用三种方法表示二次函数
初高中衔接二次函数专题
3 二次函数 基础知识1．二次函数的三种表示方式： （1）一般式：y=ax 2 +bx+c ；（2）顶点式：y=a(x-m)2 +n （常用，便于求最值、画图）； （3）交点式： y=a(x-x 1 )(x-x 2 ) (△≥0时) ．2．若函数y=f(x)的对称轴是x=h,则对f(x)定义域内的任意x,都有f(h+x)=f(h-x);反之也成立。
3．二次方程根的分布问题，限制条件较多时可用相应抛物线位置，限制条件较少时可用韦达定理解决。
4．二次函数的最值问题（1）二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的最值．二次函数在自变量x 取任意实数时的最值情况：当0a >时，函数在2bx a=-处取得最小值244ac b a -，没有最大值；当0a <时，函数在2b x a=-处取得最大值244ac b a -，没有最小值．求二次函数最大值或最小值的步骤：第一步确定a 的符号，a ＞0有最小值，a ＜0有最大值； 第二步配方求顶点，顶点的纵坐标即为对应的最大值或最小值． （2）求二次函数在某一范围内的最值．二次函数在某区间上的最值须用配方法，含字母的函数最值可借助图象分析。
如：求2y ax bx c =++在m x n ≤≤（其中m n <）的最值的步骤： 第一步：先通过配方，求出函数图象的对称轴：0x x =；第二步：讨论：（请同学们画出图像理解）（1）若0a >时求最小值或0a <时求最大值，需分三种情况讨论： ①0x m <，即对称轴在m x n ≤≤的左侧； ②0m x n ≤≤，即对称轴在m x n ≤≤的内部； ③0x n >，即对称轴在m x n ≤≤的右侧。
（2） 若0a >时求最大值或0a <时求最小值，需分两种情况讨论： ①02m nx +≤，即对称轴在m x n ≤≤的中点的左侧；②02m nx +>，即对称轴在m x n ≤≤的中点的右侧。
二次函数
二次函数（1）一般性式：y=ax^2+bx+c(a不等于0)b=0、c=0性质：1、“a”的符号当a＜0时，口向下。
当a＞0时，开口向上。
“a”的绝对值：开口度[a]越大开口越小。
2、对称轴：y轴3、顶点：（0,0）4、增减性①a＞0左：x越大，y越小右：x越大，y越大②a＜0左：x越大，y越大右：x越大，y越大5、最大值①a＜0 y最小值=0②a＞0 y最大值=06,、上加下减上（C）下（【c】）y=ax^2+c左加右减左（m）右（【M】）y=a(x+m)^2一般形式直线：y=-b/2a+bx+c= a(x^2+b/a x+c/a)=a[x^2+b/a x+ (b/2a)-b^2/4a^2+c/a]=a [(x+b/2a) ^2+4ac-b^2/4a^2]y=a(x+b/2a) ^2+ 4 ac-b^2/4a对称轴：直线：x=-b/2a顶点（-b/2a,4ac-b^2/4a）求最大（小）值①公式法：y最大（小）值=4ac-b^2/4a②配方法：y=a(x+b/2a)^2+ ac-b^2/4a③代入法：先求顶点坐标x=-b/2a再把x=-b/2a代入表达式“求”y一次函数①一般地，在某个变化过程中，有两个变量x和y，如果给定一个x 值，那么我们称y和x的函数，其中x是自变量，Y是因变量。
②若二个变量x,y间的关系式可以表示成y=kx+b(k,b为常数，k≠0)的形式，则称y是x的一次函数。
特别地，当b=0时，称y式x的正比例函数。
④图像：一次函数y=kx+b的图像是一条直线。
因此做一次函数图象时，只要确定两个点作直线就可以了，一次函数y=kx+b的图像也称为直线y=kx+b.⑤图像：1、正比例函数y=kx的图像是经过原点（0，0）的一条直线。
⑥图像：在一次函数y=kx+b中当k＞0时，y的值随x值的增大而增大；当k＜0时，y的值随x值的增大而减小。
⑦将直线y=kx沿y轴向上平移b(b＞0)个单位长度，可以直线y=kx+b;沿y轴向下平移b个单位长度，可以得到直线y=kx-b.二次函数的三种表达方式①表达式法：将二次函数y用含有自变量x的代数式表示，这个式子就叫做函数表达式，例如y=-2x^2+3x+1等。
二次函数的三种表示方式(解析版)
二次函数的三种表示方式高中必备知识点1：一般式形如下面的二次函数的形式称为一般式：y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)；典型考题【典型例题】已知抛物线y ＝ax 2+bx +c 的对称轴为x ＝﹣1，且过点（﹣3，0），（0，﹣3）． （1）求抛物线的表达式．（2）已知点（m ，k ）和点（n ，k ）在此抛物线上，其中m ≠n ，请判断关于t 的方程t 2+mt +n ＝0是否有实数根，并说明理由．【答案】（1）y ＝x 2+2x ﹣3；（2）方程有两个不相等的实数根． 【解析】（1）抛物线y ＝ax 2+bx +c 的对称轴为x ＝﹣1，且过点（﹣3，0），（0，3） 9a ﹣3b +c ＝0930312a b c c b a⎧⎪-+=⎪=-⎨⎪⎪-=-⎩ 解得a ＝1，b ＝2，c ＝﹣3 ∴抛物线y ＝x 2+2x ﹣3；（2）∵点（m ，k ），（n ，k ）在此抛物线上， ∴（m ，k ），（n ，k ）是关于直线x ＝﹣1的对称点， ∴+2m n＝﹣1 即m ＝﹣n ﹣2 b 2﹣4ac ＝m 2﹣4n ＝（﹣n ﹣2）2﹣4n ＝n 2+4＞0∴此方程有两个不相等的实数根．【变式训练】抛物线的图象如下，求这条抛物线的解析式。
(结果化成一般式)【答案】【解析】由图象可知抛物线的顶点坐标为（1，4），设此二次函数的解析式为y=a（x-1）2+4把点（3，0）代入解析式，得：4a+4，即a=-1所以此函数的解析式为y=-（x-1）2+4故答案是y=-x2+2x+3．【能力提升】如图，在平面直角坐标系中，抛物线先向右平移2个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线. （1）求抛物线的解析式（化为一般式）；（2）直接写出抛物线的对称轴与两段抛物线弧围成的阴影部分的面积.【答案】(1) ;(2)4.【解析】 （1）抛物线的顶点坐标为，把点先向右平移2个单位，再向下平移2个单位后得到的点的坐标为，抛物线的解析式为；（2）顶点坐标为，且抛物线的对称轴与两段抛物线弧围成的阴影部分的面积，抛物线的对称轴与两段抛物线弧围成的阴影部分的面积.高中必备知识点2：顶点式形如下面的二次函数的形式称为顶点式：y ＝a (x -h )2＋k (a ≠0)，其中顶点坐标是(h ，k )．典型考题【典型例题】已知二次函数21322y x x =-++． ⑴用配方法将此二次函数化为顶点式； ⑵求出它的顶点坐标和对称轴方程．【答案】（1）()21122y x =--+；（2）（1，2），直线1x = 【解析】 （1）21322y x x =-++()21232y x x =--- ()2121132y x x =--+--()212142y x x ⎡⎤=--+-⎣⎦ ()21142y x ⎡⎤=---⎣⎦()21122y x =--+（2）∵()21122y x =--+∴顶点坐标为（1，2），对称轴方程为直线1x =.【变式训练】已知二次函数的图象的顶点是（﹣1，2），且经过（1，﹣6），求这个二次函数的解析式． 【答案】二次函数的解析式为y=﹣2（x+1）2+2． 【解析】∵二次函数的图象的顶点是（﹣1，2），∴设抛物线顶点式解析式y=a （x+1）2+2，将（1，﹣6）代入得，a （1+1）2+2=﹣6， 解得a=﹣2，所以，这个二次函数的解析式为y=﹣2（x+1）2+2．