高等数学大一上学期试题

高等数学（上）模拟试卷一一、 填空题（每空3分，共42分）1、函数lg(1)y x =-的定义域是 ；2、设函数20() 0x x f x a x x ⎧<=⎨+≥⎩在点0x =连续，则a = ； 3、曲线45y x =-在（-1，-4）处的切线方程是 ； 4、已知3()f x dx x C=+⎰，则()f x = ；5、21lim(1)xx x →∞-= ； 6、函数32()1f x x x =-+的极大点是 ；7、设()(1)(2)2006)f x x x x x =---……(，则(1)f '= ； 8、曲线xy xe =的拐点是 ； 9、21x dx-⎰= ；10、设32,a i j k b i j k λ=+-=-+ ，且a b ⊥，则λ= ；11、2lim()01x x ax b x →∞--=+，则a = ，b = ；12、311lim xx x-→= ；13、设()f x 可微，则()()f x d e = 。

二、 计算下列各题（每题5分，共20分）1、011lim()ln(1)x x x →-+ 2、y =y '； 3、设函数()y y x =由方程xyex y =+所确定，求0x dy =；4、已知cos sin cos x t y t t t =⎧⎨=-⎩，求dydx 。

三、 求解下列各题（每题5分，共20分）1、421x dx x +⎰ 2、2secx xdx⎰3、40⎰4、2201dx a x +⎰四、 求解下列各题（共18分）：1、求证：当0x >时，2ln(1)2x x x +>-（本题8分） 2、求由,,0xy e y e x ===所围成的图形的面积，并求该图形绕x 轴旋转一周所形成的旋转体的体积。

（本题10分）高等数学（上）模拟试卷二一、填空题（每空3分，共42分）1、函数lg(1)y x =-的定义域是 ；2、设函数sin 0()20x x f x xa x x ⎧<⎪=⎨⎪-≥⎩在点0x =连续，则a = ；3、曲线34y x =-在(1,5)--处的切线方程是 ；4、已知2()f x dx xC=+⎰，则()f x = ；5、31lim(1)x x x →∞+= ； 6、函数32()1f x x x =-+的极大点是 ； 7、设()(1)(2)1000)f x x x x x =---……(，则'(0)f = ；8、曲线xy xe =的拐点是 ；9、32x dx-⎰= ；10、设2,22a i j k b i j k λ=--=-++ ，且a b，则λ= ；11、2lim()01x x ax b x →∞--=+，则a = ，b = ；12、311lim xx x-→= ；13、设()f x 可微，则()(2)f x d = 。

二、计算下列各题（每题5分，共20分）1、111lim()ln 1x x x →-- 2、y ='y ； 3、设函数()y y x =由方程xyex y =-所确定，求0x dy =；4、已知sin cos sin x t y t t t =⎧⎨=+⎩，求dy dx 。

三、求解下列各题（每题5分，共20分）1、31x dx x +⎰2、2tan x xdx ⎰3、10⎰4、1-⎰ 四、求解下列各题（共18分）：1、求证：当0,0,x y x y >>≠时，ln ln ()ln2x yx x y y x y ++>+ （本题8分）2、求由,y x y ==所围成的图形的面积，并求该图形绕x 轴旋转一周所形成的旋转体的体积。

（本题10分） 习题4-21. 在下列各式等号右端的空白处填入适当的系数, 使等式成立(例如: )74(41+=x d dx :(1) dx = d (ax );解dx = a 1d (ax ). (2) dx = d (7x -3);解dx = 71d (7x -3). (3) xdx = d (x 2);解xdx = 21d (x 2). (4) x d x = d (5x 2);解x d x = 101d (5x 2). (5))1( 2x d xdx -=;解 )1( 212x d xdx --=.(6)x 3dx = d (3x 4-2);解x 3dx = 121d (3x 4-2). (7)e 2x dx = d (e 2x );解e 2xdx = 21d (e 2x ).(8))1(22x xe d dx e --+=;解 )1( 2 22xxe d dx e --+-=.