2016年安徽自主招生数学模拟试题：二倍角的正弦、余弦、正切
2016年安徽自主招生数学模拟试题：二倍角的正弦、余弦、正切
2016年自主招生数学模拟试题:二倍角的正弦、余弦、正切【试题容来自于相关和学校提供】1：若，则所在象限是（）A、一B、二C、三D、四2：已知，则一定是（ )A直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.正三角形3：已知锐角满足，则等于（）A、B、C、D、4：已知为第三象限的角，若，那么等于（）A、B、C、D、5：函数是奇函数，则等于（）A.B.C.D.6：若，，则= .7：已知为第二象限角，且那么= ；8：函数,的值域是。
9：已知则的值为__________10：已知,且,则的值为________.11：(本题满分12分)已知，求的值。
12：已知(1) 求的值. (2) 求的值.13：（12分）化简求值（1）（2）14：(本小题满分14分) 已知函数, (1) 求函数的最小正周期及取得最小值的x的集合；(2) 求函数的单调递增区间. （3）求在处的切线方程.15：在△ABC中，，记，△ABC的面积为，且满足.（1）求的取值围；（2）求函数的最大值和最小值.答案部分1、D略2、B，，,,,,,,,是等腰三角形.故选::B3、A试题分析：因为，锐角满足，所以，，两边平方得，= ，故选A。
考点：和差倍半的三角函数公式。
点评：中档题，灵活运用三角公式进行变换。
涉及正弦、余弦的和积互化问题，往往通过平方得以实现。
4、A略5、C，由是奇函数，可得，即，故.6、试题分析：由已知化简得：，整理得：，因为，所以所以，平方可得：，则。
考点：三角化简求值7、略8、试题分析：根据余弦二倍角公式可知,所以原函数为,因为,所以,则函数的值域为.考点：二倍角公式、余弦函数的值域9、答案：解析：考察正切的和差角与倍角公式及其运用，中档题。
10、试题分析：由得，所以，，因为，所以，，所以. 考点：1.二倍角公式；2.两角和与差公式.11、22/2512、(1)（2）本试题主要是考查了二倍角公式的化简和求值的运用。
（1）因为，而，那么借助于二倍角的余弦公式得到结论。
二倍角的正弦,余弦,正切公式
二倍角的正弦，余弦，正切公式基础过关1.已知θ是第三象限角,若sin4θ+cos4θ=,那么sin 2θ等于()A. B.- C. D.-2.已知tan x=2,则tan等于()A. B.- C. D.-3.tan 67°30'-tan 22°30'的值为()A.1B.C.2D.44.等于()A. cos 12°B.2cos 12°C.cos 12°-sin 12°D.sin 12°-cos 12°5.设-3π<α<-,化简的结果是()A.sinB.cosC.-cosD.-sin6.函数y=sin 2x+sin2x,x∈R的值域是()A.-,B.-,C.- +,+D.- -,-7.已知sin +cos =,那么sin θ=________,cos 2θ=________.8.已知4cos Acos B=,4sin Asin B=,则(1-cos 4A)(1-cos 4B)=________.9.已知方程x2-tan α+x+1=0的一个根是2+,则sin 2α=________.10.已知sin(70°+α)=,则cos(2α-40°)=________.11.利用倍角公式求下列各式的值.(1)sin·cos;(2)cos2-sin2;(3)1-2sin2;(4).12.化简下列各式:(1) -;(2);(3).13.已知tan α=,tan β=,并且α、β均为锐角,求α+2β的值.14.在一块半径为R的半圆形的铁板中截取一个内接矩形ABCD,使其一边CD 落在圆的直径上,问应该怎样截取,才可以使矩形ABCD的面积最大?并求出这个矩形的面积.三年模拟1.(2015安徽江淮十校联考,★★☆)若α∈,且cos 2α=sin,则sin 2α的值为()A.-B.C.1D.-12.(2015济南一中模拟,★★☆)函数y=2sin·cos图象的一条对称轴是()A.x=B.x=C.x=D.x=π3.(2015湖南岳阳模拟,★★☆)函数y=sin4x+cos4x是()A.最小正周期为,值域为的函数B.最小正周期为,值域为的函数C.最小正周期为,值域为的函数 D.最小正周期为,值域为的函数4. (2015山东临沂模拟,★★☆)已知角α的终边经过点(3,-4),则tan =( )A.-B.-C.-3D.-25. (2015安徽安庆模拟,★★☆)函数f(x)=cos 2x+sin x·cos x 的最小正周期和振幅分别是( )A.π,2B.π,1C.2π,1D.2π,26. (2015广东东莞模拟,★★☆)已知函数f(x)=,则有( ) A.函数f(x)的图象关于直线x=对称B.函数f(x)的图象关于点对称 C.函数f(x)的最小正周期为D.函数f(x)在区间(0,π)内单调递减7. (2013山东烟台模拟,★☆☆)若 f(x)=2tan x-,则 f 的值为( )A.-B.8C.4D.-4 8. (2015河北衡水模拟,★☆☆)已知<α<π,3sin 2α=2cos α,则cos(α-π)=________.9. (2014江苏盐城高一期末,★☆☆)函数y=cos 2x 的最小正周期为________.10. (2013山东日照模拟,★★☆)已知函数 f(x)=cos xsin x(x ∈R),给出下列四个结论:①若 f(x 1)=- f(x 2),则x 1=-x 2;② f(x)的最小正周期是2π;③ f(x)在区间-,上是增函数;④f(x)的图象关于直线x=对称.其中正确的结论是________.11.(2015山东济南模拟,★★☆)已知函数f(x)=sin 2x-2cos2x++a.(1)求函数f(x)的单调递减区间;(2)设x∈,若函数f(x)的最小值是-2,求f(x)的最大值.12.(2014北京东城高一期末,★☆☆)已知函数f(x)=sin 2x-2sin2x.(1)求函数f(x)的最小正周期;(2)求函数f(x)的单调递增区间.。
复习课件2016年安徽自主招生数学模拟试题：二项分布及其应用.docx
2016年安徽自主招生数学模拟试题:二项分布及其应用【试题内容来自于相关网站和学校提供】1：有位同学参加某项选拔测试，每位同学能通过测试的概率都是，假设每位同学能否通过测试是相互独立的，则至少有一位同学通过测试的概率为( )A、B、C、D、2：设随机变量服从，则的值是（）A、B、C、D、3：某电子管正品率为，次品率为，现对该批电子管进行测试，设第ξ次首次测到正品，则P(ξ＝3)的值为() A、B、C、()2×D、()2×4：某一批花生种子，若每1粒发芽的概率为，则播下3粒种子恰有2粒发芽的概率为（）.A、B、C、D、5：从一批羽毛球产品中任取一个，质量小于4.8g的概率是0.3，质量不小于4.85g的概率是0.32，那么质量在[4.8，4.85）g范围内的概率是（）A、0.62Ｂ。
0.38Ｃ。
0.7Ｄ。
0.686：从一副不含大小王的52张扑克牌中不放回地抽取两次，每次抽1张，在第一次抽到A的条件下，第二次也抽到A的概率为。
7：设，令，请写出二项式展开式中常数项 .8：电子设备的某一部件由9个元件组成，其中任何一个元件损坏了，这个部件就不能工作，假定每个元件能使用3000小时的概率为，则这个部件能工作3000小时的概率为_______（结果保留两位有效数字）。
9：加工某种零件需经过三道工序。
设第一、二、三道工序的合格率分别为，，，且各道工序互不影响。
从该种零件中任取3件，恰好取到l件合格品的概率为。
10：在4次独立试验中，事件出现的概率相同，若事件至少发生1次的概率是，则事件在一次试验中出现的概率是________。
11：23。
（本小题满分10分）将一枚硬币连续抛掷次，每次抛掷互不影响. 记正面向上的次数为奇数的概率为，正面向上的次数为偶数的概率为.（Ⅰ）若该硬币均匀，试求与；（Ⅱ）若该硬币有暇疵，且每次正面向上的概率为，试比较与的大小.12：一接待中心有、、、四部热线电话，已知某一时刻电话、占线的概率坞为0.5，电话、占线的概率均为0.4，各部电话是否占线相互之间没有影响，假设该时刻有部电话占线，试求随机变量的概率分布。
二倍角的正弦、余弦、正切(一)
第八课时 ●课 题§4.7.1 二倍角的正弦、余弦、正切(一) ●教学目标 (一)知识目标1.二倍角的正弦、余弦、正切公式： (1)sin2α＝2sin αcos α (α为任意角)(2)cos2α＝cos 2α－sin 2α (α为任意角)＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α (3)tan2α＝),24,2(tan1tan 22Z ∈++≠-k k k ππππααα(二)能力目标1.掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式；2.能用上述公式进行简单的求值、化简、恒等证明. (三)德育目标1.引导学生发现数学规律；2.让学生体会化归这一基本数学思想在发现中所起的作用；3.培养学生的创新意识. ●教学重点1.二倍角公式的推导；2.二倍角公式的简单应用. ●教学难点理解倍角公式，用单角的三角函数表示二倍角的三角函数. ●教学方法让学生推导倍角公式，从而了解它们之间、以及它们与和角公式之间的内在联系，从而加深对倍角公式的理解，同时培养逻辑推理能力.(启发诱导式) ●教具准备投影片二张第一张（§4.7.1 A ）：二倍角公式： sin2α＝2sin αcos α(α为任意角)cos2α＝cos 2α－sin 2α(α为任意角)⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+≠+≠∈-=242tan 1tan 22tan 2ππαππααααk k k Z 利用sin 2α＋cos 2α＝1，公式C 2α 还可变形为：cos2α＝2cos 2α－1或cos2α＝1－2sin 2α 第二张（§4.7.1 B ）： 练习题：1.已知cos α＝ｍ，α在第二象限，求sin2α，cos2α，tan2α的值.2.化简cos （θ＋15°）＋cos （θ－15°）－θ2cos 23Ⅰ.课题导入师：前一段时间，我们共同探讨了和角公式、差角公式，今天，我们继续探讨一下二倍角公式.我们知道，和角公式与差角公式是可以互相化归的.当两角相等时，两角之和便为此角的二倍，那么是否可把和角公式化归为二倍角公式呢?请同学们试推.生：先回忆和角公式sin （α＋β）＝sin αcos β＋cos αsin β当α＝β时，sin （α＋β）＝sin2α＝2sin αcos α 即：sin2α＝2sin αcos α(S 2α)cos （α＋β）＝cos αcos β－sin αsin β当α＝β时cos （α＋β）＝cos2α＝cos 2α－sin 2α即：cos2α＝cos 2α－sin 2α(C 2α )tan （α＋β）＝βαβαtan tan 1tan tan -+当α＝β时 tan2α＝αα2tan1tan 2-(打出投影片§4.7.1 A ，让学生对照). Ⅱ.讲授新课师：同学们推证所得结果是否与此结果相同呢?其中由于sin 2α＋cos 2α＝1，公式C 2α还可以变形为：cos2α＝2cos 2α－1或：cos2α＝1－2sin 2α同学们是否也考虑到了呢?另外运用这些公式要注意如下几点：(1)公式Ｓ2α、C 2α中，角α可以是任意角；但公式T 2α只有当α≠2π＋ｋπ及α≠4π＋2πk （ｋ∈Ｚ）时才成立，否则不成立(因为当α＝2π＋ｋπ，ｋ∈Ｚ时，tan α的值不存在；当α＝4π＋2πk ，ｋ∈Ｚ时tan2α的值不存在).当α＝2π＋ｋπ（ｋ∈Ｚ）时，虽然tan α的值不存在，但tan2α的值是存在的，这时求tan2α的值可利用诱导公式：即：tan2α＝tan2（2π＋ｋπ）＝tan （π＋2ｋπ）＝tan π＝0(2)在一般情况下，sin2α≠2sin α 例如：16sin2233sin=≠=ππ；只有在一些特殊的情况下，才有可能成立［当且仅当α＝ｋπ （ｋ∈Ｚ)时，sin2α＝2sin α＝0成立］.同样在一般情况下cos2α≠2cos α tan2α≠2tan α(3)倍角公式不仅可运用于将2α作为α的2倍的情况，还可以运用于诸如将4α作为 2α的2倍，将α作为2α的2倍，将2α作为4α的2倍，将3α作为23α的2倍等等.下面，来看一些例子：［例1］已知sin α＝135，α∈（2π，π），求sin2α，cos2α，tan2α的值.解：∵sin α＝135，α∈（2π，π）∴cos α＝－.1312)135(1sin122-=--=-α∴sin2α＝2sin αcos α＝2×169120)1312(135-=-⨯，cos2α＝1－2sin 2α＝1－2×169119)135(2=，tan2α＝.1191201191691691202cos 2sin -=⨯-=αα(打出投影片§4.7.1 B ，师生共同完成).师：1.题中cos α＝ｍ，由此虽不能确定sin α的值，但由于已知α所在象限，所以也可确定其符号，从而求解.生：解：∵cos α＝ｍ，α在第二象限.