【能力提升】二次函数的图象经过点(03)A -，，(23)B -，，(10)C -，． （1）求此二次函数的关系式； （2）求此二次函数图象的顶点坐标；（3）填空：把二次函数的图象沿坐标轴方向最少．．平移 个单位，使得该图象的顶点在原点．【答案】（1）322--=x x y ；（2）（1，-4）；（3）5【解析】（1）设c bx ax y ++=2，把点(03)A -，，(23)B -，，(10)C -，代入得 ⎪⎩⎪⎨⎧=---=++-=03343b a c b a c ，解得⎪⎩⎪⎨⎧-=-==321c b a∴322--=x x y ；（2）∵4)1(3222--=--=x x x y∴函数的顶点坐标为（1，-4）； （3）∵|1-0|+|-4-0|=5∴二次函数的图象沿坐标轴方向最少平移5个单位，使得该图象的顶点在原点．高中必备知识点3：交点式形如下面的二次函数的形式称为交点式：y ＝a (x －x 1) (x －x 2) (a ≠0)，其中x 1，x 2是二次函数图象与x 轴交点的横坐标．典型考题【典型例题】已知在平面直角坐标系中，二次函数 y =x 2+2x +2k ﹣2 的图象与 x 轴有两个交点． （1）求 k 的取值范围；（2）当 k 取正整数时，请你写出二次函数 y =x 2+2x +2k ﹣2 的表达式，并求出此二次函数图象与 x 轴的两个交点坐标．【答案】（1）k ＜；（2）（﹣2，0）和（0,0）.【解析】（1）∵图象与x轴有两个交点，∴方程有两个不相等的实数根，∴解得（2）∵k 为正整数，∴k=1．∴令y=0，得解得∴交点为（﹣2，0）和（0，0）.【变式训练】已知二次函数的图象经过点(3，－8)，对称轴是直线x＝－2，此时抛物线与x轴的两交点间距离为6.(1)求抛物线与x轴两交点坐标；(2)求抛物线的解析式．【答案】(1)(－5，0)，(1，0)；（2）y＝－x2－2x＋.【解析】(1) ∵因为抛物线对称轴为直线x=-2，且图象与x轴的两个交点的距离为6，∴点A、B到直线x=-2的距离为3，∴A为（-5，0），B为（1，0）；(2)设y＝a(x＋5)(x－1)．∵点(3，－8)在抛物线上，∴－8＝a(3＋5)(3－1)，a＝－，∴y＝－x2－2x＋.【能力提升】已知二次函数y＝x2﹣4x+3．（1）求该二次函数与x轴的交点坐标和顶点；（2）在所给坐标系中画出该二次函数的大致图象，并写出当y＜0时，x的取值范围．【答案】（1）二次函数与x轴的交点坐标为（1，0）（3，0），抛物线的顶点坐标为（2，﹣1）；（2）图见详解；当y＜0时，1＜x＜3．【解析】（1）当y＝0时，x2﹣4x+3＝0，解得x1＝1，x2＝3，所以该二次函数与x轴的交点坐标为（1，0）（3，0）；因为y＝x2﹣4x+3＝x2﹣4x+4﹣1＝（x﹣2）2﹣1，所以抛物线的顶点坐标为（2，﹣1）；（2）函数图象如图：由图象可知，当y＜0时，1＜x＜3．专题验收测试题1．将抛物线y＝﹣2（x+1）2﹣2向左平移2个单位，向下平移3个单位后的新抛物线解析式为（）A．y＝﹣2（x﹣1）2+1 B．y＝﹣2（x+3）2﹣5C．y＝﹣2（x﹣1）2﹣5 D．y＝﹣2（x+3）2+1【答案】B【解析】解：将抛物线y＝﹣2（x+1）2﹣2向左平移2个单位，向下平移3个单位后的新抛物线解析式为：y＝﹣2（x+3）2﹣5．故选：B．2．二次函数y＝﹣2（x﹣1）2+3的图象的顶点坐标是（）A．（1，3）B．（﹣1，3）C．（1，﹣3）D．（﹣1，﹣3）【答案】A【解析】解：二次函数y＝﹣2（x﹣1）2+3的图象的顶点坐标为（1，3）．故选：A．3．若二次函数y＝（k+1）x2﹣2x+k的最高点在x轴上，则k的值为（）A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2【答案】D【解析】∵二次函数y＝（k+1）x2﹣2x+k的最高点在x轴上，∴△＝b2﹣4ac＝0，即8﹣4k（k+1）＝0，解得：k1＝1，k2＝﹣2，当k＝1时，k+1＞0，此时图象有最低点，不合题意舍去，则k的值为：﹣2．故选：D．4．已知二次函数为常数，且），（）A．若，则的增大而增大；B．若，则的增大而减小；C．若，则的增大而增大；D．若，则的增大而减小；【答案】C【解析】解：∵y=ax2+（a+2）x-1对称轴直线为，x=-=-．由a＜0得，-＞0．∴-＞-1．又∵a＜0∴抛物线开口向下．故当x＜-时，y随x增大而增大．又∵x＜-1时，则一定有x＜-．∴若a＜0，则x＜-1，y随x的增大而增大．故选：C．5．二次函数y＝3（x﹣1）2+2，下列说法正确的是（）A．图象的开口向下B．图象的顶点坐标是（1，2）C．当x＞1时，y随x的增大而减小D．图象与y轴的交点坐标为（0，2）【答案】B【解析】解：A、因为a＝3＞0，所以开口向上，错误；B、顶点坐标是（1，2），正确；C、当x＞1时，y随x增大而增大，错误；D、图象与y轴的交点坐标为（0，5），错误；故选：B．6．将抛物线y＝x2﹣x+1先向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，则所得抛物线的表达式为（）A．y＝x2+3x+6 B．y＝x2+3x C．y＝x2﹣5x+10 D．y＝x2﹣5x+4【答案】A【解析】，当向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得.故选A．7．把抛物线y＝ax2+bx+c图象先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得的图象的解析式是y＝x2+5x+6，则a﹣b+c的值为（）A．2 B．3 C．5 D．12【答案】B【解析】y＝x2+5x+6＝（x+）2﹣．则其顶点坐标是（﹣，﹣），将其右左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度后得到（﹣）．故原抛物线的解析式是：y＝（x+）2+＝x2+x+3．所以a＝b＝1，c＝3．所以a﹣b+c＝1﹣1+3＝3．故选B．8．已知二次函数y＝﹣（x﹣k+2）（x+k）+m，其中k，m为常数．下列说法正确的是（）A．若k≠1，m≠0，则二次函数y的最大值小于0B．若k＜1，m＞0，则二次函数y的最大值大于0C．若k＝1，m≠0，则二次函数y的最大值小于0D．若k＞1，m＜0，则二次函数y的最大值大于0【答案】B【解析】∵y＝﹣（x﹣k+2）（x+k）+m＝﹣（x+1）2+（k﹣1）2+m，∴当x＝﹣1时，函数最大值为y＝（k﹣1）2+m，则当k＜1，m＞0时，则二次函数y的最大值大于0．故选：B．9．关于抛物线，下列说法错误．．的是（）．A．开口向上B．与轴只有一个交点C．对称轴是直线D．当时，的增大而增大【答案】B【解析】解：A、，抛物线开口向上，所以A选项的说法正确；B、当时，即，此方程没有实数解，所以抛物线与x轴没有交点，所以B选项的说法错误；C、抛物线的对称轴为直线，所以C选项的说法正确；D、抛物线开口向上，抛物线的对称轴为直线，则当时，y随x的增大而增大，所以D选项的说法正确．故选：B．10．将抛物线y＝﹣3x2+1向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得到的抛物线为（）A．y＝﹣3（x﹣2）2+4 B．y＝﹣3（x﹣2）2﹣2C．y＝﹣3（x+2）2+4 D．y＝﹣3（x+2）2﹣2【答案】D【解析】将抛物线y＝﹣3x2+1向左平移2个单位长度所得直线解析式为：y＝﹣3（x+2）2+1；再向下平移3个单位为：y＝﹣3（x+2）2+1﹣3，即y＝﹣3（x+2）2﹣2．