2009年陕西省中考数学试卷

2009年陕西省中考数学试卷
一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1．（2009•陕西）若用半径为9，圆心角为120°的扇形围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则这个圆锥的底面半径是（）
A．1.5B．2C．3D．6
2．（2009•陕西）如果点P（m，1﹣2m）在第四象限，那么m的取值范围是（）
A．0＜m＜B．﹣＜m＜0C．m＜0D．m＞
3．（2009•陕西）化简的结果是（）
A．a﹣b B．a+b C．D．
4．（2009•陕西）根据下表中的二次函数y=ax2+bx+c的自变量x与函数y的对应值，可判断该二次函数的图象与x
﹣
A．只有一个交点B．有两个交点，且它们分别在y轴两侧C．有两个交点，且它们均在y轴同侧D．无交点
5．（2009•陕西）如图，∠AOB=90°，∠B=30°，△A′OB′可以看作是由△AOB绕点O顺时针旋转α角度得到的．若点A′在AB上，则旋转角α的大小可以是（）
A．30°B．45°C．60°D．90°
6．（2009•陕西）1978年，我国国内生产总值是3 645亿元，2007年升至249 530亿元．将249 530亿元用科学记数表示为
（）
A．24.953×1013元B．24.953×1012元C．2.4953×1013元D．2.4953×1014元
7．（2009•陕西）﹣的倒数是（）
A．B．﹣2C．2D．||
8．（2009•陕西）如图，圆与圆之间不同的位置关系有（）
A．2种B．3种C．4种D．5种
9．（2009•陕西）若正比例函数的图象经过点（﹣1，2），则这个图象必经过点（）
A．（1，2）B．（﹣1，﹣2）C．（2，﹣1）D．（1，﹣2）
10．（2009•陕西）王老师为了了解本班学生课业负担情况，在班中随机调查了10名学生，他们每人上周平均每天完成家庭作业所用的时间分别是（单位：小时）：1.5，2，2，2，2.5，2.5，2.5，2.5，3，3.5．则这10个数据的平均数和众数分别是（）
A．2.4，2.5B．2.4，2C．2.5，2.5D．2.5，2
二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）
11．（2009•陕西）如图，在梯形ABCD中，DC∥AB，DA=CB．若AB=10，DC=4，tanA=2，则这个梯形的面积是_________．
12．（2009•陕西）一家商店将某种商品按成本价提高50%后，标价为450元，又以8折出售，则售出这件商品可获利润_________元．
13．（2009•陕西）如图，在锐角△ABC中，AB=4，∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是_________．
14．（2009•陕西）|﹣3|﹣（﹣1）0=_________．
15．（2009•陕西）如图，AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于点E、F，∠1=47°，则∠2的大小是_________度．
16．（2009•陕西）若A（x1，y1），b（x2，y2）是双曲线上的两点，且x1＞x2＞0，则y1_________y2．
三、解答题（共9小题，满分72分）
17．（2009•陕西）如图，圆O是△ABC的外接圆，AB=AC，过点A作AP∥BC，交BO的延长线于点P．
（1）求证：AP是圆O的切线；
（2）若圆O的半径R=5，BC=8，求线段AP的长．
18．（2009•陕西）甲、乙两同学用一副扑克牌中牌面数字分别是：3，4，5，6的4张牌做抽数学游戏．游戏规则是：将这4张牌的正面全部朝下，洗匀，从中随机抽取一张，抽得的数作为十位上的数字，然后，将所抽的牌放回，正面全部朝下、洗匀，再从中随机抽取一张，抽得的数作为个位上的数字，这样就得到一个两位数．若这个两位数小于45，则甲获胜，否则乙获胜．你认为这个游戏公平吗？请运用概率知识说明理由．
19．（2009•陕西）问题探究：
（1）请在图①的正方形ABCD内，画出使∠APB=90°的一个点，并说明理由．
（2）请在图②的正方形ABCD内（含边），画出使∠APB=60°的所有的点P，并说明理由．
问题解决：
（3）如图③，现在一块矩形钢板ABCD，AB=4，BC=3．工人师傅想用它裁出两块全等的、面积最大的△APB和△CP′D钢板，且∠APB=∠CP'D=60度．请你在图③中画出符合要求的点和，并求出△APB的面积（结果保留根号）．
20．（2009•陕西）如图，在平面直角坐标系中，OB⊥OA，且OB=2OA，点A的坐标是（﹣1，2）
（1）求点B的坐标；
（2）求过点A、O、B的抛物线的表达式；
（3）连接AB，在（2）中的抛物线上求出点P，使得S△ABP=S△ABO．
21．（2009•陕西）在一次运输任务中，一辆汽车将一批货物从甲地运往乙地，到达乙地卸货后返回．设汽车从甲地出发x（h）时，汽车与甲地的距离为y（km），y与x的函数关系如图所示．根据图象信息，解答下列问题：（1）这辆汽车的往、返速度是否相同？请说明理由；
（2）求返程中y与x之间的函数表达式；
（3）求这辆汽车从甲地出发4h时与甲地的距离．
22．（2009•陕西）如图，在平行四边形ABCD中，点E是AD的中点，连接CE并延长，交BA的延长线于点F．求证：FA=AB．
23．（2009•陕西）解方程：
24．（2009•陕西）小明想利用太阳光测量楼高．他带着皮尺来到一栋楼下，发现对面墙上有这栋楼的影子，针对这种情况，他设计了一种测量方案，具体测量情况如下：
如示意图，小明边移动边观察，发现站到点E处时，可以使自己落在墙上的影子与这栋楼落在墙上的影子重叠，且高度恰好相同．此时，测得小明落在墙上的影子高度CD=1.2m，CE=0.8m，CA=30m（点A、E、C在同一直线上）．已知小明的身高EF是1.7m，请你帮小明求出楼高AB．（结果精确到0.1m）
25．（2009•陕西）某校为了组织一项球类对抗赛，在本校随机调查了若干名学生，对他们每人最喜欢的一项球类运动进行了统计，并绘制成如图①、②所示的条形和扇形统计图．根据统计图中的信息，解答下列问题：
（1）求本次被调查的学生人数，并补全条形统计图；
（2）若全校有1 500名学生，请你估计该校最喜欢篮球运动的学生人数；
（3）根据调查结果，请你为学校即将组织的一项球类对抗赛提出一条合理化建议．
2009年陕西省中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1．（2009•陕西）若用半径为9，圆心角为120°的扇形围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则这个圆锥的底面半径是（）
A．1.5B．2C．3D．6
考点：弧长的计算。

