【同步备课】高中数学(北师大版)必修三教案：1.5 考点解析与典型例题

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高中数学第七课时 1.5数据的数字特征教案北师大版必修3

第七课时§1.5数据的数字特征一、教学背景分析：在义务教育阶段，学生已经通过实例，学习了平均数、中位数、众数、极差、方差等，并能解决简单的实际问题。

（由于义务教育阶段《大纲》中对统计部分的要求与《标准》的要求相差较大，若是承接现行《大纲》的话，建议先补充《标准》中第三学段相应部分的内容。

）在这个基础上高中阶段还将进一步学习标准差，并在学习中不断地体会它们各自的特点，在具体的问题中根据情况有针对性地选择一些合适的数字特征。

二、教学目标：1、能结合具体情境理解不同数字特征的意义，并能根据问题的需要选择适当的数字特征来表达数据的信息，培养学生解决问题的能力。

2、通过实例理解数据标准差的意义和作用，学会计算数据的标准差，提高学生的运算能力。

三、教学重、难点教学重点：平均数、中位数、众数、极差、方差、标准差的计算、意义和作用。

教学难点：根据问题的需要选择适当的数字特征来表达数据的信息。

四、设计思路1、教法构想：本节教学设计依据课程标准，在义务教育阶段的基础上，进一步掌握平均数、中位数、众数、极差、方差、标准差的计算、意义和作用。

通过具体的实例，让学生理解数字特征的意义，并能选择适当的数字特征来表达数据的信息。

2、学法指导：学生自主探究，交流合作，教师归纳总结相结合。

五、教学实施（一）、导入新课提出问题：小明开设了一个生产玩具的小工厂，管理人员由小明、他的弟弟和六个亲戚组成。

工作人员由五个领工和十个工人组成。

工厂经营的很顺利，需增加一个新工人，小亮需要一份工作，应征而来与小明交谈。

小明说：“我们这里报酬不错，平均薪金是每周300元。

你在学徒期每周75元，不过很快就可以加工资了。

”小亮工作几天后找到小明说：“你欺骗了我，我已经找其他工人核对过了，没有一个人的工资超过每周100元，平均工资怎么可能是一周300元呢？”小名说：“小亮啊，不要激动，平均工资是300元，你看，这是一张工资表。

”工资表如下：这到底是怎么了？（学生思考交流）。

北师大版数学高一(北师大)必修3学案 1.5.2用样本的数字特征估计总体的数字特征(二)

第一章统计1.5.2用样本的数字特征估计总体的数字特征(二)一、三维目标1、知识与技能(1)能根据实际问题的需要合理地选取样本，从样本数据中提取基本的数字特征(如平均数、标准差)，并做出合理的解释．(2)会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征．(3)形成对数据处理过程进行初步评价的意识．2、过程与方法在解决统计问题的过程中，进一步体会用样本估计总体的思想，理解数形结合的数学思想和逻辑推理的数学方法．3、情感态度与价值观会用随机抽样的方法和样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题，认识统计的作用，能够辨证地理解数学知识与现实世界的联系．二、教学重点：用样本平均数和标准差估计总体的平均数与标准差．三、教学难点：能应用相关知识解决简单的实际问题．新课导入设计导入一在日常生活中,我们往往并不需要了解总体的分布形态,而是更关心总体的某一数字特征,例如：买灯泡时,我们希望知道灯泡的平均使用寿命,我们怎样了解灯泡的使用寿命呢？当然不能把所有灯泡一一测试,因为测试后灯泡则报废了．于是,需要通过随机抽样,把这批灯泡的寿命看作总体,从中随机取出若干个个体作为样本,算出样本的数字特征,用样本的数字特征来估计总体的数字特征．导入二用随机抽样的方法获得样本，我们就会得到一组数据，统计思想的本质就是用样本估计总体．用样本估计总体，一般有两种方法：一是用样本的频率分布估计总体分布；二是用样本的数字特征估计总体的数字特征．第一种方法我们已经学习了啦，本节我们继续学习第二种方法．教学流程：↓↓↓↓↓教学情境设计:1．创设情景，揭示课题上一节我们学习了用图、表组织样本数据，并且学习了如何通过图、表提供的信息，用样本的频率分布估计总体的分布. 在日常生活中，我们往往并不需要了解总体的分布形态，而是关心总体的某一数字特征，例如：居民月均用水量问题，我们关心的是数字，而不是总体的分布形态.因此我们要通过样本的数据对总体的数字特征进行研究.——用样本的数字特征估计总体的数字特征（板出课题）.2．探究：（1）怎样将各个样本数据汇总为一个数值，并使它成为样本数据的“中心点”？我们初中时学习众数、中位数、平均数等数字特征.我们共同回忆一下？什么是众数、中位数、平均数？众数—一一组数中出现次数最多的数.中位数——将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数．平均数——将所有数相加再除以这组数的个数,所得到得数. 热身训练:求下列各组数据的众数、中位数、平均数（1）1 ，2，3，3，3，4，6，7，7，8，8，8 （2）1 ，2，3，3，3，4，6，7，8，9，9答案：（1）众数是：3和8 中位数是：5 平均数是：5 （2）众数是：3 中位数是：4 平均数是：5例如，在上一节抽样调查的100位居民的月均用水量的数据中，我们如何得知这一组样本数据的众数、中位数和平均数？众数=2.3（t ）、中位数=2.0（t ）、平均数=1.973（t ）那么从频率分布直方图你能得到这些数据的众数，中位数，平均数吗? 3．如何在频率直方图中估计众数、中位数、平均数呢？如何从频率分布直方图中估计众数？学生交流讨论,回答从频率分布直方图可以看出:月均用水量的众数是2.25t （最高的矩形的中点）,它告诉我们，该市的月均用水量为2. 25t 的居民数比月均用水量为其他值的居民数多，但它并没有告诉我们到底多多少.思考1：请大家看看原来抽样的数据，有没有2.25 这个数值呢？根据众数的定义，2.25怎么会是众数呢？为什么？0.10.20.30.4月均用水量/t请学生思考交流,回答这是因为样本数据的频率分布直方图把原始的一些数据给遗失的原因，而2.25是由样本数据的频率分布直方图得来的，所以存在一些偏差.显然通过频率分布直方图的估计精度较低,其估计结果与数据分组有关,在不能得到样本数据,只能得到频率分布直方图的情况下,也可以估计总体的特征.归纳总结：因为在频率分布直方图中，各小长方形的面积表示相应各组的频率，也显示出样本数据落在各小组的比例的大小，所以从图中可以看到，在区间[2，2.5）的小长方形的面积最大，即这组的频率是最大的，也就是说月均用水量在区间[2，2.5）内的居民最多，即众数就是在区间[2，2.5）内. 众数在样本数据的频率分布直方图中，就是最高矩形的中点的横坐标.如何从频率分布直方图估计中位数？表2-1 100为居民的月均用水量（单位：t) 2.20.61.81.21.01.52.02.22.52.82.4 0.8 1.7 1.0 1.0 1.6 2.1 2.3 2.6 2.5 2.4 0.5 1.5 1.2 1.4 1.7 2.1 2.4 2.7 2.6 2.3 0.9 1.6 1.3 1.3 1.8 2.3 2.3 2.8 2.5 2.0 0.7 1.8 1.4 1.3 1.9 2.4 2.4 2.93.04.3 0.8 1.9 3.5 1.4 1.8 2.3 2.4 2.9 3.2 4.1 0.6 1.7 3.6 1.3 1.7 2.2 2.3 2.8 3.3 3.8 0.5 1.5 3.7 1.2 1.6 2.1 2.3 2.7 3.2 0.4 0.3 0.4 0.2 1.2 1.5 2.2 2.2 2.6 3.4 1.6 1.9 1.8 1.6 1.0 1.5 2.0 2.0 2.5 3.1学生交流讨论,回答分析：在样本数据中，有50%的个体小于或等于中位数，也有50%的个体大于或等于中位数.因此，在频率分布直方图中，矩形的面积大小正好表示频率的大小，即中位数左边和右边的直方图的面积应该相等. 由此可以估计中位数的值.设中位数为x ，则5.05.0)2(22.015.008.004.0=⨯-++++x 求出02.2=x在上图中,红色虚线代表居民月平均用水量的中位数的估计值.其左边的直方图的面积是50个单位.右边的直方图的面积也是50个单位.由此可以估计出中位数的值为2.02.思考2：2.02这个中位数的估计值，与样本的中位数值2.0不一样，你能解释其中的原因吗？（样本数据的频率分布直方图把原始的一些数据给遗失了） 3) 如何从频率分布直方图中估计平均数？学生交流讨论,回答平均数等于是频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和.以上图为例来讲解求解过程；02.202.025.404.075.306.025.314.075.225.025.222.075.115.025.108.075.004.025.0=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯平均数为2.02由此居民的月用水量的平均数是2.02t.大部分居民的月均用水量在中部（2.02t 左右），但是也有少数居民的月均用水量特别高，显然，对这部分居民的用水量作出限制是非常合理的.观察频率分布直方图估计中位数频率 00.10.20.30.40.50.6月均用水量/t思考3：中位数不受少数几个极端值的影响，这在某些情况下是一个优点，但是它对极端值的不敏感有时也会成为缺点，你能举例说明吗？让学生讨论，并举例优点：对极端数据不敏感的方法能够有效地预防错误数据的影响.对极端值不敏感有利的例子:如当样本数据质量比较差，即存在一些错误数据（如数据录入错误、测量错误等）时，如：考察表中2-1中的数据如果把最后一个数据错写成22，并不会对样本中位数产生影响.也就是说对极端数据不敏感的方法能过有效地预防错误数据的影响.用抗极端数据强的中位数表示数据的中心值更准确.缺点：（1）出现错误的数据也不知道；（2）对极端值不敏感有弊的例子：某人具有初级计算机专业技术水平，想找一份收入好的工作.这时如果采用各个公司计算机专业技术人员收入的中位数作为选择工作的参考指标就会冒这样的风险：很可能所选择公司的初级计算机专业技术水平人员的收入很低，其原因是中位数对极小的数据不敏感.这里更好的方法是同时用平均工资和中位数作为参考指标，选择平均工资较高且中位数较大的公司就业.4）对众数，中位数，平均数估计总体数字特征的认识(1）样本众数通常用来表示分类变量的中心值，比较容易计算，但是它只能表示样本数据中的很少一部分信息.(2) 中位数不受少数几个极端值的影响, 容易计算,它仅利用了数据排在中间的数据的信息.(3)样本平均数与每个样本数据有关,所以,任何一个样本数据的改变都会引起平均数的改变.这是中位数,众数都不具有的性质,也正因为这个原因,与众数,中位数比较起来,平均数可以反映出更多的关于样本数据全体的信息.探究：“用数据说话”这是我们经常可以听到的一句话.但是数据有时也会被利用，从而产生误导.例如一个企业中，绝大多数是一线工人，他们的年收入可能是一万元左右，另有一些经理层次的人，年收入可以达到几十万元.这时，年收入的平均数会比中位数大得多，尽管这时中位数比平均数更合理些，但是这个企业的老板到人力市场去招聘工人时，也许更可能用平均数回答有关工资待遇方面的提问.你认为“我们单位的收入水平比别的单位高”这句话应当怎么解释？以员工平均工资收入水平去描述他们单位的收入情况.这是不合理的，因为这些员工当中，少数经理层次的收入与大多数一般员工收入的差别比较大，平均数受数据中的极端值的影响大，所以平均数不能反映该单位员工的收入水平.这个老板的话有误导与蒙骗行例题例1 为了保护学生的视力，教室内的日光灯在使用一段时间后必须更换．已知某校使用的100只日光灯在必须换掉前的使用天数如下，试估计这种日光灯的平均使用寿命和标准差．解：各组中值分别为165，195，225，285，315，345，375，由此算得平均数约为 165×1%+195×11%+225×18%+255×20%+285×25%+315×16%+345×7%+375×2%=267．9≈268 (天)．这些组中值的方差为1/100×[1×(165-268)2+11×(195-268)2+18×(225-268)2+20×(255-268)2+25×(285-268)2+16×(315-268)2+7×(345-268)2+2×(375-268)2]=2128．60 (天2)．故所求的标准差约466.2128≈（天）所以，估计这种日光灯的平均使用寿命约为268天，标准差约为46天．例2 甲、乙两种水稻试验品种连续5年的平均单位面积产量如下（单位：t/hm2），试根据这组数据估计哪一种水稻品种的产量比较稳定．解：甲品种的样本平均数为10，样本方差为02.0])102.10()1010()101.10()109.9()108.9[(5122222=-+-+-+-+-⨯ 乙品种的样本平均数也为10，样本方差为24.0])108.9()107.9()108.10()103.10()104.9[(5122222=-+-+-+-+-⨯ 因为0．24>0．02，所以由这组数据可以认为甲种水稻的产量比较稳定．例3某公司的33名职工的月工资（单位：元）如下表：求该公司职工月工资的平均数、中位数、众数.若董事长、副董事长的工资分别从5500元、5000元提升到30000元、20000元，那么公司职工新的平均数、中位数和众数又是什么？你认为哪个统计量更能反映这个公司员工的工资水平？解析：（1）公司职工月工资的平均数为：2091336900033201500320005250030002350050005500≈=⨯+⨯+⨯++⨯++=x（元）若把所有数据从大到小排序，则得到：中位数是1500元，众数是1500元. （2）若董事长、副董事长的工资提升后，职工月工资的平均数为：3288331085003320150032000525003000235002000030000≈=⨯+⨯+⨯++⨯++=x （元）中位数是1500元，众位是1500元.（3）在这个问题中，中位数和众数都能反映出这个公司员工的工资水平，因为公司少数人的工资额与大多数人的工资额差别较大，这样导致平均数与中位数偏差较大，所以平均数不能反映这个公司员工的工资水平.巩固练习1.下面是某校日睡眠时间的抽样频率分布表（单位：小时）试估计该校学生的日睡眠平均时间．解1：可先要计算总睡眠时间，然后除以总人数，得样本的平均数．因为该校这100名学生的总睡眠时间约为739275.8625.83775.73325.71775.6525.6=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯（小时）所以样本的平均日睡眠时间约为39.7100739=÷（小时）答：估计该校学生的日睡眠平均时间为39.7小时．解2：求组中值与对应频率之积的和．39.702.075.806.025.837.075.733.025.717.075.605.025.6=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ 答：估计该校学生的日睡眠平均时间为39.7小时．2.为了解中学生的身体发育情况，对某一中学同年龄的50名男生的身高进行了测量结果如下（单位：cm ）：（1）列出样本的频率分布表，画出频率分布直方图；（2）估计该中学身高大于172cm 的概率及同年龄的高度；（3）估计该中学这个年龄的平均身高和稳定程度．解：（1）样本频率分布表为：频率分布直方图如图1—6—25所示：图1—6—25（2）因为数据大于172cm 的频率为48.012.036.0=+ 所以可以估计数据大于172cm 的概率为0．48．（3）因为样本的平均数为170．1 cm ，标准差为5．6 cm ，所以可以估计该中学这个同年龄的高度约为170．1 cm ，偏差约为5．6 cm ．3.某高校有甲、乙两个数学建模兴趣班．其中甲班有40人，乙班50人．现分析两个班的一次考试成绩，算得甲班的平均成绩是90分，乙班的平均成绩是81分，则该校数学建模兴趣班的平均成绩是分．解：填85．4.假设你是一名交通部门的工作人员，你打算向市长报告国家对本市26个公路项目投资的平均资金数额，其中一条新公路的建设投资为2000万元人民币，另外25个项目的投资是20~100万元。

