高考理科数学试题及答案(word解析版)

最多只有 1 个， 得 C 的也最多只有 1 个， 因此学生最多只有 3 个．显然， （ AC ）（ BB ）（ CA ）满
足条件， 故学生最多 3 个， 故选 B．
第二部分 （非选择题 共 110 分）
二、填空题：共 6 小题， 每小题 5 分， 共 30 分．
2
1i
（ 9）【 2019 年北京， 理 9， 5分】复数 1 i
学科网求李明的投篮命中率一场超过 0.6 ， 一场不超过 0.6
概
率；
（ 3）记 x 是表中 10 个命中次数的平均数， 次
从上述比赛中随机选择一场，
记 X 为李明在这比赛中的命中
数， 比较 E( X ) 与 x 的大小（只需写出结论） 解：（ 1）李明在该场比赛中命中率超过 0.6 的概率有：主场 2 主场 3 主场 5
所以李明在该场比赛中投篮命中超过
P51 0.6 的概率 10 2 ．
（ 2）李明主场命中率超过 率
0.6 概率 P1
3
5 ， 命中率不超过
1 0.6 的概率为
P1
客场 2 客场 4
2 5 ， 客场中命中率超过
0.6 概
2
3
3 3 2 2 13
P2
1 P2
P
5 ， 命中率不超过 0.6 的概率为
5 ． 5 5 5 5 25 ．
共有
A
3 3
6 种方法， 而 A ，B ，C 有 2 种可能的
摆放顺序， 故总计 6 2=12 种方法．综上， 符合题意的摆放共有 48 12 36 种．
（ 14）【 2019 年北京， 理 14， 5 分】设函数 f ( x) sin( x ) ， A 0 ，
, 0 若 f (x) 在学科网区间 6 2
．
【答案】 1
1i 【解析】复数 1 i
(1 i) 2 (1 i)(1 i)
2i 2
i
1 (
i )2
，故1 i
i2
1 ．
（ 10）【 2019 年北京，
理 10】已知向量
rr a 、 b 满足
r a
r
1 ，
b
rr 2,1 ， 且 a b 0
R ，则
．
【答案】 5
rr r
r
【解析】 由 a b 0 ， 有 b
有 _______种．
【答案】 36
【解析】先只考虑 A与产品 B 相邻．此时用捆绑法， 将 A 和 B 作为一个元素考虑， 共有 A44 24 种方法．而 A
和 B 有 2 种摆放顺序， 故总计 24 2=48 种方法．再排除既满足 A 与 B 相邻， 又满足 A 与 C 相邻的情
况， 此时用捆绑法， 将 A ，B ，C 作为一个元素考虑，
r
r
a ， 于是 | b| |
r
r
| | a|， 由 b
r (2 ，1) ， 可得 b
r
5 ，
又 | a|
1， 故 |
|
5．
y2 （ 11）【 2019 年北京， 理 11， 5 分】设双曲线 C 经过点 2,2 ， 且与 4
x2 1 具有相同渐近线，
则 C 的方
程为 ________；渐近线方程为 ______．
时， an 的前 n 项和最大．
【答案】 8
【解析】 由等差数列的性质， a7 a8 a9 3a8 ， a7 a10 a8 a9 ， 于是有 a8 0 ， a8 a9 0 ， 故 a9 0 ．故
S8 S7 ， S9 S8 ， S8 为 { an } 的前 n 项和 Sn 中的最大值．
（ 13）【 2019 年北京， 理 13， 5 分】把 5 件不同产品摆成一排， 若产品 A 与产品 C 不相邻， 则不同的摆法
（D ） S2 S3 且 S1 S3
z
【解析】 D ABC 在 xOy 平面上的投影为 △ ABC ， 故 S1 2 ， 设 D 在 yOz 和 zOx 平面上的投
D2
影
D3
D
分别为 D2 和 D3 ， 则 D ABC 在 yOz 和 zOx 平面上的投影分别为 △OCD 2 和 △OAD 3 ．
C
普通高等学校招生全国统一考试（北京卷） 数学（理科）
第 一部分 （选择题 共 40 分）
一、选择题：本大题共 8 小题， 每小题 5 分， 共 40 分， 在每小题给出的四个选项中， 选出符合题目要求的
一项．
（ 1）【 2019 年北京， 理 1， 5 分】已知集合 A { x | x 2 2 x 0} ， B {0,1,2} ， 则 A I B （ ）
1T≥ π 则2 2
π 6
T ≥ 2π 3，
