一类拟线性方程组的可解性
一类拟线性抛物型方程组的可解性
（ ） Ａ 一６ ∈／，＞０ ｖ ￡ ｖ ， ２ ｔ ＝
，
在 相 同区 域上 的 问题 （ ） 行 了研 究 ， 用 上下 解 １进 运 方 法 ， 到 问题 （ ） 得 １ 的正 解 的整 体 存 在 性 条 件 ， 并
将 这个 耦合 型方程 扩展 成 ｎ个方程 的情 形 。
ｃ ｎ ｉ ｏ ｓ ｂ ｋ ｇ ｕ ｅ ｆ ｔ ｅ ｕ ｐ ｒ ａ ｄ ｌ ｗｅ ｏｕ ｉ ｎ ｍｅ ｏ ｓ ｓ ｍｅ ａ ｐ ｏ ｒａｅ ｃ ｎ ｉ ｏ ｓ ｏ ｌ ｂ ｌ ｏ ｄ ｔ ｎ ， ｙ ｍａ ｉ ｓ ｏ ｐ ｅ ｎ ｏ ｒ ｓ ｌ ｔ ｔ ｄ ， ｏ ｐ ｒ ｐ ｉｔ ｏ ｄｔ ｎ ｆ ｒ ｇｏ ａ ｉ ｎ ｈ ｏ ｈ ｉ ｅ ｉｔｎ ｅ ｏ ｏ ｕ ｉｎ ｒ ｅｅｍ ｉｅ ｅ ｐ ｃｉ ｅｙ ａ ｄ ｗｅ ｅ ｔ ｎ ｈ ｅ ｕ ｔ ｔ ｈ ｏ ｄ ｔ ｎ ｆ ｎ ｑ ａ ｉｎ ． ｘ ｓｅ ｃ ｆ ｓ ｌｔ ｓ ａ ｅ ｄ ｔ ｒ ｎ ｄ ｒ ｓ ｅ ｔ ｌ ， ｎ ｘ ｅ ｄ ｔ ｅ ｒ ｓ ｌ ｏ ｔ ｅ ｃ ｎ ｉ ｏ ｓ ｏ ｅ ｕ ｔ ｓ ｏ ｖ ｓ ｉ ｏ
（ ） Ａ ｔ ｕ—ａ ｐ ∈ ， ＞０ ＝ ｐ， ｔ
（ｍ） Ａ ａ ｐ ∈ ， ＞０ Ｕ ￡ ｕ— ｕ， ｔ ＝
＝ 口
ｄ ｎ
，
ＸＥ ａ ， ＞ Ｏ ｔ
ｕ（ ０） ０ ， ＝ （ ∈ ） 并得 到 了许 多有益 的性 质 。受此启 发 ， 本文对 定 义
第 ｌ ９卷 第 ２期
２１ ０ ２年 ４月
莆 田 学 院 学 报
Ｊ ｕｎ ｌ ｆ ｕ ｎ ｏ ｒ ａ ｏ Ｐ ｔ ａ Ｕｎ ｖ ｒｉ ｉ ｉｅ ｓｔ ｙ
中图 分 类 号 ： ７ ． Ｏ１ ５２
一阶偏微分方程基本知识
一阶偏微分方程根本知识这一章我们来讨论一阶线性偏微分方程和一阶拟线性偏微分方程的解法，因为它们都可以化为常微分方程的首次积分问题，所以我们先来介绍常微分方程的首次积分。
一阶常微分方程组的首次积分首次积分的定义从第三章我们知道，n阶常微分方程y n fx,y',y'', ,y n1，〕在变换yy,yy',L,ynyn112〕之下，等价于下面的一阶微分方程组dy1f1x,y1,y2,L,yn,dxdy2f2x,y1,y2,L,y n,dxMMMMdy nf n x,y1,y2,L,y n.dx〔〕在第三章中，已经介绍过方程组〔〕通解的概念和求法。
但是除了常系数线性方程组外，求一般的〔〕的解是极其困难的。
然而在某些情况下，可以使用所谓“可积组合〞法求通积分，下面先通过例子说明“可积组合〞法，然后介绍一阶常微分方程组“首次积分〞的概念和性质，以及用首次积分方法来求解方程组〔〕的问题。
先看几个例子。
例1求解微分方程组--WORD格式--可编辑--dx yxx2y21,dy xyx2y2 1.dt dt〔〕解：将第一式的两端同乘x，第二式的两端同乘y，然后相加，得到x dx y dy x2y2x2y21，dt dt1dx2y2x2y2x2y21dt。
2这个微分方程关于变量t和x2y2是可以别离，因此不难求得其解为x2y21e2t C1，x2y2〔〕C1为积分常数。
〔〕叫做〔〕的首次积分。
注意首次积分〔〕的左端V x,y,t作为x，y，和t的函数并不等于常数；从上面的推导可见，当xx(t),y y(t)时微分方程组〔〕的解时，Vx,y,t才等于常数C1，这里的常数C1应随解而异。
因为式〔〕是一个二阶方程组，一个首次积分〔〕缺乏以确定它的解。
为了确定〔〕的解，还需要找到另外一个首次积分。
将第一式两端同乘y，第二式两端同乘x，然后用第一式减去第二式，得到y dx x dy x2y2，dt dt即x dy y dx x2y2，dt dt亦即d arctan yx。
《高等代数》课程教学大纲
《高等代数》课程教学大纲一、教学大纲说明（一）课程的性质、地位、作用和任务《高等代数》是数学专业本科学生的三门主要基础课程之一。
它不仅是代数学的基础，也是其它数学课程必要的前提。
该课程是为大学一年级的学生开设的，总课时144学时，开设时间为一年。
通过本课程的教学，使学生掌握为进一步提高专业知识水平所必需的代数基础理论和基本方法。
本课程的任务是使学生系统地掌握基本的、系统的代数知识和抽象的严格的代数方法，为后继课程如近世代数、常微分方程、概率论与数理统计、泛函分析、计算方法等提供必须具备的代数知识，也为进一步学习数学与应用数学专业的各门课程所需要的抽象思维能力提供一定的训练。
（二）教学目的和要求通过本课程的学习，使学生掌握高等代数的基本概念、基本理论与基本方法，熟悉代数的语言、工具、方法，具有一定理解问题、分析问题、解决问题的能力。
为今后的学习打下扎实的基础。
１．熟练掌握：集合、映射、单射、满射、双射的概念，第一、第二数学归纳法，带余除法，不可约多项式，线性方程组的消元法，矩阵的行（列）初等变换，矩阵的秩，初等矩阵的性质，可逆矩阵，向量空间的基、维数，线性相关与线性无关，齐次线性方程组的基础解系，线性变换，矩阵特征值、特征向量的概念与求法，内积的定义，正交变换与正交矩阵，二次型的概念及与其矩阵的对应关系。
２．掌握：整数的整除性、素数的性质，集合的表示与运算，辗转相除法，综合除法，多项式的互素，根与系数的关系，重因式及其判定，行列式的性质，行列式的展开，矩阵的乘法，矩阵的行列式，子空间的交与和，坐标，过渡矩阵，线性方程组的特解与通解，线性变换的运算及其形成的向量空间，线性变换的向量空间与矩阵的向量空间的同构，矩阵的相似，几类向量空间的内积，Cauchy不等式，正交基与正交化，三维空间中的几种正交变换，正交变换与正交矩阵的关系，二次型的矩阵的合同及其求法，对称矩阵合同于对角矩阵，复数域上的二次型的规范形、实数域上二次型的惯性定理、规范形、分类，正定二次型的判定。
一类p-Laplacian方程的可解性
【 ＝ ０ ． Ｅ Ｂ “ ， ７ ３ １ ７
其中， Ｂ是 Ｒ （≥ ２ 中 ， ） 中心在 原 点 的单位 球 ， 即
