工程力学 第五章 摩擦详解
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理论力学第五章摩擦Y
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20
X0
FFs 0
Y 0 F NP
——平衡状态
MA 0
MFR 0
0Fs Fs,max Fs,maxfsFN 0MMmax Mmax FN ——平衡的临界状态
最大滚动摩阻（擦）力偶
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21
滚动摩阻（擦）系数，长度量纲
的物理意义
d M max FN
d
Mmax FN
Mm axd FN
一、滑动摩擦
研究滑动摩擦规律的实验： FN
P
1、静滑动摩擦力
静滑动摩擦力—— 两个相互接触的物体，若有相对滑动趋势 时，在接触面间产生阻碍彼此运动的力。
静滑动摩擦力——静摩可编擦辑p力pt
5
静滑动摩擦力的特点：
（1）静摩擦力的大小： 物体平衡——满足平衡条件
X0 FF s0 F sF
Y0 F NP
滚动摩阻系数
可看成在即将滚动时法向力离中心线 的最远距离。具有长度的量纲。
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22
圆轮滚动比滑动省力的原因
处于临界滚动状态，轮心拉力为 F1
M ma x FNF 1R
F1
R
FN
处于临界滑动状态， 轮心拉力为 F 2
Fma x fsFNF2 F2 fsFN
一般情况下，
R
fs
或
R
fs
则 F1 F2 或 F1 F2 ．
X0 FF s,ma x 0 F s,ma x F
Y 0 F NP
Fs,maxfsFN （库仑摩擦定律）
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7
（2）最大静摩擦力的方向：沿接触处的公切线，与相对 滑动趋势反向；
Fs,maxfsFN f s ——静滑动摩擦系数——静摩擦系数
摩擦(工程力学课件)
称为动摩擦因数 。动滑动摩擦力的大小是一个定值。
*归纳：
（1）在静止时，静滑动摩擦力 Fs的大小由静力平衡方程确定。其值在0与Fmax之间
，随作用于物体上的其他外力的变化而变化。
（2）在临界状态时，此时静滑动摩擦力 Fs 满足库伦定律，其大小由静力平衡方程
确定，即 FS Fmax s FN
பைடு நூலகம்
（3）在相对滑动时，动滑动摩擦力满足动滑动摩擦定律，即
有多大，物体必保持静止， 这种现象称为自锁现象。
（2）若作用于物体上的主动力的合力 FP 的作用线在摩擦
角m之外，则无论这个力有多小，物体一定滑动。
摩擦角与自锁现象
❖ 自锁现象的工程应用
考虑摩擦时构件的平衡问题
考虑摩擦时构件的平衡问题
考虑有摩擦时构件的平衡问题，其解题方法、步骤与前面的在 不计摩擦时的情形大致相同。但在具体分析求解平衡问题时， 还应注意以下几点：
选择直角坐标系，建立平衡方程 ：
Fy 0
解此方程得
FN G cos 0
FN 849N
最大静滑动摩擦力Fmax ：
Fmax s FN 0.2 849 170N 求静滑动摩擦力 Fs ，假设物体在斜面上处于静止，设摩擦力 Fs 的 方向如图（b）所示，建立平衡方程，即：
Fx 0
Fs F G sin 0
Fmax s FN
上式称为静滑动摩擦定律，又称库伦定律。式中的比例
常数 s 称为静摩擦因数 。
静摩擦力的大小并不是一个定值，而是介于零到最大静
摩擦力之间，即 0 FS Fmax s FN 。
滑动摩擦
2、动滑动摩擦力：两物体已经产生相对滑动的摩擦力
F ' FN
上式称为动滑动摩擦力的计算公式。式中的比例常数
第五章摩擦_理论力学
即自锁条件是:斜面的倾角小于或等于摩擦角。 § 5-3 考虑滑动摩擦的平衡问题 考虑滑动摩擦的平衡问题与前几章所述大致相同，但有如下特点：
1．受力分析时必需考虑接触面的摩擦力 ；
2．除平衡方程外，还必须列写补充方程，
，补充方程数等于摩擦力的个数；
3．平衡问题的解是一个范围，称为平衡范围。
例 5-1 物块重
。轮半径为 ，杆长为 ，当
时，
。求当 D 处静摩擦系数
分别为 0.3 和 0.15 时，维持系统平衡需作用于轮心 的最小水平推力。 解：本题属 求极限值问题，但有两种临界平衡状态，两处摩擦，应分别判断、讨论。由图（a）可知， 若推力 太大，轮将向左滚动；而推力太小，轮将向右滚动。后者在临界平衡状态下的水
。如圆柱向下滚动，由图（b）可知，
如图 5-8(a)所示。在滚轮中心上作用一不大的水平推力 ，则轮有滚动趋势。由于接触处
变形，作用于轮上的约束力为一分布力系。此力系向 A 点简化得一力 及矩为 M 的力偶，
Байду номын сангаас
称为滚动摩阻力偶（简称滚阻力偶），如图（b）所示。该力偶与图(c）所示的力偶（ ， ） 平衡，其转向与轮的滚动趋势相反，其矩称为滚阻力偶矩。
摩擦角为全反力与接触面法线间夹角的最大值有物体平衡时全反力与法线间夹角的变化范围为当主动力的合力作用线在摩擦角之内无论主动力多大物体保持平衡的现象称为摩擦动摩擦定律动摩擦力大小与接触面法向反力成正比即滚动摩擦为两物体有相对滚动趋势或有相对滚动时在接触部分产生的对滚动的阻碍作用
第五章 摩 擦
知识点
1.
