函数自变量取值范围与函数值
如何确定函数自变量的取值范围
如何确定函数自变量的取值范围确定函数自变量的取值范围历来是中考的热点问题之一，考题中多以填空、选择形式出现，现在将常见的几种类型及解法归纳如下，以供同学们参考。
一、 自变量的取值必须使含有自变量的代数式有意义。
1、函数关系式是一个含有自变量的整式或奇次根式时，自变量的取值范围是全体实数。
例1、函数y=15-x 21的自变量取值范围是 。
解析：由于15-x 21是整式，所以x 的取值范围是全体实数。
2、当函数关系式是分式时，自变量的取值范围是使分母不为零的实数。
例2、（07哈尔滨）函数34x y x -=-的自变量x 的取值范围是 。
解析：43--x x 是分式，由分母x-4≠0得x≠4,所以x 的取值范围是x≠4。
3、当函数关系式是偶次根式时，自变量取值范围是使被开方数为非负数的实数。
例3、（07武汉）在函数1-=x y 中，自变量x 的取值范围是（ ）A 、x≥－1B 、x≠1C 、x≥1D 、x≤1解析：此函数关系式是二次根式，由被开方数为非负数可知，x-1≥0，所以x≥1。
故选C 。
4、当函数关系式中，自变量同时含在分式、二次根式中时，函数自变量的取值范围是它们的公共解，即建立不等式组，取它们的公共解。
例4、（07芜湖）函数y =中自变量x 的取值范围是（ ） A 、 x ≥1- B 、 x ≠3 C 、 x ≥1-且x ≠3 D 、 1x <-解析：自变量x 同时含在分式、二次根式中，所以x 的取值范围是它们的公共解。
列不等式组得⎩⎨⎧≠-≥+0301x x 解得x≥－１且x≠3。
故选C 。
二、 自变量的取值必须使实际问题有意义。
当函数关系式表示实际问题或几何问题时，自变量的取值范围既要使函数表达式有意义，也要同时使实际问题及几何问题有意义。
例5、已知等腰三角形的面积为20cm 2，设它的底边长为x （cm ），则底边上的高y （cm ）关于x 的函数关系式为 ，自变量的取值范围是： 。
函数自变量取值范围
函数自变量取值范围函数自变量的取值范围是使函数解析式有意义的自变量的所有可能取值，它是一个函数被确定的重要因素，一直是中考的热点问题之一，下面举例谈谈这类问题的常见类型和解法供供同学们学习时参考。
一、教法点拨：1.在一般的函数关系式中自变量的取值范围主要考虑以下四种情况：（1）函数关系式为整式形式：自变量取值范围为任意实数；（2）函数关系式为分式形式：分母≠0；（3）函数关系式含偶次方根：被开方数≥0；（4）函数关系式含0指数或负整数指数：底数≠0.（5）解析式是上述几种形式组合而成时，应首先求出式子中各部分的取值范围，然后再求出它们的公共部分；2. 实际问题中自变量的取值范围：（1）注意自变量自身表示的意义；（2）问题中的限制条件，此时多用不等式或不等式组来确定自变量的取值范围。
3. 几何图形中函数自变量的取值范围：（1）使函数式有意义；（2）考虑几何图形的构成条件及运动范围。
注意记清各种情况，判断哪一类型，准确计算即可。
二、题型分类：题型一：函数关系式中自变量取值范围1.解析式是整式时, 函数自变量取值范围是全体实数。
（原创题）①y = x2-3 ；②y = 2x -1；③ y =-3x .2.解析式是分式时,自变量的取值范围是使分母不为0的实数。
①（2018哈尔滨）函数y= 中，自变量x的取值范围是_________。
②(2018武汉）若分式在实数范围内有意义，则实数x 的取值范围是（）[来源:学科网ZXXK] A．x＞－2B．x＜－2C．x＝－2D．x≠－2③(2017哈尔滨)函数Y= 中，自变量X取值范围是____________。
④（2018•宿迁）函数y= 中，自变量x的取值范围是（）A．x≠0B．x＜1C．x＞1D．x≠13.解析式是偶次根式,自变量的取值范围是被开方数为非负数。
①(2018北京市）若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是。
②(2018湖北十堰）函数的自变量x的取值范围是。
函数值及自变量的取值范围
y
x 等腰三角形两底角相等。
（ 3 ） 如 图 ， 等 腰 直 角 △ ABC 的 直 角 边 长 与 正 方 形 MNPQ的边长均为10 cm，AC与MN在同一直线上， 开始时A点与M点重合，让△ABC向右运动，最后A 点与N点重合．试写出重叠部分面积ycm2与MA长度x cm之间的函数关系式．
我们可以由自变量结合函数本身求出因变量，此时这个因变量的值称为该自变量
函数值 对应的
；同时，我们也可以由因变量结合函数本身求出自变量的值！
例1 求下列函数中自变量x的取值范围：
（1） y＝3x－1； （2） y＝2x2＋7；
（3）
y=
x
1
2
；
（4） y＝ x 2 ．
解：（1）中x取任意实数，3x－1都有意义 .
(2)中x 取任意实数， 2x2＋7都有意义 .