Ｂ一｛ ｚＥＲ ： Ｘｆ １ ； ￡ ：０ ＋。 ） ｆ ＜ ｝ Ａ（） （ ， 。 一Ｒ 是 一 个连 续 函数 ； （ ，， 是 定 义 在 Ｂ×Ｒ＋×Ｒ＋ ， ￡Ｓ 硼） 上 的实 函数 。
０ 引
言
本文讨 论 问题 （） 正径 向解 ， １的 问题 （ ） １ 的径
向形 式为
ｒ （ Ｈ （ ｒ ） ＋ ｕ （） ）
本 文研究 下列 拟线 性 方 程 边值 问题 （ ） 正 １式
径 向整 体解 的存在性 与 唯一性 ， 即
ｆｉ｛ Ｉ ｕ １Ｄｕ） ｄｖ Ａ（ Ｄ ） ＋
ＹＵ ｉｄ ｎ Ｚ Ｇｕ－ ｏ ｇ． ＨＯＮＧ ｉ－ ｉｏ Ｊｎ ｂａ
（ ｈ￣ ＩＳ ｉｎ ｅ Ｃ Ｓ ｆＭ ｔ ｅ ｔｃ ｎ ｍｐ ｉ ｃｅ ｃ ，Ａｎｑｎ ａ ｈｅｓＣｏｌｇ ，Ａｎ ｉｇ ４ ０１ ，ＣＩｎ ） ｎ ｉｇＴｅ ｃ ｒ ｌ ｅ ｅ ｑｎ ２ ６ １ ｌ ａ ｉ
１ 局 部 解 的存 在 性
下 面讨论 初始值 问题 （） 即 ３，
ｒ ＿ （ ｒ ） （ ｒ Ｈ ｕ （） ） ＋ ｒ ｆ ｒ ｒ ， ＿ （ ， ） （
。 ㈣
文献［～８ 对椭圆方程边值进行了研究 ， １ ］ 这 里所 研究 的问题 （） １的特点是 ， 中方 程是拟 线性 其 的， 可能在 ｌ ｕｘ Ｉ Ｄ （ ） 一０的点处退化或奇异； 中 其 非线 性项 ｆ ｘ， ｌ ） 比较一 般 的形 式 ， 研 （ ，Ｄｕ１是 且 究 问题 （） １的方 法不 同于文 献 ［￣６ 。 Ｉ ３
一类带权函数的拟线性椭圆方程
维普资讯
２０，７ ２： ７２７ ０７２ Ａ（） ７—８ ２
数学物理学报
一
类带权函数的拟线性椭 圆方程
刘 清
（ 南师范大学数学科学学院 昆明 ６ ０ ９ ） 云 ５０ ２
黄毅 生
1.3一阶线性偏微分方程的通解法
1.3 一阶线性偏微分方程的通解法1.3.1 (3)，1.3.2 (3)，1.3.3(2)通解法：对某些偏微分方程，通过积分先求出通解，再由定解条件定出特解的解法。
1.3.1 两个自变量的一阶线性偏微分方程(,)(,)(,)(,)0.1(,),(,),(,),(,)D (,),(,)u ua x yb x yc x y u f x y x y a x y b x y c x y f x y a x y b x y ∂∂++=∂∂（）其中，为平面区域上的连续函数，且不同时为0.1D (,)0,(,)0,(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)=exp -exp ()0.3(,)(,)(,)()a x y b x y u c x y f x y u y b x y b x y x c x y c x y f x y u x y dy dy dy g x b x y b x y b x y g x C ≡≠∂+=∂⎡⎤⎛⎞⎛⎞+⎢⎥⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎣⎦∫∫∫若在上，则（0.2）可看做含参数的常微，其通解.（其中，为任意函数。
）D (,)(,)0,=,)(,)(,)(,)0(,)a x y b x y x y x y xyJ x y xyξϕηψϕϕϕψϕψψψ≠⎧⎨=⎩∂∂∂∂∂==≠∂∂∂∂∂若在上，则方程（0.2）不能直接积分求解。
试作变量代换（（0.4）要求其雅可比行列式（保证新变量的独立性）利用链式法则++(,)=((,,(,)(,.=,)(,)(,)=0u u u u u ux x x y y y u x y u u x y u u u a b a b cu f xy x y x y a x y b x y x y ϕψϕψξηξηξηξηξηϕϕψψξηξϕϕϕ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂==∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=⎛⎞⎛⎞∂∂∂∂∂∂++++=⎜⎟⎜⎟∂∂∂∂∂∂⎝⎠⎝⎠∂∂+∂∂，的方程（0.1）变成)))的新方程（0.5）若取（是一阶齐次线性偏微分方程（0.6）的解，则新(,(,)u a b cu f xy u u ψψηηξη⎛⎞∂∂∂++=⎜⎟∂∂∂⎝⎠方程（0.5）成为（0.2）型的方程，（0.7）对积分即可求出其通解)，代回原自变量即得通解。
一类拟线性Choquard方程非平凡解的存在性
[4] LIUJQ,WANG Y Q,WANGZQ.SolutionsforQuasilinearSchrödingerEquationsviatheNehariMethod[J]. Comm PartialDifferentialEquations,2004,29(5/6):879-901.
则存在常数 C(N,μ,r,t)>0,使得对任意的u∈Lr(ℝN )和v∈Lt(ℝN ),有
∬ℝ2N u(xx)-·yvμ(y)dxdy ≤ C(N,μ,r,t)‖u‖r‖v‖t.
方 程 (3)对 应 的 能 量 泛 函 为
∫ ∫ J(u)∶=p1 ℝN (1+2p-1 u p) ∇u pdx-21q ℝN (Iμ* u q)u qdx.
Abstract:Weprovedtheexistenceofnontrivial weaksolutionforaclassofquasilinear Choquard equationswithp-Laplacianoperatoras wellastheconvolutiontermsbyusingthe mountainpass lemma. Keywords:Choquardequation;p-Laplacianoperator;mountainpasslemma;nontrivialsolution
2)方 程 (1)中 的 卷 积 项 导 致 紧 性 条 件 不 再 成 立 ,本 文 利 用 一 些 精 细 的 分 析 技 巧 解 决 了 该 问 题 .
