03讲+最优控制-变分法-泛函极值
泛函极值及变分法
第二章 泛函极值及变分法（补充内容）2.1 变分的基本概念2.1.1 泛函和变分泛函是一种广义的函数，是指对于某一类函数{y (x )}中的每一个函数y (x )，变量J 有一值与之对应，或者说数J 对应于函数y (x )的关系成立，则我们称变量J 是函数y (x )的泛函，记为J [y (x )]。
例1：如果表示两固定端点A (x A ，y A )，B (x B ，y B )间的曲线长度J （图2.1.1），则由微积分相关知识容易得到：dx dx dy J BAx x ⎰+=2)/(1 （2.1.1）显然，对于不同的曲线y (x )，对应于不同的长度J ，即J 是函数y (x )的函数，J =J [y (x )]。
图2.1.1 两点间任一曲线的长度例2：历史上著名的变分问题之一——最速降线问题，如果2.1.2所示。
设在不同铅垂线上的两点P 1与P 2连接成某一曲线，质点P 在重力作用下沿曲线由点P 1自由滑落到点P 2，这里不考虑摩擦作用影响，希望得到质点沿什么样的曲线滑落所需时间最短。
图2.1.2 最速降线问题选取一个表示曲线的函数y (x )，设质点从P 1到P 2沿曲线y =y (x )运动，则其运动速度为：dsv dt ==其中，S 表示曲线的弧长，t 表示时间，于是：dt =设重力加速度为g ，则gy v 2=。
因为P 1和P 2点的横坐标分别为x 1到x 2，那么质点从P 1到P 2所用时间便为：1[()]x x J y x =⎰211/2211[()]2[()()]x x y x dx g y x y x ⎧⎫'+=⎨⎬-⎩⎭⎰（2.1.2）则最速降线问题对应于泛函J [y (x )]取最小值。
回顾函数的微分：对于函数的微分有两种定义： 一种是通常的定义，即函数的增量：),()()()(x x x x A x y x x y y ∆+∆=-∆+=∆ρ （2.1.3） 其中A （x ）与∆x 无关，且有∆x →0时ρ（x ,∆x ）→0，于是就称函数y (x )是可微的，其线性部分称为函数的微分()()dy A x x y x x '=∆=∆，函数的微分就是函数增量的主部。
泛函和泛函的极值
泛函和泛函的极值泛函和泛函的极值泛函是指某一个量，它的值依赖于其它一个或者几个函数。
变分法的基本问题是求解泛函的极值。
作为变分法的简单例题。
考察x,y平面上连接两个定点的所有曲线中，求满足边界条件的任意曲线y(x)中最短曲线。
设P(x，y)和P(x，y)为平面上给定的两点，y(x)为连接两点的任意曲111222 线。
于是，这一曲线的长度为连接P，P2两点的曲线有无数条，每一条曲线都有一个L值与其对应。
满1 足边界条件的(xy)称为容许函数，问题是要从这些曲线，容许函数中找出使得曲线长度L最小的一条。
根据上式，L [y]依赖于y(x)，而y(x)是x的函数，因此称y(x)为自变函数;L [y]是倚赖于自变函数的函数，称为泛函。
求解最短程线问题，即在满足边界条件在x=x时， y(x)=y y'(x)= y' 1111在x=x时， y(x)=y y'(x)= y' 2211的函数y(x)中，求使得泛函L [y]为极值的特定函数。
因此 y(x)称为容许函数。
上述问题应用变分法可以概括为求解泛函在边界条件 y(x)=y, y(x)=y2的极小值问题。
112假设函数y(x)是使得泛函L [y]为最小的特定函数(真实的)。
变分法有兴趣研究的是邻近于y(x)的任意容许函数引起泛函L []的改变。
设其中, 为小参数，而, (x)为边界值为零的任意函数。
当x固定时，容许函数与y(x)的差 , y 称为泛函自变函数的变分，即类似地，容许函数的斜率与y(x)斜率的差, y', 称为泛函自变函数斜率的变分，即应该注意 , y 与函数y(x)的微分dy之间的差别，dy是自变量x的改变量dx 引起的y(x)的无穷小增量。
而变分, y 是 y(x)的任意一个微小的改变量。
设泛函增量按泰勒级数展开，则设泛函的增量由泛函的变分表示，有分别定义为泛函的一阶，二阶或k阶变分，分别为, 的一次，二次或者k次齐次式。
泛函极值问题的求解
泛函极值问题的求解泛函极值问题的求解使用变分法。
泛函极值问题是指在给定约束条件下，求一个泛函的极值。
泛函是一个函数的函数，即输入是函数，输出是一个实数。
假设有一个泛函J[f]，其中f是一个函数，我们要求使得J[f]取得极小值或极大值。
解决这个问题的方法是通过变分法，变分法的基本思想是将函数f沿着任意变化，并计算J[f]的变化。
如果变化很小，那么我们可以认为J[f]的变化主要来自于f的变化。
