平面向量全部讲义

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第一节平面向量的概念及其线性运算→ 例 3：化简 AC → －BD→ → → ＋CD －AB 得()A. AB →B. DA →C.BCD ．01．向量的有关概念(1)向量：既有大小，又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模．例 4：(1)如图，在正六边形 ABCDEF 中， BA ＋CD ＋ E F ＝()(2)零向量：长度为 0 的向量，其方向是任意的． (3)单位向量：长度等于 1 个单位的向量．A ．0B ． BEC ． ADD ． CF(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定： 0 与任一向量共线．(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量． 1 2 (2)设 D ，E 分别是△ ABC 的边 AB ，BC 上的点，AD ＝ AB ，BE ＝ 2 3BC.若 D E ＝λ1 AB ＋λ2 AC(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．(λ1，λ2 为实数 )，则 λ1＋λ2 的值为 ________．例 1．若向量 a 与 b 不相等，则 a 与 b 一定( )巩固练习： A ．有不相等的模B ．不共线C ．不可能都是零向量D ．不可能都是单位向量1．将 4(3a ＋2b )－2(b －2a )化简成最简式为 ______________．例 2．.给出下列命题：①若 |a |＝|b |，则 a ＝b ；②若 A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则 AB ＝ D C 等价于四边形 → → → → → → ＋OB －OB ，OB 的关系是 ( ) A ．平行B ．重合C ．垂直D ．不确2．若|OA |＝|OA |，则非零向量 OAABCD 为平行四边形；③若 a ＝b ，b ＝c ，则 a ＝c ；④a ＝b 等价于 |a |＝|b |且 a ∥b ；⑤若 a ∥b ，b ∥c ，则 a ∥c .定其中正确命题的序号是 ( ) 3．若菱形 ABCD 的边长为 2，则| AB －CB ＋ C D |＝________ A ．②③B ．①②C ．③④D ．④⑤4．D 是△ABC 的边 AB 上的中点，则向量 CD 等于( )CAA ．－ BC ＋ 1 2BA B ．－ BC － 1 1 1 2 BAC ． BC －2 BAD ． B C ＋2BA2．向量的线性运算5．若 A ，B ，C ，D 是平面内任意四点，给出下列式子： ① AB ＋CD ＝ B C ＋ D A ；② AC ＋ B D ＝ B C ＋ AD ；向量运算定义法则(或几何意义 ) 运算律③ AC － BD ＝ DC ＋ AB .其中正确的有 ()A ．0 个B ．1 个C ．2 个D ．3 个(1)交换律：a ＋b ＝b ＋a ；求两个向量和的运三角形法则加法(2)结合律：算→ → → →＝3a ，CB ＝2b ，求CD ，CE6．如图，在△ ABC 中，D ，E 为边 AB 的两个三等分点， CA .减法求 a 与 b 的相反向量－b 的和的运算平行四边形法则(a ＋b )＋c ＝ a ＋(b ＋c )a －b ＝a ＋(－b )1→ → → ＝AC ＋CB＝－3a ＋2b ，∵D ，EDD 2 巩固练习 1。

平面向量讲义

平面向量讲义考纲泛读高考展望①理解平面向量的概念，理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示．②理解向量加、减法及向量数乘运算，并理解其几何意义，以及两个向量共线的含义．了解向量的线性运算性质及其几何意义．近几年的高考数学试题中，平面向量每年都考，题型多以填空题为主，有时也与三角函数、解析几何知识综合在一起以解答题形式进行考查，特别是向量的数量积的概念，几乎年年考查，估计今后几年仍然会保持这种命题趋势．③了解平面向量基本定理及其意义，掌握平面向量的正交分解及其坐标表示，会用坐标表示平面向量的加、减法运算与数乘运算，理解用坐标表示的平面向量共线的条件．④掌握平面向量的数量积的含义及其物理意义，了解平面向量的数量积与向量投影的关系．掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算，能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的平行或垂直关系．预计2012年的高考，一是考查平面向量的基本概念及运算，此类题一般难度不大，用以解决有关长度、夹角、垂直等问题；二是有可能出现以向量为工具，在三角函数、解析几何、数列等知识交汇点处命题的题目．⑤会用向量方法解决某些简单的平面几何问题，会用向量方法解决某些简单的力学问题和其他一些实际问题．⑥理解复数的概念，如复数相等、共轭复数、复数与复平面内的点或向量的一一对应关系．⑦理解复数的四则运算，了解复数的几何意义. 高考对复数知识的考查要求不高，多以填空题的形式考查复数的概念与复数的四则运算．因此，在考试中，应力求在与复数知识相关的小题中拿满分.一、平面向量的概念1、向量的概念2、向量的表示3、几种特殊向量：零向量、单位向量、共线向量（平行向量）例1、判断下列命题真假或给出问题的答案（1）平行向量的方向一定相同？（2）不相等的向量一定不平行.（3）与零向量相等的向量是什么向量？（4）与任何向量都平行的向量是什么向量？（5）若两个向量在同一直线上,则这两个向量一定是什么向量？（6）两个非零向量相等的条件是什么？（7）共线向量一定在同一直线上吗？【变式练习1】下列命题中正确的有_______.①单位向量都相等；②长度相等且方向相反的两个向量不一定是共线向量；③若非零向量a ，b 满足|a|＝|b|，且a 与b 同向，则a>b ；④对于任意向量a 、b ，必有|a ＋b|≤|a|＋|b|.二、向量的运算（包括线性运算和坐标运算）1、加法运算：平行四边形法则、矢量三角形法则2、减法运算：三角形法则3、数乘运算例2、在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F .若AC ＝a ，BD ＝b ，则AF ＝( )A.14a ＋12b B.23a ＋13b C.12a ＋14b D.13a ＋23b 例3、(2010·广东中山六校联考)在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD ＝2DB ，CD＝13CA ＋λCB 则λ等于( ) A.23 B.13 C ．－13 D ．－23三、向量的数量积1、数量积的定义2、数量积的运算公式：3、数量积的作用：4、向量垂直与平行的充要条件【例4】设a 、b 、c 是任意的非零平面向量，且相互不共线，则下列命题①(a ·b)c －(c ·a)b ＝0；②|a|－|b|<|a －b|；③(b ·c)a －(c ·a)b 不与c 垂直；④(3a ＋2b)·(3a －2b)＝9|a|2－4|b|2.其中是真命题的有________．【变式练习】下列命题中正确的个数是________.①若a ·b ＝0，则a ＝0或b ＝0；②(a ·b)·c ＝a ·(b ·c)；③若a ·b ＝b ·c(b ≠0)，则a ＝c ；④a ·b ＝b ·a ；⑤若a 与b 不共线，则a 与b 的夹角为锐角【变式练习】已知a 和b 的夹角为60°，|a|＝10，|b|＝8，求：(1)|a ＋b|；(2)a ＋b 与a 的夹角θ的余弦值．【例3】设向量a ＝(4cos α，sin α)，b ＝(sin β，4cos β)，c ＝(cos β，－4sin β)．(1)若a ⊥(b －2c)，求tan(α＋β)的值；(2)求|b ＋c|的取值范围；(3)若tan αtan β＝16，求证a ∥b. 例4(2010·湖南高考)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝4，则AB ·AC 等于( )A ．－16B ．－8C ．8D ．16四、平面向量的基本定理1、基本定理2、基底例5。

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第一节平面向量的概念及其线性运算1．向量的有关概念(1)向量：既有大小，又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模．(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．(3)单位向量：长度等于1个单位的向量．(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线．(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．例1．若向量a与b不相等，则a与b一定()A．有不相等的模B．不共线C．不可能都是零向量D．不可能都是单位向量例2．.给出下列命题：①若|a|＝|b|，则a＝b；②若A，B，C，D是不共线的四点，则AB＝DC等价于四边形ABCD为平行四边形；③若a＝b，b＝c，则a＝c；④a＝b等价于|a|＝|b|且a∥b；⑤若a∥b，b∥c，则a∥c.其中正确命题的序号是()A．②③B．①②C．③④D．④⑤CA2．向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算三角形法则平行四边形法则(1)交换律：a＋b＝b＋a；(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)减法求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差三角形法则a－b＝a＋(－b)数乘求实数λ与向量a的积的运算(1)|λa|＝|λ||a|；(2)当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb例3：化简AC→－BD→＋CD→－AB→得() A.AB→B.DA→C.BC→D．0例4：(1)如图，在正六边形ABCDEF中，BA＋CD＋EF＝()A．0B．BE C．AD D．CF(2)设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝12AB，BE＝23BC.若DE＝λ1AB＋λ2AC(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．巩固练习：1．将4(3a＋2b)－2(b－2a)化简成最简式为______________．2．若|OA→＋OB→|＝|OA→－OB→|，则非零向量OA→，OB→的关系是() A．平行B．重合C．垂直D．不确定3．若菱形ABCD的边长为2，则|AB－CB＋CD|＝________4．D是△ABC的边AB上的中点，则向量CD等于()A．－BC＋12BA B．－BC－12BA C．BC－12BA D．BC＋12BA5．若A，B，C，D是平面内任意四点，给出下列式子：①AB＋CD＝BC＋DA；②AC＋BD＝BC＋AD；③AC－BD＝DC＋AB.其中正确的有()A．0个B．1个C．2个D．3个6．如图，在△ABC中，D，E为边AB的两个三等分点，CA→＝3a，CB→＝2b，求CD→，CE→.DD12巩固练习1。

《平面向量》归纳整合课件

《平面向量》归纳整合课件xx年xx月xx日CATALOGUE目录•向量的基础知识•向量的进阶知识•向量的实际应用•向量的综合练习•向量的学习策略01向量的基础知识向量的定义与性质向量的定义向量是一种有方向和大小的量，用符号$\mathbf{a}$表示。

向量的性质向量具有平行四边形法则、三角形法则和数乘运算等性质。

1向量的运算规则23两个向量相加，得到的结果是一个向量，其大小等于两个向量大小之和，方向与两个向量方向相同。

向量的加法两个向量相减，得到的结果是一个向量，其大小等于两个向量大小之差，方向与两个向量方向相反。

向量的减法一个数与一个向量相乘，得到的结果是一个向量，其大小等于原向量大小乘以这个数，方向不变。

向量的数乘在平面直角坐标系中，一个向量可以表示为$\mathbf{a} = (x,y)$，其中$x$和$y$分别表示这个向量的横坐标和纵坐标。

平面直角坐标系中的向量一个向量的模等于这个向量的长度，用符号$|\mathbf{a}|$表示，计算公式为$|\mathbf{a}| = \sqrt{x^2 + y^2}$。

