高2010届分班考试题

陕师大附中高2010届分班考试·数学试题一、选择题（10×4′＝40′）1.若角α的终边在第二象限，则角90α︒-的终边落在A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 2.设集合{|21}P x x m =-<，若1P ∈且3P ∉，则实数m 的取值范围为 A.15m << B.15m ≤< C.15m <≤ D.15m ≤≤ 3.若b a ,是两条异面直线，点P 不在直线b a ,上，则下列结论正确的是 A ．过点P 至多有一个平面同时与直线b a ,平行 B. 过点P 至少有一个平面同时与直线b a ,平行 C. 过点P 一定有无数个平面同时与直线b a ,平行 D. 过点P 有且只有一个平面同时与直线b a ,平行4.某服装厂生产一种服装，每件服装的成本为40元，出厂单价定为60元．该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100件时，每多订购一件，订购的全部服装的出厂价就都降低0.02元．当销售商一次订购了450件服装时，该服装厂获得的利润是A.4950元B.5850元C.6850元D.6450元5.若实数,x y 满足10521y x y x y -≥⎧⎪+≤⎨⎪-≥⎩，则y x 的最小值为A.4B.32 C.23 D.146.若函数()()f x x x a b =-+对x R ∈都有(3)(1)f x f x +=-，则下列结论正确的是 A.)3()0()5(f f f << B.(3)(5)(0)f f f << C.(3)(0)(5)f f f << D.(0)(5)(3)f f f <<7.若设向量(21,3)a x x =-- ，(1,21)b x x =-- ，则||a b +的最小值为A.12D.28.在平面直角坐标系中，设O 为坐标原点，直线l ：02443=-+y x 与x 轴、y 轴的交点分别为B A ,，则△OAB 的外接圆方程为A.25)3()4(22=-+-y xB.25)3()4(22=+++y xC.100)6()8(22=-+-y xD.100)6()8(22=+++y x9.若正三棱锥ABC D -的所有棱长均为6，且F E 、分别是AD BC 、的中点，则EF 的长度为 A.32 B.33 C.62 D.2310.若关于x 的方程|23|3xm -+=有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围为 A.30m -<< B.03m << C.30m -≤< D.03m <≤二、填空题（4×5′＝20′）11.在数列{}n a 中，若11a =，121n n a a +-=，则8a =________. 12.在△ABC 中，若3sin 5A =，tan 1B =，则tan C =________. 13.函数1)3sin(sin 4)(++⋅=πx x x f 所有对称轴中，与y 轴距离最小的一条对称轴的方程为_______.14.若P 为圆05422=-++x y x 上的一个动点，Q 为直线34310x y -+=上的一个动点，则线段PQ 长度的最小值为________.三、解答题（4×10′＝40′）15.已知在△ABC 中,4AC =,3BC =,︒=∠90ACB ,点D 在AB 上,且2BD AD =,求CD AB ⋅的值.16.若函数22x x y a a =+，（0a >且1a ≠）在区间[1,1]-上的最大值为35，求a 的值.17.设数列{}n a 的前n 项之和为216n S n n =-，（1）求数列{}n a 的通项n a ；（2）设||n n b a =，求数列{}n b 的前30项之和30T .18.如图，在△ABC 中，AC BC =2AB =.等边三角形ABD 以AB 为轴转动. （1）当平面ABD ⊥平面ABC 时，求CD 的长；（2）当△ABD 转动时，是否总有AB ⊥CD ？证明你的结论.四、附加题（2×10′＝20′）19.已知数列2{log (1)}n a -（*n N ∈）为等差数列，且13a =，39a =. （1）求数列{}n a 的通项公式n a ； （2）求证：213243111111n na a a a a a a a +++++<---- .（3）在数列{}n a 中是否存在不同的三项,,p q r a a a ，使,,p q r a a a 成等差数列？若存在，请找出这样的三项；若不存在，请说明理由.20.如图，过坐标原点O 作抛物线212y x =的两条互相垂直的弦OA 、OB ，则： （1）求证：直线AB 经过一个定点，并求此定点的坐标；（2）过点O 作直线AB 的垂线，设垂足为(,)C m n ，求,m n 所满足的等量关系.陕师大附中高2010届分班考试·数学参考答案一、选择题（10×4′＝40′）二、填空题（4×5′＝20′）11.255 12.7- 13.6x π=-14.2三、解答题（4×10′＝40′）15.已知在△ABC 中,4AC =,3BC =,︒=∠90ACB ,点D 在AB 上,且2BD AD =,求⋅的值.解：∵AB AC CB =+，2BD AD =，∴121333CD CA AD AC AB AC CB =+=-+=-+ ，∵4AC =，3BC =，︒=∠90ACB ，∴0AC CB ⋅= ，22||16AC AC == ，22||9CB CB == .2221()()332112112316903333333AB CD AC CB AC CB AC CB AC CB ⋅=+⋅-+=-+-⋅=-⨯+⨯-⨯=-16.