高中数学北师大版必修3 1.5 教学设计《估计总体的数字特征》(北师大版)

《估计总体的数字特征》教材通过探究引导学生思考实际问题，引出总体分布的估计问题，该实例贯穿本节始终，通过对该问题的探究，使学生学会列频率分布表、画频率分布直方图和频率分布折线图。

教师通过初中有关频率与概率之间的关系，了解频率分布直方图的规律性，即频率分布与总体分布之间的关系，进一步体会用样本估计总体的思想。

【知识与能力目标】会求样本的众数、中位数、平均数、标准差和方差；理解用样本的数字特征估计总体的数字特征的方法；会应用相关知识解决简单的统计实际问题。

【过程与方法目标】通过对生活中的实例的探究，感知应用数学知识解决问题的方法，理解数形结合的数学思想和逻辑推理的数学方法。

【情感态度价值观目标】感受数学对实际生活的需要，认识到数学知识源于生活并指导生活的事实，体会数学知识与现实世界的联系。

【教学重点】用样本的平均数和标准差估计总体的平均数和标准差。

【教学难点】让学生体会数字特征的随机性和对实际问题进行判断决策时的应用。

电子课件调整、相应的教具带好、熟悉学生名单、电子白板要调试好。

一、导入部分下表是某次辩论赛中甲、乙双方辩手的成绩，如果以此来评定胜负你认为哪方是优胜者？为什么？设计意图:从生活实际切入，激发了学生的学习兴趣，又为新知作好铺垫。

二、研探新知，建构概念1、电子白板投影出上面实例。

2、教师组织学生分组讨论：先让学生分析，师生一起归纳。

估计总体的数字特征利用随机抽样得到样本，从样本数据得到的分布、平均数和标准差(通常称之为样本分布、样本平均数和样本标准差)并不是总体真正的分布、平均数和标准差，而只是总体的一个估计，但这个估计是合理的，特别是当样本容量很大时，它们确实反映了总体的信息。

n 个样本数据x1，x2，…，x n的平均数x=1n(x1+x2+⋯+x n) ，则有n x＝ (x1+x2+⋯+x n)设样本的元素为x1，x2，…，x n，样本的平均数为x，则样本的方差s2＝1n [(x1−x)2+(x2−x)2+⋯+（x n−x）2]样本方差的算术平方根即为样本的标准差，即s=√[(x−x)2+(x−x)2+⋯+(x−x)2设计意图:在自主探究，合作交流中构建新知，体验用样本的数字特征估计总体的数字特征的特点，从而突出重点。

高三数学教案内容

高三数学教案内容高三数学教案内容一、内容和内容解析本节课是北师大版高中数学必修5中第三章第4节的内容。

主要是二元均值不等式。

它是在系统地学习了不等关系和不等式性质，掌握了不等式性质的基础上展开的，作为重要的基本不等式之一，为后续的学习奠定基础。

要进一步了解不等式的性质及运用，研究最值问题，此时基本不等式是必不可缺的。

基本不等式在知识体系中起了承上启下的作用，同时在生活及生产实际中有着广泛的应用，因此它也是对学生进行情感价值观教育的优良素材，所以基本不等式应重点研究。

教学中注意用新课程理念处理教材，学生的数学学习活动不仅要接受、记忆、模仿和练习，而且要自主探究、动手实践、合作交流、阅读自学，师生互动，教师发挥组织者、引导者、合作者的作用，引导学生主体参与、揭示本质、经历过程。

就知识的应用价值上来看，基本不等式是从大量数学问题和现实问题中抽象出来的一个模型，在公式推导中所蕴涵的`数学思想方法如数形结合、抽象归纳、演绎推理、分析法证明等在各种不等式的研究中均有着广泛的应用;另外，在解决函数最值问题中，基本不等式也起着重要的作用。

就内容的人文价值上来看，基本不等式的探究与推导需要学生观察、分析、归纳，有助于培养学生创新思维和探索精神，是培养学生数形结合意识和提高数学能力的良好载体。

二、教学目标和目标解析教学目标：了解基本不等式的几何背景，能在教师的引导下探究基本不等式的证明过程，理解基本不等式的几何解释，并能解决简单的最值问题;借助于信息技术强化数形结合的思想方法。

在教师的逐步引导下，能从较为熟悉的几何图形中抽象出基本不等式，实现对基本不等式几何背景的初步了解。

学生已经学习了不等式的基本性质，可以运用作差法给出基本不等式的证明，同时，介绍并渗透分析法证明的思想方法，从而完成基本不等式的代数证明。

进一步通过探究几何图形，给出基本不等式的几何解释，加强学生数形结合的意识。

通过应用问题的解决，明确解决应用题的一般过程。

1.5数据的数字特征教案(高中数学北师大版必修3)

第六课时 1.5数据的数字特征自主学习教学目标1．熟练掌握平均数、中位数、众数、极差、方差、标准差等概念．2．会根据问题的需要选择不同的统计量表达数据的信息．三、教学重、难点教学重点：平均数、中位数、众数、极差、方差、标准差的计算、意义和作用.教学难点：根据问题的需要选择适当的数字特征来表达数据的信息.四、设计思路1、教法构想：本节教学设计依据课程标准，在义务教育阶段的基础上，进一步掌握平均数、中位数、众数、极差、方差、标准差的计算、意义和作用.通过具体的实例，让学生理解数字特征的意义，并能选择适当的数字特征来表达数据的信息.2、学法指导：学生自主探究，交流合作，教师归纳总结相结合.教学导引1．平均数、中位数和众数刻画了一组数据的集中趋势，极差、方差刻画了一组数据的离散程度2．标准差：s＝s2＝(x1－x)2＋(x2－x)2＋…＋(x n－x)2n.3．标准差的单位与原始测量单位相同，在统计中，我们通常用标准差刻画数据的离散程度．对点讲练知识点一众数、中位数及平均数的应用例1(1)求该公司职工月工资的平均数、中位数、众数；(2)假设副董事长的工资从5 000元提升到20 000元，董事长的工资从5 500元提升到30 000元，那么新的平均数、中位数、众数又是多少？(精确到元)(3)你认为哪个统计量更能反映这个公司员工的工资水平？结合此问题谈一谈你的看法．例1解(1)平均数是x＝5 500＋5 000＋3 500×2＋3 000＋5×2 500＋3×2 000＋20×1 50033≈2 091(元)．中位数是1 500元，众数是1 500元． (2)平均数是x ＝20 000＋30 000＋3 500×2＋3 000＋5×2 500＋3×2 000＋20×1 50033＝3 288(元)．中位数是1 500元，众数是1 500元．(3)在这个问题中，中位数或众数均能反映该公司员工的工资水平．因为公司中少数人的工资额与大多数人的工资额差别较大，这样导致平均数与中位数偏差较大，所以平均数不能反映这个公司员工的工资水平．点评 (1)在研究实际问题时，根据实际要解决的问题与平均数、中位数、众数的特点分别作以比较，应用相关知识求出有关量．(2)当数据较大，求平均数时通常减去某一个常数，如本例中可先减一个1 500，然后再求较为简单．变式迁移1 在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的17名运动员的成绩如下表所示：分别求这些运动员成绩的众数、中位数和平均数(平均数的计算结果保留到小数点后第2位)，并对这些成绩数据作出科学的评判．变式迁移1 解在这17个数据中，1.75出现了4次，出现的次数最多，即这组数据的众数是1.75；表中的17个数据看成按从小到大顺序排列的，其中第9个数据1.70是最中间的一个数据，即这组数据的中位数是 1.70；这组数据的平均数是x ＝117×(1.50×2＋1.60×3＋…＋1.90×1)≈1.69(m)．故这17名运动员成绩的众数、中位数、平均数依次是1.75 m 、1.70 m 、1.69 m.在以上数据中，运动员成绩的众数是1.75 m ，说明成绩为1.75 m 的人数最多；运动员成绩的中位数是1.70 m ，说明成绩在1.70 m 以下和1.70 m 以上的人数各占一半；运动员成绩的平均数是1.69 m ，说明所有参赛运动员的平均成绩是1.69 m.知识点二方差、标准差的计算例2 对甲、乙的学习成绩进行抽样分析，各抽5门功课，得到的观测值如下：问：甲、乙谁的平均成绩好？谁的各门功课发展较平衡？例2 解 x 甲＝15×(60＋80＋70＋90＋70)＝74，x 乙＝15×(80＋60＋70＋80＋75)＝73，s 2甲＝15×(142＋62＋42＋162＋42)＝104， s 2乙＝15×(72＋132＋32＋72＋22)＝56， ∵x 甲>x 乙，s 2甲>s 2乙，∴甲的平均成绩较好，乙的各门功课发展较平衡．变式迁移2 为了了解市民的保护意识，某校高一(1)班50名学生在6月5日(世界环境日)这一天调查了各自家庭丢弃旧塑料袋的情况，有关数据如下表：求这50户居民每天丢弃旧塑料袋的标准差．变式迁移2 解 x ＝2×6＋3×16＋4×15＋5×1350＝3.7，s 2＝150×[6×(2－3.7)2＋16×(3－3.7)2＋15×(4－3.7)2＋13×(5－3.7)2]＝150×(17.34＋7.84＋1.35＋21.97) ＝0.97标准差s ＝0.97≈0.985.知识点三平均数、方差的应用例3 从甲、乙两种玉米苗中各抽10株，分别测得它们的株高如下：(单位：cm) 甲：25 41 40 37 22 14 19 39 21 42 乙：27 16 44 27 44 16 40 40 16 40 问：(1)哪种玉米的苗长得高？(2)哪种玉米的苗长得齐？例3 解 (1)x 甲＝110×(25＋41＋40＋37＋22＋14＋19＋39＋21＋42)＝110×300＝30 (cm)，x 乙＝110×(27＋16＋44＋27＋44＋16＋40＋40＋16＋40)＝110×310＝31 (cm)． ∴x 甲<x乙．(2)s 2甲＝110×[(25－30)2＋(41－30)2＋(40－30)2＋(37－30)2＋(22－30)2＋(14－30)2＋(19－30)2＋(39－30)2＋(21－30)2＋(42－30)2] ＝110×(25＋121＋100＋49＋64＋256＋121＋81＋81＋144) ＝110×1 042＝104.2 (cm 2)， s 2乙＝110×[(2×272＋3×162＋3×402＋2×442)－10×312] ＝110×1 288＝128.8 (cm 2)． ∴s 2甲<s 2乙.答乙种玉米的苗长得高，甲种玉米的苗长得齐．点评特别要注意本题两问中说法的不同，这就意味着计算方式不一样．平均数和方差是样本的两个重要数字特征，方差越大，表明数据越分散；相反地，方差越小，数据越集中．变式迁移3 甲、乙两名战士在相同条件下各射靶10次，每次命中的环数分别是：甲：8,6,7,8,6,5,9,10,4,7；乙：6,7,7,8,6,7,8,7,9,5.(1)分别计算以上两组数据的平均数；(2)分别求出两组数据的方差；(3)根据计算结果，估计一下两名战士的射击情况．变式迁移3 解 (1)x 甲＝110×(8＋6＋7＋8＋6＋5＋9＋10＋4＋7)＝7(环)，x 乙＝110×(6＋7＋7＋8＋6＋7＋8＋7＋9＋5)＝7(环)．(2)由方差公式s 2＝1n [(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]，得s 2甲＝3.0(环2)，s 2乙＝1.2(环2)．(3)x 甲＝x 乙，说明甲、乙两战士的平均水平相当；s 2甲>s 2乙，说明甲战士射击情况波动大，因此乙战士比甲战士射击情况稳定．课堂小结1．从数字特征上描述一组数据的情况平均数、众数、中位数描述其集中趋势，方差、极差和标准差描述其波动大小，也可以说方差、标准差和极差反映各个数据与其平均数的离散程度． 2．方差和标准差的运用一组数据的方差或标准差越大，说明这组数据波动越大，方差的单位是原数据的单位的平方，标准差的单位与原单位相同．课堂作业一、选择题1．期中考试以后，班长算出了全班40个人数学成绩的平均分为M ，如果把M 当成一个同学的分数，与原来的40个分数一起，算出这41个分数的平均值为N ，那么M ∶N 为( )A.4041 B ．1 C.4140D ．2 1．答案：B [N ＝40M ＋M41＝M ，∴M ∶N ＝1.]2．已知一组数据为20、30、40、50、50、60、70、80，其中平均数、中位数和众数大小关系是( )A ．平均数>中位数>众数B ．平均数<中位数<众数C ．中位数<众数<平均数D ．中位数＝众数＝平均数2．答案：D3．某中学人数相等的甲、乙两班学生参加同一次数学测试，两班平均分和方差分别为x甲＝82分，x 乙＝82分，s 2甲＝245，s 2乙＝190，那么成绩较为整齐的是( )A ．甲班B ．乙班C ．两班一样齐D ．无法确定3．答案：B4．下图是某学校举行的运动会上七位评委为某体操项目打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为( )A ．84,4.84B ．84,1.6C ．85,1.6D ．85,44．答案：C [去掉最高分93，最低分79，平均分为15(84＋84＋86＋84＋87)＝85，方差s 2＝15[(84－85)2＋(84－85)2＋(86－85)2＋(84－85)2＋(87－85)2]＝85＝1.6.]二、填空题5．一个样本按从小到大的顺序排列为10,12,13，x,17,19,21,24，其中位数为16，则x ＝______.5．答案：156．如果数据x 1，x 2，x 3，…，x n 的平均数为10，方差为2，则数据7x 1－2,7x 2－2,7x 3－2，…，7x n －2的平均数为________，方差为________．6．答案：68 98解析平均数＝7×10－2＝68，方差＝72×2＝98.7．甲、乙、丙、丁四名射击手在选拔赛中的平均环数x 及其标准差s 如下表所示，则选送决赛的最佳人选应是________．甲乙丙丁 x 7 8 8 7 s2.52.52.837．答案：乙解析平均数反映平均水平大小，标准差表明稳定性．标准差越小，稳定性越好．三、解答题8．个体户王某经营一家餐馆，下面是餐馆所有工作人员在某个月份的工资：王某厨师甲厨师乙杂工招待甲招待乙会计 3 000元450元400元320元350元320元410元(1)计算平均工资；(2)计算出的平均工资能否反映帮工人员这个月收入的一般水平？ (3)去掉王某的工资后，再计算平均工资；(4)(3)中所求的平均工资能代表帮工人员的收入吗？8．解 (1)平均工资x ＝17(3 000＋450＋400＋320＋350＋320＋410)＝750(元)；(2)因为帮工人员的工资低于平均工资，所以(1)中算出的平均工资不能反映帮工人员在这个月份的月收入的一般水平；(3)去掉王某的工资后的平均工资x ＝16(450＋400＋320＋350＋320＋410)＝375(元)；(4)(3)中计算的平均工资接近于帮工人员月工资收入，所以它能代表帮工人员的平均月收入．9．某校团委为响应顺义区倡导的“我与奥运同行，人人爱护环境”的号召，举办了英语口语竞赛．甲、乙两个小组成绩如下：甲组：76 90 84 86 81 87 86 乙组：82 84 85 89 80 94 76(1)分别求出甲、乙两个小组的平均分、标准差(精确到0.01)； (2)说明哪个小组成绩比较稳定？9．解 (1)x 甲＝17(76＋90＋84＋86＋81＋87＋86)≈84.29，x 乙＝17(82＋84＋85＋89＋80＋94＋76)≈84.29，s 甲＝17[(762＋902＋842＋862＋812＋872＋862)－7×84.292]≈4.15， s 乙＝17[(822＋842＋852＋892＋802＋942＋762)－7×84.292] ≈5.40.(2)∵s 甲<s 乙，∴甲小组的成绩比较稳定．。