故选D．11．已知抛物线经过点，则该抛物线的解析式为__________．【答案】【解析】解：将A、O两点坐标代入解析式得：，解得：，∴该抛物线的解析式为：y=.12．二次函数y=（a-1）x2-x+a2-1 的图象经过原点，则a的值为______．【答案】-1【解析】解：∵二次函数y=（a-1）x2-x+a2-1 的图象经过原点，∴a2-1=0，∴a=±1，∵a-1≠0，∴a≠1，∴a的值为-1．故答案为：-1．13．将二次函数y=x2的图象先向上平移1个单位，然后向右平移2个单位，得到新的二次函数的顶点式为______．【答案】y=（x-2）2+1【解析】解：将抛物线y=x2的图象先向上平移1个单位，然后向右平移2个单位后，得到的抛物线的表达式为y=（x-2）2+1，故答案为：y=（x-2）2+1．14．将抛物线y＝2x2平移，使顶点移动到点P（﹣3，1）的位置，那么平移后所得新抛物线的表达式是_____．【答案】y＝2（x+3）2+1【解析】抛物线y＝2x2平移，使顶点移到点P（﹣3，1）的位置，所得新抛物线的表达式为y＝2（x+3）2+1．故答案为：y＝2（x+3）2+115．在平面直角坐标系xOy 中，函数y = x2的图象经过点M (x1 , y1 ) ，N (x2 , y2 ) 两点，若- 4< x1<-2，0< x2<2 ，则y1 ____ y2 . （用“ <”，“=”或“>”号连接）【答案】>【解析】解：抛物线y=x2的对称轴为y轴，而M（x1，y1）到y轴的距离比N（x2，y2）点到y轴的距离要远，所以y1＞y2．故答案为：＞．16．小颖从如图所示的二次函数的图象中，观察得出了下列信息：；；；；．你认为其中正确信息的个数有______．【答案】【解析】解：抛物线的对称轴位于y轴左侧，则a、b同号，即，抛物线与y轴交于正半轴，则，所以，故错误；如图所示，当时，，所以，故正确；对称轴，，则如图所示，当时，，，，故正确；如图所示，当时，，故错误；综上所述，正确的结论是：．故答案是：．17．已知二次函数y＝﹣x2+bx﹣c的图象与x轴的交点坐标为（m﹣2，0）和（2m+1，0）．（1）若x＜0时，y随x的增大而增大，求m的取值范围；（2）若y ＝1时，自变量x 有唯一的值，求二次函数的解析式． 【答案】（1）31=m （2）y ＝﹣x 2﹣4x ﹣3和y ＝﹣x 2﹣16x ﹣63． 【解析】解：（1）由题意可知，二次函数图象的对称轴为x ＝2213122m m m -++-=，∵a ＝﹣1＜0，∴二次函数的图象开口向下， ∵x ＜0时，y 随x 的增大而增大，∴312m -≥0， 解得m ≥13，（2）由题意可知，二次函数的解析式为y ＝﹣（x ﹣312m -）2+1， ∵二次函数的图象经过点（m ﹣2，0）， ∴0＝﹣（m ﹣2﹣312m -）2+1， 解得m ＝﹣1和m ＝﹣5，∴二次函数的解析式为y ＝﹣x 2﹣4x ﹣3和y ＝﹣x 2﹣16x ﹣63． 18．设二次函数y 1＝ax 2+bx +a ﹣5（a ，b 为常数，a ≠0），且2a +b ＝3． （1）若该二次函数的图象过点（﹣1，4），求该二次函数的表达式；（2）y 1的图象始终经过一个定点，若一次函数y 2＝kx +b （k 为常数，k ≠0）的图象也经过这个定点，探究实数k ，a 满足的关系式；（3）已知点P （x 0，m ）和Q （1，n ）都在函数y 1的图象上，若x 0＜1，且m ＞n ，求x 0的取值范围（用含a 的代数式表示）．【答案】（1）y ＝3x 2﹣3x ﹣2；（2）k ＝2a ﹣5；（3）x 0<．【解析】解：（1）∵函数y 1＝ax 2+bx +a ﹣5的图象经过点（﹣1，4），且2a +b ＝3 ∴，∴，∴函数y 1的表达式为y ＝3x 2﹣3x ﹣2； （2）∵2a +b ＝3∴二次函数y1＝ax2+bx+a﹣5＝ax2+（3﹣2a）x+a﹣5，整理得，y1＝[ax2+（3﹣2a）x+a﹣3]﹣2＝（ax﹣a+3）（x﹣1）﹣2∴当x＝1时，y1＝﹣2，∴y1恒过点（1，﹣2）∴代入y2＝kx+b得∴﹣2＝k+3﹣2a得k＝2a﹣5∴实数k，a满足的关系式：k＝2a﹣5（3）∵y1＝ax2+（3﹣2a）x+a﹣5∴对称轴为x＝﹣，∵x0＜1，且m＞n∴当a＞0时，对称轴x＝﹣，解得，当a＜0时，对称轴x＝﹣，解得（不符合题意，故x0不存在）故x0的取值范围为：19．已知二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点A和点B（1）求该二次函数的解析式；（2）写出该抛物线的对称轴及顶点坐标．【答案】(1) y＝x2﹣4x﹣6；（2）对称轴为x＝2；顶点坐标是（2，﹣10）．【解析】（1）根据题意，得，解得，∴所求的二次函数的解析式为y＝x2﹣4x﹣6．（2）又∵y＝x2﹣4x﹣6＝（x﹣2）2﹣10，∴函数图象的对称轴为x＝2；顶点坐标是（2，﹣10）．20．如图，对称轴为直线x=-1的抛物线y=x2+bx+c与x轴相交于A、B两点，其中A点的坐标为（-3，0），C为抛物线与y轴的交点．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P在抛物线上，且S△POC=2S△BOC，求点P的坐标．【答案】（1）y＝x2+2x﹣3；（2）点P的坐标为（2，5）或（﹣2，﹣3）【解析】（1）∵抛物线的对称轴为x＝﹣1，A点的坐标为（﹣3，0），∴点B的坐标为（1，0）．将点A和点B的坐标代入抛物线的解析式得：解得：b＝2，c＝﹣3，∴抛物线的解析式为y＝x2+2x﹣3．（2）∵将x＝0代y＝x2+2x﹣3入，得y＝﹣3，∴点C的坐标为（0，﹣3）．∴OC＝3．∵点B的坐标为（1，0），∴OB＝1．设点P的坐标为（a，a2+2a﹣3），则点P到OC的距离为|a|．∵S△POC＝2S△BOC，∴12OC•|a|＝12OC•OB，即12×3×|a|＝2×12×3×1，解得a＝±2．当a＝2时，点P的坐标为（2，5）；当a＝﹣2时，点P的坐标为（﹣2，﹣3）．∴点P的坐标为（2，5）或（﹣2，﹣3）．21．已知抛物线y＝ax2﹣3ax﹣4a（a≠0）．（1）直接写出该抛物线的对称轴．（2）试说明无论a为何值，该抛物线一定经过两个定点，并求出这两个定点的坐标．【答案】（1）；（2）抛物线一定经过点.【解析】解：（1）该抛物线的对称轴为x=-;（2）可化为，当，即时，，抛物线一定经过点.22．如图，已知点A(-1，0)，B(3，0)，C(0，)在抛物线y=ax2+bx+c 上.(1)求抛物线解析式；(2)在第一象限的抛物线上求一点P，使△PBC的面积为.【答案】(1)；(2)点P的坐标为(1，2)或(2，).【解析】(1)设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x-3)，将C(0，)代入，得-3a=，解得∴抛物线的解析式为(2)过点P作PD⊥x轴于D.设点，∴S四边形ACOB=S梯形PDOC+S△PBD =(=∴S△PBC=S四边形PCOB- S△BOC=整理得，解得x=1或x=2.∴点P的坐标为(1，2)或(2，)。
十种二次函数解析式求解方法
十种二次函数解析式求解方法二次函数是一个形如y = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b和c是实数且a不为0。
解析式是一种表示函数的方式，它可以用来求解函数的性质和方程的解。
