中医药统计学题解

《中医药统计学》习题解答

1 总体分布题解

习题1.1解答

1. 对三人做舌诊算一次试验。设A ＝{3人正常}、B ＝{至少1人不正常}、C ＝{只有1人正常}、D ＝{只有1人不正常}。分析这四个事件中的互斥事件、对立事件，描述事件A ＋D 、BD 各表示什么意思？

解 设A i ＝{第i 人正常}，用A i 表示A 、B 、C 、D 得到

A ＝{三人正常}＝321A A A

B ＝{至少一人不正常}

＝321321321321321321321A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A ++++++ C ＝{只有一人正常}＝321321321A A A A A A A A A ++ D ＝{只有一人不正常}＝321321321A A A A A A A A A ++

可以看出，互斥事件有A 与B ，A 与C ，A 与D ，C 与D ，A 与C 、D ；对立事件有A 与B 。 A ＋D ＝321A A A ＋321321321A A A A A A A A A ++

＝{至少2人正常}＝{至多1人不正常}

BD ＝321321321A A A A A A A A A ++＝{只有1人不正常}＝{只有2人正常}＝D

2. 我国四个地区一年的生育情况如表1-2所示，求生男孩的概率。

解 设A ＝{生男孩}，计算得到

)()(A f A P n ≈964573

1022811994101990993496986

528072514765513654++++++=＝0.5169

3. 在40个药丸中有3丸失效，任取5丸，求其中有2丸失效的概率。

解 这是古典概率模型。在40个药丸中任取5丸，每一个药丸均可能被取到，且被取到

表1-2 四个地区生育情况 地区编号

生育总数 生男孩数 1 990 993 513 654 2 994 101 514 765 3 1 022 811 528 072 4

964 573

496 986

的可能性相等，可能结果有5

40C 个基本事件。

设A ＝{5丸取到2丸失效}，则A 包含3

3723C C 个基本事件，由古典定义得到

5

40

337

23)(C C C A P =＝0.0354 4. 在100支针剂中有10支次品，任取5支，求全是次品的概率及有2支次品的概率。

解 这是古典概率模型。在100支针剂中任取5支，可能结果有5

100C 个基本事件。

设A ＝{5支全次品}、B ＝{5支取2支次品}，则A 、B 包含510C 、3

90210C C 个基本事件，得

5100510)(C C A P =＝0.000003，5

100

390

210)(C C C B P =＝0.0702 5. 药房有包装相同的六味地黄丸100盒，其中5盒为去年产品、95盒为今年产品。随

机取出4盒，求有1盒或2盒陈药的概率，再求有陈药的概率。

解 这是古典概率模型。在100盒六味地黄丸中任取4盒，可能结果有4

100C 个基本事件。 设A k ＝{有k 盒陈药}，A ＝{取4盒有1或2盒陈药}、B ＝{取4盒有陈药}，得到

4100

295254100395152121)()()()(C C

C C C C A P A P A A P A P +=+=+=＝0.1879 5100

4

950501)(1)(C C

C A P B P -=-=＝0.1881

6. 某人有两盒火柴，吸烟时从任一盒中取一根火柴。经过若干时间以后发现一盒火柴已经用完。如果最初两盒中各有n 根火柴，求这时另一盒中还有r 根火柴的概率。

解 这是古典概率模型。在两盒2n 根火柴中，每次从任一盒中取一根火柴，取2n －r 次可能结果有r n -22个基本事件。

设A ＝{1盒用完另1盒有r 根火柴}，则A 包含n

r n C -2个基本事件，得到

P (A )＝r

n n

r

n C --222

习题1.2解答

1. 上海虚证患者中气虚型占30%，抽查20名患者，分别求有0名、5名气虚型的概率。 解 设A ＝{气虚型患者}，则)(A P ＝0.30，20名患者的气虚型人数X ～)30.0,20;(k B ， 查统计用表1，得到20名患者有0名气虚型的概率为

