重修班《定积分应用》作业题
第六章 定积分的应用
高等数学练习题 第六章 定积分的应用系 专业 班 姓名 学号第二节 定积分的几何应用（一）一、填空题：1、由曲线1=xy 和直线x y =、2=x 所围成的平面图形的面积的定积分表达式A= [ C ] （A ）⎰⎰+10211dx x xdx （B ）⎰-20)1(dx xx（C ）⎰⎰-+-12121)2()12(dy y dy y （D ）⎰-121)1(dy y y二、填空题：1、设D 是以抛物线2x y =与直线x y 2=所围成的图形，则其面积微元（以x 为变元）=dA 22()x x dx - （以y 为变元）=dA 2)ydy 2、设D 由t y t x 33sin ,cos ==围成在第一象限部分，则取t 为积分变元时，其面积（定积分表达式）为=A 42203sin cos t tdt π⋅⎰3、设D 是以抛物线2x y =与直线22x y -=所围成的图形，则其面积值=A 83三、计算题：1、抛物线342-+-=x x y 与其在点)3,0(-和)0,3(处的切线所围成的图形的面积。
解：如图，24y x '=-+，0432();().y y ''==- 设点)3,0(-处的切线为1l ；点)0,3(处的切线为2.l则143:l y x =-；226:.l y x =-+其交点为332(,)。
于是所求面积3322230243432643()()()()A x x x dx x x x dx =---+-+-+--+-⎰⎰=332223029694x dx x x dx +-+=⎰⎰2、求有摆线)cos 1(),sin (t a y t t a x -=-=的一拱（π20≤≤t ）与x 轴所围成的图形的面积. 解：如图，222201(cos )aA ydx a t dt ππ==-⎰⎰=23a π3、在]1,0[上给定函数2x y =，问t 取何值时，图中曲边三角形OACO 与ADBA 的面积之和最小？何时最大？解：设201(,),()A t t t ≤≤，记曲边三角形OACO 与ADBA 的面积 分别为1S 和2S 。
定积分的应用练习题
题型1.由已知条件，根据定积分的方法、性质、定义，求面积2.由已知条件，根据定积分的方法、性质、定义，求体积内容一．微元法及其应用二．平面图形的面积1.直角坐标系下图形的面积2.边界曲线为参数方程的图形面积3. 极坐标系下平面图形的面积三．立体的体积1.已知平行截面的立体体积2.旋转体的体积四．平面曲线的弦长五．旋转体的侧面积六．定积分的应用1.定积分在经济上的应用2.定积分在物理上的应用题型题型I微元法的应用题型II求平面图形的面积题型III 求立体的体积题型IV 定积分在经济上的应用 题型V 定积分在物理上的应用自测题六解答题4月25日定积分的应用练习题一．填空题1. 求由抛物线线x x y 22+=，直线1=x 和x 轴所围图形的面积为__________2.抛物线x y 22=把圆822≤+y x 分成两部分,求这两部分面积之比为__________3. 由曲线y x y y x 2,422==+及直线4=y 所围成图形的面积为 4.曲线331x x y -=相应于区间[1，3]上的一段弧的长度为 5. 双纽线θ2sin 32=r 相应于22πθπ≤≤-上的一段弧所围成的图形面积为 ． 6.椭圆)0,0(1sin 1cos b a t b y t a x ⎩⎨⎧+=+=所围成的图形的面积为二．选择题1. 由曲线22,y x x y ==所围成的平面图形的面积为（ ） A ．31 B ． 32 C ． 21 D ． 23 2. 心形线)cos 1(θ+=a r 相应于ππ2≤≤x 的一段弧与极轴所围成的平面图形的面积为（ ）A ．223a π B ． 243a π C ． 283a π D ． 23a π 3. 曲线2xx e e y -+=相应于区间],0[a 上的一段弧线的长度为 （ ）A ． 2a a e e -+B ． 2a a e e -- C ．12++-a a e e D ．12-+-aa e e 4. 由曲线2,0,===y x e y x 所围成的曲边梯形的面积为（ ）。
定积分的应用习题答案
定积分的应用习题答案(总6页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--1．填空题⑴函数的单调减少区间__[解答] ，令，可得当时，，单调递减.所以的单调递减区间是或.⑵曲线与其在处的切线所围成的部分被轴分成两部分，这两部分面积之比是__[解答] 直线方程为，即，两直线的交点可求得，即求解方法一：已知其一根为，设方程为通过比较可得，可解得另外一根为方法二：分解方程有即所以则⑶设在上连续，当＿时，取最小值.[解答]令，则即所以⑷绕旋转所成旋转体体积__[解答] 令，则当时，当时，所以⑸求心脏线和直线及围成的图形绕极轴旋转所成旋转体体积__[解答] 将极坐标化为直角坐标形式为，则所以2．计算题⑴在直线与抛物线的交点上引抛物线的法线，求由两法线及连接两交点的弦所围成的三角形的面积.[解答] 由题意可计算两法线的方程为，即，即两直线的交点为，则⑵过抛物线上的一点作切线，问为何值时所作的切线与抛物线所围成的面积最小.[解答] 直线的斜率，则直线方程为，与抛物线相交，即，设方程的两根为且，则，从而又，所以⑶求通过点的直线中使得为最小的直线方程. [解答] 设，则则由可得即可得又则当时为最小，此时方程为⑷求函数的最大值与最小值.[解答] 令，可得当时，，即在取最小值，此时当时，，即在取最大值此时.⑸求曲线与所围阴影部分面积，并将此面积绕轴旋转所构成的旋转体体积，如图所示.[解答]⑹已知圆，其中，求此圆绕轴旋转所构成的旋转体体积和表面积.[解答] 令，如图所示，则⑺设有一薄板其边缘为一抛物线，如图所示，铅直沉入水中，①若顶点恰好在水平面上，试求薄板所受的静压力，将薄板下沉多深，压力加倍[解答] 抛物线方程为，则在水下到这一小块所受的静压力为所以整块薄板所受的静压力为若下沉，此时受到的静压力为要使，解得.②若将薄板倒置使弦恰好在水平面在上，试求薄板所受的静压力，将薄板下沉多深，压力加倍[解答] 建立如图坐标系，则抛物线方程为，则在水下到这一小块所受的静压力为所以整块薄板所受的静压力为若下沉，此时受到的静压力为要使，解得.。
定积分及其应用练习 带详细答案
定积分及其应用题一 题面：求由曲线2(2)y x =+与x 轴,直线4y x =-所围成的平面图形的面积． 答案：323．变式训练一题面：函数f （x )＝错误!的图象与x 轴所围成的封闭图形的面积为( ) A.错误! B ．2 C ．3D ．4答案：D. 详解：画出分段函数的图象，如图所示，则该图象与x 轴所围成的封闭图形的面积为错误!×2×2＋∫错误!02cos x d x ＝2＋2sin x 错误!＝4.变式训练二 题面:由直线y ＝2x 及曲线y ＝3－x 2围成的封闭图形的面积为( ) A ．2错误! B ．9－2错误! C.错误!D 。
