高中数学竞赛讲义-向量与向量方法 新人教A版

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高中数学竞赛校本教材【全套共30讲】(原创Word版,含答案,278页)

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高中数学竞赛校本教材目录§1数学方法选讲(1) (1)§2数学方法选讲(2) (11)§3集合 (22)§4函数的性质 (30)§5二次函数(1) (41)§6二次函数(2) (55)§7指、对数函数,幂函数 (63)§8函数方程 (73)§9三角恒等式与三角不等式 (76)§10向量与向量方法 (85)§11数列 (95)§12递推数列 (102)§13数学归纳法 (105)§14不等式的证明 (111)§15不等式的应用 (122)§16排列,组合 (130)§17二项式定理与多项式 (134)§18直线和圆,圆锥曲线 (143)§19立体图形,空间向量 (161)§20平面几何证明 (173)§21平面几何名定理 (180)§22几何变换 (186)§23抽屉原理 (194)§24容斥原理 (205)§25奇数偶数 (214)§26整除 (222)§27同余 (230)§28高斯函数 (238)§29覆盖 (245)§29涂色问题 (256)§30组合数学选讲 (265)§1数学方法选讲(1)同学们在阅读课外读物的时候,或在听老师讲课的时候,书上的例题或老师讲解的例题他都能听懂,但一遇到没有见过面的问题就不知从何处入手。

看来,要提高解决问题的能力,要能在竞赛中有所作为,首先得提高分析问题的能力,这就需要学习一些重要的数学思想方法。

例题讲解一、从简单情况考虑华罗庚先生曾经指出:善于“退”,足够的“退”,退到最原始而又不失去重要性的地方,是学好数学的一个诀窍。

从简单情况考虑,就是一种以退为进的一种解题策略。

高中数学竞赛讲义(免费)

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高中数学竞赛资料一、高中数学竞赛大纲全国高中数学联赛全国高中数学联赛(一试)所涉及的知识范围不超出教育部2000年《全日制普通高级中学数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容,但在方法的要求上有所提高。

全国高中数学联赛加试全国高中数学联赛加试(二试)与国际数学奥林匹克接轨,在知识方面有所扩展;适当增加一些教学大纲之外的内容,所增加的内容是:1.平面几何几个重要定理:梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。

三角形中的几个特殊点:旁心、费马点,欧拉线。

几何不等式。

几何极值问题。

几何中的变换:对称、平移、旋转。

圆的幂和根轴。

面积方法,复数方法,向量方法,解析几何方法。

2.代数周期函数,带绝对值的函数。

三角公式,三角恒等式,三角方程,三角不等式,反三角函数。

递归,递归数列及其性质,一阶、二阶线性常系数递归数列的通项公式。

第二数学归纳法。

平均值不等式,柯西不等式,排序不等式,切比雪夫不等式,一元凸函数。

复数及其指数形式、三角形式,欧拉公式,棣莫弗定理,单位根。

多项式的除法定理、因式分解定理,多项式的相等,整系数多项式的有理根*,多项式的插值公式*。

n次多项式根的个数,根与系数的关系,实系数多项式虚根成对定理。

函数迭代,简单的函数方程*3.初等数论同余,欧几里得除法,裴蜀定理,完全剩余类,二次剩余,不定方程和方程组,高斯函数[x],费马小定理,格点及其性质,无穷递降法,欧拉定理*,孙子定理*。

4.组合问题圆排列,有重复元素的排列与组合,组合恒等式。

组合计数,组合几何。

抽屉原理。

容斥原理。

极端原理。

图论问题。

集合的划分。

覆盖。

平面凸集、凸包及应用*。

注:有*号的内容加试中暂不考,但在冬令营中可能考。

二、初中数学竞赛大纲1、数整数及进位制表示法,整除性及其判定;素数和合数,最大公约数与最小公倍数;奇数和偶数,奇偶性分析;带余除法和利用余数分类;完全平方数;因数分解的表示法,约数个数的计算;有理数的概念及表示法,无理数,实数,有理数和实数四则运算的封闭性。

人教A版(2019)高一数学必修第二册 讲义 6

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6.3 平面向量基本定理及坐标表示一、平面向量基本定理1.平面向量基本定理:如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量a,有且只有一对实数λ1,λ2,使a=λ1e1+λ2e2.2.基底:若e1,e2不共线,我们把{e1,e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底.二、用基底表示向量用基底表示向量的一般方法(1)根据平面向量基本定理可知,同一平面内的任何一个基底都可以表示该平面内的任意向量.用基底表示向量,实质上是利用三角形法则或平行四边形法则,进行向量的线性运算.(2)基底的选取要灵活,必要时可以建立方程或方程组,通过方程或方程组求出要表示的向量.三、平面向量基本定理的应用(1)平面向量基本定理的实质是向量的分解,即平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式,且分解是唯一的.(2)平面向量基本定理体现了转化与化归的数学思想,用向量解决几何问题时,我们可以选择适当的基底,将问题中涉及的向量向基底化归,使问题得以解决.四、平面向量的坐标表示1.把一个向量分解为两个互相垂直的向量,叫做把向量作正交分解.2.在平面直角坐标系中,设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为i,j,取{i,j}作为基底.对于平面内的任意一个向量a,由平面向量基本定理可知,有且只有一对实数x,y,使得a=x i+y j,则有序数对(x,y)叫做向量a的坐标.3.坐标表示:a=(x,y).4.特殊向量的坐标:i=(1,0),j=(0,1),0=(0,0).五、平面向量加、减法的坐标表示设向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),则有下表,符号表示加法a+b=(x1+x2,y1+y2)减法a-b=(x1-x2,y1-y2)重要结论已知A(x1,y1),B(x2,y2),则AB→=(x2-x1,y2-y1)六、平面向量坐标运算的应用坐标形式下向量相等的条件及其应用(1)条件:相等向量的对应坐标相等.(2)应用:利用坐标形式下向量相等的条件,可以建立相等关系,由此可以求出某些参数的值或点的坐标.七、数乘运算的坐标表示已知a=(x,y),则λa=(λx,λy),即实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.八、向量共线的判定设a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b≠0.向量a ,b 共线的充要条件是x 1y 2-x 2y 1=0.向量共线的判定应充分利用向量共线定理或向量共线的坐标表示进行判断,特别是利用向量共线的坐标表示进行判断时,要注意坐标之间的搭配. 九、 利用向量共线的坐标表示求参数 利用向量平行的条件处理求值问题的思路 (1)利用向量共线定理a =λb (b ≠0)列方程组求解. (2)利用向量共线的坐标表示直接求解.提醒:当两向量中存在零向量时,无法利用坐标表示求值. 十、有向线段定比分点坐标公式及应用对任意的λ(λ≠-1),P 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1+λx 21+λ,y 1+λy 21+λ. 注意点:(1)λ的值可正、可负.(2)分有向线段的比与线段长度比不同. 十一、平面向量数量积的坐标表示 设非零向量a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2), 则a·b =x 1x 2+y 1y 2.进行数量积运算时,要正确使用公式a·b =x 1x 2+y 1y 2,并能灵活运用以下几个关系 (1)|a |2=a ·a .(2)(a +b )·(a -b )=|a |2-|b |2. (3)(a +b )2=|a |2+2a ·b +|b |2. 十二、平面向量的模1.若a=(x,y),则|a|2=x2+y2或|a|=x2+y2.2.若A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|=x2-x12+y2-y12.求向量a=(x,y)的模的常见思路及方法(1)求模问题一般转化为求模的平方,即a2=|a|2=x2+y2,求模时,勿忘记开方.(2)a·a=a2=|a|2或|a|=a2=x2+y2,此性质可用来求向量的模,可以实现实数运算与向量运算的相互转化.十三、平面向量的夹角、垂直问题设a,b都是非零向量,a=(x1,y1),b=(x2,y2),a与b的夹角为θ.1.cos θ=a·b|a||b|=x1x2+y1y2x21+y21x22+y22.2.a⊥b⇔x1x2+y1y2=0.考点一 平面向量的基本定理【例1】(2021·陕西)下列各组向量中,可以作为基底的是( ) A .()()120,0,1,2e e == B .()()121,2,5,7e e =-=C .()()123,5,6,10e e ==D .()12132,3,,24e e ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭【答案】B【解析】对A :因为零向量和任意向量平行,故A 中向量不可作基底; 对B :因为710-≠,故B 中两个向量不共线;对C :因为31056⨯=⨯,故C 中两个向量共线,故C 中向量不可作基底;对D :因为312342⎛⎫⨯-=-⨯ ⎪⎝⎭,故D 中两个向量共线,故D 中向量不可作基底.故选:B.【练1】(2020·广东云浮市·高一期末)下列各组向量中,可以作为基底的是( ). A .()10,0e =,()21,2e =- B .()11,2e =-,()25,7e =C .()13,5e =,()26,10e =D .()12,3e =-,213,24e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭【答案】B【解析】因为()11,2e =-与()25,7e =不共线,其余选项中1e 、2e 均共线,所以B 选项中的两向量可以作为基底.故选:B考点二 加减数乘的坐标运算【例2】(2020·咸阳百灵学校高一月考)已知点M (-3,3),N (-5,-1),那么MN 等于( ) A .(-2,-4) B .(-4,-2) C .(2,4) D .(4,2)【答案】A【解析】M (-3,3),N (-5,-1),()=2,4MN ∴--.故选:A【练2】(2020·苍南县树人中学高一期中)已知()1,1A ,()1,1B --,则向量AB 为( ) A .()0,0 B .()1,1 C .()2,2-- D .()2,2【答案】C【解析】由题意可得()()()1,11,12,2AB =---=--.故选:C. 考点三 共线定理的坐标表示【例3】(2020·全国高一)若()0,2A ,()1,0B -,(),2-C m 三点共线,则实数m 的值是( ) A .6 B .2- C .6- D .2【答案】B【解析】因为三点()0,2A ,()1,0B -,(),2C m -共线,所以(1,2),(1,2)AB BC m =--=+- ,若()0,2A ,()1,0B -,(),2C m -三点共线,则AB 和BC 共线 可得:(1)(2)(2)(1)m --=-+,解得2m =-;故选:B【练3】(2020·新绛县第二中学高一月考)已知()13A ,,()41B -,,则与向量AB共线的单位向量为( )A .4355⎛⎫ ⎪⎝⎭,或4355⎛⎫- ⎪⎝⎭,B .3455⎛⎫- ⎪⎝⎭,或3455⎛⎫- ⎪⎝⎭, C .4355⎛⎫-- ⎪⎝⎭,或4355⎛⎫⎪⎝⎭, D .3455⎛⎫-- ⎪⎝⎭,或3455⎛⎫⎪⎝⎭, 【答案】B【解析】因为()13A ,,()41B -,,所以向量()3,4AB =-, 所以与向量AB 共线的单位向量为3455⎛⎫- ⎪⎝⎭,或3455⎛⎫- ⎪⎝⎭,.故选:B 考点四 向量与三角函数的综合运用【例4】(2021·湖南)已知向量(cos 2sin ,2)a θθ=-,(sin ,1)b θ=,若a //b ,则tan 2θ的值为( )A .14B .34C .815D .415【答案】C【解析】因为a //b ,故可得22cos sin sin θθθ-=,故可得14tan θ=,又22284211tan 15116tan tan θθθ===--.故选:C【练4】(2020·平凉市庄浪县第一中学高一期中)若(3,cos ),(3,sin ),a b αα==且a //b ,则锐角α=__________ . 【答案】3π【解析】∵a //b ,∴3sin 3cos 0αα-=,又α为锐角,cos 0α≠,∴tan 3α=,3πα=.故答案为:3π.考点五 奔驰定理解三角形面积【例5】(2020·河南安阳市·林州一中高一月考)已知O 为ABC ∆内一点,且有23OA OC BC +=,则OBC ∆和ABC ∆的面积之比为( ) A .16B .13C .12D .23【答案】C【解析】设D 是AC 的中点,则2OA OC OD +=, 又因为23OA OC BC +=,所以223OD BC =,3BC OD =,//OD BC , 所以12OBC DBC ABC ABC S S DC S S AC ∆∆∆∆===故选:C 【练5】(2020·江西)在ABC 中,D 为BC 的中点,P 为AD 上的一点且满足3BA BC BP +=,则ABP △与ABC 面积之比为( )A .14B .13C .23 D .16【答案】B【解析】设AC 的中点为点E ,则有2BA BC BE +=,又3BA BC BP +=,所以23BP BE =,则点P 在线段BE 上,因为D 为BC 的中点,所以得点P 为ABC 的重心,故ABP △与ABC 面积之比为13.故选:B考点六 数量积的坐标运算【例6】(2020·银川市·宁夏大学附属中学高一期末)向量()()2112a b =-=-,,,,则()2a b a +⋅=( ) A .1 B .1- C .6- D .6【答案】D【解析】因为()()2112a b =-=-,,,所以()()23,0(2,1)3206a b a +⋅=⋅-=⨯+=故选:D【练6】(2021·深圳市龙岗区)已知向量()1,3a =-,()5,4b =-,则⋅=a b ( ) A .15 B .16 C .17 D .18【答案】C【解析】因为向量()1,3a =-,()5,4b =-,所以()()153417a b ⋅=-⨯-+⨯=,故选:C考点七 巧建坐标解数量积【例7】(2020·山东济南市·)在ABC 中,2BAC π∠=,2AB AC ==,P 为ABC所在平面上任意一点,则()PA PB PC ⋅+的最小值为( )A .1B .12-C .-1D .-2【答案】C【解析】如图,以,AB AC 为,x y 建立平面直角坐标系,则(0,0),(2,0),(0,2)A B C ,设(,)P x y ,(,)PA x y =--,(2,)PB x y =--,(,2)PC x y =--,(22,22)PB PC x y +=--,∴()22(22)(22)2222PA PB PC x x y y x x y y⋅+=----=-+-22112()2()122x y =-+--,∴当11,22x y ==时,()PA PB PC ⋅+取得最小值1-.故选:C .【练7】(2020·安徽省亳州市第十八中学高一期中)如图,在矩形ABCD 中,4AB =,3AD =,点P 为CD 的中点,点Q 在BC 上,且2BQ =.(1)求AP AQ ⋅;(2)若AC AP AQ λμ=+(λ,μ∈R ),求λμ的值. 【答案】(1)14;(2)23λμ=. 【解析】如图,分别以边AB ,AD 所在的直线为x 轴,y 轴, 点A 为坐标原点,建立平面直角坐标系,则()0,0A ,()2,3P ,()4,0B ,()4,3C ,()4,2Q .(1)∵()2,3AP =,()4,2AQ =,∴243214AP AQ ⋅=⨯+⨯=. (2)∵()4,3AC =,()2,3AP =,()4,2AQ =,由AC AP AQ λμ=+,得()()4,324,32λμλμ=++,∴244,323,λμλμ+=⎧⎨+=⎩解得1,23,4λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴23λμ=. 考点八 数量积与三角函数综合运用【例8】向量(sin ,2),(1,cos )a b θθ=-=,且a b ⊥,则2sin 2cos θθ+的值为( ) A .1 B .2 C .12D .3【答案】A【解析】由题意可得 sin 2cos 0a b θθ⋅=-=,即 tan 2θ=.∴222222sin cos cos 2tan 1sin 2cos 1cos sin 1tan θθθθθθθθθ+++===++,故选A . 【练8】(2020·河南安阳市·林州一中高一月考)已知向量(4sin ,1cos ),(1,2)a b αα=-=-,若2a b ⋅=-,则22sin cos 2sin cos αααα=-( )A .1B .1-C .27-D .12-【答案】A【解析】由2a b ⋅=-,得4sin 2(1cos )2αα--=-,整理得1tan 2α=-,所以2221sin cos tan 2112sin cos 2tan 112αααααα-===---,故选:A . 考点九 数量积与几何的综合运用【例9】(2020·陕西渭南市·高一期末)已知向量()3,4OA =-,()6,3OB =-,()5,3OC m m =---.(1)若点A ,B ,C 能够成三角形,求实数m 应满足的条件; (2)若ABC 为直角三角形,且A ∠为直角,求实数m 的值. 【答案】(1)12m ≠;(2)74m =. 【解析】(1)已知向量()3,4OA =-,()6,3OB =-,()5,3OC m m =---, 若点A ,B ,C 能构成三角形,则这三点不共线,即AB 与BC 不共线.()3,1AB =,()2,1AC m m =--,故知()312m m -≠-,∴实数12m ≠时,满足条件.(2)若ABC 为直角三角形,且A ∠为直角,则AB AC ⊥,∴()()3210m m -+-=,解得74m =. 【练9】(2020·辽宁)已知向量.(1)若ΔABC 为直角三角形,且∠B 为直角,求实数λ的值.(2)若点A、B、C能构成三角形,求实数λ应满足的条件.【答案】(1)λ=2;(2)λ≠−2.【解析】∵即:−7(6−λ)+7(3λ−2)=0,∴λ=2(2)∵若点A、B、C能构成三角形,则A、B、C不共线∴−7(3λ−2)≠7(6−λ)∴实数λ应满足的条件是λ≠−2课后练习1. (2021·内江模拟)已知空间三点 O(0,0,0) , A(−1,1,0) , B(0,1,1) ,在直线 OA 上有一点 H 满足 BH ⊥OA ,则点 H 的坐标为. A.(12,−12,0) B.(−12,12,0) C.(−2,2,0) D.(2,−2,0) 【答案】 B【考点】平面向量数量积的运算【解析】由O (0,0,0),A (﹣1,1,0),B (0,1,1), ∴ OA ⃗⃗⃗⃗⃗ = (﹣1,1,0),且点H 在直线OA 上,可设H (﹣λ,λ,0), 则 BH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (﹣λ,λ﹣1,﹣1), 又BH ⊥OA , ∴ BH⃗⃗⃗⃗⃗⃗ • OA ⃗⃗⃗⃗⃗ = 0, 即(﹣λ,λ﹣1,﹣1)•(﹣1,1,0)=0, 即λ+λ﹣1=0, 解得λ =12 ,∴点H ( −12 , 12 ,0). 故答案为:B .【分析】根据已知中空间三点O(0,0,0),A(−1,1,0),B(0,1,1),根据点H 在直线OA上,我们可以设出H点的坐标(含参数λ) ,进而由BH⊥OA,根据向量垂直数量积为0,构造关于λ的方程,解方程即可得到答案.2.(2021高二上·辽宁月考)若a=(2,2,0),b⃗=(1,3,z),<a ,b⃗>=π3,则z等于()A. √22B. −√22C. ±√22D. ±√42【答案】C【考点】数量积表示两个向量的夹角【解析】由空间向量夹角的余弦公式得cos<a ,b⃗>=a⃗ ⋅b⃗|a⃗ |⋅|b⃗|=2×1+2×3+0×z2√2×√12+32+z2=2√2√10+z2=12,解得z=±√22。

