常考二次函数证明题

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二次函数-定值问题典型例题

二次函数-定值问题典型例题

二次函数-定值问题【例1】如图,直线y=kx+b(b>0)与抛物线相交于点A(x1,y1),B(x2,y2)两点,与x轴正半轴相交于点D,与y轴相交于点C,设△OCD的面积为S,且kS+32=0.(1)求b的值;(2)求证:点(y1,y2)在反比例函数的图象上;(3)求证:x1•OB+y2•OA=0.考点:二次函数综合题专题:压轴题.分析:(1)先求出直线y=kx+b与x轴正半轴交点D的坐标及与y轴交点C的坐标,得到△OCD的面积S=﹣,再根据kS+32=0,及b>0即可求出b的值;(2)先由y=kx+8,得x=,再将x=代入y=x2,整理得y2﹣(16+8k2)y+64=0,然后由已知条件直线y=kx+8与抛物线相交于点A(x1,y1),B(x2,y2)两点,知y1,y2是方程y2﹣(16+8k2)y+64=0的两个根,根据一元二次方程根与系数的关系得到y1•y2=64,即点(y1,y2)在反比例函数的图象上;(3)先由勾股定理,得出OA2=+,OB2=+,AB2=(x1﹣x2)2+(y1﹣y2)2,由(2)得y1•y2=64,又易得x1•x2=﹣64,则OA2+OB2=AB2,根据勾股定理的逆定理得出∠AOB=90°.再过点A作AE⊥x轴于点E,过点B作BF⊥x轴于点F,根据两角对应相等的两三角形相似证明△AEO∽△OFB,由相似三角形对应边成比例得到=,即可证明x1•OB+y2•OA=0.解答:(1)解:∵直线y=kx+b(b>0)与x轴正半轴相交于点D,与y轴相交于点C,∴令x=0,得y=b;令y=0,x=﹣,∴△OCD的面积S=(﹣)•b=﹣.∵kS+32=0,∴k(﹣)+32=0,解得b=±8,∵b>0,∴b=8;(2)证明:由(1)知,直线的解析式为y=kx+8,即x=,将x=代入y=x2,得y=()2,整理,得y2﹣(16+8k2)y+64=0.∵直线y=kx+8与抛物线相交于点A(x1,y1),B(x2,y2)两点,∴y1,y2是方程y2﹣(16+8k2)y+64=0的两个根,∴y1•y2=64,∴点(y1,y2)在反比例函数的图象上;(3)证明:由勾股定理,得OA2=+,OB2=+,AB2=(x1﹣x2)2+(y1﹣y2)2,由(2)得y1•y2=64,同理,将y=kx+8代入y=x2,得kx+8=x2,即x2﹣8kx﹣64=0,∴x1•x2=﹣64,∴AB2=+++﹣2x1•x2﹣2y1•y2=+++,又∵OA2+OB2=+++,∴OA2+OB2=AB2,∴△OAB是直角三角形,∠AOB=90°.如图,过点A作AE⊥x轴于点E,过点B作BF⊥x轴于点F.∵∠AOB=90°,∴∠AOE=90°﹣∠BOF=∠OBF,又∵∠AEO=∠OFB=90°,∴△AEO∽△OFB,∴=,∵OE=﹣x1,BF=y2,∴=,∴x1•OB+y2•OA=0.点评:本题是二次函数的综合题型,其中涉及到的知识点有二次函数、反比例函数图象上点的坐标特征,三角形的面积,一次函数与二次函数的交点,一元二次方程根与系数的关系,勾股定理及其逆定理,相似三角形的判定与性质,综合性较强,难度适中.求出△OCD的面积S是解第(1)问的关键;根据函数与方程的关系,得到y1,y2是方程y2﹣(16+8k2)y+64=0的两个根,进而得出y1•y2=64是解第(2)问的关键;根据函数与方程的关系,一元二次方程根与系数的关系,勾股定理及其逆定理得出∠AOB=90°,是解第(3)问的关键.【例2】如图①,在平面直角坐标系中,点P(0,m2)(m>0)在y轴正半轴上,过点P作平行于x轴的直线,分别交抛物线C1:y=x2于点A、B,交抛物线C2:y=x2于点C、D.原点O关于直线AB的对称点为点Q,分别连接OA,OB,QC和QD.【猜想与证明】填表:m 1 2 3由上表猜想:对任意m(m>0)均有= .请证明你的猜想.【探究与应用】(1)利用上面的结论,可得△AOB与△CQD面积比为;(2)当△AOB和△CQD中有一个是等腰直角三角形时,求△CQD与△AOB面积之差;【联想与拓展】如图②过点A作y轴的平行线交抛物线C2于点E,过点D作y轴的平行线交抛物线C1于点F.在y轴上任取一点M,连接MA、ME、MD和MF,则△MAE与△MDF面积的比值为.考点:二次函数综合题分析:猜想与证明:把P点的纵坐标分别代入C1、C2的解析式就可以AB、CD的值,就可以求出结论,从而发现规律得出对任意m(m>0)将y=m2代入两个二次函数的解析式就可以分别表示出AB与CD的值,从而得出均有=;探究与证明:(1)由条件可以得出△AOB与△CQD高相等,就可以得出面积之比等于底之比而得出结论;(2)分两种情况讨论,当△AOB为等腰直角三角形时,可以求出m的值就可以求出△AOB的面积,从而求出△CQD的面积,就可以求出其差,当△CQD为等腰直角三角形时,可以求出m的值就可以求出△CDQ的面积,进而可以求出结论;联想与拓展:由猜想与证明可以得知A、D的坐标,可以求出F、E的纵坐标,从而可以求出AE、DF的值,由三角形的面积公式分别表示出△MAE与△MDF面积,就可以求出其比值.解答:解:猜想与证明:当m=1时,1=x2,1=x2,∴x=±2,x=±3,∴AB=4,CD=6,∴;当m=2时,4=x2,4=x2,∴x=±4,x=±6,∴AB=8,CD=12,∴;当m=3时,9=x2,9=x2,∴x=±6,x=±9,∴AB=12,CD=18,∴;∴填表为m 1 2 3对任意m(m>0)均有=.理由:将y=m2(m>0)代入y=x2,得x=±2m,∴A(﹣2m,m2),B(2m,m2),∴AB=4m.将y=m2(m>0)代入y=x2,得x=±3m,∴C(﹣3m,m2),D(3m,m2),∴CD=6m.∴,∴对任意m(m>0)均有=;探究与运用:(1)∵O、Q关于直线CD对称,∴PQ=OP.∵CD∥x轴,∴∠DPQ=∠DPO=90°.∴△AOB与△CQD的高相等.∵=,∴AB=CD.∵S△AOB=AB•PO,S△CQD=CD•PQ,∴=,(2)当△AOB为等腰直角三角形时,如图3,∴PO=PB=m2,AB=2OP∴m2=m4,∴4m2=m4,∴m1=0,m2=﹣2,m3=2.∵m>0,∴m=2,∴OP=4,AB=8,∴PD=6,CD=12.∴S△AOB==16∴S△CQD==24,∴S△CQD﹣S△AOB=24﹣16=8.当△CQD是等腰直角三角形时,如图4,∴PQ=PO=PD=m2,CD=2QP∴m2=m4,∴9m2=m4,∴m1=0,m2=﹣3,m3=3.∵m>0,∴m=3,∴OP=6,AB=12,∴PQ=9,CD=18.∴S△AOB==54∴S△CQD==81,∴S△CQD﹣S△AOB=81﹣54=27;联想与拓展由猜想与证明可以得知A(﹣2m,m2),D(3m,m2),∵AE∥y轴,DF∥y轴,∴E点的横坐标为﹣2m,F点的横坐标为3m,∴y=(﹣2m)2,y=(3m)2,∴y=m2,y=m2,∴E(﹣2m,m2),F(3m,m2),∴AE=m2﹣m2=m2,DF=m2﹣m2=m2.S△AEM=×m2•2m=m3,S△DFM=m2•3m=m3.∴=.故答案为:;;.点评:本题考出了对称轴为y轴的抛物线的性质的运用,由特殊到一般的数学思想的运用,等腰直角三角形的性质的运用,三角形的面积公式的运用,轴对称的性质的运用,在解答本题时运用两个抛物线上的点的特征不变建立方程求解是关键.【例3】已知抛物线C1的顶点为P(1,0),且过点(0,).将抛物线C1向下平移h个单位(h>0)得到抛物线C2.一条平行于x轴的直线与两条抛物线交于A、B、C、D四点(如图),且点A、C关于y轴对称,直线AB与x轴的距离是m2(m>0).[来(1)求抛物线C1的解析式的一般形式;(2)当m=2时,求h的值;(3)若抛物线C1的对称轴与直线AB交于点E,与抛物线C2交于点F.求证:tan∠EDF﹣tan∠ECP=.考点:二次函数综合题.专题:代数几何综合题.分析:(1)设抛物线C2,(a≠0),然后把点(0,)代入求出a的值,再化1的顶点式形式y=a(x﹣1)为一般形式即可;(2)先根据m的值求出直线AB与x轴的距离,从而得到点B、C的纵坐标,然后利用抛物线解析式求出点C的横坐标,再根据关于y轴对称的点的横坐标互为相反数,纵坐标相同求出点A的坐标,然后根据平移的性质设出抛物线C2的解析式,再把点A的坐标代入求出h的值即可;(3)先把直线AB与x轴的距离是m2代入抛物线C1的解析式求出C的坐标,从而求出CE,再表示出点A的坐标,根据抛物线的对称性表示出ED,根据平移的性质设出抛物线C2的解析式,把点A的坐标代入求出h的值,然后表示出EF,最后根据锐角的正切值等于对边比邻边列式整理即可得证.解答:(1)解:设抛物线C1的顶点式形式y=a(x﹣1)2,(a≠0),∵抛物线过点(0,),∴a(0﹣1)2=,解得a=,∴抛物线C1的解析式为y=(x﹣1)2,一般形式为y=x2﹣x+;(2)解:当m=2时,m2=4,∵BC∥x轴,∴点B、C的纵坐标为4,∴(x﹣1)2=4,解得x1=5,x2=﹣3,∴点B(﹣3,4),C(5,4),∵点A、C关于y轴对称,∴点A的坐标为(﹣5,4),设抛物线C2的解析式为y=(x﹣1)2﹣h,则(﹣5﹣1)2﹣h=4,解得h=5;(3)证明:∵直线AB与x轴的距离是m2,∴点B、C的纵坐标为m2,∴(x﹣1)2=m2,解得x1=1+2m,x2=1﹣2m,∴点C的坐标为(1+2m,m2),又∵抛物线C1的对称轴为直线x=1,∴CE=1+2m﹣1=2m,∵点A、C关于y轴对称,∴点A的坐标为(﹣1﹣2m,m2),∴AE=ED=1﹣(﹣1﹣2m)=2+2m,设抛物线C2的解析式为y=(x﹣1)2﹣h,则(﹣1﹣2m﹣1)2﹣h=m2,解得h=2m+1,∴EF=h+m2=m2+2m+1,∴tan∠EDF﹣tan∠ECP=﹣=﹣=﹣=,∴tan∠EDF﹣tan∠ECP=.点评:本题是二次函数综合题型,主要考查了待定系数法求二次函数解析式,二次函数图象与结合变换,关于y轴对称的点的坐标特征,抛物线上点的坐标特征,锐角的正切的定义,(3)用m表示出相应的线段是解题的关键,也是本题的难点.【例4】如图,抛物线y=ax2+c(a≠0)经过C(2,0),D(0,﹣1)两点,并与直线y=kx交于A、B两点,直线l过点E(0,﹣2)且平行于x轴,过A、B两点分别作直线l的垂线,垂足分别为点M、N.(1)求此抛物线的解析式;(2)求证:AO=AM;(3)探究:①当k=0时,直线y=kx与x轴重合,求出此时的值;②试说明无论k取何值,的值都等于同一个常数.考点:二次函数综合题.3718684专题:代数几何综合题.分析:(1)把点C、D的坐标代入抛物线解析式求出a、c,即可得解;(2)根据抛物线解析式设出点A的坐标,然后求出AO、AM的长,即可得证;(3)①k=0时,求出AM、BN的长,然后代入+计算即可得解;②设点A(x1,x12﹣1),B(x2,x22﹣1),然后表示出+,再联立抛物线与直线解析式,消掉未知数y得到关于x的一元二次方程,利用根与系数的关系表示出x1+x2,x1•2,并求出x12+x22,x12•x22,然后代入进行计算即可得解.解答:(1)解:∵抛物线y=ax2+c(a≠0)经过C(2,0),D(0,﹣1),∴,解得,所以,抛物线的解析式为y=x2﹣1;(2)证明:设点A的坐标为(m,m2﹣1),则AO==m2+1,∵直线l过点E(0,﹣2)且平行于x轴,∴点M的纵坐标为﹣2,∴AM=m2﹣1﹣(﹣2)=m2+1,∴AO=AM;(3)解:①k=0时,直线y=kx与x轴重合,点A、B在x轴上,∴AM=BN=0﹣(﹣2)=2,∴+=+=1;②k取任何值时,设点A(x1,x12﹣1),B(x2,x22﹣1),则+=+==,联立,消掉y得,x2﹣4kx﹣4=0,由根与系数的关系得,x1+x2=4k,x1•x2=﹣4,所以,x12+x22=(x1+x2)2﹣2x1•x2=16k2+8,x12•x22=16,∴+===1,∴无论k取何值,+的值都等于同一个常数1.点评:本题是二次函数综合题型,主要考查了待定系数法求二次函数解析式,勾股定理以及点到直线的距离,根与系数的关系,根据抛物线上点的坐标特征设出点A、B的坐标,然后用含有k的式子表示出+是解题的关键,也是本题的难点,计算量较大,要认真仔细.【例5】. 如图,在平面直角坐标系xOy 中,△OAB 的顶点A的坐标为(10,0),顶点B 在第一象限内,且AB=35,sin ∠OAB=55. (1)若点C 是点B 关于x 轴的对称点,求经过O 、C 、A 三点的抛物线的函数表达式;(2)在(1)中,抛物线上是否存在一点P ,使以P 、O 、C 、A 为顶点的四边形为梯形?若存在,求出点P 的坐标;若不存在,请说明理由;(3)若将点O 、点A 分别变换为点Q ( -2k ,0)、点R (5k ,0)(k>1的常数),设过Q 、R 两点,且以QR 的垂直平分线为对称轴的抛物线与y 轴的交点为N ,其顶点为M ,记△QNM 的面积为QMN S ∆,△QNR 的面积QNR S ∆,求QMN S ∆∶QNR S ∆的值.解:(1)如图,过点B 作BD OA ⊥于点D . 在Rt ABD △中,35AB =5sin OAB ∠=5sin 3535BD AB OAB ∴=∠==. 又由勾股定理, 得2222(35)36AD AB BD =-=-=.1064OD OA AD ∴=-=-=.点B 在第一象限内,∴点B 的坐标为(43),.y F P 3BEC D A P 2P 1O∴点B 关于x 轴对称的点C 的坐标为(43)-,. ················ 2分设经过(00)(43)(100)O C A -,,,,,三点的抛物线的函数表达式为2(0)y ax bx a =+≠.由11643810010054a ab a b b ⎧=⎪+=-⎧⎪⇒⎨⎨+=⎩⎪=-⎪⎩,.∴经过O C A ,,三点的抛物线的函数表达式为21584y x x =-. ········· 2分 (2)假设在(1)中的抛物线上存在点P ,使以P O C A ,,,为顶点的四边形为梯形. ①点(43)C -,不是抛物线21584y x =-的顶点, ∴过点C 作直线OA 的平行线与抛物线交于点1P .则直线1CP 的函数表达式为3y =-. 对于21584y x x =-,令34y x =-⇒=或6x =. 1143x y =⎧∴⎨=-⎩,;2263x y =⎧⎨=-⎩,. 而点(43)C -,,1(63)P ∴-,. 在四边形1P AOC 中,1CP OA ∥,显然1CP OA ≠.∴点1(63)P -,是符合要求的点. ······················· 1分 ②若2AP CO ∥.设直线CO 的函数表达式为1y k x =.将点(43)C -,代入,得143k =-.134k ∴=-. ∴直线CO 的函数表达式为34y x =-.于是可设直线2AP 的函数表达式为134y x b =-+. 将点(100)A ,代入,得131004b -⨯+=.1152b ∴=. ∴直线2AP 的函数表达式为31542y x =-+.由223154246001584y x x x y x x ⎧=-+⎪⎪⇒--=⎨⎪=-⎪⎩,即(10)(6)0x x -+=. 11100x y =⎧∴⎨=⎩,;22612x y =-⎧⎨=⎩,; 而点(100)A ,,2(612)P ∴-,. 过点2P 作2P E x ⊥轴于点E ,则212P E =. 在2Rt AP E △中,由勾股定理,得220AP ===.而5CO OB ==.∴在四边形2P OCA 中,2AP CO ∥,但2AP CO ≠.∴点2(612)P -,是符合要求的点.······················· 1分 ③若3OP CA ∥.设直线CA 的函数表达式为22y k x b =+.将点(100)(43)A C -,,,代入,得22222211002435k b k k b b ⎧+==⎧⎪⇒⎨⎨+=-⎩⎪=-⎩,.∴直线CA 的函数表达式为152y x =-. ∴直线3OP 的函数表达式为12y x =.由22121401584y x x x y x x ⎧=⎪⎪⇒-=⎨⎪=-⎪⎩,即(14)0x x -=. 1100x y =⎧∴⎨=⎩,;22147x y =⎧⎨=⎩,.而点(00)O ,,3(147)P ∴,. 过点3P 作3P F x ⊥轴于点F ,则37P F =. 在3Rt OP F △中,由勾股定理,得3OP ===而CA AB ==∴在四边形3P OCA 中,3OP CA ∥,但3OP CA ≠.∴点3(147)P ,是符合要求的点. ······················· 1分 综上可知,在(1)中的抛物线上存在点123(63)(612)(147)P P P --,,,,,, 使以P O C A ,,,为顶点的四边形为梯形. ·················· 1分 (3)由题知,抛物线的开口可能向上,也可能向下.①当抛物线开口向上时,则此抛物线与y 轴的负半轴交于点N . 可设抛物线的函数表达式为(2)(5)(0)y a x k x k a =+->.即22310y ax akx ak =--2234924a x k ak ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭.如图,过点M 作MG x ⊥轴于点G .3(20)(50)02Q k R k G k ⎛⎫- ⎪⎝⎭,,,,,,22349(010)24N ak M k ak ⎛⎫-- ⎪⎝⎭,,,,3||2||7||2QO k QR k OG k ∴===,,,22749||||10||24QG k ON ak MG ak ===,,.23117103522QNR S QR ON k ak ak ∴==⨯⨯=△.QNM QNO QMG ONMG S S S S =+-△△△梯形111()222QO ON ON GM OG QG GM =++- 2222114931749210102242224k ak ak ak k k ak ⎛⎫=⨯⨯+⨯+⨯-⨯⨯ ⎪⎝⎭ 3314949212015372884ak ak ⎛⎫=++⨯-⨯= ⎪⎝⎭.3321::(35)3:204QNM QNR S S ak ak ⎛⎫∴== ⎪⎝⎭△△. ················ 2分②当抛物线开口向下时,则此抛物线与y 轴的正半轴交于点N .同理,可得:3:20QNM QNR S S =△△. ····················· 1分 综上可知,:QNM QNR S S △△的值为3:20.【例6】、 如图,在平面直角坐标系xOy 中,一次函数54y x m =+ (m 为常数)的图象与x 轴交于点A(3-,0),与y 轴交于点C .以直线x=1为对称轴的抛物线2y ax bx c =++ (a b c ,, 为常数,且a ≠0)经过A ,C 两点,并与x 轴的正半轴交于点B . (1)求m 的值及抛物线的函数表达式;(2)设E 是y 轴右侧抛物线上一点,过点E 作直线AC 的平行线交x 轴于点F .是否存在这样的点E ,使得以A ,C ,E ,F 为顶点的四边形是平行四边形?若存在,求出点E 的坐标及相应的平行四边形的面积;若不存在,请说明理由;(3)若P 是抛物线对称轴上使△ACP 的周长取得最小值的点,过点P 任意作一条与y 轴不平行的直线交抛物线于111M ()x y , ,222M ()x y ,两点,试探究2112P PM M M M ⋅ 是否为定值,并写出探究过程.考点:二次函数综合题。