数学北师大版必修3教案：第一章统计1.5.1 含解析精

§5 用样本估计总体5.1 估计总体的分布整体设计教学分析教科书通过问题的探究,使学生学会列频率分布表、画频率分布直方图、频率分布折线图.教科书在这里主要介绍有关频率分布的列表和画图的方法,而关于频率分布的随机性和规律性方面则给教师留下了较大的发挥空间.教师可以通过初中有关随机事件的知识,也可以利用计算机多媒体技术,引导学生进一步体会由样本确定的频率分布表和频率分布直方图的随机性；通过初中有关频率与概率之间的关系,了解频率分布直方图的规律性,即频率分布与总体分布之间的关系,进一步体会用样本估计总体的思想.由于可以用样本频率分布直方图估计总体分布,因此可以用样本频率分布特征来估计相应的总体分布特征,这就提供了估计总体特征的另一种途径,其意义在于：在没有原始数据而仅有频率分布的情况下,此方法可以估计总体的分布特征.三维目标1.通过实例体会分布的意义和作用,通过对现实生活的探究,感知应用数学知识解决问题的方法.2.在表示样本数据的过程中,学会列频率分布表,画频率分布直方图、频率折线图和茎叶图,理解数形结合的数学思想和逻辑推理的数学方法.3.通过对样本分析和总体估计的过程,感受数学对实际生活的需要,通过实例体会频率分布直方图、频率折线图、茎叶图的各自特征,从而恰当地选择上述方法分析样本的分布,准确地作出总体估计,认识到数学知识源于生活并指导生活的事实,体会数学知识与现实世界的联系. 重点难点教学重点：会列频率分布表,画频率分布直方图和频率折线图.教学难点：能通过样本的频率分布估计总体的分布.课时安排1课时教学过程导入新课思路1.在NBA的2006赛季中,甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的原始记录如下：甲运动员得分：12,15,20,25,31,31,36,36,37,39,44,49,50;乙运动员得分：8,13,14,16,23,26,28,38,39,51,31,29,33.请问从上面的数据中你能否看出甲、乙两名运动员,在2006赛季中,哪一位发挥比较稳定？如何根据这些数据作出正确的判断呢？这就是我们这堂课要研究、学习的主要内容——用样本的频率分布估计总体分布（板书课题）.思路2.如下样本是随机抽取近年来北京地区7月25日至8月24日的日最高气温.7月25日至8月10日41.9 37.5 35.7 35.4 37.2 38.1 34.7 33.7 33.3 32.5 34.6 33.0 30.8 31.0 28.6 31.5 28.8 32.58月8日至8月24日28.6 31.5 28.8 33.2 32.5 30.3 30.2 29.8 33.1 32.8 29.8 25.6 24.7 30.0 30.1 29.5 30.3 32.8怎样通过上表中的数据,分析比较两时间段内的高温（≥33 ℃）状况？这就是我们这堂课要研究、学习的主要内容——用样本的频率分布估计总体分布.思路3.讨论：我们要了解我校学生每月零花钱的情况, 应该怎样进行抽样？提问：学习了哪些抽样方法？一般在什么时候选取什么样的抽样方法呢?讨论：通过抽样方法收集数据的目的是什么？（从中寻找所包含的信息,用样本去估计总体）指出两种估计手段：一是用样本的频率分布估计总体的分布,二是用样本的数字特征（平均数、标准差等）估计总体的数字特征.这就是我们这堂课要研究、学习的主要内容——用样本的频率分布估计总体分布.推进新课新知探究提出问题（1）我国是世界上严重缺水的国家之一,城市缺水问题较为突出,某市政府为了节约生活用水,计划在本市试行居民生活用水定额管理,即确定一个居民月用水量标准a,用水量不超过a的部分按平价收费,超出a的部分按议价收费.如果希望大部分居民的日常生活不受影响,那么标准a定为多少比较合理呢？你认为,为了较合理地确定出这个标准,需要做哪些工作？（让学生展开讨论）（2）什么是频率分布？（3）频率分布直方图的特征是什么？(4)什么是频率分布折线图?讨论结果：（1）为了制定一个较为合理的标准a,必须先了解全市居民日常用水量的分布情况,比如月均用水量在哪个范围的居民最多,他们占全市居民的百分比情况等.因此采用抽样调查的方式,通过分析样本数据来估计全市居民用水量的分布情况.分析数据的一种基本方法是用图将它们画出来,或者用紧凑的表格来改变数据的排列方式,作图可以达到两个目的,一是从数据中提取信息,二是利用图形传递信息.表格则是通过改变数据的构成形式,为我们提供解释数据的新方式.下面我们学习的频率分布表和频率分布图,则是从各个小组数据在样本容量中所占比例大小的角度,来表示数据分布的规律.可以让我们更清楚地看到整个样本数据的频率分布情况. （2）频率分布是指一个样本数据在各个小范围内所占比例的大小；一般用频率分布直方图来反映样本的频率分布.（3）频率分布直方图的特征：①从频率分布直方图可以清楚地看出数据分布的总体趋势.②从频率分布直方图得不出原始的数据内容,把数据表示成直方图后,原有的具体数据信息就被抹掉了.同样一组数据,如果组距不同,横轴、纵轴的单位不同,得到的图和形状也会不同.不同的形状给人以不同的印象,这种印象有时会影响我们对总体的判断.(4)连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点,就得到频率分布折线图.应用示例思路1例1 1895年,在伦敦有106块男性头盖骨被挖掘出土.经考证,头盖骨的主人死于1665—1666年之间的大瘟疫.人类学家分别测量了这些头盖骨的宽度,数据如下所示(单位：mm)：146 141 139 140 145 141 142 131 142 140 144 140138 139 147 139 141 137 141 132 140 140 141 143134 146 134 142 133 149 140 140 143 143 149 136141 143 143 141 138 136 138 144 136 145 143 137142 146 140 148 140 140 139 139 144 138 146 153148 152 143 140 141 145 148 139 136 141 140 139158 135 132 148 142 145 145 121 129 143 148 138149 146 141 142 144 137 153 148 144 138 150 148138 145 145 142 143 143 148 141 145 141请你估计在1665—1666年之间,英国男性头盖骨宽度的分布情况.解：这里,如果把总体看作是1665—1666年之间的英国男性头盖骨的宽度,那么我们就是要通过上面挖掘出土得到的样本信息,来估计总体的分布情况.但从上面的数据很难直接估计出总体的分布情况,为此,我们可以先将以上数据按每个数据出现的频数和频率汇成下表：宽度/mm 频数频率宽度/mm 频数频率 121 1 0.009 142 7 0.066129 1 0.009 143 10 0.094131 1 0.009 144 5 0.047132 2 0.019 145 8 0.075133 1 0.009 146 5 0.047134 2 0.019 147 1 0.009135 1 0.009 148 8 0.075136 4 0.038 149 3 0.028137 3 0.028 150 1 0.009138 7 0.066 152 2 0.019139 7 0.066 153 1 0.009140 12 0.113 158 1 0.009141 12 0.113从表格中,我们就能估计出总体大致的分布情况了,如在1665—1666年之间,英国男性头盖骨宽度主要在140—150 mm 之间,130 mm 以下以及150 mm 以上所占的比率相对较小等.但是,这些关于分布情况的描述仍不够形象,为了得到更为直观的信息,我们可以再将表中的数据按照下面的方式分组：宽度分组(Δx i )频数(n i ) 频率(f i ) i i x f ∆ 120—125 mm1 0.009 0.001 8 125—130 mm1 0.009 0.001 8 130—135 mm6 0.057 0.011 4 135—140 mm22 0.208 0.041 6 140—145 mm46 0.434 0.086 8 145—150 mm25 0.236 0.047 2 150—155 mm4 0.038 0.007 6 155—160 mm 1 0.009 0.001 8先画频数分布直方图(图1).进一步,我们还可以将图1中纵坐标的频数换成ii x f ∆,便可以得到图2.图1图2点评：当样本量较大时,样本中落在每个区间内的样本数的频率会稳定于总体在相应区间内取值的概率.因此,我们就可以用样本的频率分布直方图来估计总体在任意区间内取值的频率,也即总体的分布情况.变式训练1.有100名学生,每人只能参加一个运动队,其中参加足球队的有30人,参加篮球队的有27人,参加排球队的有23人,参加乒乓球队的有20人.(1)列出学生参加运动队的频率分布表.(2)画出频率分布条形图.解：(1)参加足球队记为1,参加篮球队记为2,参加排球队记为3,参加乒乓球队记为4,得频率分布表如下：试验结果频数频率参加足球队（记为1）30 0.30参加篮球队（记为2）27 0.27参加排球队（记为3）23 0.23参加乒乓球队（记为4）20 0.20合计100 1.00(2)由上表可知频率分布条形图如图3：图32.为了了解中学生的身体发育情况,对某中学17岁的60名女生的身高进行了测量,结果如下（单位cm）：154 159 166 169 159 156 166 162 158156 166 160 164 160 157 151 157 161158 153 158 164 158 163 158 153 157162 159 154 165 166 157 151 146 151160 165 158 163 163 162 161 154 165162 159 157 159 149 164 168 159 153列出样本的频率分布表；绘出频率分布直方图.解：列频率分布表如下：宽度分组(Δx i) 个数累计频数(n i) 频率(f i)145.5—148.5 1 0.017148.5—151.5 3 0.050151.5—154.5 6 0.100154.5—157.58 0.133160.5—163.5 11 0.183163.5—166.510 0.167合计60 1.000 根据上述数据绘制频率分布直方图如图4：图4以上两种情况的不同之处在于,前者的频率分布表列出的是几个不同数值的频率,相应的条形图是用其高度表示取各个值的频率；后者的频率分布表列出的是在不同区间内取值的频率,相应的直方图是用图表面积的大小来表示在各个区间内取值的频率.我们在处理一个数理问题时可以采用样本的频率分布估计总体分布的方法,这是因为,频率分布随着样本容量的增大更加接近于总体分布,当样本容量无限增大且分组的组距无限缩小时,频率分布的直方图就演变成一条光滑的曲线——总体密度曲线.这条曲线是客观存在的,但是我们却很难将它准确地画出,我们只能用样本的频率分布去对它进行估计.基于频率分布与相应的总体分布有这种关系,再加上我们通常并不知道一个总体的分布,我们往往是从一个总体中抽取一个样本,用样本的频率去估计相应的总体分布.一般说来,样本的容量越大,这种估计就越精确.思路2例1 下表给出了某校500名12岁男孩中用随机抽样得出的120人的身高(单位：cm).区间界限/cm 122—126 126—130 130—134 134—138 138—142人数 5 8 10 22 33区间界限/cm 142—146 146—150 150—154 154—158 人数20 11 6 5(1)列出样本频率分布表;(2)画出频率分布直方图;(3)估计身高小于134 cm的人数占总人数的百分比.分析：根据样本频率分布表、频率分布直方图的一般步骤解题.解：（1）样本频率分布表如下：宽度分组(Δx i) 频数(n i) 频率(f i) 122—126 5 0.04126—130 8 0.07130—134 10 0.08134—138 22 0.18138—142 33 0.28142—146 20 0.17146—150 11 0.09150—154 6 0.05154—158 5 0.04合计120 1（2）其频率分布直方图如图5：图5（3）由样本频率分布表可知身高小于134 cm的男孩出现的频率为0.04+0.07+0.08=0.19,所以我们估计身高小于134 cm的人数占总人数的19%.变式训练从某校高一年级的1 002名新生中用系统抽样的方法抽取一个容量为100的身高样本,如下（单位：cm）.168 165 171 167 170 165 170 152 175 174 165 170 168 169 171 166 164 155 164 158 170 155 166 158 155 160 160 164 156 162 160 170 168 164 174 170 165 179 163 172 180 174 173 159 163 172 167 160 164 169 151 168 158 168 176 155 165 165 169 162 177 158 175 165 169 151 163 166 163 167 178 165 158 170 169 159 155 163 153 155167 163 164 158 168 167 161 162 167 168 161 165 174 156 167 166 162 161 164 166 作出该样本的频率分布表，并估计身高不小于170(cm)的同学所占的百分率. 解：频率分布表如下：宽度分组(Δx i ) 频数累计频数(n i ) 频率(f i ) 150.5—153.5 4 4 0.04153.5—156.5 12 8 0.08156.5—159.5 20 8 0.08159.5—162.5 31 11 0.11162.5—165.5 53 22 0.22165.5—168.5 72 19 0.19168.5—171.5 86 14 0.14171.5—174.5 93 7 0.07174.5—177.5 97 4 0.04177.5—180.5 100 3 0.03合计100 1 根据频率分布表可以估计,估计身高不小于170(cm)的同学所占的百分率为(0.14×5.1685.1711705.171--+0.07+0.04+0.03)×100%=21%. 例 2 为了了解高一学生的体能情况,某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试,将所得数据整理后,画出频率分布直方图(如图6),图中从左到右各小长方形面积之比为2∶4∶17∶15∶9∶3,第二小组频数为12.(1)第二小组的频率是多少？样本容量是多少？（2）若次数在110以上（含110次）为达标,试估计该学校全体高一学生的达标率是多少？(3)在这次测试中,学生跳绳次数的中位数落在哪个小组内?请说明理由.图6分析：在频率分布直方图中,各小长方形的面积等于相应各组的频率,小长方形的高与频数成正比,各组频数之和等于样本容量,频率之和等于1.解：（1）由于频率分布直方图以面积的形式反映了数据落在各小组内的频率大小,因此第二小组的频率为391517424+++++=0.08；又因为频率=样本容量第二小组频数，所以样本容量=08.012=第二小组频率第二小组频数=150.（2）由图可估计该学校高一学生的达标率约为39151742391517++++++++×100%=88%. (3)由已知可得各小组的频数依次为6,12,51,45,27,9,所以前三组的频数之和为69,前四组的频数之和为114,所以跳绳次数的中位数落在第四小组.知能训练1.有一个容量为45的样本数据,分组后各组的频数如下：(12.5,15.5］,3;(15.5,18.5］,8;(18.5,21.5］, 9;(21.5,24.5］,11;(24.5,27.5］,10;(27.5,30.5］,4.由此估计,不大于27.5的数据约为总体的（）A.91%B.92%C.95%D.30%答案：A2.一个容量为20的样本数据,数据的分组及各组的频数如下：（10,20）,2；（20,30）,3；（30,40）,4；（40,50）,5；（50,60）,4；（60,70）,2.则样本在区间（-∞,50）上的频率为（）A.0.5B.0.7C.0.25D.0.05答案：B3.一个高中研究性学习小组对本地区2000年至2002年快餐公司发展情况进行了调查,制成了该地区快餐公司个数情况的条形图和快餐公司盒饭年销售量的平均数情况条形图（如图7）,根据图中提供的信息可以得出这三年中该地区每年平均销售盒饭___________万盒.快餐公司个数情况图快餐公司盒饭年销售量的平均数情况图图7答案：85拓展提升为了了解一大片经济林生长情况,随机测量其中的100株的底部周长,得到如下数据表（单位：cm ）.135 98 102 110 99 121 110 96 100 103 125 97 117 113 110 92 102 109 104 112 109 124 87 131 97 102 123 104 104 128 105 123 111 103 105 92 114 108 104 102 129 126 97 100 115 111 106 117 104 109 111 89 110 121 80 120 121 104 108 118 129 99 90 99 121 123 107 111 91 100 99 101 116 97 102 108 101 95 107 101 102 108 117 99 118 106 119 97 126 108 123 119 98 121 101 113 102 103 104 108（1）编制频率分布表；（2）绘制频率分布直方图；（3）估计该片经济林中底部周长小于100 cm 的树木约占多少？周长不小于120 cm 的树木约占多少？解：（1）这组数据的最大值为135,最小值为80, 极差为55,可将其分为11组,组距为5. 频率分布表如下：宽度分组(Δx i ) 频数(n i )频率(f i ) i i x f 80—85 10.01 0.002 85—90 20.02 0.004 90—95 40.04 0.008 95—100 140.14 0.028 100—105 240.24 0.048 105—110 150.15 0.030 110—115 120.12 0.024 115—120 90.09 0.018 120—125 110.11 0.022 125—130 60.06 0.012 130—135 20.02 0.004 合计100 1 0.2 （2）频率分布直方图如图8：图8（3）从频率分布表得,样本中小于100的频率为0.01+0.02+0.04+0.14=0.21,样本中不小于120的频率为0.11+0.06+0.02=0.19,估计该片经济林中底部周长小于100 cm 的树木约占21%,周长不小于120 cm 的树木约占19%.课堂小结总体分布指的是总体取值的频率分布规律,由于总体分布不易知道,因此我们往往用样本的频率分布去估计总体的分布.作业习题1—5 1、2.设计感想本节课是高一新课程必修三第二章《统计》中的第二节《用样本估计总体》的第一节课,尽管用样本估计总体是一种实用性很强,操作烦琐、麻烦的工作,但却是统计学中常用的方法,在生产、生活中应用非常广泛.用样本估计总体,其实就是一种“以偏概全”,“以部分代替全部”的思想.虽然有贬义的成分,但我们还是要认真去教好学好,而且,这也是平时考试和高考中的重点内容之一.本节要解决的问题就是：为何要用样本估计总体——社会生产、生活的实际需要(必要性),如比赛、竞技中预测结果,评判质量谁好谁差,水平谁高谁低经常要用到.如何去用样本估计总体——用样本的频率分布去估计总体的频率分布；怎样用样本估计总体——作出样本频率分布表或频率分布直方图，懂得用 “数据”语言说话.另外,本节课通过选取一些学生特别关心的身边事例,对学生进行思想情操教育、意志教育并增强学生的自信心,使学生养成良好的学习态度.。