下面是十种二次函数解析式求解方法：1. 一般式：二次函数的一般式为y = ax^2 + bx + c。
通过将函数写成一般式，可以快速识别出a、b和c的值，进而求解一些重要的性质，如顶点、轴对称线、开口方向等。
2.标准式：二次函数的标准式为y=a(x-h)^2+k，其中(h,k)为顶点的坐标。
通过将一般式转化为标准式，可以直观地找出顶点的坐标及与x轴的交点。
3.因式分解：有时候，二次函数的解析式可以通过因式分解的方式得到。
例如，对于函数y=x^2-5x+6，我们可以将其因式分解为y=(x-2)(x-3)，从而得到x=2和x=3是方程的解。
4.完全平方：如果二次函数的解析式可以表示为一个完全平方的形式，那么我们可以通过提取出完全平方的方式得到方程的解。
例如，对于函数y=x^2-4x+4，我们可以将其写成y=(x-2)^2的形式，从而得到x=2是方程的解。
5. 配方法：对于一般的二次方程ax^2 + bx + c = 0，我们可以通过配方法将其转化为一个完全平方的形式。
通过配方法，我们可以找到一个常数k使得ax^2 + bx + c = a(x + p)^2 + k，从而得到方程的解析式。
6.求导方法：通过对二次函数求导，我们可以得到函数的导数。
导数可以帮助我们找到函数的最值点和切线，进而求解其他问题。
7.顶点公式：二次函数的顶点公式为(h,k)，其中h=-b/(2a)，k=f(h)。
通过顶点公式，我们可以快速找到二次函数的顶点，进而求解一些重要的性质。
8. 零点公式：二次函数的零点公式为x = (-b ± √(b^2 -4ac))/(2a)。
通过零点公式，我们可以求解二次函数的零点或解方程。
9. 判别式：二次函数的判别式为Δ = b^2 - 4ac。
用三种方式表示二次函数
§2.5用三种方式表示二次函数学习目标：1.经历三种方式表示二次函数关系的过程，体会三种方式之间的联系和各自不同点；2.掌握变量之间的二次函数关系，解决二次函数所表示的问题；3.掌握根据二次函数不同的表达方式，从不同的侧面对函数性质进行研究。
学习重点：三种方法表示二次函数的优缺点；为解决函数类实际问题打下坚实的基础。
学习过程：一、复习旧知，温故知新1.二次函数的一般形式是 ，它的图象是一条 ，对称轴是 ， 顶点坐标是 。
当a>0时，抛物线开口向 ，有最 点（填高或低）， 函数有最 值（填大或小），是 ;当 a<0时，抛物线开口向 ，有最 点（填高或低），函数有最 值（填大或小，是 .2. 二次函数y=a(x-h)2+k 的图象是一条 ，对称轴是 ，顶点坐标是 。
3、作出函数图象的具体步骤是___________、_______________、_________________ 。
二、创设情境，引入新知对于一般的二次函数y=ax 2＋bx ＋c （a ≠0）我们可以用哪些方式来表示呢？ 三、合作探究，发现新知1.已知矩形周长20cm ,并设它的一边长为xcm ,面积为ycm 2，y 随x 的而变化的规律是什么？你能分别用函数表达式，表格和图象表示出来吗？(1)用函数表达式表示：__________________。
（3）用图象表示： (2)用表格表示： x 1 2 3 4 5 6 7 8 910-x y(4)议一议：①在上述问题中，自变量x 的取值范围是_________________。
②当x_______时，矩形面积最大是__________,从_________方式可以得到。
③y 随x 的变化规律是__________________________________________________________。
2.两个数相差2,设其中较大的一个数为x ,那么它们的积y 是如何随x 的变化而变化的？用你能分别用函数表达式,表格和图象表示这种变化吗?(1)用函数表达式表示：___________________。
二次函数的三种形式
二次函数的三形式种
bx c
2
其中a是二次项系数，ax 是二次项
2
b是一次项系数，bx是一次项 c是常数项 b b 4ac b 对称轴为x=- , 顶点坐标为( , ) 2a 2a 4a
2
a、b、c与二次 函数图象的关 系
a决定了抛物线的开口方向 a>0开口向上 a<0开口向下 b与a共同决定了抛物线的对称轴（ ）
(左同右异)
c是抛物线与y轴交点的纵坐标
x=-
b , 2a
顶点式：
y=a(x-h) k
2
其中对称轴为x=h,定点坐标为（h,k）
双根式：
y=a(x-x1 )(x-x2 )其中(x1,0), (x2 ,0)是二次函数图象 与x轴的两个交点坐标
三种形式的相互转化
一般式
配方法 化简
顶点式
双根式
三种形式的优 缺点
一般式：优点：a、b、c一目了然，y轴交点坐标 缺点：不容易看出顶点坐标及对称轴 顶点式：优点：很容易看出顶点坐标及对称轴 缺点：不容易看出a、b、c的符号和大小 双根式：优点：很容易看到图象与坐标轴的交点 缺点：当图象不与坐标轴相交时，此形式不 能用
三种形式的应用
1、不知道特殊点的坐标时，常用一般式来表示 2、知道顶点坐标时，常用顶点式来表示 3、如果知道图象与坐标轴交点时，常用双根 式来表示 上述三种形式要灵活应用才能更好的理解 二次函 数的 表达式，进一步灵活应用
二次函数的解析式三种方法
二次函数的解析式三种方法二次函数是一种常见的函数类型，在数学学习中，学生们需要对其进行深入的了解和掌握，以便于解决与二次函数相关的问题。
本文将介绍三种求解二次函数的解析式的方法，包括公式法、顶点法和描点法。
每种方法的步骤和注意事项都将被详细介绍。
一、公式法公式法是一种求解二次函数解析式的基本方法。
二次函数的标准形式可以表示为 y = ax²+bx+c，其中 a、b、c 都是实数常数，而 x 是自变量。
一个常见的二次函数的例子为y = x²。
1. 求取 a、b、c 的值在使用公式法求解二次函数的解析式之前，需要先计算出二次函数中的 a、b、c 值。
通常情况下，这些值可以从已知的条件中直接得到。
如果已知二次函数经过点 (2,4) 和 (−1,3)，则可以根据这些坐标计算出 a、b、c的值。
可以得到两个方程：4 = a(2)²+b(2)+c3 = a(−1)²+b(−1)+c然后，可以将这些方程化简为：4 = 4a+2b+c3 = a−b+c接下来，可以使用代数法或消元法来求解 a、b、c 的值。
可以将第二个方程中的 a解出来，然后带入第一个方程中，得到：a = 2b−14 = 8b−4+2b+cc = −8b+8可以得到二次函数的解析式为：y = (2b−1)x²+bx+8−8b2. 使用公式法求解二次函数一旦确定了二次函数中的 a、b、c 值，可以使用公式法求解二次函数的解析式。
具体而言，可以使用以下公式：x = (-b ± √(b²-4ac))/(2a)这个公式可以得到二次函数的解析式中的两个根。
如果二次函数的解析式没有实数根，则说明这个二次函数不存在。
在上面的例子中，可以将 a、b、c 的值带入到公式中，得到：x = (-b ± √(b²-4ac))/(2a)x = (-b ± √(b²-4(2b−1)(8−8b)))/(2(2b−1))根据这个公式，可以得到二次函数的解析式的两个实数根，也就是二次函数与 x 轴相交的点。
用三种方式方法表格示二次函数
