同济大学大一-高等数学期末试题-(精确答案)教学文稿
(完整word版)大一高数同济版期末考试题(精) - 副本
高等数学上（1）一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )(0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f .（A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导.2. ）时（ ，则当，设133)(11)(3→-=+-=x x x x xx βα.（A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）()()x x αβ与是等价无穷小；（C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （D ）()x β是比()x α高阶的无穷小.3. 若()()()02xF x t x f t dt=-⎰，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且'>()0f x ，则（ ）.（A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值；（B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值；（C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点； （D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。
4.)()( , )(2)( )(10=+=⎰x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设（A ）22x （B ）222x +（C ）1x - （D ）2x +.二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5. =+→xx x sin 2)31(lim .6. ,)(cos 的一个原函数是已知x f xx=⋅⎰x xxx f d cos )(则.7.lim(cos cos cos )→∞-+++=22221n n nnnn ππππ .8. =-+⎰21212211arcsin －dx xx x .三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分）9. 设函数=()y y x 由方程sin()1x ye xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y . 10. .d )1(177x x x x ⎰+-求11. ． 求，， 设⎰--⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤=1 32)(1020)(dx x f x x x x xe x f x12. 设函数)(x f 连续，=⎰10()()g x f xt dt，且→=0()limx f x A x ，A 为常数. 求'()g x 并讨论'()g x 在=0x 处的连续性.13. 求微分方程2ln xy y x x '+=满足=-1(1)9y 的解.四、 解答题（本大题10分）14. 已知上半平面内一曲线)0()(≥=x x y y ，过点(,)01，且曲线上任一点M x y (,)00处切线斜率数值上等于此曲线与x 轴、y 轴、直线x x =0所围成面积的2倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程. 五、解答题（本大题10分）15. 过坐标原点作曲线x y ln =的切线，该切线与曲线x y ln =及x 轴围成平面图形D.(1) 求D 的面积A ；(2) 求D 绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积V .六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共8分）16. 设函数)(x f 在[]0,1上连续且单调递减，证明对任意的[,]∈01q ，1()()≥⎰⎰qf x d x q f x dx.17. 设函数)(x f 在[]π,0上连续，且0)(0=⎰πx d x f ，0cos )(0=⎰πdx x x f .证明：在()π,0内至少存在两个不同的点21,ξξ，使.0)()(21==ξξf f （提示：设⎰=xdxx f x F 0)()(）一、单项选择题(本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1、D 2、A 3、C 4、C二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）5. 6e .6.cx x +2)cos (21 .7. 2π. 8.3π.三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 解：方程两边求导(1)c o s ()()x ye y xy xy y +''+++= cos()()cos()x y x ye y xy y x e x xy +++'=-+0,0x y ==，(0)1y '=-10. 解：767u x x dx du == 1(1)112()7(1)71u du duu u u u -==-++⎰⎰原式 1(ln ||2ln |1|)7u u c =-++ 7712ln ||ln |1|77x x C =-++11. 解：10330()x f x dx xe dx ---=+⎰⎰⎰3()xxd e --=-+⎰⎰00232cos (1sin )x x xe e d x πθθθ----⎡⎤=--+-=⎣⎦⎰ 令3214e π=--12. 解：由(0)0f =，知(0)0g =。
同济大学高数试卷大一下学期期末考试
同济大学高数试卷大一下学期期末考试(总6页)-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除同济大学2009-2010学年第二学期高等数学C(下)期终试卷一、选择题.（本题共有5小题，每小题3分，满分15分，每题只有一个正确答案）1、下列微分方程为一阶线性方程的是： 【 D 】:A '1yy =； :B 'e 1yy +=； :C 2'y y y +=； :D 2'y y x =+。
2、若向量()()()2,1,0,1,1,2,0,1,2a b c k =-=--=，且()0a b c ⨯⋅=，则k = 【 B 】:1A ； :2B ； :3C ； :4D 。
3、若向量()1,2,a k =-在向量()2,1,2b =-上的投影为2-，则k = 【 C 】:1A ； :2B ； :3C ； :4D 。
4、设e cos x x z x y y =+-，则zy∂=∂ 【 A 】 :A 2e sin x x y y -+； :B 21e sin x x y y -+； :C 21e sin x y y-+； :D 2e sin x x y y-。
5、交换二次积分的次序：()2220d ,d yyy f x y x =⎰⎰【 A 】()42:d ,d x A x f x y y ⎰⎰； ()420:d ,d x B x f x y y ⎰；()2220:d ,d x xC x f x y y ⎰⎰； ()2:d ,d xD x f x y y ⎰。