精品 九年级数学中考 二次函数专题 一 解析式的求法

精品 九年级数学中考 二次函数专题 一 解析式的求法

二次函数专题 一 解析式的求法一、选择题:1.方程xx x 1452=--的实数根的个数是( ) A. 0个 B. 1个 C.2个 D. 3个二、填空题:1.将抛物线3)3(22+-=x y 向右平移2个单位后,在向下平移5个单位后所得抛物线的解析式为 ,顶点坐标为2.把抛物线 向左平移4个单位后,再向上平移1个单位后得到了抛物线6)3(32-+-=x y 。

三、计算证明题:1.已知抛物线2442-+-=a ax ax y ,其中a 是常数。

(1)求抛物线的顶点坐标;(2)若52>a ,且抛物线与x 轴交于整数点(坐标为整数的点),求此抛物线的解析式。

2.在平面直角坐标系中,抛物线n mx mx y ++=322经过P(3,5),A(0,2)两点。

(1)求此抛物线的解析式;(2)设抛物线的顶点为B,将直线AB 沿y 轴向下平移两个单位得到直线l ,直线l 与抛物线的对称轴交于点C,求直线l 的解析式;(3)在(2)的条件下,求到直线OB 、OC 、BC 距离相等的点的坐标。

3.一次函数y=2x+3与二次函数c bx ax y ++=2的图象交于A(m ,5)和B(3,n)两点,且当x=3时,抛物线取得最值为9.(1)求二次函数的解析式;(2)从图像观察,x 为何值时,一次函数与二次函数的值都随x 的增大而增大; (3)当x 为何值时,一次函数值大于二次函数值?4.已知二次函数4)42(22-++-=m x m x y 的图像与y 轴的交点在原点下方,与x 轴交于点A 、B 两点,点A 在点B 的左边,且A 、B 两点到原点的距离AO 、BO 满足OB AO AO OB ⋅=-2)(3,直线y=kx+k 与这个二次函数图象的一个交点为P,且锐角∠POB 的正切值为4.(1)求m 的取值范围;(2)求这个二次函数的解析式;(3)确定直线y=kx+k 的解析式。

5.已知关于x 的一元二次方程01422=-++k x x 有实数根,k 为正整数。

例说与二次函数有关的含有绝对值不等式的证明问题

例说与二次函数有关的含有绝对值不等式的证明问题

例说与二次函数有关的含有绝对值不等式的证明问题二次函数是数学中一种非常重要的函数类型,它的图像呈现出抛物线的形状。

而绝对值不等式是描述了一个变量与另一个变量之间的不等关系,其中包含了绝对值运算。

在本文中,我们将探讨二次函数与绝对值不等式的关系,并给出一个例子来说明如何证明这种含有绝对值的不等式。

首先,我们来介绍二次函数的基本形式,它可以表示为:f(x) = ax^2 + bx + c其中a、b和c是实数常数,且a不等于零。

这个函数有一个重要的性质,即它的图像总是一个抛物线,开口的方向取决于a的正负。

接下来,我们来讨论绝对值不等式的基本形式,它可以表示为:g(x),<d其中g(x)是一个与x有关的函数,d是一个正实数。

这个不等式的含义是,g(x)的绝对值小于d时,不等式成立。

现在,我们来考虑一个含有绝对值不等式的二次函数的证明问题。

假设我们要证明以下不等式成立:ax^2 + bx + c, < k其中a、b、c和k都是已知的实数常数。

首先,我们可以将不等式拆分成两个部分,考虑g(x) = ax^2 + bx+ c的两种情况:当g(x) 大于等于 0 时,以及当g(x) 小于 0 时。

对于这两种情况,我们可以分别进行讨论和证明。

情况一:g(x)大于等于0当g(x)大于等于0时,即ax^2 + bx + c >= 0这意味着抛物线的开口朝上,并且g(x)的绝对值可以简化为g(x),因此我们可以将不等式重写为:ax^2 + bx + c < k接下来,我们需要找到函数g(x)与k之间的最大值。

这可以通过求导数的方式来实现。

我们对函数g(x)进行求导,并令导数等于0,可以得到抛物线的顶点坐标。

然后我们将这个坐标带入g(x)中,即可得到g(x)的最大值。

我们将这个最大值命名为M。

因此,我们可以将不等式进一步简化为:g(x)<M然后,我们可以使用一些常用的技巧来证明这个不等式的正确性,比如因子分解、配方法、或者其他适用的方法。

数学二次函数试题

数学二次函数试题

数学二次函数试题1.如图,已知抛物线与x轴的一个交点A(1,0),对称轴是x=﹣1,则该抛物线与x轴的另一交点坐标是【】A.(﹣3,0)B.(﹣2,0)C.x=﹣3D.x=﹣2【答案】A。

【解析】设抛物线与x轴的另一个交点为B(b,0),∵抛物线与x轴的一个交点A(1,0),对称轴是x=﹣1,∴=﹣1,解得b=﹣3。

∴B(﹣3,0)。

故选A。

2.如图是二次函数的部分图象,由图象可知不等式的解集是【】A.B.C.且D.x<-1或x>5【答案】D。

【解析】利用二次函数的对称性,可得出图象与x轴的另一个交点坐标,结合图象可得出的解集:由图象得:对称轴是x=2,其中一个点的坐标为(5,0),∴图象与x轴的另一个交点坐标为(-1,0)。

由图象可知:的解集即是y<0的解集,∴x<-1或x>5。

故选D。

3.二次函数(≠0)的图像如图所示,其对称轴为=1,有如下结论:①<1 ②2+=0 ③<4④若方程的两个根为,,则+=2.则结论正确的是【】A.①②B.①③C.②④D.③④【答案】C【解析】由抛物线与y轴的交点位置得到:c>1,选项①错误;∵抛物线的对称轴为x="-b/2a" =1,∴2a+b=0,选项②正确;由抛物线与x轴有两个交点,得到b2-4ac>0,即b2>4ac,选项③错误;令抛物线解析式中y=0,得到ax2+bx+c=0,∵方程的两根为x1,x2,且-b/2a =1,及-b/a =2,∴x1+x2="-b/a" =2,选项④正确,综上,正确的结论有②④.故选C4.二次函数的图像与轴围成的封闭区域内(包括边界),横、纵坐标都是整数的点有个(提示:必要时可利用下面的备用图画出图像来分析).【答案】7【解析】找到函数图象与x轴的交点,那么就找到了相应的x的整数值,代入函数求得y的值,那么就求得了y的范围.将该二次函数,令y=0得,x=1/2或x=7/2图像与轴围成的封闭区域内(包括边界),横、纵坐标都是整数的点(1,0)(2,0)(3,0)(1,1)(2,1)(2,2)(3,1)共有 7个5.如图,济南建邦大桥有一段抛物线型的拱梁,抛物线的表达式为y=ax2+bx.小强骑自行车从拱梁一端O沿直线匀速穿过拱梁部分的桥面OC,当小强骑自行车行驶10秒时和26秒时拱梁的高度相同,则小强骑自行车通过拱梁部分的桥面OC共需秒.【答案】36。

二次函数的推理计算与证明综合问题(真题10道+模拟30道)-中考数学重难题型押题培优导练案【原卷版】

二次函数的推理计算与证明综合问题(真题10道+模拟30道)-中考数学重难题型押题培优导练案【原卷版】

二次函数的推理计算与证明综合问题(真题10道+模拟30道)【方法归纳】题型概述,方法小结,有的放矢据北京历年中考题型来推测,二次函数的压轴题目多数会以参数的形式出现的,难度之大,可想而知。

