高等代数与解析几何 第八章课件

x 2 y 3 z 4
2 2
2
2
1 , 2
2
2 4 116 2 . 所求方程为 x y 1 z 3 3 9
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以下给出几例常见的曲面.
例 3 建立球心在点 M 0 ( x 0 , y0 , z 0 ) 、半径为 R 的球面方程.
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2 2 z ( x 1 ) ( y 2 ) 1的图形是怎样的？ 例4 方程
解
根据题意有 z 1
用平面z c 去截图形得圆：
z
( x 1)2 ( y 2)2 1 c (c 1)
当平面z c 上下移动时， 得到一系列圆
c
o
x
（2.2－6）
例3(P41) 注意
求以z 轴为对称轴，半径为R 的圆柱面的参数方程.
空间曲面的参数方程的表达式不是惟一的.
空间曲线的方程
空间曲线C可看作空间两曲面的交线.
F ( x, y, z ) 0 G ( x , y , z ) 0
空间曲线的一般方程
z
S1
特点：曲线上的点都满足 方程，不在曲线上的点不 能同时满足两个方程.
2 2 2
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2
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由
x x0 2 y y0 2 z z0 2 R2
z z 0 R 2 ( x x 0 ) 2 ( y y0 ) 2 z z 0 R 2 ( x x 0 ) 2 ( y y0 ) 2
得上、下半球面的方程分别是：
（其他类推） 从柱面方程看柱面的特征： 实 例
y2 z2 2 1 椭圆柱面， 母线// x 轴 2 b c 2 2 x y z轴 母线 // 双曲柱面 ， 1 a 2 b2 抛物柱面， 母线// y 轴 x 2 2 pz
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1. 椭圆柱面 2 2 x y 2 1 2 a b
椭圆锥面
2
2
2
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二次锥面
x2
a2
+
y2
b2

z2
c2
= 0 (a>0, b>0, c>0) bz c az c
z
y 2 z2 x = 0, 2 2 = 0, y = b c x 2 z2 y = 0, 2 2 = 0, x = a c
x
O y
x2 y2 z = 0, 2 + 2 = 0 a b x2 y2 h2 当h 0 时，该交线是椭圆； z = h, 2 + 2 = 2 当h = 0 时，该交线是原点。 a b c
z
2. 双曲柱面
x y 2 2 1 a b
z
2
2
o
O
y
y
x
x
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椭圆柱面
z
x2 y2 2 1 2 a b
o
x
y
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双曲柱面
z
x2 z2 2 2 1 a b
o
y
x
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抛物柱面
z y
y 2 2 px
o
x
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§8.2.2
锥面
定义4.2.1 通过一定点且与定曲线相交的一 族直线所产生的曲面叫做锥面. 这些直线都叫做锥面的母线. 那个定点叫做锥面的顶点. 锥面的方程是一个三元方程.
yoz 面上的投影曲线
R( y , z ) 0 x 0
y 0
T ( x, z ) 0 xoz 面上的投影曲线,
问题:各个投影柱面方程是什么?理由是什么? 曲线必在柱面上;柱面必包含曲线
例
2 2 2 x y z 1, 求二球面的交线 C : 2 2 2 x ( y 1) ( z 1) 1
在 xoy 坐标面上的投影曲线方程. 解 把 x2+ y 2+z2 =1 代入 x2+(y -1)2+(z -1) 2=1,得 y+z=1
把 y+z=1 代入 x2+(y -1)2+(z -1) 2=1,得 x2 +2y 2 -2y =0
这就是消去z后所得在 xoy 坐标面的投影柱面方程，
z
因而曲线 C 在 xoy 坐标面上的 投影曲线是椭圆.
F ( x, y, z ) 0 在空间曲线的一般方程： G ( x , y , z ) 0
中消去变量 z ,得：
H ( x, y) 0 曲线H 曲线 L 在 xoy 面上的投影柱面 (x,y) = 0 z 0
F ( x, y, z ) 0 类似地：空间曲线 在 G ( x , y , z ) 0
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二、曲面的参数方程
如果取 u, v a u b, c v d 的一切可能取的值，由 r u, v x u, v e1 y u, v e2 z u, v e3 , 表示的向径 r u , v 的终点 M 总在一个曲面上； 定义 2.2.2 反过来，在这个曲面上的任意点 M 总对应着以它为终点的向径， 而这向径可由 u , v 的值 a u b, c v d 通过 r u, v x u, v e1 y u, v e2 z u, v e3 完全决定， 那么我们就把表达式 r u, v x u, v e1 y u, v e2 z u, v e3 叫做 曲面的向量式参数方程，其中 u , v 为参数.
( x1 , y1 , z1 ) ，随着参数的变化可得到曲线上的全
部点.
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例 4 如果空间一点 M 在圆柱面 x 2 y 2 a 2 上以角 速度 绕 z 轴旋转，同时又以线速度 v 沿平行于 z 轴 的正方向上升（其中 、 v 都是常数），那么点 M 构成的图形叫做螺旋线．试建立其参数方程．
所以，二次锥面也叫椭圆锥面。
三、空间曲线在坐标面上的投影
设 L 为已知空间曲线, P 为已知平面 则以 L 为准线，垂直于 P 的直线 为母线的柱面称为L 关于 P 的投影 柱面
L z
投影柱面与平面P 的交线 C 称 为曲线 L 在平面P 上的投影曲线.
O x
Cy
P
特别是以 L 为准线，母线平行于 z 轴的柱面称为L 关于 xoy面的 投影柱面, 曲线 C 称为 L 在xoy上的投影曲线.
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例 1 已知 A(1,2,3) ， B( 2,1,4)，求线段 AB 的 垂直平分面的方程.
解
设 M ( x , y , z ) 是所求平面上任一点，
根据题意有 | MA || MB |,
x 12 y 22 z 32

