高中数学第2章数列第09课时等比数列(2)教学案苏教版5.
苏教版高中数学(必修5)2.3《等比数列》word教案5篇
2.3.1等比数列的概念【教学思路】：一、创设情景，揭示课题引入：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。
”；细胞分裂模型；计算机病毒的传播；印度国王奖赏国际象棋发明者的实例等都是等比数列的实例。
再看下面的例子： ①1，2，4，8，16， (1)12，14，18，116，… ③1，20，220，320，420，…④10000 1.0198⨯，210000 1.0198⨯，310000 1.0198⨯，410000 1.0198⨯，510000 1.0198⨯，……观察：请同学们仔细观察一下，看看以上①、②、③、④四个数列有什么共同特征？ 共同特点：（1）“从第二项起”，“每一项”与其“前一项”之比为常数)(q（2）隐含：任一项00≠≠q a n 且 （3）1≠q 时，}{n a 为常数 二、研探新知 1．等比数列定义：一般地，如果一个数列从第二项起．．．．，每一项与它的前一项的比等于同一个常数．．，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q 表示(0)q ≠，（注意：等比数列的公比和项都不为零）． 注意：（1）“从第二项起”与“前一项”之比为常数)(q ,}{n a 成等比数列⇔nn a a 1+=q （+∈N n ,0≠q ）（2）隐含：任一项00≠≠q a n 且,“n a ≠0”是数列}{n a 成等比数列的必要非充分条件． （3）1=q 时，}{n a 为常数。
三、质疑答辩，排难解惑，发展思维例1 （教材45P 例1）判断下列数列是否为等比数列：（1）1,1,1,1；（2）0,1,2,4,8；（3）1618141211，，，，--解：（1）所给的数列是首项为1，公比为1的等比数列． （2）因为0不能作除数，所以这个数列不是等比数列．例2 （教材46P 例2）求出下列等比数列中的未知项：（1）2,,8a ； （2）14,,,2b c -． 解：（1）由题得82a a=，∴4a =或4a =-． （2）由题得 412b c b c c b⎧=⎪-⎪⎨⎪=⎪⎩，∴2b =或1c =-．四、巩固深化，反馈矫正 1. 教材49P 练习第1，2题 2. 教材49P 习题第1，2题五、归纳整理，整体认识本节课主要学习了等比数列的定义，即：)0(1≠=-q q a a n n；等比数列的通项公式：11-⋅=n n q a a 及推导过程。
高中数学 第二章 数列 2.3 等比数列教案 苏教版必修5-苏教版高二必修5数学教案
等比数列教学过程一、复习回顾师：前面我们已经学习了有关等差数列的有关知识，请一位同学来回答一下等差数列的定义的文字语言是什么？生：如果一个数列从第二项起，每一项减去它的前一项所得的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列。
师：等差数列的定义的数学表达式是什么？生：*+∈=-N n d d a n )(a 1n 为常数师：等差数列的通项公式是什么？生：d n a )1(a 1n -+=二、新知探究（一）等比数列的定义师：学完等差数列后，有学生问我：“老师，既然研究了差，我们是不是还要研究等和数列，等积数列，等商数列呢？我充满了好奇！”请问如果一个数列，从第二项起，每一项与它的前一项所得的“和”都等于同一个常数，请同学们举例子。
生：生：师：如果一个数列，从第二项起，每一项与它的前一项所得的“积”都等于同一个常数，请同学们举例子。
生：生：师：如果一个数列，从第二项起，每一项与它的前一项所得的“比”都等于同一个常数，请同学们举例子。
生：生：“等和数列”，“等积数列”，“等比数列”三者中，哪种更具有研究价值呢？生：生：我们的生活中“等比数列”的例子很多，如商品打折，银行存款等。
师：探究，类比等差数列定义同桌之间互相讨论，总结等比数列定义的文字语言。
生：师：定义中你觉得关键的字眼有哪些？生：生：师：你会用数学表达式来表示等比数列定义吗？生：生：例1：观察以下几个数列，回答下面问题：1, 1, 1, 1, 1；0, 1, 2, 4, 8；1, 2, 0, 4, 8；1, 2, 4, 8，0；-3，-9，-27，-81，-243；-1，1/2，1/4，1/8.师：①有哪几个是等比数列？若是，公比等于多少？生：师：②公比q能等于零吗？首项能为零吗？等比数列中会有某一项等于0吗？生：师：③存在公比q=1的等比数列吗？存在公比q=-1的等比数列吗？生：师：④从第三项起，每一项与它的前一项之比是同一个常数，这个数列是否是等比数列？生：师：⑤既是等差数列又是等比数列的数列存在吗？如果存在，请举例！例2：求出下列等比数列中的未知项（1）2，a ，8（2）-4,b ，c ，8（二）等比中项师：由例2中的（1），类比等差中项的概念，你能给出等比中项的概念吗？ 生：师：2,-6之间是否存在等比中项？生：师：1和4的等比中项是什么？生：师：若ab G =2，则G 是否一定是a 和b 的等比中项吗？生：师：如果把例2中的（2），变为 -4,a,b ，c ，d,e,f,8呢？（三）等比数列的通项公式：这两个等比数列的通项公式。
高中数学第二章数列第九课时等比数列的前n项和教案(一)苏教版必修5
教学目 标：
会用等比数列求和公式进行求和，灵活应用公式与性质解决一些相关问题；培养学生的 综合能力，提高学生的数学修养 . 教学重点：
1. 等比数列的前 n 项和公式 . 2. 等比数列的前 n 项和公式的推导 .
教学难点： 灵活应用公式解决有关问题 .
教学过程：
分析：等比数列的第 5 项到第 10 项可组成一新等比数列 .
解法一：由 1，2， 4，…可知： a1＝1， q＝ 2
∴
an＝
n
2
－
1，∴
a5＝
24＝
16，
a10 1－26）
从第 5 项到第 10 项共有 6 项，它们的和为：
1－2
＝ 1008.
答案：从第 5 项到第 10 项的和为 1008.
（）
A. 等比数列
B. 等差数列
C. 等比或等差数列
D.非等差数列
2．等比数列 { an} 中，若 S6＝ 91， S2＝7，则 S4 为
A.28
B.32
C.35
1
3．数列 { an} 的通项公式为 an＝
，若 Sn＝ 9，则 n 等于
n＋ n＋ 1
A.9
B.10
C.99
（） D.49
（） D.100
12．已知数列 { an} 中， Sn 是它的前 n 项和，并且 Sn+1＝ 4an＋ 2( n＝ 1， 2，… ) ， a1＝1 （ 1）设 b n＝ an+1－ 2an( n＝ 1， 2，… ) ，求证 { bn} 是等比数列； an （ 2）设 cn＝ 2n ( n＝ 1， 2，… ) ，求证 { cn} 是等差数列； （ 3）求数列 { an} 的通项公式及前 n 项和公式 .
高中数学第2章数列第02课时数列(2)教学案苏教版必修5
数列(二)教学目标：1.进一步熟悉数列及其通项公式的概念；2.了解数列的递推公式是确定数列的一种方法，会根据给出的递推公式写出数列的前n 项；3.掌握根据数列的前n 项和确定数列的通项公式．重点难点：根据数列的前n 项和确定数列的通项公式．数列的递推公式的理解与应用. 引入新课1．已知数列{}=-=1,32a a a n n n 则的通项公式是 ，=5a ，125是这个数列的第_______项．2.写出下列数列}{n a 的前5项：（1）51=a ，)2(31≥ +=-n a a n n ； （2）21=a ，)2(21≥ =-n a a n n ．3.写出数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：①11，10，9，8，7，…； ②13-，18，115-，124-，…注：由数列的前n 项写出一个通项公式：关键在于观察、分析数列的前n 项的特征、特点，找出数列的一个构成规律，再写出一个相应的通项公式．注意：（1）并不是所有数列的通项公式都存在；（2）有的数列的通项公式并不唯一．4．数列的递推公式：数列的第n 项n a 与它前面相邻一项1-n a （或相邻几项）所满足的关系式的递推公式．5.若记数列{}n a 的前n 项和为n S ，即12n n S a a a =++⋅⋅⋅+．试证明：⎩⎨⎧-=-11n n n S S S a )2()1(≥=n n 注意：⑴可作为常用公式； ⑵ 当)(11S a =满足1--n n S S 时，则1--=n n n S S a ．例题剖析例1 根据下列各数列的前几项，分别写出一个通项公式：（1）9， 99， 999， 9999，…（2）0.7．0.77，0.777，0.7777，…（3）2，6，12，20，30，…．例2 数列}{n a 中，01=a ，nn n a a a -+=+311，写出}{n a 的一个通项公式．例3、已知数列{}n a 的前n 项和分别为 ①n n Sn -=22； ②12++=n n S n ．求数列{}n a 的通项公式．巩固练习1．根据下列数列的前几项，分别写出它们的一个通项公式：（1）7，77，777，7777，…； （2）3，8，15，24，35，…．2．已知21=a ，41-=+n n a a 求n a ．已知21=a ，n n a a 21=+ 求n a ．3.已知数列{}n a 的前n 项和32n n S =-，求该数列的通项公式．课堂小结1.数列中递推关系的概念；2.由数列的前n 项的和n S 求数列的通项公式的过程．课后训练一 基础题1.数列{}n a 的通项公式nn a n -+=11，则417+是该数列中的第 项． 2.已知数列{}n a 的通项公式2412n a n n =--，则4a = ，7a = ，65是它 的第 项 ；从第 项起各项为正；{}n a 中第 项的值最小，为 ．3.若数列{}n a 中，12a =，且各项满足121n n a a +=-，则该数列的前四项为 ．4.若数列{}n a 中，11a =，24a =，且各项满足212n n n a a a ++=+，则26是该数列的 第 项．5．数列{}n a 中，()()21,3,1111221≥-=∙-==-+-n a a a a a n n n n ，则4a = 。
高中数学 第2章《数列(2)》教案苏教版必修5
本章复习与小结（2）一、递推关系通项公式的求法：对于给定递推关系求数列的通项公式成为近年高考考查热点之一。
常见的出题形式为先给定数列的初始值及数列的递推关系，要求求出通项公式。
本文结合对历年高考考查的模式，总结出常见的主要有以下几种类型：模式一：形如)(1n f a a n n +=+递推式。
由累加法可求得通项公式为：++=）（11f a a n )1()2(-+++n f f Λ。
例1．（2020北京高考题）数列{}n a 中，12a =，1n n a a cn +=+（c 是常数，123n =L，，，），且123a a a ，，成公比不为1的等比数列．（I ）求c 的值；（II ）求{}n a 的通项公式模式二：形如)(1n f a a n n =+递推式。
由)(1n f a a n n =+得)(1n f a a nn =+，使用累乘法可得)1()1(1f n f a a n Λ-⋅=。
例2．已知数列}{n a 满足，11=a ，n n a a nn 11+=+，求通项公式n a 。
模式三：形如μλ+=+n n a a 1（其中λ、μ为常数）递推式，通常解法是设=-+β1n a)(βλ-n a ，求出β，因}{1ββ--+n n a a 是等比数列则可求出通项公式。
例3．（2020全国高考卷Ⅰ）已知数列{}n a 中12a =，11)(2)n n a a +=-+，,2,1=nΛ,3．（I ）求{}n a 的通项公式；（II ）略。