∴sin α＝221cos 1m-=-α∴sin2α＝2sin αcos α＝221m -·ｍ＝2ｍ21m - cos2α＝2cos 2α－1＝2ｍ2－1 tan2α＝12122cos 2sin 22--=m mm αα或由tan α＝m m 21cos sin -=ααtan2α＝1212tan1tan 2222--=-mmm αα师：2.分析：由于观察到此式中的角出现了θ＋15°、θ－15°与2θ，另外还出现了二次式，所以要用二倍角余弦公式的变形式达到降“次”及统一角的目的.生：解：cos （θ＋15°）＋cos （θ－15°）－23cos2θ＝θθθ2cos 232)]15(2cos[12)15(2cos[1-︒-++︒++=1＋21［cos （2θ＋30°）＋cos （2θ－30°）］－23cos2θ=1＋21［cos2θcos30°–sin2θsin30°+cos2θcos30°+sin2θsin30°］－23cos2θ＝1＋21×2cos2θcos30°－23cos2θ＝1＋23cos2θ－23cos2θ＝1评述：二倍角公式的等价变形：22cos 1cos,22cos 1sin22αααα+=-=，可以进行“升（降）幂”的变换，即可将“二次式”与“一次式”互化.Ⅲ.课堂练习生：(板演练习)课本P 44 1、3、4.解： 1.(1)2sin67°30′cos67°30′＝sin135°＝22(2)cos 28π－sin 28π＝cos 4π＝23(3)2cos 212π－1＝cos 6π＝23(4)1－2sin 275°＝cos150°＝－23(5)︒-︒5.22tan15.22tan 22＝tan45°＝1(6)sin15°cos15°＝21sin30°＝41(7)1－2sin 2750°＝cos1500°＝cos （4×360°＋60°）＝cos60°＝21(8)3300tan 150tan1150tan 22-=︒=︒-︒3.解：∵sin α＝0.8 α∈（0，2π）∴cos α＝0.6∴sin2α＝2sin αcos α＝0.96cos2α＝1－2sin 2α＝－0.28 4.解：∵tan α＝21∴tan2α＝34tan1tan 22=-ααⅣ.课时小结要理解并掌握二倍角公式以及推导，能正确运用二倍角的正弦、余弦、正切公式进行简单三角函数式的化简、求值与恒等式证明.二倍角公式是由和角公式由一般化归为特殊而来的，要注重这种基本数学思想方法，学会怎样去发现数学规律.Ⅴ.课后作业(一)课本P 47习题4.7 1、2. (二)1.预习课本P 43 例2、例3 2.预习提纲如何灵活应用二倍角公式进行化简、求值、证明? ●板书设计●备课资料1.若270°＜α＜360°，则α2cos 21212121++等于 ( )A.sin 2αB.cos2αC.－sin 2αＤ.－cos2α解：∵cos2α＝2cos 2α－1 cos α＝2cos22α－1∴ααα22cos2121)1cos2(212121212cos 21212121+=-++=++又∵270°＜α＜360° 135°＜2α＜180°∴原式＝2cos2cos)12cos2(2121cos 212122αααα-==-+=+答案：Ｄ2.求sin10°sin30°sin50°sin70°的值.解：sin10°＝cos80° sin50°＝cos40° sin70°＝cos20° ∴原式＝21cos80°cos40°cos20°＝21×︒︒︒︒︒20sin 20sin 20cos 40cos 80cos︒⨯⨯︒︒⨯=︒⨯︒︒︒⨯=20sin 212180sin 80cos 2120sin 2140sin 40cos 80cos 2116120sin 212121160sin 21=︒⨯⨯⨯︒=3.求证：8cos 4θ＝cos4θ＋4cos2θ＋3证明：8cos 4θ＝8（cos 2θ）2＝8(22cos 1θ+)2＝2（cos 22θ＋2cos2θ＋1） ＝2（44cos 1θ+）＋4cos2θ＋2＝cos4θ＋4cos2θ＋3 ●教学后记。
高一数学同步测试(5)—二倍角的正弦、余弦、正切
高中学生学科素质训练高一数学同步测试（5）—二倍角的正弦、余弦、正切一、选择题（每小题5分，共60分，请将正确答案填在题后的括号内） 1．οοοο15cos 75cos 15cos 75cos 22⋅++的值是（ ）A ．45 B ．26 C ．23 D ．431+ 2． 如果ααααcos sin ,21cos 1sin +=+那么的值是（ ）A ．57B ．58 C ．1D ．15293．已知Q 为第Ⅲ象限象，则θcos 21212121++等于（ ）A ．4sinθ B ．4cos θ C ．4sin θ-D ．4cos θ-4．函数xxx y cos cos 3cos -=的值域是（ ）A ．)0,4[-B ．)4,4[-C ．]0,4(-D ．[－4，0] 5．ππππ133cos 135cos 13cos 139cos 2++的值是 （ ）A ．－1B ．0C ．1D ．2 6．οοοο80sin 60sin 40sin 20sin ⋅⋅⋅的值为（ ）A ．161 B ．161-C ．163 D ．163- 7．οοοο48cos 78sin 24cos 6sin ⋅的值为（ ）A ．161 B ．161-C ．321 D ．818．αααcos 1sin 2tan +=成立的条件是（ ）A ．2α是第I 第限角B ．))(2,2(Z k k k ∈+∈πππαC ．0cos sin >⋅ααD ．以上都不对9．已知==-∈x x x 2tan ,54cos ),0,2(则π（ ）A ．247B ．－247C ．724D ．－72410．已知θ为第Ⅲ象限角，θθθ2sin ,95cos sin 44那么=+等于（ ）A ．232-B ．232C ．32D ．32- 11．已知θ为第Ⅱ象限角，2cos ,024sin sin252θθθ那么=-+的值为（ ）A ．53-B ．53±C ．22 D ．54±12．设xxx x x x x tan 12sin cos 2,0)3cos )(sin sin cos 2(2++=++-则的值为（ ）A ．58 B ．85 C ．52 D ．25 二、填空题（每小题4分，共16分，答案填在横线上）13．οοοο100cos 60cos 40cos 20cos ++-的值等于 .14．已知31cos cos ,41sin sin =+=+βαβα，那么)tan(βα+的值为 .15．已知θπθθθcot ),,0(,51cos sin 则∈=+的值是 . 16．化简οοο100sin 15cos 100cos -⋅的结果是 .三、解答题（本大题74分，17—21题每题12分，22题14分）17．已知)cos(,20,0,32)2sin(,91)2cos(βαπβπαβαβα+<<<<=--=-求的值.18．设)6sin(2)32cos(],3,0[πππ-+-=∈x x y x 求函数的最值.19．求证：x x x x x 2cos cos 3cos sin 3sin 333=⋅+⋅20．不查表求值 οοοοοο40cos 160cos 160cos 80cos 80cos 40cos ⋅+⋅+⋅21．已知函数)()0(2sin225sin 21)(θπθθθθf f 将<<+-=表示成关于θcos 的多项式22．已知xx xx x x x x x f cos sin 1sin cos 1cos sin 1sin cos 1)(+---+---+=①化简f （x ）②是否存在x ，使得xxx f xsin 2tan 1)(2tan2+⋅与相等？若存在，求x 的值，若不存在，请说明理由.参考答案一、1．A 2．A 3．A 4．C 5．B 6．C 7．A 8．D 9．D 10．B 11．B 12．C二、13．21 14．73 15．43- 16．2- 三、17．由已知954)2sin(91)2cos(,24=--=-<-<βαβαπβαπ故又 同理2757)]2()2cos[(2cos ,531)2cos(=---=+=-βαβαβαβα故 故72923912cos 2)cos(2-=-+=+βαβα 18．212323]21)6[sin(2min max 2-==∴+---=y y x y π19．==⋅=+⋅=x x x x x x 2cos 2cos 22cos 212cos 212cos 4cos 2132左右 20．原式=43)20cos 20cos 60cos 2(2143-=-+-οοο 21．1cos cos 221cos 4cos 221)(22-+=-++-=θθθθθf 22．（1）)(22,csc 2)(Z k k x x x f ∈+≠-=ππ且（2）存在，此时)(232Z k k x ∈+=ππ。
2016年安徽自主招生数学模拟试题：半角的正弦、余弦、正切
2016年自主招生数学模拟试题:半角的正弦、余弦、正切【试题容来自于相关和学校提供】1：已知，，则等于（）A、B、C、D、2：在中，若、、分别为角、、的对边，且，则有（）A、成等比数列B、成等差数列C、成等差数列D、成等比数列3：若，，，，则（）A、B、C、D、4：若，是第三象限的角，则等于( )A、B、C、-2D、25：已知( )A、B、C、D、6：已知为第三象限角，化简的结果为 .7：已知cosθ＝，且270°＜θ＜360°，则sin ＝________，cos ＝________。
8：已知角的顶点在原点，始边与x轴正半轴重合，点终边上一点，则= 。
9：已知则的大小关系为_________10：tan ＝____________.11：在平面直角坐标系下，已知（2，0），（0，2），，。
（1）求的表达式；（2）求的最小正周期和值域。
12：已知，。
（1）求的值；（2）求的值。
13：求证：。
14：已知函数，且，（1）求的最小正周期；（2）求的单调递增区间。
15：（8分）已知函数，(Ⅰ)求的最小正周期和最大值；(Ⅱ) 求的单调递增区间。
答案部分1、D∵，，∴，，∴2、D略3、C因为根据,那么根据已知角的围，可知，，结合两角差的余弦公式得到，选C.4、A试题分析：本题可以先利用半角公式，由，是第三象限的角，求出tan ，然后再求的值. 考点：三角函数的求值.5、D略6、通分得7、，－∵270°＜θ＜360°，∴135°＜＜180°. ∴sin ＝＝；cos ＝－＝－＝－.8、略9、所以10、解：11、（1）依题意得，，∴。
（2）由（1）得，∴的最小正周期为。
∵，∴，∴，∴。
∴函数的值域是。
12、（1）由得，，即或。
又，所以为所求。
（2）。
13、证明：左边=右边，所以原等式成立。
14、（1），因为，所以，∴。
又因为，所以，解得。
综上可得，所以的最小正周期。
二倍角的正弦、余弦和正切公式练习题
聖37练二俗*的正弦、余務和正切公式（A ）应知应金名师提■•- *、■»—",••• ' ' / * •' / ・•・• j. • • '八gizcog1 .和角三角函数公式，令a”即得二倍角公式. 2. cos 2g ・co«a—siMan 1 — 201）。
= Zcos 1 2。
一 1. 2.公式中a 是任童的•注意二倍角的相对性•如a=2 •° 2I *JI Q•4- tan 5 in订3•公式3中.aHh+于且aH 勞+于MW Z3. y=»in xcos x 最小值为cos 号=+侧cos a 等于7. AABC 中• un A= ■则 cos 2A 尊于4.AN 18(A)25q 1 —tan 2 22. 5^T 沒 um22・5・靜丁10. tan 2a=^ .则 tan a1 AABC 中.cos 八■誉•则sin 2J 4弩于⑻-埸2 sin 15°cos 15’等于理解那析题（C ）土揺MB 演练题组4■知识点：二信角正弦公式死M 记忆(A)-|-(C) +(D)]6(A)-l (C)*(D)l4. sina=#,则 cos 2« 等尸 (C)W(D)"255. sin 275#—sin 215*等于 (B)y，厂、（C ）_T・知识点：二倍用余獄公光理斡与记忆(A)T<B)f7(C)-#①）一壬8. tan a"2.则 tan 2a 等于 (A)令(B)y（心(D)-#•知识点：二伶角正切公与记忆(A 〉*(B)2(0-2专・4a=2・(2G ・常考• 1• 2. sin a+cos a 5"可，则 $i n 2a 等于3. sin 10°sin 70*sin 50°等于:5. sin z+cos 工=+ •具° cos 4/ 尊于6. y=oos : a 晟小正周期为9•叫"于L •则器等于(A)*2 RS 汁2013•则卷十圖2a 等于1. sin o=〒•则 cos(n —2a)等于(C 〉*2. a 为锐角.cosj a+卡）=$则叫 N+舊）为⑷鼾3.已知角0的顶点与原点重合•始边与丄轴正半紬重合,终边在査线，=乙上•则C8知等于<D >|1. sin a=y tJO sin 2a 等于 ♦类显:二借角正就公；（A>25⑻一欝(C)±|| （D ）H(A)T(B)-|(0-4-(D)-£（A 〉寺（嗚■売型:二余处公：4・sinnanY0.则/l+m2z 等于 氏变形及应用(A)Qcos x(B) —72cos x (C)V2sin x(D) —>/2sin T(A)81⑻普47 81(A)ir(B)2«(C)于（D ）于7-4Fycos 2 15。