(9))23(cos 23sin x d xdx =;解 )23(cos 32 23sin x d xdx -=. (10)|)|ln 5( x d x dx=;解 |)|ln 5( 51x d x dx =. (11)|)|ln 53( x d x dx-=;解 |)|ln 53( 51x d x dx --=. (12))3(arctan 912x d x dx=+; 解 )3(arctan 31912x d x dx =+.(13))arctan 1( 12x d x dx-=-;解)arctan 1( )1( 12x d x dx --=-.(14))1( 122x d xxdx-=-.解 )1( )1( 122x d x xdx--=-.2. 求下列不定积分(其中a , b , ω, ϕ均为常数):(1)⎰dt e t5;解C e x d e dt e xx t+==⎰⎰55551551.(2)⎰-dx x 3)23(;解C x x d x dx x +--=---=-⎰⎰433)23(81)23()23(21)23(.(3)⎰-dx x 211; 解 C x x d x dx x +--=---=-⎰⎰|21|ln 21)21(21121211. (4)⎰-332xdx;解C x C x x d x x dx+--=+-⋅-=---=-⎰⎰-3232313)32(21)32(2331)32()32(3132.(5)⎰-dx e ax bx)(sin ;解Cbe ax a b x d e b ax d ax a dx e ax b xb xbx+--=-=-⎰⎰⎰cos 1)()(sin 1)(sin .(6)⎰dtt t sin ;解⎰⎰+-==Ct t d t dt tt cos 2sin 2sin .(7)⎰⋅xdx x 210sec tan ;解 ⎰⋅xdx x 210sec tan C x x xd +==⎰1110tan 111tan tan .(8)⎰x x x dx ln ln ln ;解 C x x d x x d x x x x x dx +===⎰⎰⎰|ln ln |ln ln ln ln ln 1ln ln ln ln 1ln ln ln . (9)⎰+⋅+dx x x x 2211tan ;解 ⎰+⋅+dx x x x 2211tan2222211cos 1sin 11tan x d x x x d x +++=++=⎰⎰Cx x d x ++-=++-=⎰|1cos |ln 1cos 1cos 1222.(10)⎰x x dxcos sin ;解 C x x d x dx x x x x dx +===⎰⎰⎰|tan |ln tan tan 1tan sec cos sin 2. (11)⎰-+dx e e xx 1;解 ⎰-+dx e e xx 1C e de e dx e e xx x x x +=+=+=⎰⎰arctan 11122.(12)⎰-dx xe x2;解.21)(212222C e x d e dx xe x x x+-=--=---⎰⎰(13)⎰⋅dx x x )cos(2;解 C x x d x dx x x +==⋅⎰⎰)sin(21)()cos(21)cos(2222.(14)⎰-dx x x232;解 Cx C x x d x dx x x+--=+--=---=-⎰⎰-2212221223231)32(31)32()32(6132.(15)⎰-dxx x 4313; 解⎰⎰+--=---=-Cx xd x dx x x |1|ln 43)1(11431344443.(16)⎰++dt t t ))sin((cos 2ϕωϕω; 解C t t d t dt t t ++-=++-=++⎰⎰)(cos 31)cos()(cos1)sin()(cos322ϕωωϕωϕωωϕωϕω.(17)⎰dxx x3cos sin ;解 C x C x x xd dx x x +=+=-=--⎰⎰2233sec 21cos 21cos cos cos sin .(18)⎰-+dxx x x x 3cos sin cos sin ;解 )sin cos (cos sin 1cos sin cos sin 33x x d x x dx x x x x +--=-+⎰⎰Cx x x x d x x +-=--=⎰-3231)cos (sin 23)cos (sin )cos (sin .(19)⎰--dxxx 2491; 解dxxx dx xdx xx ⎰⎰⎰---=--22249491491)49(49181)32()32(1121222x d x x d x --+-=⎰⎰Cx x +-+=2494132arcsin 21.