《线性代数》教案
《线性代数》教案一、教学目标1. 知识与技能：（1）理解线性代数的基本概念，如向量、矩阵、行列式等；（2）掌握线性方程组的求解方法，如高斯消元法、矩阵的逆等；（3）熟悉线性代数在实际问题中的应用。
2. 过程与方法：（1）通过实例讲解，培养学生的空间想象能力；（2）运用数学软件或工具，提高学生解决实际问题的能力；（3）引导学生运用线性代数的知识，分析、解决身边的数学问题。
3. 情感态度与价值观：（1）培养学生对数学的兴趣和好奇心；（2）感受数学在生活中的重要性，培养学生的应用意识；（3）引导学生树立正确的数学观念，克服对数学的恐惧心理。
二、教学内容1. 第一章：向量（1）向量的概念及几何表示；（2）向量的线性运算；（3）向量的数量积与向量垂直；（4）向量的坐标表示与运算。
2. 第二章：矩阵（1）矩阵的概念与运算；（2）矩阵的行列式；（3）矩阵的逆；（4）矩阵的应用。
3. 第三章：线性方程组（1）线性方程组的解法；（2）高斯消元法；（3）矩阵的逆与线性方程组的解；（4）线性方程组的应用。
4. 第四章：矩阵的特征值与特征向量（1）特征值与特征向量的概念；（2）矩阵的特征值与特征向量的求解；（3）矩阵的对角化；（4）矩阵的特征值与特征向量的应用。
5. 第五章：二次型（1）二次型的概念；（2）二次型的标准形；（3）二次型的判定；（4）二次型的应用。
三、教学方法1. 采用启发式教学，引导学生主动探索、思考；2. 结合实例讲解，培养学生的空间想象能力；3. 利用数学软件或工具，提高学生解决实际问题的能力；4. 组织课堂讨论，促进学生交流与合作；5. 注重练习与反馈，巩固所学知识。
四、教学评价1. 平时成绩：课堂表现、作业、小测验等；2. 期中考试：检测学生对线性代数知识的掌握程度；3. 期末考试：全面考察学生的线性代数知识、技能及应用能力。
五、教学资源1. 教材：《线性代数》；2. 辅助教材：《线性代数学习指导》；3. 数学软件：如MATLAB、Mathematica等；4. 网络资源：相关在线课程、教学视频、练习题等。
线性方程组的几种求解方法
线性方程组的几种解法线性方程组形式如下：常记为矩阵形式其中一、高斯消元法高斯（Gauss)消元法的基本思想是：通过一系列的加减消元运算，也就是代数中的加减消去法，将方程组化为上三角矩阵；然后，再逐一回代求解出x向量。
现举例说明如下：（一）消元过程第一步：将(1)/3使x1的系数化为1 得再将(2)、(3)式中x1的系数都化为零，即由(2)-2×(1)(1)得由(3)-4×(1)(1)得)1(32)2(......3432=+xx)1(321)1(......23132=++xxx第二步：将(2)(1)除以2/3，使x 2系数化为1，得再将(3)(1)式中x 2系数化为零，即 由(3)(1)-(-14/3)*(2)(2)，得第三步：将(3)(2)除以18/3，使x 3系数化为1，得经消元后，得到如下三角代数方程组：（二）回代过程由(3)(3)得 x 3=1, 将x 3代入(2)(2)得x 2=-2, 将x 2 、x 3代入(1)(1)得x 2=1 所以，本题解为[x]=[1,2,-1]T（三）、用矩阵演示进行消元过程第一步： 先将方程写成增广矩阵的形式第二步：然后对矩阵进行初等行变换初等行变换包含如下操作（1） 将某行同乘或同除一个非零实数（2） 将某行加入到另一行 （3） 将任意两行互换第三步：将增广矩阵变换成上三角矩阵，即主对角线全为1，左下三角矩阵全为0，形)3(3)3(......1-=x )2(3)3( (63)18-=x )2(32)2(......02=+x x )1(32)3( (63)10314-=--x x示例：（四）高斯消元的公式综合以上讨论，不难看出，高斯消元法解方程组的公式为1．消元（1）令a ij(1) = a ij , （i,j=1,2,3,…,n）b i(1) =b i , （i=1,2,3,…,n）（2）对k=1到n-1，若a kk(k)≠0，进行l ik = a ik(k) / a kk(k) , （i=k+1,k+2,…,n）a ij(k+1) = a ij(k) - l ik * a kj(k), （i,j= k+1,k+2,…,n）b i(k+1) = b i(k) - l ik * b k(k), （i= k+1,k+2,…,n）2．回代若a nn(n) ≠0x n = b n(n) / a nn(n)x i = (b i(i) – sgm(a ij(i) * x j)/- a ii(i),（i = n-1,n-2,…,1）,( j = i+1,i+2,…,n )（五）高斯消元法的条件消元过程要求a ii(i) ≠0 (i=1,2,…,n),回代过程则进一步要求a nn(n) ≠0,但就方程组Ax=b 讲，a ii(i)是否等于0时无法事先看出来的。
线性系统分析中的若干问题探讨
线性系统分析中的若干问题探讨线性系统分析是一种重要的研究领域，它可以让我们从一系列线性方程中总结出有关某个系统的准确信息。
它的研究射线从基本的理论延伸到实际的应用，可以帮助我们更好地理解和控制系统。
本文主要探讨线性系统分析中的几个问题，以方便我们更好地理解线性系统。
首先，我们来看一下可解性问题，即要求一系列线性方程组的可解性。
在这里，我们要考虑一组方程是否有解，以及如果有，如何解决这个问题。
其次，我们要考虑解的唯一性和稳定性问题。
只有当解的唯一性和稳定性得到保证，才能有效地求解线性系统中的问题。
然后，我们还要考虑系统精度的问题，即系统能够根据输入信息以及计算结果的精度来输出准确的结果。
最后，我们要考虑线性系统分析在实际应用中的问题，即如何利用线性系统分析理论来解决实际问题，并完成实际应用。
首先，我们讨论可解性问题。
关于可解性问题，线性系统分析需要考虑系统方程组是否可被解出。
它可以用齐次线性方程组中的边界条件、其它条件和约束条件来判断可解性。
它可以通过Gauss-Jordan 法，Cramer法，LU分解等方法求解齐次线性方程组的解。
当系统方程没有解时，可以采用近似解法。
如果系统方程带有约束条件，还可以采用最优化算法求解。
其次讨论解的唯一性和稳定性问题。
在这里，我们需要考虑一个系统的解是否唯一，以及解是否收敛。
为此，需要考虑系统的条件数，即方程的未知数的个数与方程的个数相比较。
当条件数大于或等于方程的个数时，有唯一解，否则就没有唯一解。
另外，系统的稳定性还要取决于系统的解的数学特征，如系统的特征值，特征向量和傅里叶变换等。
再接下来，我们来谈谈系统精度的问题。
系统精度指系统对输入信息和计算结果的准确程度。
在系统精度方面，我们需要考虑精度有多少，是否有噪声影响，精度的调整以及系统的参数匹配等问题，以便实现可靠的结果输出。
最后要谈到的是线性系统分析在实际应用中的问题。
线性系统分析可以应用于很多领域，包括控制系统设计、金融市场分析、计算机网络和通信系统等。
矩阵的秩线性方程组可解的判别法
矩阵秩的应用
线性方程组可解判别法
01
通过判断系数矩阵的秩和增广矩阵的秩是否相等，可
以判断线性方程组是否有唯一解、无穷多解或无解。
特征值与特征向量的计算
02 对于给定的方阵，可以通过计算其行列式因子和
Cramer法则来求得其特征值和特征向量。
行列式计算
03
利用矩阵的秩和行列式的关系，可以计算行列式的值
03
在求解过程中，需要注意初等 变换不改变矩阵的秩，因此可 以利用这一性质来验证求解过 程是否正确。
CHAPTER 05
特殊线性方程组可解的判别法
唯一解的判别法
系数矩阵的秩等于增广矩 阵的秩
当系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩时，线性 方程组有唯一解。这是因为系数矩阵和增广 矩阵具有相同的行数，当它们具有相同的秩 时，方程组中的方程个数与未知数的个数相 等，从而可以唯一确定一组解。
如果增广矩阵的最后一列中的常数项与系数矩阵的秩相等 ，则线性方程组有唯一解；如果增广矩阵的最后一列中的 常数项与系数矩阵的秩不相等，则线性方程组无解或有无 穷多解。这是因为增广矩阵包含了线性方程组的所有未知 数和常数项，因此可以通过比较系数矩阵和增广矩阵的秩 来判断线性方程组的可解性。
CHAPTER 04
系数矩阵的行列式为零
当系数矩阵的行列式为零时，线性方程组可能有无穷 多解。这是因为行列式为零意味着系数矩阵是奇异的 ，无法通过逆矩阵得到唯一解，但可能存在无穷多解 。
无解的判别法
系数矩阵的秩大于增广矩阵的秩
当系数矩阵的秩大于增广矩阵的秩时，线性方程组无解 。这是因为增广矩阵中的列无法由系数矩阵中的列线性 组合得到，从而无法满足方程组中的所有方程，因此无 解。
系数矩阵的行列式为无穷大
一类带有Neumann边界的奇异拟线性椭圆方程解的存在性
⑥
２ １ Ｓ ｉＴｃ． ｎｒ． ０ ２ ｃ ｅｈ Ｅ ｇ ． ｇ
一
类带有 Ｎ ｕ ｎ ｅｍａ ｎ边 界的奇异拟 线性 椭 圆方程解 的存在性
