平面向量讲义 - 学生版

学习目标 1.能结合物理中的力、位移、速度等具体背景认识向量，掌握向量与数量的区别.2.会用有向线段作向量的几何表示，了解有向线段与向量的联系与区别，会用字母表示向量.3.理解零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量及向量的模等概念，会辨识图形中这些相关的概念． 知识点一 向量的概念思考1 在日常生活中有很多量，如面积、质量、速度、位移等，这些量有什么区别？ 思考2 两个数量可以比较大小，那么两个向量能比较大小吗？ 梳理 向量与数量(1)向量：既有________，又有________的量统称为向量． (2)数量：只有________，没有________的量称为数量． 知识点二 向量的表示方法思考1 向量既有大小又有方向，那么如何形象、直观地表示出来？ 思考2 0的模长是多少？0有方向吗？ 思考3 单位向量的模长是多少？ 梳理 (1)向量的表示①具有________和长度的线段叫作有向线段，以A 为起点，以B 为终点的有向线段记作________，线段AB 的长度也叫作有向线段AB →的长度，记作________．②向量可以用____________来表示．有向线段的长度表示____________，即长度(也称模)．箭头所指的方向表示____________．③向量也可以用黑体小写字母如a ，b ，c ，…来表示，书写用a →, b →, c →，…来表示．(2)________的向量叫作零向量，记作______________；______________________________的向量，叫作a 方向上的单位向量，记作a 0.知识点三 相等向量与共线向量思考1 已知A ，B 为平面上不同两点，那么向量AB →和向量BA →相等吗？它们共线吗？ 思考2 向量平行、共线与平面几何中的直线、线段平行、共线相同吗？ 思考3 若a ∥b ，b ∥c ，那么一定有a ∥c 吗？梳理 (1)相等向量：____________且____________的向量叫作相等向量．(2)平行向量：如果表示两个向量的有向线段所在的直线______________，则称这两个向量平行或共线． ①记法：a 与b 平行或共线，记作________． ②规定：零向量与____________平行． 类型一 向量的概念例1 下列说法正确的是( )A ．向量AB →与向量BA →的长度相等 B ．两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同C ．零向量没有方向D ．任意两个单位向量都相等反思与感悟 解决向量概念问题一定要紧扣定义，对单位向量与零向量要特别注意方向问题． 跟踪训练1 下列说法正确的有________． ①若|a |＝|b |，则a ＝b 或a ＝－b ；②向量AB →与CD →是共线向量，则A 、B 、C 、D 四点必在同一条直线上； ③向量AB →与BA →是平行向量． 类型二 共线向量与相等向量例2 如图所示，△ABC 的三边均不相等，E 、F 、D分别是AC 、AB 、BC 的中点． (1)写出与EF →共线的向量； (2)写出与EF →的模大小相等的向量； (3)写出与EF →相等的向量．反思与感悟 (1)非零向量共线是指向量的方向相同或相反． (2)共线的向量不一定相等，但相等的向量一定共线． 跟踪训练2如图所示，O 是正六边形ABCDEF 的中心．(1)与OA →的模相等的向量有多少个？(2)是否存在与OA →长度相等、方向相反的向量？若存在，有几个？ (3)与OA →共线的向量有哪些？ 类型三 向量的表示及应用例3 一辆汽车从A 点出发向西行驶了100 km 到达B 点，然后又改变方向，向西偏北50°的方向走了200 km 到达C 点，最后又改变方向，向东行驶了100 km 到达D 点． (1)作出向量AB →、BC →、CD →； (2)求|AD →|.反思与感悟 准确画出向量的方法是先确定向量的起点，再确定向量的方向，然后根据向量的大小确定向量的终点． 跟踪训练3 在如图的方格纸上，已知向量a ，每个小正方形的边长为1. (1)试以B 为终点画一个向量b ，使b ＝a ；(2)在图中画一个以A 为起点的向量c ，使|c |＝5，并说出向量c 的终点的轨迹是什么？ 1．