(20)⎰+dxx x 239;解 C x x x d x x d x x dx x x ++-=+-=+=+⎰⎰⎰)]9ln(9[21)()991(21)(9219222222223.(21)⎰-dxx 1212;解 ⎰⎰⎰+--=+-=-dxx x dx x x dx x )121121(21)12)(12(11212⎰⎰++---=)12(121221)12(121221x d x x d x Cx x C x x ++-=++--=|1212|ln 221|12|ln 221|12|ln 221.(22)⎰-+dxx x )2)(1(1;解 C x x C x x dx x x dx x x ++-=++--=+--=-+⎰⎰|12|ln 31|1|ln |2|(ln 31)1121(31)2)(1(1.(23)⎰xdx 3cos ;解 C x x x d x x d x xdx +-=-==⎰⎰⎰3223sin 31sin sin )sin 1(sin cos cos .(24)⎰+dt t )(cos 2ϕω;解C t t dt t dt t +++=++=+⎰⎰)(2sin 4121)](2cos 1[21)(cos 2ϕωωϕωϕω.(25)⎰xdx x 3cos 2sin ;解 ⎰xdx x 3cos 2sin C x x dx x x ++-=-=⎰cos 215cos 101)sin 5(sin 21. (26)⎰dx xx 2cos cos ; 解 C x x dx x x dx x x ++=+=⎰⎰21sin 23sin 31)21cos 23(cos 212cos cos .(27)⎰xdx x 7sin 5sin ; 解C x x dx x x xdx x ++-=--=⎰⎰2sin 4112sin 241)2cos 12(cos 217sin 5sin .(28)⎰xdx x sec tan 3;解x d x xdx x x xdx x sec tan tan sec tan sec tan223⎰⎰⎰=⋅=Cx x x d x +-=-=⎰sec sec 31sec )1(sec 32.(29)⎰-dxx x2arccos 2110; 解Cx d x d dx xx xxx+-=-=-=-⎰⎰⎰10ln 210)arccos 2(1021arccos 10110arccos 2arccos 2arccos 22arccos 2.(30)⎰+dx x x x )1(arctan ;解Cx x d x x d x xdx x x x +==+=+⎰⎰⎰2)(arctan arctan arctan 2)1(arctan 2)1(arctan .(31)⎰-221)(arcsin x x dx;解 C x x d x x x dx +-==-⎰⎰arcsin 1arcsin )(arcsin 11)(arcsin 222.(32)⎰+dxx x x 2)ln (ln 1; 解 C x x x x d x x dx x x x+-==+⎰⎰ln 1)ln ()ln (1)ln (ln 122.(33)⎰dx x x xsin cos tan ln ;解 ⎰⎰⎰=⋅=x d x x xdx x x dx xx x tan tan tan ln sec tan tan ln sin cos tan ln 2Cx x d x +==⎰2)tan (ln 21tan ln tan ln .(34)⎰-dxxa x 222(a >0);解⎰⎰⎰⎰-===-dttadttatdtatatataxdxxax22cos1sincoscossinsin22222222令,CxaxaxaCtata+--=+-=222222arcsin22sin421.(35)⎰-12xxdx;解CxCtdttdtttttxxxdx+=+==⋅⋅=-⎰⎰⎰1arccostansectansec1sec12令.或Cxxdxdxxxxxdx+=--=-=-⎰⎰⎰1arccos111111112222.(36)⎰+32)1(xdx;解Cttdttdttxxdx+==+=+⎰⎰⎰sincostan)1(tan1tan)1(3232令Cxx++=12.(37)⎰-dxxx92;解⎰⎰⎰=-=-tdttdtttxdxxx222tan3)sec3(sec39sec9sec39令CxxCttdtt+--=+-=-=⎰3arccos393tan3)1cos1(322.(38)⎰+x dx 21;解 Cx x C t t dt t tdt t tx xdx ++-=++-=+-=+=+⎰⎰⎰)21ln(2)1ln()111(11221令.