分析：本题考查圆锥的
侧面展开图．根据
图形可知，圆锥的
侧面展开图为扇
形，且其弧长等于
圆锥底面圆的周
长．
解答：解：设这个圆锥的
底面半径是R，则
有
2πR=120π×，
解得：R=3．
故选C．
点评：主要考查了圆锥
侧面展开扇形与
底面圆之间的关
系，圆锥的侧面展
开图是一个扇形，
此扇形的弧长等
于圆锥底面周长，
扇形的半径等于
圆锥的母线长．本
题就是把的扇形
的弧长等于圆锥
底面周长作为相
等关系，列方程求
解．
2．（2009•陕西）如果点P（m，1﹣2m）在第四象限，那么m的取值范围是（）A．0＜m＜B．﹣＜m＜0C．m＜0D．m＞
考点：点的坐标；解一
元一次不等式
组。

分析：横坐标为正，纵
坐标为负，在第
四象限．
解答：解：∵点p（m，
1﹣2m）在第四
象限，
∴m＞0，1﹣2m
＜0，解得：m
＞，故选D．
点评：坐标平面被两
条坐标轴分成
了四个象限，每
个象限内的点
的坐标符号各
有特点，该知识
点是中考的常
考点，常与不等
式、方程结合起
来求一些字母
的取值范围，比
如本题中求m
的取值范围．
3．（2009•陕西）化简的结果是（）
A．a﹣b B．a+b C．D．
考点：分式的混合运算。