二、填空题（本题共4小题，每小题4分，满分16分，只需将答案填入空格） 6、微分方程"2'20y y y -+=的通解为y =()12e cos sin x c x c x +.7、设向量()()2,3,2,2,3,0a b =-=-，若,x a x b ⊥⊥，且7x =。
同济大学大一公共课高等数学期末试卷及答案2套
(2)该曲线在哪点处的曲率半径为 2 ？
∫⎧
2．设
ϕ
(x)
=
⎪ ⎨
⎪
2x et2 d t
x
,
x
⎩ a,
x ≠ 0, 求 a 的值，使得ϕ(x)在 x = 0 处连续，并用导数定义求ϕ ′(0) ．
x = 0,
三、
∫ 1．求定积分 I = π x2 1− sin 2 x d x ． 0
2．若
f
(x)
2 0
−
x2 sin x + 2x cos x − 2 sin x
π π
2
= π 2 + 2π − 4 ． 2
2．当 x < 0 时， 当 x ≥ 0 时，
∫ F(x) =
x −∞
1 1+ t2
dt
= arctan x +
π 2
；
∫ ∫ F(x) = 0 1 d t + x
−∞ 1+ t2
0
1 d t = π + [2 arctan t (1+ t) 2
4 + y2 d y −1000g
h(t )
y
4+ y2 d y ，
−1
−1
−1
上式两边对 t 求导，得
∫ d F = 1000g h(t) 4 + y2 d y d h ，
dt
−1
dt
由于 d h = −0.01，因此，当水面下降至平板的中位线(即 x 轴)时，平板一侧所受到的水压力的下 dt
降速率为
t
]
x 0
=
2 arctan
x+π ． 2
大一高等数学期末考试试卷及答案详解
大一高等数学期末考试试卷（一）一、选择题（共12分）1. （3分）若2,0,(),0x e x f x a x x ⎧<=⎨+>⎩为连续函数,则a 的值为( ).(A)1 (B)2 (C)3 (D)-1 2. （3分）已知(3)2,f '=则0(3)(3)lim2h f h f h →--的值为（ ）.(A)1 (B)3 (C)-1 (D)123. （3分）定积分22ππ-⎰的值为（ ）.(A)0 (B)-2 (C)1 (D)24. （3分）若()f x 在0x x =处不连续,则()f x 在该点处( ). (A)必不可导 (B)一定可导(C)可能可导 (D)必无极限 二、填空题（共12分）1．（3分） 平面上过点(0,1)，且在任意一点(,)x y 处的切线斜率为23x 的曲线方程为 .2. （3分） 1241(sin )x x x dx -+=⎰ . 3. （3分） 201lim sin x x x→= .4. （3分） 3223y x x =-的极大值为 .三、计算题（共42分）1.（6分）求2ln(15)lim.sin 3x x x x→+2. （6分）设y =求.y '3.（6分）求不定积分2ln(1).x x dx +⎰ 4.（6分）求3(1),f x dx -⎰其中,1,()1cos 1, 1.x xx f x x e x ⎧≤⎪=+⎨⎪+>⎩5. （6分）设函数()y f x =由方程00cos 0yxte dt tdt +=⎰⎰所确定,求.dy 6.（6分）设2()sin ,f x dx x C =+⎰求(23).f x dx +⎰7. （6分）求极限3lim 1.2nn n →∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭四、解答题（共28分）1.（7分）设(ln )1,f x x '=+且(0)1,f =求().f x2.（7分）求由曲线cos 22y x x ππ⎛⎫=-≤≤ ⎪⎝⎭及x 轴所围成图形绕着x 轴旋转一周所得旋转体的体积.3. （7分）求曲线3232419y x x x =-+-在拐点处的切线方程.4.（7分）求函数y x =+[5,1]-上的最小值和最大值.五、证明题(6分)设()f x ''在区间[,]a b 上连续,证明1()[()()]()()().22bbaab a f x dx f a f b x a x b f x dx -''=++--⎰⎰（二）一、填空题（每小题3分，共18分）1．设函数()23122+--=x x x x f ，则1=x 是()x f 的第 类间断点.2．函数()21ln x y +=，则='y.3． =⎪⎭⎫⎝⎛+∞→xx x x 21lim.4．曲线xy 1=在点⎪⎭⎫ ⎝⎛2,21处的切线方程为 .5．函数2332x x y -=在[]4,1-上的最大值 ，最小值 . 6．=+⎰dx xx 21arctan . 二、单项选择题（每小题4分，共20分）1．数列{}n x 有界是它收敛的（ ） .() A 必要但非充分条件； () B 充分但非必要条件 ；() C 充分必要条件； () D 无关条件.2．下列各式正确的是（ ） .() A C e dx e x x +=--⎰； () B C xxdx +=⎰1ln ； () C ()C x dx x +-=-⎰21ln 21211； () D C x dx xx +=⎰ln ln ln 1. 3． 设()x f 在[]b a ,上，()0>'x f 且()0>''x f ，则曲线()x f y =在[]b a ,上.() A 沿x 轴正向上升且为凹的； () B 沿x 轴正向下降且为凹的；() C 沿x 轴正向上升且为凸的； () D 沿x 轴正向下降且为凸的.4．设()x x x f ln =，则()x f 在0=x 处的导数（ ）.() A 等于1； () B 等于1-；() C 等于0； () D 不存在.5．已知()2lim 1=+→x f x ，以下结论正确的是（ ）.() A 函数在1=x 处有定义且()21=f ； () B 函数在1=x 处的某去心邻域内有定义；() C 函数在1=x 处的左侧某邻域内有定义；() D 函数在1=x 处的右侧某邻域内有定义.三、计算（每小题6分，共36分）1．求极限：xx x 1sin lim 20→. 2. 已知()21ln x y +=，求y '. 3. 求函数x x y sin =()0>x 的导数.4. ⎰+dx x x 221. 5. ⎰xdx x cos .6.方程yxx y 11=确定函数()x f y =，求y '.四、 （10分）已知2x e 为()x f 的一个原函数，求()⎰dx x f x 2.五、 （6分）求曲线x xe y -=的拐点及凹凸区间. 六、 （10分）设()()C ex dx x f x++='⎰1，求()x f .（三）一、填空题(本题共5小题，每小题4分，共20分).（1） 210)(cos lim x x x → =_____e 1________.（2）曲线x x y ln =上及直线01=+-y x 平行的切线方程为___1-=x y ______.（3）已知xx xe e f -=')(，且)1(=f , 则=)(x f ______=)(x f 2)(ln 21x _____ .（4）曲线132+=x x y 的斜渐近线方程为 _______.9131-=x y __（5）微分方程522(1)1'-=++y y x x 的通解为_________.)1()1(32227+++=x C x y二、选择题 (本题共5小题，每小题4分，共20分).（1）下列积分结果正确的是（ D ）(A) 0111=⎰-dx x (B) 21112-=⎰-dx x(C) +∞=⎰∞+141dx x (D) +∞=⎰∞+11dx x（2）函数)(x f 在],[b a 内有定义，其导数)('x f 的图形如图1-1所示，则（ D ）.