(39)⎰-+211x dx;解 ⎰⎰⎰⎰-=+-=+=-+dt t dt t tdt t tx xdx )2sec211()cos 111(cos cos 11sin 1122令Cx xx C t t t C t t +-+-=++-=+-=211arcsin cos 1sin 2tan .(40)⎰-+21x x dx.解⎰⎰⎰+-++=⋅+=-+dt tt tt t t tdt t t t x x x dxcos sin sin cos sin cos 21cos cos sin 1sin 12令C t t t t t d t t dt +++=+++=⎰⎰|cos sin |ln 2121)cos (sin cos sin 12121 Cx x x ++-+=|1|ln 21arcsin 212.习题5-11. 利用定积分定义计算由抛物线y =x 2+1, 两直线x =a 、x =b (b >a )及横轴所围成的图形的面积.解 第一步: 在区间[a , b ]内插入n -1个分点in a b a x i -+=(i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n -1), 把区间[a , b ]分成n 个长度相等的小区间, 各个小区间的长度为:n ab x i -=∆(i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n ).第二步: 在第i 个小区间[x i -1, x i ] (i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n )上取右端点in ab a x i i -+==ξ, 作和n ab i n a b a x f S ni i i n i n -⋅+-+=∆=∑∑==]1)[()(211ξ∑=+-+-+-=n i i n a b i n a b a a n a b 12222]1)()(2[]6)12)(1()(2)1()(2[)(222n n n n n a b n n n a b a na n a b +++⋅-++⋅-+-=]16)12)(1()()1)(()[(222+++-++-+-=n n n a b n n a b a a a b .第三步: 令λ=max{∆x 1, ∆x 2, ⋅ ⋅ ⋅ , ∆x n }n ab -=, 取极限得所求面积∑⎰=→∆==ni ii ba x f dx x f S 10)(lim )(ξλ]16)12)(1()()1)(()[(lim 222+++-++-+-=∞→n n n a b n n a b a a a b nab a b a b a b a a a b -+-=+-+-+-=)(31]1)(31)()[(3322.2. 利用定积分定义计算下列积分:(1)xdxba⎰(a <b );(2)dxe x⎰10.解 (1)取分点为i n a b a x i -+=(i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n -1), 则n ab x i -=∆(i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n ). 在第i 个小区间上取右端点in ab a x i i -+==ξ(i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n ). 于是∑∑⎰=∞→=∞→-⋅-+=∆=ni n n i i i n ba n ab i n a b a x xdx 11)(lim lim ξ)(21]2)1()()([lim )(22222a b n n n a b a b a a b n -=+-+--=∞→.(2)取分点为n i x i =(i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n -1), 则n x i 1=∆(i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n ). 在第i 个小区间上取右端点n ix i i ==ξ(i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n ). 于是)(1lim 1lim 21110n n n n n n i n i n x e e e n n e dx e +⋅⋅⋅++==∞→=∞→∑⎰1)1(]1[lim1])(1[1lim 11111-=--=--⋅=∞→∞→e e n e e e e e nnn n nn n .3. 