用三种方式表示二次函数【知识要点】1．二次函数可以用哪些方式表示？它们各有哪些优缺点？ 2．二次函数的三种解析法你是如何选择的?3．选择顶点式和两根式解析法表示有什么优点和缺点？4．你能总结选择恰当的表示方法来解决二次函数实际应用问题吗？【典型例题】# 例1 一个二次函数，它的图象的对称轴是y 轴，顶点是原点，且经过点⎪⎭⎫ ⎝⎛-41,1．（1）写出这个二次函数的解析式； （2）画出这个函数的图象；（3）抛物线在对称轴左侧部分y 随x 的增大怎样变化？ （4）这个函数有最大值还是最小值．# 例2 函数解析式的求法一、已知抛物线上任意三点时，通常设解析式为一般式c bx ax y ++=2，然后解三元方程组求解；（1）已知二次函数的图象经过A （0，3）、B （1，3）、C （－1，1）三点，求该二次函数的解析式。
（2）已知抛物线过A （1，0）和B （4，0）两点，交y 轴于C 点且BC ＝5，求该二次函数的解析式。
二、已知抛物线的顶点坐标时和抛物线上另一点时，通常设解析式为顶点式()k h x a y +-=2求解。
（3）已知二次函数的图象的顶点坐标为（1，－6），且经过点（2，－8），求该二次函数的解析式。
（4）已知二次函数的图象的顶点坐标为（1，－3），且经过点P （2，0）点，该二次函数的解析式为 。
三、已知抛物线与x 轴的交点的横坐标时，通常设解析式为交点式))((21x x x x a y --=。
（5）二次函数的图象经过A （－1，0），B （3，0），函数有最小值－8，求该二次函数的解析式。
# 例3 分析若二次函数y=ax 2+bx+c 经过（1，0）且图象关于直线x=21,对称，那么图象还必定经过哪一点？#例4 抛物线经过A、B、C三点，顶点为D，且与x轴的另一个交点为E。
（1）求该抛物线的解析式；（2）求四边形ABDE的面积；（3）求证：△AOB∽△BDE 。
# 例5 你知道下面每一个图形中各有多少个小圆圈吗?第6个图形中应该有多少个小圆圈?为什么?(2)完成下表：1 2 3 4 5边上的小圆圈数小圆圈的总数(3)如果用n表示等边三角形边上的小圆圈数，m表示这个三角形中小圆圈的总数，那么m和n的关系是什么?例6 某产品每件成本10元，在试销阶段每件产品的日销售价x（元）与产品的日销售量y（件）之间的关系如下表：（2）要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？此时每日销售利润是多少元？例7 某厂从2005年起开始投入技术改进资金，经技术改进后，其产品的生产成本不断(1)请你认真分析表中数据，从你所学习过的一次函数、二次函数和反比例函数中确定哪种函数能表示其变化规律，并求出它的关系式.(2)按照这种变化规律，若2009年已投入技改资金5万元.①预计生产成本每件比2008年降低多少万元？②如果打算在2009年把每件产品成本降低到3.2万元，则还需投入技改资金多少万元（结果精确到0.01万元）？增，中间有一段时间的兴趣保持平稳状态，随后开始分散．学生注意力指标 数y 随时间x （分钟）变化的函数图象如图所示（y 越大表示 注意力越集中）.当0≤x ≤10时，图象是抛物线的一部分， 当10≤x ≤20和20≤x ≤40时，图象是线段．⑴当0≤x ≤10时，求注意力指标数y 与时间x 函数关系式； ⑵一道数学综合题，需要讲解24分钟．问老师能否 经过适当安排，使学生听这道题时，注意力的指标数 都不低于36．*例9 已知一次函数x y 21=，二次函数122+=x y ．（1）根据表中给出x 值．计算对应的函数值1y ，2y ，并填在表格中．（2）观察（1）问表中有关的数据，证明如下结论：在实数围，对于x 的同一个值，这两个函数所对应的函数值≤1y 2y 均成立；（3）试问是否存在二次函数c bx ax y ++=23，其图象经过点（-5，2），且在实数围，对于x 的同一个值，这三个函数所对应的函数值231y y y ≤≤均成立？若存在，求出函数3y 的解析式；若不存在，请说明理由．*例10 如图，已知抛物线P ：y=ax 2+bx+c(a ≠0) 与x 轴交于A 、B 两点(点A 在x 轴的正半轴上)，与y 轴交于点C ，矩形DEFG 的一条边DE 在线段AB 上，顶点F 、G 分别在线段BC 、AC 上，抛物线P 上部分点的横坐标对应的纵坐标如下：x …-3 -2 1 2 …y …-52-4 -520 …(1) 求A、B、C三点的坐标；(2) 若点D的坐标为(m，0)，矩形DEFG的面积为S，求S与m的函数关系，并指出m的取值围；(3) 当矩形DEFG的面积S取最大值时，连接DF并延长至点M，使FM=k·DF，若点M不在抛物线P上，求k的取值围.大展身手1.已知x＝1时，函数有最大值5，且图形经过点（0，－3），则该二次函数的解析式。
二次函数知识点3
知识点3：二次函数解析式求法一、基础知识回顾：1．二次函数的三种表示方法：⑴表格法：可以清楚、直接地表示出变量之间的数值对应关系； ⑵图象法：可以直观地表示出函数的变化过程和变化趋势； ⑶表达式：可以比较全面、完整、简洁地表示出变量之间的关系． 2．二次函数表达式的求法：⑴若已知抛物线上三点坐标，可利用待定系数法求得c bx ax y ++=2；⑵若已知抛物线的顶点坐标或对称轴方程，则可采用顶点式：2()y a x h k =-+其中顶点为(h ，k)对称轴为直线x=h ；⑶若已知抛物线与x 轴的交点坐标或交点的横坐标，则可采用交点式：12()()y a x x x x =--,其中与x 轴的交点坐标为（x 1，0），（x 2，0） 二、典型例题讲解： 例题1、抛物线c bx ax y ++=2如图1－2－12 所示，则它关于y 轴对称的抛物线的解析式是___________.练习1、已知二次函数的图象经过原点及点（12-，14-），且图象与x 轴的另一交点到原点的距离为1，则该二次函数的解析式为例题2：求图象过点（0，-2）（1，2）且对称轴为直线x=23的二次函数的解析式练习：已知抛物线的顶点为（－3，4），且过点（－1，2），求此抛物线的解析式。
课堂练习：1．抛物线c bx ax y ++=2中，已知a ：b ：c=l ：2：3，最小值为6，则此抛物线的解析式为____________ 2．已知二次函数的图象开口向下，且与y 轴的正半轴相交，请你写出一个满足条件的二次函数解析式：_______________.3．若抛物线过点(1，0)且其解析式中二次项系数为1，则它的解析式为___________．（任写一个） 4.二次函数322--=x x y 的图象关于原点O （0, 0）对称的图象的解析式是_________________。
5.若抛物线23y ax bx =++与232y x x =-++的两交点关于原点对称，则a b 、分别为 ． 6.平面直角坐标系中，先将抛物线22y x x =+-关于x 轴作轴对称变换，再将所得的抛物线关于y 轴作轴对称变换，那么经两次变换后所得的新抛物线的解析式为（ ） A ．22y x x =--+ B ．22y x x =-+- C ．22y x x =-++ D ．22y x x =++例题3：已知二次函数212y x bx c =++的图象经过点A （c,－2）， 求证：这个二次函数图象的对称轴是x=3.题目中的矩形框部分是一段被墨水染污了无法辩认的文字.（1）根据已知和结论中现有的信息，你能否求出题中的二次函数解析式？若能，请写出求解过程，并画出二次函数的图象；若不能，请说明理由.（2）请你根据已有的信息，在原题中的矩形框中，填加一个适当的条件，把原题补充完整.例题4：目前国内最大跨径的钢管混凝土拱桥——永和大桥，是南宁市又一标志性建筑，其拱形图形为抛物线的一部分（如图1－2－18），在正常情况下，位于水面上的桥拱跨度为350米，拱高为8.5米。
二次函数知识点归纳总结
二次函数知识点归纳总结二次函数知识点总结二次函数是形如y=ax²+bx+c（a≠0）的函数。
与一元二次方程类似，二次项系数a≠0，而b和c可以为零。
