第四章电路的暂态分析

2. 动态电路的方程
(t >0) R + Us
i
和元件的VCA得： 由KVL和元件的 和元件的 得
uC
–
C
Ri + uc = US
duc i =C dt
一阶微分方程 (t >0) R + Us
duc RC + uc = US dt
di uL = L dt
i
Ri + uL = US
L
uL
–
一阶微分方程
+
uL(0+)= - RIS
例3
求K闭合瞬间各支路电流和电感电压 闭合瞬间各支路电流和电感电压 电路得： 2Ω Ω 解 由0－电路得：
+
48V
+
K L iL uL 2Ω Ω
3Ω Ω C
+
2Ω Ω iL
3Ω Ω 2Ω + Ω uC －
-
-
48V
-
电路得： 由0+电路得：
iL (0+ ) = iL (0− ) = 48 / 4 = 12A
4.2 RC电路的暂态分析 电路的暂态分析
RC电路的零输入响应 1 . RC 电路的零输入响应 零输入响应
K(t=0) 换路后外加激励为零 仅由动态元件初 外加激励为零， 换路后外加激励为零，仅由动态元件初 始条件在电路中产生电压或电流 在电路中产生电压或电流。 始条件在电路中产生电压或电流。
i
+ R
− uR + uC = 0
uR
–
C
uC
–
+
duC i = −C dt
已知 uC (0－)=U0
t uC U0 − RC i = e = R R
uR= Ri
则
t ≥0
du duC RC + uC = 0 dt uC (0+ ) = U0
uc = U0e
−
t RC
t ≥0
t t − duC 1 U0 − RC )= e 或 i = −C = −CU0e RC (− dt RC R
uc = 24e V
t − 20
t ≥0
t − 20
等效电路
t >0 i1
i1 = uC 4 = 6e
t
A
t
5F
+
uC
－
4Ω Ω
− − 2 1 分流得： 分流得： i = i = 4e 20 A i = i = 2e 20 A 2 1 3 1 3 3
2 .RC电路的零状态响应 RC电路的零状态响应
例3
求 iC(0+) , uL(0+) L i
L
解
iC +
电路得： 由0－电路得：
+u – IS
L
R
K(t=0)
C
uC
–
IS
R
0－电路
0+电路 I S +u –
L
iL(0+) = iL(0－) = IS
iC + R IS –
uC(0+) = uC(0－) = RIS
电路得： 由0＋电路得：
R
RIS iC (0 ) = Is − =0 R
动态元件初始能量为零， 动态元件初始能量为零，由t >0电路中外加输入激励 电路中 作用所产生的响应。 作用所产生的响应。 K(t=0) R US +u –
R
i
+ C
uC
–
duC RC + uC = US dt
− t RC
uC (0－)=0
uc = U S − U S e = U S (1 − e
− t RC
2.一阶电路的零输入响应、零状态响应和 2.一阶电路的零输入响应、零状态响应和 一阶电路的零输入响应 全响应求解 求解； 全响应求解； 3.一阶电路的三要素法 3.一阶电路的三要素法。 一阶电路的三要素法。
4.1 换路定律及初始值的确定
1. 动态电路 含有动态元件 电容或电感 的电路称动态电路。 含有动态元件(电容或电感 的电路称动态电路。 电容或电感)的电路称动态电路
归纳以上分析可以得出： 归纳以上分析可以得出：
（1）电压、电流是随时间按同一指数规律衰减的函数； 电压、电流是随时间按同一指数规律衰减的函数； 指数规律衰减的函数
U0 uC 0
连续 函数
I0 0
i
跃变
t
t
有关； （2）响应与初始状态成线性关系，其衰减快慢与RC有关； 响应与初始状态成线性关系，其衰减快慢与 有关 单位： 令 τ =RC , 称τ为一阶电路的时间常数 单位：秒 时间常数 τ 的大小反映了电路过渡过程时间的长短
10 − 8 iC (0+ ) = A = 0.2m 10
iC(0－)=0 iC(0+)
例2
1Ω Ω K 10V 0+电路
t = 0时闭合开关 , 求 uL(0+) 时闭合开关k 时闭合开关 4Ω Ω L iL 1Ω Ω 4Ω Ω 1Ω Ω
解
4Ω Ω
先求
iL (0− )
电 感 短 路
+
uL
-
10V
τ 大 → 过渡过程时间长，衰减慢 过渡过程时间长， τ 小 → 过渡过程时间短，衰减快 过渡过程时间短，
uc U0 0
τ大 τ小
t
RC电路中时间常数取决于 和C 电路中时间常数取决于R和 电路中时间常数取决于
例
代入 U0 = 24V τ = RC = 5×4 = 20 s