7 πT π
从而 12 3 4
Tπ ．
三、解答题：共 6 题， 共 80 分．解答应写出文字说明， 演算步骤或证明过程．
（ 15）【 2019 年北京， 理 15， 13分】如图， 在 ABC 中，
1 cos ADC
上， 且 CD 2 ，
7．
（ 1）求 sin BAD ；
（C） 2 不合题意．若 k
（D） 2 0 ， 则不等式组所表示的平面
2 ，0
2
0
4
域如图所示． 由图可知， z y x 在点 k
处取最小值． 故
k
，解
1
k
得
2 ， 故选 D．
y
2
kx- y+2=0
x+ y- 2=0
O
2
2x -
k
（ 7）【 2019 年北京， 理 7， 5 分】在空间直角坐标系
Oxyz 中， 已知 A 2,0,0
（ 2）如图建立空间直角坐标系
A
xyz ， 各点坐标如下
A 0,0,0 r
, E 0, 2,0 u,uBur 1,0,0
,
C 2,1,0
F ,
0,1,1 P ,
0,0, 2
， 设面 ABF 的法向量为
n
x0 , y0 , z0 ， AB
1,0,0 ，
r uuur
n AB 0
x0
uuur
r uuur
（ 2）若 PA 底面 ABCDE ， 且 AF PE ， 求直线 BC 与平面 ABF 所成角的大小， 求线段 PH 的长．
解：（ 1）Q AM / / ED ， AM 面 PED ， ED 面 PED ． AM ∥ 面 PED ．
Q AM 面 ABF ， 即 AB 面 ABF ， 面 ABF I 面 PDE FG AB ∥ FG ．
BD
AB sin BAD
8 33 14
3
sin ADB
43
（ 2）在 ABD 中， 由正弦定理得
7
，
AC2
AB2
BC2
2AB BC cosB
82
52
1 285
49
在 ABC 中 ， 由 余 弦 定 理 得
2
，
AC 7 ．
（ 16）【 2019 年北京， 理 16， 13 分】李明在 10 场篮球比赛中的投篮情况如下（假设各场比赛互相独立）：
为（ ）
（ A） 7
（ B） 42
（ C） 210
（ D） 840
【答案】 C
【解析】当 m 输入的 m 7 ， n 3 时， 判断框内的判断条件为 k 5 ．故能进入循环的 k 依次
为
7， 6， 5．顺次执行 S S k ， 则有 S 7 6 5 210 ， 故选 C．
（ 5）【 2019 年北京， 理 5， 5 分】设 { an } 是公比为 q的等比数列， 则 “q 1 ”是 “{ an } ”为递增 数列的（ ）
（ A） {0} 【答案】 C
（B ） {0,1}
（C） {0,2}
（ D） {0,1,2}
【解析】集合 A x| x2 2x 0 0,2 ．故 A I B 0,2 ， 故选 C．
（ 2）【 2019 年北京， 理 2， 5 分】下列函数中， 在区间 (0, ) 上为增函数的是（
）
（ A） y 【答案】 A
场次 投篮次数 命中次数 场次 投篮次数 命中次数
所以
主场 1
22
12
客场 1
18
8
主场 2
15
12
客场 2
13
12
主场 3
12
8
客场 3
21
7
主场 4
23
8
客场 4
18
15
主场 5
24
20
客场 5
25
12
（ 1）从上述比赛中随机选择一场， 求李明在该场比赛中投篮命中率超过 0.6 的概率；
（ 2）从上述比赛中选择一个主场和一个客场，
好 ”， 现有若干同学， 他们之间没有一个人比另一个成绩好，
且没有任意两个人语文成绩一
样， 数学成绩也一样的．问满足条件的最多有多少学生（
）
（ A） 2
（B） 3
（ C）4
（ D） 5
【答案】 B
【解析】用 ABC 分别表示优秀、及格和不及格．显然语文成绩得
A 的学生最多只有 1 个， 语文成绩得 B 的也
（ A）充分且不必要条件 （ C）充分必要条件
（ B ）必要且不充分条件 （ D）既不充分也不必要条件
【答案】 D
【解析】 对于等比数列 an ， 若 q 1 ， 则当 a1 0 时有 an 为递减数列． 故 “q 1 ”不能推出 “an 为递增数列 ”．
若 an 为递增数列， 则 an 有可能满足 a1 0 且 0 q 1 ， 推不出 q 1 ．综上， “q 1 ”为 “ an 为递