错误!答案： 详解：注意到直线y ＝2x 与曲线y ＝3－x 2的交点A ,B 的坐标分别是(－3，－6)，(1，2)，因此结合图形可知,由直线y ＝2x 与曲线y ＝3－x 2围成的封闭图形的面积为错误!（3－x 2－2x ）d x ＝错误!错误!＝3×1－错误!×13－12－错误!错误!＝错误!，选D.题二 题面：如图所示,在边长为1的正方形OABC 中任取一点P ，则点P 恰好取自阴影部分的概率为（ ）．A ．14B ．错误!C ．错误!D ．错误!变式训练一题面：函数f (x ）＝sin(ωx ＋φ)的导函数y ＝f ′(x )的部分图象如图所示，其中，P 为图象与y 轴的交点，A ，C 为图象与x 轴的两个交点,B 为图象的最低点．若在曲线段ABC 与x 轴所围成的区域内随机取一点，则该点在△ABC 内的概率为________．答案：错误!. 详解：设A（x0，0），则ωx0＋φ＝错误!，∴x0＝错误!－错误!.又y＝ωcos(ωx＋φ)的周期为错误!，∴|AC｜＝错误!,C错误!。
依题意曲线段错误!与x轴围成的面积为S＝－∫错误!－错误!＋错误!错误!－错误!ωcos(ωx＋φ）d x＝2。
∵｜AC|＝πω，｜y B|＝ω，∴S△ABC＝错误!.∴满足条件的概率为错误!.变式训练二题面：（2012•福建）如图所示，在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好取自阴影部分的概率为（）A．B．C．D．答案:C.详解：根据题意，正方形OABC的面积为1×1=1,而阴影部分由函数y=x与y=围成，其面积为∫01（﹣x）dx=（﹣）｜01=，则正方形OABC中任取一点P，点P取自阴影部分的概率为=；故选C．金题精讲题一题面：(识图求积分，二星)已知二次函数y＝f(x)的图象如图所示,则它与x轴所围图形的面积为()．A．错误!B．错误!C．错误!D．错误!答案:变式训练一题面：如图求由两条曲线y ＝－x 2,y ＝－错误!x 2及直线y ＝－1所围成的图形的面积．答案:错误!。
定积分的应用练习题
定积分的应用（体积）
1、 求3x y =，1=x ，0=y 所围的图形绕x 轴旋转一周所围成的立体的体积。
2、 计算由19
42
2=+y x 所围的图形绕x 轴旋转一周所围成的立体的体积。
3、 求由x y =，1=x ，4=x ，0=y 所围的图形绕y 轴旋转一周所围成的立体的体积。
4、 求证半径为R 的球的体积334R v π=
. 5、 计算3x y =，x y =所围的图形绕y 轴旋转一周所围成的立体的体积。
6、 计算9)4(22=-+y x 所围的图形绕x 轴旋转一周所围成的立体的体积。
7、 计算23x y =与4=x ，0=y 所围的图形绕y 轴旋转一周所围成的立体的体积。
8、 求b 值使bx x y +=2，1=x ，0=x ，0=y 所围的图形绕x 轴旋转一周所围成的立体的体积最小。
9、 计算1)2(22=+-y x 所围的图形绕y 轴旋转一周所围成的立体的体积。
10、计算2x y =，0=y ，2=x 所围的图形绕y 轴旋转一周所围成的立体的体积。
(完整版)定积分的简单应用测试题
一、选择题1．如图所示，阴影部分的面积为( )A.⎠⎛ab f (x )d xB.⎠⎛ab g (x )d xC.⎠⎛ab [f (x )－g (x )]d xD.⎠⎛ab [g (x )－f (x )]d x2．如图所示，阴影部分的面积是( )A ．2 3B ．2－ 3 C.323D.3533．由曲线y ＝x 2－1、直线x ＝0、x ＝2和x 轴围成的封闭图形的面积(如图)是( )A.⎠⎛02(x 2－1)d xB ．|⎠⎛02(x 2－1)d x |C.⎠⎛02|x 2－1|d xD.⎠⎛01(x 2－1)d x ＋⎠⎛12(x 2－1)d x4．设f (x )在[a ，b ]上连续，则曲线f (x )与直线x ＝a ，x ＝b ，y ＝0围成图形的面积为( )A.⎠⎛ab f (x )d xB ．|⎠⎛ab f (x )d x |C.⎠⎛ab |f (x )|d xD ．以上都不对5．曲线y ＝1－1681x 2与x 轴所围图形的面积是( ) A ．4 B ．3 C ．2D.526．比较积分值dx x e ⎰102和dx ex⎰1的大小( )A ．dx x e ⎰102大于dx ex⎰1B ．dx x e⎰102小于dx ex⎰1C ．dx x e⎰102等于dx ex⎰1D ．dx x e ⎰102和dx ex⎰1不能比较7．由曲线y ＝x 2，y ＝x 3围成的封闭图形面积为( ) A.112 B.14 C.13D.7128．求⎰-11xdx 的解( ) A ．0 B ．1 C ．-1D ．2 9．求dx x ⎰212的解() A.12 B ．31 C ．32D ．3710．过原点的直线l 与抛物线y ＝x 2－2ax (a >0)所围成的图形面积为92a 3，则直线l 的方程为( )A ．y ＝±axB ．y ＝axC ．y ＝－axD ．y ＝－5ax二、填空题11．由曲线y 2＝2x ，y ＝x －4所围图形的面积是________．12．求函数y=f(x)=x 2+1在区间［0,1］上的平均值y -________．13．由两条曲线y ＝x 2，y ＝14x 2与直线y ＝1围成平面区域的面积是________．14．求经过点(0，1)，并且在每一点P （x,y ）处的切线的斜率为2x 的曲线方程＿＿三、计算题 15.dxdy +x 32y=x 626x 2的通解16.dx e x x⎰+104)(5 17.⎰+102)1(x x dx18.dt te t⎰-20 三、解答题 19.求方程xxy x ysin 1/=+的通解 20．计算曲线y ＝x 2－2x ＋3与直线y ＝x ＋3所围图形的面积． 21．验证：函数x x y 21+=是方程x y dx dy -=1和y(2)=23的解 22.计算曲线f(x)=4-x 2与直线g(x)=-x+2所围成图形的面积 一、 选择题（每题3分，共30分） 1、()dx x ⎰+201的定积分是 （ ）A 、1B 、2C 、3D 、4 2、已知圆r y x 222=+，则圆的面积是（ ）A 、πrB 、πr 2C 、2πrD 、2πr 2 3、底面积为S,高为h 的棱锥的体积是（ ）A 、shB 、sh 21 C 、sh 31 D 、sh 41 4、曲线()x x 24-=⎰与直线g ()2+-=x x 所围图形的面积是（ ）A 、29 B 、 27 C 、 23D 、 255、微分方程xy dxdy2=的通解是（ ）A 、 exc B 、 e x c 2C 、e xD 、x e 26、dx x⎰+∞131的极限值是（ ）A 、1B 、2C 、3D 、4 7、反常积分⎰-axa dx22的值是（ ）A 、-1B 、πC 、21π D 、π23 8、如果函数)(x f 在区间[b a ,]上连续，)(x F 是)(x f 在区间[b a ,]上的任意一个原函数，那么（ ）A 、⎰-=ba a Fb F dx x f )()()( B 、⎰=ba a F dx x f )()( C 、⎰=ba b F dx x f )()( D 、⎰+=ba a Fb F dx x f )()()( 9、求微分方程x x y dxdy 2263=+的通解是（ ）A 、e x c 2B 、x e 2C 、e x c 31-+D 、e x c 32-+10、如果函数)(x f 在区间[b a ,]上连续，则)(x f 在区间[b a ,]上的积分是（ ）A 、⎰b a dx x f )(B 、⎰b a dy x f )(C 、⎰b a dy y f )(D 、⎰ba dx y f )( 二、填空题。
最新定积分及其应用练习-带详细答案
求由抛物线 y2 8x( y 0) 与直线 x y 6 及 y 0 所围成图形的面积.