下列结论正确的个数是( )①温度含零上和零下温度，所以温度是向量； ②向量的模是一个正实数； ③向量a 与b 不共线，则a 与b 都是非零向量； ④若|a |>|b |，则a >b . A ．0 B ．1 C ．2D ．32．下列说法错误的是( )A ．若a ＝0，则|a |＝0B ．零向量是没有方向的C ．零向量与任一向量平行D ．零向量的方向是任意的 3．如图所示，梯形ABCD 为等腰梯形，则两腰上的向量AB →与DC →的关系是( ) A.AB →＝DC → B ．|AB →|＝|DC →| C.AB →>DC → D.AB →<DC →4．如图所示，在以1×2方格纸中的格点(各线段的交点)为起点和终点的向量中． (1)写出与AF →、AE →相等的向量； (2)写出与AD →的模相等的向量．1．向量是既有大小又有方向的量，从其定义可以看出向量既有代数特征又有几何特征，因此借助于向量，我们可以将某些代数问题转化为几何问题，又将几何问题转化为代数问题，故向量能起到数形结合的桥梁作用． 2．共线向量与平行向量是一组等价的概念．两个共线向量不一定要在一条直线上．当然，同一直线上的向量也是平行向量．3．注意两个特殊向量——零向量和单位向量，零向量与任何向量都平行，单位向量有无穷多个，起点相同的所有单位向量的终点在平面内形成一个单位圆． 2．1 向量的加法学习目标 1.理解并掌握向量加法的概念，了解向量加法的物理意义及其几何意义.2.掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则，并能熟练地运用这两个法则作两个向量的加法运算.3.了解向量加法的交换律和结合律，并能依据几何意义作图解释向量加法运算律的合理性． 知识点一 向量加法的定义及其运算法则 分析下列实例：(1)飞机从广州飞往上海，再从上海飞往北京(如图)，这两次位移的结果与飞机从广州直接飞往北京的位移是相同的． (2)有两条拖轮牵引一艘轮船，它们的牵引力分别是F 1＝3 000 N ， F 2＝2 000 N ，牵引绳之间的夹角为θ＝60°(如图)，如果只用一条 拖轮来牵引，也能产生跟原来相同的效果．思考1 从物理学的角度来讲，上面实例中位移、牵引力说明了什么？体现了向量的什么运算？ 思考2 上述实例中位移的和运算、力的和运算分别用了什么法则？ 梳理 (1)向量加法的定义求________________的运算，叫作向量的加法． (2)向量加法的法则向量加法的三角形法则和平行四边形法则实际上就是向量加法的几何意义． 知识点二向量加法的运算律 思考1 实数加法有哪些运算律？思考2 根据图中的平行四边形ABCD ，验证向量加法是否满足交换律．(注：AB →＝a ，AD →＝b ) 思考3 根据图中的四边形ABCD ，验证向量加法是否满足结合律．(注：AB →＝a ，BC →＝b ，CD →＝c ) 梳理 向量加法的运算律类型一 例1 如图(1)(2)，已知向量a ，b ，c ，求作向量a ＋b 和a ＋b ＋c . (1) (2)反思与感悟 向量加法的平行四边形法则和三角形法则的区别和联系区别：(1)三角形法则中强调“首尾相接”，平行四边形法则中强调的是“共起点”．(2)三角形法则适用于任意两个非零向量求和，而平行四边形法则仅适用于不共线的两个向量求和． 联系：(1)当两个向量不共线时，向量加法的三角形法则和平行四边形法则是统一的． (2)三角形法则作出的图形是平行四边形法则作出的图形的一半． 跟踪训练1 如图所示，O 为正六边形ABCDEF 的中心，化简下列向量． (1)OA →＋OC →＝________；(2)BC →＋FE →＝________； (3)OA →＋FE →＝________.类型二 向量加法运算律的应用 例2 化简：(1)BC →＋AB →；(2)DB →＋CD →＋BC →； (3)AB →＋DF →＋CD →＋BC →＋F A →.反思与感悟 (1)根据向量加法的交换律使各向量首尾连接，再运用向量的结合律调整向量顺序后相加．(2)向量求和的多边形法则：A 1A 2→＋A 2A 3→＋A 3A 4→＋…＋A n －1A n ＝A 1A n →.特别地，当A n 和A 1重合时，A 1A 2→＋A 2A 3→＋A 3A 4→＋…＋A n －1A 1＝0.跟踪训练2 已知正方形ABCD 的边长等于1，则|AB →＋AD →＋BC →＋DC →|＝________. 类型三 向量加法的实际应用例3 在静水中船的速度为20 m /min ，水流的速度为10 m/min ，如果船从岸边出发沿垂直于水流的航线到达对岸，求船行进的方向． 