( 1， ) 上的减函数， 不合题意， 故选 A ．
x 1 cos
（ 3）【 2019 年北京， 理 3， 5 分】曲线 y 2 sin （ 为参数）的对称中心（
）
（ A）在直线 y 2x 上 【答案】 B
（B ）在直线 y
2x 上
（ C）在直线 y x 1 上
（ D ）在直线 y x 1 上
x 1 cos
x2 y2
【答案】 3
12
1 ，
y
2x
y2 x2 1
【解析】 双曲线 4
的渐近线为 y
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2x ， 故 C 的渐近线为 y
y2 2x ， 设 C ： 4
x2
m 并将点 (2 ，2) 代
入 C 的方程， 解得 m
y2 x2 3 ， 故 C 的方程为 4
x2 y2
3
1
， 即 3 12 ．
（ 12）【 2019 年北京， 理 12， 5 分】若等差数列 an 满足 a7 a8 a9 0 ， a7 a10 0 ， 则当 n ________
（3） E X x ．
（ 17）【 2019 年北京， 理 17， 14 分】如图， 正方形 AMDE 的边长为 2， B,C 分别为 AM , MD 的中点， 在 五棱锥 P ABCDE 中， F 为棱 PE 的中点， 平面 ABF 与棱 PD , PC 分别交于点 G, H ．
（ 1）求证： AB / / FG ；
O
y
∵ D2 0 ，1 ， 2 ， D3 1，0 ， 2 ， 故 S2 S3 2 ， 故选 D．
A
D1
（ 8）【 2019 年北京， 理 8， 5 分】有语文、数学两学科， 成绩评定为 “优秀 ”“合格 ”“不合格 ” x
B
三种．若
A 同学每科成绩不低于 B 同学， 且至少有一科成绩比 B 高， 则称 “A 同学比 B 同学成绩
【解析】参数方程 y 2 sin ， 所表示的曲线为圆心在 ( 1，2) ， 半径为 1 的圆．
其对称中心为圆心 ( 1，2) ．逐个代入选项可知， ( 1，2) 在直线 y 2 x 上， 故选 B．
（ 4）【2019 年北京， 理 4， 5 分】 当 m 7, n 3 时， 执行如图所示的程序框图， 输出的 S 值
， B 2,2,0
，C
0,2,0
D 1,1, ，
2
，
若 S1 ， S2 ， S2 分别表示三棱锥 D ABC 在 xOy ， yOz ， zOx 坐标平面上的正投影图形的面积， 则（ ）
（ A） S1 S2 S3 【答案】 D
（ B ） S1 S2 且 S3 S1
（ C） S1 S3 且 S3 S2
（ 2）求 BD ， AC 的长．
B 3 ， AB 8 ， 点 D 在 BC 边
COS ADC 1
sin ADC 4 3
解：（ 1）在 ADC 中， 因为
7 ， 所以
7．
sin BAD sin( ADC 所以
43 1 1 3 33 B) sin ADC cosB cos ADC sin B
7 2 7 2 14 ．
f 上具有单调性， 且 2
2 f
3
f 6 ， 则 f (x) 的最小正周期为 ________．
【答案】
【解析】由
f x 在区间
ππ 6 2 上具有单调性，
fπ 且2
fπ 6 知，
f x 有对称中心
π0 3 ，由
fπ 2
f 2π
x
1
π
2 π
3 知 f x 有对称轴
22 3
7 π
12 ， 记 T 为最小正周期，
x1
（ B ） y ( x 1)2
（C） y 2 x
（ D） y log 0.5 ( x 1)
【解析】 对于 A ， y x 1 在 1，
上为增函数， 符合题意， 对于 B， y ( x 1)2 在 (0 ，1) 上为减函数，
不合题意， 对于 C， y 2 x 为 ( ， ) 上的减函数， 不合题意， 对于 D ， y log 0.5 ( x 1) 为
增数列 ”的既不充分也不必要条件， 故选 D．
xy20
kx y 2 0
（ 6）【 2019 年北京， 理 6， 5 分】若 x, y 满足 k 的值为（ ）
y 0 且 z y x 的最小值为 4 ， 则
1
1
（ A） 2 【答案】 D 【解析】若 k ≥ 0 ， z 区
（ B） 2 y x 没有最小值，