已知图示电路中的电容原本充有24V电压，求K闭合 电压， 已知图示电路中的电容原本充有 电压 闭合 电容电压和各支路电流随时间变化的规律。 后，电容电压和各支路电流随时间变化的规律。 i1 解 这是一个求一阶 零输入响应问题 这是一个求一阶RC零输入响应问题 K 2Ω Ω t i2 + − 5F RC 3Ω Ω uC uc = U0e t ≥0 6Ω Ω － i3
第四章 电路的暂态分析
主要内容
4.1 换路定律及初始值的确定 42. RC电路的暂态分析 电路的暂态分析 4.3 RC电路的充放电应用 电路的充放电应用 4.4 RL电路的暂态分析 电路的暂态分析 4.5 一阶动态电路的全响应和三要素法
重点
1.动态电路方程及初始条件的确定； 1.动态电路方程及初始条件的确定； 动态电路方程及初始条件的确定
R1 R2
i = US / R2
us
-
i = US ( R1 + R2 )
0
t
过渡期为零
电容电路 (t = 0) Us
K
换路时有过渡过程
i
R +
K未动作前，电路处于稳定状态 未动作前， 未动作前 C
uC
–
i = 0 , uC = 0
K接通电源后很长时间，电容充电 接通电源后很长时间， 接通电源后很长时间 完毕， 完毕，电路达到新的稳定状态
uC (0− ) = uC (0+ ) = 2×12 = 24V
i +
+ uL
iC
2Ω Ω
-
48V 12A
+
3Ω Ω 24V
iC (0+ ) = (48 − 24) / 3 = 8A
i(0 + ) = 12 + 8 = 20A
-
uL (0+ ) = 48 − 2×12 = 24V
例4
闭合瞬间流过它的电流值。 求K闭合瞬间流过它的电流值。 闭合瞬间流过它的电流值 C L 解 （1）确定0－值 确定0 + uC － iL 200 iL (0+ ) = iL (0− ) = = 1A 100Ω Ω 100Ω Ω 200 100Ω Ω + 200V uC (0+ ) = uC (0− ) = 100V K
+
10V 2A uL
10 iL (0− ) = = 2A 1+ 4
QuL (0− ) = 0 ∴uL (0+ ) = 0
由换路定律: 由换路定律
-
×
iL(0+)= iL(0－) =2A
电感用电流源替代 电感用电流源替代 电流源
uL (0+ ) = −2× 4 = −8V
求初始值的步骤: 求初始值的步骤 由换路前电路（一般为稳定状态） 1. 由换路前电路（一般为稳定状态）求uC(0－)和iL(0－)； 和 ； 2. 由换路定律得 uC(0+) 和 iL(0+)。 。 等效电路。 3. 画0+等效电路。 a. 换路后的电路 电容（电感）用电压源（电流源）替代。 b. 电容（电感）用电压源（电流源）替代。 时刻值， （取0+时刻值，方向同原假定的电容 电压、电感电流方向）。 电压、电感电流方向）。 电路求所需各变量的0 4. 由0+电路求所需各变量的 +值。
di Ri + L = US dt
3 . 电路的初始条件
(1) t = 0＋与t = 0－的概念 认为换路在 t=0时刻进行 时刻进行 0－ 换路前一瞬间 0＋ 换路后一瞬间 0－ 0 0＋
f (0− ) = f (0+ )
f(t)
f (0− ) ≠ f (0+ )
t
f (0− ) = lim f (t )
R
(t=0) + C u i －
C
通解： 通解：
uc (t ) = ke = ke
pt
−
t RC
代入初始条件得： 代入初始条件得：k
= Uo
t − RC
uc (t ) = Uoe
(2) 电容的初始条件
duc i =C dt
C 为有限值， 不能突变， 因i(t)为有限值，故uC(t)不能突变，即： 为有限值 不能突变
iL
+
u
L
ψ = LiL
iL(0＋)= iL(0－)
ψL (0＋)= ψL (0－)
磁链 守恒
结论： 换路瞬间，电感电流换路前后保持不变。 结论： 换路瞬间，电感电流换路前后保持不变。
（4）换路定律
qc (0+) = qc (0－) uC (0+) = uC (0－) 换路瞬间，电容电压换路前后保持不变。 换路瞬间，电容电压换路前后保持不变。
)
( t ≥ 0)
duC US i =C e = dt R
−
t RC
uc = U S − U S e
−
t RC
( t ≥ 0)
t duC US − RC = e i =C dt R
从以上式子可以得出： 从以上式子可以得出：
（1）电压、电流是随时间按同一指数规律变化的函数； 电压、电流是随时间按同一指数规律变化的函数； 指数规律变化的函数 电容电压由两部分构成： 电容电压由两部分构成：
(t →∞) R + Us
i
i = 0 , uC= Us
C
US R
uC
–
uc
US
?