寇冰煜 张 燕 毛 磊
（ 解放军理工大学理 学院数理系应用数学教研室 ， 南京 ２ ０ ） １１ １ １
摘
要
应用变分方法 中的极值理论来研究 Ｎ ｕ ｎ ｅｍａｎ边界 问题
ｒ ｉ（ Ｉ “ —ｄ ｋ ｌ Ｉ一 ｖ Ｊ ）＝ｋ 卢ｐ 卢一 ＩＵ ， 一Ａｋ 一 ’ ｊ ＋ｋ （ ｌｕ 一， ）＞ ， ０ ∈ｎ
１
Ｉｕ － ＝ ， Ｖ ｉ２ ０ ｐ
∈１ ０ ２
其中 是 Ｒ （ Ⅳ≥３ 中具 有 ｃ 光滑边界 的有界 区域 ， ， ） ０∈ 表示ａ 力的单位外法 向向： 且 １＜ 匿， ｐ＜Ｎ， ０ ＜ ， ＜ ， ０ 使得 Ｐ Ｏ （Ｌ ， 卢） 垒 ＞ ， ｔ ｐ， ｐ ｙ＞ｏ－ ｐ＜ｑ ｐ ， 。对 于参数 ， ｙ及 的不同范 围， 立上 述方 程解 的存在 性结果。其 中对参数 ＜ （ ） 卢， 建
椭 圆方 程 问题 。
一
上 Ｉ ｄ Ｖ ∈ｏ Ｃ（ ， 。 ）
其 中
（ ２ ）
，
ｄ （ “ Ｉ ｉ １ ｌ ｖ Ｉ Ⅱ 一
） ＝
Ｉ ［ａ‘ 一一 Ｉ 一＋ｘ 一 ＞，∈ ｘ ｕ ’ Ａ Ｉ Ｉ （） ０ ｌｐ ｘ Ｉ ， 戈
＜ Ｎ ＞Ｎ 詈 ， ｐ ｐ，一 ＜ ≥ 卢— ≥
理工大学理学 院青年科研基金和国家 ８ ３ ６ 计划重点基金资助
｛ （ ） …“ Ｉ ＋ “ … ，： ｌ ∈ ２ ５Ｌ ｄ
ｄ ＜ ∞｝ ； 其模是 Ｉ １ ， Ｉ Ｉ Ｉ ｕ ＋ ，＝ ｄ ｌ
第一作者简介 ： 寇冰煜 （９２ ）女 ， １８一 ， 河南驻马店人 ， 解放 军理大学
计算流体力学清华大学完整版
在网格划分策略和数值方法的基础上，编制、调试数值求解流体运动方程 的计算机程序或软件。
第五，程序验证和确认。
验证(Verification)：The process of determining that a model implementation accurately
represents the developer’s conceptual description of the model and the solution to the
U ,C是m维列向量，B {bij}, A {aij}均为m m方阵。
对一阶导数项而言，是线性方程组；
如果B, A是U的函数，则整个方程组是非线性的，称之为 “拟线性方程组”。
考虑一维守恒型Euler方程（一阶）
U F 0 t x
U , F分别为
U
u
m ；
E
F
u u2 (E
The Elements of Computational Fluid Dynamics
计算流体力学引论
预修课程：流体力学、 偏微分方程数值解法、 计算机语言和编程基础。
教 材：任玉新, 陈海昕.《计算流体力学基础》， 清华大学出版社, 北京, 2006。
参考书目：
1. J.D. Anderson, Jr. Computational Fluid Dynamics-The Basis with Applications, McGraw-Hill, New York, 1995.
物理模型：
(1) 空间维数：1D、2D、3D (2) 时间特性：定常、非定常 (3) 流动性质：无粘/粘性、可压缩/不可压缩、层流/湍流 (4) 流体物性：常物性、变物性
(高等数学)偏微分方程
第十四章 偏微分方程物理、力学、工程技术和其他自然科学经常提出大量的偏微分方程问题.由于实践的需要和一些数学学科（如泛函分析，计算技术）的发展，促进了偏微分方程理论的发展，使它形成一门内容十分丰富的数学学科.本章主要介绍一阶偏微分方程、线性方程组及二阶线性偏微分方程的理论.在二阶方程中，叙述了极值原理、能量积分及惟一性定理.阐明了一些解的性质和物理意义，介绍典型椭圆型、双曲型、抛物型方程的常用解法：分离变量法，基本解，格林方法,黎曼方法,势位方法及积分变换法.最后，扼要地介绍了有实用意义的数值解法：差分方法和变分方法.§1 偏微分方程的一般概念与定解问题[偏微分方程及其阶数] 一个包含未知函数的偏导数的等式称为偏微分方程.如果等式不止一个，就称为偏微分方程组.出现在方程或方程组中的最高阶偏导数的阶数称为方程或方程组的阶数.[方程的解与积分曲面] 设函数u 在区域D 内具有方程中所出现的各阶的连续偏导数，如果将u 代入方程后，能使它在区域D 内成为恒等式，就称u 为方程在区域D 中的解，或称正规解. ),,,(21n x x x u u = 在n +1维空间),,,,(21n x x x u 中是一曲面，称它为方程的积分曲面. [齐次线性偏微分方程与非齐次线性偏微分方程] 对于未知函数和它的各阶偏导数都是线性的方程称为线性偏微分方程.如()()()()y x f u y x c yuy x b x u y x a ,,,,=+∂∂+∂∂就是线性方程.在线性方程中，不含未知函数及其偏导数的项称为自由项，如上式的f (x,y ).若自由项不为零，称方程为非齐次的.若自由项为零，则称方程为齐次的.[拟线性方程与半线性方程] 如果一个方程，对于未知函数的最高阶偏导数是线性的，称它为拟线性方程.如()()()()()()0,,,,,,,,,,,,22222122211=+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂∂+∂∂u y x c y uu y x b x u u y x a yu u y x a y x u u y x a x u u y x a就是拟线性方程，在拟线性方程中，由最高阶偏导数所组成的部分称为方程的主部.上面方程的主部为()()()22222122211,,,,,,yuu y x a y x u u y x a x u u y x a ∂∂+∂∂∂+∂∂如果方程的主部的各项系数不含未知函数，就称它为半线性方程.如()()()()0,,,,,,2222=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂y yu y x d x y u y x c yu y x b x u y x a就是半线性方程.[非线性方程] 不是线性也不是拟线性的方程称为非线性方程.如1)()1(222=∂∂+∂∂+yux u u就是一阶非线性偏微分方程.[定解条件] 给定一个方程，一般只能描写某种运动的一般规律，还不能确定具体的运动状态，所以把这个方程称为泛定方程.如果附加一些条件（如已知开始运动的情况或在边界上受到外界的约束）后，就能完全确定具体运动状态，称这样的条件为定解条件.表示开始情况的附加条件称为初始条件，表示在边界上受到约束的条件称为边界条件.[定解问题] 给定了泛定方程（在区域D 内）和相应的定解条件的数学物理问题称为定解问题.根据不同定解条件，定解问题分为三类.1︒ 初值问题 只有初始条件而没有边界条件的定解问题称为初值问题或柯西问题. 2︒ 边值问题 只有边值条件而没有初始条件的定解问题称为边值问题.3︒ 混合问题 既有边界条件也有初始条件的定解问题称为混合问题（有时也称为边值问题）.[定解问题的解] 设函数u 在区域D 内满足泛定方程，当点从区域D 内趋于给出初值的超平面或趋于给出边界条件的边界曲面时，定解条件中所要求的u 及它的导数的极限处处存在而且满足相应的定解条件，就称u 为定解问题的解.[解的稳定性] 如果定解条件的微小变化只引起定解问题的解在整个定义域中的微小变化，也就是解对定解条件存在着连续依赖关系，那末称定解问题的解是稳定的.[定解问题的适定性] 如果定解问题的解存在与惟一并且关于定解条件是稳定的，就说定解问题的提法是适定的.§2 一阶偏微分方程一、 柯西-柯娃列夫斯卡娅定理[一阶偏微分方程的通解] 一阶偏微分方程的一般形式 是0),,,,,,,,(2121=∂∂∂∂∂∂nn x ux u x u u x x x F或()0,,,,,,,211=n n p p p u x x F ，其中()n i x up ii ,,2,1 =∂∂=如解出p 1，可得：p 1 = f (x 1 , x 2 ,…, x n , u , p 2 ,…, p n )当方程的解包含某些“任意元素”(指函数)，如果适当选取“任意元素”时，可得方程的任意解(某些“奇异解”除外)，则称这样的解为通解.在偏微分方程的研究中，重点在于确定方程在一些附加条件(即定解条件)下的解，而不在于求通解.[一阶方程的柯西问题]()()⎪⎩⎪⎨⎧==∂∂=n x x n n x x u p p u x x x f x u,,|,,,,,,,22211011 ϕ 称为柯西问题，式中),,(2n x x ϕ为已知函数，对柯西问题有如下的存在惟一性定理.[柯西－柯娃列夫斯卡娅定理] 设 f ( x 1 , x 2 ,, x n , u , p 2 ,, p n ) 在点 ( x 10 , x 20 ,, x n 0 , u 0 , p 20 ,, p n 0 ) 的某一邻域内解析，而),,(2n x x ϕ在点( x 20 ,, x n 0 ) 的某邻域内解析，则柯西问题在点 ( x 10 ,, x n 0 ) 的某一邻域内存在着惟一的解析解.