2016年安徽师大附中高中自主招生数学试卷
2016年安徽师大附中高中自主招生数学试卷一、选择题（本大题共6小题，每小题8分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（8分）设a，b，c的平均数为M，a与b的平均数为N，N与c的平均数为P，若a＞b＞c，则M与P的大小关系是（）A．M=P B．M＞P C．M＜P D．不能确定2．（8分）已知a＞b，且a≠0，b≠0，a+b≠0，则函数y=ax+b与y=同一坐标系中的图象一定不可能是（）A．B．C．D．3．（8分）如图，⊙O中，弦AD∥BC，DA=DC，∠BCO=15°，则∠AOC等于（）A．120°B．130°C．140° D．150°4．（8分）已知实数a≠b，且满足（a+1）2=3﹣3（a+1），3（b+1）=3﹣（b+1）2，则b+a的值为（）A．﹣23 B．23 C．13 D．﹣135．（8分）如果二次方程x2﹣px﹣q=0（其中p，q均是大于0的整数）的正根小于3，那么这样的二次方程有（）A．4个 B．5个 C．6个 D．7个6．（8分）如图，四边形ABCD中，∠BAD=120°，∠B=∠D=90°，在BC、CD上分别找一点M、N，使△AMN周长最小时，则∠AMN+∠ANM的度数为（）A．140°B．130°C．120° D．110°二、填空题（本大题共6小题，每小题0分，共48分）7．若函数f（x）=定义域为一切实数，则实数k的取值范围为．8．如图所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第n（n是大于0的整数）个图形需要黑色棋子的个数是．9．已知a、b、x、y都为实数，且y+|﹣2|=1﹣a2，|x﹣4|=3y﹣3﹣b2．则a+b+x+y 的值为．10．如图，正方形ABCD的边长为1，E是CD边外的一点，满足：CE∥BD，BE=BD，则CE=．11．实数x，y，z满足x+y+z=5，xy+yz+zx=3，则z的最大值是．12．如图，已知⊙O1、⊙O2的半径分别为r1、r2，⊙O2经过点O1，且两圆相交于点A、B，C为⊙O2上的点，连接AC交⊙O1于点D，再连接BC、BD、AO1、AO2、O1O2有如下四个结论：①∠BDC=∠AO1O2；②=③AD=DC ④BC=DC，其中正确结论的序号为．三．解答题（本题共3小题，每小题16分，共54分）答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）13．（16分）设[x]表示不超过x的最大整数，如[4.3]=4，[﹣4，3]=﹣5．化简：++…+（结果用n表示，其中n 是大于0的整数）．14．（18分）如图，在梯形PMNQ中，PQ∥MN，对角线PN和MQ相交于点O，并把梯形分成四部分，记这四部分的面积分别为S1，S2，S3，S4．试判断S1+S2和S3+S4的大小关系，并证明你的结论．15．（18分）如图，将OA=6，AB=4的矩形OABC放置在平面直角坐标系中，动点M，N以每秒1个单位的速度分别从点A，C同时出发，其中点M沿AO向终点O运动，点N沿CB向终点B运动，当两个动点运动了t秒时，过点N作NP ⊥BC，交OB于点P，连接MP．（1）点B的坐标为；用含t的式子表示点P的坐标为；（2）记△OMP的面积为S，求S与t的函数关系式（0＜t＜6）；并求t为何值时，S有最大值？（3）试探究：当S有最大值时，在y轴上是否存在点T，使直线MT把△ONC 分割成三角形和四边形两部分，且三角形的面积是△ONC面积的？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．2016年安徽师大附中高中自主招生数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6小题，每小题8分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（8分）（2016•镜湖区校级自主招生）设a，b，c的平均数为M，a与b的平均数为N，N与c的平均数为P，若a＞b＞c，则M与P的大小关系是（）A．M=P B．M＞P C．M＜P D．不能确定【解答】解：由题意得：a+b+c=3M，a+b=2N，N+c=2P；∴M=，又∵a＞b＞c，∴a+b＞2c，∴M﹣p=，∴M＞P；故选B．2．（8分）（2016•镜湖区校级自主招生）已知a＞b，且a≠0，b≠0，a+b≠0，则函数y=ax+b与y=同一坐标系中的图象一定不可能是（）A．B．C．D．【解答】解：A、由函数y=ax+b过一、三、四象限可知，a＞0，b＜0；由函数y=图象可知，a+b＞0，与已知a＞b，且a≠0，b≠0，a+b≠0，相吻合，故可能成立；B、由直线的图象知a＜0，b＜0，故a+b＜0，所以y=的图象在二四象限，C、由函数y=ax+b过一、三、四象限可知，a＞0，b＜0；由函数y=的图象可知，a+b＜0，与已知a＞b，且a≠0，b≠0，a+b≠0，相吻合，故可能成立；D、由函数y=ax+b过一、三、四象限可知，a＜0，b＜0；由函数y=的图象可知，a+b＜0，与已知a＞b，且a≠0，b≠0，a+b≠0，相吻合，故可能成立；故选：B．3．（8分）（2016•镜湖区校级自主招生）如图，⊙O中，弦AD∥BC，DA=DC，∠BCO=15°，则∠AOC等于（）A．120°B．130°C．140° D．150°【解答】解：连接AC，设∠AOC=2x∵∠B=∠AOC=x∴∠D=180°﹣x∵AD=CD，OA=OC∴∠DAC=∠ACD=x，∠OCA=∠OAC=90°﹣x∵AD∥BC∴∠ACB=∠DAC=x，∴∠BCO=x﹣（90°﹣x）=x﹣90°=15°，∴x=70°，∴∠AOC=140°．故选：C．4．（8分）（2016•镜湖区校级自主招生）已知实数a≠b，且满足（a+1）2=3﹣3（a+1），3（b+1）=3﹣（b+1）2，则b+a的值为（）A．﹣23 B．23 C．13 D．﹣13【解答】解：∵a、b是关于x的方程（x+1）2+3（x+1）﹣3=0的两个根，整理此方程，得x2+5x+1=0，∵△=25﹣4＞0，∴a+b=﹣5，ab=1．故a、b均为负数．因此b+a=﹣﹣=﹣=﹣=﹣23．故选A．5．（8分）（2016•镜湖区校级自主招生）如果二次方程x2﹣px﹣q=0（其中p，q 均是大于0的整数）的正根小于3，那么这样的二次方程有（）A．4个 B．5个 C．6个 D．7个【解答】解：由△=p2+4q＞0，﹣q＜0，知方程的根为一正一负．设f（x）=x2﹣px﹣q，则f（3）=32﹣3p﹣q＞0，即3p+q＜9．由于p，q均是正整数，所以p=1，q≤5或p=2，q≤2．于是共有7组（p，q）符合题意．故选：D．6．（8分）（2016•镜湖区校级自主招生）如图，四边形ABCD中，∠BAD=120°，∠B=∠D=90°，在BC、CD上分别找一点M、N，使△AMN周长最小时，则∠AMN+∠ANM的度数为（）A．140°B．130°C．120° D．110°【解答】解：如下图，作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于M，交CD于N，则A′A″即为△AMN的周长最小值．作DA延长线AH，∵∠DAB=120°，∴∠HAA′=60°，∴∠AA′M+∠A″=∠HAA′=60°，∵∠MA′A=∠MAA′，∠NAD=∠A″，且∠MA′A+∠MAA′=∠AMN，∠NAD+∠A″=∠ANM，∴∠AMN+∠ANM=∠MA′A+∠MAA′+∠NAD+∠A″=2（∠AA′M+∠A″）=2×60°=120°．故选：C．二、填空题（本大题共6小题，每小题0分，共48分）7．（2016•镜湖区校级自主招生）若函数f（x）=定义域为一切实数，则实数k的取值范围为[0，）．【解答】解：函数f（x）=定义域为一切实数，可转化为：∀x∈R，kx2+4kx+3≠0．令w=kx2+4kx+3，下面分三类求解：一类：当k=0，由于3≠0，显然符合题意二类：当k＞0，要想使二次函数w=kx2+4kx+3≠0，只需△＜0，即（4k）2﹣4×3×k＜0即三类：当k＜0，要想使二次函数w=kx2+4kx+3≠0，只需△＜0，即（4k）2﹣4×3×k＜0即（不合，舍去）综上所述：[0，）．故答案为：[0，）．8．（2016•镜湖区校级自主招生）如图所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第n（n是大于0的整数）个图形需要黑色棋子的个数是n（n+2）．【解答】解：第1个图形是三角形，有3条边，每条边上有2个点，重复了3个点，需要黑色棋子2×3﹣3个，第2个图形是四边形，有4条边，每条边上有3个点，重复了4个点，需要黑色棋子3×4﹣4个，第3个图形是五边形，有5条边，每条边上有4个点，重复了5个点，需要黑色棋子4×5﹣5个，按照这样的规律摆下去，则第n个图形需要黑色棋子的个数是（n+1）（n+2）﹣（n+2）=n（n+2）；故答案为n（n+2）．9．（2016•镜湖区校级自主招生）已知a、b、x、y都为实数，且y+|﹣2|=1﹣a2，|x﹣4|=3y﹣3﹣b2．则a+b+x+y的值为5．【解答】解：∵3（y﹣1）=|x﹣4|+b2≥0，∴y≥1，∵1﹣y=|﹣2|+a2≥0，∴y≤1，则y=1，∴x﹣4=0，即x=4，b=0，a=0，则a+b+x+y=0+0+4+1=5，故答案为：5．10．（2016•镜湖区校级自主招生）如图，正方形ABCD的边长为1，E是CD边外的一点，满足：CE∥BD，BE=BD，则CE=．【解答】解：，设CF=x，则，DF=1﹣x，EF=﹣，由△BDF～△ECF，得，即有，所以，，则，再由，即，所以，故答案为：11．（2016•镜湖区校级自主招生）实数x，y，z满足x+y+z=5，xy+yz+zx=3，则z 的最大值是．【解答】解：∵x+y=5﹣z，xy=3﹣z（x+y）=3﹣z（5﹣z）=z2﹣5z+3，∴x、y是关于t的一元二次方程t2﹣（5﹣z）t+z2﹣5z+3=0的两实根．∵△=（5﹣z）2﹣4（z2﹣5z+3）≥0，即3z2﹣10z﹣13≤0，（3z﹣13）（z+1）≤0．∴﹣1≤z≤，当x=y=时，z=；故z的最大值为；故答案为：．12．（2016•镜湖区校级自主招生）如图，已知⊙O1、⊙O2的半径分别为r1、r2，⊙O2经过点O1，且两圆相交于点A、B，C为⊙O2上的点，连接AC交⊙O1于点D，再连接BC、BD、AO1、AO2、O1O2有如下四个结论：①∠BDC=∠AO1O2；②=③AD=DC ④BC=DC，其中正确结论的序号为①②④．【解答】解：延长O2O1交圆O1于M，连接AB、AM、BM、O2B，∵圆O1与圆O2交于A、B，∴O2O1是AB的垂直平分线，∵O1A=O1B，∴∠AO1O2=∠AO1B=∠AMB，∵四边形AMBD是圆O1的内接四边形，∴∠AMB=∠BDC，∴①正确；∵O1A=O1B，∴∠C=∠AO2B=∠AO2M，∠AO1O2=∠AMB，∴△BDC∽△AO1O2，∴=，∴②正确；∵△BDC∽△AO1O2，∴∠O2AO1=∠DBC，∠BDC=∠AO1O2，∵O2A=O2B，∴∠AO1O2=∠O2AO1，∴∠DBC=∠BDC，∴DC=BC，∴④正确；无法证出∠C=∠DBC，即BD≠DC，∵AD=BD，∴③错误．故答案为：①②④．三．解答题（本题共3小题，每小题16分，共54分）答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）13．（16分）（2016•镜湖区校级自主招生）设[x]表示不超过x的最大整数，如[4.3]=4，[﹣4，3]=﹣5．化简：++…+（结果用n表示，其中n 是大于0的整数）．【解答】解：由题意，[x]表示不超过x的最大整数，设n为正整数，则，于是，，∴， ∴原式==．14．（18分）（2016•镜湖区校级自主招生）如图，在梯形PMNQ 中，PQ ∥MN ，对角线PN 和MQ 相交于点O ，并把梯形分成四部分，记这四部分的面积分别为S 1，S 2，S 3，S 4．试判断S 1+S 2和S 3+S 4的大小关系，并证明你的结论．【解答】解：设PQ=m ，MN=n ， ∵△PMN 和△QMN 同底等高， ∴S △PMN =S △QMN ，∴S 3+S 2=S 4+S 2，即：S 3=S 4． ∵△POQ ∽△NOM ， ∴，∴．∵S 1：S 3=OQ ：OM=m ：n ， ∴．∴（S 1+S 2）﹣（S 3+S 4）=S 1++S 2﹣2•S 1=S 1（1+﹣）=S 1（1﹣）2．∵，∴S 1+S 2＞S 3+S 4．15．（18分）（2016•镜湖区校级自主招生）如图，将OA=6，AB=4的矩形OABC放置在平面直角坐标系中，动点M，N以每秒1个单位的速度分别从点A，C同时出发，其中点M沿AO向终点O运动，点N沿CB向终点B运动，当两个动点运动了t秒时，过点N作NP⊥BC，交OB于点P，连接MP．（1）点B的坐标为（6，4）；用含t的式子表示点P的坐标为（）；（2）记△OMP的面积为S，求S与t的函数关系式（0＜t＜6）；并求t为何值时，S有最大值？（3）试探究：当S有最大值时，在y轴上是否存在点T，使直线MT把△ONC 分割成三角形和四边形两部分，且三角形的面积是△ONC面积的？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）由题意，OA=6，AB=4，∴B（6，4）；延长NP角AB与Q，NB=6﹣t，则OQ=t，设QP=x，则NP=4﹣x，△OPQ和△NPB相似，即可得x=∴P（），=×OM×，（2）∵S△OMP∴S=×（6﹣t）×=t2+2t=（0＜t＜6）．∴当t=3时，S有最大值．（3）存在．由（2）得：当S有最大值时，点M、N的坐标分别为：M（3，0），N（3，4），则直线ON的函数关系式为：y=．设点T 的坐标为（0，b ），则直线MT 的函数关系式为：y=，解方程组，得∴直线ON 与MT 的交点R 的坐标为．∵S △OCN =×4×3=6，∴S △ORT =S △OCN =2．①当点T 在点O 、C 之间时，此时T 记为T 1，分割出的三角形是△OR 1T 1， 如图，作R 1D 1⊥y 轴，D 1为垂足，则S △OR1T1=R 1D 1•OT=••b=2．∴3b 2﹣4b ﹣16=0，b=．∴b 1=，b 2=（不合题意，舍去）此时点T 1的坐标为（0，）．②当点T 在OC 的延长线上时，分割出的三角形是△R 2NE ，如图，设MT 交CN 于点E ，∵点E 的纵坐标为4，∴由①得点E 的横坐标为，作R 2D 2⊥CN 交CN 于点D 2，则 S △R2NE =•EN•D 2=••==2．∴b 2+4b ﹣48=0，b=．∴b 1=﹣2，b 2=（不合题意，舍去）．∴此时点T 2的坐标为（0，）．综上所述，在y 轴上存在点T 1（0，），T 2（0，）符合条件．参与本试卷答题和审题的老师有：刘老师；lcb001；whgcn；zlzhan；lily2011；danbo7801；左杰（排名不分先后）菁优网2017年5月25日。