（3）中，x≠－2时，函数有意义．
（4）中x≥2时，函数有意义．
试一试: 求下列函数自变量的取值范围
⑴ y= x2 x 1 ⑵ y= 3 x
⑶ y= 1
⑷ y= x 2
x2
x ⑸ y=(x1)0 ⑹ y=
说明:四种基本类型的函数自变量取值范围
x 1 29
1 整式-----一切实数
2 分式-----分母不为零
偶次根式 (被开方数≥0) 3 根式-----
奇次根式 (被开方数为一切实数 ) 4 零指数-----底数≠0
练习：一
P33习题中第4题 P31练习第3题
练习二：P32第2题
2.分别写出下列各问题中的函数关系式及自变 量的取值范围：
函数值及自变量的取值范围
1、理解函数值的概念，并会求 某个自变量所对应的函数值；
一次函数自变量的取值范围
一次函数自变量的取值范围
一次函数自变量的取值范围：
1、实数取值：实数取值是指一次函数自变量x可以取任意实数值，例如，x可以取1.2,2.3,3.4……乃至无穷大，这是其中最常见的取值形式。
2、自然数取值：自然数取值指一次函数自变量x可以取自然数值，例如，x可以取1,2,3,4…..，在有的一次函数中，要求函数的取值就是自
然数，这样的取值范围也是可以的。
3、整数取值：整数取值指一次函数自变量x可以取整数值，也就是正
整数、负整数、0。
例如，x可以取-5，-4，-3……0……5等取值，也
就是所有的整数形式。
4、正整数取值：正整数取值指一次函数自变量取值仅限于大于0的整数，例如，x可以取1,2,3……，这样的取值范围是有效可行的。
5、偶数取值：偶数取值指一次函数自变量只能取偶数值，例如，x可
以取2,4,6……，该取值范围有可能在特定的一次函数中使用。
6、比特数取值：比特数取值指一次函数自变量x取值仅限于2的次幂
形式，即1,2,4,8,16……按照8位二进制来取相应的值，在数字信号处理等方面有着重要的应用。
变量的关系函数自变量的取值范围的确定方法
一、自变量的取值范围的确定方法
①当解析式为整式时，自变量的取值范围是全体实数；
②当解析式是分数的形式时，自变量的取值范围是使分母不为零的所有实数；
③当解析式中含有平方根时，自变量的取值范围是使被开方数不小于零的实数；
④当函数解析式表示实际问题时，自变量的取值必须使实际问题有意义。
二、变量及函数的定义
函数：一般地，在一个变化过程中，如果有两个自变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数。
如果当x=a时，y=b，那么b叫做当自变量的值为a时的函数值。
变量：
在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量。
（数学中，常常为x，而y则随x值的变化而变化），有些数值是不随变量而改变的，我们称它们为常量。
自变量：函数一个与它量有关联的变量，这一量中的任何一值都能在它量中找到对应的固定值。
因变量(函数)：随着自变量的变化而变化，且自变量取唯一值时，因变量(函数)有且只有唯一值与其相对应。
三、变量的关系：
1.在具体情境中，感受两个变量之间的关系，就是一个变量随着另一个变量的变化情况，例如随着一个变量的变化，有的变量是呈匀速变化的，有的变量是呈不匀速变化的；
2.进而发现实际情景中的变量及其相互关系，并确定其中的自变量和因变量，会用运动变化的基本观点观察事物。
也就是说，在两个有相依关系的变量中，其中一个是自变量，另一个是因变量；
3.自变量和因变量之间的变化关系可以用表格来刻画，也可以用图象来描述，并能对未来的趋势加以预测。
四、函数自变量的取值范围的确定方法：
使函数有意义的自变量的取值的全体，叫做函数自变量的取值范围．。
函数自变量的取值范围
函数自变量的取值范围
函数自变量的取值范围：
①在一般的情况下,自变量x的取值范围可以是不等于0的任意实数；
②函数y的取值范围也是任意非零实数。
取值范围怎么求
函数的自变量x的取值范围指的就是函数的定义域，用初中的说法就是使得函数的式子有意义的x的范围。
（1）解析式为整式的，自变量可取任意实数；
（2）解析式是分式的，自变量应取母不为0的实数；
（3）解析式是二次根式或偶次根式的，自变量取被开方数不小于0的实数等；
（4）对于函数解析式复杂的复合函数，应全面考虑，使其解析式中各式都有意义。
如y=1/x+根（3x-1），其取值为x≥1/3.2，对于有实际意义的函数，应当根据实际意义确定其自变量的取值范围。
有限区间
(1)开区间例如:{x|a<x<b}=(a,b)
(2)闭区间例如:{x|a≤x≤b}=[a,b]
(3)半开半闭区间例如:{x|a<x≤b}=(a,b]
{x|a≤x<b}=[a,b)
b-a成为区间长度。
有限区间在数学几何上的意义表现为：一条有限长度的线段。
函数自变量的取值范围的确定
已知点A(6,0),点P(x,y)在第一象限，且x+y=8,设∆OPA的面积为S. （1）求S关于x的函数表达式； （2）求x的取值范围； （3）求S=12时，点P的坐标.