向量的模向量的坐标表示02向量的进阶知识向量的模与夹角向量的模向量的大小或长度，用符号|a|表示，计算公式为：√(x²+y²)向量的夹角两个向量之间的角度，用符号θ表示，计算公式为：θ=arccos[(x₁*x₂+y₁*y₂)/(|a|*|b|)]数量积的定义两个向量的数量积，用符号〈a,b〉表示，计算公式为：〈a,b〉=x₁*x₂+y₁*y₂数量积的几何意义表示两个向量在坐标平面上的投影向量的模的乘积向量的数量积向量的平行四边形法则平行四边形法则的描述给定向量a和b，以及任意向量OC，则向量OD=向量a+向量b，且向量OD与向量OC共线平行四边形法则的推论如果向量a与向量b共线，则存在实数k，使得向量b=k*向量a平行四边形法则的应用在解析几何中，常常用来求解一些复杂的几何问题，比如轨迹问题、追及问题等03向量的实际应用平面向量在几何中有着广泛的应用，如向量加法、减法、数乘等运算，可以表示几何中的长度、角度、平行、垂直等概念。

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04
平面向量的应用
向量在几何中的应用
向量在平面几何中的应用广泛，如证明平行、垂直、等角等性质。
向量可以表示空间中的点、线、面等基本元素，有助于解决空间几何问题。
利用向量的数量积和向量积，可以计算角度、距离等几何量。
向量在物理中的应用
向量在物理中常用于描述物体的运动状态和相互作用。
力的合成与分解：通过向量的加减法，可以将多个力合成一个力，也可以将一个力分解成多个力
2. 向量减法的定义：同向、反向、共线等条件下的两个向量的差，以线段为工具进行求解。
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1. 向量加法的定义：同向、反向、共线等条件下的两个向量的和，以线段为工具进行求解。
例题二：向量的数乘与数量积
详细描述
2. 向量数量积的定义：两个向量的数量积等于它们对应分量乘积的和，结果
为一个标量。
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目录
CONTENTS
• 平面向量基本概念 • 平面向量的运算 • 平面向量的坐标表示 • 平面向量的应用 • 平面向量的扩展知识 • 平面向量综合例题
01
平面向量基本概念
向量的定义
既有大小又有方向的量称为向量
向量的表示方法：用有向线段表示，线段的长度表示向量的大小，箭头表示向量的方向
向量的坐标运算
对于两个向量(x1，y1)和(x2，y2)，它们的加法、减法、数乘和数量积等运算均可以通过对应坐标的加法、减法、数乘和数量积来实现。
向量的模
向量的模的定义
向量(x，y)的模（或长度）可以用 sqrt(x²+y²) 来计算。
向量的模的性质
向量的模是非负实数，且对于任意两个向量(x1，y1)和(x2，y2) ，满足|(x1，y1)| ≤ |(x2，y2)| 当且仅当 x1 ≤ x2 且 y1 ≤ y2。