0.8
0.5
木材-木材
0.4～0.6
0.1
0.2～0.5
0.07～0.15
理论力学第五章 摩擦(Y)
0 Fs Fs,max
——平衡
0 f
f Fs Fs ,max ——临界平衡状态 摩擦角 f —— 物体处于临界平衡状态时全反力与
法线之间的夹角。
tan f
Fs ,max FN
f s FN fs FN
摩擦角的正切等于静滑动摩擦系数——几何意义。
当物体平衡时（包括平衡的临界状态）全约束反力 的作用线一定在摩擦角之内
摩擦轮传动——将左边轴的转动传给右边的轴
摩擦的分类：
摩擦
滑动摩擦
滚动摩擦
静滑动摩擦 ——仅有相对运动趋势 动滑动摩擦 ——已有相对运动 静滚动摩擦 动滚动摩擦
干摩擦 ——由于接触表面之间没有液体时产生的摩擦。 湿摩擦 ——由于物体接触面之间有液体。
摩擦
一、滑动摩擦
研究滑动摩擦规律的实验：
MB 0
l sin 30 0 M P cos 30 0 FND l cos 30 0 0 FSD 2
3 P 3l
(1 FSD
FSD f s FND
3 2 3 M M min Pl 8
（1）当M较大时，BD杆逆时针转动。 分别以OA、 BD杆为研究对象， 画受力图。 l 0 FND l cos 30 P 0 对于OA杆： M O 0 2
Y 0
Fs,max f s FN
（库仑摩擦定律）
（2）最大静摩擦力的方向：沿接触处的公切线，与相对 滑动趋势反向；
Fs,max f s FN f s ——静滑动摩擦系数——静摩擦系数
与两接触物体表面情况（粗糙度，干湿度，温度等） 和材料有关，与两物体接触面的面积无关。
工程力学第五章 摩擦(H)
FN
Q
Fs
解得
Fs 403.6N, FN 1499N Fmax f s FN 299.8N
P
因为 Fs Fmax
物块不可能静止，而是向下滑动。
此时的摩擦力应为动滑动摩擦力，方向沿斜面向下，大小为
Fd f FN 269.8N
第五章 摩擦
例 题 2
已知： P=10N， fs1 =0.1， fs2 = 0.25。 Fs F
常见的问题有
第五章 摩擦
例 题 1
已知：Q=400N，P=1500N，fs=0.2，f = 0.18。
问：物块是否静止，并求此时摩擦力的大小和方向。
解：取物块为研究对象，并假定其平衡。
Fx 0, Q cos30 P sin 30 Fs 0 Fy 0, FN P cos30 Q sin 30 0
§5-2
考虑摩擦时物体的平衡问题
考虑摩擦的系统平衡问题的特点
1. 平衡方程式中除主动、约束力外还出现了摩擦力，因而未知 数增多。 2. 除平衡方程外还可补充关于摩擦力的物理方程 Fs≤fsFN 。 3. 除为避免解不等式，可以解临界情况，即补充方程
Fmax = fsFN 。
● 检验物体是否平衡； ● 临界平衡问题； ● 求平衡范围问题。
FNC
FC FB
FAy
A
C
FAx FNC ′ F
o
补充方程： FD FD max f D FND 解得：FD= FC =25.86N ，F = 47.81N
而此时
FC 25.86N FC max fC FNC 40N
FC ′
P FD D FND
故上述假定正确
理论力学---第五章 摩擦
Gt g( m )
应用三角公式: tg tg m tg ( m ) 1 tg m tg
12
同理： 再求使物体不致下滑的 Qmin 图(2) 解得：
sin f cos tg f Qmin G G G tg( m ) cos f sin 1 f tg
动摩擦力特征：方向：与物体运动方向相反
定律： F ' f 'N （f '只与材料和表面情况有 关，与接触面积大小无关。）
6
三、摩擦角：
①定义：当摩擦力达到最大值 Fmax 时其全约束反 力与法线的夹角 m叫做摩擦角。
②计算：
Fmax f N tg m f N N
7
四、自锁
1
第五章
摩擦
§5–1 引言
§5–2 滑动摩擦 §5–3 考虑摩擦时的平衡问题 §5–4 滚动摩擦 习题课
2
第五章
摩
擦
§5-1 引言
前几章我们把接触表面都看成是绝对光滑的，忽略了物体 之间的摩擦，事实上完全光滑的表面是不存在的，一般情况下 都存在有摩擦。 [例 ]
平衡必计摩擦
3
一、为什么研究摩擦？
9
斜面自锁条件 m
螺纹自锁条件 f
§4-3 考虑滑动摩擦时的平衡问题
考虑摩擦时的平衡问题，一般是对临界状态求解，这时可
列出
Fmax f N 的补充方程。其它解法与平面任意力系相同。
