高等代数及其解析几何第十章参考答案【陈志杰】
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高等代数与解析几何10.4节习题解答习题10
习题10.4习题10.4.1 判别下列二次型或埃尔米特二次型是否正定：（1）233222312121228224810x x x x x x x x x +-+++；（2）∑∑≤<≤=+nj i jini i xx x 112；（3）13311221x x x x x x i x x i ++-。
解 （1）二次型矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=21412142412410A ，计算可得0||<A ，所以该二次型不是正定的。
（2）二次型矩阵为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=121212112121211ΛM M M ΛΛA ，计算可得k 级顺序主子式 1212112112112121211ΛM M M ΛΛ-+-+-+=k k k D k 1211211121211)211(ΛM M M ΛΛ-+=k 210021021211)211(ΛM M M ΛΛ-+=k0)21)(211(1>-+=-k k ，n k ,,2,1Λ=。
故该二次型是正定的。
（3）将二次型13311221x x x x x x i x x i ++-表示成矩阵形式为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3213210010010),,(x x x i i x x x ，显然有矩阵的行列式为零，故该二次型是非正定的。
习题10.4.2 证明：如果A 是正定矩阵，那么A 的主子式全大于零，所谓主子式就是行指标与列指标相同的子式。
证明：设n n ij a A ⨯=)(为正定矩阵，其任一m 阶主子式为mm m mi i i i i i i i m a a a a A ΛM MΛ1111||)(=，n m ,,2,1Λ=。
下面考察两个二次型AX X T 和Y A Y m T )(。
对任意0),,,(210≠=T i i i mb b b Y Λ，令T nc c c X ),,,(210Λ=，其中⎩⎨⎧≠==m mii i i i i i i i i b c ,,,0,,,2121ΛΛ。
(完整word版)高等数学第10章课后习题答案(科学出版社)
于是所求的曲面积分为
.
（2） ，其中 为旋转抛物面 介于 之间部分的下侧。
解由两类曲面积分之间的联系，可得
，
在曲面 上，有
。
故
。
再依对坐标的曲面积分的计算方法，得
。
注意到
，
故
。
（3） ，其中 为 ， 的上侧；
解 在 面上的投影为半圆域 ， ，
=
= =
由对称性 = ， =
∴原式= =
（4） ，其中 是由平面 ， ， ， 所围成的四面体的表面的外侧。
，
其中 为上半球面 ， ， ，故
，
其中 是 在 坐标面上的投影区域，利用极坐标计算此二重积分，于是得
= ，
是一个无界函数的反常积分，按反常积分的计算方法可得
，
故
。
解法2设球面方程为 ，定直径在 轴上，依题意得球面上点 的密度为 ，从而得球面的质量为 ，由轮换对称性可知： ，故有
．
2设某流体的流速为 ，求单位时间内从圆柱 ： （ ）的内部流向外侧的流量（通量）。
，其中 从 变到 ，
故
。
解法2作有向线段 ，其方程为
，其中 从 变到 ，
则有向曲线 与有向线段 构成一条分段光滑的有向闭曲线，设它所围成的闭区域为 ，由格林公式，有
，
即
，
而
，
故
。
3．计算 ,其中 为平面 在第一卦限中的部分；
解 将曲面 投影到 面上，得投影区域为 ，此时曲面方程可表示为
，
于是
，
。
4. 计算 ,其中 是球面 的上半部分并取外侧；
解如右图所示，因为闭曲面取外侧，所以 取下侧， 取后侧， 取左侧， 取上侧。于是
北京大学2007高等代数与解析几何试题解答[1]
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0
1
A=
−b0 −b1
0
−bn−2
1 −bn−1
的不变因子也为1,1, ,1, dn (λ) ，所以存在V 的一个基ξ1,ξ2 , ,ξn ，使得 A 在这个基下的
矩阵为 A ，即
A(ξ1,ξ2 , ,ξn ) = (ξ1,ξ2 , ,ξn ) A .
现在令α = ξ1 ∈V ，则 Aα = ξ2 ，A2α = ξ3 ， ，An−1α = ξn ，因此α，Aα，A2α , , An−1α
的基础解系)构成 n × r 矩阵 C ，则 rank(C) = r ，且 AC = O ， BC = O .
考虑齐次线性方程组 CT X = 0 ，其解空间 S 的维数 dim(S ) = n − r = rank( A) .
因为 C T AT = O ，所以 A 的行向量都是 C T X = 0 的解，因此 A 的行空间WA 是 S 的一 个子空间，即WA ⊆ S .注意到 dim(WA ) = rank( A) = dim(S ) ，故WA = S .
北京大学 2007 年《高等代数与解析几何》试题解答
北京大学 2007 年高等代数与解析几何试题 解答
1、回答下列问题：
（1）问是否存在 n 阶方阵 A, B ，满足 AB − BA = E （单位矩阵）？又，是否存在 n 维
线性空间上的线性变换 A，B，满足 AB − BA = E (恒等变换)? 若是，举出例子；若否，给
矛盾. 所以 D ≠ 0 . （4）设 A, B 都是 m × n 矩阵，线性方程组 AX = 0 与 BX = 0 同解，则 A 与 B 的列向
量组是否等价？行向量组是否等价？若是，给出证明；若否，举出反例.
【解】第
高等数学课后习题及参考答案(第十章)
高等数学课后习题及参考答案（第十章）习题10-11.设在xOy面内有一分布着质量的曲线弧L,在点(x,y)处它的线密度为μ(x,y),用对弧长的曲线积分分别表达:(1)这曲线弧对x轴、对y轴的转动惯量I x,I y;(2)这曲线弧的重心坐标,.解在曲线弧L上任取一长度很短的小弧段ds(它的长度也记做ds),设(x,y)为小弧段ds上任一点.曲线L对于x轴和y轴的转动惯量元素分别为dI x=y2μ(x,y)ds,dI y=x2μ(x,y)ds.曲线L对于x轴和y轴的转动惯量分别为,.曲线L对于x轴和y轴的静矩元素分别为dM x=yμ(x,y)ds,dM y=xμ(x,y)ds.曲线L的重心坐标为,.2.利用对弧长的曲线积分的定义证明:如果曲线弧L分为两段光滑曲线L1和L2,则.证明划分L,使得L1和L2的连接点永远作为一个分点,则.令λ=max{∆s i}→0,上式两边同时取极限,即得.3.计算下列对弧长的曲线积分:(1),其中L为圆周x=a cos t,y=a sin t (0≤t≤2π);解=.(2),其中L为连接(1, 0)及(0, 1)两点的直线段;解L的方程为y=1-x (0≤x≤1);.(3), 其中L 为由直线y =x 及抛物线y =x 2所围成的区域的整个边界; 解 L 1: y =x 2(0≤x ≤1), L 2: y =x (0≤x ≤1) ..(4), 其中L 为圆周x 2+y 2=a 2, 直线y =x 及x 轴在第一象限内所围成的扇形的整个边界;解 L =L 1+L 2+L 3, 其中L 1: x =x , y =0(0≤x ≤a ),L 2: x =a cos t , y =a sin t ,L 3: x =x , y =x ,因而 ,.(5)⎰Γ++ds zy x 2221, 其中Γ为曲线x =e t cos t , y =e t sin t , z =e t 上相应于t 从0变到2的这段弧;解,.(6), 其中Γ为折线ABCD , 这里A 、B 、C 、D 依次为点(0, 0, 0)、(0, 0, 2)、(1, 0, 2)、(1, 3, 2);解 Γ=AB +BC +CD , 其中AB : x =0, y =0, z =t (0≤t ≤1),BC : x =t , y =0, z =2(0≤t ≤3),CD : x =1, y =t , z =2(0≤t ≤3),故.(7), 其中L 为摆线的一拱x =a (t -sin t ), y =a (1-cos t )(0≤t ≤2π);解.(8), 其中L 为曲线x =a (cos t +t sin t ), y =a (sin t -t cos t )(0≤t ≤2π).解.4. 求半径为a , 中心角为2ϕ的均匀圆弧(线密度μ=1)的重心.解 建立坐标系如图10-4所示, 由对称性可知, 又ϕϕsin a =, 所以圆弧的重心为)0 ,sin (ϕϕa 5. 设螺旋形弹簧一圈的方程为x =a cos t , y =a sin t , z =kt , 其中0≤1≤2π, 它的线密度ρ(x , y , z )=x 2+y 2+z 2, 求:(1)它关于z 轴的转动惯量I z ; (2)它的重心.解 .(1).