利用定积分的几何意义, 说明下列等式:(1)121=⎰xdx ;(2)4112π=-⎰dx x ;(3)⎰-=ππsin xdx ;(4)⎰⎰=-2022cos 2cos πππxdx xdx .解 (1)⎰102xdx表示由直线y =2x 、x 轴及直线x =1所围成的面积, 显然面积为1.(2)⎰-121dxx 表示由曲线21x y -=、x 轴及y 轴所围成的四分之一圆的面积, 即圆x 2+y 2=1的面积的41:414112102ππ=⋅⋅=-⎰dx x . (3)由于y =sin x 为奇函数, 在关于原点的对称区间[-π, π]上与x 轴所夹的面积的代数和为零, 即 ⎰-=ππ0sin xdx .(4)⎰-22cos ππxdx表示由曲线y =cos x 与x 轴上]2 ,2[ππ-一段所围成的图形的面积. 因为cosx 为偶函数, 所以此图形关于y 轴对称. 因此图形面积的一半为⎰20cos πxdx, 即⎰⎰=-2022cos 2cos πππxdxxdx .4. 水利工程中要计算拦水闸门所受的水压力, 已知闸门上水的压强p (单位面积上的压力大小)是水深h 的函数, 且有p =9⋅8h (kN/m 2). 若闸门高H =3m, 宽L =2m, 求水面与闸门顶相齐时闸门所受的水压力P .解 建立坐标系如图. 用分点in H x i =(i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n -1)将区间[0, H ]分为n 分个小区间, 各小区间的长为n H x i =∆(i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n ). 在第i 个小区间[x i -1, x i ]上, 闸门相应部分所受的水压力近似为 ∆P i =9.8x i l ⋅∆x i . 闸门所受的水压力为22118.42)1(lim 8.9lim 8.98.9lim H L n n n H L n Hi n H L x L x P n n i n n i i i n ⋅=+⋅=⋅=∆⋅⋅=∞→=∞→=∞→∑∑. 将L =2, H =3代入上式得P =88.2(千牛).5. 证明定积分性质: (1)⎰⎰=ba ba dxx f k dx x kf )()(;(2)ab dx dx ba b a -==⋅⎰⎰1.证明 (1)⎰∑∑⎰=∆=∆==→=→ba ni i i ni i i ba dxx f k x f k x kf dx x kf )()(lim )(lim )(1010ξξλλ.(2)a b a b x x dx ni i ni i ba -=-=∆=∆⋅=⋅→=→=→∑∑⎰)(lim lim 1lim 101010λλλ.6. 估计下列各积分的值:(1)⎰+412)1(dxx;(2)⎰+ππ4542)sin 1(dxx ;(3)⎰331arctan xdx x ;(4)⎰-022dx e x x .解 (1)因为当1≤x ≤4时, 2≤x 2+1≤17, 所以 )14(17)1()14(2412-⋅≤+≤-⋅⎰dx x ,即51)1(6412≤+≤⎰dx x .(2)因为当ππ454≤≤x 时, 1≤1+sin 2x ≤2, 所以 )445(2)sin 1()445(14542ππππππ-⋅≤+≤-⋅⎰dx x ,即ππππ2)sin 1(4542≤+≤⎰dx x .(3)先求函数f (x )=x arctan x 在区间]3 ,31[上的最大值M 与最小值m .21a r c t a n )(x x x x f ++='. 因为当331≤≤x 时, f '(x )>0, 所以函数f (x )=x arctan x 在区间]3 ,31[上单调增加. 于是3631arctan 31)31(π===f m , 33arctan 3)3(π===f M .因此 )313(3arctan )313(36331-≤≤-⎰ππxdx x ,即 32arctan 9331ππ≤≤⎰xdx x .(4)先求函数xxex f -=2)(在区间[0, 2]上的最大值M 与最小值m .)12()(2-='-x ex f xx , 驻点为21=x . 比较f (0)=1, f (2)=e 2, 41)21(-=e f ,得41-=e m , M =e 2. 于是)02()02(220412-⋅≤≤-⎰--e dx e e xx,即 1022222---≤≤-⎰e dx dx e e xx .7. 