模式四：形如)(1n f a a n n +=+λ（其中λ为常数）递推式，nn n a a μλ+=+1（λ、μ为常数）是其特殊情形。
后者的等式两边同除以nμ，得111+⋅=-+n nnn a a μμλμ，令1-=n n n a b μ，则可化归为μλ+=+n n a a 1（λ、μ为常数）型。
例4．（2020天津高考题）在数列{}n a 中，∈⋅-++==++n a a a nn n n (2)2(,2111λλλ )*N ，其中0λ>．（I ）求数列{}n a 的通项公式；（II ）略；模式五：形如)()(1n g a n f a n n +=+（其中λ为常数）递推式，设数列)}({n h ，使)1()()(+=n h n h n f ，则)()1()(1n g a n h n h a n n ++=+，即）n h n g n h a n h a n n 1()()()1(1+⋅+⋅=+⋅+，令)(n h a b n n ⋅=，则)1()(1+⋅+=+n h n g b b n n ，即已化为模式一。
高中数学 第2章 数列 2.3.2.1 等比数列的概念及通项公式学案 苏教版必修5-苏教版高中必修5
第1课时等比数列的概念及通项公式1．理解等比数列的概念，能在具体情景中，发现数列的等比关系．(重点)2．会推导等比数列的通项公式，并能应用该公式解决简单的等比数列问题．(重点)3．会证明一个数列是等比数列．(难点)[基础·初探]教材整理1 等比数列的概念阅读教材P49的有关内容，完成下列问题．如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0)．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)等比数列中，各项与公比均不为零．( )(2)数列a，a，…，a一定是等比数列．( )(3)等比数列{a n}中，a1，a3，a5一定同号．( )【答案】(1)√(2)×(3)√教材整理2 等比数列的通项公式阅读教材P51～P52，完成下列问题．如果数列{a n}是等比数列，首项为a1，公比为q，那么它的通项公式为a n＝a1q n－1(a1≠0，q≠0)．1．在等比数列{a n}中，已知a1＝2，a4＝16，则a n＝________.【解析】∵a4＝a1q3，∴q3＝8，∴q＝2，∴a n＝a1q n－1＝2·2n－1＝2n.【答案】2n2．在等比数列{a n}中，已知a1＝3，q＝3，若a n＝729，则n＝________.【解析】∵a n＝a1q n－1，a1＝3，q＝3，∴729＝3·3n －1＝3n，∴n ＝6.【答案】 6教材整理3 等比中项阅读教材P 54第11题，完成下列问题．1．若a ，G ，b 成等比数列，则称G 为a 和b 的等比中项，且满足G 2＝ab . 2．若数列{a n }是等比数列，对任意的正整数n (n ≥2)，都有a 2n ＝a n －1·a n ＋1.1．若22是b －1，b ＋1的等比中项，则b ＝________.【解析】 ∵(b －1)(b ＋1)＝(22)2，∴b 2－1＝8，∴b 2＝9，∴b ＝±3. 【答案】 ±32．若1，a,4成等比数列，则a ＝________. 【解析】 ∵1，a,4成等比数列， ∴a 2＝1×4＝4， ∴a ＝±2. 【答案】 ±2[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问1：_________________________________________________ 解惑：_________________________________________________ 疑问2：_________________________________________________ 解惑：_________________________________________________ 疑问3：_________________________________________________ 解惑：_________________________________________________[小组合作型]等比数列的判定与证明设数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋2a n －1＋3＝0(n ≥2)．判断数列{a n ＋1}是否是等比数列？【精彩点拨】 只需证明a n ＋1＋1a n ＋1＝非零常数即可．【自主解答】 由题意知a n ＋1＋2a n ＋3＝0(n ≥2)成立，∴a n ＋1＝－2a n －3， ∴a n ＋1＋1a n ＋1＝－2a n －3＋1a n ＋1＝－2(常数)． 又a 1＋1＝2，∴数列{a n ＋1}是以2为首项，以－2为公比的等比数列．要判断一个数列{a n }是等比数列，其依据是a n a n －1＝q (q 是非零常数)或a n ＋1a n＝q ，对一切n ∈N *且n ≥2恒成立．[再练一题]1．判断下列数列是否为等比数列． (1)1，－1,1，－1，…； (2)1,2,4,6,8，…； (3)a ，ab ，ab 2，ab 3，….【解】 (1)是首项为1，公比为－1的等比数列． (2)64≠86，不是等比数列． (3)当ab ≠0时，是等比数列，公比为b ，首项为a ； 当ab ＝0时，不是等比数列．等比数列的通项公式(1)若{a n }为等比数列，且2a 4＝a 6－a 5，则公比为________． (2)在等比数列{a n }中，若a 2＋a 5＝18，a 3＋a 6＝9，a n ＝1，则n ＝________.【导学号：91730035】【解析】 (1)∵a 6＝a 4q 2，a 5＝a 4q ，∴2a 4＝a 4q 2－a 4q ，∴q 2－q －2＝0，∴q 1＝－1，q 2＝2.(2)法一 因为⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋a 5＝a 1q ＋a 1q 4＝18，③a 3＋a 6＝a 1q 2＋a 1q 5＝9，④由④③得q ＝12，从而a 1＝32，又a n ＝1， 所以32×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝1，即26－n＝20，所以n ＝6.法二 因为a 3＋a 6＝q (a 2＋a 5)，所以q ＝12.由a 1q ＋a 1q 4＝18，知a 1＝32. 由a n ＝a 1qn －1＝1，知n ＝6.【答案】 (1)－1或2 (2)6等比数列基本量的求法a 1和q 是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量，其他量便可求出来，法一是常规解法，先求a 1，q ，再求a n ，法二是运用通项公式及方程思想建立方程组求a 1和q ，这也是常见的方法．[再练一题]2．(1)若等比数列的前三项分别为5，－15,45，则第5项是________．(2)一个各项均为正数的等比数列，每一项都等于它后面两项的和，则公比q ＝________.【解析】 (1)∵a 5＝a 1q 4，a 1＝5，∴q ＝－3，∴a 5＝405. (2)由题意，a n ＝a n ＋1＋a n ＋2，即a n ＝a n q ＋a n q 2，∴q 2＋q －1＝0，∴q ＝－1±52.∵q >0，∴q ＝5－12.【答案】 (1)405 (2)5－12[探究共研型]等比中项探究1 三个数满足G 2＝xy ，则x ，G ，y 成等比数列吗？ 【提示】 不一定．如0,0,0这三个数不成等比数列． 探究2 任何两个非零常数都有等比中项吗？ 【提示】 不是．只有同号的两个数才有等比中项．在4与14之间插入3个数，使这5个数成等比数列，求插入的3个数．【精彩点拨】 法一：利用等比数列的通项公式求解； 法二：先设出这三个数，再利用等比中项求解．【自主解答】 法一：依题意，a 1＝4，a 5＝14，由等比数列的通项公式，得q 4＝a 5a 1＝116，q ＝±12.因此，插入的3项依次为2,1，12或－2,1，－12.法二：此等比数列共5项，a 3是a 1与a 5的等比中项，因此a 3＝±a 1a 5＝±1.a 2是a 1与a 3的等比中项，a 4是a 3与a 5的等比中项，因为一个正数和一个负数没有等比中项，所以a 3＝1，a 2＝±a 1a 3＝±2，a 1＝±a 3a 5＝±12.因此，插入的3项依次为2,1，12或－2,1，－12.注意等比数列中各项的符号特点是隔项符号必须相同．从而，对于数a ，b 的等比中项G ，G 2＝ab 一定成立，但G 的符号不一定正负都可取，如等比数列{a n }中，三项分别为a 1，a 4，a 7，则a 4是a 1与a 7的等比中项，此时a 4可取正值，也可取负值；而对于下面的三项a 2，a 4，a 6，也有a 4是a 2与a 6的等比中项，此时a 4只能与a 2和a 6同号．[再练一题]3．已知a ，－32，b ，－24332，c 这五个数成等比数列，求a ，b ，c 的值．【解】 由题意知b 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－24332＝⎝ ⎛⎭⎪⎫326，∴b ＝±278.当b ＝278时，ab ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－322，解得a ＝23；bc ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－243322＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－3210，解得c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫327. 同理，当b ＝－278时，a ＝－23，c ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫327. 综上所述，a ，b ，c 的值分别为23，278，⎝ ⎛⎭⎪⎫327或－23，－278，－⎝ ⎛⎭⎪⎫327.[构建·体系]1．下列各组数能组成等比数列的是________(填序号)． ①13，16，19；②lg 3，lg 9，lg 27； ③6,8,10；④3，－33，9. 【解析】－333＝9－33＝－ 3. 【答案】 ④2．若等比数列的首项为4，末项为128，公比为2，则这个数列的项数n ＝________. 【解析】 由等比数列的通项公式，得128＝4×2n －1,2n －1＝32，所以n ＝6.【答案】 63．在等比数列{a n }中，a 1＝18，q ＝－2，则a 4与a 10的等比中项是________.【导学号：91730036】【解析】 a 4与a 10的等比中项为a 7，a 7＝18×(－2)6＝8.【答案】 84．已知{a n }是递增等比数列，a 2＝2，a 4－a 3＝4，则此数列的公比q ＝________. 【解析】 a 4－a 3＝a 2q 2－a 2q ＝a 2(q 2－q )＝2(q 2－q )＝4，∴q 2－q －2＝0， ∴q ＝2，或q ＝－1(舍去)． 【答案】 25．在243和3中间插入3个数，使这5个数成等比数列，求这3个数． 【解】设插入的三个数为a 2，a 3，a 4，由题意得243，a 2，a 3，a 4,3成等比数列． 设公比为q ，则3＝243·q 5－1，解得q ＝±13.当q ＝13时，a 2＝81，a 3＝27，a 4＝9；当q ＝－13时，a 2＝－81，a 3＝27，a 4＝－9.因此，所求三个数为81,27,9或－81,27，－9.