(A)21,x x 都是极值点. (B) ()())(,,)(,2211x f x x f x 都是拐点. (C) 1x 是极值点.，())(,22x f x 是拐点(D) ())(,11x f x 是拐点，2x 是极值点. 图1-1（3）函数212e e e x x xy C C x -=++满足的一个微分方程是（ D ）.（A ）23e .xy y y x '''--= （B ）23e .xy y y '''--= （C ）23e .xy y y x '''+-=（D ）23e .x y y y '''+-= （4）设)(x f 在0x 处可导，则()()000limh f x f x h h →--为（ A ）.(A) ()0f x '. (B) ()0f x '-. (C) 0. (D)不存在 .（5）下列等式中正确的结果是 （ A ）.(A) (())().f x dx f x '=⎰ (B) ()().=⎰df x f x (C) [()]().d f x dx f x =⎰ (D) ()().f x dx f x '=⎰三、计算题（本题共4小题，每小题6分，共24分）. 1．求极限)ln 11(lim 1x x x x --→.解 )ln 11(lim 1x x x x --→=x x x x x x ln )1(1ln lim1-+-→ 1分=x x x x x ln 1ln lim1+-→ 2分= x x x xx x ln 1ln lim1+-→ 1分= 211ln 1ln 1lim 1=+++→x x x 2分2.方程⎩⎨⎧+==t t t y t x sin cos sin ln 确定y 为x 的函数，求dx dy 及22dx y d .解 ,sin )()(t t t x t y dx dy =''= （3分）.sin tan sin )()sin (22t t t t t x t t dx y d +=''= （6分）3. 4. 计算不定积分.222 =2arctan 2 =2C =----------------+---------⎰分分（分4.计算定积分⎰++3011dx xx.解 ⎰⎰-+-=++3030)11(11dx x x x dx x x ⎰+--=30)11(dx x （3分）35)1(3233023=++-=x （6分）（或令t x =+1）四、解答题（本题共4小题，共29分）. 1．（本题6分）解微分方程256xy y y xe '''-+=.212-56012,31r r r r +=----------==----------解：特征方程分特征解.分2．（本题7分）一个横放着的圆柱形水桶（如图4-1），桶内盛有半桶水，设桶的底半径为R ，水的比重为γ，计算桶的一端面上所受的压力．解：建立坐标系如图22022220322203*********RRRP gx R x dx g R x d R x g R x g R ρρρρ=----------=---------=--------=----------------⎰⎰分（）分[（）]分分3. （本题8分）设()f x 在[,]a b 上有连续的导数，()()0f a f b ==，且2()1b af x dx =⎰，试求()()baxf x f x dx'⎰.222()()()()21 ()221 =[()]()2211=0222b b aab a b b a a xf x f x dx xf x df x xdf x xf x f x dx '=-----=---------=----------⎰⎰⎰⎰解：分分分分4. （本题8分）过坐标原点作曲线x y ln =的切线，该切线及曲线x y ln =及x 轴围成平面图形D.(1) (3) 求D 的面积A;(2) (4)求D 绕直线e x =旋转一周所得旋转体的体积V.解：(1) 设切点的横坐标为0x ，则曲线x y ln =在点)ln ,(00x x 处的切线方xyy1程是).(1ln 000x x x x y -+= ----1分由该切线过原点知 01ln 0=-x ，从而.0e x =所以该切线的方程为 .1x e y =----1分平面图形D 的面积 ⎰-=-=10.121)(e dy ey e A y ----2分（2） 切线xe y 1=及x 轴及直线e x =所围成的三角形绕直线e x =旋转所得的圆锥体积为 .3121e V π= 2分曲线x y ln =及x 轴及直线e x =所围成的图形绕直线e x =旋转所得的旋转体体积为dye e V y 2102)(⎰-=π， 1分因此所求旋转体的体积为).3125(6)(312102221+-=--=-=⎰e e dy e e e V V V y πππ 1分五、证明题（本题共1小题，共7分）.1.证明对于任意的实数x ，1xe x ≥+.解法一：2112xe e x x xξ=++≥+ 解法二：设() 1.xf x e x =--则(0)0.f = 1分 因为() 1.xf x e '=- 1分 当0x ≥时，()0.f x '≥()f x 单调增加，()(0)0.f x f ≥= 2分当0x ≤时，()0.f x '≤()f x 单调增加，()(0)0.f x f ≥= 2分所以对于任意的实数x ，()0.f x ≥即1xe x ≥+。
同济大学大一高等数学期末试题精确答案
同济大学大一高等数学期末试题精确答案文件排版存档编号：[UYTR-OUPT28-KBNTL98-UYNN208]课程名称：《高等数学》试卷类别：A 卷 考试形式：闭卷 考试时间：120 分钟阅卷须知：阅卷用红色墨水笔书写，小题得分写在每小题题号前，用正分表示，不得分则在小题大题得分登录在对应的分数框内；考试课程应集体阅卷，流水作业。
课程名称：高等数学A （考试性质：期末统考（A 卷）一、单选题（共15分，每小题3分）1．设函数(,)f x y 在00(,)P x y 的两个偏导00(,)x f x y ，00(,)y f x y 都存在，则 ( )A ．(,)f x y 在P 连续B ．(,)f x y 在P 可微C ． 00lim (,)x x f x y →及 00lim (,)y y f x y →都存在 D ．00(,)(,)lim (,)x y x y f x y →存在2．若x y z ln =，则dz 等于（ ）．ln ln ln ln .x x y y y y A x y + ln ln .x y y B xln ln ln .ln x xy yC yydx dy x+ ln ln ln ln .x x y y y x D dx dy x y + 3．设Ω是圆柱面222x y x +=及平面01,z z ==所围成的区域，则(),,(=⎰⎰⎰Ωdxdydz z y x f）．212cos .(cos ,sin ,)A d dr f r r z dz πθθθθ⎰⎰⎰ 212cos .(cos ,sin ,)B d rdr f r r z dz πθθθθ⎰⎰⎰2122cos .(cos ,sin ,)C d rdr f r r z dz πθπθθθ-⎰⎰⎰ 21cos .(cos ,sin ,)xD d rdr f r r z dz πθθθ⎰⎰⎰4． 4．若1(1)n n n a x ∞=-∑在1x =-处收敛，则此级数在2x =处（ ）．A ． 条件收敛B ． 绝对收敛C ． 发散D ． 敛散性不能确定5．曲线222x y z z x y-+=⎧⎨=+⎩在点（1，1，2）处的一个切线方向向量为（ ）. A. （-1，3，4） B.（3，-1，4） C. （-1，0，3） D. （3，0，-1）二、填空题（共15分，每小题3分） 1．设220x y xyz +-=，则'(1,1)x z = .2．交 换ln 1(,)exI dx f x y dy =⎰⎰的积分次序后，I =_____________________．3．设22z xy u -=，则u 在点)1,1,2(-M 处的梯度为 .4. 已知0!nxn x e n ∞==∑，则x xe -= .5. 函数332233z x y x y =+--的极小值点是 . 三、解答题（共54分，每小题6--7分）1.（本小题满分6分）设arctan y z y x=, 求z x ∂∂,z y∂∂.2.（本小题满分6分）求椭球面222239x y z ++=的平行于平面23210x y z -++=的切平面方程，并求切点处的法线方程.3. （本小题满分7分）求函数22z x y =+在点(1,2)处沿向量132l i j =+方向的方向导数。