x 2 y 1 z 4 ,
解
z
取时间t为参数， 动点从A点出 发，经过t时间，运动到M点 M 在 xoy 面的投影 M ( x , y ,0)
t
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o
x A
M

x a cos t y a sin t z vt
y
M
螺旋线的参数方程
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螺旋线的参数方程还可以写为
x a cos y a sin v z b ( t , b )
锥面是直纹面 锥面的准线不 唯一，和一切母线 都相交的每一条曲 线都可以作为它的 母线.
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z
准线
顶点 x
0
y
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设锥面S的顶点在原点O，准线为曲线
F ( y, z ) 0 z c
设锥面S的方程为
F (cx / z, cy / z ) 0
x y z 2 2 0 2 a b c
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S2
o
xຫໍສະໝຸດ Baidu
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C
y
x2 y2 1 例1 方程组 表示怎样的曲线？ 2 x 3 z 6
2 2 解 x y 1 表示圆柱面， 2 x 3 z 6 表示平面，
x2 y2 1 2 x 3 z 6
交线为椭圆.
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z a2 x2 y2 2 表示怎样的曲线？ 例2 方程组 a 2 a 2 ( x ) y 2 4
§8.1
曲面的方程
曲面的实例： 水桶的表面、台灯的罩子面等．
曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨 迹． 曲面方程的定义：
如果曲面S 与三元方程F ( x , y , z ) 0 有下述关系：
（1 ）曲面 S 上任一点的坐标都满足方程； （2 ）不在曲面 S 上的点的坐标都不满足方程；
那么，方程 F ( x , y , z ) 0 就叫做曲面 S 的方程， 而曲面 S 就叫做方程的图形．
y
圆心在(1,2, c )，半径为 1 c
半径随c 的增大而增大. 图形上不封顶，下封底．
以上方法称为截痕法.
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以上几例表明研究空间曲面有两个基本问题： （1）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程． （讨论旋转曲面） （2）已知坐标间的关系式，研究曲面形状． （讨论柱面、二次曲面）
螺旋线的重要性质：
即 : 0 0 ,

上升的高度与转过的角度成正比．
z : b 0 b 0 b ,
2,
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上升的高度 h 2b 螺距
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§8.2.1 柱面
定义4.1.1 平行于定直线并沿定曲线移动 的直线所形成的曲面称为柱面. 这条定曲线叫 柱面的准线， 动直线叫柱面 的母线. 观察柱面的形 成过程:
解
设 M ( x , y , z ) 是球面上任一点，
根据题意有
| MM0 | R
2 2 2
x x0 2 y y0 2 z z0 2 R
所求方程为 x x0 y y0 z z0 R 2 特殊地：球心在原点时方程为 x y z R
特别当顶点在坐标原点时：
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若 F (tx, ty, tz ) t n F ( x, y, z ). 方程 F(x,y,z)= 0是 n次齐次方程：
n次齐次方程 F(x,y,z)= 0 的图形是以原点为顶点的锥面；
反之，以原 点为顶点的锥面 的方程是n次齐次 方程 F(x,y,z)= 0.
由上述方程可得球面的一般式方程为： x2 + y2 + z2 + Ax + By + Cz + D = 0 （ *）
反之，由一般式方程（*），经过配方又可得到： (x+A/2)2+(y+B/2)2+(z+C/2)2=(A2+B2+C2-4D)/4 当 A2+B2+C2-4D >0 时, 是球面方程.
2 2 2
化简得所求方程 2 x 6 y 2 z 7 0.
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例 2 求与原点O 及 M 0 ( 2,3,4) 的距离之比为1 : 2 的点的全体所组成的曲面方程.
解
设 M ( x , y , z ) 是曲面上任一点，
| MO | 1 , 根据题意有 | MM 0 | 2 x2 y2 z2
二、曲面的参数方程
向径 r u , v 的坐标为 x u, v , y u, v , z u, v ，所以曲面的参
数方程也可写成
x x u, v , y y u, v , z z u, v .
表达式（2.2－6）叫做曲面的坐标式参数方程.
母线
准 线
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柱面举例：
z
M ( x, y, z ) M1 ( x, y,0)

z
x 2y
2
平面
o
y
o
y
x
抛物柱面
x
y x
平面方程：
抛物柱面方程：
x 2y
2
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y x
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只含 x , y 而缺 z 的方程F ( x , y ) 0 ，在 空间直角坐标系中表示母线平行于 z 轴的柱 面，其准线为 xoy 面上曲线 C :F ( x , y ) 0 .
解
z a2 x2 y2
上半球面,
2 a 2 a 圆柱面, ( x ) y2 2 4
交线如图.
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二、空间曲线的参数方程
当给定 t t1 时，就 得到曲线上的一个点
x x( t ) y y( t ) 空间曲线的参数方程 z z(t )