只是平衡常是一个范围 （从例子说明）。 [例1] 已知： =30º ，G =100N，f =0.2 求：①物体静止时，
平衡范围应是
Qmin QQmax
13
[例2] 梯子长AB=l，重为P，若梯子与墙和地面的静摩 擦系数f =0.5, 求 多大时，梯子能处于平衡？
工程力学第五章摩擦
(1) 取研究对象时，一般总是从摩擦面将物体分开；
(2) 分析受力时必须考虑摩擦力；
(3) 在临界状态下，摩擦力达到最大值； (4) 物体未达到临界状态，摩擦力未知，如物体具有两种可能滑动
趋势时，要分别讨论；
(5) 解题的最后结果常常为不等式或用最大值和最小值表示。
11
【例】将重量为P的物块放置在斜面上，斜面倾角α 大于接触面的静
这样摩擦角可表示为 m arctanfs ，也就是说，摩擦角 m 与 材料及其表面状况有关，当物块处于平衡时，全约束反力与法向反 力的夹角
也总是小于或等于摩擦角，即
0 m
6
当F改变方向时，全约束反力的方位也随着改变，全约束反力的作
用线将画出一个以接触点A为顶点的锥面，如图所示，该锥面称为摩擦
P FN 临界状态时，最大静滑动摩擦力为Fsmax N。 P =fsF
F Fsmax P N
联立求解，可得物体不至于上滑所充许Q的最大值为
Qmax
sin fs cos P Ptan( m ) cos f ssin
sin fs cos P cos fs sin
Fd fFN
式中 ，f 为动滑动摩擦系数。一般情况下，动滑动摩擦系数略小 于静滑动摩擦系数，并与两个相接触物体的材料以及接触表面的情况
有关；同时也和两物体相对滑动速度有关。在实际应用中，动摩擦系
数要通过实验测定。
4
5.3 摩擦角和自锁现象
5.3.1 摩擦角 1．全约束反力 法向约束反力FN和切向约束反力Fs的合力称为全约束反力。全约
Ff21
v12
m 时,恒有： 当 ≤
m
Ft ≤ Ffmax
工程力学教程第05章摩擦
Fmax：极限摩擦力 或 临界摩擦力
大小： 0 Fs Fmax
实验表明：最大静摩擦力的大小与两个接触物体之间的 法向约束力FN成正比。
Fmax fs FN （库仑摩擦定律）
fs---静摩擦因数，与接触物体的材料及接触面的状况（粗
糙程度、温度、湿度等）有关系，与接触面面积的大小 无关。
动滑动摩擦力---物体间发生了相对运动 方向：沿接触处的公切线，与相对滑动趋势反向；
fs fs
cos sin
P
sin fs cos P F sin fs cos P
cos fs sin
cos fs sin
用几何法求解 解: 物块有向上滑动趋势时
F1max P tan( )
物块有向下滑动趋势时
F1min P tan( )
P tan( ) F P tan( )
fs
摩擦角的正切等于静滑动摩擦系数．
摩擦锥
0 f
2 自锁现象:主动力合力作用线在摩擦角之内时，无论多 大的力，物块都不会滑动。
静摩擦角
动摩擦角
3 测定静摩擦系数的一种简易方法
tan tanf fs 斜面自锁条件 f
§5-2 考虑滑动摩擦时物体的平衡问题
考虑摩擦后扔为平衡问题，通常可以应用平面任意力系 中的平衡方程进行求解，步骤基本相同．
例5-5
重点：
1、静滑动摩擦力和最大静滑动摩擦力 2、平衡的临界状态及平衡范围 3、考虑摩擦时求解物体平衡问题的解析法与几何法
难点：
1、静滑动摩擦力的分析和计算 2、摩擦角的概念及其应用
摩擦力：当物体与另一物体沿接触 面的切线方向运动或有在两物体的 接触面之间有阻碍它们相对运动的 作用力，这种力叫摩擦力
大小： 0 Fs Fmax
实验表明：最大静摩擦力的大小与两个接触物体之间的 法向约束力FN成正比。
Fmax fs FN （库仑摩擦定律）
fs---静摩擦因数，与接触物体的材料及接触面的状况（粗
糙程度、温度、湿度等）有关系，与接触面面积的大小 无关。
动滑动摩擦力---物体间发生了相对运动 方向：沿接触处的公切线，与相对滑动趋势反向；
fs fs
cos sin
P
sin fs cos P F sin fs cos P
cos fs sin
cos fs sin
用几何法求解 解: 物块有向上滑动趋势时
F1max P tan( )
物块有向下滑动趋势时
F1min P tan( )
P tan( ) F P tan( )
fs
摩擦角的正切等于静滑动摩擦系数．
摩擦锥
0 f
2 自锁现象:主动力合力作用线在摩擦角之内时，无论多 大的力，物块都不会滑动。
