七年级数学 平行线的性质与判定的证明 练习题及答案
七年级数学_平行线的性质与判定的证明_练习题及答案
平行线的性质与判定的证明
温故而知新可以为师以：
重点1.平行线的性质
（1）两直线平行，同位角相等；
（2）两直线平行，内错角相等；
（3）两直线平行，同旁内角互补.
2.平行线的判定
（1）同位角相等，两直线平行；
（2）内错角相等，两直线平行；
（3）同旁内角互补，两直线平行互补.
例1 已知如图2-2，AB∥CD∥EF，点M，N，P分别在AB，CD，EF上，NQ平分∠MNP．（1）若∠AMN=60°，∠EPN=80°，分别求∠MNP，∠DNQ的度数；
（2）探求∠DNQ与∠AMN，∠EPN的数量关系．
解析：根据两直线平行，内错角相等及角平分线定义求解.
（标注∠MND=∠AMN，∠DNP=∠EPN）
答案：（标注∠MND=∠AMN=60°，
∠DNP=∠EPN=80°）
解：（1）∵AB∥CD∥EF，
∴∠MND=∠AMN=60°，
∠DNP=∠EPN=80°，
∴∠MNP=∠MND+∠DNP=60°+80°=140°，
又NQ平分∠MNP，
∴∠MNQ=1
2
∠MNP=
1
2
×140°=70°，
∴∠DNQ=∠MNQ-∠MND=70°-60°=10°，
∴∠MNP，∠DNQ的度数分别为140°，10°.(下一步) （2）（标注∠MND=∠AMN，∠DNP=∠EPN）
由（1）得∠MNP=∠MND+∠DNP=∠AMN+∠EPN，
∴∠MNQ=1
2
∠MNP=
1
2
（∠AMN+∠EPN），
∴∠DNQ=∠MNQ-∠MND
=1
2
（∠AMN+∠EPN）-∠AMN
=1
2
（∠EPN-∠AMN），
即2∠DNQ=∠EPN-∠AMN.
小结：
在我们完成涉及平行线性质的相关问题时，注意实现同位角、内错角、同旁内角之间的角度转换，即同位角相等，内错角相等，同旁内角互补.
七年级数学-平行线的性质与判定的证明-练习题及答案
答案：（标注：/1= /2=/DCB
证明：因为/AGD/ACB
所以DG/ BC,
所以/1= /DCB
又因为CDLAB,EF丄AB,
所以CD// EF,
所以/2=/DCB
所以/仁/2.
小结：
在完成证明的问题时，我们可以由角的关系可以得到直线之间的关系，由直线之间的关系也
•ZMNQ1ZMNP丄X140° =70°,
2百度文库2
•ZDNQZMNQZMND=70 -60°=10°,
•••/ MNP/DNQ勺度数分别为140°,10°.（下一步）
（2）（标注/MND/AMN/DNP/EPN
由（1）得/MNP/MND/DNP/AMN/EPN
•••/ MNQ1/MNP丄（/AMN/EPN,
可得到角的关系•
例3(1)已知：如图2-4①，直线AB// ED求证：/ABC#CDEMBCD
(2)当点C位于如图2-4②所示时，/ABC/CDE与ZBCD存在什么等量关系？并证明.
(1) 解析：动画过点C作CF// AB
由平行线性质找到角的关系.(标注Z仁ZABCZ2=ZCDE)
(2)探求/DNQ与ZAMNZEPN的数量关系.
解析：根据两直线平行，内错角相等及角平分线定义求解
(标注ZMNDZAMNZDNPZEPN
七年级数学平行线的性质与判定的证明练习题及答案
例5如图2-6，已知AB ∥CD ，试再添上一个条件，使∠1=∠2成立，并说明理由． 解析：标注AB ∥CD ，∠1=∠2
答案：方法一：（标注CF ∥BE ）
解：需添加的条件为CF ∥BE ，
理由：∵AB ∥CD ，
∴∠DCB=∠ABC.
∵CF ∥BE ，
∴∠FCB=∠EBC ，
∴∠1=∠2；
方法二：（标注CF ，BE ，∠1=∠2=∠DCF=∠ABE ）解：添加的条件为CF ，BE 分别为∠BCD ，∠CBA 的平分线．
理由：∵AB ∥CD ，
∴∠DCB=∠ABC.