求下列函数的自变量x的取值范围：
y 1 (x≠0) x
y 1 (x≠-1) x 1
y x (x≥0) y 4x 5
(x为一切实数）
y x2
(x≥2)
y3 x2
(x为一切实数）
二、实际问题中自变量的取值范围．
在实际问题中确定自变量的取值范围，主要 考虑两个因素：
⑴自变量自身表示的意义．如时间、用油量 等不能为负数．
老张讲数学
函数自变量的取值
一、函数关系式中自变量的取值范围
在一般的函数关系中自变量的取值范围主要考 虑以下四种情况：
⑴函数关系式为整式形式：自变量取值范围为 全体实数；
⑵函数关系式为分式形式：分母的全体不为零 ⑶函数关系式含算术平方根：被开方数的全体
为非负数； ⑷函数关系式含零指数的：底数的全体不，租用汽车接送234名学生和6名教 师集体外出活动，共租车6辆。甲、乙两车载客量和租金如下 表：
甲种车辆 乙种车辆
载客量（单位：人/辆） 45
30
租金（单位：元）
400
280
设租用甲种车x辆，租车费用为y元，求y与x的函数关系式，并 写出自变量x的取值范围．
三、几何图形中函数自变量的取值范围
⑵问题中的限制条件．此时多用不等式或不 等式组来确定自变量的取值范围．
例1.用总长为60m的篱笆围成长方形场地,求 长方形面积S(m2)与边长x(m)之间的函数关系 式,并指出式自变量的取值范围？
初中数学如何确定函数自变量的取值范围(最新编写)
如何确定函数自变量的取值范围湖北省黄石市下陆中学宋毓彬为保证函数式有意义，或实际问题有意义，函数式中的自变量取值通常要受到一定的限制，这就是函数自变量的取值范围．函数自变量的取值范围是函数成立的先决条件，只有正确理解函数自变量的取值范围，我们才能正确地解决函数问题．初中阶段确定函数自变量的取值范围大致可分为以下三种类型：一、函数关系式中自变量的取值范围在一般的函数关系中自变量的取值范围主要考虑以下四种情况：⑴函数关系式为整式形式：自变量取值范围为任意实数；⑵函数关系式为分式形式：分母≠0；⑶函数关系式含算术平方根：被开方数≥0；⑷函数关系式含0指数：底数≠0．例1．在下列函数关系式中，自变量x的取值范围分别是什么？⑴y=2x-5；⑵y=；⑶y=；⑷y=；⑸y=（x-3）0解析：⑴为整式形式：x的取值范围为任意实数；⑵为分式形式：分母2x+1≠0∴x≠－∴x的取值范围为x≠－；⑶含算术平方根：被开方数3x-4≥0 ∴x≥∴x的取值范围为x≥；⑷既含分母、又含算术平方根，故∴x≥－2且x≠0x的取值范围为：x≥－2且x≠0⑸含0指数，底数x-3≠0 ∴x≠3，x的取值范围为x≠3．二、实际问题中自变量的取值范围．在实际问题中确定自变量的取值范围，主要考虑两个因素：⑴自变量自身表示的意义．如时间、用油量等不能为负数．⑵问题中的限制条件．此时多用不等式或不等式组来确定自变量的取值范围．例2、某学校在2300元的限额内，租用汽车接送234名学生和6名教师集体外出活动，每量汽车上至少有一名教师．甲、乙两车载客量和租金如下表：甲种车辆甲种车辆载客量（单位：人/辆）45 30租金（单位：元）400 280设租用甲种车x辆，租车费用为y元，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．解析：⑴由题设条件可知共需租车6辆，租用甲种车x辆，则租用乙种车辆（6－x）辆．y=400x+280（6-x）=120x+1680∴y与x的函数关系式为：y=120x+1680⑵自变量x需满足以下两个条件：240名师生有车坐：45x+30（6-x）≥240 ∴x≥4费用不超过2300元：120x+1680≤2300 ∴x≤5∴自变量x的取值范围是：4≤x≤5三、几何图形中函数自变量的取值范围几何问题中的函数关系式，除使函数式有意义外，还需考虑几何图形的构成条件及运动范围．特别要注意的是在三角形中“两边之和大于第三边”．例3．若等腰三角形的周长为20cm，请写出底边长y与腰长x的函数关系式，并求自变量x的取值范围．解析：底边长y与腰长x的函数关系式为：y=20-2x①x表示等腰三角形腰长：x≥0②三角形中“两边之和大于第三边”：2x＞y 即2x＞20-2x ∴x＞5③等腰三角形底边长y＞0，20-2x＞0，∴x＜10∴自变量x的取值范围是：5＜x＜10作者简介：宋毓彬，男，43岁，中学数学高级教师．在《中学数学教学参考》、《数哩天地》、《中学生数学》、《数理化学习》、《数理化解题研究》、《中学课程辅导》、《数学周报》、《数学辅导报》等报刊发表教学辅导类文章40多篇．主要致力于初中数学中考及解题方法、技巧等教学方面的研究．。
函数变量取值范围问题
变量取值范围问题变量取值范围问题是代数学的核心内容之一，是各类考试的热点，也是学生学习中的难点之一；本文试图以中学数学各章节所涉及到的各种类型的变量取值范围问题为线索，勾画出这类问题的总体轮廓，并阐述分析问题的思路、解决问题的方法。
一、函数中的变量取值范围问题1．函数的定义域具体函数的定义域即使函数在实数集内有意义的自变量的取值范围，通过解不等式（组）求得，这里不作更多阐释。
对于抽象的复合函数定义域，首先要清楚复合函数y =))((x g f 的定义域是指“x ”的取值范围，而不是“)(x g ”的取值范围，“外层”函数)(x f 的定义域才是“)(x g ”的取值范围。
例1：已知函数f(x 2-3)=lg 622-x x , (1)f(x)的定义域； (2)判断f(x)的奇偶性；(3)求f(x)的反函数; (4)若f[)(x φ]=lgx,求)3(φ的值。
分析：不等式0622>-x x 的解集是复合函数y =f(x 2-3)的定义域，而不是函数y =f(x)的定义域。
令)(x g = x 2-3， 则)(x g ≥-3 ①，又))((x g f =3)(3)(lg -+x g x g ， 得)(x g ＞3或)(x g ＜-3 ② 由①②可得)(x g 的取值范围，即函数y =f(x)的定义域。