(2),,,,故重心坐标为.习题 10-21. 设L 为xOy 面内直线x =a 上的一段, 证明: .证明 设L 是直线x =a 上由(a , b 1)到(a , b 2)的一段,则L : x =a , y =t , t 从b 1变到b 2. 于是.2. 设L 为xOy 面内x 轴上从点(a , 0)到(b , 0)的一段直线,证明.证明L : x =x , y =0, t 从a 变到b , 所以.3. 计算下列对坐标的曲线积分:(1), 其中L 是抛物线y =x 2上从点(0, 0)到点(2, 4)的一段弧;解 L : y =x 2, x 从0变到2, 所以.(2), 其中L 为圆周(x -a )2+y 2=a 2(a >0)及x 轴所围成的在第一象限内的区域的整个边界(按逆时针方向绕行);解 L =L 1+L 2, 其中L 1: x =a +a cos t , y =a sin t , t 从0变到π,L 2: x =x , y =0, x 从0变到2a ,因此.(3), 其中L 为圆周x =R cos t , y =R sin t 上对应t 从0到的一段弧;解.(4)⎰+--+L yx dy y x dx y x 22)()(, 其中L 为圆周x 2+y 2=a 2(按逆时针方向绕行); 解 圆周的参数方程为: x =a cos t , y =a sin t , t 从0变到2π, 所以⎰+--+L y x dy y x dx y x 22)()(.(5), 其中Γ为曲线x =k θ, y =a cos θ, z =a sin θ上对应θ从0到π的一段弧;解 ⎰⎰--+=-+Γπθθθθθθ022]cos cos )sin (sin )[(d a a a a k k ydz zdy dx x .(6), 其中Γ是从点(1, 1, 1)到点(2, 3, 4)的一段直线;解 Γ的参数方程为x =1+t , y =1+2t , z =1+3t , t 从0变到1..(7), 其中Γ为有向闭折线ABCA , 这里的A , B , C依次为点(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1);解 Γ=AB +BC +CA , 其中AB : x =x , y =1-x , z =0, x 从1变到0,BC : x =0, y =1-z , z =z , z 从0变到1,CA : x =x , y =0, z =1-x , x 从0变到1,故.(8), 其中L 是抛物线y =x 2上从(-1, 1)到(1, 1)的一段弧.解 L : x =x , y =x 2, x 从-1变到1, 故4. 计算, 其中L 是:(1)抛物线y =x 2上从点(1, 1)到点(4, 2)的一段弧;解 L : x =y 2, y =y , y 从1变到2, 故.(2)从点(1, 1)到点(4, 2)的直线段;解 L : x =3y -2, y =y , y 从1变到2, 故(3)先沿直线从点(1, 1)到(1, 2), 然后再沿直线到点(4, 2)的折线;解 L =L 1+L 2, 其中L 1: x =1, y =y , y 从1变到2,L 2: x =x , y =2, x 从1变到4,故dy x y dx y x dy x y dx y x L L )()()()(21-+++-++=⎰⎰ .(4)沿曲线x =2t 2+t +1, y =t 2+1上从点(1, 1)到(4, 2)的一段弧.解 L : x =2t 2+t +1, y =t 2+1, t 从0变到1, 故.5. 一力场由沿横轴正方向的常力F 所构成, 试求当一质量为m的质点沿圆周x 2+y 2=R 2按逆时针方向移过位于第一象限的那一段时场力所作的功.解 已知场力为F =(|F |, 0), 曲线L 的参数方程为x =R cos θ, y =R sin θ,θ从0变到, 于是场力所作的功为.6. 设z 轴与力方向一致, 求质量为m 的质点从位置(x 1, y 1, z 1)沿直线移到(x 2, y 2, z 2)时重力作的功.解 已知F =(0, 0, mg ). 设Γ为从(x 1, y 1, z 1)到(x 2, y 2, z 2)的直线,则重力所作的功为7.把对坐标的曲线积分化成对弧长的曲线积分,其中L为:(1)在xOy面内沿直线从点(0, 0)到(1, 1);解L的方向余弦,故.(2)沿抛物线y=x2从点(0, 0)到(1, 1);解曲线L上点(x,y)处的切向量为τ=(1, 2x),单位切向量为,故.(3)沿上半圆周x2+y2=2x从点(0, 0)到(1, 1).解L的方程为,其上任一点的切向量为,单位切向量为,故.8.设Γ为曲线x=t,y=t2,z=t3上相应于t从0变到1的曲线弧,把对坐标的曲线积分化成对弧长的曲线积分.解曲线Γ上任一点的切向量为τ=(1, 2t, 3t2)=(1, 2x, 3y),单位切向量为,.习题10-31.计算下列曲线积分,并验证格林公式的正确性:(1),其中L是由抛物线y=x2及y2=x所围成的区域的正向边界曲线;解L=L1+L2,故,而 dxdy x dxdy y P x Q DD )21()(-=∂∂-∂∂⎰⎰⎰⎰ ,所以 ⎰⎰⎰+=∂∂-∂∂l D Qdy Pdx dxdy yP x Q )(. (2), 其中L 是四个顶点分别为(0, 0)、(2, 0)、(2, 2)、和(0, 2)的正方形区域的正向边界.解 L =L 1+L 2+L 3+L 4, 故dy xy y dx xy x L L L L )2())((2324321-+-+++=⎰⎰⎰⎰ ⎰⎰⎰⎰+-+-+=202002022222)8()4(dy y dx x x dy y y dx x ,而,所以 ⎰⎰⎰+=∂∂-∂∂l D Qdy Pdx dxdy yP x Q )(. 2. 利用曲线积分, 求下列曲线所围成的图形的面积:(1)星形线x =a cos 3t , y =a sin 3t ;解.(2)椭圆9x 2+16y 2=144;解 椭圆9x 2+16y 2 =144的参数方程为x =4cos θ, y =3sin θ, 0≤θ≤2π, 故.(3)圆x 2+y 2=2ax .解 圆x 2+y 2=2ax 的参数方程为x =a +a cos θ, y =a sin θ, 0≤θ≤2π,故.3. 计算曲线积分,其中L为圆周(x-1)2+y2=2,L的方向为逆时针方向.解,.当x2+y2≠0时.在L内作逆时针方向的ε小圆周l:x=εcosθ,y=εsinθ(0≤θ≤2π),在以L和l为边界的闭区域Dε上利用格林公式得,即.因此.4.证明下列曲线积分在整个xOy面内与路径无关,并计算积分值:(1);解P=x+y,Q=x-y,显然P、Q在整个xOy面内具有一阶连续偏导数,而且,故在整个xOy面内,积分与路径无关.取L为点(1, 1)到(2, 3)的直线y=2x-1,x从1变到2,则.(2);解P=6xy2-y3,Q=6x2y-3xy2,显然P、Q在整个xOy面内具有一阶连续偏导数,并且,故积分与路径无关,取路径(1, 2)→(1, 4)→(3, 4)的折线,则.(3).解P=2xy-y4+3,Q=x2-4xy3,显然P、Q在整个xOy面内具有一阶连续偏导数,并且,所以在整个xOy面内积分与路径无关,选取路径为从(1, 0)→(1, 2)→(2, 1)的折线,则.5. 利用格林公式, 计算下列曲线积分:(1), 其中L 为三顶点分别为(0, 0)、(3, 0)和(3, 2)的三角形正向边界;解 L 所围区域D 如图所示, P =2x -y +4, Q =5y +3x -6,4)1(3=--=∂∂-∂∂yP x Q , 故由格林公式,得.(2)⎰-+-+Lx x dy ye x x dx e y x xy x y x )2sin ()sin 2cos (222, 其中L 为正 向星形线(a >0);解 , ,,由格林公式⎰-+-+L x x dy ye x x dx e y x xy x y x )2sin ()sin 2cos (222.(3), 其中L 为在抛物线2x =πy 2上由点(0, 0)到的一段弧;解 , ,,所以由格林公式,其中L 、OA 、OB 、及D 如图所示.故.(4), 其中L 是在圆周上由点(0, 0)到点(1, 1)的一段弧.解 P =x 2-y , Q =-x -sin 2y ,0)1(1=---=∂∂-∂∂yP x Q , 由格林公式有,其中L 、AB 、BO 及D 如图所示.故.6.验证下列P(x,y)dx+Q(x,y)dy在整个xOy平面内是某一函数u(x,y)的全微分,并求这样的一个u(x,y):(1)(x+2y)dx+(2x+y)dy;证明因为,所以P(x,y)dx+Q(x,y)dy是某个定义在整个xOy面内的函数u(x,y )的全微分..(2)2xydx+x2dy;解因为,所以P(x,y)dx+Q(x,y)dy是某个定义在整个xOy面内的函数u(x,y)的全微分..(3)4sin x sin3y cos xdx–3cos3y cos2xdy解因为,所以P(x,y)dx+Q(x,y)dy是某个定义在整个xOy平面内的函数u(x,y)的全微分..