2018年7月23日高中数学作业

1．（2018年理新课标I 卷）设抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F ，过点（–2，0）且斜率为的直线与C 交于M ，N 两点，则 = A. 5 B. 6 C. 7 D. 82．抛物线 的准线与 轴的交点为 ，直线 与 交于 两点，若 ，则实数 的值是（ ） A.B. C. D.3．设抛物线 的焦点为 ，准线 与 轴交于 点，过点 的直线 与抛物线 相交于不同两点 ，且，连接 并延长准线 于 点，记 与 的面积为 ，则（ ）A.B.C.D.4．直线()2(0)y k x k =+>与抛物线2:8C y x =交于A ， B 两点， F 为C 的焦点，若sin 2sin ABF BAF ∠=∠，则k 的值是（ ）A. B. C. 1 D.5．（2018年理北京卷）已知抛物线C ： =2px 经过点 （1，2）．过点Q （0，1）的直线l 与抛物线C 有两个不同的交点A ，B ，且直线P A 交y 轴于M ，直线PB 交y 轴于N ．（Ⅰ）求直线l 的斜率的取值范围；（Ⅱ）设O 为原点，， ，求证：为定值． 6．已知抛物线 的顶点在原点，焦点在 轴上，且抛物线上有一点 到焦点的距离为5.（1）求该抛物线 的方程；（2）已知抛物线上一点 ，过点 作抛物线的两条弦 和 ，且 ，判断直线是否过定点？并说明理由.7．已知椭圆（）的离心率为，过焦点垂直长轴的弦长为3.（1）求椭圆的标准方程；（2）过椭圆的右顶点作直线交抛物线于、两点，求证：.8．如图，已知抛物线，点A，，，，抛物线上的点.过点B作直线AP的垂线，垂足为Q．（1）求直线AP斜率的取值范围；（2）求的最大值．9．已知点和抛物线：，过的焦点且斜率为的直线与交于，两点，若，则__________．10．设为抛物线的焦点，、为抛物线上两点，若,则____________．11．抛物线上两个不同的点，，满足，则直线一定过定点，此定点坐标为__________．参考答案1．D【解析】分析：首先根据题中的条件，利用点斜式写出直线的方程，联立方程组，消元化简，求得两点，再利用所给的抛物线的方程，写出其焦点坐标，之后应用向量坐标公式，求得，最后应用向量数量积坐标公式求得结果.详解：根据题意，过点（–2，0）且斜率为的直线方程为，联立，消元整理得：，解得，又，所以，则，故选D.点睛：该题考查的是有关直线与抛物线相交、求有关交点坐标所满足的条件的问题，在求解的过程中，首先需要根据题意确定直线的方程，之后需要联立方程组，消元化简求解，从而确定出，之后借助于抛物线的方程求得，最后一步应用向量坐标公式求得向量的坐标，之后应用向量数量积坐标公式求得结果，也可以不求点M、N的坐标，应用韦达定理得到结果.2．D【解析】分析：由抛物线的焦点弦性质知，这个结论必须先证明（可用几何方法也可用代数方法），然后把用直线的倾斜角表示后求出，从而得斜率，还要注意对称性，应该有两解.详解：直线过抛物线的焦点，过分别作抛物线的准线的垂线，垂足分别为，由抛物线的定义知，又，∴，而，∴∽，∴，即，设直线的倾斜角为，若，则，，，由对称性也有故选D.点睛：关于的证明方法还可用代数方程证明：设方程为，代入得，设，则，，∴直线关于轴对称，即，由面积法或角平分线定理得.这实质是任意的抛物线的过焦点的弦的性质之一.3．C【解析】分析：先由求出A点坐标，由K,A点的坐标求出直线m的方程，根据直线m与抛物线相交，求出B点的坐标，再求出过点B,F的直线方程，由两直线相交求出C 点坐标，由B,C,F三点坐标，求，求出的值，得出与的面积比。

详解：抛物线的准线方程，由,求出，则直线，联立求得,直线BF：，令，得出，即，所以，,所以，选C.点睛：本题主要考查抛物线的简单几何性质，直线与抛物线的位置关系，求直线的方程等，属于中档题。