我还有这些不足：(1)_________________________________________________ (2)_________________________________________________ 我的课下提升方案：(1)_________________________________________________ (2)_________________________________________________学业分层测评(十) (建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．在等比数列{a n }中，a 4＝2，a 7＝8，则a n ＝________.【解析】 因为⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝a 1q 3，a 7＝a 1q 6，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 3＝2 ①a 1q 6＝8 ②由②①得q 3＝4，从而q ＝34，而a 1q 3＝2， 于是a 1＝2q 3＝12，所以a n ＝a 1q n －1＝22n －53.【答案】 22n －532．等比数列x,3x ＋3,6x ＋6，…的第四项等于________．【解析】 由题意知(3x ＋3)2＝x (6x ＋6)，即x 2＋4x ＋3＝0，解得x ＝－3或x ＝－1(舍去)，所以等比数列的前3项是－3，－6，－12，则第四项为－24.【答案】 －243．如果－1，a ，b ，c ，－9成等比数列，那么b ＝________，ac ＝________.【解析】 ∵b 2＝(－1)×(－9)＝9，且b 与首项－1同号，∴b ＝－3，且a ，c 必同号． ∴ac ＝b 2＝9.【答案】 －3 94．在等比数列{a n }中，a 3＝3，a 10＝384，则公比q ＝________.【解析】 由a 3＝a 1q 2＝3，a 10＝a 1q 9＝384，两式相除得，q 7＝128，所以q ＝2. 【答案】 25．已知等比数列{a n }满足a 1＋a 2＝3，a 2＋a 3＝6，则a 7＝________. 【解析】 ∵{a n }为等比数列， ∴a 2＋a 3a 1＋a 2＝q ＝2. 又∵a 1＋a 2＝3， ∴a 1＝1. 故a 7＝1·26＝64. 【答案】 646．若{a n }是等比数列，下列数列中是等比数列的所有代号为________．①{a 2n }；②{a 2n }；③⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ；④{lg|a n |}．【解析】 考查等比数列的定义，验证第n ＋1项与第n 项的比是否为常数． 【答案】 ①②③7．在160与5中间插入4个数，使它们同这两个数成等比数列，则这4个数依次为________．【解析】 设这6个数所成等比数列的公比为q ，则5＝160q 5，∴q 5＝132，∴q ＝12，∴这4个数依次为80,40,20,10. 【答案】 80,40,20,108．在等比数列{a n }中，|a 1|＝1，a 5＝－8a 2，a 5>a 2，则a n ＝________.【导学号：91730037】【解析】 记数列{a n }的公比为q ，由a 5＝－8a 2，得a 1q 4＝－8a 1q ，即q ＝－2.由|a 1|＝1，得a 1＝±1，当a 1＝－1时，a 5＝－16<a 2＝2，与题意不符，舍去；当a 1＝1时，a 5＝16>a 2＝－2，符合题意，故a n ＝a 1qn －1＝(－2)n －1.【答案】 (－2)n －1二、解答题9．在等比数列{a n }中，a 2－a 1＝2，且2a 2为3a 1和a 3的等差中项，求数列{a n }的首项，公比．【解】 设该数列的公比为q .由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q －a 1＝2，4a 1q ＝3a 1＋a 1q 2，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1q －1＝2，q 2－4q ＋3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q ＝3q ＝1舍去，故首项a 1＝1，公比q ＝3.10．数列{a n }满足a 1＝－1，且a n ＝3a n －1－2n ＋3(n ＝2,3，…)． (1)求a 2，a 3，并证明数列{a n －n }是等比数列； (2)求a n .【解】 (1)a 2＝3a 1－2×2＋3＝－4，a 3＝3a 2－2×3＋3＝－15.下面证明{a n －n }是等比数列： 由a 2＝－4，a 3＝－15可知，a n ≠n . ∵a n ＋1－n ＋1a n －n＝3a n －2n ＋1＋3－n ＋1a n －n＝3a n －3n a n －n＝3(n ＝1,2,3，…)．又a 1－1＝－2，∴{a n －n }是以－2为首项，以3为公比的等比数列． (2)由(1)知a n －n ＝－2·3n －1，∴a n ＝n －2·3n －1.[能力提升]1．在等差数列{a n }中，公差d ≠0，且a 1，a 3，a 9成等比数列，则a 1＋a 3＋a 9a 2＋a 4＋a 10等于________．【解析】 由题意知a 3是a 1和a 9的等比中项， ∴a 23＝a 1a 9，∴(a 1＋2d )2＝a 1(a 1＋8d )， 得a 1＝d ，∴a 1＋a 3＋a 9a 2＋a 4＋a 10＝13d 16d ＝1316.【答案】13162．已知{a n }是等比数列，a n >0，又知a 2a 4＋2a 3a 5＋a 4a 6＝25，那么a 3＋a 5＝________. 【解析】 ∵a 2a 4＝a 23，a 4a 6＝a 25，∴a 23＋2a 3a 5＋a 25＝25，∴(a 3＋a 5)2＝25，又∵a n >0，∴a 3＋a 5＝5.【答案】 53．若数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n ＝2S n －3，则{a n }的通项公式是________． 【解析】 由a n ＝2S n －3，得a n －1＝2S n －1－3(n ≥2)，两式相减得a n －a n －1＝2a n (n ≥2)， ∴a n ＝－a n －1(n ≥2)，a na n －1＝－1(n ≥2)． 故{a n }是公比为－1的等比数列，令n ＝1，得a 1＝2a 1－3， ∴a 1＝3，故a n ＝3·(－1)n －1.【答案】 a n ＝3·(－1)n －14．互不相等的3个数之积为－8，这3个数适当排列后可以组成等比数列，也可组成等差数列，求这3个数组成的等比数列．【解】 设这3个数分别为a q，a ，aq ，则a 3＝－8，即a ＝－2. (1)若－2为－2q和－2q 的等差中项，则2q＋2q ＝4，∴q 2－2q ＋1＝0，解得q ＝1，与已知矛盾，舍去； (2)若－2q 为－2q和－2的等差中项，则1q ＋1＝2q ，∴2q 2－q －1＝0，解得q ＝－12或q ＝1(与已知矛盾，舍去)， ∴这3个数组成的等比数列为4，－2,1； (3)若－2q 为－2q 和－2的等差中项，则q ＋1＝2q，∴q 2＋q －2＝0，解得q ＝－2或q ＝1(与已知矛盾，舍去)， ∴这3个数组成的等比数列为1，－2,4.故这3个数组成的等比数列为4，－2,1或1，－2,4.。
高中数学 《数列(2)》教案2 苏教版必修5
第 2 课时：§ 2.1 数列（2）【三维目标】：一、知识与技能1. 要求学生进一步熟悉数列及其通项公式的概念；了解数列的递推公式的意义，明确递推公式与通项公式的异同；了解数列的递推公式是确定数列的一种方法；2.会根据数列的递推公式写出数列的前几项；3.理解数列的前n 项和与n a 的关系；掌握根据数列的前n 项和确定数列的通项公式．4.提高学生的推理能力，培养学生的应用意识.二、过程与方法经历数列知识的感受及理解运用的过程。
三、情感、态度与价值观通过本节课的学习，体会数学来源于生活，提高数学学习的兴趣。
【教学重点与难点】：重点：数列的递推公式的理解与应用；难点：理解递推公式；理解递推公式与通项公式的关系【学法与教学用具】：1. 学法：2. 教学用具：多媒体、实物投影仪.【授课类型】：新授课【课时安排】：1课时【教学思路】：一、创设情景，揭示课题1.复习数列是一种特殊的函数，故其表示方法有列表法、图象法、通项公式法.2.提问：已知数列{}n a 满足11211(2)n n a a n a -=⎧⎪⎨=+≥⎪⎩，能写出这个数列的前5项吗？ 思考：已知在数列{}n a 中12n n a a +=+，那么这个数列中的任意一项是否都可以写出来？二、研探新知1．递推公式（1）递推公式的概念：知识都来源于实践，最后还要应用于生活用其来解决一些实际问题．观察钢管堆放示意图，寻其规律，建立数学模型．模型一：自上而下：第1层钢管数为4；即：1↔4＝1+3第2层钢管数为5；即：2↔5＝2+3第3层钢管数为6；即：3↔6＝3+3第4层钢管数为7；即：4↔7＝4+3第5层钢管数为8；即：5↔8＝5+3第6层钢管数为9；即：6↔9＝6+3第7层钢管数为10；即：7↔10＝7+3若用n a 表示钢管数，n 表示层数，则可得出每一层的钢管数为一数列，且1(3+=n a n ≤n ≤7）运用每一层的钢筋数与其层数之间的对应规律建立了数列模型，运用这一关系，会很快捷地求出每一层的钢管数这会给我们的统计与计算带来很多方便。
苏教版高中数学必修5-2.1《数列(第2课时)》教学教案
数列（第2课时）教学目的：1．了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同；2．会根据数列的递推公式写出数列的前几项；3．理解数列的前n 项和与n a 的关系；4．会由数列的前n 项和公式求出其通项公式。
教学重点：根据数列的递推公式写出数列的前几项。
教学难点：理解递推公式与通项公式的关系。
授课类型：新授课课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：上节学习知识点如下1．数列的定义：按一定次序排列的一列数叫做数列。
注意：（1）数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列；（2）定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现。
2．数列的项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项.。
各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，…，第n 项，….。
3．数列的一般形式： ,,,,,321n a a a a ，或简记为{}n a ，其中n a 是数列的第n 项。
4．数列的通项公式：如果数列{}n a 的第n 项n a 与n 之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式。
5．数列的图像都是一群孤立的点。
6．数列有三种表示形式：列举法，通项公式法和图象法。
7．有穷数列：项数有限的数列。
8．无穷数列：项数无限的数列。
二、讲解新课： 知识都来源于实践，最后还要应用于生活用其来解决一些实际问题。
观察钢管堆放示意图，寻其规律，建立数学模型。
模型一：自上而下：第1层钢管数为4，即：1↔4＝1+3；第2层钢管数为5，即：2↔5＝2+3；第3层钢管数为6，即：3↔6＝3+3；第4层钢管数为7，即：4↔7＝4+3；第5层钢管数为8，即：5↔8＝5+3；第6层钢管数为9，即：6↔9＝6+3；第7层钢管数为10，即：7↔10＝7+3。