高中数学：第三章 3.1 3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式 Word版含答案
两角和与差的正弦、余弦和正切公式3．1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式预习课本P132～134，思考并完成以下问题(1)二倍角的正弦、余弦、正切公式是什么？公式如何推导？(2)S2α，C2α，T2α中角α的取值范围分别是什么？[新知初探]二倍角公式[点睛](1)二倍角的“广义理解”：二倍角是相对的，如4α是2α的二倍，α是α2的二倍等，“倍”是描述两个数量之间关系的，这里蕴含着换元思想．(2)对于S 2α和C 2α，α∈R ，但是在使用T 2α时，要保证分母1－tan 2α≠0且tan α有意义，即α≠k π＋π4且α≠k π－π4且α≠k π＋π2(k ∈Z)．当α＝k π＋π4及α＝k π－π4(k ∈Z)时，tan 2α的值不存在；当α＝k π＋π2(k ∈Z)时，tan α的值不存在，故不能用二倍角公式求tan 2α，此时可以利用诱导公式直接求tan 2α.(3)倍角公式的逆用更能开拓思路，我们要熟悉这组公式的逆用，如sin 3αcos 3α＝12sin6α.[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)二倍角的正弦、余弦、正切公式的适用范围是任意角．( ) (2)存在角α，使得sin 2α＝2sin α成立．( ) (3)对任意角α，总有tan 2α＝2tan α1－tan 2α.( )★答案★：(1)× (2)√ (3)×2．已知sin α＝35，cos α＝45，则sin 2α等于( )A.75 B.125 C.1225 D.2425★答案★：D3．计算cos 215°－sin 215°结果等于( ) A.12 B.22 C.33D.32 ★答案★：D 4．已知cos α＝－1213，α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，则sin 2α＝________，cos 2α＝________，tan 2α＝________.★答案★：120169 119169 120119[典例](1)sin π12cosπ12；(2)1－2sin2750°；(3)2tan 150°1－tan2150°；(4)cos 20°cos 40°cos 80°.[解](1)原式＝2sinπ12cosπ122＝sinπ62＝14.(2)原式＝cos(2×750°)＝cos 1 500°＝cos(4×360°＋60°)＝cos 60°＝1 2.(3)原式＝tan(2×150°)＝tan 300°＝tan(360°－60°) ＝－tan 60°＝－ 3.(4)原式＝2sin 20°·cos 20°·cos 40°·cos 80°2sin 20°＝2sin 40°·cos 40°·cos 80°4sin 20°＝2sin 80°·cos 80°8sin 20°＝sin 160°8sin 20°＝1 8.此类题型(1)(2)(3)小题直接利用公式或逆用公式较为简单．而(4)小题通过观察角度的关系，发现其特征(二倍角形式)，逆用正弦二倍角公式，使得问题中可连用正弦二倍角公式，所以在解题过程中要注意观察式子的结构特点及角之间是否存在特殊的倍数关系，灵活运用公式及其变形，从而使问题迎刃而解．[活学活用]求下列各式的值．(1)sin π8sin3π8；(2)cos215°－cos275°；(3)2cos25π12－1；(4)tan 30°1－tan230°.解：(1)∵sin 3π8＝sin⎝⎛⎭⎫π2－π8＝cosπ8，∴sin π8sin3π8＝sinπ8cosπ8＝12·2sinπ8cosπ8＝12sinπ4＝24.(2)∵cos275°＝cos2(90°－15°)＝sin215°，∴cos215°－cos275°＝cos215°－sin215°＝cos 30°＝3 2.(3)2cos25π12－1＝cos5π6＝－32.(4)tan 30°1－tan 230°＝12×2tan 30°1－tan 230°＝12tan 60°＝32.[典例] 化简：(1)11－tan θ－11＋tan θ；(2)2cos 2α－12tan ⎝⎛⎭⎫π4－αsin 2⎝⎛⎭⎫π4＋α.[解] (1)原式＝(1＋tan θ)－(1－tan θ)(1－tan θ)(1＋tan θ)＝2tan θ1－tan 2θ＝tan 2θ.(2)原式＝cos 2α2tan ⎝⎛⎭⎫π4－αcos 2⎝⎛⎭⎫π2－π4－α＝cos 2α2tan ⎝⎛⎭⎫π4－αcos 2⎝⎛⎭⎫π4－α＝cos 2α2sin ⎝⎛⎭⎫π4－αcos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝cos 2αsin ⎝⎛⎭⎫2×π4－2α＝cos 2αcos 2α＝1.(1)化简三角函数式的常用方法：①切化弦；②异名化同名；③异角化同角；④高次降低次． (2)化简三角函数式的常用技巧： ①特殊角的三角函数与特殊值的互化；②对于分式形式，应分别对分子、分母进行变形处理，有公因式的提取公因式后进行约分；③对于二次根式，注意倍角公式的逆用； ④利用角与角之间的隐含关系，如互余、互补等；⑤利用“1”的恒等变形，如tan 45°＝1，sin 2α＋cos 2α＝1等． [活学活用]化简：(1)1＋sin 20°＋1－sin 20°； (2)1＋sin 4α＋cos 4α1＋sin 4α－cos 4α. 解：(1)原式＝sin 210°＋cos 210°＋2sin 10°cos 10°＋ sin 210°＋cos 210°－2sin 10°cos 10° ＝(sin 10°＋cos 10°)2＋(sin 10°－cos 10°)2 ＝|sin 10°＋cos 10°|＋|sin 10°－cos 10°| ＝sin 10°＋cos 10°＋cos 10°－sin 10° ＝2cos 10°.(2)原式＝1＋2sin 2αcos 2α＋2cos 22α－11＋2sin 2αcos 2α＋2sin 22α－1＝2cos 22α＋2cos 2αsin 2α2sin 22α＋2sin 2αcos 2α＝2cos 2α(cos 2α＋sin 2α)2sin 2α(sin 2α＋cos 2α)＝1tan 2α.[典例] 已知cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝35，π2≤α<3π2，求cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π4的值． [解] ∵π2≤α<3π2，∴3π4≤α＋π4<7π4.∵cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4>0，∴3π2<α＋π4<7π4. ∴sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝－ 1－cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4 ＝－1－⎝⎛⎭⎫352＝－45. ∴cos 2α＝sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π2＝2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4 ＝2×⎝⎛⎭⎫－45×35＝－2425， sin 2α＝－cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π2＝1－2cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4 ＝1－2×⎝⎛⎭⎫352＝725.∴cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π4＝22cos 2α－22sin 2α ＝22×⎝⎛⎭⎫－2425－725 ＝－31250.[一题多变]1．[变设问]本例条件不变，求cos 2αsin ⎝⎛⎭⎫π4＋α的值．解：原式＝cos 2α－sin 2αsin π4cos α＋cos π4sin α＝2(cos α－sin α)＝2cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝65. 2．[变条件，变设问]若本例条件变为：若x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，sin ⎝⎛⎭⎫x －π6＝35，求sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的值．解：由sin ⎝⎛⎭⎫x －π6＝35， 得sin x cos π6－cos x sin π6＝35，两边平方，得12sin 2x ＋14－34sin 2x ＝925， ∴12·1－cos 2x 2＋14－34sin 2x ＝925， 即sin 2x ·32＋cos 2x ·12＝725，∴sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＝725.解决给值求值问题的方法给值求值问题，注意寻找已知式与未知式之间的联系，有两个观察方向： (1)有方向地将已知式或未知式化简，使关系明朗化；(2)寻找角之间的关系，看是否适合相关公式的使用，注意常见角的变换和角之间的二倍关系．层级一 学业水平达标1．若sin α2＝33，则cos α＝( )A ．－23B ．－13C.13D.23解析：选C 因为sin α2＝33，所以cos α＝1－2sin 2 α2＝1－2×⎝⎛⎭⎫332＝13.2．化简tan 14°1－tan 214°·cos 28°的结果为( )A.sin 28°2B ．sin 28°C ．2sin 28°D ．sin 14°cos 28° 解析：选A tan 14°1－tan 214°·cos 28°＝12×2tan 14°1－tan 214°·cos 28°＝12tan 28°·cos 28°＝sin 28°2，故选A.3．已知α为第三象限角，且cos α＝－55，则tan 2α的值为( ) A ．－43B.43 C ．－34D ．－2解析：选A 由题意可得，sin α＝－1－cos 2 α＝－255，∴tan α＝2，∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－43，故选A.4．已知cos x ＝－14，x 为第二象限角，那么sin 2x ＝( )A ．－154B ．±158C ．－158D.158解析：选C 因为cos x ＝－14，x 为第二象限角，所以sin x ＝154，所以sin 2x ＝2sin x cosx ＝2×154×⎝⎛⎭⎫－14＝－158，故选C. 5．设sin α＝13，2π<α<3π，则sin α2＋cos α2＝( )A ．－233B.233C.43D ．－33解析：选A ∵sin α＝13，∴⎝⎛⎭⎫sin α2＋cos α22＝1＋sin α＝43. 又2π<α<3π，∴π<α2<3π2，∴sin α2＋cos α2＝－233.6．