(4)解因为,所以P(x,y)dx+Q(x,y)dy是某个定义在整个xOy平面内的函数u(x,y)的全微分..(5)解因为,所以P(x,y)dx+Q(x,y)dy是某个函数u(x,y)的全微分.7.设有一变力在坐标轴上的投影为X=x+y2,Y=2xy-8,这变力确定了一个力场,证明质点在此场内移动时,场力所做的功与路径无关.解场力所作的功为.由于,故以上曲线积分与路径无关,即场力所作的功与路径无关.习题10-41.设有一分布着质量的曲面∑,在点(x,y,z)处它的面密度为μ(x,y,z),用对面积的曲面积分表达这曲面对于x轴的转动惯量.解. 假设μ(x , y , z )在曲面∑上连续, 应用元素法, 在曲面∑上任意一点(x , y , z )处取包含该点的一直径很小的曲面块dS (它的面积也记做dS ), 则对于x 轴的转动惯量元素为dI x =(y 2+z 2)μ(x , y , z )dS ,对于x 轴的转动惯量为.2. 按对面积的曲面积分的定义证明公式,其中∑是由∑1和∑2组成的.证明 划分∑1为m 部分, ∆S 1, ∆S 2, ⋅⋅⋅, ∆S m ;划分∑2为n 部分, ∆S m +1, ∆S m +2, ⋅⋅⋅, ∆S m +n ,则∆S 1, ⋅⋅⋅, ∆S m , ∆S m +1, ⋅⋅⋅, ∆S m +n 为∑的一个划分, 并且.令, , , 则当λ→0时, 有.3. 当∑是xOy 面内的一个闭区域时, 曲面积分与二重积分有什么关系？解 ∑的方程为z =0, (x , y )∈D ,,故 .4. 计算曲面积分, 其中∑为抛物面z =2-(x 2+y 2)在xOy 面上方的部分, f (x , y , z )分别如下:(1) f (x , y , z )=1;解 ∑: z =2-(x 2+y 2), D xy : x 2+y 2≤2,.因此⎰⎰+=πθ2020241rdr r d .(2) f (x , y , z )=x 2+y 2;解 ∑: z =2-(x 2+y 2), D xy : x 2+y 2≤2,dxdy y x dxdy z z dS y x 22224411++=++=.因此 dxdy y x y x dS z y x f xyD 2222441)(),,(+++=⎰⎰⎰⎰∑ ⎰⎰+=πθ2020241rdr r d.(3) f (x , y , z )=3z .解 ∑: z =2-(x 2+y 2), D xy : x 2+y 2≤2,.因此dxdy y x y x xyD 2222441)](2[3+++-=⎰⎰.5. 计算, 其中∑是:(1)锥面及平面z =1所围成的区域的整个边界曲面; 解 将∑分解为∑=∑1+∑2, 其中∑1: z =1 , D 1: x 2+y 2≤1, dS =dxdy ;∑1:, D 2: x 2+y 2≤1, .+.提示: .(2)锥面z 2=3(x 2+y 2)被平面z =0及z =3所截得的部分. 解 ∑:, D xy : x 2+y 2≤3,,因而 .提示: .6. 计算下面对面积的曲面积分:(1), 其中∑为平面在第一象限中的部分;解 , ,,.(2), 其中∑为平面2x +2y +z =6在第一象限中的部分; 解 ∑: z =6-2x -2y , D xy : 0≤y ≤3-x , 0≤x ≤3,,⎰⎰--+--=x dy y xy x x dx 30230)22236(3.(3)dS z y x )(++∑⎰⎰, 其中∑为球面x 2+y 2+z 2=a 2上z ≥h (0<h <a )的部分;解 ∑:, D xy : x 2+y 2≤a 2-h 2,,(根据区域的对称性及函数的奇偶性).提示:,(4), 其中∑为锥面被x 2+y 2=2ax 所截得的有限部分. 解 ∑: , D xy : x 2+y 2≤2ax ,,dxdy y x y x xy dS zx yz xy xyD ])([2)(22+++=++⎰⎰⎰⎰∑421564a =. 提示: .7. 求抛物面壳的质量, 此壳的面密度为μ=z .解 ∑: , D xy : x 2+y 2≤2,.故.8. 求面密度为μ0的均匀半球壳x 2+y 2+z 2=a 2(z ≥0)对于z 轴的转动惯量.解 ∑: , D xy : x 2+y 2≤a 2,,.提示:.习题10-51. 按对坐标的曲面积分的定义证明公式:.解 证明把∑分成n 块小曲面∆S i (∆S i 同时又表示第i 块小曲面的面 积), ∆S i 在yOz 面上的投影为(∆S i )yz , (ξi , ηi ,ζi )是∆S i 上任意取定的一点, λ是各小块曲面的直径的最大值, 则.2. 当∑为xOy 面内的一个闭区域时, 曲面积分与二重积分有什么关系？解 因为∑: z =0, (x , y )∈D xy , 故dxdy z y x R dxdy z y x R xyD ),,(),,(⎰⎰⎰⎰±=∑,当∑取的是上侧时为正号, ∑取的是下侧时为负号.3. 计算下列对坐标的曲面积分:(1)zdxdy y x 22∑⎰⎰其中∑是球面x 2+y 2+z 2=R 2的下半部分的下侧;解 ∑的方程为, D xy : x 2+y 2≤R , 于是zdxdyy x 22∑⎰⎰dxdy y x R y x xyD )(22222----=⎰⎰.(2), 其中z 是柱面x 2+y 2=1被平面z =0及z =3所截得的第一卦限内的部分的前侧;解 ∑在xOy 面的投影为零, 故.∑可表示为, (y , z )∈D yz ={(y , z )|0≤y ≤1, 0≤z ≤3}, 故⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰-=-=-=∑3010102221311dy y dy y dz dydz y xdyz yz D ∑可表示为, (z , x )∈D zx ={(z , x )|0≤z ≤3, 0≤x ≤1}, 故dzdx x ydzdx zx D 21-=⎰⎰⎰⎰∑⎰⎰⎰-=-=30101022131dx x dx x dz . 因此 .解法二 ∑前侧的法向量为n =(2x , 2y , 0), 单位法向量为,由两种曲面积分之间的关系,dS z y x ydzdx xdydz zdxdy )cos cos cos (γβα++=++∑∑⎰⎰⎰⎰.提示: 表示曲面的面积.(3), 其中f (x , y , z )为连续函数, ∑是平面x -y +z =1在第四卦限部分的上侧;解 曲面∑可表示为z =1-x +y , (x , y )∈D xy ={(x , y )|0≤x ≤1, 0≤y ≤x -1}, ∑上侧的法向量为n =(1, -1, 1), 单位法向量为,由两类曲面积分之间的了解可得dS z f y f x f ]cos )(cos )2(cos )[(γβα+++++=∑⎰⎰.(4), 其中∑是平面x =0, y =0, z =0, x +y +z =1所围成的空间区域的整个边界曲面的外侧.解 ∑=∑1+∑2+∑3+∑4, 其中∑1: x =0, D yz : 0≤y ≤1, 0≤z ≤1-y ,∑2: y =0, D zx : 0≤z 1, 0≤x ≤1-z ,∑3: z =0, D xy : 0≤x ≤1, 0≤y ≤1-x ,∑4: z =1-x -y , D xy : 0≤x ≤1, 0≤y ≤1-x ,于是 xzdxdy 4000∑⎰⎰+++=由积分变元的轮换对称性可知.因此 .解 ∑=∑1+∑2+∑3+∑4, 其中∑1、∑2、∑3是位于坐标面上的三块;∑4: z =1-x -y , D xy : 0≤x ≤1, 0≤y ≤1-x .显然在∑1、∑2、∑3上的曲面积分均为零, 于是yzdzdx xydydz xzdxdy ++=∑⎰⎰4dS xz yz xy )cos cos cos (4γβα++=∑⎰⎰dS xz yz xy )(34++=∑⎰⎰.4. 把对坐标的曲面积分化成对面积的曲面积分:(1)∑为平面在第一卦限的部分的上侧;解 令, ∑上侧的法向量为:,单位法向量为,于是 Rdxdy Qdzdx Pdydz ++∑⎰⎰.(2)∑是抛物面z =8-(x 2+y 2)在xOy 面上方的部分的上侧.解 令F (x , y , z )=z +x 2+y 2-8, ∑上侧的法向量n =(F x , F y , F z )=(2x , 2y , 1),单位法向量为,于是 Rdxdy Qdzdx Pdydz ++∑⎰⎰10-61.利用高斯公式计算曲面积分:(1),其中∑为平面x=0,y=0,z=0,x=a,y=a,z=a所围成的立体的表面的外侧;解由高斯公式原式(这里用了对称性).(2),其中∑为球面x2+y2+z2=a2的外侧;解由高斯公式原式.(3),其中∑为上半球体x2+y2≤a2,的表面外侧;解由高斯公式原式.(4)其中∑界于z=0和z=3之间的圆柱体x2+y2≤9的整个表面的外侧;解由高斯公式原式.(5),其中∑为平面x=0,y=0,z=0,x=1,y=1,z=1所围成的立体的全表面的外侧.解由高斯公式原式.2.