高中数学第三章概率本章知识体系学案(含解析)北师大版必修3-北师大版高一必修3数学学案

第三章概率本章知识体系专题一互斥事件与对立事件【例1】甲、乙两人参加普法知识竞赛，共有5个不同的题目．其中，选择题3个，判断题2个，甲、乙两人各抽一题．(1)甲、乙两人中有一个抽到选择题，另一个抽到判断题的概率是多少？(2)甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？【思路探究】用列举法把所有可能的情况列举出来，或考虑互斥及对立事件的概率公式．【解答】把3个选择题记为x1，x2，x3,2个判断题记为p1，p2.总的事件数为20.“甲抽到选择题，乙抽到判断题”的情况有：(x1，p1)，(x1，p2)，(x2，p1)，(x2，p2)，(x3，p1)，(x3，p2)，共6种；“甲抽到判断题，乙抽到选择题”的情况有：(p1，x1)，(p1，x2)，(p1，x3)，(p2，x1)，(p2，x2)，(p2，x3)，共6种；“甲、乙都抽到选择题”的情况有：(x1，x2)，(x1，x3)，(x2，x1)，(x2，x3)，(x3，x1)，(x3，x2)，共6种；“甲、乙都抽到判断题”的情况有：(p1，p2)，(p2，p1)，共2种．(1)“甲抽到选择题，乙抽到判断题”的概率为620＝310，“甲抽到判断题，乙抽到选择题”的概率为620＝3 10，故“甲、乙两人中有一个抽到选择题，另一个抽到判断题”的概率为310＋310＝35.(2)“甲、乙两人都抽到判断题”的概率为220＝110，故“甲、乙两人至少有一人抽到选择题”的概率为1－110＝9 10.【规律方法】“互斥事件”和“对立事件”都是就两个事件而言的，互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件是其中必有一个要发生的互斥事件，因此，对立事件必须是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件．当一个事件包含几种情况时，可把事件转化为几个互斥事件的并事件，再利用概率的加法公式计算．求“至多”“至少”型的概率问题时，先理解题意，明确所求事件包含哪些事件，再利用互斥事件的概率加法公式或对立事件的概率公式解决．某服务电话，打进的电话响第1声时被接的概率是0.1；响第2声时被接的概率是0.2；响第3声时被接的概率是0.3；响第4声时被接的概率是0.35.(1)打进的电话在响5声之前被接的概率是多少？(2)打进的电话响4声而不被接的概率是多少？解：(1)设事件“电话响第k 声时被接”为A k (k ∈N )，那么事件A k 彼此互斥，设“打进的电话在响5声之前被接”为事件A ，根据互斥事件概率加法公式，得P (A )＝P (A 1∪A 2∪A 3∪A 4)＝P (A 1)＋P (A 2)＋P (A 3)＋P (A 4)＝0.1＋0.2＋0.3＋0.35＝0.95.(2)事件“打进的电话响4声而不被接”是事件A “打进的电话在响5声之前被接”的对立事件，记为A －.根据对立事件的概率公式，得P (A －)＝1－P (A )＝1－0.95＝0.05.专题二古典概型【例2】一只口袋内装有大小相同的5只球，其中3只白球，2只黑球，从中一次摸出2只球．(1)共有多少个基本事件？(2)摸出的2只球都是白球的概率是多少？【思路探究】可用枚举法找出所有的等可能基本事件．【解答】 (1)分别记白球为1,2,3号，黑球为4,5号，从中摸出2只球，有如下基本事件(摸到1,2号球用(1,2)表示)：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)， (2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)．因此，共有10个基本事件．(2)如下图所示上述10个基本事件发生的可能性相同，且只有3个基本事件是摸到2只白球(记为事件A )，即(1,2)，(1,3)，(2,3)，故P (A )＝310.【规律方法】解决古典概型问题的关键是首先明确基本事件是什么，然后分清基本事件总数n 与事件A 所含的基本事件数m ，因此要注意以下几个方面：①明确基本事件是什么；②试验是否是等可能性的试验；③基本事件总数是多少；④事件A 包含多少个基本事件．一个袋子中有红、白、蓝三种颜色的球共24个，除颜色外完全相同，已知蓝色球3个，若从袋子中随机取出1个球，取到红色球的概率是16.(1)求红色球的个数；(2)若将这三种颜色的球分别进行编号，并将1号红色球，1号白色球，2号蓝色球和3号蓝色球这四个球装入另一个袋子中，甲乙两人先后从这个袋子中各取一个球(甲先取，取出的球不放回)，求甲取出的球的编号比乙的大的概率．解：(1)设红色球有x 个，依题意得x 24＝16，解得x ＝4，∴红色球有4个．(2)记“甲取出的球的编号比乙的大”为事件A所有的基本事件有(红1，白1)，(红1，蓝2)，(红1，蓝3)，(白1，红1)，(白1，蓝2)，(白1，蓝3)，(蓝2，红1)，(蓝2，白1)，(蓝2，蓝3)，(蓝3，红1)，(蓝3，白1)，(蓝3，蓝2)，共12个．事件A 包含的基本事件有(蓝2，红1)，(蓝2，白1)，(蓝3，红1)，(蓝3，白1)，(蓝3，蓝2)，共5个，所以P (A )＝512.专题三几何概型【例3】设有一个等边三角形网格，其中每个最小等边三角形的边长都是4 3 cm ，现用直径等于2 cm 的硬币投掷到此网格上，求硬币落下后与格线没有公共点的概率．【思路探究】当且仅当硬币中心与格线的距离都大于半径1，硬币落下后与格线没有公共点，在等边三角形内作与正三角形三边距离为1的直线，构成小等边三角形，当硬币中心在小等边三角形内时，硬币与三边都没有公共点，所以硬币与格线没有公共点就转化为硬币中心落在小等边三角形内的问题．【解答】设A＝{硬币落下后与格线没有公共点}，如图所示，在等边三角形内作小等边三角形，使其三边与原等边三角形三边距离都为1，则等边三角形的边长为43－23＝23，由几何概率公式得：P(A )＝34(23)234(43)2＝14.【规律方法】几何概型有两大特征：基本事件的无限性和每个事件发生的等可能性．求解此类问题时，常把概率问题等价转化为相应问题的测度比问题．常见的测度比有：长度之比、面积之比、体积之比等等，正确区分几何概型与古典概型是本章学习的一个难点．假设你家订了一份报纸，送报人可能在早上6：30至7：30之间把报纸送到你家，你父亲离开家去工作的时间在早上7：00至8：00之间，问你父亲在离开家前能得到报纸(称为事件A)的概率是多少？解：设事件A“父亲离开家前能得到报纸”．在平面直角坐标系内，以x和y分别表示报纸送到和父亲离开家的时间，则父亲能得到报纸的充要条件是x ≤y ，而(x ，y )的所有可能结果是边长为1的正方形，而能得到报纸的所有可能结果由右图中阴影部分表示，这是一个几何概型问题，μA ＝12－12×12×12＝78，μΩ＝1，所以P (A )＝μA μΩ＝78.专题四概率与统计的综合问题【例4】某企业有甲、乙两个研发小组，为了比较他们的研发水平，现随机抽取这两个小组往年研发新产品的结果如下：(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )其中a ，a 分别表示甲组研发成功和失败；b ，b 分别表示乙组研发成功和失败． (1)若某组成功研发一种新产品，则给该组记1分，否则记0分，试计算甲、乙两组研发新产品的成绩的平均数和方差，并比较甲、乙两组的研发水平；(2)若该企业安排甲、乙两组各自研发一种新产品，试估计恰有一组研发成功的概率．【思路探究】 (1)根据已知条件分别列出甲、乙两个小组的研发成绩，利用平均数、方差公式求解；(2)用古典概型概率公式求恰有一组研发成功的概率．【解答】 (1)甲组研发新产品的成绩为 1,1,1,0,0,1,1,1,0,1,0,1,1,0,1，其平均数为x 甲＝1015＝23；方差为s 2甲＝115[(1－23)2×10＋(0－23)2×5]＝29. 乙组研发新产品的成绩为1,0,1,1,0,1,1,0,1,0,0,1,0,1,1，其平均数为x 乙＝915＝35；方差为s 2乙＝115[(1－35)2×9＋(0－35)2×6]＝625. 因为x甲>x乙，s 2甲<s 2乙，所以甲组的研发水平优于乙组．(2)记E ＝{恰有一组研发成功}．在所抽得的15个结果中，恰有一组研发成功的结果是(a，b)，(a，b)，(a，b)，(a，b)，(a，b)，(a，b)，(a，b)，共7个．故事件E发生的频率为715，将频率视为概率，即得所求概率为P(E)＝715.【规律方法】概率与统计相结合，是新课标数学试题的一个亮点，其中所涉及的统计知识是基础知识，所涉及的概率是古典概型，虽然是综合题，但是难度不大．某班同学利用国庆节进行社会实践，对[25,55)岁的人群随机抽取n人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到如下统计表和各年龄段人数的频率分布直方图：组数分组低碳族的人数占本组的频率第一组[25,30)1200.6第二组[30,35)195p第三组[35,40)1000.5第四组[40,45) a 0.4第五组[45,50)300.3第六组[50,55)150.3(1)补全频率分布直方图并求n，a，p的值；(2)从年龄段在[40,50)的“低碳族”中采用分层抽样法抽取6人参加户外低碳体验活动，其中选取2人作为领队，求选取的2名领队中恰有1人年龄在[40,45)岁的概率．解：(1)第二组的频率为1－(0.04＋0.04＋0.03＋0.02＋0.01)×5＝0.3，所以高为0.35＝0.06，频率分布直方图如下：第一组的人数为1200.6＝200，频率为0.04×5＝0.2，所以n ＝2000.2＝1 000.由上面可知，第二组的频率为0.3，所以第二组的人数为1 000×0.3＝300，所以p ＝195300＝0.65.第四组的频率为0.03×5＝0.15，所以第四组的人数为 1 000×0.15＝150，所以a ＝150×0.4＝60.(2)因为[40,45)岁年龄段的“低碳族”与[45,50)岁年龄段的“低碳族”的比值为6030＝21，所以采用分层抽样法抽取6人，[40,45)岁中有4人，[45,50)岁中有2人．设[40,45)岁中的4人为a ，b ，c ，d ，[45,50)岁中的2人为m ，n ，则选取2人作为领队的选法有(a ，b )，(a ，c )，(a ，d )，(a ，m )，(a ，n )，(b ，c )，(b ，d )，(b ，m )，(b ，n )，(c ，d )，(c ，m )，(c ，n )，(d ，m )，(d ，n )，(m ，n )，共15种；其中恰有1人年龄在[40,45)岁的有(a ，m )，(a ，n )，(b ，m )，(b ，n )，(c ，m )，(c ，n )，(d ，m )，(d ，n )，共8种．所以选取的2名领队中恰有1人年龄在[40,45)岁的概率为815.专题五数形结合思想【例5】设点(p ，q )在|p |≤3，|q |≤3中按均匀分布出现，试求方程x 2＋2px －q 2＋1＝0的两根都是实数的概率．【思路探究】试验的全部结果构成的区域为正方形的面积，方程有两个实根构成的区域为圆的外部．【解答】基本事件总体的区域D 的度量为正方形面积，即D 的度量为S 正方形＝62＝36，由方程x 2＋2px －q 2＋1＝0的两根都是实数，得Δ＝(2p )2－4(－q 2＋1)≥0， ∴p 2＋q 2≥1.∴当点(p ，q )落在如图所示的阴影部分时，方程的两根均为实数，由图可知，构成的区域d 的度量为S 正方形－S 圆＝36－π，∴原方程的两根都是实数的概率为P ＝36－π36.【规律方法】数形结合的思想在求古典概型和几何概型的概率中有着广泛的应用．在古典概型中，基本事件的个数较多且不易列举时，借助于图形会比较直观计数．在几何概型中，把基本事件转化到与长度、面积、体积有关的图形中，结合图形求长度、面积、体积的比．三个人玩传球游戏，每个人都等可能地传给另两人(不自传)，若从A 发球算起，经4次传球又回到A 手中的概率是多少？解：记三人为A 、B 、C ，则4次传球的所有可能可用树状图方式列出，如下图：每一个分支为一种传球方案，则基本事件的总数为16，而又回到A 手中的事件个数为6个，根据古典概型概率公式得P ＝616＝38.。