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平面向量第一节平面向量的概念及线性运算一、基础知识1．向量的有关概念(1)向量的定义及表示：既有大小又有方向的量叫做向量．以A 为起点、B 为终点的向量记作AB ―→，也可用黑体的单个小写字母a ，b ，c ，…来表示向量．(2)向量的长度(模)：向量AB ―→的大小即向量AB ―→的长度(模)，记为|AB ―→|. 2．几种特殊向量单位向量有无数个，它们大小相等，但方向不一定相同；与向量a 平行的单位向量有两个，即向量a |a |和－a|a |.3．向量的线性运算❷多个向量相加，利用三角形法则，应首尾顺次连接，a＋b＋c表示从始点指向终点的向量，只关心始点、终点.4．共线向量定理向量a (a ≠0)与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得b ＝λa . 只有a ≠0才保证实数λ的存在性和唯一性.二、常用结论(1)若P 为线段AB 的中点，O 为平面内任一点，则OP ―→＝12(OA ―→＋OB ―→)．(2)OA ―→＝λOB ―→＋μOC ―→(λ，μ为实数)，若点A ，B ，C 三点共线，则λ＋μ＝1. 考点一平面向量的有关概念[典例] 给出下列命题： ①若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ；②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则AB ―→＝DC ―→是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件； ③a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b ； ④若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c . 其中正确命题的序号是________．[解析] ①正确．∵a ＝b ，∴a ，b 的长度相等且方向相同，又b ＝c ，∴b ，c 的长度相等且方向相同，∴a ，c 的长度相等且方向相同，故a ＝c . ②正确．∵AB ―→＝DC ―→，∴|AB ―→|＝|DC ―→|且AB ―→∥DC ―→，又A ，B ，C ，D 是不共线的四点， ∴四边形ABCD 为平行四边形；反之，若四边形ABCD 为平行四边形，则AB ―→∥DC ―→且|AB ―→|＝|DC ―→|，因此，AB ―→＝DC ―→.③不正确．当a ∥b 且方向相反时，即使|a |＝|b |，也不能得到a ＝b ，故|a |＝|b |且a ∥b 不是a ＝b 的充要条件，而是必要不充分条件．④不正确．考虑b ＝0这种特殊情况．综上所述，正确命题的序号是①②. [解题技法] 向量有关概念的关键点 (1)向量定义的关键是方向和长度．(2)非零共线向量的关键是方向相同或相反，长度没有限制． (3)相等向量的关键是方向相同且长度相等． (4)单位向量的关键是长度都是一个单位长度．(5)零向量的关键是长度是0，规定零向量与任意向量共线． [题组训练] 1．给出下列命题：①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量；②λa ＝0(λ为实数)，则λ必为零； ③λ，μ为实数，若λa ＝μb ，则a 与b 共线．其中错误的命题的个数为( ) A ．0 B ．1C ．2 D ．3解析：①错误，两向量共线要看其方向而不是起点或终点．②错误，当a ＝0时，不论λ为何值，λa ＝0.③错误，当λ＝μ＝0时，λa ＝μb ＝0，此时，a 与b 可以是任意向量．故错误的命题有3个，故选D.2．设a 0为单位向量，下列命题中：①若a 为平面内的某个向量，则a ＝|a |·a 0；②若a 与a 0平行，则a ＝|a |a 0；③若a 与a 0平行且|a |＝1，则a ＝a 0，假命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：向量是既有大小又有方向的量，a 与|a |a 0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a 与a 0平行，则a 与a 0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a ＝－|a |a 0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3.考点二平面向量的线性运算[典例] (1)在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB ―→＝( ) A.34AB ―→－14AC ―→ B.14AB ―→－34AC ―→C.34AB ―→＋14AC ―→ D.14AB ―→＋34AC ―→ (2)如图，在直角梯形ABCD 中，DC ―→＝14AB ―→，BE ―→＝2EC ―→，且AE ―→＝r AB ―→＋s AD ―→，则2r＋3s ＝( )A ．1B ．2C ．3D ．4[解析] (1)作出示意图如图所示．EB ―→＝ED ―→＋DB ―→＝12AD ―→＋12CB ―→＝12×12(AB ―→＋AC ―→)＋12(AB ―→－AC ―→)＝34AB ―→－14AC ―→.故选A. (2)根据图形，由题意可得AE ―→＝AB ―→＋BE ―→＝AB ―→＋23BC ―→＝AB ―→＋23(BA ―→＋AD ―→＋DC ―→)＝13AB ―→＋23(AD ―→＋DC ―→)＝13AB ―→＋23⎝⎛⎭⎫AD ―→＋14AB ―→＝12AB ―→＋23AD ―→. 因为AE ―→＝r AB ―→＋s AD ―→，所以r ＝12，s ＝23，则2r ＋3s ＝1＋2＝3.[解题技法] 向量线性运算的解题策略(1)常用的法则是平行四边形法则和三角形法则，一般共起点的向量求和用平行四边形法则，求差用三角形法则，求首尾相连的向量的和用三角形法则．(2)找出图形中的相等向量、共线向量，将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解． (3)用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：①观察各向量的位置；②寻找相应的三角形或多边形；③运用法则找关系；④化简结果．(4)与向量的线性运算有关的参数问题，一般是构造三角形，利用向量运算的三角形法则进行加法或减法运算，然后通过建立方程组即可求得相关参数的值．[题组训练]1．设D 为△ABC 所在平面内一点，BC ―→＝3CD ―→，则( )A ．AD ―→＝－13AB ―→＋43AC ―→ B ．AD ―→＝13AB ―→－43AC ―→C ．AD ―→＝43AB ―→＋13AC ―→ D ．AD ―→＝43AB ―→－13AC ―→解析：由题意得AD ―→＝AC ―→＋CD ―→＝AC ―→＋13BC ―→＝AC ―→＋13AC ―→－13AB ―→＝－13AB ―→＋43AC ―→.2．在正方形ABCD 中，M ，N 分别是BC ，CD 的中点，若AC ―→＝λAM ―→＋μAN ―→，则实数λ＋μ＝________. 解析：如图，∵AM ―→＝AB ―→＋BM ―→＝AB ―→＋12BC ―→＝DC ―→＋12BC ―→，①AN ―→＝AD ―→＋DN ―→＝BC ―→＋12DC ―→，②由①②得BC ―→＝43AN ―→－23AM ―→，DC ―→＝43AM ―→－23AN ―→，∴AC ―→＝AB ―→＋BC ―→＝DC ―→＋BC ―→＝43AM ―→－23AN ―→＋43AN ―→－23AM ―→＝23AM ―→＋23AN ―→，∵AC ―→＝λAM ―→＋μAN ―→，∴λ＝23，μ＝23，λ＋μ＝43.考点三共线向量定理的应用[典例] 设两个非零向量a 与b 不共线，(1)若AB ―→＝a ＋b ，BC ―→＝2a ＋8b ，CD ―→＝3a －3b ，求证：A ，B ，D 三点共线； (2)试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 同向．[解] (1)证明：∵AB ―→＝a ＋b ，BC ―→＝2a ＋8b ，CD ―→＝3a －3b ，∴BD ―→＝BC ―→＋CD ―→＝2a ＋8b ＋3a －3b ＝5(a ＋b )＝5AB ―→，∴AB ―→，BD ―→共线．又∵它们有公共点B ，∴A ，B ，D 三点共线．(2)∵k a ＋b 与a ＋k b 同向，∴存在实数λ(λ>0)，使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )，即k a ＋b ＝λa ＋λk b .∴(k －λ)a ＝(λk －1)b .∵a ，b 是不共线的非零向量，∴⎩⎪⎨⎪⎧ k －λ＝0，λk －1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ k ＝1，λ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1，λ＝－1，又∵λ>0，∴k ＝1.1.向量共线问题的注意事项(1)向量共线的充要条件中，当两向量共线时，通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，注意待定系数法和方程思想的运用．(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得到三点共线．[题组训练]1．在四边形ABCD 中，AB ―→＝a ＋2b ，BC ―→＝－4a －b ，CD ―→＝－5a －3b ，则四边形ABCD 的形状是( ) A ．矩形 B ．平行四边形C ．梯形 D ．以上都不对解析：选C 由已知，得AD ―→＝AB ―→＋BC ―→＋CD ―→＝－8a －2b ＝2(－4a －b )＝2BC ―→，故AD ―→∥BC ―→.又因为AB ―→与CD ―→不平行，所以四边形ABCD 是梯形．2．已知向量e 1≠0，λ∈R ，a ＝e 1＋λe 2，b ＝2e 1，若向量a 与向量b 共线，则( ) A ．λ＝0 B ．e 2＝0C ．e 1∥e 2 D ．e 1∥e 2或λ＝0解析：选D 因为向量e 1≠0，λ∈R ，a ＝e 1＋λe 2，b ＝2e 1，又因为向量a 和b 共线，存在实数k ，使得a ＝k b ，所以e 1＋λe 2＝2k e 1，所以λe 2＝(2k －1)e 1，所以e 1∥e 2或λ＝0.3．已知O 为△ABC 内一点，且AO ―→＝12(OB ―→＋OC ―→)，AD ―→＝t AC ―→，若B ，O ，D 三点共线，则t ＝( )A.14B.13C.12D.23解析：选B 设E 是BC 边的中点，则12(OB ―→＋OC ―→)＝OE ―→，由题意得AO ―→＝OE ―→，所以AO ―→＝12AE ―→＝14(AB ―→＋AC ―→)＝14AB ―→＋14t AD ―→，又因为B ，O ，D 三点共线，所以14＋14t ＝1，解得t ＝13，故选B.4．已知O ，A ，B 三点不共线，P 为该平面内一点，且OP ―→＝OA ―→＋AB―→|AB ―→|，则( )A ．点P 在线段AB 上B ．点P 在线段AB 的延长线上C ．点P 在线段AB 的反向延长线上D ．点P 在射线AB 上解析：由OP ―→＝OA ―→＋AB ―→|AB ―→|，得OP ―→－OA ―→＝AB ―→|AB ―→|，∴AP ―→＝1|AB ―→|·AB ―→，∴点P 在射线AB 上，故选D.第二节平面向量基本定理及坐标表示一、基础知识1．平面向量基本定理(1)定理：如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.(2)基底：不共线的向量e 1e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． (1)基底e 1，e 2必须是同一平面内的两个不共线向量，零向量不能作为基底； (2)基底给定，同一向量的分解形式唯一；(3)如果对于一组基底e 1，e 2，有a ＝λ1e 1＋λ2e 2＝μ1e 1＋μ2e 2，则可以得到⎩⎪⎨⎪⎧λ1＝μ1，λ2＝μ2.2．平面向量的坐标运算(1)向量的加法、减法、数乘向量及向量的模：设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，λa ＝(λx 1，λy 1)，|a |＝x 21＋y 21.若a ＝b ，则x 1＝x 2且y 1＝y 2. (2)向量坐标的求法：①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标． ②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB ―→＝(x 2－x 1，y 2－y 1)， |AB ―→|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2. 3．平面向量共线的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0，则a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0.当且仅当x 2y 2≠0时，a ∥b 与x 1x 2＝y 1y 2等价．即两个不平行于坐标轴的共线向量的对应坐标成比例．考点一平面向量基本定理及其应用[典例] 如图，以向量OA ―→＝a ，OB ―→＝b 为邻边作平行四边形OADB ，BM ―→＝13BC ―→，CN―→＝13CD ―→，用a ，b 表示OM ―→，ON ―→，MN ―→. [解] ∵BA ―→＝OA ―→－OB ―→＝a －b ，BM ―→＝16BA ―→＝16a －16b ，∴OM ―→＝OB ―→＋BM ―→＝16a ＋56b .∵OD ―→＝a ＋b ，∴ON ―→＝OC ―→＋13CD ―→＝12OD ―→＋16OD ―→＝23OD ―→＝23a ＋23b ，∴MN ―→＝ON ―→－OM ―→＝23a ＋23b －16a －56b ＝12a －16b .综上，OM ―→＝16a ＋56b ，ON ―→＝23a ＋23b ，MN ―→＝12a －16b .[解题技法]1．平面向量基本定理解决问题的一般思路(1)先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示为向量的形式，再通过向量的运算来解决．(2)在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便．另外，要熟练运用平面几何的一些性质定理．2．应用平面向量基本定理应注意的问题(1)只要两个向量不共线，就可以作为平面向量的一组基底，基底可以有无穷多组．