这个定理应用的局限性较大，因它要求f 及初始条件都是解析函数，一般的定解问题未必能满足这种条件.对高阶方程也有类似定理.二、 一阶线性方程1． 一阶齐次线性方程[特征方程∙特征曲线∙初积分(首次积分)] 给定一阶齐次线性方程在有些书中写作0),,,,,,,,,(121=∂∂∂∂∂∂nn x u x u t u u x x x t F()()0,,,,,,211211=∂∂++∂∂nn n n x u x x x a x u x x x a (1) 式中a i 为连续可微函数，在所考虑的区域内的每一点不同时为零(下同).方程组()n i ix x x a tx ,,,d d 21 = ( i = 1,2,, n ) 或()()()n n n n n x x x a x x x x a x x x x a x ,,,d ,,,d ,,,d 2121222111 === (2)称为一阶齐次线性偏微分方程的特征方程.如果曲线l : x i = x i (t ) ( i =1,2,, n )满足特征方程(2)，就称曲线l 为一阶齐次线性方程的特征曲线.如果函数ψ ( x 1 , x 2 ,, x n )在特征曲线),,2,1()(n i t x x i i ==上等于常数，即ψ ( x 1(t ) , x 2(t ) ,, x n (t ) ) = c就称函数ψ ( x 1, x 2,, x n )为特征方程(2)的初积分(首次积分). [齐次方程的通解]1o 连续可微函数u = ψ ( x 1, x 2,, x n ) 是齐次线性方程(1)的解的充分必要条件是： ψ ( x 1, x 2,, x n )是这个方程的特征方程的初积分.2o 设ψi ( x 1 , x 2 ,, x n ) ( i = 1,2,, n 1-) 是特征方程(2)在区域D 上连续可微而且相互独立的初积分(因此在D 内的每一点，矩阵⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂---n n n n n n x x x x x x x x x 121112221212111ψψψψψψψψψ 的秩为n 1-) ，则u = ω ( ψ1 ( x 1 , x 2 ,, x n ) ,, ψn -1 ( x 1 , x 2 ,, x n ) )是一阶齐次线性方程(1)的通解，其中ω为n 1-个变量的任意连续可微函数. [柯西问题] 考虑方程的柯西问题()()⎪⎩⎪⎨⎧==∂∂==∑n x x ni i n i x x u x u x x x a ,,|0,,,2121011 ϕ 式中ϕ ( x2 ,, x n )为已知的连续可微函数.设ψi ( x 1 , x 2 ,, x n ) ( i = 1,2,, n 1-) 为特征方程的任意n 1-个相互独立的初积分，引入参变量 i ψ (1,,2,1-=n i )，从方程组()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===--120112201212011,,,,,,,,,n n n n n x x x x x x x x x ψψψψψψ 解出x 2 ,, x n 得()()⎪⎩⎪⎨⎧==--12112122,,,,,,n n nn x x ψψψωψψψω 则柯西问题的解为u = ϕ ( ω2 ( ψ1 , ψ2 ,, ψn -1 ) ,, ωn ( ψ1 , ψ2 ,, ψn -1 ) )2． 非齐次线性方程它的求解方法与拟线性方程相同.三、 一阶拟线性方程一阶拟线性方程为()()∑==∂∂ni n i n i u x x x R x uu x x x a 12121,,,,,,,, 其中a i 及R 为x 1 , x 2 ,, x n , u 的连续可微函数且不同时为零. [一阶拟线性方程的求解和它的特征方程]()()⎪⎩⎪⎨⎧===u x x x R t un i u x x x a t x n n i i,,,,d d ),,2,1(,,,,d d 2121 或()()()u x x R uu x x a x u x x a x n n n n n ,,,d ,,,d ,,,d 11111 ===为原拟线性方程的特征方程.如果曲线l : x i = x i (t ) ( i =1,2,, n ) , u = u (t ) 满足特征方程，则称它为拟线性方程的特征曲线.设 ψi ( x 1 ,, x n ,u ) ( i = 1,2,, n ) 为特征方程的n 个相互独立的初积分，那末对于任何连续可微函数ω，ω ( ψ1 ( x 1,, x n , u ) , ψ2 ( x 1,, x n , u ) ,, ψn ( x 1,, x n , u ) ) = 0都是拟线性方程的隐式解.[柯西问题] 考虑方程的柯西问题()()()⎪⎩⎪⎨⎧==∂∂==∑n x x ni n i ni x x u u x x x R x u u x x x a ,,|,,,,,,,,212121011 ϕ ϕ为已知的连续可微函数.设 ψ1 ( x 1 , x 2 ,, x n , u ) ,, ψn ( x 1 , x 2 ,, x n , u ) 为特征方程的n 个相互独立的初积分，引入参变量 n ψψψ,,,21 , 从()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===nn n n n u x x x u x x x u x x x ψψψψψψ,,,,,,,,,,,,2012201212011解出 x 2 ,, x n , u()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===n n n n n u x x ψψψωψψψωψψψω,,,,,,,,,21212122 则由()()()()()()()0,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,2121221221121=-≡n n n n n n u x x x u x x x u x x x V ψψψωψψψωϕψψω给出柯西问题的隐式解.四、 一阶非线性方程[完全解·通解·奇异解] 一阶非线性方程的一般形式为()()n i x up p p p u x x x F ii n n ,,2,10,,,,,,,,2121 =∂∂== 若一阶偏微分方程的解包含任意n 个独立的常数，则称这样的解为完全解(全积分). 若V ( x 1, x 2 ,, x n , u , c 1 , c 2,, c n ) = 0为方程的完全解，从()n i c VV i,,2,10,0 ==∂∂= 消去c i ，若得一个解，则称它为方程的奇异解(奇积分).以两个独立变量为例说明完全解与通解、奇异解的关系，设方程()yzq x z p q p z y x F ∂∂=∂∂==,,0,,,,有完全解V (x ,y ,z ,a ,b )=0 ( a ,b 为任意常数),则方程等价于从方程组()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂+∂∂=∂∂+∂∂=0,00,,,,q z Vy V p z V x V b a z y x V 消去a ,b 所得的方程.利用常数变易法把a ,b 看作x , y 的函数，将V (x ,y ,z ,a ,b )=0求关于x , y 的偏导数，得00=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂+∂∂+∂∂=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂+∂∂+∂∂ybb V y a a V q z V y V xbb V x a a V p z V x V那末0,0=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂yb b V y a a V x b b V x a a V 与V=0联立可确定a ,b .有三种情况：1︒ 0≡∂∂≡∂∂bVa V ，将其与V (x ,y ,z ,a ,b )=0联立可确定不含任意常数的奇异解. 2︒ 如0=∂∂=∂∂=∂∂=∂∂yb x b y a x a ，即回到完全解. 3︒ 当0/,0/≡∂∂≡∂∂b Va V 时，必有()()0,,=∂∂y x b a ，这时，如果不属于情形2︒ ，则a 与b 存在函数关系：b=ω(a )，这里ω为任意可微函数，并从方程V (x ,y ,z ,a ,b )=0和()∂∂∂∂ωV a Vba +'=0消去a ,b ，可确定方程的通解.