∵CF ，BE 分别为∠BCD ，∠CBA 的平分线，
∴∠1=∠2．
小结：
解决此类条件开放性问题需要从结果出发，找出结果成立所需要的条件，由果溯因. 例6 如图1-7，已知直线1l 2l P ，且3l 和1l 、2l 分别交于A 、两点，点P 在AB 上，4l 和1l 、2l 分别
交于C 、D 两点，连接PC 、PD 。
（1） 试求出∠1、∠2、∠3之间的关系，并说明理由。
（2） 如果点P 在A 、B 两点之间运动时，问∠1、∠2、∠3之间的关系是否发生变化。
（3） 如果点P 在AB 两点的外侧运动时，试探究∠1、∠2、∠3之间的关系（点P 和A 、B 不
重合）
解：（1）解析：在题目中直接画出辅助线
∠3=∠1+∠2。理由：如图（1）所示
过点P 作PE ∥1l 交4l 于E ，则∠1=∠CPE ，
又因为1l ∥2l ，所以PE ∥2l ，则∠EPD=∠2，
所以∠CPD=∠1+∠2，即∠3=∠1+∠2
（2）解析:点P 在A 、B 两点之间运动时，∠3=∠
七年级数学 平行线的性质与判定的证明 练习题及答案
平行线的性质与判定的证明
温故而知新：
1.平行线的性质
（1）两直线平行，同位角相等；
（2）两直线平行，内错角相等；
（3）两直线平行，同旁内角互补.
2.平行线的判定
（1）同位角相等，两直线平行；
（2）内错角相等，两直线平行；
（3）同旁内角互补，两直线平行互补.
例1 已知如图2-2，AB∥CD∥EF，点M，N，P分别在AB，CD，EF上，NQ平分∠MNP．（1）若∠AMN=60°，∠EPN=80°，分别求∠MNP，∠DNQ的度数；
（2）探求∠DNQ与∠AMN，∠EPN的数量关系．
解析：根据两直线平行，内错角相等及角平分线定义求解.
（标注∠MND=∠AMN，∠DNP=∠EPN）
答案：（标注∠MND=∠AMN=60°，
∠DNP=∠EPN=80°）
解：（1）∵AB∥CD∥EF，
∴∠MND=∠AMN=60°，
∠DNP=∠EPN=80°，
∴∠MNP=∠MND+∠DNP=60°+80°=140°，
又NQ平分∠MNP，
∴∠MNQ=1
2
∠MNP=
1
2
×140°=70°，
∴∠DNQ=∠MNQ-∠MND=70°-60°=10°，
∴∠MNP，∠DNQ的度数分别为140°，10°.(下一步) （2）（标注∠MND=∠AMN，∠DNP=∠EPN）
由（1）得∠MNP=∠MND+∠DNP=∠AMN+∠EPN，
∴∠MNQ=1
2
∠MNP=
1
2
（∠AMN+∠EPN），
∴∠DNQ=∠MNQ-∠MND
=1
2
（∠AMN+∠EPN）-∠AMN
=1
2
（∠EPN-∠AMN），
即2∠DNQ=∠EPN-∠AMN.
小结：
在我们完成涉及平行线性质的相关问题时，注意实现同位角、内错角、同旁内角之间的角度转换，即同位角相等，内错角相等，同旁内角互补.
七年级数学-平行线的性质与判定的证明-练习题及答案
平行线的性质与判定的证明
温故而知新可以为师以：
重点1.平行线的性质
（1）两直线平行，同位角相等；
（2）两直线平行，内错角相等；
（3）两直线平行，同旁内角互补.
2.平行线的判定
（1）同位角相等，两直线平行；
（2）内错角相等，两直线平行；
（3）同旁内角互补，两直线平行互补.
例1 已知如图2-2，AB∥CD∥EF，点M，N，P分别在AB，CD，EF上，NQ平分∠MNP．（1）若∠AMN=60°，∠EPN=80°，分别求∠MNP，∠DNQ的度数；
（2）探求∠DNQ与∠AMN，∠EPN的数量关系．
解析：根据两直线平行，内错角相等及角平分线定义求解.