若用n a 表示钢管数，n 表示层数，则可得出每一层的钢管数为一数列，且1(3+=n a n ≤n≤7）。
高中数学 第二章 第9课时 等比数列的前n项和(2)教案 苏教版必修5
江苏省盐城市文峰中学高中数学 第二章 第9课时 等比数列的前n项和（2）教案 苏教版必修5教学目标：综合运用等比数列的定义式、通项公式、性质及前n 项求和公式解决相关问题，提高学生分析、解决问题的能力.教学重点：进一步熟练掌握等比数列的通项公式和前n 项和公式.教学难点：灵活使用有关知识解决问题教学过程：Ⅰ.问题情境：Ⅱ.建构数学Ⅲ.数学应用例1.（x ＋1y ）＋（x 2＋1y 2 ）＋…＋（x n ＋1y n ）(其中x ≠0，x ≠1，y ≠1)练习.求和（x ＋1x ）2＋（x 2＋1x 2 ）2＋…＋（x n ＋1x n ）2例2.求和：12321-+⋅⋅⋅+++=n n nx x x S .练习.设n n n a 2⋅=，求数列{}n a 的前n 项和.例3.已知S n 是等比数列{a n }的前n 项和，S 3，S 9，S 6成等差数列，求证：a 2，a 8，a 5成等 差数列.练习.等比数列{a n }中，S 4＝1，S 8＝3，求a 17＋a 18＋a 19＋a 20的值.Ⅳ.课时小结Ⅴ.课堂检测Ⅵ.课后作业 书本P 56 5 6精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。
读沙漠，读出了它坦荡豪放的胸怀；读太阳，读出了它普照万物的无私；读春雨，读出了它润物无声的柔情。
读大海，读出了它气势磅礴的豪情。
读石灰，读出了它粉身碎骨不变色的清白。
2、幸福幸福是“临行密密缝，意恐迟迟归”的牵挂；幸福是“春种一粒粟，秋收千颗子”的收获. 幸福是“采菊东篱下，悠然见南山”的闲适；幸福是“奇闻共欣赏，疑义相与析”的愉悦。
幸福是“随风潜入夜，润物细无声”的奉献；幸福是“夜来风雨声，花落知多少”的恬淡。
幸福是“零落成泥碾作尘，只有香如故”的圣洁。
幸福是“壮志饥餐胡虏肉，笑谈渴饮匈奴血”的豪壮。
幸福是“先天下之忧而忧，后天下之乐而乐”的胸怀。
幸福是“人生自古谁无死，留取丹心照汗青”的气节。
3、大自然的语言丰富多彩：从秋叶的飘零中，我们读出了季节的变换；从归雁的行列中，我读出了集体的力量；从冰雪的消融中，我们读出了春天的脚步；从穿石的滴水中，我们读出了坚持的可贵；从蜂蜜的浓香中，我们读出了勤劳的甜美。
高中数学等比数列教案苏教版必修5
课题: §2.3等比数列（第1课时）2.3.1等比数列的概念授课类型：新授课●教学目标知识与技能：掌握等比数列的定义；理解等比数列的通项公式及推导；过程与方法：通过实例，理解等比数列的概念；能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，提高数学建模能力．情感态度与价值观：充分感受数列是反映现实生活的模型，体会数学是来源于现实生活，并应用于现实生活的，数学是丰富多彩的而不是枯燥无味的，提高学习的兴趣．●教学重点 等比数列的定义●教学难点 灵活应用定义式解决相关问题●教学过程Ⅰ.课题导入复习：等差数列的定义： 12*n n a a d(n ,n N )--=≥∈等差数列是一类特殊的数列，在现实生活中，除了等差数列，我们还会遇到下面一类特殊的数列．课本P45页的3个例子： ①2311110101010222,,(),(),.⨯⨯⨯ ②2336360936093609,.,.,.,.⨯⨯⨯ ③2510000 1.05,10000 1.05,,10000 1.05⨯⨯⨯．观察：请同学们仔细观察一下，看看以上①、②、③、④四个数列有什么共同特征？ 共同特点：从第二项起，第一项与前一项的比都等于同一个常数．Ⅱ.讲授新课1．等比数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q 表示（q ≠0），即：10n n a q(q )a -=≠．2．例题分析例1．判断下列数列是否为等比数列：（１）１，１，１，１，１；（２）０，１，２，４，８；（３）1，21-，41，81-，161.例2．求出下列等比数列中的未知项：（１）２，a ，８；（２）4-，b ，c ，21．●课堂练习1 课本P 47 练习1、2、3例3．（１）在等比数列{}n a 中，是否有2112n n n a a a (n )-+=≥？（２）如果数列{}n a 中，对于任意的正整数()2n n ≥，都有2112n n n a a a (n )-+=≥，那么{}n a 一定是等比数列吗？● 课堂练习2 课本P 47 练习4、5Ⅳ.课时小结 等比数列的概念．Ⅴ.课后作业补充练习 已知数列{}n a 满足：35n lg a n =+，试用定义证明{}n a 是等比数列【板书设计】【教学反思】课题: §2.3等比数列（第2课时）2.3.2等比数列的通项公式授课类型：新授课●教学目标知识与技能： 理解等比数列的通项公式及推导；过程与方法：通过实例，理解等比数列的概念；探索并掌握等比数列的通项公式、性质，能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，提高数学建模能力；体会等比数列与指数函数的关系．情感态度与价值观：充分感受数列是反映现实生活的模型，体会数学是来源于现实生活，并应用于现实生活的，数学是丰富多彩的而不是枯燥无味的，提高学习的兴趣．●教学重点 等比数列的通项公式●教学难点 灵活应用定义式及通项公式解决相关问题●教学过程Ⅰ.课题导入复习：等差数列的定义： 12*n n a a d(n ,n N )--=≥∈．Ⅱ.讲授新课1.等比数列的通项公式1: )0(111≠⋅⋅=-q a q a a n n ．推导过程：2.等比数列的通项公式2: )0(11≠⋅⋅=-q a q a a m m n2．例题分析例1．在等比数列{}n a 中，（1）已知132a ,q ==-，求6a ；（２）已知3620160a ,a ==，求n a ．例2．在243和３中间插入３个数，使这５个数成等比数列．Ⅲ.课堂练习1 课本P49 练习1、2●补充练习1.（1）一个等比数列的第9项是49，公比是13，求它的第1项．（2）一个等比数列的第2项是10，第3项是20，求它的第1项与第4项．2．成等差数列的三个正数之和为15，若这三个数分别加上139,,后又成等比数列，求这三个数.课堂练习2 课本P49 练习 3Ⅳ.课时小结等比数列的通项公式及推导过程．Ⅴ.课后作业课本P49习题 1、2【板书设计】【教学反思】课题: §2.3等比数列（第3课时）2.3.2等比数列的通项公式授课类型：新授课●教学目标知识与技能：等比数列的通项公式及应用；过程与方法：探索并掌握等比数列的通项公式、性质，能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，提高数学建模能力；体会等比数列与指数函数的关系．情感态度与价值观：充分感受数列是反映现实生活的模型，体会数学是来源于现实生活，并应用于现实生活的，数学是丰富多彩的而不是枯燥无味的，提高学习的兴趣．●教学重点 等比数列的通项公式及应用●教学难点 灵活应用定义式及通项公式解决相关问题●教学过程Ⅰ.课题导入复习：1）等差数列的定义： 12*n n a a d(n ,n N )--=≥∈．2）等比数列的通项公式1: )0(111≠⋅⋅=-q a q a a n n ．3）等比数列的通项公式2: )0(11≠⋅⋅=-q a q a a m m n ．Ⅱ.讲授新课1．等比数列的性质 在等比数列{}n a 中，对于*k ,l ,m,n N ∈，若m n k l +=+，则m n k l a a a a =．（可让学生推导）2．例题分析例1．已知等比数列{}n a 的通项公式为32n n a =⨯，求首项1a 和公比q ．例2．已知数列{}n a 是等比数列，（1）2537a a a =是否成立？2519a a a =成立吗？为什么？（2）211(1)n n n a a a n -+=>是否成立？你据此能得到什么结论？2(0)n n k n k a a a n k -+=>>是否成立？你又能得到什么结论？探究：课本48P 页——等比数列通项与指数函数的关系等比数列与指数函数的关系：等比数列{}n a 的通项公式)0(111≠⋅⋅=-q a q a a n n ，它的图象是分布在曲线1(0)x a y q q q=>上的一些孤立的点． ①当10,1a q >>时，等比数列{}n a 是递增数列；②当10,01a q <<<，等比数列{}n a 是递增数列；③当10,01a q ><<时，等比数列{}n a 是递减数列；④当10,1a q <>时，等比数列{}n a 是递减数列；⑤当0q <时，等比数列{}n a 是摆动数列；当1q =时，等比数列{}n a 是常数列．●补充例题1．已知数列{}n a 满足11a =，121n n a a +=+．（1）求证{1}n a +是等比数列；（2）求数列{}n a 的通项公式．2．在等比数列{}n a 中，已知47512a a =-，38124a a +=，且公比为整数，求10a ．Ⅲ.课堂练习 课本49P 练习4、5Ⅳ.课时小结 等比数列的通项公式、等比数列的性质．Ⅴ.课后作业 课本49P 习题3、4、6题【板书设计】【教学反思】课题: §2.3等比数列（第4课时）2.3.2 等比数列的通项公式授课类型：新授课●教学目标知识与技能：灵活应用等比数列的定义及通项公式；深刻理解等比中项概念；熟悉等比数列的有关性质，并系统了解判断数列是否成等比数列的方法过程与方法：通过自主探究、合作交流获得对等比数列的性质的认识．情感态度与价值观：充分感受数列是反映现实生活的模型，体会数学是来源于现实生活，并应用于现实生活的，数学是丰富多彩的而不是枯燥无味的，提高学习的兴趣．●教学重点 等比中项的理解与应用●教学难点 灵活应用等比数列定义、通项公式、性质解决一些相关问题●教学过程Ⅰ.课题导入1．等比数列：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q 表示（q ≠0），即：10n n a q(q )a -=≠． 2.等比数列的通项公式: )0(111≠⋅⋅=-q a q a a n n ，)0(≠⋅⋅=-q a q a a m m n m n ． 3．{}n a 成等比数列⇔1n na q a +=（0n N ,q +∈≠）． 4．既是等差又是等比数列的数列：非零常数列．Ⅱ.讲授新课1．等比中项： 如果在a 与b 中间插入一个数G ，使a,G,b 成等比数列，那么称这个数G 为a 与b 的等比中项.即G =a ,b 同号）如果在a 与b 中间插入一个数G ，使a ,G ,成等比数列，则2G b G ab G a G=⇒=⇒= 反之，若2G ab =，则Gb a G =，即a ,G ,b 成等比数列．∴a,G,b 成等比数列⇔20G ab(a b )=⋅≠．拓展探究：若{}{}n n b a ,是项数相同的等比数列，则{}n n b a ⋅、n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭也是等比数列． 2．例题分析例1．（1）求45和80的等比中项；（2）已知两个数96k ,k +-的等比中项是2k ，求k 的值．例2．等比数列{}n a 中，已知12324a a +=，3436a a +=，求56a a +.例3．若方程052=+-m x x 与0102=+-n x x 的四个实数根适当排列后，恰好组成一个首项为1的等比数列，则n ∶m 的值为________．Ⅲ.课堂练习 课本49P 习题8、9Ⅳ.课时小结 等比数列的等比中项与综合应用．Ⅴ.课后作业 课本P60习题2.4A 组的3、5题．Ⅴ.课后作业 课本49P 习题3、4、6题．