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《高数》试卷1（上）一．选择题（将答案代号填入括号内，每题3分，共30分）.1．下列各组函数中，是相同的函数的是（ ）.（A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和 （B ）()||f x x = 和 ()g x =（C ）()f x x = 和 ()2g x =（D ）()||x f x x=和 ()g x =1 2．函数()00x f x a x ≠=⎨⎪=⎩在0x =处连续，则a =（ ）. （A ）0 （B ）14（C ）1 （D ）2 3．曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为（ ）.（A ）1y x =- （B ）(1)y x =-+ （C ）()()ln 11y x x =-- （D ）y x = 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（ ）.（A ）连续且可导 （B ）连续且可微 （C ）连续不可导 （D ）不连续不可微5．点0x =是函数4y x =的（ ）.（A ）驻点但非极值点 （B ）拐点 （C ）驻点且是拐点 （D ）驻点且是极值点6．曲线1||y x =的渐近线情况是（ ）. （A ）只有水平渐近线 （B ）只有垂直渐近线 （C ）既有水平渐近线又有垂直渐近线（D ）既无水平渐近线又无垂直渐近线 7．211f dx x x⎛⎫' ⎪⎝⎭⎰的结果是（ ）. （A ）1f C x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭（B ）1f C x ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭（C ）1f C x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭（D ）1f C x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭8．x x dxe e -+⎰的结果是（ ）.（A ）arctan xe C + （B ）arctan xeC -+ （C ）x x e e C --+ （D ）ln()x x e e C -++9．下列定积分为零的是（ ）.（A ）424arctan 1xdx xππ-+⎰ （B ）44arcsin x x dx ππ-⎰ （C ）112x x e edx --+⎰ （D ）()121sin xx x dx -+⎰10．设()f x 为连续函数，则()12f x dx '⎰等于（）.（A ）()()20f f - （B ）()()11102f f -⎡⎤⎣⎦（C ）()()1202f f -⎡⎤⎣⎦（D ）()()10f f -二．填空题（每题4分，共20分）1．设函数()2100x e x f x x a x -⎧-≠⎪=⎨⎪=⎩在0x =处连续，则a =.2．已知曲线()y f x =在2x =处的切线的倾斜角为56π，则()2f '=.3．21xy x =-的垂直渐近线有条. 4．()21ln dxx x =+⎰.5．()422sin cos xx x dx ππ-+=⎰.三．计算（每小题5分，共30分）1．求极限①21lim xx x x →∞+⎛⎫⎪⎝⎭ ②()20sin 1lim xx x x x e →-- 2．求曲线()ln y x y =+所确定的隐函数的导数x y '. 3．求不定积分 ①()()13dx x x ++⎰ ②()220a x a >-⎰③x xe dx -⎰四．应用题（每题10分，共20分） 1． 作出函数323y x x =-的图像.2．求曲线22y x =和直线4y x =-所围图形的面积.《高数》试卷1参考答案一．选择题1．B 2．B 3．A 4．C 5．D 6．C 7．D 8．A 9．A 10．C 二．填空题1．2- 2．3- ３． ２ ４．arctanln x c + ５．２ 三．计算题 １①2e ②162.11xy x y '=+-3. ①11ln ||23x C x +++ ②ln |x C + ③()1x e x C --++四．应用题１．略 ２．18S =。
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《高数》试卷1（上）一．选择题（将答案代号填入括号内，每题3分，共30分）.1．下列各组函数中，是相同的函数的是（ ）.（A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和 （B ）()||f x x = 和 ()g x =（C ）()f x x = 和 ()2g x =（D ）()||x f x x=和 ()g x =1 2．函数()00x f x a x ≠=⎨⎪=⎩ 在0x =处连续，则a =（ ）.（A ）0 （B ）14（C ）1 （D ）23．曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为（ ）.（A ）1y x =- （B ）(1)y x =-+ （C ）()()ln 11y x x =-- （D ）y x = 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（ ）.（A ）连续且可导 （B ）连续且可微 （C ）连续不可导 （D ）不连续不可微5．点0x =是函数4y x =的（ ）.（A ）驻点但非极值点 （B ）拐点 （C ）驻点且是拐点 （D ）驻点且是极值点6．曲线1||y x =的渐近线情况是（ ）. （A ）只有水平渐近线 （B ）只有垂直渐近线 （C ）既有水平渐近线又有垂直渐近线 （D ）既无水平渐近线又无垂直渐近线 7．211f dx x x⎛⎫' ⎪⎝⎭⎰的结果是（ ）. （A ）1f C x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭（B ）1f C x ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭（C ）1f C x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭（D ）1f C x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭8．