二次函数的定义域是全体实数。
二次函数的根本形式是y=ax²。
a的绝对值越大，抛物线的开口越小。
a的符号决定开口方向。
当a>0时，开口向上；当a<0时，开口向下。
顶点坐标是（0,0），对称轴是y轴。
当x增大时，y随之增大，当x减小时，y随之减小，当x=0时，y有最小值。
当二次函数的形式为y=ax²+c时，顶点坐标是（0,c），对称轴是y轴。
其他性质与y=ax²相同。
当二次函数的形式为y=a(x-h)²时，顶点坐标是（h,0），对称轴是以顶点为中心的垂直于x轴的直线。
当x增大时，y随之增大，当x减小时，y随之减小，当x=h时，y有最小值。
当二次函数的形式为y=a(x-h)²+k时，顶点坐标是（h,k），对称轴是以顶点为中心的垂直于x轴的直线。
其他性质与y=a(x-h)²相同。
平移二次函数的图像，可以将抛物线的顶点平移到（h,k）处。
具体方法是保持抛物线形状不变，将其顶点平移到（h,k）处。
如果k>0，则向上平移|k|个单位；如果k<0，则向下平移|k|个单位。
y=ax^2+k向右移动h个单位（h>0）或向左移动|h|个单位（h0）或向下移动|k|个单位（k<0）。
y=a(x-h)^2向上移动k个单位（k>0）或向下移动|k|个单位（k<0），平移规律为“左加右减，上加下减”，概括为八个字。
另一种方法是对于y=ax^2+bx+c，沿y轴平移m个单位向上（下）为y=ax^2+bx+c+m（或y=ax^2+bx+c-m），沿轴平移m个单位向左（右）为y=a(x+m)^2+b(x+m)+c（或y=a(x-m)^2+b(x-m)+c）。
对于二次函数y=a(x-h)^2+k和y=ax+bx+c，两者是不同的表达形式，通过配方可以得到y=ax^2+bx+c，其中h=-b/2a，k=a(h^2)+b(h)+c。
二次函数关系式的三种形式
二次函数关系式的三种形式1.引言1.1 概述二次函数是数学中的重要概念，在许多领域都有广泛的应用。
它是一个拥有二次项的多项式函数，通常用一般形式表示为f(x) = ax^2 + bx + c。
其中，a、b和c分别代表函数的系数。
二次函数关系式可以通过三种形式来表示：标准形式、顶点形式和描点形式。
本文将对这三种形式进行详细介绍，包括定义和特点，并给出一些示例和应用。
在二次函数关系式的标准形式中，函数表达式会经过整理化简，常见形式为f(x) = ax^2 + bx + c。
标准形式的特点是系数a、b和c可以直接体现函数的性质，例如a决定了函数的开口方向，b决定了函数的对称轴以及接触或穿过x轴的情况，c则是函数在y轴上的截距。
标准形式的示例和应用可帮助读者更好地理解和应用二次函数关系式。
另一种常见的表达形式是二次函数关系式的顶点形式。
顶点形式的函数表达式为f(x) = a(x-h)^2 + k，其中(h,k)代表二次函数的顶点坐标。
顶点形式的特点是可以直观地描述二次函数的顶点位置及函数的凹凸性，方便进行图像的绘制和分析。
顶点形式的示例和应用将帮助读者更深入地理解二次函数的几何性质和图像特点。
此外，二次函数关系式还可以通过描点形式来表示。
描点形式的函数表达式为f(x) = a(x-x_1)(x-x_2)，其中(x_1,y_1)和(x_2,y_2)分别为二次函数的两个描点坐标。
描点形式的特点是可以通过已知点的坐标，直接构造出二次函数的表达式，方便进行函数的推导和计算。
描点形式的示例和应用将帮助读者更好地理解和使用二次函数关系式。
总之，本文将详细介绍二次函数关系式的三种形式：标准形式、顶点形式和描点形式。
通过深入理解这三种形式的定义、特点和应用，读者将能够更好地掌握二次函数的性质和图像特点，进而在实际问题中灵活运用。
文章结构部分的内容可以如下编写：1.2 文章结构本文将分为三个主要部分进行讨论。
首先，在引言部分，我们将简要概述本文的主题和目的，为读者提供一个整体了解的框架。
二次函数的三种表示方式
二次函数的三种表示方式1．二次函数的一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)；2．二次函数的顶点式：y＝a(x＋h)2＋k (a≠0)，其中顶点坐标是(－h，k)．除了上述两种表示方法外，它还可以用另一种形式来表示．为了研究另一种表示方式，我们先来研究二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交点个数．当抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴相交时，其函数值为零，于是有ax2＋bx＋c＝0．①并且方程①的解就是抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交点的横坐标（纵坐标为零），于是，不难发现，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交点个数与方程①的解的个数有关，而方程①的解的个数又与方程①的根的判别式Δ＝b2－4ac有关，由此可知，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交点个数与根的判别式Δ＝b2－4ac存在下列关系：（1）当Δ＞0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有两个交点；反过来，若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有两个交点，则Δ＞0也成立．（2）当Δ＝0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有一个交点（抛物线的顶点）；反过来，若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有一个交点，则Δ＝0也成立．（3）当Δ＜0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴没有交点；反过来，若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴没有交点，则Δ＜0也成立．于是，若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有两个交点A(x1，0)，B(x2，0)，则x1，x2是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，所以x 1＋x2＝，x1x2＝，即＝－(x1＋x2)，＝x1x2．所以，y＝ax2＋bx＋c＝a( )= a[x2－(x1＋x2)x＋x1x2]＝a(x－x1) (x－x2)．由上面的推导过程可以得到下面结论：若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交于A(x1，0)，B(x2，0)两点，则其函数关系式可以表示为y＝a(x－x1) (x－x2) (a≠0)．这样，也就得到了表示二次函数的第三种方法：3．二次函数的交点式：y＝a(x－x1) (x－x2) (a≠0)，其中x1，x2是二次函数图象与x轴交点的横坐标．今后，在求二次函数的表达式时，我们可以根据题目所提供的条件，选用一般式、顶点式、交点式这三种表达形式中的某一形式来解题．。
【小学课件】《用三种方式表示二次函数》二次函数优质PPT课件
用三种方式表示二次函数
做一做
函数的表示方式
已知矩形周长20cm,并设它的一 边长为xcm,面积为ycm2.