高中数学 第三章第1节空间向量及其运算知识精讲 理 新人教版A版选修2-1

高中数学 第三章第1节空间向量及其运算知识精讲 理 新人教版A版选修2-1

高二数学选修2-1第三章第1节空间向量及其运算人教新课标A 版(理)一、学习目标:1. 理解空间向量的概念,了解共线或平行向量的概念,掌握其表示方法;会用图形说明空间向量的加法、减法、数乘向量及它们的运算律;能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题.2. 理解共线向量的定理及其推论.3. 掌握空间向量的夹角和模的概念及其表示方法;掌握两个向量数量积的概念、性质和计算方法及运算律;掌握两个向量数量积的主要用途,会用它解决立体几何中的一些简单问题.4. 掌握空间向量的正交分解,空间向量的基本定理及其坐标表示;掌握空间向量的坐标运算的规律;会根据向量的坐标,判断两个向量共线或垂直.二、重点、难点:重点:空间向量的加减与数乘运算及运算律,空间直线、平面的向量参数方程及线段中点的向量公式,点在已知平面内的充要条件,两个向量的数量积的计算方法及其应用,空间向量的基本定理、向量的坐标运算.难点:由平面向量类比学习空间向量,对点在已知平面内的充要条件的理解与运用,向量运算在几何证明与计算中的应用,理解空间向量的基本定理.三、考点分析:本讲知识主要为由平面向量类比学习空间向量的概念及其基本运算,涉及到空间向量中的共线向量和共面向量,以及空间向量的基本定理和空间向量的坐标运算.数量积的运用,是我们学习的重点.一、空间向量的概念:模(或长度)为0的向量称为零向量;模为1的向量称为单位向量.与向量a 长度相等且方向相反的向量称为a 的相反向量,记作a -.方向相同且模相等的向量称为相等向量.二、空间向量的加法和减法、数乘运算1. 求两个向量和的运算称为向量的加法,它遵循平行四边形法则.2. 求两个向量差的运算称为向量的减法,它遵循三角形法则.3. 实数λ与空间向量a 的乘积a λ是一个向量,称为向量的数乘运算.当0λ>时,a λ与a 方向相同;当0λ<时,a λ与a 方向相反;当0λ=时,a λ为零向量,记为0.a λ的长度是a 的长度的λ倍.三、共线向量与共面向量1. 向量共线的充要条件:对于空间任意两个向量a ,()0b b ≠,//a b 的充要条件是存在实数λ,使a b λ=.2. 向量共面定理:平行与同一平面的向量是共面向量.四、向量的数量积1. 已知两个非零向量a 和b ,在空间任取一点O ,作a OA =,b OB =,则∠AOB 称为向量a ,b 的夹角,记作,a b 〈〉.两个向量夹角的取值范围是:[],0,a b π〈〉∈.2. 对于两个非零向量a 和b ,若,2a b π〈〉=,则向量a ,b 互相垂直,记作a b ⊥.3. 已知两个非零向量a 和b ,则cos ,a b a b 〈〉称为a ,b 的数量积,记作a b ⋅.即cos ,a b a b a b ⋅=〈〉.零向量与任何向量的数量积为0.五、空间向量的坐标表示和运算设()111,,a x y z =,()222,,b x y z =,则 1. ()121212,,a b x x y y z z +=+++. 2. ()121212,,a b x x y y z z -=---. 3. ()111,,a x y z λλλλ=. 4. 121212a b x x y y z z ⋅=++.5. 若a 、b 为非零向量,则12121200a b a b x x y y z z ⊥⇔⋅=⇔++=.6. 若0b ≠,则121212//,,a b a b x x y y z z λλλλ⇔=⇔===.7. 222111a a a x y z =⋅=++.8. 121212222222111222cos ,a b a b a bx y z x y z⋅〈〉==++⋅++.9. ()111,,x y z A ,()222,,x y z B ,则()()()222212121d x x y y z z AB =AB =-+-+-知识点一 空间向量的概念的运用例1、与向量(1,3,2)a =-平行的一个向量的坐标是( )A .(31,1,1) B .(-1,-3,2) C .(-21,23,-1)D .(2,-3,-22)思路分析:1)题意分析:本题主要考查共线向量的概念的运用.2)解题思路:利用共线向量的概念,如果b a b a b λ=⇔≠//,0,那么说向量→→b a ,共线.也可观察坐标的系数是不是成比例.解答过程:解析:向量的共线和平行是一样的,可利用空间向量共线定理写成数乘的形式. 即b a b a b λ=⇔≠//,0,因为(1,3,2)a =-=-2(-21,23,-1),故答案为C . 解题后的思考:对于空间共线向量的判定,要么利用坐标对应成比例,要么利用向量的线性关系来判定.例2、在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,M 为AC 与BD 的交点,若11B A =a ,11D A =b ,A A 1=c ,则下列向量中与MB 1相等的向量是( )A .++-2121B .++2121 C .c b a +-2121D .c b a +--2121思路分析:1)题意分析:本题考查的是基本的向量相等与向量的加法,考查学生的空间想象能力. 2)解题思路:把未知向量表示为已知向量,可利用三角形或平行四边形法则解决.用向量的方法处理立体几何问题,使复杂的线面空间关系代数化.解答过程:解析:)(21111BC BA A A BM B B MB ++=+==+21(-+)=-21+21+.故选A . 解题后的思考:对于空间向量的线性表示,我们本着把所求的向量与已知向量尽量放在一个封闭图形中的原则,再结合向量的加法得到.例3、在下列条件中,使M 与A 、B 、C 一定共面的是 ( )A .OM --=2B .213151++=C .=++MC MB MA 0D .=+++OC OB OA OM 0 思路分析:1)题意分析:本题主要考查共面向量的概念的运用.2)解题思路:空间的四点P 、A 、B 、C 共面只需满足,OC z OB y OA x OP ++=且1=++z y x 即可,或者AC y AB x AP +=.解答过程:由于空间的四点P 、A 、B 、C 共面只需满足,OC z OB y OA x OP ++=且1=++z y x 即可,首先判定A ,B ,D 项都不符合题意,由排除法可知只有选C .利用向量的加法和减法我们可以把+-+-=++)()(OM OB OM OA MC MB MA03)()(=-++=-OM OC OB OA OM OC ,)(31++=,显然满足题意. 解题后的思考:对空间向量的共面问题,我们只需利用课本中的两个结论判定即可.,z y x ++=且1=++z y x 或,y x +=都可判定P ,A ,B ,C 共面.例4、①如果向量,a b 与任何向量都不能构成空间向量的一组基底,那么,a b 的关系是不共线;②,,,O A B C 为空间四点,且向量,,OA OB OC 不构成空间的一个基底,那么点,,,O A B C 一定共面;③已知向量,,a b c 是空间的一个基底,则向量,,a b a b c +-也是空间的一个基底. 其中正确的命题是( )A .①②B .①③C .②③D .①②③ 思路分析:1)题意分析:本题考查空间向量的基底.2)解题思路:结合空间向量基底的概念,我们逐一的判定.解答过程:命题①中,由于,a b 与任何向量都共面,说明,a b 是共线向量.因此①是错误的.命题②中,由四点确定的、共起点的三个向量不能构成基底,说明了这四点是共面的,因此②是正确的.命题③中,要判定三个向量是否可构成基底,关键是看这三个向量是不是不共面,共面与是共面的,,→→→→→→-+b a b a b a ,因此③是正确的.选C .解题后的思考:理解空间向量的基底是由不共面的四点,或者说不共面的三个向量构成的.知识点二 空间向量的坐标运算的运用例5、在ΔABC 中,已知)0,4,2(=AB ,)0,3,1(-=BC ,则∠ABC =___.思路分析:1)题意分析:本题考查用向量数量积求夹角.2)解题思路:首先要注意夹角的概念,是共起点,因此在求角的时候,要注意向量的方向,否则容易出错.解答过程:(2,4,0),(1,3,0),BA BC =--=-2cos ,2||||2510BA BC BA BC BA BC ⋅∴===-⋅ ∴∠ABC =145°解题后的思考:向量夹角的求解是高考中的常考题型,因此,同学们要注意准确运用.例6、已知空间三点A (0,2,3),B (-2,1,6),C (1,-1,5). ⑴求以向量AC AB ,为一组邻边的平行四边形的面积S ;⑵若向量a 分别与向量AC AB ,垂直,且|a |=3,求向量a 的坐标思路分析:1)题意分析:本题综合运用向量的数量积来判定垂直,求解夹角.2)解题思路:首先分析平行四边形的面积实际上是三角形面积的2倍,于是可转化为求三角形的面积,需先结合数量积求出夹角的余弦值,然后得到夹角的正弦值,再求面积;求向量的坐标,一般是先设出其坐标,然后结合已知条件,列出关系式,进而求解.解答过程:⑴21||||cos ),2,3,1(),3,1,2(==∠∴-=--=AC AB AC AB BAC AC AB . ∴∠BAC =60°,3760sin ||||==∴ AC AB S . ⑵设a =(x ,y ,z ),则,032=+--⇒⊥z y x AB a33||,023222=++⇒==+-⇒⊥z y x a z y x AC a解得x =y =z =1或x =y =z =-1,∴a =(1,1,1)或a =(-1,-1,-1).解题后的思考:向量的数量积是高考中的一个热点话题,出题形式较灵活,只要同学们抓住数量积解决的问题一般是有关夹角、距离的问题这个本质即可.例7、如图所示,直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中,CA =CB =1,∠BCA =90°,棱AA 1=2,M 、N 分别是A 1B 1、A 1A 的中点.(1)求的长;(2)求cos<11,CB BA >的值; (3)求证:M C B A 11⊥思路分析:1)题意分析:本题主要考查空间向量的概念及其运算的基本知识.考查空间两向量垂直的充要条件.2)解题思路:先建立空间直角坐标系,然后写出坐标,利用坐标的运算进行求解. 解答过程:如图,建立空间直角坐标系O -xyz .(1)解:依题意得B (0,1,0)、N (1,0,1) ∴|BN |=3)01()10()01(222=-+-+-.(2)解:依题意得A 1(1,0,2)、B (0,1,0)、C (0,0,0)、B 1(0,1,2) ∴1BA ={1,-1,2},1CB ={0,1,2},1BA ·1CB =3,|1BA |=6,|1CB |=5∴cos<1BA ,1CB >=30101||||1111=⋅⋅CB BA CB BA .(3)证明:依题意,得C 1(0,0,2)、M (21,21,2),B A 1={-1,1,-2},MC 1={21,21,0}.∴B A 1·M C 1=-2121++0=0,∴B A 1⊥M C 1.解题后的思考:对于空间中的角和垂直的判定,如果不能直接利用定义,我们可以运用代数的方法,结合坐标运算进行.例8、已知正方体''''ABCD A B C D -的棱长为a ,M 为'BD 的中点,点N 在'A C '上,且|'|3|'|A N NC =,试求MN 的长.思路分析:1)题意分析:本题考查向量的概念及向量的坐标运算,求解有关距离的问题.2)解题思路:对于空间向量的距离的求解,可借助于向量的数量积的性质来解,也可利用坐标运算进行求解.解答过程: 以D 为原点,建立如图所示的空间直角坐标系.因为正方体棱长为a ,所以B (a ,a ,0),A'(a ,0,a ),'C (0,a ,a ),'D (0,0,a ).由于M 为'BD 的中点,取''A C 的中点O',所以M (2a ,2a ,2a ),O'(2a ,2a,a ).因为|'|3|'|A N NC =,所以N 为''A C 的四等分点,从而N 为''O C 的中点,故N (4a ,34a ,a ).根据空间两点间的距离公式,可得22236||()()()242424a a a a a MN a a =-+-+-=.解题后的思考:本题是求解空间几何体中距离的问题,我们一般利用坐标的运算进行求解.解题关键是能把坐标准确地表示出来.小结:通过以上的典型例题,同学们应熟练掌握以下基本概念:共线向量与共面向量,空间向量的基底,以及运用向量的坐标运算解决有关的距离和夹角问题.注意处理以上问题的两个方法:向量法与坐标法.空间向量及其运算是解决立体几何的一种重要工具,同学们要理解基本概念,并能对比平面向量进行加、减运算和数乘运算及数量积的运算和应用.数量积问题是向量问题中经常考查的知识点,要能灵活解决有关的夹角和距离问题,从而为后面的学习打下坚实的基础.一、预习新知本讲学习了空间向量的概念及其基本运算,那么能否利用向量解决空间中有关角与距离的问题呢?二、预习点拨探究与反思:探究任务一:用空间向量解决立体几何中有关角的问题 【反思】(1)如何用向量表示线面角、二面角及异面直线所成的角 (2)具体的求角的公式应如何怎么表示?探究任务二:用空间向量解决立体几何中有关距离的问题 【反思】(1)如何用空间向量表示空间的点线的距离、异面直线的距离、线面的距离、面面的距离?(2)求解距离的具体的计算公式是什么?(答题时间:50分钟)一、选择题1.下列命题正确的是( )A .若a 与b 共线,b 与c 共线,则a 与c 共线B .向量,,a b c 共面就是它们所在的直线共面C .零向量没有确定的方向D .若//a b ,则存在唯一的实数λ使得a b λ=2. 已知A (-1,-2,6),B (1,2,-6),O 为坐标原点,则向量OA OB 与的夹角是( )A .0B .2πC .πD .32π 3. 已知空间四边形ABCO 中,c OC ,b OB ,a OA ===,点M 在OA 上,且OM =2MA ,N 为BC 中点,则MN =( )A .c b a 213221+- B .c b a 212132++- C .c b a 212121-+ D .c b a 213232-+4. 设A 、B 、C 、D 是空间不共面的四点,且满足000=⋅=⋅=⋅AD AB ,AD AC ,AC AB ,则△BCD 是( )A .钝角三角形B .锐角三角形C .直角三角形D .不确定5. 空间四边形OABC 中,OB =OC ,∠AOB =∠AOC =60°,则cos BC ,OA =( ) A .21B .22C .-21D .06. 已知A (1,1,1)、B (2,2,2)、C (3,2,4),则△ABC 的面积为( ) A .3B .32C .6D .267. 已知),,2(),,1,1(t t b t t t a =--=,则||b a -的最小值为( ) A .55 B .555 C .553 D .511二、填空题8.若)1,3,2(-=a ,)3,1,2(-=b ,则以b a ,为邻边的平行四边形的面积为 . 9.已知空间四边形OABC ,其对角线为OB 、AC ,M 、N 分别是对边OA 、BC 的中点,点G 在线段MN 上,且GN MG 2=,现用基组{}OC OB OA ,,表示向量OG ,有OG =x OC z OB y OA ++,则x 、y 、z 的值分别为 .10.已知点A (1,-2,11)、B (4,2,3),C (6,-1,4),则△ABC 的形状是 . 11.已知向量)0,3,2(-=a ,)3,0,(k b =,若b a ,成120°的角,则k = .三、解答题12.如图,在空间直角坐标系中BC =2,原点O 是BC 的中点,点A 的坐标是(21,23,0),点D 在平面yOz 上,且∠BDC =90°,∠DCB =30°.(1)求向量OD 的坐标;(2)设向量AD 和BC 的夹角为θ,求cos θ的值13.四棱锥P -ABCD 中,底面ABCD 是一个平行四边形,AB =(2,-1,-4),AD =(4,2,0),AP =(-1,2,-1). (1)求证:PA ⊥底面ABCD ; (2)求四棱锥P -ABCD 的体积;(3)对于向量a =(x 1,y 1,z 1),b =(x 2,y 2,z 2),c =(x 3,y 3,z 3),定义一种运算:(a ×b )·c =x 1y 2z 3+x 2y 3z 1+x 3y 1z 2-x 1y 3z 2-x 2y 1z 3-x 3y 2z 1,试计算(AB ×AD )·AP 的绝对值的值;说明其与四棱锥P -ABCD 体积的关系,并由此猜想向量这一运算(AB ×AD )·AP 的绝对值的几何意义.14.若四面体对应棱的中点间的距离都相等,证明这个四面体的对棱两两垂直.1.C ;解析:由于选项A 中当b =→0时,就不符合题意,因此A 错误.选项B ,向量共面,但向量所在的直线不一定共面,可以是平行.选项D ,应说明b ≠→0. 2.C ;解析:||||cos b a ⋅=θ,计算结果为-1.3.B ;解析:显然OA OC OB OM ON MN 32)(21-+=-=. 4.B ;解析:过点A 的棱两两垂直,通过设棱长、应用余弦定理可得△BCD 为锐角三角形. 5.D ;解析:先建立一组基向量OC OB OA ,,,再处理⋅的值. 6.D ;解析:应用向量的运算,显然><⇒>=<AC AB AC AB ,sin ,cos ,从而得><=S ,sin ||||21. 7.C ;解析:利用向量数量积的性质求解模的平方的最小值,然后再开方即可得到. 8.56;解析:72||||,cos -=>=<b a ,得753,sin >=<b a ,从而可得结果.9.313161、、; 解析:OM ON OA MN OA MG OM OG 313161]21)(21[3221)(32213221++=-++=-+=+=+= 10.直角三角形;解析:利用空间两点间的距离公式得:222||||||AC BC AB +=.11.39-;解析:219132,cos 2-=+=>=<k k b a ,得39±=k . 12.解:(1)过D 作DE ⊥BC ,垂足为E ,在Rt △BDC 中,由∠BDC =90°,∠DCB =30°,BC =2,得BD =1,CD =3,∴DE =CD ·sin30°=23. OE =OB -BE =OB -BD ·cos60°=1-2121=. ∴D 点坐标为(0,-23,21),即向量的坐标为(0,-23,21). (2)依题意:)()()(0,1,0,0,1,0,0,21,23=-==, 所以)()(0,2,0,23,1,23=-=--=-=OB OC BC OA OD AD .设向量和BC 的夹角为θ,则cos θ222222020)23()1()23(0232)1(023||||++⋅+-+-⨯+⨯-+⨯-=⋅BC AD BC AD 1051-=. 13.(1)证明:∵AB AP ⋅=-2-2+4=0,∴AP ⊥AB . 又∵AD AP ⋅=-4+4+0=0,∴AP ⊥AD .∵AB 、AD 是底面ABCD 上的两条相交直线,∴PA ⊥底面ABCD . (2)解:设AB 与AD 的夹角为θ,则 cos θ1053416161428||||=+⋅++-=⋅AD AB AD ABABCD P V -=31|AB |·|AD |·sin θ·|AP |=161411059110532=++⋅-⋅ (3)解:|(AB ×AD )·AP |=|-4-32-4-8|=48,它是四棱锥P -ABCD 体积的3倍.猜测:|(AB ×AD )·AP |在几何上可表示以AB 、AD 、AP 为棱的平行六面体的体积(或以AB 、AD 、AP 为棱的直四棱柱的体积). 14.证明:如图,设321,,r SC r SB r SA ===,则SN SM SH SG SF SE ,,,,,分别为121r ,)(2132r r +,)(2121r r +,321r ,)(2131r r +,221r ,由条件EF =GH =MN 得: 223123212132)2()2()2(r r r r r r r r r -+=-+=-+展开得313221r r r r r r ⋅=⋅=⋅∴0)(231=-⋅r r r ,∵1r ≠,23r r -≠, ∴1r ⊥(23r r -),即SA ⊥BC .同理可证SB ⊥AC ,SC ⊥AB .。

高中数学竞赛_平面向量【讲义】

高中数学竞赛_平面向量【讲义】

第八章 平面向量一、基础知识定义 1 既有大小又有方向的量,称为向量。

画图时用有向线段来表示,线段的长度表示向量的模。

向量的符号用两个大写字母上面加箭头,或一个小写字母上面加箭头表示。

书中用黑体表示向量,如a. |a|表示向量的模,模为零的向量称为零向量,规定零向量的方向是任意的。

零向量和零不同,模为1的向量称为单位向量。

定义2 方向相同或相反的向量称为平行向量(或共线向量),规定零向量与任意一个非零向量平行和结合律。

定理 1 向量的运算,加法满足平行四边形法规,减法满足三角形法则。

加法和减法都满足交换律和结合律。

定理2 非零向量a, b 共线的充要条件是存在实数≠λ0,使得a=.b λ f定理3 平面向量的基本定理,若平面内的向量a, b 不共线,则对同一平面内任意向是c ,存在唯一一对实数x, y ,使得c=xa+yb ,其中a, b 称为一组基底。

定义3 向量的坐标,在直角坐标系中,取与x 轴,y 轴方向相同的两个单位向量i, j 作为基底,任取一个向量c ,由定理3可知存在唯一一组实数x, y ,使得c=xi+yi ,则(x, y )叫做c 坐标。