专题：计算题。

分析：先算括号里式子，再进行因式分解，最后进
行分式的约分化简．
解答：解：
==a+b，
故选B．
点评：本题考查分式的运算，运算顺序是：先括号
里，经过通分，再做乘法，约分化为最简．
4．（2009•陕西）根据下表中的二次函数y=ax2+bx+c的自变量x与函数y的对应值，可判断该二次函数的图象与x
﹣
A．只有一个交点B．有两个交点，且它们分别在y轴两侧C．有两个交点，且它们均在y轴同侧D．无交点
考点：抛物线与x轴的
交点。

专题：图表型。

分析：利用二次函数
y=ax2+bx+c的
自变量x与函数
y的对应值．
解答：解：根据表中的
二次函数
y=ax2+bx+c的
自变量x与函数
y的对应值，可
以发现当x=0，
x=2时，y的值
都等于﹣＜0，
又根据二次函
数的图象对称
性可得：x=1是
二次函数
y=ax2+bx+c的
对称轴，此时y
有最小值﹣2，
因此判断该二
次函数的图象
与x轴有两个交
点，且它们分别
在y轴两侧．
故选B．
点评：本题难度中等，
考查二次函数
与一元二次方
程的关系．
5．（2009•陕西）如图，∠AOB=90°，∠B=30°，△A′OB′可以看作是由△AOB绕点O顺时针旋转α角度得到的．若点A′在AB上，则旋转角α的大小可以是（）
A．30°B．45°C．60°D．90°
考点：旋转的性质。

分析：根据旋转的性
质：旋转变化前
后，图形的大小、
形状都不改变，
进行分析．
解答：解：
∵∠AOB=90°，
∠B=30°，
∴∠A=60°．
∵△A′OB′可以
看作是由△AOB
绕点O顺时针旋
转α角度得到的，
∴OA=OA′．
∴△OAA′是等
边三角形．
∴∠AOA′=60°，
即旋转角α的大
小可以是60°．
故选C
点评：本题考查图形旋
转的性质及等边
三角形的知
识．难度中等．
6．（2009•陕西）1978年，我国国内生产总值是3 645亿元，2007年升至249 530亿元．将249 530亿元用科学记数表示为
（）
A．24.953×1013元B．24.953×1012元C．2.4953×1013元D．2.4953×1014元
考点：科学记数法—
表示较大的数。

专题：应用题。

分析：科学记数法就
是将一个数字
表示成（a×10
的n次幂的形
式）．其中1≤|a|
＜10，n表示整
数，n为整数位
数减1，即从左
边第一位开始，
在首位非零的
后面加上小数
点，再乘以10
的n次幂．
解答：解：将249 530
亿元用科学记
数表示为
2.4953×1013
元．故选C．
点评：本题考查科学
记数法．任何一
个大于10的数
都可以用科学
记数法表示为
a×10n（1≤a＜
10），n是整数）
的形式．因为
249 530亿=24
953 000 000
000，因此本题
中a=2.4953，本
题中10的指数
n是24 953 000
000 000的位数
减1．
7．（2009•陕西）﹣的倒数是（）
A．B．﹣2C．2D．||
考点：倒数。

分析：倒数的定义：若
两个数的乘积
是1，我们就称
这两个数互为
倒数．据此作
答．
解答：
解：的倒数
是﹣2．
故选B．
点评：此题主要考查
了倒数的定
义．注意一个数
与它的倒数符
号相同．
8．（2009•陕西）如图，圆与圆之间不同的位置关系有（）
A．2种B．3种C．4种D．5种
考点：圆与圆的位置
关系。

分析：两圆之间有5种
位置关系：
无公共点的，且
每一个圆上的
点都在另一圆
的外部叫外离；
其中一个圆上
的点在另一个
圆内叫内含；
有唯一公共点
的，除这个点
外，每一个圆上
的点都在另一
圆之外叫外切；
其中一个圆上
的点在另一个
圆内叫内切；
有两个公共点
的叫相交．
解答：解：根据所给图
形，不难看出
有：内含、外切、
内切、外离4
种．故选C．
点评：考查了两圆的
位置关系，熟悉
两圆的位置关
系的定义．
9．（2009•陕西）若正比例函数的图象经过点（﹣1，2），则这个图象必经过点（）
A．（1，2）B．（﹣1，﹣2）C．（2，﹣1）D．（1，﹣2）
考点：待定系数法求
正比例函数解
析式。