引申探究1．若本例中条件不变，则经过1 h ，该船的实际航程是多少？2．若本例中其他条件不变，改为若船沿垂直水流的方向航行，求船实际行进的方向与岸方向的夹角的正切值． 反思与感悟 向量既有大小又有方向的特性在实际生活中有很多应用，准确作出图像是解题关键．跟踪训练3 如图，用两根绳子把重10 N 的物体W 吊在水平杆子AB 上，∠ACW ＝150°，∠BCW ＝120°，求A 和B 处所受力的大小．(绳子的重量忽略不计)1.如图，在正六边形ABCDEF 中，BA →＋CD →＋EF →等于( ) A ．0 B.BE → C.AD → D.CF →2.如图，D ，E ，F 分别是△ABC 的边AB ，BC ，CA 的中点，则下列等式中错误的是( )A.FD →＋DA →＋DE →＝0B.AD →＋BE →＋CF →＝0C.FD →＋DE →＋AD →＝AB →D.AD →＋EC →＋FD →＝BD → 3．(AB →＋MB →)＋(BO →＋BC →)＋OM →等于( ) A.BC → B.AB → C.AC → D.AM →4.如图所示，在四边形ABCD 中，AC →＝AB →＋AD →，则四边形为( ) A ．矩形 B ．正方形 C ．平行四边形 D ．菱形5．小船以10 3 km /h 的静水速度沿垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为10 km/h ，则小船的实际航行速度的大小为________km/h.1．三角形法则和平行四边形法则都是求向量和的基本方法，两个法则是统一的，当两个向量首尾相连时常选用三角形法则，当两个向量共起点时，常选用平行四边形法则．2．向量的加法满足交换律，因此在进行多个向量的加法运算时，可以按照任意的次序和任意的组合去进行． 3．在使用向量加法的三角形法则时要特别注意“首尾相接”．和向量的特征是从第一个向量的起点指向第二个向量的终点．向量相加的结果是向量，如果结果是零向量，一定要写成0，而不应写成0.2.2 向量的减法学习目标 1.理解相反向量的含义，向量减法的意义及减法法则.2.掌握向量减法的几何意义.3.能熟练地进行向量的加、减运算．知识点一 相反向量思考 实数a 的相反数为－a ，向量a 与－a 的关系应叫作什么？梳理 与a ________________的向量，叫作a 的相反向量，记作________． (1)规定：零向量的相反向量仍是________． (2)－(－a )＝a .(3)a ＋(－a )＝________＝________.(4)若a 与b 互为相反向量，则a ＝________，b ＝________，a ＋b ＝____. 知识点二 向量的减法思考1 根据向量的加法，如何求作a －b? 思考2 向量减法的三角形法则是什么？梳理 (1)定义：向量a 加上____________，叫作a 与b 的差，即a －b ＝__________.求两个向量____的运算，叫作向量的减法．(2)几何意义：在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则向量a －b ＝________，如图所示．(3)文字叙述：如果把向量a 与b 的起点放在O 点，那么由向量b 的终点B 指向被减向量a 的终点A ，得到的向量BA →就是a —b .知识点三 |a |－|b |，|a ±b |，|a |＋|b |三者的关系思考 在三角形中有两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，结合这一性质及向量加、减法的几何意义，|a |－|b |，|a ±b |，|a |＋|b |三者关系是怎样的？梳理 当向量a ，b 不共线时，作OA →＝a ，AB →＝b ，则a ＋b ＝OB →，如图(1)，根据三角形的三边关系，则有||a |－|b ||<|a ＋b |<|a |＋|b |.当a 与b 共线且同向或a ，b 中至少有一个为零向量时，作法同上，如图(2)，此时|a ＋b |＝|a |＋|b |.当a 与b 共线且反向或a ，b 中至少有一个为零向量时，不妨设|a |>|b |，作法同上，如图(3)，此时|a ＋b |＝||a |－|b ||. 故对于任意向量a ，b ，总有||a |－|b ||≤|a ＋b |≤|a |＋|b |.