x x dxe e -+⎰的结果是（ ）.（A ）arctan xe C + （B ）arctan xeC -+ （C ）x x e e C --+ （D ）ln()x x e e C -++9．下列定积分为零的是（ ）.（A ）424arctan 1x dx x ππ-+⎰ （B ）44arcsin x x dx ππ-⎰ （C ）112x xe e dx --+⎰ （D ）()121sin x x x dx -+⎰ 10．设()f x 为连续函数，则()12f x dx '⎰等于（ ）.（A ）()()20f f - （B ）()()11102f f -⎡⎤⎣⎦（C ）()()1202f f -⎡⎤⎣⎦（D ）()()10f f -二．填空题（每题4分，共20分）1．设函数()2100x e x f x x a x -⎧-≠⎪=⎨⎪=⎩在0x =处连续，则a =.2．已知曲线()y f x =在2x =处的切线的倾斜角为56π，则()2f '=.3．21xy x =-的垂直渐近线有条. 4．()21ln dxx x =+⎰.5．()422sin cos xx x dx ππ-+=⎰.三．计算（每小题5分，共30分） 1．求极限①21lim xx x x →∞+⎛⎫⎪⎝⎭ ②()20sin 1lim x x x x x e →-- 2．求曲线()ln y x y =+所确定的隐函数的导数x y '. 3．求不定积分 ①()()13dx x x ++⎰②()0a > ③x xe dx -⎰四．应用题（每题10分，共20分） 1． 作出函数323y x x =-的图像.2．求曲线22y x =和直线4y x =-所围图形的面积.《高数》试卷1参考答案一．选择题1．B 2．B 3．A 4．C 5．D 6．C 7．D 8．A 9．A 10．C 二．填空题1．2-2．33-３．２４．arctanln x c+５．２三．计算题１①2e②162.11xyx y'=+-3. ①11ln||23xCx+++②22ln||x a x C-++③()1xe x C--++四．应用题１．略２．18S=。
(2021年整理)同济大学大一_高等数学期末试题_(精确答案)
课程名称：《高等数学》试卷类别:A 卷 考试形式：闭卷 考试时间：120 分钟 适用层次：适用专业； 阅卷须知：阅卷用红色墨水笔书写，小题得分写在每小题题号前，用正分表示,不得分则在小题大题得分登录在对应的分数框内；考试课程应集体阅卷,流水作业。
课程名称：高等数学A （考试性质:期末统考(A 卷）一、单选题（共15分，每小题3分）1．设函数(,)f x y 在00(,)P x y 的两个偏导00(,)x f x y ，00(,)y f x y 都存在，则( ）A ．(,)f x y 在P 连续B ．(,)f x y 在P 可微C ． 00lim (,)x x f x y →及 00lim (,)y y f x y →都存在 D ．00(,)(,)lim (,)x y x y f x y →存在2．若x y z ln =，则dz 等于( ）．ln ln ln ln .x x y y y y A x y + ln ln .x y y B xln ln ln .ln x xy y C y ydx dy x+ ln ln ln ln .x x y y y x D dx dy x y + 3．设Ω是圆柱面222x y x +=及平面01,z z ==所围成的区域，则(),,(=⎰⎰⎰Ωdxdydz z y x f）．212cos .(cos ,sin ,)A d dr f r r z dzπθθθθ⎰⎰⎰212cos .(cos ,sin ,)B d rdr f r r z dz πθθθθ⎰⎰⎰21202cos .(cos ,sin ,)C d rdr f r r z dz πθπθθθ-⎰⎰⎰ 21cos .(cos ,sin ,)xD d rdr f r r z dz πθθθ⎰⎰⎰4． 4．若1(1)n n n a x ∞=-∑在1x =-处收敛，则此级数在2x =处( ）．A ． 条件收敛B ． 绝对收敛C ． 发散D ． 敛散性不能确定5．曲线222x y z z x y -+=⎧⎨=+⎩在点(1，1，2）处的一个切线方向向量为( ）. A. （—1，3，4） B.（3，—1，4） C 。
大一高数同济版期末考试题精 副本
10. 11.高等数学上(1)一、单项选择题(本大题有4小题，每小题4分，共16分) 1 设 f(X)= cosx(x +|sin x |),则在 x = 0 处有( )(A ) f'(0)=2( B )f'(0)=1 (C ) f'(0)=0( D ) f(x)不可导.设a (x)= —, P (x)=3 —3奴，则当 X T 1 时(2.1 +x(A )(X)与P (X)是同阶无穷小，但不是等价无穷小； 是等价无穷小；(C ) a (X)是比P (x)高阶的无穷小； 无穷小.X3.若F (X )= J 。
(2t —x ) f(t )dt ，其中f(x)在区间上(-1,1)二阶可导且f'(x)> 0 则( ).(A) 函数F(x)必在x=0处取得极大值； (B) 函数F(x)必在x=0处取得极小值；(C) 函数F(x)在x = 0处没有极值，但点(0，F(0))为曲线y = F(x)的拐点； (D) 函数F(X)在X = 0处没有极值，点(0, F(0))也不是曲线y = F(x)的拐点。
1设 f(X)是连续函数，且 f ( X)= X + 2 J 0 f (t)dt ,贝y f ( X)=()2 2——+2 (A ) 2 ( B ) 2(C ) X-1 ( D ) x + 2.填空题(本大题有4小题，每小题4分，共16分)2lim (1 + 3x)sin^ =X T 0 已知cosx是f(x)的一个原函数， X8.三、解答题(本大题有5小题，每小题8分，共40分)设函数y=y(x )由方程eE + simxy)"确定，求y (x)以及y(0).+ 「 1- X 7・ 求J ----- 厂dx.x(1 + X ) (B )(X)与(x)(D ) P (X)是比a (X)高阶的4.5. 则［f(x) C0SX dx =X6.兀2兀22兀 2- 1lim —(cos — + cos —+(卜|+ cos---- 沢)= n Y n n n n r X arcsin x +1J —J 2 dX二7. 9.[xe ，设f (x) = ------ 2lV2x - X2求J： f (x)dx.1g (x H ff (xt)dt12.设函数f(x)连续，，且y X ，A 为常数.求g (x)并讨论g (x)在x=0处的连续性.y(1)=--13.求微分方程xy7 2y = xinx 满足9的解.四、解答题(本大题10分)14. 已知上半平面内一曲线 y = y(x) (X >0)，过点(0,1)，且曲线上任一点 M(x o ,y o )处切线斜率数值上等于此曲线与 x 轴、y 轴、直线x=x o 所围成 面积的2倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程. 五、解答题(本大题10分)15. 过坐标原点作曲线y = ln X 的切线，该切线与曲线y = |nX 及x 轴围成平面图形D.(1)求D 的面积A ； (2)求D 绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积V.六、证明题(本大题有2小题，每小题4分，共8分)16.