2018版高中数学北师大版必修四课件：第一章 8 函数y=Asin(ωx+φ)的图像与性质(二)

问题导学
知识点一
“五点法”作函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图像
思考1
用“五点法”作y＝sin x，x∈[0，2π]时，五个关键点的横坐标依 次取哪几个值？
3π π 答案 依次为0，2 ，π， 2 ，2π.
答案
思考2
用“五点法”作y＝Asin(ωx＋φ)时，五个关键的横坐标取哪几个值？
___ R [ －A，A] ________ 2π T＝___ ω
kπ－φ (k∈Z) 对称中心 ， 0 ω
值域 周期性 对称性 对称轴
π kπ－φ x ＝ ＋ ( k ∈ Z ) ______________ ω __________ 2ω
奇偶性
当φ＝kπ(k∈Z)时是 奇 函数； π 当φ＝kπ＋ (k∈Z)时是 偶 函数 2
(2)作给定区间上y＝Asin(ωx＋φ)的图像时，若x∈[m，n]，则应先求出ωx
＋φ的相应范围，在求出的范围内确定关键点，再确定x，y的值，描点、
连线并作出函数的图像.
π π π 跟踪训练 1 已知 f(x)＝1＋ 2sin(2x－4)，画出 f(x)在 x∈[－2，2]上的图像.
解答
类型二 由图像求函数 y＝Asin(ωx＋φ)的解析式 例2 如图是函数y＝Asin(ωx＋φ)
第一步：列表：
ωx＋φ x y
0 φ －ω 0
π 2 π φ － 2ω ω A
π π φ － ω ω 0
3π 2 3π φ － 2ω ω －A
2π 2π φ － ω ω 0
第二步：在同一坐标系中描出各点.
第三步：用光滑曲线连接这些点，形成图像.
知识点二 名称
定义域
函数y＝Asin(ωx＋φ)，A>0，ω>0的性质 性质
通过整体代换可求出其单调区间
单调性
知识点三
函数 y＝Asin(ωx＋φ)，A＞0，ω＞0中参数的物理意义
ωx＋φ
A
2π ω
ω 2π
φ
题型探究
类型一 用“五点法”画y＝Asin(ωx＋φ)的图像
例1 1 π 利用五点法作出函数 y＝3sin(2x－3)在一个周期内的图像.
解答
反思与感悟
π 3π (1)用“五点法”作图时， 五点的确定， 应先令 ωx＋φ 分别为 0， ， π ， ， 2 2 2π，解出 x，从而确定这五点.
第一章
三角函数
§8
函数 y＝Asin(ωx＋φ )图像与性质(二)
学习目标
1.会用“五点法”画函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像.
2.能根据y＝Asin(ωx＋φ)的部分图像，确定其解析式. 3.了解y＝Asin(ωx＋φ)的图像的物理意义，能指出简谐运动中的振幅、 周期、相位、初相．
内容索引
问题导学 题型探究 当堂训练
解答
(2)求函数y＝f(x)的单调区间及最值.
解答
当堂训练
1.函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，0<φ<π)的图像的一段如图所示，它的解析式
解答
(3)求使y≤0的x的取值范围.
π 解 ∵5sin(2x－6)≤0， π ∴2kπ－π≤2x－6≤2kπ(k∈Z)，
5π π ∴kπ－12≤x≤kπ＋12(k∈Z). 5π π 故所求 x 的取值范围是[kπ－12，kπ＋12](k∈Z).
解答
反思与感悟
有关函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质的问题，要充分利用正弦曲线的性质，要 特别注意整体代换思想.
π π 例3 已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|< 2 )的图像过点P( 12，0)， π 图像上与P点最近的一个最高点的坐标为( ，5). 3
(1)求函数解析式；
解答
(2)指出函数的递增区间；
π π π 解 ∵函数的递增区间满足 2kπ－2≤2x－6≤2kπ＋2(k∈Z)， π 2π ∴2kπ－3≤2x≤2kπ＋ 3 (k∈Z)， π π ∴kπ－6≤x≤kπ＋3(k∈Z). π π ∴函数的递增区间为[kπ－6，kπ＋3](k∈Z).
跟踪训练2
函数y＝Asin(ωx＋φ)的部分
图像如图所示，则其解析式为
π A.y＝2sin2x－6 π C.y＝2sinx＋6 π B.y＝2sin2x－3 π D.y＝2sinx＋3
解析
答案
类型三 函数 y＝Asin(ωx＋φ)＋φ)(－π＜φ＜0)，函数y＝f(x)的图像的一 π 条对称轴是直线x＝ . 8 (1)求φ的值； π 解 由 2x＋φ＝kπ＋2，k∈Z， kπ π φ kπ π φ π 得 x＝ 2 ＋4－2，令 2 ＋4－2＝8， π 得 φ＝kπ＋4，k∈Z. 3π ∵－π＜φ＜0，∴φ＝－ 4 .
的值，并确定其函数解析式.
π A ＞ 0 ， ω ＞ 0 ， | φ | ＜ 2
的图像，求A，ω，φ
解答
反思与感悟
若设所求解析式为y＝Asin(ωx＋φ)，则在观察函数图像的基础上，可按以 下规律来确定A，ω，φ. (1)由函数图像上的最大值、最小值来确定|A|. 2π (2)由函数图像与x轴的交点确定T，由T＝|ω| ，确定ω. (3)确定函数y＝Asin(ωx＋φ)的初相φ的值的两种方法 ①代入法：把图像上的一个已知点代入(此时A，ω已知)或代入图像与x轴 的交点求解.(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)
φ ②五点对应法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的第一个零点 － ，0 ω
作为突破口.“五点”的ωx＋φ的值具体如下：
“第一点”(即图像上升时与x轴的交点)为ωx＋φ＝0； π “第二点”(即图像的“峰点”)为ωx＋φ＝2 ； “第三点”(即图像下降时与x轴的交点)为ωx＋φ＝π； 3π “第四点”(即图像的“谷点”)为ωx＋φ＝ 2 ； “第五点”为ωx＋φ＝2π.
答案 用“五点法”作函数 y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)的简图，先令
π 3π t＝ωx＋φ，再由 t 取 0，2，π， 2 ，2π 即可得到所取五个关键点的 φ φ π φ π φ 3π φ 2π 横坐标依次为－ω，－ω＋2ω，－ω＋ω，－ω＋2ω，－ω＋ ω .
答案
梳理
用“五点法”作y＝Asin(ωx＋φ) 的图像的步骤：