江西省抚州市临川二中2016-2017学年高二(上)期中数学试卷(文科)(解析版).doc

2016-2017学年江西省抚州市临川二中高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）.1．设A，B互为对立事件，且P（A）=0.3，则P（B）为（）A．0.2 B．0.3 C．小于0.7 D．0.7【考点】互斥事件与对立事件．【分析】利用对立事件概率计算公式求解．【解答】解：∵A，B互为对立事件，且P（A）=0.3，∴P（B）=1﹣P（A）=1﹣0.3=0.7．故选：D．2．用系统抽样的方法从160人中抽取容量为20的一个样本，将160名学生随机地编为1，2，3，…160，并按序号顺次平分成20组．若从第13组抽得的是101号．则从第3组中抽得的号码是（）A．17 B．21 C．23 D．29【考点】系统抽样方法．【分析】根据题意设出在第1组中随机抽到的号码，写出在第16组中应抽出的号码，根据第13组抽得的是101号，使得101与用x表示的代数式相等，得到x的值，即可求出从第3组中抽得的号码．【解答】解：不妨设在第1组中随机抽到的号码为x，则在第12组中应抽出的号码为8×12+x=101，∴x=5．∴第3组中抽得的号码是8×2+5=21．故选B．3．已知椭圆：+=1，若椭圆的焦距为2，则k为（）A．1或3 B．1 C．3 D．6【考点】椭圆的标准方程．【分析】利用椭圆的简单性质直接求解．【解答】解：①椭圆+=1，中a2=2，b2=k，则c=，∴2c=2=2，解得k=1．②椭圆+=1，中a2=k，b2=2，则c=，∴2c=2=2，解得k=3．综上所述，k的值是1或3．故选：A．4．某学校为了调查学生的学习情况，由每班随机抽取5名学生进行调查，若一班有50名学生，将每一学生编号从01到50，请从随机数表的第1行第5、6列（如表为随机数表的前2行）的开始，依次向右，直到取足样本，则第五个编号为（）附随机数表：A．63 B．02 C．43 D．07【考点】系统抽样方法．【分析】从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右一次选取两个数字开始向右读，依次为65，72，08，02，63，14，07，02，43，69，97，28，01，98，…，其中08，02，14，07，43符合条件，故可得结论．【解答】解：从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右一次选取两个数字开始向右读，第一个数为65，不符合条件，第二个数为72，不符合条件，第三个数为08，符合条件，以下符合条件依次为：08，02，14，07，43，故第5个数为43．故选：C．5．若抛物线y2=2px的焦点与椭圆+=1的右焦点重合，则P的值为（）A．﹣2 B．2 C．4 D．﹣4【考点】椭圆的简单性质．【分析】通过椭圆、抛物线的焦点相同，计算即得结论．【解答】解：由a2=6、b2=2，可得c2=a2﹣b2=4，∴到椭圆的右焦点为（2，0），∴抛物线y2=2px的焦点（2，0），∴p=4，故选：C．6．如图是2013年某市举行的名师评选活动，七位评委为某位教师打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分，所剩数据的平均数和方差分别为（）A．84，4.84 B．84，1.6 C．85，1.6 D．85，4【考点】茎叶图；众数、中位数、平均数．【分析】正确读出相关数据，再利用平均数和方差公式计算．【解答】解：去掉最高分93，去掉最低分79，剩下5个数据：84，84，84，86，87，所以平均数为，方差等于．故选C7．设F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，过F1的直线ℓ与E相交于A、B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列，则|AB|的长为（）A．B．1 C．D．【考点】椭圆的简单性质；等差数列的通项公式．【分析】利用等差数列的性质，结合椭圆的定义，即可求得|AB|．【解答】解：∵|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列，∴|AF2|+|BF2|=2|AB|，∵|AF2|+|AB|+|BF2|=4a=4∴3|AB|=4∴|AB|=故选C．8．登山族为了了解某山高y（km）与气温x（°C）之间的关系，随机统计了4次山高与相应的气温，并制作了对照表：由表中数据，得到线性回归方程，由此请估计出山高为72（km）处气温的度数为（）A．﹣10 B．﹣8 C．﹣4 D．﹣6【考点】线性回归方程．【分析】求出，，代入回归方程，求出a，代入，将y=72代入可求得x的估计值．