P (X ＝0)＝)0(F ＝0.0008

20名患者有5名气虚型的概率为

P (X ＝5)＝)4()5(F F -＝0.4164－0.2375＝0.1789

2. 若一批出厂半年的人参营养丸的潮解率为 8%，抽取 20 丸，分别求恰有一丸潮解的概率、不超过一丸潮解的概率、有1～5丸潮解的概率。

解 设A ＝{潮解}，则)(A P ＝0.08， 20 丸中潮解数X ～)08.0,20;(k B 。 查统计用表1，得到20 丸有一丸潮解的概率为

P (X ＝1)＝)0()1(F F -＝0.5169－0.1887＝0.3282

20 丸不超过一丸潮解的概率为

P (X ≤1)＝)1(F ＝0.5169

20 丸有1～5丸潮解的概率为

P (1≤X ≤5)＝)0()5(F F -＝0.9962－0.1887＝0.8075

3. 某种疾病自然痊愈率为 0.3，20 个病人服用一种新药后，若有半数以上痊愈，试说明可以认为这种药有效。

解 设这种药无效，A ＝{痊愈}，则)(A P ＝0.3， 20 人中痊愈人数X ～)3.0,20;(k B 。 查统计用表1，得到20 个病人服用新药后半数以上痊愈的概率为

P (X ＞10)＝1－)10(F ＝1－0.9829＝0.0171

概率0.0171很小，说明事件{X ＞10}出现的可能性很小。但现在事件{X ＞10}出现，则可以认为这种药无效的假定是值得怀疑的。

4. 若200 ml 当归浸液含某种颗粒 300 个，分别求 1 ml 浸液含 2 个、超过 2 个颗粒的概率。

解 由于200 ml 当归浸液平均每1 ml 含颗粒 300 /200＝1.5个， 1 ml 浸液含颗粒的个数服从泊松分布，X ～)5.1;(k P 。

查统计用表2，得到1 ml 浸液含 2 个颗粒的概率为

P (X ＝2)＝)1()2(F F -＝0.8088－0.5578＝0.2510

1 ml 浸液超过

2 个颗粒的概率为

P (X ＞2)＝1－)2(F ＝1－0.8088＝0.1912

5. 150颗花粉孢子随机落入大小相同的 500 个格子里，分别计算约有多少个格子中没有孢子、有2个孢子、有多于2个的孢子。

解 由于500 个格子平均每1个格子落入 花粉孢子150 /500＝0.3颗，1 个格子落入 花粉孢子的颗数服从泊松分布，X ～)3.0;(k P 。

查统计用表2，得到落入 零颗花粉孢子的概率及格子个数为

P (X ＝0)＝)0(F ＝0.7408，500 P (X ＝0)＝370.4

落入 2颗花粉孢子的概率及格子个数为

P (X ＝2)＝)1()2(F F -＝0.9964－0.9631＝0.0333，500P (X ＝2)＝16.65

落入 多于2颗花粉孢子的概率及格子个数为

P (X ＞2)＝1－)2(F ＝1－0.9964＝0.0036，500P (X ＞2)＝1.8

6. 甲乙两个篮球运动员，投篮命中率分别为0.7及0.6，每人投篮三次，求：⑴ 两人进球次数相等的概率；⑵ 运动员甲比乙进球数多的概率。

解 这是贝努里试验。设A k ＝{两人进球相等}，B k ＝{乙进球k 次}。 ⑴ 设C ＝{两人进球次数相等}，则得到

P (C )＝P (A 0B 0＋A 1B 1＋A 2B 2＋A 3B 3)

＝P (A 0)P (B 0)＋P (A 1)P (B 1)＋P (A 2)P (B 2)＋P (A 3)P (B 3)

＝0.33×0.43＋(213

3.07.0⨯⨯C )(213

4.06.0⨯⨯C ) ＋(3.07.0223

⨯⨯C )(4.06.022

3⨯⨯C )＋0.73×0.63＝0.3208 ⑵ 设D ＝{甲比乙进球次数多}，则得到