已知tan x ＝2，则tan ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π4＝________. 解析：∵tan x ＝2， ∴tan 2x ＝2tan x 1－tan 2x＝－43. tan ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π4＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π2＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π2cos ⎝⎛⎭⎫2x －π2＝－cos 2x sin 2x ＝－1tan 2x ＝34.★答案★：347．已知sin α－2cos α＝0，则sin 2α＝________. 解析：由sin α－2cos α＝0，得tan α＝sin αcos α＝2，则sin 2α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan αtan 2α＋1＝45.★答案★：458．已知tan ⎝⎛⎭⎫π4＋θ＝3，则sin 2θ－2cos 2θ＝________. 解析：由已知，得1＋tan θ1－tan θ＝3，解得tan θ＝12.所以sin 2θ－2cos 2θ＝2sin θcos θ－2cos 2θsin 2θ＋cos 2θ＝2tan θ－2tan 2θ＋1＝2×12－2⎝⎛⎭⎫122＋1＝－45.★答案★：－459．已知向量m ＝⎝⎛⎭⎫cos α－23，－1，n ＝(sin α，1)，m 与n 为共线向量，且α∈⎣⎡⎦⎤－π2，0. (1)求sin α＋cos α的值． (2)求sin 2αsin α－cos α的值．解：(1)因为m 与n 为共线向量， 所以⎝⎛⎭⎫cos α－23×1－(－1)×sin α＝0， 即sin α＋cos α＝23. (2)因为1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2＝29，所以sin 2α＝－79，因为(sin α＋cos α)2＋(sin α－cos α)2＝2， 所以(sin α－cos α)2＝2－⎝⎛⎭⎫232＝169. 又因为α∈⎣⎡⎦⎤－π2，0， 所以sin α－cos α<0，sin α－cos α＝－43.因此，sin 2αsin α－cos α＝712.10．已知α，β均为锐角，且tan α＝7，cos β＝255，求α＋2β的值． 解：∵β为锐角，且cos β＝255，∴sin β＝55. ∴tan β＝12，tan 2β＝2tan β1－tan 2β＝2×121－⎝⎛⎭⎫122＝43. ∴0<2β<π2，0<α＋2β<π，又tan(α＋2β)＝tan α＋tan 2β1－tan αtan 2β＝7＋431－7×43＝－1，∴α＋2β＝3π4. 层级二 应试能力达标1．已知α为锐角，且满足cos 2α＝sin α，则α等于( ) A ．30°或60° B ．45° C ．60°D ．30°解析：选D 因为cos 2α＝1－2sin 2α，故由题意，知2sin 2α＋sin α－1＝0，即(sin α＋1)(2sin α－1)＝0.因为α为锐角，所以sin α＝12，所以α＝30°.2．若cos 2αsin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝12，则cos ⎝⎛⎭⎫π2－2α的值为( ) A.78 B ．－78C ．－47D.47解析：选A 因为cos 2αsin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝12，所以cos 2α－sin 2α22sin α＋22cos α＝12，所以cos α－sin α＝24， 平方得1－2cos αsin α＝18，所以sin 2α＝78，所以cos ⎝⎛⎭⎫π2－2α＝sin 2α＝78.3．已知函数f (x )＝cos 2x －1cos ⎝⎛⎭⎫2x －π2⎝⎛⎭⎫0<x ≤π3，则( )A ．函数f (x )的最大值为3，无最小值B ．函数f (x )的最小值为－3，最大值为0C ．函数f (x )的最大值为33，无最小值 D ．函数f (x )的最小值为－3，无最大值解析：选D 因为f (x )＝cos 2x －1cos ⎝⎛⎭⎫2x －π2＝cos 2x －1sin 2x ＝－2sin 2x 2sin x cos x ＝－tan x,0<x ≤π3，所以函数f (x )的最小值为－3，无最大值，故选D. 4．已知sin ⎝⎛⎭⎫π6－α＝13，则cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫π3＋α的值是( ) A.79 B.13 C ．－13D ．－79解析：选D ∵sin ⎝⎛⎭⎫π6－α＝13， ∴cos ⎝⎛⎭⎫π3－2α＝cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫π6－α ＝1－2sin 2⎝⎛⎭⎫π6－α＝79， ∴cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫π3＋α＝cos ⎝⎛⎭⎫2π3＋2α ＝cos ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π3－2α＝－cos ⎝⎛⎭⎫π3－2α＝－79. 5．等腰三角形一个底角的余弦为23，那么这个三角形顶角的正弦值为________．解析：设A 是等腰△ABC 的顶角，则cos B ＝23，sin B ＝1－cos 2B ＝1－⎝⎛⎭⎫232＝53.所以sin A ＝sin(180°－2B )＝sin 2B ＝2sin B cos B ＝2×53×23＝459. ★答案★：4596．已知角α，β为锐角，且1－cos 2α＝sin αcos α，tan(β－α)＝13，则β＝________.解析：由1－cos 2α＝sin αcos α，得1－(1－2sin 2α)＝sin αcos α，即2sin 2α＝sin αcos α. ∵α为锐角，∴sin α≠0，∴2sin α＝cos α，即tan α＝12.法一：由tan(β－α)＝tan β－tan α1＋tan β tan α＝tan β－121＋12tan β＝13， 得tan β＝1.∵β为锐角，∴β＝π4.法二：tan β＝tan(β－α＋α)＝tan (β－α)＋tan α1－tan (β－α)tan α＝13＋121－13×12＝1.∵β为锐角，∴β＝π4.★答案★：π47．已知函数f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫x －π6，x ∈R. (1)求f (π)的值；(2)若f ⎝⎛⎭⎫α＋2π3＝65，α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，求f (2α)的值． 解：(1)f (π)＝2cos ⎝⎛⎭⎫π－π6＝－2cos π6＝－2×32＝－ 3. (2)因为f ⎝⎛⎭⎫α＋2π3＝2cos ⎝⎛⎭⎫α＋2π3－π6＝2cos ⎝⎛⎭⎫α＋π2＝－2sin α＝65，所以sin α＝－35. 又α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，故cos α＝1－sin 2α＝ 1－⎝⎛⎭⎫－352＝45， 所以sin 2α＝2sin αcos α＝2×⎝⎛⎭⎫－35×45＝－2425， cos 2α＝2cos 2α－1＝2×⎝⎛⎭⎫452－1＝725. 所以f (2α)＝2cos ⎝⎛⎭⎫2α－π6＝2cos 2αcos π6＋2sin 2αsin π6＝2×725×32＋2×⎝⎛⎭⎫－2425×12＝73－2425.8．已知sin x 2－2cos x2＝0.(1)求tan x 的值； (2)求cos 2xcos ⎝⎛⎭⎫5π4＋x sin (π＋x )的值．解：(1)由sin x 2－2cos x2＝0，知cos x2≠0，∴tan x2＝2，∴tan x ＝2tanx 21－tan 2x 2＝2×21－22＝－43. (2)由(1)，知tan x ＝－43，∴cos 2xcos ⎝⎛⎭⎫5π4＋x sin (π＋x )＝cos 2x－cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x (－sin x )＝cos 2x －sin 2x ⎝⎛⎭⎫22cos x －22sin x sin x＝(cos x －sin x )(cos x ＋sin x )22(cos x －sin x )sin x＝2×cos x ＋sin xsin x＝2×1＋tan xtan x＝24.。
2016年安徽自主招生数学模拟试题：二面角及其度量
2016年某某自主招生数学模拟试题:二面角及其度量【试题内容来自于相关和学校提供】1：在正方体AC1中，O，M分别是DB1，D1C1的中点，则OM和BC1（）A、相交B、垂直C、平行D、不能确定2：已知直线l1，l2的方向向量分别为则l1，l2的位置关系是（）A、平行B、垂直C、所成角为D、不能判断3：已知点A(4，1，3)，B(2，－5，1)，C为线段AB上一点且，则点C的坐标为( )。
A、(，－，)B、(，－3，2)C、(，－1，)D、(，－，)4：已知，为两平行平面的法向量，则（）A、B、C、D、5：如图在棱长均为2的正四棱锥中，点为中点，则下列命题正确的是（）A、面，且直线到面距离为B、面，且直线到面距离为C、不平行于面，且与平面所成角大于D、不平行于面，且与平面所成角小于6：正四面体的棱长为，则相邻两个面的夹角的余弦是 7：如果正三棱锥的侧面均为直角三角形，侧面与底面所成的角的值为___ __ 。
8：如图、正方体中，二面角的度数是____________。
9：已知二面角的平面角是锐角，内一点到的距离为3，点C到棱的距离为4，那么的值等于 .10：已知平面与平面垂直，若平面与的法向量分别为，，则的值为________。
11：如图，四边形ABCD是梯形，四边形CDEF是矩形，且平面ABCD⊥平面CDEF，∠BAD＝∠CDA＝90°，，M是线段AE上的动点。
（1）试确定点M的位置，使AC∥平面DMF，并说明理由；（2）在（1）的条件下，求平面DMF与平面ABCD所成锐二面角的余弦值。
12：（本小题满分14分）如图，在棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别为棱AB和BC的中点，EF交BD于H。
（1）求二面角B1—EF—B的正切值；（2）试在棱B1B上找一点M，使D1M⊥平面EFB1，并证明你的结论；（3）求点D1到平面EFB1的距离。
13：如图，四棱锥P—ABCD的底面ABCD 是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点.（1）证明PA//平面BDE；（2）求二面角B—DE—C的平面角的余弦值；（3）在棱PB上是否存在点F，使PB⊥平面DEF？证明你的结论.14：如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1，A1A＝，M是CC1的中点。
二倍角的正弦、余弦、正切的习题精选
