理性的陪审团和孔多塞陪审团定理

好了，获得这些概率以后，我们可以计算出3个陪审员的情况下，将无罪者错判的概率：
注意，要判一个人有罪，必须三个陪审员都投有罪票。我们这里只要计算出，如果一个嫌疑犯本身是无罪的，每个陪审员投有罪票的概率是多少？
如果嫌犯本身无罪，陪审员甲有10%的概率获得“有罪”信息，这时他肯定投有罪票。另一方面，甲有90%的概率获得“无罪”信息，但是上面说了，在纳什均衡解中，他又23%的机会会投有罪票。所以每个陪审员投有罪票的概率是 0.1+0.9*0.23= 30.7%.
如果三个人都投有罪票，那么无罪的人被下狱，而这个概率是 30.7^3=2.9%。
注意，按照孔多塞陪审员定理，每个陪审员都严格按照信息投票，无罪被错判的概率应该只有0.1%。但是，我们已经在前文中提到了，如果每个陪审员都是理性的，那么他们不会严格且仅仅按照自己的信息投票。而且在纳什均衡解中，无罪被错判的概率是2.9%！ 整整高了300倍！接下来还有更让人吃惊的。
关于这个答案，两个美国著名学者 Timothy Feddersen and Wolfgang Pesendorfer在一篇很有影响力的论文中已经完全解了出来。因为要完全证明，需要一定的博弈论基础，所以我这里只是简单描述一下他们的结果。有兴趣的读者可以自己查阅一下
Feddersen and Pesendorfer, 1998, Convicting the Innocent: The inferiority of Unanimous Jury Verdicts under strategic Voting, The American Political Science Review.
很多人用常理想一想，肯定认为第一，想比A，采用全票有罪通过的话，一个无罪的人被错判的几率肯定更小。第二，如果陪审员越多，那么无罪错判的几率会越小。
早在18世纪，法国启蒙思想家孔多塞就已经提出了这个理论了：孔多塞陪审团定理 (Condorcet's Jury Theorem)。最简单的来说，如果每个陪审员都得到一条关于嫌疑犯是否有罪的信息。这里假设每个人的信息别人都看不到 (Private Information)，而且陪审员甲得到什么信息，不影响陪审员乙获得的信息 (statistical indenpendence)。只要满足下面这个条件：
对每个陪审员来说，他们不愿意错判。如果判决是正确的，他们获得1的回报，如果判决是错误的，他们获得0的回报。 好了，背景介绍完毕。
现在问题是，每个理性的陪审员在获得消息以后，会不会严格按照消息来投票？ 事实上，这里我要说的是，根据这里给出的数字，这是不可能的 为什么？
这里只要用反证法就可以了。假设每个陪审员都严格按照消息来投票。好，现在我们假设陪审员甲获得了一条“无罪”的消息。他会怎么想？他会考虑他这一票投下去的后果（同时按照我们的假设，他也意识到乙和丙都严格按照消息来投票）。这里就是整个推理的重点：甲的一票只有在能改变判决的情况下才有意义。比如说，乙和丙都投了无罪，或者乙投了有罪，丙投了无罪，那么无论甲投什么，在全票通过的规则下，都不会有任何影响。只有在下面一种情况下，甲的一票才能改变判决：乙和丙都投了有罪。这里，如果甲投有罪，则嫌疑犯被定罪，如果甲投无罪，则嫌疑犯被释放。按照我们故事里说的，陪审员获得1的回报如果判决正确，0的回报如果判决错误。如果甲认为嫌犯有罪概率大于50%的话，他会投有罪票。
现在假设他被告知他的票关键，那么他知道另外两个人投了有罪票。同时，如果另外两个人只有在有罪信息情况下才投有罪票的话，甲必然还知道现在有两个有罪信息。接下来则是简单地结合甲自己的信息，用贝叶斯定理来判断嫌犯有罪的几率。
那么，如果陪审员甲不被告知他的票是否关键呢？甲知道不外乎有两种可能，要么他的票关键，要么他的票不关键。但是在他的票不关键的情况下，无论如何他怎么投票都不影响他的收益，那么他唯一要考虑的，就只有他自己票是关键的情况了。
大家肯定都听说过陪审团制度。这个制度的支持者往往说，建立这个制度，是为了让更多有知情权的公民一起来判断是非。
另外，现代西方法律很注重的一点是，宁可漏网一千，不要错杀一个。也就是说，要建立一种制度使无罪者被错判的可能性减小。（当然，不可能减小到0，否则唯一的办法是谁都无罪释放。）很多人用“常理推断”认为，如果将判定一个人有罪的界限提高，那么错判的可能性就会越来越小。比如说，如果陪审团有5名成员。如果考虑两个判定有罪的界限：(A)3票有罪通过 [这个又叫 simple majority] (B) 全票有罪才通过 (这个叫uninanimity rule)。
同样，按照上一章中的方法，我们可以计算出无罪者被错判的概率，是 5%
这个可以说是我引用的文章中得出的一个非常让人震惊的结论了。注意，比起孔多塞陪审团定理中，5个陪审员错判无罪者10万分之一的概率，这里在理性陪审员情况下，5%的错判率高出了整整5000倍！第二，越多的理性陪审员，错判无罪者的概率反而更高。3个人的时候是2.9%，5个人的时候变成了5%！ 当然，可以证明，人越多不会高到100%的，而是converge到一个定值。
可是