（标注∠MND=∠AMN，∠DNP=∠EPN）
答案：（标注∠MND=∠AMN=60°，
∠DNP=∠EPN=80°）
解：（1）∵AB∥CD∥EF，
∴∠MND=∠AMN=60°，
∠DNP=∠EPN=80°，
∴∠MNP=∠MND+∠DNP=60°+80°=140°，
又NQ平分∠MNP，
∴∠MNQ=1
2
∠MNP=
1
2
×140°=70°，
∴∠DNQ=∠MNQ-∠MND=70°-60°=10°，
∴∠MNP，∠DNQ的度数分别为140°，10°.(下一步) （2）（标注∠MND=∠AMN，∠DNP=∠EPN）
由（1）得∠MNP=∠MND+∠DNP=∠AMN+∠EPN，
∴∠MNQ=1
2
∠MNP=
1
2
（∠AMN+∠EPN），
∴∠DNQ=∠MNQ-∠MND
=1
2
（∠AMN+∠EPN）-∠AMN
=1
2
（∠EPN-∠AMN），
即2∠DNQ=∠EPN-∠AMN.
小结：
在我们完成涉及平行线性质的相关问题时，注意实现同位角、内错角、同旁内角之间的角度转换，即同位角相等，内错角相等，同旁内角互补.
七年级数学 平行线的性质与判定的证明 练习题及答案
平行线的性质与判定的证明
温故而知新：
1.平行线的性质
（1）两直线平行，同位角相等；
（2）两直线平行，内错角相等；
（3）两直线平行，同旁内角互补.
2.平行线的判定
（1）同位角相等，两直线平行；
（2）内错角相等，两直线平行；
（3）同旁内角互补，两直线平行互补.
例1 已知如图2-2，AB∥CD∥EF，点M，N，P分别在AB，CD，EF上，NQ平分∠MNP．（1）若∠AMN=60°，∠EPN=80°，分别求∠MNP，∠DNQ的度数；
（2）探求∠DNQ与∠AMN，∠EPN的数量关系．
解析：根据两直线平行，内错角相等及角平分线定义求解.
（标注∠MND=∠AMN，∠DNP=∠EPN）
答案：（标注∠MND=∠AMN=60°，
∠DNP=∠EPN=80°）
解：（1）∵AB∥CD∥EF，
∴∠MND=∠AMN=60°，
∠DNP=∠EPN=80°，
∴∠MNP=∠MND+∠DNP=60°+80°=140°，
又NQ平分∠MNP，
∴∠MNQ=1
2
∠MNP=
1
2
×140°=70°，
∴∠DNQ=∠MNQ-∠MND=70°-60°=10°，
∴∠MNP，∠DNQ的度数分别为140°，10°.(下一步) （2）（标注∠MND=∠AMN，∠DNP=∠EPN）
由（1）得∠MNP=∠MND+∠DNP=∠AMN+∠EPN，
∴∠MNQ=1
2
∠MNP=
1
2
（∠AMN+∠EPN），
∴∠DNQ=∠MNQ-∠MND
=1
2
（∠AMN+∠EPN）-∠AMN
=1
2
（∠EPN-∠AMN），
即2∠DNQ=∠EPN-∠AMN.
小结：
在我们完成涉及平行线性质的相关问题时，注意实现同位角、内错角、同旁内角之间的角度转换，即同位角相等，内错角相等，同旁内角互补.
（完整版）七年级数学平行线的有关证明及答案
（完整版）七年级数学平⾏线的有关证明及答案
平⾏线的性质与判定的证明
练习题
温故⽽知新：
1.平⾏线的性质
（1）两直线平⾏，同位⾓相等；
（2）两直线平⾏，内错⾓相等；
（3）两直线平⾏，同旁内⾓互补.
2.平⾏线的判定
（1）同位⾓相等，两直线平⾏；
（2）内错⾓相等，两直线平⾏；
（3）同旁内⾓互补，两直线平⾏互补.
例1 已知如图2-2，AB∥CD∥EF，点M，N，P分别在AB，CD，EF上，NQ平分∠MNP．（1）若∠AMN=60°，∠EPN=80°，分别求∠MNP，∠DNQ的度数；
（2）探求∠DNQ与∠AMN，∠EPN的数量关系．
解析：
在我们完成涉及平⾏线性质的相关问题时，注意实现同位⾓、内错⾓、同旁内⾓之间的⾓度转换，即同位⾓相等，内错⾓相等，同旁内⾓互补.