【解答】解：由题意，，，代入到线性回归方程，可得a=60，∴y=﹣2x+60，由﹣2x+60=72，可得x=﹣6．故选：D．9．有四个关于三角函数的命题：p1：∃x∈R，sin2+cos2=，p2：∃x，y∈R，sin（x﹣y）=sinx﹣siny，p3：锐角△ABC中，sinA＜cosB，p4：△ABC中，若A＞B，则sinA＞sinB，其中的假命题是（）A．p1，p4B．p2，p4C．p1，p3D．p3，p4【考点】命题的真假判断与应用．【分析】逐一分析给定四个命题的真假，可得结论．【解答】解：sin2+cos2=1恒成立，故命题p1：∃x∈R，sin2+cos2=为假命题；当x=y=0时，sin（x﹣y）=sinx﹣siny=0，故命题p2：∃x，y∈R，sin（x﹣y）=sinx﹣siny为真命题；锐角△ABC中，A+B＞，即A＞﹣B，即sinA＞sin（﹣B）=cosB，故命题p3：锐角△ABC中，sinA＜cosB为假命题；：△ABC中，若A＞B，则a＞b，则2RsinA＞2RsinB，则sinA＞sinB，故命题p4：△ABC中，若A＞B，则sinA＞sinB为真命题；故选：C10．阅读如图所示的程序框图，如果输出i=4，那么空白的判断框中应填入的条件是（）A．S＜8 B．S＜9 C．S＜10 D．S＜11【考点】程序框图．【分析】由框图给出的赋值，先执行一次运算i=i+1，然后判断得到的i的奇偶性，是奇数执行S=2*i+2，是偶数执行S=2*i+1，然后判断S的值是否满足判断框中的条件，满足继续从i=i+1执行，不满足跳出循环，输出i的值．【解答】解：框图首先给变量S和i赋值S=0，i=1，执行i=1+1=2，判断2是奇数不成立，执行S=2×2+1=5；判断框内条件成立，执行i=2+1=3，判断3是奇数成立，执行S=2×3+2=8；判断框内条件成立，执行i=3+1=4，判断4是奇数不成立，执行S=2×4+1=9；此时在判断时判断框中的条件应该不成立，输出i=4．而此时的S的值是9，故判断框中的条件应S＜9．若是S＜8，输出的i值等于3，与题意不符．故选B．11．一只小蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【分析】根据安全飞行的定义，则安全的区域为以棱长为1的正方体内，则概率为两正方体的体积之比．【解答】解：根据题意：安全飞行的区域为棱长为1的正方体∴p=故选B12．已知椭圆：+=1，直线l：y=x+5，椭圆上任意点P，则点P到直线l的距离的最大值（）A．3B．2C．3D．2【考点】椭圆的简单性质．【分析】利用椭圆的参数方程，设出点P的坐标，再由点到直线的距离及辅助角公式，再由正弦函数的性质，即可求出P到直线l最大值．【解答】解：因为P是椭圆+=1上任意点，可设P（2cosθ，sinθ），其中θ∈[0，2π）；因此点P到直线y=x+5，的距离是d==，其中tanα=；∴当sin（θ+α）=﹣1时，d取得最大值，点P到直线l的距离的最大值=3．故选A．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分，把正确的答案写在题中横线上）. 13．命题p：“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”，则￢p：∀x∈R，均有x2+x+1≥0．【考点】命题的否定．【分析】根据命题p：“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”是特称命题，其否定为全称命题，将“存在”改为“任意的”，“＜“改为“≥”即可得答案．【解答】解：∵命题p：“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”是特称命题∴￢p：∀x∈R，均有x2+x+1≥0故答案为：∀x∈R，均有x2+x+1≥0．14．为了调查某厂工人生产某种产品的能力，随机抽查了20位工人某天生产该产品的数量．产品数量的分组区间为[45，55），[55，65），[65，75），[75，85），[85，95）由此得到频率分布直方图如图，则这20名工人中一天生产该产品数量在[55，75）的人数是13．【考点】频率分布直方图．【分析】根据直方图分析可知该产品数量在[55，75）的频率，又由频率与频数的关系计算可得生产该产品数量在[55，75）的人数．【解答】解：由直方图可知：生产该产品数量在[55，75）的频率=0.065×10，∴生产该产品数量在[55，75）的人数=20×（0.065×10）=13，故答案为13．15．已知抛物线：y=4x2，则抛物线的通径长为．【考点】抛物线的简单性质．【分析】将抛物线方程转化成标准方程，求得焦点坐标，代入椭圆方程，即可求得抛物线的通径长．