解：（1）∵f(x 2-3)=lg 3)3(3)3(22--+-x x ,∴f(x)=lg 33-+x x ,又由0622>-x x 得x 2-3>3,∴ f(x)的定义域为（3，+∞）。
（2）∵f(x)的定义域不关于原点对称，∴ f(x)为非奇非偶函数。
（3）由y=lg ,33-+x x 得x=110)110(3-+y y , x>3,解得y>0, ∴f -1(x)=)0(110)110(3>-+x x x (4) ∵f[)3(φ]=lg 3lg 3)3(3)3(=-+φφ,∴33)3(3)3(=-+φφ，解得φ(3)=6。
函数自变量的取值范围六种类型
函数自变量的取值范围六种类型吉林松花江中学奥培中心 王永会（132013）函数解析式中，自变量的取值范围（即自变量取何值时，函数有意义）是函数的重要组成部分，在解函数的有关问题时，都不能忽视自变量的取值范围。
现总结初中函数自变量取值范围类型供读者参考。
一、 整式型：函数的解析式是整式，自变量的取值范围是全体实数。
例1：求函数y=16-2x 中x 是取值范围。
解： x 取值范围是全体实数。
二、分式型：函数的解析式是分式，由分式的分母不为零确定自变量的取值范围例2：求3212--+=x x x y 中x 取值范围。
解：x 2-2x-3≠0即（x+1）(x-3)310≠-≠∴≠x x 且注意本题不能约去x+1三、二次根式型：函数解析式是二次根式，由每个二次根式子的根被开方数为非负数而确定自变量的取值范围。
例3：求y=x 43-的取值范围。
解：由3-4x 0≥得x 43≤. 四、零指数式型：函数解析式是零指数式，由底不为零确定自变量的取值范围。
例4：求y=(x-2)0中的x 取值范围。
解：由x-20≠得x 2≠的全体实数。
五、复合型：函数解析式是由上述四种类型的复合。
求自变量取值范围时要思考全面。
不要“顾此失彼”。
例5：求函数自变量的取值范围。
21)2(0----=x x x y 解：由题意知⎪⎩⎪⎨⎧≠--≥-≠-0210102x x x 即 x ≥1且 x ≠2和x ≠5.六、实际意义型：函数解析式是表示实际意义的量，因此，它不仅要求解析式有意义，还要符合实际意义。
例6：从含盐的20%的100千克的盐水中，把水蒸发掉x 千克后盐水是浓度为y ，试写出y 与x 的函数关系式及自变量x 取值范围。
解：依题意，得y(100-x)=100⨯20%,即y=x-10020 由水最多有80千克 所以800≤≤x 。
求函数自变量的取值范围方法总结
求函数自变量的取值范围方法总结函数自变量的取值范围使函数有意义的自变量的取值的全体,叫做自变量的取值范围.求自变量的取值范围一般从两个方面考虑:（1）使函数关系式有意义;（2）符合客观实际.确定自变量的取值范围的方法:（1）如果函数关系式的右边是关于自变量的整式,则自变量的取值范围是全体实数.例如函数1-=x y ,自变量x 的取值范围是全体实数.（2）如果函数关系式的右边是分式,则自变量的取值范围是使分母不等于零的所有实数.例如函数12-=x y ,自变量x 的取值范围是1≠x . （3）如果函数关系式的右边包含二次根号,则自变量的取值范围是使被开方数为非负数.例如函数2-=x y ,自变量x 的取值范围是x ≥2.（4）如果函数关系式是有具体问题建立的,则自变量的取值范围不但要使函数关系式有意义,还要符合实际意义.例如函数2x y =,自变量x 的取值范围是全体实数,如果x 表示正方形的边长,y 表示正方形的面积,则自变量x 的取值范围就变成了0>x （边长不能为负数）.（5）有些函数自变量的取值范围是以上情况的综合,需进行多方面的考虑. 例如函数21-=x y ,自变量x 应满足两个条件:一是满足分母不等于零,二是保证被开方数为非负数,所以得到关于自变量的不等式组⎩⎨⎧≥-≠-0202x x ,求得自变量x 的取值范围是2>x .例1. 求函数131-+-=x x y 中的自变量x 的取值范围.分析:本题中,自变量x 的取值范围应同时满足分母()3-x 不等于零和被开方数()1-x 为非负数.解:⎩⎨⎧≥-≠-0103x x 解这个不等式组得:x ≥1且3≠x .∴自变量x 的取值范围是x ≥1且3≠x .习题1. 函数xx y 2+=的自变量x 的取值范围是__________. 习题2. 函数413-+-=x x y 中自变量x 的取值范围是__________. 习题3. 在函数x xy -=1中, 自变量x 的取值范围是__________.习题4. 下列函数中,自变量的取值范围是2>x 的是 【 】（A ）2-=x y （B ）21-=x y （C ）12-=x y （D ）121-=x y习题5. 函数21--=x x y 中,自变量x 的取值范围是__________. 习题6. 下列函数中,自变量的取值范围错误的是 【 】（A ）2-=x y （x ≥2） （B ）11+=x y （1-≠x ） （C ）22x y =（x 取全体实数） （D ）31+=x y （x ≥3-） 习题7. 在函数24-++=x x y 中,自变量x 的取值范围是__________.例 2. 已知等腰三角形的周长为20,求底边长y 与腰长x 的函数关系式及自变量的取值范围.分析:本题为易错题,考虑问题不全面导致自变量的取值范围不完整.解决本题要注意两个问题:（1） 边长不能为负数;（2）三角形三边之间的关系.解:由题意得:202=+y x∴y 与x 之间的函数关系式为x y 220-=∵⎪⎩⎪⎨⎧->+>->x x x x x 22002200∴自变量x 的取值范围是105<<x .习题8. 