答案： 40 . 3
详解：
作出 y2 8x( y 0) 及 x y 6 的图形如右：
解方程组
y2
8x
x y 6 0
得
x y
2 4
解方程组
x
y
y 0
6
0
得
x y
6 0
所求图形的面积 s
(2)取特殊情况，在(1)的条件下，导函数 f′(x)＝3cos3x＋6π，求得 Aπ9，0， B51π8，－3，C49π，0，故△ABC 的面积为 S△ABC＝12×39π×3＝π2，曲线段与 x 轴所 围成的区域的面积 S＝－ fx 49π9π＝－sin43π＋π6＋sin39π＋π6＝2，所以该点在△
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A．1/2 答案：D. 详解：
B．1
由题意图象与 x 轴所围成图形的面积为
1
0
(x 1)dx 0
cos xdx
2
C．2
(
1 2
x2
x)
|10
sin
x
|0 2
1 1 2
3. 2
故选 D．
D．3/2
题四 题面：
（导数与积分结合，二星）设函数 f (x) xm ax 的导函数为 f (x) 2x 1 ，则
(1)若 φ＝π6，点 P 的坐标为0，3 2 3，则 ω＝________；
(2)若在曲线段 ABC 与 x 轴所围成的区域内随机取一点，则该点在△ABC 内的概率为
________．
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[解析] (1)函数 f(x)＝sin(ωx＋φ)求导得，f′(x)＝ωcos(ωx＋φ)，把 φ＝π6和点0，32 3代 入得 ωcos0＋π6＝3 2 3解得 ω＝3．
定积分应用题附答案(可编辑修改word版)
⎩ y ⎨ ⎩ 2 《定积分的应用》复习题一．填空：1. 曲线 y = ln x , y = ln a , y = ln b (0 < a < b )及y 轴所围成的平面图形的面积为 A =ln be y dy =b-aln a2. 曲线y = x 2和y = x 所围成的平面图形的面积是 1 3二．计算题：1. 求由抛物线 y 2= 2x 与直线 2x + y – 2 = 0 所围成的图形的面积。
解：（1）确定积分变量为 y ，解方程组⎧ y 2 = 2x ⎧x 1 = 1/ 2 ⎧ x 2 = 2 ⎨y = -2x + 2 得 ⎩ y 1 = 11 , ⎨ = -2 即抛物线与直线的交点为（ ，1）和( 2 , - 2 ).故所求图形在直线 y = 1 和 y 2= - 2 之间，即积分区间为［－2，1 ］。
（2）在区间［－2，1］上，任取一小区间为［ y , y + dy ］,对应的窄条面积近 1 1似于高为［(１－ y ）- y 2 ］,底为 dy 的矩形面积，从而得到面积元素22 11dA = [(１－ y)-y 2 ]dy22(3)所求图形面积 A =1[（1- 11 y ）- y2 ]dy = [y - 1 y 2 – 1 y3 ]1 =9⎰ - 22246-242. 求抛物线 y = - x 2+ 4x - 3 及其在点（0，- 3）和（3，0）处的切线所围成的图形的面积。
解：由 y = - x 2 + 4x – 3 得y ' = -2x + 4 , y '(0) = 4, y '(3) = -2 。
抛物线在点（0，- 3）处的切线方程为 y = 4x – 3 ;在点（3，0）处的切线方程为 3 y = - 2x + 6 ; 两切线的交点坐标为 （ ，3 ）。
2故 面积 A =⎰⎰2=⎰2⎪ ⎰ ⎰ ⎰ =3 (1+ 2 c os + )d + 2 (1+ cos 2)d = 3392 [(4x - 3) - (x + 4x - 3)] dx +3 [(-2x + 6) - (x + 4x - 3)] dx = 023. 求由摆线 x = a (t – sint) , y = a( 1- cost) 的一拱（ 0 ≤ t ≤ 2）与横轴所围成的图形的面积。
§定积分的应用习题与答案
第六章 定积分的应用（A ）1、求由下列各曲线所围成的图形的面积 1）221x y =与822=+y x （两部分都要计算）2）xy 1=与直线x y =及2=x3）x e y =，x e y -=与直线1=x4）θρcos 2a =5）t a x 3cos =，t a y 3sin =１、求由摆线()t t a x sin -=，()t a y cos 1-=的一拱()π20≤≤t 与横轴所围成的图形的面积２、求对数螺线θρae=()πθπ≤≤-及射线πθ=所围成的图形的面积３、求由曲线x y sin =和它在2π=x 处的切线以及直线π=x 所围成的图形的面积和它绕x 轴旋转而成的旋转体的体积４、由3x y =，2=x ，0=y 所围成的图形，分别绕x 轴及y 轴旋转，计算所得两旋转体的体积５、计算底面是半径为R 的圆，而垂直于底面上一条固定直径的所有截面都是等边三角形的立体体积６、计算曲线()x y -=333上对应于31≤≤x 的一段弧的长度７、计算星形线t a x 3cos =，t a y 3sin =的全长８、由实验知道，弹簧在拉伸过程中，需要的力→F （单位：N ）与伸长量S （单位：cm ）成正比，即：kS =→F （k 是比例常数），如果把弹簧内原长拉伸6cm ， 计算所作的功９、一物体按规律3ct x =作直线运动，介质的阻力与速度的平方成正比，计算物体由0=x 移到a x =时，克服介质阻力所作的功１０、 设一锥形储水池，深15m ，口径20m ，盛满水，将水吸尽，问要作多少功？１１、 有一等腰梯形闸门，它的两条底边各长10cm 和6cm ，高为20cm ，较长的底边与水面相齐，计算闸门的一侧所受的水压力１２、 设有一长度为 ，线密度为u 的均匀的直棒，在与棒的一端垂直距离为a 单位处有一质量为m 的质点M ，试求这细棒对质点M 的引力(B)1、设由抛物线()022>=p px y 与直线p y x 23=+ 所围成的平面图形为D 1） 求D 的面积S ;2）将D 绕y 轴旋转一周所得旋转体的体积2、求由抛物线2x y =及x y =2所围成图形的面积，并求该图形绕x 轴旋转所成旋转体的体积3、求由x y sin =，x y cos =，0=x ，2π=x 所围成的图形的面积，并求该图形绕x 轴旋转所成旋转体的体积4、求抛物线px y 22=及其在点⎪⎭⎫⎝⎛p p ,2处的法线所围成的图形的面积5、求曲线422+-=x x y 在点()4,0M 处的切线MT 与曲线()122-=x y 所围成图形的面积6、求由抛物线ax y 42=与过焦点的弦所围成的图形面积的最小值7、求由下列曲线所围成图形的公共部分的面积 1）θρcos 3=，θρcos 1+=2）θρsin a =，()θθρsin cos +=a ，0>a8、由曲线()16522=-+y x 所围成图形绕x 轴旋转所成旋转体的体积9、求圆心在()b ,0半径为a ，()0>>a b 的圆，绕x 轴旋转而成的环状体的体积10、计算半立方抛物线()32132-=x y 被抛物线32x y =截得的一段弧的长度(C)1、用积分方法证明半径为R 的球的高为H 的球缺的的体积为⎪⎭⎫ ⎝⎛-=32H R H V π2、分别讨论函数x y sin =⎪⎭⎫⎝⎛≤≤20πx 在取何值时，阴影部分的面积1S ，2S 的和21S S S +=取最大值和最小值3、求曲线x y =()40≤≤x 上的一条切线，使此切线与直线0=x ， 4=x 以及曲线x y =所围成的平面图形的面积最小4、半径为r 的球沉入水中，球的上部与水面相切，球的密度与水相同，现将球从水中取出，需作多少功？