北师版高中数学必修3专题

高中数学北师大版(必修3)专题五算法初步一、重难点知识归纳1、算法的基本概念（1）算法定义描述：一般地，对于一类有待求解的问题，如果建立了一套通用的解题方法，按部就班地实施这套方法就能使该类问题得以解决，那么这套解题方法是求解该类问题的一种算法．（2）算法的特性：①有穷性：一个算法的步骤序列是有限的，它应在有限步操作之后停止，而不能是无限的．②确定性：算法中的每一步应该是确定的并且能有效地执行且得到确定的结果，而不应当是模棱两可．③可行性：算法中的每一步操作都必须是可执行的，也就是说算法中的每一步都能通过手工和机器在有限时间内完成．④输入：一个算法中有零个或多个输入．⑤输出：一个算法中有一个或多个输出．2、三种基本逻辑结构（1）顺序结构：顺序结构是最简单的算法结构，语句与语句之间，框与框之间是按从上到下的顺序进行的，它是由若干个依次执行的处理步骤组成的，它是任何一个算法都离不开的一种基本算法结构．（2）选择结构：选择结构是指在算法中通过对条件的判断，根据条件是否成立而选择不同流向的算法结构．程序框图如下：（3）循环结构：在一些算法中，经常会出现从某处开始，按照一定条件，反复执行某一处理步骤的情况，这就是循环结构，反复执行的处理步骤为循环体，显然，循环结构中一定包含条件结构．程序框图如下：二、典型例题剖析例1、设计求|x－2|的算法，并画出程序框图．例2、设计算法求的值，要求画出程序框图．例3、有10个互不相等的数，写出找出其中一个最大数的算法和程序框图．例4、某电信部门规定：拨打市内电话时，如果通话时间不超过3分钟，则收取通话费0.2元，如果通话时间超过3分钟，则超过部分以每分钟0.1元收取通话费（通话不足1分钟时按1分钟计），试设计一个计算通话费用的算法．要求写出算法，画出程序框图．例1、解：算法如下：⑴若x<2，则|x－2|等于2－x，⑵若x≥2，则|x－2|等于x－2．其程序框图如图：例2、解：这是一个累加求和问题，共99项相加，可设计一个计数变量，一个累加变量，用循环结构实现这一算法．程序框图如下图所示：例3、解：(一)算法S1：输入一个数，放在MAX中 S2：i=1S3：输入第1个数，放入x中 S4：若x>MAX，则MAX=xS5: i=i＋1 S6：若i≤9，返回S3继续执行，否则停．(二)程序框图例4、解析：我们用c（单位：元）表示通话费，t（单位：分钟）表示通话时间，则依题意有算法步骤如下：第一步，输入通话时间t；第二步，如果t≤3，那么c=0.2；否则令c=0.2＋0.1 (t－3)；第三步，输出通话费用c．程序框图如图所示：算法初步检测一、选择题1、算法共有三种逻辑结构，即顺序结构，选择结构和循环结构，下列说法正确的是（）A．一个算法只能含有一种逻辑结构B．一个算法最多可以包含两种逻辑结构C．一个算法必须含有上述三种逻辑结构D．一个算法可以含有上述三种逻辑结构的任意组合2、将两个数a=8，b=17交换，使a=17，b=8,下面语句正确一组是（）A．B．C．D．3、下面为一个求20个数的平均数的程序,在横线上应填充的语句为（）A．20B．20 C．i>=20D．i<=204、下面程序运行的结果是（）A．1，2，3B．2，3，1 C．2，3，2D．3，2，1 5、下列给出的赋值语句中正确的是（）A．3=A B．M=－M C．B=A=2D．x＋y=0 6、372和684的最大公因数是（）A．36B．12 C．186D．5897、用二分法求方程x2－2=0的近似根的算法中要用哪种算法结构（）A．顺序结构B．选择结构C．循环结构D．以上都用8、对赋值语句的描述正确的是（）①可以给变量提供初值②将表达式的值赋给变量③可以给一个变量重复赋值④不能给同一变量重复赋值A．①②③B．①②C．②③④D．①②④9、给出以下四个问题：①输入一个数x，输出它的相反数；②求面积为6的正方形的周长；③求三个数a，b，c中的最大数；④求函数的函数值．其中不需要用条件语句来描述其算法的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个10、用冒泡法对一组数: 37，21，3，56，9，7进行排序时，经过多少趟排序后，得到一组数:3，9，7，21，37，56（）A．2B．3 C．4D．5二、解答题11、给定一个年份，写出该年是不是闰年的算法和程序框图．12、意大利数学家菲波拉契，在1202年出版的一书里提出了这样的一个问题:一对兔子饲养到第二个月进入成年，第三个月生一对小兔，以后每个月生一对小兔，所生小兔能全部存活并且也是第二个月成年，第三个月生一对小兔，以后每月生一对小兔．问这样下去到年底应有多少对兔子? 试画出解决此问题的程序框图.答案及提示：1-10 DBACB BDAAB11、解析：算法如下：S1：输入一个年份xS2：若z能被100整除，则执行S3否则执行 S4S3：若x能被400整除，则x为闰年，否则x不为闰年S4：若x能被4整除，则x为闰年，否则x不为闰年程序框图如下：12、分析：根据题意可知,第一个月有1对小兔，第二个月有1对成年兔子，第三个月有两对兔子，从第三个月开始，每个月的兔子对数是前面两个月兔子对数的和，设第N 个月有两F对兔子，第N－1个月有S对兔子，第N－2个月有Q对兔子，则有F=S＋Q,一个月后，即第N＋1个月时，式中变量S的新值应变第N个月兔子的对数(F的旧值)，变量Q的新值应变为第N－1个月兔子的对数(S的旧值)，这样，用S＋Q求出变量F的新值就是N＋1个月兔子的数，依此类推，可以得到一个数序列，数序列的第12项就是年底应有兔子对数，我们可以先确定前两个月的兔子对数均为1，以此为基准，构造一个循环程序，让表示“第×个月的I从3逐次增加1，一直变化到12，最后一次循环得到的F”就是所求结果. 流程图如下:友情提示：部分文档来自网络整理，供您参考！文档可复制、编辑，期待您的好评与关注！。

高中数学必修三教案

高中数学必修三教案一、教学目标1、知识与技能目标学生能够理解算法的概念、特征和基本逻辑结构。

掌握程序框图的三种基本逻辑结构：顺序结构、条件结构和循环结构，并能绘制简单的程序框图。

学会用算法语句描述算法，能初步编写简单的程序。

2、过程与方法目标通过实际问题的解决，让学生经历算法设计的全过程，培养学生的逻辑思维能力和创新能力。

通过小组合作学习，培养学生的合作交流能力和团队精神。

3、情感态度与价值观目标让学生体会算法在解决实际问题中的重要作用，激发学生学习数学的兴趣。

培养学生严谨的思维习惯和勇于探索的精神。

二、教学重难点1、教学重点算法的概念、程序框图的三种基本逻辑结构。

用算法语句描述算法，编写简单的程序。

2、教学难点理解循环结构的程序框图。

算法语句的正确使用。

三、教学方法讲授法、演示法、讨论法、实践法四、教学过程1、导入新课通过一个简单的实际问题引入算法的概念，例如：如何计算1+2+3+＋100 的和？引导学生思考解决这个问题的步骤，从而引出算法的概念。

