0垂直，圆C 的方程为x 2＋y 2－2ax －2ay ＝1－2a 2(a ＞0)，若直线l 1与圆C 交于M ，N 两点，则当△CMN 的面积最大时，圆心C 的坐标为( )A.⎝⎛⎭⎪⎫52，52 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12D ．(1,1)解析：选A 由题意，直线l 1的方程为3x －y ＝0，圆C 的标准方程为(x －a )2＋(y －a )2＝1，圆心坐标为(a ，a )，半径为1，而S △CMN ＝12×CM ×CN ×sin∠MCN ＝12sin ∠MCN ，则当∠MCN ＝90°，即CM ⊥CN 时，△CMN 的面积最大，此时圆心C 到直线l 1的距离为|3a －a |9＋1＝22，∵a ＞0，∴a ＝52，∴圆心C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫52，52. 10．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ，－2≤x ≤0，f x －＋1，0<x ≤2，则关于x 的方程x －f (x )＝0在[－2,2]上的根的个数为( )A ．3B ．4C ．5D ．6解析：选B ①当－2≤x ≤0时，令f (x )＝x 得x 2＋2x ＝x ，解得x ＝0或x ＝－1. ②当x ∈(0,1]时，f (x )＝f (x －1)＋1＝(x －1)2＋2(x －1)＋1＝x 2，令f (x )＝x 得x 2＝x ，解得x ＝0(舍)或x ＝1.③当x ∈(1,2]时，f (x )＝f (x －1)＋1＝f (x －2)＋2＝(x －2)2＋2(x －2)＋2＝x 2－2x ＋2，令f (x )＝x 得x 2－2x ＋2＝x ，解得x ＝1(舍)或x ＝2.综上，方程x －f (x )＝0在[－2,2]上有4个根．11．已知F 为双曲线C ：x 2a －y 2b＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点，l 1，l 2为C 的两条渐近线，点A 在l 1上，且FA ⊥l 1，点B 在l 2上，且FB ∥l 1，若|FA |＝45|FB |，则双曲线C 的离心率为( )A.52或 5 B.52或352 C.52D. 5 解析：选A 由题意，l 1：y ＝b a x ，l 2：y ＝－b ax ，F (c,0)．∴|FA |＝bc a b 2a 2＋1＝b .FB 的方程为y ＝ba (x －c )，与l 2：y ＝－ba x 联立，可得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫c2，－bc2a ，∴|FB |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c 2－c 2＋b 2c 24a 2＝c 22a ，∵|FA |＝45|FB |，∴b ＝45·c 22a ，∴2c 2＝5ab ，∴4c 4＝25a 2(c 2－a 2)，∴4e 4－25e 2＋25＝0，解得e ＝52或 5. 12．已知函数f (x )＝x e x－m2x 2－mx (m >0)，则函数f (x )在[1,2]上的最小值不可能为( )A ．e －32mB ．－12m ln 2mC ．2e 2－4mD ．e 2－2m解析：选D f ′(x )＝e x＋x e x－m (x ＋1)＝(x ＋1)(e x－m )，令f ′(x )＝0得x ＝－1或x ＝ln m .