① 因为|a －b |＝|a ＋(－b )|，所以||a |－|－b ||≤|a －b |≤|a |＋|－b |， 即||a |－|b ||≤|a －b |≤|a |＋|b |.②将①②两式结合起来即为||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b |. 类型一 向量减法的几何作图例1 如图，已知向量a ，b ，c 不共线，求作向量a ＋b －c . 引申探究若本例条件不变，则a －b －c 如何作？反思与感悟 在求作两个向量的差向量时，当两个向量有共同始点，直接连接两个向量的终点，并指向被减向量，就得到两个向量的差向量；若两个向量的始点不重合，先通过平移使它们的始点重合，再作出差向量． 跟踪训练1 如图所示，已知向量a ，b ，c ，d ，求作向量a －b ，c －d . 类型二 向量减法法则的应用 例2 化简下列式子：(1)NQ →－PQ →－NM →－MP →； (2)(AB →－CD →)－(AC →－BD →)．反思与感悟 向量减法的三角形法则的内容：两向量相减，表示两向量起点的字母必须相同，这样两向量的差向量以减向量的终点字母为起点，以被减向量的终点字母为终点． 跟踪训练2 化简：(1)(BA →－BC →)－(ED →－EC →)； (2)(AC →＋BO →＋OA →)－(DC →－DO →－OB →)． 类型三 向量减法几何意义的应用例3 已知|AB →|＝6，|AD →|＝9，求|AB →－AD →|的取值范围．反思与感悟 (1)如图所示，在平行四边形ABCD 中，若AB →＝a ，AD →＝b ，则AC →＝a ＋b ，DB →＝a －b .(2)在公式||a |－|b ||≤|a ＋b |≤|a |＋|b |中，当a 与b 方向相反且|a |≥|b |时，|a |－|b |＝|a ＋b |；当a 与b 方向相同时，|a ＋b |＝|a |＋|b |.(3)在公式||a |－|b ||≤|a －b |≤|a |＋|b |中，当a 与b 方向相同且|a |≥|b |时，|a |－|b |＝|a －b |；当a 与b 方向相反时，|a －b |＝|a |＋|b |.跟踪训练3 在四边形ABCD 中，设AB →＝a ，AD →＝b ，且AC →＝a ＋b ，若|a ＋b |＝|a －b |，则四边形ABCD 的形状是( ) A ．梯形 B ．矩形 C ．菱形 D ．正方形1.如图所示，在?ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，则用a ，b 表示向量AC →和BD →分别是( ) A ．a ＋b 和a －b B ．a ＋b 和b －a C ．a －b 和b －a D ．b －a 和b ＋a2．化简OP →－QP →＋PS →＋SP →的结果等于( ) A.QP →B.OQ →C.SP →D.SQ →3．若菱形ABCD 的边长为2，则|AB →－CB →＋CD →|＝________. 4．若向量a 与b 满足|a |＝5，|b |＝12，则|a ＋b |的最小值为________，|a －b |的最大值为________．5.如图，在五边形ABCDE 中，若四边形ACDE 是平行四边形，且AB →＝a ，AC →＝b ，AE →＝c ，试用a ，b ，c 表示向量BD →，BC →，BE →，CD →及CE →.1．向量减法的实质是向量加法的逆运算．利用相反向量的定义，－AB →＝BA →就可以把减法转化为加法．即减去一个向量等于加上这个向量的相反向量．如a －b ＝a ＋(－b )．2．在用三角形法则作向量减法时，要注意“差向量连接两向量的终点，箭头指向被减向量”．解题时要结合图形，准确判断，防止混淆．3．平行四边形ABCD 的两邻边AB 、AD 分别为AB →＝a ，AD →＝b ，则两条对角线表示的向量为AC →＝a ＋b ，BD →＝b －a ，DB →＝a －b ，这一结论在以后应用非常广泛，应该加强理解并掌握．3．1 数乘向量学习目标 1.了解向量数乘的概念，并理解这种运算的几何意义.2.理解并掌握向量数乘的运算律，会运用向量数乘运算律进行向量运算.3.理解并掌握两向量共线的性质及其判定方法，并能熟练地运用这些知识处理有关共线向量问题．知识点一 向量数乘的定义思考1 实数与向量相乘的结果是实数还是向量？思考2 向量3a ，－3a 与a 从长度和方向上分析具有怎样的关系？ 