定义4 向量的数量积,若非零向量a, b 的夹角为θ,则a, b 的数量积记作a ·b=|a|·|b|cos θ=|a|·|b|cos<a, b>,也称内积,其中|b|cos θ叫做b 在a 上的投影(注:投影可能为负值)。

定理4 平面向量的坐标运算:若a=(x 1, y 1), b=(x 2, y 2), 1.a+b=(x 1+x 2, y 1+y 2), a-b=(x 1-x 2, y 1-y 2), 2.λa=(λx 1, λy 1), a ·(b+c)=a ·b+a ·c ,3.a ·b=x 1x 2+y 1y 2, cos(a, b)=222221212121yx y x y y x x +⋅++(a, b ≠0),4. a//b ⇔x 1y 2=x 2y 1, a ⊥b ⇔x1x2+y 1y 2=0.定义5 若点P 是直线P 1P 2上异于p 1,p 2的一点,则存在唯一实数λ,使21PP P P λ=,λ叫P 分21P P 所成的比,若O 为平面内任意一点,则λλ++=121OP OP 。

高中数学竞赛讲义(全套)

高中数学竞赛讲义(全套)

高中数学竞赛资料一、高中数学竞赛大纲全国高中数学联赛全国高中数学联赛(一试)所涉及的知识范围不超出教育部2000年《全日制普通高级中学数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容,但在方法的要求上有所提高。

全国高中数学联赛加试全国高中数学联赛加试(二试)与国际数学奥林匹克接轨,在知识方面有所扩展;适当增加一些教学大纲之外的内容,所增加的内容是:1.平面几何几个重要定理:梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。

三角形中的几个特殊点:旁心、费马点,欧拉线。

几何不等式。

几何极值问题。

几何中的变换:对称、平移、旋转。

圆的幂和根轴。

面积方法,复数方法,向量方法,解析几何方法。

2.代数周期函数,带绝对值的函数。

三角公式,三角恒等式,三角方程,三角不等式,反三角函数。

递归,递归数列及其性质,一阶、二阶线性常系数递归数列的通项公式。

第二数学归纳法。

平均值不等式,柯西不等式,排序不等式,切比雪夫不等式,一元凸函数。

复数及其指数形式、三角形式,欧拉公式,棣莫弗定理,单位根。

多项式的除法定理、因式分解定理,多项式的相等,整系数多项式的有理根*,多项式的插值公式*。

n次多项式根的个数,根与系数的关系,实系数多项式虚根成对定理。

函数迭代,简单的函数方程*3.初等数论同余,欧几里得除法,裴蜀定理,完全剩余类,二次剩余,不定方程和方程组,高斯函数[x],费马小定理,格点及其性质,无穷递降法,欧拉定理*,孙子定理*。

4.组合问题圆排列,有重复元素的排列与组合,组合恒等式。

组合计数,组合几何。

抽屉原理。

容斥原理。

极端原理。

图论问题。

集合的划分。

覆盖。

平面凸集、凸包及应用*。

注:有*号的内容加试中暂不考,但在冬令营中可能考。

二、初中数学竞赛大纲1、数整数及进位制表示法,整除性及其判定;素数和合数,最大公约数与最小公倍数;奇数和偶数,奇偶性分析;带余除法和利用余数分类;完全平方数;因数分解的表示法,约数个数的计算;有理数的概念及表示法,无理数,实数,有理数和实数四则运算的封闭性。

高中数学竞赛向量

高中数学竞赛向量

高中数学竞赛向量高中数学竞赛专题讲座——向量一、三角函数部分1.在△ABC中,角A、B、C的对边分别记为a、b、c(b≠1),且C,A sinB都是方程logx=log(4x-4)的根,则△ABC的形状是什么?解:由logb x=logb(4x-4)得:x^2-4x+4=0,所以x1=x2=2,故C=2A,sinB=2sinA,因A+B+C=180°,所以3A+B=180°,因此sinB=sin3A,∴3sinA-4sin3A=2sinA,因为sinA(1-4sin^2A)=0,又sinA≠0,所以sin^2A=1/4,而sinA>0,∴sinA=1/2.因此A=30°,B=90°,C=60°。

故选B。

2.已知函数y=sinx+acosx的图象关于x=5π/3对称,则函数y=asinx+cosx的图象的一条对称轴是什么?3.若三角形的三条高线长分别为12,15,20,则此三角形的形状是什么?4.若a=sinθ+tanθ,b=cosθ+cotθ,则以下诸式中错误的是什么?5.已知△ABC为等腰直角三角形,∠C = 90°,D、E为AB边上的两个点,且点D在AE之间,∠DCE=45°,则以AD、DE、EB为边长构成的三角形的最大角是什么?6.若sinθ-cosθ≥cosθ-sinθ,0≤θ<2π,则角θ的取值范围是什么?7.在△ABC中,tanA=1/2,cosB=1/√5.若△ABC的最长边为1,则最短边的长为多少?9.若sinx+siny=1,则cosx+cosy的取值范围是什么?解:设cosx+cosy=t,那么XXX。

又由sinx+siny=1,所以XXX。

将cos2x+cos2y=1-sin2x-2sinxsiny-sin2y代入得:2cosxcosy=t2+1,即2cos(x-y)=t2+1.由于-1≤cos(x-y)≤1,所以t2≤3,即-3≤t≤3.因此答案是D。

高中数学竞赛专题精讲10向量与向量方法(含答案)

高中数学竞赛专题精讲10向量与向量方法(含答案)

10向量与向量方法(一)1.(2004年上海春季高考题)在ΔABC 中,有命题①AB AC BC -=;②0AB BC CA ++=;③若()()0AB AC AB AC +⋅-=,则ΔABC 为等腰三角形;④若0AC AB ⋅>,则ΔABC 为锐角三角形.上述命题正确的是 ( )A .① ②B .① ④C .② ③D .② ③ ④2.已知O 为坐标原点,OM =(-1,1),NM =(-5,-5),集合A ={OR ||RN|=2},OP 、OQ ∈A ,(, 0)MP MQ R λλλ=∈≠,则MP ·MQ =_________________.3.已知向量a =-e 1+3e 2+2e 3,b =4e 1-6e 2+2e 3,c =-3e 1+12e 2+11e 3,问a 能否表示成a =λ1b +λ2c 的形式?若能,写出表达式;若不能,说明理由.4.已知a ,b 是两非零向量,若a +3b 与7a -5b 垂直,a -4b 与7a -2b 垂直,试求a ,b 的夹角.5.设向量a ,b 满足|a |=|b |=1及|3a -2b |=3. 求|3a +b |的值.引申 已知向量a ,b 满足|a |=|b |=r ,11||a b λμ+=R ,试求22||a b λμ+的值.6.设A 、B 、C 、D 是坐标平面上的四点,它们的坐标分别为:A(A x ,A y ),B(B x ,B y ), C(C x ,C y ),D(D x ,D y ),且它们中任意三点不共线.试证明:四边形ABCD 为正方形的充要条件为 (B x -A x ,B y -A y )=(C x -D x ,C y -D y ), 且(B x -A x )(C x -B x )+(B y -A y )(C y -B y )=0.7.如图,设四边形P 1P 2P 3P 4是圆O 的内接正方形,P 是圆O 上的任意点. 求证:22221234||||||||PP PP PP PP +++为定值.OPP 1P 4P 38.如图,设P1,P2,P3,…,P n,是圆O内接正n边形的顶点,P是圆O上的任意点,求证:22212nPP PP PP+++为定值.9.空间有十个点A1,A2,…,A10,试求一个点P,使2221210PA PA PA+++为最小.10.如图,空间四边形ABCD中,点E分AB及点F分DC所成的比均为λ,则111EF AD BCλλλ=+++.11.一个物体受到同一个平面内三个力F1、F2、F3的作用,沿北偏东45°的方向移动了8m,其中|F1|=2N,方向为北偏东30°;|F2|=4N,方向为东偏北30°;|F3|=6N,方向为西偏北60°,求合力所作的功.12.设M、N分别是正六边形ABCDEF的对角线AC、CE的内分点,且AM CNAC CE==λ,若B、M、N共线,求λ的值.HGFEDCBAF·BCDENMyxO13.如图,在ΔOAB 中,OC OA =14,OD OB =12,AD 与BC 交于M 点,设OA a =, OB b =. (1)用a ,b 表示OM ;(2)已知线段AC 上取一点E ,在线段BD 上取一点F ,使EF 过M 点,设OE pOA =,OF qOB =,求证:p q+=13177.14. (2002年高考试题)已知两点M(-1,0),N(1,0),且点P 使MP ·MN ,PM ·PN ,NM ·PN 成公差小于零的等差数列.(1)点P 的轨迹是什么曲线?(2)若点P 的坐标是(x 0,y 0),θ为PM 与PN 的夹角,求tan θ.(二)1.已知,a b R +∈,,m n R ∈,222222m n a m b n >+,令2M m n 2=+,N a b =+.则MD ABC EFOM与N 的大小关系是 ( )A .M>NB .M<NC .M =ND .M 、N 间的大小关系不能确定(2000年河北省高中数学竞赛试题) 2.实数, , x x x 123满足x x x ++=12311123,及x x x ++=22212311323,则x 3的最小值是______________________. (1993年上海市高三数学竞赛试题)3.(证明恒等式)(1)已知2222222()()()x y z a b c ax by cz ++++=++,且x 、y 、z 、a 、b 、c 为非零实数,求证:x y za b c==.4.(求值)(1)已知22(1)(1)3(21)x y xy ++=-,试求1()y x y-的值。

向量的概念 课件 高中数学人教A版(2019)必修第二册

向量的概念 课件 高中数学人教A版(2019)必修第二册
①要注意0和
且|
的区别及联系:0是一个实数, 是一个向量,并
|=0,书写时 0 表示零向量,一定不能忘记上面的箭头.
②单位向量有无数个,它们大小相等,但是方向不一定相同.
③在平面内,将表示所有单位向量的有向线段的起点平移到
同一点,则它们的终点就会构成一个半径为1的圆.
牛刀小试
问题:“向量就是有向线段,有向线段就是向量”的说法对吗?
定的,而向量是可以自由移动的;向量可以用有向线段表示,但并不能
说向量就是有向线段
3.共线向量与平行向量是一组等价的概念.两个共线向量不一定要在一
条直线上.当然,同一直线上的向量也是平行向量
4.注意两个特殊向量——零向量和单位向量,零向量与任何向量都平行,
单位向量有无穷多个,起点相同的所有单位向量的终点在平面内形成一
个单位圆
得正确选项.
测验
【例2】(2020·全国高一专题练习)某人从A点出发向东走了5米到达B点,然后改
变方向沿东北方向走了10 2 米到达C点,到达C点后又改变方向向西走了10米到达
D点.
(1)作出向量AB,BC,CD ;
(2)求AD 的模.
(1)不一定;(2)不一定;(3)零向量;(4)平行(共线)向量
(速度为10海里/小时).如果只是给出指令:
“由A地航行15 海里”,小船能否到达B地?
• 如果不指明“向东南方向”航行,小船不一定到达B地
• 给出指令:“向东南方向航行”呢?
• 方向和距离缺一不可
新知探究
(1)向量的实际背景与概念
• 物理中我们学习了位移、速度、力等既有大小、又有方向的量,
在物理中被称为“矢量”,
B.②④⑥是数量,①③⑤是向量

2019-2020学年新教材人教A版高中数学必修第二册课件:第六章 6.4.1 平面几何中的向量方法

2019-2020学年新教材人教A版高中数学必修第二册课件:第六章 6.4.1 平面几何中的向量方法
证明:因为 BC =OC -OB ,AE =OE -OA =(OA+OB +OC )-OA=OB +OC , 所以 AE ·BC =(OB +OC )·(OC -OB )=|OC |2-|OB |2. 因为O为△ABC的外心,所以|OC |=|OB |,所以 AE ·BC =0,即AE⊥ BC.
第十一页,共34页。
2
又| AC |2=|a+b|2=a2+2a·b+b2=1+4+2a·b=6, ∴ | AC |= 6 ,即AC= 6 .
第十七页,共34页。
◆利用向量法解决长度问题的方法 (1)基向量法:利用图形特点选择基底,向向量的数量积转化,用 公式|a|2=a2求解; (2)坐标法:建立平面直角坐标系,确定相应向量的坐标,代入公 式,若a=(x,y),则|a|= x2 y2 .
第五页,共34页。
◆用向量方法解决平面几何问题的“三步曲” (1)建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中涉及的几何元 素,将平面几何问题转化为向量问题; (2)通过向量运算,研究几何元素之间的关系,如距离、夹角等问 题; (3)把运算结果“翻译”成几何关系. ◆用向量法解决平面几何问题的两种方法 (1)几何法:选取适当的基底(基底中的向量尽量已知模或夹角), 将题中涉及的向量用基底表示出来,利用向量的运算法则、运算律或 性质计算. (2)坐标法:建立平面直角坐标系,实现向量的坐标化,将几何问 题中的长度、垂直、平行等问题转化为代数运算. 一般地,存在坐标系或易建坐标系的题目适合用坐标法.
1.用向量方法解决平面几何问题的“三步曲” (1)建立平面几何与向量的联系,用 向量 表示问题中涉及 的几何元素,将平面几何问题转化为 向量问题 ; (2)通过 向量运算 ,研究几何元素之间的关系,如距离、 夹角等问题; (3)把运算结果“翻译”成几何关系. 2.向量在物理中的应用 (1)物理问题中常见的向量有力、速度、位移等. (2)向量的加减法运算体现在一些物理量的合成和分解中. (3)动量 mv 是向量的数乘运算. (4)功是力 F 与位移 s 的数量积.

