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九下圆综合测试题

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九年级下册数学《圆》专项练习题含答案解析

九年级下册数学《圆》专项练习题含答案解析

九年级下册数学《圆》专项练习题1、已知⊙O1的半径是3cm，⊙2的半径是2cm，O1O2=cm，则两圆的位置关系是A．相离B．外切C．相交D．内切2、如图所示，在⊙O中，，∠A=30°，则∠B=A．150°B．75°C．60°D．15°3、用半径为6的半圆围成一个圆锥的侧面，则圆锥的底面半径等于A．3 B．C．2 D．4、在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10．若以点C为圆心，CB为半径的圆恰好经过AB的中点D，则AC=A．5 B．C．D．65、如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，弦BD平分∠ABC，则下列结论错误的是A．AD=DC B．C．∠ADB=∠ACB D．∠DAB=∠CBA6、如图所示是某公园为迎接“中国﹣﹣南亚博览会”设置的一休闲区．∠AOB=90°，弧AB的半径OA长是6米，C是OA的中点，点D在弧AB上，CD∥OB，则图中休闲区（阴影部分）的面积是A．米2B．米2C．米2D．米27、如图，已知AB、CD是⊙O的两条直径，∠ABC=28°，那么∠BAD=A．28°B．42°C．56°D．84°8、已知⊙O1与⊙O2相交，它们的半径分别是4，7，则圆心距O1O2可能是A．2 B．3 C．6 D．129、如图，在半径为1的⊙O中，∠AOB=45°，则sinC的值为A．B．C．D．10、若圆锥的侧面展开图为半圆，则该圆锥的母线l与底面半径r的关系是A．l=2r B．l=3r C．l=r D．11、如图所示，在直角坐标系中放置一个边长为1的正方形ABCD，将正方形ABCD沿x轴的正方向无滑动的在x轴上滚动，当点A离开原点后第一次落在x轴上时，点A运动的路径线与x轴围成的面积为A．B．C．D．12、下列说法错误的是A．若两圆相交，则它们公共弦的垂直平分线必过两圆的圆心B．与互为倒数C．若a＞|b|，则a＞bD．梯形的面积等于梯形的中位线与高的乘积的一半13、如图，在⊙O中，已知∠OAB=22.5°，则∠C的度数为A．135°B．122.5°C．115.5°D．112.5°14、将半径为3cm的圆形纸片沿AB折叠后，圆弧恰好能经过圆心O，用图中阴影部分的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高为A．B．C．D．15、如图，扇形AOB的半径为1，∠AOB=90°，以AB为直径画半圆，则图中阴影部分的面积为A．B．C．D．16、如图，以等腰直角△ABC两锐角顶点A、B为圆心作等圆，⊙A与⊙B恰好外切，若AC=2，那么图中两个扇形（即阴影部分）的面积之和为A．B．C．D．17、如图，A、B、C是⊙O上的三点，且∠ABC=70°，则∠AOC的度数是A．35° B．140° C．70°D．70°或140°18、已知圆柱的底面半径为3cm，母线长为5cm，则圆柱的侧面积是A．30cm2B．30πcm2C．15cm2D．15πcm219、如图，Rt△ABC内接于⊙O，BC为直径，AB=4，AC=3，D是的中点，CD与AB的交点为E，则等于A．4 B．3.5 C．3 D．2.520、用如图所示的扇形纸片制作一个圆锥的侧面，要求圆锥的高是4 cm，底面周长是6π cm，则扇形的半径为A．3cm B．5cm C．6cm D．8cm21、如图，在△ABC中，AB=4，AC=6，∠BAC=60º，∠BAC的角平分线交△ABC的外接圆⊙O 于点E，则AE的长为 .22、如图，一个宽为2厘米的刻度尺（刻度单位：厘米），放在圆形玻璃杯的杯口上，刻度尺的一边与杯口外沿相切，另一边与杯口外沿两个交点处的读数恰好是3和9，那么玻璃杯的杯口外沿半径为厘米．23、如图，AB是半圆O的直径，点P在AB的延长线上，PC切半圆O于点C，连接AC．若∠CPA=20°，则∠A=°．24、已知正方体的棱长为3，以它的下底面的外接圆为底、上底面对角线的交点为顶点构造一个圆锥体，那么这个圆锥体的体积是（π=3.14）．25、已知扇形的半径是30cm，圆心角是60°，则该扇形的弧长为cm（结果保留π）．26、如图，AB是⊙O的直径，弦BC=4cm，F是弦BC的中点，∠ABC=60°．若动点E以1cm/s 的速度从A点出发在AB上沿着A→B→A运动，设运动时间为t（s）（0≤t＜16），连接EF，当△BEF是直角三角形时，t（s）的值为．（填出一个正确的即可）27、高为4，底面半径为3的圆锥，它的侧面展开图的面积是．28、如图，正三角形ABC的边长是2，分别以点B，C为圆心，以r为半径作两条弧，设两弧与边BC围成的阴影部分面积为S，当≤r＜2时，S的取值范围是．29、如图所示，一半径为1的圆内切于一个圆心角为60°的扇形，则扇形的周长为．30、如图是李大妈跳舞用的扇子，这个扇形AOB的圆心角∠O=120°，半径OA=3，则弧AB 的长度为（结果保留π）．31、如图，已知⊙O的直径AB=6，E、F为AB的三等分点，M、N为上两点，且∠MEB=∠NFB=60°，则EM+FN= ．32、如图，在扇形OAB中，∠AOB=110°，半径OA=18，将扇形OAB沿过点B的直线折叠，点O恰好落在上的点D处，折痕交OA于点C，则的长为．33、如图，将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为cm．34、如图，将⊙O沿弦AB折叠，使经过圆心O，则∠OAB= °.35、如图，AB是半圆O的直径，且AB=8，点C为半圆上的一点．将此半圆沿BC所在的直线折叠，若圆弧BC恰好过圆心O，则图中阴影部分的面积是．（结果保留π）36、已知圆锥的底面周长是10π，其侧面展开后所得扇形的圆心角为90°，则该圆锥的母线长是．37、已知⊙O1与⊙O2相切，两圆半径分别为3和5，则圆心距O1O2的值是．38、点O在直线AB上，点A1，A2，A3，……在射线OA上，点B1，B2，B3，……在射线OB上，图中的每一个实线段和虚线段的长均为1个单位长度．一个动点M从O点出发，按如图所示的箭头方向沿着实线段和以点O为圆心的半圆匀速运动，速度为每秒1个单位长度．按此规律，则动点M到达A101点处所需时间为秒．39、如图，△ABC内接于⊙O，∠ACB＝35º，则∠OAB＝ º．40、如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，若∠BOC=100°，则∠BAC=．41、如图，在△ABC中，AB＝BC，以AB为直径的⊙O与AC交于点D，过D作DF⊥BC，交AB的延长线于E，垂足为F．(1)求证：直线DE是⊙O的切线；(2)当AB＝5，AC＝8时，求cosE的值．42、如图，OA=OB，AB交⊙O于点C、D，AC与BD是否相等？为什么？43、如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，AC平分∠BAD；AD⊥ CD，垂足为D．(1)求证：CD是⊙O的切线(2)若⊙O的直径为5，CD＝2．求AC的长．44、（本题满分12分）如图，I是△ABC的内心，∠BAC的平分线与△ABC的外接圆相交于点D。

2022学年北师大版九年级数学下册第3章《圆》综合测试题附答案解析

2022学年北师大版九年级数学下册第3章《圆》综合测试题附答案解析

2022-2023学年九年级数学下册第3章《圆》综合测试题（满分120分）一、选择题(每题3分，共30分)1．下列命题为真命题的是()A ．两点确定一个圆B ．度数相等的弧相等C ．垂直于弦的直径平分弦D ．相等的圆周角所对的弧相等，所对的弦也相等2．已知⊙O 的半径为5，点P 到圆心O 的距离为6，那么点P 与⊙O 的位置关系是()A ．点P 在⊙O 外B ．点P 在⊙O 内C ．点P 在⊙O 上D ．无法确定3．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，∠BOC ＝120°，则∠BAC 的度数是()A ．70°B ．60°C ．50°D ．30°4．如图，AB ，AC 为⊙O 的切线，B 和C 是切点，延长OB 到D ，使BD ＝OB ，连接AD .如果∠DAC ＝78°，那么∠ADO 等于()A ．70°B ．64°C ．62°D ．51°5．如图，AB ︵＝BC ︵＝CD ︵，OB ，OC 分别交AC ，BD 于点E ，F ，则下列结论不一定正确的是()A ．AC ＝BD B ．OE ⊥AC ，OF ⊥BD C ．△OEF 为等腰三角形D ．△OEF 为等边三角形6．如图，在直角坐标系中，一个圆经过坐标原点O ，交坐标轴于点E ，F ，OE ＝8，OF ＝6，则圆的直径长为()A ．12B ．10C ．14D ．157．如图，△PQR 是⊙O 的内接正三角形，四边形ABCD 是⊙O 的内接正方形，BC ∥QR ，则∠AOQ 等于()A ．60°B ．65°C ．72°D ．75°8．秋千拉绳长3m ，静止时踩板离地面0.5m ，某小朋友荡秋千时，秋千在最高处踩板离地面2m(左右对称)，如图所示，则该秋千所荡过的圆弧AB ︵的长为()A ．πmB ．2πm C.43πm D.32πm9．如图，PA ，PB 切⊙O 于A ，B 两点，CD 切⊙O 于点E ，交PA ，PB 于点C 和点D .若△PCD 的周长为⊙O 半径的3倍，则t a n ∠APB 等于()A.125 B.3513 C.2313 D.51210．如图，在平面直角坐标系中，⊙P 的圆心坐标是(3，a )(a ＞3)，半径为3，函数y ＝x 的图象被⊙P 截得的弦AB 的长为42，则a 的值是()A ．4B ．3＋2C ．32D ．3＋3二、填空题(每题3分，共24分)11．如图，AB 为⊙O 的直径，CD ⊥AB ，若AB ＝10，CD ＝8，则圆心O 到弦CD 的距离为________．12．如图，EB ，EC 是⊙O 的两条切线，B ，C 是切点，A ，D 是⊙O 上两点，如果∠E ＝46°，∠DCF ＝32°，那么∠A ＝________．13．如图，DB 切⊙O 于点A ，∠AOM ＝66°，则∠DAM ＝________．14．如图，AB ，CD 是⊙O 的弦，AB ⊥CD ，BE 是⊙O 的直径，若AC ＝3，则DE ＝________．15．如图，水平放置的圆柱形油槽的截面直径是52c m ，装入油后，油深CD 为16c m ，那么油面宽度AB＝________.16．如图，在扇形OAB 中，∠AOB ＝90°，点C 为OA 的中点，CE ⊥OA 交AB ︵于点E ，以点O 为圆心，OC为半径作CD ︵交OB 于点D .若OA ＝2，则阴影部分的面积为________．17．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3，AB ＝5，D 为BC 边的中点，以AD 上一点O 为圆心的⊙O 和AB ，BC 均相切，则⊙O 的半径为________．18．如图，在⊙O 中，C ，D 分别是OA ，OB 的中点，MC ⊥AB ，ND ⊥AB ，M ，N 在⊙O 上．下列结论：①MC ＝ND ；②AM ︵＝MN ︵＝NB ︵；③四边形MCDN 是正方形；④MN ＝12AB .其中正确的结论有_____(填序号)．三、解答题(19题8分，20，21每题10分，22，23每题12分，24题14分，共66分)19．如图，AB 是⊙O 的直径，PA 切⊙O 于A ，OP 交⊙O 于C ，连接BC ，若∠P ＝30°，求∠B 的度数．20．如图，AB 是⊙O 的直径，BD 是⊙O 的弦，延长BD 到点C ，使DC ＝BD ，连接AC ，过点D 作DE ⊥AC ，垂足为E .(1)求证：AB ＝AC .(2)若⊙O 的半径为4，∠BAC ＝60°，求DE 的长．21．如图，点P 在y 轴上，⊙P 交x 轴于A ，B 两点，连接BP 并延长交⊙P 于点C ，过点C 的直线y ＝2x＋b 交x 轴于点D ，且⊙P 的半径为5，AB ＝4.(1)求点B ，P ，C 的坐标．(2)求证：CD 是⊙P 的切线．22．如图，CB和CD切⊙O于B，D两点，A为圆周上一点，且∠1:∠2:∠3＝1:2:3，BC＝3，求∠AOD所对扇形的面积S.23．如图，一拱形公路桥，圆弧形桥拱的水面跨度AB＝80m，桥拱到水面的最大高度为20m.(1)求桥拱所在圆的半径．(2)现有一艘宽60m，顶部截面为长方形且高出水面9m的轮船要经过这座拱桥，这艘轮船能顺利通过吗？请说明理由．24．如图，已知在△ABP中，C是BP边上一点，∠PAC＝∠PBA，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，且交BP于点E.(1)求证：PA是⊙O的切线．(2)过点C作CF⊥AD，垂足为点F，延长CF交AB于点G，若AG·AB＝12，求AC的长．(3)在满足(2)的条件下，若AF∶FD＝1∶2，GF＝1，求⊙O的半径及sin∠ACE的值．参考答案一、1.C 2.A3.B4.B5.D6.B 7．D 8.B 9.A 10.B二、11.3【点拨】如图，连接OC ，设AB ⊥CD 于E .∵AB 为⊙O 的直径，AB ＝10，∴OC ＝5.∵CD ⊥AB ，CD ＝8，∴CE ＝4，∴OE ＝OC 2－CE 2＝52－42＝3.12．99°【点拨】易知EB ＝EC .又∠E ＝46°，所以∠ECB ＝67°.从而∠BCD ＝180°－67°－32°＝81°.在⊙O 中，∠BCD 与∠A 互补，所以∠A ＝180°－81°＝99°.13．147°【点拨】因为DB 是⊙O 的切线，所以OA ⊥DB .由∠AOM ＝66°，得∠OAM ＝12×(180°－66°)＝57°.所以∠DAM ＝90°＋57°＝147°.14．3【点拨】∵BE 是⊙O 的直径，∴∠BDE ＝90°.∴∠BDC ＋∠CDE ＝90°.又∵AB ⊥CD ，∴∠ACD ＋∠CAB ＝90°.∵∠CAB ＝∠BDC ，∴∠ACD ＝∠CDE .∴AD ︵＝CE ︵.∴AD ︵－AE ︵＝CE ︵－AE ︵.∴DE ︵＝AC ︵.∴DE ＝AC ＝3.15．48cm16.32＋π12【点拨】连接OE .∵点C 是OA 的中点，∴OC ＝12OA ＝1.∵OE ＝OA ＝2，∴OC ＝12OE .∵CE ⊥OA ，∴∠OEC ＝30°.∴∠COE ＝60°.在Rt △OCE 中，CE ＝OE 2－OC 2＝3，∴S △OCE ＝12OC ·CE ＝32.∵∠AOB ＝90°，∴∠BOE ＝∠AOB －∠COE ＝30°.∴S 扇形BOE ＝30π×22360＝π3.又S 扇形COD ＝90π×12360＝π4.因此S 阴影＝S 扇形BOE ＋S △OCE －S 扇形COD ＝π3＋32－π4＝32＋π12.17.6718．①②④【点拨】连接OM ，ON ，易证Rt △OMC ≌Rt △OND ，可得MC ＝ND ，故①正确．在Rt △MOC中，CO ＝12MO ，可得∠CMO ＝30°，所以∠MOC ＝60°.易得∠MOC ＝∠NOD ＝∠MON ＝60°，所以AM ︵＝MN ︵＝NB ︵，故②正确．易得CD ＝12AB ＝OA ＝OM ，∵MC ＜OM ，∴MC ＜CD .∴四边形MCDN 不是正方形，故③错误．易得MN ＝CD ＝12AB ，故④正确．三、19.解：∵PA 切⊙O 于A ，AB 是⊙O 的直径，∠P ＝30°，∴∠AOP ＝60°.∴∠B ＝12∠AOP ＝30°.20．(1)证明：如图，连接AD .∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°.∵DC ＝BD ，∴AB ＝AC .(2)解：由(1)知AB ＝AC ，∵∠BAC ＝60°，∠ADB ＝90°，∴△ABC 是等边三角形，∠BAD ＝30°.在Rt △BAD 中，∠BAD ＝30°，AB ＝8，∴BD ＝4，即DC ＝4.又∵DE ⊥AC ，∴DE ＝DC ·sin C ＝4·sin 60°＝4×32＝2 3.21．(1)解：如图，连接CA .∵OP ⊥AB ，∴OB ＝OA ＝2.∵OP 2＋OB 2＝BP 2，∴OP 2＝5－4＝1，即OP ＝1.∵BC 是⊙P 的直径，∴∠CAB ＝90°.∵CP ＝BP ，OB ＝OA ，∴AC ＝2OP ＝2.∴B (2，0)，P (0，1)，C (－2，2)．(2)证明：∵直线y ＝2x ＋b 过C 点，∴b ＝6.∴y ＝2x ＋6.∵当y ＝0时，x ＝－3，∴D (－3，0)．∴AD ＝1.∵OB ＝AC ＝2，AD ＝OP ＝1，∠CAD ＝∠POB ＝90°，∴△DAC ≌△POB .∴∠DCA ＝∠ABC .∵∠ACB ＋∠ABC ＝90°，∴∠DCA ＋∠ACB ＝90°，即CD ⊥BC .∴CD 是⊙P 的切线．22．解：∵CD 为⊙O 的切线，∴∠ODC ＝90°，即OD ⊥CD .∵∠1:∠2:∠3＝1:2:3，∴∠1＝15°，∠2＝30°，∠3＝45°.连接OB .∵CB 为⊙O 的切线，∴OB ⊥BC ，BC ＝CD .∴∠CBD ＝∠3＝45°，∴∠OBD ＝45°.又∠1＋∠2＝45°，∴∠BOD ＝90°，即OD ⊥OB .∴OD ∥BC ，CD ∥OB .∴四边形OBCD 为正方形．∵BC ＝3，∴OB ＝OD ＝3.∵∠1＝15°，∴∠AOB ＝30°，∴∠AOD ＝120°.∴S ＝120360×π×32＝3π.23．解：(1)如图，设点E 是桥拱所在圆的圆心．过点E 作EF ⊥AB 于点F ，延长EF 交AB ︵于点C ，连接AE ，则CF ＝20m ．由垂径定理知，F 是AB 的中点，∴AF ＝FB ＝12AB ＝40m.设半径是r m ，由勾股定理，得AE 2＝AF 2＋EF 2＝AF 2＋(CE －CF )2，即r 2＝402＋(r －20)2.解得r ＝50.∴桥拱所在圆的半径为50m.(2)这艘轮船能顺利通过．理由：当宽60m 的轮船刚好可通过拱桥时，如图，MN 为轮船顶部的位置．连接EM ，设EC 与MN 的交点为D ，则DE ⊥MN ，∴DM ＝30m ，∴DE ＝EM 2－DM 2＝502－302＝40(m )．∵EF ＝EC －CF ＝50－20＝30(m)，∴DF ＝DE －EF ＝40－30＝10(m)．∵10m>9m ，∴这艘轮船能顺利通过．24．(1)证明：如图，连接CD .∵AD 是⊙O 的直径，∴∠ACD ＝90°.∴∠CAD ＋∠ADC ＝90°.又∵∠PAC ＝∠PBA ，∠ADC ＝∠PBA ，∴∠PAC ＝∠ADC .∴∠CAD ＋∠PAC ＝90°.∴PA ⊥DA .而AD 是⊙O 的直径，∴PA 是⊙O 的切线．(2)解：由(1)知，PA ⊥AD ，又∵CF ⊥AD ，∴CF ∥PA .∴∠GCA ＝∠PAC .又∵∠PAC ＝∠PBA ，∴∠GCA ＝∠PBA .而∠CAG ＝∠BAC ，∴△CAG ∽△BAC .∴AGAC ＝ACAB ，即AC 2＝AG ·AB .∵AG ·AB ＝12，∴AC 2＝12.∴AC ＝2 3.(3)解：设AF ＝x ，∵AF ∶FD ＝1∶2，∴FD ＝2x .∴AD ＝AF ＋FD ＝3x .易知△ACF ∽△ADC ，∴ACAD ＝AFAC ，即AC 2＝AF ·AD .∴3x 2＝12，解得x ＝2或x ＝－2(舍去)．∴AF ＝2，AD ＝6.∴⊙O 的半径为3.在Rt △AFG 中，AF ＝2，GF ＝1，根据勾股定理得AG ＝AF 2＋GF 2＝22＋12＝5，由(2)知AG ·AB ＝12，∴AB ＝12AG ＝1255.连接BD ，如图所示．∵AD 是⊙O 的直径，∴∠ABD ＝90°.在Rt △ABD 中，∵sin ∠ADB ＝ABAD ，AD ＝6，AB ＝1255，∴sin ∠ADB ＝255.∵∠ACE ＝∠ADB ，∴sin ∠ACE ＝255.。

华师版九年级下册数学第27章 圆 阶段综合训练【范围：27

华师版九年级下册数学第27章 圆 阶段综合训练【范围：27
【点拨】如图，连结OA，OC，OD，CE，DB. 在圆内接四边形ABCE中，有∠ABC＋∠AEC＝180°； 由圆周角定理知∠AOC＝2∠AEC， ∴∠ABC＋ ∠AOC＝180°. 同理得∠AED＋ ∠AOD＝180°.
1 2
1 2
1 1 两式相加得230°＋ ∠AOC＋ ∠AOD＝360°，
2 ∴∠AOC＋∠AOD＝260°.
A．35° B．38° C．40° D．42°
C
9．小明将汽车轮胎如图放置在地面台阶直角处，他测量了台阶高AC为160mm
，直角顶点到轮胎与地面接触点的距离AB为320mm，轮胎的直径为( )
A．350mm
B．700mm
C．800mm
D．400mm
【点拨】如图，连结OB，OC，作CD⊥OB于D，则易知四边形ABDC为矩 形．设⊙O的半径为xmm， 则OD＝OB－BD＝(x－160)mm，CD＝AB＝320mm， 在Rt△OCD中，由勾股定理得，(x－160)2＋3202＝x2，解得x＝400， ∴2x＝800，即轮胎的直径为800mm.
PPAB＝PPDC.
∴1y0＝x3，∴y＝3x0. 【答案】y＝3x0
20．【中考·自贡】如图，⊙O中，弦AB与CD相交于点E，AB＝CD，连结AD、 BC.求证：
(1)A︵D＝B︵C； 证明：∵AB＝CD， ∴A︵B＝C︵D，即A︵D＋A︵C＝B︵C＋A︵C， ∴A︵D＝B︵C.
(2)AE＝CE.
，∴∠COD＝∠COE.
A︵C＝B︵C ∵OA＝OB，AD＝BE，∴OD＝OE.
又∵OC＝OC，∴△COD≌△COE，∴CD＝CE.
(2)A︵M＝B︵N.
证明：如图，连结OM，ON. ∵△COD≌△COE，∴∠CDO＝∠CEO，∠OCD＝∠OCE. ∵OC＝OM＝ON，∴∠OCM＝∠OMC，∠OCN＝∠ONC， ∴∠OMD＝∠ONE. ∵∠ODC＝∠DMO＋∠MOD，∠CEO＝∠CNO＋∠EON， ∴∠MOD＝∠NOE，∴

2023年中考九年级数学高频考点提升练习--圆的综合题(含答案)

2023年中考九年级数学高频考点提升练习--圆的综合题(含答案)

2023年中考九年级数学高频考点提升练习--圆的综合题1．如图，在⊙ O中，弦AC，BD相交于点M，且∠OAC=∠OBD．（1）求证：AC=BD；（2）若OA=4，∠OAC=30°，当AC⊥BD时，求：①图中阴影部分面积．②弧CD的长．2．已知⊙O中，弦AB＝AC，⊙BAC＝120°（1）如图①，若AB＝3，求⊙O的半径．（2）如图②，点P是⊙BAC所对弧上一动点，连接PB、PA、PC，试请判断PA、PB、PC之间的数量关系并说明理由．3．如图（1），已知矩形ABCD中，AB=6cm，BC=2√3cm，点E为对角线AC 上的动点.连接BE，过E作EB的垂线交CD于点F.（1）探索BE与EF的数量关系，并说明理由.（2）如图（2），过F作AC垂线交AC于点G，交EB于点H，连接CH.若点E从A出发沿AC方向以2√3cm/s的速度向终点C运动，设E的运动时间为ts.①是否存在t，使得H与B重合？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由；②t为何值时，△CFH是等腰三角形；③当CG=GH时，求△CGH的面积.4．如图，AB是⊙O的直径，BC为⊙O的切线，D为⊙O上的一点，CD＝CB，延长CD交BA的延长线于点E.（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）求证：⊙C＝2⊙DBE.（3）若EA＝AO＝2，求图中阴影部分的面积.（结果保留π）5．定义：三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的积等于这个点到该边所对顶点连线的平方，则称这个点为三角形该边的“好点”.如图1，⊙ABC中，点D 是BC边上一点，连结AD，若AD2=BD⋅CD，则称点D是⊙ABC中BC边上的“好点”.（1）如图2，⊙ABC的顶点是4×3网格图的格点，请仅用直尺画出AB边上的一个“好点”.（2）⊙ABC中，BC=9，tanB=43，tanC=23，点D是BC边上的“好点”，求线段BD的长.（3）如图3，⊙ABC是⊙O的内接三角形，OH⊙AB于点H，连结CH并延长交⊙O于点D.①求证：点H是⊙BCD中CD边上的“好点”.②若⊙O的半径为9，⊙ABD=90°，OH=6，请直接写出CHDH的值.6．如图，⊙O为等边⊙ABC的外接圆，半径为2，点D在劣弧上运动（不与点A，B 重合），连接DA，DB，DC.（1）求证：DC是⊙ADB的平分线；（2）设四边形ADBC的面积为S，线段DC的长为x，试用含x的代数式表示S；（3）若点M，N分别在线段CA，CB上运动（不含端点），经过探究发现，点D 运动到每一个确定的位置，⊙DMN的周长有最小值t，随着点D的运动，t的值会发生变化，求所有t值中的最大值.7．在⊙ABC中，D，E分别是⊙ABC两边的中点，如果弧DE（可以是劣弧、优弧或半圆）上的所有点都在⊙ABC的内部或边上，则称弧DE为⊙ABC的中内弧．例如，图1中弧DE是⊙ABC其中的某一条中内弧．（1）如图2，在边长为4 √3的等边⊙ABC中，D，E分别是AB，AC的中点．画出⊙ABC的最长的中内弧DE，并直接写出此时弧DE的长；（2）在平面直角坐标系中，已知点A（2 √3，6），B（0，0），C（t，0），在⊙ABC中，D，E分别是AB，AC的中点．①若t＝2 √3，求⊙ABC的中内弧DE所在圆的圆心P的纵坐标的取值范围；②请写出一个t的值，使得⊙ABC的中内弧DE所在圆的圆心P的纵坐标可以取全体实数值．8．如图，⊙O是⊙ABC的外接圆，AC是直径，过点O作OD⊙AB于点D，延长DO 交⊙O于点P，过点P作PE⊙AC于点E，作射线DE交BC的延长线于F点，连接PF．（1）若⊙POC=60°，AC=12，求劣弧PC的长；（结果保留π）（2）求证：OD=OE；（3）求证：PF是⊙O的切线．9．如图，点A和动点P在直线l上，点P关于点A的对称点为Q，以AQ为边作Rt△ABQ，使∠BAQ=90°，AQ：AB=3：4，作△ABQ的外接圆O.点C在点P右侧，PC=4，过点C作直线m⊥l，过点O作OD⊥m于点D，交AB右侧的圆弧于点E.在射线CD上取点F，使DF=32CD，以DE，DF为邻边作矩形DEGF.设AQ=3x.（1）用关于x的代数式表示BQ=，DF=.（2）当点P在点A右侧时，若矩形DEGF的面积等于90，求AP的长.（3）当点P在点A右侧时，作直线BG交⊙O于点N，若BN的弦心距为1，求AP的长.10．如图，⊙ABC中，⊙ACB=90°，D是边AB上一点，且⊙A=2⊙DCB．E是BC边上的一点，以EC为直径的⊙O经过点D．（1）求证：AB是⊙O的切线；（2）若CD的弦心距为1，BE=EO，求BD的长．11．已知：A、B两点在直线l的同一侧，线段AO，BM均是直线l的垂线段，且BM 在AO的右边，AO=2BM，将BM沿直线l向右平移，在平移过程中，始终保持⊙ABP=90°不变，BP边与直线l相交于点P．（1）当P与O重合时（如图2所示），设点C是AO的中点，连接BC．求证：四边形OCBM是正方形；（2）请利用如图1所示的情形，求证：ABPB=OMBM；（3）若AO=2 √6，且当MO=2PO时，请直接写出AB和PB的长．12．（问题情境）如图①，小区A、B位于一条笔直的道路l的同侧，为了方便A，B两个小区居民投放垃圾，现在l上建一个垃圾分类站C，使得C与A，B的距离之比为2：1.（1）（初步研究）在线段AB上作出点C，使CACB=2.如图，做法如下：第一步：过点A作射线AM，以A为圆心，任意长为半径画弧，交AM于点P1；以P1为圆心，AP1长为半径画弧，交AM于点P2；以P2为圆心，AP1长为半径画弧，交AM于点P3.第二步：连接BP3，作∠AP2C=∠AP3B，交AB于点C.则点C即为所求.请证明所作的点C满足CACB=2.（2）（深入思考）如图，点C在线段AB上，点D在直线AB外，且DADB=CACB=2.求证：DC是∠ADB的平分线.（3）（问题解决）如图，已知点A，B和直线l，点C在线段AB上，且CACB=2.用直尺和圆规完成下列作图.（保留作图痕迹，不写作法）（⊙）在直线AB上作出点E（异于点C），使EAEB=2；（⊙）在直线l上作出点F，使FAFB=2.13．在矩形ABCD中，BC=2AB，点E是对角线AC上任意一点，过点E作AD的垂线分别交AD，BC于点F，G，作FH平行AC交CD于点H．（1）证明：EF=CH．（2）连结GH交AC于点K，若AE：CK=3，求AE：EK的值．（3）作⊙FGH的外接圆⊙O，且AB=1．①若⊙O与矩形的边相切时，求CH的长．②作点E关于GH的对称点E'，当E'落在⊙O上时，直接写出⊙FGH的面积。