第六章 定积分应用 习 题 答 案（A ）1、1）342+π，346-π 2）2ln 23- 3）21-+ee 4）2a π 5）283a π2、23a π 3、()ππ2224--e e a 4、12-π，42π 5、7128π，564π6、3334R 7、3432- 8、a 6 9、kJ 18.0 10、3732727a kc （其中k 为比例常数）11、()kJ 5.57697 12、()kN 14373 13、取y 轴经过细直棒⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-=2211t a aGm u F y 22t a a Gmu F x +-= (B)1、1）⎰-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=pp p dy p y y p S 322316223 或()⎰⎰=⎪⎭⎫⎝⎛+-++=20229231622322pp p p dx px x p dx px px S2）⎰⎰--=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛-=pp p p p dy p y dy y p V 33322215272223πππ 2、()⎰=-=10231dx x x A ()()ππ⎰=⎪⎭⎫⎝⎛-=10222103dx x x V3、()()⎰⎰-=-+-=244222cos sin sin cos πππdx x x dx x x A()()()()()()⎰⎰=-+-=24224022c o s s i n s i n c o s πππππdx x x dx x x V4、抛物线在点⎪⎭⎫⎝⎛p p ,2处的法线方程为： p y x 23=+，以下解法同第一题2316p A =5、MT ：x y 24-=，切线MT 与曲线()122-=x y 的交点坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛1,23，()2,3-⎰-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=122491224dy y y A 6、提示：设过焦点()0,a 的弦的倾角为α则弦所在直线的方程为()a x y -=αtan由()a x y -=αtan ，ax y 42=得两交点纵坐标为()()21csc 2csc 2y ctg a ctg a y =+<-=αααα所以()()dy a y yctg a A y y ⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=2142αα ()()32222csc 34csc 4csc 4ααααa ctg a a -+=()()3232csc 34csc 4ααa a -=()32csc 38αa =因为πα<<0 当2πα=时 ()3csc α取得最小值为1所以 当2πα=时 过焦点的弦与抛物线ax y 42=所围成的图形面积()32csc 382απa A =⎪⎭⎫ ⎝⎛最小7、1）()()πθθθθπππ45cos 321cos 1212232302=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=⎰⎰d d A2）()()[]⎰⎰-=++=ππππθθθθθ22220241cos sin 21sin 21a d a d a A 8、()()⎰⎰------+=44442222165165dx x dx xV ππ()()⎰-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧----+=4422222160165165ππdx x x9、解法同题810、提示：()32132-=x y ，32x y = 联立得交点⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛36,2，⎪⎪⎭⎫⎝⎛-36,2 所求弧长()⎰+=212'12dx y s由()32132-=x y 得()yx y 2'1-=于是()()()()()123131134222'-=--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x x x y x y于是得()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=⎰12598123122321221dx x S(C)1、证明：此处球缺可看作由如图阴影（图222R y x =+的一部分）绕y 轴旋转而成所以()⎰⎰---==RHR RHR dy y R dy x V 222ππR HR R HR y yR ---=332ππ()[]()[]3323H R R H R R R -----=ππ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=32H R H π2、解：()⎰-=tdx x t S 11sin sin ()⎰-=22s i n s i n πtdx t x S()()⎰-=tdx x t t S 1sin sin +()⎰-2sin sin πtdx t x=⎪⎭⎫ ⎝⎛≤≤-⎪⎭⎫⎝⎛-+201sin 22cos 2ππt t t t ()0cos 22'=⎪⎭⎫⎝⎛-=t t t S π，得驻点2421ππ==t t易知()()002''1''<>t S t S122max -=⎪⎭⎫ ⎝⎛=∴ππS S ，124min -=⎪⎭⎫⎝⎛=πS S3、解：设()00,y x 为曲线x y =()40≤≤x 上任一点，易得曲线于该点处的切线方程为：()00021x x x y y -=- 即0022x x y y +=得其与0=x ， 4=x 的交点分别为⎪⎭⎫ ⎝⎛2,00y ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛+0022,4y y 于是由此切线与直线0=x ， 4=x 以及曲线x y =所围的平面图形面积为：3164222004000-+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎰x y dx x x x y S 3164200-+=x x 问题即求31642-+=x x S ()40≤≤x 的最小值 令022321=+=--x xS 得唯一驻点2=x 且为唯一极小值所以 当2=x 时，S 最小即所求切线即为：2222+=x y 4、如图：以水中的球心为原点，上提方向作为坐标轴建立坐标系易知任意[]dx x x +,段薄片在提升过程中在水中行程为r －x ，而在水上的行程为2r －（r －x ）＝r ＋x因为求的密度与水相同，所以在水中提升过程中浮力与重力的合力为零，不做功，而在水面上提升时，做功微元为()()dx x r x r g dW +-=22π()()g r dx x r x r g dW W r r r r 42234ππ⎰⎰--=+-==。
(完整版)定积分应用题附答案
《定积分的应用》复习题一．填空：1．曲线ln ,ln ,ln (0)y x y a y b a b y ===<<及轴所围成的平面图形的面积为A =ln ln by ae dy ⎰=b-a______2.2y x y ==曲线和 ____13____二．计算题：1．求由抛物线 y 2 = 2x 与直线 2x + y – 2 = 0 所围成的图形的面积。
解：（1）确定积分变量为y ，解方程组2222y x y x ⎧=⎨=-+⎩ 得12121/22,12x x y y ==⎧⎧⎨⎨==-⎩⎩ 即抛物线与直线的交点为（21，1）和( 2 , - 2 ).故所求图形在直线y = 1和y = - 2 之间，即积分区间为［－2，1 ］。