为了使用变分法求解泛函极值问题，需要定义一个变分算子δ，表示函数f的变分。
变分算子的定义如下：δ[f(x)] = εh(x)其中，ε是一个很小的实数，h(x)是一个任意函数。
使用变分算子之后，泛函的变化可以表示为：δJ[f] = J[f + εh(x)] - J[f]对δJ[f]进行展开，再取ε趋近于0的极限，得到以下关系：δJ[f] = 0这个关系成为欧拉方程，它是求解泛函极值问题的基本方程。
根据具体的泛函形式和约束条件，可以使用欧拉方程得到具体的解。
需要注意的是，在变分法中，要求函数f满足一定的边界条件。
边界条件是泛函极值问题中的附加条件，通过这些条件可以得到具有特定特征的解。
总结起来，求解泛函极值问题的步骤如下：1. 定义泛函J[f]以及函数f满足的边界条件；2. 引入变分算子δ并计算δJ[f]；3. 使用欧拉方程δJ[f] = 0 求解得到f的表达式；4. 检验解是否满足边界条件，如果不满足，则舍去；5. 找到所有满足边界条件的解，分别计算J[f]，选择其中极小值或极大值作为泛函的极值。
需要注意的是，求解泛函极值问题需要具备一定的数学知识和技巧，对欧拉方程的求解以及边界条件的选择都有一定的要求。
因此，在具体求解时可能需要借助一些数学工具和方法。
第二章 变分法及其在最优控制中的应用
2 dx 2 2 dx = 2 dt xx dt x t x
= 其中：
xx x xx x x
2 x
2
t
x x
x
x
2 x x
xt
2 x t
所以 式<10>的全导数欧拉方程形式为：
t0 tf
.
问题：求 u * (t )，使被控过程状态由 x (t 0) 转移到 x (t f ) ，并使目标函数
J 最小。
, t ) 代入<4> 解：把<1 >式化为u的显函数形式，即 u F ( x, x 式，则有： . tf J [ x(t ), x(t ), t ]dt 5
a
b
x 的函数
) ) F ( x, y, y F ( x, y, y ]dx J [ y y a y y
b
泛函 J [ y ( x)]的变分 J 可通过增量形式求取：
泛函增量为： J J [ y( x) y( x)] J [ y( x)]
L[ y( x), y( x)] R[ y( x), y( x)]
2、 泛函的极值的定义：
若 泛函 J [ y ( x)] 在任何一条与 y y 0 ( x) 曲线接近的曲 线上的值均不小于 J [ y ( x)] ，即： ， J [ y( x)] J [ y0 ( x)] 0 则称泛函 J [ y ( x)] 在曲线上达到极小值。 泛函极值是一个相对概念 ， y ( x) 实际为相对于y0 ( x) 的一个微 小变化，变化形式有上述两种 :
1 3
x(t )
变分法和泛函分析的研究
变分法和泛函分析的研究变分法和泛函分析是数学中的两个重要分支。
变分法是研究函数极值问题的数学方法，泛函分析则是研究无限维函数空间及其性质的数学方法。
本篇文章将简单讨论这两个领域的研究方向和应用。
一、变分法变分法是研究函数极值问题的数学方法，主要应用于微积分，控制论，力学，量子力学等领域。
它的主要思想是将函数极值问题转化为求函数满足一定条件下使得某一个积分或泛函取得最小值。
在变分法中，关键是如何寻找函数使得积分或泛函取得最小值。
常见的变分法问题有：1. 线性泊松方程问题。
研究在区域Ω内满足边界条件和齐次边界条件的调和函数u(x,y)的最大值和最小值。
2. 自然边界问题。
研究在区域Ω内满足边界条件和齐次边界条件的函数u(x,y)的最大值和最小值。
3. 牛顿优化问题。
研究带有约束条件的非线性优化问题。
4. 最小化曲线问题。
研究如何使得曲率最小的曲线，或满足特定要求的曲线。
在变分法中，最重要的数学工具是变分和变分运算。
a. 变分对于一个函数f，定义其变分为δf。
变分的数学表达式为：δf= lim(ε→0) (f(x+ε)-f(x))/ε，其中ε为一个很小的正数，x为函数的自变量。
b. 变分运算变分运算就是利用变分对函数进行改变，以求出最小值或最大值。
变分运算有以下几种形式：1. 线性变分对于一个函数f(x)，它的线性变分为：δf= ∫ δf(x)φ(x)dx其中φ为一个定义在R上的函数。
2. 泛函的导数对于一个泛函F(f)，它的导数为：dF(f)/dt= lim(ε→0) [F(f+εh)-F(f)]/ε其中h为定义在R上的函数。
3. 求极值将要求的极值代入泛函的导数中，得到求极值的条件。
dF(f)/dt=0以上就是变分法的基本理论和方法。
二、泛函分析泛函分析是研究无限维函数空间及其性质的数学方法。