①当ln m ≤－1，即m ≤1e 时，由x ∈[1,2]可得f ′(x )>0，此时f (x )单调递增，∴当x＝1时，函数f (x )取得最小值f (1)＝e －32m ；②当－1<ln m ≤1，即1e <m ≤e 时，由x ∈[1,2]可得f ′(x )>0，此时f (x )单调递增，∴当x ＝1时，函数f (x )取得最小值f (1)＝e －32m ；③当1<ln m <2，即e<m <e 2时，由x ∈[1,2]可知，当1≤x <ln m 时，f ′(x )<0，当ln m <x ≤ 2时，f ′(x )>0，即函数f (x )在[1，ln m )上递减，在(ln m,2]上递增，∴当x ＝ln m 时，函数f (x )取得极小值(即最小值)f (ln m )＝－m2ln 2m ；④当ln m ≥2，即m ≥e 2时，由x ∈[1,2]可知f ′(x )≤0，此时函数f (x )单调递减，∴当x ＝2时，函数f (x )取得最小值f (2)＝2e 2－4m .综上所述，函数f (x )在[1,2]上的最小值不可能为e 2－2m ，故选D. 二、填空题(本题共4小题，每小题5分)13．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥3，x ＋2y ≥6，x ≤8，则z ＝x －2y 的最小值为________．解析：作出不等式组对应的平面区域如图中阴影部分所示．由z ＝x －2y 得y ＝12x －12z ，平移直线y ＝12x －12z ，可知当直线y ＝12x －12z 过点B 时，直线y ＝12x －12z 在y 轴上的截距最大，此时z 最小．由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝3，x ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8，y ＝5，即B (8,5)，代入目标函数得z ＝8－2×5＝－2，即z ＝x －2y 的最小值为－2. 答案：－214．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若3，a 7，a 5也成等差数列，则S 17＝________. 解析：∵3，a 7，a 5成等差数列，∴2a 7＝3＋a 5，即2(a 1＋6d )＝3＋(a 1＋4d )，a 1＋8d ＝3.则S 17＝17a 1＋17×162d ＝17(a 1＋8d )＝51.答案：5115．从1,2,3,4,5这5个数字中随机抽取3个，则所抽取的数字中有且仅有1个数能被2整除的概率为________．解析：从1,2,3,4,5这5个数字中随机抽取3个，基本事件总数n ＝10，所抽取的数字中有且仅有1个数能被2整除包含的基本事件有：123,125,134,145,235,345，共6个，∴所抽取的数字中有且仅有1个数能被2整除的概率为P ＝610＝35.答案：3516.如图所示，三棱锥P ABC 中，△ABC 是边长为3的等边三角形，D 是线段AB 的中点，DE ∩PB ＝E ，且DE ⊥AB ，若∠EDC ＝120°，PA ＝32，PB ＝332，则三棱锥P ABC 的外接球的表面积为________．解析：∵△ABC 为等边三角形，D 为AB 中点，∴CD ⊥AB .由⎩⎪⎨⎪⎧AB ⊥DE ，AB ⊥DC ，DE ∩DC ＝D ，知AD ⊥平面DEC ，∵AD ⊂平面PAB ，AD ⊂平面ABC ，∴平面PAB ⊥平面DEC ，平面ABC ⊥平面DEC ，在CD 上取点O 1，使O 1为等边三角形ABC 的中心，由题可得，PA 2＋PB 2＝AB 2，则AP ⊥BP ，△PAB 为直角三角形，∵D 为Rt △PAB 的斜边中点，∴在△DEC 中，过D 作直线与DE 垂直，过O 1作直线与DC 垂直，两条垂线交于点O ，则O 为球心．∵∠EDO ＝90°，∴∠ODO 1＝30°，∵DO 1＝13CD ＝32，∴OO 1＝12，又CO 1＝23CD ＝3，∴三棱锥P ABC 的外接球的半径R ＝OO 21＋CO 21＝132，则三棱锥P ABC 的外接球的表面积为4πR 2＝13π.答案：13π。