静摩擦角
动摩擦角
3 测定静摩擦系数的一种简易方法
tan tanf fs 斜面自锁条件 f
§5-2 考虑滑动摩擦时物体的平衡问题
考虑摩擦后扔为平衡问题，通常可以应用平面任意力系 中的平衡方程进行求解，步骤基本相同．
例5-5
重点：
1、静滑动摩擦力和最大静滑动摩擦力 2、平衡的临界状态及平衡范围 3、考虑摩擦时求解物体平衡问题的解析法与几何法
难点：
1、静滑动摩擦力的分析和计算 2、摩擦角的概念及其应用
摩擦力：当物体与另一物体沿接触 面的切线方向运动或有在两物体的 接触面之间有阻碍它们相对运动的 作用力，这种力叫摩擦力
4、第五章--静力学(摩擦)1解析
6
§4-1 摩擦的基本概念(续)
7
§4-1 摩擦的基本概念(续)
8
§4-1 摩擦的基本概念(续) 二、摩擦产生的条件 1.条件：两个物体相互接触，并且有相对运动或相对
运动趋势。 2.概念：两个物体沿接触表面有相对滑动或相对滑动趋
势时，在接触表面上彼此作用有阻碍相对滑动 或相对滑动趋势的力，称为滑动摩擦力，简称 摩擦力。
27
§4-5 滚动摩擦（续）
小物体A重G=10 N，放在粗糙的水平固定面上，它 与固定面之间的静摩擦因数fs=0.3。今在小物体A上施加
F=4 N的力，α =30°，试求作用在物体上的摩擦力。
F
α A
解: 1.取物块A为研究对象，
受力分析如图。
y
FG
α A
x
Ff FN
2.列平衡方程。
Fx 0, F cos Ff 0
两个相互接触的物体，当其接触表面之间有相对
滑动时，彼此作用着阻碍相对运动的力，这种阻力称
为动滑动摩擦力，简称动摩擦力。
Fd f ' N
f ' f
当考虑摩擦问题时，要分清物体是处于静止、临界平衡还
是滑动状态，然后再选择相应的方法来计算摩擦力。
静止时：摩擦力F的大小由平衡方程决定。
临界状态：摩擦力为最大值，其大小为：Fmax=f N
A d FNA
Fy 0, FA FB F 0
b FA
B
FNB
M D F 0,
Fa
FNB
FB
d 2
FA
d 2
0
FB
F
补充方程
O
a
x
FA fs FNA FB fs FNB
解得
§4-1 摩擦的基本概念(续)
7
§4-1 摩擦的基本概念(续)
8
§4-1 摩擦的基本概念(续) 二、摩擦产生的条件 1.条件：两个物体相互接触，并且有相对运动或相对
运动趋势。 2.概念：两个物体沿接触表面有相对滑动或相对滑动趋
势时，在接触表面上彼此作用有阻碍相对滑动 或相对滑动趋势的力，称为滑动摩擦力，简称 摩擦力。
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§4-5 滚动摩擦（续）
小物体A重G=10 N，放在粗糙的水平固定面上，它 与固定面之间的静摩擦因数fs=0.3。今在小物体A上施加
F=4 N的力，α =30°，试求作用在物体上的摩擦力。
F
α A
解: 1.取物块A为研究对象，
受力分析如图。
y
FG
α A
x
Ff FN
2.列平衡方程。
Fx 0, F cos Ff 0
两个相互接触的物体，当其接触表面之间有相对
滑动时，彼此作用着阻碍相对运动的力，这种阻力称
为动滑动摩擦力，简称动摩擦力。
Fd f ' N
f ' f
当考虑摩擦问题时，要分清物体是处于静止、临界平衡还
是滑动状态，然后再选择相应的方法来计算摩擦力。
静止时：摩擦力F的大小由平衡方程决定。
临界状态：摩擦力为最大值，其大小为：Fmax=f N
A d FNA
Fy 0, FA FB F 0
b FA
B
FNB
M D F 0,
Fa
FNB
FB
d 2
FA
d 2
0
FB
F
补充方程
O
a
x
FA fs FNA FB fs FNB
解得
理论力学——第5章 摩擦
搁置位置所示。设梯子与墙面间的摩擦因数
f sB
1 3
现有一重为 P1 600N 的人沿梯而上，问当梯子与地面间的
摩擦因数 fsA为多大时，人能安全到达梯子顶部？
tan 4
3
解： 设人到达梯顶时，
梯子处于将动未动的临界状态
此时A、B处的摩擦力都达到临界值
选梯子为研究对象，受力如图
列平衡方程
Fx 0
（3）由于物体平衡时，静摩擦力有一定范围，因此在考 虑摩擦时，物体有一个平衡范围。
例1 物块重为 P，放在倾角为 的斜面上， 它与斜面间的摩擦系数为 f s 。当物体处于平衡时，
试求水平力 Q 的大小。
解:选物块为研究对象。
物体处于向上滑动的临界状态