它的研究对象是无限维的函数空间和在此空间上的函数，例如Sobolev空间，L2空间等。
泛函分析发展起来的原因是线性代数和实变函数分析的方法无法处理无限维空间中的问题。
变分法与最优控制问题
变分法与最优控制问题在数学和物理学中，变分法是一种用于求解最优化问题的数学方法，特别适用于求解函数als^565^到l=0的极值点。
最优控制问题是指在给定约束条件下，寻找使得控制系统性能指标最优的控制策略。
本文将介绍变分法与最优控制问题的基本概念和应用。
一、变分法的基本概念变分法是一种通过将问题转化为变分问题，再利用变分法原理对变分问题进行求解的方法。
变分法关注的是函数als^565^的泛函ls^565^= ∫f(als^565^, al'=I0'~I1'，其中als^565^是取决于一个或多个独立变量al的函数。
变分问题就是要找到使得泛函ls^565^达到极值的函数als^565^。
二、变分法的应用变分法在数学和物理学中有广泛的应用，特别是在最优控制问题中。
最优控制问题是指在给定的系统模型和性能指标下，寻找使得性能指标最优的控制策略。
变分法在最优控制问题中起到了重要的作用。
在最优控制问题中，我们需要根据系统的状态变量和控制变量，构建系统的数学模型。
然后，通过构建性能指标，将最优控制问题转化为求解一个泛函的极小值问题。
利用变分法的原理，我们可以获得泛函的欧拉-拉格朗日方程，从而得到系统的最优控制策略。
最优控制问题的解决可以为实际应用提供最佳的控制策略。
三、变分法与最优控制问题的应用举例为了更好地理解变分法与最优控制问题，我们举一个简单的例子来说明其应用。
假设有一辆汽车行驶在一段道路上，我们的目标是寻找一种最优的加速度控制策略，使得汽车在最短的时间内到达目的地。
在这个问题中，车辆的位置可以用参数x表示，车辆的速度可以用参数v表示，我们的目标是找到使得到达目的地时间最短的速度曲线v(t)。
首先，我们需要建立车辆的数学模型，这里我们假设车辆的运动服从牛顿第二定律。
通过构建性能指标，我们可以得到泛函的表达式：ls^565^ = ∫[1 + (dht/dt)^2]dt其中dht/dt=t。
无穷维空间上的变分方法和最优控制
无穷维空间上的变分方法和最优控制在数学和控制理论中，变分方法和最优控制是两个相关且重要的概念。
它们是为了解决在无穷维空间中的问题而开发的技术和工具。
本文将介绍无穷维空间上的变分方法和最优控制的基本原理和应用。
一、无穷维空间中的变分问题在传统的微分方程理论中，我们通常考虑有限维空间上的问题。
然而，在某些情况下，我们需要考虑无穷维空间上的问题，例如描述连续介质的偏微分方程、描述量子力学的波函数等等。
在无穷维空间上，我们无法通过代数方程来求解问题，而是需要使用变分法。
变分法是一种基于变分原理的数学方法，它通过求解一个函数的极值问题来获得函数的解。
在无穷维空间中，我们需要考虑无穷维函数的变分问题。
其中最基本的概念是泛函，泛函是一个将函数映射到实数的映射。
我们可以定义一个泛函的变分，并通过求解变分问题来得到泛函的极值。
二、无穷维空间中的最优控制最优控制是一种寻找系统在一定性能指标下的最优控制策略的方法。
在有限维空间中，最优控制问题可以使用动态规划等方法求解。
然而，在无穷维空间中，最优控制问题更加复杂。
例如，在描述连续介质的方程中，我们需要确定一个无穷维函数，使得系统在一定约束条件下的性能指标最优。
为了解决无穷维空间中的最优控制问题，我们需要使用变分方法。
首先，我们可以构建一个性能指标函数，它是一个泛函，并且依赖于控制和系统状态。
然后，我们可以通过求解变分问题来得到最优控制策略。
最优控制问题的解通常是一个偏微分方程，这是由于在无穷维空间中，控制策略本身是一个无穷维函数。
三、无穷维变分和最优控制的应用无穷维变分方法和最优控制方法在许多领域中都有广泛的应用。
在物理学中，它们被用来描述量子力学和连续介质的性质。
在工程学中，它们被用来优化控制系统的性能，并设计高级控制策略。
在经济学中，它们被用来优化经济系统的决策和规划。
例如，变分方法和最优控制方法在航空航天领域有重要的应用。
通过应用变分方法，我们可以找到航天器的最佳轨道和姿态控制策略，以实现最佳的任务执行和能源利用。
最优控制问题的变分法解析
最优控制问题的变分法解析最优控制问题是应用数学中的一个重要分支，目标是通过对系统的动力学方程和性能指标进行数学建模，找到使性能指标最优化的控制策略。
在寻找最优控制策略的方法中，变分法起到了至关重要的作用。
本文将对最优控制问题的变分法进行解析，介绍其基本原理和应用方法。
一、变分法的基本原理变分法是数学中的一种计算最优化问题的方法，它基于函数的变分性质进行求解。