已知等腰三角形的周长为12 cm,底边长y （cm ）是腰长x （cm ）的函数.（1）写出这个函数关系式;（2）求自变量x 的取值范围.专题 自变量的取值范围受哪些因素的影响求函数自变量的取值范围是学习数学的难点,也是历年来中考的热点,那么,如何确定自变量的取值范围呢?一般情况下,可以遵循以下原则:如果函数解析式是整式,则自变量的取值范围是全体实数（整式型）习题9. 函数12+=x y 中,自变量x 的取值范围是__________.分析:因为函数解析式的右边12+x 是整式,所以自变量x 的取值范围是全体实数.习题10. 函数122-+=x x y 中,自变量x 的取值范围是__________.如果函数解析式含有分式,则自变量的取值范围是使分母不等于零的实数（分式型）习题11. 在函数11-=x y 中,自变量x 的取值范围是__________. 分析:因为11-x 是分式,所以要求分母不等于零,即01≠-x . 习题12. 函数52-=x x y 中,自变量x 的取值范围是__________. 如果函数解析式中含有二次根式,则自变量的取值范围是使被开方数为非负数的实数 习题13. 函数3-=x y 中自变量x 的取值范围是__________.分析:因为3-x 为被开方式,要求被开方式为非负数,所以3-x ≥0,解得x ≥3. 习题14. 函数1+-=x y 中,自变量x 的取值范围是__________.如果函数解析式中含有零指数幂或负整指数幂,则自变量的取值范围是使底数不等于零的实数（指数型）习题15. 函数()221+-=-x y 中,自变量x 的取值范围是__________. 分析:因为函数解析式中含有负整指数幂,所以要求底数02≠-x ,即2≠x . 实际上,()221+-=-x y ,即221+-=x y . 习题16. 函数()202-++=x x y 中,自变量x 的取值范围是__________. 如果函数解析式兼有上述两种或两种以上的结构特点,则先按上述方法分别求出它们的取值范围,再求它们的公共部分（综合型）习题17. 函数()023---=x x x y 中,自变量x 的取值范围是__________. 习题18. 函数31--=x x y 中,自变量x 的取值范围是__________. 习题19. 函数24-++=x x y 中,自变量x 的取值范围是__________. 自变量的取值范围必须符合客观实际,必须使实际问题有意义（如边长不能为负、人数不能为小数等）例3. 某小汽车的油箱可装汽油30升,原装有油10升,现加x 升汽油,如果油价为5元/升,求油箱内汽油的总价y （元）与x （升）之间的函数关系式,并求出自变量x 的取值范围.分析:本题先求出函数关系式,再由关系式和实际意义确定自变量的取值范围.解:由题意得:()y=x5+10∴50=xy5+∵油箱原有油10升,油箱容量为30升∴自变量x的取值范围是0≤x≤20.（也可以是x0≤20）<习题20. 某台拖拉机油箱中有油60升,工作时每小时耗油6升.（1）求出拖拉机油箱中的剩余油量Q（升）与工作时间t（小时）之间的函数关系式;（2）求出自变量t的取值范围;（3）当拖拉机工作3小时后,油箱中还剩多少升油?。
高中数学函数的自变量取值范围与函数值计算
高中数学函数的自变量取值范围与函数值计算在高中数学中，函数是一个非常重要的概念。
函数的自变量是指函数中的输入值，而函数的值则是指函数对应的输出值。
在解题过程中，确定自变量的取值范围以及计算函数的值是必不可少的步骤。
本文将通过具体的例子，分析函数的自变量取值范围与函数值计算的考点，并给出解题技巧和指导。
一、自变量取值范围的确定在确定函数的自变量取值范围时，我们需要考虑两个方面的因素：函数定义域和实际问题的限制条件。
1. 函数定义域的确定函数的定义域是指自变量的取值范围，也就是使函数有意义的输入值的集合。
例如，对于函数y = √x，由于根号下不能为负数，所以定义域为x ≥ 0。
在解题时，我们需要根据函数的定义域确定自变量的取值范围。
2. 实际问题的限制条件有些函数在实际问题中存在一些限制条件，这些条件也会影响自变量的取值范围。
例如，如果一个函数表示一个物体的运动轨迹，那么自变量的取值范围可能会受到时间、空间等方面的限制。
在解题时，我们需要考虑这些限制条件，确定自变量的取值范围。
二、函数值的计算确定了自变量的取值范围之后，我们就可以计算函数的值了。
计算函数的值需要根据函数的表达式和自变量的取值进行运算。
下面通过几个例子来说明函数值的计算方法。
例1：计算函数y = 2x + 1在x = 3时的值。
解析：将x = 3代入函数表达式中，得到y = 2 × 3 + 1 = 7。
因此，函数y = 2x + 1在x = 3时的值为7。
这个例子中，我们只需要将给定的自变量的值代入函数表达式中进行计算即可得到函数的值。
例2：计算函数y = |x - 2|在x = 4时的值。
解析：将x = 4代入函数表达式中，得到y = |4 - 2| = 2。
因此，函数y = |x - 2|在x = 4时的值为2。
这个例子中，函数的表达式中含有绝对值符号，我们需要根据自变量的值的正负情况进行计算。
当x - 2 ≥ 0时，|x - 2| = x - 2；当x - 2 < 0时，|x - 2| = -(x - 2)。
第2课时求自变量的取值范围与函数值课件华东师大版数学八年级下册(1)
（4）自变量取值范围为x≥3， 当x=3时， y x 3 3 3 0
学习目标
概念剖析
典型例题
当堂检测
课堂总结
自变量的取值范围
当函数解析式为分式时，其自变量的取值范围是分母不等于零的未知数的值. 当函数解析式为被开偶次方时，自变量的取值应使被开方式大于等于零. 当函数解析式为综合算式时，函数的取值范围应使函数的各个部分都有意义.