沪科版九年级数学《圆》——综合检测试卷

沪科版九年级数学《圆》——综合检测试卷

沪科版九年级数学《圆》——综合检测试卷一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分）1．（3分）（2003•北京）如图，CA为⊙O的切线，切点为A，点B在⊙O上．如果∠CAB=55°，那么∠AOB等于（等于（ ）A．55°B．90°C．110°D．120°2．（3分）（2011•达州）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，如果AB=10，CD=8，那么的长为（ ）线段OE的长为（A．5B．4C．3D．23．（3分）（2003•天津）若圆的一条弦把圆分成度数之比为1：3的两条弧，则这条弦所对的圆周角等于（）A．45°B．135°C．90°和270 D．45°和135°4．（3分）（2003•江西）如图所示，AB是所对的弦，AB的垂直平分线CD分别交，AC于C，D，AD的垂直平分线EF分别交AB，AB于E，F，DB的垂直平分线GH分别交，AB于G，H，则下面结论不正确的是（ ）结论不正确的是（A．B．C．E F=GH D．5．（3分）（2003•山东）用一个半径为6cm的半圆围成一个圆锥的侧面，则此圆锥的底面圆的半径为（）A．2cm B．3cm C．4cm D．6cm 6．（3分）（2003•辽宁）已知两圆的半径分别是1和5，圆心距为3，则两圆位置关系为（，则两圆位置关系为（ ）A．相交B．外切C．内切D．内含7．（3分）若正三角形、正方形、正六边形的周长相等，它们的面积分别为S1，S2，S3，则下列关系成立的是（ ）立的是（A．S1=S2=S3B．S1＞S2＞S3C．S1＜S2＜S3D．S2＞S3＞S18．（3分）如图，点C 在线段AB 上，以AB 、AC 为直径的半圆相切于点A ，大圆的弦AE 交小圆于点D ，∠EAB=α，如DE=2，那么BC 等于（等于（ ）A ．2cos α B ．2sin α C ．D ．二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分） 9．（3分）分）圆外一点到圆的最大距离是圆外一点到圆的最大距离是18cm ，到圆的最小距离是5cm ，则圆的半径是则圆的半径是 _________ cm ．10．（3分）直角三角形的斜边长为4，内切圆的半径等于，则这个三角形的周长为则这个三角形的周长为 _________ ．11．（3分）（1999•哈尔滨）在△ABC 中，∠C=90°，AC=4，BC=3，以直线AC 为轴旋转一周所得到的几何体的表面积是几何体的表面积是 _________ ． 12．（3分）顶角为120°的等腰三角形腰长为4cm ，则它的外接圆的直径，则它的外接圆的直径 _________ cm ． 13．（3分）（2003•天津）若圆的一个弦长为12cm ，其弦心距等于8cm ，则该圆的半径等于则该圆的半径等于 ______ cm ． 14．（3分）一条弧所对的圆心角是90°，半径是R ，则这条弧长为，则这条弧长为 _________ ． 15．（3分）有一长、宽分别为4cm ，3cm 的矩形ABCD ，以A 为圆心作圆，若B 、C 、D 三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，则⊙O 的半径r 的取值范围是的取值范围是 _________ ． 16．（3分）（2007•株洲）已知△ABC 的三边长分别为6cm 、8cm 、10cm ，则这个三角形的外接圆的面积为积为 ________ _ cm 2．（结果用含π的代数式表示）的代数式表示）三、解答题（共9小题，满分72分） 17．（7分）如图，两个同心圆的圆心为O ，大圆的半径OC 、OD 交小圆于A 、B ，试探究AB 与CD 有怎样的位置关系？怎样的位置关系？18．（7分）如图，已知∠C=90°，点O 在AC 上，CD 为⊙O 的直径，⊙O 切AB 于点E ，若BC=5，AC=12，求⊙O 的半径．的半径．19．（7分）如图，△ABC中，∠C是直角，AB=12cm，∠ABC=60°，将△ABC以点B为中心顺时针旋转，使点C旋转到AB的延长线上的点D处，则AC边扫过的图形（阴影部分）的面积是多少？，最后结果保留三个有效数字）（π=3.14159…，最后结果保留三个有效数字）20．（7分）如图，以等腰三角形ABC的腰AB为直径作⊙O，交底边BC于P，PE⊥AC于E，试问：PE是⊙O的切线吗？说明理由．的切线吗？说明理由．21．（7分）如图，把直角三角形△ABC的斜边AB放在直线l上，按顺时针方向转动两次，使它转到△A″B″C″的位置，设BC=1，AC=，则顶点A运动到A′′的位置时：′′的位置时：经过的路线有多长？（1）点A经过的路线有多长？所围成的面积是多少？（2）点A经过的路线与直线l所围成的面积是多少？22．（7分）如图，P是⊙O外一点，P A切⊙O于A，AB是⊙O的直径，PB交⊙O于C，若PA=2cm，∠B=30°，求出图中阴影部分的面积．，求出图中阴影部分的面积．23．（10分）如图是圆桌正上方的灯泡（看作一个点）发出的光线照射桌面后，在地面上形成阴影（圆形）的示意图，已知桌面的直径为1.2米，桌面距离地面1米，若灯泡距离地面3米，求地面上阴影部分的面积．（精确到0.01平米，π取3.14）24．（10分）工人师傅要在如图所示的一边长为40cm的正方形铁皮上裁剪下一块完整的圆形和一块完整的扇形铁皮，使之恰好做成一个圆锥形模型．（画出示意图）（1）请你帮助工人师傅设计三种不同的裁剪方案；（画出示意图）（2）何种设计方案使得正方形铁皮的利用率最高？求出此时圆锥模型底面圆的半径．25．（10分）（2004•万州区）如图，以Rt△ABC的直角边AB为直径的半圆O，与斜边AC交于D，E 是BC边上的中点，连接DE．（1）DE与半圆O相切吗？若相切，请给出证明；若不相切，说明理由；（2）如果AD，AB的长是方程x2﹣10x+24=0的两个根，试求直角边BC的长；的长；（3）试在（1）（2）的基础上，提出一个有价值的问题（不必解答）．A．55°B．90°C．110°D．120°解答：解：∵∠OAC=90°，∴∠OAB=90°﹣55°=35°，∴∠AOB=180°﹣35°×2=110°．故选C．A．5B．4C．3D．2解答：解：连接OC ∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∴CE=CD，∵CD=8，∴CE=4，∵AB=10，∴由勾股定理得，OE===3．故选C．3．（3分）（2003•天津）若圆的一条弦把圆分成度数之比为1：3的两条弧，则这条弦所对的圆周角等于A．45°B．135°C．90°和270 D．45°和135°两条弧．解答：解：如图，弦AB将⊙O分成了度数比为1：3两条弧．连接OA、OB；则∠AOB=90°；点时，①当所求的圆周角顶点位于D点时，这条弦所对的圆周角∠ADB=∠AOB=45°；点时，②当所求的圆周角顶点位于C点时，这条弦所对的圆周角∠ACB=180°﹣∠ADB=135°．故选D．4．（3分）（2003•江西）如图所示，AB是所对的弦，AB的垂直平分线CD分别交，AC于C，D，AD的垂直平分线EF分别交AB，AB于E，F，DB的垂直平分线GH分别交，AB于G，H，则下面结论不正确的是（ ）结论不正确的是（A．B．C．E F=GH D．的二等分点，解答：解：A、正确，CD是AB的中垂线，点C也是弧AB的二等分点，B、正确，在同圆中，两直线平行，则直线所夹的弧相等，C、正确，在同圆中，弦心距相等，则弦相等，弦的一半也相等D、错误．点F是AD的中点，但点E不一定是弧AC的二等分点．的二等分点．故选D．5．（3分）（2003•山东）用一个半径为6cm的半圆围成一个圆锥的侧面，则此圆锥的底面圆的半径为（）A．2cm B．3cm C．4cm D．6cm 解答：解：=2πR，解得R=3cm．故选B．6．（3分）（2003•辽宁）已知两圆的半径分别是1和5，圆心距为3，则两圆位置关系为（，则两圆位置关系为（ ）A．相交B．外切C．内切D．内含解答：解：因为圆心距=3，两圆半径差=5﹣1=4＞3，根据圆心距与半径之间的数量关系可知，两圆的位置关系是内含．故选D．7．（3分）若正三角形、正方形、正六边形的周长相等，它们的面积分别为S1，S2，S3，则下列关系成立的是（ ）立的是（A．S1=S2=S3B．S1＞S2＞S3C．S1＜S2＜S3D．S2＞S3＞S1解答：解：设正三角形的边长为a，则正方形的边长为，正六边形的边长为；∵正三角形的边长为a，∴其高为，∴S1=a×=；S2=（）2=；∵正六边形的边长为，∴把正六边形分成六个三角形，其高为，∴S3=6×××=．∵S1==，S3==，＜＜，∴S1＜S2＜S3．故选C．8．（3分）如图，点C在线段AB上，以AB、AC为直径的半圆相切于点A，大圆的弦AE交小圆于点D，∠EAB=α，如DE=2，那么BC等于（等于（ ）A．2cosαB．2sinαC．D．解答：解：连接CD、BE，过C点作CF∥AE交BE于点F，为直径，点C在线段AB上，AB、AC为直径，所以有DC⊥AE，BE⊥AE，为正方形，即得CD∥BE，且四边形DCFE为正方形，即FC=DE=2，∠FCB=∠EAB=α，在Rt△BCF中，BC=故选C．二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）9．（3分）圆外一点到圆的最大距离是18cm，到圆的最小距离是5cm，则圆的半径是，则圆的半径是 6.5cm．解：根据题意，解答：解：根据题意，圆的半径为cm．10．（3分）直角三角形的斜边长为4，内切圆的半径等于，则这个三角形的周长为，则这个三角形的周长为 ．解答：解：设直角边分别为a，b．根据题意有，﹣1=，所以a+b=2+2，因此三角形的周长=2+2+4=2+6．故填6+2．几何体的表面积是几何体的表面积是 24π ． 解答： 解：根据题意得：圆锥的底面周长=6π，所以圆锥的侧面积==15π，圆锥的底面积=π×32=9π，所以以直线AC 为轴旋转一周所得到的几何体的表面积=15π+9π=24π．12．（3分）顶角为120°的等腰三角形腰长为4cm ，则它的外接圆的直径，则它的外接圆的直径 8 cm ． 解答： 解：如图；△ABC 中，∠ACB=120°，AC=BC=4cm ；易知∠OCA=∠ACB=60°； 又∵OA=OC ，∴△OAC 是等边三角形；是等边三角形； ∴OA=OC=AC=4cm ；故等腰三角形的外接圆直径是8cm ．13．（3分）（2003•天津）若圆的一个弦长为12cm ，其弦心距等于8cm ，则该圆的半径等于，则该圆的半径等于 10 cm ． 解答： 解：根据垂径定理可知，弦的一半为6，然后根据勾股定理可知半径为10cm ． ，则这条弧长为 ．解答： 解：l===．一点在圆内，且至少有一点在圆外，则⊙O 的半径r 的取值范围是的取值范围是 3＜r ＜5 ． 解答： 解：∵矩形ABCD 的长、宽分别为4cm ，3cm ，∴矩形的对角线为5cm ，∵B 、C 、D 三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外， ∴⊙O 的半径r 的取值范围是3＜r ＜5．△积为积为 25π cm ．（结果用含π的代数式表示）的代数式表示） 解答： 解：根据勾股定理的逆定理可知三角形是直角三角形，那么直角三角形的外心是斜边的中点，所以半径=5， 面积=25π．三、解答题（共9小题，满分72分）解答： 解：∵OA=OB ，OC=OD ，∴．又∵∠AOB=∠COD，∴△OAB∽△OCD．∴∠OAB=∠OCD．∴AB∥CD．故AB与CD平行．平行．18．（7分）如图，已知∠C=90°，点O在AC上，CD为⊙O的直径，⊙O切AB于点E，若BC=5，AC=12，的半径．求⊙O的半径．解答：解：连接OE，因为AB为切线，故OE⊥AB，在Rt△ABC中，BC=5，AC=12，故AB=13，由BE=BC=5，所以AE=8；易证△AEO∽△ACB，所以，得．19．（7分）如图，△ABC中，∠C是直角，AB=12cm，∠ABC=60°，将△ABC以点B为中心顺时针旋转，使点C旋转到AB的延长线上的点D处，则AC边扫过的图形（阴影部分）的面积是多少？（π=3.14159…，最后结果保留三个有效数字），最后结果保留三个有效数字）解答：解：∵△ABC中，∠C是直角，AB=12cm，∠ABC=60°∴AC=6cm，BC=6cm ∵将△ABC以点B为中心顺时针旋转，使点C旋转到AB的延长线上的点D处∴△ABC≌△EBD 由题给图象可知：由题给图象可知：S阴影=S扇形ABE+S△BDE﹣S△ABC﹣S扇形BCD==答：AC边扫过的图形（阴影部分）的面积约是113cm2．20．（7分）如图，以等腰三角形ABC的腰AB为直径作⊙O，交底边BC于P，PE⊥AC于E，试问：PE是⊙O的切线吗？说明理由．的切线吗？说明理由．解答：解：连接OP，则OP=OB；∴∠OPB=∠B=∠C，∴OP∥AC，∴PE⊥AC，∴PE⊥OP，∴PE是⊙O的切线．的切线．21．（7分）如图，把直角三角形△ABC的斜边AB放在直线l上，按顺时针方向转动两次，使它转到△A″B″C″的位置，设BC=1，AC=，则顶点A运动到A′′的位置时：′′的位置时：经过的路线有多长？（1）点A经过的路线有多长？所围成的面积是多少？（2）点A经过的路线与直线l所围成的面积是多少？解答：解：（1）Rt△ABC中，BC=1，AC=，则可得AB=2，∠CAB=30°，″所经过的路线为：则点A到A″所经过的路线为：l弧AA′+l弧A′A″=+=+．围成的面积为：（2）点A经过的路线与直线l围成的面积为：+×1×+=+．22．（7分）如图，P是⊙O外一点，P A切⊙O于A，AB是⊙O的直径，PB交⊙O于C，若PA=2cm，，求出图中阴影部分的面积．∠B=30°，求出图中阴影部分的面积．解答：解：连接CO，过O作OD⊥PB于点D，∵∠B=30°，PA=2cm，∴PB=4，AB=cm，∴OB=OC=OA=cm，（3分）分）∵∠B=30°，∴∠BOC=120°，∠AOC=60°，∴OD=cm，BD=cm，BC=3cm，（3分）分）∴S△BOC=3××=cm2，S扇形AOC==cm2，（4分）分）∴S阴影部分=×2×2﹣﹣=﹣（cm2）．（2分）分）23．（10分）如图是圆桌正上方的灯泡（看作一个点）发出的光线照射桌面后，在地面上形成阴影（圆形）的示意图，已知桌面的直径为1.2米，桌面距离地面1米，若灯泡距离地面3米，求地面上阴影部分的面积．（精确到0.01平米，π取3.14）解答：解：构造几何模型如图：解：构造几何模型如图：依题意知DE=1.2米，FG=1米，AG=3米，米，由△DAE∽△BAC得，即，得BC=1.8，∴．24．（10分）工人师傅要在如图所示的一边长为40cm的正方形铁皮上裁剪下一块完整的圆形和一块完整的扇形铁皮，使之恰好做成一个圆锥形模型．（1）请你帮助工人师傅设计三种不同的裁剪方案；（画出示意图）（画出示意图）（2）何种设计方案使得正方形铁皮的利用率最高？求出此时圆锥模型底面圆的半径．解答：解：（1）设计方案示意图如下．）设计方案示意图如下．（2）∵①图扇形面积为：=400π，②图面积为：π×（20）2+π×102=300π，③图扇形面积为：=，）所示．∴使得正方形铁皮的利用率最高的裁剪方案如图（1）所示．，依题意有：设圆的半径为r，扇形的半径为R，依题意有：扇形弧长等于圆锥底面周长，扇形弧长等于圆锥底面周长，∴×2R×π=2πr，则R=4r．∵正方形的边长为40cm，∴BD=40cm．∵⊙O与扇形的切点为E，圆心O在BD上，上，∴R+r+r=40，解得r=cm．25．（10分）（2004•万州区）如图，以Rt△ABC的直角边AB为直径的半圆O，与斜边AC交于D，E相切．解答：解：（1）DE与半圆O相切．证明：连接OD，BD，∵AB是半圆O的直径，的直径，∴∠BDA=∠BDC=90°．边上的中点，∵在Rt△BDC中，E是BC边上的中点，∴DE=BE=BC，得∠EBD=∠BDE．∵OB=OD，∴∠OBD=∠ODB．又∵∠ABC=∠OBD+∠EBD=90°，∴∠ODB+∠EDB=90°，故DE与半圆O相切．相切．（2）∵BD⊥AC，∴Rt△ABD∽Rt△ACB．∴．即AB2=AD•AC．∴AC=．的两个根， ∵AD，AB的长是方程x2﹣10x+24=0的两个根，∴解方程得x1=4，x2=6．∵AD＜AB，∴AD=4，AB=6．∴AC===9．又∵在Rt△ABC中，AB=6，AC=9，∴BC==3．的面积；（3）问题1：求四边形ABED的面积；：求两个弓形的面积；问题2：求两个弓形的面积；问题3：求的值．的值．。

2022-2023学年北师大版九年级数学下册第三章圆《3-1—3-5》综合测试题(附答案)

2022-2023学年北师大版九年级数学下册第三章圆《3-1—3-5》综合测试题(附答案)

2022-2023学年北师大版九年级数学下册第三章圆《3.1—3.5》综合测试题（附答案）一．选择题（共8小题，满分40分）1．如图，AB是⊙O的直径，点D，C在⊙O上，∠DOC＝90°，AD＝，BC＝1，则⊙O 的半径为（）A．B．C．D．2．如图，AB为⊙O的直径，C为半圆的中点，E为上一点，CE＝，AB＝，则EB的长为（）A．B．2C．D．3．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，AD＝DC，分别延长BA、CD，交点为E，作BF⊥EC，并与EC的延长线交于点F．若AE＝AO，BC＝6，则CF的长为（）A．B．C．D．4．如图，AB是半⊙O的直径，点C是半圆弧的中点，点D是弧BC的中点，下列结论中：①∠CBD＝∠DAB；②CG＝CH；③AH＝2BD；④BD2+GD2＝AG2；⑤AG＝DG．其中正确的结论有（）A．2个B．3个C．4个D．5个5．如图，在半径为5的⊙O内有两条互相垂直的弦AB和CD，AB＝8，CD＝8，垂足为E．则tan∠OEA的值是（）A．1B．C．D．6．如图，⊙O的直径AB与弦CD相交于点P，且∠APC＝45°，若PC2+PD2＝8，则⊙O 的半径为（）A．B．2C．2D．47．如图，点C是半圆O的中点，AB是直径，CF⊥弦AD于点E，交AB于点F，若CE＝1，EF＝，则BF的长为（）A．B．1C．D．8．如图，半径为R的⊙O的弦AC＝BD，且AC⊥BD于E，连接AB、AD，若AD＝，则半径R的长为（）A．1B．C．D．二．填空题（共8小题，满分40分）9．如图，AB为⊙O的直径，C是BA延长线上一点，点D在⊙O上，且CD＝OA，CD的延长线交⊙O于点E，若∠C＝23°，则∠EOB的度数为．10．如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠CDA＝90°，AB＝1，CD＝2，过A，B，D三点的⊙O分别交BC，CD于点E，M，下列结论：①DM＝CM；②；③⊙O的直径为2；④AE＝AD．其中正确的结论有（填序号）．11．如图，在⊙O中，弦BC，DE交于点P，延长BD，EC交于点A，BC＝10，BP＝2CP，若＝，则DP的长为．12．如图，AB，CD是⊙O的两条弦，它们相交于点P，连接AD、BD，已知AD＝BD＝4，PC＝6，那么CD的长是．13．如图，已知A、B、C是⊙O上的三个点，且AB＝15cm，AC＝3cm，∠BOC＝60度．如果D是线段BC上的点，且点D到直线AC的距离为2cm，那么BD＝cm．14．如图，在△ABC中，tan∠BAC•tan∠ABC＝1，⊙O经过A、B两点，分别交AC、BC 于D、E两点，若DE＝10，AB＝24，则⊙O的半径为．15．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，cos B＝，BC＝3，P是射线AB上的一个动点，以P为圆心，P A为半径的⊙P与射线AC的另一个交点为D，直线PD交直线BC 于点E．设线段BE的中点为Q，射线PQ与⊙P相交于点F，点P在运动过程中，当PE ∥CF时，则AP的长为．16．如图，在平行四边形ABCD中，以对角线AC为直径的圆O分别交BC，CD于点E，F．若AB＝13，BC＝14，CE＝9，则线段EF的长为．三．解答题（共4小题，满分40分）17．如图，⊙O的直径MN⊥弦AB于C，点P是AB上的一点，且PB＝PM，延长MP交⊙O 于D，连接AD．（1）求证：AD∥BM；（2）若MB＝6，⊙O的直径为10，求sin∠ADP的值．18．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，以AB为直径的⊙O交BC于点F，连接OC，过点B作BD∥OC交⊙O于点D．连接AD交OC于点E（1）求证：BD＝AE．（2）若OE＝1，求DF的值．19．已知A，B，C，D是⊙O上的四个点．（1）如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证：AC⊥BD；（2）如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径．20．如图，半径为2的⊙O内有互相垂直的两条弦AB、CD相交于P点．（1）求证：P A•PB＝PC•PD；（2）设BC的中点为F，连接FP并延长交AD于E，求证：EF⊥AD；（3）若AB＝8，CD＝6，求OP的长．参考答案一．选择题（共8小题，满分40分）1．解：如图延长DO交⊙O于E，作EF⊥CB交CB的延长线于F，连接BE、EC．∵∠AOD＝∠BOE，∴＝，∴AD＝BE＝，∵∠DOC＝∠COE＝90°，OC＝OB＝OE，∴∠OCB＝∠OBC，∠OBE＝∠OEB，∴∠CBE＝（360°﹣90°）＝135°，∴∠EBF＝45°，∴△EBF是等腰直角三角形，∴EF＝BF＝1，在Rt△ECF中，EC＝＝＝，∵△OCE是等腰直角三角形，∴OC＝＝．故选：C．2．解：连接AC、BC，延长BE，过C作CH⊥BE的延长线于H，∵AB为⊙O的直径，C为半圆的中点，∴∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠CAB＝45°，∴∠2＝135°，∴∠1＝45°，∵CH⊥BE，∴∠CHE＝90°，∴∠HCE＝45°，∴CH＝HE，∵CE＝，∴CH＝HE＝1，∵AB＝，∴BC＝，∴BH＝＝3，∴EB＝3﹣1＝2，故选：B．3．解：如图，连接AC，BD，OD，∵AB是⊙O的直径，∴∠BCA＝∠BDA＝90°．∵BF⊥EC，∴∠BFC＝90°，∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠BCF＝∠BAD，∴Rt△BCF∽Rt△BAD，∴＝，即＝，∵OD是⊙O的半径，AD＝CD，∴OD垂直平分AC，∴OD∥BC，∴＝，∴△EOD∽△EBC，∴＝＝，＝，而AE＝AO，即OE＝2OB，BE＝3OB，BC＝6∴＝＝＝，＝2，∴OD＝4，CE＝DE，又∵∠EDA＝∠EBC，∠E公共角，∴△AED∽△CEB，∴DE•EC＝AE•BE，∴DE•DE＝4×12，∴DE＝4，∴CD＝2，则AD＝2，∴＝，∴CF＝．故选：A．4．解：连接BG，延长BD交AC的延长线于T．∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∵＝，∴AC＝CB，OC⊥AB，∴∠ACO＝∠BCO＝45°，∠CAB＝∠CBA＝45°，∵＝，∴∠CBD＝∠DAB＝∠CAD，故①正确，∵∠CGH＝∠ACG+∠CAG＝45°+∠CAG，∠CHG＝∠CBO+∠DAB＝45°+∠DAB，∴∠CGH＝∠CHG，∴CG＝CH，故②正确，∵∠ACH＝∠BCT＝90°，AC＝CB，∠CAH＝∠CBT，∴△ACH≌△BCT（ASA），∴AH＝BT，∵AB是直径，∴∠ADB＝∠ADT＝90°，∴∠DAB+∠ABD＝90°，∠CAD+∠T＝90°，∴∠T＝∠ABD，∴AT＝AB，∵AD⊥BT，∴BD＝DT，∴AH＝2BD，∵OC⊥AB，OA＝OB，∴GA＝GB，∵∠GDB＝90°，∴BD2+DG2＝BG2＝AG2，故④正确，∵GA＝GB，∴∠GAB＝∠GBA，∵∠CAB＝45°，∠CAD＝∠DAB＝∠CBD，∴∠GAO＝∠GAB＝∠CBD＝22.5°，∵∠CBA＝45°，∴∠CBG＝22.5°，∴∠DBG＝45°，∴△DBG是等腰直角三角形，∴BG＝AG＝DG，故⑤正确，故选：D．5．解：作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，连接OB，OD，由垂径定理得：BM＝AM＝AB＝4，DN＝CN＝CD＝4，由勾股定理得：OM＝＝＝3，同理：ON＝3，∵弦AB、CD互相垂直，OM⊥AB，ON⊥CD，∴∠MEN＝∠OME＝∠ONE＝90°，∴四边形MONE是矩形，∴ME＝ON＝3，∴tan∠OEA＝＝1，故选：A．6．解：作CM⊥AB于M，DN⊥AB于N，连接OC，OD，∴∠NDP＝∠MCP＝∠APC＝45°又∵OC＝OD，∴∠ODP＝∠OCP，∵∠COM＝45°+∠OCD，∠ODN＝45°+∠ODC，∴∠NDO＝∠COM，在Rt△ODN与Rt△COM中，，∴Rt△ODN≌Rt△COM，∴ON＝CM＝PM，OM＝ND＝PN又∵OC2＝CM2+OM2，OD2＝DN2+ON2∴OC2＝CM2+PN2，OD2＝DN2+PM2∴OC2+OD2＝CM2+PN2+DN2+PM2＝PC2+PD2＝8∴OC2＝4，∴OC＝2，故选：B．7．解：如图，连接AC，BC，OC，过点B作BH⊥CF交CF的延长线于H，设OC交AD 于J．∵＝，∴AC＝BC，OC⊥AB，∵AB是直径，∴ACB＝90°，∴∠ACJ＝∠CBF＝45°，∵CF⊥AD，∴∠ACF+∠CAJ＝90°，∠ACF+∠BCF＝90°，∴∠CAJ＝∠BCF，∴△CAJ≌△BCF（ASA），∴CJ＝BF，AJ＝CF＝1+＝，∵OC＝OB，∴OJ＝OF，设BF＝CJ＝x．OJ＝OF＝y，∵∠AEC＝∠H＝90°，∠CAE＝∠BCH，CA＝CB，∴△ACE≌△CBH（AAS），∴EC＝BH＝1，∵∠ECJ＝∠FCO，∠CEJ＝∠COF＝90°，∴△CEJ∽△COF，∴＝＝，∴＝＝，∴EJ＝，∵BF＝CJ，∠H＝∠CEJ，∠CJE＝∠BFH，∴△BHF≌△CEJ（AAS），∴FH＝EJ＝，∵AE∥BH，∴＝，∴＝，整理得，10x2+7xy﹣6y2＝0，解得x＝y或x＝﹣y（舍弃），∴y＝2x，∴＝，解得x＝或﹣（舍弃）．∴BF＝，故选：A．8．解：∵弦AC＝BD，∴，∴，∴∠ABD＝∠BAC，∴AE＝BE；如图，连接OA，OD，∵AC⊥BD，AE＝BE，∴∠ABE＝∠BAE＝45°，∴∠AOD＝2∠ABE＝90°，∵OA＝OD，∴AD＝R，∵AD＝，∴R＝1，故选：A．二．填空题（共8小题，满分40分）9．解：∵CD＝OA，OA＝OD，∴CD＝OD，∵∠C＝23°，∴∠DOC＝∠C＝23°，∴∠EDO＝∠C+∠DOC＝46°，∵OD＝OE，∴∠E＝∠EDO＝46°，∴∠DOE＝180°﹣∠E﹣∠EDO＝88°，∵∠DOC＝23°，∴∠EOB＝180°﹣∠DOC﹣∠DOE＝180°﹣23°﹣88°＝69°，故答案为：69°．10．解：如下图，连接AM，连接MB，∵∠BAD＝∠CDA＝90°，∴AM过圆心O，而A、D、M、B四点共圆，∴四边形ADMB为矩形，而AB＝1，CD＝2，∴CM＝2﹣1＝1＝AB＝DM，即：①DM＝CM，正确；又AB∥CD，∴四边形ABMC为平行四边形，∴∠AEB＝∠MAE，＝，故②正确；∵四边形ADMB为矩形，∴AB＝DM，∴＝，∴∠DAM＝∠AMB，过点O作OG⊥AD于G，OH⊥AE于H，∴OG＝OH，∴AD＝AE，∴④正确；由题设条件求不出直径的大小，故③⊙O的直径为2，错误；故答案为①②④．11．解：如图，作CH∥DE交AB于H．设DP＝2a．∵PD∥CH，∴＝＝＝，∴CH＝3a，∵BD：AD＝2：3，∴BD：AD＝BD：BH，∴AD＝BH，∴BD＝AH，∴AH：AD＝2：3，∴CH∥DE，∴＝＝，∴DE＝a，∴PE＝a﹣2a＝a，∵BC＝10，BP：PC＝2：1，∴PB＝，PC＝，∵PB•PC＝PD•PE，∴5a2＝，∴a＝（负根已经舍弃），∴PD＝2a＝．故答案为．12．解：连接AC，由圆周角定理知，∠C＝∠B，∵AD＝BD∴∠B＝∠DAB，∴∠DAP＝∠C∴△DAP∽△DCA，∴AD：CD＝DP：AD，得AD2＝DP•CD＝CD•（CD﹣PC），把AD＝4，PC＝6代入得，CD＝8．13．解：作DE⊥AC于E，BF⊥AC于F∵∠BOC＝60°，∴∠A＝30°在Rt△ABF中，AB＝15cm∴BF＝cm，AF＝cm∴CF＝AF﹣AC＝cm在Rt△BCF中，BC＝＝3cm ∵DE∥BF∴＝设BD＝x，则＝解得x＝，即BD＝cm．14．解：如图，延长AO交⊙O于H，连接AE，BH．∵tan∠BAC•tan∠ABC＝1，∴∠BAC+∠ABC＝90°，∴∠C＝90°，∴∠CAE+∠AEC＝90°，∵∠AEC+∠AEB＝180°，∠AEB+∠H＝180°，∴∠AEC＝∠H，∵∠H+∠BAH＝90°，∴∠CAE＝∠BAH，∴＝，∴DE＝BH＝10，∵AH是直径，∴∠ABH＝90°，∴AH＝＝＝26，∴OA＝OH＝AH＝13，故答案为13．15．解：如图，连接CF，过点P作PG⊥AC于G，设P A＝x．在Rt∠ACB中，∵ACB＝90°，BC＝3，cos B＝＝，∴AB＝5，AC＝＝＝4，∵PG⊥AD，∴AG＝DG＝P A•cos∠BAC＝x，∴AD＝x，CD＝4﹣x，∵∠ABC+∠A＝90°，∠PEC+∠CDE＝90°，∵∠A＝∠PDA，∴∠ABC＝∠PEC，∵∠ABC＝∠EBP，∴∠PEC＝∠EBP，∴PB＝PE，∵点Q为线段BE的中点，∴PQ⊥BC，∴PQ∥AC∴当PE∥CF时，四边形PDCF是平行四边形，∴PF＝CD，当点P在边AB的上时，x＝4﹣x，x＝，当点P在边AB的延长线上时，x＝x﹣4，x＝，综上所述，当PE∥CF时，AP的长为或．16．解：如图，连接AE，AF．∵BC＝14，CE＝9，∴BE＝BC﹣EC＝14﹣9＝5，∵AC是直径，∴∠AEC＝∠AEB＝90°，∴AE＝＝＝12，∴AC＝＝＝15，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB＝CD＝13，∴∠DAC＝∠ACB，∵∠AFE＝∠ACB，∴∠AFE＝∠DAC，∵∠AEF＝∠ACD，∴△AFE∽△DAC，∴＝，∴＝，∴EF＝，故答案为．三．解答题（共4小题，满分40分）17．（1）证明：∵PB＝PM，∴∠PMB＝∠PBM，∵∠PBM＝∠D，∴∠PMB＝∠D，∴AD∥BM．（2）解：连接OB，设OC＝x，BC＝y，∵MN⊥AB，∴∠BCO＝∠BCM＝90°，则有，解得x＝，∴MC＝5﹣＝，由（1）可知，∠ADP＝∠ABM，∴sin∠ADP＝sin∠ABM＝＝＝．解法二：设MC＝x，在直角三角形MCB和OCB中，利用勾股定理可以得到x的值，从而求出角D的正弦值．18．（1）证明：∵AB是直径，∴∠ADB＝90°，∵BD∥OC，∴∠AEO＝∠ADB＝90°，∵∠OAC＝90°，∴∠OAE+∠AOC＝90°，∠AOC+∠ACO＝90°，∴∠BAD＝∠ACE，∵AB＝AC，∠ADB＝∠AEC＝90°，∴△ADB≌△CEA（AAS），∴AE＝BD．（2）∵OE∥BD，AO＝OB，∴AE＝ED，∴BD＝2OE＝2，∴AE＝BD＝DE＝2，∴AB＝＝2，∵△ADB≌△CEA，∴EC＝AD＝4，设AD交BC于K．∵EC∥BD，∴＝＝2，∴DK＝，∴BK＝＝，∵∠ABK＝∠FDK，∠AKB＝∠FKD，∴△AKB∽△FKD，∴＝，∴＝，∴DF＝．19．解：（1）∵∠ADC＝∠BCD＝90°，∴AC、BD是⊙O的直径，∴∠DAB＝∠ABC＝90°，∴四边形ABCD是矩形，∵AD＝CD，∴四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD；（2）连接DO，延长交圆O于F，连接CF、BF．∵DF是直径，∴∠DCF＝∠DBF＝90°，∴FB⊥DB，又∵AC⊥BD，∴BF∥AC，∠BDC+∠ACD＝90°，∵∠FCA+∠ACD＝90°∴∠BDC＝∠FCA＝∠BAC∴四边形ACFB是等腰梯形，∴CF＝AB．根据勾股定理，得CF2+DC2＝AB2+DC2＝DF2＝20，∴DF＝，∴OD＝，即⊙O的半径为．20．（1）证明：∵∠A、∠C所对的圆弧相同，∴∠A＝∠C，∴Rt△APD∽Rt△CPB，∴，∴P A•PB＝PC•PD；（2）证明：∵F为BC的中点，△BPC为直角三角形，∴FP＝FC，∴∠C＝∠CPF．又∠C＝∠A，∠DPE＝∠CPF，∴∠A＝∠DPE．∵∠A+∠D＝90°，∴∠DPE+∠D＝90°，∴EF⊥AD；（3）解：作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，连接PO，∴OM2＝（2）2﹣42＝4，ON2＝（2）2﹣32＝11，易证四边形MONP是矩形，∴OP＝．。