求下列向量A穿过曲面∑流向指定侧的通量:(1)A=yz i+xz j+xy k,∑为圆柱x+y2≤a2(0≤z≤h )的全表面,流向外侧;解P=yz,Q=xz,R=xy,⎰⎰⎰dv.=0=Ω(2)A=(2x-z)i+x2y j-xz2k,∑为立方体0≤x≤a, 0≤y≤a, 0≤z≤a,的全表面,流向外侧;解P=2x-z,Q=x2y,R=-xz2,.(3)A=(2x+3z)i-(xz+y)j+(y2+2z)k,∑是以点(3,-1, 2)为球心,半径R=3的球面,流向外侧.解P=2x+3z,Q=-(xz+y),R=y2+2z,⎰⎰⎰dv.π=3=108Ω3.求下列向量A的散度:(1)A=(x2+yz)i+(y2+xz)j+(z2+xy)k;解P=x2+yz,Q=y2+xz,R=-z2+xy,.(2)A=e xy i+cos(xy)j+cos(xz2)k;解P=e xy,Q=cos(xy),R=cos(xz2),.(3)A=y2z i+xy j+xz k;解P=y2,Q=xy,R=xz,.4.设u (x,y,z)、v (x,y,z)是两个定义在闭区域Ω上的具有二阶连续偏导数的函数,,依次表示u (x,y,z)、v (x,y,z)沿∑的外法线方向的方向导数.证明,其中∑是空间闭区间Ω的整个边界曲面,这个公式叫作林第二公式.证明由第一格林公式(见书中例3)知,.将上面两个式子相减,即得.5.利用高斯公式推证阿基米德原理:浸没在液体中所受液体的压力的合力(即浮力)的方向铅直向上,大小等于这物体所排开的液体的重力.证明取液面为xOy面,z轴沿铅直向下,设液体的密度为ρ,在物体表面∑上取元素dS上一点,并设∑在点(x,y,z)处的外法线的方向余弦为cos α, cos β, cos γ, 则dS 所受液体的压力在坐标轴x , y , z 上的分量 分别为-ρz cos αdS , -ρz cos β dS , -ρz cos γ dS ,∑所受的压力利用高斯公式进行计算得,,||cos Ω-=-=-=-=ΩΩ∑⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ρρργρdv dv dS z F z ,其中|Ω|为物体的体积. 因此在液体中的物体所受液体的压力的合力, 其方向铅直向上, 大小等于这物体所排开的液体所受的重力, 即阿基 米德原理得证.习题10-71. 利用斯托克斯公式, 计算下列曲线积分:(1), 其中Γ为圆周x 2+y 2+z 2=a 2, , 若从z 轴的正向看去, 这圆周取逆时针方向;解 设∑为平面x +y +z =0上Γ所围成的部分, 则∑上侧的单位法向量为.于是.提示: 表示∑的面积, ∑是半径为a 的圆.(2), 其中Γ为椭圆x 2+y 2=a 2,(a >0, b >0), 若从x 轴正向看去, 这椭圆取逆时针方向;解 设∑为平面上Γ所围成的部分, 则∑上侧的单位法向量为.于是.提示: ∑(即)的面积元素为.(3), 其中Γ为圆周x 2+y 2=2z , z =2, 若从z 轴的正向看去, 这圆周是取逆时针方向;解 设∑为平面z =2上Γ所围成的部分的上侧, 则.(4), 其中Γ为圆周x 2+y 2+z 2=9, z =0, 若从z 轴的正向看去, 这圆周是取逆时针方向.解 设∑为xOy 面上的圆x 2+y 2≤9的上侧, 则.2. 求下列向量场A 的旋度:(1)A =(2z -3y )i +(3x -z )j +(-2x )k ;解 .(2)A =(sin y )i -(z -x cos y )k ;解 .(3)A =x 2sin y i +y 2sin(xz )j +xy sin(cos z )k .解=[x sin(cos z )-xy 2cos(xz )]i -y sin(cos z )j +[y 2z cos(xz )-x 2cos y ]k . 3. 利用斯托克斯公式把曲面积分化为曲线积分, 并计算积分值, 其中A 、∑及n 分别如下:(1)A =y 2i +xy j +xz k , ∑为上半球面, 的上侧, n 是∑的单位法向量;解 设∑的边界Γ : x 2+y 2=1, z =0, 取逆时针方向, 其参数方程为x =cos θ, y =sin θ, z =0(0≤θ≤2π,由托斯公式.(2)A =(y -z )i +yz j -xz k , ∑为立方体0≤x ≤2, 0≤y ≤2, 0≤z ≤2的表面外侧 去掉xOy 面上的那个底面, n 是∑的单位法向量.解.4. 求下列向量场A 沿闭曲线Γ(从z 轴正向看依逆时针方向)的环流量:(1)A =-y i +x j +c k (c 为常量), Γ为圆周x 2+y 2=1, z =0;解.(2)A =(x -z )i +(x 3+yz )j -3xy 2k , 其中Γ为圆周, z =0.解 有向闭曲线Γ的参数方程为x =2cos θ, y =2sin θ, z =0(0≤π≤2π). 向量场A 沿闭曲线Γ的环流量为⎰⎰-++-=++L L dz xy dy yz x dx z x Rdz Qdy Pdx 223)()(.5.证明rot(a+b)=rot a+rot b.解令a=P1(x,y,z)i+Q1(x,y,z)j+R1(x,y,z)k,b=P2(x,y,z)i+Q2(x,y,z)j+R2(x,y,z)k,由行列式的性质,有.6.设u=u(x,y,z)具有二阶连续偏导数,求rot(grad u)解因为grad u=u x i+u y j+u z k,故=(u zy-u yz)i+(u zx-u xz)j+(u yx-u xy)k=0.*7.证明:(1)∇(uv)=u∇v+v∇u解=u∇v+v∇u.(2)解==u∆v+v∆u+2∇u⋅∇u.(3) ∇⋅(A⨯B )=B⋅(∇⨯A )-A⋅(∇⨯B )解B=P2i+Q2j+R2k,而所以∇⨯(A⨯B)=B⨯(∇⨯A)-A⨯( ∇⨯B )(4) ∇⨯(∇⨯A )=∇(∇⋅A )-∇2a解令A=Pi+Q j++R k,则从而命题地证总习题十1. 填空:(1)第二类曲线积分化成第一类曲线积分是____________, 其中α、β、γ为有向曲线弧Γ上点(x , y , z )处的_____________的方向角.解 , 切向量.(2)第二类曲面积分Rdxdy Qdzdx Pdydz ++∑⎰⎰化成第一类曲面积分是_______, 其中α、β、γ为有向曲面∑上点(x , y , z )处的________的方向角.解 , 法向量.2. 选择下述题中给出的四个结论中一个正确的结论:设曲面∑是上半球面: x 2+y 2+z 2=R 2(z ≥0), 曲面∑1是曲面∑在第一卦限中的部分, 则有________.(A )xdS xdS 14∑∑⎰⎰⎰⎰=; (B );(C )xdS zdS 14∑∑⎰⎰⎰⎰=; (D )xyzdS xyzdS 14∑∑⎰⎰⎰⎰=.解 (C ).3. 计算下列曲线积分:(1), 其中L 为圆周x 2+y 2=ax ;解 L 的参数方程为, (0≤θ≤2π), 故θθθθπd y x ax ds ax ds y x L L )()()(222022'+'⋅==+⎰⎰⎰().(2), 其中Γ为曲线x =t cos t , y =t sin t , z =t (0≤t ≤t 0);解.(3), 其中L 为摆线x =a (t -sin t ), y =a (1-cos t )上对应t 从0到2π的一段弧;解 ⎰⎰⋅-+-⋅+-=+-π20]sin )sin ()cos 1()cos 2[()2(dt t a t t a t a t a a a xdy dx y a L.(4), 其中Γ是曲线x =t , y =t 2, z =t 3上由听t 1=0到t 2=1的一段弧;解.(5), 其中L 为上半圆周(x -a )2+y 2=a 2, y ≥0, 沿逆时针方向;解 这里P =e x sin y -2y , Q =e x cos y -2, .令L 1为x 轴上由原点到(2a , 0)点的有向直线段, D 为L 和L 1所围成的区域, 则由格林公式,.(6), 其中Γ是用平面y =z 截球面x 2+y 2+z 2=1所得的截痕, 从z 轴的正向看去, 沿逆时针方向.解 曲线Γ的一般方程为, 其参数方程为, t 从0变到2π.于是.4. 计算下列曲面积分:(1), 其中∑是界于平面z =0及z =H 之间的圆柱面x 2+y 2=R 2;解 ∑=∑1+∑2, 其中, D xy : -R ≤y ≤R , 0≤z ≤H , ;, D xy : -R ≤y ≤R , 0≤z ≤H , ,于是.(2), 其中∑为锥面(0≤z ≤h ) 的外侧;解 这里P =y 2-z , Q =z 2-x , R =x 2-y , 0=∂∂+∂∂+∂∂zR y Q x P . 设∑1为z =h (x 2+y 2≤h 2)的上侧, Ω为由∑与∑1所围成的空间区域, 则由高斯公式,而40222024)sin cos ()(1h d r r d dxdy y x h πθθθθπ=-=-⎰⎰⎰⎰∑, 所以 .