高考数学二轮复习寒假作业(二十七)小题限时保分练—

寒假作业(二十七) 小题限时保分练——泉州一模试题节选(注意命题点分布)(时间：40分钟满分：80分)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知i 为虚数单位，则复数z ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 2 2 017在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限解析：选A 因为z ＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋i 2 2 017＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 2 2 016×1＋i 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2i 2 1 008×1＋i 2＝i 1 008×1＋i 2＝1＋i2＝22＋22i ，所以复数z 对应的点位于第一象限，故选A. 2．设x >0，集合M ＝{x 2，log 4x }，N ＝{2x，a }，若M ∩N ＝{1}，则M ∪N ＝( ) A ．{0,1,2,4} B ．{0,1,2} C ．{1,4}D ．{0,1,4}解析：选B 因为M ∩N ＝{1}，所以1∈M,1∈N ，所以x 2＝1或log 4x ＝1，又因为x >0，所以x ＝1或x ＝4.当x ＝1时，M ＝{1,0}，N ＝{2，a }，此时a ＝1，满足M ∩N ＝{1}，所以M ∪N ＝{0,1,2}；当x ＝4时，M ＝{16,1}，N ＝{16，a }，此时不满足M ∩N ＝{1}．综上可知M ∪N ＝{0,1，2}．3．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－56，136上随机地取一个数x ，则事件“－1≤log 13(x ＋1)≤1”不发生的概率为( )A.89 B.23 C.13D.19解析：选D 由－1≤log 13(x ＋1)≤1，得13≤x ＋1≤3，解得－23≤x ≤2，由几何概型的概率计算公式得所求概率P ＝1－2－⎝ ⎛⎭⎪⎫－23136－⎝ ⎛⎭⎪⎫－56＝1－89＝19.4．已知圆C 的方程为(x －3)2＋(y －4)2＝16，过直线l ：6x ＋8y －5a ＝0(a >0)上的任意一点作圆C 的切线，若切线长的最小值为25，则直线l 在y 轴上的截距为( )A ．－252B.252 C ．－554D.554解析：选D 设直线l 与切线的交点为D ，当切线长最小时，CD 最短，此时CD 的长即为圆心到直线l 的距离d .d ＝52＋42＝6，所以|18＋32－5a |36＋64＝6，解得a ＝－2或a＝22，又a >0，所以a ＝22，所以直线l 的方程为6x ＋8y －110＝0，直线l 在y 轴上的截距为554. 5.函数f (x )＝33sin ωx (ω>0)的部分图象如图所示，点A ，B 是图象的最高点，点C 是图象的最低点，且△ABC 是正三角形，则f (1)＋f (2)＋f (3)的值为( )A.92B.932C ．93＋1D.3＋2解析：选D 因为△ABC 是正三角形，所以∠A ＝60°，所以|AC |·sin 60°＝33－(－33)＝63，故|AC |＝12，所以|AB |＝|AC |＝2πω＝12，解得ω＝π6，所以f (x )＝33sinπ6x ，则f (1)＋f (2)＋f (3)＝33×⎝⎛sin π6＋⎭⎪⎫sin 2π6＋sin3π6＝3＋2.6．执行如图所示的程序框图，则输出的S 的值是( )A ．145B ．148C ．278D ．285解析：选C 第1次循环，S ＝53，a ＝45；第2次循环，S ＝53＋45，a ＝40；第3次循环，S ＝53＋45＋40，a ＝35；第4次循环，S ＝53＋45＋40＋35，a ＝30；第5次循环，S ＝53＋45＋40＋35＋30，a ＝25；第6次循环，S ＝53＋45＋…＋30＋25，a ＝20；第7次循环，S ＝53＋45＋…＋25＋20，a ＝15；第8次循环，S ＝53＋45＋…＋20＋15，a ＝10；第9次循环，S ＝53＋45＋…＋15＋10，a ＝5；第10次循环，S ＝53＋45＋…＋10＋5，a ＝0；第11次循环，S ＝53＋45＋…＋10＋5＋0，a ＝－5，退出循环，故输出的S ＝53＋45＋…＋10＋5＋0＝53＋45＋52×9＝278.7．若点P 是曲线y ＝32x 2－2ln x 上任意一点，则点P 到直线y ＝x －52的距离的最小值为( )A. 2B.332C.322D. 5解析：选C 对y ＝32x 2－2ln x 求导，得y ′＝3x －2x.设在点P 0(x 0，y 0)(x 0>0)处时，点P 到直线y ＝x －52的距离最小，则⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝32x 20－2ln x 0，3x 0－2x 0＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝1，y 0＝32(负值舍去)，即P 0⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32.点P 0⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32到直线x －y －52＝0的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－32－5212＋－2＝322，于是点P 到直线y ＝x －52的距离的最小值为322.8．