在最优控制问题中，我们通过变分法来求解函数的最小值，即找到一条函数曲线使得性能指标达到最优。
变分法的基本思想是将函数曲线看作是一个整体，通过对其进行微小的扰动来求解极值。
二、最优控制问题的变分表述最优控制问题通常可以用一组动力学方程和性能指标函数来表述。
假设已知系统的状态方程为：dx(t)/dt = f(x(t), u(t), t)其中，x(t)表示系统的状态，u(t)表示控制变量，t表示时间。
我们的目标是通过选择合适的控制变量u(t)，使得性能指标函数J[x(t), u(t), t]最小化。
性能指标函数通常由目标状态和控制变量的组合表示。
为了求解最优控制问题，首先定义一个泛函：J[u(t)] = ∫L(x(t), u(t), t)dt其中，L(x(t), u(t), t)表示拉格朗日函数，它由性能指标函数和动力学方程组合而成。
通过对泛函J[u(t)]进行变分的方式，我们可以得到最优控制问题的欧拉-拉格朗日方程：δJ[u(t)]/δu(t) = 0三、求解最优控制问题的步骤1. 构建拉格朗日函数L(x(t), u(t), t)：根据最优控制问题的具体要求，我们可以选择合适的拉格朗日函数。
通常情况下，拉格朗日函数由系统的动力学方程和性能指标函数组合而成。
2. 求解欧拉-拉格朗日方程：将拉格朗日函数带入欧拉-拉格朗日方程，利用变分法的原理求取控制变量u(t)。
3. 验证最优性条件：通过对极值条件的验证来确定所得到的解是否是最优解。
验证的方法包括极大极小值的判断、边界条件的验证等。
泛函极值问题
最大收益：手把手教你解决泛函极值问题泛函极值问题是数学领域的一个热门话题，近年来受到越来越多的关注。
其实，泛函极值问题也是一道数学问题，主要是针对对应一些映射关系的函数中，找到最大（最小）值点的问题。
本文将介绍泛函极值问题的相关知识点和解决方法。
首先，我们需要了解的是泛函的概念。
泛函是一类将元素集合映射成某个数域上的元素的映射函数，其中元素集合可以是一个函数空间或若干个函数空间的笛卡尔积。
泛函可以看作是一种从函数空间到数域上的函数映射，常用于函数空间中的极值问题。
接下来，我们来讲解一下泛函求最值的方法。
通常情况下，我们使用变分法进行求解。
变分法，又叫变分原理，是一种数学、力学、物理用于求解函数极值问题的方法，是一种求变分的极值，即求泛函的最小值的方法，是泛函分析的基本工具。
使用变分法求解泛函极值问题，通常需要先写出泛函和变分定义式，再对变分定义式进行接下来的运算，求解出泛函极值。
具体步骤为：
1.将泛函用变分定义式进行表达
2.对变分定义式进行展开和简化
3.利用变分定义式求一阶变分
4.把一阶变分代入变分定义式
5.消去高阶无穷小
6.得到泛函极值条件
通过以上步骤，我们可以使用变分法轻松解决泛函极值问题。
总的来说，泛函极值问题是一道比较困难的数学问题，需要我们结合数学知识和实际应用场景进行解决。
通过本文的介绍，相信读者们能够深入了解泛函极值问题的相关概念和解决方法，进而提升自己的求解能力。
北航最优控制ppt第三章
5、泛函的变分： 当自变量函数 X (t ) 有变分δX 时， 泛函的增量为
∆J = J [X + δX ] − J [X ]
= δJ [X ,δX ] + ε δX
这里， [X , δX ] 是 δX 的线性泛函，若 δX → 0 时， δJ 有ε → 0，则称δJ [X , δX ] 是泛函 J [X ] 的变分。 J 是 ∆J δ 的线性主部。
6、泛函的极值：若存在ε > 0 ，对满足的 X − X * < ε 一切X，J ( X ) − J ( X * ) 具有同一符号，则 称 J ( X ) 在 X = X *处有极值。
定理： ( X ) 在 X = X * 处有极值的必要条件是对 J
于所有容许的增量函数 δX （自变量的变分）， 泛函 J ( X ) 在 X * 处的变分为零
例3-1
求通过点（0，0）及（1，1）且使
& J = ∫ ( x 2 + x 2 )dt
0 1
x * (t )。 取极值的轨迹
解 这是固定端点问题，相应的欧拉——拉格朗日方 程为 d
2x − dt & (2 x) = 0
即
&& − x = 0 x
它的通解形式为
x (t ) = Acht + Bsht
现在，将上面对 x(t ) 是标量函数时所得到的公式推 广到 X (t )是n维向量函数的情况。这时，性能泛函为
& J = ∫ F ( X , X , t )dt
t0 tf
(3-9)
式中
x1 (t ) x (t ) X = 2 M xn (t )