(3)zdxdy ydzdx xdydz ++∑⎰⎰, 其中∑为半球面的上侧;解 设∑1为xOy 面上圆域x 2+y 2≤R 2的下侧, Ω为由∑与∑1所围成的空间区域, 则由高斯公式得,而 ,所以 33202R R zdxdy ydzdx xdydz ππ=-=++∑⎰⎰.(4), 其中∑为曲面(z ≥0)的上侧;解 这里, , , 其中., , ,.设∑1为z =0的下侧, Ω是由∑和∑1所围成的空间区域, 则由高斯公式,32223222)()(1z y x zdxdy ydzdx xdydz z y x zdxdy ydzdx xdydz ++++-=++++∑∑⎰⎰⎰⎰. (5)xyzdxdy∑⎰⎰, 其中∑为球面x 2+y 2+z 2=1(x ≥0, y ≥0)的外侧. 解 ∑=∑1+∑2, 其中∑1是(x 2+y 2≤1, x ≥0, y ≥0)的上侧;∑2是(x 2+y 2≤1, x ≥0, y ≥0)的下侧,xyzdxdy xyzdxdy xyzdxdy 21∑∑∑⎰⎰⎰⎰⎰⎰+=dxdy y x xy dxdy y x xy xyxy D D )1(12222------=⎰⎰⎰⎰ ⎰⎰⎰⎰-⋅⋅=--=103220221sin cos 212ρρρθθθπd d dxdy y x xy xy D .5. 证明22y x ydy xdx ++在整个xOy 平面除去y 的负半轴及原点的区域G 内是某个二元函数的全微分, 并求出一个这样的二元函数.解 这里, . 显然, 区域G 是单连通的, P 和Q 在G 内具有一阶连续偏导数, 并且 , 所以22y x ydy xdx ++在开区域G 内是某个二元函数u (x , y )的全微分. .6. 设在半平面x >0内有力构成力场, 其中k 为常数, . 证明在此力场中场力所作的功与所取的路径无关.解 场力沿路径L 所作的功为.令, . 因为P 和Q 在单连通区域x >0内具有一阶连续的偏导数, 并且,所以上述曲线积分所路径无关, 即力场所作的功与路径无关.7. 求均匀曲面的质心的坐标.解 这里∑:, (x , y )∈D xy ={(x , y )|x 2+y 2≤a 2}.设曲面∑的面密度为ρ=1, 由曲面的对称性可知, . 因为,222421a a dS ππ=⋅=∑⎰⎰, 所以 .因此该曲面的质心为.8. 设u (x , y )、v (x , y )在闭区域D 上都具有二阶连续偏导数, 分段光滑的曲线L 为D 的正向边界曲线. 证明:(1);(2),其中、分别是u 、v 沿L 的外法线向量n 的方向导数, 符号称为二维拉普拉斯算子. 证明 设L 上的单位切向量为T =(cos α, sin α), 则n =(sin α, -cos α).(1),所以 .(2)dxdy u v v u dxdy y u x u v y v x v u DD )()]()([22222222∆-∆=∂∂+∂∂-∂∂+∂∂=⎰⎰⎰⎰. 9. 求向量A =x i +y j +z k 通过闭区域Ω={(x , y , z )|0≤x ≤1, 0≤y ≤1, 0≤z ≤1}的边界曲面流向外侧的通量.解 设∑为区域Ω的边界曲面的外侧, 则通量为33==Ω⎰⎰⎰dv .10. 求力F =y i +z j +x k 沿有向闭曲线Γ所作的功, 其中Γ为平面x +y +z =1被三个坐标面所截成的三角形的整个边界, 从z 轴正向看去, 沿顺时针方向.解 设∑为平面x +y +z =1在第一卦部分的下侧, 则力场沿其边界L (顺时针方向)所作的功为.曲面∑的的单位法向量为, 由斯托克斯公式有.温馨提示-专业文档供参考，请仔细阅读后下载，最好找专业人士审核后使用！。
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高等代数与解析几何答案同济大学
高等代数与解析几何答案同济大学高等代数与解析几何答案同济大学【篇一：大学所有课程课后答案】资料打开方法：按住ctrl键，在你需要的资料上用鼠标左键单击资料搜索方法：ctrl+f 输入关键词查找你要的资料【数学】?o?o?o?o?o?o?o?oo?o?o?o?o?o?o?o?o? 习题答案o?o??o?o?o?o?o?o?o?o?o?o?o?o?o?o?o?o?o【计算机/网络/信息】??o?o?o?o【经济/金融/营销/管理/电子商务】?o?o?o?o?o?o?o?【篇二：kehoudaanhuizong】的日志经济金融[pdf格式]《会计学原理》同步练习题答案[word格式]《成本会计》习题及答案（自学推荐，23页）[word格式]《成本会计》配套习题集参考答案[word格式]《实用成本会计》习题答案[word格式]《会计电算化》教材习题答案（09年）[jpg格式]会计从业《基础会计》课后答案[word格式]《现代西方经济学（微观经济学）》笔记与课后习题详解（第3版，宋承先）[word格式]《宏观经济学》习题答案（第七版，多恩布什）[word格式]《国际贸易》课后习题答案（海闻p.林德特王新奎）[pdf格式]《西方经济学》习题答案（第三版，高鸿业）可直接打印[word格式]《金融工程》课后题答案（郑振龙版）[word格式]《宏观经济学》课后答案（布兰查德版）[jpg格式]《投资学》课后习题答案（英文版，牛逼版）[pdf格式]《投资学》课后习题答案（博迪，第四版）[word格式]《微观经济学》课后答案（高鸿业版）[word格式]《公司理财》课后答案（英文版，第六版）[word格式]《国际经济学》教师手册及课后习题答案（克鲁格曼，第六版）[word格式]《金融市场学》课后习题答案（张亦春，郑振龙，第二版）[pdf格式]《金融市场学》电子书（张亦春，郑振龙，第二版）[word格式]《微观经济学》课后答案（平狄克版）[word格式]《中级财务会计》习题答案（第二版，刘永泽）[pdf格式]《国际经济学》习题答案（萨尔瓦多，英文版）[jpg格式]《宏观经济学》课后答案（曼昆，中文版）[pdf格式]《宏观经济学》答案（曼昆，第五版，英文版）pdf格式[word格式]《技术经济学概论》（第二版）习题答案[word格式]曼昆《经济学原理》课后习题解答[pdf格式]西方经济学（高鸿业版）教材详细答案[word格式]完整的英文原版曼昆宏观、微观经济学答案[word格式]《金融市场学》课后答案（郑振龙版）化学物理[word格式]《固体物理》习题解答（方俊鑫版）[word格式]《简明结构化学》课后习题答案（第三版，夏少武）[word格式]《生物化学》复习资料大全（3套试卷及答案+各章习题集）[pdf格式]《光学教程》习题答案（第四版，姚启钧原著）[word格式]《流体力学》实验分析答案（浙工大版）[word格式]《高分子化学》课后习题答案（第四版，潘祖仁主编）[pdf格式]《化工热力学》习题与习题答案（含各种版本）[word格式]《材料力学》习题答案[word格式]《量子力学导论》习题答案（曾谨言版，北京大学）[pdf格式]《理论力学》习题答案（动力学和静力学）[word格式]《大学物理》完整习题答案[ppt格式]流体输配管网习题详解（重点）[pdf格式]《结构化学基础》习题答案（周公度，北大版）[pdf格式]《物理化学》习题答案与课件集合（南大）[word格式]《传热学》课后习题答案（第四版）[word格式]《控制电机》习题答案[pdf格式]《化工原理答案》课后习题答案（高教出版社，王志魁主编，第三版）[pdf格式]《工程力学》课后习题答案（梅凤翔主编）[pdg格式]《工程电磁场导论》习题详解[pdf格式]《材料力学》习题答案（单辉祖，北京航空航天大学）[word格式]《热工基础》习题答案（张学学主编，第二版，高等教育出版社）[word格式]《大学物理实验》实验题目参考答案（第2版，中国林业出版社）[word格式]《大学物理基础教程》课后习题答案（第二版，等教育出版社）[word格式]《水力学》习题答案（李炜，徐孝平主编，武汉水利电力大学出版社）[pdf格式]《普通物理学教程电磁学》课后习题答案（梁灿斌，第2版）[word格式]《激光原理与激光技术》习题答案完整版（北京工业大学出版社）[word格式]《固体物理》习题解答（阎守胜版）[ppt格式]《仪器分析》课后答案（第三版，朱明华编）[word格式]《高分子化学》习题答案（第四版）[pdf格式]《物理化学》习题答案（南大，第五版）[ppt格式]《高频电子线路》习题参考答案（第四版）[pdf格式]《原子物理学》习题答案（褚圣麟版）[ppt格式]《分析力学》习题答案[word格式]《分析化学》习题答案（第三版，上册，高教版）[ppt格式]《普通物理》习题答案（磁学，电学，热学）[pdf格式]《材料力学》课后习题答案（单辉祖，第二版，高教出版社）[word格式]《分析化学》课后习题答案（第五版，高教版）[word格式]《分析化学》习题解答[word格式]《理论力学》课后习题答案（赫桐生，高教版）[word格式]《大学物理学》习题解答[pdf格式]《电动力学》习题答案（第三版，郭硕宏）[pdf格式]《大学物理》课后答案（陈信义）上下册的[pdf格式]《数学物理方法》(第三版)习题答案[jpg格式]《普通化学（第五版）》习题详解（配套浙大编的）[