九年级数学下册第二十四章《圆》单元测试题-沪科版(含答案)

九年级数学下册第二十四章《圆》单元测试题-沪科版(含答案)

九年级数学下册第二十四章《圆》单元测试题-沪科版（含答案）一、单选题1．北京教育资源丰富，高校林立，下面四个高校校徽主题图案中，既不是中心对称图形，也不是轴对称图形的是（ ） A ．B ．C ．D ．2．如图，在正方形网格中，点 A ， B ， C ， D ， O 都在格点上.下列说法正确的是（ ）A ．点 O 是 ABC 的内心B ．点 O 是 ABC 的外心C ．点 O 是ABD 的内心 D ．点 O 是ABD 的外心3．如图，BC 为直径，35ABC ∠=︒ ，则D ∠的度数为（ ）A ．35︒B ．45︒C ．55︒D ．65︒4．如图，若O 的半径为5，圆心O 到一条直线的距离为2，则这条直线可能是（ ）A ．1lB ．2lC ．3lD ．4l5．底面半径为3，高为4的圆锥侧面积为( )A ．15πB ．20πC ．25πD ．30π6．如图，圆的两条弦AB ，CD 相交于点E ，且AD CB =，∠A ＝40°，则∠DEB 的度数为（ ）A．50°B．100°C．70°D．80°7．下列条件中，不能确定一个圆的是（）A．圆心与半径B．直径C．平面上的三个已知点D．三角形的三个顶点8．若一个正n边形的每个内角为144°，则这个正n边形的边数为（）A．8B．9C．10D．119．如图，正六边形ABCDEF的边长为6，以顶点A为圆心，AB的长为半径画圆，用图中阴影部分围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则该圆锥的高为（）A．4B．32C．42D．21010．如图，已知AB是∠O的直径，弦CD∠AB，垂足为E，且∠BCD＝30°，CD＝3．则图中阴影部分的面积S阴影＝（）A．2πB．83πC．43πD．38π二、填空题11．正十边形的中心角等于度．12．若O的半径为5cm，点A到圆心O的距离为4cm，那么点A与O的位置关系是.13．若一个正多边形的一个外角等于36°，则这个正多边形的边数是.14．如图，在边长为4的等边∠ABC中，以B为圆心、BA为半径画弧，再以AB为直径画半圆，则阴影部分的面积为.三、计算题15．如图，AB是∠O的直径，点D在∠O上，∠DAB＝45°，BC∠AD，CD∠AB．若∠O的半径为1，求图中阴影部分的面积（结果保留π）．16．计算高为4cm，底面半径为3cm的圆锥的体积．（圆锥的体积= 13×底面积×高，π取3）四、解答题17．如图扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB、AC的夹角为120°，AB长为30cm，贴纸部分BD 长为20cm，求贴纸部分的面积．18．在一个3m×4m的矩形地块上，欲开辟出一部分作花坛，要使花坛的面积为矩形面积的一半，且使整个图案绕它的中心旋转180°后能与自身重合，请给出你的设计方案．19．如图，已知O ，A 是BC 的中点，过点A 作AD BC .求证：AD 与O 相切.20．如图，AB 是 O 的直径，弦 CD AB ⊥ 于点E ，若 8AB = ， 6CD = ，求 OE 的长．21．已知AB ，AC 为弦，OM∠AB 于M ，ON∠AC 于N ，求证：MN∠BC 且MN ＝12BC ．22．如图，∠O 的半径为17cm ，弦AB∠CD ，AB=30cm ，CD=16cm ，圆心O 位于AB ，CD 的上方，求AB 和CD 的距离.五、综合题23．如图，已知AB是∠O的直径，弦CD与直径AB相交于点F．点E在∠O外，作直线AE，且∠EAC=∠D．（1）求证：直线AE是∠O的切线．（2）若∠BAC=30°，BC=4，cos∠BAD=34，CF=103，求BF的长．参考答案1．【答案】D【解析】【解答】解：A、不是中心对称图形，是轴对称图形，故该选项不符合题意；B、是中心对称图形，不是轴对称图形，故该选项不符合题意；C、不是中心对称图形，是轴对称图形，故该选项不符合题意；D、既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故该选项符合题意.故答案为：D.【分析】轴对称图形：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形；中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，据此一一判断得出答案.2．【答案】D【解析】【解答】解：根据点A，B，C，D，O 都在正方形网格的格点上.可知：点O到点A ，B ，D 的三点的距离相等，所以点O是∠ABD的外心.故答案为：D.【分析】根据图形可得点O到点A、B、D的距离相等，然后结合外心的概念进行判断.3．【答案】C【解析】【解答】解：∵CB是直径，∴∠BAC=90°，∵∠ABC=35°，∴∠ACB=90°-35°=55°，∴∠D=∠C=55°，故答案为：C．【分析】先利用圆周角的性质和三角形的内角和求出∠ACB=90°-35°=55°，再利用圆周角的性质可得∠D=∠C=55°。

2023年九年级数学下册中考综合培优测试卷：圆的综合题【含答案】

2023年九年级数学下册中考综合培优测试卷：圆的综合题【含答案】

2023年九年级数学下册中考综合培优测试卷：圆的综合题一、单选题1．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，以点C 为圆心，CA 为半径的圆与AB 交于点D ，则AD 的长为（ ）A ．B ．C ．D ．18552245951252．如图，在以AB 为直径的半圆O 中，C 是它的中点，若AC=2，则△ABC 的面积是（ ）A ．1.5B ．2C ．3D ．43．如图， 、 分别是 的直径和弦，且 ， ，交 于点AD AC ⊙O ∠CAD =30°OB ⊥AD AC B ，若 ，则 的长为（ ）OB =3BCA ．B ．3C ．D ．3233334．如图，直线AB 与⊙O 相切于点A ，弦CD ∥AB ，若⊙O 的直径为5，CD=4，则弦AC 的长为（ ）A ．4B ．C ．5D ．6255．如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，若∠BOD=88°，则∠BCD 的度数是（ ）A ．88°B ．92°C ．106°D ．136°6．如图，AB 是⊙O 的直径， ，∠COD ＝38°，则∠AEO 的度数是（ ）BC =CD =DEA ．52°B ．57°C ．66°D ．78°7．将圆心角为90°，面积为4π的扇形围成一个圆锥的一个侧面，所围成圆锥的底面半径为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．48．如图，△ABC 的三个顶点都在⊙O 上，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，交⊙O 于点E ，则与△ABD 相似的三角形有（ ）A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个9．如图，已知点A ，B 在⊙O 上，⊙O 的半径为3，且△OAB 为正三角形，则 的长为（ ）ABA ．B ．π2C ．D ．3π2x 1=−163（舍去），x 2=010．如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接正方形，点P 是劣弧弧AB 上任意一点（与点B 不重合），则∠BPC的度数为（ ）A．30°B．45°C．60°D．90°AB=AC11．如图所示，在⊙O中，，∠A=30°，则∠B=（ ）A．150°B．75°C．60°D．15°⊙O ABCDE AE CD∠AOC12．如图，与正五边形的两边，相切于A，C两点，则的度数是（ ）108°120°144°150°A．B．C．D．二、填空题13．如图，已知∠OCB=20°，则∠A= 度．14．如图①，在边长为8的等边△ABC中，CD⊥AB，垂足为D，⊙O的圆心与点D重合，⊙O与线段CD交于点E，若将⊙O沿DC方向向上平移1cm后，如图②，⊙O恰与△ABC的边AC，BC相切，则图①中CE的长为 cm．15．如图，△ABC 内接于⊙O ，D 是弧BC 的中点，OD 交BC 于点H ，且OH=DH ，连接AD ，过点B 作BE ⊥AD 于点E ，连接EH ，BF ⊥AC 于M ，若AC=5，EH= ，则AF=　　．3216．如图，⊙O 的半径为1，正方形ABCD 顶点B 坐标为（5，0），顶点D 在 ⊙O 上运动，则正方形面积最大时，正方形与⊙O 重叠部分的面积是 .17．已知⊙O 是以坐标原点为圆心，半径为1，函数y=x 与⊙O 交与点A 、B ，点P （x ，0）在x 轴上运动，过点P 且与OA 平行的直线与⊙O 有公共点，则x 的范围是 .18．若一个圆锥的侧面展开图是一个半径为10cm ，圆心角为144°的扇形，则该圆锥的底面半径为　cm ．三、综合题19．如图，AB 是⊙O 的直径，BC 为⊙O 的切线，D 为⊙O 上的一点，CD=CB ，延长CD 交BA 的延长线于点E ．（1）求证：CD为⊙O的切线；（2）若BD的弦心距OF=1，∠ABD=30°，求图中阴影部分的面积．（结果保留π）20．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是边AB上一点，以BD为直径的⊙O与AC交于点E，连接DE并延长交BC的延长线于点F，且BF＝BD．（1）求证：AC为⊙O的切线；（2）若CF＝1，tan∠EDB＝2，求⊙O的半径．21．如图，已知ʘO是Rt△ABC的外接圆，点D是ʘO上的一个动点，且C，D位于AB的两侧，联结AD，BD，过点C作CE⊥BD，垂足为E。

2021-2022学年度北师大版九年级数学下册第三章 圆综合测试试卷(含答案解析)

2021-2022学年度北师大版九年级数学下册第三章 圆综合测试试卷(含答案解析)

北师大版九年级数学下册第三章圆综合测试考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、圆O的半径为5cm，点A到圆心O的距离OA＝4cm，则点A与圆O的位置关系为（）A．点A在圆上B．点A在圆内C．点A在圆外D．无法确定AC=．将ABC绕点A按逆时针方向旋转90︒后2、如图，在ABC中，90∠=，8ABC︒BAC︒∠=，30△，则图中阴影部分面积为（）得到AB C''A．4πB．8π-C．4π-D．3、如图，点A，B，C在⊙O上，∠ACB＝37°，则∠AOB的度数是（）A ．73°B ．74°C ．64°D ．37°4、在平面直角坐标系xOy 中，已知点A （﹣4，﹣3），以点A 为圆心，4为半径画⊙A ，则坐标原点O 与⊙A 的位置关系是（ ）A ．点O 在⊙A 内B ．点O 在⊙A 外C ．点O 在⊙A 上D ．以上都有可能5、如图，ABCD 是O 的内接四边形，130B ∠=︒，则AOC ∠的度数是（ ）A ．50°B ．100°C ．130°D ．120°6、如图，四边形ABCD 内接于O ，若130C ∠=︒，则BOD ∠的度数为（ ）A ．50°B ．100°C ．130°D ．150°7、某村东西向的废弃小路/两侧分别有一块与l 距离都为20 m 的宋代碑刻A ，B ，在小路l 上有一座亭子P ． A ，P 分别位于B 的西北方向和东北方向，如图所示．该村启动“建设幸福新农村”项目，计划挖一个圆形人工湖，综合考虑景观的人文性、保护文物的要求、经费条件等因素，需将碑刻A ，B 原址保留在湖岸（近似看成圆周）上，且人工湖的面积尽可能小．人工湖建成后，亭子P 到湖岸的最短距离是（ ）A．20 m B．mC．（ - 20）m D．（m8、半径为10的⊙O，圆心在直角坐标系的原点，则点（8，6）与⊙O的位置关系是（）A．在⊙O上B．在⊙O内C．在⊙O外D．不能确定9、如图，Rt△ABC中，∠A＝90°，∠B＝30°，AC＝1，将Rt△ABC延直线l由图1的位置按顺时针方向向右作无滑动滚动，当A第一次滚动到图2位置时，顶点A所经过的路径的长为（）B C D．（πA10、已知⊙O的半径为3，若PO=2，则点P与⊙O的位置关系是（）A．点P在⊙O内B．点P在⊙O上C．点P在⊙O外D．无法判断第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图，点D是⊙O上一点，C是弧AB的中点，若∠ACB＝116°，则∠BDC的度数是_____°．2、已知O、I分别是△ABC的外心和内心，∠BIC＝125°，则∠BOC的大小是 ___度．3、如图，正方形ABCD内接于⊙O，点P在AB上，则∠BPC的度数为_____．4、如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若⊙O的周长为8π，则正六边形的边长为________．OA ，绕点O顺时针旋转45°，则点A走过的路径长为______．5、线段4三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、如图，在△ABC中，∠C＝90°，点O为边BC上一点．以O为圆心，OC为半径的⊙O与边AB相切于点D．（1）尺规作图：画出⊙O，并标出点D（不写作法，保留作图痕迹）；（2）在（1）所作的图中，连接CD，若CD＝BD，且AC＝6．求劣弧CD的长．2、如图，在正方形网格中，每一个小正方形的边长都为1，△ABC的顶点分别为A(2，3)，B(2，1)，C(5，4)．(1)只用直尺在图中找出△ABC的外心P，并写出P点的坐标_____________(2)以(1)中的外心P为位似中心，按位似比2：1在位似中心的左侧将△ABC放大为△A′B′C′，放大后点A、B、C的对应点分别为A′、B′、C′，请在图中画出△A′B′C′；(3)若以A为圆心，r为半径的⊙A与线段．．BC．．有公共点，则r的取值范围是____________．3、已知：如图，△ABC为锐角三角形，AB＝AC求作：一点P，使得∠APC＝∠BAC作法：①以点A为圆心，AB长为半径画圆；②以点B为圆心，BC长为半径画弧，交⊙A于点C，D两点；③连接DA并延长交⊙A于点P点P即为所求（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明证明：连接PC，BD∵AB＝AC，∴点C在⊙A上∵BC＝BD，∴∠_________＝∠_________∠CAD∴∠BAC＝12∵点D，P在⊙A上，∠CAD（______________________）（填推理的依据）∴∠CPD＝12∴∠APC＝∠BAC4、如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于D，交AC于E，连接OE，过点D作DF⊥AC于F．（1）求证：DF与⊙O相切；（2）填空：①若△CDF的面积为3，则△CDE的面积为．②当∠CDF的度数为时，OE∥BC，此时四边形ODCE的形状是：．5、如图1，△ABC为圆内接三角形，AE⊥BC于D交⊙O于点E，BF⊥AC于F交AE于点G．（1）求证：DG＝DE；（2）如图2，连接BE，作OM⊥BE于M，求证：AC＝2OM；（3）在（2）的条件下，连接OG、CE，若OG＝CE，BG＝2FC+2FG，AG＝OM长．-参考答案-一、单选题1、B【分析】根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断．【详解】解：∵⊙O 的半径为5cm ，点A 到圆心O 的距离为4cm ，即点A 到圆心O 的距离小于圆的半径，∴点A 在⊙O 内．故选：B ．【点睛】本题考查了点与圆的位置关系：设⊙O 的半径为r ，点P 到圆心的距离OP =d ，则有点P 在圆外⇔d ＞r ；点P 在圆上⇔d =r ；点P 在圆内⇔d ＜r ．2、B【分析】阴影部分的面积=扇形'ACC -扇形'ADB -''ABC S ，根据旋转性质以及直角三角形的性质，分别求出对应扇形的面积以及''ABC ∆的面积，最后即可求出阴影部分的面积．【详解】解：由图可知：阴影部分的面积=扇形'ACC -扇形'ADB -''ABC S ，由旋转性质可知：''90CAC BAB ∠=∠=︒，''ABC ABC ∆∆≌，'AB AB ∴=，'8AC AC ==，在ABC 中，90ABC ︒∠=，30BAC ︒∠=，8AC =，142BC AC ∴==，''60DAB BAB BAC ∠=∠-∠=︒，有勾股定理可知：AB∴阴影部分的面积=扇形'ACC -扇形'ADB -''ABC S2908143602π⨯=--⨯=-8π故选：B．【点睛】本题主要是考查了旋转性质以及扇形面积公式，熟练利用旋转性质，得到对应扇形的半径和圆心角度数，利用扇形公式求解面积，这是解决本题的关键．3、B【分析】根据圆中同弧或等弧多对应的圆周角是圆心角的一半，可知∠AOB=2∠ACB=74°，即可得出答案．【详解】解：由图可知，∠AOB在⊙O中为AB对应的圆周角，∠ACB在⊙O中为AB对应的圆心角，故：∠AOB=2∠ACB=74°．故答案为：B．【点睛】本题主要考查的是圆中的基本性质，同弧对应的圆周角与圆心角度数的关系，熟练掌握圆中的基本概念是解本题的关键．4、B【分析】本题可先由勾股定理等性质算出点与圆心的距离d，再根据点与圆心的距离与半径的大小关系，即当d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；点在圆外；当d＜r时，点在圆内；来确定点与圆的位置关系．【详解】解：∵点A（﹣4，﹣3），∴5OA =，∵⊙A 的半径为4，∴54>，∴点O 在⊙A 外；故选：B【点睛】本题考查了点与圆的位置关系及坐标与图形性质，能够根据勾股定理求得点到圆心的距离，根据数量关系判断点和圆的位置关系．5、B【分析】根据圆的内接四边形对角互补求得D ∠，进而根据圆周角定理求得AOC ∠【详解】 解：ABCD 是O 的内接四边形，130B ∠=︒，50D ∴∠=︒AC AC =2AOC D ∴∠=∠100=︒故选B【点睛】本题考查了圆内接四边形对角互补，圆周角定理，求得D ∠是解题的关键．6、B【分析】根据圆内接四边形的性质求出∠A 的度数，根据圆周角定理计算即可．【详解】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠A+∠DCB=180°，∵∠DCB=130°，∴∠A=50°，=2∠A=100°，由圆周角定理得，BOD故选：B．【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质和圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．7、D【分析】根据人工湖面积尽量小，故圆以AB为直径构造，设圆心为O，当O，P共线时，距离最短，计算即可．【详解】∵人工湖面积尽量小，∴圆以AB为直径构造，设圆心为O，过点B作BC⊥l，垂足为C，∵A，P分别位于B的西北方向和东北方向，∴∠ABC=∠PBC=∠BOC=∠BPC=45°，∴OC=CB=CP=20，∴OP=40，OB∴最小的距离PE=PO-OE m），故选D．【点睛】本题考查了圆的基本性质，方位角的意义，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握圆中点圆的最小距离是解题的关键．8、A【分析】先根据两点之间的距离公式可得点（8，6）到原点的距离为10，再根据点与圆的位置关系即可得．【详解】解：由两点距离公式可得点（8，610，又O的半径为10，∴点（8，6）到圆心的距离等于半径，∴点（8，6）在O上，故选A．【点睛】本题考查了两点之间的距离公式、点与圆的位置关系，熟练掌握点与圆的位置关系是解题关键．9、C【分析】根据题意，画出示意图，确定出点A的运动路径，再根据弧长公式即可求解．【详解】解：根据题意可得，Rt △ABC 的运动示意图，如下：Rt △ABC 中，∠A ＝90°，∠B ＝30°，AC ＝1，∴60ACB ∠=︒，2BC =，AB =由图形可得，点A 的运动路线为，先以C 为中心，顺时针旋转120︒，到达点1A ，经过的路径长为120121803ππ⨯=，再以1B 为中心，顺时针旋转150︒，到达点2A ，顶点A 所经过的路径的长为23π=故选：C【点睛】 此题考查了旋转的性质，圆弧弧长的求解，解题的关键是根据题意确定点A 的运动路线．10、A【分析】已知圆O 的半径为r ，点P 到圆心O 的距离是d ，①当r ＞d 时，点P 在⊙O 内，②当r =d 时，点P 在⊙O 上，③当r ＜d 时，点P 在⊙O 外，根据以上内容判断即可．【详解】∵⊙O 的半径为3，若PO ＝2，∴2＜3，∴点P 与⊙O 的位置关系是点P 在⊙O 内，故选：A ．【点睛】本题考查了点与圆的位置关系的应用，注意：已知圆O的半径为r，点P到圆心O的距离是d，①当r＞d时，点P在⊙O内，②当r=d时，点P在⊙O上，③当r＜d时，点P在⊙O外．二、填空题1、32【分析】根据圆内接四边形的性质得出∠ADB+∠ACB＝180°，求出∠ADB＝64°，根据C是弧AB的中点求出=，根据圆周角定理得出∠BDC＝∠ADC＝12ADB，再求出答案即可．AC BC【详解】解：∵A、C、B、D四点共圆，∴∠ADB+∠ACB＝180°，∵∠ACB＝116°，∴∠ADB＝180°﹣116°＝64°，∵C是弧AB的中点，∴AC BC=，ADB＝32°，∴∠BDC＝∠ADC＝12故答案为：32．【点睛】本题考查四点共圆性质，圆周角与弧的关系，掌握四点共圆性质，圆周角与弧的关系是解题关键．2、140【分析】作ABC ∆的外接圆，根据三角形内心的性质可得：12IBC ABC ∠=∠，12ICB ACB ∠=∠，再由三角形内角和定理得出：70A ∠=︒，最后根据三角形外心的性质及圆周角定理即可得．【详解】解：如图所示，作ABC ∆的外接圆，∵点I 是ABC ∆的内心，∴BI ，CI 分别平分ABC ∠和ACB ∠， ∴12IBC ABC ∠=∠，12ICB ACB ∠=∠，∵125BIC ∠=︒，∴18012555IBC ICB ∠+∠=︒-︒=︒，∴()2110ABC ACB IBC ICB ∠+∠=∠+∠=︒，∴70A ∠=︒，∵点O 是ABC ∆的外心，∴2140BOC A ∠=∠=︒，故答案为：140．【点睛】 题目主要考查三角形内心与外心的性质，三角形内角和定理等，理解题意，熟练掌握三角形内心与外心的性质是解题关键．3、45°度【分析】连接OB、OC，根据正方形的性质得到∠BOC的度数，利用圆周角与圆心角的关系得到答案．【详解】解：连接OB、OC，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BOC=90°，∴∠BPC=1452BOC∠=︒，故答案为：45°．【点睛】此题考查了圆内接正方形的性质，圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，熟记各知识点是解题的关键．4、4【分析】由周长公式可得⊙O半径为4，再由正多边形的中心角公式可得正六边形ABCDEF中心角为60︒，即可知正六边形ABCDEF为6个边长为4的正三角形组成的，则可求得六边形ABCDEF边长．∵⊙O的周长为8π∴⊙O半径为4∵正六边形ABCDEF内接于⊙O∴正六边形ABCDEF中心角为36060 6︒=︒∴正六边形ABCDEF为6个边长为4的正三角形组成的∴正六边形ABCDEF边长为4.故答案为：4．【点睛】本题考查了正多边形的中心角公式，正n边形的每个中心角都等于360n︒，由中心角为60︒得出正六边形ABCDEF为6个边长为4的正三角形组成的是解题的关键．5、π【分析】直接根据题意及弧长计算公式可进行求解．【详解】解：由题意得：点A走过的路径长为454 180180n rπππ⨯==；故答案为π．【点睛】本题主要考查弧长计算，熟练掌握弧长计算公式是解题的关键．三、解答题1、（1）作图见解析；（2（1）由于D点为⊙O的切点，即可得到OC=OD，且OD⊥AB，则可确定O点在∠A的角平分线上，所以应先画出∠A的角平分线，与BC的交点即为O点，再以O为圆心，OC为半径画出圆即可；（2）连接CD和OD，根据切线长定理，以及圆的基本性质，求出∠DCB的度数，然后进一步求出∠COD的度数，并结合三角函数求出OC的长度，再运用弧长公式求解即可．【详解】解：（1）如图所示，先作∠A的角平分线，交BC于O点，以O为圆心，OC为半径画出⊙O即为所求；（2）如图所示，连接CD和OD，由题意，AD为⊙O的切线，∵OC⊥AC，且OC为半径，∴AC为⊙O的切线，∴AC=AD，∴∠ACD=∠ADC，∵CD=BD，∴∠B=∠DCB，∵∠ADC=∠B+∠BCD，∴∠ACD=∠ADC=2∠DCB，∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠DCB=90°，即：3∠DCB=90°，∴∠DCB=30°，∵OC=OD，∴∠DCB=∠ODC=30°，∴∠COD=180°-2×30°=120°，∵∠DCB=∠B=30°，∴在Rt△ABC中，∠BAC=60°，∵AO平分∠BAC，∴∠CAO=∠DAO=30°，∴在Rt△ACO中，tan6=∠==OC AC CAO∴CD==．【点睛】本题考查复杂作图-作圆，以及圆的基本性质和切线长定理等，掌握圆的基本性质，切线的性质以及灵活运用三角函数求解是解题关键．2、（1）（4，2）；（2）见解析；（3r≤【分析】（1）根据三角形的外接圆的圆心是三边垂直平分线的交点即可找到点P；（2）根据位似中心与三角形三个顶点的连线将原三角形扩大2倍即可；（3）根据直线和圆的位置关系：当半径大于或等于点A到BC的距离时，⊙A与线段BC有一个或两个公共点即可．【详解】解：如图所示：（1）点P即为△ABC的外心，P点的坐标为（4，2），故答案为：（4，2）；（2）图中画出的△A′B′C′即为所求作的图形；（3）观察图形可知：r时，⊙A与线段BC有一个公共点．此时⊙A与线段BC相切，当===A只经过点C，r AC∴rrr【点睛】本题考查了作图−位似变换、三角形的外接圆与圆心、直线与圆的位置关系，解决本题的关键是根据位似中心画位似图形．3、（1）见解析；（2）BAC=BAD，圆周角定理或同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半【分析】（1）根据按步骤作图即可；（2）根据圆周角定理进行证明即可【详解】解：（1）如图所示，（2）证明：连接PC，BD∵AB＝AC，∴点C在⊙A上∵BC＝BD，∴∠BAC=∠BAD∴∠BAC＝1∠CAD2∵点D，P在⊙A上，∴∠CPD＝1∠CAD（圆周角定理）（填推理的依据）2∴∠APC＝∠BAC故答案为：BAC=BAD，圆周角定理或同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半【点睛】本题考查了尺规作图作圆，圆周角定理，掌握圆周角定理是解题的关键．4、（1）见解析（2）①6②30；菱形【分析】（1）由等腰三角形的性质得∠ABC＝∠C，由OB＝OD，得∠ABC＝∠ODB，则∠ODB＝∠C，得出OD∥AC，再由DF⊥AC，得出OD⊥DF，即可得出结论；（2）①由圆周角定理和平角性质得∠ABC＋∠AED＝180°，∠DEC＋∠AED＝180°，推出∠ABC＝∠DEC，∠C＝∠DEC，得出DE＝DC，由等腰三角形的性质得CE＝2CF，则S△CDE＝2S△CDF，即可得出结果；②利用平行线的性质证明OE是△ABC的中位线，得出BC＝2OE＝AB＝AC，则△ABC为等边三角形，得∠CDE＝∠C＝60°，证明△CDE为等边三角形，得出∠CDE＝60°，由等腰三角形的性质得∠CDF＝1230°，由OE∥CD，OD∥CE，得四边形ODCE为平行四边形，再由OD＝OE，得出平行四边形ODCE为菱形．【详解】解：（1）证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，连接OD，∵OB＝OD，∴∠ABC＝∠ODB，∴∠ODB＝∠C，∴OD∥AC，∵DF⊥AC，∴OD⊥DF，∴DF与⊙O相切；（2）解：①∵∠ABC＋∠AED＝180°，∠DEC＋∠AED＝180°，∴∠ABC＝∠DEC，∵∠ABC＝∠C，∴∠C＝∠DEC，∴DE＝DC，∵DF⊥AC，∴CE＝2CF，∴S△CDE＝2S△CDF＝2×3＝6，故答案为：6；②∵OE∥BC∴AO AE OB EC∵O点是AB中点∴E点是AC中点∴OE是△ABC的中位线，∴BC＝2OE＝AB＝AC，∴△ABC为等边三角形，∴∠C＝60°，∵DE＝DC，∴△CDE为等边三角形，∴∠CDE＝60°，∵DF⊥AC，∴∠CDF＝12∠CDE＝12×60°＝30°，∵OE∥CD，OD∥CE，∴四边形ODCE为平行四边形，∵OD＝OE，∴平行四边形ODCE为菱形，故答案为：30；菱形．【点睛】本题是圆综合题，主要考查了圆周角定理、切线的判定、平行线的性质与性质、三角形中位线定理、等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、平行四边形的判定、菱形的判定、三角形面积计算等知识；熟练掌握切线的判定和等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质是解题的关键．5、（1）见解析；（2）见解析；（3）1【分析】（1）连接BE ，首先根据题意得到90AFB BDE ∠=∠=︒，然后根据同弧所对的圆周角相等得到EBD EAC ∠=∠，然后根据等角的余角相等得到BED BGD ∠=∠，进而得到BE BG =，最后根据等腰三角形三线合一性质即可证明出DG ＝DE ；（2）连接AO ，OB ，OE ，OC ，作OH ⊥AC 于点H ，首先根据圆周角定理以及角度之间的转化得到OEM COH ∠=∠，然后证明()OME CHO AAS ∆∆≌，最后利用垂径定理即可证明AC ＝2OM ；（3）过点O 作OH ⊥AC 于H ，ON ⊥BG 于N ，连接CG ，OB ，首先得到四边形ONFH 是矩形，然后根据BG ＝2FC +2FG 得出NG =CF ，然后证明出△CDG ≌△CDE （SAS ）和△ONG ≌△GFC （HL ），设GF =ON =x ，CF =GN =y ，OC r =，根据勾股定理得到关于x 和y 的方程①，然后根据sin =sin GBD GAF ∠∠和cos cos FAG DAC ∠=∠得到关于x 和y 的方程②，联立方程①②即可求出OM 的长度．【详解】解：（1）如图所示，连接BE ，∵BF ⊥AC ，AE ⊥BC∴90AFB ∠=︒，90BDE ∠=︒∴AFB BDE ∠=∠∵CE CE =∴EBD EAC ∠=∠∴BED AGF ∠=∠又∵BGD AGF ∠=∠∴BED BGD ∠=∠∴BE BG =又∵AE ⊥BC∴DG ＝DE （三线合一）；（2）如图所示，连接AO ，OB ，OE ，OC ，作OH ⊥AC 于点H ，∵OH ⊥AC ∴12AH CH AC ==，90HOC OCH ∠+∠=︒ ∵AE BC ⊥，即90BDA ∠=︒∴90ABD BAE ∠+∠=︒ ∵12BAD BOE EOM =∠=∠∴90ABD EOM ∠+∠=︒∵90OEM EOM ∠+∠=︒∴ABD OEM ∠=∠∵12ABD AOC COH ∠=∠=∠∴OEM COH ∠=∠又∵90OME OHC ∠=∠=︒，OE OC =∴()OME CHO AAS ∆∆≌ ∴12OM CH AC ==∴AC ＝2OM ；（3）如图所示，过点O 作OH ⊥AC 于H ，ON ⊥BG 于N ，连接CG ，OB ，又∵BF AC ⊥∴四边形ONFH 是矩形，∴NF =OH ，由（2）可知1122OH ME BE BG ===， 又∵BG =2FC +2FG ，∴ME FC FG =+，∴ME =NF =FG +GN ，∴NG =CF ，∵在CDG ∆和CDE ∆中，90CD CD CDG CDE GD ED =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∴△CDG ≌△CDE （SAS ）∴CE =CG =OG ，∵在Rt ONG ∆和Rt GFC ∆中，GN FC OG CG=⎧⎨=⎩ ∴△ONG ≌△GFC （HL ），∴∠OGN =∠GCF ，GF ON =∵90FGC GCF ∠+∠=︒∴90FGC OGN ∠+∠=︒∴∠OGC =90°，∴OGC ∆是等腰直角三角形，∴CG OG ==， 设GF =ON =x ，CF =GN =y ，则()2BG x y =+，2BN BG NG x y =-=+，OC r =在直角△ONG 中，222OG ON NG =+，则22212r x y =+， 在直角△ONB 中，222OB ON BN =+，则()2222r x x y =++， ∴()2222122x y x x y +=++，∴2234y x xy =+①∵90BDG AFG ∠=∠=︒，BGD AGF ∠=∠∴GBD GAF ∠=∠∵sin =sin GBD GAF ∠∠， ∴GD FG BG AG= ∴()()22x y FG GD BG x y AG +=⋅=+=， 在△AGF中AF∴()2x y AD GD AG +=+=+AC FC AF y =+=， ∵cos cos FAG DAC ∠=∠ ∴AF AD AG AC =()x y ++=∴228228x x xy -=++，∴232x xy =+将①代入得：22y xy -，2y x =-，∴222448y xy x x -+=-，即22458y xy x -+=②，联立①②解得1x =，∴2y =+∴2AC y ==+∴112OM AC ==【点睛】此题考查了圆的综合题，勾股定理，全等三角形的性质和判定，圆周角定理，三角函数等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点以及正确作出辅助线，根据题意列出方程求解．。