设函数f(x)在b ，1】上连续且单调递减，证明对任意的qj 0,1］，q 1J f (X ) d X X J f (X )dx17.设函数f(x)在 咖 上连续，且证明：在(0,兀)内至少存在两个不同的点xF(X)= ! f (x)dx示：设)、单项选择题(本大题有4小题,每小题4分,共16分)1、D2、A3、C4、C二、 填空题(本大题有4小题，每小题 1,cosx 2 , e6 -( ---- )+c 5. e . 6. 2 X .7.三、 解答题(本大题有5小题，每小题9.解：方程两边求导e f (1+y 「co(s( xy)(y =) . e x^+ycos(xy)y(X)一e XJ xcos(xy) X = 0, y = 0， y(0) = TJIJIJ f (X ) d X = 0 f f (X) cos X dx = 0，04分, 兀 2 . 8 分, 共16分)兀8.3共 40 分)10.解：u=x7 7x6dx=du= -(ln|u|—2ln |u+1|) +c1 2=—ln|x7|—-ln|1 +x7|+C7 71 0 1 --------------------------------------------- 2一肋f f(x)dx=『xe dx+f V2x-x2dx=J：xd(—e」)+ J；J1 -(x-1)2dx=[-xe」-e」]j + J 兀cos2日d0(令x-1 =sin9)~2兀3=—-2e3 -1412.解：由f(0)=0，知g(0)=0。
同济大学大一_高等数学期末试题_(精确答案)[1]
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课程名称：《高等数学》一、单选题（共15分，每小题3分）1．设函数(,)f x y 在00(,)P x y 的两个偏导00(,)x f x y ，00(,)y f x y 都存在，则 ( )A ．(,)f x y 在P 连续B ．(,)f x y 在P 可微C ． 00lim (,)x x f x y →及 00lim (,)y y f x y →都存在 D ．00(,)(,)lim (,)x y x y f x y →存在2．若x y z ln =，则dz 等于（ ）． ln ln ln ln .xxyy yy A xy+ln ln .xy y B x ln ln ln .ln xxyy C yydx dy x+ln ln ln ln .xxyyyx D dx dy xy+3．设Ω是圆柱面222x y x +=及平面01,z z ==所围成的区域，则(),,(=⎰⎰⎰Ωdxdydz z y x f ）． 212cos .(cos ,sin ,)A d dr f r r z dz πθθθθ⎰⎰⎰ 212cos .(cos ,sin ,)B d rdr f r r z dz πθθθθ⎰⎰⎰2122cos .(cos ,sin ,)C d rdr f r r z dz πθπθθθ-⎰⎰⎰ 21cos .(cos ,sin ,)x D d rdr f r r z dz πθθθ⎰⎰⎰4． 4．若1(1)nn n a x ∞=-∑在1x =-处收敛，则此级数在2x =处（ ）．A ． 条件收敛B ． 绝对收敛C ． 发散D ． 敛散性不能确定5．曲线222x y z z x y -+=⎧⎨=+⎩在点（1，1，2）处的一个切线方向向量为（ ）. A. （-1，3，4） B.（3，-1，4） C. （-1，0，3） D. （3，0，-1）二、填空题（共15分，每小题3分）1．设220x y xyz +-=，则'(1,1)x z = . 2．交 换ln 1(,)ex I dx f x y dy =⎰⎰的积分次序后，I =_____________________．3．设22z xy u -=，则u 在点)1,1,2(-M 处的梯度为 .4. 已知0!nxn xe n ∞==∑，则xxe-= .5. 函数332233z x y x y =+--的极小值点是 .三、解答题（共54分，每小题6--7分）1.（本小题满分6分）设arctan y z y x=, 求z x∂∂,z y∂∂.2.（本小题满分6分）求椭球面222239x y z ++=的平行于平面23210x y z -++=的切平面方程，并求切点处的法线方程.3. （本小题满分7分）求函数22z x y =+在点(1,2)处沿向量1322l i j =+方向的方向导数。
(完整版)大一高等数学期末考试试卷及答案详解
大一高等数学期末考试一试卷一、选择题（共12 分）1.（ 3 分）若 f ( x)2e x , x 0,为连续函数 , 则a的值为 ().a x, x0(A)1 (B)2 (C)3 (D)-12.（ 3 分）已知f(3) 2, 则lim f (3 h) f (3) 的值为（）.h02h(A)1 (B)3 (C)-1(D)1 23.（ 3 分）定积分212xdx 的值为（）.cos2(A)0 (B)-2 (C)1(D)24.（3分）若f (x)在x x0处不连续,则 f ( x) 在该点处().(A)必不行导 (B) 必定可导 (C) 可能可导 (D) 必无极限二、填空题（共 12 分）1．（3 分）平面上过点(0,1) ，且在任意一点 ( x, y) 处的切线斜率为 3x2的曲线方程为.2.（ 31x4 sin x) dx.分）( x213.（ 3分） lim x2 sin1=.x0x4.（ 3分） y2x33x2的极大值为.三、计算题（共42 分）1.（ 6x ln(15x).分）求 limsin 3x2x02.（6 分）设ye xx2, 求 y .13.（ 6分）求不定积分x ln(1 x2 )dx.x 4.（ 63f ( x 1)dx, 此中f (x) 1, x 1,分）求cosxe x1,x 1.5. （ 6 分）设函数 yy x f ( x) 由方程e t dtcostdt 0 所确立 , 求 dy.6. （ 6 分）设 f ( x)dxsin x 2 C, 求 f (2 x 3)dx.3 n7. （ 6 分）求极限 lim 1 .2nn四、解答题（共 28 分）1. （ 7 分）设 f (ln x) 1 x, 且 f (0)1, 求 f ( x). 2. （ 7 分）求由曲线 ycos x2x与 x 轴所围成图形绕着 x 轴旋转一周2所得旋转体的体积 .3. （ 7 分）求曲线 y x 3 3x 2 24x 19 在拐点处的切线方程 .4. （ 7 分）求函数 yx1 x 在 [ 5,1] 上的最小值和最大值 .五、证明题 (6 分)设 f ( x) 在区间 [ a, b] 上连续 , 证明b b a1 bf (x)dx[ f (a) f (b)]( x a)( x b) f ( x) dx.a22 a标准答案一、 1 B;2C; 3D; 4 A.