pdf格式]《光学》习题答案及辅导（赵凯华）[pdf格式]《工程光学》习题答案[pdf格式]《材料力学》详细习题答案及辅导（第四版，刘鸿文）[pdf格式]《电磁场与电磁波》（第4版）习题答案及自学辅导[pdf格式]《量子力学教程》习题解答（周世勋版）[word格式]《流体力学》习题答案[pdf格式]《有机化学》课后习题答案（胡宏纹，第三版）[word格式]《有机化学》习题答案（汪小兰主编）[word格式]《化工热力学》习题及详细解答[pdf格式]《工程热力学》课后全解（第三版，沈维道编，高教版）[pdf格式]《理论力学》课后习题答案[word格式]自动控制原理习题集（自学辅导推荐）[pdf格式]《自动控制原理》课后题答案（胡寿松，第四版）[pdf格式]大学物理习题及答案[pdf格式]《物理学》习题分析与解答（马文蔚主编，清华大学，第五版）[pdf格式]《电机与拖动基础》课后习题答案（第四版，机械工业出版社，顾绳谷主编）[word格式]《土力学》习题解答/课后答案[pdf格式]《数学物理方法》习题解答案详细版（梁昆淼，第二版）[pdf格式]《传热学》课后答案（杨世铭，陶文铨主编，高教版）[pdf格式]《材料力学》详细辅导及课后答案（pdf格式，共642页）[word格式]大学物理实验绪论课指导书及参考答案[word格式]《大学基础物理学》课后答案（共16个单元）[pdf格式]流体力学课后答案(高教版，张也影，第二版)[pdf格式]程守洙、江之永主编《普通物理学》（第五版）详细解答及辅导电子信息[pdf格式]《数字通信》习题答案（第四版，proakis）[pdf格式]《信号与系统》习题答案（第四版，吴大正）[word格式]《基础电子技术》习题解答（哈工大，蔡惟铮）[word格式]《微机原理及应用》习题答案[ppt格式]《通信电路》课后习题答案（沈伟慈，西安电子科技大学出版社）[jpg格式]《信号与系统》习题答案详解（郑君莉，清华大学，牛逼完整版）[ppt格式]《电路分析》习题答案（第2版，高等教育出版社，胡翔俊）[word格式]《热工测量与自动控制》习题及答案[pdf格式]《信息论与编码》学习辅导及习题详解（傅祖芸版）[pdf格式]《电工学——电子技术》习题答案（下册）[pdf格式]《数字逻辑电路与系统设计》习题答案[word格式]《数字电路与逻辑设计》课后习题答案，讲解详细[word格式]《电工学》课后习题答案（第六版，上册，秦曾煌主编）[pdf格式]《数字信号处理》完整习题答案（程佩青，英文版）[word格式]《微机原理》作业答案（李继灿版）[word格式]《通信原理》课后习题答案及每章总结（樊昌信，国防工业出版社，第五版）[pdf格式]《信号与系统》课后习题答案[pdf格式]《数字电子技术基础》课后习题答案（完整答案版）[word格式]《电子线路-非线性部分》课后答案（谢嘉奎高等教育出版社）[word格式]《通信原理》习题答案[pdf格式]《电路分析》课后答案及学习指导（第二版，胡翔骏，高教版）[pdf格式]《数字信号处理——基于计算机的方法》习题答案（第二版）[pdf格式]《数字电子技术基础》详细习题答案（阎石第四版）[word格式]《测控电路》习题答案（机械出版社）[word格式]《电力电子技术》习题答案（第四版，王兆安，王俊主编）[word格式]《单片机及接口技术》课后答案（梅丽凤，王艳秋，清华大学出版社）[pdf格式]《电路》习题答案上（邱关源，第五版）[ppt格式]《信息论与编码》辅导ppt及部分习题答案（曹雪虹，张宗橙，北京邮电大学出版社）[pdf格式]《电子电路分析与设计》课后题答案（英文版）[pdf格式]《电力电子技术》习题答案（第4版，西安交通大学）[word格式]《自动控制原理》课后题答案（卢京潮主编，西北工业大学出版社）[word格式]《控制工程基础》课后习题解答（清华版）[word格式]《控制工程基础》习题答案（第二版，燕山大学）[ppt格式]《自动控制原理》习题答案[swf格式]《微电子器件与ic设计》习题答案（科学出版社）[pdf格式]《电力拖动自动控制系统》习题答案[pdf格式]《电工学》习题答案（第六版，秦曾煌）[word格式]《数字信号处理》习题答案[pdf格式]《信号与系统》习题及精解[pdf格式]《信号与系统》课后习题答案（于慧敏著）[pdf格式]《信号与系统》课后习题答案（西安电子科技大学）[word格式]电子技术数字和模拟部分答案（第四版，康华光）[word格式]《信息论与编码》习题答案(高等教育出版社)仇佩亮编[pdf格式]《现代控制系统》答案（英文版）730页[pdf格式]《数字电子技术》课后习题答案详解（阎石，第四版）[pdf格式]《数字电子技术基础》习题答案（阎石，第五版）[pdf格式]《信号与系统》习题详解（奥本海姆版）[pdf格式]《信号与线性系统分析》习题答案及辅导参考（吴大正版）[word格式]《信号与系统》习题解析（燕庆明，第3版）非常详细[word格式]《ibm-pc汇编语言》课后习题答案[pdf格式]《数字信号处理教程》习题解答（第二版）[pdf格式]《数字信号处理》课后答案及详细辅导（丁美玉，第二版）[word格式]《现代通信原理》习题答案（曹志刚版）[word格式]《模拟电子技术基础》详细习题答案（童诗白，华成英版，高教版）[word格式]《模拟电子技术基础简明教程》课后习题答案（杨素行第三版）[word格式]《单片机原理及应用》课后习题答案（张毅刚主编，高教版）[word格式]《数字逻辑》（第二版）习题答案（欧阳明星主编）[ppt格式]《模拟电子技术基础》课后习题答案（共10章）[pdf格式]《数字逻辑》第四版习题答案法学政治[pdf格式]《公共关系学》习题及参考答案（复习必备）[word格式]《公司法》课后练习及参考答案[word格式]《国际经济法》课后参考答案[word格式]思想道德修养与法律基础课后习题答案[word格式]《毛泽东思想和中国特色社会主义理论体系概论》习题答案（2008年修订版的）[word格式]《马克思主义基本原理概论》新版完整答案文学历史[pdf格式]《语言学概论》习题答案(自考,新版教材)[pdf格式]《语言学概论练习题》答案[pdf格式]《语言学教程》课后答案[word格式]选修课《中国现当代文学》资料包[word格式]《传播学教程》课后答案（郭庆光主编，完整版）[word格式]现代汉语题库（语法部分）及答案[word格式]《中国近代史纲要》课后习题答案[word格式]《中国近现代史》选择题全集（共含250道题目和答案）[word格式]《中国近代史纲要》完整课后答案（高教版）数学应用[word格式]高等数学习题答案及提示[pdf格式]《线性代数》习题答案（魏福义，黄燕苹，中国农业出版社）[word格式]《概率论与数理统计》8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【浙大版高数】第十章课后习题及答案
习题101 解：（1）这是一阶微分方程。
3sin 4cos y x x =-Q ，3cos 4sin y x x '∴=+，有 3cos 4sin 3sin 4cos 7sin cos 0y y x x x x x x '+=++-=-≠ 所以， 3sin 4cos y x x =-不是方程 0y y '+=的解。
（2）这是二阶微分方程。
2 x y x e =Q ，222(2),x x x y xe x e x x e '∴=+=+，222(2)(22)(2)(24)x x x x y x x e x e x x e x x e ''=+=+++=++有222222 2(24)2(2)?(2442)20x x x x x y y y x x e x x e x e x x x x x e e '''-+=++-++++--+=≠=所以，2xy x e =不是方程20y y y '''-+=的解。
（3）这是二阶微分方程。
1212 x x y C e C e λλ=+Q ，12122211221122,x x x x C e C e y C e C e y λλλλλλλλ''+'∴=+=，有12121222112211122212121212()())(()x x x x x x C e C e C e C e C y C y e e y λλλλλλλλλλλλλλλλλλ'''-++=++-+++11221212222211111222211212122122==0x x x x x x x x C e C e C e C e C e C e C e C e λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ-+---++所以，1212xx y C e C e λλ=+是方程1212()0y y y λλλλ'''-++=的解。
高等代数与解析几何 第二版 (陈志杰 著) 高等教育出版社
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P2(3) = 1+P1(2)+P2(2),
kl U# #$ P2(n) = (n − 2) + (n − 1) + · · · + 2 =