x y
y随x的而变化的规律是什么？ 你能分别用函数表达式，表格 和图象表示出来吗？
做一做
解析法—用表达式表示函数
已知矩形周长20cm,并设它的一 边长为xcm,面积为ycm2.
用函数表达式表示：
y xx 2即y x 2x.
2
做一做
列表法—用表格表示函数
两个数相差2,设其中较大的一个 数为x,那么它们的积y是如何随x 的变化而变化的?
Y=
x
y x 1 1.
2
x2-2x= (x-1)2-1
… … -2 -1 0 1 2 3 4 … …
用表格表示：
2
y x2 2x
2.图象的对称轴和顶点 或y x 1 1. 坐标分别是什么? y x 2x
2
2
由表达式的顶点式和 图象,可知图象的对称 轴是:直线x=1,顶点 坐标是:(1,-1).
3.如何描述y随x的变化而变化的情况?
由表格和图象可知,y随x的变化而变 化的情况是:当x<1时,y随x的增大而 减小;当x>1时,y随x的增大而增大.
2 2
（5，25）
当0<x<5时,y随x的
增大而增大; 当5<x<10时,y随x的 增大而减小.
做一做
两个数相差2,设其中较大的
一个数为x,那么它们的积y 是如何随x的变化而变化的?
你能分别用函数表达式,表格
和图象表示这种变化吗?
做一做
解析法—用表达式表示函数
二次函数的三种表事方法
x
y
因为x表示周长为20cm矩形的边长, 所以自变量x的取值范围是:0<x<10. 2.当x取何值时,长方形面积最大？最 大面积是多少?你是怎么得到的? 当x=5cm时,长方形面积最大,最大面积=25cm2. 由表达式的顶点式,表格中结果,图象的最高点 都可得到. 3.请你描述一下y随x的变化而变化的情况.
2 2
2.二次函数y=ax2+bx+c的对称轴为x＝3，最小值 为－2，，且过（0，1），此函数的解析式是__ ____. 1 1 2 2 y ( x 3) 2 x 2 x 1 3 3
情境引入右图是泰州某河上一座古拱桥的截面
图，拱桥桥洞上沿是抛物线形状，抛物线两端点 与水面的距大距离是5m，桥洞两侧壁上各有一盏距 离水面4m的景观灯．若把拱桥的截面图放在平面 直角坐标系中．1.求抛物线的解析式． 2.求两盏景观灯之间的水平距离．
x 10-x y 1 9 9 2 3 4 5 6 7 8 9 1 9 8 7 6 5 4 3 2 16 21 24 25 24 21 16
解法3：用图象表示:
比较三种表示方式, 优点、缺点分别是什么？
• 二次函数的三种表示方式各有什么特点? 它们之间有什么联系?
表示 表达 式 表格 优点 变量间关系简捷明了,便于 分析计算.
二次函数三种表示法
函数的表示方式
问题：已知矩形周长20cm,并设它的 一边长为xcm,面积为ycm2.
x y
y随x的而变化的规律是什么？你能分别用 解析法，表格法和图象法表示出来吗？
解法1 ：用函数表达式表示： 2 y x10 x即y x 10x0 x 10. 解法2：用表格表示：
? 8
北师大版九年级下 §2-5 用三种方式表示二次函数(1)解析法,列表法,图象法
初中数学课件
问题研究
已知矩形周长20cm,
并设它的一边长为 x
y
xcm,面积为ycm2.
y随x的而变化的规律是什么？ 你能分别用函数表达式，表格 和图象表示出来吗？
初中数学课件
问题剖析
函数的三种表示方
法
解析法 用函数表达式表示：
y=x(10-x)=-x2+10x
x
y
初中数学课件
列表法—用表格表示：
化而变化的?
用函数表达式表示：
y xx 2即y x2 2x.
初中数学课件
做一做
列表法—用表格表示函
数
两个数相差2,设其中较大的一个数为
x,那么它们的积y是如何随x的变化而
变化的?