思考3 λa 的几何意义是什么？ 梳理 数乘向量一般地，实数λ与向量a 的积是一个向量，记作________．它的长度为|λa |＝|λ||a |.它的方向：当λ>0时，λa 与a 的方向相同；当λ<0时，λa 与a 的方向相反；当λ＝0时，λa ＝0，方向任意． 知识点二 向量数乘的运算律思考 类比实数的运算律，向量数乘有怎样的运算律？ 梳理 向量数乘运算律 (1)λ(μa )＝(λμ)a . (2)(λ＋μ)a ＝λa ＋μa . (3)λ(a ＋b )＝λa ＋λb . 知识点三 向量共线定理 思考 若b ＝2a ，b 与a 共线吗？ 梳理 (1)向量共线的判定定理a 是一个________向量，若存在一个实数λ，使得____________，则向量b 与非零向量a 共线．(2)向量共线的性质定理若向量b 与非零向量a 共线，则存在一个实数λ，使得b ＝________. 知识点四 向量的线性运算向量的加法、减法和实数与向量积的综合运算，通常称为向量的线性运算(或线性组合)． 类型一 向量数乘的基本运算例1 (1)化简：14[2(2a ＋4b )－4(5a －2b )]．(2)已知向量为a ，b ，未知向量为x ，y ，向量a ，b ，x ，y 满足关系式3x －2y ＝a ，－4x ＋3y ＝b ，求向量x ，y . 反思与感悟 (1)向量的数乘运算类似于代数多项式的运算，例如实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在实数与向量的乘积中同样适用，但是这里的“同类项”、“公因式”是指向量，实数看作是向量的系数．(2)向量也可以通过列方程和方程组求解，同时在运算过程中多注意观察，恰当的运用运算律，简化运算． 跟踪训练1 (1)(a ＋b )－3(a －b )－8a ＝________.(2)若2⎝⎛⎭⎫y －13a －13(c ＋b －3y )＋b ＝0，其中a ，b ，c 为已知向量，则未知向量y ＝________. 类型二 向量共线的判定及应用 命题角度1 判定向量共线或三点共线 例2 已知非零向量e 1，e 2不共线．(1)若a ＝12e 1－13e 2，b ＝3e 1－2e 2，判断向量a ，b 是否共线．(2)若AB →＝e 1＋e 2，BC →＝2e 1＋8e 2，CD →＝3(e 1－e 2)，求证：A 、B 、D 三点共线．反思与感悟 (1)向量共线的判断(证明)是把两向量用共同的已知向量来表示，进而互相表示，从而判断共线． (2)利用向量共线定理证明三点共线，一般先任取两点构造向量，从而将问题转化为证明两向量共线，需注意的是，在证明三点共线时，不但要利用b ＝λa (a ≠0)，还要说明向量a ，b 有公共点．跟踪训练2 已知非零向量e 1，e 2不共线，如果AB →＝e 1＋2e 2，BC →＝－5e 1＋6e 2，CD →＝7e 1－2e 2，则共线的三个点是________．命题角度2 利用向量共线求参数值例3 已知非零向量e 1，e 2不共线，欲使k e 1＋e 2和e 1＋k e 2共线，试确定k 的值．反思与感悟 利用向量共线定理，即b 与a (a ≠0)共线?b ＝λa ，既可以证明点共线或线共线问题，也可以根据共线求参数的值．跟踪训练3 已知A ，B ，P 三点共线，O 为直线外任意一点，若OP →＝xOA →＋yOB →，则x ＋y ＝________. 类型三 用已知向量表示其他向量例4 在△ABC 中，若点D 满足BD →＝2DC →，则AD →等于( )A.13AC →＋23AB →B.53AB →－23AC →C.23AC →－13AB → D.23AC →＋13AB → 反思与感悟 用已知向量表示未知向量的求解思路(1)先结合图形的特征，把待求向量放在三角形或平行四边形中．(2)然后结合向量的三角形法则或平行四边形法则及向量共线定理用已知向量表示未知向量．(3)当直接表示比较困难时，可以利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程．跟踪训练4 如图，在△ABC 中，D ，E 为边AB 的两个三等分点，CA →＝3a ，CB →＝2b ，求CD →，CE →. 1．已知a ＝5e ，b ＝－3e ，c ＝4e ，则2a －3b ＋c 等于( ) A ．5e B ．－5e C ．23e D ．－23e 2．