结构力学第3章静定梁的内力计算

典型杆件截面上的内力
轴力（FN） 剪力（FQ） 弯矩（M）
轴力(FN)
横截面上应力在截面法线（杆轴） 方向上的投影（或横截面上正应 力）的代数和称为轴力。轴力使 隔离体受拉为正（与截面法线方 向相同）。
剪力（FQ）
横截面上应力在截面切线（垂直 于杆轴）方向上的投影（或横截 面上切应力）的代数和称为剪力。 剪力使隔离体顺时针转动为正 （左上、右下）。
§3.1 单跨静定梁
单跨静定梁分为
简支梁 伸臂梁 悬臂梁
(a)
(b)
(c)
(d)
1.结构的内力概念
结构的内力反映其受力后结构内部的响 应状态（产生应变及相应的应力）。杆 件结构的内力为杆件（垂直杆轴的）横 截面上分布的应力，可以用一个合力来 表示。在杆系结构的内力分析中，将这 个合力分解成作用在横截面中性轴处的 三个分量即轴力、剪力和弯矩。
FQ1 FAy qa
M1 0
a M1 q a 2 FAy a M 0
M1


1 2
qa 2

FAy a

M
用文字 写明受 拉侧
取截面1右侧为隔离体计 算可得同样结果
直接法求指定截面的内力
由例3-1-1内力计算结果 分析，指定截面的内力可 用该截面一侧的外力直接 表示，即：
结构力学
结构力学教研组 青岛理工大学工程管理系
第三章 静定梁的内力分析
静定梁是基本的结构形式
静定梁有单跨静定梁和多跨静 定梁两种形式。
通过学习单跨静定梁，复习 杆系结构内力概念及内力计算 基本方法；
通过学习多跨静定梁，了解 静定结构几何组成对内力计算 的影响，掌握静定结构内力分 析的基本途径和方法。
取截面2右侧：
FN 2

FP
3 5
FQ2

FP

4 5

FBy
qa
M2

FBy
a

FP

4 5
2a
qa
a 2
4. wenku.baidu.com载与内力的关系(未考虑 沿杆件轴向的荷载作用)
对于直杆段上，见图3-1-3
d x
图3-1-3
荷载与内力之间有下列关系：
(1)微分关系
在图3-1-3所示杆件的连续分布荷 载段截取微段dx，见图3-1-4(a), 建立微段的平衡方程：
轴力（FN）
截面一侧所有外力在指定 截面法线方向投影的代数 和，以与截面外法线方向 相反为正。即轴力按外力 左左、右右为正。
剪力（FQ）
截面一侧所有外力在指定 截面切线方向投影的代数 和，左上、右下为正。
弯矩（M）
截面一侧所有外力对 指定截面形心力矩的 代数和。左顺、右逆 为正。
例3-1-2
dx
图3-1-4(a)
FY 0
FQ dFQ FQ qdx 0 dFQ q dx
(a)
M 0
M
dM
M

FQ
dx

q

(dx) 2
2
0
dM dx FQ
(b)
由(a)、(b)两式得:
d 2M q dx2
(c)
以上三式，为荷载与内力的微分 关系。式(b)忽略了二阶微量。
截面法的一般步骤：
1. 计算结构的支座反力和约束
取结构整体（切断结构与大地的约 束）、或取结构的一部分（切开结 构的某些约束）为隔离体，建立平 衡方程。
2. 计算控制截面的内力(指定 截面的内力)
用假想的平面垂直于杆轴切开指 定截面，取截面的任意一侧为隔 离体并在其暴露的横截面上代以 相应的内力（按正方向标出）， 建立平衡方程并求解。
例3-1-1
M
用截面法，求图(a) 所示伸臂梁截面1上 的内力。
M
F A x F A y
F B y
(a) (b)
求解：
1)求支座反力
去掉支座约束，取整体为隔离 体，见图(b)。建立隔离体的平衡 方程并解之：
MB 0
FAy
3a

M

q
3a

3a 2

FP

4 5
a

0
FAy

1 M 3a
FAx

3 5
FP
由 FY 0 可校核所得支座反力。
2)求截面1处的内力
截开截面1，取左侧为隔离 体，见图（c），建立平衡方 程并解之：
M FAx
FAy
M1 FQ1
M 1 FQ 1
FBy
(c)
(d)
FX 0
FN1 FAx 0
FY 0
FN1 FAx
FQ1 FAy q a 0
3. 绘制结构的内力图
弯矩图 剪力图 轴力图
几点注意：
在静定结构的受力分析中，正
确有序地选取隔离体是解题的关 键。
取隔离体的要点是，要保证隔
离体的完全隔离，即隔离体与结 构其他部分的所有联系都要切断。
隔离体上原有的已知力（荷载 和已求出未知力）要保留，不能 有遗漏。
隔离体上与其他部分联系的截 断处，只标舍去的其他部分对隔 离体的作用力。
用直接法，求例 3-1-1图(a)所示伸 臂梁截面2上的内 力。
M
(a)
求解：
支座反力计算同例3-1-1。内力 可由下图所示受力图直接计算：
M
F A x F A y
F B y
取截面2左侧：
FN 2 FAx
FQ2 FAy q 2a
M 2 FAy 2a M q 2a a

q 3a
3a 2

FP

4 a 5
MA 0
3a
4
FBy 3a M q 3a 2 FP 5 4a 0
FBy

1 M 3a
q 3a
3a 2

FP

4 4a 5
FX 0
3 FAx FP 5 0
弯矩（M）
横截面上应力（或横截面上正 应力）对截面中性轴的力矩代 数和称为弯矩。规定弯矩的竖 标画在受拉侧。
杆件截面上的内力定义图
MA
MB
M A
M B
静定结构内力计算基本方 法和步骤：
基本方法：内力计算基本方法为截 面法。静定结构的内力计算可归纳 为：选隔离体、建立隔离体的静力 平衡方程，和求解方程三部分主要 工作。
微分关系的几何意义：
若直杆段上无荷载作用， 则剪力图是与轴线平行的一条 直线，弯矩图是一条斜直线；
若直杆段上作用均布荷载， 则剪力图为一条斜直线，弯矩 图为抛物线；
若直杆段上作用三角形分 布荷载，则剪力图为抛物线， 弯矩图为三次曲线；
以此类推
荷载图、剪力图和弯矩图 的特征依次为：零、平、斜； 平、斜、二曲；斜、二曲、三 曲；……