一个几何体的正视图、侧视图、俯视图如图所示，若这个几何体的外接球的表面积等于100π，则该几何体的体积为( )A ．36 3 B.983 C.1163D.1283解析：选 D 由三视图得几何体的直观图如图所示，在三棱锥E ABC 中，平面EAC ⊥平面ABC ，△AEC 与△ABC 都是以AC 为底边的等腰三角形，取AC 的中点D ，连接ED ，BD ，则ED ⊥平面ABC ，BD ⊥AC ，结合三视图知AD ＝CD ＝BD ＝m ，DE ＝2m ，设F 为三棱锥E ABC 外接球的球心，则F 在线段DE 上，连接AF ，设外接球的半径为r ，则(2m －r )2＋m 2＝r 2，得r ＝54m ，又外接球的表面积为100π，所以4π⎝ ⎛⎭⎪⎫54m 2＝100π，所以m ＝4(负值舍去)，所以该几何体的体积V ＝13×12×4×8×8＝1283.9．若y ＝f (x )是定义在R 上的函数，且满足：①f (x )是偶函数；②f (x ＋2)是偶函数；③当0<x ≤2时，f (x )＝log 2 017x ，当x ＝0时，f (x )＝0，则方程f (x )＝－2 017在区间(1,10)内的所有实数根之和为( )A ．0B ．10C ．12D ．24解析：选D 因为f (x )是偶函数，所以f (－x )＝f (x )，因为f (x ＋2)是偶函数，所以f (－x ＋2)＝f (x ＋2)，即f (x )＝f (－x ＋4)，所以f (－x ＋4)＝f (－x )，所以函数f (x )的周期为4，且其图象关于直线x ＝2n (n ∈Z)对称，根据以上性质结合已知条件画出f (x )的图象，如图，由图象知方程f (x )＝－2 017在区间(1,10)内有四个实数根，其中两个关于直线x ＝4对称，另两个关于直线x ＝8对称，故它们的和等于2×(4＋8)＝24.10．已知双曲线C ：y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)，过焦点F (0，c )作直线交双曲线C 的两条渐近线于A ，B 两点，若B 为FA 的中点，且|OA |＝c ，则双曲线的离心率为( )A. 3 B ．2 C ．2 3D ．4 3解析：选B 如图所示，因为|OF |＝c ，|OA |＝c ，所以|OF |＝|OA |，又B 为FA 的中点，所以可得∠BOF ＝∠BOA ＝2∠AOx ＝2∠BOx ，又因为∠BOF ＋∠BOx ＝90°，所以3∠BOx ＝90°，所以∠BOx ＝30°，所以ab ＝tan 30°＝33，所以ba＝3，所以e ＝ca ＝1＋b 2a2＝2. 11.如图，三棱柱ABC A 1B 1C 1中，侧棱AA 1⊥底面A 1B 1C 1，AA 1＝AC ＝BC ＝1，∠ACB ＝90°，D 是A 1B 1的中点，F 是BB 1上的点，AB 1，DF 交于点E ，且AB 1⊥DF ，则下面结论中不正确的为( )A ．CE 与BC 1异面且垂直B ．AB 1⊥C 1FC ．△C 1DF 为直角三角形D ．DF 的长为63解析：选D A 中，连接CB 1，易知BC 1⊥CB 1，BC 1⊥AC ，又CB 1∩AC ＝C ，所以BC 1⊥平面AB 1C .又CE ⊂平面AB 1C ，且BC 1与平面AB 1C 的交点不在CE 上，故CE 与BC 1异面且垂直，故A 正确；B 中，AB 1⊥DF ，易知C 1D ⊥AB 1，又DF ∩C 1D ＝D ，所以AB 1⊥平面C 1DF .又C 1F ⊂平面C 1DF ，故AB 1⊥C 1F ，故B 正确；C 中，侧棱AA 1⊥底面A 1B 1C 1，则侧棱AA 1⊥C 1D ，又C 1D ⊥A 1B 1，AA 1∩A 1B 1＝A 1，所以C 1D ⊥平面ABB 1A 1.又DF ⊂平面ABB 1A 1，故C 1D ⊥DF ，故△C 1DF 为直角三角形，故C 正确；D 中，设B 1F ＝x ，由已知可以得A 1B 1＝2，设Rt △AA 1B 1斜边AB 1上的高为h ，由AB 1⊥DF ，D 为A 1B 1的中点，得DE ＝12h .又1×2＝h 12＋22＝3h ，所以h ＝63，DE ＝66.在Rt △DB 1E 中，B 1E ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫222－⎝ ⎛⎭⎪⎫662＝33.由面积相等得33× x 2＋⎝⎛⎭⎪⎫222＝22x ，所以x ＝1(负值舍去)，则DF ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫222＋12＝62，故D 不正确． 12．已知定义在R 上的函数y ＝f (x )满足条件f (x ＋4)＝－f (x )，且函数y ＝f (x ＋2)是偶函数，当x ∈(0,2]时，f (x )＝ln x －ax ⎝ ⎛⎭⎪⎫a >12，当x ∈[－2,0)时，f (x )的最小值为3，则a 的值等于( )A ．e 2B ．eC ．2D ．1解析：选A ∵f (x ＋4)＝－f (x )，∴f (x ＋8)＝－f (x ＋4)＝f (x )，故函数y ＝f (x )是周期为8的函数，由函数y ＝f (x ＋2)是偶函数，得函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称，即f (x ＋4)＝f (－x )，于是f (－x )＝－f (x )，所以函数f (x )是奇函数，∴f (x )在(0,2]上的最大值为－3.当x ∈(0,2]时，f ′(x )＝1x －a ，令f ′(x )＝0，得x ＝1a ，又a >12，∴0<1a <2.