例2 如图，∠AGD＝∠ACB,CD⊥AB,EF⊥AB,证明：∠1＝∠2.
解析：在完成证明的问题时，我们可以由⾓的关系可以得到直线之间的关系，由直线之间的关系也可得到⾓的关系.
例3 （1）已知：如图2-4①，直线AB∥ED，求证：∠ABC+∠CDE=∠BCD；
（2）当点C位于如图2-4②所⽰时，∠ABC，∠CDE与∠BCD存在什么等量关系？并证明．
解析：在运⽤平⾏线性质时，有时需要作平⾏线，取到桥梁的作⽤，实现已知条件的转化.
例4 如图2-5，⼀条公路修到湖边时，需绕道，如果第⼀次拐的⾓∠A是120°，第⼆次拐的⾓∠B是150°，第三次拐的⾓是
∠C，这时的道路恰好和第⼀次拐弯之前的道路平⾏，那么∠C应为多少度？
解析：把关于⾓度的问题转化为平⾏线问题，利⽤平⾏线的性质与判定予以解答.
(完整版)七年级数学_平行线的性质与判定的证明_练习题及答案
平行线的性质与判定的证明
温故而知新可以为师以：
重点1.平行线的性质
（1）两直线平行，同位角相等；
（2）两直线平行，内错角相等；
（3）两直线平行，同旁内角互补.
2.平行线的判定
（1）同位角相等，两直线平行；
（2）内错角相等，两直线平行；
（3）同旁内角互补，两直线平行互补.
例1 已知如图2-2，AB∥CD∥EF，点M，N，P分别在AB，CD，EF上，NQ平分∠MNP．（1）若∠AMN=60°，∠EPN=80°，分别求∠MNP，∠DNQ的度数；
（2）探求∠DNQ与∠AMN，∠EPN的数量关系．
解析：根据两直线平行，内错角相等及角平分线定义求解.
换，即同位角相等，内错角相等，同旁内角互补.
例2 如图，∠AGD＝∠ACB,CD⊥AB,EF⊥AB,证明：∠1＝∠2.
解析：（标注：∠1＝∠2=∠DCB，DG∥BC，CD∥EF）
答案：（标注：∠1＝∠2=∠DCB）
证明：因为∠AGD=∠ACB，
所以DG∥BC，
所以∠1＝∠DCB，
又因为CD⊥AB,EF⊥AB，
所以CD∥EF，
所以∠2＝∠DCB，
所以∠1=∠2.
小结：
在完成证明的问题时，我们可以由角的关系可以得到直线之间的关系，由直线之间的关系也可得到角的关系.
例3 （1）已知：如图2-4①，直线AB∥ED，求证：∠ABC+∠CDE=∠BCD；
（2）当点C位于如图2-4②所示时，∠ABC，∠CDE与∠BCD存在什么等量关系？并证明．
（1）解析：动画过点C作CF∥AB
由平行线性质找到角的关系.(标注∠1=∠ABC，∠2=∠CDE) 答案：证明：如图，过点C作CF∥AB，
七级数学平行线的性质与判定的证明练习题及答案
温故而知新：
1.平行线的性质
（1）两直线平行，同位角相等；
（2）两直线平行，内错角相等；
（3）两直线平行，同旁内角互补.
2.平行线的判定
（1）同位角相等，两直线平行；
（2）内错角相等，两直线平行；
（3）同旁内角互补，两直线平行互补.
例1 已知如图2-2，AB∥CD∥EF，点M，N，P分别在AB，CD，EF上，NQ平分∠MNP．（1）若∠AMN=60°，∠EPN=80°，分别求∠MNP，∠DNQ的度数；
（2）探求∠DNQ与∠AMN，∠EPN的数量关系．
解读：根据两直线平行，内错角相等及角平分线定义求解.
