平面向量全部讲义

第一节平面向量的概念及其线性运算

1．向量的有关概念

(1)向量：既有大小，又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模．

(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．

(3)单位向量：长度等于1个单位的向量．

(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线．

(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．

(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．

例1．若向量a与b不相等，则a与b一定()

A．有不相等的模B．不共线C．不可能都是零向量D．不可能都是单位向量

例2．.给出下列命题：①若|a|＝|b|，则a＝b；②若A，B，C，D是不共线的四点，则AB＝DC等价于四边形ABCD为平行四边形；③若a＝b，b＝c，则a＝c；④a＝b等价于|a|＝|b|且a∥b；⑤若a∥b，b∥c，则a∥c.

其中正确命题的序号是()

A．②③B．①②C．③④D．④⑤

CA

2．向量的线性运算

向量运算定义法则(或几何意义)运算律

加法求两个向量和的运

算

三角形法则

平行四边形法则

(1)交换律：

a＋b＝b＋a；

(2)结合律：

(a＋b)＋c＝

a＋(b＋c)

减法求a与b的相反向

量－b的和的运算

叫做a与b的差三角形法则

a－b＝a＋(－b)

数乘求实数λ与向量a

的积的运算

(1)|λa|＝|λ||a|；

(2)当λ＞0时，λa的方向与

a的方向相同；当λ＜0时，

λa的方向与a的方向相反；

λ(μa)＝(λμ)a；

(λ＋μ)a＝λa＋μa；

λ(a＋b)＝λa＋λb

例3：化简AC

→

－BD

→

＋CD

→

－AB

→

得() A.AB

→

B.DA

→

C.BC

→

D．0

例4：(1)如图，在正六边形ABCDEF中，BA＋CD＋EF＝()

A．0B．BE C．AD D．CF

(2)设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝

1

2AB，BE＝

2

3BC.若

DE＝λ1AB＋λ2AC

(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．

巩固练习：

1．将4(3a＋2b)－2(b－2a)化简成最简式为______________．

2．若|OA

→

＋OB

→

|＝|OA

→

－OB

→

|，则非零向量OA

→

，OB

→

的关系是() A．平行B．重合C．垂直D．不确

定

3．若菱形ABCD的边长为2，则|AB－CB＋CD|＝________

4．D是△ABC的边AB上的中点，则向量CD等于()

A．－BC＋

1

2

BA B．－BC－1

2

BA C．BC－1

2

BA D．BC＋1

2

BA

5．若A，B，C，D是平面内任意四点，给出下列式子：①AB＋CD＝BC＋DA；②AC＋BD＝BC＋AD；

③AC－BD＝DC＋AB.其中正确的有()

A．0个B．1个C．2个D．3个

6．如图，在△ABC中，D，E为边AB的两个三等分点，CA

→

＝3a，CB

→

＝2b，求CD

→

，CE

→

.

DD

1

2巩固练习1。16a＋6b2。C 3。2 4。A 5。C 6．解：AB

→

＝AC

→

＋CB

→

＝－3a＋2b，∵D，E

为AB

→

的两个三等分点，∴AD

→

＝

1

3AB

→

＝－a＋

2

3b＝DE

→

. ∴CD

→

＝CA

→

＋AD

→

＝3a－a＋

2

3b＝2a＋

2

3b.∴CE

→

＝CD

→

＋DE

→

＝2a

＋

2

3b－a＋

2

3b＝a＋

4

3b.

3．共线向量定理：向量a(a≠0)与b共线等价于存在唯一一个实数λ，使得b＝λa.