学习目标
概念剖析
典型例题
（一）函数自变量的取值范围
当堂检测
课堂总结
根据刚才问题的思考，你认为函数的自变量可以取任意值吗？ 在实际问题中，函数的自变量取值范围往往是有限制的.在限制的范围内， 函数才有实际意义；超出这个范围，函数没有实际意义. 我们把这种自变量可以取的数值范围叫函数的自变量取值范围．
（3）将t=5,代入上式,得Q=-5×25+300=175m³， 即第5 h末，游泳池内还有175 m³水.
函数自变量的取值范围要使得函数解析式有意义，实际问题中还要符合实际.
学习目标
概念剖析
典型例题
当堂检测
课堂总结
4.油箱中有油30kg,油从管道中匀速流出，每分钟流出1kg，则油箱中剩余 油量Q（kg）与流出时间t（min）之间的函数关系式是 Q=-t+30 ，自变 量t的取值范围是0≤t≤30 .
故B正确.
学习目标
概念剖析
典型例题
当堂检测
课堂总结
2.已知x与y的关系式为y=3x-2,当x=2时，对应的函数值为（ C ） A.6 B.2 C.4 D.3
分析：将x=2代入关系式有：y=3×2-2=6-2=4，故选C.
学习目标
概念剖析
函数自变量的取值范围六种类型
函数自变量的取值范围六种类型
函数的自变量取值范围可以分为以下六种类型：
1.实数范围（R）：自变量可以是任意实数，即包括所有正数、负数
和零。
在实数范围内，自变量可以取任何实数值，例如-3.5、2.1、π等等。
实数范围是最一般的自变量取值范围。
2.正数范围（R+）：自变量只能取正数。
正数范围常用于表示物理世
界中的非负量，例如时间、质量等。
一般来说，时间、质量等都不能取负值，所以在表示这类量时，自变量的取值范围应限定为正数范围。
3.负数范围（R-）：自变量只能取负数。
负数范围常用于表示物理世
界中的负数量，例如负电荷、负温度等。
这些量在现实生活中并不常见，
但在数学模型中有时需要考虑。
4.非负数范围（R≥0）：自变量只能取非负数，即包括零和所有正数。
非负数范围常用于表示正比例关系、欧氏空间中的距离等问题。
在这些问
题中，自变量的取值范围不包括负数，因为负数在实际问题中没有意义。
5.非正数范围（R≤0）：自变量只能取非正数，即包括零和所有负数。
非正数范围在一些数学问题中有用，例如一些函数的图像关于y轴对称。
6.整数范围（Z）：自变量只能取整数。
整数范围通常用于离散数学
中的问题，例如排列组合、整数划分等。
在这类问题中，自变量通常被建
模为整数，因为整数对问题的描述更为自然。
综上所述，函数的自变量取值范围可以根据具体问题的需求进行设定，并可以是实数范围、正数范围、负数范围、非负数范围、非正数范围以及
整数范围。
定义清楚自变量的取值范围有助于具体问题的分析和解决。
函数自变量取值范围
函数自变量取值范围
我们学习数学时，经常会接触到函数。
函数是表示一种变化关系的数学工具。
简单来说，函数就是一个数值映射，将一个自变量映射成一个因变量。
这个数值映射的自变量取
值范围很重要。
下面我们来介绍一下函数自变量取值范围。
1. 实数范围
函数的自变量通常是实数，也就是可以表示所有可能的数值，包括正数，负数，和零。
通常情况下，函数的自变量取值范围是用实数集合来表示。
实数集合包含了所有有理数和
无理数，可以表示为：
R = {a | a 是一个实数}
这个范围是实数轴上的所有点，是一个无限范围。
所有的实数都可以作为函数的自变量。
有时，函数的自变量只能取自然数，通常是因为自变量表示了某种计数器，比如“第
几个人”、“第几项”等。
自然数包括了所有正整数，可以用如下符号表示：
N = {1, 2, 3, …}
通常，函数的自变量取自然数范围的时候，我们使用一个大写字母 N 来表示这个范围。
4. 区间范围
有些函数的自变量只能在一定的区间内取值，比如时间、长度等等。
这时候，我们使
用一个区间来表示自变量的取值范围。
区间包含了一段连续的数值，比如 [a, b] 表示的
是从 a 到 b 的所有数值，包括 a 和 b。
标记的方式有两种：
（1）闭区间：[a, b] 表示 a 和 b 都在这个区间内。
总之，函数自变量取值范围很重要，要根据实际问题来选定。
不同的自变量取值范围
有不同的意义和用途，应该根据具体问题选择合适的范围来进行计算和分析。
求函数自变量的取值范围的方法总结
求函数自变量的取值范围的方法总结函数自变量的取值范围是指函数中自变量可以取的所有实数值的集合。
确定函数自变量的取值范围有多种方法，以下总结了几种常见的方法：1.根据函数的定义域确定自变量的取值范围：-如果函数的定义域是实数集（即没有限制），则自变量的取值范围也是实数集。
-如果函数的定义域有限制，需要根据这个限制来确定自变量的取值范围。
例如，如果一个函数的定义域是正实数集（即大于零的实数），则自变量的取值范围也是正实数集。
2.根据函数的图像确定自变量的取值范围：-观察函数的图像，确定自变量在图像上的取值范围。
例如，如果一个函数的图像是一个上升的直线，那么自变量的取值范围是整个实数集。
-需要注意的是，函数图像的性质可能会给出一些限制，例如函数图像是一个分段函数，那么需要根据每个分段函数的定义域确定自变量的取值范围。
3.使用代数方法确定自变量的取值范围：-对于一些特殊的函数，可以使用代数方法来确定自变量的取值范围。
例如，对于有分母的函数，需要考虑分母不能等于零的条件。
这样就可以通过求解不等式来确定自变量的取值范围。
-另一个例子是要求函数的值在一定范围内，可以通过解方程或者不等式来确定自变量的取值范围。