专题：待定系数法。

分析：求出函数解析
式，然后根据正
比例函数的定
义用代入法计
算．
解答：解：设正比例函
数的解析式为
y=kx（k≠0），
因为正比例函
数y=kx的图象
经过点（﹣1，
2），
所以2=﹣k，
解得：k=﹣2，
所以y=﹣2x，
把这四个选项
中的点的坐标
分别代入y=﹣
2x中，等号成立
的点就在正比
例函数y=﹣2x
的图象上，
所以这个图象
必经过点（1，
﹣2）．
故选D．
点评：本题考查正比
例函数的知
识．关键是先求
出函数的解析
式，然后代值验
证答案．
10．（2009•陕西）王老师为了了解本班学生课业负担情况，在班中随机调查了10名学生，他们每人上周平均每天完成家庭作业所用的时间分别是（单位：小时）：1.5，2，2，2，2.5，2.5，2.5，2.5，3，3.5．则这10个数据的平均数和众数分别是（）
A．2.4，2.5B．2.4，2C．2.5，2.5D．2.5，2
考点：众数；算术平均数。

分析：根据平均数的定义，以及众数的
定义就可以解决．
解答：解：因为这10名学生每人上周
平均每天完成家庭作业所用的
时间分别是（单位：小时）：1.5，
2，2，2，2.5，2.5，2.5，2.5，3，
3.5，则根据平均数的计算公式可
得：
=2.4．
这组数据中，2.5出现了4次，
是出现次数最多的，即这组数据
的众数是2.5．
故选A．
点评：本题考查数据的分析．解题的关
键是理解平均数与众数的意义．
二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）
11．（2009•陕西）如图，在梯形ABCD中，DC∥AB，DA=CB．若AB=10，DC=4，tanA=2，则这个梯形的面积是42．
考点：梯形；全等三角形的判定与
性质；矩形的性质。

分析：作等腰梯形的两条高，利用
矩形和全等三角形，根据已
知条件即可求解．
解答：解：如图，作DE⊥AB，
CF⊥AB，垂足分别为E，F．
∴四边形CDEF为矩形
∴DE=CF
∵AD=BC
∴△ADE≌△BCF
∴CD=EF=4
∴AE=BF=（AB﹣CD）=3
∵tan A==2
∴DE=6
∴这个梯形的面积是（AB
﹣CD）•DE=42．
点评：本题考查等腰梯形的知识，
难度中等．通过作等腰梯形
的两条高，发现一个矩形和
两个全等的直角三角形．
12．（2009•陕西）一家商店将某种商品按成本价提高50%后，标价为450元，又以8折出售，则售出这件商品可获利润60元．
考点：一元一次方程
的应用。

专题：销售问题。

分析：由这家商店将
某种商品按成
本价提高50%
后，标价为450
元，可得等量关
系：成本价×
（1+50%）=标
价，列出方程求
出成本价，再根
据可获利润=8
折出售价﹣成
本价求解．
解答：解：设某件商品
成本价为x元，
可得：x
（1+50%）
=450，
解得x=300，
可获利润为：
450×﹣
x=60．
故售出这件商
品可获得利润
60元．
故填60．
点评：此题首先读懂
题目的意思，根
据题目给出的
条件，找出合适
的等量关系，列
出方程，再求
解．
13．（2009•陕西）如图，在锐角△ABC中，AB=4，∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是4．
考点：轴对称-最短路线问题；角
平分线的性质。