（2）在区间［－2，1］上，任取一小区间为［ y , y + dy ］,对应的窄条面积近似于高为［(１－21y ）-21y 2 ］,底为dy 的矩形面积，从而得到面积元素 dA = [(１－21y)- 21y 2 ]dy (3)所求图形面积 A =⎰-12[（1- 21y ）-21y 2 ]dy = [y - 41y 2 – 61y 3]12-= 942．求抛物线 y = - x 2 + 4x - 3 及其在点（0，- 3）和（3，0）处的切线所围成的图形的面积。
解：由y = - x 2 + 4x – 3 得 '24,'(0)4,'(3)2y x y y =-+==-。
抛物线在点（0，- 3）处的切线方程为 y = 4x – 3 ;在点（3，0）处的切线方程为 y = - 2x + 6 ; 两切线的交点坐标为 （ 32，3 ）。
故 面积A =332223029[(43)(43)][(26)(43)]4x x x dx x x x dx --+-+-+-+-=⎰⎰3．求由摆线 x = a (t – sint) , y = a( 1- cost) 的一拱（02t π≤≤）与横轴所围成的图形的面积。
高等数学(定积分的应用)习题及解答
练习6-2练习6-2练习6-3总习题六高等数学（文专）练习题A一、单项选择题在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
下列函数是奇函数的是（）．（A）1y x=+；（B）e e2x xy-+=；（C）e e2x xy--=；（D）2y x x=+．2．ln(2)y x=-的定义域为（）．（A）(,2)-∞；（B）(2,)+∞；（C ）(,2)(2,)-∞+∞； （D ）(,)-∞+∞．3．设2()sin f x x x =+，则2f π⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）．（A ）24π； （B ）214π+； （C ）214π-； （D ）424πππ⎛⎫+⎪⎝⎭． 4．3d (e )d xx x+=（ ）． （A ）3e 1x +； （B ）33e 1x +； （C ）31e 13x +； （D ）3211e 32x x +．5．ln d xx x=⎰（ ）． （A ）ln |ln |x ； （B ）ln ln ||x c + （C ）21(ln )2x（D ）21(ln )2x c +．6．10(1)d x x +=⎰（ ）． （A ）2；（B ）1；（C ）32； （D ）12． 7．设)(x f 在点x a =处可导，那么=--+→h h a f h a f h )2()(lim（ ）.A ． )(3a f 'B ． )(2a f 'C ． )(a f 'D ．)(31a f '8. 函数2x e y -=的图形的水平渐近线方程为（ ） A ．1=yB ．1=xC ．0=yD ．0=x9.cos()x dx +=⎰5( )A. 155cos()x c ++ B.55sin()x c ++ C.55cos()x c ++ D. sin()x c ++5 二、填空题 10．xxx 23sin lim0→ ___________.11．x x e y x sin ln 2-+=则='y ． 12．dx x ⎰--3329 =．13．曲线y =在1x =处的切线方程为 _______________.14．已知某商品的成本函数为221020)(q q q C +-= (万元),则20=q 时的边际成本为___________．15．若函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠--=2,2,242x a x x x y 在2=x 处连续，则=a ______.16．x x f sin )(=在[]π,0上满足罗尔中值定理的条件, 当ξ= 时,0)(='ξf ． 三、计算题 17．求)32(13lim23--+-→x x x x x .18．求由方程423=+y x 所确定的隐函数y=y(x)的dxdy . 19．求极限1lim(13)xx x →-．20．求极限201cos lim2x xx →-．21．设)0()1(>+++=a ax x a y aax，求.dy 22．计算⎰+edx xx1ln 2 23．求dx xex ⎰-22四、综合题24．求函数212x xy +=的极值与拐点.25．证明：当1x >时，22(1)ln (1)x x x ->-。
(完整版)§定积分的应用习题与答案
第六章 定积分的应用（A ）1、求由下列各曲线所围成的图形的面积 1）221x y =与822=+y x （两部分都要计算）2）xy 1=与直线x y =及2=x3）xe y =，xe y -=与直线1=x4）θρcos 2a =5）t a x 3cos =，t a y 3sin =１、求由摆线()t t a x sin -=，()t a y cos 1-=的一拱()π20≤≤t 与横轴所围成的图形的面积２、求对数螺线θρae=()πθπ≤≤-及射线πθ=所围成的图形的面积３、求由曲线x y sin =和它在2π=x 处的切线以及直线π=x 所围成的图形的面积和它绕x 轴旋转而成的旋转体的体积４、由3x y =，2=x ，0=y 所围成的图形，分别绕x 轴及y 轴旋转，计算所得两旋转体的体积５、计算底面是半径为R 的圆，而垂直于底面上一条固定直径的所有截面都是等边三角形的立体体积６、计算曲线()x y -=333上对应于31≤≤x 的一段弧的长度７、计算星形线t a x 3cos =，t a y 3sin =的全长８、由实验知道，弹簧在拉伸过程中，需要的力→F （单位：N ）与伸长量S （单位：cm ）成正比，即：kS =→F （k 是比例常数），如果把弹簧内原长拉伸6cm ， 计算所作的功９、一物体按规律3ct x =作直线运动，介质的阻力与速度的平方成正比，计算物体由0=x 移到a x =时，克服介质阻力所作的功１０、 设一锥形储水池，深15m ，口径20m ，盛满水，将水吸尽，问要作多少功？１１、 有一等腰梯形闸门，它的两条底边各长10cm 和6cm ，高为20cm ，较长的底边与水面相齐，计算闸门的一侧所受的水压力１２、 设有一长度为λ，线密度为u 的均匀的直棒，在与棒的一端垂直距离为a 单位处有一质量为m 的质点M ，试求这细棒对质点M 的引力(B)1、设由抛物线()022>=p px y 与直线p y x 23=+ 所围成的平面图形为D 1） 求D 的面积S ;2）将D 绕y 轴旋转一周所得旋转体的体积2、求由抛物线2x y =及x y =2所围成图形的面积，并求该图形绕x 轴旋转所成旋转体的体积3、求由x y sin =，x y cos =，0=x ，2π=x 所围成的图形的面积，并求该图形绕x 轴旋转所成旋转体的体积4、求抛物线px y 22=及其在点⎪⎭⎫⎝⎛p p ,2处的法线所围成的图形的面积5、求曲线422+-=x x y 在点()4,0M 处的切线MT 与曲线()122-=x y 所围成图形的面积6、求由抛物线ax y 42=与过焦点的弦所围成的图形面积的最小值7、求由下列曲线所围成图形的公共部分的面积 1）θρcos 3=，θρcos 1+=2）θρsin a =，()θθρsin cos +=a ，0>a8、由曲线()16522=-+y x 所围成图形绕x 轴旋转所成旋转体的体积9、求圆心在()b ,0半径为a ，()0>>a b 的圆，绕x 轴旋转而成的环状体的体积10、计算半立方抛物线()32132-=x y 被抛物线32x y =截得的一段弧的长度(C)1、用积分方法证明半径为R 的球的高为H 的球缺的的体积为⎪⎭⎫ ⎝⎛-=32H R H V π2、分别讨论函数x y sin =⎪⎭⎫⎝⎛≤≤20πx 在取何值时，阴影部分的面积1S ，2S 的和21S S S +=取最大值和最小值3、求曲线x y =()40≤≤x 上的一条切线，使此切线与直线0=x ， 4=x 以及曲线x y =所围成的平面图形的面积最小4、半径为r 的球沉入水中，球的上部与水面相切，球的密度与水相同，现将球从水中取出，需作多少功？