在解决含参数二次函数的题目时,通常先观察解析式,看能否求出对称轴,图像与坐标轴交点能否用参数来表示?根据设出点的坐标可求出相应的线段,然后观察题意,再考虑我们所学过的知识点(勾股,相似等 )能否用上.常用的二次函数的基础知识有:1.几种特殊的二次函数的图象特征如下:2.用待定系数法求二次函数的解析式:(1)一般式:(a≠0).已知图象上三点或三对x 、y 的值,通常选择一般式.(2)顶点式:(a≠0).已知图象的顶点或对称轴,通常选择顶点式.(可以看成的图象平移后所对应的函数.)(3)交点式:已知图象与x 轴的交点坐标x 1、x 2,通常选用交点式:(a≠0).(由此得根与系数的关系:,).3. 二次函数图象和一元二次方程的关系:【典例剖析】典例精讲,方法提炼,精准提分2y ax bx c =++()2y a x h k =-+2y ax =()()12y a x x x x =--12b x x a +=-12cx x a ⋅=【例1】(2021·北京·中考真题)在平面直角坐标系xOy中,点(1,m)和点(3,n)在抛物线y=ax2+bx(a>0)上.(1)若m=3,n=15,求该抛物线的对称轴;(2)已知点(−1,y1),(2,y2),(4,y3)在该抛物线上.若mn<0,比较y1,y2,y3的大小,并说明理由.【例2】(2022·北京·中考真题)在平面直角坐标系xOy中,点(1,m),(3,n)在抛物线y=ax2+bx+c(a>0)上,设抛物线的对称轴为x=t.(1)当c=2,m=n时,求抛物线与y轴交点的坐标及t的值;(2)点(x0,m)(x0≠1)在抛物线上,若m<n<c,求t的取值范围及x0的取值范围.【真题再现】必刷真题,关注素养,把握核心1.(2013·北京·中考真题)在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=mx2-2mx-2(m≠0))与轴交于点A,其对称轴与x轴交于点B.(1)求点A,B的坐标;(2)设直线l与直线AB关于该抛物线的对称轴对称,求直线l的解析式;(3)若该抛物线在-2<x<-1这一段位于直线l的上方,并且在2<x<3这一段位于直线AB的下方,求该抛物线的解析式.2.(2014·北京·中考真题)在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=2x2+mx+n经过点A(0,−2),B(3,4).(1)求抛物线的表达式及对称轴;(2)设点B关于原点的对称点为C,点D是抛物线对称轴上一动点,记抛物线在A,B之间的部分为图象G(包含A,B两点).若直线CD与图象G有公共点,结合函数图像,求点D纵坐标t的取值范围.3.(2015·北京·中考真题)在平面直角坐标系xOy中,过点(0,2)且平行于x轴的直线,与直线y=x-1交于点A,点A关于直线x=1的对称点为B,抛物线C1:y=x2+bx+c经过点A,B.(1)求点A,B的坐标;(2)求抛物线C1的表达式及顶点坐标;(3)若拋物线C2:y=ax2(a≠0)与线段AB恰有一个公共点,结合函数的图象,求a的取值范围. 4.(2016·北京·中考真题)在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=mx2-2mx+m-1(m>0)与x轴的交点为A,B.(1)求抛物线的顶点坐标;(2)横、纵坐标都是整数的点叫做整点.①当m=1时,求线段AB上整点的个数;①若抛物线在点A,B之间的部分与线段AB所围成的区域内(包括边界)恰有6个整点,结合函数的图象,求m的取值范围.5.(2017·北京·中考真题)在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=x2-4x+3与x轴交于点A 、B(点A在点B 的左侧),与y轴交于点C.(1)求直线BC的表达式;(2)垂直于y轴的直线l与抛物线交于点P(x1,y1),Q(x2,y2),与直线BC交于点N(x3,y3),若x1<x2<x3,结合函数的图象,求x1+x2+x3的取值范围.6.(2018·北京·中考真题)在平面直角坐标系xOy中,直线y=4x+4与x轴、y轴分别交于点A,B,抛物线y=ax2+bx−3a经过点A,将点B向右平移5个单位长度,得到点C.(1)求点C的坐标;(2)求抛物线的对称轴;(3)若抛物线与线段BC恰有一个公共点,结合函数图象,求a的取值范围.7.(2019·北京·中考真题)在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2+bx−1a与y轴交于点A,将点A向右平移2个单位长度,得到点B,点B在抛物线上.(1)求点B的坐标(用含a的式子表示);(2)求抛物线的对称轴;(3)已知点P(12,−1a),Q(2,2).若抛物线与线段PQ恰有一个公共点,结合函数图象,求a的取值范围.8.(2020·北京·中考真题)在平面直角坐标系xOy中,M(x1,y1),N(x2,y2)为抛物线y=ax2+bx+c(a>0)上任意两点,其中x1<x2.(1)若抛物线的对称轴为x=1,当x1,x2为何值时,y1=y2=c;(2)设抛物线的对称轴为x=t.若对于x1+x2>3,都有y1<y2,求t的取值范围.【模拟精练】押题必刷,巅峰冲刺,提分培优一、解答题(共30题)1.(2022·北京市广渠门中学模拟预测)已知抛物线y=ax2+2ax+3a2−4(a≠0)(1)该抛物线的对称轴为_____________;(2)若该抛物线的顶点在x轴上,求a的值;(3)设点M(m,y1),N(2,y2)该抛物线上,若y1>y2,求m的取值范围.2.(2022·北京·二模)在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=x2−2mx.(1)当抛物线过点(2,0)时,求抛物线的表达式;(2)求这个二次函数的顶点坐标(用含m的式子表示);(3)若抛物线上存在两点A(m−1,y1)和B(m+2,y2),其中m>0.当y1⋅y2>0时,求m的取值范围.3.(2022·北京昌平·二模)在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线y=ax2+bx−1(a>0).(1)若抛物线过点(4,−1).①求抛物线的对称轴;①当−1<x<0时,图像在x轴的下方,当5<x<6时,图像在x轴的上方,在平面直角坐标系中画出符合条件的图像,求出这个抛物线的表达式;(2)若(−4,y1),(−2,y2),(1,y3)为抛物线上的三点且y3>y1>y2,设抛物线的对称轴为直线x=t,直接写出t的取值范围.4.(2022·北京房山·二模)在平面直角坐标系xOy中,点A(2,−1)在二次函数y=x2−(2m+1)x+m的图象上.(1)直接写出这个二次函数的解析式;(2)当n≤x≤1时,函数值的取值范围是−1≤y≤4−n,求n的值;(3)将此二次函数图象平移,使平移后的图象经过原点O.设平移后的图象对应的函数表达式为y=a(x−ℎ)2+k,当x<2时,y随x的增大而减小,求k的取值范围.5.(2022·北京朝阳·二模)在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线y=x2+(a+2)x+2a.(1)求抛物线的对称轴(用含a的式子表示);(2)若点(-1,y1),(a,y2),(1,y3)在抛物线上,且y1<y2<y3,求a的取值范围.6.(2022·北京东城·二模)在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2+bx+1(a≠0)的对称轴是直线x=3.(1)直接写出抛物线与y轴的交点坐标;(2)求抛物线的顶点坐标(用含a的式子表示);(3)若抛物线与x轴相交于A,B两点,且AB≤4,求a的取值范围.7.(2022·北京平谷·二模)在平面直角坐标系xOy中,点(−1,y1)、(1,y2)、(3,y3)是抛物线y=x2+bx+1上三个点.(1)直接写出抛物线与y轴的交点坐标;(2)当y1=y3时,求b的值;(3)当y3>y1>1>y2时,求b的取值范围.8.(2022·北京四中模拟预测)在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线y=x2−2tx+t2−t.(1)求抛物线的顶点坐标(用含t的代数式表示);(2)点P(x1,y1),Q(x2,y2)在抛物线上,其中t−1≤x1≤t+2,x2=1−t.①若y1的最小值是−2,求y1的最大值;①若对于x1,x2,都有y1<y2,直接写出t的取值范围.9.(2022·北京丰台·二模)在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线y=x2−2ax−3.(1)求该抛物线的对称轴(用含a的式子表示)(2)A(x1,y1),B(x2,y2)为该抛物线上的两点,若x1=1−2a,x2=a+1,且y1>y2,求a的取值范围.10.(2022·北京密云·二模)已知二次函数y=ax2+bx+2的图象经过点(1,2).(1)用含a的代数式表示b;(2)若该函数的图象与x轴的一个交点为(−1,0),求二次函数的解析式;(3)当a<0时,该函数图象上的任意两点P(x1,y1)、Q(x2,y2),若满足x1=−2,y1>y2,求x2的取值范围.11.(2022·北京大兴·二模)关于x的二次函数y1=x2+mx的图象过点(−2,0).(1)求二次函数y1=x2+mx的表达式;(2)已知关于x的二次函数y2=−x2+2x,一次函数y3=kx+b(k≠0),在实数范围内,对于x的同一个值,这三个函数所对应的函数值y1≥y3≥y2均成立.①求b的值;①直接写出k的值.12.(2022·北京顺义·二模)在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线y=x2+mx+n.(1)当m=−3时,①求抛物线的对称轴;①若点A(1,y1),B(x2,y2)都在抛物线上,且y2<y1,求x2的取值范围;(2)已知点P(−1,1),将点P向右平移3个单位长度,得到点Q.当n=2时,若抛物线与线段PQ恰有一个公共点,结合函数图象,求m的取值范围.13.(2022·北京市十一学校模拟预测)已知二次函数y=ax2−4ax−3的图象与x轴交于A、B两点(点A 在点B的左侧),顶点为D.(1)直接写出函数图象的对称轴:_____;(2)若△ABD是等腰直角三角形,求a的值;(3)当−1≤x≤k(2≤k≤6)时,y的最大值m减去y的最小值n的结果不大于3,求a的取值范围.14.(2022·北京房山·二模)已知二次函数y=ax2−4ax.(1)二次函数图象的对称轴是直线x=__________;(2)当0≤x≤5时,y的最大值与最小值的差为9,求该二次函数的表达式;(3)若a<0,对于二次函数图象上的两点P(x1,y1),Q(x2,y2),当t−1≤x1≤t+1,x2≥5时,均满足y1≥y2,请结合函数图象,直接写出t的取值范围.15.(2022·北京海淀·二模)在平面直角坐标系xOy中,点(m – 2, y1),(m, y2),(2-m, y3)在抛物线y = x2-2ax + 1上,其中m≠1且m≠2.(1)直接写出该抛物线的对称轴的表达式(用含a的式子表示);(2)当m = 0时,若y1= y3,比较y1与y2的大小关系,并说明理由;(3)若存在大于1的实数m,使y1>y2>y3,求a的取值范围.16.(2022·北京西城·二模)在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2+bx+c经过点(0,−2),(2,−2).(1)直接写出c的值和此抛物线的对称轴;(2)若此抛物线与直线y=−6没有公共点,求a的取值范围;(3)点(t,y1),(t+1,y2)在此抛物线上,且当−2≤t≤4时,都有|y2−y1|<7.直接写出a的取值范围.217.(2022·北京东城·一模)在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=x2−2mx+m2+1与y轴交于点A.点B(x1,y1)是抛物线上的任意一点,且不与点A重合,直线y=kx+b(k≠0)经过A,B两点.(1)求抛物线的顶点坐标(用含m的式子表示);(2)若点C(m−2,a),D(m+2,b)在抛物线上,则a_______b(用“<”,“=”或“>”填空);(3)若对于x1<−3时,总有k<0,求m的取值范围.18.(2022·北京市十一学校二模)在平面直角坐标系xOy中,点A(t,2)(t≠0)在二次函数y=ax2+bx+2(a≠0)的图象上.(1)当t=4时,求抛物线对称轴的表达式;(2)若点B(5−t,0)也在这个二次函数的图象上.①当这个函数的最小值为0时,求t的值;①若在0≤x≤1时,y随x的增大而增大,求t的取值范围.19.(2022·北京石景山·一模)在平面直角坐标xOy中,点(4,2)在抛物线y=ax2+bx+2(a>0)上.(1)求抛物线的对称轴;(2)抛物线上两点P(x1,y1),Q(x2,y2),且t<x1<t+1,4−t<x2<5−t.①当t=3时,比较y1,y2的大小关系,并说明理由;2①若对于x1,x2,都有y1≠y2,直接写出t的取值范围.20.(2022·北京大兴·一模)在平面直角坐标系xOy中,已知关于x的二次函数y=x2−2ax+6.(1)若此二次函数图象的对称轴为x=1.①求此二次函数的解析式;①当x≠1时,函数值y______5(填“>”,“<”,或“≥”或“≤”);(2)若a<−2,当−2≤x≤2时,函数值都大于a,求a的取值范围.21.(2022·北京·东直门中学模拟预测)在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2−(a+4)x+3经过点(2,m).(1)若m=−3,①求此抛物线的对称轴;①当1<x<5时,直接写出y的取值范围;(2)已知点(x1,y1),(x2,y2)在此抛物线上,其中x1<x2.若m>0,且5x1+5x2≥14,比较y1,y2的大小,并说明理由.22.(2022·北京市燕山教研中心一模)在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2+bx+3a(a≠0)与x轴的交点为点A(1,0)和点B.(1)用含a的式子表示b;(2)求抛物线的对称轴和点B的坐标;(3)分别过点P(t,0)和点Q(t+2,0)作x轴的垂线,交抛物线于点M和点N,记抛物线在M,N之间的部分为图象G(包括M,N两点).记图形G上任意一点的纵坐标的最大值是m,最小值为n.①当a=1时,求m−n的最小值;①若存在实数t,使得m−n=1,直接写出a的取值范围.23.(2022·北京平谷·一模)在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=x2﹣2bx.(1)当抛物线过点(2,0)时,求抛物线的表达式;(2)求这个二次函数的对称轴(用含b的式子表示);(3)若抛物线上存在两点A(b﹣1,y1)和B(b+2,y2),当y1•y2<0时,求b的取值范围.24.(2022·北京门头沟·一模)在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线y=−x2+2mx−m2+m−2(m是常数).(1)求该抛物线的顶点坐标(用含m代数式表示);(2)如果该抛物线上有且只有两个点到直线y=1的距离为1,直接写出m的取值范围;(3)如果点A(a,y1),B(a+2,y2)都在该抛物线上,当它的顶点在第四象限运动时,总有y1>y2,求a的取值范围.25.(2022·北京房山·一模)已知二次函数y=x2+bx+c(b,c为常数)的图象经过点A(1,0)与点C(0,-3),其顶点为P.(1)求二次函数的解析式及P点坐标;(2)当m≤x≤m+1时,y的取值范围是-4≤y≤2m,求m的值.26.(2022·北京朝阳·一模)在平面直角坐标系xOy中,点(−2,0),(−1,y1),(1,y2),(2,y3)在抛物线y=x2+ bx+c上.(1)若y1=y2,求y3的值;(2)若y2<y1<y3,求y3值的取值范围.27.(2022·北京市第一六一中学分校一模)在平面直角坐标系xOy中,直线l1:y=﹣2x+6与y轴交于点A,与x轴交于点B,二次函数的图象过A,B两点,且与x轴的另一交点为点C,BC=2;(1)求点C的坐标;(2)对于该二次函数图象上的任意两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),当x1>x2>2时,总有y1>y2.①求二次函数的表达式;①设点A在抛物线上的对称点为点D,记抛物线在C,D之间的部分为图象G(包含C,D两点).若一次函数y=kx﹣2(k≠0)的图象与图象G有公共点,结合函数图象,求k的取值范围.28.(2022·北京顺义·一模)在平面直角坐标系xOy中,点(2,−2)在抛物线y=ax2+bx−2(a<0)上.(1)求该抛物线的对称轴;(2)已知点(n−2,y1),(n−1,y2),(n+1,y3)在抛物线y=ax2+bx−2(a<0)上.若0<n<1,比较y1,y2,y3的大小,并说明理由.29.(2022·北京海淀·一模)在平面直角坐标系xOy中,二次函数y=ax2−2ax(a≠0)的图象经过点A(−1,3).(1)求该二次函数的解析式以及图象顶点的坐标;(2)一次函数y=2x+b的图象经过点A,点(m,y1)在一次函数y=2x+b的图象上,点(m+4,y2)在二次函数y=ax2−2ax的图象上.若y1>y2,求m的取值范围.30.(2022·北京市第七中学一模)在平面直角坐标系xOy中,点A(x1,y1),B(x2,y2)在抛物线y=−x2+(2a−2)x−a2+2a上,其中x1<x2.(1)求抛物线的对称轴(用含a的式子表示);(2)①当x=a时,求y的值;①若y1=y2=0,求x1的值(用含a的式子表示);(3)若对于x1+x2<−5,都有y1<y2,求a的取值范围.11/ 11。

26题二次函数证明

26题二次函数证明

26题二次函数证明1.如图,抛物线2y x bx c =-++与x 轴的两个交点分别为A (3,0),D (﹣1,0),与y 轴交于点C ,点B 在y 轴正半轴上,且OB =OD .(1)求抛物线的解析式;(2)如图1,抛物线的顶点为点E ,对称轴交x 轴于点M ,连接BE ,AB ,请在抛物线的对称轴上找一点Q ,使∠QBA =∠BEM ,求出点Q 的坐标;(3)如图2,过点C 作CF ∥x 轴,交抛物线于点F ,连接BF ,点G 是x 轴上一点,在抛物线上是否存在点N ,使以点B ,F ,G ,N 为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请直接写出点N 的坐标;若不存在,请说明理由.2.如图,在平面直角坐标系xOy 中,抛物线与x 轴相交于点A (-2,0)、B (4,0),与y 轴交于点C (0,-4),BC 与抛物线的对称轴相交于点D .(1)求该抛物线的表达式,并直接写出点D 的坐标;(2)过点A 作AE ⊥AC 交抛物线于点E ,求点E 的坐标;(3)在(2)的条件下,点F 在射线AE 上,若△ADF ∽△ABC ,求点F 的坐标.3.已知,抛物线23y ax bx =++(a <0)与x 轴交于A (3,0)、B 两点,与y 轴交于点C ,抛物线的对称轴是直线x =1,D 为抛物线的顶点,点E 在y 轴C 点的上方,且CE(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标;(2)在直线AC上方的抛物线上找一点P,使P的坐标;D(3)在坐标轴上找一点M,使以点B、C、M为顶点的三角形与△ACD相似,直接写出点M的坐标.4.如图,已知二次函数的图象经过点A(3,3)、B(4,0)和原点O.P为二次函数图象上的一个动点,过点P作x轴的垂线,垂足为D(m,0),并与直线OA交于点C.(1)求直线OA和二次函数的解析式;(2)当点P在直线OA的上方时,①当PC的长最大时,求点P的坐标;②当S△PCO=S△CDO时,求点P的坐标.5.如图,已知二次函数y=﹣x2+bx+c(其中b,c为常数)的图象经过点A(3,1),点C(0,4),顶点为点M,过点A作AB∥x轴,交y轴于点D,交该二次函数图象于点B,连结BC.(1)求该二次函数的解析式及点M的坐标.(2)若将该二次函数图象向下平移m(m>0)个单位,使平移后得到的二次函数图象的顶点落在△ABC的内部(不包括△ABC的边界),求m的取值范围.(3)沿直线AC方向平移该二次函数图象,使得CM与平移前的CB相等,求平移后点M的坐标.(4)点P是直线AC上的动点,过点P作直线AC的垂线PQ,记点M关于直线PQ的对称点为M′.当以点P、A、M、M′为顶点的四边形为平行四边形时,直接写出点P的坐标.6.如图,抛物线与x轴交于A(x1,0)、B(x2,0)两点,且x1<x2与y轴交于点C(0,4),其中x1,x2是方程x2﹣4x﹣12=0的两个根.(1)求抛物线的解析式;(2)点M是线段AB上的一个动点,过点M作MN∥BC,交AC于点N,连结CM,当△CMN 的面积最大时,求点M的坐标;(3)点D(4,k)在(1)中抛物线上,点E为抛物线上一动点,在x轴上是否存在点F,使以A、D、E、F为顶点的四边形是平行四边形?如果存在,直接写出所有满足条件的点F的坐标;若不存在,请说明理由.7.如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(m,m),点B的坐标为(n,﹣n),抛物线经过A、O、B三点,连接OA、OB、AB,线段AB交y轴于点C.已知实数m、n(m<n)分别是方程x2﹣2x﹣3=0的两根.(1)求抛物线的解析式;(2)若点P为线段OB上的一个动点(不与点O、B重合),直线PC与抛物线交于D、E两点(点D在y轴右侧),连接OD、BD.①当△OPC为等腰三角形时,求点P的坐标;②求△BOD 面积的最大值,并写出此时点D的坐标.8.如图1,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于点A(﹣1,0)、B(4,0)两点,与y轴交于点C,且OC=3OA.点P是抛物线上的一个动点,过点P作PE⊥x轴于点E,交直线BC于点D,连接PC.(1)求抛物线的解析式;(2)如图2,当动点P只在第一象限的抛物线上运动时,求过点P作PF⊥BC于点F,试问△PDF 的周长是否有最大值?如果有,请求出其最大值,如果没有,请说明理由.(3)当点P在抛物线上运动时,将△CPD沿直线CP翻折,点D的对应点为点Q,试问,四边形CDPQ是否成为菱形?如果能,请求出此时点P的坐标,如果不能,请说明理由.9.如图,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴、y轴分别交于A(-1,0)、B(3,0)、C(0,3)三点.(1)试求抛物线的解析式;(2)P是直线BC上方的抛物线上的一个动点,设P的横坐标为t,P到BC的距离为h,求h 与t的函数关系式,并求出h的最大值;(3)设点M是x轴上的动点,在平面直角坐标系中,是否存在点N,使得以点A、C、M、N为顶点的四边形是菱形?若存在,求出所有符合条件的点N坐标;若不存在,说明理由.10.如图,抛物线y=ax2+bx﹣4与x轴交于点A(2,0)和点B,与y轴交于点C,顶点为点D,对称轴为直线x=﹣1,点E为线段AC的中点,点F为x轴上一动点.(1)直接写出点B的坐标,并求出抛物线的函数关系式;(2)当点F的横坐标为﹣3时,线段EF上存在点H,使△CDH的周长最小,请求出点H,使△CDH 的周长最小,请求出点H的坐标;(3)在y轴左侧的抛物线上是否存在点P,使以P,F,C,D为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.本卷由系统自动生成,请仔细校对后使用,答案仅供参考。