& x1 (t ) x (t ) & & = 2 X M & x n (t )
数学中的泛函分析与变分法
数学中的泛函分析与变分法泛函分析和变分法是数学中重要的分支领域，它们在多个学科领域中有广泛的应用，尤其在物理学、工程学和经济学中。
本文将介绍泛函分析和变分法的基本概念、主要应用以及其在数学研究中的重要性。
一、泛函分析的基本概念泛函分析是研究函数空间及其上的泛函的数学分支。
在泛函分析中，函数被视为向量，函数空间被视为向量空间。
泛函是将函数映射到实数域的运算。
泛函分析的基本概念包括：1. 函数空间：函数空间是一组函数的集合，常用的函数空间有无限可微函数空间、连续函数空间和Lebesgue可积函数空间等。
2. 泛函：泛函是将函数映射到实数的映射，常见的泛函有函数的积分、导数和极限等。
3. 内积空间：内积空间是指具有内积运算的向量空间，它能够定义向量之间的夹角和长度。
4. 范数：范数是向量空间上的度量，它能够衡量向量的大小。
二、泛函分析的主要应用泛函分析在许多学科领域中有广泛的应用，以下是其中的几个主要应用：1. 物理学：泛函分析在量子力学中的应用非常重要，可以描述量子力学的态矢量和算符。
它还在经典力学中的变分原理和哈密顿力学中起到关键作用。
2. 工程学：泛函分析在工程学中的应用包括信号处理、图像处理、控制论和优化问题等。
例如，优化问题中的最优控制和最优化方法都是基于泛函分析的算法。
3. 经济学：泛函分析在经济学中的应用主要集中在最优化理论和均衡分析等方面。
它可以通过建立合适的目标函数和约束条件，来研究经济系统中的最优决策和均衡状态。
4. 数学研究：泛函分析在数学研究中非常重要，它为其他分支领域提供了理论支撑。
例如，在偏微分方程的研究中，泛函分析提供了强大的工具和方法。
三、变分法的基本原理变分法是一种用于求解泛函极值的数学方法，它是泛函分析中的重要内容。
通过变分法，可以求解函数的极值问题，对于约束条件下的极值问题也同样适用。
变分法的基本原理包括：1. 变分问题的建立：首先建立一个泛函，然后将其转化为一个求解极值问题。
最优控制问题的主要方法
最优控制问题的主要方法最优控制问题是控制理论中的一个重要分支，其目标是在给定系统动力学和性能指标的情况下，寻找最优的控制策略，使系统达到最优性能或目标。
以下是最优控制问题的一些主要方法：1.变分法（ Calculus（of（Variations）：（变分法是一种数学工具，用于寻找泛函的极值。
在最优控制中，系统的性能指标通常可以表示为一个泛函。
变分法可以通过最小化或最大化泛函来导出最优控制问题的欧拉-拉格朗日方程。
2.动态规划 Dynamic（Programming）：（动态规划是一种用于解决具有递归结构且满足最优子结构性质的问题的优化方法。
在最优控制中，动态规划可以用于处理具有离散或连续时间的动态系统，并通过构建状态转移方程来找到最优策略。
3.最优控制理论（Optimal（Control（Theory）：（最优控制理论是处理连续时间动态系统最优化问题的数学工具。
它利用微分方程和变分法来分析系统，并确定最优控制策略，以使系统性能指标达到最优。
4.Pontryagin最大值原理（ Pontryagin's（Maximum（Principle）：（Pontryagin最大值原理是最优控制中的一个重要概念，它提供了寻找连续时间系统最优控制策略的方法。
该原理基于最优控制问题的哈密顿函数和共轭动态系统，通过最大化哈密顿函数来确定最优控制。
5.线性二次型调节器 LQR）：（线性二次型调节器是一种针对线性动态系统设计最优控制器的方法。
它通过最小化系统状态和控制输入的二次型代价函数来设计最优控制器。
6.模型预测控制 Model（Predictive（Control，MPC）：（模型预测控制是一种基于离散时间模型的最优控制方法。
它使用系统的预测模型来预测未来状态，并通过优化控制序列来实现性能指标的最优化。
这些方法可以根据系统的特性、动力学模型、性能指标和实际应用场景选择和应用。
最优控制问题在工程、经济学、生物学等领域有着广泛的应用，能够优化系统的性能并提高控制效果。
用变分法求解最优控制问题
与以前不同的是，在动态问题中拉格朗日乘子 向量(t) 是时间函数。
在最优控制中经常将 (t )称为伴随变量，协态（协状 态向量）或共轭状态。引入 (t) 后可作出下面的增 广泛函
Ja X (t f ),t f
tf t0
FX ,U,t T (t) f (X ,U,t) X
对上式第二项作分部积分，按公式
可得
t f t0
udv uv
tf t0
t f vdu
t0
J
tf t0
F x
d dt
(
F x