2024新人教A版高中数学第02讲 平面向量的加、减法运算(教师版)-高一数学同步精品讲义

2024新人教A版高中数学第02讲 平面向量的加、减法运算(教师版)-高一数学同步精品讲义

第02讲平面向量的加、减法运算目标导航课程标准课标解读1.理解向量加法的含义,会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作出两个向量的和.2.掌握向量加法的交换律与结合律,并会用它们进行向量运算.3.掌握向量减法的概念.理解两个向量的减法就是转化为向量加法来进行的.4.掌握相反向量.5.掌握向量加、减法的几何意义.通过本节课的学习,要求掌握现面向量的加法与减法的运算法则及相关的运算定律,掌握两种运算的几何意义,会进行平面向量的相关运算,注意两种运算的条件.知识精讲知识点1.向量的加法(1)向量的加法求两个向量和的运算,叫做向量的加法.(2)向量加法的三角形法则如图,已知向量a ,b ,在平面上任取一点A ,作AB = a ,BC = b ,则向量AC叫做a 与的b 和,记作+a b ,即AB BC AC +=+=a b ,上述求两个向量和的作图法则,叫做向量加法的三角形法则.【微点拨】当两个向量共线时,三角形法则同样适用,下图分别表示两个同向共线向量和的情形,及两个异向共线向量和的情形.(3)向量加法的平行四边形法则如图,已知两个不共线的向量a 和b ,作OA = a ,OB =b ,则O 、A 、B 三点不共线,以OA 、OB 为邻边作平行四边形OACB ,则对角线上的向量OC OA OB =+,此种作法称为向量加法的平行四边形法则.【微点拨】若n 个向量顺次首尾相接,则由起始向量的起点指向末向量的终点的向量就是它们的和,即1112233411n n n n n A A A A A A A A A A A A +-+=+++⋅⋅⋅+,如图.(4)和向量的模与原向量之间的关系一般地,我们有+≤+a b a b .当a 与b 共线且同向时,+=+a b a b ;当a 与b 共线且异向时,+=-a b a b ;当a 与b 不共线时,+<+a b a b .(5)向量加法的运算律交换律:+=+a b b a ;结合律:()()++=++a b c a b c .注意:①当a 、b 至少有一个为零向量时,交换律和结合律仍成立;②当a 、b 共线时,交换律和结合律也成立.(6)向量求和的多边形法则由两个向加法的定义可知,两个向量的和仍是一个向量,这样我们就能把三个、四个或任意多个向量相加,现以四个向量为例,如图,已知向量a ,b ,c ,d ,在平面上任选一点O ,作OA = a ,AB = b ,BC = c ,CD = d ,则OD OA AB BC CD =+++=+++a b c d .已知n 个向量,依次把这n 个向量首尾相连,以第一个向量的起点为起点、第n 个向量的终点为终点的向量叫做这n 个向量的和向量.这个法则叫做向量求和的多边形法则.(7)向量加法的实际应用向量的加法在三角形、四边形等平面几何知识,物理知识中都有着广泛的应用,在解决向量与平面几何知识相结合的题目时,要注意数形结合,这也体现了向量作为一种工具在几何学、物理学等知识领域的应用.2.向量的减法(1)相反向量我们把与向量a 长度相等、方向相反的向量,叫做a 的相反向量,记作-a .规定零向量的相反向量仍为零向量,且①()--=a a ;②()()0+-=-+=a a a a ;若a ,b 互为相反向量,则=-a b ,=-b a ,0+=a b .(2)向量减法的定义向量a 加上向量b 的相反向量,叫做a 与b 的差,即()-=+-a b a b ,求两个向量差的运算,叫做向量的减法,向量的减法实质上也是向量的加法.3.向量减法的几何意义(1)非零共线向量a ,b 的差-a b ;①若a ,b 反向,则-a b 与a 同向,且-=+a b a b .②若a ,b 同向,(ⅰ)若>a b ,则-a b 与a 同向,且-=-a b a b ;(ⅱ)若<a b ,则-a b 与a 反向,且-=-a b b a ;(ⅲ)若=a b ,则0-=a b .其几何意义分别如图(1)(2)(3)(4).(2)非零不共线向量a ,b 的差-a b :①如图,在平面内任取一点O ,作OA = a ,OB = b ,则向量BA为所求,即BA OA OB =-=-a b .即把两个向量的起点放在一起,则两个向量的差是以减向量的终点为起点、被减向量的终点为终点的向量.②如图,在平面内任取一点O ,作OA = a ,OB =b ,分别以OA ,OB 为边作平行四边形OACB ,连接BA ,则BA BC CA =+=-a b ,这种作差向量的方法实质上是利用向量减法的定义.4.向量减法的三角形法则和平行四边形法则-a b 从“相反向量”这个角度有两种作法:三角形法则和平行四边形法则.减法的三角形法则的作法:在平面内取一点O ,作OA = a ,OB = b ,则BA =-a b ,即-a b 可以表示从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量(注意:差向量的“箭头”指向被减向量).具体作法如图(1)(a ,b 不共线)和图(2)、(3)(a ,b 共线)所示.减法的平行四边形法则的作法:当a ,b 不共线时.如图(1),在平面内任取一点O ,作OA = a ,OB =-b ,则由向量加法的平行四边形法则可得()OC =+-=- a b a b ,这是向量减法的平行四边形法则.若a ,b 同向共线,如图(2)所示;若a ,b 异向共线.如图(3)所示.5.向量的加法和减法的运算问题关于向量的加法和减法运算问题,一种解法就是依据三角形法则通过作图来解决,另一种解法就是通过表示向量的有向线段的字母符号运算来解决.具体地说,在一个用有向线段表示向量的运算式子中,将式子中的“−”改为“+”只需把表示向量的两个字母的顺序颠倒一下即可.如“AB - ”改为“BA +”.解用几个基本向量表示某向量问题的基本技巧是,第一步:观察各向量位置;第二步:寻找(或作)相应的平行四边形或三角形:第三步:运用法则找关系;第四步:化简结果.【微点拨】向量减法运算是加法的逆运算.在理解相反向量的基础上,结合向量的加法运算掌握向量的减法运算.【即学即练1】在△ABC 中,BC = a ,CA = b ,则AB等于()A .+a bB .--a bC .-a bD .-b a【答案】B【解析】AB CB CA =- =–BC CA -=--a b ,故选B .【即学即练2】如图,在矩形ABCD 中,AO OB AD ++=()A .ABB .ACC .ADD .BD【答案】B【解析】在矩形ABCD 中,AD BC = ,则AO OB AD AO ++= +OB +BC AC =,故选B .【名师点睛】(1)向量加法的多边形法则:n 个向量经过平移,顺次使前一个向量的终点与后一个向量的起点重合,组成组向量折线,这n 个向量的和等于折线起点到终点的向量.这个法则叫做向量加法的多边形法则.多边形法则实质就是三角形法则的连续应用.(2)|a +b |≤|a |+|b |.【即学即练3】向量()()AB MB BO BC OM ++++ 化简后等于()A .BCB .ABC .ACD .AM【答案】C【解析】()()AB MB BO BC OM AB ++++= +BO +OM +MB +BC AO = +OM +MB +BC =AM+MB +BC AB = +BC AC =.故选C .【名师点睛】(1)首先观察各向量字母的排列顺序,再进行恰当的组合,利用向量加法法则求解.(2)此类问题应根据三角形法则或平行四边形形法则,观察是否具备应用法则的条件,若不具备,应改变条件,以便使用法则求解.【即学即练4】在△ABC 中,BC = a ,CA = b ,则AB等于()A .+a bB .--a bC .-a bD .-b a【答案】B【解析】AB CB CA =- =–BC CA -=--a b ,故选B .【即学即练5】下列四式不能化简为PQ的是()A .()AB PA BQ ++B.()()AB PC BA QC ++- C .QC CQ QP+- D .PA AB BQ+- 【答案】D 【分析】由向量加减法法则计算各选项,即可得结论.【详解A 项中,()()AB PA BQ AB BQ AP AQ AP PQ ++=+-=-=;B 项中,()()()()AB PC BA QC AB AB PC CQ PQ ++-=-++= ;C 项中,QC CQ QP QP PQ +-=-=;D 项中,PA AB BQ PB BQ PQ +-=-≠.故选:D.【即学即练6】已知非零向量a 与b方向相反,则下列等式中成立的是()A .a b a b -=-B .a b a b+=- C .a b a b+=- D .a b a b+=+ 【答案】C 【分析】根据方向相反的两个向量的和或差的运算逐一判断.【详解】A.a b -可能等于零,大于零,小于零,0a b a b -=+> ,A 不成立B.a b a b +=-r r r r ,a b a b -=+,B 不成立C.a b a b -=+,C 成立D.a b a b a b +=-≠+,D 不成立.故选:C.【即学即练7】在平行四边形ABCD 中,BC CD BA -+等于()A .BCB .DAC .ABD .AC【答案】A【解析】∵在平行四边形ABCD 中,DC 与BA 是一对相反向量,∴DC BA =-,∴–BC CD BA BC -+= BA +BA BC =,故选A .【名师点睛】注意向量几何意义的应用,利用数形结合的思想解题.能力拓展考法011.向量加法运算及其几何意义(1)平行四边形法则的应用前提:两个向量是从同一点出发的不共线向量.三角形法则应用的前提:两个向量“首尾相接”.(2)当两个向量不共线时,三角形法则和平行四边形法则实质是一样的.三角形法则作出的图形是平行四边形法则作出图形的一半.但当两个向量共线时,平行四边形法则便不再适用.(3)向量加法的三角形法则和平行四边形法则是向量加法的几何意义.【典例1】如图,在正六边形ABCDEF 中,BA CD FB ++等于()A .0B .BEC .AD D .CF【答案】A 【分析】根据相等向量和向量加法运算直接计算即可.【详解】CD AF = ,∴0BA CD FB BA AF FB ++==++ .故选:A.考法022.向量加法的运算律(1)向量的加法与实数加法类似,都满足交换律和结合律.(2)由于向量的加法满足交换律与结合律,因此多个向量的加法运算就可按照任意的次序与任意组合来进行.例如,(a +b )+(c +d )=(b +d )+(a +c ),a +b +c +d +e =[d +(a +c )]+(b +e ).【典例2】化简下列各式:①AB BC CA ++ ;②()AB MB BO OM +++uu u r uuu r uu u r uuu r ;③OA OC BO CO +++;④AB CA BD DC +++.其中结果为0 的个数是()A .1B .2C .3D .4【答案】B 【分析】根据向量的加减运算法则计算,逐一判断①②③④的正确性,即可得正确答案.【详解】对于①:0AB BC CA AC CA ++=+=,对于②:()AB MB BO OM AB BO OM MB AM MB AB +++=+++=+=uu u r uuu r uu u r uuu r uu u r uu u r uuu r uuu r uuu r uuu r uu u r,对于③:()()0OA OC BO CO BO OA CO OC BA BA +++=+++=+=,对于④:()()0AB CA BD DC AB BD DC CA AD DA +++=+++=+= ,所以结果为0的个数是2,故选:B考法033.向量的減法运算及其几何意义(1)向量减法的实质是向量加法的逆运算.利用相反向量的定义可以把减法化为加法.在用三角形法则作向量减法时,只要记住“连接两向量的终点,箭头指向被减向量”即可.(2)以向量AB =a ,A 6=b 为邻边作平行四边形ABCD ,则两条对角线的向量为AC =a +b ,BD =b –a ,DB =a –b ,这一结论在以后应用非常广泛,应该牢记并加强理解.【典例3】已知85AB AC == ,,则BC的取值范围是__________.【答案】[3,13]【解析】∵–BC AC AB = ,∴BC =|–AC AB|,∴AB AC - ≤BC ≤AB AC + ,即3≤BC≤13.故答案为:[3,13].【名师点睛】本题考查的知识点是两向量的和或差的模的最值,两向量反向,差的模有最大值,两向量反向,差的模有最小值是解答本题的关键.|a –b |、|a |–|b |、|a |+|b |三者的大小关系(1)当向量a 与b 共线时,当两非零向量a 与b 同向时,|a –b |=|a |–|b |<|a |+|b |;当两非零向量a 与b 反向时,|a –b |=|a |+|b |>|a |–|b |;当a 与b 中至少有一个为零向量时,|a –b |=|a |–|b |=|a |+|b |.(2)当两非零向量a 与b 不共线时,如在△ABC 中,AC =a ,AB =b ,则BC =AC –AB =a –b ,根据三角形中任意两边之差总小于第三边,任意两边之和总大于第三边,可得||a |–|b ||<|a –b |<|a |+|b |.