在△ABC 中，M 是BC 的中点，则AB →＋AC →等于( ) A.12AM → B.AM → C ．2AM →D.MA →3．设e 1，e 2是两个不共线的向量，若向量m ＝－e 1＋k e 2 (k ∈R )与向量n ＝e 2－2e 1共线，则( ) A ．k ＝0 B ．k ＝1 C ．k ＝2D ．k ＝124．已知△ABC 的三个顶点A ，B ，C 及平面内一点P ，且P A →＋PB →＋PC →＝AB →，则( ) A ．P 在△ABC 内部 B ．P 在△ABC 外部C ．P 在AB 边上或其延长线上D ．P 在AC 边上5．如图所示，已知AP →＝43AB →，用OA →，OB →表示OP →.1．实数与向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算，例如λ＋a ，λ－a 是没有意义的．2．λa 的几何意义就是把向量a 沿着a 的方向或反方向扩大或缩小为原来的|λ|倍．向量a|a |表示与向量a 同向的单位向量．3．向量共线定理是证明三点共线的重要工具．即三点共线问题通常转化为向量共线问题． 4．已知O ，A ，B 是不共线的三点，且OP →＝mOA →＋nOB →(m ，n ∈R )，A ，P ，B 三点共线?m ＋n ＝1.3．2 平面向量基本定理学习目标 1.理解平面向量基本定理的内容，了解向量的一组基底的含义.2.在平面内，当一组基底选定后，会用这组基底来表示其他向量.3.会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题． 知识点 平面向量基本定理思考1 如果e 1，e 2是两个不共线的确定向量，那么与e 1，e 2在同一平面内的任一向量a 能否用e 1，e 2表示？依据是什么？思考2 如果e 1，e 2是共线向量，那么向量a 能否用e 1，e 2表示？为什么？思考3 若存在λ1，λ2∈R ，μ1，μ2∈R ，且a ＝λ1e 1＋λ2e 2，a ＝μ1e 1＋μ2e 2，那么λ1，μ1，λ2，μ2有何关系？ 梳理 (1)平面向量基本定理如果e 1，e 2是同一平面内的两个________向量，那么对于这一平面内的________向量a ，存在唯一一对实数λ1，λ2，使a ＝________________________________. (2)基底平面内________的向量e 1，e 2叫作表示这一平面内所有向量的一组基底． 类型一 对基底概念的理解例1 如果e 1，e 2是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是( ) ①λe 1＋μe 2(λ，μ∈R )可以表示平面α内的所有向量；②对于平面α内任一向量a ，使a ＝λe 1＋μe 2的实数对(λ，μ)有无穷多个；③若向量λ1e 1＋μ1e 2与λ2e 1＋μ2e 2共线，则有且只有一个实数λ，使得λ1e 1＋μ1e 2＝λ(λ2e 1＋μ2e 2)； ④若存在实数λ，μ使得λe 1＋μe 2＝0，则λ＝μ＝0. A ．①② B ．②③ C ．③④D ．②反思与感悟 考查两个向量是否能构成基底，主要看两向量是否非零且不共线．此外，一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这个基底唯一线性表示出来．跟踪训练1 若e 1，e 2是平面内的一组基底，则下列四组向量能作为平面向量的基底的是( ) A ．e 1－e 2，e 2－e 1 B ．2e 1－e 2，e 1－12e 2 C ．2e 2－3e 1,6e 1－4e 2 D ．e 1＋e 2，e 1－e 2类型二 平面向量基本定理的应用例2 如图所示，在?ABCD 中，E ，F 分别是BC ，DC 边上的中点，若AB →＝a ，AD →＝b ，试以a ，b 为基底表示DE →，BF →. 引申探究若本例中其他条件不变，设DE →＝a ，BF →＝b ，试以a ，b 为基底表示AB →，AD →.反思与感悟 将不共线的向量作为基底表示其他向量的方法有两种：一种是利用向量的线性运算及法则对所求向量不断转化，直至能用基底表示为止；另一种是列向量方程组，利用基底表示向量的唯一性求解．跟踪训练2 如图所示，在△AOB 中，OA →＝a ，OB →＝b ，M ，N 分别是边OA ，OB 上的点，且OM →＝13a ，ON →＝12b ，设AN →与BM →相交于点P ，用基底a ，b 表示OP →. 