Fx 0， Qmax cos P sin Fmax 0
m 时，物块滑动、不自锁。
试验方法 测定静摩擦因数 fs tanm tan
5-3 考虑摩擦时物体的平衡问题
解法与一般平衡问题解法基本相同 考虑摩擦时新特点：
（1）在分析物体受力情况时，必须考虑摩擦力，摩擦力 的方向与物体相。 对滑动方向或滑动趋势方向相反。
（2）严格区分物体处于临界、非临界状态，求解时除列 出平衡方程外，还要写出补充方程
fsA 0.64
5-2 摩擦角与自锁
全约束力 FRA
摩擦角 m 全约束力与法向间的
最大夹角
f tan m Fmax fs FN
FN FN
s
摩擦锥
自锁现象
作用于物体的全部主动力合力的作用线在 摩擦角之内，则无论这个力怎样大，物体必保 持静止
m 时，物块静止平衡、自锁。 与物体重量无关。
m 时，物块处于临界平衡状态，此时 F Fmax
工程力学第5章 摩擦
与法线的夹角 m 叫做摩擦角。
②计算：
Fmax f N tg m f N N
二、自锁 ①定义：当物体依靠接触面间的相互作用的摩擦 力与正压力（即全反力），自己把自己卡紧，不会松 开（无论外力多大），这种现象称为自锁。 ②自锁条件： 当a m 时，永远平衡 （即自锁）
a m
§5 – 5 滚 动 摩 擦 实际中滚子平衡，但没有完全满足平衡方程。
X 0,Q F 0 Y 0,P N 0 M A 0,Q r 0(不成立)
原因: 实际接触面变形，
Q与F形成主动力偶使前滚
滚 动 摩 擦
此力系 向A点简化 d
'
滚阻力偶与主动力偶（Q , F）相平衡 ①滚阻力偶M 有个平衡范围; 滚动摩擦 ②滚动摩擦定律：M max d N ，d 为滚动摩擦系数。
摩 擦
例 题3
解:
F F
x
取推杆为研究对象，受力分析如图。 列平衡方程
0, 0, FNA FNB 0 FA FB F 0 Fa FNB .b FB
y
(a)
A
d
FNA
B
y
(b)
d d FA 0 (c) 2 2
b
FA
M D F 0,
补充方程 解方程可得
例 题 5
综合上述两个结果，可得力F1的
平衡范围，即
G tan a ≤ F1 ≤ G tan a
G tan a tan 1 tan a tan
≤
F1 ≤ G
tan a tan 1 tan a tan
G
sin a f s cos sin a f s cos ≤ F1≤ G cos a f s sin a cos a f s sin a
工程力学-5摩擦问题
已知梯子长 L，重 100N， 与地面夹角=75°，地面摩 擦系数为 fsB=0.4 ，墙面光滑。 求 ： 重 为 P=700N 的 人 ， 能 否爬到梯子顶端 A ，而不致 使梯子滑倒？地面对梯子的 摩擦力FB=?
28
解：本题属于考虑摩擦的平衡问 题：判断平衡，求解摩擦力。
工 程 力 学
假设平衡，研究对象：人梯，受力如图所示。 列平衡方程：
31
解：1. 研究B块，受力如图： 若使B块不下滑，临界平衡时：
工 程 力 学
Fx 0,
S F1max sin N1 cos 0
Fy 0,
N1 sin F1max cos Q 0
F1max f N1 tg N1
子能处于平衡？
24
解：梯子靠摩擦力才能保持
工 程 力 学
FBx
B
y
平衡。A、B两处的摩擦力都 达到最大值，画梯子受力图。 (1)
FBy P
min
A
FAx
x
FAy
(2)
25
FBx
B
y
解：梯子靠摩擦力才能保持 平衡。A、B两处的摩擦力都 达到最大值，画梯子受力图。
工 程 力 学
FBy P
min
A FAx x FAy
（1）做受力分析时，必须考虑接触面间的摩擦力。 （2）列出补充方程，即补充方程数目与摩擦力的数 目相同。
工 程 力 学
（3）由于摩擦力有一定的范围，故有摩擦时平衡问 题的解也有一定的范围。
21
有摩擦时的平衡问题 (1) 确定物体的平衡范围：
工 程 力 学
选取研究对象，做受力分析(有可能是两种受力情况)； 列平衡方程及不等式方程并求解。 (2) 判断物体是否平衡，并求滑动摩擦力。 选取研究对象；假设物体处于平衡状态；受力分析； 列平衡方程解出平衡条件；判断是否平衡 Fs≤Fmax , 确定 摩擦力的大小。
第五章 工程力学 摩擦
其它尺寸如图；
求：拉动拖车最小牵引力 F
（平行于斜坡）。
解： 取整体 Fx 0 F FAs FBs P sin 0 （1）
Fy 0 FAN FBN P cos 0 （2）