当0<x <1a时，f ′(x )>0，∴f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 上单调递增；当1a<x ≤2时，f ′(x )<0，∴f (x )在⎝ ⎛⎦⎥⎤1a，2上单调递减，∴f (x )在x ＝1a处取得最大值－3，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝ln 1a －a ·1a＝－3，解得a＝e 2.二、填空题(本题共4小题，每小题5分)13．已知菱形ABCD 的边长为4，∠BAD ＝150°，点E ，F 分别在边BC ，DC 上，2CE ＝3EB ，DC ＝λDF (λ∈R ，且λ≠0)，若AE uuu r ·AF uuu r ＝425(1－3)，则λ的值为________．解析：根据题意作出示意图如图，由题意得BC uuu r ＝AD uuu r ，DC uuu r ＝AB uuu r， AE uuu r ＝AB uuu r ＋BE uuu r ＝AB uuu r ＋25AD uuu r ，AF uuu r ＝AD uuu r ＋DF uuu r ＝AD uuu r ＋1λAB uuu r(λ≠0)．∵四边形ABCD 为菱形，且边长为4，∠BAD ＝150°，∴AE uuu r ·AF uuu r ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AB uuu r ＋25 AD uuu r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1λAB uuu r ＋AD uuu r＝16λ＋AB uuu r ·AD uuu r ＋25λAB uuur ·AD uuu r ＋25×16 ＝16λ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋25λ×4×4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＋325＝16λ－83－1635λ＋325＝425(1－3)，∴λ＝8. 答案：814．某学校有5个班级的同学一起到某工厂参加社会实践活动，该工厂有5个车间供学生选择，每个班级任选一个车间进行实践学习，则恰有2个班级选择甲车间，1个班级选择乙车间的方案有________种．解析：先从5个班级中任选2个班级到甲车间有C 25种选法；再从剩下的3个班级中选1个班级到乙车间有C 13种选法；剩下的2个班级，每个班级有3种选法，共有3×3＝9种选法．所以总共的方案有C 25×C 13×9＝270种．答案：27015．已知数列{a n }中，a 1＝3，且点P n (a n ，a n ＋1)(n ∈N *)在直线4x －y ＋1＝0上，则数列{a n }的通项公式为______________．解析：∵点P n (a n ，a n ＋1)(n ∈N *)在直线4x －y ＋1＝0上， ∴4a n －a n ＋1＋1＝0，即a n ＋1＝4a n ＋1，a n ＋1＋13＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫a n ＋13，又a 1＝3，∴a 1＋13＝103，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋13是以103为首项，4为公比的等比数列．故a n ＋13＝103·4n －1，即a n ＝103·4n －1－13.答案：a n ＝103·4n －1－1316．甲、乙两位打字员在两台电脑上各自输入A ，B 两种类型的文件的部分文字才能使这两种类型的文件成为成品．已知A 文件需要甲输入0.5小时，乙输入0.2小时；B 文件需要甲输入0.3小时，乙输入0.6小时．在一个工作日内，甲至多只能输入6小时，乙至多只能输入8小时．A 文件每份利润为60元，B 文件每份利润为80元，则甲、乙两位打字员在一个工作日内获得的最大利润是________元．解析：设一个工作日内完成A 文件x 份，B 文件y 份，则x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧0.5x ＋0.3y ≤6，0.2x ＋0.6y ≤8，x ∈N ，y ∈N ，即⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋3y ≤60，x ＋3y ≤40，x ∈N ，y ∈N ，设甲、乙两位打字员在一个工作日内获得的利润为z (元)，则z＝60x ＋80y .画出可行域，如图中阴影部分(包含边界)内的整点，显然直线z ＝60x ＋80y 过点A 时z 取得最大值，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋3y ＝60，x ＋3y ＝40解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝353，∵x ，y ∈N ，则最优解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝10或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝11或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝12，经验算，当x ＝4，y ＝12时，z 取得最大值，z max ＝60×4＋80×12＝1 200. 故甲、乙两位打字员在一个工作日内获得的最大利润是1 200元．答案：1 200。