第六章 定积分应用 习 题 答 案（A ）1、1）342+π，346-π 2）2ln 23- 3）21-+ee 4）2a π 5）283a π2、23a π 3、()ππ2224--e e a 4、12-π，42π 5、7128π，564π 6、3334R 7、3432- 8、a 6 9、kJ 18.0 10、3732727a kc （其中k 为比例常数）11、()kJ 5.57697 12、()kN 14373 13、取y 轴经过细直棒⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-=2211t a aGmu F y 22t a a Gmu F x +-=λ(B)1、1）⎰-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=pp p dy p y y p S 322316223 或()⎰⎰=⎪⎭⎫⎝⎛+-++=20229231622322pp p p dx px x p dx px px S2）⎰⎰--=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛-=pp p p p dy p y dy y p V 33322215272223πππ 2、()⎰=-=10231dx x x A ()()ππ⎰=⎪⎭⎫⎝⎛-=10222103dx x x V3、()()⎰⎰-=-+-=244222cos sin sin cos πππdx x x dx x x A()()()()()()⎰⎰=-+-=24224022cos sin sin cos πππππdx x x dx x x V4、抛物线在点⎪⎭⎫⎝⎛p p ,2处的法线方程为： p y x 23=+，以下解法同第一题2316p A = 5、MT ：x y 24-=，切线MT 与曲线()122-=x y 的交点坐标为⎪⎭⎫⎝⎛1,23，()2,3- ⎰-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=122491224dy y y A 6、提示：设过焦点()0,a 的弦的倾角为α则弦所在直线的方程为()a x y -=αtan由()a x y -=αtan ，ax y 42=得两交点纵坐标为()()21csc 2csc 2y ctg a ctg a y =+<-=αααα所以()()dy a y yctg a A y y ⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=2142αα ()()32222csc 34csc 4csc 4ααααa ctg a a -+=()()3232csc 34csc 4ααa a -=()32csc 38αa =因为πα<<0 当2πα=时 ()3csc α取得最小值为1所以 当2πα=时 过焦点的弦与抛物线ax y 42=所围成的图形面积()32csc 382απa A =⎪⎭⎫ ⎝⎛最小7、1）()()πθθθθπππ45cos 321cos 1212232302=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=⎰⎰d d A2）()()[]⎰⎰-=++=ππππθθθθθ22220241cos sin 21sin 21a d a d a A 8、()()⎰⎰------+=44442222165165dx xdx xV ππ()()⎰-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧----+=4422222160165165ππdx xx9、解法同题810、提示：()32132-=x y ，32x y = 联立得交点⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛36,2，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-36,2 所求弧长()⎰+=212'12dx y s由()32132-=x y 得()yx y 2'1-=于是()()()()()1231321134222'-=--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x x x y x y于是得()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=⎰12598123122321221dx x S(C)1、证明：此处球缺可看作由如图阴影（图222R y x =+的一部分）绕y 轴旋转而成所以()⎰⎰---==RHR RHR dy y R dy x V 222ππR HR R HR y yR ---=332ππ()[]()[]3323H R R H R R R -----=ππ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=32H R H π2、解：()⎰-=tdx x t S 11sin sin ()⎰-=22sin sin πtdx t x S()()⎰-=tdx x t t S 1sin sin +()⎰-2sin sin πtdx t x=⎪⎭⎫ ⎝⎛≤≤-⎪⎭⎫⎝⎛-+201sin 22cos 2ππt t t t ()0cos 22'=⎪⎭⎫⎝⎛-=t t t S π，得驻点2421ππ==t t易知()()002''1''<>t S t S122max -=⎪⎭⎫ ⎝⎛=∴ππS S ，124min -=⎪⎭⎫⎝⎛=πS S3、解：设()00,y x 为曲线x y =()40≤≤x 上任一点，易得曲线于该点处的切线方程为：()00021x x x y y -=- 即0022x x y y +=得其与0=x ， 4=x 的交点分别为⎪⎭⎫ ⎝⎛2,00y ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛+0022,4y y 于是由此切线与直线0=x ， 4=x 以及曲线x y =所围的平面图形面积为：3164222004000-+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎰x y dx x x x y S3164200-+=x x 问题即求31642-+=xx S ()40≤≤x 的最小值 令022321=+=--xxS 得唯一驻点2=x 且为唯一极小值所以 当2=x 时，S 最小 即所求切线即为：2222+=x y 4、如图：以水中的球心为原点，上提方向作为坐标轴建立坐标系易知任意[]dx x x +,段薄片在提升过程中在水中行程为r －x ，而在水上的行程为2r －（r －x ）＝r ＋x因为求的密度与水相同，所以在水中提升过程中浮力与重力的合力为零，不做功，而在水面上提升时，做功微元为()()dx x r x r g dW +-=22π()()g r dx x r x r g dW W r r r r 42234ππ⎰⎰--=+-==。
定积分及其应用练习-带详细答案
题一 题面: 求由曲线y (x2)2与x轴，直线y4x所围成的平面图形的面积.
答案：32•
变式训练一
题面：
x+2—2<x<0,
函数f(x)=n的图象与x轴所围成的封闭图形的面积
2cos x0<x<2来自为()5a.2
C.3
答案：D.
详解：
画出分段函数的图象，如图所示，贝够图象与
面积为2 >2 >2+*o2cos xdx=2+2sin
-3
为图象与y轴的交点，A,C为图象与x轴的两个交点，B为图象的最低点.