定理 偏微分方程的任何解包含在完全解内或通解内或奇异解内. [特征方程·特征带·特征曲线·初积分] 在一阶非线性方程：()F x x x u p p p n n 12120,,,,,,,, =中，设F 对所有变量的二阶偏导数存在且连续，称()n i uFp x F t p p F p t u p Ft x i i i ni iii i ,,2,1)(d d d d ,1 =∂∂+∂∂-=∂∂=∂∂=∂∂∑=或u F p x F p u F p x F p p Fp up F x p F xp F x n nnni i i nn ∂∂+∂∂-==∂∂+∂∂-=∂∂=∂∂==∂∂=∂∂∑=d d d d d d 11112211为非线性方程的特征方程.设特征方程的解为x i =x i (t ), u=u (t ), p i =p i (t ) (i =1,2,…,n )称它为非线性方程的特征带.在x 1,x 2,, x n ,u 空间的曲线x i =x i (t ), u=u (t ) (i=1,2,…,n )称为非线性方程的特征曲线.如果函数()n n p p p u x x x G ,,,,,,,,2121 在特征方程的任一解x i =x i (t ) (i =1,2,, n ), u=u (t ), p i =p i (t ) (i =1,2,, n )上等于常数，即()()()()()()()()G x t x t x t u t p t p t p t C n n 1212,,,,,,,, =那末函数()n n p p p u x x x G ,,,,,,,,2121 称为特征方程的初积分.[求完全解的拉格朗日－恰比方法] 考虑两个变量的情况.对于方程F (x ,y ,z ,p ,q )=0，选择使雅可比式()()0,,≠∂∂q p G F 的一个初积分G (x ,y ,z ,p ,q ).解方程组()()F x y z p q G x y z p q a,,,,,,,,==⎧⎨⎪⎩⎪0(a 为任意常数) 得p (x ,y ,z ,a )及q (x ,y ,z ,a ).则方程d z=p d x+q d y的通解V (x ,y ,z ,a ,b )=0(b 是积分d z=p d x+q d y 出现的任意常数)就是方程F (x ,y ,z ,p ,q )=0的完全解.例 求方程()z p q x y 22222+=+的完全解.解 方程的特征方程为()()()qy x z y qp q p z x p q p z z q z y p z x 22222222222d 22d 2d 2d 2d +-=+-=+== 这里成立zpxx p z z p d d d =+ 所以特征方程的一个初积分为z 2p 2 －x 2 .解方程组 ()()z p q x y z p x a22222222+-+=-=⎧⎨⎪⎩⎪ (a 为任意常数) 得 p a x zq y az=+=-22, 积分微分方程dz a x zdx y azdy =++-22 得完全解z x x a y y a a x x a y y ab 22222=++-++++-+ln(b 为任意常数)[某些容易求完全解的方程] 1︒ 仅含p ,q 的方程F (p ,q )=0G =p 是特征方程的一个初积分.从F (p ,q )=0与p=a (a 为任意常数)得q=ψ(a )，积分d z=a d x+ψ(a )d y得完全解z=ax+ψ(a )y+b (b 为任意常数)2︒ 不显含x ,y 的方程F (z ,p ,q )=0 特征方程为zFqqz F p p q F q p F p z q F y p F x ∂∂-=∂∂-=∂∂+∂∂=∂∂=∂∂d d d d d 因此q d p-p d q =0，显然G qp=为一个初积分，由F (z ,p ,q )=0，q=pa (a 为任意常数)解得p=ψ(z ,a ).于是由d z=ψ(z ,a )d x+a ψ(z ,a )d y得()⎰++=b ay x a z z,d ψ (b 为任意常数)可确定完全解.3︒ 变量分离形式的方程()f x p i i i i n,=∑=10特征方程为n n n n i i iin n n x f p x f p p f p z p f x p f x ∂∂-==∂∂-=∂∂=∂∂==∂∂∑=d d d d d 1111111 可取初积分G i =f i (x i ,p i ) , (i =1,2,, n ).从f i (x i ,p i )=a i (i =1,2,, n )解出p i =ϕi (x i ,a i )得完全解()∑⎰=+=ni i i i i b x a x z 1d ,ϕ式中a i ,b 为任意常数，且a i i n=∑=10.[克莱罗方程] 方程()z p x f p p p i i n i n=+=∑121,,,称为克莱罗方程，其完全解为()z c x f c c c i i n i n=+=∑121,,,对c i 微分得x fc i i=-∂∂ (i =1,2,…,n ) 与完全解的表达式联立消去c i 即得奇异解.例 求方程z －xp －yq －pq =0的完全解和奇异解. 解 这是克莱罗方程，它的完全解是z=ax+by+ab对a,b 微分，得x=－b,y=－a ，消去a ,b 得奇异解z=－xy[发甫方程] 方程P (x,y,z )d x+Q (x,y,z )d y+R (x,y,z )d z=0 (1)称为发甫方程，如果P,Q,R 二次连续可微并满足适当条件，那末方程可积分.如果可积分成一关系式时，则称它为完全可积.1︒ 方程完全可积的充分必要条件 当且仅当P,Q,R 满足条件0)()()(=∂∂-∂∂+∂∂-∂∂+∂∂-∂∂yP x Q R x R z P Q z Q y R P (2) 时，存在一个积分因子μ(x,y,z )，使d U 1=μ(P d x+Q d y+R d z )从而方程的通解为U 1(x,y,z )=c特别，当0,0,0=∂∂-∂∂=∂∂-∂∂=∂∂-∂∂yP x Q x R z P z Q y R 时，存在一个函数U (x,y,z )满足 zU R y U Q x U P ∂∂=∂∂=∂∂=,,从而 d U=P d x+Q d y+R d z 所以方程的通解为U (x,y,z )=c所以完全可积的发甫方程的通解是一单参数的曲面族.定理 设对于发甫方程(1)在某区域D 上的完全可积条件(2)成立，则对D 内任一点M (x,y,z )一定有方程的积分曲面通过，而且只有一个这样的积分曲面通过. 2︒ 方程积分曲面的求法设完全可积条件(2)成立.为了构造积分曲面，把z 看成x,y 的函数(设R (x,y,z )≠0)，于是原方程化为y RQ x R P z d d d --=由此得方程组()()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≡-=∂∂≡-=∂∂4,,3,,11z y x Q R Q y z z y x P R P xz发甫方程(1)与此方程组等价.把方程(3)中的y 看成参变量，积分后得一个含有常数 c 的通解 ()cy x z ~;,ϕ= 然后用未知函数()~cy 代替常数 c ，将()()z x y c y =ϕ,;~代入方程(4)，在完全可积的条件下，可得()~cy 的一个常微分方程，其通解为 ()()~,cy y c =ψ c 为任意常数，代回()()z x y cy =ϕ,;~中即得发甫方程的积分曲面 z=ϕ(x,y,ψ(y,c ))由于发甫方程关于x,y,z 的对称性，在上面的讨论中，也可把x 或y 看成未知函数，得到同样的结果.例 求方程yz d x+2xz d y+xy d z=0的积分曲面族.解 容易验证完全可积条件成立，显然存在一个积分因子μ=1xyz，用它乘原方程得 0d d 2d =++zz y y x x 积分后得积分曲面族xy 2z=c也可把方程化为等价的方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=∂∂-=∂∂y z yz x z xz 2 把y 看成参变量，积分xzx z -=∂∂得通解 zx c= 用未知函数()~cy 代替 c ，将()y c zx ~=代入方程y z y z 2-=∂∂得 ()()yy cy y c ~2d ~d -= 积分后有()~cy c y =2所以原方程的积分曲面族是xy 2z=c五、 一阶线性微分方程组[一阶线性偏微分方程组的一般形式] 两个自变量的一阶线性方程组的形式是()n i F u C x u B t u A i n j j ij n j n j jij j ij ,,2,10111 ==++∂∂+∂∂∑∑∑=== 或()n i f u b x u a t u i n j j ij n j j ij i,,2,1011 ==++∂∂+∂∂∑∑== (1) 其中A ij ,B ij ,C ij ,F i ,a ij ,b ij ,f i 是(x,t )的充分光滑函数. [特征方程·特征方向·特征曲线]⎩⎨⎧=≠==-j i j i t xa ij ij ij ,1,0,0)d d det(δδ称为方程组(1)的特征方程.