二倍角的正弦、余弦、正切的习题精选一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1. 若ABC ∆的内角A 满足322sin =A ，则=+A A cos sin ( ) （A ）315 （B ）315- （C ）35 （D ）35-2. 若412sin =α，且⎪⎭⎫⎝⎛∈2,4ππα，则=-ααsin cos （ ） A.23 B. 23- C. 23± D.433. 设π20≤≤x ,且x x x cos sin 2sin 1-=-,则( ) A. π≤≤x 0 B.474ππ≤≤x C. 454ππ≤≤x D. 232ππ≤≤x 4.=⋅+αααα2cos cos 2cos 12sin 22 ( ) A. αtan B. α2tan C. 1 D.215. 若等腰三角形的顶角正弦为2524，则底角的余弦是（ ） A. 53 B. 54 C. 53或54 D.53±6. 若α是锐角，则下列不等式中一定成立的是（ ）A. ααcos 2sin >B. ααsin 2sin >C. αα2cos 2cos >D. αα2cos 2cos <7. 若⎪⎭⎫ ⎝⎛--∈ππα23,2，则()2cos 1πα--的值是（ ）A. 2sinαB. 2cosαC. 2sinα- D.2cosα-8. 设⎪⎭⎫⎝⎛∈ππα2,23，则化简α2cos 21212121++的结果是（ ） A. 2sinαB. 2sinα- C. 2cosαD.2cosα-9. 设⎪⎭⎫⎝⎛∈2,0πα，()2tan 2cot 2cos 1αααα-+=f ，则()αf 取得最大值时α的值是（ ）A.2πB.3πC.4πD.6π10. 已知⎪⎭⎫⎝⎛∈-=ππθθ2,23,54sin ，则2tan θ的值是（ ）A.21 B. 21- C. 32- D.2- 11. 设()02tan ≠=mn nmA ，则A n A m sin cos -的值是（ ）A. nB. n -C. mD.m -12. 已知32tan =α，则=αcos （ ）（A ）54（B ） 54- （C ）154 （D ）53-二．填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）13. 求值=178cos 174cos 172cos17cosππππ.14. 在等腰三角形ABC 中，若C B =，且53sin =B ，则=A cos .15. 设5:82sin :sin =xx ，则=x 2cos .16. 若322cos =θ，则=+θθ44cos sin .三.解答题（本大题共6小题，满分74分） 17. (12分) 已知51cos sin ,02=+<<-x x x π，求x x cos sin -的值.18. (12分) 已知22tan =α，求（1）⎪⎭⎫ ⎝⎛+4tan πα的值； （2）ααααcos 2sin 3cos sin 6-+的值．19. (12分) 求证：2tan 2cos cos 2cos cos 12sin cos θθθθθθθ=+++.20. (12分) 已知()πβα,0,∈,212tan =α,且()135sin =+βα,求βcos 的值.21. (12分) 已知⎪⎭⎫⎝⎛∈=⎪⎭⎫ ⎝⎛-4,0,1354sin πααπ，求⎪⎭⎫ ⎝⎛+απα4cos 2cos 的值.22. (14分)已知324cos 1cos 1+=+-θθ,且141sin >⎪⎭⎫⎝⎛θ,求2tanθ的值.答案： 一．选择题1．C 2．B 3．C 4．B 5．C 6．D 7．D 8．D 9．C 10. B 11. D 12. B 二．填空题 13.161 14. 257- 15. 25716. 1811三．解答题.17. 解:由()251cos sin 21cos sin 2=+=+x x x x 知2524cos sin 2-=x x ,所以 ()2549cos sin 21cos sin 2=-=-x x x x ,而由02<<-x π知0cos ,0sin ><x x ,故0cos sin <-x x ,即57cos sin -=-x x .18. 解: (1)342tan 12tan2tan 2-=-=ααα,故71tan 1tan 14tan -=-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+ααπα. (2)672tan 31tan 6cos 2sin 3cos sin 6=-+=-+αααααα.19. 证明:()()()θθθθθθθθθ2cos 2cos 1cos sin 2cos 2cos 1cos 12sin cos ⋅+⋅=++=左边右边===+=2tan 2cos 22cos2sin2cos 1sin 2θθθθθθ. 20. 解: 由万能置换公式知,542tan 12tan2sin 2=+=ααα,532tan 12tan 1cos 22=+-=ααα,所以α为锐角.又由()0sin sin >+>βαα知βα+是钝角,所以()1312cos -=+βα,因此 ()[]()()6516sin sin cos cos cos cos -=+++=-+=αβααβααβαβ.21. 解:⎪⎭⎫ ⎝⎛∈-4,04παπ,故13124cos =⎪⎭⎫ ⎝⎛-απ, 1691204cos 4sin 242sin 2cos =⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=απαπαπα,而1354sin 4cos =⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+απαπ,所以原式=1324.22. 解:3242tan 2cos22sin 2cos 1cos 1222+===+-θθθθθ,故()132tan +±=θ而由141s i n >⎪⎭⎫ ⎝⎛θ知0sin <θ,即Z k k k ∈<<-,22πθππ,所以Z k k k ∈<<-,22πθππ,即2θ在第二、四象限，因此有132tan --=θ.。
二倍角的正弦、余弦和正切公式
4
2
4
3
2
6
2
6+2 3
＝ × ＋ × ＝
，
3
2
3
2
6
π
π
π
sin − ＝ sin cos － cos sin
2
4
2
4
2
4
3
2
6
2
6−2 3
＝ × － × ＝
，故C正确、D错误.
3
2
3
2
6
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
9. 已知 sin
cos
2
－
25
.
− －1，
9
7
2α＝2× －1＝－ .
25
25
8
9
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
12.
为
2
等腰三角形一个底角的余弦值为 ，则这个三角形顶角的正弦值
3
4 5
9
.
设 A 是等腰△ ABC 的顶角，则
sin B ＝ 1 − cos2 ＝ 1 −
2
cos B ＝ ，
cos20°
＝
sin20°+2sin40°
cos20°
考点二
例2
(1)
(1)
二倍角的正弦、余弦、正切公式的逆用和变形应用
π
5
cos cos π的值为(
12
12
π
5
cos cos π＝
12
二倍角的正弦余弦正切公式习题及答案
二倍角的正弦、余弦、正切公式[基础自测]1．思考辨析(1)二倍角的正弦、余弦、正切公式的适用范围是任意角．( ) (2)存在角α，使得sin 2α＝2sin α成立．( ) (3)对于任意的角α，cos 2α＝2cos α都不成立．( )[解析] (1)×.二倍角的正弦、余弦公式对任意角都是适用的，而二倍角的正切公式，要求α≠π2＋k π(k ∈Z )且α≠±π4＋k π(k ∈Z )，故此说法错误．(2)√.当α＝k π(k ∈Z )时，sin 2α＝2sin α. (3)×.当cos α＝1－32时，cos 2α＝2cos α. [答案] (1)× (2)√ (3)× 2．sin 15°cos 15°＝________.14 [sin 15°cos 15°＝12×2sin 15°cos 15°＝12sin 30°＝14.] 3．12－cos 2π8＝________. －24 [12－cos 2π8＝12－1＋cos π42＝12－12－12×22＝－24.]4．若tan θ＝2则tan 2θ＝________. －43 [tan 2θ＝2tan θ1－tan 2θ＝2×21－22＝－43.] [合 作 探 究·攻 重 难]给角求值(1)cos π7cos 3π7cos 5π7的值为( ) A ．14 B ．－14 C ．18D ．－18(2)求下列各式的值：①cos 415°－sin 415°；②1－2sin 275°；③1－tan 275°tan 75°；④1sin 10°－3cos 10°.(1)D [(1)∵cos 3π7＝－cos 4π7，cos 5π7＝－cos 2π7，∴cos π7cos 3π7cos 5π7＝cos π7cos 2π7cos 4π7＝8sin π7cos π7cos 2π7cos 4π78sin π7＝4sin 2π7cos 2π7cos 4π78sin π7＝2sin 4π7cos 4π78sin π7＝sin 8π78sin π7＝－18. (2)①cos 415°－sin 415°＝(cos 215°－sin 215°)(cos 215°＋sin 215°)＝cos 215°－sin 215°＝cos 30°＝32.②1－2sin 275°＝1－(1－cos 150°)＝cos 150°＝－cos 30°＝－32. ③1－tan 275°tan 75°＝2×1－tan 275°2tan 75° ＝2×1tan 150°＝－2 3.④1sin 10°－3cos 10°＝cos 10°－3sin 10°sin 10°cos 10° ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 10°－32sin 10°sin 10°cos 10°＝4(sin 30°cos 10°－cos 30°sin 10°)2sin 10°cos 10°＝4sin 20°sin 20°＝4.][规律方法] 对于给角求值问题，一般有两类：(1)直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式子进行转化，一般可以化为特殊角.(2)若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍角的正弦公式，在求解过程中，需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件，使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式.[跟踪训练] 1．求下列各式的值 (1)cos 72°cos 36°； (2)1sin 50°＋3cos 50°.[解] (1)cos 36°cos 72°＝2sin 36°cos 36°cos 72°2sin 36°＝2sin 72°cos 72°4sin 36°＝sin 144°4sin 36°＝14.(2)原式＝cos 50°＋3sin 50°sin 50°cos 50°＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 50°＋32sin 50°12×2sin 50°cos 50°＝2sin 80°12sin 100°＝2sin 80°12sin 80°＝4.给值求值、求角问题(1)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝35，π2≤α＜3π2，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4的值；(2)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，且sin 2α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4，求α.[思路探究] 依据以下角的关系设计解题思路求解：(1)α＋π4与2α＋π2，α－π4与2α－π2具有2倍关系，用二倍角公式联系； (2)2α＋π2与2α差π2，用诱导公式联系． [解] (1)∵π2≤α＜3π2，∴3π4≤α＋π4＜7π4. ∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＞0，∴3π2＜α＋π4＜7π4， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－1－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝－45，∴cos 2α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π2＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45×35＝－2425，sin 2α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π2＝1－2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝725， ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝22cos 2α－22sin 2α＝22×⎝ ⎛⎭⎪⎫－2425－22×725＝－31250.(2)∵sin 2α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π2＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4－1＝1－2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4， sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α ＝－cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α，∴原式可化为1－2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4，解得cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1或cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－12.∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，∴α＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，3π4，故α＋π4＝0或α＋π4＝2π3， 即α＝－π4或α＝5π12.母题探究：1.在例2(1)的条件下，求sin 4α的值．[解] 由例2(1)解析知sin 4α＝2sin 2αcos 2α＝2×725×⎝ ⎛⎭⎪⎫－2425＝－336625.2．将例2(1)的条件改为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝513，0＜x ＜π4，求cos 2x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x 的值．[解] ∵0＜x ＜π4，∴π4－x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4.又sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝513，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝1213.又cos 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x＝2×513×1213＝120169， cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝513，∴原式＝120169513＝2413.[规律方法] 解决条件求值问题的方法(1)有方向地将已知式或未知式化简，使关系明朗化；寻找角之间的关系，看是否适合相关公式的使用，注意常见角的变换和角之间的二倍关系.(2)当遇到\f(π,4)±x 这样的角时可利用互余角的关系和诱导公式，将条件与结论沟通.cos 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x .类似的变换还有：cos 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ，sin 2x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x ＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x －1，sin 2x ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x ＝1－2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x 等.化简证明问题[探究问题]1．解答化简证明问题时，如果遇到既有“切”，又有“弦”的情况，通常要如何处理？提示：通常要切化弦后再进行变形．2．证明三角恒等式时，通常的证明方向是什么？提示：由复杂一侧向简单一侧推导．(1)化简：1tan θ＋1＋1tan θ－1＝________.(2)证明：3tan 12°－3sin 12°(4cos212°－2)＝－4 3.[思路探究](1)通分变形．(2)切化弦通分，构造二倍角的余弦→二倍角的正弦→约分求值(1)－tan 2θ[(1)原式＝tan θ－1＋tan θ＋1(tan θ＋1)(tan θ－1)＝2tan θtan2θ－1＝－2tan θ1－tan2θ＝－tan2θ.(2)左边＝3sin 12°－3cos 12°cos 12°2sin 12°(2cos212°－1)＝23⎝⎛⎭⎪⎫12sin 12°－32cos 12°2sin 12°cos 12°cos 24°＝23sin(12°－60°)sin 24°cos 24°＝－23sin 48°12sin 48°＝－43＝右边，所以原等式成立．][规律方法]证明三角恒等式的原则与步骤(1)观察恒等式两端的结构形式，处理原则是从复杂到简单，高次降低，复角化单角，如果两端都比较复杂，就将两端都化简，即采用“两头凑”的思想.(2)证明恒等式的一般步骤：①先观察，找出角、函数名称、式子结构等方面的差异；②本着“复角化单角”“异名化同名”“变换式子结构”“变量集中”等原则，设法消除差异，达到证明的目的.[当 堂 达 标·固 双 基]1．下列各式中，值为32的是( ) A ．2sin 15°cos 15° B ．cos 215°－sin 215° C ．2sin 215°D ．sin 215°＋cos 215°B [2sin 15°cos 15°＝sin 30°＝12；cos 215°－sin 215°＝cos 30°＝32；2sin 215°＝1－cos 30°＝1－32；sin 215°＋cos 215°＝1，故选B.]2．(2018·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝2cos 2x －sin 2x ＋2，则( ) A ．f (x )的最小正周期为π，最大值为3 B ．f (x )的最小正周期为π，最大值为4 C ．f (x )的最小正周期为2π，最大值为3 D ．f (x )的最小正周期为2π，最大值为4B [易知f (x )＝2cos 2x －sin 2x ＋2＝3cos 2x ＋1＝32(2cos 2x －1)＋32＋1＝32cos 2x＋52，则f (x )的最小正周期为π，当x ＝k π(k ∈Z )时，f (x )取得最大值，最大值为4.]3．若sin α＝3cos α，则sin 2αcos 2α＝________. 6 [sin 2αcos 2α＝2sin αcos αcos 2α＝2sin αcos α＝6cos αcos α＝6.]4．设sin 2α＝－sin α，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则tan 2α的值是________.3 [∵sin 2α＝－sin α， ∴2sin αcos α＝－sin α. 由α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π知sin α≠0，∴cos α＝－12，∴α＝2π3， ∴tan 2α＝tan 4π3＝tan π3＝ 3.] 5．已知π2＜α＜π，cos α＝－45. (1)求tan α的值；(2)求sin 2α＋cos 2α的值．[解](1)因为cos α＝－45，π2＜α＜π，所以sin α＝3 5，所以tan α＝sin αcos α＝－34.(2)因为sin 2α＝2sin αcos α＝－24 25，cos 2α＝2cos2α－1＝7 25，所以sin 2α＋cos 2α＝－2425＋725＝－1725.。
高一数学同步测试二倍角的正弦余弦正切
二倍角的正弦、余弦、正切一、选择题（每小题5分，共60分，请将正确答案填在题后的括号内）1． 15cos 75cos 15cos 75cos 22⋅++的值是 （ ）A ．45B ．26 C ．23D ．431+2． 如果ααααcos sin ,21cos 1sin +=+那么的值是（ ）A ．57B ．58C ．1D ．1529 3．已知Q 为第Ⅲ象限象，则θcos 21212121++等于 （ ）A ．4sin θB ．4cos θC ．4sin θ-D ．4cos θ-4．函数xxx y cos cos 3cos -=的值域是（ ）A ．)0,4[-B ．)4,4[-C ．]0,4(-D ．[－4，0]5．ππππ133cos 135cos 13cos 139cos2++的值是（ ）A ．－1B ．0C ．1D ．2 6． 80sin 60sin 40sin 20sin ⋅⋅⋅的值为（ ）A ．161 B ．161-C ．163 D ．163-7． 48cos 78sin 24cos 6sin ⋅的值为 （ ） A ．161 B ．161-C ．321 D ．818．αααcos 1sin 2tan +=成立的条件是（ ）A ．2α是第I 第限角B ．))(2,2(Z k k k ∈+∈πππαC ．0cos sin >⋅ααD ．以上都不对9．已知==-∈x x x 2tan ,54cos ),0,2(则π（ ）A ．247 B ．－247 C ．724 D ．－724 10．已知θ为第Ⅲ象限角，θθθ2sin ,95cos sin 44那么=+等于（ ）A ．232-B ．232 C ．32D ．32-11．已知θ为第Ⅱ象限角，2cos ,024sin sin 252θθθ那么=-+的值为（ ） A ．53- B ．53±C ．22 D ．54±12．设x x x x x x x t a n12s i n co 2,0)3c o s )(s i n s i n co s 2(2++=++-则的值为（ ）A ．58B ．85C ．52D ．25二、填空题（每小题4分，共16分，答案填在横线上） 13． 100cos 60cos 40cos 20cos ++-的值等于 .14．已知31c o s c o s ,41s i n s i n =+=+βαβα，那么)t a n(βα+的值为 .15．已知θπθθθcot ),,0(,51cos sin 则∈=+的值是 . 16．化简100sin 15cos 100cos -⋅的结果是 .三、解答题（本大题74分，17—21题每题12分，22题14分） 17．已知)cos(,20,0,32)2sin(,91)2cos(βαπβπαβαβα+<<<<=--=-求的值.18．设)6sin(2)32cos(],3,0[πππ-+-=∈x x y x 求函数的最值.19．求证：x x x x x 2cos cos 3cos sin 3sin 333=⋅+⋅20．不查表求值 40cos 160cos 160cos 80cos 80cos 40cos ⋅+⋅+⋅21．已知函数)()0(2sin225sin 21)(θπθθθθf f 将<<+-=表示成关于θcos 的多项式22．已知xx xx x x x x x f cos sin 1sin cos 1cos sin 1sin cos 1)(+---+---+=①化简f （x ）②是否存在x ，使得xxx f x sin 2tan 1)(2tan 2+⋅与相等？若存在，求x 的值，若不存在，请说明理由.参考答案一、1．A 2．A 3．A 4．C 5．B 6．C 7．A 8．D 9．D 10．B 11．B 12．C二、13．21 14．73 15．43- 16．2- 三、 17．由已知954)2sin(91)2cos(,24=--=-<-<βαβαπβαπ故又同理2757)]2()2cos[(2cos,531)2cos(=---=+=-βαβαβαβα故 故72923912cos 2)cos(2-=-+=+βαβα 18．212323]21)6[sin(2min max 2-==∴+---=y y x y π 19．==⋅=+⋅=x x x x x x 2cos 2cos 22cos 212cos 212cos 4cos 2132左右 20．原式=43)20cos 20cos 60cos 2(2143-=-+-21．1cos cos 221cos 4cos 221)(22-+=-++-=θθθθθf22．（1）)(22,csc 2)(Z k k x x x f ∈+≠-=ππ且（2）存在，此时)(232Z k k x ∈+=ππ。
2016年安徽自主招生数学模拟试题：单位圆中三角函数线
2016年安徽自主招生数学模拟试题:单位圆中三角函数线【试题内容来自于相关网站和学校提供】1：若－<α<0，则点P(tanα，cosα)位于()A、第一象限B、第二象限C、第三象限D、第四象限2：已知，那么下列命题成立的是( )A、若、是第一象限角，则。
B、若、是第二象限角，则。
C、若、是第三象限角，则。
D、若、是第四象限角，则。
3：。
如果＜θ＜，那么下列各式中正确的是( )A、cosθ＜sinθ＜tanθB、cosθ＜tanθ＜sinθC、tanθ＜sinθ＜cosθD、sinθ＜cosθ＜tanθ4：如图所示，角的终边与单位圆交于点，则的值为A、B、C、D、5：已知角的终边与单位圆交于点，则（）A、B、C、D、6：求使sin>的的取值范围是7：方程在上的解集是。
8：如右图所示，角的终边与单位圆（圆心在原点，半径为1的圆）交于第二象限的点，则。
9：已知，且x是第二、三象限角，则a的取值范围是________10：在(0,)内，使成立的的取值范围为▲。
答案部分1、B试题分析：∵－<α<0，∴tanα<0，cosα>0，∴点P(tanα，cosα)位于第二象限，故选B考点：本题考查了三角函数值的符号点评：熟练掌握三角函数的定义及三角函数的值的求法是解决此类问题的关键，属基础题2、D利用单位圆说明角的正弦线为有向线段EM，余弦线为有向线段OE，正切线为有向线段AS角的正弦线为有向线段FN，余弦线为有向线段OF，正切线为有向线段AT在图1中，EM＞FN，但OE＜OF，故排除A在图2中，EM＞FN，但AS＜AT（注意方向，此时向下），故排除B在图3中，EM＞FN（注意方向，此时向下），但OE＜OF（注意方向，此时向左），故排除C 在图4中，EM＞FN（注意方向，此时向下），但AS＞AT，故选D3、A略4、C考点：诱导公式的作用；任意角的三角函数的定义。