(2)利用已知向量表示未知向量，实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加减运算或数乘运算．[题组训练]1．在△ABC 中，P ，Q 分别是AB ，BC 的三等分点，且AP ＝13AB ，BQ ＝13BC ，若AB ―→＝a ，AC ―→＝b ，则P Q―→＝( )A.13a ＋13b B ．－13a ＋13b C.13a －13b D ．－13a －13b 解析：由题意知P Q ―→＝PB ―→＋B Q ―→＝23AB ―→＋13BC ―→＝23AB ―→＋13(AC ―→－AB ―→)＝13AB ―→＋13AC ―→＝13a ＋13b .2．已知在△ABC 中，点O 满足OA ―→＋OB ―→＋OC ―→＝0，点P 是OC 上异于端点的任意一点，且OP ―→＝m OA ―→＋n OB ―→，则m ＋n 的取值范围是________．解析：依题意，设OP ―→＝λOC ―→ (0<λ<1)，由OA ―→＋OB ―→＋OC ―→＝0，知OC ―→＝－(OA ―→＋OB ―→)，所以OP ―→＝－λOA ―→－λOB ―→，由平面向量基本定理可知，m ＋n ＝－2λ，所以m ＋n ∈(－2,0)．考点二平面向量的坐标运算[典例] 已知A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)．设AB ―→＝a ，BC ―→＝b ，CA ―→＝c ，且CM ―→＝3c ，CN ―→＝－2b ， (1)求3a ＋b －3c ；(2)求M ，N 的坐标及向量MN ―→的坐标．[解] 由已知得a ＝(5，－5)，b ＝(－6，－3)，c ＝(1,8)．(1)3a ＋b －3c ＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)． (2)设O 为坐标原点，∵CM ―→＝OM ―→－OC ―→＝3c ，∴OM ―→＝3c ＋OC ―→＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)． ∴M (0,20)．又∵CN ―→＝ON ―→－OC ―→＝－2b ，∴ON ―→＝－2b ＋OC ―→＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)， ∴N (9,2)，∴MN ―→＝(9，－18)． [变透练清]1.(变结论)本例条件不变，若a ＝m b ＋n c ，则m ＝________，n ＝________.解析：∵m b ＋n c ＝(－6m ＋n ，－3m ＋8n )，a ＝(5，－5)，∴⎩⎪⎨⎪⎧－6m ＋n ＝5，－3m ＋8n ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝－1.2．已知O 为坐标原点，向量OA ―→＝(2,3)，OB ―→＝(4，－1)，且AP ―→＝3PB ―→，则|OP ―→|＝________.解析：设P (x ，y )，由题意可得A ，B 两点的坐标分别为(2,3)，(4，－1)，由AP ―→＝3PB ―→，可得⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝12－3x ，y －3＝－3y －3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝72，y ＝0，故|OP ―→|＝72.[解题技法]1．平面向量坐标运算的技巧(1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．(2)解题过程中，常利用“向量相等，则其坐标相同”这一原则，通过列方程(组)来进行求解． 2．向量坐标运算的注意事项(1)向量坐标与点的坐标形式相似，实质不同． (2)向量坐标形式的线性运算类似多项式的运算．(3)向量平行与垂直的坐标表达形式易混淆，需清楚结论推导过程与结果，加以区分．考点三平面向量共线的坐标表示[典例] 已知a ＝(1,0)，b ＝(2,1)． (1)当k 为何值时，k a －b 与a ＋2b 共线；(2)若AB ―→＝2a ＋3b ，BC ―→＝a ＋m b ，且A ，B ，C 三点共线，求m 的值． [解] (1)∵a ＝(1,0)，b ＝(2,1)，∴k a －b ＝k (1,0)－(2,1)＝(k －2，－1)，a ＋2b ＝(1,0)＋2(2,1)＝(5,2)，∵k a －b 与a ＋2b 共线，∴2(k －2)－(－1)×5＝0，∴k ＝－12.(2)AB ―→＝2(1,0)＋3(2,1)＝(8,3)，BC ―→＝(1,0)＋m (2,1)＝(2m ＋1，m )． ∵A ，B ，C 三点共线，∴AB ―→∥BC ―→，∴8m －3(2m ＋1)＝0，∴m ＝32.[解题技法]1．平面向量共线的充要条件的2种形式(1)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件是x 1y 2－x 2y 1＝0. (2)若a ∥b (b ≠0)，则a ＝λb . 2．两个向量共线的充要条件的作用判断两个向量是否共线(或平行)，可解决三点共线的问题；另外，利用两个向量共线的充要条件可以列出方程(组)，求参数的值．[题组训练]1．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(－3,2)，若(k a ＋b )∥(a －3b )，则实数k 的取值为( ) A ．－13 B.13C ．－3D ．3解析：选A k a ＋b ＝k (1,2)＋(－3,2)＝(k －3,2k ＋2)．a －3b ＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)，则由(k a ＋b )∥(a －3b )得(k －3)×(－4)－10×(2k ＋2)＝0，所以k ＝－13.2．已知在平面直角坐标系xOy 中，P 1(3,1)，P 2(－1,3)，P 1，P 2，P 3三点共线且向量OP 3―→与向量a ＝(1，－1)共线，若OP 3―→＝λOP 1―→＋(1－λ)OP 2―→，则λ＝( )A ．－3B ．3C ．1D ．－1解析：设OP 3―→＝(x ，y )，则由OP 3―→∥a 知x ＋y ＝0，于是OP 3―→＝(x ，－x )．若OP 3―→＝λOP 1―→＋(1－λ)OP 2―→，则有(x ，－x )＝λ(3,1)＋(1－λ)(－1,3)＝(4λ－1,3－2λ)，即⎩⎪⎨⎪⎧4λ－1＝x ，3－2λ＝－x ，所以4λ－1＋3－2λ＝0，解得λ＝－1，故选D.3．在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，且DC ＝2AB ，三个顶点A (1,2)，B (2,1)，C (4,2)，则点D 的坐标为________．解析：∵在梯形ABCD 中，DC ＝2AB ，AB ∥CD ，∴DC ―→＝2AB ―→. 设点D 的坐标为(x ，y )，则DC ―→＝(4－x,2－y )，AB ―→＝(1，－1)， ∴(4－x,2－y )＝2(1，－1)，即(4－x,2－y )＝(2，－2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 4－x ＝2，2－y ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4，故点D 的坐标为(2,4)．第三节平面向量的数量积一、基础知识1．向量的夹角(1)定义：已知两个非零向量a 和b ，如图所示，作OA ―→＝a ，OB ―→＝b ，则∠AOB ＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a 与b 的夹角，记作〈a ，b 〉．只有两个向量的起点重合时所对应的角才是两向量的夹角． (2)范围：夹角θ的范围是[0，π]．当θ＝0时，两向量a ，b 共线且同向；当θ＝π2时，两向量a ，b 相互垂直，记作a ⊥b ；当θ＝π时，两向量a ，b 共线但反向． 2．平面向量数量积的定义已知两个非零向量a 与b ，我们把数量|a ||b | cos θ叫做a 与b 的数量积(或内积)，记作a ·b ，即a ·b ＝|a ||b |cos θ，其中θ是a 与b 的夹角．规定：零向量与任一向量的数量积为零． 3．平面向量数量积的几何意义 (1)一个向量在另一个向量方向上的投影设θ是a ，b 的夹角，则|b |cos θ叫做向量b 在向量a 的方向上的投影，|a |cos θ叫做向量a 在向量b 的方向上的投影．(2)a ·b 的几何意义数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积．投影和两向量的数量积都是数量，不是向量. 4．向量数量积的运算律(1)交换律：a ·b ＝b ·a .(2)数乘结合律：(λa )·b ＝λ(a ·b )＝a ·(λb )． (3)分配律：(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c .向量数量积的运算不满足乘法结合律，即(a ·b )·c 不一定等于a ·(b ·c )，这是由于(a ·b )·c 表示一个与c 共线的向量，a ·(b ·c )表示一个与a 共线的向量，而c 与a 不一定共线．5．平面向量数量积的性质设a ，b 为两个非零向量，e 是与b 同向的单位向量，θ是a 与e 的夹角，则 (1)e ·a ＝a ·e ＝|a |cos θ.(2)a ⊥b ⇔a ·b ＝0.(3)当a 与b 同向时，a ·b ＝|a||b|；当a 与b 反向时，a ·b ＝－|a||b|. 特别地，a ·a ＝|a|2或|a|＝a ·a .(4)cos θ＝a ·b|a ||b |.(5)|a ·b |≤|a||b|.6．平面向量数量积的坐标表示已知两个非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ为a 与b 的夹角，则(1)|a |＝x 21＋y 21； (3)a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0；(2)a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2;_ (4)cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21 x 22＋y 22.二、常用结论汇总1．平面向量数量积运算的常用公式(1)(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2；(2)(a ±b )2＝a 2±2a ·b ＋b 2. 2．有关向量夹角的两个结论(1)两个向量a 与b 的夹角为锐角，则有a ·b >0，反之不成立(因为夹角为0时不成立)； (2)两个向量a 与b 的夹角为钝角，则有a ·b <0，反之不成立(因为夹角为π时不成立)．考点一平面向量的数量积的运算[典例] (1)若向量m ＝(2k －1，k )与向量n ＝(4,1)共线，则m ·n ＝( ) A ．0 B ．4C ．－92D ．－172(2)在如图所示的平面图形中，已知OM ＝1，ON ＝2，∠MON ＝120°，BM ―→＝2MA ―→，CN ―→＝2NA ―→，则BC ―→·OM ―→的值为( )A ．－15B ．－9C ．－6D ．0[解析] (1)∵向量m ＝(2k －1，k )与向量n ＝(4,1)共线，∴2k －1－4k ＝0，解得k ＝－12，∴m ＝⎝⎛⎭⎫－2，－12，∴m ·n ＝－2×4＋⎝⎛⎭⎫－12×1＝－172. (2)法一：如图，连接MN .∵BM ―→＝2MA ―→，CN ―→＝2NA ―→，∴AM AB ＝AN AC ＝13.∴MN ∥BC ，且MN BC ＝13.∴BC ―→＝3MN ―→＝3(ON ―→－OM ―→)．∴BC ―→·OM ―→＝3(ON ―→·OM ―→－OM ―→2)＝3(2×1×cos 120°－12)＝－6.法二：在△ABC 中，不妨设∠A ＝90°，取特殊情况ON ⊥AC ，以A 为坐标原点，AB ，AC所在直线分别为x 轴，y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，因为∠MON ＝120°，ON ＝2，OM ＝1，所以O ⎝⎛⎭⎫2，32，C ⎝⎛⎭⎫0，332，M ⎝⎛⎭⎫52，0，B ⎝⎛⎭⎫152，0.故BC ―→·OM ―→＝⎝⎛⎭⎫－152，332·⎝⎛⎭⎫12，－32＝－154－94＝－6.[解题技法] 求非零向量a ，b 的数量积的策略(1)若两向量共起点，则两向量的夹角直接可得，根据定义即可求得数量积；若两向量的起点不同，则需要通过平移使它们的起点重合，再计算．(2)根据图形之间的关系，用长度和相互之间的夹角都已知的向量分别表示出向量a ，b ，然后根据平面向量的数量积的定义进行计算求解．(3)若图形适合建立平面直角坐标系，可建立坐标系，求出a ，b 的坐标，通过坐标运算求解． [题组训练]1．已知矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝1，则AC ―→·CB ―→＝( ) A ．1 B ．－1C.6D ．2 2 解析：选B 设AB ―→＝a ，AD ―→＝b ，则a ·b ＝0，∵|a |＝2，|b |＝1，∴AC ―→·CB ―→＝(a ＋b )·(－b )＝－a ·b －b 2＝－1.2．已知向量a ，b 满足a ·(b ＋a )＝2，且a ＝(1,2)，则向量b 在a 方向上的投影为( ) A.55 B ．－55C ．－255 D ．－355解析：由a ＝(1,2)，可得|a |＝5，由a ·(b ＋a )＝2，可得a ·b ＋a 2＝2， ∴a ·b ＝－3，∴向量b 在a 方向上的投影为a ·b |a |＝－355.3．在△ABC 中，已知AB ―→与AC ―→的夹角为90°，|AB ―→|＝2，|AC ―→|＝1，M 为BC 上的一点，且AM ―→＝λAB ―→＋μAC ―→(λ，μ∈R)，且AM ―→·BC ―→＝0，则 λμ的值为________．解析：法一：∵BC ―→＝AC ―→－AB ―→，AM ―→·BC ―→＝0，∴(λAB ―→＋μAC ―→)·(AC ―→－AB ―→)＝0，∵AB ―→与AC ―→的夹角为90°，|AB ―→|＝2，|AC ―→|＝1，∴－λ|AB ―→|2＋μ|AC ―→|2＝0，即－4λ＋μ＝0，∴λμ＝14.法二：根据题意，建立如图所示的平面直角坐标系，则A (0,0)，B (0,2)，C (1,0)，所以AB ―→＝(0,2)，AC ―→＝(1,0)，BC ―→＝(1，－2)．设M (x ，y )，则AM ―→＝(x ，y )，所以AM ―→·BC ―→＝(x ，y )·(1，－2)＝x －2y ＝0，所以x ＝2y ，又AM ―→＝λAB ―→＋μAC ―→，即(x ，y )＝λ(0,2)＋μ(1,0)＝(μ，2λ)，所以x ＝μ，y ＝2λ，所以λμ＝12y 2y ＝14.