若函数22xx y a a =+，（0a >且1a ≠）在区间[1,1]-上的最大值为35，求a 的值. 解：∵2222()2(1)1xx x x x y aa a a a =+=+=+-，①若1a >，由[1,1]x ∈-知1x a a a<<，故最大值在1x =，即x a a =时取得， ∴2(1)135a +-=，解得7a =-（舍），或5a =.②若01a <<，由[1,1]x ∈-知1x a a a<<，故最大值在1x =-，即1xa a =时取得，∴21(1)135a +-=，解得17a =-（舍），或15a =.综上可知，实数a 的值为15或5.17.设数列{}n a 的前n 项之和为216n S n n =-，（1）求数列{}n a 的通项n a ；（2）设||n n b a =，求数列{}n b 的前30项之和30T . 解：（1）∵当2n ≥时，1n n n a S S -=-，且216n S n n =-，∴当2n ≥时，221(16)[(1)16(1)]217n n n a S S n n n n n -=-=-----=-. ∵当1n =时，2111161152117a S ==-⨯=-=⨯-，∴217n a n =-. （2）∵||n n b a =，217n a n =-，∵当9n <时，0n a <，||172n n b a n ==-；当9n ≥时，0n a >，||217n n b a n ==-； ∴223083081()8(151)(301630)(8168)5482T T S S =+-=⨯⨯++-⨯--⨯=. 18.如图，在△ABC中，AC BC =2AB =.等边三角形ABD 以AB 为轴转动. （1）当平面ABD ⊥平面ABC 时，求CD 的长；（2）当△ABD 转动时，是否总有AB ⊥CD ？证明你的结论. 解：（1）取AB 中点E ，连接,CE DE ，∵AC BC =2AB =，∴1,12CE AB CE AB ⊥==， ∵三角形ABD是等边三角形，∴,DE AB DE AB ⊥==∵面ABD ⊥面ABC ，DE AB ⊥，∴DE ABC ⊥面，而CE ABC ⊆面，∴DE CE ⊥， ∴在△CDE 中，DE CE ⊥，1,CE DE ==2CD =.（2）由(1)知,CE DE 总与AB 垂直，从而AB CDE ⊥面，故AB ⊥CD .当△ABD 在面ABC 内时，显然仍有AB ⊥CD . 故当△ABD 转动时，总有AB CD ⊥成立.四、附加题（2×10′＝20′）19.已知数列2{log (1)}n a -（*n N ∈）为等差数列，且13a =，39a =. （1）求数列{}n a 的通项公式n a ；（2）求证：213243111111n na a a a a a a a +++++<---- .（3）在数列{}n a 中是否存在不同的三项,,p q r a a a ，使,,p q r a a a 成等差数列？若存在，请找出这样的三项；若不存在，请说明理由.解：（1）∵13a =，39a =，∴21log (1)1a -=，23log (1)3a -=，∵数列2{log (1)}n a -为等差数列，∴231log (1)1(1)31n a n n --=+-⋅=-，∴21n n a =+.（2）∵21n n a =+，∴11111(21)(21)2n n nn n a a ++==-+-+， ∴12213211111111112222n n n n a a a a a a ++++=+++=-<--- .（3）假设存在这样的三项,,p q r a a a ，使,,p q r a a a 成等差数列，则2p r q a a a +=，即(21)(21)2(21p r q+++=+，也即1222p r q ++=.不妨设p q r <<，则1122r p q p --++=，即1221q p r p -+--=.而1q r +≤，故122q p r p -+-≤，即1220q p r p -+--≤，这与1221q p r p -+--=矛盾！综上可知，不存在这样的三项,,p q r a a a ，使,,p q r a a a 成等差数列. 20.如图，过坐标原点O 作抛物线212y x =的两条互相垂直的弦OA 、OB ，则： （1）求证：直线AB 经过一个定点，并求此定点的坐标；（2）过点O 作直线AB 的垂线，设垂足为(,)C m n ，求,m n 所满足的等量关系.解：（1）由题意，点,A B 均在抛物线212y x =上，故可设点,A B 的坐标分别为2211(,),(,)22A a a B b b ，且0ab ≠，a b ≠. 则2211(,),(,),22OA a a OB b b == 又由OA OB ⊥得0OA OB ⋅= ，即22104ab a b +=，故4ab =-.而直线AB 的方程为22221111122()()()222b a y x a a b a x a a b a -=-+=+-+-，也即是111()()2222y a b x ab a b x =+-=++.故当0x =时，2y =，即直线AB 经过定点(0,2)D .（2）根据题意知，在△OCD 中，总有2,OD OC CD =⊥，故点C 总在以OD 为直径的圆22(1)1x y +-=上，从而有22(1)1m n +-=.点(,)C m n 的坐标,m n 所满足的等量关系为22(1)1m n +-=.。