【板书设计】【教学反思】课题: §2.3等比数列（第1课时）2.3.3等比数列的前n 项和授课类型：新授课●教学目标知识与技能：掌握等比数列的前n 项和公式及公式证明思路；会用等比数列的前n 项和公式解决有关等比数列的一些简单问题．过程与方法：经历等比数列前n 项和的推导与灵活应用，总结数列的求和方法，并能在具体的问题情境中发现等比关系建立数学模型、解决求和问题．情感态度与价值观：在应用数列知识解决问题的过程中，要勇于探索，积极进取，激发学习数学的热情和刻苦求是的精神．●教学重点 等比数列的前n 项和公式推导●教学难点 灵活应用公式解决有关问题●教学过程Ⅰ.课题导入●创设情境●提出问题 “国王对国际象棋的发明者的奖励”Ⅱ.讲授新课●分析问题 如果把各格所放的麦粒数看成是一个数列，我们可以得到一个等比数列，它的首项是1，公比是2，求第一个格子到第64个格子各格所放的麦粒数总合就是求这个等比数列的前64项的和．下面我们先来推导等比数列的前n 项和公式．1．等比数列的前n 项和公式：()()111111n n na q S a (q )q q=⎧⎪=⎨-≠⎪-⎩或()()11111n n na q S a a q )q q =⎧⎪=-⎨≠⎪-⎩公式的推导●解决问题 有了等比数列的前n 项和公式，就可以解决刚才的问题．由11,2,64a q n ===可得1(1)1n n a q S q-=-=641(12)12⨯--=6421-．6421-这个数很大，超过了191.8410⨯．国王不能实现他的诺言．2．例题讲解例1．在等比数列{}n a 中，（１）已知14a =-，12q =，求10S ；（２）已知11a =，243k a =，3q =，求k S ．例2．在等比数列{}n a 中，263,2763==S S ，求n a ．Ⅲ.课堂练习 课本52P 练习1、2、3●补充例题与习题 课本56P 习题5、6Ⅳ.课时小结 等比数列求和公式：当1q =时，1na S n =； 当1≠q 时，q q a a S n n --=11 或qq a S n n --=1)1(1． Ⅴ.课后作业 课本55P 习题 第2题【板书设计】【教学反思】课题: §2.3等比数列（第2课时）2.3.3等比数列的前n 项和授课类型：新授课●教学目标知识与技能：会用等比数列的通项公式和前n 项和公式解决有关等比数列的q n a a S n n ,,,,1中知道三个数求另外两个数的一些简单问题；提高分析、解决问题能力过程与方法：通过公式的灵活运用，进一步渗透方程的思想、分类讨论的思想、等价转化的思想.情感态度与价值观：通过公式推导的教学，对学生进行思维的严谨性的训练，培养他们实事求是的科学态度.●教学重点 进一步熟练掌握等比数列的通项公式和前n 项和公式 ●教学难点 灵活使用公式解决问题 ●教学过程 Ⅰ.课题导入等比数列的前n 项和公式：当1≠q 时，qq a S n n --=1)1(1 ① 或q q a a S n n --=11 ②当1q =时，1na S n =．Ⅱ.讲授新课1．例题分析 例1．求数列211+，412+，813+，．．．的前n 项和．补充例题1．已知数列{}n a 中，1132n n n a ,a a +==+，求a n ．2．{}n a 是等比数列，n S 是其前n 项和，数列232k k k k k S ,S S ,S S (k N )+--∈是否仍成等比数列？Ⅲ.课堂练习 课本52P 练习4补充例题与习题 已知{}n a 为等比数列，且n S a =，2n S b =，（0ab ≠），求n S 3．Ⅳ.课时小结Ⅴ.课后作业 课本56P 习题 8【板书设计】【教学反思】课题: §2.3等比数列（第3课时）2.3.3等比数列的前n 项和授课类型：新授课●教学目标知识与技能：会用等比数列的前n 项和公式解决有关等比数列的一些简单应用问题；提高分析、解决问题能力．过程与方法：通过公式的灵活运用，进一步渗透方程的思想、分类讨论的思想、等价转化的思想.情感态度与价值观：通过应用题的教学，对学生进行思维的严谨性的训练，培养他们实事求是的科学态度.●教学重点 进一步熟练掌握等比数列的通项公式和前n 项和公式及应用． ●教学难点 灵活使用公式解决实际问题． ●教学过程 Ⅰ.复习导入等比数列的前n 项和公式：当1≠q 时，qq a S n n --=1)1(1 ① 或q q a a S n n --=11 ②当1q =时，1na S n =．Ⅱ.讲授新课1．例题分析例1．水土流失是我国西部大开发中最突出的生态问题．全国9100万亩的坡耕地需要退耕还林，其中西部地区占７０％．国家确定2000年西部地区退耕土地面积为515万亩，以后每年退耕土地面积递增１２％，那么从2000年起到2005年底，西部地区退耕还林的面积共有多少万亩（精确到万亩）？例2．某人2004年初向银行申请个人住房公积金贷款20万元购买住房，月利率3.375‰，按复利计算，每月等额还贷一次，并从贷款后的次月初开始还贷．如果10年还清，那么每月应还贷多少元？对于分期付款，银行有如下规定：（１）分期付款为复利计息，每期付款数相同，且在期末付款；（２）到最后一次付款时，各期所付的款额的本利之和等于商品售价的本利之和．P练习1、2、3Ⅲ.课堂练习课本53补充例题与习题课本56P习题 3、4Ⅳ.课时小结Ⅴ.课后作业课本56P习题 7【板书设计】【教学反思】课题: §2.3等比数列（第4课时）2.3.3等比数列的前n 项和授课类型：习题课●教学目标知识与技能：会用等比数列的通项公式及前n 项和公式解决有关等比数列的q n a a S n n ,,,,1中知道三个数求另外两个数的一些简单应用问题；提高分析、解决问题能力．过程与方法：通过公式的灵活运用，进一步渗透方程的思想、分类讨论的思想、等价转化的思想.情感态度与价值观：通过应用题的教学，对学生进行思维的严谨性的训练，培养他们实事求是的科学态度.●教学重点 进一步熟练掌握等比数列的通项公式和前n 项和公式及应用． ●教学难点 灵活使用公式解决实际问题． ●教学过程 Ⅰ.复习导入等比数列的前n 项和公式：当1≠q 时，qq a S n n --=1)1(1 ① 或q q a a S n n --=11 ②当1q =时，1na S n =．Ⅱ.讲授新课1．例题分析例1．已知等比数列{}n a 的各项均为正数，S n ＝80，S 2n ＝6560，且在前n 项中最大项为54，求此数列的公比q 和项数n ．例2．一个有穷等比数列的首项为1，项数为偶数，其奇数项之和为85，偶数项之和为170，求这个数列的公比及项数．例3．定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和．已知数列{}n a 是等和数列，且12a =，公和为5，求18a 的值及这个数列的前n 项和n S .例4．某企业年初有资金1000万元，如果该企业经过生产经营能使年资金平均增长率达到50%，但每年底都要扣除消费基金x 万元，余下资金投入再生产，为实现经过5年资金达到2000万元（扣除消费基金后），那么每年应扣除消费基金多少万元（精确到万元）？例5．设数列{}n a 的首项11a =，前n 项的和S n 满足关系式13233n n tS (t )S t --+=（t 为常数，且0t >，234n ,,,=L ）．（1）求证：数列{}n a 是等比数列；（2）设{}n a 的公比为f (t )，作数列{}n b ，使得()1111234n n b ,b f n ,,,b -⎛⎫=== ⎪⎝⎭L ，求{}n b 的通项公式．（3）求和：122334212221n n n n b b b b b b b b b b -+-+-+-L ．Ⅲ.课堂练习 课本53P 练习1、2、3补充例题与习题 课本56P 习题 3、4 Ⅳ.课后作业 课本56P 习题 7【板书设计】 【教学反思】课题：数列专题复习（第1课时）通项公式●教学目标1．知识与技能目标 数列通项公式的求法． 2．过程与能力目标（1）熟练掌握本章的知识网络结构及相互关系. （2）掌握数列通项公式的求法．●教学重点 掌握数列通项公式的求法． ●教学难点 根据数列的递推关系求通项． ●教学过程 一．基本概念数列的通项公式：如果数列{a n }的第n 项a n 与n 之间的关系可以用一个公式来表示，这个 公式就叫做这个数列的通项公式．二．数列的通项公式的求法题型一 已知数列的前几项，求数列的通项公式．例1． 根据数列的前几项，写出下列个数列的一个通项公式：1．;,72,114,21,54 --2．0.9,0.99,0.999,0.9999,…；3．1,0,1,0,1,0,…．题型二 已知递推公式，求特殊数列的通项公式． 例2． 写出下面各数列一个通项公式． （1）111112nn a a ,a (n )+==+≥。
高中数学第2章数列第09课时等比数列(2)教学案(无答案)苏教版必修5
等比数列（二）教学目标1.进一步熟练掌握等比数列的定义及通项公式；2.理解等比中项的概念，会求同号两数的等比中项；熟悉等比数列的有关性质；3.灵活应用等比数列的定义、通项公式、性质解决相关问题．重点难点等比中项的概念，等比数列的性质的应用引入新课1.复习等比数列的定义、通项公式．2.等比中项：如果这三个数成等比数列，那么，叫做的等比中项．思考：①若，则一定成等比数列吗？②等比数列中，（证明等比数列的两种方法之一）。
3.在等比数列中，设成等比数列，其公比为2，则的值= ；4.等比数列中，．5.在等比数列中，，则项数n= ．6.已知在等比数列中，各项均为正数，且则数列的通项公式是．例题剖析例1已知等比数列的通项公式是，求首项和公比，并画出该数列的图像．问表示这个数列的点在什么函数的图像上？思考：如果一个数列的通项公式为，那么这个数列为等比数列吗？例2.在等比数列中，为公比，若且求证：①；②．变式训练：1.在等比数列，已知，，则= ．2.在等比数列中，，则该数列前七项之积= ．3.在等比数列中，，，则= ．4.等比数列中，，则= 。
5.已知等比数列中，，公比，则= 。
6.在等比数列中，，则=例3．在等差数列中，公差，且是和的等比中项，已知，，成等比数列，求数列的通项．巩固练习1．若成等比数列，则称为和的等比中项．（1）和的等比中项为；（2）已知两个数和的等比中项是，则．2.在等比数列中，若则_____.3.在等比数列中，是方程的两个实根，则_____.课堂小结等比数列的概念及性质、通项公式的应用，等比中项概念.课后训练一基础题1．首项为，末项为，公比为的等比数列的项数有项．2．若与的等差中项是，则__________；与的等比中项是____________．3．在等比数列中，，则的值是___________．4．在等比数列{a n}中，如果a6=6,a9=9，那么a3等于。
5．等比数列中，，则= 。
6．数列成等比数列，，，则= 。
江苏省启东市高中数学 第2章 数列 课时8 等比数列(2)教案 苏教版必修5
课时8 等比数列（2）
教学目标
掌握等比数列的定义，理解等比数列的通项公式及推导；培养学生的发现意识，提高学生创新意识，提高学生的逻辑推理能力，增强学生的应用意识.
教学过程
1．如果在a 与b 中间插入一个数G ，使a ，G ，b 成等比数列，那么称这个数G 为a 与b 的等比中项.即G ＝±ab ，(a ，b 同号)
2．由通项公式可得：a m ＝a n q
m －n
[例题分析]
例1在等比数列{a n }中，若a 3·a 5＝100，求a 4.
例2已知{a n }、{b n }是项数相同的等比数列，求证{a n ·b n }是等比数列
例3三个数成等比数列，它们的和等于14，它们的积等于64，求这三个数.
例4有四个数，前三个数成等比数列，且积为27，后三个数成等差数列，且和为18，求此四个数
例5已知数列{n a }满足,11=a *),(121N n a a n n ∈+=+
（1）求证数列}1{+n a 成等比数列；（2）求n a
当堂练习
1.有四个数，前三个数成等比数列，其和为19，后三个数成等差数列，其和为12，求此四数.