考点二平面向量数量积的性质考法(一) 平面向量的模[典例] (1)已知非零向量a ，b 满足a ·b ＝0，|a |＝3，且a 与a ＋b 的夹角为π4，则|b |＝( )A ．6B ．32C ．2 2D ．3(2)已知向量a ，b 为单位向量，且a ·b ＝－12，向量c 与a ＋b 共线，则|a ＋c |的最小值为( )A ．1 B.12C.34 D.32[解析] (1)∵a ·b ＝0，|a |＝3，∴a ·(a ＋b )＝a 2＋a ·b ＝|a ||a ＋b |cos π4，∴|a ＋b |＝32，将|a ＋b |＝32两边平方可得，a 2＋2a ·b ＋b 2＝18，解得|b |＝3，(2)∵向量c 与a ＋b 共线，∴可设c ＝t (a ＋b )(t ∈R)，∴a ＋c ＝(t ＋1)a ＋t b ，∴(a ＋c )2＝(t ＋1)2a 2＋2t (t ＋1)·a ·b ＋t 2b 2，∵向量a ，b 为单位向量，且a ·b ＝－12，∴(a ＋c )2＝(t ＋1)2－t (t ＋1)＋t 2＝t 2＋t ＋1≥34，∴|a ＋c |≥32，∴|a ＋c |的最小值为32，考法(二) 平面向量的夹角[典例] (1)已知平面向量a ，b 的夹角为π3，且|a |＝1，|b |＝12，则a ＋2b 与b 的夹角是( )A.π6B.5π6C.π4D.3π4(2)已知向量a ＝(1，3)，b ＝(3，m )且b 在a 方向上的投影为－3，则向量a 与b 的夹角为________． [解析] (1)因为|a ＋2b |2＝|a |2＋4|b |2＋4a ·b ＝1＋1＋4×1×12×cos π3＝3，所以|a ＋2b |＝ 3.又(a ＋2b )·b ＝a ·b ＋2|b |2＝1×12×cos π3＋2×14＝14＋12＝34，所以cos 〈a ＋2b ，b 〉＝(a ＋2b )·b |a ＋2b ||b |＝343×12＝32，所以a ＋2b 与b 的夹角为π6.(2)因为b 在a 方向上的投影为－3，所以|b |cos 〈a ，b 〉＝－3，又|a |＝12＋(3)2＝2，所以a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉＝－6，又a ·b ＝3＋3m ，所以3＋3m ＝－6，解得m ＝－33，则b ＝(3，－33)，所以|b |＝32＋(－33)2＝6，所以cos 〈a ，b 〉＝a ·b|a ||b |＝－62×6＝－12，因为0≤〈a ，b 〉≤π，所以a 与b 的夹角为2π3.考法(三) 平面向量的垂直[典例] (1)若非零向量a ，b 满足|a |＝223|b |，且(a －b )⊥(3a ＋2b )，则a 与b 的夹角为( ) A.π4 B.π2C.3π4D ．π(2)已知向量AB ―→与AC ―→的夹角为120°，且|AB ―→|＝3，|AC ―→|＝2.若AP ―→＝λAB ―→＋AC ―→，且AP ―→⊥BC ―→，则实数λ的值为________．[解析] (1)设a 与b 的夹角为θ，因为|a |＝223|b |，(a －b )⊥(3a ＋2b )，所以(a －b )·(3a ＋2b )＝3|a |2－2|b |2－a ·b ＝83|b |2－2|b |2－223|b |2cos θ＝0，解得cos θ＝22，因为θ∈[0，π]，所以θ＝π4. (2)由AP ―→⊥BC ―→，知AP ―→·BC ―→＝0，即AP ―→·BC ―→＝(λAB ―→＋AC ―→)·(AC ―→－AB ―→)＝(λ－1)AB ―→·AC ―→－λAB ―→2＋AC ―→2＝(λ－1)×3×2×⎝⎛⎭⎫－12－λ×9＋4＝0，解得λ＝712. [解题技法]1．利用坐标运算证明两个向量的垂直问题若证明两个向量垂直，先根据共线、夹角等条件计算出这两个向量的坐标；然后根据数量积的坐标运算公式，计算出这两个向量的数量积为0即可．2．已知两个向量的垂直关系，求解相关参数的值根据两个向量垂直的充要条件，列出相应的关系式，进而求解参数．[题组训练]1．已知向量m ＝(λ＋1,1)，n ＝(λ＋2,2)，若(m ＋n )⊥(m －n )，则λ＝( ) A ．－4 B ．－3C ．－2 D ．－1解析： ∵(m ＋n )⊥(m －n )，∴(m ＋n )·(m －n )＝m 2－n 2＝(λ＋1)2＋1－(λ＋2)2－4＝0，解得λ＝－3.故选B. 2．已知非零向量a ，b 的夹角为60°，且|b |＝1，|2a －b |＝1，则|a |＝( ) A.12B ．1C. 2 D ．2 解析： ∵非零向量a ，b 的夹角为60°，且|b |＝1，∴a ·b ＝|a |×1×12＝|a |2，∵|2a －b |＝1，∴|2a －b |2＝4a 2－4a ·b ＋b 2＝4|a |2－2|a |＋1＝1，∴4|a |2－2|a |＝0，∴|a |＝12，故选A.3．已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，a ＋b ＝(1，3)，记向量a ，b 的夹角为θ，则t a n θ＝________. 解析：∵|a |＝1，|b |＝2，a ＋b ＝(1，3)，∴(a ＋b )2＝|a |2＋|b |2＋2a ·b ＝5＋2a ·b ＝1＋3，∴a ·b ＝－12，∴cosθ＝a ·b|a |·|b |＝－14，∴sin θ＝1－⎝⎛⎭⎫－142＝154，∴t a n θ＝sin θc os θ＝－15. 第四节平面向量的综合应用考点一平面向量与平面几何[典例] 在平行四边形ABCD 中，|AB ―→|＝12，|AD ―→|＝8.若点M ，N 满足BM ―→＝3MC ―→，DN ―→＝2NC ―→，则AM ―→·NM ―→＝( )A ．20B ．15C ．36D ．6[解析] 法一：由BM ―→＝3MC ―→，DN ―→＝2NC ―→知，点M 是BC 的一个四等分点，且BM ＝34BC ，点N 是DC 的一个三等分点，且DN ＝23DC ，所以AM ―→＝AB ―→＋BM ―→＝AB ―→＋34AD ―→，AN ―→＝AD ―→＋DN ―→＝AD ―→＋23AB ―→，所以NM ―→＝AM ―→－AN ―→＝AB ―→＋34AD ―→－⎝⎛⎭⎫AD ―→＋23AB ―→＝13AB ―→－ 14AD ―→，所以AM ―→·NM ―→＝⎝⎛⎭⎫AB ―→＋34AD ―→·⎝⎛⎭⎫13AB ―→－14AD ―→＝13⎝⎛⎭⎫AB ―→＋34AD ―→·⎝⎛⎭⎫AB ―→－34AD ―→＝ 13⎝⎛⎭⎫AB ―→2－916AD ―→2＝13⎝⎛⎭⎫144－916×64＝36，故选C.法二：不妨设∠DAB 为直角，以AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴建立如图所示的平面直角坐标系．则M (12,6)，N (8,8)，所以AM ―→＝(12,6)，NM ―→＝(4，－2)，所以AM ―→·NM ―→＝12×4＋6×(－2)＝36，故选C.[题组训练]1．若O 为△ABC 所在平面内任一点，且满足(OB ―→－OC ―→)·(OB ―→＋OC ―→－2OA ―→)＝0，则△ABC 的形状为( ) A ．等腰三角形 B ．直角三角形C ．正三角形 D ．等腰直角三角形解析：选A 由(OB ―→－OC ―→)·(OB ―→＋OC ―→－2OA ―→)＝0，得CB ―→·(AB ―→＋AC ―→)＝0，∵AB ―→－AC ―→＝CB ―→， ∴(AB ―→－AC ―→)·(AB ―→＋AC ―→)＝0，即|AB ―→|＝|AC ―→|，∴△ABC 是等腰三角形．2．已知P 为△ABC 所在平面内一点，AB ―→＋PB ―→＋PC ―→＝0，|AB ―→|＝|PB ―→|＝|PC ―→|＝2，则△ABC 的面积等于( )A. 3 B ．23C ．3 3 D ．4 3解析：由|PB ―→|＝|PC ―→|得，△PBC 是等腰三角形，取BC 的中点D ，连接PD (图略)，则PD ⊥BC ，又AB ―→＋PB ―→＋PC ―→＝0，所以AB ―→＝－(PB ―→＋PC ―→)＝－2PD ―→，所以PD ＝12AB ＝1，且PD ∥AB ，故AB ⊥BC ，即△ABC 是直角三角形，由|PB ―→|＝2，|PD ―→|＝1可得|BD ―→|＝3，则|BC ―→|＝23，所以△ABC 的面积为12×2×23＝2 3.3.如图，在扇形OAB 中，OA ＝2，∠AOB ＝90°，M 是OA 的中点，点P 在弧AB 上，则PM ―→·PB ―→的最小值为________．解析：如图，以O 为坐标原点，OA ―→为x 轴的正半轴，OB ―→为y 轴的正半轴建立平面直角坐标系，则M (1,0)，B (0,2)，设P (2cos θ，2sin θ)，θ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，所以PM ―→·PB ―→＝(1－2cos θ，－2sin θ)·(－2cos θ，2－2sin θ)＝4－2cos θ－ 4sin θ＝4－2(cos θ＋2sin θ)＝4－25sin(θ＋φ)⎝⎛⎭⎫其中sin φ＝55，c os φ＝255，所以PM ―→·PB ―→的最小值为4－2 5.答案：4－2 5考点二平面向量与解析几何[典例] 已知向量a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(3，－3)，x ∈[0，π]． (1)若a ∥b ，求x 的值；(2)记f (x )＝a ·b ，求f (x )的最大值和最小值以及对应的x 的值． [解] (1)因为a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(3，－3)，a ∥b ，所以－3cos x ＝3sin x ．则t a n x ＝－33.又x ∈[0，π]，所以x ＝5π6. (2)f (x )＝a ·b ＝(cos x ，sin x )·(3，－3)＝3cos x －3sin x ＝23cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6. 因为x ∈[0，π]，所以x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，7π6，从而－1≤cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6≤32. 于是，当x ＋π6＝π6，即x ＝0时，f (x )取到最大值3；当x ＋π6＝π，即x ＝5π6时，f (x )取到最小值－2 3.[题组训练]1．已知向量OA ―→＝(k,12)，OB ―→＝(4,5)，OC ―→＝(10，k )，且A ，B ，C 三点共线，当k <0时，若k 为直线的斜率，则过点(2，－1)的直线方程为________．解析：∵AB ―→＝OB ―→－OA ―→＝(4－k ，－7)，BC ―→＝OC ―→－OB ―→＝(6，k －5)，且AB ―→∥BC ―→，∴(4－k )(k －5)＋6×7＝0，解得k ＝－2或k ＝11.由k <0，可知k ＝－2，则过点(2，－1)且斜率为－2的直线方程为y ＋1＝－2(x －2)，即2x ＋y －3＝0.2．若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP ―→·FP ―→的最大值为________．解析：由题意，得F (－1,0)，设P (x 0，y 0)，则有x 204＋y 203＝1，解得y 20＝3⎝⎛⎭⎫1－x 204，因为FP ―→＝(x 0＋1，y 0)，OP ―→＝(x 0，y 0)，所以OP ―→·FP ―→＝x 0(x 0＋1)＋y 20＝x 20＋x 0＋3⎝⎛⎭⎫1－x 204＝x 204＋x 0＋3，对应的抛物线的对称轴方程为x 0＝－2，因为－2≤x 0≤2，故当x 0＝2时，OP ―→·FP ―→取得最大值224＋2＋3＝6.考点三平面向量与三角函数[典例] 已知点A ，B ，C 在圆x 2＋y 2＝1上运动，且AB ⊥BC .若点P 的坐标为(2,0)，则|P A ―→＋PB ―→＋PC ―→|的最大值为( )A ．6B ．7C ．8D ．9[解析] 由A ，B ，C 在圆x 2＋y 2＝1上，且AB ⊥BC ，知线段AC 为圆的直径，设圆心为O ，故P A ―→＋PC ―→＝2PO ―→＝(－4,0)，设B (a ，b )，则a 2＋b 2＝1且a ∈[－1,1]，PB ―→＝(a －2，b )，所以P A ―→＋PB ―→＋PC ―→＝(a －6，b )．故|P A ―→＋PB ―→＋PC ―→|＝－12a ＋37，所以当a ＝－1时，|P A ―→＋PB ―→＋PC ―→|取得最大值49＝7.[解题技法]平面向量与三角函数的综合问题的解题思路(1)若给出的向量坐标中含有三角函数，求角的大小，解题思路是运用向量共线或垂直的坐标表示，或等式成立的条件等，得到三角函数的关系式，然后求解．(2)若给出的向量坐标中含有三角函数，求向量的模或者向量的其他表达形式，解题思路是利用向量的运算，结合三角函数在定义域内的有界性或基本不等式进行求解．[题组训练]1．已知a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos(－α)，sin(－α))，那么a ·b ＝0是α＝k π＋π4(k ∈Z)的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：∵a ·b ＝cos α·cos(－α)＋sin α·sin(－α)＝cos 2α－sin 2α＝cos 2α，若a ·b ＝0，则cos 2α＝0，∴2α＝2k π±π2(k ∈Z)，解得α＝k π±π4(k ∈Z)．∴a ·b ＝0是α＝k π＋π4(k ∈Z)的必要不充分条件．故选B.2．已知a ，b ，c 为△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，向量m ＝(3，－1)，n ＝ (cos A ，sin A )．若m ⊥n ，且a cos B ＋b cos A ＝c sin C ，则角A ，B 的大小分别为( )A.π6，π3B.2π3，π6C.π3，π6D.π3，π3解析：选C 由m ⊥n ，得m ·n ＝0，即3cos A －sin A ＝0，由题意得cos A ≠0，∴t a n A ＝3，又A ∈(0，π)，∴A ＝π3.又a cos B ＋b cos A ＝2R sin A cos B ＋2R sin B cos A ＝2R sin(A ＋B )＝2R sin C ＝c (R 为△ABC 外接圆半径)，且a cos B ＋b cos A ＝c sin C ，所以c ＝c sin C ，所以sin C ＝1，又C ∈(0，π)，所以C ＝π2，所以B ＝π－π3－π2＝π6.。