二次函数(十二大题型综合归纳 )(学生版)--新九年级数学

二次函数(十二大题型综合归纳 )(学生版)--新九年级数学

二次函数(十二大题型综合归纳)题型1:二次函数的概念1以下函数式二次函数的是()A.y=ax2+bx+cB.y=2x-12-4x2C.y=ax2+bx+c a≠0D.y=x-1x-22二次函数y=2x x−3的二次项系数与一次项系数的和为()A.2B.-2C.-1D.-4题型2:二次函数的值3已知二次函数y=x2+2x-5,当x=3时,y=.4已知二次函数y=ax2+2c,当x=2时,函数值等于8,则下列关于a,c的关系式中,正确的是()A.a+2c=8B.2a+c=4C.a-2c=8D.2a-c=45二次函数y=ax2+bx-3a≠0的图象经过点2,-2,则代数式2a+b的值为.题型3:二次函数的条件6已知y=mx m-2+2mx+1是y关于x的二次函数,则m的值为()A.0B.1C.4D.0或47关于x的函数y=a-bx2+1是二次函数的条件是()A.a≠bB.a=bC.b=0D.a=0题型4:列二次函数关系式8已知有n个球队参加比赛,每两队之间进行一场比赛,比赛的场次数为m,则m关于n的函数解析式为.题型5:特殊二次函数的图像和性质9关于二次函数y =-34x 2-1的图像,下列说法错误的是()A.抛物线开口向下B.对称轴为直线x =0C.顶点坐标为0,-1D.当x <0时,y 随x 的增大而减小,当x >0时,y 随x 的增大而增大10抛物线y =34x 2与抛物线y =-34x 2+3的相同点是()A.顶点相同B.对称轴不相同C.开口方向一样D.顶点都在y 轴上11如果二次函数y =ax 2+m 的值恒大于0,那么必有()A.a >0,m 取任意实数B.a >0,m >0C.a <0,m >0D.a ,m 均可取任意实数12对于二次函数y =-3(x -2)2的图象,下列说法正确的是()A.开口向上B.对称轴是直线x =-2C.当x >-2时,y 随x 的增大而减小D.顶点坐标为2,013二次函数:①y =-13x 2+1;②y =12(x +1)2-2;③y =-12(x +1)2+2;④y =12x 2;⑤y =-12(x -1)2;⑥y =12(x -1)2.(1)以上二次函数的图象的对称轴为直线x =-1的是(只填序号);(2)以上二次函数有最大值的是(只填序号)﹔(3)以上二次函数的图象中关于x 轴对称的是(只填序号).14设函数y 1=x -a 12,y 2=x -a 22,y 3=x -a 3 2.直线x =b 的图象与函数y 1,y 2,y 3的图象分别交于点A b ,c 1,B b ,c 2 ,C b ,c 3,()A.若b <a 1<a 2<a 3,则c 2<c 3<c1B.若a 1<b <a 2<a 3,则c 1<c 2<c 3C.若a 1<a 2<b <a 3,则c 3<c 2<c 1 D.若a 1<a 2<a 3<b ,则c 3<c 2<c 115已知二次函数y =(x -m )2,当x ≤1时,y 随x 的增大而减小,则m 的取值范围是.16已知关于x 的一元二次方程x 2-(2m +1)x +m 2-1=0有实数根a ,b ,则代数式a 2-ab +b 2的最小值为.题型6:与特殊二次函数有关的几何知识17在平面直角坐标系中,点A是抛物线y=a x-42+k与y轴的交点,点B是这条抛物线上的另一点,且AB⎳x轴,则以AB为边的等边三角形ABC的周长为.18在平面直角坐标系内有线段PQ,已知P(3,1)、Q(9,1),若抛物线y=(x-a)2与线段PQ有交点,则a的取值范围是.19二次函数y=-x+3的图象上任意二点连线不与x轴平行,则t的取值范围2+h t≤x≤t+2为.题型7:二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质20下列抛物线中,与抛物线y=x2-2x+8具有相同对称轴的是()A.y=4x2+2x+4B.y=x2-4xC.y=2x2-x+4D.y=-2x2+4x21若抛物线y=x2+ax+1的顶点在y轴上,则a的值为()A.2B.1C.0D.-222抛物线y=x-1x+5图象的开口方向是(填“向上”或“向下”).23当二次函数y=ax2+bx+c有最大值时,a可能是()A.1B.2C.-2D.324已知抛物线y=x2-2bx+b2-2b+1(b为常数)的顶点不在抛物线y=x2+c(c为常数)上,则c应满足()A.c≤2B.c<2C.c≥2D.c>225已知二次函数y=x2-2mx+m的图象经过A1,y1,B5,y2两个点,下列选项正确的是()A.若m<1,则y1>y2B.若1<m<3,则y1<y2C.若1<m<5,则y1>y2D.若m>5,则y1<y2题型8:二次函数y=ax2+bx+c的最值与求参数范围问题26已知直线y=2x+t与抛物线y=ax2+bx+c a≠0,且点B、B m,n有两个不同的交点A3,5是抛物线的顶点,当-2≤a≤2时,m的取值范围是.27已知抛物线y=x2+bx+c经过点(1,-2),(-2,13).(1)求抛物线解析式及对称轴.(2)关于该函数在0≤x<m的取值范围内,有最小值-3,有最大值1,求m的取值范围.28已知二次函数y=mx2-4m2x-3(m为常数,m>0).(1)若点(-2,9)在该二次函数的图象上.①求m的值:②当0≤x≤a时,该二次函数值y取得的最大值为18,求a的值;(2)若点P(x,y)是该函数图象上一点,当0≤x p≤4时,y p≤-3,求m的取值范围.题型9:根据二次函数y=ax2+bx+c的图像判断有关信息29函数y=ax2+bx+c a≠0与y=kx的图象如图所示,现有以下结论:①c=3;②k=3;③3b+c+6=0;④当1<x<3时,x2+b-1x+c<0.其中正确的为.(填写序号即可)30如图,已知二次函数y=ax2+bx+c a≠0的图象与x轴交于点A-1,0,与y轴的交点在0,-2和0,-1之间(不包括这两点),对称轴为直线x=1,下列结论:①4a+2b+c>0;②4ac-b2<8a;③13<a<23;④b>c;⑤直线y=k i(k i>0,i=1,2,3,⋯,2023)与抛物线所有交点的横坐标之和为4046;其中正确结论的个数有()A.2个B.3个C.4个D.5个题型10:二次函数的应用31如图,有一个截面边缘为抛物线型的水泥门洞.门洞内的地面宽度为8m ,两侧距地面4m 高处各有一盏灯,两灯间的水平距离为6m ,则这个门洞内部顶端离地面的距离为()A.7.5B.8C.649D.64732某炮兵部队实弹演习发射一枚炮弹,经x 秒后的高度为y 米,且时间x 与高度y 的关系为y =ax 2+bx .若此炮弹在第5秒与第16秒时的高度相等,则在下列哪一个时间段炮弹的高度达到最高.()A.第8秒B.第10秒C.第12秒D.第15秒33在2023年中考体育考试前,小康对自己某次实心球的训练录像进行了分析,发现实心球飞行路线是一条抛物线,若不考虑空气阻力,实心球的飞行高度y (单位:米)与飞行的水平距离x (单位:米)之间具有函数关系y =-116x 2+58x +32,则小康这次实心球训练的成绩为()A.14米B.12米C.11米D.10米34某池塘的截面如图所示,池底呈抛物线形,在图中建立平面直角坐标系,并标出相关数据(单位:m ).有下列结论:①AB =30m ;②池底所在抛物线的解析式为y =145x 2-5;③池塘最深处到水面CD 的距离为3.2m ;④若池塘中水面的宽度减少为原来的一半,则最深处到水面的距离变为1.2m .其中结论错误的是()A.①B.②C.③D.④35某建筑工程队借助一段废弃的墙体CD,CD长为18米,用76米长的铁栅栏围成两个相连的长方形仓库,为了方便取物,在两个仓库之间留出了1米宽的缺口作通道,在平行于墙的一边留下一个1米宽的缺口作小门,现有如下两份图纸(图纸1点A在线段DC的延长线上,图纸2点A在线段DC上),设AB =x米,图纸1,图纸2的仓库总面积分别为y1平方米,y2平方米.(1)分别写出y1,y2与x的函数关系式;(2)小红说:“y1的最大值为384.y2的最大值为507.”你同意吗?请说明理由.题型11:二次函数的解答证明题36已知二次函数y=-x2+bx+c.(1)当b=4,c=3时,①求该函数图象的顶点坐标.②当-1≤x≤3时,求y的取值范围.(2)当x≤0时,y的最大值为2;当x>0时,y的最大值为3,求二次函数的表达式.37如图,已知二次函数y=-12x2+bx+c的图象与x轴交于A1,0,B,与y轴交于点C0,-52.CD∥x轴交抛物线于点D.(1)求b,c的值.(2)已知点E在抛物线上且位于x轴上方,过E作y轴的平行线分别交AB,CD于点F,G,且GE= 2GD,求点E的坐标.38在直角坐标系中,设函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0).(1)已知a=1.①若函数的图象经过0,3和-1,0两点,求函数的表达式;②若将函数图象向下平移两个单位后与x轴恰好有一个交点,求b+c的最小值.(2)若函数图象经过-2,m,-3,n和x0,c,且c<n<m,求x0的取值范围.题型12:二次函数压轴题39在平面直角坐标系中,抛物线y=-x2-4x+c与x轴交于点A,B(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,且点A的坐标为-5,0.(1)求点C的坐标;(2)如图1,若点P是第二象限内抛物线上一动点,求三角形ACP面积的最大值;(3)如图2,若点M是抛物线上一点,点N是抛物线对称轴上一点,是否存在点M使以A,C,M,N为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请直接写出点M的坐标;若不存在,请说明理由.。

常考二次函数综合题整理(全)

常考二次函数综合题整理(全)