M B 0 FAN (a b) Fh P cos b P sin H
MA MB 0
（3）
F , FAs , FBs , FAN , FBN , M A , M B 七个未知数。
FQ
FN1 – FPminSin - FQ Cos = 0 FPmin
补充 FL1 = f ·FN1
Sinα- f Cosα
FPmin = Cosα+f Sinα FQ
FL1 FN1
= FQ tg(α-φm )
2、求FPmax
由 X i = 0，
FPmaxCos + FL2 - FQ Sin = 0
由 Y i = 0，
FPmin
FN2 - FPmax Sin - FQ Cos = 0
补充 FL2 = f ·FN2
Sinα+ f Cosα
FPmax = Cosα- f Si2
∵ F Pmin = FQ tg(α-φm )
F Pmax = FQ tg(α+φm )
2、物体上所有主动力的合力，只要其作用线在摩擦角 之内，必有一全反力与之平衡，使物体处于平衡状 态，这种现象称为自锁。
测定静摩擦因数的简易方法
1、物块置于斜面上，逐渐增大斜面倾角，直到物块即将 下滑时为止，此时倾角即为摩擦角；
2、物块静止时，全约束反力与重力平衡。全约束反力与 斜面法线的夹角等于摩擦角，即斜面的倾角。
例题5-1
已知物块重FQ 。斜面倾角（ m），f = tg m ，
求：拉动拖车最小牵引力 F
（平行于斜坡）。
解： 取整体 Fx 0 F FAs FBs P sin 0 （1）
Fy 0 FAN FBN P cos 0 （2）
M B 0 FAN (a b) Fh P cos b P sin H
MA MB 0
（3）
F , FAs , FBs , FAN , FBN , M A , M B 七个未知数。
FQ
FN1 – FPminSin - FQ Cos = 0 FPmin
补充 FL1 = f ·FN1
Sinα- f Cosα
FPmin = Cosα+f Sinα FQ
FL1 FN1
= FQ tg(α-φm )
2、求FPmax
由 X i = 0，
FPmaxCos + FL2 - FQ Sin = 0
由 Y i = 0，
FPmin
FN2 - FPmax Sin - FQ Cos = 0
补充 FL2 = f ·FN2
Sinα+ f Cosα
FPmax = Cosα- f Si2
∵ F Pmin = FQ tg(α-φm )
F Pmax = FQ tg(α+φm )
2、物体上所有主动力的合力，只要其作用线在摩擦角 之内，必有一全反力与之平衡，使物体处于平衡状 态，这种现象称为自锁。
测定静摩擦因数的简易方法
1、物块置于斜面上，逐渐增大斜面倾角，直到物块即将 下滑时为止，此时倾角即为摩擦角；
2、物块静止时，全约束反力与重力平衡。全约束反力与 斜面法线的夹角等于摩擦角，即斜面的倾角。
例题5-1
已知物块重FQ 。斜面倾角（ m），f = tg m ，
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➢自锁条件
§5-3 考虑摩擦时的平衡问题
两种运动趋势与临界运动状态
滑动（slip) 推力大于摩擦力
翻 倒（tip over) 当力的作用点不合适时
两类摩擦平衡问题
第一类问题
F < F max，,物体处于静止状态，
已知主动力求约束力，与一般平衡问题 无异。 第二类问题
平衡问题—临界运动趋势 不平衡问题—滑动或翻倒
第五章 摩擦
工程中的摩擦问题
梯子的角度应该多大，才能保证人在攀爬 时不滑倒？这就是一个摩擦问题。
用克丝钳剪断钢丝，如果钳子的 角度太大的话，钢丝就会滑出去， 这也是一个摩擦问题。
挂扫把的简单装置，也是 利用摩擦。
攀崖时什么角度，用多大的力，踩在什么地 方，都是从摩擦力的角度来考虑的。
传递转动
（1）取木箱为研究对象，受力如图
X 0
Fs F cos 0
Y 0
FN P F sin 0
M A(F) 0
hF
cos
P
a 2
FN d
0
，
，
求解以方程，得
Fs 866 N FN 4500 N d 0.17m
木箱与地面间最大摩擦力
Fmax f s FN 1800 N
Fs Fmax 木箱不会滑动；又 d 0 木箱不会翻倒。 木箱保持平衡。
X 0 P sin 30 F cos30 Fs 0
Y 0 P cos30 F sin 30 FN 0 Fs 403 .6 N FN 1499 N 摩擦力方向与所设的相反