)xdt
F x
x
tf t0
（5-2）
J取极值的必要条件是 J 等于零。因 x是 任意的，要使（5-2）中第一项（积分项）为 零，必有
x* (t) sht sh1
例5-2 求使指标
J 1 (x 2 x3 )dt 0
取极值的轨迹 x* (t) ，并要求 x* (0) 0 ，但对 x* (1) 没有限制。
解 这是终端自由的情况。欧拉—拉格朗日方程为
d (2x 3x 2 ) 0 dt即2x Fra bibliotek 3x 2 常数
d dt
(
F X
)
dt
X
T
F X
tf t0
向量欧拉——拉格朗日方程为
F X
d dt
(
F X
)
0
式中
F
x1
F
F X
x
2
F
变分法求泛函极值-概述说明以及解释
变分法求泛函极值-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述部分的内容可以介绍本篇文章的主题和背景，以及变分法在数学和实际应用中的重要性。
概述：变分法是一种用于求解泛函极值的重要数学方法。
泛函是一个对函数进行操作的函数，如积分、微分等运算。
在数学领域，变分法广泛应用于各个领域，包括微分方程、优化问题、控制理论等。
在实际应用中，变分法被广泛用于物理学、工程学、经济学等学科中的模型建立和问题求解。
本篇文章旨在介绍变分法及其在求解泛函极值问题中的应用。
文章将从变分法的基本概念开始，进一步探讨其在求解泛函极值中的具体应用，以及相关的数学原理。
通过对变分法的深入分析和讨论，我们将探索变分法在求解泛函极值中的意义和局限性，并对未来研究方向进行展望。
通过阅读本篇文章，读者将能够了解变分法的基本概念和数学原理，并掌握如何应用变分法求解泛函极值的方法和技巧。
同时，本篇文章还将对变分法在实际应用中的意义和局限性进行讨论，以及未来研究方向的展望，为读者提供更深入的思考和研究的方向。
下一节将介绍本文的结构和各个部分的内容。
1.2 文章结构本文共分为三个主要部分：引言、正文和结论。
每个部分都有特定的目标和内容。
引言部分主要介绍本文的背景、研究意义和目的。
首先，我们将对变分法的基本概念和相关术语进行简要的介绍，以便读者对后续内容有初步的了解。
其次，我们将说明本文的结构和章节安排，帮助读者快速了解文章的整体框架和逻辑。
正文部分是本文的核心内容，主要包括三个小节。
首先，我们将详细介绍变分法的基本概念，包括泛函、变分和变分问题的定义。
然后，我们将探讨变分法在求泛函极值中的应用，介绍一些典型的例子和实际问题。
最后，我们将解释变分法的数学原理，包括欧拉-拉格朗日方程和变分问题的极值条件。
结论部分对本文的主要内容进行总结，并进行进一步的讨论和展望。
首先，我们将对整个文章进行简要回顾，概括出变分法求泛函极值的关键点。
然后，我们将探讨变分法在求泛函极值中的意义和局限性，以及对未来研究方向的展望。
第3章 用变分法解最优控制-泛函极值问题
基本概念：
如果对于某一类函数集合{X(t)}中的每一个 函数X(t)，均有一个确定的数J与之对应， 则称J为依赖于函数X(t)的的泛函，记作 J=J[X(t)]。
泛函 的连 续性
线 性 泛 函 自变 量函 数的 变分 自变量函数X(t)的变分δX是指同属于函数类 {X(t)}中两个函数X1(t)、X2(t)之差 δX= X1(t)- X2(t) 这里，t为参数。
Department of Industrial Engineering and Management
第3章 用变分法解最优控制 ——泛函极值问题
变分法基础
变分法：是处理函数的函数的数学领域，和处
理数的函数的普通微积分相对。变分法最终寻求 的是极值函数，它们使得泛函取得极大或极小值。 在动态系统最优控制问题中，性能指标是一 个泛函，性能指标最优即泛函达到极值
泛函问题
自变量函数为标量函数：
欧拉-拉格 朗日方程
1. 固定端点的情况
x(t0)=x0 ,x(tf)=xf
：
当δx(t0)=δx(tf)=0时，J取极值
2. 自由端点的情况
自变量函数为向量函数：
向量欧 拉-拉格 朗日方 程
优化理论课件(变分法与最优控制理论)
优化理论课件（2）第二部分动态优化：变分法和最优控制理论变分法是处理动态优化的古典方法，现在较少使用，在蒋中一的书中，变分法的思路可用来解释庞特里亚金最大值原理（一阶条件）。
本部分内容主要来自蒋中一《动态最优化基础》。