综合可知,对任意的向量a 与b 都有||a |–|b ||≤|a –b |≤|a |+|b |.只当a 与b 同向或a 与b 中至少有一个为零向量时||a |–|b ||≤|a –b |中的等号成立;当a 与b 反向或a 与b 中至少有一个为零向量时|a –b |≤|a |+|b |中的等号成立.考法044.向量加、减法的综合应用向量的几何意义及加、减法运算常用来解决平面几何问题,解题时要将所给向量式中各向量进行移项或重新组合,并灵活运用相反向量,把向量相等、平行、模的关系进行转化.【典例4】化简(1)()()AB CD AC BD --- (2)OA OD AD -+ ;(3)AB DA + +BD BC CA --.【答案】(1)0 ;(2)0 ;(3)AB.【分析】(1)方法一:将CD - 转化为DC,将AC - 转化为CA ,利用向量的加法法则,即可求得答案.方法二:利用向量的减法法则,化简整理,即可得答案.(2)利用向量的减法法则,化简整理,即可得答案.(3)根据向量的线性运算法则,即可求得答案.【详解】(1)方法一(统一成加法):()()AB CD AC BD AB AC CD BD ---=--+AB BD DC CA AD DA =+++=+= 方法二(利用OA OB BA -=uu r uu u r uu r):()()AB CD AC BD AB CD AC BD ---=--+ 0AB AC CD BD CB CD BD DB BD =--+=-+=+= (2)0OA OD AD DA AD -+=+=uu r uuu r uuu r uu u r uuu r r .(3)AB DA BD BC CA AB DA AC BD BC ++--=+++- AB DC CD AB=++= 【典例5】如图,M 、N 在线段BC 上,且BM CN =,试探求AB AC + 与AM AN +的关系,并证明之.【答案】相等,证明见解析【分析】求AB AC + 与AM AN +的关系为相等,利用向量加法的三角形法则即可证明.【详解】A A M C ANB A =++ 证明:由向量加法三角形法则知:,AB AM MB AC AN NC =+=+,所以AB AC AM MB AN NC +=+++ ,因为BM CN =,所以MB NC =- ,所以AB AC AM MB AN NC AM AN NC NC AM AN +=+++=++-=+ 【点睛】本题主要考查了向量的加法法则,相反向量,属于中档题.【典例6】如图所示,已知在矩形ABCD 中,3AD = ,8AB = .设,,AB a BC b BD c ===,求a b c -- .【答案】87a b c --=r r r【分析】延长直线AB ,使得直线AB 上一点B '满足AB BB '=,同理,延长直线AD ,使得直线AD 上一点D ¢满足AD DD '=,画出图形,则''a b c D B --=,进而求解即可【详解】延长直线AB ,使得直线AB 上一点B '满足AB BB '=,同理,延长直线AD ,使得直线AD 上一点D ¢满足AD DD '=,如图所示,则'b c BD += ,()'''''a b c a b c a BD BB BD D B --=-+=-=-=,则()()22''2432887a b c D B --==⨯+⨯=【点睛】本题考查向量的加法,减法在几何中的应用,考查向量的模.分层提分题组A 基础过关练1.向量AB CB BD BE DC ++++化简后等于()A .A EB .AC C .ADD .AB【答案】A 【分析】根据向量的线性运算求解即可.【详解】由AB CB BD BE DC AC CB BE AE →→++++=++= ,故选:A2.如图,向量AB a =,AC b = ,CD c = ,则向量BD 可以表示为()A .a b c ++B .a b c-+ C .b a c-+D .b a c-- 【答案】C 【分析】利用向量加法和减法的三角形法则计算即可.【详解】AD AB AC CD AB BD b a c=-=-+-=+ 故选:C.3..设D 为∆ABC 中BC 边上的中点,且O 为AD 边上靠近点A 的三等分点,则()A.5166BO AB AC=-+B.1162BO AB AC=-C.5166BO AB AC=- D.1162BO AB AC=-+【答案】A【解析】本题考点是平面向量的加减法运算法则,由题意可知在三角形BAO 中:()11513666BO AO AB AD AB AB AC AB AB AC =-=-=+-=-+,故选A.4.设D ,E ,F 分别为△ABC 的三边BC ,CA ,AB 的中点,则EB FC +=().A .ADB .12ADC .BCD .12BC【答案】A【解析】本题的考点是平面向量的加法、减法法则,线段中点的性质,考查转化能力,用向量法表示三角形中线的性质要引起重视,由题意可知D ,E ,F 分别是BC ,CA ,AB 的中点,所以有以下结论:()()1122EB FC BA BC CA CB+=-+-+()()1112222BA CA AB AC AD AD =-+=+==,故选A.5.已知点G 是三角形ABC 所在平面内一点,满足0GA GB GC ++=,则G 点是三角形ABC的()A .垂心B .内心C .外心D .重心【答案】D 【分析】由题易得GA GB CG +=,以GA 、GB 为邻边作平行四边形GADB ,连接GD ,交AB 于点O ,进而可得CG GD =,进而可得13GO CO = ,所以CG 所在的直线CO 是AB 边上的中线,同理可证AG 所在的直线是BC 边上的中线,BG 所在的直线是AC 边上的中线,最后得出答案即可.【详解】因为0GA GB GC ++= ,所以GA GB GC CG +=-= ,以GA 、GB 为邻边作平行四边形GADB ,连接GD ,交AB 于点O ,如图所示:则CG GD =,所以13GO CO = ,点O 是AB 边的中点,所以CG 所在的直线CO 是AB 边上的中线,同理可证AG 所在的直线是BC 边上的中线,BG 所在的直线是AC 边上的中线,所以G 点是三角形ABC 的重心.故选:D .6.如图,D ,E ,F 分别为ABC 的边AB ,BC ,CA 的中点,则()A .0AD BE CF ++= B .0++= BD CF DF C .0++= AD CE CF D .0++= BD BE FC 【答案】A 【分析】根据平面向量的线性运算法则计算可得;【详解】解:D Q ,E ,F 分别是ABC 的边AB ,BC ,CA 的中点,∴12AD AB = ,12BE BC = ,12CF CA =,则1111()02222AD BE CF CA AB CA CA AB CA ++=++=++=,故A 正确;()1111122222BD CF DF BA CA BA CA BA BC BC ++=++=++=,故B 错误;()1111122222AD CE CF AB CB CA CA AB CB CB ++=++=++=,故C 错误;()1111122222BD BE FC BA BC AC BA AC BC BC ++=++=++=,故D 错误;故选:A .7.在ABC 中,点P 满足2AP AB AC =-,则()A .点P 不在直线BC 上B .点P 在CB 的延长线上C .点P 在线段BC 上D .点P 在BC 的延长线上【答案】B 【分析】由已知条件可得BP CB = ,从而可得BP 与CB共线,进而可得结论【详解】因为2AP AB AC =-,得AP AB AB AC =-- ,所以BP CB = ,所以,,B P C 三点共线,且点P 在CB 的延长线上,故选:B8.五角星是指有五只尖角、并以五条直线画成的星星图形,有许多国家的国旗设计都包含五角星,如中华人民共和国国旗.如图在正五角星中,每个角的角尖为36°,则下列说法正确的是()A .0CH ID += B .AB FE∥ C .2AF FG HG+= D .AF AB AJ=+ 【答案】D 【分析】利用相反向量可判断A ;利用向量共线可判断B ,利用向量的加法可判断C 、D.【详解】A ,由图可知CH 与ID 相交,所以CH 与ID不是相反向量,故A 错误;B ,AB 与DE 共线,所以DE 与FE 不共线,所以AB 与FE不共线,故B 错误;C ,2AF FG AG HG +=≠,故C 错误;D ,连接,BF JF ,由五角星的性质可得ABJF 为平行四边形,根据平行四边形法则可得AF AB AJ =+,故D 正确.故选:D9.已知A ,B ,C 为三个不共线的点,P 为△ABC 所在平面内一点,若PA PB PC AB +=+,则下列结论正确的是()A .点P 在△ABC 内部B .点P 在△ABC 外部C .点P 在直线AB 上D .点P 在直线AC 上【答案】D 【分析】由向量的运算可得CA AP =,进而可得解.【详解】∵PA PB PC AB +=+ ,∴PB PC AB PA -=- ,∴CB AB AP CB AB AP =+-= ,,即CA AP = .故点P 在边AC 所在的直线上.故选:D.10.平面上有三点A ,B ,C ,设m AB BC =+ ,n AB BC =-,若,m n 的长度恰好相等,则有()A .A ,B ,C 三点必在同一条直线上B . ABC 必为等腰三角形,且∠B 为顶角C . ABC 必为直角三角形,且∠B=90°D . ABC 必为等腰直角三角形【答案】C【分析】根据,m n 的长度相等,由|AC |=|BD|得到ABCD 是矩形判断.【详解】如图:因为,m n的长度相等,所以|AB BC + |=|AB BC - |,即|AC |=|BD |,所以ABCD 是矩形,故 ABC 是直角三角形,且∠B=90°.故选:C11.在平行四边形ABCD 中,设M 为线段BC 的中点,N 为线段AB 上靠近A 的三等分点,AB a = ,AD b = ,则向量NM =()A .1132a b+B .2132a b+C .1132a b-D .2132a b-【答案】B【分析】根据题意作出图形,将AM 用a 、b的表达式加以表示,再利用平面向量的减法法则可得出结果.【详解】解:由题意作出图形:在平行四边形ABCD 中, M 为BC 的中点,则12AM AB BM a b =+=+又 N 为线段AB 上靠近A 的三等分点,则1133AN AB ==11212332NM AM AN a b a a b∴=-=+-=+故选:B12.若O 是平面上的定点,A ,B ,C 是平面上不共线的三点,且满足()OP OC CB CAλ=++(R λ∈),则P 点的轨迹一定过ABC 的()A .外心B .内心C .重心D .垂心【答案】C【分析】由()OP OC CB CA λ=++ (R λ∈),得到()CP CB CA λ=+ ,再根据CB CA +经过在ABC 的重心判断.【详解】因为()OP OC CB CA λ=++(R λ∈),所以()CP CB CA λ=+,所以CB CA +在ABC 的边AB 上的中线所在直线上,则()CB CA λ+ 在ABC 的中线所在直线上,所以P 点的轨迹一定过ABC 的重心,故选:C13.下列命题中正确的是()A .如果非零向量a 与b 的方向相同或相反,那么a b + 的方向必与a ,b之一的方向相同B .在ABC 中,必有0AB BC CA ++=C .若0AB BC CA ++=,则A ,B ,C 为一个三角形的三个顶点D .若a ,b均为非零向量,则||a b + 与||||a b + 一定相等【答案】B 【分析】根据向量的线性运算法则,逐一分析各个选项,即可得答案.【详解】对于A :当a 与b 为相反向量时,0a b +=,方向任意,故A 错误;对于B :在ABC 中,0AB BC CA ++=,故B 正确;对于C :当A 、B 、C 三点共线时,满足0AB BC CA ++=,但不能构成三角形,故C 错误;对于D :若a ,b 均为非零向量,则a b a b +≤+ ,当且仅当a 与b同向时等号成立,故D错误.故选:B14.如右图,D ,E ,P 分别是ABC 的边AB ,BC ,CA 的中点,则()A .0AD BE CF ++= B .0BD CF DF -+=uu u r uu u r uuu r r C .0AD CE CF +-=uuu r uur uu u r r D .0BD BE FC --= 【答案】A 【分析】根据向量加法和减法的运算法则结合图像逐一运算即可得出答案.【详解】解:0AD BE CF DB BE ED DE ED ++=++=+=,故A 正确;BD CF DF BD FC DF BC -+=++=,故B 错误;AD CE CF AD FE AD DB AB +-=+=+=,故C 错误;2BD BE FC ED FC ED DE ED --=-=-=,故D 错误.故选:A.15.如图,在ABC 中,3BC BD →→=,23AE AD →→=,则CE →=()A .4599AB AC→→+B .4799AB AC→→-C .4133AB AC→→-D .4799AB AC→→-+【答案】B 【分析】利用向量定义,22()33CE AE AC AD AC AB BD AC →→→→→→→→=-=-=+-,最后化简为,AB AC →→来表示向量即可.