例如，对于一个二次函数，如果要求函数的值在大于等于0的范围内，可以通过求解不等式来确定自变量的取值范围。
4.使用函数性质确定自变量的取值范围：-函数的一些性质可以给出自变量取值范围的一些限制。
例如，对于奇函数来说，只有在定义域的一些小范围内，自变量的正负不同，才能保证函数是奇函数。
在具体问题中，需要根据函数性质来确定自变量的取值范围。
总结起来，确定函数自变量的取值范围需要根据函数的定义域、图像、代数方法和函数性质等多方面的因素综合考虑。
根据具体的问题，选择合适的方法来确定自变量的取值范围，可以帮助我们更好地理解函数的特性和解决相关的数学问题。
怎样确定自变量的取值范围
怎样确定自变量的取值范围函数自变量的取值范围是使函数解析式有意义的自变量的所有可能取值，它是一个函数被确定的重要因素。
求函数自变量的取值范围通常有以下六种方法：一、当函数解析是整式时，自变量的取值范围是一切实数。
例1.求下列函数中自变量x的取值范围：（1）；（2）；（3）分析：以上函数解析式，都是关于自变量x的整式，故自变量x的取值范围都是全体实数。
二.当函数解析式是分式时，自变量的取值范围是使分母不为零的一切实数。
例2.函数中，自变量x的取值范围是________。
分析：要使函数有意义，必须保证：，故应填。
三、当函数解析式是二次根式时，被开方数为一切非负实数。
例3.函数中，自变量x的取值范围是________。
分析：要使函数有意义，必须保证：，解得，故应填。
四.当零次幂或负整数次幂的底数中含有自变量时，该底数不为零。
例4.函数中，自变量x的取值范围是_______。
分析：要使函数有意义，必须保证：，故应填且五、由函数值的变化范围确定自变量的取值范围。
例5.拖拉机的油箱里有油54升，使用时平均每小时耗油6升，求油箱中剩下的油y（升）与使用时间t（小时）之间的函数关系式及自变量t的取值范围。
解：y与t之间的函数关系式是，即易知，从而有即，解得所以自变量t的取值范围是。
六、在实际问题中，自变量的取值范围应使该问题有实际意义例6.等腰三角形的周长为20，腰长为x，底边长为y。
求y与x之间的函数关系式及自变量x的取值范围。
解：y与x之间的函数关系式是，即如下图，因为三条线段构成三角形的条件是“其中任意两边之和大于第三边”，于是有，解得所以自变量x的取值范围是。
高考数学中的函数取值与范围
高考数学中的函数取值与范围在高考数学中，函数是一个重要的概念，掌握函数及其性质对于数学成绩的提升有着至关重要的作用。
而函数的取值与范围则是数学中的重要问题之一，在高考数学中也是经常出现的考点。
本文将从函数的定义入手，介绍函数取值与范围的相关知识点，并结合例题进行详细讲解。
一、函数的定义函数是一种把一个值域上的数对映射到另一个值域上的数对的规则。
如果一个变量的变化能够影响另一个变量的取值，那么这两个变量之间就可用函数来描述。
例如，y = 2x + 1，其中x是自变量，y是因变量，2x + 1是函数值。
二、函数的取值与范围函数的取值是指函数在定义域内所有可能的函数值所组成的集合，即f(x)的取值。
而函数的范围则是函数取遍的所有可能的函数值所组成的集合，即f(x)的取值范围。
例如，函数f(x) = x^2，定义域为实数集，那么函数的取值集合就是[0，+∞)，因为对于任意实数x，x^2的值不会小于0，而可以取到0，因此取值范围是[0，+∞)。
在解决函数的取值与范围问题的时候，有几点需要注意：1. 函数的定义域需要明确首先，我们需要明确函数的定义域，因为函数的取值与范围都是在定义域内进行考虑的。
例如，函数y = sqrt(x)，如果定义域是实数集合，则取值范围是[0，+∞)，但如果定义域是[1，+∞)，则取值范围是[1，+∞)。
2. 函数的奇偶性对取值范围的影响其次，我们需要了解一些特殊函数的取值范围特点。
例如，关于函数f(x) = sin(x)和f(x) = cos(x)，我们可以发现，当x取任意一个实数时，它们的取值范围的上下限分别为[-1，1]，其中又有一些规律：如果函数f(x)是偶函数，即f(x) = f(-x)，则取值范围是[|f(0)|，+∞)；如果函数f(x)是奇函数，即f(x) = -f(-x)，则取值范围是(-∞，|f(0)|]；例如，函数f(x) = sin(x)是奇函数，因此它的取值范围是[-1，1]。
第3课时 函数自变量的取值范围及函数图象
5、当函数的关系式中含有零指数或负整指数幂时，自变量的取值范围是什么？
6、当函数关系式表示实际问题时，自变量的取值范围是什么？
知识点2：函数的图象
1、想一想教材22页问题3是用什么方法表示函数关系的？
2、想一想什么是函数的图象？图象上的每一点的坐标表示什么？
1、仿照P27“例4”，在所给的直角坐标系中画出函数 的图象（先填写 下表，再描点、连线）．
解：列表：
x
…
-3
-2
-
y
…
…
描点、连线：
四、课堂总结
说一说今天学习了什么知识？有什么收获？还有什么没有掌握？
五、课堂作业
1、求下列函数中自变量x的取值范围
(1)y=2x2+x (2)
(3) (4)
2、已知水池中有800立方米的水，每小时抽50立方米．
（1）写出剩余水的体积Q立方米与时间t（时）之间的函数关系式．
（2）写出自变量t的取值范围．
六、课堂总结
说一说今天学习了什么知识？有什么收获？还有什么没有掌握？
课后作业
目标与资源
思考与记录
主题（课时）
第三课时自变量的取值范围及函数关系
学习目标
1、掌握根据函数关系式直观得到自变量取值范围，以及实际背景对自变量取值的限制.