人教版九年级下册： 圆和三角函数综合练习(含答案)

人教版九年级下册： 圆和三角函数综合练习(含答案)

圆与三角函数1．已知，如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，OF⊥BC于点F，交⊙O于点E，AE 与BC交于点H，点D为OE的延长线上一点，且∠ODB=∠AEC．（1）求证：BD是⊙O的切线；（2）求证：CE2=EH•EA；（3）若⊙O的半径为5，sinA=，求BH的长．2．如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上任一点（不与A，B重合），AB⊥CD于E，BF为⊙O的切线，OF∥AC，连结AF，FC，AF与CD交于点G，与⊙O交于点H，连结CH．（1）求证：FC是⊙O的切线；（2）求证：GC=GE；（3）若cos∠AOC=，⊙O的半径为r，求CH的长．3．已知⊙O是以AB为直径的△ABC的外接圆，OD∥BC交⊙O于点D，交AC于点E，连接AD、BD，BD交AC于点F．（1）求证：BD平分∠ABC；（2）延长AC到点P，使PF=PB，求证：PB是⊙O的切线；（3）如果AB=10，cos∠ABC=，求AD．4．如图，在矩形ABCD中，点O在对角线AC上，以OA的长为半径的圆O与AD、AC分别交于点E、F，且∠ACB=∠DCE．（1）判断直线CE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；（2）若tan∠ACB=，BC=2，求⊙O的半径．5．如图，AB是⊙O的直径，D、E为⊙O上位于AB异侧的两点，连接BD并延长至点C，使得CD=BD，连接AC交⊙O于点F，连接AE、DE、DF．（1）证明：∠E=∠C；（2）若∠E=55°，求∠BDF的度数；（3）设DE交AB于点G，若DF=4，cosB=，E是的中点，求EG•ED的值．6．AB，CD是⊙O的两条弦，直线AB，CD互相垂直，垂足为点E，连接AD，过点B作BF⊥AD，垂足为点F，直线BF交直线CD于点G．（1）如图1，当点E在⊙O外时，连接BC，求证：BE平分∠GBC；（2）如图2，当点E在⊙O内时，连接AC，AG，求证：AC=AG；（3）如图3，在（2）条件下，连接BO并延长交AD于点H，若BH平分∠ABF，AG=4，tan ∠D=，求线段AH的长．7．如图，已知AB是⊙O的直径，BP是⊙O的弦，弦CD⊥AB于点F，交BP于点G，E在CD的延长线上，EP=EG，（1）求证：直线EP为⊙O的切线；（2）点P在劣弧AC上运动，其他条件不变，若BG2=BF•BO．试证明BG=PG；（3）在满足（2）的条件下，已知⊙O的半径为3，sinB=．求弦CD的长．8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AO是△ABC的角平分线．以O为圆心，OC为半径作⊙O．（1）求证：AB是⊙O的切线．（2）已知AO交⊙O于点E，延长AO交⊙O于点D，tanD=，求的值．（3）在（2）的条件下，设⊙O的半径为3，求AB的长．9．如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC为⊙O的直径，过点C作AC的垂线交AD的延长线于点E，点F为CE的中点，连接DB，DC，DF．（1）求∠CDE的度数；（2）求证：DF是⊙O的切线；（3）若AC=2DE，求tan∠ABD的值．10．如图，已知在△ABP中，C是BP边上一点，∠PAC=∠PBA，⊙O是△ABC的外接圆，AD 是⊙O的直径，且交BP于点E．（1）求证：PA是⊙O的切线；（2）过点C作CF⊥AD，垂足为点F，延长CF交AB于点G，若AG•AB=12，求AC的长；（3）在满足（2）的条件下，若AF：FD=1：2，GF=1，求⊙O的半径及sin∠ACE的值．11．已知Rt△ABC中，AB是⊙O的弦，斜边AC交⊙O于点D，且AD=DC，延长CB交⊙O于点E．（1）图1的A、B、C、D、E五个点中，是否存在某两点间的距离等于线段CE的长？请说明理由；（2）如图2，过点E作⊙O的切线，交AC的延长线于点F．①若CF=CD时，求sin∠CAB的值；②若CF=aCD（a＞0）时，试猜想sin∠CAB的值．（用含a的代数式表示，直接写出结果）12．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以BC为直径的⊙O交斜边AB于点M，若H是AC的中点，连接MH．（1）求证：MH为⊙O的切线．（2）若MH=，tan∠ABC=，求⊙O的半径．（3）在（2）的条件下分别过点A、B作⊙O的切线，两切线交于点D，AD与⊙O相切于N 点，过N点作NQ⊥BC，垂足为E，且交⊙O于Q点，求线段NQ的长度．13．如图，⊙O的半径r=25，四边形ABCD内接于圆⊙O，AC⊥BD于点H，P为CA延长线上的一点，且∠PDA=∠ABD．（1）试判断PD与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若tan∠ADB=，PA=AH，求BD的长；（3）在（2）的条件下，求四边形ABCD的面积．14．如图，PA为⊙O的切线，A为切点，直线PO交⊙O与点E，F过点A作PO的垂线AB垂足为D，交⊙O与点B，延长BO与⊙O交与点C，连接AC，BF．（1）求证：PB与⊙O相切；（2）试探究线段EF，OD，OP之间的数量关系，并加以证明；（3）若AC=12，tan∠F=，求cos∠ACB的值．15．如图，在⊙O中，弦AB与弦CD相交于点G，OA⊥CD于点E，过点B的直线与CD的延长线交于点F，AC∥BF．（1）若∠FGB=∠FBG，求证：BF是⊙O的切线；（2）若tan∠F=，CD=a，请用a表示⊙O的半径；（3）求证：GF2﹣GB2=DF•GF．16．如图，在⊙O中，直径AB⊥CD，垂足为E，点M在OC上，AM的延长线交⊙O于点G，交过C的直线于F，∠1=∠2，连结CB与DG交于点N．（1）求证：CF是⊙O的切线；（2）求证：△ACM∽△DCN；（3）若点M是CO的中点，⊙O的半径为4，cos∠BOC=，求BN的长．17．如图所示，在Rt△ABC与Rt△OCD中，∠ACB=∠DCO=90°，O为AB的中点．（1）求证：∠B=∠ACD．（2）已知点E在AB上，且BC2=AB•BE．（i）若tan∠ACD=，BC=10，求CE的长；（ii）试判定CD与以A为圆心、AE为半径的⊙A的位置关系，并请说明理由．18．如图，AB为⊙O的直径，直线CD切⊙O于点M，BE⊥CD于点E．（1）求证：∠BME=∠MAB；（2）求证：BM2=BE•AB；（3）若BE=，sin∠BAM=，求线段AM的长．19．如图，线段AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H，点M是上任意一点，AH=2，CH=4．（1）求⊙O的半径r的长度；（2）求sin∠CMD；（3）直线BM交直线CD于点E，直线MH交⊙O于点N，连接BN交CE于点F，求HE•HF 的值．20．已知AB、CD是⊙O的两条弦，直线AB、CD互相垂直，垂足为E，连接AC，过点B作BF⊥AC，垂足为F，直线BF交直线CD于点M．（1）如图1，当点E在⊙O内时，连接AD，AM，BD，求证：AD=AM；（2）如图2，当点E在⊙O外时，连接AD，AM，求证：AD=AM；（3）如图3，当点E在⊙O外时，∠ABF的平分线与AC交于点H，若tan∠C=，求tan∠ABH 的值．2018年01月10日金博初数2的初中数学组卷参考答案与试题解析一．解答题（共25小题）1．已知，如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，OF⊥BC于点F，交⊙O于点E，AE 与BC交于点H，点D为OE的延长线上一点，且∠ODB=∠AEC．（1）求证：BD是⊙O的切线；（2）求证：CE2=EH•EA；（3）若⊙O的半径为5，sinA=，求BH的长．【分析】（1）由圆周角定理和已知条件证出∠ODB=∠ABC，再证出∠ABC+∠DBF=90°，即∠OBD=90°，即可得出BD是⊙O的切线；（2）连接AC，由垂径定理得出，得出∠CAE=∠ECB，再由公共角∠CEA=∠HEC，证明△CEH∽△AEC，得出对应边成比例，即可得出结论；（3）连接BE，由圆周角定理得出∠AEB=90°，由三角函数求出BE，再根据勾股定理求出EA，得出BE=CE=6，由（2）的结论求出EH，然后根据勾股定理求出BH即可．【解答】（1）证明：∵∠ODB=∠AEC，∠AEC=∠ABC，∴∠ODB=∠ABC，∵OF⊥BC，∴∠BFD=90°，∴∠ODB+∠DBF=90°，∴∠ABC+∠DBF=90°，即∠OBD=90°，∴BD⊥OB，∴BD是⊙O的切线；（2）证明：连接AC，如图1所示：∵OF⊥BC，∴，∴∠CAE=∠ECB，∵∠CEA=∠HEC，∴△CEH∽△AEC，∴，∴CE2=EH•EA；（3）解：连接BE，如图2所示：∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB=90°，∵⊙O的半径为5，sin∠BAE=，∴AB=10，BE=AB•sin∠BAE=10×=6，∴EA===8，∵，∴BE=CE=6，∵CE2=EH•EA，∴EH==，在Rt△BEH中，BH===．【点评】本题是圆的综合题目，考查了切线的判定、圆周角定理、圆心角、弧、弦之间的关系定理、勾股定理、三角函数、相似三角形的判定与性质等知识；本题难度较大，综合性强，特别是（2）（3）中，需要通过作辅助线证明三角形相似和运用三角函数、勾股定理才能得出结果．2．如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上任一点（不与A，B重合），AB⊥CD于E，BF为⊙O的切线，OF∥AC，连结AF，FC，AF与CD交于点G，与⊙O交于点H，连结CH．（1）求证：FC是⊙O的切线；（2）求证：GC=GE；（3）若cos∠AOC=，⊙O的半径为r，求CH的长．【分析】（1）首先根据OF∥AC，OA=OC，判断出∠BOF=∠COF；然后根据全等三角形判定的方法，判断出△BOF≌△COF，推得∠OCF=∠OBF=90°，再根据点C在⊙O上，即可判断出FC 是⊙O的切线．（2）延长AC、BF交点为M．由△BOF≌△COF可知：BF=CF然后再证明：FM=CF，从而得到BF=MF，因为DC∥BM，所以△AEG∽△ABF，△AGC∽△AFM，然后依据相似三角形的性质可证GC=GE；（3）因为cos∠AOC=，OE=，AE=．由勾股定理可求得EC=．AC=．因为EG=GC，所以EG=．由（2）可知△AEG∽△ABF，可求得CF=BF=．在Rt△ABF中，由勾股定理可求得AF=3r．然后再证明△CFH∽△AFC，由相似三角形的性质可求得CH的长．【解答】（1）证明：∵OF∥AC，∴∠BOF=∠OAC，∠COF=∠OCA，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，∴∠BOF=∠COF，在△BOF和△COF中，，∴△BOF≌△COF，∴∠OCF=∠OBF=90°，又∵点C在⊙O上，∴FC是⊙O的切线．（2）如下图：延长AC、BF交点为M．由（1）可知：△BOF≌△COF，∴∠OFB=∠CFO，BF=CF．∵AC∥OF，∴∠M=∠OFB，∠MCF=∠CFO．∴∠M=∠MCF．∴CF=MF．∴BF=FM．∵DC∥BM，∴△AEG∽△ABF，△AGC∽△AFM．∴，．∴又∵BF=FM，∴EG=GC．（3）如下图所示：∵cos∠AOC=，∴OE=，AE=．在Rt△EOC中，EC==．在Rt△AEC中，AC==．∵EG=GC，∴EG=．∵△AEG∽△ABF，∴，即．∴BF=．∴CF=．在Rt△ABF中，AF===3r．∵CF是⊙O的切线，AC为弦，∴∠HCF=∠HAC．又∵∠CFH=∠AFC，∴△CFH∽△AFC．∴，即：．∴CH=．【点评】本题主要考查的是圆的综合应用，同时还涉及了勾股定理，锐角三角形函数，相似三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，证得BF=FM是解答本题的关键．3．已知：⊙O上两个定点A，B和两个动点C，D，AC与BD交于点E．（1）如图1，求证：EA•EC=EB•ED；（2）如图2，若=，AD是⊙O的直径，求证：AD•AC=2BD•BC；（3）如图3，若AC⊥BD，点O到AD的距离为2，求BC的长．【分析】（1）根据同弧所对的圆周角相等得到角相等，从而证得三角形相似，于是得到结论；（2）如图2，连接CD，OB交AC于点F由B是弧AC的中点得到∠BAC=∠ADB=∠ACB，且AF=CF=0.5AC．证得△CBF∽△ABD．即可得到结论；（3）如图3，连接AO并延长交⊙O于F，连接DF得到AF为⊙O的直径于是得到∠ADF=90°，过O作OH⊥AD于H，根据三角形的中位线定理得到DF=2OH=4，通过△ABE∽△ADF，得到1=∠2，于是结论可得．【解答】（1）证明：∵∠EAD=∠EBC，∠BCE=∠ADE，∴△AED∽△BEC，∴，∴EA•EC=EB•ED；（2）证明：如图2，连接CD，OB交AC于点F∵B是弧AC的中点，∴∠BAC=∠ADB=∠ACB，且AF=CF=0.5AC．又∵AD为⊙O直径，∴∠ABD=90°，又∠CFB=90°．∴△CBF∽△DAB．∴，故CF•AD=BD•BC．∴AC•AD=2BD•BC；（3）解：如图3，连接AO并延长交⊙O于F，连接DF，∴AF为⊙O的直径，∴∠ADF=90°，过O作OH⊥AD于H，∴AH=DH，OH∥DF，∵AO=OF，∴DF=2OH=4，∵AC⊥BD，∴∠AEB=∠ADF=90°，∵∠ABD=∠F，∴△ABE∽△ADF，∴∠1=∠2，∴，∴BC=DF=4．【点评】本题考查了圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定和性质，三角形的中位线的性质，正确作出辅助线是解题的关键．4．已知⊙O是以AB为直径的△ABC的外接圆，OD∥BC交⊙O于点D，交AC于点E，连接AD、BD，BD交AC于点F．（1）求证：BD平分∠ABC；（2）延长AC到点P，使PF=PB，求证：PB是⊙O的切线；（3）如果AB=10，cos∠ABC=，求AD．【分析】（1）先由OD∥BC，根据两直线平行内错角相等得出∠D=∠CBD，由OB=OD，根据等边对等角得出∠D=∠OBD，等量代换得到∠CBD=∠OBD，即BD平分∠ABC；（2）先由圆周角定理得出∠ACB=90°，根据直角三角形两锐角互余得到∠CFB+∠CBF=90°．再由PF=PB，根据等边对等角得出∠PBF=∠CFB，而由（1）知∠OBD=∠CBF，等量代换得到∠PBF+∠OBD=90°，即∠OBP=90°，根据切线的判定定理得出PB是⊙O的切线；（3）连结AD．在Rt△ABC中，由cos∠ABC===，求出BC=6，根据勾股定理得到AC==8．再由OD∥BC，得出△AOE∽△ABC，∠AED=∠OEC=180°﹣∠ACB=90°，根据相似三角形对应边成比例求出AE=4，OE=3，那么DE=OD﹣OE=2，然后在Rt△ADE中根据勾股定理求出AD==2．【解答】（1）证明：∵OD∥BC，∴∠D=∠CBD，∵OB=OD，∴∠D=∠OBD，∴∠CBD=∠OBD，∴BD平分∠ABC；（2）证明：∵⊙O是以AB为直径的△ABC的外接圆，∴∠ACB=90°，∴∠CFB+∠CBF=90°．∵PF=PB，∴∠PBF=∠CFB，由（1）知∠OBD=∠CBF，∴∠PBF+∠OBD=90°，∴∠OBP=90°，∴PB是⊙O的切线；（3）解：连结AD．∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，∴cos∠ABC===，∴BC=6，AC==8．∵OD∥BC，∴△AOE∽△ABC，∠AED=∠OEC=180°﹣∠ACB=90°，∴==，==，∴AE=4，OE=3，∴DE=OD﹣OE=5﹣3=2，∴AD===2．【点评】本题是圆的综合题，其中涉及到平行线的性质、等腰三角形的性质、圆周角定理、直角三角形两锐角互余的性质、切线的判定定理、锐角三角函数的定义、勾股定理、相似三角形的判定和性质等知识，综合性较强，难度适中．本题中第（2）问要证某线是圆的切线，当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线是常用的方法，需熟练掌握．5．如图1，△ABC内接于⊙O，∠BAC的平分线交⊙O于点D，交BC于点E（BE＞EC），且BD=2．过点D作DF∥BC，交AB的延长线于点F．（1）求证：DF为⊙O的切线；（2）若∠BAC=60°，DE=，求图中阴影部分的面积；（3）若=，DF+BF=8，如图2，求BF的长．【分析】（1）连结OD，如图1，由角平分线定义得∠BAD=∠CAD，则根据圆周角定理得到=，再根据垂径定理得OD⊥BC，由于BC∥EF，则OD⊥DF，于是根据切线的判定定理即可判断DF为⊙O的切线；（2）连结OB，OD交BC于P，作BH⊥DF于H，如图1，先证明△OBD为等边三角形得到∠ODB=60°，OB=BD=2，易得∠BDF=∠DBP=30°，根据含30度的直角三角形三边的关系，在Rt △DBP 中得到PD=BD=，PB=PD=3，接着在Rt △DEP 中利用勾股定理计算出PE=2，由于OP ⊥BC ，则BP=CP=3，所以CE=1，然后利用△BDE ∽△ACE ，通过相似比可得到AE=，再证明△ABE ∽△AFD ，利用相似比可得DF=12，最后根据扇形面积公式，利用S阴影部分=S △BDF ﹣S 弓形BD =S △BDF ﹣（S 扇形BOD ﹣S △BOD ）进行计算；（3）连结CD ，如图2，由=可设AB=4x ，AC=3x ，设BF=y ，由=得到CD=BD=2，先证明△BFD ∽△CDA ，利用相似比得到xy=4，再证明△FDB ∽△FAD ，利用相似比得到16﹣4y=xy ，则16﹣4y=4，然后解方程易得BF=3．【解答】证明：（1）连结OD ，如图1，∵AD 平分∠BAC 交⊙O 于D ，∴∠BAD=∠CAD ，∴=，∴OD ⊥BC ，∵BC ∥EF ，∴OD ⊥DF ，∴DF 为⊙O 的切线；（2）连结OB ，连结OD 交BC 于P ，作BH ⊥DF 于H ，如图1，∵∠BAC=60°，AD 平分∠BAC ，∴∠BAD=30°，∴∠BOD=2∠BAD=60°，∴△OBD 为等边三角形，∴∠ODB=60°，OB=BD=2，∴∠BDF=30°，∵BC ∥DF ，∴∠DBP=30°，在Rt △DBP 中，PD=BD=，PB=PD=3，在Rt △DEP 中，∵PD=，DE=，∴PE==2，∵OP ⊥BC ，∴BP=CP=3， ∴CE=3﹣2=1，易证得△BDE ∽△ACE ，∴AE ：BE=CE ：DE ，即AE ：5=1：，∴AE=∵BE ∥DF ，∴△ABE ∽△AFD ，∴=，即=，解得DF=12，在Rt △BDH 中，BH=BD=，∴S 阴影部分=S △BDF ﹣S 弓形BD=S △BDF ﹣（S 扇形BOD ﹣S △BOD ）=•12•﹣+•（2）2=9﹣2π；（3）连结CD，如图2，由=可设AB=4x，AC=3x，设BF=y，∵=，∴CD=BD=2，∵∠F=∠ABC=∠ADC，∵∠FDB=∠DBC=∠DAC，∴△BFD∽△CDA，∴=，即=，∴xy=4，∵∠FDB=∠DBC=∠DAC=∠FAD，而∠DFB=∠AFD，∴△FDB∽△FAD，∴=，即=，整理得16﹣4y=xy，∴16﹣4y=4，解得y=3，即BF的长为3．【点评】本题考查了圆的综合题：熟练掌握垂径定理、圆周角定理和切线的判定定理；会计算不规则几何图形的面积；会灵活运用相似三角形的判定与性质计算线段的长．6．如图，在矩形ABCD中，点O在对角线AC上，以OA的长为半径的圆O与AD、AC分别交于点E、F，且∠ACB=∠DCE．（1）判断直线CE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；（2）若tan∠ACB=，BC=2，求⊙O的半径．【分析】（1）连接OE．欲证直线CE与⊙O相切，只需证明∠CEO=90°，即OE⊥CE即可；（2）在直角三角形ABC中，根据三角函数的定义可以求得AB=，然后根据勾股定理求得AC=，同理知DE=1；方法一、在Rt△COE中，利用勾股定理可以求得CO2=OE2+CE2，即=r2+3，从而易得r的值；方法二、过点O作OM⊥AE于点M，在Rt△AMO中，根据三角函数的定义可以求得r的值．【解答】解：（1）直线CE与⊙O相切．…（1分）理由如下：∵四边形ABCD是矩形，∴BC∥AD，∠ACB=∠DAC；又∵∠ACB=∠DCE，∴∠DAC=∠DCE；连接OE，则∠DAC=∠AEO=∠DCE；∵∠DCE+∠DEC=90°∴∠AE0+∠DEC=90°∴∠OEC=90°，即OE⊥CE．又OE是⊙O的半径，∴直线CE与⊙O相切．…（5分）（2）∵tan∠ACB==，BC=2，∴AB=BC•tan∠ACB=，∴AC=；又∵∠ACB=∠DCE，∴tan∠DCE=tan∠ACB=，∴DE=DC•tan∠DCE=1；方法一：在Rt△CDE中，CE==，连接OE，设⊙O的半径为r，则在Rt△COE中，CO2=OE2+CE2，即=r2+3解得：r=方法二：AE=AD﹣DE=1，过点O作OM⊥AE于点M，则AM=AE=在Rt△AMO中，OA==÷=…（9分）【点评】本题考查了圆的综合题：圆的切线垂直于过切点的半径；利用勾股定理计算线段的长．7．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AC的垂直平分线分别与AC，BC及AB的延长线相较于点D，E，F，且BF=BC，⊙O是△BEF的外接圆，∠EBF的平分线交EF于点G，交⊙O于点H，连接BD，FH．（1）求证：△ABC≌△EBF；（2）试判断BD与⊙O的位置关系，并说明理由；（3）若AB=1，求HG•HB的值．【分析】（1）由垂直的定义可得∠EBF=∠ADF=90°，于是得到∠C=∠BFE，从而证得△ABC≌△EBF；（2）BD与⊙O相切，如图1，连接OB证得∠DBO=90°，即可得到BD与⊙O相切；（3）如图2，连接CF，HE，有等腰直角三角形的性质得到CF=BF，由于DF垂直平分AC，得到AF=CF=AB+BF=1+BF=BF，求得BF=，有勾股定理解出EF=，推出△EHF是等腰直角三角形，求得HF=EF=，通过△BHF∽△FHG，列比例式即可得到结论．【解答】（1）证明：∵∠ABC=90°，∴∠EBF=90°，∵DF⊥AC，∴∠ADF=90°，∴∠C+∠A=∠A+∠AFD=90°，∴∠C=∠BFE，在△ABC与△EBF中，，∴△ABC≌△EBF；（2）BD与⊙O相切，如图1，连接OB证明如下：∵OB=OF，∴∠OBF=∠OFB，∵∠ABC=90°，AD=CD，∴BD=CD，∴∠C=∠DBC，∵∠C=∠BFE，∴∠DBC=∠OBF，∵∠CBO+∠OBF=90°，∴∠DBC+∠CBO=90°，∴∠DBO=90°，∴BD与⊙O相切；（3）解：如图2，连接CF，HE，∵∠CBF=90°，BC=BF，∴CF=BF，∵DF垂直平分AC，∴AF=CF=AB+BF=1+BF=BF，∴BF=，∵△ABC≌△EBF，∴BE=AB=1，∴EF==，∵BH平分∠CBF，∴，∴EH=FH，∴△EHF是等腰直角三角形，∴HF=EF=，∵∠EFH=∠HBF=45°，∠BHF=∠BHF，∴△BHF∽△FHG，∴，∴HG•HB=HF2=2+．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，勾股定理，线段的垂直平分线的性质，直角三角形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握这些定理是解题的关键．8．如图，AB是⊙O的直径，D、E为⊙O上位于AB异侧的两点，连接BD并延长至点C，使得CD=BD，连接AC交⊙O于点F，连接AE、DE、DF．（1）证明：∠E=∠C；（2）若∠E=55°，求∠BDF的度数；（3）设DE交AB于点G，若DF=4，cosB=，E是的中点，求EG•ED的值．【分析】（1）直接利用圆周角定理得出AD⊥BC，再利用线段垂直平分线的性质得出AB=AC，即可得出∠E=∠C；（2）利用圆内接四边形的性质得出∠AFD=180°﹣∠E，进而得出∠BDF=∠C+∠CFD，即可得出答案；（3）根据cosB=，得出AB的长，即可求出AE的长，再判断△AEG∽△DEA，求出EG•ED 的值．【解答】（1）证明：连接AD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，即AD⊥BC，∵CD=BD，∴AD垂直平分BC，∴AB=AC，∴∠B=∠C，又∵∠B=∠E，∴∠E=∠C；（2）解：∵四边形AEDF是⊙O的内接四边形，∴∠AFD=180°﹣∠E，又∵∠CFD=180°﹣∠AFD，∴∠CFD=∠E=55°，又∵∠E=∠C=55°，∴∠BDF=∠C+∠CFD=110°；（3）解：连接OE，∵∠CFD=∠E=∠C，∴FD=CD=BD=4，在Rt△ABD中，cosB=，BD=4，∴AB=6，∵E是的中点，AB是⊙O的直径，∴∠AOE=90°，∵AO=OE=3，∴AE=3，∵E是的中点，∴∠ADE=∠EAB，∴△AEG∽△DEA，∴=，即EG•ED=AE2=18．【点评】此题主要考查了圆的综合题、圆周角定理以及相似三角形的判定与性质以及圆内接四边形的性质等知识，根据题意得出AE，AB的长是解题关键．9．AB，CD是⊙O的两条弦，直线AB，CD互相垂直，垂足为点E，连接AD，过点B作BF⊥AD，垂足为点F，直线BF交直线CD于点G．（1）如图1，当点E在⊙O外时，连接BC，求证：BE平分∠GBC；（2）如图2，当点E在⊙O内时，连接AC，AG，求证：AC=AG；（3）如图3，在（2）条件下，连接BO并延长交AD于点H，若BH平分∠ABF，AG=4，tan ∠D=，求线段AH的长．【分析】（1）利用圆内接四边形的性质得出∠D=∠EBC，进而利用互余的关系得出∠GBE=∠EBC，进而求出即可；（2）首先得出∠D=∠ABG，进而利用全等三角形的判定与性质得出△BCE≌△BGE（ASA），则CE=EG，再利用等腰三角形的性质求出即可；（3）首先求出CO的长，再求出tan∠ABH===，利用OP2+PB2=OB2，得出a的值进而求出答案．【解答】（1）证明：如图1，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠D+∠ABC=180°，∵∠ABC+∠EBC=180°，∴∠D=∠EBC，∵GF⊥AD，AE⊥DG，∴∠A+∠ABF=90°，∠A+∠D=90°，∴∠ABF=∠D，∵∠ABF=∠GBE，∴∠GBE=∠EBC，即BE平分∠GBC；（2）证明：如图2，连接CB，∵AB⊥CD，BF⊥AD，∴∠D+∠BAD=90°，∠ABG+∠BAD=90°，∴∠D=∠ABG，∵∠D=∠ABC，∴∠ABC=∠ABG，∵AB⊥CD，∴∠CEB=∠GEB=90°，在△BCE和△BGE中，∴△BCE≌△BGE（ASA），∴CE=EG，∵AE⊥CG，∴AC=AG；（3）解：如图3，连接CO并延长交⊙O于M，连接AM，∵CM是⊙O的直径，∴∠MAC=90°，∵∠M=∠D，tanD=，∴tanM=，∴=，∵AG=4，AC=AG，∴AC=4，AM=3，∴MC==5，∴CO=，过点H作HN⊥AB，垂足为点N，∵tanD=，AE⊥DE，∴tan∠BAD=，∴=，设NH=3a，则AN=4a，∴AH==5a，∵HB平分∠ABF，NH⊥AB，HF⊥BF，∴HF=NH=3a，∴AF=8a，cos∠BAF===，∴AB==10a，∴NB=6a，∴tan∠ABH===，过点O作OP⊥AB垂足为点P，∴PB=AB=5a，tan∠ABH==，∴OP=a，∵OB=OC=，OP2+PB2=OB2，∴25a2+a2=，∴解得：a=，∴AH=5a=．【点评】此题主要考查了圆的综合以及勾股定理和锐角三角函数关系等、全等三角形的判定与性质知识，正确作出辅助线得出tan∠ABH==是解题关键．10．如图，已知AB是⊙O的直径，BP是⊙O的弦，弦CD⊥AB于点F，交BP于点G，E在CD的延长线上，EP=EG，（1）求证：直线EP为⊙O的切线；（2）点P在劣弧AC上运动，其他条件不变，若BG2=BF•BO．试证明BG=PG；（3）在满足（2）的条件下，已知⊙O的半径为3，sinB=．求弦CD的长．【分析】（1）连结OP，先由EP=EG，证出∠EPG=∠BGF，再由∠BFG=∠BGF+∠OBP=90°，推出∠EPG+∠OPB=90°来求证．（2）连结OG，由BG2=BF•BO，得出△BFG∽△BGO，得出∠BGO=∠BFG=90°，根据垂径定理可得出结论．（3）连结AC、BC、OG，由sinB=，求出OG，由（2）得出∠B=∠OGF，求出OF，再求出BF，FA，利用直角三角形来求斜边上的高，再乘以2得出CD长度．【解答】（1）证明：连结OP，∵EP=EG，∴∠EPG=∠EGP，又∵∠EGP=∠BGF，∴∠EPG=∠BGF，∵OP=OB，∴∠OPB=∠OBP，∵CD⊥AB，∴∠BFG=∠BGF+∠OBP=90°，∴∠EPG+∠OPB=90°，∴直线EP为⊙O的切线；（2）证明：如图，连结OG，OP，∵BG2=BF•BO，∴=，∴△BFG∽△BGO，∴∠BGO=∠BFG=90°，由垂径定理知：BG=PG；（3）解：如图，连结AC、BC、OG、OP，∵sinB=，∴=，∵OB=r=3，∴OG=，由（2）得∠EPG+∠OPB=90°，∠B+∠BGF=∠OGF+∠BGF=90°，∴∠B=∠OGF，∴sin∠OGF==∴OF=1，∴BF=BO﹣OF=3﹣1=2，FA=OF+OA=1+3=4，在Rt△BCA中，CF2=BF•FA，∴CF===2．∴CD=2CF=4．【点评】本题主要考查了圆的综合题，解题的关键是通过作辅助线，找准角之间的关系，灵活运用直角三角形中的正弦值．11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AO是△ABC的角平分线．以O为圆心，OC为半径作⊙O．（1）求证：AB是⊙O的切线．（2）已知AO交⊙O于点E，延长AO交⊙O于点D，tanD=，求的值．（3）在（2）的条件下，设⊙O的半径为3，求AB的长．【分析】（1）由于题目没有说明直线AB与⊙O有交点，所以过点O作OF⊥AB于点F，然后证明OC=OF即可；（2）连接CE，先求证∠ACE=∠ODC，然后可知△ACE∽△ADC，所以，而tan∠D==；（3）由（2）可知，AC2=AE•AD，所以可求出AE和AC的长度，由（1）可知，△OFB∽△ABC，所以，然后利用勾股定理即可求得AB的长度．【解答】（1）如图，过点O作OF⊥AB于点F，∵AO平分∠CAB，OC⊥AC，OF⊥AB，∴OC=OF，∴AB是⊙O的切线；（2）如图，连接CE，∵ED是⊙O的直径，∴∠ECD=90°，∴∠ECO+∠OCD=90°，∵∠ACB=90°，∴∠ACE+∠ECO=90°，∴∠ACE=∠OCD，∵OC=OD，∴∠OCD=∠ODC，∴∠ACE=∠ODC，∵∠CAE=∠CAE，∴△ACE∽△ADC，∴，∵tan∠D=，∴=，∴=；（3）由（2）可知：=，∴设AE=x，AC=2x，∵△ACE∽△ADC，∴，∴AC2=AE•AD，∴（2x）2=x（x+6），解得：x=2或x=0（不合题意，舍去），∴AE=2，AC=4，由（1）可知：AC=AF=4，∠OFB=∠ACB=90°，∵∠B=∠B，∴△OFB∽△ACB，∴=，设BF=a，∴BC=，∴BO=BC﹣OC=﹣3，在Rt△BOF中，BO2=OF2+BF2，∴（﹣3）2=32+a2，∴解得：a=或a=0（不合题意，舍去），∴AB=AF+BF=．【点评】本题考查圆的综合问题，解题的关键是证明△ACE∽△ADC．本题涉及勾股定理，解方程，圆的切线判定知识，内容比较综合，需要学生构造辅助线才能解决问题，对学生综合能力要求较高．12．如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC为⊙O的直径，过点C作AC的垂线交AD的延长线于点E，点F为CE的中点，连接DB，DC，DF．（1）求∠CDE的度数；（2）求证：DF是⊙O的切线；（3）若AC=2DE，求tan∠ABD的值．【分析】（1）直接利用圆周角定理得出∠CDE的度数；（2）直接利用直角三角形的性质结合等腰三角形的性质得出∠ODF=∠ODC+∠FDC=∠OCD+∠DCF=90°，进而得出答案；（3）利用相似三角形的性质结合勾股定理表示出AD，DC的长，再利用圆周角定理得出tan ∠ABD的值．【解答】（1）解：∵对角线AC为⊙O的直径，∴∠ADC=90°，∴∠EDC=90°；（2）证明：连接DO，∵∠EDC=90°，F是EC的中点，∴DF=FC，∴∠FDC=∠FCD，∵OD=OC，∴∠OCD=∠ODC，∵∠OCF=90°，∴∠ODF=∠ODC+∠FDC=∠OCD+∠DCF=90°，∴DF是⊙O的切线；（3）解：方法一：设DE=1，则AC=2，由AC2=AD×AE∴20=AD（AD+1）∴AD=4或﹣5（舍去）∵DC2=AC2﹣AD2∴DC=2，∴tan∠ABD=tan∠ACD==2；方法二：如图所示：可得∠ABD=∠ACD，∵∠E+∠DCE=90°，∠DCA+∠DCE=90°，∴∠DCA=∠E，又∵∠ADC=∠CDE=90°，∴△CDE∽△ADC，∴=，∴DC2=AD•DE∵AC=2DE，∴设DE=x，则AC=2x，则AC2﹣AD2=AD•DE，期（2x）2﹣AD2=AD•x，整理得：AD2+AD•x﹣20x2=0，解得：AD=4x或﹣5x（负数舍去），则DC==2x，故tan∠ABD=tan∠ACD===2．【点评】此题主要考查了圆的综合以及切线的判定、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，根据题意表示出AD，DC的长是解题关键．。