Y= x2-2x=(x-1)2-1
用表格表示：
x
… …
-2
-1
0
1
2
3
4
… …
y x 12 1. … 8 3 0 -1 0 3 8 …
例1、已知点A（-1，-1）在抛物线 y=(k2-1)x2-2(k-2)x+1上
（1）求抛物线的对称轴； （2）若点A与点B关于抛物线的对称 轴对称，问是否存在与抛物线只交于 一点B的直线？若存在，求出符合条 件的直线；若不存在，请说明理由。
初中数学课件
例2、已知抛物线y=x2-4x-12 （1）求抛物线与x轴交点A,B的坐标； （2）画出图象，若抛物线顶点为P，求 三角形PAB的面积； （3）若点Q在抛物线上，且S△QAB =2S△PAB，则Q点有几个？依次求出Q点 的坐标。
括和形象化的表达. 初中数学课件
问题探究
问题:求函数y=ax2+bx+c 的图象与坐标轴交点问题
二次函数求解公式
二次函数求解公式二次函数是一种常见的二次方程，其定义为y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，a ≠ 0。
二次函数也被称为二次多项式函数。
求解二次函数的一般方法有图像法、配方法和根的关系。
其中，图像法可以帮助我们直观地理解二次函数的性质，配方法和根的关系则能帮助我们求解二次函数的交点、极值点等。
一、图像法使用图像法求解二次函数的步骤如下：1.绘制二次函数的图像：可以通过画出二次函数的图像来直观地了解函数的性质，比如判断开口方向、极值点等。
2.确定顶点坐标：顶点是二次函数的最高点或最低点，通过观察图像，我们可以找到顶点的坐标。
顶点坐标可以表示函数的极值点。
3.确定对称轴：对称轴是二次函数的图像关于y轴的对称轴线，通过观察图像，我们可以找到对称轴的方程。
4.确定交点坐标：交点是二次函数与x轴的交点，通过观察图像，我们可以找到交点的坐标。
交点坐标可以表示函数的根。
二、配方法使用配方法求解二次函数的步骤如下：1. 对于一般的二次函数y = ax^2 + bx + c，如果a ≠ 0，则可以通过配方法将其写成形如y = a(x + p)^2 + q的标准形式，其中p和q为待确定的常数。
2.使用配方法将二次函数展开：将二次函数展开后，与原函数进行比较，可以确定标准形式中的p和q的值。
3.根据标准形式求解顶点坐标：由于标准形式中(x+p)^2≥0，所以a(x+p)^2+q的最小值为q，当x=-p时取到。
4.根据标准形式求解根：当a>0时，a(x+p)^2+q=0的解为x=-p；当a<0时，方程无解。
三、根的关系根的关系是二次函数的一个重要性质，可以帮助我们求解二次函数的交点坐标。
根的关系有以下两种情况：1. 二次函数有两个不相等的实根：对于一般的二次函数y = ax^2 + bx + c，如果b^2 - 4ac > 0，则可以使用求根公式x = (-b ± √(b^2 - 4ac))/(2a)求解实根。
2.5 二次函数三种表示法--
当x=5cm时,长方形面积最大,最大面积=25cm2. 由表达式的顶点式,表格中结果,图象的最高点 都可得到. 3、请你描述一下y随x的变化而变化的情况.
当0<x<5时,y随x的增大而增大; 当5<x<10时,y随x的增大而减小.
例1.已知二次函数图象经过
（－1，10）（2，7）和（1，4）
三点，求这个函数的解析式.
y=2x2-3x+5
练习:已知抛物线 y ax2 bx c 经
过三点A（2，6），B（－1，2），C （0，1），那么它的解析式
是 y 7 x2 1 x 1 . 66
例2:已知抛物线的顶点是A(-1,2)，且
经过点(2,3)，求二次函数的表达式。
y 1 (x 1)2 2 1 x2 2 x 19
9
9 99
1．顶点为（－2，－5）且过点（1，－14）
的抛物线的表达式为
．
y (x 1)2 2=-x2 -2x+1
2.二次函数y=ax2+bx+c的对称轴为x＝3， 最解小析值式为是－__y2，1，(x且 3过)2_（_2_0_，.11x）2 ，2x此函1 数的
5
10
1
y 1 x2 4 4
y P (1, y)
3
P63第1题
1O
x
-3
-1
1
3
-1
-3
y 1 x2 4
y
4
3
1O
-3
-1
1
-1
-3
P (x,2)
x
3
用三种方式表示二次函数
(3)如果用n表示等边三角形边上的小圆圈数，m表示这个三角形中小 圆圈的总数，那么m和n的关系是什么? 解：(1)观察前5个图形可知，第2个图形比第1个多2个小圆圈，第3 个比第2个多3个，第4个比第3个多4个，第5个比第4个多5个，据此第6 个应比第5个多6个小圆圈，因此第6个图形应该有21个小圆圈． (3) 1=1 3=1+2 6=1+2+3 10=1+2+3+4 …… m=1+2+3+4+ ……+n= n ( n + 1)
三种表示方式必须考虑自变量的取值范围 !
三种表示方式的关系流程图 表达式
点的坐标
表格表示
描点连线
图像表示
(1)你知道上面每一个图形中各有多少个小圆圈吗?第6个图形中应该 有多少个小圆圈?为什么? (2)完成下表：边上的小圆圈数12345小圆圈的总数
边上的小圆圈数
1
1
2
3
3
6
4
10
5
15
小圆圈的总数
(1)在上述问题中，自变量x的取值范围是 什么? (2)当x取何值时，长方形的面积最大?它的 最大面积是多少?你是怎样得到的?请你描 述一下y随x的变化而变化的情况．
y/cm2 9 7 5 3 1 1 2 3 4 5 解：⑴∵x是边长， ∴x取正数，6-x也取正数 6-x＞0 x＜6 ∴取值范围为 0＜x＜6 ⑵先把二次函数y=-x2+6x顶点式 y=-x2+6x =-(x2-6x) =-(x2-6x+9-9) =-(x-3)2+9 ∴当x =3时 y最大值为9cm2 cm 当0＜x ＜3时,y随x的增大而增大 X/cm 当3＜x ＜6时,y随x的增大而减小 6
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5.用三种方式表示二次函数
一、教学目标
知识与技能
1．通过运用解析式、列表、画图象三种方法表示二次函数，比较这三种方法表示二次函数的优缺点，从而为解决函数类实际问题打下坚实的基础。
2．通过学生实际解题过程，达到灵活掌握用解析式、列表、画图这三种方法表示二次函数。
3．能够根据二次函数的不同表示方式，从不同的侧面对函数性质进行研究。
过程与方法
1．能够分析和表示变量之间的二次函数关系，并解决用二次函数所表示的问题。
2．让学生在学习活动中通过相互间的合作与交流，进一步发展学生合作交流的能力和归纳总结的能力。
情感态度与价值观
在学习过程中体会学以致用，提高运用所学知识解决实际问题的能力。
教学重点：三种方法表示二次函数的优缺点；为解决函数类实际问题打下坚实的基础
教学难点：三种方法表示二次函数的优缺点；为解决函数类实际问题打下坚实的基础
二、教学过程分析
第一环节解决问题
活动内容：
1．问题一：已知矩形周长20cm,并设它的一边长为xcm,面积为ycm2. y随x的而变化的规律是什么？你能分别用函数表达式，表格和图象表示出来吗？
2．当学生完成上述的三个任务之后，进一步帮助学生明晰以下问题：（1）在上述问题中,自变量x的取值范围是什么？
（2）当x取何值时,长方形的面积最大？它的最大面积是多少?
（3）请你描述一下y随x的变化而变化的情况.
3．问题二：两个数相差2,设其中较大的一个数为x,那么它们的积y是如何随x的变化而变化的?
（1）你能分别用函数表达式,表格和图象表示这种变化吗?
（2）自变量x的取值范围是什么?
（3）图象的对称轴和顶点坐标分别是什么?
（4）如何描述y随x的变化而变化的情况?
（5）你是分别通过哪种表示方式回答上面三个问题的？
活动目的：
通过实例，进一步帮助学生明晰二次函数的三种表示方法，为后面的讨论做铺垫。
这个问题与前一问题相比，会留给学生更多的时间用于自我探索和练习。
第二环节课堂小结
活动内容：
1．二次函数的三种表示方式各有什么特点?它们之间有什么联系? 与同伴进行交流.
2．对本节知识进行巩固，原则上由学生复述内容及要点。
活动目的：
将前面两个特殊问题一般化，比较和概括出三种表达方式的优缺点。
实际教学效果：
由于之前通过特殊问题作了铺垫，这里学生概括起来比较顺利。
第三环节布置作业
（1）P58 习题2.6第1,2题
（2）预习 P59~60
四、教学反思。