平面向量讲义 - 学生版

学习目标 1.能结合物理中的力、位移、速度等具体背景认识向量，掌握向量与数量的区别.2.会用有向线段作向量的几何表示，了解有向线段与向量的联系与区别，会用字母表示向量.3.理解零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量及向量的模等概念，会辨识图形中这些相关的概念． 知识点一 向量的概念

思考1 在日常生活中有很多量，如面积、质量、速度、位移等，这些量有什么区别？ 思考2 两个数量可以比较大小，那么两个向量能比较大小吗？ 梳理 向量与数量

(1)向量：既有________，又有________的量统称为向量． (2)数量：只有________，没有________的量称为数量． 知识点二 向量的表示方法

思考1 向量既有大小又有方向，那么如何形象、直观地表示出来？ 思考2 0的模长是多少？0有方向吗？ 思考3 单位向量的模长是多少？ 梳理 (1)向量的表示

①具有________和长度的线段叫作有向线段，以A 为起点，以B 为终点的有向线段记作________，线段AB 的长度也叫作有向线段AB →

的长度，记作________．

②向量可以用____________来表示．有向线段的长度表示____________，即长度(也称模)．箭头所指的方向表示____________．

③向量也可以用黑体小写字母如a ，b ，c ，…来表示，书写用a →

, b →

, c →

，…来表示．

(2)________的向量叫作零向量，记作______________；______________________________的向量，叫作a 方向上的单位向量，记作a 0.

知识点三 相等向量与共线向量

思考1 已知A ，B 为平面上不同两点，那么向量AB →和向量BA →

相等吗？它们共线吗？ 思考2 向量平行、共线与平面几何中的直线、线段平行、共线相同吗？ 思考3 若a ∥b ，b ∥c ，那么一定有a ∥c 吗？

梳理 (1)相等向量：____________且____________的向量叫作相等向量．

(2)平行向量：如果表示两个向量的有向线段所在的直线______________，则称这两个向量平行或共线． ①记法：a 与b 平行或共线，记作________． ②规定：零向量与____________平行． 类型一 向量的概念

例1 下列说法正确的是( )

A ．向量A

B →与向量BA →

的长度相等 B ．两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同

C ．零向量没有方向

D ．任意两个单位向量都相等

反思与感悟 解决向量概念问题一定要紧扣定义，对单位向量与零向量要特别注意方向问题． 跟踪训练1 下列说法正确的有________． ①若|a |＝|b |，则a ＝b 或a ＝－b ；

②向量AB →与CD →

是共线向量，则A 、B 、C 、D 四点必在同一条直线上； ③向量AB →与BA →

是平行向量． 类型二 共线向量与相等向量

例2 如图所示，△ABC 的三边均不相等，E 、F 、D

分别是AC 、AB 、BC 的中点． (1)写出与EF →

共线的向量； (2)写出与EF →

的模大小相等的向量； (3)写出与EF →

相等的向量．

反思与感悟 (1)非零向量共线是指向量的方向相同或相反． (2)共线的向量不一定相等，但相等的向量一定共线． 跟踪训练2

如图所示，O 是正六边形ABCDEF 的中心．

(1)与OA →

的模相等的向量有多少个？

(2)是否存在与OA →

长度相等、方向相反的向量？若存在，有几个？ (3)与OA →

共线的向量有哪些？ 类型三 向量的表示及应用

例3 一辆汽车从A 点出发向西行驶了100 km 到达B 点，然后又改变方向，向西偏北50°的方向走了200 km 到达C 点，最后又改变方向，向东行驶了100 km 到达D 点． (1)作出向量AB →、BC →、CD →； (2)求|AD →|.

反思与感悟 准确画出向量的方法是先确定向量的起点，再确定向量的方向，然后根据向量的大小确定向量的终点． 跟踪训练3 在如图的方格纸上，已知向量a ，每个小正方形的边长为1. (1)试以B 为终点画一个向量b ，使b ＝a ；

(2)在图中画一个以A 为起点的向量c ，使|c |＝5，并说出向量c 的终点的轨迹是什么？ 1．下列结论正确的个数是( )

①温度含零上和零下温度，所以温度是向量； ②向量的模是一个正实数； ③向量a 与b 不共线，则a 与b 都是非零向量； ④若|a |>|b |，则a >b . A ．0 B ．1 C ．2

D ．3

2．下列说法错误的是( )

A ．若a ＝0，则|a |＝0

B ．零向量是没有方向的

C ．零向量与任一向量平行

D ．零向量的方向是任意的 3．如图所示，梯形ABCD 为等腰梯形，则两腰上的向量AB →与DC →

的关系是( ) A.AB →＝DC → B ．|AB →|＝|DC →| C.AB →>DC → D.AB →

4．如图所示，在以1×2方格纸中的格点(各线段的交点)为起点和终点的向量中． (1)写出与AF →、AE →

相等的向量； (2)写出与AD →

的模相等的向量．

1．向量是既有大小又有方向的量，从其定义可以看出向量既有代数特征又有几何特征，因此借助于向量，我们可以将某些代数问题转化为几何问题，又将几何问题转化为代数问题，故向量能起到数形结合的桥梁作用． 2．共线向量与平行向量是一组等价的概念．两个共线向量不一定要在一条直线上．当然，同一直线上的向量也是平行向量．

3．注意两个特殊向量——零向量和单位向量，零向量与任何向量都平行，单位向量有无穷多个，起点相同的所有单位向量的终点在平面内形成一个单位圆． 2．1 向量的加法

学习目标 1.理解并掌握向量加法的概念，了解向量加法的物理意义及其几何意义.2.掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则，并能熟练地运用这两个法则作两个向量的加法运算.3.了解向量加法的交换律和结合律，并能依据几何意义作图解释向量加法运算律的合理性． 知识点一 向量加法的定义及其运算法则 分析下列实例：

(1)飞机从广州飞往上海，再从上海飞往北京(如图)，

这两次位移的结果与飞机从广州直接飞往北京的位移是相同的． (2)有两条拖轮牵引一艘轮船，它们的牵引力分别是F 1＝3 000 N ， F 2＝2 000 N ，牵引绳之间的夹角为θ＝60°(如图)，如果只用一条 拖轮来牵引，也能产生跟原来相同的效果．

思考1 从物理学的角度来讲，上面实例中位移、牵引力说明了什么？体现了向量的什么运算？ 思考2 上述实例中位移的和运算、力的和运算分别用了什么法则？ 梳理 (1)向量加法的定义

求________________的运算，叫作向量的加法． (2)向量加法的法则