在点(x,t )满足特征方程的方向txd d 称为该点的特征方向.如果一条曲线l ，它上面的每一点的切线方向都和这点的特征方向一致，那末称曲线l 为特征曲线. [狭义双曲型方程与椭圆型方程] 如果区域D 内的每一点都存在n 个不同的实的特征方向，那末称方程组在D 内为狭义双曲型的.如果区域D 内的每一点没有一个实的特征方向，那末称方程组在D 内为椭圆型的. [狭义双曲型方程组的柯西问题] 1︒ 化方程组为标准形式——对角型因为det(a ij -δij λ)=0有n 个不同的实根λ1(x,t ) ,, λn (x,t )，不妨设),(),(),(21t x t x t x n λλλ<<<那末常微分方程()()n i t x txi ,,2,1,d d ==λ 的积分曲线l i (i =1,2,…,n )就是方程组(1)的特征曲线. 方程()()aijk ij k i i n-==∑λδλ1的非零解(λk (1) ,, λk (n ))称为对应于特征方向λk 的特征矢量. 作变换()()n i u v nj jj i i ,,2,11==∑=λ可将方程组化为标准形式——对角型()()()()n i t x v t x a x v t x t v i nj j ij ii i ,,2,1,,,1=+=∂∂+∂∂∑=βλ 所以狭义双曲型方程组可化为对角型，而一般的线性微分方程组(1)如在区域D 内通过未知函数的实系数可逆线性变换可化为对角型的话，(此时不一定要求 λi 都不相同)，就称这样的微分方程组在D 内为双曲型的. 2︒ 对角型方程组的柯西问题 考虑对角型方程组的柯西问题()()()()()()n i x x v t x v t x a x v t x tv i inj i j ij i i i,,2,10,,,,1 =⎪⎩⎪⎨⎧=+=∂∂+∂∂∑=ϕβλ ϕi (x )是[a,b ]上的连续可微函数.设αij ,βi ,λi 在区域D 内连续可微，在D 内可得相应的积分方程组()()()n i tv x t x v il i n j j ij i i i ,,2,1d ,~1 =⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=⎰∑=βαϕ 式中 l i 为第i 条特征曲线l i 上点(x,t )与点(x i ,0)之间的一段，(x i ,0)为l i与x 轴上[a,b ]的交点.上式可以更确切地写为()()[]()[]()[]()[]⎰∑⎭⎬⎫⎩⎨⎧+⋅+==t n j i i i j i ij i i i t x x t x x v t x x a t x x t x v 01d ,,,,,,,,,0,,,τττβττττϕ(i =1,2,, n )式中x i =x i (x ︒,t ︒,t )为过点(x ︒,t ︒)的第i 条特征曲线，利用逐次逼近法可解此积分方程.为此令()()()[]()()()()[]()[]()()[]()[]()()()()[]()[]()()[]()[]()n i t x x t x x v t x x a t x x t x v n i t x x t x x v t x x a t x x t x v n i t x x t x v i i tnj i k j i ij i i k ii i tnj i j i ij i i ii i i ,,2,1d ,,,,,,,,,0,,,,,2,1d ,,,,,,,,,0,,,,,2,10,,,}{}{01101010=+⋅+==+⋅+===⎰∑⎰∑=-=τττβττττϕτττβττττϕϕ序列{v i (k )} (k =0,1,2 ,)一致收敛于积分方程的连续可微解v i (x,t ) (i =1,2,, n )，这个v i (x,t )也就是对角型方程组的柯西问题的解.设在区域D 内对角型方程组的柯西问题的解存在，那末解与初值有下面的关系：(i) 依赖区间：过D 中任意点M (x,t )作特征曲线l 1,l n ，交x 轴于B,A ，称区间[A,B ]为M 点的依赖区间(图14.1(a ))，解在M 点的值由区间[A,B ]的初值确定而与[A,B ]外的初值无关. (ii) 决定区域：过点A,B 分别作特征曲线l n ,l 1,称l n ,l 1 与区间[A,B ]围成的区域D 1为区间[A,B ]的决定区域(图14.1(b ))，在区域D 1中解的值完全由[A,B ]上的初值决定.(iii) 影响区域：过点A,B 分别作特征曲线l 1,l n ，称l 1,l n 与[A,B ]围成的区域D 2为区间[A,B ]的影响区域(图14.1(c )).特别当区间[A,B ]缩为一点A 时，A 点的影响区域为D 3(图14.1(d )).在区域D 2中解的值受[A,B ]上的初值影响，而在区域D 2外的解的值则不受[A,B ]上的初值影响.图14.1[线性双曲型方程组的边值问题] 以下列线性方程组来说明：()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<++=∂∂+∂∂++=∂∂+∂∂2122221111λλλλc v b u a x v t v c v b u a xu t u (1) 1︒ 第一边值问题(广义柯西问题) 设在平面(x,t )上给定曲线段⋂AB ，它处处不与特征方向相切.过A,B 分别引最左和最右的特征曲线l 1及l 2.要求函数u (x,t ),v (x,t )在⋂AB ，l 1及l 2围成的闭区域D 上满足方程组，且在⋂AB 上取给定的函数值(图14.2(a )).2︒ 第二边值问题(古沙问题) 设l 1是过P 点的第一族特征线，l 2是第二族特征线，在l 1的一段PA 上给定v (x,t )的数值，在l 2的一段PB 上给定u (x,t )的数值，过A 点作第二族特征线，过B 点作第一族特征线相交于Q .求在闭区域PAQB 上方程组的解(图14.2(b )).3︒ 第三边值问题 设AB 为非特征曲线的曲线弧，AC 为一特征线弧，且在AB 与AC 之间不存在过A 点的另外特征曲线,过C 点作第二族特征线与过B 点的第一族特征线交于E 点，在AC 上给定v (x,t )的数值，在AB 上给定u (x,t )的数值，求ACEBA 所围成的闭区域D 上的方程组的解(图14.2(c)).图14.2[边值问题的近似解——特征线法] 以上定解问题，可用逐步逼近法求解，也可用特征线法求解的近似值.以第一边值问题为例说明.在曲线AB 上取n 个分点A 1,A 2,, A n ，并记A 为A 0，B 为A n +1，过A 0按A 0的第二特征方向作直线与过A 1按A 1的第一特征方向作直线相交于B 0；过A 1按A 1第二特征方向作直线与过A 2按A 2的第一特征方向作直线相交于B 1 ,最后得到B n (图14.3).用如下的近似公式来确定方程组(1)的解u (x,t ),v (x,t )在B i (i =0,1,2,…,n )的数值：()()()()()()(){}()[]()()()()()()(){}()[]u B u A B A a A u A b A v A c A A v B v A B A a A u A b A v A c A A i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i -=++⨯+-=++⨯+⎧⎨⎪⎩⎪+++++++--11111111112122212121211λλ图14.3于是在一个三角形网格的节点上得到u,v 的数值.再经过适当的插值，当n 相当大，A i 、A i +1的距离相当小时，就得到所提问题的足够近似的解.[特殊形式的拟线性方程组——可化约系统] 一般的拟线性方程组的问题比较复杂，目前研究的结果不多，下面介绍一类特殊形式的拟线性方程组——可化约系统.如果方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂0022221111x v D t v C x u B tu A xv D t v C x u B t uA 中所有的系数只是u,v 的函数，称它为可化约系统. 考虑满足条件()()0,,≠∂∂t x v u 的方程组的解u=u (x,t ),v=v (x,t ).x,t 可以表示成u,v 的函数，且()()()()()()()()v u t x u t x v v u t x u x t v v u t x v tx u v u t x v x t u ,,,,,,,,,,∂∂∂∂=∂∂∂∂∂∂-=∂∂∂∂∂∂-=∂∂∂∂∂∂=∂∂ 原方程化为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂+∂∂-∂∂-∂∂=∂∂+∂∂-∂∂-∂∂0022221111u t D u x C v t B vx A ut D u x C v t B v xA 这是关于自变量u,v 的线性方程组.