真的是这样么？ 注意了，孔多塞的定理有一个假设:每个陪审员都严格按自己的信息投票。但是如果陪审员是理性的，他们肯定会按自己的信息投票么？下面第二章将重点讨论这个隐含的假设。 我们将证明，在某些偏好设定下，每个人都严格且仅仅按照自己的信息投票，并不是纳什均衡解。这是这篇文章的重点：证明了在某些情况下，孔多塞陪审团定理的最重要假设在理性投票人的情况下未必成立。[注1]
一点说明
我发现其实很多读者的疑惑之处在于：
1、为什么陪审员只考虑自己票数为关键的情况？
2、陪审员怎么知道自己票数为关键？
理解这两个问题对理解本文是至关重要的。
答案是，陪审员并不知道自己票是不是关键，他只知道有可能他的票是关键的。
那么这个会影响他的选择吗？答案是不会的。
首先，假设陪审员甲被告知他的票不关键。这个时候，根据他的偏好，他无所谓到底投什么。
好了，如果有5个陪审员呢？甲同样知道，自己的票只有在另外4个人都投有罪票的情况下才能改变结果。但是现在等于是有4个“有罪”信息了！那么即使甲自己有“无罪”信息，嫌犯清白的可能性比前面3个陪审员的时候更小，也就是说，甲更加倾向于忽略自己的信息投有罪票。
按照前面引用的论文中的公式，我们其实可以计算出5个陪审员的时候，每个陪审员在获得“无罪”信息情况下，投有罪票的概率，是大约50%。
接下来的问题是，如果孔多塞的假设不成立， 那么是不是陪审员越多，错判率真的越小？在第三第四章里面我们将简单的回答一下这个问题。因为要细致地回答此问题，需要一定的博弈论基础，所以我们在第三第四章里面只是用非常粗略的启发式言语大致讲一下在纳什均衡解中，投票人会如何做，并且会有什么样有趣的结果。有兴趣研究详细分析的请参考我在第三章中引用的98年的两位学者的原论文。
声明，这里所谓原创，只是说这篇小文章是我自己写的。里面用到的原材料则是别人早在10年前就已经提出的了。我这里只是想向大家介绍一个有趣的推理，顺便推广经济学方法在社会科学研究中的应用——用我一直强调的，经济学不是仅仅GDP、汇率、通胀率、demand/supply……（这里是在法律学上的应用。）
第一章，孔多塞陪审团原理。
地球演义 2010-07-20 18:41
孔多塞陪的几率就越小。在理性的陪审员的情况下，是这样的吗？
考虑现在我们考虑一下由5个陪审员会怎么样？ 其实，更好的理解这篇文章的方法是这样的一个thought experiment。
为什么三个陪审员的时候，如果另外两个陪审员严格按照信息投票，陪审员甲会有一定概率在自己获得“无罪”信息的时候投下有罪票？因为他知道，他的投票只有在另外两个人都投有罪的情况下才能改变结果。但是如果另外两个人都严格按照信息投票了，那么如果他们都投有罪，必然说明他们都得到了“有罪”信息。也就是说，在甲的投票能改变结果的情况下，嫌疑犯有罪的可能性是很大的！即使甲自己的信息是“无罪”，但是他知道在这个情况下，必然有还有两个“有罪”信息，所以他自己的“无罪”信息不足以证明嫌疑犯的清白…… [注：这个只是一个启发式地，intuitive的思路，真正的证明和找纳什均衡解中投票概率的方法比这个要微妙得多，有兴趣请查阅上面引用的论文。]
地球演义 2010-07-20 18:41
那么，这里一个无罪的人被错判的概率究竟是多少？
要找出这个概率，如果用technical的语言来说，我们需要找这个博弈的纳什均衡解。但是其实也并不非常难，我们只是要找出这样一个概率
在获得“有罪”或者“无罪”的信息后，一个理性审判员投有罪票的概率是多少？
最后我想提一点，就像孔多塞原定理，用陪审团是一个比方一样，我们这里用陪审团这个例子是为了打一个比方。这个模型可以被用在很多别的群体决策的研究。比如议会投票通过法令，或者几个独立的审稿人同时决定某学术杂志是否应该接受一篇文章等等。
好了，我们来看看理性的陪审员会怎么做。
这里先把背故事说清楚：总共有3个陪审员。在开庭之前，每个陪审员都认为嫌疑犯有1/2的概率是无罪的。辩论后，每个人得到一条关于其是否有罪的信息(private information)。如果犯人事实上是有罪的，那么90%的概率每个陪审员得到“有罪”消息，10%的概率每个陪审员得到“无罪”消息。如果犯人事实上是无罪的，90%的概率每个陪审员获得“无罪”的消息，10%的概率每个陪审员获得“有罪”的消息。然后陪审员投票，要判一个人有罪，必须要3票全部通过。
信息的正确率高于50%
那么陪审员越多，则错判的几率越小。
打个比方。假设大家一开始都认为嫌犯有罪的可能性是50%，如果要判其有罪，需要陪审员全票通过。然后呢，通过法庭辩论，研究事实，每个陪审员都能获得一条关于嫌犯是否有罪的信息。如果嫌疑犯本身有罪，那么每个陪审员的信息都有90%的几率是“有罪”，10%的几率是“无罪”。 如果嫌疑犯本身无罪，则倒过来，90%的几率每个陪审员获得的是“无罪”的信息，10%的几率是“有罪”。 好了，假设这个嫌犯是无罪的，根据孔多塞的定理，陪审员越多，错判的可能越小。 比如说3个陪审员，那么在嫌犯无罪的前提下，三个人都获得“有罪”信息的可能是 0.1*0.1*0.1=0.1% 。 如果有5个陪审员，5人都获得“有罪”信息的可能是 0.1^5= 十万分之一。 所以陪审员越多，错判几率越小。