九年级数学圆的综合的专项培优练习题(含答案)附答案解析

九年级数学圆的综合的专项培优练习题(含答案)附答案解析

九年级数学圆的综合的专项培优练习题(含答案)附答案解析一、圆的综合1．如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，点D 在BC uuu r 上，点E 在弦AB 上（E 不与A 重合），且四边形BDCE 为菱形．（1）求证：AC=CE ；（2）求证：BC 2﹣AC 2=AB•AC ；（3）已知⊙O 的半径为3．①若AB AC =53，求BC 的长； ②当AB AC为何值时，AB•AC 的值最大？【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）2；②32【解析】 分析：（1）由菱形知∠D=∠BEC ，由∠A+∠D=∠BEC+∠AEC=180°可得∠A=∠AEC ，据此得证；（2）以点C 为圆心，CE 长为半径作⊙C ，与BC 交于点F ，于BC 延长线交于点G ，则CF=CG=AC=CE=CD ，证△BEF ∽△BGA 得BE BG BF BA =，即B F•BG=BE•AB ，将BF=BC-CF=BC-AC 、BG=BC+CG=BC+AC 代入可得； （3）①设AB=5k 、AC=3k ，由BC 2-AC 2=AB•AC 知6k ，连接ED 交BC 于点M ，Rt △DMC 中由DC=AC=3k 、MC=126k 求得22CD CM -3，可知OM=OD-3，在Rt △COM 中，由OM 2+MC 2=OC 2可得答案．②设OM=d ，则MD=3-d ，MC 2=OC 2-OM 2=9-d 2，继而知BC 2=（2MC ）2=36-4d 2、AC 2=DC 2=DM 2+CM 2=（3-d ）2+9-d 2，由（2）得AB•AC=BC 2-AC 2，据此得出关于d 的二次函数，利用二次函数的性质可得答案． 详解：（1）∵四边形EBDC 为菱形，∴∠D=∠BEC ，∵四边形ABDC 是圆的内接四边形，∴∠A+∠D=180°，又∠BEC+∠AEC=180°，∴∠A=∠AEC ，∴AC=CE；（2）以点C为圆心，CE长为半径作⊙C，与BC交于点F，于BC延长线交于点G，则CF=CG，由（1）知AC=CE=CD，∴CF=CG=AC，∵四边形AEFG是⊙C的内接四边形，∴∠G+∠AEF=180°，又∵∠AEF+∠BEF=180°，∴∠G=∠BEF，∵∠EBF=∠GBA，∴△BEF∽△BGA，∴BE BGBF BA=，即BF•BG=BE•AB，∵BF=BC﹣CF=BC﹣AC、BG=BC+CG=BC+AC，BE=CE=AC，∴（BC﹣AC）（BC+AC）=AB•AC，即BC2﹣AC2=AB•AC；（3）设AB=5k、AC=3k，∵BC2﹣AC2=AB•AC，∴6k，连接ED交BC于点M，∵四边形BDCE是菱形，∴DE垂直平分BC，则点E、O、M、D共线，在Rt△DMC中，DC=AC=3k，MC=126k，∴223CD CM k-=，∴OM=OD﹣DM=33k，在Rt△COM中，由OM2+MC2=OC2得（33）2+6k）2=32，解得：k=33或k=0（舍），∴62；②设OM=d，则MD=3﹣d，MC2=OC2﹣OM2=9﹣d2，∴BC 2=（2MC ）2=36﹣4d 2，AC 2=DC 2=DM 2+CM 2=（3﹣d ）2+9﹣d 2，由（2）得AB•AC=BC 2﹣AC 2=﹣4d 2+6d+18=﹣4（d ﹣34）2+814， ∴当d=34，即OM=34时，AB•AC 最大，最大值为814， ∴DC 2=272， ∴AC=DC=362， ∴AB=964，此时32AB AC =． 点睛：本题主要考查圆的综合问题，解题的关键是掌握圆的有关性质、圆内接四边形的性质及菱形的性质、相似三角形的判定与性质、二次函数的性质等知识点．2．已知AB ，CD 都是O e 的直径，连接DB ，过点C 的切线交DB 的延长线于点E ． ()1如图1，求证：AOD 2E 180∠∠+=o ；()2如图2，过点A 作AF EC ⊥交EC 的延长线于点F ，过点D 作DG AB ⊥，垂足为点G ，求证：DG CF =；()3如图3，在()2的条件下，当DG 3CE 4=时，在O e 外取一点H ，连接CH 、DH 分别交O e 于点M 、N ，且HDE HCE ∠∠=，点P 在HD 的延长线上，连接PO 并延长交CM 于点Q ，若PD 11=，DN 14=，MQ OB =，求线段HM 的长．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）37【解析】【分析】（1）由∠D +∠E =90°，可得2∠D +2∠E =180°，只要证明∠AOD =2∠D 即可；（2）如图2中，作OR ⊥AF 于R ．只要证明△AOR ≌△ODG 即可；（3）如图3中，连接BC 、OM 、ON 、CN ，作BT ⊥CL 于T ，作NK ⊥CH 于K ，设CH 交DE于W ．解直角三角形分别求出KM ，KH 即可；【详解】()1证明：如图1中，O Q e 与CE 相切于点C ，OC CE ∴⊥，OCE 90∠∴=o ，D E 90∠∠∴+=o ，2D 2E 180∠∠∴+=o ，AOD COB ∠∠=Q ，BOC 2D ∠∠=，AOD 2D ∠∠=，AOD 2E 180∠∠∴+=o ．()2证明：如图2中，作OR AF ⊥于R ．OCF F ORF 90∠∠∠===o Q ，∴四边形OCFR 是矩形，AF//CD ∴，CF OR =，A AOD ∠∠∴=，在AOR V 和ODG V 中，A AOD ∠∠=Q ，ARO OGD 90∠∠==o ，OA DO =，AOR ∴V ≌ODG V ，OR DG ∴=，DG CF ∴=，()3解：如图3中，连接BC 、OM 、ON 、CN ，作BT CL ⊥于T ，作NK CH ⊥于K ，设CH 交DE 于W ．设DG 3m =，则CF 3m =，CE 4m =，OCF F BTE 90∠∠∠===o Q ，AF//OC//BT ∴，OA OB =Q ，CT CF 3m ∴==，ET m ∴=，CD Q 为直径，CBD CND 90CBE ∠∠∠∴===o ，E 90EBT CBT ∠∠∠∴=-=o ，tan E tan CBT ∠∠∴=，BT CT ET BT∴=， BT 3m m BT∴=， BT 3m(∴=负根已经舍弃)，3m tan E 3∠∴== E 60∠∴=o ，CWD HDE H ∠∠∠=+Q ，HDE HCE ∠∠=，H E 60∠∠∴==o ，MON 2HCN 60∠∠∴==o ，OM ON =Q ，OMN ∴V 是等边三角形，MN ON ∴=，QM OB OM ==Q ，MOQ MQO ∠∠∴=，MOQ PON 180MON 120∠∠∠+=-=o o Q ，MQO P 180H 120∠∠∠+=-=o o ， PON P ∠∠∴=，ON NP 141125∴==+=，CD 2ON 50∴==，MN ON 25==，在Rt CDN V 中，2222CN CD DN 501448=-=-=，在Rt CHN V 中，CN 48tan H 3HN HN∠===， HN 163∴=，在Rt KNH V 中，1KH HN 832==，3NK HN 24==， 在Rt NMK V 中，2222MK MN NK 25247=-=-=，HM HK MK 837∴=+=+．【点睛】本题考查圆综合题、全等三角形的判定和性质、平行线的性质、勾股定理、等边三角形的判定和性质、锐角三角函数等知识，添加常用辅助线，构造全等三角形或直角三角形解题的关键.3．已知O e 的半径为5，弦AB 的长度为m ，点C 是弦AB 所对优弧上的一动点． ()1如图①，若m 5=，则C ∠的度数为______o ；()2如图②，若m 6=．①求C ∠的正切值；②若ABC V 为等腰三角形，求ABC V 面积．【答案】()130；()2C ∠①的正切值为34；ABC S 27=V ②或43225. 【解析】【分析】 ()1连接OA ，OB ，判断出AOB V 是等边三角形，即可得出结论；()2①先求出10AD =，再用勾股定理求出8BD =，进而求出tan ADB ∠，即可得出结论；②分三种情况，利用等腰三角形的性质和垂径定理以及勾股定理即可得出结论．【详解】()1如图1，连接OB ，OA ，OB OC 5∴==，AB m 5==Q ，OB OC AB ∴==，AOB ∴V 是等边三角形，AOB 60∠∴=o ， 1ACB AOB 302∠∠∴==o ， 故答案为30；()2①如图2，连接AO 并延长交O e 于D ，连接BD ，AD Q 为O e 的直径，AD 10∴=，ABD 90∠=o ，在Rt ABD V 中，AB m 6==，根据勾股定理得，BD 8=，AB 3tan ADB BD 4∠∴==， C ADB ∠∠=Q ，C ∠∴的正切值为34； ②Ⅰ、当AC BC =时，如图3，连接CO 并延长交AB 于E ，AC BC =Q ，AO BO =，CE ∴为AB 的垂直平分线，AE BE 3∴==，在Rt AEO V 中，OA 5=，根据勾股定理得，OE 4=，CE OE OC 9∴=+=，ABC 11S AB CE 692722∴=⨯=⨯⨯=V ； Ⅱ、当AC AB 6==时，如图4，连接OA 交BC 于F ，AC AB =Q ，OC OB =，AO ∴是BC 的垂直平分线，过点O 作OG AB ⊥于G ，1AOG AOB 2∠∠∴=，1AG AB 32==， AOB 2ACB ∠∠=Q ，ACF AOG ∠∠∴=，在Rt AOG V 中，AG 3sin AOG AC 5∠==， 3sin ACF 5∠∴=， 在Rt ACF V 中，3sin ACF 5∠=， 318AF AC 55∴==，24CF 5∴=， ABC 111824432S AF BC 225525∴=⨯=⨯⨯=V ； Ⅲ、当BA BC 6==时，如图5，由对称性知，ABC 432S 25=V ．【点睛】圆的综合题，主要圆的性质，圆周角定理，垂径定理，等腰三角形的性质，三角形的面积公式，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键．4．如图，AB 为O e 的直径，弦//CD AB ，E 是AB 延长线上一点，CDB ADE ∠=∠． ()1DE 是O e 的切线吗？请说明理由；()2求证：2AC CD BE =⋅．【答案】（1）结论：DE 是O e 的切线，理由见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）连接OD ，只要证明OD DE ⊥即可；（2）只要证明：AC BD =，CDB DBE V V ∽即可解决问题.【详解】()1解：结论：DE 是O e 的切线．理由：连接OD ．CDB ADE ∠=∠Q ，ADC EDB ∴∠=∠，//CD AB Q ，CDA DAB ∴∠=∠，OA OD =Q ，OAD ODA ∴∠=∠，ADO EDB ∴∠=∠，AB Q 是直径，90ADB ∴∠=o ，90ADB ODE ∴∠=∠=o ，DE OD ∴⊥，DE ∴是O e 的切线．()2//CD AB Q ，ADC DAB ∴∠=∠，CDB DBE ∠=∠，AC BD ∴=n n， AC BD ∴=，DCB DAB ∠=∠Q ，EDB DAB ∠=∠，EDB DCB ∴∠=∠，CDB ∴V ∽DBE V ，CD DB BD BE∴=， 2BD CD BE ∴=⋅，2AC CD BE ∴=⋅．【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质、圆周角定理、切线的判定等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，准确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型.5．在⊙O 中，点C 是AB u u u r 上的一个动点(不与点A ，B 重合)，∠ACB=120°，点I 是∠ABC 的内心，CI 的延长线交⊙O 于点D ，连结AD,BD ．（1）求证：AD=BD．（2）猜想线段AB与DI的数量关系，并说明理由．（3）若⊙O的半径为2，点E，F是»AB的三等分点，当点C从点E运动到点F时，求点I 随之运动形成的路径长．【答案】（1）证明见解析；（2）AB=DI，理由见解析（3）23【解析】分析：（1）根据内心的定义可得CI平分∠ACB，可得出角相等，再根据圆周角定理，可证得结论；（2）根据∠ACB=120°，∠ACD=∠BCD，可求出∠BAD的度数，再根据AD=BD，可证得△ABD是等边三角形，再根据内心的定义及三角形的外角性质，证明∠BID=∠IBD，得出ID=BD，再根据AB=BD，即可证得结论；（3）连接DO，延长DO根据题意可知点I随之运动形成的图形式以D为圆心，DI1为半径的弧，根据已知及圆周角定理、解直角三角形，可求出AD的长，再根据点E，F是弧AB ⌢的三等分点，△ABD是等边三角形，可证得∠DAI1=∠AI1D，然后利用弧长的公式可求出点I 随之运动形成的路径长.详解：（1）证明：∵点I是∠ABC的内心∴CI平分∠ACB∴∠ACD=∠BCD∴弧AD=弧BD∴AD=BD（2）AB=DI理由：∵∠ACB=120°，∠ACD=∠BCD∴∠BCD=×120°=60°∵弧BD=弧BD∴∠DAB=∠BCD=60°∵AD=BD∴△ABD是等边三角形，∴AB=BD，∠ABD=∠C∵I是△ABC的内心∴BI平分∠ABC∴∠CBI=∠ABI∵∠BID=∠C+∠CBI，∠IBD=∠ABI+∠ABD∴∠BID=∠IBD∴ID=BD∵AB=BD∴AB=DI（3）解：如图，连接DO，延长DO根据题意可知点I随之运动形成的图形式以D为圆心，DI1为半径的弧∵∠ACB=120°，弧AD=弧BD∴∠AED=∠ACB=×120°=60°∵圆的半径为2，DE是直径∴DE=4，∠EAD=90°∴AD=sin∠AED×DE=×4=2∵点E，F是弧AB ⌢的三等分点，△ABD是等边三角形，∴∠ADB=60°∴弧AB的度数为120°，∴弧AM、弧BF的度数都为为40°∴∠ADM=20°=∠FAB∴∠DAI1=∠FAB+∠DAB=80°∴∠AI1D=180°-∠ADM-∠DAI1=180°-20°-80°=80°∴∠DAI1=∠AI1D∴AD=I1D=2∴弧I1I2的长为：点睛：此题是一道圆的综合题，有一定的难度，熟记圆的相关性质与定理，并对圆中的弦、弧、圆心角、圆周角等进行灵活转化是解题关键，注意数形结合思想的渗透.6．如图，AB是⊙O的直径，PA是⊙O的切线，点C在⊙O上，CB∥PO．（1）判断PC与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若AB=6，CB=4，求PC的长．【答案】（1）PC是⊙O的切线，理由见解析；（235 2【解析】试题分析：（1）要证PC是⊙O的切线，只要连接OC，再证∠PCO=90°即可．（2）可以连接AC，根据已知先证明△ACB∽△PCO，再根据勾股定理和相似三角形的性质求出PC的长．试题解析：（1）结论：PC是⊙O的切线．证明：连接OC∵CB∥PO∴∠POA=∠B，∠POC=∠OCB∵OC=OB∴∠OCB=∠B∴∠POA=∠POC又∵OA=OC，OP=OP∴△APO≌△CPO∴∠OAP=∠OCP∵PA是⊙O的切线∴∠OAP=90°∴∠OCP=90°∴PC是⊙O的切线．（2）连接AC∵AB是⊙O的直径∴∠ACB=90°（6分）由（1）知∠PCO=90°，∠B=∠OCB=∠POC∵∠ACB=∠PCO∴△ACB∽△PCO∴∴．点睛：本题考查了切线的判定．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．同时考查了勾股定理和相似三角形的性质．7．如图，在RtΔABC中，∠ABC=90°，AB=CB，以AB为直径的⊙O交AC于点D，点E是AB边上一点（点E不与点A、B重合），DE的延长线交⊙O于点G，DF⊥DG，且交BC于点F.（1）求证：AE=BF；（2）连接EF，求证：∠FEB=∠GDA；（3）连接GF,若AE=2，EB=4，求ΔGFD的面积.【答案】（1）（2）见解析；（3）9【解析】分析：（1）连接BD，由三角形ABC为等腰直角三角形，求出∠A与∠C的度数，根据AB 为圆的直径，利用圆周角定理得到∠ADB为直角，即BD垂直于AC，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得到AD=DC=BD=12AC，进而确定出∠A=∠FBD，再利用同角的余角相等得到一对角相等，利用ASA得到三角形AED与三角形BFD全等，利用全等三角形对应边相等即可得证；（2）连接EF ，BG ，由三角形AED 与三角形BFD 全等，得到ED =FD ，进而得到三角形DEF 为等腰直角三角形，利用圆周角定理及等腰直角三角形性质得到一对同位角相等，利用同位角相等两直线平行，再根据平行线的性质和同弧所对的圆周角相等，即可得出结论；（3）由全等三角形对应边相等得到AE =BF =1，在直角三角形BEF 中，利用勾股定理求出EF 的长，利用锐角三角形函数定义求出DE 的长，利用两对角相等的三角形相似得到三角形AED 与三角形GEB 相似，由相似得比例，求出GE 的长，由GE +ED 求出GD 的长，根据三角形的面积公式计算即可．详解：（1）连接BD ．在Rt △ABC 中，∠ABC =90°，AB =BC ，∴∠A =∠C =45°． ∵AB 为圆O 的直径，∴∠ADB =90°，即BD ⊥AC ，∴AD =DC =BD =12AC ，∠CBD =∠C =45°，∴∠A =∠FBD ．∵DF ⊥DG ，∴∠FDG =90°，∴∠FDB +∠BDG =90°．∵∠EDA +∠BDG =90°，∴∠EDA =∠FDB ．在△AED 和△BFD 中，A FBD AD BD EDA FDB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△AED ≌△BFD （ASA ），∴AE =BF ； （2）连接EF ，BG ． ∵△AED ≌△BFD ，∴DE =DF ．∵∠EDF =90°，∴△EDF 是等腰直角三角形，∴∠DEF =45°． ∵∠G =∠A =45°，∴∠G =∠DEF ，∴GB ∥EF ，∴∠FEB =∠GBA ． ∵∠GBA =∠GDA ，∴∠FEB =∠GDA ；（3）∵AE =BF ，AE =2，∴BF =2．在Rt △EBF 中，∠EBF =90°，∴根据勾股定理得：EF 2=EB 2+BF 2．∵EB =4，BF =2，∴EF∵△DEF 为等腰直角三角形，∠EDF =90°，∴cos ∠DEF =DEEF． ∵EF=∴DE=2． ∵∠G =∠A ，∠GEB =∠AED ，∴△GEB ∽△AED ，∴GE AE =EBED，即GE •ED =AE •EB ，∴GE =8，即GE，则GD =GE +ED∴11192252S GD DF GD DE =⨯⨯=⨯⨯==．点睛：本题属于圆综合题，涉及的知识有：全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，圆周角定理，以及平行线的判定与性质，熟练掌握判定与性质是解答本题的关键．8．如图，AN是⊙M的直径，NB∥x轴，AB交⊙M于点C．（1）若点A（0，6），N（0，2），∠ABN=30°，求点B的坐标；（2）若D为线段NB的中点，求证：直线CD是⊙M的切线．【答案】(1) B（，2）．(2)证明见解析.【解析】试题分析：（1）在Rt△ABN中，求出AN、AB即可解决问题；（2）连接MC，NC．只要证明∠MCD=90°即可试题解析：（1）∵A的坐标为（0，6），N（0，2），∴AN=4，∵∠ABN=30°，∠ANB=90°，∴AB=2AN=8，∴由勾股定理可知：NB=，∴B（，2）．（2）连接MC，NC∵AN是⊙M的直径，∴∠ACN=90°，∴∠NCB=90°，在Rt△NCB中，D为NB的中点，∴CD=NB=ND，∴∠CND=∠NCD，∵MC=MN，∴∠MCN=∠MNC，∵∠MNC+∠CND=90°，∴∠MCN+∠NCD=90°，即MC⊥CD．∴直线CD是⊙M的切线．考点：切线的判定；坐标与图形性质．9．在平面直角坐标系中，已知点A（2，0），点B（0，），点O（0，0）．△AOB绕着O顺时针旋转，得△A'OB'，点A、B旋转后的对应点为A'，B'，记旋转角为α．（Ⅰ）如图1，A'B'恰好经过点A时，求此时旋转角α的度数，并求出点B'的坐标；（Ⅱ）如图2，若0°＜α＜90°，设直线AA'和直线BB'交于点P，求证：AA'⊥BB'；（Ⅲ）若0°＜α＜360°，求（Ⅱ）中的点P纵坐标的最小值（直接写出结果即可）．【答案】（Ⅰ）α＝60°，B'（3，）；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）点P纵坐标的最小值为﹣2．【解析】【分析】（Ⅰ）作辅助线,先根据点A（2,0）,点B（0,）,确定∠ABO＝30°,证明△AOA'是等边三角形,得旋转角α＝60°,证明△COB'是30°的直角三角形,可得B'的坐标;（Ⅱ）依据旋转的性质可得∠BOB'＝∠AOA'＝α,OB＝OB',OA＝OA',即可得出∠OBB'＝∠OA'A＝（180°﹣α）,再根据∠BOA'＝90°+α,四边形OBPA'的内角和为360°,即可得到∠BPA'＝90°,即AA'⊥BB';（Ⅲ）作AB的中点M（1,）,连接MP,依据点P的轨迹为以点M为圆心,以MP＝AB＝2为半径的圆,即可得到当PM∥y轴时,点P纵坐标的最小值为﹣2.【详解】解：（Ⅰ）如图1，过B'作B'C⊥x轴于C,∵OA＝2,OB＝2,∠AOB＝90°,∴∠ABO＝30°,∠BAO＝60°,由旋转得：OA＝OA',∠A'＝∠BAO＝60°,∴△OAA'是等边三角形,∴α＝∠AOA'＝60°,∵OB＝OB'＝2,∠COB'＝90°﹣60°＝30°,∴B'C ＝OB’＝,∴OC＝3,∴B'（3,）,（Ⅱ）证明：如图2,∵∠BOB'＝∠AOA'＝α,OB＝OB',OA＝OA',∴∠OBB'＝∠OA'A＝（180°﹣α）,∵∠BOA'＝90°+α,四边形OBPA'的内角和为360°,∴∠BPA'＝360°﹣（180°﹣α）﹣（90°+α）＝90°,即AA'⊥BB';（Ⅲ）点P纵坐标的最小值为-2．理由是：如图，作AB的中点M（1,）,连接MP,∵∠APB＝90°,∴点P的轨迹为以点M为圆心,以MP＝AB＝2为半径的圆,除去点（2,2）,∴当PM⊥x轴时,点P纵坐标的最小值为﹣2．【点睛】本题属于几何变换综合题,主要考查了旋转的性质,含30°角的直角三角形的性质,四边形内角和以及圆周角定理的综合运用,解决问题的关键是判断点P的轨迹为以点M为圆心,以MP 为半径的圆．10．.如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝6．D是线段AC上一个动点（不与点A重合），⊙D与AB相切，切点为E，⊙D交射线．．BC于．．DC于点F，过F作FG⊥EF交直线点G，设⊙D的半径为r．（1）求证AE＝EF；（2）当⊙D与直线BC相切时，求r的值；（3）当点G落在⊙D内部时，直接写出r的取值范围．【答案】(1)见解析,(2)r=3,(3)63 3r<<【解析】【分析】（1）连接DE，则∠ADE=60°=∠DEF+∠DFE，而∠DEF=∠DFE，则∠DEF=∠DFE=30°=∠A，即可求解；（2）如图2所示，连接DE，当圆与BC相切时，切点为F，∠A=30°，AB=6，则BF=3，AD=2r，由勾股定理，即可求解；（3）分点F在线段AC上、点F在线段AC的延长线上两种情况，分别求解即可．【详解】解：设圆的半径为r；（1）连接DE，则∠ADE=60°=∠DEF+∠DFE，而∠DEF=∠DFE，则∠DEF=∠DFE=30°=∠A，∴AE=EF；（2）如图2所示，连接DE，当圆与BC相切时，切点为F∠A=30°，AB=6，则BF=3，AD=2r，由勾股定理得：（3r）2+9=36，解得：3（3）①当点F 在线段AC 上时，如图3所示，连接DE 、DG ，333,3933FC r GC FC r =-==- ②当点F 在线段AC 的延长线上时，如图4所示，连接DE 、DG ，333,3339FC r GC FC r ===-两种情况下GC 符号相反，GC 2相同，由勾股定理得：DG 2=CD 2+CG 2，点G 在圆的内部，故：DG2＜r2， 即：22(332)(339)2r r r +-<整理得：25113180r r -+<6335r <<【点睛】本题考查了圆的综合题：圆的切线垂直于过切点的半径；利用勾股定理计算线段的长．11．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，AB 是直径，过点O 作OD ⊥CB ，垂足为点D ，延长DO 交⊙O 于点E ，过点E 作PE ⊥AB ，垂足为点P ，作射线DP 交CA 的延长线于F 点，连接EF ，（1）求证：OD＝OP；（2）求证：FE是⊙O的切线．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．【解析】试题分析：（2）证明△POE≌△ADO可得DO=EO；（3）连接AE，BE，证出△APE≌△AFE即可得出结论．试题解析：（1）∵∠EPO=∠BDO=90°∠EOP=∠BODOE=OB∴△OPE≌△ODB∴OD="OP"（2）连接EA，EB∴∠1=∠EBC∵AB是直径∴∠AEB=∠C=90°∴∠2+∠3=90°∵∠3=∠DEB∵∠BDE=90°∴∠EBC+∠DEB=90°∴∠2=∠EBC=∠1∵∠C=90°∠BDE=90°∴CF∥OE∴∠ODP=∠AFP∵OD=OP∴∠ODP=∠OPD∵∠OPD=∠APF∴∠AFP=∠APF∴AF=AP 又AE=AE∴△APE≌△AFE∴∠AFE=∠APE=90°∴∠FED=90°∴FE是⊙O的切线考点：切线的判定．12．如图，点B在数轴上对应的数是﹣2，以原点O为原心、OB的长为半径作优弧AB，使点A在原点的左上方，且tan∠AOB＝3，点C为OB的中点，点D在数轴上对应的数为4．（1）S扇形AOB＝（大于半圆的扇形）；（2）点P是优弧AB上任意一点，则∠PDB的最大值为°（3）在（2）的条件下，当∠PDB最大，且∠AOP＜180°时，固定△OPD的形状和大小，以原点O为旋转中心，将△OPD顺时针旋转α（0°≤α≤360°）①连接CP，AD．在旋转过程中，CP与AD有何数量关系，并说明理由；②当PD∥AO时，求AD2的值；③直接写出在旋转过程中，点C到PD所在直线的距离d的取值范围．【答案】（1）103π（2）30（3）①AD＝2PC②20+83或20+83③1≤d≤3【解析】【分析】（1）利用扇形的面积公式计算即可．（2）如图1中，当PD与⊙O相切时，∠PDB的值最大．解直角三角形即可解决问题．（3）①结论：AD＝2PC．如图2中，连接AB，AC．证明△COP∽△AOD，即可解决问题．②分两种情形：如图3中，当PD∥OA时，设OD交⊙O于K，连接PK交OC于H．求出PC即可．如图④中，当PA∥OA时，作PK⊥OB于K，同法可得．③判断出PC的取值范围即可解决问题．【详解】（1）∵tan∠AOB＝3，∴∠AOB＝60°，∴S扇形AOB＝23002103603ππ⋅⋅=（大于半圆的扇形），（2）如图1中，当PD与⊙O相切时，∠PDB的值最大．∵PD是⊙O的切线，∴OP⊥PD，∴∠OPD ＝90°， ∵21sin 42OP PDO OD ∠=== ∴∠PDB ＝30°， 同法当DP ′与⊙O 相切时，∠BDP ′＝30°，∴∠PDB 的最大值为30°．故答案为30．（3）①结论：AD ＝2PC ．理由：如图2中，连接AB ，AC ．∵OA ＝OB ，∠AOB ＝60°，∴△AOB 是等边三角形，∵BC ＝OC ，∴AC ⊥OB ，∵∠AOC ＝∠DOP ＝60°，∴∠COP ＝∠AOD ，∵2AO OD OC OP==， ∴△COP ∽△AOD ， ∴2AD AO PC OC==， ∴AD ＝2PC ． ②如图3中，当PD ∥OA 时，设OD 交⊙O 于K ，连接PK 交OC 于H ．∵OP ＝OK ，∠POK ＝60°，∴△OPK 是等边三角形，∵PD∥OA，∴∠AOP＝∠OPD＝90°，∴∠POH+∠AOC＝90°，∵∠AOC＝60°，∴∠POH＝30°，∴PH＝12OP＝1，OH＝3PH＝3，∴PC＝2222PH CH1(13)523+=++=+，∵AD＝2PC，∴AD2＝4（5+23）＝20+83．如图④中，当PA∥OA时，作PK⊥OB于K，同法可得：PC2＝12+（3﹣1）2＝5﹣23，AD2＝4PC2＝20﹣83．③由题意1≤PC≤3，∴在旋转过程中，点C到PD所在直线的距离d的取值范围为1≤d≤3．【点睛】本题属于圆综合题，考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质，旋转变换，勾股定理，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．13．如图，已知AB是⊙O的直径，BC是弦，弦BD平分∠ABC交AC于F，弦DE⊥AB于H，交AC于G．①求证：AG＝GD；②当∠ABC满足什么条件时，△DFG是等边三角形？③若AB＝10，sin∠ABD＝35，求BC的长．【答案】（1）证明见解析；（2）当∠ABC＝60°时，△DFG是等边三角形．理由见解析；（3）BC 的长为145． 【解析】【分析】 （1）首先连接AD ，由DE ⊥AB ，AB 是O e 的直径，根据垂径定理，即可得到¶¶AD AE =，然后根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，证得∠ADE ＝∠ABD ，又由弦BD 平分∠ABC ，可得∠DBC ＝∠ABD ，根据等角对等边的性质，即可证得AG=GD ；（2）当∠ABC=60°时，△DFG 是等边三角形，根据半圆（或直径）所对的圆周角是直角与三角形的外角的性质，易求得∠DGF=∠DFG=60°，即可证得结论；（3）利用三角函数先求出tan ∠ABD 34=，cos ∠ABD ＝45，再求出DF 、BF ，然后即可求出BC.【详解】（1）证明：连接AD ，∵DE ⊥AB ，AB 是⊙O 的直径，∴¶¶AD AE =，∴∠ADE ＝∠ABD ，∵弦BD 平分∠ABC ，∴∠DBC ＝∠ABD ，∵∠DBC ＝∠DAC ，∴∠ADE ＝∠DAC ，∴AG ＝GD ；（2）解：当∠ABC ＝60°时，△DFG 是等边三角形．理由：∵弦BD 平分∠ABC ，∴∠DBC ＝∠ABD ＝30°，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°，∴∠CAB ＝90°﹣∠ABC ＝30°，∴∠DFG ＝∠FAB+∠DBA ＝60°，∵DE ⊥AB ，∴∠DGF ＝∠AGH ＝90°﹣∠CAB ＝60°，∴△DGF 是等边三角形；（3）解：∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB ＝∠ACB ＝90°，∵∠DAC ＝∠DBC ＝∠ABD ，∵AB ＝10，sin ∠ABD ＝35， ∴在Rt △ABD 中，AD ＝AB•sin ∠ABD ＝6，∴BD8，∴tan ∠ABD ＝34AD BD ，cos ∠ABD ＝4=5BD AB ， 在Rt △ADF 中，DF ＝AD•tan ∠DAF ＝AD•tan ∠ABD ＝6×34＝92， ∴BF ＝BD ﹣DF ＝8﹣92＝72， ∴在Rt △BCF 中，BC ＝BF•cos ∠DBC ＝BF•cos ∠ABD ＝72×45＝145． ∴BC 的长为：145．【点睛】此题考查了圆周角定理、垂径定理、直角三角形的性质、三角函数的性质以及勾股定理等知识．此题综合性较强，难度较大，解题的关键是掌握数形结合思想与转化思想的应用，注意辅助线的作法．14．如图，AB 是半圆⊙O 的直径，点C 是半圆⊙O 上的点，连接AC ，BC ，点E 是AC 的中点，点F 是射线OE 上一点．（1）如图1，连接FA ，FC ，若∠AFC ＝2∠BAC ，求证：FA ⊥AB ；（2）如图2，过点C 作CD ⊥AB 于点D ，点G 是线段CD 上一点（不与点C 重合），连接FA ，FG ，FG 与AC 相交于点P ，且AF ＝FG ．①试猜想∠AFG 和∠B 的数量关系，并证明；②连接OG ，若OE ＝BD ，∠GOE ＝90°，⊙O 的半径为2，求EP 的长．【答案】（1）见解析；（2）①结论：∠GFA ＝2∠ABC ．理由见解析；②PE 3． 【解析】【分析】 （1）证明∠OFA ＝∠BAC ，由∠EAO +∠EOA ＝90°，推出∠OFA +∠AOE ＝90°，推出∠FAO ＝90°即可解决问题．（2）①结论：∠GFA＝2∠ABC．连接FC．由FC＝FG＝FA，以F为圆心FC为半径作⊙F．因为»»=，推出∠GFA＝2∠ACG，再证明∠ACG＝∠ABC．AG AG②图2﹣1中，连接AG，作FH⊥AG于H．想办法证明∠GFA＝120°，求出EF，OF，OG即可解决问题．【详解】（1）证明：连接OC．∵OA＝OC，EC＝EA，∴OF⊥AC，∴FC＝FA，∴∠OFA＝∠OFC，∵∠CFA＝2∠BAC，∴∠OFA＝∠BAC，∵∠OEA＝90°，∴∠EAO+∠EOA＝90°，∴∠OFA+∠AOE＝90°，∴∠FAO＝90°，∴AF⊥AB．（2）①解：结论：∠GFA＝2∠ABC．理由：连接FC．∵OF垂直平分线段AC，∴FG＝FA，∵FG＝FA，∴FC＝FG＝FA，以F为圆心FC为半径作⊙F．∵»»AG AG=，∴∠GFA＝2∠ACG，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB ＝90°，∵CD ⊥AB ，∴∠ABC +∠BCA ＝90°，∵∠BCD +∠ACD ＝90°，∴∠ABC ＝∠ACG ，∴∠GFA ＝2∠ABC ．②如图2﹣1中，连接AG ，作FH ⊥AG 于H ．∵BD ＝OE ，∠CDB ＝∠AEO ＝90°，∠B ＝∠AOE ，∴△CDB ≌△AEO （AAS ），∴CD ＝AE ，∵EC ＝EA ，∴AC ＝2CD ．∴∠BAC ＝30°，∠ABC ＝60°，∴∠GFA ＝120°，∵OA ＝OB ＝2，∴OE ＝1，AE ＝，BA ＝4，BD ＝OD ＝1， ∵∠GOE ＝∠AEO ＝90°，∴OG ∥AC ， 323DG OG ∴==, 22221AG DG AD ∴=+=， ∵FG ＝FA ，FH ⊥AG ，∴AH ＝HG 21∠AFH ＝60°， ∴AF ＝27sin 603AH ︒=， 在Rt △AEF 中，EF 2213AF AE -=， ∴OF ＝OE +EF ＝43 ， ∵PE ∥OG ， ∴PE EF OG 0F=，∴1342333PE，∴PE＝36．【点睛】圆综合题，考查了垂径定理，勾股定理，圆周角定理，全等三角形的判定和性质，锐角三角函数，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题.15．如图1，⊙O的直径AB=12，P是弦BC上一动点（与点B，C不重合），∠ABC=30°，过点P作PD⊥OP交⊙O于点D．（1）如图2，当PD∥AB时，求PD的长；（2）如图3，当弧DC=弧AC时，延长AB至点E，使BE=12AB，连接DE．①求证：DE是⊙O的切线；②求PC的长．【答案】（1）26；（2）①证明见解析；②33﹣3．【解析】试题分析：（1）根据题意首先得出半径长，再利用锐角三角三角函数关系得出OP，PD的长；（2）①首先得出△OBD是等边三角形，进而得出∠ODE=∠OFB=90°，求出答案即可；②首先求出CF的长，进而利用直角三角形的性质得出PF的长，进而得出答案．试题解析：（1）如图2，连接OD，∵OP⊥PD，PD∥AB，∴∠POB=90°，∵⊙O的直径AB=12，∴OB=OD=6，在Rt△POB中，∠ABC=30°，∴OP=OB•tan30°=6×=2，在Rt△POD中，PD===；（2）①如图3，连接OD，交CB于点F，连接BD，∵，∴∠DBC=∠ABC=30°，∴∠ABD=60°，∵OB=OD，∴△OBD是等边三角形，∴OD⊥FB，∵BE=AB，∴OB=BE，∴BF∥ED，∴∠ODE=∠OFB=90°，∴DE是⊙O的切线；②由①知，OD⊥BC，∴CF=FB=OB•cos30°=6×=3，在Rt△POD中，OF=DF，∴PF=DO=3（直角三角形斜边上的中线，等于斜边的一半），∴CP=CF﹣PF=3﹣3．考点：圆的综合题。

2022-2023学年北师大版九年级数学下册《第3章圆》单元综合练习题(附答案)

2022-2023学年北师大版九年级数学下册《第3章圆》单元综合练习题(附答案)