2.设x ＞y ＞2，且x ＋y ，x －y ，xy ，y x 能按某种顺序构成等比数列，试求这个等比数列。
高中数学第2章数列9等比数列3教学案无答案苏教版必修5
江苏省泰兴中学高一数学教学案(85)必修5_02 等比数列（3）班级 姓名目标要求：1． 掌握等比数列前n 项和公式的应用及推导。
2． 能综合应用等比数列的相关知识解决等比数列的相关问题。
重点难点：重点：等比数列前n 项和公式的应用。
难点：等比数列前n 项和公式的条件与推导。
典例剖析：例1．在等比数列{}n a 中，（1）已知11,243,3,k k a a q S ===求。
（2）在等比数列{}n a 中，36763,,22n S S a ==求。
例2．在等比数列{}n a 中，12166,128,126,,.n n n a a a a S n q -+===求例3．求和：)1,0)(1(...)1()11(12≠≠++++++-x x yx y x y n n .学习反思1．等比数列前n 项和公式：一般地，若是数列{}n a 中，1,a q 肯定，那么当q=1时，n S = ；当1q ≠时，n S = 或n S = 。
2．等比数列前n 项和公式的推导方式为错位相减法，是一些特殊数列求和的常常利用方式。
3．了解结论：①若数列{}n a 前n 项和1(0,1),n n S a a a =-≠≠则{}n a 是 数列。
②若数列{}n a 是公差为d 的等差数列，则232,,n n n n n S S S S S --成等差数列。
思考:若数列{}n a 是公比为q 的等比数列，则232,,n n n n n S S S S S --是不是为等比数列。
课堂练习1．在等比数列{}n a 中，若前n 项的和3,n n S r =+则r=________.2.设4710310()22222()n f n n N +=+++++∈，则()f n =____________.3．在正数等比数列{}n a 中，若1237891,4,a a a a a a ++=++=则此等比数列的前15项和为__________.4．在等比数列{}n a 中，若11,512,n a a ==-前n 项的和341,n S =-则公比q= ,项数n=江苏省泰兴中学高一数学作业(85)班级 姓名 得分一、 等比数列{}n a 中，已知1232346,3,a a a a a a ++=++=-则345678a a a a a a +++++ 等于__________.二、等比数列{}n a 的各项都是正数，若1581,16,a a ==则它的前5项和为_________.3、若一个等比数列的前3项和为24，前6项和为16，则其前9项和为 ________.4、某厂去年的产值记为1，计划在此后5年内每一年的产值比上年增加10%，则从今年起到第5年，这个厂的总产值为 ________________五、等比数列1，-1，1，-1的前n 项之和等于六、设{}n a 为公比为q 的等比数列，n S 是它的前n 项之和，若{}n S 成等差数列， 则q=7、211222n -++++等于八、在等比数列{}n a 中，（1）已知5131,28q S ==-，求1;n a a 和（2）已知132,26a S ==，求q 和n a 。
高中数学 第二章 数列 第八课时 等比数列教案(二) 苏教版必修5
第八课时 等比数列(二)教学目标：灵活应用等比数列的定义及通项公式，深刻理解等比中项概念，掌握等比数列的性质；提高学生的数学素质，增强学生的应用意识. 教学重点：1.等比中项的理解与应用.2.等比数列定义及通项公式的应用. 教学难点：灵活应用等比数列定义、通项公式、性质解决一些相关问题. 教学过程： Ⅰ.复习回顾等比数列定义，等比数列通项公式 Ⅱ.讲授新课根据定义、通项公式，再与等差数列对照，看等比数列具有哪些性质?(1)若a ，A ，b 成等差数列⇔a ＝a ＋b2，A 为等差中项.那么，如果在a 与b 中间插入一个数G ，使a ,G ，b 成等比数列，…… 则即G a ＝b G，即G 2＝ab反之，若G 2＝ab ，则G a ＝b G，即a ，G ，b 成等比数列∴a ，G ，b 成等比数列⇔G 2＝ab (a ·b ≠0)总之，如果在a 与b 中间插入一个数G ，使a ，G ，b 成等比数列，那么称这个数G 为a与bG ＝±ab ，(a ，b 同号)另外，在等差数列中，若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q ，那么，在等比数列中呢？由通项公式可得：a m ＝a 1q m －1，a n ＝a 1q n －1，a p ＝a 1q p －1，a q ＝a 1·q q －1不难发现：a m ·a n ＝a 12q m +n －2，a p ·a q ＝a 12q p +q －2若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ·a n ＝a p ·a q下面看应用这些性质可以解决哪些问题?［例1］在等比数列{a n }中，若a 3·a 5＝100，求a 4.分析：由等比数列性质，若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ·a n ＝a p ·a q 可得：解：∵在等比数列中，∴a 3·a 5＝a 42又∵a 3·a 5＝100，∴a 4＝±10.［例2］已知{a n }、{b n }是项数相同的等比数列，求证{a n ·b n }是等比数列. 分析：由等比数列定义及通项公式求得.解：设数列{a n }的首项是a 1，公比为p ；{b n }的首项为b 1，公比为q .则数列{a n }的第n 项与第n ＋1项分别为a 1p n －1，a 1p n数列{b n }的第n 项与第n ＋1项分别为b 1q n －1，b 1q n.数列{a n ·b n }的第n 项与第n ＋1项分别为a 1·p n －1·b 1·qn －1与a 1·p n ·b 1·q n，即为a 1b 1(pq )n －1与a 1b 1(pq )n∵a n +1a n ·b n +1b n ＝a 1b 1（pq ）n a 1b 1（pq ）n －1＝pq 它是一个与n 无关的常数，∴{a n ·b n }是一个以pq 为公比的等比数列.特别地，如果{a n }是等比数列，c 是不等于0的常数，那么数列{c ·a n }是等比数列. ［例3］三个数成等比数列，它们的和等于14，它们的积等于64，求这三个数. 解：设m ，G ，n 为此三数由已知得：m ＋n ＋G ＝14，m ·n ·G ＝64，又∵G 2＝m ·n ，∴G 3＝64，∴G ＝4，∴m ＋n ＝10 ∴⎩⎨⎧m ＝2n ＝8或⎩⎨⎧m ＝8n ＝2即这三个数为2，4，8或8，4，2.评述：结合已知条件与定义、通项公式、性质，选择解题捷径. Ⅲ.课堂练习课本P 50练习1，2，3，4，5. Ⅳ.课时小结本节主要内容为：(1)若a ，G ，b 成等比数列，则G 2＝ab ，G 叫做a 与b 的等比中项. (2)若在等比数列中，m ＋n ＝p ＋q ，则a m ·a n ＝a p ·a q Ⅴ.课后作业课本P 52习题 5，6，7，9等比数列(二)1．已知数列{a n }为等比数列，且a n ＞0，a 2a 4＋2a 3a 5＋a 4a 6＝25，那么a 3＋a 5的值等于（ ）B.102．在等比数列中，a 1＝1，q ∈R 且|q |≠1，若a m ＝a 1a 2a 3a 4a 5，则m 等于 （ ）B.10C.11 3．非零实数x 、y 、z 成等差数列，x ＋1、y 、z 与x 、y 、z ＋2分别成等比数列，则y 等于（ ）B.12C.144．有四个数，前三个数成等比数列，其和为19，后三个数成等差数列，其和为12，求此四数.5．在数列{a n }和{b n }中，a n ＞0，b n ＞0，且a n ，b n ，a n +1成等差数列，b n ，a n +1，b n +1成等比数列，a 1＝1，b 1＝2，a 2＝3，求a n ∶b n 的值.6．设x ＞y ＞2，且x ＋y ，x －y ，xy ，y x能按某种顺序构成等比数列，试求这个等比数列.7．有四个数，前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，首末两项的和为21，中间两项的和为18，求这四个数.等比数列(二)答案1．已知数列{a n }为等比数列，且a n ＞0，a 2a 4＋2a 3a 5＋a 4a 6＝25，那么a 3＋a 5的值等于（ ）B.10C.15分析：要确定一个等比数列，必须有两个独立条件，而这里只有一个条件，故用先确定基本量a 1和q ，再求a 3＋a 5的方法是不行的，而应寻求a 3＋a 5整体与已知条件之间的关系.解法一：设此等比数列的公比为q ，由条件得a 1q ·a 1q 3＋2a 1q 2·a 1q 4＋a 1q 3·a 1q 5＝25即a 12q 4(q 2＋1)2＝25，又a n ＞0，得q ＞0∴a 1q 2(q 2＋1）＝5a 3＋a 5＝a 1q 2＋a 1q 4＝a 1q 2(q 2＋1)＝5 解法二：∵a 2a 4＋2a 3a 5＋a 4a 6＝25由等比数列性质得a 32＋2a 3a 5＋a 52＝25即(a 3＋a 5)2＝25，又a n ＞0，∴a 3＋a 5＝5评述：在运用方程思想方法的过程中，还要注意整体观念，善于利用等比数列的性质，以达到简化解题过程、快速求解的目的.2．在等比数列中，a 1＝1，q ∈R 且|q |≠1，若a m ＝a 1a 2a 3a 4a 5，则m 等于 （ ）B.10C.11解：∵a m ＝a 1a 2a 3a 4a 5＝a 15q 1+2+3+4＝a 15q 10＝a 15q 11－1又∵a 1＝1，∴a m ＝q 11－1，∴m ＝11. 答案：C 3．非零实数x 、y 、z 成等差数列，x ＋1、y 、z 与x 、y 、z ＋2分别成等比数列，则y 等于（ ）B.12C.14解：由已知得⎩⎪⎨⎪⎧2y ＝x ＋z y 2＝（x ＋1）z y 2＝x （z ＋2） ⇒⎩⎪⎨⎪⎧2y ＝x ＋z y 2＝（x ＋1）z z ＝2x ⇒⎩⎨⎧2y ＝3x y 2＝（x ＋1）2x ⇒y ＝12答案：B4．有四个数，前三个数成等比数列，其和为19，后三个数成等差数列，其和为12，求此四数.解：设所求的四个数分别为a ，x －d ，x ，x ＋d则⎩⎪⎨⎪⎧（x －d ）2＝ax ①a ＋（x －d ）＋x ＝19 ②（x －d ）＋x ＋（x ＋d ）＝12③解得x ＝4，代入①、②得⎩⎨⎧（4－d ）2＝4a a －d ＝11解得⎩⎨⎧a ＝25d ＝14或⎩⎨⎧a ＝9d ＝－2故所求四个数为25，－10，4，18或9，6，4，2.5．在数列{a n }和{b n }中，a n ＞0，b n ＞0，且a n ，b n ，a n +1成等差数列，b n ，a n +1，b n +1成等比数列，a 1＝1，b 1＝2，a 2＝3，求a n ∶b n 的值.分析：关键是求出两个数列的通项公式.根据条件，应注意两个数列之间的联系及相互转换.解：由题意知：⎩⎨⎧2b n ＝a n ＋a n ＋1①a n ＋12＝b n b n ＋1②∴a n +1＝b n b n ＋1 ，a n ＝b n b n －1 (n ≥2) 代入①得2b n ＝b n b n ＋1 ＋b n b n －1 即2b n ＝b n ＋1 ＋b n －1 (n ≥2) ∴{b n }成等差数列，设公差为d又b 1＝2，b 2＝a 22b 1 ＝92 ，∴d ＝b 2 －b 1 ＝322－ 2 ＝22∴b n ＝ 2 ＋22（n －1）＝22（n ＋1），b n ＝12（n ＋1）2， 当n ≥2时，a n ＝b n b n －1 ＝n （n ＋1）2③ 且a 1＝1时适合于③式，故 a nb n＝nn ＋1.