08第八章平面向量【讲义】

第八章平面向量一、基础知识定义1 既有大小又有方向的量，称为向量。

画图时用有向线段来表示，线段的长度表示向量的模。

向量的符号用两个大写字母上面加箭头，或一个小写字母上面加箭头表示。

书中用黑体表示向量，如a. |a|表示向量的模，模为零的向量称为零向量，规定零向量的方向是任意的。

零向量和零不同，模为1的向量称为单位向量。

定义2 方向相同或相反的向量称为平行向量（或共线向量），规定零向量与任意一个非零向量平行和结合律。

定理1 向量的运算，加法满足平行四边形法规，减法满足三角形法则。

加法和减法都满足交换律和结合律。

定理2 非零向量a, b 共线的充要条件是存在实数0，使得a= f≠λ.b λ定理3 平面向量的基本定理，若平面内的向量a, b 不共线，则对同一平面内任意向是c ，存在唯一一对实数x, y ，使得c=xa+yb ，其中a, b 称为一组基底。

定义3 向量的坐标，在直角坐标系中，取与x 轴，y 轴方向相同的两个单位向量i, j 作为基底，任取一个向量c ，由定理3可知存在唯一一组实数x, y ，使得c=xi+yi ，则（x, y ）叫做c 坐标。

定义4 向量的数量积，若非零向量a, b 的夹角为，则a, b 的数量积记作a ·b=|a|·|b|cos θθ=|a|·|b|cos<a, b>，也称内积，其中|b|cos 叫做b 在a 上的投影（注：投影可能为负值）。

θ定理4 平面向量的坐标运算：若a=(x 1, y 1), b=(x 2, y 2)， 1．a+b=(x 1+x 2, y 1+y 2), a-b=(x 1-x 2, y 1-y 2)， 2．λa=(λx 1, λy 1), a ·(b+c)=a ·b+a ·c ，3．a ·b=x 1x 2+y 1y 2, cos(a, b)=(a, b 0),222221212121yx y x y y x x +⋅++≠4. a//b x 1y 2=x 2y 1, a b x1x2+y 1y 2=0.⇔⊥⇔定义5 若点P 是直线P 1P 2上异于p 1，p 2的一点，则存在唯一实数λ，使，λ叫P 分21PP P P λ=21P P 所成的比，若O 为平面内任意一点，则。

平面向量的概念讲义

专题1：平面向量的概念核心知识点1：平面向量的概念(1)向量：既有大小，又有方向的量叫做向量，如力、位移等．(2)数量：只有大小，没有方向的量称为数量，如年龄、身高、长度、面积、体积、质量等．【知识微点评】向量与数量的区别：向量有方向，而数量没有方向；数量之间可以比较大小，而向量之间不能比较大小．(3)有向线段：带有方向的线段叫做有向线段．其方向是由起点指向终点，以A 为起点、B 为终点的有向线段记作AB →(如图所示)，线段AB 的长度也叫做有向线段AB →的长度，记作|AB →|.书写有向线段时，起点写在终点的前面，上面标上箭头．(4)有向线段的三个要素：起点、方向、长度.知道了有向线段的起点、方向、长度，它的终点就唯一确定．【知识微点评】有向线段与向量的区别和联系区别从定义上看，向量有大小和方向两个要素，而有向线段有起点、方向、长度三个要素．因此，这是两个不同的量．在空间中，有向线段是固定的线段，而向量是可以自由平移的联系有向线段是向量的表示，并不是说向量就是有向线段，每一条有向线段对应着一个向量，但每一个向量对应着无数多条有向线段核心知识点2：向量的表示法(1)几何表示：用有向线段表示，此时有向线段的方向就是向量的方向．向量的大小就是向量的长度(或称模)，如果向量AB →的长度记作|AB →|． (2)字母表示：通常在印刷时，用黑体小写字母a 、b 、c 、…表示向量，书写时，可写成带箭头的小写字母a →、b →、c →，….还可以用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示，如以A 为起点，以B 为终点的向量记为AB →．核心知识点3：与向量有关的概念名称定义记法零向量长度为0的向量叫做零向量 0 单位向量长度等于1个单位的向量，叫做单位向量相等向量长度相等且方向相同的向量叫做相等向量 a ＝b说明，任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关．在平面上，两个长度相等且方向一致的有向线段表示同一个向量平行向量方向相同或相反的非零向量叫做平行向量a∥b 规定：零向量与任何向量都平行0∥a 说明：任一组平行向量都可以平移到同一直线上，因此，平行向量也叫有线向量【知识微点评】1.理解向量概念应关注的两点(1)本书所学向量是自由向量，即只有大小和方向，而无特定的位置，这样的向量可以作任意平移．(2)相等向量是平行(共线)向量，但平行(共线)向量不一定是相等的向量．2．对平行向量、相等向量概念的理解(1)平行向量是指方向相同或相反的非零向量，规定零向量与任意向量平行，即对任意的向量a，都有0∥a，这里注意概念中提到的“非零向量”．(2)对于任意两个相等的非零向量，都可以用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关．在平面上，两个长度相等且指向一致的有向线段表示同一个向量，因为向量完全由它的方向和模确定的．(3)相等向量是平行(共线)向量，但平行(共线)向量不一定是相等向量．必考必会题型1：向量的几何表示【典型例题】在如图所示的网格图中，每个小方格的边长为1个单位长度，请你用直尺和圆规画出下列向量．（1）；（2），使||；（3），使；（4），使∥．【题型强化】1.在矩形ABCD中，AB＝2BC，M、N分别为AB和CD的中点，在以A、B、C、D、M、N 为起点和终点的所有向量中，相等的非零向量共有多少对？2.用有向线段表示两个相等的向量．这两个有向线段一定重合吗？【名师点睛】做向量的思路：用有向线段表示向量时，先确定起点，再确定方向，最后依据向量模的大小确定有向线段的终点.必要时，需依据三角形的相关知识求出向量的方向或长度，选择合适的比例关系作出向量.必考必会题型2：考查向量相等或共线【典型例题】如图，△ABC的三边均不相等，E，F，D分别是边AC，AB，BC的中点．（1）写出与共线的向量（自身除外）；（2）写出与的模相等的向量（自身除外）．【题型强化】1.如图所示是4×3的矩形（每个小方格都是单位正方形），在起点和终点都在小方格的顶点处的向量中，试问：（1）与相等的向量共有几个？（2）与平行且模为的向量共有几个？（3）与方向相同且模为3的向量共有几个？2.以正方形的4个顶点中某一顶点为起点、另一个顶点为终点作向量，可以作出多少个不相等的向量？【名师点睛】在平面图形中寻找共线、相等向量的方法：1.在平面图形中寻找共线向量时，应逐个列举，做到不重不漏，可先找在同一条直线上的共线向量，然后找平行直线上的共线向量，要注意一条线段对应两个共线向量，方向相同但长度不等的有向线段表示不同的共线向量.2相等向量一定是共线向量，因此在找相等向量时，可以从共线向量中筛选，找出长度相等且方向相同的共线向量即可.注意：判断两向量是否共线的关键是看两向量所在的直线是否平行或重合；判断两向量是否相等不仅要看两向量所在的直线是否平行或重合，还要看两向量的模是否相等、方向是否相同.在平面图形中找相等向量、共线向量时，要注意利用三角形的中位线定理、平行四边形的性质等平面几何知识寻找线线之间的相等或平行关系.必考必会题型3：用向量关系研究几何图形的性质【典型例题】如图，已知在▱ABCD 中，E ，F 是对角线AC 上的两点，且AE ＝FC AC ，用向量方法证明四边形DEBF 也是平行四边形．【题型强化】1.在△ABC 中，点M 为边AB 的中点，点N 为边AC 的中点，求证：．2.如图，在▱ABCD 中，点M 为AB 的中点，点N 在BD 上，3BN ＝BD ．求证：M ，N ，C 三点共线．【名师点睛】利用向量关系证明或判断线段平行或相等的方法：(1)证明或判断线段相等，只需证明或判断相应向量的长度(模)相等. (2)证明线段平行，先证明相应的向量共线，再说明线段不重合.常用的两个结论：①若，且A ，B ，C ，D 四点不共线，则四边形ABCD 为平行四边形；若四边形ABCD 为平行四边形，则.②若，则A ，B ，C 三点共线. 【课后巩固】1．下列说法中正确的是（）．A ．零向量没有方向B ．平行向量不一定是共线向量C ．若向量a 与b 同向且a b =，则a b =D ．若向量a ，b 满足a b >且a 与b 同向，则a b > 2．下列四个命题正确的是（）A ．两个单位向量一定相等B ．若a 与b 不共线，则a 与b 都是非零向量C ．共线的单位向量必相等D ．两个相等的向量起点、方向、长度必须都相同 3．有下列说法：①若两个向量不相等，则它们一定不共线； ②若四边形ABCD 是平行四边形，则AB CD =； ③若//a b ，//b c ，则//a c ； ④若AB CD =，则ABCD 且//AB CD ．其中正确说法的个数是（）A ．0B ．1C ．2D ．3 4．如图所示，在正ABC 中，D ，E ，F 均为所在边的中点，则以下向量中与ED 相等的是( )A ．EFB ．BEC ．FBD ．FC 5．下列命题中正确的是( )A ．若||a b |=|，则a b =B ．若a b ≠，则a b ≠C ．若||a b |=|，则a 与b 可能共线D ．若a b ≠，则a 一定不与b 共线 6．下列关于向量的概念叙述正确的是（）A ．方向相同或相反的向量是共线向量B ．若//a b ，//b c ，则//a cC ．若a 和b 都是单位向量，则a b =D ．若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合 7．给出下列命题:①共线向量一定在同一条直线上;②若A ,B ,C ,D 是不共线的四点,则AB DC =是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件;③a b =的充要条件是||a b |=|且//a b .其中正确命题的序号是_______. 8．如图，O 是正三角形ABC 的中心，四边形AOCD 和四边形AOBE 均为平行四边形，则与向量AD 相等的向量为______；与向量OA 共的向量为______；与向量OA 的模相等的向量为______.（填图中所画出的向量）9．把所有单位向量的起点平移到一点O ,则其终点构成的图形是_____________. 10．给出以下结论：①空间任意两个共起点的向量是共面的；②两个相等向量就是相等长度的两条有向线段表示的向量；③空间向量的加法满足结合律：()()a b c a b c ++=++；④首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量. 请将正确的说法题号填在横线上：__________.11．在平行四边形ABCD 中，E ，F 分别是CD ，AB 的中点，如图所示. （1）写出与向量FC 共线的向量；（2）求证:BE FD =.12．如图,在ABC ∆中,已知向量AD DB =,DF EC =,求证:AE DF =.13．如图，已知四边形ABCD中，M，N分别是BC，AD的中点，AB DC=，求证：=且CN MA =.DN MB。