二、 1y x31;22 ;3 0;40.3三、 1解 原式limx5x 5 分x 03x 251 分32 解Q ln y lne x x ln( x 2 1),2 分x 2 12y e x[12x] 4 分x 21 2x 2 13 解原式1ln(1 x 2 ) d (1 x 2 )3 分21[(12)ln(12 (12) 12xdx]2xx )xx 22 分1[(1 x 2 )ln(1 x 2 )x 2 ] C1 分24解令 x1 t, 则2 分320 f ( x)dx1 f (t )dt1t2 t11 costdt1 (e 1)dt0 [ e tt ]12e 2 e 15两边求导得 eyy cosx 0,cosxQ ye ycosxsin x 1dycosx dxsin x 16 解f (2 x 3) dx1 f (2 x2 1sin(2 x 3)2 C21 分1 分1 分 1 分2 分1 分1 分2 分3)d(2 x 2)2 分4 分32 n 37 解原式 = lim3 24 分1n2n3= e22 分四、 1 解令 ln xt, 则 xe t ,f (t) 1 e t ,3 分f (t )(1 e t )dt = t e tC.2 分Q f (0)1, C 0,2 分f (x) xe x .1 分2 解V x2 23 分cos xdx222cos 2 xdx2 分2.2 分23 解 y3x 2 6x 24, y6x 6,1 分令 y 0, 得 x 1.1 分当x 1时 , y0; 当 1 x时 , y0,2 分(1,3) 为拐点 ,1 分该点处的切线为 y 3 21(x 1).2 分4 解 y 11x2 1 x 1, 2 分2 12 1 x令 y0, 得 x3 . 1 分4y( 5)56,2.55,y3 5, y(1) 1,2 分44最小值为 y(5)56, 最大值为 y35 . 2 分44五、证明ba)( x b) f(x) ba)( x b) df ( x)1 分(x( xaabb[( x a)( x b) f (x)] aaf ( x)[2 x ( a b)dx1分ba [2 x (a b)df ( x)1分[2 x (a b)] f ( x)(b a)[ f ( a) f (b)]移项即得所证 .b ba2 a f ( x)dx1分b2 a f ( x)dx,1分1分。
大一高等数学期末考试试卷及答案详解
大一高等数学期末考试试卷及答案详解一、选择题1. 该题为微分求导题，考察对基本微分法则的掌握。
解答：根据指数函数的求导法则，对指数函数f(x)进行求导，得到f'(x)=3x^2。
将x=2代入f'(x)，得到f'(2)=3×2^2=12。
因此，选项C为正确答案。
2. 该题为函数极值题，考察对函数极值点的判断和求解。
解答：首先计算函数f(x)的导函数f'(x)。
根据导数定理，函数在极值点处的导数为0。
将f'(x)=2x-3=0，求解得到x=3/2。
接下来通过二阶导数的符号判断极值类型。
计算f''(x)=2，由此可知二阶导数恒为正，故x=3/2是函数f(x)的极小值点。
因此，选项A为正确答案。
3. 该题为定积分计算题，考察对定积分的理解和计算。
解答：根据定积分的定义，将被积函数f(x)=2x在区间[1,3]上进行积分，即∫(1->3) 2x dx。
对函数f(x)进行不定积分，得到F(x)=x^2+C。
将上限3代入不定积分结果，再减去下限1代入不定积分结果，得到∫(1->3) 2x dx=F(3)-F(1)=(3)^2+C-(1)^2+C=9+C-1-C=8。
因此，选项B为正确答案。
4. 该题为二重积分计算题，考察对二重积分的理解和计算。
解答：首先对被积函数f(x,y)=x+2y进行内积分，得到f_1(y)=xy+2y^2/2=x(y+y^2)。
接下来对内积分结果进行外积分，即对f_1(y)在区间[0,1]上积分，得到∫(0->1) x(y+y^2) dy。
先对y进行积分，得到∫(0->1) (xy+xy^2) dy=x/2 + x/3=5x/6。
因此，选项C为正确答案。
二、填空题1. 该题为极限计算题，考察对极限的求解。
解答：将x趋近于无穷大时，分子和分母的最高次项均为x^4，根据极限的最高次项的性质，可以将该极限简化为计算3/(-2)= -3/2。
同济大学大一公共课高等数学期末试卷及答案9
同济大学高等数学（下册）期末考试试卷考试类型：（闭卷）考试 考试时间： 120 分钟学号 姓名 年级专业一、填空题（每小题3分，共计24分） 1、设⎰=yz xzt dt e u 2， 则=∂∂zu。
2、函数)2sin(),(y x xy y x f ++=在点（0，0）处沿)2,1(=l 的方向导数)0,0(lf ∂∂= 。
3、设Ω为曲面0,122=--=z y x z 所围成的立体，如果将三重积分⎰⎰⎰Ω=dv z y x f I ),,(化为先对z 再对y 最后对x 三次积分，则I= 。
4、设),(y x f 为连续函数，则=I ⎰⎰=+→Dt d y x f t σπ),(1lim 2，其中222:t y x D ≤+。
5、⎰=+Lds y x )(22 ，其中222:a y x L =+。
6、设Ω是一空间有界区域，其边界曲面Ω∂是由有限块分片光滑的曲面所组成，如果函数),,(z y x P ，),,(z y x Q ，),,(z y x R 在Ω上具有一阶连续偏导数，则三重积分与第二型曲面积分之间有关系式： ， 该关系式称为 公式。
7、微分方程96962+-=+'-''x x y y y 的特解可设为=*y 。
8、若级数∑∞=--11)1(n pn n 发散，则p 。
二、选择题（每小题2分，共计16分）1、设),(b a f x '存在，则xb x a f b a x f x ),(),(lim0--+→=（ ）（A ）),(b a f x '；（B ）0；（C ）2),(b a f x '；（D ）21),(b a f x'。
2、设2y x z =，结论正确的是（ ）（A ）022>∂∂∂-∂∂∂x y z y x z ； （B ）022=∂∂∂-∂∂∂x y z y x z ；（C ）022<∂∂∂-∂∂∂x y z y x z ； （D ）022≠∂∂∂-∂∂∂xy z y x z 。
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课程名称：《高等数学》试卷类别：A 卷 考试形式：闭卷 考试时间：120 分钟 适用层次：适用专业； 阅卷须知：阅卷用红色墨水笔书写，小题得分写在每小题题号前，用正分表示，不得分则在小题大题得分登录在对应的分数框内；考试课程应集体阅卷，流水作业。
课程名称：高等数学A （考试性质：期末统考（A 卷）一、单选题（共15分，每小题3分）1．设函数(,)f x y 在00(,)P x y 的两个偏导00(,)x f x y ，00(,)y f x y 都存在，则 ( )A ．(,)f x y 在P 连续B ．(,)f x y 在P 可微C ． 00lim (,)x x f x y →及 00lim (,)y y f x y →都存在 D ．00(,)(,)lim (,)x y x y f x y →存在2．若xyz ln =，则dz 等于（ ）．ln ln ln ln .x x y y y y A x y + ln ln .x y yB xln ln ln .ln x xy yC y ydx dy x+ ln ln ln ln .x x y y y x D dx dy x y + 3．设Ω是圆柱面222x y x +=及平面01,z z ==所围成的区域，则(),,(=⎰⎰⎰Ωdxdydz z y x f ）． 2120cos .(cos ,sin ,)A d dr f r r z dz πθθθθ⎰⎰⎰ 21200cos .(cos ,sin ,)B d rdr f r r z dz πθθθθ⎰⎰⎰21202cos .(cos ,sin ,)C d rdr f r r z dz πθπθθθ-⎰⎰⎰ 21cos .(cos ,sin ,)xD d rdr f r r z dz πθθθ⎰⎰⎰4． 4．若1(1)nn n a x ∞=-∑在1x =-处收敛，则此级数在2x =处（ ）．A ． 条件收敛B ． 绝对收敛C ． 发散D ． 敛散性不能确定5．曲线222x y z z x y-+=⎧⎨=+⎩在点（1，1，2）处的一个切线方向向量为（ ）. A. （-1，3，4） B.（3，-1，4） C. （-1，0，3） D. （3，0，-1）二、填空题（共15分，每小题3分）1．设220x y xyz +-=，则'(1,1)x z = .2．交 换ln 1(,)exI dx f x y dy =⎰⎰的积分次序后，I =_____________________．3．设22z xy u -=，则u 在点)1,1,2(-M 处的梯度为 .4. 已知0!n xn x e n ∞==∑，则xxe -= .5. 函数332233z x y x y =+--的极小值点是 . 三、解答题（共54分，每小题6--7分）1.（本小题满分6分）设arctan y z y x=, 求z x ∂∂,zy ∂∂.2.（本小题满分6分）求椭球面222239x y z ++=的平行于平面23210x y z -++=的切平面方程，并求切点处的法线方程.3. （本小题满分7分）求函数22z x y =+在点(1,2)处沿向量12l i j =+r r r方向的方向导数。