这样就把求拟线性方程组满足()()0,,≠∂∂t x v u 的解，化为解线性方程组的问题.而此线性方程组满足条件()()0,,≠∂∂v u t x 的解，在(x,t )平面上的象即为原来拟线性方程组的解.§3 二阶偏微分方程一、 二阶偏微分方程的分类、标准形式与特征方程考虑二阶偏微分方程()0),,,,,,(111,2=∂∂∂∂+∂∂∂∑=nnnj i j i ij x u x u u x x F y x u x a (1) 式中a ij (x )=a ij (x 1,x 2,…,x n )为x 1,x 2,…,x n 的已知函数.[特征方程·特征方向·特征曲面·特征平面·特征锥面]代数方程()01,=∑=nj i jiijaa x a称为二阶方程(1)的特征方程；这里a 1,a 2,…,a n 是某些参数，且有012≠∑=ni i a .如果点x ︒=(x 1︒,x 2︒,…,x n ︒)满足特征方程，即()01,o =∑=nj i jiijaa x a则过x ︒的平面()01o=-∑=nk kk k x x a 的法线方向l :(a 1,a 2,…,a n )称为二阶方程的特征方向；如果一个(n 1-)维曲面，其每点的法线方向都是特征方向，则称此曲面为特征曲面；过一点的(n 1-)维平面，如其法线方向为特征方向，则称这个平面为特征平面，在一点由特征平面的包络组成的锥面称为特征锥面.[n 个自变量方程的分类与标准形式] 在点P (x 1︒,x 2︒,…,x n ︒)，根据二次型()∑=nj i jinijaa x x x a 1,o o 2o 1,,, (a i 为参量)的特征根的符号，可将方程分为四类：(i) 特征根同号，都不为零，称方程在点P 为椭圆型.(ii) 特征根都不为零，有n 1-个具有同一种符号 ，余下一个符号相反，称方程在点P 为双曲型.(iii) 特征根都不为零，有m n -个具有同一种符号(n >m >1)，其余m 个具有另一种符号，称方程在点P 为超双曲型.(iv) 特征根至少有一个是零，称方程在点P 为抛物型.若在区域D 内每一点方程为椭圆型，双曲型或抛物型，则分别称方程在区域D 内是椭圆型、双曲型或抛物型.在点P 作自变量的线性变换可将方程化为标准形式：椭圆型：∑==+∂∂ni ix u1220Φ双曲型：∑==+∂∂-∂∂n i ix ux u 22120Φ超双曲型：()10112222>>=+∂∂-∂∂∑∑=+=m n x ux u m i nm i ii Φ抛物型：()00122>=+∂∂∑-=m x umn i iΦ 式中Φ为不包含二阶导数的项.[两个自变量方程的分类与标准形式] 方程的一般形式为0,,,,222222122211=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂+∂∂+∂∂∂+∂∂y u x u u y x F y u a y x u a x u a (2) a 11,a 12,a 22为x ,y 的二次连续可微函数，不同时为零. 方程a 11d y 22-a 12d x d y +a 22d x 2=0称为方程(2)的特征方程.特征方程的积分曲线称为二阶方程(2)的特征曲线. 在某点P (x 0,y 0)的邻域D 内，根据Δ=a 122－a 11a 12的符号将方程分类： 当Δ>0时，方程为双曲型； 当Δ=0时，方程为抛物型； 当Δ<0时，方程为椭圆型.在点P 的邻域D 内作变量替换，可将方程化为标准形式：（i ） 双曲型：因Δ>0，存在两族实特征曲线11),(c y x =ϕ，22),(c y x =ϕ，作变换),(1y x ϕξ=，),(2y x ϕη=和,,ηηξ-=+=s t s 方程化为标准形式),,,,(2222tus u u t s t u s u ∂∂∂∂=∂∂-∂∂Φ或),,,,(12ηξηξΦηξ∂∂∂∂=∂∂∂uu u u （ii ） 抛物型: 因Δ=0，只存在一族实的特征曲线c y x =),(ϕ，取二次连续可微函数),(y x ψ，使0),(),(≠∂∂y x ψϕ，作变换),(y x ϕξ=，),(y x ψη=，方程化为标准形式),,,,(222ηξηξΦη∂∂∂∂=∂∂uu u u （iii ） 椭圆型：因Δ<0，不存在实特征曲线，设c y x i y x y x =+=),(),(),(21ϕϕϕ为11221121212d d a a a a a x y -+=的积分，y x ϕϕ,不同时为零，作变量替换),(1y x ϕξ=，),(2y x ϕη=,方程化为标准形式),,,,(32222ηξηξΦηξ∂∂∂∂=∂∂+∂∂uu u u u二、 极值原理·能量积分·定解问题的惟一性定理椭圆型方程、抛物型方程的极值原理及双曲型方程的能量守恒原理是相应方程的解所具有的最基本性质之一，在定解问题的研究中起着重要的作用. [椭圆型方程的极值原理与解的惟一性定理]1︒ 极值原理 设D 为n 维欧氏空间E n 的有界区域，S 是D 的边界，在D 内考虑椭圆型方程()()()()x x x x f u c x ub x x u a Lu ni i i n j i j i ij =+∂∂+∂∂∂≡∑∑==11,2式中a ij (x ),b i (x ),c (x ),f (x )在D 上连续，c (x )≤0且二次型()∑=nj i j i ij a a a 1,x 正定，即存在常数μ>0，对任意x D ∈和任意的a i 有()∑∑==≥ni i nj i jiija aa a 121,μx定理1 设u (x )为D 内椭圆型方程的解，它在D 内二次连续可微，在D 上连续，且不是常数，如f (x )≤0（或f (x )≥0），则u (x )不能在D 的内点取非正最小值（或非负最大值）. 如果过边界S 上的任一点P 都可作一球，使它在P 点与S 相切且完全包含在区域D 内，则有 定理2 设u (x )为椭圆型方程在D 内二次连续可微，在D 上连续可微的解，且不是常数，并设f (x )≤0（或f (x )≥0）.若u (x )在边界S 上某点M 处取非正最小值（或非负最大值），只要外法向导数错误！未定义书签。
《线性方程组的直接解法及其应用》研究综述
学院：建筑工程学院专业：结构工程组号：16 成绩：报告题目：《线性方程组的直接解法及其应用》研究学院：建工学院专业：结构工程组号：16号成员：xxx学院： 建筑工程学院 专业：结构工程 组号：16 成绩：《线性方程组的直接解法及其应用》研究第一章对象描述一、 《线性方程组的直接解法及其应用》描述在科技、工程、医学、经济等各个领域中，经常遇到求解n 阶线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++,,,22112222212*********m n mn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a （1.1） 的问题.方程组（1.1）的系数),,2,1.(n j i a ij =和右端项),,2,1(n i b i =均为实数，且1b 、2b ，……，n b 不全为零。
方程组（1.1）可简记为b Ax =其中 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=mn m m n n a a a a a a a a a A 212222111211⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n x x x x 21 ， ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=m b b b b 21. 线性方程组的数值解法有两大类，一类是直接法，另一类是迭代法。
本次主要研究的是直接解法。
所谓直接法就是经过有限步算术运算，可求得线性方程组精确解的方法（若计算过程中没有舍入误差）。
但实际计算中由于舍入误差的存在和影响，这种方法也只能求得现行方程组的近似解。
这类算法中最基本的是高斯消元法及其某些变形，它是解决低阶稠密矩阵方程组及某些系数矩阵方程组的有效方法学院： 建筑工程学院 专业：结构工程 组号：16 成绩：二、 《线性方程组的直接解法及其应用》的相关概念1.特征值和特征向量设A 是一个n n ⨯阶实矩阵，若对于数λ，存在非零向量x ，使得x Ax λ=成立。
则称λ是A 的特征值(Characteristic Value)，x 为A 的对应于λ的特征向量(Characteristic Vector)。