评述：对于通项公式有关系的两个数列的问题，一般采用消元法，先消去一个数列的项，并对只含另一个数列通项的关系进行恒等变形，构造一个新的数列.6．设x ＞y ＞2，且x ＋y ，x －y ，xy ，y x能按某种顺序构成等比数列，试求这个等比数列.分析：先由x ＞y ＞2，可知x －y ＜x ＋y ＜xy ，下来只需讨论 y x和x －y 的大小关系，分成两种情况讨论.解：∵x ＞y ＞2，x ＋y ＞x －y ，xy ＞x ＋y ，而 y x＜1＜x －y 当 y x ＜x －y 时，由 y x，x －y ，x ＋y ，xy 顺次构成等比数列.则有⎩⎪⎨⎪⎧y x ·xy ＝（x －y ）（x ＋y ）（x ＋y ）2＝（x －y ）xy解方程组得x ＝7＋5 2 ，y ＝5＋72 2∴所求等比数列为22，2＋32 2 ，12＋172 2 ，70＋9922 . 当 yx ＞x －y 时，由x －y ，y x，x ＋y ，xy 顺次构成等比数列则有⎩⎨⎧y x·xy ＝（x ＋y ）2yx （x ＋y ）＝（x －y ）xy解方程组得y ＝112，这与y ＞2矛盾，故这种情况不存在. 7．有四个数，前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，首末两项的和为21，中间两项的和为18，求这四个数. 分析一：从后三个数入手.解法一：设所求的四个数为 （x －d ）2x，x －d ，x ，x ＋d ，根据题意有⎩⎪⎨⎪⎧（x －d ）2x ＋（x ＋d ）＝21（x －d ）＋x ＝18，解得⎩⎨⎧x ＝12d ＝6 或⎩⎨⎧x ＝274 d ＝92274 ∴所求四个数为3，6，12，18或754 ，454 ，274 ，94 .分析二：从前三数入手.解法二：设前三个数为 xq，x ，xq ，则第四个数为2xq －x .依题设有⎩⎪⎨⎪⎧x q ＋2xq －x ＝21x ＋xq ＝18，解得⎩⎨⎧x ＝6q ＝2 或⎩⎨⎧x ＝454 q ＝35故所求的四个数为3，6，12，18或754 ，454 ，274 ，94 .分析三：从首末两项的和与中间两项的和入手.解法三：设欲求的四数为x ，y ，18－y ，2－x ，由已知得： ⎩⎨⎧y 2＝x （18－y ）2（18－y ）＝y ＋（21－x ） ，解得⎩⎨⎧x ＝3y ＝6或⎩⎨⎧x ＝754 y ＝454∴所求四数为3，6，12，18或754 ，454 ，274 ，94 .。
苏教版高中数学必修五等比数列教案(5)
等比数列的概念与通项公式教学目标1．理解等比数列的概念，能用定义判断一个数列是否为等差数列； 2．了解等比数列的推导方法；3．掌握等比数列的通项公式，并能用公式解决一些简单的问题． 教学重点等比数列的概念q a a nn =+1（q 为常数）；通项公式：11-=n n q a a ． 教学难点等比数列的递推公式与通项公式的转化． 教学过程 复习回顾前面我们共同探讨了等差数列，现在我们再来回顾一下主要内容．①等差数列定义：d a a n n =--1（n ≥2）． ②等差数列性质：（1）a ，A ，b 成等差数列，由2ba A +=； （2）若m +n =p +q ，则a m +a n =a p +a q ． ③等差数列求和公式：2)(1n n a a n S +=d n n na 2)1(1-+=． 问题情境数列：1，3，5，7，…，2n －1，… 2，－1，－4，…，－3n ＋5，… 1，1，1，…，1，…这些数列均为等差数列，满足a n －a n －1＝d ( n ≥2 )．我们来观察下列几个数列，看其又有何共同特点？ 1，2，4，8，16，…263； ① 5，25，125，625，…； ② 1，Λ,81,41,21--； ③ 是等差数列吗？如果不是，你能试着总结这些数列的特点吗？特点：对于数列①，12-=n n a ，21=-n na a （n ≥2）；对于数列②，nn a 5=，51=-n na a （n ≥2）； 对于数列③，1121)1(-+⋅-=n n n a ，211-=-n n a a （n ≥2）． 共同特点：从第二项起，第一项与前一项的比都等于同一个常数．也就是说，这些数列从第二项起，每一项与前一项的比都具有“相等”的特点． 数学理论 1．等比数列定义一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q 表示（q ≠0），即：)0(:1≠=-q q a a n n （n ≥2）．前面我们观察的数列①，②，③都是等比数列，它们的公比依次是2，5，21-.那么数列1，1，1，…，1，…呢？ *说明：（1）“从第2项起”，各项均满足；（2）次序，后项比前项：a na n －1＝q ，n ≥2，或a n ＋1a n ＝q ；（3）q 为常数，体现“等”比；（4）由递推公式，a n ≠0，且q ≠0；a n ＋1＝a n · q ； （5）非零常数列既是等差数列，也是等比数列．例1 判断下列各数列是否为等比数列？如果是，请写出公比：(1) －1，－5，－25，－125； (2) 0，1，2，4，8；(3) 1，－12，14，－18，116； (4) a ，a ，a ，a ，a ．解：(1) 该数列是等比数列，q ＝5．(2) 该数列不是等比数列． (3) 该数列是等比数列，q ＝－12．(4) 当a ＝0时，该数列不是等比数列；当a ≠0时，该数列是等比数列，公比q ＝1．例2 求下列等比数列中的未知项：(1)2，a ，8； (2) －4，b ，c ，12．解：(1)由题意，得 a 2＝8a，⇒ a 2＝16，故a ＝±4．(2)由题意，得 b －4＝c b ＝12c，⇒ b 2＝－4c ，b ＝2c 2，解得b ＝2，c ＝－1．推广：如果A ，B ，C 三个数成等比数列，那么B 2＝AC ，我们把B 叫做A ，C 的等比中项． 注意 （1）与等差中项不同的是同号两数才有等比中项；等比中项有两个．当0>a ，0>b 时，ab G =也叫做a ，b 的几何平均数．（2）对于公比为q 的无穷等比数列{}n a ，如果n a n (≥2)是其中除第1项以外的任意一项，那么它的前一项是q a n ，后一项是q a n ，由)()(2q a qa a n n n ⋅=可知，n a 是它的前一项与后一项的等比中项．事实上等比数列中的任意一项都是它的前后等距离的项的等比中项．练习：(1) 2与4的等比中项是_____；(－3)2与(－3)－6的等比中项是______．2．等比数列的通项公式例 已知等比数列｛a n ｝的首项a 1＝3，q ＝2，求a 10．若根据递推公式则需求出前9项，则需探求通项公式．此数列的前几项依次为：3，6，12，24，48，利用观察法可得a n ＝3×2n －1，但需证明是否各项均满足． 证法一：对等比数列｛a n ｝，若首项为a 1，公比为q ，则a 2a 1＝q ，a 3a 2＝q ，a 4a 3＝q ，…，a n －1a n －2＝q ，a na n －1＝q ． 将这n －1个式子左右两边分别相乘，得a n a 1＝q n －1，故a n ＝a 1 · q n －1． 当n ＝1时，上述等式也成立． 证法二：或者由定义得：q a a 12=；21123)(q a q q a q a a ===； 312134)(q a q q a q a a ===；……)0(1111≠⋅⋅==--q a q a q a a n n nn =1时，等式也成立，即对一切*∈N n 成立．等比数列的通项公式沟通了a 1，a n ，n 与q 之间的联系．如：数列①，121-⨯=n n a （n≤64），表示这个等比数列的各点都在函数12-=x y 的图象上.如图所示．数学应用例3 已知在等比数列｛a n ｝中，首项a 1＝3，q ＝－2，求通项公式a n 及a 6； 解 a n ＝3×(－2)n －1，a 6＝3×(－2)6－1＝－96．例4 已知在等比数列｛a n ｝中，a 3＝20，a 6＝160，求通项公式a n ． 解 由题意，a 3＝a 1·q 2＝20，a 6＝a 1·q 5＝160，解得q ＝2，a 1＝5，故a n ＝5×2n －1．或解 a 6＝a 3·q 3，即160＝20q 3，解得q =2．故a n ＝a 3×2n －3＝20×2n －3＝5×2n －1．推广的等比数列通项公式a n ＝a m ·q n－m．从函数的角度看等比数列的通项公式，根据首项和公比的不同取值，考察等比数列中各项的变化特点．尤其对于q ＜0时的等比数列，为摆动数列，相邻两项符号相反，但间隔的两项一定同号．例5 一个等比数列的第3项与第4项分别是12与18，求它的第1项与第2项． 解 设这个等比数列的第1项是1a ，公比是q ，那么1221=q a ，① 1831=q a ， ②由②÷①可得第23=q ，③ 把③代入①可得 3161=a ．∴ 812==q a a ．∴ 这个数列的第1项与第2项分别是316和8．例6 已知{}{}n n b a ,是项数相同的等比数列，求证{}n n b a ⋅是等比数列． 证明：设数列{}n a 的首项是1a ，公比为q 1；{}n b 的首项为b 1，公比为q 2，那么数列{}n n b a ⋅的第n 项与第n +1项分别为：nn n n q b q a q b q a 2111121111⋅⋅⋅⋅⋅⋅--与，即为n n q q b a q q b a )()(211112111与-．∵2112111211111)()(q q q q b a q q b a b a b a n n n n n n ==⋅⋅-++， 它是一个与n 无关的常数，所以{}n n b a ⋅是一个以q 1q 2为公比的等比数列．例7 在243和3中间插入3个数，使这5个数成等比数列．这3个数依次为多少？ 解 设a 1＝243，a 5＝3，插入的三个数依次为a 2，a 3，a 4． 由题意，q 4＝a 5a 1＝181，解得q ＝±13．故此三数依次为81，27，9，或－81，27，－9．借助教材Ｐ50／例3 推广的等比中项的概念：或解 设a 1＝243，a 5＝3，插入的三个数依次为a 2，a 3，a 4． a 32＝a 1·a 5＝729，又a 3＞0，所以a 3＝81．a 22＝a 1·a 3，故a 2＝±81，且当a 2＝81时，a 4＝9；当a 2＝－81时，a 4＝－9． 故此三数依次为81，27，9，或－81，27，－9．例8 一个边长为1的正三角形，将每边三等分，以中间一段为边向形外作正三角形，并擦去中间一段．如此继续下去，试求第n 个图形的边长和周长．解 设第n 个图形的边长为a n ． 由题意，a n ＝(13)n －1．第n 个图形的边数为3×4n －1，则第n 个图形的周长为(13)n －1×3×4n －1＝3×(43)n －1．(1)(2)(3)。
苏教版高中数学必修五教案等比数列(2)
等比数列（3）【三维目标】：一、知识与技能1掌握“错位相减”的方法推导等比数列前n 项和公式；2.掌握等比数列的前n 项和的公式，并能运用公式解决简单的实际问题； 二、过程与方法1.通过公式的推导过程，提高学生的建模意识及探究问题、分析与解决问题的能力，体会公式探求过程中从特殊到一般的思维方法，渗透方程思想、分类讨论思想及转化思想，优化思维品质．2.从“错位相减法”这种算法中，体会“消除差别”，培养化简的能力3.经历等比数列前n 项和的推导与灵活应用，总结数列的求和方法，并能在具体的问题情境中发现等比关系建立数学模型、解决求和问题。