陈志杰主编 高代课后习题1-1解答
习题1-1 1、（1）利用向量运算的多边形法则：c b a AA AD AB CC BC AB AC ++=++=++=111；（2）利用向量运算的多边形法则：c b a AA AD AB DD AD BA BD ++-=++-=++=111；（3）利用向量运算的多边形法则：c b a AB AD AA F D D A AA AF ++=++=++=212111111； （4）利用向量多边形法则：c b a AB AA AD F C CC EC EF ++-=-+=++=21212121111。
2、（1）若0=a 或0=b 必然能使等式成立；若0≠a 且0≠b ，则a 与b 共线且同向才能成立； （2）若0=b 必然能使等式成立；若0≠b ，则a 与b 共线，反向且b a >才能成立；（3）若0=b 必然能使等式成立；若0≠b ，则a 与b 共线，同向且b a >才能成立；（4）若0=a 或0=b 必然能使等式成立；若0≠a 且0≠b ，则a 与b 共线且反向才能成立。
3、（1）证明：若0=a 或0=b ，则该不等式显然成立，当且仅当0=b 时等式成立；若b a <，则该不等式显然成立；若b a >，则()()b a b a b a a b b a a b ≤⋅⇔≥⇔≥22----，当且仅当a 与b 共线且反向时等式成立； （2）证明：若0=a 或0=b 或0=c ，则该不等式显然成立，当其中之一等于0时等式成立的条件是另外两个向量共线；若0≠a 且0≠b 且0≠c ，则⇔++≤++c b a c b a()()c b c a b a c b c a b a c b a c b a ++≤⋅+⋅+⋅⇔++≤++22，显然该不等式是成立的，当且仅当a 、b 与c 共线且同向时等式成立。
4、证明：在四边形ABCD 中，b a AB 2+=，b a BC --=4,b a CD 35--=，且a 与b 都是非零向量，则()()()b a b a b a b a CD BC AB AD 283542--=--+--++=++=，显然可知()b a AD BC b a 2821214--===--，即BC AD ∥，且BC AD 2=，所以四边形ABCD 是梯形。
高数第十章答案
高数第十章答案【篇一：高等数学2第十章答案】=txt>1.根据二重积分的性质，比较下列积分的大小：（1）成；2223d与，其中积分区域是圆周(x?2)?(y?1)?2所围(x?y)d?(x?y)d????? dd（2）??ln(x?y)d?与??[ln(x?y)]d?，其中d是三角形闭区域，三顶点分别为(1,0)，dd2(1,1)，(2,0)；2.利用二重积分的性质估计下列积分的值：（1）i?22sinxsinyd?，其中d?{(x,y)|0?x??,0?y??}；??d（2）i?2222，其中d?{(x,y)|x?y?4}.(x?4y?9)d???d（3）.i?d，其中d?{(x,y)|0?x?1,0?y?2}解 ?f?x,y??，积分区域的面积等于2，在d上f?x,y?的最大值m?14?x?y?0?，最小值m?1?5?x?1,y?2? 故0.4?i?0.5习题10-2二重积分的计算法1.计算下列二重积分：（1）??(x2?y2)d?，其中d?{(x,y)||x|?1,|y|?1}；d（2）??sinyd?，其中d是由y?x,y2?x所围成的闭区域. dy解：??sinyd??dy?10dy?ysinyy2ydx?1?sin1 2.画出积分区域，并计算下列二重积分：（1）??ex?yd?，其中d?{(x,y)||x|?y?1}d（2）22(x?y?x)d?，其中d是由直线y?2，y?x及y?2x所围成的闭区域。
??d3.化二重积分i???f(x,y)d?为二次积分（分别列出对两个变量先后次序不同的两个二次d积分），其中积分区域d是：（1）由直线y?x及抛物线y2?4x所围成的闭区域；（2）由直线y?x，x?2及双曲线y?1(x?0)所围成的闭区域。
x4.求由曲面z?x2?2y2及z?6?2x2?y2所围成的立体的体积。
5.画出积分区域，把积分22其中积分区域d是： ??f(x,y)dxdy表示为极坐标形式的二次积分， d（1）{(x,y)|x?y?2x}；（2）{(x,y)|0?y?1?x,0?x?1}6.化下列二次积分为极坐标形式的二次积分：（1?2dxxfdy；【篇二：高等数学2第十章答案_62010】=txt>1.根据二重积分的性质，比较下列积分的大小：（1）成；2223d与，其中积分区域是圆周(x?2)?(y?1)?2所围(x?y)d?(x?y)d????? dd（2）??ln(x?y)d?与??[ln(x?y)]d?，其中d是三角形闭区域，三顶点分别为(1,0)，dd2(1,1)，(2,0)；2.利用二重积分的性质估计下列积分的值：（1）i?22sinxsinyd?，其中d?{(x,y)|0?x??,0?y??}；??d（2）i?2222，其中d?{(x,y)|x?y?4}.(x?4y?9)d???d（3）.i?d，其中d?{(x,y)|0?x?1,0?y?2}解f?x,y??，积分区域的面积等于2，在d上f?x,y?的最大值1m??x?y?0?，最小值m???x?1,y?2? 45故0.4?i?0.5习题10-2二重积分的计算法1.计算下列二重积分：（1）22(x?y)d?，其中d?{(x,y)||x|?1,|y|?1}；??d（2）??xcos(x?y)d?，其中d是顶点分别为(0,0)，(?,0)和(?,?)的三角形闭区域。
数学分析课后习题答案--高教第二版(陈纪修)--10章
第十章 函数项级数习 题 10. 1 函数项级数的一致收敛性1. 讨论下列函数序列在指定区间上的一致收敛性。
⑴ S n (x ) = , (i) x nx −e ∈)1,0(， (ii) x ∈； ),1(+∞ ⑵ S n (x ) = x , x nx −e ∈),0(+∞；⑶ S n (x ) = sin nx , (i)x ∈),(+∞−∞， (ii) x ∈],[A A −()； 0>A ⑷ S n (x ) = arctan nx , (i)x ∈)1,0(， (ii) x ∈； ),1(+∞ ⑸ S n (x ) =221nx +, x ∈),(+∞−∞； ⑹ S n (x ) = nx (1 - x )n , x ∈]1,0[；⑺ S n (x ) =n x ln n x, (i) x ∈)1,0(， (ii) x ∈)；),1(+∞ ⑻ S n (x ) = nnx x +1, (i) x ∈)1,0(， (ii) x ∈；),1(+∞ ⑼ S n (x ) = (sin x )n , x ∈],0[π；⑽ S n (x ) = (sin x )n1, (i) x ∈[0,]π， (ii) x ∈],[（0>δ）；δπδ− ⑾ S n (x ) = nn x ⎟⎠⎞⎜⎝⎛+1, (i) x ∈),0(+∞， (ii)x ∈],0(A ()； 0>A ⑿ S n (x ) = ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+x n x n 1, (i) x ∈),0(+∞, (ii)[)0,,>+∞∈δδx 。
解 （1）(i) ，0)(=x S )()(sup ),()1,0(x S x S S S d n x n −=∈1= ─/→ 0（∞→n ）， 所以{}()n S x 在上非一致收敛。
(0,1) (ii) ，0)(=x S )()(sup ),(),1(x S x S S S d n x n −=+∞∈n e −=)(0∞→→n ，所以{}()n S x 在上一致收敛。
高等数学课后习题答案--第十章
1 1 2 x 4 + 14 ； （2） y ( x) = + 1 + 4x − 4x 2 ； 2x 2 2 3π 1 2 y 2 − 2 xy + x 2 3 2y − x （3） 通解为 ln x + ln − arctan + c = 0 ，c = − ； 2 8 x 4 2 x
13. 将下列方程化为齐次方程后求出通解：
π π
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【答案】 （1） e 2 x − 3 + 2e − y = 0 ； （2） x 2 y = 1 ； （3）
(1 + e x ) sec y = 2 2 ； （4） cos x cos y =
2 . 2
5. 镭的衰变速度与它的现存量成正比，设 t 0 时有镭 Q0 克，经 1600 年它的量减少了 一半，求镭的衰变规律。 ln 2 − ( t −t0 ) dQ ln 2 1600 = − kQ ， k = 【解】 5． ， Q(t ) = Q0 e . dt 1600
7 1 59
（2） (4 y − 3x + 1) 20 (4 y + x + 5) 8 = c( x + 1) 40 ； （3） 3 ln( x + y + 2) − 2 x − y = c .