若在曲线段ABC与x轴所围成的区域内随机取一点，则该点在△ABC
变式训练二
题面：
由直线y=2x及曲线y=3—x2围成的封闭图形的面积为()
A.23
B.9—2 3
肿5
C.亍
答案：
f32
D2
详解:
注意到直线y=2x与曲线y=3-x2的交点A,B的坐标分别是(-3,-
6),(1,2),因此结合图形可知，由直线y=2x与曲线y=3-x2围成的封闭图
形的面积为1(3—x2—2x)dx=3x-3x3-x2
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第六章定积分的应用习题6-2 (A) 1．求下列函数与x 轴所围部分的面积：(1) y x 2 6x 8, [0, 3]( 2) y 2x x2 , [ 0, 3]2．求下列各图中阴影部分的面积：1.图 6-13．求由下列各曲线围成的图形的面积：(1) y e x , y e x与x1;( 2) y ln x 与 x 0, y ln a, y ln b (b a 0) ;(3) y 2x x2与 y x , y 0 ;( 4) y 2 2 x , y 2 (x 1) ;(5) y 2 4(1 x) 与 y 2 x , y 0 ;(6) y x2 与 y x , y 2x ;(7) y 2 sin x , y sin 2x (0 x ) ;(8) y x 2,x 2 y 2 （两部分都要计算）;2 84．求由曲线y ln x 与直线 y 0, x e 1 , x e 所围成的图形的面积。
5．求抛物线y x 2 4 x 3 及其在点 (0, 3) 和 (3, 0) 处的切线所围成的图形的面积。
6．求抛物线y 2 2 px 及其在点 ( p, p) 处的法线所围成的图形的面积。
27．求曲线x y a 与两坐标轴所围成的图形的面积。
x 2 y 21 所围图形的面积。
8．求椭圆2 b 2a9．求由摆线x a(t sin t), y a(1 cost ) 的一拱（0 t 2 ) 与横轴所围图形的面积。
10．求位于曲线y e x下方与由该曲线过原点的切线的左方及x 轴之间的图形的面积。
11．求由下列各方程表示的曲线围成的图形的面积：(1) 2a sin (a 0) ;( 2) 2a (2 cos ) (a 0);(3) 2 2 cos 2 （双纽线） ;12. 把抛物线y2 4ax 及直线 x x( x 0 0) 所围成的图形绕x 轴旋转，计算所得旋转抛物体的体积。
13. 由 y x 3 , x 2 , y 0 所围成的图形，分别绕x 轴及 y 轴旋转，计算所得两个旋转体的体积。
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第六章 定积分的应用习题 6-2 (A)1． 求下列函数与 x 轴所围部分的面积：]3,0[,86)1(2+-=x x y ]3,0[,2)2(2x x y -=2． 求下列各图中阴影部分的面积： 1.图 6-13．求由下列各曲线围成的图形的面积：;1,)1(===-x e y e y x x 与;)0(ln ,ln ,0ln )2(>>====a b b y a y x x y 与;0,2)3(2==-=y x y x x y 与;)1(,2)4(22--==x y x y;0,2)1(4)5(2=-=-=y x y x y 与;2,)6(2x y x y x y ===与;)0(2sin ,sin 2)7(π≤≤==x x y x y;8,2)8(222（两部分都要计算）=+=y x x y4．的图形的面积。
所围成与直线求由曲线e x e x y x y ====-,,0ln 15．的面积。
处的切线所围成的图形和及其在点求抛物线)0,3()3,0(342--+-=x x y6．的面积。
处的法线所围成的图形及其在点求抛物线),2(22p ppx y = 7．形的面积。
与两坐标轴所围成的图求曲线a y x =+8．所围图形的面积。
求椭圆12222=+by a x9．。
与横轴所围图形的面积（的一拱求由摆线)20)cos 1(),sin (π≤≤-=-=t t a y t t a x10．轴之间的图形的面积。
的切线的左方及下方与由该曲线过原点求位于曲线x e y x =11．求由下列各方程表示的曲线围成的图形的面积： ;)0(sin 2)1(>=a a θρ;)0()cos 2(2)2(>+=a a θρ ;2cos 2)3(2（双纽线）θρ=抛物体的体积。
轴旋转，计算所得旋转所围成的图形绕及直线把抛物线x x x x ax y )0(4.12002>==体的体积。
旋转轴旋转，计算所得两个轴及所围成的图形，分别绕由y x y x x y 0,2,.133===14．求下列已知曲线所围成的图形，按指定的轴旋转所产生的旋转体的体积： ;,0,,0)1(轴绕与x y a x x axcha y ====;,2sin )2(轴绕与x xy x y π== ;,)20(cos sin )3(轴绕与x x x y x y π≤≤==;0,2,ln )4(轴绕与y y x x y === ;0,2)5(2轴绕与y y x y x x y ==-=;,16)5()6(22轴绕y y x =+-。
定积分的应用试题word资料5页
定积分的应用1． 平面图形的面积 ⎰=ba dx x f A )(1⎰=ba dx x f A |)(|2⎰-=b a dx x g x f A ))()((3 ⎰-=badx x g x f A |)()(|4对曲线)(θr r =,βθα≤≤,θθβαd r A )(2125⎰=.θθθβαd r r A )()([2121226-=⎰. 2．曲线的弧长对于有向曲线弧,弧长元素22dy dx ds +=直角坐标系: dy y x dx x y ds )(1)(122+=+= 参数方程: dt t y t x ds )()(22+= 极坐标方程: θθθd r r ds )(')(22+=(1) 对曲线)(x f y =,b x a ≤≤,⎰+=ba dx x f L 2)('1;对曲线)(y g x =,d y c ≤≤,⎰+=dcdy y g L 2)('1(2) 对曲线)(θr r =,βθα≤≤,θθθβαd r r L ⎰+=)(')(22(3) 参数方程),(),(t y y t x x ==βθα≤≤,θθθβαd r r L )(')(22+=⎰对于空间曲线)(),(),(t z z t y y t x x ===,βθα≤≤,dt t z t y t x L )(')(')('222++=⎰βα3．体积(1) 平行截面已知的立方体体积:dx x A V ba⎰=)(.(2) 旋转体的体积:对曲线)(x f y =,b x a ≤≤,dx x f V bax ⎰=)(2π,dx x xf V bay ⎰=)(2π.4．旋转体的表面积:曲线绕旋转轴旋转,旋转体表面极为:⎰=bads l D P )(2π其中)(l D 表示该曲线到旋转轴l 的距离,ds 为弧长元素.对曲线)(x f y =,b x a ≤≤,绕x 轴旋转, ⎰+=ba x dx x f x f P 2)('1)(2π;对曲线)(x g x =,d y c ≤≤,绕y 轴旋转, ⎰+=dcy dy y g y g P 2)('1)(2π;5． 