【解答】解：由抛物线：y=4x2，标准方程为：x2=y，焦点坐标为（0，），设A（x，y），当y=，则x=，抛物线的通径长丨AB丨=2x=，故答案为：．16．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左，右焦点分别为F1，F2，点P为椭圆上不同于左右顶点的任意一点，△F1PF2的重心为G，内心为I，且有=t，则椭圆C的离心率为．【考点】椭圆的简单性质．【分析】设P（x0，y0），G为△F1PF2的重心，可得G．由=t，可得IG∥x轴，I的纵坐标为，再利用三角形面积计算公式即可得出．【解答】解：设P（x0，y0），∵G为△F1PF2的重心，∴G点坐标为G，∵=t，∴IG∥x轴，∴I的纵坐标为，在焦点△F1PF2中，|PF1|+|PF2|=2a，|F1F2|=2c∴S△F1PF2=•|F1F2|•|y0|，又∵I为△F1PF2的内心，∴I的纵坐标即为内切圆半径，∴S△F1PF2=•（|PF1|+|F1F2|+|PF2|）=•|F1F2|•|y0|，（2a+2c）=3×2c，∴2c=a，∴=．故答案为：．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）.17．已知命题p：＞0，命题q：|x﹣a|＜2．（1）若命题p为真，求出x的范围．（2）若p是q的必要不充分条件，求a的范围．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】（1）解不等式求出x是范围即可；（2）解关于q的不等式，根据吃饭必要条件的定义得到关于a的不等式，解出即可．【解答】解：（1）由＞0，解得：x＞2或x＜﹣2，故命题p为真时，x＞2或x＜﹣2；（2）解|x﹣a|＜2，得：a﹣2＜x＜a+2，故q：a﹣2＜x＜a+2，若p是q的必要不充分条件，则a﹣2≥2或a+2≤﹣2，解得：a≥4或a≤﹣4．18．最近高考改革方案已在上海和江苏开始实施，某教育机构为了了解我省广大师生对新高考改革的看法，对某市部分学校500名师生进行调查，统计结果如下：在全体师生中随机抽取1名“赞成改革”的人是学生的概率为0.3，且z=2y．（1）现从全部500名师生中用分层抽样的方法抽取50名进行问卷调查，则应抽取“不赞成改革”的教师和学生人数各是多少？（2）在（1）中所抽取的“不赞成改革”的人中，随机选出三人进行座谈，求至少一名教师被选出的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；互斥事件与对立事件．【分析】（1）根据题意，求出x、y和z的值，计算出应抽取的教师与学生人数；（2）利用列举法求出基本事件数，求出对应的概率即可．【解答】解：（1）由题意=0.3，解得x=150，所以y+z=60；又因为z=2y，所以y=20，z=40；则应抽取的教师人数为×20=2，应抽取的学生人数为×40=4；…（2）所抽取的“不赞成改革”的2名教师记为a、b，4名学生记为1，2，3，4，随机选出三人的不同选法有（a、b、1），（a、b、2），（a、b、3），（a、b、4），（a、1、2），（a、1、3），（a、1、4），（a、2、3），（a、2、4），（a、3、4），（b、1、2），（b、1、3），（b、1、4），（b、2、3），（b、2、4），（b、3、4），（1、2、3），（1、2、4），（1、3、4），（2、3、4）共20种，…至少有一名教师的选法有（a、b、1），（a、b、2），（a、b、3），（a、b、4），（a、1、2），（a、1、3），（a、1、4），（a、2、3），（a、2、4），（a、3、4），（b、1、2），（b、1、3），（b、1、4），（b、2、3），（b、2、4），（b、3、4）共16种，所以至少有一名教师被选出的概率为P==．…19．如图，O为坐标原点，过点P（2，0）且斜率为k的直线l交抛物线y2=2x于M（x1，y1），N（x2，y2）两点．（1）若k=1，求|MN|；（2）求证：OM⊥ON．【考点】抛物线的简单性质．【分析】（1）由题意可知：直线方程为：y=x﹣2，代入抛物线方程，由韦达定理可知：x1+x2=6，x1x2=4，则弦长公式可知|MN|=•，即可求得|MN|；（2）设直线方程方程，y=k（x﹣2）（k≠0），代入抛物线方程，即可求得x1x2=4，则（y1y2）2=4xx2，则求得y1y2，则由斜率公式可知：k1•k2=•=﹣1，即可证明OM⊥ON．1【解答】解：（1）由题意可知：直线方程为：y=x﹣2，则，整理得：x2﹣6x+4=0，由韦达定理可知：x1+x2=6，x1x2=4，∴|MN|=•=•=2，∴|MN|=2；（2）证明：直线l过点P（2，0）且斜率为k，设直线l的方程为y=k（x﹣2）（k≠0）∴，消去y代入可得k2x2﹣2（k2+1）x+4k2=0．