14. 上凸曲线 y = f ( x ) 经过点 (0,0) 和 (1,1) ，且对于曲线上任一点 P ( x, y ) (0 < x < 1) ，曲线上连接 (0,0) 和 P 的弧与连接 (0,0) 和 P 的线段所围面积为 x 2 ，求该曲线的方程。 【解】 y = − x 3 + 2 x ； 15. 判断下列方程中是否全微分方程，若是全微分方程则求出其通解： ⑴ (5 x 4 + 3xy 2 − y 3 )dx + (3 x 2 y − 3xy 2 + y 2 )dy = 0 ; ⑵ (4 x 2 + 2 xy + y 2 )dx + ( x + y ) 2 dy = 0 ; ⑶ e y dx + ( x e y − 2 y )dy = 0 ; dy ⑷ ( x cos y + cos x) + (sin y − y sin x) = 0 ; dx 2 2 ⑸ (3x + 6 xy )dx + (6 x 2 y + 4 y 2 )dy = 0 ; ⑹ y ( x − 2 y )dx − x 2 dy = 0 。 3 1 【答案】 (1) x 5 + x 2 y 2 − xy 3 + y 3 = c ; (2) 不是全微分方程; 2 3 4 (3) xe y − y 2 = c ; (4) x sin y + y cos x = c ; (5) x 3 + 3x 2 y 2 + y 3 = c ; 3 (6) 不是全微分方程. 16. 用观察法判断下列方程的积分因子，再求出通解： ⑴ ydx − xdy = 0 ; ⑵ y 2 ( x − 3 y )dx + (1 − 3xy 2 )dy = 0 ; ⑶ xdx + ydy = ( x 2 + y 2 )dx ; ⑷ ( x − y 2 )dx + 2 xydy = 0 ; ⑸ (2 y − 3x 2 y )dx − xdy = 0 ; ⑹ y (1 + xy )dx + x(1 − xy )dy = 0 。 1 x 【答案】 （1）积分因子 2 , = c ； （2） y 2 xdx + dy − 3( ydx + xdy ) y 2 = 0 ，乘 y y
数学分析课后习题答案--高教第二版(陈纪修)--10章
第十章 函数项级数习 题 10. 1 函数项级数的一致收敛性1. 讨论下列函数序列在指定区间上的一致收敛性。
⑴ S n (x ) = , (i) x nx −e ∈)1,0(， (ii) x ∈； ),1(+∞ ⑵ S n (x ) = x , x nx −e ∈),0(+∞；⑶ S n (x ) = sin nx , (i)x ∈),(+∞−∞， (ii) x ∈],[A A −()； 0>A ⑷ S n (x ) = arctan nx , (i)x ∈)1,0(， (ii) x ∈； ),1(+∞ ⑸ S n (x ) =221nx +, x ∈),(+∞−∞； ⑹ S n (x ) = nx (1 - x )n , x ∈]1,0[；⑺ S n (x ) =n x ln n x, (i) x ∈)1,0(， (ii) x ∈)；),1(+∞ ⑻ S n (x ) = nnx x +1, (i) x ∈)1,0(， (ii) x ∈；),1(+∞ ⑼ S n (x ) = (sin x )n , x ∈],0[π；⑽ S n (x ) = (sin x )n1, (i) x ∈[0,]π， (ii) x ∈],[（0>δ）；δπδ− ⑾ S n (x ) = nn x ⎟⎠⎞⎜⎝⎛+1, (i) x ∈),0(+∞， (ii)x ∈],0(A ()； 0>A ⑿ S n (x ) = ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+x n x n 1, (i) x ∈),0(+∞, (ii)[)0,,>+∞∈δδx 。
解 （1）(i) ，0)(=x S )()(sup ),()1,0(x S x S S S d n x n −=∈1= ─/→ 0（∞→n ）， 所以{}()n S x 在上非一致收敛。
(0,1) (ii) ，0)(=x S )()(sup ),(),1(x S x S S S d n x n −=+∞∈n e −=)(0∞→→n ，所以{}()n S x 在上一致收敛。
2025高考数学必刷100讲常规版第10章解析几何模块2圆与方程含答案
2025高考数学必刷100讲常规版第10章解析几何模块2圆与方程模块二圆与方程第1节圆的方程(★☆)内容提要1.圆的方程①标准方程：(x-€7)2+(j/-6)2=r2(r>0),其中圆心为0,b),半径为尸.②一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0,其中D2+£2-4F>0.2.求圆的方程常用三种方法：①设一般式方程x2+/+D x+£>+F=0,建立关于系数。
，E,尸的方程组，解方程组.当已知圆上三点时，常用这种方法.②设圆心，利用圆心到圆上点的距离都等于半径建立方程求圆心.已知圆心性质时常用此法.③找圆心(弦的中垂线过圆心)、求半径.3.点与圆的位置关系：设尸(％*0),圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2(或x2+y2+Dx+£y+F=0),①点尸在圆C外(X q—I)?+(*o—3)2>疽(或X q+j V q+D xq+Ey^+7^>0);②点P在圆C上u*(工。
—")2+(*o—bV=尸2(或X q+j V q+D xq4-互+/=0);③点P在圆C内(x o—「)2+3o—3)2<尸2(或X q+jPg+D xq+Ey^4-/^<0).类型I：圆的方程中的系数条件【例1】若方程J+j?+6x+m=0表示一个圆，则m的取值范围是()A,(—00,9)B・(一3,—9)C.(9,+oo)D.(—9,+oo)解析:观察发现可用D'+E‘-4F〉0求解秫的范围，方程工2+j;2+6x+m=0表示圆=>6?-4m>0=>m<9.答案：A【变式】若点F(-l,2)在圆C:x2+y2-2x+4y+/c=0的外部，则实数次的取值范围是()A.(—5,5)B.(-15,5)C.(-00,-15)U(5,+oo)D.(-15,2)解析：点P(-l,2)在圆■外部=>(-1)2+22-2x(-l)+4x2+^>0,解得:k>—15①，务必注意，题设隐含了所给方程表示圆，故还需由D2+E2-4F>0求次的范围，与①取交集，方程*2一2工+4*+*=0表示圆，应有(-2)2+4?—4*>0,解得：k<5,结合①可得Re(—15,5).答案：B【反思】当圆的方程中含参时，不要忘了考虑圆的方程本身对参数的要求.类型II:求圆的方程【例2】已知力(2,0),5(4,2),。
高等代数与解析几何_第二版_陈志杰_课后答案(上册)
BC
− → (3) AF ;
F C1
− − → (4) EF .
A1 D → − c− → b
B1 C E
A
− → a
B
1
: (1) − − → − − → BC = AD, − → − − → − CC1 = AA1 , − − → − − → − − → − − → AC1 = AB + BC + CC1 ,
§1
·3·
: .
− → − − → − − → AL, BM , CN − − → 1 − − → − − → BM = (BA + BC ), 2
, − − → 1 − → − − → CN = (CA + CB ), 2
− → 1 − − → − → AL = (AB + AC ), 2
→ − − → − − → − : AL + BM + CN = 0.
5
·4·
F O E
C A G B
A
D
B
C
6
7
→ − − → − − − → − → − → − − → a + 2 b , BC = −4− a − b , CD = 8. ABCD , AB = → → → − − → → −5− a − 3 b (− a, b ). ABCD . → − − − → − − → − − → − − → − − → − − → − − → → − : AD = AB + BC + CD = −8 a − 2 b = 2BC , AD//BC . − → − − → − |AD | = 2|BC |, ABCD . 9. A, B, C, D , M, N AB , CD . : − − → − − → − → 1 − M N = (AD + BC ). 2 : , − → − − → − → 1 − CM = (CA + CB ), 2 − − → 1− − → CN = CD, 2