例5．已知a与b是两个不共线向量，且向量a＋λb与－(b－3a)共线，则λ＝________

例6．设两个非零向量a与b不共线，(1)若AB＝a＋b，BC＝2a＋8b，CD＝3(a－b)，

求证：A，B，D三点共线．(2)试确定实数k，使k a＋b和a＋k b共线．

1．给出下列命题：

①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量．②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小．③λa ＝0(λ为实数)，则λ必为零．④λ，μ为实数，若λa ＝μb ，则a 与b 共线．其中错误的命题的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3

D ．4

2.如图，已知AB ＝a ，AC ＝b ，BD ＝3DC ，用a ，b 表示AD ，则AD ＝( ) A ．a ＋34b B.14a ＋34b C.14a ＋1

4

b

D.34a ＋1

4

b 3．已知向量a ，b ，

c 中任意两个都不共线，但a ＋b 与c 共线，且b ＋c 与a 共线，则向量a ＋b ＋c ＝( )

A ．a

B ．b

C ．c

D ．0

4如图，在△ABC 中，∠A ＝60°，∠A 的平分线交BC 于D ，若AB ＝4，且AD ＝1

4AC ＋λAB (λ∈R )，则AD

的长为( )

A ．2 3

B ．33

C ．4 3

D ．5 3

5．在▱ABCD 中，AB ＝a ，AD ＝b ，AN ＝3NC ，M 为BC 的中点，则MN ＝________(用a ，b 表示)．

6．设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，BC 2＝16，|AB ＋AC |＝|AB －AC |，则|AM |＝________.

例5．－1

3

例6． [解] (1)证明：∵AB ＝a ＋b ，BC ＝2a ＋8b ，CD ＝3(a －b )，

∴BD ＝BC ＋CD ＝2a ＋8b ＋3(a －b )＝2a ＋8b ＋3a －3b ＝5(a ＋b )＝5AB .∴AB ，BD 共线， 又∵它们有公共点B ，∴A ，B ，D 三点共线．

(2)∵k a ＋b 与a ＋k b 共线，∴存在实数λ，使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )，

即k a ＋b ＝λa ＋λk b .∴(k －λ)a ＝(λk －1)b .∵a ，b 是不共线的两个非零向量， ∴k －λ＝λk －1＝0，∴k 2－1＝0.∴k ＝±1. C B D B －14a ＋1

4

b 2

4．向量的中线公式: 若P 为线段AB 的中点，O 为平面内一点，则OP ＝1

2(OA ＋OB )．

5．三点共线等价关系

A ，P ，

B 三点共线⇔AP ＝λAB (λ≠0)⇔OP ＝(1－t )·

OA ＋t OB (O 为平面内异于A ，P ，B 的任一点，t ∈R)⇔OP ＝x OA ＋y OB (O 为平面内异于A ，P ，B 的任一点，x ∈R ，y ∈R ，x ＋y ＝1)．

第二节 平面向量的基本定理及坐标表示

1．平面向量基本定理

如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.

其中，不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．

2．平面向量的坐标运算

(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模：设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，

则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，λa ＝(λx 1，λy 1)，|a |＝x 21＋y 21.

(2)向量坐标的求法：

①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．

②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB ＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，|AB |＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2.

3．平面向量共线的坐标表示

设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0.a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0.

例7．若A (0,1)，B (1,2)，C (3,4)，则AB →－2BC →

＝________

例8.已知点M (5，－6)和向量a ＝(1，－2)，若MN ＝－3a ，则点N 的坐标为( ) A ．(2,0) B ．(－3,6) C ．(6,2)

D ．(－2,0)

例9．已知A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)．设AB ＝a ，BC ＝b ，CA ＝c .(1)求3a ＋b －3c ； (2)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n .

巩固练习：

1．若向量a ＝(1,1)，b ＝(－1,1)，c ＝(4,2)，则c ＝( ) A ．3a ＋b B ．3a －b C ．－a ＋3b D ．a ＋3b

2．已知向量a ＝(x ，y )，b ＝(－1,2)，且a ＋b ＝(1,3)，则|a |等于( ) A. 2 B. 3 C. 5 D.10

3．已知向量a ＝(－3,2)，b ＝(x ，－4)，若a ∥b ，则x ＝( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．7

4．设点A (2,0)，B (4,2)，若点P 在直线AB 上，且|AB →|＝2|AP →

|，则点P 的坐标为( ) A ．(3,1) B ．(1，－1) C ．(3,1)或(1，－1) D ．无数多个