2018年高三最新福建省泉州一中2018届高三年第二次阶

泉州一中2018届高三年第二次阶段考试数学试题（理科）内容：极限与导数、复数、集合和简易逻辑、函数、不等式本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共150分。

考试时间：120分钟（2018-10-4）第I 卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12小题, 每小题5分, 共60分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的） 1．在复平面内，复数iz +=21对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 2．已知集合{}{12}A x x a B x x =<=<<，，且R B C A R =)( ，则实数a 的取值范围是（） A ．1a ≤ B ．1a <C ．2a ≥D ．2a >3．已知函数)(x f 存在反函数)(1x f -，且)1(+x f 的图象过定点（3，1），则函数)(1x f -的图象一定过点（） A ．)2,1( B ．)1,4( C ．)1,2( D ．)4,1(4．若条件41:≤+x p ，条件65:2-<x x q ，则p ⌝是q ⌝的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．不充分不必要条件 5．下列求导运算正确的是（） A ．211)'1(xx x +=+B ．x x x x x x 2sin 2cos 2)'2cos (22-=C ．3log 3)'3(e xx = D ．3log1)'(log3ex x =6．为了得到函数342)(2--=x x x f 的图象，只需把函数22)(x x f =上所有的点（）A ．向右平移1个单位长度，向下平移3个单位长度B ．向右平移1个单位长度，向下平移5个单位长度C ．向左平移1个单位长度，向上平移3个单位长度D ．向左平移1个单位长度，向下平移5个单位长度7．若关于x 的不等式(1+k 2)x ≤k 2+4其解集是M,则对任意实常数k,总有（） A 、2∈M ，0∈M B 、2∉M ，0∉M C 、2∈M ，0∉M D 、2∉M ，0∈M8．已知)(x f 是奇函数，且在)1,(--∞上是递减函数，在)1,0(上是单调递增函数，则)0(f ，)2()3(f f +-的大小关系是（）A ．)2()3()0(f f f +-D ．不确定9．设20)()(0)x f x xa x x <=⎨⎪+≥⎩，要使()f x 在(,)-∞+∞内连续，则a 的值为（）A ． 0B ．12C ． 1D ．不存在10．用长度为24m 的材料围成一矩形场地，并且中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙．．的长度为（） A ．3m B ．4m C ．6m D ．12m11．设定义域为R 的函数()()x g x f ,都有反函数，且函数()1-x f 和()13g x --图象关于直线x y =对称，若()52005g =，则f (4)为（）A ．2018B ．2018C ．2018D ．2018 12．已知函数210()(1)xx f x f x x -⎧-≤=⎨->⎩，若方程()f x x a=+有且只有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是（） A ．(,0]-∞B ．[0,1]C ．(,1)-∞D ．[0,)+∞第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题有4小题, 每小题4分, 共16分. 请将答案填写在答题卡中的横线上） 13. 不等式x x<-23的解集是。

2018年高三最新福建省泉州市2018高考考前冲刺数学(理

福建省泉州市2018高考考前冲刺数学（理）参考答案一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分）13 14、2 15、35,11,010,1q q q ⎧=⎪<<⎨⎪>⎩16、1（解答见后）三、解答题：（第22题14分，其他每题12分，共74分） 17、解：（1）由0m n ⋅=得：222cos2sin ()02CA B -+=，化为21cos 2(1cos )0C C +--=， ……3分整理得：22cos cos 10C C +-=，解得：cos 1C =-或1cos 2C =。

0,60C C π<<∴=。

……6分（2）sin()sin cos sin cos A B A B B A -=-2222222222a a c b b b c a R ac R bc +-+-=⋅-⋅222()4a b cR-= 21sin 442c c C cR R ====22212a b c -=）。

……12分 18、解：（1）易知(1)()125n a f n f n n =+-+=+， ……2分 (25)(21)2125n n n b n n +-∴==-+，12n n b b +∴-=，则数列{}n b 是公差为2的等差数列。

……4分 211234232221共1项()()()n n n n n T b b b b b b b -----∴=-+-++-+2(1)2(21)12n n n =--+--=-。

……6分（2）2(121),(,21)2n n n n S n OP n n +-==∴=-。

……8分∴向量(,2())()(1,2)m n n m P P OP OP n m n m n m =-=--=-。

……10分即向量m n P P 与向量（1，2）共线，所以，对任意、*m n N ∈，向量m n P P 都共线。

2018年福建省泉州市高考数学二模试卷(理科)(解析版)