目录一、什么是动态优化？ (3)（一）动态优化问题的基本要素 (4)（二）泛函及其相关概念 (4)（三）可变终结点 (5)（四）横截条件 (6)（五）目标泛函 (6)二、变分法 (7)（一）基本问题：固定终结点问题 (7)（1）基本问题及其假定 (7)（2）一阶条件：欧拉方程 (8)（二）推广：多状态变量与高阶导数 (10)（1）多状态变量 (10)（2）高阶导数 (10)（三）可变端点问题 (10)（1）一般性横截条件 (11)（2）垂直终结线问题 (12)（3）水平终结线问题 (12)（4）终结曲线问题，即错误！不能通过编辑域代码创建对象。
(12)（5）截断的垂直终结线问题 (12)（6）截断的水平终结线问题 (13)（7）多变量和高阶导数情形 (13)（四）二阶条件（充分条件） (14)（1）固定端点问题的二阶条件及其二次型检验 (14)（2）凹凸性充分条件 (14)（3）变分 (15)（五）无限期界问题 (16)（1）收敛性 (16)（2）横截条件 (17)（3）充分条件 (17)（六）带约束的优化问题 (17)（1）等式约束 (17)（2）不等式约束 (18)（3）积分约束（等周问题） (19)三、最优控制理论 (20)（一）最优控制理论导论 (20)（二）最大值原理及其横截条件 (21)（1）最简单问题及最大值原理（一阶必要条件） (21)（2）最大值原理的理论基础及其横截条件 (23)（3）自控问题的汉密尔顿函数不变性 (26)（4）推广到多变量 (26)（三）最大值原理的经济学解释及现值的汉密尔顿函数 (27)（1）最大值原理的经济学解释 (27)（2）现值的汉密尔顿函数 (28)（四）充分条件（二阶条件） (29)（1）曼加萨林定理 (29)（2）阿罗条件 (31)（五）无限期界问题 (31)（1）横截条件与反例 (32)（2）作为充分条件一部分的横截条件 (32)（六）有约束的最优控制问题 (33)（1）涉及控制变量的约束 (33)（2）状态空间约束 (39)四、拉姆齐模型 (43)（一）相关理论发展背景 (43)（二）最简单的拉姆齐模型及其动力系统 (45)（三）微分方程定性稳定性判别方法简介 (47)（1）稳定性与渐进稳定性 (47)（2）稳定性判别基本定理 (48)（2）平面动力系统的奇点 (49)一、什么是动态优化？例：一个企业将原料从初始状态A通过五道工序，变为总结状态Z，每个阶段的选择对应一个阶段的成本，如何选择路径使得总成本最小化？从这个例子中可以看到：首先，动态强调的是时期之间的联系，而不仅仅是有时间的顺序；其次，这里也包含了Bellman方程的基本原理。
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1.泛函极值必要条件 2.欧拉方程 3.横截条件
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思考题
2.1 等周问题、最小旋转面问题、悬链线问 题、最优控制问题的性能泛函和约束条件 b = [ y ] ∫ f ( x, y, y′, y′′)dx, y= (a) y (b) 0 2.2 求泛函 J= a 的变分 2.3 求最小旋转面问题的极值曲线
x1
x1 ∂L ∂L d ∂L = δ y + ∫ − δ ydx ∂y′ x0 x0 ∂y dx ∂y′
欧拉方程
∂L d ∂L − = 0 ∂y dx ∂y′
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12
最优控制——变分法 2.1.3. 泛函极值的变分问题
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最优控制——变分法 2.1.2.3泛函极值
δJ =0
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最优控制——变分法 2.1.3.泛函极值的变分问题
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最优控制——变分法 2.1.3. 泛函极值的变分问题
= δJ
∫
x1
x0
∂L ∂L ∂y δ y + ∂y′ δ y′dx
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最优控制——变分法 2.1.3.泛函极值的变分问题
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最优控制——变分法 2.1.3.泛函极值的变分问题
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最优控制——变分法 2.1.3.泛函极值的变分问题