三、情感、态度与价值观通过经历对公式的探索，激发学生的求知欲，鼓励学生大胆尝试、勇于探索、敢于创新，磨练思维品质，从中获得成功的体验，感受思维的奇异美、结构的对称美、形式的简洁美、数学的严谨美． 【教学重点与难点】：重点：等比数列的前n 项和公式的推导及其简单应用． 难点：等比数列的前n 项和公式的推导． 突破难点手段：“抓两点，破难点”,即一抓学生情感和思维的兴奋点，激发他们的兴趣，鼓励学生大胆猜想、积极探索，及时地给以鼓励，使他们知难而进；二抓知识选择的切入点，从学生原有的认知水平和所需的知识特点入手，教师在学生主体下给予适当的提示和指导. 【学法与教学用具】：1. 学法：由等比数列的结构特点推导出前n 项和公式，从而利用公式解决实际问题2. 教学方法：采用启发和探究-建构教学相结合的教学模式.3. 教学用具：多媒体、实物投影仪. 【授课类型】：新授课 【课时安排】：1课时 【教学思路】： 一、创设情景，揭示课题首先回忆一下前两节课所学主要内容：1．等比数列的定义：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q 表示（0≠q ），即：1-n na a q =（0≠q ） 2.等比数列的通项公式: )0(111≠⋅⋅=-q a q a a n n ，)0(11≠⋅⋅=-q a q a a m m n 3．}{n a 成等比数列⇔nn a a 1+=q （+∈N n ,q ≠0）“n a ≠0”是数列}{n a 成等比数列的必要非充分条件4．既是等差又是等比数列的数列：非零常数列．5．等比中项：若b G a ,,成等比数列，则G ab G ,2=叫做a 与b 的等差中项. 6．性质：若m n p q +=+(,,,)m n q p N +∈，则q p n m a a a a ⋅=⋅ 7．判断等比数列的方法：定义法，中项法，通项公式法 8．等比数列的增减性 二、研探新知1．等比数列前n 项和公式的推导： 方法一：错位相减法一般地，设等比数列123,,,,,n a a a a L L 的前n 项和是=n S 123n a a a a ++++L ，由12311n n n n S a a a a a a q -=++++⎧⎨=⎩L 得2211111123111111n n n n nn S a a q a q a q a qqS a q a q a q a q a q---⎧=+++++⎪⎨=+++++⎪⎩L L ∴11(1)n n q S a a q -=-,当1≠q 时，q q a S n n --=1)1(1 或11n n a a qS q-=- 当1=q 时，1na S n =这种求和方法称为“错位相减法”， “错位相减法”是研究数列求和的一个重要方 注意：（1）n S n q a ,,,1和n n S q a a ,,,1各已知三个可求第四个；（2）注意求和公式中是nq ，通项公式中是1-n q不要混淆；（3）应用求和公式时1≠q ，必要时应讨论1=q 的情况． 方法二：运用等比定理 有等比数列的定义，q a a a a a a n n ====-12312Λ 根据等比的性质，有q a S a S a a a a a a nn n n n =--=++++++-112132ΛΛ即q a S a S nn n =--1⇒q a a S q n n -=-1)1(（结论同上）围绕基本概念，从等比数列的定义出发，运用等比定理，导出了公式． 方法三：运用方程思想(提取公比q )=n S n a a a a Λ+++321＝)(13211-++++n a a a a q a Λ＝11-+n qS a ＝)(1n n a S q a -+⇒q a a S q n n -=-1)1(（结论同上）“方程”在代数课程里占有重要的地位，方程思想是应用十分广泛的一种数学思想，利用方程思想，在已知量和未知量之间搭起桥梁，使问题得到解决一般地，设等比数列ΛΛn a a a a ,,321+它的前n 项和是 方法四：由等次幂差公式直接推得（详略） 三、质疑答辩，排难解惑，发展思维例1 求等比数列1，2，4，…从第5项到第10项的和.解：由2 2,121===q a a 得，1521)21(144=--⨯=∴S ， 102321)21(11010=--⨯=S ，从第5项到第10项的和为10S -4S =1008例2 一条信息，若一人得知后用一小时将信息传给两个人，这两个人又用一小时各传给未知此信息的另外两人，如此继续下去，一天时间可传遍多少人？解：根据题意可知，获知此信息的人数成首项2,11==q a 的等比数列，则：一天内获知此信息的人数为：12212124244-=--=∴S例3 （教材51P 例1）求等比数列{}n a 中，（1）已知；14a =-，12q =，求10S ；（2）已知；11a =，243k a =，3q =，求k S ．解：（1）101011014[1()](1)102321112812a q S q ---===---；（2）112433364113n k a a q S q --⨯===--．例4在b a ,之间插入10个数，使它们同这个数成等比数列，求这10个数的和例5（教材51P 例2）求等比数列{}n a 中，372S =，6632S =，求n a ；解：若1q =，则632S S =，与已知372S =，6632S =矛盾，∴1q ≠，从而313(1)712a q S q -==-①，616(1)6312a q S q -==- ②． ②：①得： 319q +=，∴2q =，由此可得112a =，∴121222n n n a --=⨯=．例6（教材51P 例3）求数列11111,2,3,,,2482n n ++++L L 的前n 项和． 解：1111(1)(2)(3)()2482n n S n =++++++++L 1111(123)()2482n n =++++++++L L11(1)(1)(1)1221122212n nn n n n -++=+=+--． 说明：数列的每一项都是一个等差数列与一个等比数列的对应项的和，求解时要采用分组求和．例7等比数列{}n a 的各项均为正数，其前n 项中，数值最大的一项是54，若该数列的前n 项之和为n S ，且6560,802==n a S S ，求：（1）通项公式n a ；（2）前100项之和100S例8设数列{}n a 65,1=a ，若以n a a a ,,,21Λ为系数的二次方程：*-∈=+-N n x a x a n n (0121且2≥n ）都有根α、β且满足133=+-βαβα，（1）求证：}21{-n a 为等比数列；（2）求n a ；（3）求{}n a 的前n 项和n S 。
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等比数列（二）
教学目标
1.进一步熟练掌握等比数列的定义及通项公式；
2.理解等比中项的概念，会求同号两数的等比中项；熟悉等比数列的有关性质；
3.灵活应用等比数列的定义、通项公式、性质解决相关问题．
重点难点
等比中项的概念，等比数列的性质的应用
引入新课
1.复习等比数列的定义、通项公式．
2.等比中项：如果b G a ,,这三个数成等比数列，那么=G ，G 叫做b a ,的等比中项．思考：①若b a G ⋅=2，则b G a ,,一定成等比数列吗？
②等比数列{}n a 中，211n n n a a a -+=∙（证明等比数列的两种方法之一）。
3.在等比数列{}n a 中，设4321,,,a a a a 成等比数列，其公比为2，则
432122a a a a ++的值= ； 4.等比数列{}n a 中，===+q a a a a 则,8,63232 ．
5.在等比数列中，3
2,31,891===q a a n ，则项数n= ． 6.已知在等比数列{}n a 中，各项均为正数，且,7,13211=++=a a a a 则数列{}n a 的通项公式是=n a ．
例题剖析
例1已知等比数列{}n a 的通项公式是n n a 23⨯=，求首项1a 和公比q ，并画出该数列的图像．问表示这个数列的点(),n n a 在什么函数的图像上？
思考：如果一个数列{}n a 的通项公式为(0,0)n n a aq a q =≠≠，那么这个数列为等比数列吗？ 例2.在等比数列{}n a 中，q 为公比，若+∈N l k n m ,,,且l k n m +=+
求证：①m n m n q a a -⋅=； ②l k n m a a a a ⋅=⋅．
变式训练：
1.在等比数列{}n a ，已知51=a ，100109=a a ，则18a = ．
2.在等比数列{}n b 中，34=b ，则该数列前七项之积= ．
3.在等比数列{}n a 中，22-=a ，545=a ，则8a = ．
4.等比数列{}n a 中，487,63a a ==，则6a = 。
5.已知等比数列{}n a 中，4738512,124a a a a ∙=-+=，公比q Z ∈，则10a = 。
6.在等比数列{}n a 中，61035480,41,5n a a a a a a a >∙+∙=∙=，则48a a +=
例3．在等差数列}{n a 中，公差0d ≠，且2a 是1a 和4a 的等比中项，已知1a ，3a ， 123,,,n k k k k a a a a 成等比数列，求数列123,,,,n k k k k ⋅⋅⋅的通项n k ．
巩固练习
1．若b G a ，，成等比数列，则称G 为a 和b 的等比中项．
（1）45和80的等比中项为 ；
（2）已知两个数9+k 和k -6的等比中项是k 2，则=k ．
2.在等比数列{}n a 中，若7944,1,a a a ==则12a =_____.
3.在等比数列{}n a 中，48,a a 若是方程2
1190x x ++=的两个实根，则6a =_____.
课堂小结
等比数列的概念及性质、通项公式的应用，等比中项概念.
课后训练
一 基础题
1．首项为3，末项为3072，公比为2的等比数列的项数有 项．
2．若9与x 的等差中项是45，则=x __________；9与x 的等比中项是____________．
3．在等比数列{}n a 中，120304321=+=+a a a a ，，则65a a +的值是___________．
4．在等比数列{a n }中，如果a 6=6,a 9=9，那么a 3等于 。
5．等比数列{}n a 中，34527a a a =，则127a a a ∙ = 。
6．数列{}n a 成等比数列，0n a >， 354657281a a a a a a ++=，则46a a += 。
7．等比数列{}n a 中，0n a >3632a a ∙=，则212228log log log a a a +++ =
8．已知,,a b c 成等比数列，,,,,a x b b y c 和都成等差数列，0xy ≠，则
a c x y +的值为 。
9．已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，139,,a a a 成等比数列，则1392410
a a a a a a ++++= 。
10．已知128,,a a a 为各项都大于0的等比数列，公比1q ≠，则1845a a a a ++与的大小关系为 。
二 提高题
11．三个正数c b a ，，成公比大于1的等比数列，62=++c b a ，3lg lg lg =++c b a ，求c b a 、、．
12.已知各项都为正数的等比数列{a n }中，已知153537236,a a a a a a -+
=并且2435462100a a a a a a ++=，求数列的通项公式
.
三 能力题
13．如图，在边长为1的等边ABC ∆中，连结各边中点得111C B A ∆，再连结111C B A ∆各边中点得222C B A ∆…如此继续下去，证明： ，，，323111C B A C B A ABC S S S ∆∆∆是等比数列．
14.是否存在都大于2的一对实数,a b ()1a b ->，使得b a b a a
b ab +-,,,可以按照某一次序排成一个等比数列？若存在，求出所有的实数对()b a ,；若不存在，说明理由．。