16．（5 分）已知数列{an}，{bn}，{cn}满足
，且 a1＝8，b1＝4，c1＝0，
写出文字说明，证明过程或演算步骤．
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17．（12 分）△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 bcosA＝c﹣ （Ⅰ）求 B；（Ⅱ）若 c＝4 ，cosA＝，求△ABC 的面积．
物线 E：y ＝2px（p＞0）的焦点，点 A 为 C 与 E 的一个交点，且直线 AF1 的倾斜角为 45°，则 C 的离心率为（ A． B．） C．3 D．
12．（5 分）函数 f（x）＝
，则关于 x 的方程 f[f（x）]＝0 的实数解最
多有（ A．4 个
） B．7 个 C．10 个 D．12 个
．
18．（12 分）如图，在四棱锥 P﹣ABCD 中，AD∥BC，AB＝BC＝2，AD＝PD＝4，∠BAD ＝60°，∠ADP＝120°，点 E 为 PA 的中点．（Ⅰ）求证：BE∥平面 PCD；（Ⅱ）若平面 PAD⊥平面 ABCD，求直线 BE 与平面 PAC 所成角的正弦值．
19．（12 分）某工厂有两台不同机器 A 和 B 生产同一种产品各 10 万件，现从各自生产的产品中分别随机抽取 20 件，进行品质鉴定，鉴定成绩的茎叶图如图所示：
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分． 13．（5 分）在复平面内复数 z＝对应的点位于第三象限，则实数 a 的取值范围是．
14．（5 分）若 x，y 满足约束条件
则 z＝x﹣2y 的最大值为
．
n
15．（5 分）甲和乙玩一个猜数游戏，规则如下：已知五张纸牌上分别写有 1﹣ （）（n∈N*， 1≤n≤5）五个数字，现甲、乙两人分别从中各自随机抽取一张，然后根据自己手中的数推测谁手上的数更大．甲看了看自己手中的数，想了想说：我不知道谁手中的数更大；乙听了甲的判断后，思索了一下说：我也不知道谁手中的数更大．假设甲、乙所作出的推理都是正确的，那么乙手中的数是．

2018年福建高考数学试题(理)

2018年福建高考数学试题（理）第Ｉ卷（选择题共50分）一.选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项吻合题目要求的.1.复数(32)z i i =-的共轭复数z 等于（）.23A i -- .23B i -+ .23C i - .23D i +2.某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可以能是（）.A 圆柱 .B 圆锥 .C 周围体 .D 三棱柱3.等差数列{}n a 的前n 项和n S ，若132,12a S ==，则6a =( ).8A .10B .12C .14D4.若函数log (0,1)a y x a a =>≠且的图像如右图所示，则以下函数图象正确的选项是（）5.阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的S 得值等于（）.18A .20B .21C .40D6.直线:1l y kx =+与圆22:1O x y +=订交于,A B 两点，则"1"k =是“ABC ∆的面积为12”的（）.A 充分而不用要条件 .B 必要而不充分条件 .C 充分必要条件 .D 既不充分又不用要条件7.已知函数()⎩⎨⎧≤>+=0,cos 0,12x x x x x f 则以下结论正确的选项是（）A.()x f 是偶函数B. ()x f 是增函数C.()x f 是周期函数D.()x f 的值域为[)+∞-,1 8.在以下向量组中，可以把向量()2,3=a 表示出来的是（） A.)2,1(),0,0(21==e e B .)2,5(),2,1(21-=-=e e C.)10,6(),5,3(21==e e D.)3,2(),3,2(21-=-=e e9.设Q P ,分别为()2622=-+y x 和椭圆11022=+y x 上的点，则Q P ,两点间的最大距离是（）A.25B.246+C.27+D.2610.用a 代表红球，b 代表蓝球，c 代表黑球，由加法原理及乘法原理，从1个红球和1个篮球中取出若干个球的所有取法可由()()b a ++11的张开式ab b a +++1表示出来，如：“1”表示一个球都不取、“a ”表示取出一个红球，而“ab ”则表示把红球和篮球都取出来。

福建省泉州市华侨大学附属中学2018年高三数学理测试题含解析

福建省泉州市华侨大学附属中学2018年高三数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知集合，若对于任意，存在，使得成立，则称集合是“集合”. 给出下列4个集合：① ②③ ④其中所有“集合”的序号是（）A.②③B.③④C.①②④D.①③④．参考答案：A2. 17．在数列中，，若一个7行12列的矩阵的第i行第j列的元素，（）则该矩阵元素能取到的不同数值的个数为（）(A)18 (B)28 (C)48 (D)63参考答案：A3. 已知,的取值范围是（）A. B. C. D.参考答案：C4. 已知直线l的参数方程为（t为参数），则点（1,0）到直线l的距离是A. B. C. D.参考答案：D【分析】首先将参数方程化为直角坐标方程，然后利用点到直线距离公式求解距离即可.【详解】直线的普通方程为,即,点到直线的距离,故选D.5. 函数的图象是（）A B C D参考答案：C6. 2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日L2点的轨道运行．L2点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为M１，月球质量为M２，地月距离为R，L2点到月球的距离为r，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r满足方程：.设，由于的值很小，因此在近似计算中，则r的近似值为A．B．C．D．参考答案：D所以有化简可得，可得。