1．下列关于基底的说法正确的是( )①平面内不共线的任意两个向量都可作为一组基底； ②基底中的向量可以是零向量；③平面内的基底一旦确定，该平面内的向量关于基底的线性分解形式也是唯一确定的． A ．① B ．② C ．①③ D ．②③2.如图，已知A B →＝a ，AC →＝b ，BD →＝3DC →，用a ，b 表示AD →，则AD →等于( ) A ．a ＋34bB.14a ＋34b C.14a ＋14b D.34a ＋14b 3．已知向量e 1，e 2不共线，实数x ，y 满足(2x －3y )e 1＋(3x －4y )e 2＝6e 1＋3e 2，则x ＝________，y ＝________.4.如图所示，在正方形ABCD 中，设AB →＝a ，AD →＝b ，BD →＝c ，则当以a ，b 为基底时，AC →可表示为________，当以a ，c 为基底时，AC →可表示为________．的中点，设AD →＝a ，5．已知在梯形ABCD 中，AB ∥DC ，且AB ＝2CD ，E ，F 分别是DC ，AB AB →＝b ，试用a 、b 为基底表示DC →，BC →，EF →. 1．对基底的理解 (1)基底的特征基底具备两个主要特征：①基底是两个不共线向量；②基底的选择是不唯一的．平面内两向量不共线是这两个向量可以作为这个平面内所有向量的一组基底的条件． (2)零向量与任意向量共线，故不能作为基底． 2．准确理解平面向量基本定理(1)平面向量基本定理的实质是向量的分解，即平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式，且分解是唯一的．(2)平面向量基本定理体现了转化与化归的数学思想，用向量解决几何问题时，我们可以选择适当的基底，将问题中涉及的向量向基底化归，使问题得以解决．4．1 平面向量的坐标表示4．2 平面向量线性运算的坐标表示学习目标 1.了解平面向量的正交分解，掌握向量的坐标表示.2.掌握两个向量和、差及数乘向量的坐标运算法则.3.正确理解向量坐标的概念，要把点的坐标与向量的坐标区分开来． 知识点一 平面向量的正交分解思考 如果向量a 与b 的夹角是90°，则称向量a 与b 垂直，记作a ⊥b .互相垂直的两个向量能否作为平面内所有向量的一组基底？梳理 把一个向量分解为________________的向量，叫作把向量正交分解． 知识点二 平面向量的坐标表示思考1 如图，向量i ，j 是两个互相垂直的单位向量，向量a 与i 的夹角是30°，且|a |＝4，以向量i ，j 为基底，如何表示向量a?思考2 在平面直角坐标系内，给定点A 的坐标为A (1,1)，则A 点位置确定了吗？给定向量a 的坐标为a ＝(1,1)，则向量a 的位置确定了吗？思考3 设向量BC →＝(1,1)，O 为坐标原点，若将向量BC →平移到OA →，则OA →的坐标是多少？A 点坐标是多少？ 梳理 (1)平面向量的坐标①在平面直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个____________i 、j 作为基底．对于平面内的任意向量a ，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x ，y ，使得a ＝x i ＋y j .我们把实数对(x ，y )叫作向量a 的坐标，记作a ＝(x ，y )．②在平面直角坐标平面中，i ＝(1,0)，j ＝(0,1)，0＝(0,0)． (2)点的坐标与向量坐标的区别和联系知识点三 思考 设i 、j 是分别与x 轴、y 轴同向的两个单位向量，若设a ＝(x1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＝x 1i ＋y 1j ，b ＝x 2i ＋y 2j ，根据向量的线性运算性质，向量a ＋b ，a －b ，λa (λ∈R )如何分别用基底i 、j 表示？ 梳理 设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．类型一 例1 如图，在平面直角坐标系xOy 中，OA ＝4，AB ＝3，∠AOx ＝45°，∠OAB ＝105°，OA →＝a ，AB →＝b . 四边形OABC 为平行四边形． (1)求向量a ，b 的坐标； (2)求向量BA →的坐标； (3)求点B 的坐标．