专题：动点型。

分析：从已知条件结合图形认真
思考，通过构造全等三角
形，利用三角形的三边的关
系确定线段和的最小值．
解答：解：如图，在AC上截取
AE=AN，连接BE．
∵∠BAC的平分线交BC
于点D，
∴∠EAM=∠NAM，
在△AME与△AMN中，
，
∴△AME≌△AMN
（SAS），
∴ME=MN．
∴BM+MN=BM+ME≥BE．
∵BM+MN有最小值．
当BE是点B到直线AC的
距离时，BE⊥AC，
又AB=4，∠BAC=45°，
此时，△ABE为等腰直角
三角形，
∴BE=4，
即BE取最小值为4，
∴BM+MN的最小值是4．
故答案为：4．
点评：本题考查了轴对称的应
用．易错易混点：解此题是
受角平分线启发，能够通过
构造全等三角形，把
BM+MN进行转化，但是转
化后没有办法把两个线段
的和的最小值转化为点到
直线的距离而导致错误．
规律与趋势：构造法是初中
解题中常用的一种方法，对
于最值的求解是初中考查
的重点也是难点．
14．（2009•陕西）|﹣3|﹣（﹣1）0=2．
考点：零指数幂；绝对
值。

专题：计算题。

分析：此题要用到的
知识点有：负数
的绝对值是它
的相反数，任何
不等于0的数的
0次幂都等于1．
解答：解：|﹣3|﹣（
﹣1）0=3﹣1=2．
点评：本题考查实数
的运算．注意任
何不等于0的数
的0次幂都等于
1．
15．（2009•陕西）如图，AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于点E、F，∠1=47°，则∠2的大小是133度．
考点：平行线的性质；对顶
角、邻补角。

专题：计算题。

分析：两直线平行，同位角
相等，据此可得到
∠EFD，然后根据邻
补角概念即可求出
∠2．
解答：解：∵AB∥CD，
∴∠DFE=∠1=47°，
∴∠2=180°﹣
∠DFE=133°．
故填133．
点评：本题比较容易，考查
平行线的性质．
16．（2009•陕西）若A（x1，y1），b（x2，y2）是双曲线上的两点，且x1＞x2＞0，则y1＜y2．
考点：反比例函数图
象上点的坐标
特征；反比例函
数的性质。

专题：数形结合。

分析：根据反比例函
数的增减性，k
＞0，且自变量
为正，图象位于
第一象限，y随
x的减小而增
大．
解答：解：∵k=3＞0，
∴反比例函数
图象的两个分
支在第一、三象
限，且在每个象
限内y随x的增
大而减小．
又∵A（x1，y1），
b（x2，y2）是双
曲线上的
两点，且x1＞x2
＞0．
∴y1＜y2．
故答案为：＜．
点评：本题考查利用
反比例函数的
增减性质判断
图象上点的坐
标特征．
三、解答题（共9小题，满分72分）
17．（2009•陕西）如图，圆O是△ABC的外接圆，AB=AC，过点A作AP∥BC，交BO的延长线于点P．（1）求证：AP是圆O的切线；
（2）若圆O的半径R=5，BC=8，求线段AP的长．
考点：切线的判定；勾股定理；
相似三角形的判定与性
质。

专题：几何综合题。

分析：（1）由题意可知AE⊥BC
且BE=CE，得出AE经过
圆心O，只要证明
AP⊥AE即可；
（2）可通过
△APO∽△EBO及勾股
定理求出AP的长．
解答：（1）证明：过点A作
AE⊥BC，交BC于点E，
∵AB=AC，
∴AE平分BC，
∴点O在AE上．（2分）
又∵AP∥BC，
∴AE⊥AP，
∴AP为圆O的切线．（4
分）
（2）解：∵BE=BC=4，
∴，
又∵∠AOP=∠BOE，
∴△OBE∽△OPA，
（6分）
∴．
即．
∴．（
8分）
点评：本题考查了切线的判定，
先要证明AE经过圆心，
再证明垂直即可．求AP
的长，注意与已知线段相
关的三角形联系，找准相
似三角形．
18．（2009•陕西）甲、乙两同学用一副扑克牌中牌面数字分别是：3，4，5，6的4张牌做抽数学游戏．游戏规则是：将这4张牌的正面全部朝下，洗匀，从中随机抽取一张，抽得的数作为十位上的数字，然后，将所抽的牌放回，正面全部朝下、洗匀，再从中随机抽取一张，抽得的数作为个位上的数字，这样就得到一个两位数．若这个两位数小于45，则甲获胜，否则乙获胜．你认为这个游戏公平吗？请运用概率知识说明理由．
考点：游戏公平性。