（标注∠MND=∠AMN，∠DNP=∠EPN）
答案：（标注∠MND=∠AMN=60°，
∠DNP=∠EPN=80°）
解：（1）∵AB∥CD∥EF，
∴∠MND=∠AMN=60°，
∠DNP=∠EPN=80°，
∴∠MNP=∠MND+∠DNP=60°+80°=140°，
又NQ平分∠MNP，
∴∠MNQ=1
2
∠MNP=
1
2
×140°=70°，
∴∠DNQ=∠MNQ-∠MND=70°-60°=10°，
∴∠MNP，∠DNQ的度数分别为140°，10°.(下一步) （2）（标注∠MND=∠AMN，∠DNP=∠EPN）
由（1）得∠MNP=∠MND+∠DNP=∠AMN+∠EPN，
∴∠MNQ=1
2
∠MNP=
1
2
（∠AMN+∠EPN），
∴∠DNQ=∠MNQ-∠MND
=1
2
（∠AMN+∠EPN）-∠AMN
=1
2
（∠EPN-∠AMN），
即2∠DNQ=∠EPN-∠AMN.
小结：
在我们完成涉及平行线性质的相关问题时，注意实现同位角、内错角、同旁内角之间的角度转换，即同位角相等，内错角相等，同旁内角互补.
(完整)七年级数学平行线的性质与判定的证明练习题及答案
平行线的性质与判定的证明
温故而知新：
1.平行线的性质
（1）两直线平行，同位角相等；
（2）两直线平行，内错角相等；
（3）两直线平行，同旁内角互补.
2.平行线的判定
（1）同位角相等，两直线平行；
（2）内错角相等，两直线平行；
（3）同旁内角互补，两直线平行互补.
例1 已知如图2-2，AB∥CD∥EF，点M，N，P分别在AB，CD，EF上，NQ平分∠MNP．（1）若∠AMN=60°，∠EPN=80°，分别求∠MNP，∠DNQ的度数；
（2）探求∠DNQ与∠AMN，∠EPN的数量关系．
解析：根据两直线平行，内错角相等及角平分线定义求解.
（标注∠MND=∠AMN，∠DNP=∠EPN）
答案：（标注∠MND=∠AMN=60°，
∠DNP=∠EPN=80°）
解：（1）∵AB∥CD∥EF，
∴∠MND=∠AMN=60°，
∠DNP=∠EPN=80°，
∴∠MNP=∠MND+∠DNP=60°+80°=140°，
又NQ平分∠MNP，
∴∠MNQ=1
2
∠MNP=
1
2
×140°=70°，
∴∠DNQ=∠MNQ-∠MND=70°-60°=10°，
∴∠MNP，∠DNQ的度数分别为140°，10°.(下一步) （2）（标注∠MND=∠AMN，∠DNP=∠EPN）
由（1）得∠MNP=∠MND+∠DNP=∠AMN+∠EPN，
∴∠MNQ=1
2
∠MNP=
1
2
（∠AMN+∠EPN），
∴∠DNQ=∠MNQ-∠MND
=1
2
（∠AMN+∠EPN）-∠AMN
=1
2
（∠EPN-∠AMN），
即2∠DNQ=∠EPN-∠AMN.
小结：
在我们完成涉及平行线性质的相关问题时，注意实现同位角、内错角、同旁内角之间的角度转换，即同位角相等，内错角相等，同旁内角互补.
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平行线的性质与判定的证明
温故而知新：
1.平行线的性质
（1）两直线平行，同位角相等；
（2）两直线平行，内错角相等；
（3）两直线平行，同旁内角互补.
2.平行线的判定
（1）同位角相等，两直线平行；
（2）内错角相等，两直线平行；
（3）同旁内角互补，两直线平行互补.
例1 已知如图2-2，AB∥CD∥EF，点M，N，P分别在AB，CD，EF上，NQ平分∠MNP．（1）若∠AMN=60°，∠EPN=80°，分别求∠MNP，∠DNQ的度数；
（2）探求∠DNQ与∠AMN，∠EPN的数量关系．
解析：根据两直线平行，内错角相等及角平分线定义求解.