设f (x )及g (x )在[a , b ]上连续, 证明: (1)若在[a , b ]上, f (x )≥0, 且0)(=⎰badx x f , 则在[a , b ]上f (x )≡0; (2)若在[a , b ]上, f (x )≥0, 且f (x )≢0, 则0)(>⎰badx x f ;(3)若在[a , b ]上, f (x )≤g (x ), 且⎰⎰=ba badxx g dx x f )()(, 则在[a , b ]上f (x )≡g (x ).证明 (1)假如f (x )≢0, 则必有f (x )>0. 根据f (x )在[a , b ]上的连续性, 在[a , b ]上存在一点x 0, 使f (x 0)>0, 且f (x 0)为f (x )在[a , b ]上的最大值.再由连续性, 存在[c , d ]⊂[a , b ], 且x 0∈[c , d ], 使当x ∈[c , d ]时, 2)()(0x f x f >. 于是0)(2)()()()()()(0>-≥≥++=⎰⎰⎰⎰⎰c d x f dx x f dx x f dx x f dx x f dx x f dc bd d c c a b a .这与条件0)(=⎰ba dx x f 相矛盾. 因此在[a ,b ]上f (x )≡0.(2)证法一 因为f (x )在[a , b ]上连续, 所以在[a , b ]上存在一点x 0, 使f (x 0)>0, 且f (x 0)为f (x )在[a , b ]上的最大值.再由连续性, 存在[c , d ]⊂[a , b ], 且x 0∈[c , d ], 使当x ∈[c , d ]时,2)()(0x f x f >. 于是⎰⎰>-≥≥badcc d x f dx x f dx x f 0)(2)()()(0.证法二 因为f (x )≥0, 所以0)(≥⎰b a dx x f . 假如0)(>⎰ba dx x f 不成立. 则只有0)(=⎰ba dx x f , 根据结论(1), f (x )≡0, 矛盾. 因此0)(>⎰ba dx x f . (3)令F (x )=g (x )-f (x ), 则在[a ,b ]上F (x )≥0且)()()]()([)(=-=-=⎰⎰⎰⎰ba b a b a b a dx x f dx x g dx x f x g dx x F , 由结论(1), 在[a , b ]上F (x )≡0, 即f (x )≡g (x ).4. 根据定积分的性质及第7题的结论, 说明下列积分哪一个的值较大: (1)⎰102dx x 还是⎰103dx x ？ (2)⎰212dxx 还是⎰213dxx？(3)⎰21ln xdx还是⎰212)(ln dxx ？(4)⎰10xdx 还是⎰+10)1ln(dxx ？(5)⎰10dxe x还是⎰+10)1(dx x ？解 (1)因为当0≤x ≤1时, x 2≥x 3, 所以⎰⎰≥103102dx x dx x .又当0<x <1时, x 2>x 3, 所以.(2)因为当1≤x ≤2时, x 2≤x 3, 所以. 又因为当1<x ≤2时, x 2<x 3, 所以.(3)因为当1≤x ≤2时, 0≤ln x <1, ln x ≥(ln x )2, 所以.又因为当1<x ≤2时, 0<ln x <1, ln x >(ln x )2, 所以.(4)因为当0≤x ≤1时, x ≥ln(1+x ), 所以.又因为当0<x ≤1时, x >ln(1+x ), 所以.(5)设f (x )=e x -1-x , 则当0≤x ≤1时f '(x ) =e x -1>0, f (x )=e x-1-x 是单调增加的. 因此当0≤x ≤1时, f (x )≥f (0)=0, 即e x ≥1+x , 所以.又因为当0<x ≤1时, e x >1+x , 所以.一.选择题（将所选答案填在方括号内）1. 若()()f a f a A -+==，则()f x 在x a =点（ ）（A ）有定义 （B ）()lim x af x A →= （C ）连续 （D ）()f a A =2.已知()00f x '=，则可导函数()y f x =在点0x 处（ ）（A ）必取得极小值 （B ）必取得极大值 （C ）无法判断 （D ）必取得极值3.设()21sin ,0,0x x f x xa x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩ 在0x =处连续，则a =（ ） （A ）0 （B ）∞ （C ）1 （D ）2π4. 当0→x 时，与x 等价无穷小的是（ ）.（A ） x 5； （B ） x x sin 2； （C ） 3tan x ； （D ） x x sin 2+。