2022-2023学年北师大版九年级数学下册《第3章圆》单元综合练习题（附答案）一．选择题1．已知扇形的半径为6，圆心角为120°，则它的面积是（）A．B．3πC．5πD．12π2．如图，CD是⊙O的直径，A，B是⊙O上的两点，若∠ABD＝15°，则∠ADC的度数为（）A．55°B．65°C．75°D．85°3．如图，OA是⊙O的半径，弦BC⊥OA，垂足为D．连接AC．若BC＝，AC＝3，则⊙O的半径长为（）A．9B．8C．D．34．如图，⊙O的半径为，AB与CD为⊙O的两条平行弦，∠CDE＝30°，AD＝2，则弦BE的长为（）A．3B．3.5C．D．5．如图，在正方形网格中，点A，B，C，D，O都在格点上．下列说法正确的是（）A．点O是△ABC的内心B．点O是△ABC的外心C．点O是△ABD的内心D．点O是△ABD的外心6．如图，在平面直角坐标系中，以M（2，4）为圆心，AB为直径的圆与x轴相切，与y 轴交于A，C两点，则点B的坐标是（）A．（4﹣2，4）B．（4，4﹣）C．（4，4﹣2）D．（4，2﹣3）7．我国古代数学家刘徽利用圆内接正多边形创立了“割圆术”，现将半径为2的圆十二等分构造出2个矩形和1个正方形（如图），则阴影部分的面积是（）A．1B．C．D．8．正六边形的周长为6，则它的面积为（）A．B．C．D．9．如图，⊙O的直径AB为10cm，弦BC为8cm，∠ACB的平分线交⊙O于点D，△ADB 的内切圆半径是（）A．B．5（﹣1）C．5（+1）D．10．如图，AB是⊙O的直径，∠ACB的平分线交⊙O于点D，连接AD，BD，给出下列四个结论：①∠ACB＝90°；②△ABD是等腰直角三角形；③AD2＝DE•CD；④AC+BC＝CD，其中正确的结论个数是（）A．4个B．3个C．2个D．1个二．填空题11．点P为⊙O外一点，直线PO与⊙O的两个公共点为A、B，过点P作⊙O的切线，点C为切点，连接AC．若∠CPO＝50°，则∠CAB为°．12．已知⊙O的半径是4，点P到圆心O的距离d为方程x2﹣4x﹣5＝0的一个根，则点P 在⊙O的．（填“内部”、“外部”、“上”）13．如图，矩形ABCD中，E，F分别是边AB，BC上的两个动点，将△BEF沿着直线EF 作轴对称变换，得到△B′EF，点B′恰好在边AD上，过点D，F，B′作⊙O，连结OF．若OF⊥BC，AB′＝CF＝3时，则AE＝．14．李老师制作了如图1所示的学具，用来探究“边边角条件是否可确定三角形的形状”问题．操作学具时，点Q在轨道槽AM上运A动，点P既能在以A为圆心、以8为半径的半圆轨道槽上运动，也能在轨道槽QN上运动．图2是操作学具时，所对应某个位置的图形的示意图．有以下结论：①当∠P AQ＝30°，PQ＝6时，可得到形状唯一确定的△P AQ；②当∠P AQ＝90°，PQ＝10时，可得到形状唯一确定的△P AQ；③当∠P AQ＝150°，PQ＝12时，可得到形状唯一确定的△P AQ；其中所有正确结论的序号是．15．如图，点A，B，C，D在⊙O上，弧CB＝弧CD，∠CAD＝28°，∠ACD＝50°，则∠ADB＝．16．如图，在⊙B中，弧AC所对的圆心角∠ABC＝50°，点E是弧AC上的动点，以BC、CE为邻边构造平行四边形BCED．当∠A＝°时，线段AD最短．三．解答题17．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点E是BC的中点，以AC为直径的⊙O与AB 边交于点D，连接DE．（1）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若CD＝6，DE＝5，求⊙O的直径．18．如图，线段AB＝10，AC＝8，点D，E在以AB为直径的半圆O上，且四边形ACDE 是平行四边形，过点O作OF⊥DE于点F，求AE的长．19．如图，半圆O的直径是AB，AD、BC是两条切线，切点分别为A、B，CO平分∠BCD．（1）求证：CD是半圆O的切线．（2）若AD＝20，CD＝50，求BC和AB的长．20．如图，BD是⊙O的直径，点A，C在⊙O上，＝，AC交BD于点G．若∠COD ＝126°，求∠AGB的度数．21．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是△ABC的角平分线，以BD为直径的⊙O交AB 于点E，交AD的延长线于点F，连结EF，BF．（1）求证：EF＝BF．（2）若CD：BD＝1：3，AC＝2，求EF的长．22．如图，有一个直径MN＝4的半圆形纸片，其圆心为点P，从初始阶段Ⅰ位置开始，在无滑动的情况下沿数轴向右翻滚至位置Ⅴ，其中位置Ⅰ中的MN平行于数轴，且半⊙P 与数轴相切于原点O；位置Ⅱ和位置Ⅳ中的MN垂直于数轴；位置Ⅲ中的MN在数轴上；位置Ⅴ中的点N到数轴的距离为3，且半⊙P与数轴相切于点A．解答下列问题：（1）位置Ⅰ中的MN与数轴之间的距离为；位置Ⅱ中的半⊙P与数轴位置关系是；（2）求位置Ⅲ中的圆心P在数轴上表示的数；（3）纸片半⊙P从位置Ⅲ翻滚到位置Ⅳ时，求点N所经过路径长及该纸片所扫过的图形的面积；（4）求OA的长．（结果保留π）23．如图，AB是⊙O的直径，CA与⊙O相切于点A，且CA＝BA．连接OC，过点A作AD ⊥OC于点E，交⊙O于点D，连接DB．（1）求证：△ACE≌△BAD；（2）连接CB交⊙O于点M，交AD于点N．若AD＝12，求MN的长．参考答案一．选择题1．解：S扇形＝＝12π，故选：D．2．解：∵CD是直径，∴∠CAD＝90°，∵∠ACD＝∠ABD＝15°，∴∠ADC＝90°﹣15°＝75°，故选：C．3．解：连接AC，OC，∵CD⊥OA，垂足为D，BC＝，∴∠ADC＝∠ODC＝90°，CD＝BC＝，∵AC＝3，∴AD＝，∵OA＝OC，∴OD＝OC﹣AD＝OC﹣1，在Rt△OCD中，OC2＝CD2+OD2，即OC2＝（）2+（OC﹣1）2，解得OC＝，即⊙O的半径长为，故选：C．4．解：∵AB∥CD，连接OC，OE，BC、CE，∵∠CDE＝30°，∴∠COE＝60°，∠CBE＝∠CDE＝30°，∴△OCE是等边三角形，∴CE＝，过点C作CH⊥BE交BE于点H，在Rt△BCH中，CH＝＝1，BH＝，在Rt△CEH中，，∴．故选：D．5．解：根据点A，B，C，D，O都在正方形网格的格点上．可知：点O到点A，B，D的三点的距离相等，所以点O是△ABD的外心，故选：D．6．解：设以AB为直径的圆与x轴相切于点D，连接MD，BC，则MD⊥x轴，∵点M的坐标为（2，4），∴CE＝BE＝2，BM＝DM＝4，∵AB为圆的直径，∴AC⊥BC，∴BC∥x轴，∴BC＝2CE＝4，在Rt△BME中，由勾股定理得：ME＝＝＝，∴DE＝MD﹣ME＝4﹣，∴点B的坐标为（4，4﹣），故选：C．7．解：如图，连接OA、OB、OC、OD，过点O作OM⊥AD，垂足为M，由圆的对称性可知，点A、点D是⊙O的三等分点，四边形BCFE是正方形，∴∠AOD＝×360°＝120°，∠BOC＝×360°＝90°，在Rt△AOM中，OA＝2，∠AOM＝60°，∴OM＝OA＝1，AM＝OA＝，在Rt△BOM中，∠BOM＝45°，OM＝1，∴BM＝OM＝1，∴AB＝AM﹣BM＝﹣1，∴8个阴影三角形的面积和为：×（﹣1）（﹣1）×8＝16﹣8，故选：C．8．解：如图，连接OB，OC，过O作OM⊥BC于M，∴∠BOC＝×360°＝60°，∵OB＝OC，∴△OBC是等边三角形，∵正六边形ABCDEF的周长为6，∴BC＝6÷6＝1，∴OB＝BC＝1，∴BM＝BC＝，在Rt△BOM中，OM＝＝＝，∴S△OBC＝BC•OM＝×1×＝，∴该六边形的面积为：×6＝．故选：D．9．解：∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∠ADB＝90°，∵AB＝10cm，AC＝6cm，∴BC＝＝8（cm），∵∠ACB的平分线交⊙O于D，∴∠ACD＝∠BCD，∴AD＝BD，∵∠ADB＝90°，∴AD2+BD2＝AD2，∴AD2+AD2＝102，∴AD＝5cm，∴AD＝BD＝5cm；∴△ABD等腰直角三角形，设△ABD内切圆的圆心为I，与AD，BD，AB切于点E，G，F，半径为rcm，得正方形DGIE，∴AE＝AF＝BG＝BF＝AD﹣DE＝5﹣r，∴5﹣r+5﹣r＝10，解得r＝5（﹣1）cm，∴△ADB的内切圆半径是5（﹣1）cm．故选：B．10．解：如图，延长CA到点F，使AF＝BC，连接DF，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，故①正确；∵∠ACB的平分线交⊙O于点D，∴∠ACD＝∠BCD，∴＝，∴AD＝BD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴△ABD是等腰直角三角形，故②正确；∴＝，∴∠ACD＝∠EAD，∵∠ADC＝∠EDA，∴△ADC∽△EDA，∴＝，∴AD2＝DE•CD，故③正确；∵四边形ADBC是⊙O的内接四边形，∴∠F AD＝∠DBC，在△F AD和△DBC中，，∴△F AD≌△DBC（SAS），∴FD＝CD，∠ADF＝∠BDC，∵∠ADC+∠BDC＝90°，∴∠ADC+∠ADF＝90°，∴∠FDC＝90°，∴△CDF是等腰直角三角形，∴CF＝CD，∴AC+AF＝AC+BC＝CD，故④正确．∴正确的结论是①②③④．故选：A．二．填空题11．解：如图1，∵PC是⊙O的切线，∴OC⊥PC，∴∠OCP＝90°，∵∠CPO＝50°，∴∠OCP＝40°，∵OC＝OA，∴∠A＝∠ACO＝∠OCP＝20°；如图2，∠CBA＝20°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠CAB＝70°．综合以上可得∠CAB为20°或70°．故答案为：20或70．12．解：解方程x2﹣4x﹣5＝0，得x＝5或﹣1，∵d＞0，∴d＝5，∵⊙O的半径为4，∴d＞r，∴点P在⊙O外．故答案为：外部．13．解：延长FO交AD于点J，设AE＝x．∵四边形ABCD是矩形，∴∠D＝∠C＝∠A＝∠B＝90°，AD∥CB，AD＝BC，∵OF⊥BC，∴FJ⊥AD，∴∠AJF＝∠FJD＝90°，∴四边形ABFJ是矩形，四边形CDJF是矩形，∴AB＝FJ＝CD，CF＝DJ＝3，∵OJ⊥DB′，∴DJ＝JB′＝3，∴AD＝BC＝3+3+3＝9，∴BF＝BC﹣CF＝6，由翻折的性质可知，FB＝FB′＝6，∴FJ＝＝＝3，∴AB＝JF＝3，在Rt△AEB′中，则有x2+32＝（3﹣x）2，∴x＝，∴AE＝．故答案为：．14．解：①当∠P AQ＝30°，PQ＝6时，以P为圆心，6为半径画弧，与射线AM有两个交点，则△P AQ的形状不能唯一确定，故①错误；②当∠P AQ＝90°，PQ＝10时，以P为圆心，10为半径画弧，与射线AM有一个交点，Q点位置唯一确定，则可得到形状唯一确定的△P AQ，故②正确；③当∠P AQ＝150°，PQ＝12时，以P为圆心，12为半径画弧，与射线AM有一个交点，Q点位置唯一确定，则可得到形状唯一确定的△P AQ，故③正确；故答案为：②③．15．解：∵＝，∠CAD＝28°，∴∠CAD＝∠CAB＝28°，∴∠DBC＝∠DAC＝28°，∵∠ACD＝50°，∴∠ABD＝∠ACD＝50°，∴∠ADB＝180°﹣∠DAB﹣∠ABD＝180°﹣50°﹣28°﹣28°＝74°．故答案为：74°．16．解：如图，延长CB交⊙B于点F，连接BE，AF，DF．∵四边形BCED是矩形，∴BC＝DE，BC∥DE，∴BF＝BC＝DE，BF∥DE，∴四边形BEDFF是平行四边形，∴FD＝BE＝定值，∴点的运动轨迹是以F为圆心，FB长为半径的圆，∵AD≥AF﹣DF，AF，DF是定值，∴当A，D，F共线时，AD最短，此时∠BAD＝∠AFB＝∠ABC＝25°，故答案为：25．三．解答题17．解：（1）直线DE与⊙O相切，理由：连接DO，如图，∵∠BDC＝90°，E为BC的中点，∴DE＝CE＝BE，∴∠EDC＝∠ECD，又∵OD＝OC，∴∠ODC＝∠OCD，而∠OCD+∠DCE＝∠ACB＝90°，∴∠EDC+∠ODC＝90°，即∠EDO＝90°，∴DE⊥OD，∵OD是⊙O的半径，∴DE与⊙O相切；（2）由（1）得，∠CDB＝90°，∵CE＝EB，∴DE＝BC，∴BC＝10，∴BD＝＝＝8，∵∠BCA＝∠BDC＝90°，∠B＝∠B，∴△BCA∽△BDC，∴＝，∴，∴，∴⊙O直径的长为．18．解：过点E作EG⊥AB于点G，连接OE，则OE＝OA＝，∠EGO＝90°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴DE＝AC＝8，DE∥AB，∵OF⊥DE，即∠OFE＝90°，∴EF＝＝4，∠FOG＝∠OFE＝90°，∴四边形OFEG是矩形，∴OG＝EF＝4，∴AG＝5﹣4＝1，在Rt△OEG中，EG＝，在Rt△AGE中，AE＝．19．（1）证明：过点O作OE⊥CD，垂足为点E，∵BC是半圆O的切线，B为切点，∴OB⊥BC，∵CO平分∠BCD，∴OE＝OB，∵OB是半圆O的半径，∴CD是半圆O的切线；（2）解：过点D作DF⊥BC，垂足为点F，∴∠DFB＝90°，∵AD是半圆O的切线，切点为A，∴∠DAO＝90°，∵OB⊥BC，∴∠OBC＝90°，∴四边形ADFB是矩形，∴AD＝BF＝20，DF＝AB，∵AD，CD，BC是半圆O的切线，切点分别为A、E、B，∴DE＝AD＝20，EC＝BC，∵CD＝50，∴EC＝CD﹣DE＝50﹣20＝30，∴BC＝30，∴CF＝BC﹣BF＝10，在Rt△CDF中，由勾股定理得：DF＝＝＝20，∴AB＝DF＝20，∴BC的长为30，AB的长为20．20．解：∵BD是⊙O的直径，∴∠BAD＝90°，∵，∴∠B＝∠D＝45°，∵∠DAC＝∠COD＝×126°＝63°，∴∠AGB＝∠DAC+∠D＝63°+45°＝108°．所以∠AGB的度数为108°．21．（1）证明：连接DE，如图，∵BD为直径，∴∠DBF＝∠DEB＝90°，∵AD是△ABC的角平分线，∴∠1＝∠2，∵∠1+∠4＝90°，∠2+∠ABF＝90°，∴∠4＝∠ABF，∵∠4＝∠5，∠5＝∠6，∴∠6＝∠ABF，∴EF＝BF；（2）解：∵AD平分∠CAB，DC⊥AC，DE⊥AB，∴DE＝DC，∵CD：BD＝1：3，∴DE：BD＝1：3，∵∠DEB＝∠C，∠DBE＝∠ABC，∴△BDE∽△BAC，∴＝，∴＝＝3，∴AB＝3AC＝3×2＝6，∴BC＝＝＝8，∴CD＝BC＝2，∴AD＝＝2，∵∠1＝∠2，∠C＝∠AFB，∴△ACD∽△AFB，∴＝，即＝，∴BF＝2，∴EF＝2．22．解：（1）∵⊙P的直径MN＝4，∴⊙P的半径＝2，∵⊙P与直线有一个交点，∴位置Ⅰ中的MN与数轴之间的距离为2；位置Ⅱ中的半⊙P与数轴的位置关系是相切；故答案为：2，相切；（2）位置Ⅲ中的长与数轴上线段ON相等，∵的长为＝π，NP＝2，∴位置Ⅲ中的圆心P在数轴上表示的数为π+2；（3）由弧长公式可得，点N所经过路径长为＝2π，∵S半圆＝＝2π，S扇形＝＝4π，∴半⊙P所扫过图形的面积为2π+4π＝6π；（4）如图，作NC垂直数轴于点C，作PH⊥NC于点H，连接P A，则四边形PHCA为矩形．在Rt△NPH中，PN＝2，NH＝NC﹣HC＝NC﹣P A＝1，于是sin∠NPH＝＝，∴∠NPH＝30°．∴∠MP A＝60°．从而的长为＝，∴OA的长为：π+4+π＝π+4．23．（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵AD⊥OC，∴∠AEC＝90°，∴∠ADB＝∠AEC，∵CA是⊙O的切线，∴∠CAO＝90°，∴∠ACE＝∠BAD，在△ACE和△BAD中，，∴△ACE≌△BAD（AAS）；（2）解：连接AM，如图，∵AD⊥OC，AD＝12，∴AE＝DE＝AD＝6，∵△ACE≌△BAD，∴BD＝AE＝6，CE＝AD＝12，在Rr△ABD中，AB＝＝6，在Rt△ABC中，BC＝＝6，∵∠CEN＝∠BDN＝90°，∠CNE＝∠BND，∴△CEN∽△BDN，∴＝＝2，∴BN＝BC＝2，∵AB是⊙O的直径，∴∠AMB＝90°，即AM⊥CB，∵CA＝BA，∠CAB＝90°，∴BM＝BC＝3，∴MN＝BM﹣BN＝．。

九年级《圆》综合练习题

九年级《圆》综合练习题

九年级《圆》综合练习题1、下列命题中，正确的是（）A.平分弦的直线必垂直于这条弦 B.垂直于弦的直线必过圆心 C.平分弦的直径必垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧 D.垂直平分弦的直线必平分这条弦所对的弧2、半径为5的圆内有两条平行弦，分别长6和8，则两弦间的距离为（）A.1B.4C.7D.1或73、三角形的外心是三条（）的交点. A.高 B.垂直平分线 C.角平分线 D.中线4、已知等腰△ABC的腰AB=4厘米，若以A为圆心，2厘米为半径的圆与BC相切，则∠BAC等于A.30°B.60°C.90°D.120°5、如图9-13，PA切⊙O于A，PB切⊙O于B，∠APB=90°，OP=4，则⊙O的半径长为（）A.2 B.4 C. D.26、△ABC中，AB=3，AC=4，∠A=90°，把△ABC绕直线AC旋转一周，得到一个圆锥，其表面积为S1，把△ABC 绕直线AB旋转一周，得到一个圆锥，其表面积为S2，则S1∶S2等于（）A.2∶3B.3∶4C.4∶9D.39∶567、若⊙O的半径为8，点P在⊙O内部，则线段PO的长度范围是________________.8、△ABC中，AB=AC=10厘米，BC=12厘米，若要剪一张圆形纸片盖住这个三角形，则这个圆形纸片的最小半径是_____________厘米.9、⊙O的直径为10，且O到直线l的距离为8，则直线l与⊙O的位置关系是________________.10、两圆的半径之比为4∶3，外切时两圆圆心距是28厘米，则两圆内切时的圆心距为___________________.11、任意一个五边形，以每个顶点为圆心作半径为R的等圆，如图9-14所示，则阴影部分面积为___________________.12、粮仓的顶部是一个圆锥形，其底面周长为32米，母线长为7米，为防雨需在粮仓顶部铺上油毡，需用________________平方米的油毡.（不计接头）13、如图9-15，一个残破的圆轮，为了再制作一个同样大小的圆轮，请用圆规、直尺作出它的圆心和半径.14、在半径为5厘米的圆中有一个内接等腰三角形，等腰三角形的底边长为8厘米，求等腰三角形的周长.15、如图9-16，已知两同心圆，大圆的弦AB切小圆于M，若环形的面积为9π，求AB的长.16、已知AB为⊙O的直径，P为AB弧的中点.（1）若⊙O′与⊙O外切于点P（见图9-17甲），AP，BP的延长线分别交⊙O′于点C、D，连结CD，则△PCD是_____________三角形；（2）⊙O′与⊙O相交于点P，Q（见图9-17乙），连结AQ、BQ并延长分别交⊙O′于点E、F，请选择下列两个问题中的一个作答：问题一：判断△PEF的形状，并证明你的结论；问题二：判断线段AE与BF的关系，并证明你的结论.我选择问题_____________________________，结论：_______________________________.证明：甲乙17、实践探究如图，某工地工人为了用起重机吊起两根半径为10厘米和30厘米的钢管，需要先用钢丝绳把两根钢管扎紧，问扎紧这两根钢管的钢丝绳至少要多长？（打节部分不计，精确到0.1厘米）。

2022年沪科版九年级数学下册第24章圆综合测试试题(含答案及详细解析)

2022年沪科版九年级数学下册第24章圆综合测试试题(含答案及详细解析)

沪科版九年级数学下册第24章圆综合测试考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、点P(－3，1)关于原点对称的点的坐标是（）A．(－3，1) B．(3，1) C．(3，－1) D．(－3，－1)2、如图，AB为O的直径，C为D外一点，过C作O的切线，切点为B，连接AC交O于D，38∠=︒，点E在AB右侧的半圆周上运动（不与A，B重合），则AEDC∠的大小是（）A．19°B．38°C．52°D．76°3、ABC的边BC经过圆心O，AC与圆相切于点A，若20∠=︒，则CB∠的大小等于（）A ．50︒B ．25︒C ．40︒D ．20︒4、随着2022年北京冬奥会日渐临近，我国冰雪运动发展进入快车道，取得了长足进步．在此之前，北京冬奥组委曾面向全球征集2022年冬奥会会徵和冬残奥会会徽设计方案，共收到设计方案4506件，以下是部分参选作品，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．5、如图，PA 是O 的切线，切点为A ，PO 的延长线交O 于点B ，若40P ∠=︒，则B 的度数为（ ）．A ．20°B ．25°C ．30°D ．40°6、下列叙述正确的有( )个.（1）y y =随着x 的增大而增大； （2）如果直角三角形斜边的长是斜边上的高的4倍，那么这个三角形两个锐角的度数分别是75和15；（3）斜边为BC 的直角三角形顶点A 的轨迹是以BC 中点为圆心，BC 长为直径的圆；（4）三角形三边的垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等；（5）以2211(1)22m m m m -+>、、为三边长度的三角形，不是直角三角形． A ．0 B ．1 C ．2 D ．37、如图，A ，B ，C ，D 都是O 上的点，OA BC ⊥，垂足为E ，若26OBC ∠=︒，则ADC ∠的度数为（ ）A ．26︒B ．32︒C ．52︒D ．64︒8、如图是一个含有3个正方形的相框，其中∠BCD ＝∠DEF ＝90°，AB ＝2，CD ＝3，EF ＝5，将它镶嵌在一个圆形的金属框上，使A ，G ， H 三点刚好在金属框上，则该金属框的半径是（ ）A B C ．D 9、如图，C 与AOB ∠的两边分别相切，其中OA 边与C 相切于点P ．若90AOB ∠=︒，4OP =，则OC 的长为（ ）A ．8B ．C ．D ．10、如图，四边形ABCD 内接于O ，如果它的一个外角64DCE ︒∠=，那么BOD ∠的度数为（ ）A ．20︒B ．64︒C ．116︒D ．128︒第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，D 是ABC 内的一个动点，满足222AC AD CD -=．若AB =4BC =，则BD 长的最小值为_______．2、如图，在平行四边形ABCD 中，7AB =，3AD =，120A ︒∠=，以点B 为圆心，BC 为半径的圆弧交AB 于点E ，连接DE ，则图中黑色阴影部分的面积为________．（结果保留π）3、如图，已知，在ABC 中，AB AC =，30BAC ∠=︒．将ABC 绕点A 逆时针旋转一个α角()0180α︒<<︒至ADE 位置，连接BD ，CE 交于点F ．（I ）求证：ABD ACE △△≌；（2）若四边形ABFE 为菱形，求α的值；（3）在（2）的条件下，若2AB =，直接写出CF 的值．4、如图，A 与x 轴交于()2,0B 、()4,0C 两点，3OA =，点P 是y 轴上的一个动点，PD 切O 于点D ，则△ABD 的面积的最大值是________；线段PD 的最小值是________．5、如图，将半径为10cm 的圆形纸片沿一条弦AB 折叠，折叠后弧AB 的中点C 与圆心O 重叠，则弦AB 的长度为________cm ．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、如图，抛物线y ＝－212x ＋32x ＋2与x 轴负半轴交于点A ，与y 轴交于点B ． （1）求A ，B 两点的坐标；（2）如图1，点C 在y 轴右侧的抛物线上，且AC ＝BC ，求点C 的坐标；（3）如图2，将△ABO 绕平面内点P 顺时针旋转90°后，得到△DEF （点A ，B ，O 的对应点分别是点D ，E ，F ），D ，E 两点刚好在抛物线上．①求点F 的坐标；②直接写出点P 的坐标．2、已知，P 是直线AB 上一动点（不与A ，B 重合），以P 为直角顶点作等腰直角三角形PBD ，点E 是直线AD 与△PBD 的外接圆除点D 以外的另一个交点，直线BE 与直线PD 相交于点F ．