由韦达定理可知：x1x2==4，由y12=2x1，y22=2x2，则（y1y2）2=4x1x2=4×4=16，又注意到y1y2＜0，所以y1y2=﹣4．设OM，ON的斜率分别为k1，k2，则k1=，k2=，k1•k2=•===﹣1，∴OM⊥ON．20．已知命题p：方程x2+mx+1=0有两个不相等的负根；命题q：不等式：4x2+4（m﹣2）x+1≥0恒成立．（1）若命题p为真，求实数m的范围．（2）若p∨q为真，p∧q为假，求实数m的范围．【考点】命题的真假判断与应用；函数恒成立问题．（1）若命题p：方程x2+mx+1=0有两个不相等的负根为真命题，则，【分析】解得实数m的范围．（2）若p∨q为真，p∧q为假，则命题p，q一真一假，分类讨论可得实数m的范围．【解答】解：（1）若命题p：方程x2+mx+1=0有两个不相等的负根为真命题，则，解得：m＞2（2）若命题q：不等式：4x2+4（m﹣2）x+1≥0恒成立．则△=16（m﹣2）2﹣16≤0，解得：1≤m≤3，若p∨q为真，p∧q为假，则命题p，q一真一假，若p真q假，则m＞3，若p假q真，则1≤m≤2，综上可得：1≤m≤2，或m＞3．21．已知一元二次方程：x2+2ax﹣b2+4=0，（1）若a是从{﹣1，0，1}中任取的一个数字，b是从{﹣3，﹣2，﹣1，0，1}中任取的一个数字，求该方程有根的概率．（2）若a是从区间[﹣2，2]中任取的一个数字，b从是区间[﹣2，2]中任取的一个数字，求该方程有实根的概率．【考点】几何概型；列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】根据题意，由一元二次方程的性质，可得x2+ax+b2=0有实根的充要条件为a2+b2≥4；（1）由题意分析可得，这是古典概型，由a、b分别从{﹣1，0，1}，{﹣3，﹣2，﹣1，0，1}中任取的数字，易得一共可以得到15个不同方程，得满足a2+b2≥4的全部情况数目，结合古典概型公式，计算可得答案；（2）由题意分析可得，这是几何概型，将a，b表示为平面区域，进而可得其中满足a2+b2≥4的区域的面积，由几何概型公式，计算可得答案【解答】解：根据题意，方程x2+2ax﹣b2+4=0，有实根则△≥0即a2+b2≥4；（1）由题意，a，b是分别从{﹣1，0，1}，{﹣3，﹣2，﹣1，0，1}中任取的数字；则a有3种取法，b有5种取法，共有5不同的情况，可以得到15个不同方程，满足a2+b2≥4的有（﹣1，﹣3）（0，﹣3）（1，﹣3）（﹣1，﹣2）（0，﹣2）（1，﹣2）共有6种情况满足方程有实根，∴p=；（2）a是从区间[﹣2，2]中任取的一个数字，b从是区间[﹣2，2]中任取的一个数字，由题意得：a，b满足的区域为边长是4 的正方形，面积为16，使得方程有实根的，a，b满足a2+b2≥4，区域面积为4π，由几何概型的公式得到方程有实根的概率为．22．已知动圆Q过定点F（0，﹣1），且与直线l：y=1相切，椭圆N的对称轴为坐标轴，O 点为坐标原点，F是其一个焦点，又点A（0，2）在椭圆N上．（Ⅰ）求动圆圆心Q的轨迹M的标准方程和椭圆N的标准方程；（Ⅱ）若过F的动直线m交椭圆N于B，C点，交轨迹M于D，E两点，设S1为△ABC 的面积，S2为△ODE的面积，令Z=S1S2，试求Z的取值范围．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；圆锥曲线的定值问题．【分析】（Ⅰ）由抛物线的定义能求出动点Q的轨迹M的标准方程，依题意设椭圆N的标准方程为，（a＞b＞0），且，由此能求出椭圆N的标准方程．（Ⅱ）设直线m的方程为y=kx﹣1，联立，得（3k2+4）x2﹣6kx﹣9=0，求出S1=，联立，得x2+4kx﹣4=0，求出S2=2，由此能求出Z=S1•S2的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵动圆Q过定点F（0，﹣1），且与直线l：y=1相切，∴依题意，由抛物线的定义得动点Q的轨迹M的标准方程为x2=﹣4y，∵椭圆N的对称轴为坐标轴，O点为坐标原点，F是其一个焦点，又点A（0，2）在椭圆N 上，∴依题意设椭圆N的标准方程为，（a＞b＞0），且，∴b=，∴椭圆N的标准方程为．（Ⅱ）由题意知直线m的斜率存在，设直线m的方程为y=kx﹣1，①联立，得（3k2+4）x2﹣6kx﹣9=0，设B（x1，y1），C（x2，y2），则|x1﹣x2|=，∴=，联立，得x2+4kx﹣4=0，设D（x3，y3），E（x4，y4），则|x3﹣x4|=4，∴S2==2，∴Z=S1•S2==12（1﹣）≥12（1﹣）=9，∴当k=0时，Z min=9，又Z=12（1﹣）＜12，∴Z的取值范围是[9，12）．2016年12月13日。