【详解】22()33CE AE AC AD AC AB BD AC→→→→→→→→=-=-=+-2122()()3339AB BC AC AB AC AB AC →→→→→→→=+-=+--4799AB AC →→=-故选:B题组B 能力提升练1.在等腰梯形ABCD 中,//AB DC ,2AB DC =,E 为BC 的中点,则()A .3142AE AB AD→→→=+B .3122AE AB AD→→→=+C .1142AE AB AD →→→=+D .3144AE AB AD →→→=+【答案】A 【分析】作出示意图,利用数形结合,在梯形ABCD 中,利用三角形法则即可求解.【详解】如图所示:在三角形ABE 中,12AE AB BE AB BC→→→→→=+=+12AB BA AD DC →→→→⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭1122AB AB AD AB →→→→⎛⎫=+-++ ⎪⎝⎭1122AB AB AD →→→⎛⎫ ⎪=+-+ ⎪⎝⎭3142AB AD →→=+.故选:A.2.已知O 是三角形ABC 内部的一点,230OA OB OC ++=,则OAC 的面积与OAB 的面积之比是()A .32B .23C .2D .1【答案】B 【分析】取D 、E 分别是BC 、AC 中点,根据向量的加法运算以及向量共线可得2OE OD =,再由三角形的相似比即可求解.【详解】如下图所示,D 、E 分别是BC 、AC 中点,由230OA OB OC ++=得()2OA OC OB OC +=-+ 即2OE OD =- ,所以2OE OD =,由COE AOE S S = ,COD BOD S S =△△,设1AOC S S = ,2BOC S S = ,则12COE AOE S S S ==,22COD BOD SS S == ,由三角形相似比可得1212122322AOB S S S S S +=++ ,解得12AOB S S S += ,因为:2:1AOE BOD S S = ,所以12:2:1S S =,即122S S =,所以112AOB S S S += ,所以123AOB S S = ,即OAC 的面积与OAB 的面积之比是23故选:B.3.已知平面向量a ,b ,c满足222a c a b b c ==-=-= ,则b 的取值范围为()A .[]1,3B .7⎡⎣C .[]2,3D .7⎡⎣【答案】C 【分析】由复数的几何意义画出简图,数形结合可得结果.【详解】令a OA =,由2a = 知点A 在以O 为圆心,2为半径的圆上;令2a OD =,由2a = 知点D 在以O 为圆心,4为半径的圆上;令c OC =,由2c = 知点C 在以O 为圆心,2为半径的圆上;令b OB =,由22a b -= 知点B 在以D 为圆心,2为半径的圆上,由1b c -= 知点B 也在以C为圆心,1为半径的圆上,所以点B 在以O 为圆心,内径为2,外径为3的圆环上,如图阴影部分,从而[]2,3b ∈.故选:C.4.在平行四边形ABCD 中,设CB a = ,CD b =,E 为AD 的靠近D 的三等分点,CE 与BD交于F ,则AF =()A .3144a b--B .3144a b-+C .1344a b--D .1344a b-【答案】A 【分析】找到AD 、BC 上的三等分点,则////AK GH EC ,结合图形易得4DBDF =,由AF AD DF =+ 即可知正确选项.【详解】如图,在AD 上取G 点,使得AG GE ED ==,在BC 上由左到右取K ,H ,使得BK KH HC ==,连接AK ,GH ,则////AK GH EC ,∵//DE BC 且13DE BC =,∴由相似比可知:4DBDF =,∴()131444AF AD DF a a b a b =+=-+-=-- .故选:A5.在ABC 中,D 、E 、F 分别是边BC 、CA 、AB 的中点,AD 、BE 、CF 交于点G ,则:①1122EF CA BC =- ;②1122BE AB BC =-+ ;③AD BE FC += ;④0GA GB GC ++= .上述结论中,正确的是()A .①②B .②③C .②③④D .①③④【答案】C 【分析】作出图形,利用平面向量的加法法则可判断①②③④的正误.【详解】如下图所示:对于①,F 、E 分别为AB 、AC 的中点,111222FE BC CA BC ∴=≠-,①错误;对于②,以BA 、BC 为邻边作平行四边形ABCO ,由平面向量加法的平行四边形法则可得2BE BO BA BC AB BC ==+=-+,1122BE AB BC ∴=-+,②正确;对于③,由②同理可得2AD AB AC =+uuu r uu u r uuu r,1122AD AB AC ∴=+ ,同理可得1122CF CA CB =+ ,()102AD BE CF AB AC BA BC CA CB ∴++=+++++=,AD BE CF FC ∴+=-=,③正确;对于④,易知点G 为ABC 的重心,所以,23GA AD =- ,23GB BE =- ,23GC CF =-,因此,()203GA GB GC AD BE CF ++=-++=,④正确.故选:C.【点睛】本题考查平面向量加法运算的相关判断,考查平面向量加法法则的应用,考查计算能力,属于中等题.6.八卦是中国文化中的哲学概念,如图1是八卦模型图,其平面图形记为图2中的正八边形ABCDEFGH ,其中1OA =,则给出下列结论:①0BF HF HD -+= ;②2OA OC OF +=- ;③AE FC GE AB +-=.其中正确的结论为()A .①②B .①③C .②③D .①②③【答案】C 【分析】根据平面向量的线性运算逐项进行化简计算,由此确定出正确选项.【详解】对于①:因为BF HF HD BF FH HD BH HD BD -+=++=+=,故①错误;对于②:因为3602908AOC ︒∠=⨯=︒,则以,OA OC 为邻边的平行四边形为正方形,又因为OB 平分AOC ∠,所以22OA OC +=-,故②正确;对于③:因为AE FC GE AE FC G EG A FC +-=++=+ ,且FC GB =,所以AE FC GE AG GB AB +-=+=,故③正确,故选:C.【点睛】关键点点睛:解答本题的关键利用合适的转化对向量的减法运算进行化简,由此验证关于向量的等式是否正确.7.ABC 中,AD DC =,点M 在BD 上,且满足37AM AB t AC =+ ,则实数t 的值为()A .67B .47C .27D .59【答案】C 【分析】由题意,可设DM k DB =,结合条件整理可得11(1)22AM AC DM k AC k AB =+=-+ ,得到关于k 与t 的方程组,解出t 即可.【详解】如图,因为AD DC =,所以12AD AC= 则12AM AD DM AC DM =+=+ ,因为M 在BD 上,不妨设1()()2DM k DB k AB AD k AB AC ==-=- ,则1111()(1)2222AM AC DM AC k AB AC k AC k AB =+=+-=-+ ,因为37AM AB t AC =+,所以371(1)2⎧⎪⎪⎨⎪⎩=-=⎪k k t ,解得27t =,故选:C【点睛】本题主要考查了平面向量的线性运算的应用及平面向量基本定理的应用,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.8.(多选题)下列各式结果为零向量的有()A .AB CA BC→→→++B .AB AC BD CD+++ C .OA OD AD-+ D .NQ QP MN MP++- 【答案】ACD 【分析】根据平面向量的线性运算逐个求解即可【详解】对A ,0AB CA BC CA AB BC CB BC ++=++=+=,故A 正确;对B ,()()2AB AC BD CD AB BD AC CD AD AD AD +++=+++=+=,故B 错误;对C ,0OA OD AD DA AD -+=+=,故C 正确;对D ,0NQ QP MN MP NP PN ++-=+=,故D 正确;故选:ACD 【点睛】本题主要考查了平面向量的线性运算9.(多选题)在平行四边形ABCD 中,点E ,F 分别是边BC 和DC 的中点,P 是DE 与BF 的交点,则有()A .12AE AB AD=+uu u r uu u r uuu rB .1122AF AB AD=+ C .2233AP AB AD=+ D .1122CP CD CB=+【答案】AC 【分析】对A ,B ,由向量的加法法则即可判断;对C ,D ,由向量的加法法则以及三角形重心的性质即可判断.【详解】解:如图所示:对A ,12AE AB BE AB BC =+=+,又BC AD = ,即12AE AB AD =+uu u r uu u r uuu r,故A 正确;对B ,1122AF AD DC AB AD =+=+,故B 错误;对C ,设O 为AC 与BD 的交点,由题意可得:P 是CBD 的重心,故2CP PO = ,222333AP AO OP AC AB AD =+==+,故C 正确;对D ,221111332233CP CO CB CD CB CD ⎛⎫==⨯+=+ ⎪⎝⎭,故D 错误.故选:AC.10.(多选题)设P 是OAB 内部(不含边界)的一点,以下可能成立的是()A .2155OP OA OB =+B .2455OP OA OB =+C .2155OP OA AB=+ D .2455OP OA AB=+【答案】AC 【分析】作出图示,根据向量的平行四边形法则逐项进行判断即可.【详解】对于A :如下图所示,可知P 在OAB 内部,故成立;对于B :如下图所示,可知P 在OAB 外部,故不成立;对于C :因为21211115555555OP OA AB OA AO OB OA OB =+=++=+,如下图所示,可知P 在OAB 内部,故成立;对于D :因为24244245555555OP OA AB OA AO OB OA OB =+=++=-+ ,如下图所示,可知P 在OAB 外部,故不成立;故选:AC.【点睛】关键点点睛:解答本题的关键是采用图示结合向量的平行四边形法则进行说明,其中CD 选项中的向量关系式要根据AB AO OB =+进行化简.11.(多选题)设点D 是ABC 所在平面内一点,则下列说法正确的有()A .若()12AD AB AC =+,则点D 是边BC 的中点B .若()13AD AB AC =+,则点D 是ABC 的重心C .若2AD AB AC =-,则点D 在边BC 的延长线上D .若AD xAB y AC =+ ,且12x y +=,则BCD △是ABC 面积的一半【答案】ABD 【分析】对A ,根据中点的性质即可判断;对B ,根据重心的性质即可判断;对C ,根据向量的运算得到BD CB =,即可判断;对D ,根据三点共线的性质即可求解.【详解】解:对A ,()12AD AB AC =+,即11112222AD AB AC AD -=-,即BD DC = ,即点D 是边BC 的中点,故A 正确;对B ,设BC 的中点为M ,()1122333AD AB AC AM AM =+=⨯= ,即点D 是ABC 的重心,故B 正确;对C ,2AD AB AC =-,即AD AB AB AC -=- ,即BD CB = ,即点D 在边CB 的延长线上,故C 错误;对D ,AD xAB y AC =+,且12x y +=,故222AD xAB y AC =+,且221x y +=,设2AM AD =,则22AM xAB y AC =+,且221x y +=,故,,M B C 三点共线,且2AM AD =,即BCD △是ABC 面积的一半,故D 正确.故选:ABD.12.对于菱形ABCD ,给出下列各式,其中结论正确的为()A .AB BC =B .AB BC = C .AB CD AD BC-=+D .AD CD CD CB+=- 【答案】BCD 【分析】由向量的加法减法法则及菱形的几何性质即可求解.【详解】菱形中向量AB 与BC的方向是不同的,但它们的模是相等的,所以B 结论正确,A 结论错误;因为2AB CD AB DC AB -=+= ,2AD BC BC +=,且AB BC = ,所以AB CD AD BC -=+ ,即C 结论正确;因为AD CD BC CD BD +=+= ,||||CD CB CD BC BD -=+=,所以D 结论正确.故选:BCD【点睛】本题主要考查了向量加法、减法的运算,菱形的性质,属于中档题.13..四边形ABCD 中,若BD BC BA =+,则四边形ABCD 的形状为_____.【答案】平行四边形【分析】由平面向量的加法法则直接可得答案【详解】解:因为四边形ABCD 中,BD BC BA =+,所以BC CD BC BA +=+ ,所以CD BA = ,所以CD BA = ,且CD ‖BA ,所以四边形ABCD 为平行四边形,故答案为:平行四边形。