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最优控制——变分法 2.1变分法基本概念和原理
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最优控制——变分法 2.1.3. 泛函极值的变分问题
能源与动力学院系统控制与2.1.3. 泛函极值的变分问题
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最优控制——变分法 2.1.3. 泛函极值的变分问题
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最优控制——变分法 2.1.3. 泛函极值的变分问题
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肖玲斐 lfxiao@
x1
x1 ∂L ∂L d ∂L = δ y + ∫ − δ ydx ∂y′ x0 x0 ∂y dx ∂y′
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最优控制——变分法 2.1.3.泛函极值的变分问题
= δJ
∫
x1
x0
∂L ∂L ∂y δ y + ∂y′ δ y′dx
变分法基本概念和原理
•古典变分法的典型问题 •泛函及其变分 •泛函极值问题及相关结论
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最优控制——变分法 2.1变分法基本概念和原理
泛函极值问题及相关结论
•泛函极值 •欧拉方程 •横截条件 •条件极值问题 •角点问题 •变分问题的直接解法
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最优控制——变分法 2.1.3. 泛函极值的变分问题
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最优控制——变分法 2.1.3. 泛函极值的变分问题
两端点可移动的曲线
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最优控制——变分法 2.1.3. 泛函极值的变分问题
能源与动力学院系统控制与仿真研究室
肖玲斐 lfxiao@
最优控制 前次课程回顾——变分法
变分法基本概念和原理
•古典变分法的典型问题 •泛函及其变分 •泛函极值问题及相关结论
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最优控制——变分法
重点掌握
1.泛函 2.宗量 3.泛函的变分
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最优控制——变分法 2.1变分法基本概念和原理
= δJ
∫
x1
x0
∂L ∂L ∂y δ y + ∂y′ δ y′dx
x1
x1 ∂L ∂L d ∂L = δ y + ∫ − δ ydx ∂y′ x0 x0 ∂y dx ∂y′
横截条件
∂L ′δ y = 0 ∂y x0
最优控制——变分法 2.1变分法基本概念和原理
泛函极值问题及相关结论
•泛函极值 •欧拉方程 •横截条件 •条件极值问题 •角点问题 •变分问题的直接解法
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最优控制——变分法 2.1.2.3泛函极值
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最优控制——变分法 2.1.2.3泛函极值
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x1
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最优控制——变分法 2.1.3. 泛函极值的变分问题
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最优控制——变分法 2.1.3. 泛函极值的变分问题
δ y x= δ y1 − y′ ( x1 ) δ x1 =x
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最优控制——变分法 2.1.3. 泛函极值的变分问题
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