第1讲平面向量-讲义版

课程主题：平面向量【知识点】一．基本概念概念定义表示方法向量（矢量）既有大小又有方向的量叫做向量向量的大小叫做向量的长度（或模）AB 或a零向量长度为0的向量叫做零向量，其方向是任意的。

规定：零向量与任一向量平行（与任何向量是共线向量）、但与任意向量都不垂直零向量、单位向量的定义都只是限制了大小.单位向量长度等于1个单位长度的向量，叫做单位向量e平行向量方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，也叫做共线向量，任一组平行向量都可以平移到同一条直线上a 与b 共线记作b a //相等向量长度相等且方向相同的向量注：共线向量不一定是相等向量，而相等向量一定是共线向量a 与b 是相等向量记作b a =相反向量长度相等且方向相反的向量a 的相反向量记作a -二．平面向量的线性运算 1、向量的加法：求两个向量的和⎩⎨⎧平行四边形法则三角形法则2、向量的减法：一个向量减去另一个向量，相当于加上这个向量的相反数，即)(→→→→-+=-b a b a ．→→→=+AC BC AB →→→=+OC OB OA →→→-=OA OB AB→a→b→→+ba ABCA BBAOO→a→a→b→b→→+ba →→-ba 课程类型： 1对1课程 ☐ Mini 课程 ☐ MVP 课程注：向量加减法满足交换律和结合律律：交换律：→→→→+=+a b b a 结合律：)()(→→→→→→++=++c b a c b a ． 3、平面向量的数乘（1）数乘的定义：实数λ与向量→a 的乘积，结果仍是一个向量→→=a b λ． ①大小：长度|λ→a |=|λ||→a |；②方向：λ→a 与→a 的方向关系：→→→→⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==<>a b b //0000，，方向相反，方向相同λλλ．（2）运算定律：→→=a u a u )()(λλ； →→→+=+a u a a u λλ)(； →→→→+=+b a b a λλλ)(．（3）数乘的应用：判断两个向量是否共线．向量共线的充要条件：向量与非零向量→a 共线的充要条件是有且只有一个实数λ,使得→→=a b λ （4）三点共线：若→→=AC AB λ，则A 、B 、C 三点共线,(1)OP xOA yOB x y =++=u u u r u u u r u u u r，则B A P 、、三点共线三．平面向量基本定理与坐标表示1、平面向量基本定理：在平面内任取一点O ，作→→=1e OA ，→→=2e OB 为两个不共线的向量，则平面内任意向量→a ，有且只有一对实数),(21λλ，使得→a →→+=2211e e λλ．（1）称不共线的向量→→21,e e 为表示这一平面内所有向量的一组基底．（2）基底不唯一，关键是不共线．（3）给定基底→→21,e e ，可将任一向量→a 在→→21,e e 的情况下分解．（4）基底给定时，分解形式唯一． 2、平面向量的坐标表示：（1）把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．取平行于x 正半轴的单位向量→i ，平行于y 正半轴的单位向量→j为一组基底，则对于平面内的任一个向量→a ，由平面向量基本定理可知，有且只有唯一实数对),(y x ，使→a →→+=j y i x ，把),(y x 称作向量→a 的（直角坐标），记为→a ),(y x =．（2）在平面直角坐标系内，一个平面向量与一对实数是一一对应的．（3）向量的坐标表示：①向量→a ),(y x =表示从点)0,0(指向点),(y x 的向量．②空间中两点坐标),(11b a A ),(,22b a B ),(,1212b b a a AB --=→则．（4）平面向量坐标的加减、数乘运算：),(11y x a =→，),(22y x b =→，①两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差，即),(2121y y x x b a ±±=±→→． ②实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标，即),(11y x a λλλ=→．（5）平面向量共线的坐标表示：设),(11y x a =→),(22y x b =→)()(λλλ===-⇔=∈∃⇔≠→←→→→→212112210,0//y y x x y x y x b a R b b a 使得【课堂演练】题型一平面向量基本概念及线性运算考点1 辨析平面向量的概念例1 下列有关平面向量的说法中，正确的个数是（）（1）共线向量就是在同一条直线上的向量．（2）若两个向量不相等，则它们的终点不可能是同一点．（3）与已知向量共线的单位向量是唯一的．（4）若=，则A 、B 、C 、D 四点构成平行四边形． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3练1 下列有关平面向量的说法中，正确的个数是（）（1）若与共线，与共线，则与共线．（2）若m m =，则=．（3）若a n a m =，则n m =．（4）若a 与b 不共线，则a 与b 都不是零向量． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3考点2 平面向量的线性运算 1、加减法例2 =++++)()( ．CBDAO练2 如图，正六边形ABCDEF 中，下列四个命题中正确的个数为（）（1）CB DC AD AB ++= （2）BA BF AF -= （3）2=+（4）22+= A ．1 B ．2C ．3D ．4例3 已知AD AB AC 与为的和向量，且==,，则=AB ,=AD ．练3 如图所示，平行四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，点M 是线段OD 的中点，设==,，则= ．（结果用，表示） 2、数乘例4 =--+)32(3)(2 ．练4 -++)34(2)2(3b ．练5 =-+--+)3)(32()2)((n m n m ．练6 如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，λ=+，则=λ ．练7 已知223-=，则C B A ,,三点的关系为．ABDECF考点3 向量共线定理及其应用例5 已知四边形ABCD 是菱形，点P 在对角线AC 上（不包括端点A 、C ）,则=AP （）A ．），（）（10,AD AB ∈+λλ B ．），（）（220,BC AB ∈+λλC ．），（）（10,AD -AB ∈λλD ．），（）（220,BC -AB ∈λλ练8 已知平面内有一点P 及一个ABC ∆，若,PB PA AB PC =++则（） A ．点P 在ABC △外部 B ．.点P 在线段AB 上C ．点P 在线段BC 上D ．点P 在线段AC 上例6 设21,e e 是两个不共线的向量，2121212,3,2e e CD e e CB e k e AB -=+=+=，若A 、B 、D 三点共线，求k 的值．.练9 如图，在平行四边形ABCD 中，点M 是AB 的中点，点N 在BD 上，且BD BN 31=，求证：C N M ,,三点共线．练10 已知两不共线的向量b a ,，若对非零实数n m ,有b n a m +与b a 2-共线，则=nm（） A ．2- B ．2C ．21-D ．21题型二平面向量基本定理及坐标表示考点1 平面向量基本定理的应用 1、基底向量例7 已知21,e e 是平面内的一组基底，下列哪组向量不能构成一组基底（） A ．21e e +和21e e - B ．2123e e -和1264e e - C ．213e e +和123e e -D ．2e 和12e e -练11 已知)4,3(=a ，能与a 构成基底的是（） A ．)54,53( B ．)53,54(C ．)54,53(--D ．)34,1(--练12 在下列向量中，可以把向量)2,3(=a 表示出来的是（） A ．)2,1(),0,0(21==e e B ．)2,5(),2,1(21-=-=e e C ．)10,6(),5,3(21==e e D ．)3,2(),3,2(21-=-=e e2、用已知向量表示未知向量例8 已知在ABC △中，D 是BC 的中点，请用向量AB ，AC 表示AD ．例9 如图，向量OC OB OA ,,终点在同一条直线上，且CB -3=AC ，设r OC q OB p OA ===,,，则下列等式中成立的是（）A ．q p r 2321+-= B ．q p r 2+-= C ．q p r 2123-=D ．p q r 2+-=练13 在平行四边形ABCD 中，=，=，3=，M 为BC 中点，则= .考点2 坐标运算例10 已知向量),2,1(),1,3(-=-=则23--的坐标是（） A ．)1,7( B ．)1,7(--C ．)1,7(-D ．)1,7(-例11 已知)5,4(=AB ，)3,2(A ，则点B 的坐标是．练14 若物体受三个力)2,1(1=F ,)3,2(2-=F ,)4,1(3--=F ,则合力的坐标为．练15 已知)2,1(A ，)2,3(B ，向量)23,2(--+=y x x a 与相等，求y x ,的值．考点3 平面向量共线的坐标表示例12 已知2(2,1),(3,2),3A B AM AB --=u u u u r u u u r，则点M 的坐标是( )A ．)21,21(-- B ．)1,34(-- C ．)0,31(D ．)51,0(-例13 已知),1,(),3,1(-=-=x b a 且∥，则x 等于（） A ．3 B ．3-C ．31 D ．31-练16 已知向量),1(),6,2(λ-==，若∥，则=λ .【课后巩固1】1．设与是两个不共线向量，且向量λ+与)2(a b --共线，则λ=（） A ．0 B ．1-C ．2-D ．12-2．已知下列命题中真命题的个数是（）（1）若R k ∈，且=k ，则0=k 或=，（2）若0=⋅，=则或=，（3）若不平行的两个非零向量b a ,b a =，则0)((=-⋅+b ，（4）若与平行，则b a =⋅． A ．0B ．1C ．2D ．33．=--+)3(4)(2b a b a ．4．设D 为ABC ∆所在平面内一点3BC CD =u u u r u u u r，则（）A ．3431+-= B ．3431-= C ．AC AB AD 3134+= D ．AC AB AD 3134-=5．设E D ，分别是ABC △的边BC AB ，上的点，21=，32=，若12DE AB AC λλ=+u u u r u u u r u u u r（21λλ，为实数），则21λλ+的值为．6．设向量,不平行，向量+λ与2+平行，则实数=λ ．7．已知向量),2,1(),1,3(-=-=则23+-的坐标是（） A ．)7,11(- B ．)11,7(-C ．)7,11(D ．)7,11(-8．已知向量)1,1(),4,2(-==，则=-b a 2（） A ．)7,5( B ．)9,5(C ．)7,3(D ．)9,3(【课后巩固2】1．化简-+-= ．2．-++)32(4)2(2b ．3．在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线交CD 于点F ，若===,,则（）A ．2141+ B ．3132+ C ．4121+ D ．3231+4．设,是向量，则b a =”是b a b a -=”的（） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件5．已知点)2,3(),1,0(B A ，向量)3,4(--=，则向量=（） A ．)4,7(--B ．)4,7(C ．)4,1(-D ．)4,1(6．已知平面向量，),,2(),2,1(m -==且b a ∥，则32+=（） A ．)10,5(-- B ．)8,4(-- C ．)6,3(-- D ．)4,2(--7．若物体受三个力)3,1(1=F ,)3,1(),3,2(32--==F F ,则合力的坐标为．8．已知)4,1(),3,2(-B A ,向量)1,3(-+-=y x x 与AB 相等，求y x ,的值．【课后巩固3】1．=++--+)2)(3())(2(b a n m b a n m ．2．已知)1,3(=，)3,2(A ，则点B 的坐标是．3．已知向量)2,3(),4,(-==m ，且∥，则=m ．4．对任意向量b a ,，下列关系式中不恒成立的是（） A b a b a ≤ B b a b a ≤-C ．2)(b a =+D ．22))((b -=-+5．如图ABC ∆中，2=,EC AE =2,BE CD P =I ，若(,)AP xAB y AC x y R =+∈u u u r u u u r u u u r，则x y += ．6．已知B A 52),2,3(),3,2(=--，则点M 的坐标是( )A ．)0,1(-B ．)1,0(C ．)0,1(D ．)0,0(PDE-11- 学生姓名：科目：数学任课教师：年级：高三上课时间： 2017.11.11 16:00—18:00 7．已知),1,(),2,3(-=-=x 且∥，则x 等于（）A ．3B ．3-C ．23D ．23-8．已知向量)3,(3m =，)3,1(=，则“1=m ”是“b a ∥”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件、。