分析：游戏是否公平，关键要
看是否游戏双方赢的机
会是否相等，即判断双
方取胜的概率是否相
等，或转化为在总情况
明确的情况下，判断双
方取胜所包含的情况数
目是否相等．
解答：解：这个游戏不公平，
游戏所有可能出现的结
表中共有16种等可能
结果，小于45的两位数
共有6种．（5分）
∴P（甲获胜）=，P（乙
=．（7分）
获胜）
∵，
∴这个游戏不公平．（8
分）
点评：本题考查的是游戏公平
性的判断．判断游戏公
平性就要计算每个事件
的概率，概率相等就公
平，否则就不公平．用
到的知识点为：概率=
所求情况数与总情况数
之比．
19．（2009•陕西）问题探究：
（1）请在图①的正方形ABCD内，画出使∠APB=90°的一个点，并说明理由．
（2）请在图②的正方形ABCD内（含边），画出使∠APB=60°的所有的点P，并说明理由．
问题解决：
（3）如图③，现在一块矩形钢板ABCD，AB=4，BC=3．工人师傅想用它裁出两块全等的、面积最大的△APB和△CP′D钢板，且∠APB=∠CP'D=60度．请你在图③中画出符合要求的点和，并求出△APB的面积（结果保留根号）．
考点：作图—应用与设计作图。

专题：探究型。

分析：（1）因为正方形的对角线互相垂直，所以连接AC、BD交于点
O，O即为所求；
（2）①以AB为边在正方形内作等边△ABP；②作△ABP的外
接圆O，分别与AD、BC交于点E、F．因为在圆O中，弦AB
所对的上的圆周角均为60°，所以上的所有点均为所求的
点P；
（3）因为∠APB=∠CP'D=60°，△APB和△CP′D的面积最大，
所以同（2）：
①连接AC；
②以AB为边作等边△ABE；
③作等边△ABE的外接圆O，交AC于点P；
④在AC上截取AP'=CP．则点P、P′为所求．
要求△APB的面积．可过点B作BG⊥AC，交AC于点G．
因为在Rt△ABC中，AB=4，BC=3，利用勾股定理可求AC=5，
利用三角形的面积可求BG=，又因在Rt△ABG中，AB=4，所以利用勾股定理可求出AG的值，然后在Rt△BPG中，因为∠BPA=60°，所以PG=，而
AP=AG+PG，S△APB=AP•BG，即可求出答案．
解答：解：（1）如图①，连接AC、BD交于点P，
则∠APB=90度．∴点P为所求．（3分）
（2）如图②，画法如下：
①以AB为边在正方形内作等边△ABP；
②作△ABP的外接圆O，分别与AD、BC交于点E、F．
∵在圆O中，弦AB所对的上的圆周角均为60°，
∴上的所有点均为所求的点P．（7分）
（3）如图③，画法如下：
①连接AC；
②以AB为边作等边△ABE；
③作等边△ABE的外接圆O，交AC于点P；
④在AC上截取AP'=CP．则点P、P′为所求．（9分）
（评卷时，作图准确，无画法的不扣分）
过点B作BG⊥AC，交AC于点G．
∵在Rt△ABC中，AB=4，BC=3．
∴AC==5．
∴BG=．（10分）
在Rt△ABG中，AB=4，
∴AG=．在Rt△BPG中，∠BPA=60°，
∴PG=．
∴AP=AG+PG=．
∴S△APB=AP•BG=．（12
分）
点评：本题需仔细分析题意，利用同弧所对的圆周角相等即可解决问
题．
20．（2009•陕西）如图，在平面直角坐标系中，OB⊥OA，且OB=2OA，点A的坐标是（﹣1，2）（1）求点B的坐标；
（2）求过点A、O、B的抛物线的表达式；
（3）连接AB，在（2）中的抛物线上求出点P，使得S△ABP=S△ABO．
考点：二次函数综合题。