2、讲授新课（1）算法的概念讲解算法的定义：算法是指按照一定规则解决某一类问题的明确和有限的步骤。

强调算法的特征：确定性、有限性、可行性、有输入和输出。

（2）程序框图介绍程序框图的基本图形符号及其功能，如起止框、输入输出框、处理框、判断框等。

重点讲解顺序结构、条件结构和循环结构的程序框图，并通过实例进行演示。

顺序结构：按照从上到下的顺序依次执行步骤。

条件结构：根据条件的成立与否，选择不同的执行路径。

循环结构：在一定条件下，反复执行某些步骤。

（3）算法语句介绍算法语句的种类，如输入输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句等。

通过实例讲解算法语句的用法，并让学生进行模仿练习。

3、课堂练习让学生完成一些简单的算法设计和程序编写的练习，如计算两个数的平均值、判断一个数是否为质数等。

教师巡视并给予指导，及时纠正学生的错误。

4、小组讨论组织学生进行小组讨论，让学生交流自己在算法设计和程序编写过程中遇到的问题和解决方法。

高中数学北师大版必修3教学案：第一章 §5 5.1 - 5.2 估计总体的分布估计总体的数字特征 Word版含解析

用样本估计总体5．1 & 5.2 估计总体的分布估计总体的数字特征预习课本P32～39，思考并完成以下问题 (1)频率分布直方图纵轴的含义是什么？(2)频率分布直方图的制作步骤是什么？(3)如何画频率分布折线图？[新知初探]1．频率分布直方图在频率分布直方图中，每个小矩形的宽度为Δx i (分组的宽度)，高为f iΔx i，小矩形的面积恰为相应的频率f i ，图中所有小矩形的面积之和等于1.2．作频率分布直方图的步骤(1)求极差．即一组数中最大值和最小值的差．(2)决定组距与组数．将数据分组时，组数应力求合适，以使数据的分布规律能较清楚地呈现出来．(3)将数据分组．(4)列频率分布表，各小组的频率＝小组频数样本容量.(5)画频率分布直方图．[点睛] (1)一般地，样本容量越大，所分组数越多，为方便起见，组距的选择力求“取整”，当样本容量不超过120时，按照数据的多少，通常分成5～12组．(2)画频率分布直方图时，同一组数据，分组时组距要相等，每个矩形的高与频率成正比，这点应特别注意．3．频率分布折线图在频率分布直方图中，按照分组原则，再在左边和右边各加一个区间，从所加的左边区间的中点开始，用线段依次连接各个矩形的顶端中点，直至右边所加区间的中点，就可以得到一条折线，我们称之为频率折线图．随着样本量的增大，所划分的区间数也可以随之增多，而每个区间的长度则会相应随之减小，相应的频率折线图就会越接近于一条光滑曲线．[小试身手]1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)频率分布直方图中每个小矩形的面积等于相应组的频数．( ) (2)频率分布直方图的面积为样本的频数．( )(3)频率分布直方图中各小矩形的高(平行于纵轴的边)表示频率与组距的比．( ) (4)从频率分布直方图中可以清楚地看出数据的内容．( ) 答案：(1)× (2)× (3)√ (4)×2．一个容量为80的样本最大值是140，最小值是51，组距为10，则可以分成( ) A ．10组 B ．9组 C ．8组D ．7组解析：选B 组数＝极差/组距，本题中的极差＝140－51＝89，所以组数为8.9≈9. 3．在抽查产品的尺寸过程中，将其尺寸分成若干组，[a ，b )是其中的一组，抽查出的个体在该组上的频率为m ，该组上的直方图的高为h ，则|a －b |＝( )A ．hm B.m h C.h mD ．h ＋m解析：选B 频率组距＝h ，故|a －b |＝组距＝频率h ＝mh .4．一个容量为n 的样本，分成若干组，已知某组的频数和频率分别为50和0.25，则n ＝________.解析：由题意得50n ＝0.25，所以n ＝200.答案：200[典例] 得到如下数据(单位：cm)：135 98 102 110 99 121 110 96 100 103 125971171131109210210910411210912487131971021231041041281051231111031059211410810410212912697100115111106117104109111891101218012012110410811812999909912112310711191100991011169710210810195107101102108117991181061199712610812311998121101113102103104108(1)列出频率分布表；(2)画出频率分布直方图及频率折线图；(3)估计该片经济林中底部周长小于100 cm的树占多少，底部周长不小于120 cm的树占多少．[解](1)这组数据的最大的数为135，最小的数为80，最大的数与最小的数的差为55，可将该组数据分为11组，组距为5.频率分布表如下：(2)频率分布直方图和频率折线图如下图所示．(3)从频率分布表得，样本中底部周长小于100 cm 的频率为0.01＋0.02＋0.04＋0.14＝0.21，样本中底部周长不小于120 cm 的频率为0.11＋0.06＋0.02＝0.19.所以估计该片经济林中底部周长小于100 cm 的树占21%，底部周长不小于120 cm 的树占19%.(1)分点的决定方法：若数据为整数，则减去0.5作为分点数；若数据是小数点后一位的数，则减去0.05作为分点数；依次类推．(2)画频率分布直方图中小矩形的高的方法：①小矩形的高＝频率组距；②假设频数为1的小矩形的高为h ，则频数为k 的小矩形的高为kh .[活学活用]为了了解九年级学生中女生的身高(单位：cm)情况，某中学对九年级女生身高进行了一次测量，所得数据整理后列出的频率分布表如下：组别频数频率 145.5～149.5 1 0.02 149.5～153.5 4 0.08 153.5～157.5 20 0.40 157.5～161.5 15 0.30 161.5～165.5 8 0.16 165.5～169.5m n 合计MN(1)(2)画出频率分布直方图；(3)全体女生中身高在哪组范围内的人数最多？估计九年级学生中女生的身高在161.5 cm 以上的频率．解：(1)法一：N ＝1，n ＝1－(0.02＋0.08＋0.40＋0.30＋0.16)＝0.04，8m ＝0.160.04，∴m ＝2，M ＝1＋4＋20＋15＋8＋2＝50.法二：M ＝10.02＝50，m ＝50－(1＋4＋20＋15＋8)＝2，N ＝1，n ＝m M ＝250＝0.04.(2)作出直角坐标系，组距为4，纵轴表示f iΔx i，横轴表示身高，画出频率分布直方图如图所示．(3)由频率分布直方图可知：样本中在153.5～157.5范围内的人数最多，且身高在161.5 cm 以上的频率为0.16＋0.04＝0.2，由此可估计全体女生中身高在153.5～157.5范围内的人数最多，九年级学生中女生的身高在161.5 cm 以上的频率估计为0.2.[典例] 将所得数据整理后，画出频率分布直方图(如图所示)，图中从左到右各小长方形面积之比为2∶4∶17∶15∶9∶3，第二小组频数为12.(1)第二小组的频率是多少？样本容量是多少？(2)若次数在110以上(含110次)为达标，试估计该校全体高一学生的达标率是多少？ [解] (1)由于频率分布直方图以面积的形式反映了数据落在各个小组内的频率大小，因此第二小组的频率为42＋4＋17＋15＋9＋3＝0.08.又因为第二小组频率＝第二小组频数样本容量，所以样本容量＝第二小组频数第二小组频率＝120.08＝150.(2)由图可估计该校高一学生的达标率约为 17＋15＋9＋32＋4＋17＋15＋9＋3×100%＝88%.频率分布直方图中的性质(1)图中每个小矩形的面积表示相应各组的频率，即小矩形的面积＝组距×频率组距＝频率．(2)在频率分布直方图中，各小矩形的面积的总和等于1.(3)频数样本容量＝频率，此关系式的变形为频数频率＝样本容量，样本容量×频率＝频数． (4)频率分布直方图中，各小矩形的面积之比等于频率之比，各小矩形的高度之比也等于频率之比．[活学活用]1．有一个容量为200的样本，其频率分布直方图如图所示．根据样本的频率分布直方图，估计样本数据落在区间[10,12)内的频数为( )A ．18B ．36C ．54D ．72解析：选B 样本数据落在区间[10,12)内的频率为1－(0.02×2＋0.05×2＋0.15×2＋0.19×2)＝0.18，所以样本数据落在区间[10,12)内的频数为0.18×200＝36.2．为提高全省高中教师的新课程实施能力，全面推进素质教育，山东省对全省高中教师进行了全员网络远程培训．培训结束后，某市为了解参训教师的成绩情况，从本市参加培训的5 000名教师中随机抽取了100名，对他们的成绩(单位：分)进行统计分析，并画出了成绩的频率分布直方图如下．根据频率分布直方图，完成下面问题：(1)这100名教师培训成绩的中位数应在哪个小组？请说明理由；(2)如果成绩在300分以上(含300分)者为优秀学员，估计该市优秀学员的人数．解：(1)100个数据的中位数是第50和第51两个数据的平均数，前两个小组的频率和为0.002×100×2＝0.4，其频数为0.4×100＝40<50，故中位数不在前两个小组；前三个小组的频率之和为(0.002＋0.002＋0.004)×100＝0.8，频数之和为0.8×100＝80>50，故中位数应在第三小组．(2)由频率分布直方图可知，优秀学员的频率为(0.001＋0.001)×100＝0.2，所以估计该市优秀学员的人数为5 000×0.2＝1 000(人).[典例] 质量检验员从两台机床的产品中各抽出4件进行测量，结果如下：如果你是质量检验员，在收集到上述数据后，你将通过怎样的运算来判断哪台机床生产的零件质量更符合要求？[解] (1)先计算平均直径： x 甲＝14×(10＋9.8＋10＋10.2)＝10， x乙＝14×(10.1＋10＋9.9＋10)＝10. 由于x 甲＝x 乙，因此仅由平均直径不能反映两台机床生产的零件的质量优劣．(2)再计算方差：s 2甲＝14×[(10－10)2＋(9.8－10)2＋(10－10)2＋(10.2－10)2]＝0.02， s 2乙＝14×[(10.1－10)2＋(10－10)2＋(9.9－10)2＋(10－10)2]＝0.005.s2甲>s2乙，这说明乙机床生产出的零件直径波动小，因此从产品质量稳定性的角度考虑，乙机床生产的零件质量更符合要求．样本的平均数和方差是两个重要的数字特征．在应用平均数和方差解决实际问题时，若平均数不同，则直接应用平均数比较优劣，若平均数相同，则要由方差研究其与平均数的偏离程度．[活学活用]为了保护学生的视力，教室内的日光灯在使用一段时间后必须更换，已知某校使用的100支日光灯在必须换掉前的使用天数如下表：天数151～180 181～210211～240241～270271～300301～330331～360361～390日光灯数111182025167 2(2)若定期更换，可选择多长时间统一更换合适？解：(1)各组的平均值分别为165.5,195.5,225.5,255.5,285.5,315.5,345.5,375.5，由此可估计这种日光灯的平均使用寿命为165.5×1%＋195.5×11%＋225.5×18%＋255.5×20%＋285.5×25%＋315.5×16%＋345.5×7%＋375.5×2%＝268.4(天)．(2)s2＝1100[1×(165.5－268.4)2＋11×(195.5－268.4)2＋18×(225.5－268.4)2＋20×(255.5－268.4)2＋25×(285.5－268.4)2＋16×(315.5－268.4)2＋7×(345.5－268.4)2＋2×(375.5－268.4)2]＝2 128.59，故标准差s＝ 2 128.59≈46(天)．由上可知这种日光灯的平均使用寿命为268.4天，标准差约为46天，故可在222天到314天内统一更换较合适．[层级一学业水平达标]1．从一堆苹果中任取10个，称得它们的质量如下(单位：克)：12512012210513011411695120134则样本数据落在[114.5,124.5)内的频率为()A．0.2B．0.3C．0.4 D．0.5解析：选C依题意，样本数据落在[114.5,124.5)内的频数为4，故对应频率为4÷10＝0.4.2．下列说法中错误的是()①用样本的频率分布估计总体频率分布时，样本容量越大，所分的组数越多，估计越精确；②一个容量为n的样本，分成若干组，已知某组的频数和频率分别是40,0.125，则n 的值为240；③频率分布直方图中，小矩形的高等于该组的频率；④将频率分布直方图中小矩形上面一边的一个端点顺次连接起来，就可以得到频率折线图．A．①③B．②③④C．②③④D．①②③④解析：选C大样本往往更接近于总体，所以①正确；②中n＝40÷0.125＝320；③中频率分布直方图中，小矩形的高等于该小组的频率/组距；④中应将频率分布直方图中各小矩形上端的中点顺次连接起来得到频率折线图．3．在样本频率分布直方图中，某个小矩形的面积是其他小矩形面积之和的14，已知样本容量是80，则该组的频数为()A．20 B．16C．30 D．35解析：选B设该组的频数为x，则其他组的频数之和为4x，由样本容量是80，得x ＋4x＝80，解得x＝16，即该组的频数为16.4．某校为了解高一学生寒假期间的阅读情况，抽查并统计了100名同学的某一周阅读时间，绘制了频率分布直方图(如图所示)，那么这100名学生中阅读时间在[4,8)小时内的人数为________．解析：根据频率分布直方图，可得阅读时间在[4,8)小时内的频率为(0.12＋0.15)×2＝0.54，所以这100名学生中阅读时间在[4,8)小时内的人数为100×0.54＝54.答案：54[层级二应试能力达标]1．已知样本：10,8,6,10,13,8,10,12,11,7,8,9,11,9,12,9,10,11,12,11，那么频率为0.4的范围是( )A ．5.5～7.5B ．7.5～9.5C ．9.5～11.5D ．11.5～13.5解析：选C 只要列出频率分布表，依次对照就可以找出答案．频率分布表如下：2．对某种电子元件使用寿命跟踪调查得如图所示的样本频率分布直方图，由图可知一批电子元件中寿命在100～300小时的电子元件的数量与寿命在300～600小时的电子元件的数量比是( )A.12B.13C.14D.16解析：选C 因为“频率之比＝数量之比”，所以所求为⎝⎛⎭⎫12 000＋32 000∶⎝⎛⎭⎫1400＋1250＋32 000＝1∶4，故选C.3．样本容量为100的频率分布直方图如图所示．根据样本的频率分布直方图估计，样本数据落在[6,10)内的频数为a，样本数据落在[2,10)内的频率为b，则a，b分别是()A．32,0.4 B．8,0.1C．32,0.1 D．8,0.4解析：选A样本数据落在[6,10)内的频率为0.08×4＝0.32，则a＝100×0.32＝32；由于样本数据落在[2,6)内的频率为0.02×4＝0.08，则样本数据落在[2,10)内的频率b＝0.08＋0.32＝0.4.4．某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩分成6组：[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．已知高一年级共有学生600名，据此估计，该模块测试成绩不少于60分的学生人数为()A．588 B．480C．450 D．120解析：选B成绩在[40,60)的频率p1＝(0.005＋0.015)×10＝0.2，成绩不少于60分的频率p2＝1－0.2＝0.8，所以成绩不少于60分的学生人数约为600×0.8＝480.5．《中华人民共和国道路交通安全法》规定；车辆驾驶员血液酒精浓度在20～80 mg/100 mL(不含80)之间，属于酒后驾车；血液酒精浓度在80 mg/100 mL(含80)以上时，属醉酒驾车．据《法制晚报》报道，某年2月15日至2月28日，全国查处酒后驾车和醉酒驾车共28 800人，如图是对这28 800人酒后驾车血液中酒精含量进行检测所得结果的频率分布直方图，则属于醉酒驾车的人数约为________．解析：(0.01×10＋0.005×10)×28 800＝4 320.答案：4 3206．下图是根据部分城市某年6月份的平均气温(单位：℃)数据得到的样本频率分布直方图，其中平均气温的范围是[20.5,26.5]，样本数据的分组为[20.5,21.5)，[21.5，22.5)，[22.5,23.5)，[23.5,24.5)，[24.5,25.5)，[25.5，26.5]．已知样本中平均气温低于22.5 ℃的城市个数为11，则样本中平均气温不低于25.5 ℃的城市个数为________．解析：最左边两个小矩形的面积之和为0.10×1＋0.12×1＝0.22，城市总数为11÷0.22＝50，最右边小矩形的面积为0.18×1＝0.18，故样本中平均气温不低于25.5 ℃的城市个数为50×0.18＝9.答案：97．从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高(单位：厘米)数据绘制成频率分布直方图(如图所示)，由图中数据可知a＝________.若要从身高在[120,130)，[130,140)，[140,150]三组内的学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在[140,150]内的学生中选取的人数应为________．解析：因为频率分布直方图中的各个小矩形的面积之和为1，所以有10×(0.005＋0.035＋a＋0.020＋0.010)＝1，解得a＝0.030.由频率分布直方图可知在[120,130)，[130,140)，[140,150]三组内的学生总数为100×10×(0.030＋0.020＋0.010)＝60，其中身高在[140,150]内的学生人数为100×10×0.010＝10，所以从身高在[140,150]内抽取的学生人数为1860×10＝3.答案：38.在学校开展的综合实践活动中，某班进行了小制作评比，作品上交时间为5月1日至30日，评委会把同学们上交作品的件数按5天一组分组统计，绘制了频率分布直方图(如图所示)．已知从左到右各长方形的高的比为2∶3∶4∶6∶4∶1，第三组的频数为12，请解答下列问题：(1)本次活动共有多少件作品参加评比？ (2)哪组上交的作品数最多？有多少件？(3)经过评比，第四组和第六组分别有10件、2件作品获奖，问这两组哪组获奖率较高？解：(1)依题意知第三组的频率为 42＋3＋4＋6＋4＋1＝15.又∵第三组频数为12， ∴本次活动的参评作品数为1215＝60件． (2)由频率分布直方图，可以看出第四组上交的作品数量最多，共有60×62＋3＋4＋6＋4＋1＝18件．(3)第四组获奖率是1018＝59.第六组上交的作品数为60×12＋3＋4＋6＋4＋1＝3件．∴第六组的获奖率为23，显然第六组的获奖率较高．9．为增强市民节能环保意识，某市向全市征召义务宣传志愿者，现从符合条件的500名志愿者中随机抽取100名志愿者，他们的年龄情况如下表所示：(1)(2)补全频率分布直方图，再根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在[30,35)的人数．解：(1)设年龄在[25,30)内的频数为x ，年龄在[30,35)的频率为y ，法一：根据题意可得x 100＝0.20，35100＝y ，解得x ＝20，y ＝0.35.法二：由题意得5＋x ＋35＋30＋10＝100， 0．05＋0.20＋y ＋0.30＋0.10＝1，得x ＝20，y ＝0.35.故①②位置应分别填20,0.35.(2)由频率分布表知年龄在[25,30)内的频率是0.20，组距是5，所以频率组距＝0.205＝0.04.补全频率分布直方图，如下图所示：根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在[30,35)的人数为500×0.35＝175.。

高中数学北师大版必修三1.5.2【教学课件】《估计总体的数字特征》

思考2：在频率分布直方图中怎样估计众数？众数是最高矩形的中点的横坐标。思考3：在频率分布直方图中怎样估计平均数？
平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积与小矩形底边中点的横坐标之积的总和。
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思考4：样本平均数和方差、标准差描述了样本数据的什么特征？
样本平均数是刻画一组数据集中趋势最常用的统计量，描述了样本数
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【解】 (1)依题意知，第三组的频率为
4 234641
＝0.2，
又因为第三组的频数为12，故本次活动的参评作品有12
0.2 ＝60(件)
(2)根据频率分布直方图，可以看出第四组上交的作品数量最多，共有60×
6 ＝18(件) 23 4 6 4 1
则有 n x ＝x1＋x2＋…＋xn . 设样本的元素为 x1，x2，…，xn，样本的平均数为 x ，则样本的方差
s2＝
1 2 2 2 [( x 1－ x ) ＋(x2－ x ) ＋…＋(xn－ x ) ] . n
样本方差的算术平方根即为样本的标准差，即 s＝
1 2 2 2 x － x ＋x － x ＋…＋x － x 1 2 n . n
[121,123)
[123,125) [125,127) [127,129) [129,131] 合计
2
3 8 4 3 20
0.1
0.15 0.4 0.2 0.15 1.0
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在[125,127)中的数据最多，取这个区间的中点值作为众数的近似值，得众数126，
事实上，众数的精确值为125；图中虚线对应的数据是125＋2×＝126.25，事实