反思与感悟 在表示点、向量的坐标时，可利用向量的相等、加减法运算等求坐标，也可以利用向量、点的坐标的定义求坐标．一般利用不等式思想求解，即把问题条件转化为关于参数的不等式(组)，再解不等式(组)就可以求得参数的取值范围．跟踪训练1 已知边长为2的正三角形ABC ，顶点A 在坐标原点，AB 边在x 轴上，点C 在第一象限，D 为AC 的中点，分别求向量AB →，AC →，BC →，BD →的坐标． 类型二 平面向量的坐标运算例2 已知A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)．设AB →＝a ，BC →＝b ，CA →＝c . (1)求3a ＋b －3c ；(2)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n 的值． 反思与感悟 向量坐标运算的方法(1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行． (2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算． (3)向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行． 跟踪训练2 已知a ＝(－1,2)，b ＝(2,1)，求： (1)2a ＋3b ；(2)a －3b ；(3)12a －13b .类型三 平面向量坐标运算的应用例3 已知点A (2,3)，B (5,4)，C (7,10)．若AP →＝AB →＋λAC →(λ∈R )，试求当λ为何值时： (1)点P 在第一、三象限的角平分线上；(2)点P 在第三象限内．反思与感悟 (1)待定系数法是最基本的数学方法之一，实质是先将未知量设出来，建立方程(组)求出未知数的值，是待定系数法的基本形式，也是方程思想的一种基本应用．(2)坐标形式下向量相等的条件：相等向量的对应坐标相等；对应坐标相等的向量是相等向量．由此可建立相等关系求某些参数的值．跟踪训练3 已知向量a ＝(2,1)，b ＝(1，－2)，若m a ＋n b ＝(9，－8)(m ，n ∈R )，则m －n 的值为________． 1．设平面向量a ＝(3,5)，b ＝(－2,1)，则a －2b 等于( ) A ．(7,3) B ．(7,7) C ．(1,7) D ．(1,3)2．已知向量OA →＝(3，－2)，OB →＝(－5，－1)，则向量12AB →的坐标是( )A.⎝⎛⎭⎫－4，12B.⎝⎛⎭⎫4，－12 C ．(－8,1) D ．(8,1) 3．已知四边形ABCD 的三个顶点A (0,2)，B (－1，－2)，C (3,1)，且BC →＝2AD →，则顶点D 的坐标为( ) A.⎝⎛⎭⎫2，72 B.⎝⎛⎭⎫2，－12 C ．(3,2) D ．(1,3) 4．已知点A (0,1)，B (3,2)，向量AC →＝(－4，－3)，则向量BC →等于( ) A ．(－7，－4) B ．(7,4) C ．(－1,4) D ．(1,4)5．如图，在6×6的方格纸中，若起点和终点均在格点的向量a ，b ，c 满足c ＝x a ＋y b (x ，y ∈R )，则x ＋y ＝________. 1．向量的正交分解是把一个向量分解为两个互相垂直的向量，是向量坐标表示的理论依据．向量的坐标表示，沟通了向量“数”与“形”的特征，使向量运算完全代数化．2．要区分向量终点的坐标与向量的坐标．由于向量的起点可以任意选取，如果一个向量的起点是坐标原点，这个向量终点的坐标就是这个向量的坐标；若向量的起点不是原点，则向量的终点坐标不是向量的坐标，此时AB →＝(x B －x A ，y B －y A )．3．向量和、差的坐标就是它们对应向量坐标的和、差，数乘向量的坐标等于这个实数与原来向量坐标的积．4．3 向量平行的坐标表示学习目标 1.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.2.能根据平面向量的坐标，判断向量是否共线.3.掌握三点共线的判断方法． 知识点 向量平行 已知下列几组向量：(1)a ＝(0,3)，b ＝(0,6)； (2)a ＝(2,3)，b ＝(4,6)； (3)a ＝(－1,4)，b ＝(3，－12)； (4)a ＝(12，1)，b ＝(－12，－1)．思考1 上面几组向量中，a ，b 有什么关系？。