平面向量综合讲义

平面向量
考点一、平面向量的概念与线性运算
1.向量的有关概念
（1）向量:既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或称模);平面向量是自由向量；
（2）零向量：长度为 0 的向量，记为 0 ；方向是任意的，模为 0；
a
（3）单位向量:长度等量是；
化为数量运算．
(2)巧借方程思想求坐标：向量的坐标运算主要是利用加法、减法、数乘运算法则进行，
若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，求解过程中要注意方程思想的运用．
(3)妙用待定系数法求系数：利用坐标运算求向量的基底表示，一般先求出基底向量和
被表示向量的坐标，再用待定系数法求出系数．
考点四平面向量数量积的概念、其几何意义及其运算律
乘法交换律 a·b＝b· a 数乘结合律(λa)·b＝λ (a·b) ＝a·(λb) 加乘分配律(a＋b)·c＝a·c＋b·c 注：有些实数的运算性质不能类推到向量的数量积运算：
比如： abc a(bc), 但是（a·b）·c 与 a·（b·c）不一定相等；
常用公式
①(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2；
平行四边形法则：起点相同；
②运算律：交换律：a＋b＝b＋a．结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．
③一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量的起点指向最后一个向量的终点 ―→ ―→ ―→ ―→ ―→
的向量，即A1A2 ＋A2A3 ＋A3A4 ＋…＋An－1An＝A1An .特别地，一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量．（2）减法：求 a 与 b 的相反向量－b 的和的运算叫做 a 与 b 的差（a-b＝a＋（-b））
|a|
（4）平行向量(共线向量)：方向相同或相反的非零向量；规定：0 与任一向量平行（共线）；

(完整版)平面向量复习讲义

平面向量复习讲义一．向量有关概念：1．向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。

向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）。

2．零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：0，注意零向量的方向是任意的；3．单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与AB u u u r共线的单位向量是||AB AB ±u u u ru u u r )； 4．相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性； 5．平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量a 、b 叫做平行向量，记作：a ∥b ，规定零向量和任何向量平行。

提醒：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合；③平行向量无传递性！（因为有0r)；6．相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。

a 的相反向量是－a 。

如下列命题：（1）若a b =r r，则a b =r r 。

（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同。

（3）若AB DC =u u u r u u u r ，则ABCD 是平行四边形。

（4）若ABCD 是平行四边形，则AB DC =u u u r u u u r 。

（5）若,a b b c ==r r r r ，则a c =r r 。

（6）若//,//a b b c r r r r ，则//a c r r。

其中正确的是_______（答：（4）（5））二．向量的表示方法：1．几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如AB ，注意起点在前，终点在后； 2．符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如a ，b ，c 等；3．坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i ，j 为基底，则平面内的任一向量a 可表示为(),a xi y j x y =+=r r r，称(),x y 为向量a 的坐标，a ＝(),x y 叫做向量a 的坐标表示。

平面向量讲义

平面向量1.向量的概念：既有大小又有方向的量叫向量,有二个要素：大小、方向.2.向量的表示方法：①用有向线段表示-----AB (几何表示法)； ②用字母a 、b 等表示(字母表示法)； ③平面向量的坐标表示（坐标表示法）：分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底。

任作一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得axi yj =+，),(y x 叫做向量a 的（直角）坐标，记作(,)a x y =，其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标，特别地，i (1,0)=，j (0,1)=，0(0,0)=。

22a x y =+；若),(11y x A ，),(22y x B ，则()1212,y y x x AB --=，222121()()AB x x y y =-+-3.零向量、单位向量：①长度为0的向量叫零向量，记为0；②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.（注：||a a 就是单位向量）4.平行向量：①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定0与任一向量平行.向量a 、b 、c 平行，记作a ∥b ∥c .共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量.性质：//(0)(a b b a b λλ≠⇔=是唯一）||b a b a a b λλλ⎧⎧>⎪⎪⎨⎪<⎪⎩⎨⎪=⎪⎩0,与同向方向---0,与反向长度---1221//(0)0a b b x y x y ≠⇔-= （其中 1122(,),(,)a x y b x y ==）5.相等向量和垂直向量：①相等向量：长度相等且方向相同的向量叫相等向量. ②垂直向量——两向量的夹角为2πθ=性质：0a b a b ⊥⇔∙=12120a b x x y y ⊥⇔+= （其中 1122(,),(,)a x y b x y ==）6.向量的加法、减法：①求两个向量和的运算，叫做向量的加法。

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第一节平面向量的概念及其线性运算1．向量的有关概念(1)向量：既有大小，又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模．(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．(3)单位向量：长度等于1个单位的向量．(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线．(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．例1．若向量a与b不相等，则a与b一定()A．有不相等的模B．不共线C．不可能都是零向量D．不可能都是单位向量例2．.给出下列命题：①若|a|＝|b|，则a＝b；②若A，B，C，D是不共线的四点，则AB＝DC等价于四边形ABCD为平行四边形；③若a＝b，b＝c，则a＝c；④a＝b等价于|a|＝|b|且a∥b；⑤若a∥b，b∥c，则a∥c.其中正确命题的序号是()A．②③B．①②C．③④D．④⑤CA2．向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算三角形法则平行四边形法则(1)交换律：a＋b＝b＋a；(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)减法求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差三角形法则a－b＝a＋(－b)数乘求实数λ与向量a的积的运算(1)|λa|＝|λ||a|；(2)当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb例3：化简AC→－BD→＋CD→－AB→得() A.AB→B.DA→C.BC→D．0例4：(1)如图，在正六边形ABCDEF中，BA＋CD＋EF＝()A．0B．BE C．AD D．CF(2)设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝12AB，BE＝23BC.若DE＝λ1AB＋λ2AC(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．巩固练习：1．将4(3a＋2b)－2(b－2a)化简成最简式为______________．2．若|OA→＋OB→|＝|OA→－OB→|，则非零向量OA→，OB→的关系是() A．平行B．重合C．垂直D．不确定3．若菱形ABCD的边长为2，则|AB－CB＋CD|＝________4．D是△ABC的边AB上的中点，则向量CD等于()A．－BC＋12BA B．－BC－12BA C．BC－12BA D．BC＋12BA5．若A，B，C，D是平面内任意四点，给出下列式子：①AB＋CD＝BC＋DA；②AC＋BD＝BC＋AD；③AC－BD＝DC＋AB.其中正确的有()A．0个B．1个C．2个D．3个6．如图，在△ABC中，D，E为边AB的两个三等分点，CA→＝3a，CB→＝2b，求CD→，CE→.DD12巩固练习1。

平面向量的概念PPT课件

04
平面向量数量积概念及性质
数量积定义及几何意义
数量积定义
两个向量的数量积是一个标量，等于它们模长的乘积与它们夹角余弦的乘积。
几何意义
数量积反映了两个向量的相对位置和角度关系，正值表示同向，负值表示反向，零表示垂直。
数量积性质及运算规律
性质
满足交换律、分配律、结合律，与标量乘法相容等。
运算规律
向量坐标与点坐标关系
向量坐标
向量坐标是由起点指向终点的有向线段，在直角坐标系中可以用
两个坐标值表示。
点坐标
点坐标是直角坐标系中点的位置表示，同样可以用两个坐标值表示。
关系
向量坐标与点坐标密切相关，向量的起点和终点坐标可以决定向量的坐标，而点的坐标可以用来表示向量的起点或终点。
向量运算坐标表示法
坐标法求解向量问题
求解向量坐标
通过已知点的坐标和向量的关系，可以求解向量的坐标。
求解向量模长
通过向量的坐标可以计算向量的模长，进而求解与模长相关的问题。
求解向量夹角
通过向量的坐标可以计算向量的夹角，进而求解与夹角相关的问题。
求解向量运算结果
通过向量的坐标表示法可以求解向量的加法、减法和数乘运算结果。
向量运算满足基本定律
加法结合律
(a + b) + c = a + (b + c)
数乘结合律
(kl)a = k(la)
加法交换律
a+b=b+a
数乘分配律
k(a + b) = ka + kb
向量共线定理，使得b = λa
03
平面向量坐标表示法
直角坐标系中向量表示方法

平面向量全部讲义