（1）如图，当点P 在线段AB 上运动时，若∠DBE ＝30°，PB ＝2，求DE 的长；（2）当点P在射线AB上运动时，试探求线段AB，PB，PF之间的数量关系，并给出证明．⊥，并经过圆心O）．3、如图，已知弓形的长12AB=，弓高2CD=，（CD AB（1）请利用尺规作图的方法找到圆心O；（2）求弓形所在O的半径的长．4、下面是小明设计的“作圆的内接等腰直角三角形”的尺规作图过程.已知：⊙O.求作：⊙O的内接等腰直角三角形ABC.作法：如图，①作直径AB；②分别以点A, B为圆心，以大于12AB的长为半径作弧，两弧交于M点；③作直线MO交⊙O于点C，D；④连接AC，BC．所以△ABC就是所求的等腰直角三角形.根据小明设计的尺规作图过程，解决下面的问题：（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明.证明：连接MA，MB．∵MA=MB，OA=OB，∴MO是AB的垂直平分线．∴AC= ．∵AB是直径,∴∠ACB= ( ) (填写推理依据) ．∴△ABC是等腰直角三角形．5、解题与遐想．如图，Rt△ABC的内切圆与斜边AB相切于点D，AD＝4，BD＝5．求Rt△ABC的面积．王小明：这道题算出来面积刚好是20，太凑巧了吧．刚好是4×5＝20，有种白算的感觉…赵丽华：我把4和5换成m、n再算一遍，△ABC的面积总是m•n!确实非常神奇了…数学刘老师：大家想一想，既然结果如此简单到极致，不计算能不能得到呢？比如，拼图？霍佳：刘老师，我在想另一个东西，这个图能不能尺规画出来啊感觉图都定了．我怎么想不出来呢？计算验证（1）通过计算求出Rt△ABC的面积．拼图演绎（2）将Rt△ABC分割放入矩形中（左图），通过拼图能直接“看”出“20”请在图中画出拼图后的4个直角三角形甲、乙、丙、丁的位置，作必要标注并简要说明．尺规作图（3）尺规作图：如图，点D在线段AB上，以AB为斜边求作一个Rt△ABC，使它的内切圆与斜边AB 相切于点D．（保留作图的痕迹，写出必要的文字说明）-参考答案-一、单选题1、C【分析】据平面直角坐标系中任意一点P （x ，y ），关于原点的对称点是（-x ，-y ），然后直接作答即可．【详解】解：根据中心对称的性质，可知：点P （-3，1）关于原点O 中心对称的点的坐标为（3，-1）． 故选：C ．【点睛】本题考查关于原点对称的点坐标的关系，是需要熟记的基本问题，记忆方法可以结合平面直角坐标系的图形．2、B【分析】连接,BD 由AB 为O 的直径，求解903852,CBD ∠=︒-︒=︒ 结合CB 为O 的切线，求解905238,ABD ABC DBC ∠=∠-∠=︒-︒=︒ 再利用圆周角定理可得答案.【详解】解：连接,BD AB 为O 的直径，90,90,ADB BDC ∴∠=︒∠=︒38,C ∠=︒903852,CBD ∴∠=︒-︒=︒CB 为O 的切线，90,905238,ABC ABD ABC DBC ∴∠=︒∠=∠-∠=︒-︒=︒38,AED ABD ∴∠=∠=︒故选B【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理，直径所对的圆周角是直角，圆周角定理，切线的性质定理，熟练运用以上知识逐一求解相关联的角的大小是解本题的关键.3、A【分析】连接OA ，根据圆周角定理求出AOC ∠，根据切线的性质得到90OAC ∠=︒，根据直角三角形的性质计算，得到答案．【详解】解：连接OA ，20B ︒∠=，240AOC B ∴∠=∠=︒， AC 与圆相切于点A ，90OAC ∴∠=︒，904050C ∴∠=︒-︒=︒，故选：A ．【点睛】本题考查的是切线的性质、圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．4、C【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【详解】A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；B．不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意；C．是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项合题意；D．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意．故选：C．【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．5、B【分析】连接OA，如图，根据切线的性质得∠PAO=90°，再利用互余计算出∠AOP=50°，然后根据等腰三角形的性质和三角形外角性质计算∠B的度数．【详解】解：连接OA，如图，∵PA是⊙O的切线，∴OA ⊥AP ，∴∠PAO =90°，∵∠P =40°，∴∠AOP =50°，∵OA =OB ，∴∠B =∠OAB ，∵∠AOP =∠B +∠OAB ，∴∠B =12∠AOP=12×50°=25°．故选：B ．【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．6、D【分析】根据反比例函数的性质，得当0x <或者0x >时，y 随着x 的增大而增大；根据直径所对圆周角为直角的性质，得斜边为BC 的直角三角形顶点A 的轨迹是以BC 中点为圆心，BC 长为直径的圆；根据垂直平分线的性质，得三角形三边的垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等；根据勾股定理逆定理、完全平方公式的性质计算，可判断直角三角形，即可完成求解．【详解】y =当0x <或者0x >时，y 随着x 的增大而增大，故（1）不正确； 如果直角三角形斜边的长是斜边上的高的4倍，那么这个三角形两个锐角的度数分别是75和15；，故（2）正确；∵圆的直径所对的圆周角为直角∴斜边为BC 的直角三角形顶点A 的轨迹是以BC 中点为圆心，BC 长为直径的圆，故（3）正确； 三角形三边的垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等，故（4）正确； ∵224212124m m m ⎛⎫--+= ⎪⎝⎭ ∴242422221211442m m m m m m ⎛⎫-+++++== ⎪⎝⎭∴以2211(1)22m m m m -+>、、为三边长度的三角形，是直角三角形，故（5）错误； 故选：D ．【点睛】本题考查了三角形、垂直平分线、反比例函数、圆、勾股定理逆定理的知识；解题的关键是熟练掌握反比例函数、垂直平分线、圆周角、勾股定理逆定理的性质，从而完成求解．7、B【分析】连接OC ．根据OA BC ⊥确定AC AB =，90OEB ∠=︒，进而计算出AOB ∠，根据圆心角的性质求出AOC ∠，最后根据圆周角的性质即可求出ADC ∠．【详解】解：如下图所示，连接OC ．∵OA BC ⊥，∴AC AB =，90OEB ∠=︒．∴AOC AOB ∠=∠．∵26OBC ∠=︒．∴64AOB ∠=︒．∴64AOC ∠=︒∵ADC ∠和AOC ∠分别是AC 所对的圆周角和圆心角， ∴3122A ADC OC ∠=︒∠=．故选：B ．【点睛】本题考查垂径定理，圆心角的性质，圆周角的性质，综合应用这些知识点是解题关键．8、A【分析】如图，记过A ，G ， H 三点的圆为,Q 则Q 是HG ，AG 的垂直平分线的交点，,QH QG QA 记,PM EF 的交点为,N ,HG PM 的交点为,M 延长AB 交QM 于,P PM 为HG 的垂直平分线，结合正方形的性质可得：,AP PM 再设,PQ x 利用勾股定理建立方程，再解方程即可得到答案.【详解】 解：如图，记过A ，G ， H 三点的圆为,Q 则Q 是HG ，AG 的垂直平分线的交点，,QH QG QA 记,PM EF 的交点为,N ,HG PM 的交点为,M 延长AB 交QM 于,P PM 为HG 的垂直平分线，结合正方形的性质可得：,AP PM四边形HGFE 为正方形，则,HG EF ∥,,QM HG QM EF设,PQ x 而AB ＝2，CD ＝3，EF ＝5，结合正方形的性质可得：5,NQ x而222,HM MQ HQ 115,5,5510,222HM HG EF MN EF MQ x x 222510,4HQ x 又222,AQ PQ AP 而51523,22AP 22215,2AQ x222522510,44x x 解得：5,2x 25225250510.4442AQ 故选A【点睛】本题考查的是正方形的性质，三角形外接圆圆心的确定，圆的基本性质，勾股定理的应用，二次根式的化简，确定过A，G，H三点的圆的圆心是解本题的关键.9、C【分析】如图所示，连接CP，由切线的性质和切线长定理得到∠CPO=90°，∠COP=45°，由此推出CP=OP=4，再根据勾股定理求解即可．【详解】解：如图所示，连接CP，∵OA，OB都是圆C的切线，∠AOB=90°，P为切点，∴∠CPO=90°，∠COP=45°，∴∠PCO=∠COP=45°，∴CP=OP=4，∴OC=，故选C．【点睛】本题主要考查了切线的性质，切线长定理，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理，熟知切线长定理是解题的关键．10、D【分析】由平角的性质得出∠BCD =116°，再由内接四边形对角互补得出∠A =64°，再由圆周角定理即可求得∠BOD =2∠A =128°．【详解】∵64DCE ∠=︒∴18064116BCD ∠=︒-︒=︒∵四边形ABCD 内接于O∴180********A BCD ∠=︒-∠=︒-︒=︒又∵2BOD A ∠=∠∴264128A ∠=⨯︒=︒．故选：D ．【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理，圆内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角；在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．二、填空题1、2【分析】取AC 中点O ，由勾股定理的逆定理可知∠ADC =90°，则点D 在以O 为圆心，以AC 为直径的圆上，作△ADC 外接圆，连接BO ，交圆O 于1D ，则BD 长的最小值即为1BD ，由此求解即可．【详解】解：如图所示，取AC 中点O ，∵222AC AD CD -=，即222=AC AD CD +，∴∠ADC =90°，∴点D 在以O 为圆心，以AC 为直径的圆上，作△ADC 外接圆，连接BO ，交圆O 于1D ，则BD 长的最小值即为1BD ，∵AB =4BC =，∠ACB =90°，∴AC =， ∴1132OC OD AC ===，∴5OB =，∴112BD OB OD =-=，故答案为：2．【点睛】本题主要考查了一点到圆上一点的最短距离，勾股定理的逆定理，勾股定理，解题的关键在于确定点D 的运动轨迹．232π 【分析】过点C 作CH AB ⊥于点H ，根据正弦定义解得CH 的长，再由扇形面积公式、三角形的面积公式解题即可．【详解】解：过点C 作CH AB ⊥于点H ，在平行四边形ABCD 中，120A ∠=︒18012060B ∴∠=︒-︒=︒=sin sin 603CH BC B AD ∴⋅=⨯︒=平行四边形ABCD 的面积为：7AB CH ⨯= 图中黑色阴影部分的面积为：()2216016037323602360BC AE CH ππ⋅⨯⋅⋅-=⨯-=32π，32π． 【点睛】 本题考查平行四边形的性质、扇形面积等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．3、（1）见解析；（2）120°；（3）2【分析】（1）根据旋转的性质和全等三角形的判定解答即可；（2）根据等腰三角形的性质求得∠ABD =90°－12α，∠BAE =α+30°，根据菱形的邻角互补求解即可；（3）连接AF ，根据菱形的性质和全等三角形的性质可求得∠FAC =45°，∠FCA =30°，过F 作FG ⊥AC 于G ，设FG=x ，根据等腰直角三角形的性质和含30°角的直角三角形的性质求解即可．【详解】解：（1）由旋转得：AB=AD ，AC=AE ，∠BAD =∠CAE =α，∵AB=AC ，∴AB=AC =AD=AE ，在△ABD 和△ACE 中，AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ABD ≌△ACE （SAS ）；（2）∵AB=AD ，∠BAD =α，∠BAC =30°，∴∠ABD =（180°－∠BAD ）÷2=（180°－α）÷2=90°－12α，∠BAE =α+30°，∵四边形ABFE 是菱形，∴∠BAE +∠ABD=180°，即α+30°+90°－12α=180°，解得：α=120°；(3)连接AF ，∵四边形ABFE 是菱形，∠BAE =α+30°=150°，∴∠BAF =12∠BAE =75°，又∠BAC =30°，∴∠FAC =75°－30°=45°，∵△ABD ≌△ACE ，∴∠FCA =∠ABD =90°－12α=30°， 过F 作FG ⊥AC 于G ，设FG=x ，在Rt△AGF 中，∠FAG =45°，∠AGF=90°，∴∠AFG =∠FAG =45°，∴△AGF 是等腰直角三角形，∴AG=FG=x ，在在Rt△AGF 中，∠FCG =30°，∠FGC =90°，∴CF =2FG =2x ，CG ==，∵AC=AB=2，又AG+CG=AC ，∴2x =，解得：1x =，∴CF =2x = 2．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、旋转的性质、菱形的性质、等腰三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质、三角形的内角和定理、解一元一次方程等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．4、12 【分析】根据题中点的坐标可得2BC =圆的直径，半径为1，分析ABD 以AB 定长为底，点D 在圆上，高最大为圆的半径，即可得出三角形最大的面积；连接AP ，设点()0,P y ，根据切线的性质及勾股定理可得PD【详解】解：如图所示：当点P 到如图位置时，ABD 的面积最大，∵()2,0B 、()4,0C ，∴2BC =圆的直径，半径为1，∴ABD 以AB 定长为底，点D 在圆上，高最大为圆的半径，如图所示：此时ABD 面积的最大值为：111122⨯⨯=； 如图所示：连接AP ，∵PD 切A 于点D ，∴AD PD ⊥，∴90ADP ∠=︒，设点()0,P y ，在Rt AOP 中，3OA =，OP y =，∴22229AP OA OP y =+=+，在Rt APD 中，1AD =，∴22222918PD AP AD y y =-=+-=+，则PD当0y =时，PD 取得最小值，=故答案为：①12；②【点睛】题目主要考查切线的性质及勾股定理的应用，理解题意，作出相应图形求出解析式是解题关键．5、【分析】连接OC 交AB 于点D ，再连接OA ．根据轴对称的性质确定OC AB ⊥，OD =CD ；再根据垂径定理确定AD =BD ；再根据勾股定理求出AD 的长度，进而即可求出AB 的长度．【详解】解：如下图所示，连接OC 交AB 于点D ，再连接OA ．∵折叠后弧AB 的中点C 与圆心O 重叠，∴OC AB ⊥，OD =CD ．∴AD =BD ．∵圆形纸片的半径为10cm ，∴OA =OC =10cm ．∴OD =5cm ．∴AD =．∴BD =．∴AB AD BD =+=．故答案为：【点睛】本题考查轴对称的性质，垂径定理，勾股定理，综合应用这些知识点是解题关键．三、解答题1、（1）A （-1，0），B （0，2）；（2）点C ）；（3）①求点F 的坐标（1，2）；②点P 的坐标（32，12） 【分析】（1）令x =0，求得y 值，得点B 的坐标；令y =0，求得x 的值，取较小的一个即求A 点的坐标；（2）设C 的坐标为（x ，－212x ＋32x ＋2），根据AC ＝BC ，得到22AC BC =，令t =－212x ＋32x ，解方程即可；（3）①根据题意，得∠BPE =90°，PB =PE 即点P 在线段BE 的垂直平分线上，根据B ，E 都在抛物线上，则B ，E 是对称点，从而确定点P 在抛物线的对称轴上，点F 在BE 上，且BE ∥x 轴，点E （3，2），确定BE =3，根据旋转性质，得EF =BO =2，从而确定点F 的坐标；②根据BE =3，∠BPE =90°，PB =PE ，确定P 到BE 的距离，即可写出点P 的坐标．【详解】（1）令x =0，得y =2，∴点B 的坐标为B （0，2）；令y =0，得－212x ＋32x ＋2=0， 解得 121,4,x x =-=∵点A 在x 轴的负半轴；∴A 点的坐标（-1，0）；（2）设C 的坐标为（x ，－212x ＋32x ＋2）， ∵AC ＝BC ，A （-1，0），B （0，2），∴22AC BC =，∵A （-1，0），B （0，2）， ∴2222221313(1)(2)(22)2222x x x x x x ++-++=+-++-， 即2222221313(1)(2)()2222x x x x x x ++-++=+-+， 设t =－212x ＋32x ， ∴2222(1)(2)x t x t +++=+，∴22222144x x t t x t +++++=+，∴2450x t ++=，∴21324()5022x x x +-++=， 整理，得22850x x --=，解得12x x == ∵点C 在y 轴右侧的抛物线上，∴x =，此时y∴点C ）； （3）①如图，根据题意，得∠BPE =90°，PB =PE 即点P 在线段BE 的垂直平分线上，∵B ，E 都在抛物线上，∴B ，E 是对称点，∴点P 在抛物线的对称轴上，点F 在BE 上，且BE ∥x 轴，∵抛物线的对称轴为直线x =32，B （0，2）， ∴点E （3，2），BE =3，∵EF=BO=2，∴BF=1，∴点F的坐标为（1，2）；②如图，设抛物线的对称轴与BE交于点M，交x轴与点N，∵BE=3，∴BM=32，∵∠BPE=90°，PB=PE，∴PM=BM=32，∴PM=BM=32，∴PN=2-32=12，∴点P的坐标为（32，12）．【点睛】本题考查了抛物线与坐标轴的交点，旋转的性质，两点间的距离公式，一元二次方程的解法，换元法解方程，熟练掌握抛物线的对称性，灵活理解旋转的意义，熟练解一元二次方程是解题的关键．2、（1（2）PF=AB-PB或PF=AB+PB，理由见解析【分析】（1）根据△PBD等腰直角三角形，PB＝2，求出DB的长，由⊙O是△PBD的外接圆，∠DBE＝30°，可得答案；（2）根据同弧所对的圆周角，可得∠ADP=∠FBP，由△PBD等腰直角三角形，得∠DPB=∠APD=90°，DP=BP，可证△APD≌△FPB，可得答案．【详解】解：（1）由题意画以下图，连接EP ，∵△PBD 等腰直角三角形，⊙O 是△PBD 的外接圆， ∴∠DPB =∠DEB =90°，∵PB ＝2，∴DB ，∵∠DBE ＝30°，∴1122DE DB ==⨯=（2）①点P 在点A 、B 之间，由（1）的图根据同弧所对的圆周角相等，可得： ∠ADP =∠FBP ，又∵△PBD 等腰直角三角形，∴∠DPB =∠APD =90°，DP =BP ，在△APD 和△FPB 中ADP FBP DP BPDPB APD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△APD ≌△FPB∴AP =FP ，∵AP +PB =AB∴FP +PB =AB ，∴FP =AB -PB ，②点P 在点B 的右侧，如下图：∵△PBD 等腰直角三角形，∴∠DPB =∠APF =90°，DP =BP ，∵∠PBF+∠EBP =180°，∠PDA +∠EBP =180°，∴∠PBF =∠PDA ，在△APD 和△FPB 中DPB APF DP BPPBF PDA ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△APD ≌△FPB∴AP =FP ，∴AB +PB =AP ，∴AB +PB =PF ，∴PF = AB +PB ．综上所述，FP =AB -PB 或PF = AB +PB ．【点睛】本题考查了圆的性质，等腰直角三角形，三角形全等的判定，做题的关键是注意（2）的两种情况． 3、（1）见解析（2）10【分析】（1）作BC 的垂直平分线，与直线CD 的交点即为圆心；（2）连接OA ，根据勾股定理列出方程即可求解．（1）解：如图所示，点O 即是圆心；（2）解：连接OA ，∵CD AB ⊥，并经过圆心O ，12AB =， ∴162AD BD AB ===， ∵2CD =，∴2226(2)OA OA +-=解得，10OA =，答：半径为10．【点睛】本题考查了垂径定理和确定圆心，解题关键是熟练作图确定圆心，利用垂径定理和勾股定理求半径．4、（1）见解析；（2）BC，90°，直径所对的圆周角是直角【分析】（1）过点O任作直线交圆于AB两点，再作AB的垂直平分线OM，直线MO交⊙O于点C，D；连结AC、BC即可；（2）根据线段垂直平分线的判定与性质得出AC=BC，根据圆周角定理得出∠ACB=90°即可．【详解】（1）①作直径AB；②分别以点A, B为圆心，以大于12AB的长为半径作弧，两弧交于M点；③作直线MO交⊙O于点C，D；④连接AC，BC．所以△ABC就是所求的等腰直角三角形.（2）证明：连接MA，MB．∵MA=MB，OA=OB，∴MO是AB的垂直平分线．∴AC=BC．∵AB是直径，∴∠ACB=90°(直径所对的圆周角是直角) ．∴△ABC是等腰直角三角形．故答案为：BC，90°，直径所对的圆周角是直角．【点睛】本题考查尺规作圆内接等腰直角三角形，圆周角定理，线段垂直平分线判定与性质，掌握尺规作圆内接等腰直角三角形，圆周角定理，线段垂直平分线判定与性质是解题关键．5、（1）S△ABC＝20；（2）见解析；（3）见解析．【分析】（1）设⊙O的半径为r，由切线长定理得，AE＝AD＝4，BF＝BD＝5，CE＝CF＝r，由勾股定理得，（r+4）2+（r+5）2＝92，进而求得结果；（2）根据切线长定理可证明甲和乙两个三角形全等，丙丁两个三角形全等，故将甲乙图形放在OE为边的上方，将丙丁以OP为边放在右侧，围成矩形的边长是4和5；（3）可先计算∠AFB＝135°，根据“定弦对定角”作F点的轨迹，根据切线性质，过点F作AB的垂线，再根据直径所对的圆周角是90°，确定点C．【详解】解：（1）如图1，设⊙O的半径为r，连接OE，OF，∵⊙O内切于△ABC，∴OE⊥AC，OF⊥BC，AE＝AD＝4，BF＝BD＝5，∴∠OEC＝∠OFC＝∠C＝90°，∴四边形ECFO 是矩形，∴CF ＝OE ＝r ，CE ＝OF ＝r ，∴AC ＝4+r ，BC ＝5+r ，在Rt△ABC 中，由勾股定理得，（r +4）2+（r +5）2＝92，∴r 2+9r ＝20，∴S △ABC ＝12AC BC ⋅ ＝1(4)(5)2r r +⋅+ ＝21(920)2x r ++ ＝1(2020)2⨯+ ＝20；（2）如图2，（3）设△ABC 的内切圆记作⊙F ，∴AF 和BF 平分∠BAC 和∠ABC ，FD ⊥AB ，∴∠BAF＝12∠CAB，∠ABF＝12ABC∠，∴∠BAF+∠ABF＝12（∠BAC+∠ABC）＝1902⨯︒＝45°，∴∠AFB＝135°，可以按以下步骤作图（如图3）：①以BA为直径作圆，作AB的垂直平分线交圆于点E，②以E为圆心，AE为半径作圆，③过点D作AB的垂线，交圆于F，④连接EF并延长交圆于C，连接AC，BC，则△ABC就是求作的三角形．【点睛】本题考查三角形的内切圆性质、切线长定理、勾股定理、矩形的判定与性质、尺规作图-作垂线，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．。

