平面向量复习讲义

平面向量复习讲义

一．向量有关概念：

1．向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）。

2．零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：0，注意零向量的方向是任意的；

3．单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与AB 共线的单位向量是

||

AB AB ±

)； 4．相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性； 5．平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量a 、b 叫做平行向量，记作：a ∥b ，规定零向量和任何向量平行。 提醒：

①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；

②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合；

③平行向量无传递性！（因为有0)；

6．相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。a 的相反向量是－a 。如 下列命题：（1）若a b =，则a b =。（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同。（3）若AB DC =，则ABCD 是平行四边形。（4）若ABCD 是平行四边形，则AB DC =。（5）若,a b b c ==，则a c =。（6）若//,//a b b c ，则//a c 。其中正确的是_______

（答：（4）（5））

二．向量的表示方法：

1．几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如AB ，注意起点在前，终点在后； 2．符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如a ，b ，c 等；

3．坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i ，

j 为基底，则平面内的任一向量a 可表示为(),a xi y j x y =+=，称(),x y 为向量a 的坐标，a ＝(),x y 叫做向量a 的坐标表示。如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。 三．平面向量的线性运算：

（1）向量加法：

①三角形法则:（“首尾相接，首尾连”）,如图，已知向量a 、ｂ.在平面内任取一点A ，作AB ＝a ，

BC ＝b ，则向量AC 叫做a 与b 的和，记作+a b

定：a + 0-= 0 + a =a,

当向量a 与b 不共线时，a +b 的方向不同向，且|a +b |<|a |+|b |； 当a 与b 同向时，则a +b 、a 、b 同向，且|a +b |=|a |+|b |，

当a 与b 反向时，若|a |>|b |，则a +b 的方向与a 相同，且|a +b |=|a |-|b |； 若|a |<|b |，则a +b 的方向与b 相同，且|a +b|=|b |-|a |. 结论：a b a b +≤+

②平行四边形法则:以同一起点的两个向量为邻边作平行四边形，则以公共起点为起点的对角线所对应向量就是和向量。

③加法的运算律

1）向量加法的交换律：a +b =b +a

2）向量加法的结合律：(a +b ) +c =a + (b +c )

（2）向量减法：

向量减法的定义：向量a 加上的b 相反向量，叫做a 与b 的差. 即：a - b = a + (-b) 求两个向量差的运算叫做向量的减法.

1.用加法的逆运算定义向量的减法： 向量的减法是向量加法的逆运算： 若b + x = a ，则x 叫做a 与b 的差，记作a - b

2.求作差向量：已知向量a 、b ，求作向量a - b ∵(a -b) + b = a + (-b) + b = a + 0 = a 作法：在平面内取一点O ，

作OA = a ， OB = b 则BA = a - b

即a - b 可以表示为从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量.

由减向量的终点指向被减向量的终点。注意：此处减向量与被减向量的起点相同。 注意：1︒AB 表示a - b. 强调：差向量“箭头”指向被减数 2︒用“相反向量”定义法作差向量，a - b = a + (-b)

O

A

B

a

B’

b -b

b

a + (-

b )

a

b

O

a

b

B a

b

a -b

课堂练习：

1.化简：①AB BC CD ++=___；②AB AD DC --=____；③()()AB CD AC BD ---=_____

（答：①AD ；②CB ；③0）；

2.若正方形ABCD 的边长为1，,,AB a BC b AC c ===，则||a b c ++＝_____

（3）向量数乘：求实数λ与向量a 的积的运算

1．.λa |＝|λ|_|a |_______；

2．当λ>0时，λa 的方向与a 的方向___相同_；当λ<0时，λa 的方向与a 的方向相反____；当λ＝0时，λa ＝0____

3．向量数乘的运算律

λ(μa )＝_（λμ）a ______；(λ＋μ)a ＝___λa ＋μa __；λ(a ＋b )＝__λa ＋λb _____。

（4）共线向量定理

a 是一个非零向量，若存在唯一一个实数λ，使得

b ＝λa ，则向量b 与非零向量a 共线．（证明三

点共线）三点A B C 、、共线⇔ AB AC 、

共线。 注意：(1)证明三点共线问题，可用向量共线解决，但应注意向量共线与三点共线的`区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．

(2)向量a 、b 共线是指存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a ＋λ2b ＝0成立，若λ1a ＋λ2b ＝0，当且仅当λ1＝λ2＝0时成立，则向量a 、b 不共线．

例1. 设两个非零向量a 与b 不共线，

(1)若AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →

＝3(a －b )，求证：A 、B 、D 三点共线； (2)试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 共线．

四．平面向量的基本定理：

如果e 1和e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a ，有且只有一对实数1λ、

2λ，使a =1λe 1＋2λe 2

我们把不共线的向量e 1和e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。

向量的夹角:已知两个非零向量a 、b ，作a A O =，b B O =，则∠AOB ＝θ，叫向量a 、b

的夹角，

当0θ=，a 、b 同向，当180θ=，a 、b 反向，当90θ=，a 与b 垂直，记作a

⊥b

。

例1如图，在△ABC 中，E 、F 分别为AC 、AB 的