常考二次函数综合题整理 题型一最短路径问题1、如图,抛物线y=﹣12x2+bx+2与x轴交于A,B两点,与y轴交于C点,且点A的坐标为(1,0).(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标;(2)判断△ABC的形状,并证明你的结论;(3)点M是抛物线对称轴上的一个动点,当△ACM的周长最小时,求点M的坐标.【变式】如图,以D为顶点的抛物线y=﹣x2+bx+c交x轴于A、B两点,交y轴于点C,直线BC的表达式为y=﹣x+3.(1)求抛物线的表达式;(2)在直线BC上有一点P,使PO+PA的值最小,求点P的坐标;题型二最大面积(线段最长)问题2、已知:如图,抛物线y=ax2+bx+c与坐标轴分别交于点A(0,6),B(6,0),C(﹣2,0),点P是线段AB上方抛物线上的一个动点.(1)求抛物线的解析式;(2)当点P运动到什么位置时,△PAB的面积有最大值?并求出这个最大值.3、如图,已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴相交于A(﹣1,0),B(3,0)两点,与y轴相交于点C(0,﹣3).(1)求这个二次函数的表达式;(2)若P是第四象限内这个二次函数的图象上任意一点,PH△x轴于点H,与BC交于点M,连接PC,求线段PM的最大值.【变式】如图,已知点A(﹣1,0),B(3,0),C(0,1)在抛物线y=ax2+bx+c上.(1)求抛物线解析式;(2)在直线BC上方的抛物线上求一点P,使△PBC面积为1;【变式】如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+3经过A(﹣3,0)、B(1,0)两点,其顶点为D,连接AD,点P是线段AD上一个动点(不与A、D重合).(1)求抛物线的函数解析式,并写出顶点D的坐标;(2)如图,过点P作PE△y轴于点E,连接AE.求△PAE面积S的最大值;题型三 存在点构成等腰三角形问题4、如图,在平面直角坐标系中,二次函数2y ax bx c =++交x 轴于点()4,0A -、()2,0B ,交y 轴于点()0,6C ,在y 轴上有一点()0,2E -,连接AE .(1)求二次函数的表达式;(2)抛物线对称轴上是否存在点P ,使AEP ∆为等腰三角形,若存在,请直接写出所有P 点的坐标,若不存在请说明理由.5、如图,已知二次函数y=ax 2+bx+3的图象交x 轴于点A (1,0),B (3,0),交y 轴于点C .(1)求这个二次函数的表达式;(2)直线x=m 分别交直线BC 和抛物线于点M ,N ,当△BMN 是等腰三角形时,直接写出m 的值.【变式】已知二次函数y=ax 2+bx ﹣3a 经过点A (﹣1,0)、C (0,3),与x 轴交于另一点B ,抛物线的顶点为D .(1)求此二次函数解析式;(2)连接DC 、BC 、DB ,求证:△BCD 是直角三角形;(3)在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P ,使得△PDC 为等腰三角形?若存在,求出符合条件的点P 的坐标;若不存在,请说明理由.【变式】如图,抛物线与x 轴交于A ,B 两点,与y 轴交于点()0,2C -,点A 的坐标是()2,0,P 为抛物线上的一个动点,过点P 作PD x ⊥轴于点D ,交直线BC 于点E ,抛物线的对称轴是直线1x =-.(1)求抛物线的函数表达式;(2)若点P 在第二象限内,且14PE OD =,求PBE ∆的面积. (3)在(2)的条件下,若M 为直线BC 上一点,在x 轴的下方,是否存在点M ,使BDM ∆是以BD 为腰的等腰三角形?若存在,求出点M 的坐标;若不存在,请说明理由.题型四 存在点构成直角三角形问题6、如图,抛物线2y ax bx 4=+-经过()A 3,0-,()B 5,4-两点,与y 轴交于点C ,连接AB ,AC ,BC .()1求抛物线的表达式;()2求证:AB 平分CAO ∠;()3抛物线的对称轴上是否存在点M ,使得ABM V 是以AB 为直角边的直角三角形,若存在,求出点M 的坐标;若不存在,请说明理由.【变式】如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax 2+2x+c 与x 轴交于A (﹣1,0)B (3,0)两点,与y 轴交于点C ,点D 是该抛物线的顶点.(1)求抛物线的解析式和直线AC 的解析式;(2)请在y 轴上找一点M ,使△BDM 的周长最小,求出点M 的坐标;(3)试探究:在拋物线上是否存在点P ,使以点A ,P ,C 为顶点,AC 为直角边的三角形是直角三角形?若存在,请求出符合条件的点P 的坐标;若不存在,请说明理由.●题型四存在点构成等腰直角三角形问题7、已知:如图,抛物线y=ax2+bx+c与坐标轴分别交于点A(0,6),B(6,0),C(﹣2,0),点P是线段AB上方抛物线上的一个动点.(1)求抛物线的解析式;(2)过点P作x轴的垂线,交线段AB于点D,再过点P做PE△x轴交抛物线于点E,连结DE,请问是否存在点P使△PDE为等腰直角三角形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由.●题型四存在点构成平行四边形问题8、如图,已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过点A(3,0),B(﹣1,0),C(0,﹣3).(1)求该抛物线的解析式;(2)若以点A为圆心的圆与直线BC相切于点M,求切点M的坐标;(3)若点Q在x轴上,点P在抛物线上,是否存在以点B,C,Q,P为顶点的四边形是平行四边形?若存在,求点P的坐标;若不存在,请说明理由.()B-,对称轴为直线l,点M是线段AB的中点.0,5(1)求抛物线的表达式;(2)写出点M的坐标并求直线AB的表达式;(3)设动点P,Q分别在抛物线和对称轴l上,当以A,P,Q,M为顶点的四边形是平行四边形时,求P,Q两点的坐标.【变式】如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+3经过A(﹣3,0)、B(1,0)两点,其顶点为D,连接AD,点P是线段AD上一个动点(不与A、D重合).(1)求抛物线的函数解析式,并写出顶点D的坐标;(2)如图,抛物线上是否存在一点Q,使得四边形OAPQ为平行四边形?若存在求出Q点坐标,若不存在请说明理由.9、如图,已知抛物线y=12x2+bx+c与直线AB:y=12x+12相交于点A(1,0)和B(t,52),直线AB交y轴于点C.(1)求抛物线的解析式及其对称轴;(2)设点M是抛物线对称轴上一点,点N在抛物线上,以点A、B、M、N为顶点的四边形是否可能为矩形?若能,请求出点M的坐标,若不能,请说明理由.10、如图,抛物线顶点P(1,4),与y轴交于点C(0,3),与x轴交于点A,B.(1)求抛物线的解析式.(2)Q是抛物线上除点P外一点,△BCQ与△BCP的面积相等,求点Q的坐标.(3)若M,N为抛物线上两个动点,分别过点M,N作直线BC的垂线段,垂足分别为D,E.是否存在点M,N使四边形MNED为正方形?如果存在,求正方形MNED的边长;如果不存在,请说明理由.11、如图,已知点A(﹣1,0),B(3,0),C(0,1)在抛物线y=ax2+bx+c上.(1)求抛物线解析式;(2)在x轴下方且在抛物线对称轴上,是否存在一点Q,使△BQC=△BAC?若存在,求出Q点坐标;若不存在,说明理由.12、如图,抛物线y=ax2+6x+c交x轴于A,B两点,交y轴于点C.直线y=x﹣5经过点B,C.(1)求抛物线的解析式;(2)过点A的直线交直线BC于点M.连接AC,当直线AM与直线BC的夹角等于△ACB 的2倍时,请直接写出点M的坐标【变式】如图,抛物线212y x bx c =-++过点(3,2)A ,且与直线72y x =-+交于B 、C 两点,点B 的坐标为(4,)m .(1)求抛物线的解析式;(2)设点M 为抛物线的顶点,在y 轴上是否存在点Q ,使45AQM ︒∠=?若存在,求点Q 的坐标;若不存在,请说明理由.【变式】如图,抛物线y=ax 2+bx+c 经过A (﹣1,0),B (4,0),C (0,3)三点,D 为直线BC 上方抛物线上一动点,DE△BC 于E .(1)求抛物线的函数表达式;(2)如图1,求线段DE 长度的最大值;(3)如图2,设AB 的中点为F ,连接CD ,CF ,是否存在点D ,使得△CDE 中有一个角与△CFO 相等?若存在,求点D 的横坐标;若不存在,请说明理由.【变式】如图,已知顶点为(0,3)C -的抛物线2(0)y ax b a =+≠与x 轴交于A ,B 两点,直线y x m =+过顶点C 和点B .(1)求m 的值;(2)求函数2(0)y ax b a =+≠的解析式;(3)抛物线上是否存在点M ,使得15MCB ∠=︒?若存在,求出点M 的坐标;若不存在,请说明理由.题型七 存在点使三角形相似问题13、如图,以D 为顶点的抛物线y=﹣x 2+bx+c 交x 轴于A 、B 两点,交y 轴于点C ,直线BC 的表达式为y=﹣x+3.(1)求抛物线的表达式;(2)在x 轴上是否存在一点Q ,使得以A 、C 、Q 为顶点的三角形与△BCD 相似?若存在,请求出点Q 的坐标;若不存在,请说明理由.14、如图,已知A(﹣2,0),B(4,0),抛物线y=ax2+bx﹣1过A、B两点,并与过A点的直线y=﹣12x﹣1交于点C.(1)求抛物线解析式及对称轴;(2)点M为y轴右侧抛物线上一点,过点M作直线AC的垂线,垂足为N.问:是否存在这样的点N,使以点M、N、C为顶点的三角形与△AOC相似,若存在,求出点N的坐标,若不存在,请说明理由.【变式】抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)经过点A(﹣1,0),B(32,0),且与y轴相交于点C.(1)求这条抛物线的表达式;(2)求△ACB的度数;(3)设点D是所求抛物线第一象限上一点,且在对称轴的右侧,点E在线段AC上,且DE△AC,当△DCE 与△AOC相似时,求点D的坐标.【变式】如图,抛物线y=12x2+bx+c与直线y=12x+3交于A,B两点,交x轴于C、D两点,连接AC、BC,已知A(0,3),C(﹣3,0).(1)求抛物线的解析式;(2)在抛物线对称轴l上找一点M,使|MB﹣MD|的值最大,并求出这个最大值;(3)点P为y轴右侧抛物线上一动点,连接PA,过点P作PQ△PA交y轴于点Q,问:是否存在点P 使得以A,P,Q为顶点的三角形与△ABC相似?若存在,请求出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.题型七二次函数与圆结合问题15、如图,△E的圆心E(3,0),半径为5,△E与y轴相交于A、B两点(点A在点B的上方),与x轴的正半轴交于点C,直线l的解析式为y=x+4,与x轴相交于点D,以点C为顶点的抛物线过点B.(1)求抛物线的解析式;(2)判断直线l与△E的位置关系,并说明理由;(3)动点P在抛物线上,当点P到直线l的距离最小时.求出点P的坐标及最小距离.16、如图,已知抛物线m:y=ax2﹣6ax+c(a>0)的顶点A在x轴上,并过点B(0,1),直线n:y=﹣x+与x轴交于点D,与抛物线m的对称轴l交于点F,过B点的直线BE与直线n相交于点E(﹣7,7).(1)求抛物线m的解析式;(2)P是l上的一个动点,若以B,E,P为顶点的三角形的周长最小,求点P的坐标;(3)抛物线m上是否存在一动点Q,使以线段FQ为直径的圆恰好经过点D?若存在,求点Q的坐标;若不存在,请说明理由.【变式】在平面直角坐标系中,二次函数y=ax2+53x+c的图象经过点C(0,2)和点D(4,﹣2).点E是直线y=﹣13x+2与二次函数图象在第一象限内的交点.(1)求二次函数的解析式及点E的坐标.(2)如图①,若点M是二次函数图象上的点,且在直线CE的上方,连接MC,OE,ME.求四边形COEM面积的最大值及此时点M的坐标.(3)如图②,经过A、B、C三点的圆交y轴于点F,求点F的坐标.【变式】如图,在平面直角坐标系中,二次函数y=(x-a)(x-3)(0<a<3)的图象与x轴交于点A、B (点A在点B的左侧),与y轴交于点D,过其顶点C作直线CP△x轴,垂足为点P,连接AD、BC.(1)求点A、B、D的坐标;(2)若△AOD与△BPC相似,求a的值;(3)点D、O、C、B能否在同一个圆上,若能,求出a的值,若不能,请说明理由.。

二次函数真题及答案解析

二次函数真题及答案解析

二次函数真题及答案解析二次函数是高中数学中的重要知识点,也是大学数学及工科类专业课的基础。

掌握二次函数的概念、性质和解题方法对学生的数学学习有着重要的作用。

本文就为大家选取了一些经典的二次函数真题,并对其答案进行详细解析,希望对大家的学习有所帮助。

一、真题及解析1已知函数f(x)=ax²+bx+c,其中a>0。

若对于任意的x,f(x)≥0,且不等式f(x)-c<x成立,求证:b²-4ac≥0。

解析:首先,根据题目要求,对于任意的x,都有f(x)≥0。

这意味着函数图像上的所有点都在x轴或者x轴以上。

所以,二次函数的开口一定向上,即a>0。

其次,不等式f(x)-c<x成立。

我们可以将函数f(x)进行整理,得到ax²+bx+(c-x)>0。

进一步整理可得ax²+(b-1)x+(c)>0。

根据二次函数的性质,当a>0时,二次函数的图像与x轴有两个交点,或者与x轴有一个切点。

对于这道题来说,如果函数图像与x轴有两个交点,则不可能对于任意的x,f(x)≥0。

所以只能是与x轴有一个切点。

综上所述,我们可以得知b²-4ac≥0。

二、真题及解析2已知函数f(x)=x²-4bx+4b+1,其中b为常数。

若对于任意的x,不等式f(x)≥0成立,则b的取值范围为多少?解析:根据题目要求,对于任意的x,都有f(x)≥0。

这意味着函数图像上的所有点都在x轴或者x轴以上。

所以,二次函数的开口一定向上,即a>0。

由于题目给出了函数f(x)=x²-4bx+4b+1,我们可以根据二次函数的性质来分析。

首先,根据a>0,可以得知开口是向上的。

其次,由于f(x)≥0,即对于任意x,函数图像都在x轴或者x 轴以上,我们可以知道判别式∆=b²-4ac≤0。

带入题目给出的函数,我们可以得到b²-(4b+4)≤0。

2021年中考数学复习《二次函数的综合计算与证明》能力提升必刷经典题型专练

2021年中考数学复习《二次函数的综合计算与证明》能力提升必刷经典题型专练

2021年中考数学复习《二次函数的综合计算与证明》能力提升必刷经典题型专练一. 选择题.1.对于任意实数m,下列函数一定是二次函数的是( )A.y=mx2+3x-1B.y=(m-1)x2C.y=(m-1)2x2D.y=(-m2-1)x22.二次函数y=x2-3x+2的图象不经过第象限.A.一B.二C.三D.四3.已知二次函数y=1-11x-6x2,其二次项系数为a,一次项系数为b,常数项为c,则a+b+c= ( )A.+16B.6C.-6D.-164.二次函数2=-的图象是一条抛物线,下列关于该抛物线的说法,正确的23y x是()A.抛物线开口向下B.抛物线经过点(2,3)C.抛物线的对称轴是直线1x=D.抛物线与x轴有两个交点5.二次函数y=ax2与一次函数y=ax+a在同一坐标系中的大致图象可能是( )6.如图,二次函数y=ax2+bx+c的图象过点(-1,0)和点(3,0),则下列说法正确的是( )A.bc<0B.a+b+c>0C.2a+b=0D.4ac>b27.跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一,运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分,运动员起跳后的竖直高度y(单位:m)与水平距离x(单位:m)近似满足函数关系y=ax 2+bx+c(a ≠0).如图记录了某运动员起跳后的x 与y 的三组数据,根据上述函数模型和数据,可推断出该运动员起跳后飞行到最高点时,水平距离为 ( )A.10 mB.15 mC.20 mD.22.5 m8.如图,二次函数y=ax 2+bx+c 的图象过点(-1,0)和点(3,0),则下列说法正确的是( )A.bc<0B.a+b+c>0C.2a+b=0D.4ac>b 29.一位运动员在距篮下4 m 处跳起投篮,球运行的路线是抛物线,当球运行的水平距离为2.5 m 时,达到最大高度3.5 m,然后准确落入篮圈.已知篮圈中心到地面的距离为3.05 m,该运动员身高1.9 m,在这次跳投中,球在头顶上方0.25 m 处出手时,他跳离地面的高度是( )A.0.1 mB.0.2 mC.0.3 mD.0.4 m10.已知二次函数2y ax bx c =++满足:(1)a b c <<;(2)0a b c ++=;(3)图象与x 轴有2个交点,且两交点间的距离小于2;则以下结论中正确的有( ) ①0a <;②0a b c -+<;③0c >;④20a b ->;⑤124b a -<. A .1个 B .2个 C .3个 D .4个二.填空题.11.抛物线y=4(x-2)2+1的顶点坐标是 .12.已知(-1,y1),(-2,y2),(-4,y3)是抛物线y=-2x2-8x+m上的点,则y1,y2,y3的大小关系为.13.如图,抛物线y=ax2+bx+4(a≠0)经过点A(-3,0),点B在抛物线上,CB∥x轴,且AB平分∠CAO,则此抛物线的解析式是 .14.如图是某个二次函数的图象,根据图象可知,该二次函数的解析式是 .15.如图,某校的围墙由一段相同的凹曲拱组成,其拱状图形为抛物线的一部分,栅栏的跨径AB间按相同间隔0.2米用5根立柱加固,拱高OC为0.36米,则立柱EF的长为米.16.如图,在△ABC中,∠B=90°,AB=12 mm,BC=24 mm,动点P从点A开始沿边AB 向B以2 mm/s的速度移动(不与点B重合),动点Q从点B开始沿边BC向C以4 mm/s 的速度移动(不与点C重合).如果P,Q分别从A,B同时出发,那么经过s,四边形APQC的面积最小.17.某商店购进一批单价为8元的商品,如果按每件10元出售,那么每天可销售100件.经调查发现,这种商品的销售单价每提高1元,其销售量相应减少10件,为使每天所获销售利润最大,销售单价应定为元.18. 如图为函数y=ax2+bx+c与y=x的图象,下列结论:①b2-4ac>0;②3b+c+6=0;③当1<x<3时,x2+(b-1)x+c<0;④=3. 其中正确的有 .三.解答题.19. 在平面直角坐标系中,二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,且a≠0)的图象如图所示.(1)求这个二次函数的解析式;(2)当-2≤x≤2时,求y的取值范围.20. 如图所示,甲、乙两船分别从A地和C地同时开出,各沿箭头所指方向航行,已知AC=10海里,甲、乙两船的速度分别是每小时16海里和每小时12海里,同时出发多长时间后,两船相距最近?最近距离是多少?21. 某公司从年初以来累计利润S(万元)与时间t(月)之间的关系(即前t个月的利润总和S和t之间的关系)为二次函数关系.试根据图象提供的信息,解答下列问题:(1)求累计利润S(万元)与时间t(月)之间的函数解析式;(2)截至几月末该公司累计利润可达16万元?(3)第10个月该公司所获利润是多少万元?。

2020年九年级数学典型中考压轴题专练:二次函数(含答案)

2020年九年级数学典型中考压轴题专练:二次函数(含答案)