专题：综合题。

分析：（1）根据题意，过点A作
AF⊥x轴，垂足为点F，过
点B作BE⊥x轴，垂足为
点E；根据相似三角形的性
质，可得BE、OE的值，进
而可得B点的坐标；
（2）先设抛物线为
y=ax2+bx+c，将ABC的坐
标代入可得三元一次方程
组，解即可得abc的值，即
可得抛物线的解析式；
（3）根据题意设抛物线上
符合条件的点P到AB的距
离为d，易得AB∥x轴；
分析可得点P的纵坐标只
能是0，或4；分情况代入
数据可得答案．
解答：解：（1）过点A作AF⊥x
轴，垂足为点F，
过点B作BE⊥x轴，垂足为点E，则AF=2，OF=1．∵OA⊥OB，
∴∠AOF+∠BOE=90度．又∵∠BOE+∠OBE=90°，∴∠AOF=∠OBE，
∴Rt△AFO∽Rt△OEB，∴，
∴BE=2，OE=4，
∴B（4，2）．（2分）
（2）设过点A（﹣1，2），B（4，2），O（0，0）的抛物线为y=ax2+bx+c．
∴
解之，得，
∴所求抛物线的表达式为
y=x2﹣x．（5分）
（3）由题意，知AB∥x轴．设抛物线上符合条件的点
P到AB的距离为d，则
S△ABP=AB•d=AB•AF．
∴d=2．
∴点P的纵坐标只能是0，或4．（7分）
令y=0，得y=x2﹣x=0．
解之，得x=0，或x=3．
∴符合条件的点P1（0，0），P2（3，0）．
令y=4，得x2﹣x=4．
解之，得．
∴符合条件的点
，
．
∴综上，符合题意的点有四
个：
P1（0，0），P2（3，0），
，
．（10
分）
点评：本题考查学生数形结合处
理问题、解决问题的能力．
21．（2009•陕西）在一次运输任务中，一辆汽车将一批货物从甲地运往乙地，到达乙地卸货后返回．设汽车从甲地出发x（h）时，汽车与甲地的距离为y（km），y与x的函数关系如图所示．根据图象信息，解答下列问题：（1）这辆汽车的往、返速度是否相同？请说明理由；
（2）求返程中y与x之间的函数表达式；
（3）求这辆汽车从甲地出发4h时与甲地的距离．
考点：一次函数的应用。

分析：（1）由图象可知，去
时用了2小时，返回
时用了5﹣2.5=2.5小
时，而路程相等，所
以往返速度不同；
（2）可设该段函数解
析式为y=kx+b．因为
图象过点（2.5，120），
（5，0），列出方程组
即可求解；
（3）由图象可知，x=4
时，汽车正处于返回
途中，所以把x=4代
入（2）中的函数解析
式即可求解．
解答：解：（1）不同．理由
如下：
∵往、返距离相等，
去时用了2小时，而
返回时用了2.5小时，
∴往、返速度不同（2
分）
（2）设返程中y与x
之间的表达式为
y=kx+b，
则，解
之，得．（5
分）
∴y=﹣
48x+240．（2.5≤x≤5）
（评卷时，自变量的
取值范围不作要求）
（6分）
（3）当x=4时，汽车
在返程中，∴y=﹣
48×4+240=48．
∴这辆汽车从甲地出
发4h时与甲地的距离
为48km．（8分）
点评：本题需仔细分析图
象，利用待定系数法
解决问题．
22．（2009•陕西）如图，在平行四边形ABCD中，点E是AD的中点，连接CE并延长，交BA的延长线于点F．求证：FA=AB．
考点：全等三角形的判定
与性质；平行四边形
的性质。

专题：证明题。

分析：在证明全等时常根
据已知条件，分析还
缺什么条件，然后用
（SAS，ASA，SSS）
来证明
△AFE≌△DCE，根
据全等的性质再证
明AF=DC，从而证
明AF=AB．
解答：证明：∵四边形
ABCD是平行四边
形，
∴AB=DC，
AB∥DC．
∴∠FEA=∠DEC，
∠F=∠ECD．
又∵EA=ED，
∴△AFE≌△DCE．
∴AF=DC．
∴AF=AB．
点评：本题考查平行四边
形的性质及全等三
角形等知识，是比较
基础的证明题．23．（2009•陕西）解方程：
考点：解分式方程。