7. 设集合A={x|1＜x＜4}，集合B={x|x2﹣2x﹣3≤0}，则A∩（?R B）=（）A．（1，4）B．（3，4）C．（1，3）D．（1，2）∪（3，4）参考答案：B【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】集合．【分析】由题意，可先解一元二次不等式，化简集合B，再求出B的补集，再由交的运算规则解出A∩（?R B）即可得出正确选项【解答】解：由题意B={x|x2﹣2x﹣3≤0}={x|﹣1≤x≤3}，故?R B={x|x＜﹣1或x＞3}，又集合A={x|1＜x＜4}，∴A∩（?R B）=（3，4）故选B【点评】本题考查交、并、补的混合运算，属于集合中的基本计算题，熟练掌握运算规则是解解题的关键8. 已知实数x，y满足，则的取值范围为（）A. B.C. D.参考答案：B【分析】表示的是可行域内的点与连线的斜率减去.画出可行域，求得斜率的取值范围，减去求得的取值范围.【详解】表示的是可行域内的点与连线的斜率减去.画出可行域如下图所示，，，即与连线的斜率取值范围是，再减去得，故选B.【点睛】本小题主要考查斜率型线性规划的目标函数取值范围的求法，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.9. 设集合P={1，2，3，4}，Q={x||x|≤3，x∈R}，则P∩Q等于（）A．{1} B．{1，2，3}C．{3，4} D．{﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3}参考答案：B【考点】1E：交集及其运算．【分析】利用不等式的解法、集合运算性质即可得出．【解答】解：Q={x||x|≤3，x∈R}=[﹣3，3]，P={1，2，3，4}，则P∩Q={1，2，3}．故选：B．【点评】本题考查了不等式的解法、集合运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．10. 下列函数为偶函数的是（）A．B．C．D．参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 在△ABC中，若sin2A＋sin2B－sin Asin B＝sin2C，且满足ab＝4，则该三角形的面积为________．参考答案：12. 曲线y=2sin（x+）cos（x﹣）和直线y=在y轴右侧的交点按横坐标从小到大依次记为P1，P2，P3，…，则|P2P4|等于．参考答案：π考点:两角和与差的正弦函数；两角和与差的余弦函数；三角函数的周期性及其求法．专题:计算题；压轴题．分析:本题考查的知识点是诱导公式，二倍角公式及函数图象的交点，将y=2sin（x+）cos（x﹣）的解析式化简得y=sin（2x）+1，令y=，解得x=kπ+±（k∈N），代入易得|P2P4|的值．解：∵y=2sin（x+）cos（x﹣）=2sin（x﹣+）cos（x﹣）=2cos（x﹣）cos（x﹣）=cos[2（x﹣）]+1=cos（2x﹣）+1=sin（2x）+1若y=2sin（x+）cos（x﹣）=则2x=2kπ+±（k∈N）x=kπ+±（k∈N）故|P2P4|=π故答案为：π点评: 求两个函数图象的交点间的距离，关于是要求出交点的坐标，然后根据两点间的距离求法进行求解．13. 若变量 x，y满足约束条件，则z=3x+y的最小值为．参考答案：1【考点】简单线性规划．【专题】不等式的解法及应用．【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最小值．【解答】解：作出不等式对应的平面区域如图，由z=3x+y，得y=﹣3x+z，平移直线y=﹣3x+z，由图象可知当直线y=﹣3x+z，经过点A（0，1）时，直线y=﹣3x+z 的截距最小，此时z最小．此时z的最小值为z=0×3+1=1，故答案为：1【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．14. 已知函数f（x）=f′（）sinx+cosx，则f（）= ．参考答案：【考点】导数的运算．【专题】导数的概念及应用．【分析】求函数的导数，先求出f′（）的值即可得到结论．【解答】解：函数的导数为f′（x）=f′（）cosx﹣sinx，令x=，得f′（）=f′（）cos﹣sin=﹣1，则f（x）=﹣sinx+cosx，则f（）=﹣sin+cos=，故答案为：0．【点评】本题主要考查函数值的计算，求函数的导数，求出f′（）的值是解决本题的关键．15. 执行右面的程序框图，若输入的的值为0.25，则输入的n的值为参考答案：3第一次循环，，此时不成立。