北师大版2020九年级数学下册第三章圆单元综合基础测试题1(附答案详解)

北师大版2020九年级数学下册第三章圆单元综合基础测试题1(附答案详解)

北师大版2020九年级数学下册第三章圆单元综合基础测试题1（附答案详解）1．如图，AB 是O 的直径，点C 在O 上，6BC =，30B ∠=，则AB 的长为（ ）A ．12B ． 43C ． 23D ．1?232．如图，已知圆周角∠BAC =40°，那么圆心角∠BOC 的度数是（ ）A ．40B ．60C ．80D ．1003．如图，在△ABC 中，AB ＝BC ＝2，以AB 为直径的⊙O 与BC 相切于点B ，则AC 的长为( )A ．2B ．3C ．22D ．234．已知圆柱的底面直径为4cm ，高为5cm ，则圆柱的侧面积是（ ）A ．21?0cmB ．21?0? cm πC ．2 20cm πD ．2 40cm π5．如图，AD 是⊙O 的切线，切点为A ，AC 是⊙O 的直径，CD 交⊙O 于点B ，连接OB ，若AB 的度数为70°，则∠D 的大小为（ ）A ．70°B ．60°C ．55°D ．35°6．半径为8cm 的圆的内接正三角形的边长为（ ）A ．3B ．3C ．8cmD ．4cm7．如图，⊙O 的半径为5，直线AB 与⊙O 相切于点A ，AC 、CD 是⊙O 的两条弦，且CD ∥AB ，CD=6，则弦AC 的长为（ ）A ．6B ．5C ．4D ．38．已知，⊙O 的半径为5cm ，点P 到圆心O 的距离为4cm ，则点P 在⊙O 的（ ） A ．外部 B ．内部 C ．圆上 D ．不能确定9．如图，PA 、PB 分别切⊙O 于A 、B 两点，C 为劣弧AB 上一点，∠APB=30°，则∠ACB=（ ）A ．60°B ．75°C ．105°D ．120°10．将一个半径为R ，圆心角为90°的扇形围成一个圆锥的侧面（无重叠），设圆锥底面半径为r ，则R 与r 的关系正确的是（ ）A ．R=8rB ．R=6rC ．R=4rD ．R=2r11．已知一个正六边形的边心距为3，则它的半径为______ ．12．如果正六边形的两条平行边间的距离是23，那么这个正六边形的边长为_____． 13．在Rt ABC 中，90C ∠=，3AC =，4BC =，以C 为圆心，2.4为半径作C ，则C 和AB 的位置关系是________．14．如图，O 是等边三角形ABC 的外接圆，D 、E 是O 上两点，则D ∠=________度，E ∠=________度．15．在△ABC 中，∠A=120°，若BC=12，则其外接圆O 的直径为_____．16．已知⊙O 直径AB 与弦AC 的夹角为35°，过C 点的切线PC 与AB 的延长线交于点P ，则∠P ＝____．17．已知直角坐标内，半径为2的圆心坐标为（3，-4），当该圆向上平移m 个单位长度时，若要此圆与x 轴没有交点，则m 的取值范围是 _______________．18．四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，且∠A=∠C，则∠A=___ ___度.19．如图，已知ABC 内接于O ，BC 是O 的直径，MN 与O 相切，切点为A ，若MAB 30∠=，则B ∠=________度．20．我们把有两条边和其中一边的对角对应相等的两个三角形叫做友好三角形。

九年级数学圆基础综合测试 试题

九年级数学圆基础综合测试 试题

九年级数学?圆?根底综合测试〔无答案〕一、精心选一选6．圆上的一段弧长为5πcm ，它所对的圆心角为100°,那么该圆的半径为( ) A.6 B.9 C7．两个圆是同心圆，大、小圆的半径分别为9和 5，假如⊙P 与这两个圆都相切，那么⊙P 的半径为( )A.2B.7 C8．如图2，AB 与⊙O 切于点B ，AO ＝6㎝，AB ＝4㎝，那么⊙O 的半径为〔 〕A 、5B 、5C 、13D 13㎝ 9．如图3，⊙0的直径AB 与弦AC 的夹角为35°，过C 点的切线PC 与AB 的延长线交于点P ，那么么∠P 等于〔 〕A ．150B ．200C ．250D ．30010．如图4，△ABC 内接于⊙O ，∠C=45°，AB= 4 ，那么⊙O 半径为〔 〕A 、22B 、4C 、32D 、5二、11．过⊙O内一点M的最长弦为10cm，最短弦为8cm，那么OM= cm.．12．Rt△ABC中，∠C＝90°，AC=5,BC=12,那么△ABC的内切圆半径为．13．正n边形的一个外角与一个内角之比为1︰3，那么n等于．14．某校九〔3〕班在圣诞节前，为圣诞晚会制作一个圆锥形圣诞老人的纸帽，圆锥的母线长为30cm，底面直径为20cm，那么这个纸帽的外表积为．15．如图5，⊙O是△ABC内切圆，切点为D、E、F，∠A=100°，∠C=30°，那么∠DFE度数是．16．如图6，⊙O中，直径为MN ，正方形ABCD四个顶点分别在半径OM、OP以及⊙O上，并且∠POM = 45°，假设AB＝1，那么该圆的半径为．三、思维大比拼17．如图7，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝36°，以C为圆心，CA为半径的圆交AB于点D,交BC于点E.求AD DE18．：如图，△ABC中，AC＝BC，以BC为直径的⊙O交AB于点D，过点D作DE⊥AC于点E，交BC的延D求证：〔1〕AD ＝BD ； 〔2〕DF 是⊙O 的切线．19．如图，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，∠A 的平分线与BC 相交于点D,点E 在AB 上，DE=DC,以D 为圆心，DB 长为半径作⊙D ．〔1〕AC 与⊙D 相切吗？并说明理由．〔2〕你能找到AB 、BE 、AC 之间的数量关系吗？为什么？20、如图，：ABC △内接于⊙O ，点D 在OC 的延长线上，1sin 2B =，30D ∠=．〔1〕求证：AD 是⊙O 的切线； 〔2〕假设6AC =，求AD 的长．CBO21．如图，⊙O 的直径AB 垂直于弦CD 于E ，连结AD 、BD 、OC 、OD ，且OD ＝5． 〔1〕假设sin ∠BAD =35，求CD 的长；〔2〕假设 ∠ADO ：∠EDO ＝4：1，求扇形OAC 〔阴影局部〕的面积〔结果保存π〕．22．图①是某存放学生自行车的车棚的示意图〔尺寸如下图〕，车棚顶部是圆柱侧面的一局部，其展开图是矩形．图②是车棚顶部截面的示意图， 所在圆的圆心为O ．车棚顶部是用一种帆布覆盖的，求覆盖棚顶的帆布的面积〔不考虑接缝等因素，计算结果保存π〕．OBA· AB2米43米AB23．如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B = 90°，AB =8㎝，AD=24㎝，BC=26㎝，AB 为⊙O的直径。

全国通用版九年级下学期数学 圆的综合题(含阴影面积)试题(无答案)

全国通用版九年级下学期数学 圆的综合题(含阴影面积)试题(无答案)

初三数学专题训练——圆的综合题（含求阴影面积）一．填空题（共14小题）1．如图，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝3，OB＝2，将Rt△AOB绕点O顺时针旋转90°后得Rt△FOE，将线段EF绕点E逆时针旋转90°后得线段ED，分别以O，E为圆心，OA、ED长为半径画弧AF和弧DF，连接AD，则图中阴影部分面积是．第1题图第2题图第3题图第4题图第5题图2．如图，已知直角三角形的两条直角边分别为a、b，以a为直径画一个半圆．若甲、乙两阴影部分的面积相等，则用a的代数式表示b＝．3．如图，在半径为2cm，圆心角为90°的扇形OAB中，分别以OA、OB为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为．4．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝1，将Rt△ABC绕A点逆时针旋转30°后得到Rt△ADE，点B经过的路径为，则图中阴影部分的面积是．5．如图，在矩形ABCD中，CD＝2，以点C为圆心，CD长为半径画弧，交AB边于点E，且E为AB中点，则图中阴影部分的面积为．̂交于点D，以O为圆心，OC的长6．如图，在扇形OAB中，C是OA的中点，CD⊥OA，CD与AB̂交OB于点E，若OA＝4，∠AOB＝120°，则图中阴影部分的面积为．（结为半径作CE果保留π）第6题图第7题图第8题图第9题图第10题图7．如图，在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝90°，AB=2√2，点D为AB的中点，以点D为圆心作圆心角为90°的扇形DEF，点C恰好在弧EF上，则图中阴影部分的面积为（结果保留π）．8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2√3，以点C为圆心，CB的长为半径画弧，与AB ̂绕点D旋转180°后点B与点A恰好重合，则图中阴影部分的面积为．边交于点D，将BD̂的中点，D、E分别是OA、OB 9．如图，在圆心角为90°的扇形OAB中，半径OA＝2cm，C为AB的中点，则图中阴影部分的面积为cm2．10．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝2．将△ABC绕顶点A顺时针方向旋转至△AB′C′的位置，B，A，C′三点共线，则线段BC扫过的区域面积为．11．将△ABC绕点B逆时针旋转到△A′BC′，使A、B、C′在同一直线上，若∠BCA＝90°，∠BAC＝30°，AB＝4cm，则图中阴影部分面积为cm2．第11题图第12题图第13题图第14题图12．如图所示，⊙O是以坐标原点O为圆心，4为半径的圆，点P的坐标为（√2，√2），弦AB经过点P，则图中阴影部分面积的最小值＝．13．如图，以直角三角形的两条直角边AC、AB为直径，向三角形内作半圆，两半圆交于点D，CD ＝1，BD＝3，则图中阴影部分的面积为（平方单位）．14．如图，两个半径为1的14圆扇形A′OB′与AO′B叠放在一起，POQO'是正方形，则整个阴影图形的面积是．二．解答题（共14小题）15．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AC是直径，过点O作OD⊥AB于点D，延长DO交⊙O于点P，过点P作PE⊥AC于点E，作射线DE交BC的延长线于F点，连接PF．（1）若∠POC＝60°，AC＝12，求劣弧PC的长；（结果保留π）（2）求证：OD＝OE；（3）求证：PF是⊙O的切线．16．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5，点O在BC边的中线AD上，⊙O与BC相切于点E，且∠OBA＝∠OBC．（1）求证：AB为⊙O的切线；（2）求⊙O的半径；（3）求tan∠BAD．17.如图，⊙O的直径AC与弦BD相交于点F，点E是DB延长线上的一点，∠EAB＝∠ADB．（1）求证：EA是⊙O的切线；（2）已知点B是EF的中点，求证：以A、B、C为顶点的三角形与△AEF相似；（3）已知AF＝4，CF＝2．在（2）条件下，求AE的长．18．已知：如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为⊙O直径，BC＝6，AC＝8，OE⊥AE，垂足为E，交⊙O于点P，连结BP交AC于D．（1）求PE的长；（2）求△BOP的面积．19．如图，AB是⊙O的直径，M是OA的中点，弦CD⊥AB于点M，过点D作DE⊥CA交CA的延长线于点E．（1）连接AD，则∠OAD＝°；（2）求证：DE与⊙O相切；̂上，∠CDF＝45°，DF交AB于点N．若DE＝3，求FN的长．（3）点F在BC雅博学校初三数学专题训练——圆的综合题1．如图，在三角形ABC中，AB＝6，AC＝BC＝5，以BC为直径作⊙O交AB于点D，交AC于点G，直线DF是⊙O的切线，D为切点，交CB的延长线于点E．（1）求证：DF⊥AC；（2）求tan∠E的值．2．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与BC相交于点D且BD＝2AD，过点D 作DE⊥AC交BA延长线于点E，垂足为点F．（1）求tan∠ADF的值；（2）证明：DE是⊙O的切线；（3）若⊙O的半径R＝5，求EF的长．3．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与边BC交于点D，DE⊥AC，垂足为E，交AB的延长线于点F．（1）求证：EF是⊙O的切线；̂的长．（2）若∠C＝60°，AC＝12，求BD（3）若tan C＝2，AE＝8，求BF的长．4．已知：如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使DC＝BD，连结AC，过点D作DE⊥AC，垂足为E．（1）求证：AB＝AC；（2）求证：DE为⊙O的切线；（3）若⊙O的半径为5，∠BAC＝60°，求DE的长．5．已知：如图，在△ABC中，AC＝BC，以BC为直径的⊙O与边AB相交于点D，DE⊥AC，垂足为点E．（1）求证：点D是AB的中点；（2）求证：DE是⊙O的切线；（3）若⊙O的直径为18，cos B=13，求DE的长．6．已知，如图，△ABC中，AC＝BC，以BC为直径的⊙O交AB于E，过点E作EG⊥AC于G，交BC的延长线于F．（1）求证：AE＝BE；（2）求证：FE是⊙O的切线；（3）若FE＝4，FC＝2，求⊙O的半径及CG的长．6．如图，D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，且∠CDA＝∠CBD．（1）求证：CD2＝CA•CB；（2）求证：CD是⊙O的切线；（3）过点B作⊙O的切线BE交CD的延长线于点E，若BC＝12，CA＝4，求BE的长．7．如图，⊙O是△ABC的外接圆，FH是⊙O的切线，切点为F，FH∥BC，连接AF交BC于E，∠ABC的平分线BD交AF于D，连接BF．（1）证明：AF平分∠BAC；（2）证明：BF＝FD；（3）若EF＝4，DE＝3，求AD的长．。

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九年级数学圆综合测试题
一、选择题（每题3分，满分30分）
1．如图，在Rt ABC △中，C ∠=90°，AB =10，若以点C 为圆心，CB 长为半径的圆恰好经
过AB 的中点D ，则BC 的长等于（
）．A A ．5 B ． C ．
D ．6
2．如图，AB 是O ⊙的直径，点C 、D 在O ⊙上， ︒=∠80OAD ，AD OC ∥， 则B ∠的度数为（ ）．D
A ．70°
B ．60°
C ．50°
D ．40°
3．如图，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A ，B ，C 三点， 那么点M 在这条圆弧所在圆的（ ）．C
A ．内部
B ．外部
C ．圆上
D ．不能确定
4. 如图，AB O 是⊙的直径，弦30CD AB E CDB O ⊥∠=于点，°，
⊙，则弦CD 的长为（ ）．
A ．3
cm 2
B ．3cm
C ．
D ．9cm
5．已知圆O 的半径为1，AB 是圆O 的直径，D 是AB 延长线上一点，DC 是圆O 的切线，C 是切点，连结AC ，若30CAB ∠=°，则BD 的长为（ ）．C
A ．2
B ．3
C ．1
D ．
2
3
6. ⊙O 的半径为2，点P 是⊙O 外一点，OP 的长为3，那么以点P 为圆心，且与⊙O 相切的
4题图
C A
B
O
E D
5题图
D
3题图
B
2题图
A
B
O
A
C O A C B
圆的半径为（ ）．D
A ．1或5
B ．1
C ．5
D ．1或4
7．如图，在平面直角坐标系中，点P （3a ，a ）是反比例函x
y 12
=与⊙O 的一个交点，则图中阴影部分的面积（ ）．C
A ．6π
B ．8π
C ．10π
D ．12π
8．如图，如果从半径为9cm 的圆形纸片剪去1
3
圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠），那么这个圆锥的高为（ ）．B A ．6cm
B ．35cm
C ．8cm
D ．53cm
9．如图，在⊙O 中，OA ＝AB ，OC ⊥AB ，则下列结论错误的是（ ）． D
A ．弦A
B 的长等于圆内接正六边形的边长 B ．弦A
C 的长等于圆内接正十二边形的边长
C ．⌒AC =⌒
BC D ．∠BAC =30°
10．在平面直角坐标系中，若一个点的横纵坐标均为整数，我们称这样的点为整数点，如图，以点O 为圆心、5为半径画圆．则⊙O 上整数点的个数为（ ）．C A ．8个 B ．10个 C ．12个 D ． 14个
二、填空题（每题3分，满分24分）
11．如图，已知弦DC 、FE 的延长线相交于O ⊙外一点P ，PAB 经过圆心O 分别交O
⊙于A B 两点，请你添加一个条件 ，使FPB DPB ∠=∠．
12．如图，有一圆形展厅，在其圆形边缘上的点A 处安装了一台监视器，它的监控角度是65o ．为了监控整个展厅，最少需在圆形边缘上共安装．．．
这样的监视器 台．3
13．某蔬菜基
地的圆弧形蔬
菜大棚的剖面（如图），已知AB ＝16m ，半径OA ＝10m ，则中间柱CD 的高度为 m ．4
8题图
剪去
y
x
O 12题图
A 65o
10题图
F
E
P
11题图O
D
C A
13题图
O D C
A
14．已知两圆的半径分别是2和3，圆心距为6，那么这两圆的位置关系是 ． 15.如图，在一个直径为2的圆形铁皮中剪下一个圆心角为︒90的扇形OAB ，用这个扇形围成圆锥的侧面，则此圆锥的底面半径为 ．4
1
16．如图，ABC △内接于O ⊙，AB BC =，120ABC ∠=°，AD 为O ⊙的直径，6=AC ，那么BD = ．6
17．小刚对科技馆富有创意的科学方舟形象设计很有兴趣，他回家后将一正五边形纸片沿其对称轴对折．旋转放置，做成科学方舟模型．如图所示，该正五边形的边心距OB 长为2，
AC 为科学方舟船头A 到船底的距离，请你计算1
2
AC AB +
= ．
（结果保留根号）．23
18．如图，圆内接四边形ABCD 是由四个全等
的等腰梯形组成，AD 是⊙O 的直径，则∠BEC 为 度
三、解答题（满分46分）
19.（8分）如图，是的内接三角形，点是优弧AB 上的一点（不与A,B 重合），设α=∠OAB ，
β=∠C ．
（1）当︒=35α时，求β的度数；
（2）猜想α与β之间的关系，并给予证明．
已知：如图，在△ABC 中，AB=AC ，以AB 为直径的⊙O 交BC 于点D ，作
DE ⊥AC 于点E 。

求证：DE 为⊙O 的切线。

A
O B B A
C D 科学方舟 B
A
O
C
16题图
O
D
C
A
20．（8分）如图，AD 为ABC ∆外接圆的直径，AD BC ⊥，垂足为点F ，ABC ∠的平分线交AD 于点E ，连接BD ，CD .
(1) 求证：BD CD =；
(2) 小明说：“B ，E ，C 三点在以D 为圆心，以DB 为半径
的圆上．” 你认为小明的说法正确吗？请说明理由.
四、拓展创新题（满分20分）
24.（10分）机器人“海宝”在某圆形区域表演“按指令行走”，如图所示，“海宝”从圆心O 出发，先沿北偏西︒60方向行走8米至点A 处，再沿正南方向行走10米至点B 处，最后沿正东方向行走至点C 处，点B 、C 都在圆O 上.（1）求圆O 的半径；（2）求弦BC 的长.
A
B
C
E
F
D。

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