高二数学 人教A版讲义:空间向量基本定理

高二数学 人教A版讲义:空间向量基本定理

x
z
0, 2
y
z
0
,即
x
y
z
0 ,与
x,
y,
z
不全为
0
矛盾,因此,
a, 2b,b
c
不共面,
它们能构成一个基底;
对于
D,因
c
1
(a
c)
1
(a
c)
,则
c,
a
c,
a
c
三个向量共面,它们不能构成一个基底,
2
2
所以不能构成一个基底的一组向量是 ABD.
故选:ABD
3.(2021·全国·高二课时练习)已知 M,A,B,C 四点互不重合且任意三点不共线,则下列式子中能使向量
c
不能构成基底;
选项
D:因为
3a
b
c
2
a
b
c
a
b
c
,所以
a
b
c
,a
b
c
,
3a
b
c
不能构成基底.
故选:A.
【题型专练】
1.(2022·湖南·高二课时练习)已知 a , b , c 是不共面的三个向量,下列能构成一组基的是( )
A. 2a , a b , a 2b
()
A.
a
b,
b
c,
c
a
C.
a
b,
c,
a
b
c
B.
a
b,
b
c,
c
a
D.
a
b
c
,
a
b
c ,
3a
b
Hale Waihona Puke c【答案】A【分析】由空间向量基底的定义即可得出答案.

人教高中数学必修二A版《平面向量的应用》平面向量及其应用教学说课复习课件(平面几何中的向量方法)

人教高中数学必修二A版《平面向量的应用》平面向量及其应用教学说课复习课件(平面几何中的向量方法)

必修第二册·人教数学A版
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探究二 平面向量在几何求值中的应用
[例 2] (1)已知边长为 2 的正六边形 ABCDEF,连接 BE,CE,
点 G 是线段 BE 上靠近 B 的四等分点,连接 GF,则G→F·C→E( )
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的合力的大小为( )
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A.5 课件
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N
B.5 2 N
C.5 3 N
D.5 6 N
解析:两个力的合力的大小为|F1+F2|= F21+F22+2F1·F2=5 6(N). 答案:D
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①选取基底;②用基底表示相关向量;③利用向量的线性运算或数量积找相应关系;
④把几何问题向量化.
(2)向量的坐标运算法的四个步骤:
基底表示,利用向量的运算法则、运算律或性质计算.
②坐标法:建立平面直角坐标系,实现向量的坐标化,将几何问题中的长度、垂直、
平行、夹角等问题转化为代数运算.