高中数学北师大版必修三+1.5+用样本估计总体+教案2+

1.5 用样本估计总体教学目标1、知识与技能（1）理解样本标准差的意义和作用，学会计算数据的标准差。

（2）能根据实际问题的需要合理地选取样本，从样本数据中提取基本的数字特征（平均数、标准差），并作合理的解释。

2、过程与方法在解决统计问题的过程中，进一步体会用样本估计总体的思想，理解数形结合的数学思想和逻辑推理的数学思想方法。

3、情感态度价值观通过对样本分析和总体估计的过程，感受数学对实际生活的需要，认识到数学知识源于生活并指导生活的事实，体会数学知识与现实世界的联系。

教学重点、难点教学重点：利用样本估计总体的数字特征。

教学难点: 样本标准差的计算。

教学过程：统计的基本思想就是用样本估计总体，如何能更合理、更直观，这里有两种估计手段：用样本的频率分布估计总体的分布用样本的数字特征（平均数、标准差等）估计总体的数字特征。

下面我们先来看第一种：（一）课题引入1895年，在英国伦敦有106块男性头盖骨被挖掘出土。

经考证，头盖骨的主人死于1665~1666年之间的大瘟疫。

人类学家分别测量了这些头盖骨的宽度，数据如下所示（单位mm）：146 141 139 140 145 141 142 131 142 140 144 140 138 139 147 139 141 137 141 132 140 140 141 143 134 146 134 142 133 149 140 140 143 143 149 136 141 143 143 141 138 136 138 144 136 145 143 137 142 146 140 148 140 140 139 139 144 138 146 153 148 152 143 140 141 145 148 139 136 141 140 139 158 135 132 148 142 145 145 121 129 143 148 138 149 146 141 142 144 137 153 148 144 138 150 148 138 145 145 142 143 143 148 141 145 141请大家思考：用什么统计图可以直观表示上述数据的分布状况？你能根据上述估计在1665~1666年之间英国男性头盖骨宽度的分布情况吗？（二）探求新知问题1、我们学习了哪些统计图？不同的统计图适合描述什么样的数据？问题2、这道题目，我们用什么统计图描述比较合适？问题3、如何画频数分布条形图？关键：确定组距和组数组距：把所有数据等距离地分成若干组，每个小组的两个端点之间的距离（组内数据的取值范围）纵坐标表示频数，横坐标表示组距问题4、你能不能画出给定数据的频率分布直方图？基本步骤是什么？1、计算最大值和最小值的差；2、决定组距和组数，通常第一组起点稍微减小一点；组距：把所有数据等距离地分成若干组，每个小组的两个端点之间的距离（组内数据的取值范围）3、列频率分布表对落在各个小组内的数据进行累计，得到各个小组内的数据的个数（叫做频数），再计算出每一组出现的频率，整理可得频率分布表；4、画频率分布直方图纵坐标表示频率与组距的比值，小长方形的面积=组距×=频率。

高中数学第一章统计 1.5.2 估计总体的数字特征教案北师大版必修3-北师大版高中必修3数学教

5．2 估计总体的数字特征整体设计教学分析教科书通过现实生活中的例子，引导学生认识到：只描述平均位置的特征是不够的，还需要描述样本数据离散程度的特征．通过对如何描述数据离散程度的探索，使学生体验创造性思维的过程．三维目标1．正确理解样本数据标准差的意义和作用，学会计算数据的标准差；能根据实际问题的需要合理地选取样本，从样本数据中提取基本的数字特征(如平均数、标准差)，并作出合理的解释；会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征，形成对数据处理过程进行初步评价的意识．2．在解决统计问题的过程中，进一步体会用样本估计总体的思想，理解数形结合的数学思想和逻辑推理的数学方法；会用随机抽样的方法和样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题，认识统计的作用，能够辩证地理解数学知识与现实世界的联系．重点难点教学重点：根据实际问题从样本数据中提取基本的数字特征并作出合理解释，估计总体的基本数字特征；体会样本数字特征具有随机性．教学难点：用样本平均数和标准差估计总体的平均数与标准差；能应用相关知识解决简单的实际问题．课时安排1课时教学过程导入新课思路 1.平均数为我们提供了样本数据的重要信息，但是，有时平均数也会使我们作出对总体的片面判断．如某地区的统计显示，该地区的中学生的平均身高为176 cm，给我们的印象是该地区的中学生生长发育好，身高较高．但是，假如这个平均数是从50万名中学生中抽出的50名身高较高的学生计算出来的话，那么，这个平均数就不能代表该地区所有中学生的身体素质．因此，只有平均数难以概括样本数据的实际状态，于是我们学习从另外的角度来考察样本数据的统计量——标准差．(教师板书课题)思路2.在一次射击选拔比赛中，甲、乙两名运动员各射击10次，命中环数如下：甲运动员：7,8,6,8,6,5,9,10,7,4；乙运动员：9,5,7,8,7,6,8,6,7,7.我们不难求得，x甲＝7，x乙＝7，两个人射击的平均成绩是一样的，那么，是否两个人就没有水平差距呢？图1从图1直观上看，还是有差异的．很明显，甲的成绩比较分散，乙的成绩相对集中，因此这节课我们从另外的角度来考察这两组数据，引入课题：标准差．推进新课新知探究提出问题1．如何通过频率分布直方图估计数字特征(中位数、众数、平均数)?2．有甲、乙两种钢筋，现从中各抽取一个样本(如下表)检查它们的抗拉强度(单位：23．某种子公司为了在当地推行两种新水稻品种，对甲、乙两种水稻进行了连续7年的种植对比实验，年亩产量分别如下(单位：千克)：甲： 600, 880, 880, 620, 960, 570, 900(平均773)；乙： 800, 860, 850, 750, 750, 800, 700(平均787)．请你用所学统计学的知识，说明选择哪种品种推广更好？4．全面建设小康社会是我们党和政府的工作重心，某市按当地物价水平计算，人均年收入达到1.5万元的家庭即达到小康生活水平．民政局对该市100户家庭进行调查统计，它们的人均收入达到了1.6万元，民政局即宣布该市市民生活水平已达到小康水平，你认为这样的结论是否符合实际？5．如何考查样本数据的离散程度的大小呢？把数据在坐标系中刻画出来，是否能直观地判断数据的离散程度？讨论结果：1．利用频率分布直方图估计众数、中位数、平均数：估计众数：频率分布直方图面积最大的方条的横轴中点数字(最高矩形的中点)．估计中位数：中位数把频率分布直方图分成左右两边面积相等．估计平均数：频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和．2.图2由图2可以看出，乙样本的最小值100低于甲样本的最小值110，乙样本的最大值145高于甲样本的最大值135，这说明乙种钢筋没有甲种钢筋的抗拉强度稳定．我们把一组数据的最大值与最小值的差称为极差(range)．由上图可以看出，乙的极差较大，数据点较分散；甲的极差较小，数据点较集中，这说明甲比乙稳定．运用极差对两组数据进行比较，操作简单方便，但如果两组数据的集中程度差异不大时，就不容易得出结论了．3．选择的依据应该是，产量高且稳产的品种，所以选择乙更为合理．4．不符合实际．原因是样本太小，没有代表性．在统计学里，对统计数据的分析，需要结合实际，侧重于考察总体的相关数据特征．比如，市民平均收入问题，都是考察数据的离散程度．5．把问题3中的数据在坐标系中刻画出来．我们可以很直观地知道，乙组数据比甲组数据更集中在平均数的附近，即乙的离散程度小，如何用数字去刻画这种离散程度呢？考察样本数据的离散程度的大小，最常用的统计量是方差和标准差．标准差：标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用s表示．所谓“平均距离〞，其含义可作如下理解：假设样本数据是x1，x2，…，x n，x表示这组数据的平均数．x i到x的距离是|x i－x|(i＝1,2，…，n)．于是，样本数据x1，x2，…，x n到x的“平均距离〞是s ＝|x 1－x |＋|x 2－x |＋…＋|x n －x |n. 由于上式含有绝对值，运算不太方便，因此，通常改用如下公式来计算标准差：s ＝1n [x 1－x 2＋x 2－x 2＋…＋x n －x 2]. 意义：标准差用来表示数据的稳定性，标准差越大，数据的离散程度就越大，也就越不稳定；标准差越小，数据的离散程度就越小，也就越稳定．从标准差的定义可以看出，标准差s ≥0，当s ＝0时，意味着所有的样本数据都等于样本平均数．标准差还可以用于对样本数据的另外一种解释．例如，在关于居民月均用水量的例子中，平均数x ＝1.973，标准差s ＝0.868，所以 x ＋s ＝2.841，x ＋2s ＝3.709； x －s ＝1.105，x －2s ＝0.237.这100个数据中，在区间[x －2s ，x ＋2s ]＝[0.237,3.709]外的只有4个，也就是说，[x －2s ，x ＋2s ]几乎包含了所有样本数据．从数学的角度考虑，人们有时用标准差的平方s 2——方差来代替标准差，作为测量样本数据离散程度的工具，其中s 2＝1n[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]．显然，在刻画样本数据的离散程度上，方差与标准差是一样的．但在解决实际问题时，一般多采用标准差．需要指出的是，现实中的总体所包含的个体数往往是很多的，总体的平均数与标准差是不知道的．如何求得总体的平均数和标准差呢？通常的做法是用样本的平均数和标准差去估计总体的平均数与标准差．这与前面用样本的频率分布来近似地代替总体分布是类似的．只要样本的代表性好，这样做就是合理的，也是可以接受的.两者都是描述一组数据围绕平均数波动的大小，现实中应用比较广泛的是标准差．应用示例思路11画出以下四组样本数据的条形图，说明它们的异同点．(1)5,5,5,5,5,5,5,5,5；(2)4,4,4,5,5,5,6,6,6；(3)3,3,4,4,5,6,6,7,7；(4)2,2,2,2,5,8,8,8,8.分析：先画出数据的条形图，根据样本数据算出样本数据的平均数，利用标准差的计算公式即可算出每一组数据的标准差．解：四组样本数据的条形图如图3：图3四组数据的平均数都是5.0，标准差分别是：0.00,0.82,1.49,2.83.它们有相同的平均数，但它们有不同的标准差，说明数据的离散程度是不一样的．例2 甲、乙两人同时生产内径为25.40 mm的一种零件．为了对两人的生产质量进行评比，从他们生产的零件中各抽出20件，量得其内径尺寸如下(单位：mm)：甲25．46 25.32 25.45 25.39 25.3625．34 25.42 25.45 25.38 25.4225．39 25.43 25.39 25.40 25.4425．40 25.42 25.35 25.41 25.39乙25．40 25.43 25.44 25.48 25.4825．47 25.49 25.49 25.36 25.3425．33 25.43 25.43 25.32 25.4725．31 25.32 25.32 25.32 25.48从生产的零件内径的尺寸看，谁生产的质量较高？分析：每一个工人生产的所有零件的内径尺寸组成一个总体．由于零件的生产标准已经给出(内径25.40 mm)，生产质量可以从总体的平均数与标准差两个角度来衡量．总体的平均数与内径标准尺寸25.40 mm的差异大时质量低，差异小时质量高；当总体的平均数与标准尺寸很接近时，总体的标准差小的时候质量高，标准差大的时候质量低．这样，比较两人的生产质量，只要比较他们所生产的零件内径尺寸所组成的两个总体的平均数与标准差的大小即可．但是，这两个总体的平均数与标准差都是不知道的，根据用样本估计总体的思想，我们可以通过抽样分别获得相应的样本数据，然后比较这两个样本的平均数、标准差，以此作为两个总体之间差异的估计值．解：用计算器计算可得x甲≈25.401，x乙≈25.406；s甲≈0.037，s乙≈0.068.从样本平均数看，甲生产的零件内径比乙的更接近内径标准(25.40 mm)，但是差异很小；从样本标准差看，由于s甲<s乙，因此甲生产的零件内径比乙的稳定程度高得多．于是，可以作出判断，甲生产的零件的质量比乙的高一些．点评：从上述例子我们可以看到，对一名工人生产的零件内径(总体)的质量判断，与所抽取的零件内径(样本数据)直接相关．显然，我们可以从这名工人生产的零件中获取许多样本．这样，尽管总体是同一个，但由于样本不同，相应的样本频率分布与平均数、标准差等都会发生改变，这就会影响到我们对总体情况的估计．如果样本的代表性差，那么对总体所作出的估计就会产生偏差；样本没有代表性时，对总体作出错误估计的可能性就非常大．这也正是我们在前面讲随机抽样时反复强调样本代表性的理由．在实际操作中，为了减少错误的发生，条件许可时，通常采取适当增加样本容量的方法．当然，关键还是要改进抽样方法，提高样本的代表性.变式训练某地区全体九年级的3 000名学生参加了一次科学测试，为了估计学生的成绩，从不同学校的不同程度的学生中抽取了100名学生的成绩如下：100分12人，90分30人，80分18人，70分24人，60分12人，50分4人．请根据以上数据估计该地区3 000名学生的平均分、合格率(60或60分以上均属合格)．解：因为运用计算器计算可得100×12＋90×30＋80×18＋70×24＋60×12＋50×4＝79.40，100(12＋30＋18＋24＋12)÷100＝96%，所以样本的平均分是79.40分，合格率是96%，由此来估计总体3 000名学生的平均分是79.40分，合格率是96%.思路2例1 甲、乙两种水稻试验品种连续5年的平均单位面积产量如下(单位：t/hm2)，试根解：甲品种的样本平均数为10，样本方差为[(9.8－10)2 ＋(9.9－10)2＋(10.1－10)2＋(10－10)2＋(10.2－10)2]÷5＝0.02.乙品种的样本平均数也为10，样本方差为[(9.4－10)2＋(10.3－10)2＋(10.8－10)2＋(9.7－10)2＋(9.8－10)2]÷5＝0.24.因为0.24＞0.02，所以由这组数据可以认为甲种水稻的产量比较稳定．例2 为了保护学生的视力，教室内的日光灯在使用一段时间后必须更换．某校使用的100只日光灯在必须换掉前的使用天数如下，试估计这种日光灯的平均使用寿命和标准差．天数 151～180 181～210 211～240 241～270 271～300 301～330 331～360 361～390灯泡数 1 11 18 20 25 16 7 2分析：用每一区间内的组中值作为相应日光灯的使用寿命，再求平均寿命．解：各组中值分别为165,195,225,255,285,315,345,375，由此算得平均数约为165×1%＋195×11%＋225×18%＋255×20%＋285×25%＋315×16%＋345×7%＋375×2%＝267.9≈268(天)．这些组中值的方差为1100×[1×(165－268)2＋11×(195－268)2＋18×(225－268)2＋20×(255－268)2＋25×(285－268)2＋16×(315－268)2＋7×(345－268)2＋2×(375－268)2]＝2 128.60(天2)．故所求的标准差约为 2 128.60≈46(天)．答：估计这种日光灯的平均使用寿命约为268天，标准差约为46天．知能训练(1)在一次歌手大奖赛上，七位评委为某歌手打出的分数如下：9.4,8.4,9.4,9.9,9.6，9.4，9.7，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为________．(2)假设给定一组数据x 1，x 2，…，x n ，方差为s 2，那么ax 1，ax 2，…，ax n 的方差为________．(3)在相同条件下对自行车运动员甲、乙两人进行了6次测试，测得他们的最大速度(单位：m/s)的数据如下：甲 27 38 30 37 35 31乙 33 29 38 34 28 36试判断选谁参加某项重大比赛更合适？答案：(1)9.5,0.016 (2)a 2s 2(3)由x 甲＝33，x 乙＝33，s 2甲＝473＞s 2乙＝373，可知乙的成绩比甲稳定，应选乙参加比赛更合适．拓展提升某养鱼专业户在一个鱼塘内放入一批鱼苗，一年以后准备出售，为了在出售以前估计卖掉鱼后有多少收入，这个专业户已经了解到市场的销售价是每千克15元，请问，这个专业户还应该了解什么？怎样去了解？请你为他设计一个方案．解：这个专业户应了解鱼的总质量，可以先捕出一些鱼(设有x 条)，做上标记后放回鱼塘，过一段时间再捕出一些鱼(设有a 条)，观察其中带有标记的鱼的条数，作为一个样本来估计总体，那么a 条鱼中带有标记的条数a ＝鱼塘中所有带有标记的鱼的条数x 鱼塘中鱼的总条数. 这样就可以求得鱼塘中鱼的总条数，同时把第二次捕出的鱼的平均质量求出来，就可以估计鱼塘中鱼的平均质量，进而估计全部鱼的质量，最后估计出收入．课堂小结1．用样本的数字特征估计总体的数字特征分两类：用样本平均数估计总体平均数，平均数对数据有“取齐〞的作用，代表一组数据的平均水平．用样本标准差估计总体标准差．样本容量越大，估计就越精确，标准差描述一组数据围绕平均数波动的大小，反映了一组数据变化的幅度．2．用样本估计总体的两个手段(用样本的频率分布估计总体的分布；用样本的数字特征估计总体的数字特征)，需要从总体中抽取一个质量较高的样本，才能不会产生较大的估计偏差，且样本容量越大，估计的结果也就越精确．作业习题1—5 3.设计感想统计学科，最大的特点就是与现实生活的密切联系，也是新教科书的亮点．仅仅想借助“死记硬背一些概念及公式，简单模仿课本例题〞来学习，是绝对不行的．用样本估计总体时，如果抽样的方法比较合理，那么样本可以反映总体的信息，但从样本得到的信息会有偏差，其原因在于样本的随机性．这种偏差是不可避免的．虽然我们从样本数据得到的分布、均值和标准差并不是总体的真正分布、均值和标准差，而只是总体的一个估计，但这种估计是合理的，特别是当样本的容量很大时，它们确实反映了总体的信息．教师建议：亲身经历“提出问题，收集数据，分析数据，并作出合理决策〞的过程，在此过程中不仅可以加深对概念等知识的深刻理解，更重要的是发展了思维，培养了分析及解决问题能力，同时在情感、意志等领域也得到了协调发展，这才是学校学习的科学而全面的目标，习题设置有层次，尽量源于教科书，又高于教科书，这也是高考命题原那么．备课资料备选习题1．10名工人某天生产同一零件，生产的件数是15,17,14,10,15,17,17,16,14,12.设其平均数为a，中位数为b，众数为c，那么有( )．A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．c＞a＞b D．c＞b＞a答案：D2．以下说法错误的选项是( )．A．在统计里，把所需考察对象的全体叫作总体B．一组数据的平均数一定大于这组数据中的每个数据C．平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势D．一组数据的方差越大，说明这组数据的波动越大答案：B3．以下说法中，正确的选项是( )．A．数据5,4,4,3,5,2的众数是4B．一组数据的标准差是这组数据的方差的平方C．数据2,3,4,5的标准差是数据4,6,8,10的标准差的一半D．频率分布直方图中各小长方形的面积等于相应各组的频数答案：C4．从甲、乙两班分别任意抽出10名学生进行英语口语测验，其测验成绩的方差分别为s21＝ 13.2，s22＝26.26，那么( )．A．甲班10名学生的成绩比乙班10名学生的成绩整齐B．乙班10名学生的成绩比甲班10名学生的成绩整齐C．甲、乙两班10名学生的成绩一样整齐D．不能比较甲、乙两班10名学生成绩的整齐程度答案：A5．以下说法正确的选项是( )．A．根据样本估计总体，其误差与所选择的样本容量无关B．方差和标准差具有相同的单位C．从总体中可以抽取不同的几个样本D．如果容量相同的两个样本的方差满足s21<s22，那么推得总体也满足s21<s22是错的答案：C。