本题计算量大，平时注意解题的速度的训练。

4．B【解析】分析：由正弦定理将sin 2sin ABF BAF ∠=∠角化边可得2AF BF =，结合抛物线的性质可知B 为PA 的中点，联立方程组消元，根据根与系数的关系求出B 点坐标，即可求出k 的值．详解：分别过A ， B 项抛物线的准线作垂线，垂足分别为M ， N ，则AF AM =，BF BN =.设直线()2(0)y k x k =+>与x 轴交于点P ，则()2,0P -.∵抛物线的方程为28y x =∴抛物线的准线方程为2x =-，即点P 在准线上. ∵sin 2sin ABF BAF ∠=∠ ∴根据正弦定理可得2AF BF = ∴2AM BN = ，即B 为PA 的中点.联立方程组()22{8y k x y x=+=，消去x 可得：，则1216y y =. ∵B 为PA 的中点∴122y y =，即∵()2,0P -∴直线AB 的斜率为故选B.点睛：本题考查直线与抛物线的位置关系及抛物线的性质的应用，对于直线与圆锥曲线的问题，通常通过联立直线方程与圆锥曲线方程的方程组，应用韦达定理，进而求解问题，故解答本题的关键是证出B为PA的中点.5．(1)取值范围是（-∞，-3）∪（-3，0）∪（0，1）(2)证明过程见解析【解析】分析：（1）先确定，再设直线方程，与抛物线联立，根据判别式大于零解得直线l的斜率的取值范围，最后根据P A，PB与y轴相交，舍去k=3，（2）先设A（x1，y1），B（x2，y2），与抛物线联立，根据韦达定理可得，．再由，得，．利用直线P A，PB的方程分别得点M，N的纵坐标，代入化简可得结论.详解：（Ⅰ）因为抛物线y2=2px经过点P（1，2），所以4=2p，解得p=2，所以抛物线的方程为y2=4x．由题意可知直线l的斜率存在且不为0，设直线l的方程为y=kx+1（k≠0）．由得．依题意，解得k<0或0<k<1．又P A，PB与y轴相交，故直线l不过点（1，-2）．从而k≠-3．所以直线l斜率的取值范围是（-∞，-3）∪（-3，0）∪（0，1）．（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2）．由（I）知，．直线P A的方程为y–2=．令x=0，得点M的纵坐标为．同理得点N的纵坐标为．由，得，．所以．所以为定值．点睛：定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.6．（1）.（2）【解析】试题分析：(1)求出抛物线的焦点坐标,结合题意列关于p的等式求p,则抛物线方程可求;(2)由(1)求出M的坐标,设出直线DE的方程,联立直线方程和抛物线方程,化为关于y的一元二次方程后D,E两点纵坐标的和与积,利用得到t与m的关系,进一步得到DE方程,由直线系方程可得直线DE所过定点.试题解析：（1）由题意设抛物线方程为，其准线方程为，∵到焦点的距离等于到其准线的距离，∴，∴.∴抛物线的方程为.（2）由（1）可得点，可得直线的斜率不为0，设直线的方程为：，联立，得，则①.设，则.∵即，得：，∴，即或，代人①式检验均满足，∴直线的方程为：或.∴直线过定点（定点不满足题意，故舍去）.点睛:抛物线的定义是解决抛物线问题的基础，它能将两种距离(抛物线上的点到焦点的距离、抛物线上的点到准线的距离)进行等量转化．如果问题中涉及抛物线的焦点和准线，又能与距离联系起来，那么用抛物线定义就能解决问题．因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题，可以优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线的距离，这样就可以使问题简单化．7．（1）（2）见解析【解析】试题分析：（1）利用离心率和求得有关几何量，进而得到椭圆的标准方程；（2）设出直线方程，联立直线和抛物线方程，得到关于的一元二次方程，再利用向量的数量积为0进行判定.试题解析：（1）由得，，．所以，所求椭圆的标准方程为．（2）设过椭圆的右顶点的直线的方程为．代入抛物线方程，得．设、，则．．点睛：在处理有关直线和圆锥曲线的位置关系问题时，记住一些结论可减少运算量、提高解题速度，如：过椭圆或双曲线的焦点且与焦点所在坐标轴垂直的弦长为，过抛物线的焦点且与对称轴垂直的弦长为.8．见解析.【解析】试题分析：（Ⅰ）由两点求斜率公式可得AP的斜率为，由，得AP斜率的取值范围是；（Ⅱ）联立直线AP与BQ的方程，得Q的横坐标，，进而表达与的长度，通过函数求导可得f(k)在区间上单调递增，上单调递减，则k=时，取得最大值．试题解析：(Ⅰ)设直线AP的斜率为，则，，故直线的斜率的取值范围是；(Ⅱ)联立直线与的方程：解得点Q的横坐标是，因为|P A|==|PQ|= ，所以|P A||PQ|=令，因为，所以f(k)在区间上单调递增，上单调递减，因此当k=时，取得最大值．点睛：有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．9．2【解析】分析：由已知可求过A，B两点的直线方程为y=k（x﹣1），然后联立直线与抛物线方程组可得，k2x2﹣2（2+k2）x+k2=0，可表示x1+x2，x1x2，y1+y2，y1y2，由∠AMB=90°，向量的数量积为0，代入整理可求k．详解：∵抛物线C：y2=4x的焦点F（1，0），∴过A，B两点的直线方程为y=k（x﹣1），联立可得，k2x2﹣2（2+k2）x+k2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=1，∴y1+y2=k（x1+x2﹣2）=，y1y2=k2（x1﹣1）（x2﹣1）=k2[x1x2﹣（x1+x2）+1]=﹣4，∵M（﹣1，1），∴=（x1+1，y1﹣1），=（x2+1，y2﹣1），∵∠AMB=90°，∴=0∴（x1+1）（x2+1）+（y1﹣1）（y2﹣1）=0，整理可得，x1x2+（x1+x2）+y1y2﹣（y1+y2）+2=0，∴1+2+﹣4﹣+2=0，即k2﹣4k+4=0，∴k=2．故答案为：2点睛：本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用．10．12【解析】分析：过点两点分别作准线的垂线，过点作的垂线，垂足为，在直角三角形中，求得，进而得直线的斜率为，所以直线的方程，联立方程组，求得点的坐标，即可求得答案．详解：过点两点分别作准线的垂线，过点作的垂线，垂足为，设，则，因为，所以，在直角三角形中，，,所以，所以直线的斜率为的方程为，将其代入抛物线的方程可得，解得，所以点，又由，所以所以．点睛：本题主要考查了主要了直线与抛物线的位置关系的应用问题，同时涉及到共线向量和解三角形的知识，解答本题的关键是利用抛物线的定义作出直角三角形，确定直线的斜率，得出直线的方程，着重考查了数形结合思想和推理与运算能力．11．.【解析】分析：设出AB的方程，A，B的坐标，进而把直线与抛物线方程联立消去x，根本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。