（标注∠MND=∠AMN，∠DNP=∠EPN）
答案：（标注∠MND=∠AMN=60°，
∠DNP=∠EPN=80°）
解：（1）∵AB∥CD∥EF，
∴∠MND=∠AMN=60°，
∠DNP=∠EPN=80°，
∴∠MNP=∠MND+∠DNP=60°+80°=140°，
又NQ平分∠MNP，
∴∠MNQ=1
2
∠MNP=
1
2
×140°=70°，
∴∠DNQ=∠MNQ-∠MND=70°-60°=10°，
∴∠MNP，∠DNQ的度数分别为140°，10°.(下一步) （2）（标注∠MND=∠AMN，∠DNP=∠EPN）
由（1）得∠MNP=∠MND+∠DNP=∠AMN+∠EPN，
∴∠MNQ=1
2
∠MNP=
1
2
（∠AMN+∠EPN），
∴∠DNQ=∠MNQ-∠MND
=1
2
（∠AMN+∠EPN）-∠AMN
=1
2
（∠EPN-∠AMN），
即2∠DNQ=∠EPN-∠AMN.
小结：
在我们完成涉及平行线性质的相关问题时，注意实现同位角、内错角、同旁内角之间的角度转换，即同位角相等，内错角相等，同旁内角互补.
例2 如图，∠AGD＝∠ACB,CD⊥AB,EF⊥AB,证明：∠1＝∠2.
解析：（标注：∠1＝∠2=∠DCB，DG∥BC，CD∥EF）
答案：（标注：∠1＝∠2=∠DCB）
证明：因为∠AGD=∠ACB，
所以DG∥BC，
所以∠1＝∠DCB，
又因为CD⊥AB,EF⊥AB，
所以CD∥EF，
所以∠2＝∠DCB，
所以∠1=∠2.
小结：
在完成证明的问题时，我们可以由角的关系可以得到直线之间的关系，由直线之间的关系也可得到角的关系.
例3 （1）已知：如图2-4①，直线AB∥ED，求证：∠ABC+∠CDE=∠BCD；
（2）当点C位于如图2-4②所示时，∠ABC，∠CDE与∠BCD存在什么等量关系？并证明．
（1）解析：动画过点C作CF∥AB
由平行线性质找到角的关系.(标注∠1=∠ABC，∠2=∠CDE)
答案：证明：如图，过点C作CF∥AB，
∵直线AB∥ED，
∴AB∥CF∥DE，
∴∠1=∠ABC，∠2=∠CDE.
∵∠BCD=∠1+∠2，
∴∠ABC+∠CDE=∠BCD；
（2）解析：动画过点C作CF∥AB,由平行线性质找到角的关系.
（标注∠ABC+∠1=180°，∠2+∠CDE=180°）
答案：∠ABC+∠BCD+∠CDE=360°．
证明：如图，过点C作CF∥AB，
∵直线AB∥ED，
∴AB∥CF∥DE，
∴∠ABC+∠1=180°，∠2+∠CDE=180°.
∵∠BCD=∠1+∠2，
∴∠ABC+∠BCD+∠CDE=360°．
小结：
在运用平行线性质时，有时需要作平行线，取到桥梁的作用，实现已知条件的转化.
例4 如图2-5，一条公路修到湖边时，需绕道，如果第一次拐的角∠A是120°，第二次拐的角∠B是150°，第三次拐的角是∠C，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，那么∠C应为多少度？
解析：动画过点B作BD∥AE，
答案：
解：过点B作BD∥AE，∵AE∥CF，
∴AE∥BD∥CF，∴∠A=∠1，∠2＋∠C=180°
∵∠A=120°，∠1+∠2=∠ABC=150°，
∴∠2=30°，
∴∠C=180°-30°=150°．
小结：
把关于角度的问题转化为平行线问题，利用平行线的性质与判定予以解答.
举一反三：
1.如图2-9，FG∥HI,则∠x的度数为（）
A.60°
B. 72°
C. 90°
D. 100°
解析：∠AEG=180°-120°=60°,由外凸角和等于内凹角和有60°+30°+30°＝x+48°，解得x=72°.
答案:B.
2.已知如图所示，AB∥EF∥CD，EG平分∠BEF，∠B+∠BED+∠D=192°，∠B-∠D=24°，求∠GEF的度数.
解析：
解:∵AB∥EF∥CD,
∴∠B=∠BEF,∠DEF=∠D.
∵∠B+∠BED+∠D=192°,
即∠B+∠BEF+∠DEF+∠D=192°,
∴2(∠B+∠D)=192°,
即∠B+∠D=96°.
∵∠B-∠D=24°,
∴∠B=60°,