算术和代数表示式的教学

理論的架構和假定
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處理括號的能力是理解符號化的算術和代數 的關鍵部分，並且是運算未完成(unclosed)表 示式的能力基礎。 從探索階段可以體察到這主題可以更有效地 被教成一套清楚而詳細的去括號和重寫表示 式規則。 為了提升學習和記憶力，規則必須連結概念。 因為概念像是指示者出現在規則的描述中， 概念性的誤解可能導致規則的錯誤學習。小 學生需要靈活的應用規則，而概念性理解解 決這種靈活性。
the international group for the psychology of mathematics education,3,121–128.
陳鴻綸整理
摘要
121
介入教學的研究：帶領六年級學生去探索 算術表示式和基本代數之間的聯繫。 選擇3組學生：兩組接受算術和代數的教 學，另一組只接受代數而沒有算術。 學習算術對項(term)的概念能發展出很好 的理解力，並且應用在表示式的等值。在 代數的問題上也會表現得更好。
一所學校與參加夏天課程的那個相同。另一 所學校是來自中社經組的學生，雖然不能很 流利的使用英語談話，但是相對的可以更自 在使用英語。
方法
123-124
對所有學生施予前測，依據前測的表現形 成相同的A、B兩組。 另外增加C組，來自中低收入、使用本地語 言(Marathi)的中等教育學校35個學生。
組別
方法
123
一些學生能用他們自己的解釋說明為什麼 兩個算術表示式是等值的。例如，證明 27+32=29+30的理由是“從32拿2給27”。 在更難的例子裡，學生需要能處理括號。 用一些規則來把運算和理由符號化是必要 的。因此，按運算順序的規則和去括號的 教學單元包括在模式中。
方法
123
第二階段在2003年10月到11月，引導探索學生 在算術表示式和基本代數知識之間的連結。 有一個兩組設計。類似第一個階段（從申請 人中隨機取出），學生是從附近的兩所英語 中等學校來選擇。這些學生正就讀6年級並且 最近已經被引進到整數，但是沒有做任何代 數。
理論的架構和假定
122
表示式的等值是掌握表示式架構的核心概 念。要求小學生不用計算去比較表示式， 而是透過項來檢查。這讓學生體認項概念 的重要性。 項和表示式等值的概念可能像從算術到代 數的知識轉移軌跡一樣是個函數，被稱為 “概念橋”(bridge concepts)。強調項讓學 生去體認一個表示式連同附屬符號是一個 數字。這個概念延伸到創造項和把項括號 起來。
序言
121
學生在學習代數時，有很多的困難是因為 不了解兩個重要概念：變量和代數表示式。 學生理解算術和代數的表示式是可以相互 連結的。例如，在運算代數表示式時，學 生會反覆犯一些在處理算術表示式時的錯 誤。 很多學生對算術表示式的架構並沒有什麼 感覺，並且要靠計算去判斷像 685492+947 和 947-492+685 這樣的等值。
算術和代數表示式的教學
K. Subramaniam, Rakhi Banerjee Homi Bhabha Centre for Science Education Tata Institute of Fundamental Research, Mumbai, India
Subramaniam, K. and Banerjee, R. (2004).Teaching arithmetic and algebraic expressions.Proceedings of the 28th conference of
方法
123
第一個階段在2003年夏天，進行超過13個 小時的教育課程。探索一小群將進6年級 (11歲)的15個學生。目標在準備一個教育 模式，來發展算術表示式架構感。 學生來自一所低社經背景的都市學校。雖 然教育的媒介是英語，而且那些學生能用 英語教學，但是他們不能用流利的英語溝 通。學生自願報名參加計畫並且隨機取出 列入名單。
方法
123
前測顯示大多數的學生不能正確地使用運算 順序規則，或者發現簡單的線性方程式裡的 未知數，或者將口語表示的句子寫成表示式。 這些題目在5年級被粗略地呈現，但是不強 調。 教育模式包括練習：
學生學習表示算術表示式意義的關係 把一個句子翻譯成表示式 估計表示式 學習 “=” 的意義作為兩個表示式等值的關係。
人數 測驗開始時 最後分析時
備註 部分退出
A組 B組 C組
ຫໍສະໝຸດ Baidu
27 26
25 21 35
方法
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在學校期中進行計畫並且延續3周，每次一 個半小時的11個教學課程。A組和C組教予 算術表示式和代數，而B組只教予代數。B 組有一些無關題目的授課︰幾何學的活動。
A組和B組有相同的代數老師。由另一位老 師教A組的算術課。C組是一位用Marathi語 言的老師教算術和代數。3組的總教學時間 是相同的。B組有比較多的代數教學時間， 增加的時間主要花在簡化代數表示式和應 用在解釋猜數字遊戲的結果。
序言
代數，像廣義的算術，是符號化 (symbolize)並利用算術的架構觀點。
121
學習代數可能是為了更好理解算術表 示式，因為代數的符號化提升了表示 式的架構。
Linchevski和Livneh(1999)對於把焦點 放在教授算術架構像是為代數做準備， 是否是一個好的教學策略提出懷疑。
序言
這研究分成兩階段進行：
121-122
第一個階段是去探索並發展可以讓學生 發展更好的算術表示式意義和架構理解 力的合適教材。
第二個階段有一個兩組設計 (a two-group design)，其中一組教授算術表示式和代 數之間的關聯，而另一組接受代數教學 而沒有算術教學。
理論的架構和假定
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小學數學中，孩子碰到算術表示式會當作 是“問題”：做某種運算並且產生一個答 案。 代數的轉移需要小學生瞭解算術表示式的3 重意義︰過程、結果和關係。 關係：12+7表示“比12多7”(或“比7多 12”)。12+7和10+9表示相同的數目，卻 表示不同的關係。在代數裡，關係的意義 被概括成一個函數的概念。從教學的觀點 來看，關係對孩子來說是有意義的，並且 能作為算術表示式架構的入門。