2020年九年级数学典型中考压轴题专练:二次函数(含答案)1、已知二次函数y=ax2﹣2ax+c(a>0)的图象与x轴的负半轴和正半轴分别交于A、B两点,与y轴交于点C,它的顶点为P,直线CP与过点B且垂直于x轴的直线交于点D,且CP:PD=2:3(1)求A、B两点的坐标;(2)若tan∠PDB=,求这个二次函数的关系式.2、已知二次函数y=x2+bx+c的图象与y轴交于点C(0,﹣6),与x轴的一个交点坐标是A (﹣2,0).(1)求二次函数的解析式,并写出顶点D的坐标;(2)将二次函数的图象沿x轴向左平移个单位长度,当 y<0时,求x的取值范围.3、如图,已知抛物线y=﹣x2+mx+3与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,点B的坐标为(3,0)(1)求m的值及抛物线的顶点坐标.(2)点P是抛物线对称轴l上的一个动点,当PA+PC的值最小时,求点P的坐标.4、如图,抛物线y=ax2+bx﹣3(a≠0)的顶点为E,该抛物线与x轴交于A、B两点,与y 轴交于点C,且BO=OC=3AO,直线y=﹣x+1与y轴交于点D.(1)求抛物线的解析式;(2)证明:△DBO∽△EBC;(3)在抛物线的对称轴上是否存在点P,使△PBC是等腰三角形?若存在,请直接写出符合条件的P点坐标,若不存在,请说明理由.5、课本中有一个例题:有一个窗户形状如图1,上部是一个半圆,下部是一个矩形,如果制作窗框的材料总长为6m,如何设计这个窗户,使透光面积最大?这个例题的答案是:当窗户半圆的半径约为0.35m时,透光面积最大值约为1.05m2.我们如果改变这个窗户的形状,上部改为由两个正方形组成的矩形,如图2,材料总长仍为6m,利用图3,解答下列问题:(1)若AB为1m,求此时窗户的透光面积?(2)与课本中的例题比较,改变窗户形状后,窗户透光面积的最大值有没有变大?请通过计算说明.6、正方形OABC的边长为4,对角线相交于点P,抛物线L经过O、P、A三点,点E是正方形内的抛物线上的动点.(1)建立适当的平面直角坐标系,①直接写出O、P、A三点坐标;②求抛物线L的解析式;(2)求△OAE与△OCE面积之和的最大值.7、如图,抛物线y=ax2+bx﹣5(a≠0)与x轴交于点A(﹣5,0)和点B(3,0),与y轴交于点C.(1)求该抛物线的解析式;(2)若点E为x轴下方抛物线上的一动点,当S△ABE=S△ABC时,求点E的坐标;(3)在(2)的条件下,抛物线上是否存在点P,使∠BAP=∠CAE?若存在,求出点P的横坐标;若不存在,请说明理由.8、如图,已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过A(﹣1,0)、B(3,0)、C(0,﹣3)三点,直线l是抛物线的对称轴.(1)求抛物线的函数关系式;(2)设点P是直线l上的一个动点,当点P到点A、点B的距离之和最短时,求点P的坐标;(3)点M也是直线l上的动点,且△MAC为等腰三角形,请直接写出所有符合条件的点M 的坐标.9、如图1,在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2+1经过点A(4,﹣3),顶点为点B,点P为抛物线上的一个动点,l是过点(0,2)且垂直于y轴的直线,过P作PH⊥l,垂足为H,连接PO.(1)求抛物线的解析式,并写出其顶点B的坐标;(2)①当P点运动到A点处时,计算:PO= ,PH= ,由此发现,PO PH(填“>”、“<”或“=”);②当P点在抛物线上运动时,猜想PO与PH有什么数量关系,并证明你的猜想;(3)如图2,设点C(1,﹣2),问是否存在点P,使得以P,O,H为顶点的三角形与△ABC 相似?若存在,求出P点的坐标;若不存在,请说明理由.10、如图,已知抛物线与x轴交于A(﹣1,0),B(4,0),与y轴交于C(0,﹣2).(1)求抛物线的解析式;(2)H是C关于x轴的对称点,P是抛物线上的一点,当△PBH与△AOC相似时,求符合条件的P点的坐标(求出两点即可);(3)过点C作CD∥AB,CD交抛物线于点D,点M是线段CD上的一动点,作直线MN与线段AC交于点N,与x轴交于点E,且∠BME=∠BDC,当CN的值最大时,求点E的坐标.11、如图,对称轴为直线x=2的抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A和点B,与y轴交于点C,且点A的坐标为(﹣1,0)(1)求抛物线的解析式;(2)直接写出B、C两点的坐标;(3)求过O,B,C三点的圆的面积.(结果用含π的代数式表示)注:二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标为(﹣,)12、在平面直角坐标系中,平行四边形ABOC如图放置,点A、C的坐标分别是(0,4)、(﹣1,0),将此平行四边形绕点O顺时针旋转90°,得到平行四边形A′B′OC′.(1)若抛物线经过点C、A、A′,求此抛物线的解析式;(2)点M时第一象限内抛物线上的一动点,问:当点M在何处时,△AMA′的面积最大?最大面积是多少?并求出此时M的坐标;(3)若P为抛物线上一动点,N为x轴上的一动点,点Q坐标为(1,0),当P、N、B、Q 构成平行四边形时,求点P的坐标,当这个平行四边形为矩形时,求点N的坐标.13、在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2+bx+2过B(﹣2,6),C(2,2)两点.(1)试求抛物线的解析式;(2)记抛物线顶点为D,求△BCD的面积;(3)若直线y=﹣x向上平移b个单位所得的直线与抛物线段BDC(包括端点B、C)部分有两个交点,求b的取值范围.14、如图1(注:与图2完全相同),二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A(3,0),B (﹣1,0)两点,与y轴交于点C.(1)求该二次函数的解析式;(2)设该抛物线的顶点为D,求△ACD的面积(请在图1中探索);(3)若点P,Q同时从A点出发,都以每秒1个单位长度的速度分别沿AB,AC边运动,其中一点到达端点时,另一点也随之停止运动,当P,Q运动到t秒时,△APQ沿PQ所在的直线翻折,点A恰好落在抛物线上E点处,请直接判定此时四边形APEQ的形状,并求出E点坐标(请在图2中探索).15、如图,矩形的边OA在x轴上,边OC在y轴上,点B的坐标为(10,8),沿直线OD 折叠矩形,使点A正好落在BC上的E处,E点坐标为(6,8),抛物线y=ax2+bx+c经过O、A、E三点.(1)求此抛物线的解析式;(2)求A D的长;(3)点P是抛物线对称轴上的一动点,当△PAD的周长最小时,求点P的坐标.16、如图,抛物线L:y=ax2+bx+c与x轴交于A、B(3,0)两点(A在B的左侧),与y轴交于点C(0,3),已知对称轴x=1.(1)求抛物线L的解析式;(2)将抛物线L向下平移h个单位长度,使平移后所得抛物线的顶点落在△OBC内(包括△OBC的边界),求h的取值范围;(3)设点P是抛物线L上任一点,点Q在直线l:x=﹣3上,△PBQ能否成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形?若能,求出符合条件的点P的坐标;若不能,请说明理由.参考答案:1、解:(1)过点P作PE⊥x轴于点E,∵y=ax2﹣2ax+c,∴该二次函数的对称轴为:x=1,∴OE=1∵OC∥BD,∴CP:PD=OE:EB,∴OE:EB=2:3,∴EB=,∴OB=OE+EB=,∴B(,0)∵A与B关于直线x=1对称,∴A(﹣,0);(2)过点C作CF⊥BD于点F,交PE于点G,令x=1代入y=ax2﹣2ax+c,∴y=c﹣a,令x=0代入y=ax2﹣2ax+c,∴y=c∴PG=a,∵CF=OB=,∴tan∠PDB=,∴FD=2,∵PG∥BD∴△CPG∽△CDF,∴==∴PG=,∴a=,∴y=x2﹣x+c,把A(﹣,0)代入y=x2﹣x+c,[来源:学科网]∴解得:c=﹣1,∴该二次函数解析式为:y=x2﹣x﹣1.2、解:(1)∵把C(0,﹣6)代入抛物线的解析式得:C=﹣6,把A(﹣2,0)代入y=x2+bx ﹣6得:b=﹣1,∴抛物线的解析式为y=x2﹣x﹣6.∴y=(x﹣)2﹣.∴抛物线的顶点坐标D(,﹣).(2)二次函数的图形沿x轴向左平移个单位长度得:y=(x+2)2﹣.令y=0得:(x+2)2﹣=0,解得:x1=,x2=﹣.∵a>0,∴当y<0时,x的取值范围是﹣<x<.3、解:(1)把点B的坐标为(3,0)代入抛物线y=﹣x2+mx+3得:0=﹣32+3m+3,解得:m=2,∴y=﹣x2+2x+3=﹣(x﹣1)2+4,∴顶点坐标为:(1,4).(2)连接BC交抛物线对称轴l于点P,则此时PA+PC的值最小,设直线BC的解析式为:y=kx+b,∵点C(0,3),点B(3,0),∴,解得:,∴直线BC的解析式为:y=﹣x+3,当x=1时,y=﹣1+3=2,∴当PA+PC的值最小时,求点P的坐标为:(1,2).4、解:(1)∵抛物线y=ax2+bx﹣3,∴c=﹣3,∴C(0,﹣3),∴OC=3,∵BO=OC=3AO,∴BO=3,AO=1,∴B(3,0),A(﹣1,0),∵该抛物线与x轴交于A、B两点,∴,∴,∴抛物线解析式为y=x2﹣2x﹣3,(2)由(1)知,抛物线解析式为y=x2﹣2x﹣3=(x﹣1)2﹣4,∴E(1,﹣4),∵B(3,0),A(﹣1,0),C(0,﹣3),∴BC=3,BE=2,CE=,∵直线y=﹣x+1与y轴交于点D,∴D(0,1),∵B(3,0),∴OD=1,OB=3,BD=,∴,,,∴,∴△BCE∽△BDO,(3)存在,理由:设P(1,m),∵B(3,0),C(0,﹣3),∴BC=3,PB=,PC=,∵△PBC是等腰三角形,①当PB=PC时,∴=,∴m=﹣1,∴P(1,﹣1),②当PB=BC时,∴3=,∴m=±,∴P(1,)或P(1,﹣),③当PC=BC时,∴3=,∴m=﹣3±,∴P(1,﹣3+)或P(1,﹣3﹣),∴符合条件的P点坐标为P(1,﹣1)或P(1,)或P(1,﹣)或P(1,﹣3+)或P(1,﹣3﹣)5、解:(1)由已知可得:AD=,则S=1×m2,(2)设AB=xm,则AD=3﹣m,∵,∴,设窗户面积为S,由已知得:,当x=m时,且x=m在的范围内,,∴与课本中的例题比较,现在窗户透光面积的最大值变大.6、解:(1)以O点为原点,线段OA所在的直线为x轴,线段OC所在的直线为y轴建立直角坐标系,如图所示.①∵正方形OABC的边长为4,对角线相交于点P,∴点O的坐标为(0,0),点A的坐标为(4,0),点P的坐标为(2,2).②设抛物线L的解析式为y=ax2+bx+c,∵抛物线L经过O、P、A三点,∴有,解得:,∴抛物线L的解析式为y=﹣+2x.(2)∵点E是正方形内的抛物线上的动点,∴设点E的坐标为(m,﹣+2m)(0<m<4),∴S△OAE+S OCE=OA•y E+OC•x E=﹣m2+4m+2m=﹣(m﹣3)2+9,∴当m=3时,△OAE与△OCE面积之和最大,最大值为9.7、解:(1)把A、B两点坐标代入解析式可得,解得,∴抛物线解析式为y=x2+x﹣5;(2)在y=x2+x﹣5中,令x=0可得y=﹣5,∴C(0,﹣5),∵S△ABE=S△ABC,且E点在x轴下方,∴E点纵坐标和C点纵坐标相同,当y=﹣5时,代入可得x2+x=﹣5,解得x=﹣2或x=0(舍去),[来源:学科网] ∴E点坐标为(﹣2,﹣5);(3)假设存在满足条件的P点,其坐标为(m, m2+m﹣5),如图,连接AP、CE、AE,过E作ED⊥AC于点D,过P作PQ⊥x轴于点Q,则AQ=AO+OQ=5+m,PQ=|m2+m﹣5|,在Rt△AOC中,OA=OC=5,则AC=5,∠ACO=∠DCE=45°,由(2)可得EC=2,在Rt△EDC中,可得DE=DC=,∴AD=AC﹣DC=5﹣=4,当∠BAP=∠CAE时,则△EDA∽△PQA,∴=,即=,∴m2+m﹣5=(5+m)或m2+m﹣5=﹣(5+m),当m2+m﹣5=(5+m)时,整理可得4m2﹣5m﹣75=0,解得m=或m=﹣5(与A点重合,舍去),当m2+m﹣5=﹣(5+m)时,整理可得4m2+11m﹣45=0,解得m=或m=﹣5(与A点重合,舍去),8、解:(1)将A(﹣1,0)、B(3,0)、C(0,﹣3)代入抛物线y=ax2+bx+c中,得:,解得:故抛物线的解析式:y=x2﹣2x﹣3.(2)当P点在x轴上,P,A,B三点在一条直线上时,点P到点A、点B的距离之和最短,此时x=﹣=1,故P(1,0);(3)如图所示:抛物线的对称轴为:x=﹣=1,设M(1,m),已知A(﹣1,0)、C(0,﹣3),则:MA2=m2+4,MC2=(3+m)2+1=m2+6m+10,AC2=10;①若MA=MC,则MA2=MC2,得:m2+4=m2+6m+10,解得:m=﹣1,②若MA=AC,则MA2=AC2,得:m2+4=10,得:m=±;③若MC=AC,则MC2=AC2,得:m2+6m+10=10,得:m1=0,m2=﹣6;当m=﹣6时,M、A、C三点共线,构不成三角形,不合题意,故舍去;综上可知,符合条件的M点,且坐标为 M(1,)(1,﹣)(1,﹣1)(1,0).9、(1)解:∵抛物线y=ax2+1经过点A(4,﹣3),∴﹣3=16a+1,∴a=﹣,[来源:学,科,网Z,X,X,K]∴抛物线解析式为y=﹣x2+1,顶点B(0,1).(2)①当P点运动到A点处时,∵PO=5,PH=5,∴PO=PH,故答案分别为5,5,=.②结论:PO=PH.理由:设点P坐标(m,﹣ m2+1),∵PH=2﹣(﹣m2+1)=m2+1PO==m2+1,∴PO=PH.(3)∵BC==,AC==,AB==4∴BC=AC,∵PO=PH,又∵以P,O,H为顶点的三角形与△ABC相似,∴PH与BC,PO与AC是对应边,∴=,设点P(m,﹣ m2+1),∴=,解得m=±1,∴点P坐标(1,)或(﹣1,).10、解:(1)∵抛物线与x轴交于A(﹣1,0),B(4,0),∴设抛物线的解析式为:y=a(x+1)(x﹣4),把(0,﹣2)代入y=a(x+1)(x﹣4),∴a=,∴抛物线的解析式为:y=x2﹣x﹣2;(2)当△PBH与△AOC相似时,∴△AOC是直角三角形,∴△PBH也是直角三角形,由题意知:H(0,2),∴OH=2,∵A(﹣1,0),B(4,0),∴OA=1,OB=4,∴∵∠AOH=∠BOH,∴△AOH∽△BOH,∴∠AHO=∠HBO,∴∠AHO+∠BHO=∠HBO+∠BHO=90°,∴∠AHB=90°,设直线AH的解析式为:y=kx+b,把A(﹣1,0)和H(0,2)代入y=kx+b,∴,∴解得,∴直线AH的解析式为:y=2x+2,联立,解得:x=1或x=﹣8,当x=﹣1时,y=0,当x=8时,y=18∴P的坐标为(﹣1,0)或(8,18)(3)过点M作MF⊥x轴于点F,设点E的坐标为(n,0),M的坐标为(m,0),∵∠BME=∠BDC,∴∠EMC+∠BME=∠BDC+∠MBD,∴∠EMC=∠MBD,∵CD∥x轴,∴D的纵坐标为﹣2,令y=﹣2代入y=x2﹣x﹣2,∴x=0或x=3,∴D(3,﹣2),∵B(4,0),∴由勾股定理可求得:BD=,∵M(m,0),∴MD=3﹣m,CM=m(0≤m≤3)∴由抛物线的对称性可知:∠NCM=∠BDC,∴△NCM∽△MDB,∴,∴,∴CN==﹣(m﹣)2+,∴当m=时,CN可取得最大值,∴此时M的坐标为(,﹣2),∴MF=2,BF=,MD=∴由勾股定理可求得:MB=,∵E(n,0),∴EB=4﹣n,∵CD∥x轴,∴∠NMC=∠BEM,∠EBM=∠BMD,∴△EMB∽△BDM,∴,∴MB2=MD•EB,∴=×(4﹣n),∴n=﹣,∴E的坐标为(﹣,0).11、解:(1)由A(﹣1,0),对称轴为x=2,可得,解得,∴抛物线解析式为y=x2﹣4x﹣5;(2)由A点坐标为(﹣1,0),且对称轴方程为x=2,可知AB=6,∴OB=5,∴B点坐标为(5,0),∵y=x2﹣4x﹣5,∴C点坐标为(0,﹣5);(3)如图,连接BC,则△OBC是直角三角形,∴过O、B、C三点的圆的直径是线段BC的长度,在Rt△OBC中,OB=OC=5,∴BC=5,∴圆的半径为,∴圆的面积为π()2=π.12、解:(1)∵平行四边形ABOC绕点O顺时针旋转90°,得到平行四边形A′B′OC′,且点A的坐标是(0,4),∴点A′的坐标为:(4,0),∵点A、C的坐标分别是(0,4)、(﹣1,0),抛物线经过点C、A、A′,设抛物线的解析式为:y=ax2+bx+c,∴,解得:,∴此抛物线的解析式为:y=﹣x2+3x+4;(2)连接AA′,设直线AA′的解析式为:y=kx+b,∴,解得:,∴直线AA′的解析式为:y=﹣x+4,设点M的坐标为:(x,﹣x2+3x+4),则S△AMA′=×4×[﹣x2+3x+4﹣(﹣x+4)]=﹣2x2+8x=﹣2(x﹣2)2+8,∴当x=2时,△AMA′的面积最大,最大值S△AMA′=8,∴M的坐标为:(2,6);(3)设点P的坐标为(x,﹣x2+3x+4),当P,N,B,Q构成平行四边形时,∵平行四边形ABOC中,点A、C的坐标分别是(0,4)、(﹣1,0),∴点B的坐标为(1,4),∵点Q坐标为(1,0),P为抛物线上一动点,N为x轴上的一动点,①当BQ为边时,PN∥BQ,PN=BQ,∵BQ=4,∴﹣x2+3x+4=±4,当﹣x2+3x+4=4时,解得:x1=0,x2=3,∴P1(0,4),P2(3,4);当﹣x2+3x+4=﹣4时,解得:x3=,x2=,∴P3(,﹣4),P4(,﹣4);②当PQ为对角线时,BP∥QN,BP=QN,此时P与P1,P2重合;综上可得:点P的坐标为:P1(0,4),P2(3,4),P3(,﹣4),P4(,﹣4);如图2,当这个平行四边形为矩形时,点N的坐标为:(0,0)或(3,0).13、解:(1)由题意解得,∴抛物线解析式为y=x2﹣x+2.(2)∵y=x2﹣x+2=(x﹣1)2+.∴顶点坐标(1,),∵直线BC为y=﹣x+4,∴对称轴与BC的交点H(1,3),∴S△BDC=S△BDH+S△DHC=•3+•1=3.(3)由消去y得到x2﹣x+4﹣2b=0,当△=0时,直线与抛物线相切,1﹣4(4﹣2b)=0,∴b=,当直线y=﹣x+b经过点C时,b=3,当直线y=﹣x+b经过点B时,b=5,∵直线y=﹣x向上平移b个单位所得的直线与抛物线段BDC(包括端点B、C)部分有两个交点,∴<b≤3.[来源:学科网ZXXK]14、解:(1)∵二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A(3,0),B(﹣1,0),∴,解得:,∴y=x2﹣x﹣4;(2)过点D作DM⊥y轴于点M,∵y=x2﹣x﹣4=(x﹣1)2﹣,∴点D(1,﹣)、点C(0,﹣4),则S△ACD=S梯形AOMD﹣S△CDM﹣S△AOC=×(1+3)×﹣×(﹣4)×1﹣×3×4=4;(3)四边形APEQ为菱形,E点坐标为(﹣,﹣).理由如下如图2,E点关于PQ与A点对称,过点Q作,QF⊥AP于F,∵AP=AQ=t,AP=EP,AQ=EQ∴AP=AQ=QE=EP,∴四边形AQEP为菱形,∵FQ∥OC,∴==,∴==∴AF=t,FQ=t•∴Q(3﹣t,﹣t),∵EQ=AP=t,∴E(3﹣t﹣t,﹣t),∵E在二次函数y=x2﹣x﹣4上,∴﹣t=(3﹣t)2﹣(3﹣t)﹣4,∴t=,或t=0(与A重合,舍去),∴E(﹣,﹣).15、解:(1)∵四边形ABCD是矩形,B(10,8),∴A(10,0),又抛物线经过A、E、O三点,把点的坐标代入抛物线解析式可得,解得,∴抛物线的解析式为y=﹣x2+x;(2)由题意可知:AD=DE,BE=10﹣6=4,AB=8,设AD=x,则ED=x,BD=AB﹣AD=8﹣x,在Rt△BDE中,由勾股定理可知ED2=EB2+BD2,即x2=42+(8﹣x)2,解得x=5,∴AD=5;(3)∵y=﹣x2+x,∴其对称轴为x=5,∵A、O两点关于对称轴对称,∴PA=PO,当P、O、D三点在一条直线上时,PA+PD=PO+PD=OD,此时△PAD的周长最小,如图,连接OD交对称轴于点P,则该点即为满足条件的点P,由(2)可知D点的坐标为(10,5),设直线OD解析式为y=kx,把D点坐标代入可得5=10k,解得k=,∴直线OD解析式为y=x,令x=5,可得y=,∴P点坐标为(5,).16、解:(1)∵抛物线的对称轴x=1,B(3,0),∴A(﹣1,0)∵抛物线y=ax2+bx+c过点C(0,3)∴当x=0时,c=3.又∵抛物线y=ax2+bx+c过点A(﹣1,0),B(3,0)∴,∴∴抛物线的解析式为:y=﹣x2+2x+3;(2)∵C(0,3),B(3,0),∴直线BC解析式为y=﹣x+3,∵y=﹣x2+2x+3=﹣(x﹣1)2+4,∴顶点坐标为(1,4)∵对于直线BC:y=﹣x+1,当x=1时,y=2;将抛物线L向下平移h个单位长度,[来源:学*科*网]∴当h=2时,抛物线顶点落在BC上;当h=4时,抛物线顶点落在OB上,∴将抛物线L向下平移h个单位长度,使平移后所得抛物线的顶点落在△OBC内(包括△OBC 的边界),则2≤h≤4;(3)设P(m,﹣m2+2m+3),Q(﹣3,n),①当P点在x轴上方时,过P点作PM垂直于y轴,交y轴与M点,过B点作BN垂直于MP 的延长线于N点,如图所示:∵B(3,0),∵△PBQ是以点P为直角顶点的等腰直角三角形,∴∠BPQ=90°,BP=PQ,则∠PMQ=∠BNP=90°,∠MPQ=∠NBP,在△PQM和△BPN中,,∴△PQM≌△BPN(AAS),∴PM=BN,∵PM=BN=﹣m2+2m+3,根据B点坐标可得PN=3﹣m,且PM+PN=6,∴﹣m2+2m+3+3﹣m=6,解得:m=1或m=0,∴P(1,4)或P(0,3).②当P点在x轴下方时,过P点作PM垂直于l于M点,过B点作BN垂直于MP的延长线与N点,同理可得△PQM≌△BPN,∴PM=BN,∴PM=6﹣(3﹣m)=3+m,BN=m2﹣2m﹣3,则3+m=m2﹣2m﹣3,解得m=或.∴P(,)或(,).综上可得,符合条件的点P的坐标是(1,4),(0,3),(,)和(,).。