Fmax f s FN 299 .8 N
Fs Fmax 物块将向下滑动
Fd fFN 269 .8 N
例2 均质木箱重P=5KN ，其与地面间的静摩擦系 数fs=0.4 。图中h=2a=2m ，=30 。求：（1） 当D处的拉力F=1KN ，木箱是否平衡？（2）保持 木箱平衡的最大拉力。
解：欲保持木箱平衡，必 须满足两个条件：一是不 发生滑动，即要求静摩擦 力
Fs Fmax f s FN
二是不绕A点翻倒
例1 物块重P=1500N，放于倾角为30°的斜面上，
它与斜面间的静摩擦系数为0.2，动摩擦系数0.18。
物块受水平力F=400N。问物块是否静止，并求此时
摩擦力的大小与方向。
解：解题思路：先假设 物体静止和摩擦力的 方向，应用平衡方程 求解，将求得的摩擦 力与最大摩擦力比较， 确定物体是否静止。
（2）求保持平衡的最大拉力F 木箱将滑动的条件为
Fs Fmax f s FN
F1
cos
fsP fs
s in
1876
N
木箱将绕A点翻倒的条件为 d=0
F2
Pa
2h cos
1443N
则保持木箱平衡的最大拉力
F F2 1443 N
例5-3 凸轮机构。已知推杆与滑道间的摩擦
系数为fs，滑道宽度为b。设凸轮与推杆接触 处的摩擦忽略不计。问a为多大，推杆才不致
1. 静摩擦力
若FS≤ Fmax ，则平衡成立，由平衡方程求出FS，当
FS =Fmax时，物体处于临界平衡状态； FS >Fmax ，平衡被破坏，物体滑动。
最大静摩擦力
静摩擦定律 静摩擦力的最大值与接触面法向反 力成正比。
Fmax fs FN
fs ---静滑动摩擦系数,与接触物体的材料和表面状 况有关，可由实验测定。
§5-4 滚动摩阻的概念
➢当两物体有相对滚动趋势或有相对滚动时，
在接触部分产生的对滚动的阻碍作用称为滚 动摩擦。
滚动摩阻
Mmax=FN : 滚动摩阻系数
2. 动摩擦力
➢两物体有相对滑动时,沿接触表面产生切向阻力，
称为动滑动摩擦力。
➢动摩擦定律 动摩擦力的大小与接触面法向反力
成正比，
Fd fFN
f---动滑动摩擦系数 f f s
§5-2 摩擦角与自锁
1. 摩擦角
➢摩擦力与法向反力的合力称
为全反力。
➢全反力与接触面法线间夹角
的最大值称为摩擦角。
FRA FN FS
tg Fmax
FN
f s FN FN
fs
fs tg tg
•摩擦角是静摩擦力取值范围的几何表示
2. 自锁现象
（1）只要主动力的合力 作用线在摩擦角内无论 主动力多大，物体仍保 持平衡。这种现象称为 摩擦自锁。 （2）如主动力的合力作 用线在摩擦角外，无论 主动力多小，物体一定 滑动。
讨论解的范围 a b
2 fs
再用摩擦角概念即几何法求解
b cos amax 2 sin
b
2 fs
➢在临界平衡状态下求解有摩擦的平衡问
题时，必须根据两物体接触面相对滑动 的趋势，正确判断摩擦力的方向，不能 任意假设。这是因为由补充方程确定的 Fmax为正值，必须按实际方向给出。
Fs f s FN
如图赛车，为什么轮子前小后大？
关于摩擦的机理，主要就是由于接触面之间并不是 绝对光滑的，有些接触面看上去是光滑的，但在显 微镜下就可以看到其实也是粗糙的。如图是书本与 桌面之间的接触面。
§5-1 滑动摩擦
两种基本摩擦
•干摩擦—固体对固体的摩擦； •流体摩擦—流体相邻层之间由于流速的不同而引起 的切向力。
被卡住。
• 解：先求出解的极限值，再讨论其变化范围。取推 杆为研究对象。
X 0
FNA FNB FN
Y 0
M D (F) 0
FA FB F 0
Fa
FNB b
FB
d 2
FA
d 2
0
FB FB max f s FNB FA FAmax f s FNA
b
F 2Fmax amax 2 f s
§5-3 考虑摩擦时的平衡问题
两种运动趋势与临界运动状态
滑动（slip) 推力大于摩擦力
翻 倒（tip over) 当力的作用点不合适时
两类摩擦平衡问题
第一类问题
F < F max，,物体处于静止状态，
已知主动力求约束力，与一般平衡问题 无异。 第二类问题
平衡问题—临界运动趋势 不平衡问题—滑动或翻倒
第五章 摩擦
工程中的摩擦问题
梯子的角度应该多大，才能保证人在攀爬 时不滑倒？这就是一个摩擦问题。
用克丝钳剪断钢丝，如果钳子的 角度太大的话，钢丝就会滑出去， 这也是一个摩擦问题。
挂扫把的简单装置，也是 利用摩擦。