北师大版高一必修三数学教案

北师大版高一必修三数学教案北师大版高一必修三数学教案【小编寄语】查字典数学网小编给大家整理了北师大版高一必修三数学教案，希望能给大家带来帮助!学习目标1理解互斥事件、对立事件的定义，会判断所给事件的类型;2.掌握互斥事件的概率加法公式并会应用。

重点难点重点：概率的加法公式及其应用;事件的关系与运算难点：互斥事件与对立事件的区别与联系学习过程与方法自主学习1.互斥事件：在一个随机试验中，把一次试验下___________的两个事件A与B称作互斥事件。

2.事件A+B：给定事件A，B，规定A+B为，事件A+B发生是指事件A和事件B________。

3.对立事件：事件“A不发生”称为A的对立事件，记作_________,对立事件也称为________,在每一次试验中，相互对立的事件A与事件不会__________,并且一定____________.4.互斥事件的概率加法公式：(1)在一个随机试验中，如果随机事件A和事件B是互斥9”。

例2 . 解读课本例5和例6达标训练1.课本p147 练习1 2 3 42.(选做)一盒中装有各色球12个，其中5个红球、，4个黑球、2个白球、1个绿球。

从中随机取出1球，求：(1) 取出1球是红球或黑球的概率;(2)取出1球是红球或黑球或白球的概率。

作业布置 1.习题3-2 6，7，82. 教辅资料学习小结/教学反思§3.2.4 互斥事件(2)授课时间第周星期第节课型习题课主备课人学习目标 1理解互斥事件与对立事件的概念，会判断所给事件的类型;2.能利用互斥事件与对立事件的概率公式进行相应的概率运算。

重点难点重点：概率的加法公式及其应用;事件的关系与运算难点：互斥事件与对立事件的区别与联系学习过程与方法自主学习1复习：(1)互斥事件： .(2)事件A+B：给定事件A，B，规定A+B为，事件A+B 发生是指事件A和事件B________。

(3)对立事件：事件“A不发生”称为A的对立事件，记作_________,对立事件也称为________,在每一次试验中，相互对立的事件A与事件不会__________,并且一定____________.(4)互斥事件的概率加法公式：(1)在一个随机试验中，如果随机事件A和事件B是互斥事件，那么有P(A+B)=_________.(2)如果随机事件中任意两个是互斥事件，那么有____________。

北师大版高中数学必修三教案

§1.1从普查到抽样；一、教学目标：1．了解普查的意义．；2．结合具体的实际问题情境，理解随机抽样的必要性；结合具体的实际问题情境，理解随机抽样的必要性和重；通过我国第五次人口普查的有关数据，让学生体会到统；教科书提出了三个有代表性的问题．第一个问题主要是；“阅读材料”是课堂阅读，目的是让学生了解普查工作；-1-；国目前主要的一些普查工作．进而，总结出普查的§1.1从普查到抽样一、教学目标：1．了解普查的意义．2．结合具体的实际问题情境，理解随机抽样的必要性和重要性．二、重难点：结合具体的实际问题情境，理解随机抽样的必要性和重要性．三、教学方法：阅读材料、思考与交流四、教学过程（一）、普查1、【问题提出】P 3通过我国第五次人口普查的有关数据，让学生体会到统计对政府决策的重要作用――统计数据可以提供大量的信息，为国家的宏观决策提供有关的支持．教科书通过对人口普查的有关新闻报道，让学生体会人口普查的规模是何等的宏大与艰辛．教科书提出了三个有代表性的问题．第一个问题主要是针对人口普查的作用，人口普查可以了解一个国家人口全面情况，比如，人口总数、男女性别比、受教育状况、增长趋势等．人口普查是对国家的政府决策实行情况的一个检验，比如，国家计划生育政策，经济发展战略，国家“普及九年义务教育”政策，人民群众的生活水平等．第二个问题是针对普查本身存在的问题提出的，以加深学生对于普查的理解．学生可能有一个误解，普查就是100%的准确，其实不然，即使是最周全的调查方案，在实际执行时都会产生一个误差．教科书通过这个问题，目的是让学生理解在人口普查中出现漏登是正常情况，调查方案的设计是尽可能让这个误差降低到最小．同时，也要让学生理解人口普查的工作，即使出现漏登现象，人口普查的数据对国家的宏观决策依然具有重要的作用．第三个问题是针对人口普查工作的艰辛而提出的，让学生体会人口普查数据得来不易，要尊重人口普查人员的劳动，对人口普查工作要大力支持．2、【阅读材料】P4 “阅读材料”是课堂阅读，目的是让学生了解普查工作的特点和重要性，以及我- 1 -国目前主要的一些普查工作．进而，总结出普查的主要不足之处，这是从一个方面说明了抽样调查的必要性．普查是指一个国家或一个地区专门组织的一次性大规模的全面调查，目的是为了详细地了解某项重要的国情、国力．普查主要有两个特点：（1）所取得的资料更加全面、系统；（2）主要调查在特定时段的社会经济现象总体的数量．普查是一项非常艰巨的工作，它要对所有的对象进行调查．当普查的对象很少时，普查无疑是一项非常好的调查方式．（二）、抽样调查【例1和其后的“思考交流”】P4～5紧接着，教科书通过例1和“思考交流”的两个问题，让学生了解普查有时候难以实现．这主要有两个方面的原因，其一，被调查对象的量大；其二，普查对被调查对象本身具有一定的破坏性．这从另一个方面说明了抽样调查的必要性．然后，教科书通过抽象概括总结出抽样调查的两个主要优点．【例2和其后的“思考交流”】P5～6主要是讨论在抽样调查时，什么样的样本才具有代表性．在抽样时，如果抽样不当，那么调查的结果可能会出现与实际情况不符，甚至是错误的结果，导致对决策的误导．在抽样调查时，一定要保证随机性原则，尽可能地避免人为因素的干扰；并且要保证每个个体以一定的概率被抽取到；同时，还要注意到要尽可能地控制抽样调查中的误差．由于检验对象的量很大，或检验对检验对象具有破坏性时，通常情况下，所以采用普查的方法有时是行不通的．通常情况下，从调查对象中按照一定的方法抽取一部分，进行调查或观测，获取数据，并以此调查对象的某项指标做出推断，这就是抽样调查．其中，调查对象的全体称为总体，被抽取的一部分称为样本．抽样调查的优点：抽样调查与普查相比，有很多优点，最突出的有两点：（1）迅速、及时；（2）节约人力、物力和财力．例1为了考察某地10 000名高一学生的体重情况，从中抽出了200名学生做调查．这里统计的总体、个体、样本、总体容量、样本容量各指什么？为什么我们一般要从总体中抽取一个样本，通过样本来研究总体？- 2 -解：统计的总体是指该地10 000名学生的体重；个体是指这10 000名学生中每一名学生的体重；样本指这10 000名学生中抽出的200名学生的体重；总体容量为10 000；样本容量为200．若对每一个个体逐一进行“调查”，有时费时、费力，有时根本无法实现，一个行之有效的办法就是在每一个个体被抽取的机会均等的前提下从总体中抽取部分个体，进行抽样调查．例2 为了制定某市高一、高二、高三三个年级学生校服的生产计划，有关部门准备对180名初中男生的身高作调查，现有三种调查方案：A．测量少年体校中180名男子篮球、排球队员的身高；B．查阅有关外地180名男生身高的统计资料；C．在本市的市区和郊县各任选一所完全中学，两所初级中学，在这六所学校有关年级的小班中，用抽签的方法分别选出10名男生，然后测量他们的身高．为了达到估计本市初中这三个年级男生身高分布的目的，你认为采用上述哪一种调查方案比较合理，为什么？解：选C方案．理由：方案C采取了随机抽样的方法，随机样本比较具有代表性、普遍性，可以被用来估计总体．例3 中央电视台希望在春节联欢晚会播出后一周内获得当年春节联欢晚会的收视率．下面三名同学为电视台设计的调查方案．甲同学：我把这张《春节联欢晚会收视率调查表》放在互联网上，只要上网登录该网址的人就可以看到这张表，他们填表的信息可以很快地反馈到我的电脑中．这样，我就可以很快统计收视率了．乙同学：我给我们居民小区的每一份住户发一个是否在除夕那天晚上看过中央电视台春节联欢晚会的调查表，只要一两天就可以统计出收视率．丙同学：我在电话号码本上随机地选出一定数量的电话号码，然后逐个给他们打电话，问一下他们是否收看了中央电视台春节联欢晚会，我不出家门就可以统计出中央电视台春节联欢晚会的收视率．请问：上述三名同学设计的调查方案能够获得比较准确的收视率吗？为什么？解：综上所述，这三种调查方案都有一定的片面性，不能得到比较准确的收视率．- 3 -（三）、课堂小结：1、普查是一项非常艰巨的工作，它要对所有的对象进行调查．当普查的对象很少时，普查无疑是一项非常好的调查方式．普查主要有两个特点：（1）所取得的资料更加全面、系统；（2）主要调查在特定时段的社会经济现象总体的数量．2、通常情况下，从调查对象中按照一定的方法抽取一部分，进行调查或观测，获取数据，并以此调查对象的某项指标做出推断，这就是抽样调查．其中，调查对象的全体称为总体，被抽取的一部分称为样本．抽样调查的优点：抽样调查与普查相比，有很多优点，最突出的有两点：（1）迅速、及时；（2）节约人力、物力和财力。

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考点解析与典型例题
考点一：IF 语句
例1、某出租车公司规定：3公里及3公里以内为起步价5元，若超过3公里，超过部分按每公里1.5元收费（收费以公里为单位，不足一公里按一公里计），用语句描述一个乘客所付车费的算法，并画出流程图。

【解】设乘客乘坐的公里数为x ，所付车费为y 元，则
⎩⎨⎧>-+≤=3
),3(5.153,5x x x y 流程图：语句：21世纪
考点二：复合IF 语句
例2、规定：打电话时如果通话时间不超过3分钟，收取通话费0.25元，如果超过，则超过部分以0.1元/分钟（时间以分钟为单位，不足一分钟按一分钟计）的标准收取话费。

试设计一个计算通话费用的算法
【解】设通话时间为a ，话费为y 。

则
流程图：
语句：
考点三：For语句
例3、用For语句写出求12+22+32+……+1002的语句。

【解】
考点四：Do Loop语句
例4、用Do Loop语句写出判断一个正整数是否为素数的算法。

【解】。

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