专题：计算题。

分析：由x2﹣4=（x+2）
（x﹣2），故本
题的最简公分
母是（x+2）（x
﹣2），方程两边
都乘最简公分
母，可把分式方
程转换为整式
方程求解．
解答：解：方程两边都
乘（x+2）（x﹣
2），得：（x﹣2）
2﹣（x2﹣4）=3，
解得：x=．检
验：当x=时，
（x+2）（x﹣2）
≠0．
∴x=是原方程
的解．
点评：（1）解分式方
程的基本思想
是“转化思想”，
方程两边都乘
最简公分母，把
分式方程转化
为整式方程求
解．
（2）解分式方
程一定注意要
代入最简公分
母验根．需注
意：分式方程里
单独的一个数
和字母也必须
乘最简公分母．
24．（2009•陕西）小明想利用太阳光测量楼高．他带着皮尺来到一栋楼下，发现对面墙上有这栋楼的影子，针对这种情况，他设计了一种测量方案，具体测量情况如下：
如示意图，小明边移动边观察，发现站到点E处时，可以使自己落在墙上的影子与这栋楼落在墙上的影子重叠，且高度恰好相同．此时，测得小明落在墙上的影子高度CD=1.2m，CE=0.8m，CA=30m（点A、E、C在同一直线上）．已知小明的身高EF是1.7m，请你帮小明求出楼高AB．（结果精确到0.1m）
考点：相似三角形的应用。

专题：应用题；转化思想。

分析：此题属于实际应用问题，解题的关键是
将实际问题转化为数学问题进行解答；
解题时要注意构造相似三角形，利用相
似三角形的性质解题．
解答：解：过点D作DG⊥AB，分别交AB、
EF于点G、H，
则EH=AG=CD=1.2，DH=CE=0.8，
DG=CA=30，
∵EF∥AB，
∴，
由题意，知FH=EF﹣EH=1.7﹣1.2=0.5，
∴，解得，BG=18.75，
∴AB=BG+AG=18.75+1.2=19.95≈20.0．
∴楼高AB约为20.0米．
点评：本题只要是把实际问题抽象到相似三角
形中，利用相似三角形的相似比，列出
方程，通过解方程求解即可，体现了转
化的思想．
25．（2009•陕西）某校为了组织一项球类对抗赛，在本校随机调查了若干名学生，对他们每人最喜欢的一项球类运动进行了统计，并绘制成如图①、②所示的条形和扇形统计图．根据统计图中的信息，解答下列问题：
（1）求本次被调查的学生人数，并补全条形统计图；
（2）若全校有1 500名学生，请你估计该校最喜欢篮球运动的学生人数；
（3）根据调查结果，请你为学校即将组织的一项球类对抗赛提出一条合理化建议．
考点：条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图。

专题：压轴题。

分析：根据条形图、扇形图的意义，并灵活综合运用．
（1）喜欢篮球的13人，占26%；则13÷26%=50，本次
被调查的人数是50；
（2）用样本估计总体：∵1500×26%=390，∴该校最喜
欢篮球运动的学生约为390人；
（3）结合实际意义，提出建议．
解答：解：（1）∵13÷26%=50，∴本次被调查的人数是50．（2分）
补全的条形统计图如图所示；（4分）
（2）∵1500×26%=390，∴该校最喜欢篮球运动的学生
约为390人；（6分）
（3）如“由于最喜欢乒乓球运动的人数最多，因此，学
校应组织乒乓球对抗赛”等．（只要根据调查结果提出合
理、健康、积极的建议即可给分）（7分）
点评：本题考查的是条形统计图、扇形图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的
关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇
形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
参与本试卷答题和审题的老师有：
lanyan；自由人；开心；CJX；ln_86；HLing；wdxwwzy；kuaile；心若在；zhjh；Liuzhx；蓝月梦；张超。

；未来；lf2-9；fuaisu；hbxglhl；399462；zcx；Linaliu；zhangCF；lanchong；zxw；hnaylzhyk；HJJ；mmll852；xiu；438011。

（排名不分先后）
菁优网
2012年6月15日。