攀崖时什么角度，用多大的力，踩在什么地 方，都是从摩擦力的角度来考虑的。
传递转动
（1）取木箱为研究对象，受力如图
X 0
Fs F cos 0
Y 0
FN P F sin 0
M A(F) 0
hF
cos
P
a 2
FN d
0
，
，
求解以方程，得
Fs 866 N FN 4500 N d 0.17m
木箱与地面间最大摩擦力
Fmax f s FN 1800 N
Fs Fmax 木箱不会滑动；又 d 0 木箱不会翻倒。 木箱保持平衡。
X 0 P sin 30 F cos30 Fs 0
Y 0 P cos30 F sin 30 FN 0 Fs 403 .6 N FN 1499 N 摩擦力方向与所设的相反
Fmax f s FN 299 .8 N
Fs Fmax 物块将向下滑动
Fd fFN 269 .8 N
例2 均质木箱重P=5KN ，其与地面间的静摩擦系 数fs=0.4 。图中h=2a=2m ，=30 。求：（1） 当D处的拉力F=1KN ，木箱是否平衡？（2）保持 木箱平衡的最大拉力。
解：欲保持木箱平衡，必 须满足两个条件：一是不 发生滑动，即要求静摩擦 力
Fs Fmax f s FN
二是不绕A点翻倒
例1 物块重P=1500N，放于倾角为30°的斜面上，
它与斜面间的静摩擦系数为0.2，动摩擦系数0.18。
物块受水平力F=400N。问物块是否静止，并求此时
摩擦力的大小与方向。
解：解题思路：先假设 物体静止和摩擦力的 方向，应用平衡方程 求解，将求得的摩擦 力与最大摩擦力比较， 确定物体是否静止。
（2）求保持平衡的最大拉力F 木箱将滑动的条件为
Fs Fmax f s FN
F1
cos
fsP fs
s in
1876
N
木箱将绕A点翻倒的条件为 d=0
F2
Pa
2h cos
1443N
则保持木箱平衡的最大拉力
F F2 1443 N
例5-3 凸轮机构。已知推杆与滑道间的摩擦
系数为fs，滑道宽度为b。设凸轮与推杆接触 处的摩擦忽略不计。问a为多大，推杆才不致
1. 静摩擦力
若FS≤ Fmax ，则平衡成立，由平衡方程求出FS，当
FS =Fmax时，物体处于临界平衡状态； FS >Fmax ，平衡被破坏，物体滑动。
最大静摩擦力
静摩擦定律 静摩擦力的最大值与接触面法向反 力成正比。
Fmax fs FN
fs ---静滑动摩擦系数,与接触物体的材料和表面状 况有关，可由实验测定。
§5-4 滚动摩阻的概念
➢当两物体有相对滚动趋势或有相对滚动时，
在接触部分产生的对滚动的阻碍作用称为滚 动摩擦。
滚动摩阻
Mmax=FN : 滚动摩阻系数
2. 动摩擦力
➢两物体有相对滑动时,沿接触表面产生切向阻力，
称为动滑动摩擦力。
➢动摩擦定律 动摩擦力的大小与接触面法向反力
成正比，
Fd fFN
f---动滑动摩擦系数 f f s
§5-2 摩擦角与自锁
1. 摩擦角
➢摩擦力与法向反力的合力称
为全反力。
➢全反力与接触面法线间夹角
的最大值称为摩擦角。
FRA FN FS
tg Fmax
FN
f s FN FN
fs
fs tg tg
•摩擦角是静摩擦力取值范围的几何表示
2. 自锁现象
（1）只要主动力的合力 作用线在摩擦角内无论 主动力多大，物体仍保 持平衡。这种现象称为 摩擦自锁。 （2）如主动力的合力作 用线在摩擦角外，无论 主动力多小，物体一定 滑动。
讨论解的范围 a b
2 fs
再用摩擦角概念即几何法求解
b cos amax 2 sin
b
2 fs
➢在临界平衡状态下求解有摩擦的平衡问
题时，必须根据两物体接触面相对滑动 的趋势，正确判断摩擦力的方向，不能 任意假设。这是因为由补充方程确定的 Fmax为正值，必须按实际方向给出。
Fs f s FN
如图赛车，为什么轮子前小后大？
关于摩擦的机理，主要就是由于接触面之间并不是 绝对光滑的，有些接触面看上去是光滑的，但在显 微镜下就可以看到其实也是粗糙的。如图是书本与 桌面之间的接触面。
§5-1 滑动摩擦
两种基本摩擦
•干摩擦—固体对固体的摩擦； •流体摩擦—流体相邻层之间由于流速的不同而引起 的切向力。
被卡住。
• 解：先求出解的极限值，再讨论其变化范围。取推 杆为研究对象。
X 0
FNA FNB FN
Y 0
M D (F) 0
FA FB F 0
Fa
FNB b
FB
d 2
FA
d 2
0
FB FB max f s FNB FA FAmax f s FNA
b
F 2Fmax amax 2 f s