与二次函数有关的含有绝对值不等式的证明问题

与二次函数有关的含有绝对值不等式的证明问题

与二次函数有关的含有绝对值不等式的证明问题二次函数是最简单的非线性函数之一,而且有着丰富的内容,它对近代数仍至现代数学影响深远,这部分内容为历年来高考数学考试的一项重点考查内容,经久不衰,以它为核心内容的高考试题,形式上也年年有变化,此类试题常常有绝对值,充分运用绝对值不等式及二次函数、二次方程、二次不等式的联系,往往采用直接法,利用绝对值不等式的性质进行适当放缩,常用数形结合,分类讨论等数学思想,以下举例说明。

1.设()c bx ax x f ++=2,当1≤x 时,总有()1≤x f ,求证当2≤x 时,()7≤x f . 证明:由于()x f 是二次函数,()x f 在[]2,2-上最大值只能是()()2,2-f f ,或⎪⎭⎫ ⎝⎛-a b f 2,故只要证明()()72;72≤-≤f f ;当22≤-a b 时,有72≤⎪⎭⎫ ⎝⎛-a b f ,由题意有()()()11,11,10≤≤-≤f f f .由()()()⎪⎩⎪⎨⎧+-=-++==c b a f c b a f c f 110 得()()()[]()()[]()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=--=--+=01121021121f c f f b f f f a()()()()()()()0311303113242f f f f f f c b a f +-+≤--+=++=∴7313=++≤.()()()()()()()0313103131242f f f f f f c b a f +-+≤--+=+-=-7331=++≤.()()()()()()1112111211121=+≤-+≤--=f f f f b . ∴ 当22≤-a b 时,22444222b a b c a b c a b ac a b f ⋅-=-=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛- 72212122<=⨯+≤⋅+≤b a b c . 因此当2≤x 时,()7≤x f . 点评:从函数性质的角度分析,要证2≤x 时,()7≤x f ,只要证当2≤x 时,()x f 的最大值M 满足7≤M . 而()x f 又是二次函数,不论a 、b 、c 怎么取值()x f 在[]2,2-上的最大值只能是()()2,2f f -,或⎪⎭⎫ ⎝⎛-a b f 2,因而只要证明()()72,72≤-≤f f ,72≤⎪⎭⎫ ⎝⎛-a b f ,这里需要特别指出的是要将()()2,2-f f 与()()()1,1,0-f f f 建立联系,将二次函数中的系数b a ,c ,用()1f 、()1-f 、()0f 表示:()()(),20211f f f a --+=()()()0,211f c f f b =--=,然后用含有绝对值不等式的性质,进行适当放缩。

人教版初中数学九年级二次函数(经典例题含答案)

人教版初中数学九年级二次函数(经典例题含答案)

二次函数经典例题答案班级小组姓名成绩(满分120)一、二次函数(一)二次函数的定义(共4小题,每题3分,共计12分)例 1.下列函数:①225y xz =++;②258y x x =-+-;③2y ax bx c =++;④()()2324312y x x x =+--;⑤2y mx x =+;⑥21y bx =+(b 为常数,0b ≠);⑦220y x kx =++,其中y 是x 的二次函数的有②⑥.例1.变式1.函数24233y x x =--中,a =3-,b =34,c =2-.例1.变式2.若()232my m x -=-是二次函数,且2m >,则m 等于(B)A.C. D.5例1.变式3.已知函数()22346mm y m m x -+=+-是二次函数,求m 的值.2122342:1,2602,31m m m m m m m m m -+===+-≠∴≠≠-∴ 解:由题意得:解得的值为(二)列二次函数的表达式(共4小题,每题3分,共计12分)例2.一台机器原价60万元,每次降价的百分率均为x ,那么连续两次降价后的价格y (万元)为(C )A.()601y x =-B.()601y x =+ C.()2601y x =- D.()2601y x =+例2.变式1.一个小球由静止开始在一个斜坡上向下滚动,通过仪器观察得到小球滚动的距离s (米)与时间t (秒)的数据如下表:写出用t 表示s 的函数关系式:22t s =.例2.变式2.矩形的长为x cm,宽比长少2cm,请你写出矩形的面积y (2cm )与x (cm)之间的关系式xx y 22-=.时间t (秒)1234…距离s (米)281832…例2.变式3.某商场将进价为每套40元的某种服装按每套50元出售时,每天可以售出300套.据市场调查发现,这种服装销售单价每提高1元,销量就减少5套.如果商场将销售单价定为x 元,请你写出每天销售利润y (元)与销售单价x (元)之间的函数表达式.[]2200075055)50(300)40(2-+-=⨯---=x x y x x y 即解:由题意得:二、二次函数的图象和性质(一)形如2y ax =和2y ax c =+的二次函数的图象和性质(共4小题,每题3分,共计12分)例3.对于二次函数2y x =-的图象,在y 轴的右边,y 随x 的增大而减小.例3.变式1.二次函数2y ax =的图象大致如下,请将图中抛物线字母的序号填入括号内.(1)22y x =如图(D );(2)212y x =如图(C );(3)2y x =-如图(A);(4)213y x =-如图(B);(5)219y x =如图(F);(6)219y x =-如图(E).例3.变式2.与抛物线222y x =-+开口方向相同,只是位置不同的是(D)A.22y x =B.2211y x =- C.221y x =+ D.221y x =--例3.变式3.坐标平面上有一函数22448y x =-的图象,其顶点坐标为(C )A.()0,2- B.()1,24- C.()0,48- D.()2,48(二)二次函数()2y a x h =-与()2y a x h k =-+的图像和性质(共4小题,每题3分,共计12分)例4.将抛物线2y x =-向左平移2个单位长度后,得到的抛物线的表达式是(A )A.()22y x =-+ B.22y x =-+ C.()22y x =-- D.22y x =--例4.变式1.二次函数()221y x =-,当x 1<时,y 随着x 的增大而减小,当x 1>时,y 随着x 的增大而增大.例4.变式2.已知二次函数()2231y x =-+.有下列说法:①其图象的开口向下;②其图象的对称轴为直线3x =-;③其图象顶点坐标为(3,-1);④当3x <时,y 随着x 的增大而减小.则其中说法正确的有(A )A.1个B.2个C.3个D.4个例4.变式3.将抛物线21y x =+先向左平移2个单位长度,再向下平移3个单位长度,那么所得抛物线的表达式是(B )A.()222y x =++ B.()222y x =+- C.()222y x =-+ D.()222y x =--(三)二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象和性质(共4小题,每题3分,共计12分)例5.二次函数225y x x =+-有(D)A.最大值为-5B.最小值-5C.最大值-6D.最小值-6例5.变式1.如图是二次函数224y x x =-++的图象,使1y ≤成立的x 的取值范围是(D )A.13x -≤≤B.1x ≤-C.1x ≥ D.13x x ≤-≥或例5.变式2.抛物线2y x bx c =++向右平移2个单位长度再向下平移3个单位长度,所得图象的表达式为223y x x =--,求b ,c 的值.,2234)21(:32324)1(3222222==∴+=+-+-=--=--=--=c b x x x y x x y x x x y 得个单位个单位,再向上平移向左平移将抛物线解:例5.变式3.如图,已知二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象如图所示,下列4个结论:①0abc <;②b a c <+;③420a b c ++>;④240b ac ->,其中正确结论的有(B)A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④三、确定二次函数的表达式(共4小题,每题3分,共计12分)例6.已知二次函数的图象的顶点坐标是(-2,-3),且经过点(0,5),求这个函数表达式.5823)2(22:53)20()5,0(3)2()3,2(),0()(22222++=-+=∴==-+∴-+=∴--≠++=x x x y a a x a y a k h x a y 解得此二次函数图象经过点又坐标为此二次函数图象的顶点达式为解:设此二次函数的表 例6.变式1.已知抛物线与y 轴交点的纵坐标为52-,且还经过(1,-6)和(-1,0)两点,求抛物线的表达式.22(0)5(0,),(1,6),(1,0)251226305215322y ax bx c a c a a b c b a b c c y x x =++≠---⎧⎧=-=-⎪⎪⎪⎪++=-=-⎨⎨⎪⎪-+=⎪⎪=-⎩⎩∴=---解:设抛物线表达式为将代入得:解得:抛物线表达式为:例6.变式2.已知,一抛物线与x 轴的交点是A(-2,0),B(1,0),且经过点C(2,8).(1)求该抛物线的函数表达式;4224228240024)8,2(),0,1(),0,2()0(22-+=∴⎪⎩⎪⎨⎧-===⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=+--≠++=x x y c b a c b a c b a c b a C a c bx ax y 抛物线表达式为:解得:代入得:将解:设抛物线表达式为(2)求该抛物线的顶点坐标.)29,21(2921(242222---+=-+=顶点坐标为:x x x y 例6.变式3.已知抛物线()20y ax bx c a =++≠经过A(-1,0),B(3,0),C (0,3)三点,直线l 是抛物线的对称轴.(1)求抛物线的函数表达式;321)3,0()1)(3(2++-=∴-=+-=x x y a C x x a y 抛物线表达式为:代入,解得:将点线表达式为:解:由题意得:设抛物(2)设点P 是直线l 上的一个动点,当△PAC 的周长最小时,求点P 的坐标.:,(2,3,,(1,0),(2,30123111,2(1,2)l C C C AC l P PAC AC y kx m A C k m k k m m AC y x x y P ''∴'∆''=+--+==⎧⎧⎨⎨+==⎩⎩'∴=+==解过直线作点的对称点)连接交直线于点此时的周长最小设直线表达式为将)代入得:解得:直线表达式为:令则点的坐标为:四、二次函数的应用(一)利用二次函数解决“面积最大问题”(共4小题,每题3分,共计12分)例7.小敏用一根长为8cm 的细铁丝围成一个矩形,则矩形的最大面积是(A)A.24cm B.28cm C.216cm D.232cm 例7.变式1.在Rt ABC ∆中,∠A=90°,AB=4,AC=3,D 在BC 上运动(不与B,C 重合),过点D 分别向AB,AC 作垂线,垂足分别为E,F,则矩形AEDF 的面积最大值为3.例7.变式2.如图,正方形ABCD 的边长为2cm,E,F,G,H 分别从A,B,C,D 向B,C,D,A 同时以0.5cm/s的速度移动,设运动时间为t(s).(1)求证:△HAE≌△EBF;)90,,:SAS EBF HAE B A EB HA BF AE (由题意得:解∆≅∆∴=∠=∠==(2)设四边形EFGH 的面积为S(2cm ),求S 与t 的函数关系式,并写出自变量t 的取值范围;)40(4221)5.02()5.0(901,5.02,5.0222222222≤≤+-=-+=+==∴∴=∠+∠∆≅∆+=∆-===t t t t t AE AH HE S HEFG AHE DHG EBF HAE AE AH HE AEH Rt t AH t AE DH 是正方形四边形可得)又由(中则解:由题意得 (3)t 为何值时,S 最小?最小是多少?222)2(21422122最小,最小为时,当S t t t t S =∴+-=+-=例7.变式3.在青岛市开展的创建活动中,某小区要在一块一边靠墙(墙长15m)的空地上修建一个矩形花园ABCD,花园的一边靠墙,另三边用总长度为40m 的栅栏围成(如图所示).若设花园BC 边的长为x m ,花园的面积为y 2m .(1)求y 与x 之间的函数关系式,并写出自变量x 的取值范围;)(解:由题意得:15020212402≤<+-=-⋅=x x x x x y (2)满足条件的花园面积能达到2002m 吗?若能,求出此时的x 的值;若不能,请说明理由;.20015020,2002m x x x y 到此时花园的面积不能达的取值范围是而,时当∴≤<==(3)根据(1)中求得的函数关系式,描述其图象的变化趋势;并结合题意判断当x 取何值时,花园的面积最大?最大面积为多少?.5.18715150,20202122m y x x y x x x x y 有最大值,最大值为时,当的增大而增大随范围内,在对称轴为直线线图象是开口向下的抛物=∴≤<=+-=(二)二次函数的综合运用(共4小题,每题3分,共计12分)例8.一件工艺品进价为100元,标价135元出售,每天可售出100件.根据销售统计,一件工艺品每降价1元出售,则每天可多售出4件,要使每天获得的利润最大,每件需降价的钱数为(A)A.5元B.10元C.0元D.3600元例8.变式1.小明在某次投篮中,球的运动路线是抛物线213.55y x =-+的一部分(如图),若命中篮圈中心,则他与篮底的距离l 是(B )A.3.5mB.4mC.4.5mD.4.6m例8.变式2.某民俗旅游村为接待游客住宿需要,开设了有100张床位的旅馆,当每张床位每天收费100元时,床位可全部租出.若每张床位每天收费提高20元,则相应地减少了10张床位租出.如果每张床位每天以20元为单位提高收费,为使租出的床位少且租金高,那么每张床位每天最合适的收费是多少元?元租金高,每张床收费则为使租出的床位少且时,时,为整数,则又因为有最大值时,当则有元元,每天收入为个解:设每张床位提高1602031001120031120025.22100001000200)10100)(20100(202=⨯+======-=++-=-+=y x y x x y abx x x x x y y x 例8.变式3.某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出,平均每天能售出8台,为了配合国家“家电下乡”政策的实施,商场决定采取适当的降价措施.调查表明:这种冰箱的售价每降低50元,平均每天就能多售出4台.(1)假设每台冰箱降价x 元,商场每天销售这种冰箱的利润是y 元,请写出y 与x 之间的函数表达式;(不要求写自变量的取值范围)3200242525048)(20002400(2++-=+--=x x x x y 由题意得:(2)商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元,同时又要使百姓得到实惠,每台冰箱应降价多少元?元即每台冰箱应降价降价越多越好要使百姓得到实惠,则解得:得:代入将200200200,1004800320024252,30002425248002122=∴===++-++-==x x x x x x x y y (3)每台冰箱降价多少元时,商场每天销售这种冰箱的利润最高?最高利润是多少?元。