4. （本小题满分7分）将xx f 1)(=展开成3-x 的幂级数，并求收敛域。
5．（本小题满分7分）求由方程08822222=+-+++z yz z y x 所确定的隐函数),(y x z z =的极值。
6．（本小题满分7分）计算二重积分1,1,1,)(222=-=--=+⎰⎰y y y x D d y xD由曲线σ及2-=x 围成.7.（本小题满分7分）利用格林公式计算⎰-Lx y x y xy d d 22，其中L 是圆周222a y x =+（按逆时针方向）.8.（本小题满分7分）计算⎰⎰⎰Ωz y x xy d d d ，其中Ω是由柱面122=+y x 及平面0,0,1===y x z 所围成且在第一卦限内的区域. .四、综合题（共16分，每小题8分）1．（本小题满分8分）设级数11,n nn n u v∞∞==∑∑都收敛，证明级数21()nn n uv ∞=+∑收敛。
2．（本小题满分8分）设函数),(y x f 在2R 内具有一阶连续偏导数，且2fx x∂=∂， 证明曲线积分2(,)Lxydx f x y dy +⎰与路径无关．若对任意的t 恒有(,1)(1,) (0,0)(0,0)2(,)2(,)t t xydx f x y dy xydx f x y dy +=+⎰⎰，求),(y x f 的表达式．参考答案及评分标准一、单选题（共15分，每小题3分）：1.C 2 D 3 C 4B 5 A 二、填空题（共15分，每小题3分） 1.-1 2. I =10(,)yee dyf x y dx ⎰⎰3. →→→-+-k j i 242 4 1(1)!n n n x n +∞=-∑ 5. (2,2)三、解答题（共54分，每小题6--7分）1．解：222yx y x z +-=∂∂; (3分) y z∂∂=x y arctan +22yx xy + ( 6分). 2. 解：记切点000(,,)x y z 则切平面的法向量为0002(2,3,)n x y z =r 满足：00023232x y z==- ，切点为：(1,1,2)-或(1,1,2)-- (3分)，切平面：23299x y z or -+=- ( 4分)， 法线方程分别为：112232x y z +-+==-或者112232x y z -+-==- ( 6分) 3. 解：(1,2)(2,4)f ∇= ( 3分),(1,2)1f l∂=+∂r ( 7分) 4. 解：)3(31)(-+=x x f =)33(1131-+⋅x , ( 2分)因为 ∑∞=+=-011)1(n nn x x ，)1,1(-∈x ,所以∑∞=-⋅-=-+⋅)33(31)1()33(1131n n n x x =∑∞=+--01)3()31()1(n n n n x ,其中1331<-<-x ，即60<<x .( 5分)当0=x 时，级数为∑∞=031n 发散；当6=x 时，级数为∑∞=⋅-031)1(n n 发散,故x 1=∑∞=+--01)3()31()1(n nn n x ，)6,0(∈x ，( 7分)5. 解：由401284(2)0128z x x z y z y z y z y∂⎧==⎪∂--⎪⎨∂+⎪==⎪∂--⎩, 得到0=x 与02=+z y , ( 2分)再代入08822222=+-+++z yz z y x ，得到0872=-+z z 即81,7z =-。
由此可知隐函数(,)z z x y =的驻点为(0,2)-与16(0,)7。
( 4分) 由224128z x z y ∂=∂--，20zx y ∂=∂∂，224128z y z y∂=∂--，可知在驻点(0,2)-与16(0,)7有0H >。
( 5分) 在(0,2)-点，1z =，因此 224015z x ∂=>∂，所以(0,2)-为极小值点，极小值为1z =；( 6分) 在16(0,)7点，87z =-，因此 224015z x ∂=-<∂，所以16(0,)7为极大值点，极大值为87z =-， ( 7分) 6. 解：记⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≤≤--⎩⎨⎧≤≤-≤≤-1101:1102:221y x y D y x D ，则21D D D -=.（2分） 故σσσd y x d y x d y x D D D⎰⎰⎰⎰⎰⎰+-+=+21)()()(222222 ( 4分) -=-+=⎰⎰⎰⎰--320)(2321311222ππθdr r d dx y x dy 4π（7分） 7. 解：L 所围区域D ：222ay x ≤+,由格林公式，可得⎰-Lx y x y xy d d 22=y x y y x x xy Dd d ))()((22⎰⎰∂-∂-∂∂=⎰⎰+D y x y x d d )(22=4π20022πd a r r r d a ⎰⎰=⋅θ.(7分)8. 解：如图，选取柱面坐标系计算方便,此时，⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤≤≤,10,2π0,10:r z θΩ所以⎰⎰⎰⎰⎰⎰⋅⋅=Ωθθθr r r r z z y x xy d sin cos d d d d d 012π01 ( 4分)=⎰⎰r r d d 2sin 2130102πθθ=814)42cos (142π=⋅-r θ. (7分) 四、综合题（共16分，每小题8分） 1．证明：因为lim 0,lim 0n n n n u v →∞→∞==，（2分）故存在N ，当n N >时，222()23n n n n n n n u v u v u v u +=++≤，因此21()nn n uv ∞=+∑收敛。
（8分）2．证明：因为2fx x∂=∂，且22()xy x y ∂=∂，故曲线积分 2(,)L xydx f x y dy +⎰与路径无关．（4分）因此设)(),(2y g x y x f +=，从而(,1)1122 (0,0)2(,)0[()]()t t xydx f x y dy dx t g y dy t g y dy +=++=+⎰⎰⎰⎰，（5分） (1,)1 (0,0)2(,)0[1()]()t t txydx f x y dy dx g y dy t g y dy +=++=+⎰⎰⎰⎰，（6分） 由此得 12()t g y dy +⎰()tt g y dy =+⎰对任意t 成立，于是12)(-=t t g ，即12)(),(22-+=+=y x y g x y x f ．（8分） 一、。