2、掌握根据函数自变量的值求对应的函数值.
3、会用图象法表示函数.
4、知道画函数象的步骤,即列表、描点、连线.
评价任务
学习资源
素材
学习经历
课前预习
一、课前准备
1、把有10的格子涂黑，有什么发现？
2、如果把这些涂黑的格子用x表示，没涂黑的用y表示，试写出y关于x的函数关系式.
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4、自变量的取值范围可以是有限的， 也可以是无限的，或者是几个数或单独的一 个数 5、当自变量同时含在分式，二次根式 中时，自变量的取值范围是它们的公共解， 其关键是建立不等式组，并解不等式组，找 出它们的公共解。 6、如果一个函数解析式中同时含有几 个代数式时， 自变量的取值范围是各代数式 自变量取值范围的公共部分。
例1 求下列函数中自变量x的取值范围 2 (1) y 3 x 1; (2) y 2 x 7;
1 (3) y ; (4) y x2
解： (1) x取任意实数
x 2.
(2) x取任意实数
(3)因为x=-2时，分式分母为0，没有意义，所以x 取不等于-2的任意实数（可表示为 x≠-2) (4)因为被开方式必须为非负数才有意义，所 以 x 2 0 ，自变量x的取值范围是 x 2 。
能力提升：
练1. 已知等腰三角形的周长为12cm，若底边长 为y cm，一腰长为x cm. (1)写出y与x的函数关系式； (2)求自变量x的取值范围。
解: (1)y 12 2 x;
2 x 12 (2) , 所以3<x<6。 2 x 12 2 x
三角形两边之 和大于第三边
例2. 三角形的一边长5cm，它的面积 S(cm2)与这边上的高h(cm)的关系式 是 .自变量范围为 ？
实际问题的函数解析式中自变量取值范围：
1 函数自变量的取值范围既要使实际问题有意义， 又要同时满足解析式的数学意义。
2 实际问题有意义主要指的是： (1)问题的实际背景（例如自变量表示人数 时，应为非负整数等） (2) 保证几何图形存在（例如等腰三角形 底角大于0度小于90度等）
分析：用数学式子表示的函数，一般来说， 自变量只能取使式子有意义的值。
函数解析式是数学式子的自变量取值范围：
1、当函数解析式是只含有一个自变量的 整式时， 自变量的取值范围是全体实数
2、当函数解析式是分式时， 自变量的取值范围是使分母不为零的实数 3、当函数解析式是二次根式时，
自变量的取值范围与函数值
学习目标：
• 1、进一步理解函数概念， • 使学生掌握函数中自变量的取值范围。 • 2、会列函数关系式。 3.会用自变量来求函数值
自学指导
（3）上述两个例题中自变量的取值有限制吗？若有请写出。
例1 _____________
例2 ______________
： 列函数解析式时，在列出解 析式后一定要根据实际意义或数 学意义求出自变量的取值范围， 并注意检验
y
x
（ 3 ）如图，等腰直角△ ABC的直角边长与正方 形 MNPQ的边长均为 10 cm，AC与 MN在同一直 线上，开始时 A点与M点重合，让△ ABC向右运 动，最后 A 点与 N 点重合．试写出重叠部分面积 ycm2与MA长度x cm之间的函数关系式．
1 2 y x 2
1. 在上面“试一试”中所出现的各个函数中， 自变量的取值有限制吗？如果有，写出它的取值范围。
（1）填写如图所示的加法表，然后把所有填有 10的格子涂黑，看看你能发现什么?
y 10 x
如果把这些涂黑的格子横向的加数用 x 表示， 纵向的加数用 y 表示，试写出 y 与 x 的函数关系 式．
（2）试写出等腰三角形中顶角的度数 y与底角的度数x之间的函数关系式．
y 180 2 x
当堂检测： 1 求下列函数中自变量x的取值范围
(1) y 3 x 2; (2) y 5 x ; 3 (3) y ; (4) y x 4; x2 4x (5) y . 2 x 1
2
解: (1)全体实数；(2)全体实数；(3)x 2； x-1 0 (4)x 4；(5) , 所以x 1且x 5。 2- x-1 0
检测： 2求下列函数的自变量x的取值范 围：
1 y x
4 y 2x 6
y x
y x2
3
y 4x 5
x 9 y x 10
数值 (1)当x＝1时，y＝－5；当x＝2时，y＝－3； 当x＝t时，y＝2t－7
(2) 由题意得 2x － 7 ＝ 4x ＋ 1 ， x ＝－ 4 ， 当x＝－4时，函数y＝2x－7与函数y＝4x ＋1 的函数值相同，此时y ＝2×( －4)－7 ＝－15
y 10 x
1 2 y x 2
(x取1到9的自然数)
y 180 2 x (0 x 90 )
(0 x 10)
使函数有意义的自变量的 取值的全体，叫做函数自变 量的取值范围。 列函数解析式时，在列 出解析式后一定要根据实际 意义或数学意义求出自变量 的取值范围，并注意检验