0 t1
过渡状态
i
t
新稳态
有过渡过程
初始状态
电感电路 (t = 0) Us
K
换路时有过渡过程
i
R +
K未动作前，电路处于稳定状态 未动作前， 未动作前 L
uL
–
i = 0 , uL = 0
K接通电源后很长时间，电路达到 接通电源后很长时间， 接通电源后很长时间 新的稳定状态， 新的稳定状态，电感视为短路
-
+
1A
uL
－
+
100V
－
（2）给出0＋等效电路 给出0 iC
i Ω 100Ω k 100Ω Ω
+
100Ω Ω
200 100 ik (0+ ) = + − 1 = 2A 100 100
uL (0+ ) = −iL (0+ ) ×100 = 100V
200V
-
iC (0+ ) = −uC (0+ ) / 100 = −1A
t →0 t <0
f (0+ ) = lim f (t )
t →0 t >0
例
图示为电容放电电路，电容原先带有电压 求开 图示为电容放电电路，电容原先带有电压Uo,求开 关闭合后电容电压随时间的变化。 关闭合后电容电压随时间的变化。
解
Ri + uc = 0 (t ≥ 0)
duc RC + uc = 0 dt
i
+ uc -
uC (0+) = uC (0－) q =CuC q (0+) = q (0－)
电荷 守恒
结论： 结论：
换路瞬间，电容电压换路前后保持不变。 换路瞬间，电容电压换路前后保持不变。
(3) 电感的初始条件
di uL = L dt
为有限值， 不能突变， 因u(t)为有限值，故iL(t)不能突变，即： 为有限值 不能突变
(t →∞) R + Us
i
uL= 0, i=Us /R
L
US
uL
–
i
US/R
?Biblioteka Baidu
初始状态 0
UL
t1 t
新稳态
有过渡过程
过渡状态
支路接入或断开
换路
电路结构、 电路结构、状态发生变化 电路参数变化
过渡过程产生的原因
电路内部含有储能元件 L、C，电路在换路时能量发生变化， ，电路在换路时能量发生变化， 能量的储存和释放都需要一定的时间来完成。 而能量的储存和释放都需要一定的时间来完成。
特点： 当动态电路状态发生改变时（换路） 特点： 当动态电路状态发生改变时（换路）需要经历一 个变化过程才能达到新的稳定状态。 个变化过程才能达到新的稳定状态。 过渡过程。 这个变化过程称为电路的过渡过程 这个变化过程称为电路的过渡过程。 如:电阻电路 电阻电路 换路时没有过渡过程
i
+
i
（t=0） ）
(1) 由0－电路求 uC(0－)或iL(0－) 或
+ +
uC
10k 10V
+
40k uC
+ + -
i 10k 40k 10V k
-
uC(0－)=8V
电 容 开 路
+
8V iC
-
(2) 由换路定律
uC (0+) = uC (0－)=8V
(3) 由0+等效电路求 iC(0+)
i 10k 10V
0+等效电路 电容用电 电容用电 压源替代 压源替代
ψL (0+)= ψL (0 )
－
iL(0+)= iL(0－)
注意: 注意
换路瞬间，电感电流换路前后保持不变。 换路瞬间，电感电流换路前后保持不变。
（1）电容电流和电感电压为有限值是换路定律成立的条件 （2）换路定律反映了能量不能跃变。 换路定律反映了能量不能跃变。
4 . 电路初始值的确定 例1
求 iC(0+) iC