专题：计算题。
【必修4】3.3二倍角的正弦、余弦、正切 【含解析】
【必修4】3.3二倍角的正弦、余弦、正切一．选择题（共8小题）1．函数y=2cos2x的一个单调增区间是（）A．B．C．D．2．已知α为第二象限角，，则cos2α=（）A．﹣B．﹣C．D．3．已知sin2α=，则cos2（α+）=（）A．B．C．D．4．已知，则tan2α=（）A．B．C．D．5．若，，则sinθ=（）A．B．C．D．6．若=，则tan2α=（）A．﹣B．C．﹣D．7．计算cos20°sin50°sin170°=（）A．B．C．D．8．若，则sin2α的值为（）A．B．C．D．二．填空题（共8小题）9．已知α为第二象限角，，则cos2α=．10．函数f（x）=sin2x+sinxcosx+1的最小正周期是，最小值是．11．函数y=sin2x+cos2x的最小正周期为．12．设sin2α=﹣sinα，α∈（，π），则tan2α的值是．13．已知sinα﹣co sα=﹣，则sin2α=．14．函数y=cos2x+sinxcosx的最小值为．15．已知，则的值为．16．已知sinα=+cosα，且α∈（0，），则的值为．三．解答题（共4小题）17．已知函数f（x）=sin（﹣x）sinx﹣cos2x．（I）求f（x）的最小正周期和最大值；（II）讨论f（x）在[，]上的单调性．18．已知函数f（x）=2cosx（sinx+cosx）．（Ⅰ）求f（）的值；（Ⅱ）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间．19．设函数f（x）=﹣sin2ωx﹣sinωxcosωx（ω＞0），且y=f（x）的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为，（Ⅰ）求ω的值（Ⅱ）求f（x）在区间[]上的最大值和最小值．20．已知函数f（x）=（2cos2x﹣1）sin 2x+cos 4x．（1）求f（x）的最小正周期及最大值；（2）若α∈（，π），且f（α）=，求α的值．【必修4】3.3二倍角的正弦、余弦、正切参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．（2007•全国卷Ⅰ）函数y=2cos2x的一个单调增区间是（）A． B．C． D．【解答】解：函数y=2cos2x=1+cos2x，由﹣π+2kπ≤2x≤2kπ，解得﹣π+kπ≤x≤kπ，k为整数，∴k=1即有它的一个单调增区是，故选D．2．（2012•大纲版）已知α为第二象限角，，则cos2α=（）A．﹣B．﹣C．D．【解答】解：∵sinα+cosα=，两边平方得：1+sin2α=，∴sin2α=﹣，①∴（sinα﹣cosα）2=1﹣s in2α=，∵α为第二象限角，∴sinα＞0，cosα＜0，∴sinα﹣cosα=，②∴cos2α=﹣（sinα﹣cosα）（sinα+cosα）=（﹣）×=﹣．故选A．3．（2013•新课标Ⅱ）已知sin2α=，则cos2（α+）=（）A．B．C．D．【解答】解：∵sin2α=，∴cos2（α+）=[1+cos（2α+）]=（1﹣sin2α）=×（1﹣）=．故选A4．（2013•浙江）已知，则tan2α=（）A．B．C．D．【解答】解：∵，又sin2α+cos2α=1，联立解得，或故tanα==，或tanα=3，代入可得tan2α===﹣，或tan2α===故选C5．（2012•山东）若，，则sinθ=（）A．B．C．D．【解答】解：因为，，所以cos2θ=﹣=﹣，所以1﹣2sin2θ=﹣，所以sin2θ=，，所以sinθ=．故选D．6．（2012•江西）若=，则tan2α=（）A．﹣B．C．﹣D．【解答】解：∵==，∴tanα=﹣3，则tan2α===．故选B7．（2010•五华区校级二模）计算cos20°sin50°sin170°=（）A．B．C．D．【解答】解：．故答案为．故选C．8．（2015•泸州模拟）若，则sin2α的值为（）A．B．C．D．【解答】解：已知：，所以：，进一步解得：sinα﹣cosα=，两边平方得：1﹣sin2α=，所以：sin2α=，故选：A．二．填空题（共8小题）9．（2015•张掖模拟）已知α为第二象限角，，则cos2α=．【解答】解：∵，两边平方得：1+sin2α=，∴sin2α=﹣，①∴（sinα﹣cosα）2=1﹣sin2α=，∵α为第二象限角，∴sinα＞0，cosα＜0，∴sinα﹣cosα=，②∴cos2α=﹣（sinα﹣cosα）（sinα+cosα）=（﹣）×=．故答案为：．10．（2015•浙江）函数f（x）=sin2x+sinxcosx+1的最小正周期是π，最小值是．【解答】解：∵f（x）=sin2x+sinxcosx+1=+sin2x+1=sin（2x﹣）+．∴最小正周期T=，最小值为：．故答案为：π，．11．（2014•山东）函数y=sin2x+cos2x的最小正周期为π．【解答】解：∵函数y=sin2x+cos2x=sin2x+=sin（2x+）+，故函数的最小正周期的最小正周期为=π，故答案为：π．12．（2013•四川）设sin2α=﹣sinα，α∈（，π），则tan2α的值是．【解答】解：∵sin2α=2sinαcosα=﹣sinα，α∈（，π），∴cosα=﹣，sinα==，∴tanα=﹣，则tan2α===．故答案为：13．（2016•沈阳一模）已知sinα﹣cosα=﹣，则sin2α=．【解答】解：由sinα﹣cosα=﹣，两边平方可得：sin2α+cos2α﹣2sinαcosα=，化为1﹣sin2α=，则sin2α=．故答案为：．14．（2016•徐汇区一模）函数y=cos2x+sinxcosx的最小值为﹣．【解答】解：函数y=cos2x+sinxcosx=+sin2x=+sin（2x+），故当2x+=2kπ﹣，k∈z 时，函数y取得最小值为﹣1=﹣，故答案为：﹣．15．（2011•江苏）已知，则的值为．【解答】解：∵，∴=2，解得tanx=；∴tan2x===∴==故答案为：．16．（2011•重庆）已知sinα=+cosα，且α∈（0，），则的值为﹣．【解答】解：由sinα=+cosα，得到sinα﹣cosα=①，又sin2α+cos2α=1②，且α∈（0，），联立①②解得：sinα=，cosα=，∴cos2α=cos2α﹣sin2α=﹣，sin（α﹣）=（sinα﹣cosα）=，则==﹣．故答案为：﹣三．解答题（共4小题）17．（2015•重庆）已知函数f（x）=sin（﹣x）sinx﹣cos2x．（I）求f（x）的最小正周期和最大值；（II）讨论f（x）在[，]上的单调性．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=sin（﹣x）sinx﹣x=cosxsinx﹣（1+cos2x）=sin2x﹣cos2x﹣=sin（2x﹣）﹣，故函数的周期为=π，最大值为1﹣．（Ⅱ）当x∈时，2x﹣∈[0，π]，故当0≤2x﹣≤时，即x∈[，]时，f（x）为增函数；当≤2x﹣≤π时，即x∈[，]时，f（x）为减函数．18．（2014•福建）已知函数f（x）=2cosx（sinx+cosx）．（Ⅰ）求f（）的值；（Ⅱ）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间．【解答】解：（Ⅰ）∵函数f（x）=2cosx（sinx+cosx）=sin2x+1+cos2x=sin（2x+）+1，∴f（）=sin（+）+1=sin+1=+1=2．（Ⅱ）∵函数f（x）=sin（2x+）+1，故它的最小正周期为=π．令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈Z，求得kπ﹣≤x≤kπ+，故函数的单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．19．（2013•山东）设函数f（x）=﹣sin2ωx﹣sinωxcosωx（ω＞0），且y=f（x）的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为，（Ⅰ）求ω的值（Ⅱ）求f（x）在区间[]上的最大值和最小值．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=﹣sin2ωx﹣sinωxcosωx===．因为y=f（x）的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为，故周期为π又ω＞0，所以，解得ω=1；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，f（x）=﹣sin（2x﹣），当时，，所以，因此，﹣1≤f（x），所以f（x）在区间[]上的最大值和最小值分别为：．20．（2013•北京）已知函数f（x）=（2cos2x﹣1）sin 2x+cos 4x．（1）求f（x）的最小正周期及最大值；第11页 （2）若α∈（，π），且f （α）=，求α的值．【解答】解：（Ⅰ）因为==∴T==，函数的最大值为：．（Ⅱ）∵f （x ）=，，所以，∴，k ∈Z ，∴，又∵，∴．。
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2016年安徽自主招生数学模拟试题:二倍角的正弦、余弦、正切
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1：若，则所在象限是（）
A、一
B、二
C、三
D、四
2：
已知，则一定是（ )
A直角三角形
B.等腰三角形
C.等腰直角三角形
D.正三角形
3：已知锐角满足，则等于（）
A、
B、
C、
D、
4：已知为第三象限的角，若，那么等于（）
A、
B、
C、
D、
5：
函数是奇函数，则等于（）
A.
B.
C.
D.
6：若，，则= .
7：已知为第二象限角，且那么= ；
8：函数,的值域是。
9：已知则的值为__________
10：已知,且,则的值为________.
11：(本题满分12分)已知，求的值。
12：已知
(1) 求的值. (2) 求的值.
13：（12分）化简求值
（1）
（2）
14：(本小题满分14分)
已知函数,
(1) 求函数的最小正周期及取得最小值的x的集合；
(2) 求函数的单调递增区间.
（3）求在处的切线方程.
15：在△ABC中，，记，△ABC的面积为，且满足.
（1）求的取值范围；
（2）求函数的最大值和最小值.
答案部分
1、D
略
2、B
，
，,
,,,,,,
是等腰三角形.故选::B
3、A
试题分析：因为，锐角满足，
所以，，两边平方得，
= ，故选A。
考点：和差倍半的三角函数公式。
点评：中档题，灵活运用三角公式进行变换。
涉及正弦、余弦的和积互化问题，往往通过平方得以实现。
4、A
略
5、C
，由是奇函数，可得，即
，
故.
6、
试题分析：由已知化简得：，整理得：
，因为，所以
所以，平方可得：，则。
考点：三角化简求值
7、
略
8、
试题分析：根据余弦二倍角公式可知,所以原函数为
,
因为,所以,则函数的值域为.
考点：二倍角公式、余弦函数的值域
9、
答案：
解析：考察正切的和差角与倍角公式及其运用，中档题。
10、
试题分析：由得，所以，，因为
，所以，
，所以.
考点：1.二倍角公式；2.两角和与差公式.
11、22/25
12、(1)（2）
本试题主要是考查了二倍角公式的化简和求值的运用。
（1）因为，而，那么借助于二倍角的余弦公式得到结论。
（2）先进行切化弦，然后利用二倍角公式得到
，进而求解
13、（1）原式
（2）原式。
略
14、 (1)最小正周期为 ， 函数有最小值 ；
（2）函数 的单调递增区间为
；
（3） 。
（1）利用二倍角公式，两角和的正弦公式化简函数为2cos(2x+ )，然后求函数f （x ）的最小正周期；
（2）根据正弦函数的值域，直接求出函数f （x ）的最小值及取得最小值时x 的取值集合； （3）利用正弦函数的单调性，直接求出函数f （x ）的单调递增区间。
（4）因为 ，那么 ，得到斜率，然后点斜式得到切线方程。
(1)∵f(x)= 2
cos 2
x-2sinxcosx-
=
(cos2x+1)-sin2x-
…………2分
=2cos(2x+ ) ………………4分
最小正周期为
………………5分
当 时，即 函数有最小值 …………7分
（2）………………8分
函数的单调递增区间为………………10分
（3）因为……………11分
所以……………12分
而
从而在处的切线方程为
即……………14分
15、（1）（2），
试题分析：(1)由，得。
∵，∴。
故的取值范围为。
6分
（2）注意到=
=8分
∵，∴。
故当，即时，；10分
故当，即时，。
12分
考点：解三角形与三角函数化简求值
点评：本题主要涉及到向量的数量积三角形面积的计算及三角函数性质，求最值时要注意自变量角的取值范围。