微元法曲边梯形的面积的求法． dA=f(x)dx (矩形面积＝底⨯高)A=⎰badA =⎰badx x f )(整体量由局部围成，将实际问题抽象为定积分．从整体着眼，从局部入手，小区间在极限过程中缩小为一点．将区间上的整体量化成区间上一点的微分，亦称为微元，然后对区间上的各点无限累加――连续作加． 例１． 椭圆 x=a cost y=b sintA=⎰∏20)sin (cos dx x a x b =ab dt x ⎰∏202sin =2abdt x ⎰∏-20)2cos 1(=2ab (x-21sin2x) 02π=ab π例２ 旋轮线：x=a(t-sint) y=a(1-cost) (a 0> π20≤≤t ) 一拱与x 轴围成的区域的面积A=dt x a ⎰∏-2022)cos 1(=3π2a 例3.极坐标∆ A=212f (θ)θd A=⎰βα`dA =⎰βαθθ`2)(21d f例4 圆a =ρ（0<πθ2<）A=⎰πθ2`0221d a =π2a例5。
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第六章定积分的应用习题6-2(A) 1．求以下函数与x轴所围部分的面积：(1)y x26x8,[0,3](2)y2x x2,[0,3]2．求以下各图中暗影部分的面积：1.图6-13．求由以下各曲线围成的图形的面积：(1) y e x,y e x与 x1;(2)y lnx与x0,y lna,y lnb(ba0);(3)y2x x2与y x,y0;(4)y22x,y2(x1);(5)y24(1x)与y2x,y0;(6)y x2与y x,y2x;(7)y2sinx,y sin2x(0x);(8)y x2,x2y2（两部分都要计算）;2814．求由曲线y ln x与直线y0,x e1,x e所围成的图形的面积。
5．求抛物线y x24x3及其在点(0,3)和(3,0)处的切线所围成的图形的面积。
6．求抛物线y22px及其在点(p,p)处的法线所围成的图形的面积。
27．求曲线x y a与两坐标轴所围成的图形的面积。
x2y21所围图形的面积。
8．求椭圆2b2a9．求由摆线x a(t sint),ya(1cost)的一拱（0t2)与横轴所围图形的面积。
10．求位于曲线y e x下方与由该曲线过原点的切线的左方及x轴之间的图形的面积。
11．求由以下各方程表示的曲线围成的图形的面积：(1)2asin(a0);(2)2a(2cos)(a0);(3)22cos2（双纽线）;12.把抛物线y24ax及直线x x(x00)所围成的图形绕x轴旋转，计算所得旋转抛物体的体积。
13.由y x3,x2,y0所围成的图形，分别绕x轴及y轴旋转，计算所得两个旋转体的体积。
14．求以下已知曲线所围成的图形，按指定的轴旋转所产生的旋转体的体积：(1)y achx0,x a,y0,绕x轴;与xa(2)y sinx与y2x,绕x轴;(3)y sin x与y cosx(0x),绕x轴;2(4)y lnx,与x2,y0绕y轴;(5)y2x x2与y x,y0绕y轴;(6)(x5)2y216,绕y轴;15.求由抛物线y24(1x)及其在(0,2)处的切线和x轴所围的图形绕x轴旋转产生的旋转体的体积。
定积分及其应用计算题
3
(1) 求它与 x 轴所围成的面积; (2) 求它的弧长; (3) 求它与 x 轴围成区域绕 x 轴旋转而成的旋转体的体积和 表面积. 15* 设曲线 y ax a 0, x 0 与 y 1 x 相交于点 A ,过坐标原点 O 和点 A 的直线与曲线 y ax 围成一个平面图形,问 a 为何值时,该 图形绕??轴旋转一周所得的旋转体的体积最大 ?最大体积为多 少? 16. 过点 1,0 作曲线 y x 2 的切线,该切线与上述曲线及 x 轴 围成一个平面图形 A .(1) 求 A 的面积; (2) 求 A 绕 x 轴旋转 一周所成的旋转体的体积. 17* 设函数 f x 在闭区间 0,1 上连续,在开区间 0,1 内大于零, 并满足 3a xf x f x x (a 为常数);
1 2
y a1 cos t ,
(1) 求它绕 x 轴旋转一周生成的旋转体的体积与侧面积; (2) 求它绕 y 轴旋转一周生成的旋转体的体积与侧面积. 12. 13. 14.
x 2 求曲线 y 在 0 x 2 区间段的弧长. 2 x at sin t , 求外旋轮线的方程为 0 t 2 , a 0 的弧长. y a1 cos t ,
要求汽锤每次击打桩时所做的功与前一次击打时所做的功之 比为常数 r ( 0 r 1 ).问: (1) 汽锤击打 3 次后,可将桩打进地下多深? (2) 若击打次数不限,汽锤至多能将桩打进地下多深? 广义积分问题 1. 计算
3 2 1 2
dx xx
x2 0
2
.
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高数Ⅰ（1）/Ⅱ（1）重修班《定积分的应用》作业题
一、求下列各曲线所围成的图形的面积：
1、221x y =
与422=+y x (两部分面积分别求出)；
2、x y 1=
与直线x y =及2=x ；
3、x x e y e y -==,与直线1=x ；
二、求抛物线px y 22=及其在点),2(
p p 处的法线所围成的图形的面积。
三、求位于曲线x e y =下方，该曲线过原点的切线的左方以及x 轴上方之间的图形的面积。
四、求由0,2,3===y x x y 所围成的图形，分别绕x 轴及y 轴旋转，计算所得两个旋转体的体积。
五、求由曲线22,y x x y ==所围成的图形绕y 轴旋转而成的旋转体的体积。
六、计算曲线)5(2x x y -=
上相应于41≤≤x 的一段弧的长度。
七、求曲线x y ln =在区间（2，6）内的一条切线，使得该切线与直线6,2==x x 和曲线x y ln =所围成的图形面积最小。
并求最小面积。
八、设某抛物线c bx ax y ++=22通过原点，且当10≤≤x 时0≥y ，如果它与x 轴以及直线1=x 所围成的平面图形的面积为
31，试确定,,,c b a 使这个平面图形绕x 轴旋转而成的旋转体的体积最小。
九、在曲线)0(212>=
x x y 上点M 处作一切 线，使此切线与221x y =及x 轴围成面积为
31,求此图形绕x 轴旋转成旋转体的体积。
十、设抛物线)0,0(2≥>=x a ax y 与21x y -=交于点,A 过原点O 和点A 的直线与抛物线2ax y =围成一平面图形，问a 为何值时，该平面图形绕x 轴旋转一周所得的旋转体的体积最大？最大体积是多少？
十一、（如图）把()a x x y -=在横坐标0=x 及c x = （c a <<0）之间部分与0=y 及c x =两直线所围平面图形绕x 轴旋转一 周.①求旋转体体积；②当c 取何值时，上面所求体积等于三角形OPC 绕x 轴旋转而成的旋转体体积.
十二、在曲线)0(2≥=x x
y 上某点P 处作一条切线，使之与曲线以及x 轴所围成图形的面积为12
1，试求：（1）切点P 的坐标；（2）过切点P 的切线方程； （3）由上述平面图形绕x 轴旋转一周所形成的旋转体的体积。