2025版新教材高中数学第1章空间向量及其线性运算课件新人教A版选择性必修第一册

2025版新教材高中数学第1章空间向量及其线性运算课件新人教A版选择性必修第一册

②若空间向量a,b满足|a|=|b|,则a=±b; ③在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,必有A→C=A→1C1;
④若空间向量m,n,p满足m=n,n=p,则m=p; ⑤在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,模与A→A1的模相等的向量一共有 4 个.
其中不正确的命题的个数是( C )
A.1
B.2
(2)方法一(转化为加法运算) (A→B-C→D)-(A→C-B→D)=A→B-C→D-A→C+B→D =A→B+D→C+C→A+B→D =A→B+B→D+D→C+C→A=0. 方法二(转化为减法运算) (A→B-C→D)-(A→C-B→D) =(A→B-A→C)+(B→D-C→D) =C→B+B→C=0.
提示:(1)三条直线不一定在同一平面内. (2)当M→A与M→B共线,M→P与M→A不共线时,x,y 不存在. (3)由 2a-b=2·a+(-1)·b 得 2a-b 与 a,b 共面.
关键能力•攻重难
题型探究
题型一
空间向量及相关概念的理解
1.给出下列命题: ①两个空间向量相等,则它们起点相同,终点也相同;
C.3
D.4
[解析] 当两向量的起点相同,终点也相同时,这两个向量必相等; 但当两个向量相等时,它们的起点和终点均不一定相同,故①错;模相
等的两个向量不一定为相等向量或相反向量,故②错;根据正方体 ABCD -A1B1C1D1 中,向量A→C与A→1C1的方向相同,模也相等,必有A→C=A→1C1, 故③正确;命题④显然正确;在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,与A→A1的模一定 相等的向量是A→1A,B→B1,B→1B,C→C1,C→1C,一共有 5 个.故⑤错.
[规律方法] 证明空间三点共线的三种思路 对于空间三点 P、A、B 可通过证明下列结论来证明三点共线. (1)存在实数 λ,使P→A=λP→B成立. (2)对空间任一点 O,有O→P=O→A+tA→B(t∈R). (3)对空间任一点 O,有O→P=xO→A+yO→B(x+y=1).

平面几何中的向量方法 高一数学课件(人教A版2019必修第二册)

平面几何中的向量方法 高一数学课件(人教A版2019必修第二册)

向量具有“几何”与“代数”的双重身份
1、我们学了向量的线性运算与数量积运算,你能说出它们的 几何意义吗?这与平面几何哪些内容可以相互联系与转化?
B A
O D
A
B C
O B
A B
)
O
A
数量积性质?
求模 求夹角 证垂直
2、向量的代数身份是通过什么来实现的?坐标表示
当向量与平面坐标系结合以后,向量的运算就可以完全转化为“代数” 的计算
又有公共点 P,则 A,C, P 三点共线.所以 B 正确.
故选:B
5.(多选)点 P 是ABC 所在平面内一点,满足
PB PC PB PC 2PA 0 ,则ABC 的形状不可能是
A.钝角三角形
B.直角三角形
C.等腰三角形
D.等边三角形
【详解】∵P 是 ABC 所在平面内一点,且
,∴ , | PB PC | | PB PC 2PA | 0
例 7.如图,已知正方形 ABCD 的边长为 1, 点 E 是 AB 边上的动点,求:
(1) DE CB 的值;(2) DE DC 的最大值.
(2)因为 DE 1, x, DC 0,1 ,所以 DE CB 1 0 x 1 x , 因为0 x 1, 所以 DE DC 的最大值是 1.
例 8.如图,在
(1)当 a , b 满足什么条件时,a b a b ? (2)当 a ,b 满足什么条件时, a b a b ?
(2)由(1)可得, a b AC, a b BD a b a b ,即 AC BD ,此时四边形 ABCD 为矩 形从而可得 AB AD a b 时, a b a b .
(5)、两向量垂直的充要条件:向量 a b a •b 0

高中数学竞赛讲义 立体图形、空间向量(练习题) 新人教A版

高中数学竞赛讲义 立体图形、空间向量(练习题) 新人教A版

ABCDE FCDFABOCD EOA§19立体图形,空间向量课后练习1.甲烷分子由一个碳原子和四个氢原子组成,其空间构型为一正四面体,碳原子位于该正四 面体的中心,四个氢原子分别位于该正四面体的四个顶点上.若将碳原子和氢原子均视为一 个点(体积忽略不计),且已知碳原子与每个氢原子间的距离都为a ,则以四个氢原子为顶点 的这个正四面体的体积为( )A,3827aB,327a C,313a D,389a 2.夹在两个平行平面之间的球,圆柱,圆锥在这两个平面上的射影都是圆,则它们的体积之比为( )A,3:2:1 B,2:3:1 C,3:6:2 D,6:8:33.设二面角a αβ--的大小是060,P 是二面角内的一点,P 点到,αβ的距离分别为1cm, 2cm,则点P 到棱a 的距离是( )A,3cmB,3cm C,23cmD,3cm 4.如图,E,F 分别是正三棱锥A -BCD 的棱AB,BC的中点,且DE ⊥EF.若BC=a ,则此正三棱锥的体积是( )A,324aB,324a335.棱长为的正八面体的外接球的体积是( )A,6πB,27C,3D,3 6.若线段AB 的两端点到平面α的距离都等于2,则线段AB 所在的直线和平面α的位置关系是 .7.若异面直线,a b 所原角为060,AB 是公垂线,E,F 分别是异面直线,a b 上到A,B 距离为 2和平共处的两点,当3EF =时,线段AB 的长为 .8.如图(1),在直四棱柱1111A B C D ABCD -中,当底面四边形ABCD 满足条件 时,有1A C ⊥1B 1D (注:填上你认为正确的一种条件即可,不必考虑所有可能的情形)9.如图(2),是一个正方体的展开图,在原正方体中,有下列命题:①AB 与EF 所连直线平行; ②AB 与CD 所在直线异面; ③MN 与BF 所在直线成060; ④MN 与CD 所在直线互相垂直.其中正确命题的序号为 .(将所有正确的都写出)10.如图,在ABC ∆中,AB=AC=13,BC=10,DE//BC 分别交AB,AC 于D,E.将ADE ∆沿 DE 折起来使得A 到1A ,且1A DE B --为060的二面角,求1A 到直线BC 的最小距离.11.如图,已知矩形ABCD 中,AB=1,BC=a (0)a >,PA ⊥平面ABCD,且PA=1. A BCDA BC D图(1)ABENM 图(2)A B CDP Q(1)问BC 边上是否存在点Q 使得PQ ⊥QD?并说明理由;(2)若边上有且只有一个点Q,使得PQ ⊥QD,求这时二面角Q PD A --的正切.课后习题答案1.过顶点A,V 与高作一截面交BC 于点M,点O 为正四面体的中心,1O 为底面ABC 的中心, 设正四面体VABC 的棱长为m ,则AM=2m =VM,1O M=136AM m =, 1233O A AM m ==,13VO m ==,得113OO VO VO a =-=-在1Rt AOO ∆中,22211AO OO AO =+,即222()()33a m a m =-+,得3m a =. 则1VO =43a ,有203111(sin 60)32V ABC V m VO -=⋅⋅⋅⋅=.选B. 温馨提示:正四面体外接球的半径VO :内切球的半径1OO =1:3:13a a =.2. 32212341::():(2):(2)2:3:133V V V R R R R R πππ=⋅⋅⋅=,选B.3.设PA ⊥棱a 于点A,PM ⊥平面α于点M,PN ⊥平面β于点N,PA=t ,PAM θ∠=,则sin 1sin(60)2t t αα=⎧⎨-=⎩,5sin αα=,有sin α=或(舍去),所以1sin 3t α==cm ,选B. 4.由DE ⊥EF,EF//AC,有DE ⊥AC,又AC ⊥BD,DE BD=D,得AC ⊥平面ABD.由对称性得090BAC CAD BAD ∠=∠=∠=,于是2AB AC AD a ===. 311()3222224B ACD V a a -=⋅⋅⋅⋅=,选B.5.可由两个相同的四棱锥底面重合而成,有2r =得r =外接球的体积3433V r π==,选D. 6.当2AB <时,AB//α;当2AB =时,AB//α或AB ⊥α;当2AB >时,AB//α或与α斜交. 7.由EF EA AB BF =++,得22222cos EFEA AB BF EA BF θ=+++⋅⋅(1)当060θ=时,有219412212AB =+++⋅⋅⋅,得2AB =(2)当0120θ=时,有219412212AB=++-⋅⋅⋅,得6AB =8. AC ⊥BD.(或ABCD 是正方形或菱形等)9.将展开的平面图形还原为正方体NACF EMBD -,可得只②,④正确.10.解:设ABC ∆的高AO 交DE 于点1O ,令1AO x =, 由12=,有112OO x =-,在11A OO ∆中,01160A O O ∠=,有222011111112cos 60A O A O O O A O O O =+-⋅⋅⋅得1AO =当6x =时,1A 到直线BC 的最小距离为6.11.解:(1)(如图)以A 为原点建立空间直角坐标系,设BQ x =,则 Q (1,,0)x ,P(0,0,1),D (0,,0)a 得(1,,1)PQ x =-,(1,,0)QD a x =--由PQ QD ⊥,有(1,,1)(1,,0)0x a x -⋅--=,得210x ax -+= ①若方程①有解,必为正数解,且小于a .由2()40a ∆=--≥,0a >,得2a ≥. (i)当2a ≥时,BC 上存在点Q,使PQ ⊥QD;(ii)当02a <<时, BC 上不存在点Q,使PQ ⊥QD.(2)要使BC 边上有且只有一个点Q,使PQ ⊥QD,则方程①有两个相等的实根,这时,2()40a ∆=--=,得2a =,有1x =.又平面APD 的法向量1(1,0,0)n =,设平面PQD 的法向量为2(,,)n x y z = 而(1,1,0)QD =-,(0,2,0)(0,0,1)(0,2,1)PD =-=-,由2200n QD n PD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,得(,,)(1,1,0)0(,,)(0,2,1)0x y z x y z ⋅-=⎧⎨⋅-=⎩,解得,2x y z y ==有2(1,1,2)n =,则121212cos ,n n n n n n ⋅<>===⋅,则12tan ,n n <>=Q PD A --的正切为。

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§10向量与向量方法
(一)
1.(2004年上海春季高考题)在ΔABC 中,有命题①AB AC BC -=;②0AB BC CA ++=;③若()()0AB AC AB AC +⋅-=,则ΔABC 为等腰三角形;④若0AC AB ⋅>,则ΔABC 为锐角三角形.上述命题正确的是 ( )
A .① ②
B .① ④
C .② ③
D .② ③ ④
2.已知O 为坐标原点,OM =(-1,1),NM =(-5,-5),集合A ={OR ||RN|=2},OP 、
OQ ∈A ,(, 0)MP MQ R λλλ=∈≠,则MP ·MQ =_________________.
3.已知向量a =-e 1+3e 2+2e 3,b =4e 1-6e 2+2e 3,c =-3e 1+12e 2+11e 3,问a 能否表示成
a =λ1
b +λ2
c 的形式?若能,写出表达式;若不能,说明理由.
4.已知a ,b 是两非零向量,若a +3b 与7a -5b 垂直,a -4b 与7a -2b 垂直,试求a ,
b 的夹角.
5.设向量a ,b 满足|a |=|b |=1及|3a -2b |=3. 求|3a +b |的值.
引申 已知向量a ,b 满足|a |=|b |=r ,11||a b λμ+=R ,试求22||a b λμ+的值.
6.设A 、B 、C 、D 是坐标平面上的四点,它们的坐标分别为:A(A x ,A y ),B(B x ,B y ), C(C x ,C y ),D(D x ,D y ),且它们中任意三点不共线.试证明:
四边形ABCD 为正方形的充要条件为 (B x -A x ,B y -A y )=(C x -D x ,C y -D y ), 且(B x -A x )(C x -B x )+(B y -A y )(C y -B y )=0.
7.如图,设四边形P 1P 2P 3P 4是圆O 的内接正方形,P 是
圆O 上的任意点. 求证:2
2
2
2
1234||||||||PP PP PP PP +++
8.如图,设P 1,P 2,P 3,…,P n ,是圆O 内接正n 边形的顶点,P 是圆O 上的任意点,求证:
22
2
12n PP PP PP ++
+为定值.
9.空间有十个点A 1,A 2,…,A 10,试求一个点P ,使22
2
1210PA PA PA +++为最小.
10.如图,空间四边形ABCD 中,点E 分AB 及点F 分DC 所成的
比均为λ,则1
11EF AD BC λ
λλ
=+++.
11.一个物体受到同一个平面内三个力
F 1、F 2、F 3的作用, 沿北偏东45°的方向移动了8m ,其中|F 1|=2N ,方向为北偏东 30°;|F 2|=4N ,方向为东偏北30°;|F 3|=6N ,方向为西偏 北60°,求合力所作的功.
12.设M 、N 分别是正六边形ABCDEF 的对角线AC 、CE 的内分点,且AM CN
AC CE
==λ,若B 、M 、N 共线,求λ的值.
H
G
F
E D C
B
A
y
x
O
F 3
F 1
F 2
S
13.如图,在ΔOA B 中,OC OA =
14,OD OB =1
2
,AD 与BC 交于M 点,设OA a =, OB b =. (1)用a ,b 表示OM ;(2)已知线段AC 上取一点E ,在线段BD 上取一点F ,使EF
过M 点,设OE pOA =,OF qOB =,求证:
p q
+=13
177.
14. (2002年高考试题)已知两点M(-1,0),N(1,0),且点P 使MP ·MN ,PM ·PN ,
NM ·PN 成公差小于零的等差数列.
(1)点P 的轨迹是什么曲线?
(2)若点P 的坐标是(x 0,y 0),θ为PM 与PN 的夹角,求tan θ.
D A
B
C E
F
O
M。

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