2023年中考数学总复习专题23二次函数推理计算与证明综合问题 (学生版)

2023年中考数学总复习专题23二次函数推理计算与证明综合问题  (学生版)

专题23二次函数推理计算与证明综合问题【例1】(2022•北京)在平面直角坐标系xOy中,点(1,m),(3,n)在抛物线y=ax2+bx+c (a>0)上,设抛物线的对称轴为直线x=t.(1)当c=2,m=n时,求抛物线与y轴交点的坐标及t的值;(2)点(x0,m)(x0≠1)在抛物线上.若m<n<c,求t的取值范围及x0的取值范围.【例2】(2022•绍兴)已知函数y=﹣x2+bx+c(b,c为常数)的图象经过点(0,﹣3),(﹣6,﹣3).(1)求b,c的值.(2)当﹣4≤x≤0时,求y的最大值.(3)当m≤x≤0时,若y的最大值与最小值之和为2,求m的值.【例3】(2022•青岛)已知二次函数y=x2+mx+m2﹣3(m为常数,m>0)的图象经过点P (2,4).(1)求m的值;(2)判断二次函数y=x2+mx+m2﹣3的图象与x轴交点的个数,并说明理由.【例4】(2022•杭州)设二次函数y1=2x2+bx+c(b,c是常数)的图象与x轴交于A,B两点.(1)若A,B两点的坐标分别为(1,0),(2,0),求函数y1的表达式及其图象的对称轴.(2)若函数y1的表达式可以写成y1=2(x﹣h)2﹣2(h是常数)的形式,求b+c的最小值.(3)设一次函数y2=x﹣m(m是常数),若函数y1的表达式还可以写成y1=2(x﹣m)(x﹣m﹣2)的形式,当函数y=y1﹣y2的图象经过点(x0,0)时,求x0﹣m的值.【例5】(2022•安顺)在平面直角坐标系中,如果点P的横坐标和纵坐标相等,则称点P为和谐点.例如:点(1,1),(,),(﹣,﹣),……都是和谐点.(1)判断函数y=2x+1的图象上是否存在和谐点,若存在,求出其和谐点的坐标;(2)若二次函数y=ax2+6x+c(a≠0)的图象上有且只有一个和谐点(,).①求a,c的值;②若1≤x≤m时,函数y=ax2+6x+c+(a≠0)的最小值为﹣1,最大值为3,求实数m的取值范围.一.解答题(共20题)1.(2022•瑞安市校级三模)已知抛物线y=ax2﹣2ax﹣2+a2(a≠0).(1)求这条抛物线的对称轴;若该抛物线的顶点在x轴上,求a的值;(2)设点P(m,y1),Q(4,y2)在抛物线上,若y1<y2,求m的取值范围.2.(2022•西城区校级模拟)在平面直角坐标系xOy中,点A(x1,y1)、点B(x2,y2)为抛物线y=ax2﹣2ax+a(a≠0)上的两点.(1)求抛物线的对称轴;(2)当﹣2<x1<﹣1且1<x2<2时,试判断y1与y2的大小关系并说明理由;(3)若当t<x1<t+1且t+2<x2<t+3时,存在y1=y2,求t的取值范围.3.(2022•新野县三模)在平面直角坐标系中,已知抛物线y=ax2﹣4ax+2.(1)抛物线的对称轴为直线,抛物线与y轴的交点坐标为;(2)若当x满足1≤x≤5时,y的最小值为﹣6,求此时y的最大值.4.(2022•萧山区二模)在平面直角坐标系中,已知二次函数y=ax2+(a﹣1)x﹣1.(1)若该函数的图象经过点(1,2),求该二次函数图象的顶点坐标.(2)若(x1,y1),(x1,y2)为此函数图象上两个不同点,当x1+x2=﹣2时,恒有y1=y2,试求此函数的最值.(3)当a<0且a≠﹣1时,判断该二次函数图象的顶点所在象限,并说明理由.5.(2022•盈江县模拟)抛物线C1:y=x2+bx+c的对称轴为x=1,且与y轴交点的纵坐标为﹣3.(1)求b,c的值;(2)抛物线C2:y=﹣x2+mx+n经过抛物线C1的顶点P.①求证:抛物线C2的顶点Q也在抛物线C1上;②若m=8,点E是在点P和点Q之间抛物线C1上的一点,过点E作x轴的垂线交抛物线C2于点F,求EF长度的最大值.6.(2022•沂水县二模)抛物线y=ax2+bx经过点A(﹣4,0),B(1,5);点P(2,c),Q (x0,y0)是抛物线上的点.(1)求抛物线的顶点坐标;(2)若x0>﹣6,比较c、y0的大小;(3)若直线y=m与抛物线交于M、N两点,(M、N两点不重合),当MN≤5时,求m 的取值范围.7.(2022•姜堰区二模)设一次函数y1=2x+m+n和二次函数y2=x(2x+m)+n.(1)求证:y1,y2的图象必有交点;(2)若m>0,y1,y2的图象交于点A(x1,a)、B(x2,b),其中x1<x2,设C(x3,b)为y2图象上一点,且x3≠x2,求x3﹣x1的值;(3)在(2)的条件下,如果存在点D(x1+2,c)在y2的图象上,且a>c,求m的取值范围.8.(2022•西城区校级模拟)已知抛物线y=x2﹣4mx+4m2﹣1.(1)求此抛物线的顶点的坐标;(2)若直线y=n与该抛物线交于点A、B,且AB=4,求n的值;(3)若这条抛物线经过点P(2m+1,y1),Q(2m﹣t,y2),且y1<y2,求t的取值范围.9.(2022•黄岩区一模)在平面直角坐标系中,已知抛物线y1=ax2+bx+3与直线y2=x+1.(1)当抛物线y1=ax2+bx+3与直线y2=x+1两个交点的横坐标分别为﹣1和2时.①求抛物线解析式;②直接写出当y1>y2,时x的取值范围;(2)设y=y1﹣y2,当x=m时y=M,x=n时y=N,当m+n=1(m≠n)时,M=N.求证:a+b=1.10.(2022•路桥区一模)在平面直角坐标系中,已知二次函数y=x2﹣(m+2)x+m(m是常数).(1)求证:不论m取何值,该二次函数的图象与x轴总有两个交点;(2)若点A(2m+1,7)在该二次函数的图象上,求该二次函数的解析式;(3)在(2)的条件下,若抛物线y=x2﹣(m+2)x+m与直线y=x+t(t是常数)在第四象限内有两个交点,请直接写出t的取值范围.11.(2022•安徽模拟)已知:抛物线y=x2﹣2mx+m2﹣2与直线x=﹣2交于点P.(1)若抛物线经过(﹣1,﹣2)时,求抛物线解析式;(2)设P点的纵坐标为y p,当y p取最小值时,抛物线上有两点(x1,y1),(x2,y2),且x1<x2≤﹣2,比较y1与y2的大小;(3)若线段AB两端点坐标分别是A(0,2),B(2,2),当抛物线与线段AB有公共点时,直接写出m的取值范围.12.(2022•富阳区一模)已知抛物线y=a(x﹣1)(x﹣).(1)若抛物线过点(2,1),求抛物线的解析式;(2)若该抛物线上任意不同两点M(x1,y1)、N(x2,y2)都满足:当x1<x2<0时,(x1﹣x2)(y1﹣y2)>0;当0<x1<x2时,(x1﹣x2)(y1﹣y2)<0,试判断点(2,﹣9)在不在此抛物线上;(3)抛物线上有两点E(0,n)、F(b,m),当b≤﹣2时,m≤n恒成立,试求a的取值范围.13.(2022•河东区二模)已知抛物线y=a(x+3)(x﹣4)与y轴交于点A(0,﹣2).(Ⅰ)求抛物线y=a(x+3)(x﹣4)的解析式及顶点坐标;(Ⅱ)设抛物线与x轴的正半轴的交点为点B,点P为x轴上一动点,点D满足∠DP A =90°,PD=P A.(i)若点D在抛物线上,求点D的坐标;(ii)点E(2,﹣)在抛物线上,连接PE,当PE平分∠APD时,求出点P的坐标.14.(2022•长春模拟)在平面直角坐标系中,已知抛物线y=x2+bx+c(b、c是常数)经过点(0,﹣1)和(2,7),点A在这个抛物线上,设点A的横坐标为m.(1)求此抛物线对应的函数表达式并写出顶点C的坐标.(2)点B在这个抛物线上(点B在点A的左侧),点B的横坐标为﹣1﹣2m.①当△ABC是以AB为底的等腰三角形时,求OABC的面积.②将此抛物线A、B两点之间的部分(包括A、B两点)记为图象G,当顶点C在图象G上,记图象G最高点的纵坐标与最低点的纵坐标的差为h,求h与m之间的函数关系式.(3)设点D的坐标为(m,2﹣m),点E的坐标为(1﹣m,2﹣m),点F在坐标平面内,以A、D、E、F为顶点构造矩形,当此抛物线与矩形有3个交点时,直接写出m的取值范围.15.(2022•长春二模)在平面直角坐标系中,抛物线y=x2﹣2mx+m2与y轴的交点为A,过点A作直线l垂直于y轴.(1)求抛物线的对称轴(用含m的式子表示);(2)将抛物线在y轴右侧的部分沿直线l翻折,其余部分保持不变,组成图形G,点M (x1,y1),N(x2,y2)为图形G上任意两点.①当m=0时,若x1<x2,判断y1与y2的大小关系,并说明理由;②若对于x1=m﹣1,x2=m+1,都有y1>y2,求m的取值范围;(3)当图象G与直线y=m+2恰好有3个公共点时,直接写出m的取值范围.16.(2022•开福区校级一模)已知:抛物线C1:y=ax2+bx+c(a>0).(1)若顶点坐标为(1,1),求b和c的值(用含a的代数式表示);(2)当c<0时,求函数y=﹣2022|ax2+bx+c|﹣1的最大值;(3)若不论m为任何实数,直线与抛物线C1有且只有一个公共点,求a,b,c的值;此时,若k≤x≤k+1时,抛物线的最小值为k,求k的值.17.(2022•安徽模拟)已知二次函数y=ax2﹣x+c的图象经过点A(﹣2,2),该图象与直线x=2相交于点B.(1)求点B的坐标;(2)当c>0时,求该函数的图象顶点纵坐标的最小值;(3)点M(m,0)、N(n,0)是该函数图象与x轴的两个交点.当m>﹣2,n<3时,结合函数图象分析a的取值范围.18.(2022•江都区一模)对某一个函数给出如下定义:如果存在实数M,对于任意的函数值y,都满足y≤M,那么称这个函数是有上界函数.在所有满足条件的M中,其最小值称为这个函数的上确界.例如,函数y=﹣(x﹣3)2+2是有上界函数,其上确界是2.(1)函数①y=x2+2x+1和②y=2x﹣3(x≤5)中是有上界函数的为(只填序号即可),其上确界为;(2)若反比例函数y=(a≤x≤b,a>0)的上确界是b+1,且该函数的最小值为2,求a、b的值;(3)如果函数y=﹣x2+2ax+2(﹣1≤x≤3)是以6为上确界的有上界函数,求实数a的值.19.(2022•亭湖区校级一模)已知抛物线y=ax2﹣(3a﹣1)x﹣2(a为常数且a≠0)与y 轴交于点A.(1)点A的坐标为;对称轴为(用含a的代数式表示);(2)无论a取何值,抛物线都过定点B(与点A不重合),则点B的坐标为;(3)若a<0,且自变量x满足﹣1≤x≤3时,图象最高点的纵坐标为2,求抛物线的表达式;(4)将点A与点B之间的函数图象记作图象M(包含点A、B),若将M在直线y=﹣2下方的部分保持不变,上方的部分沿直线y=﹣2进行翻折,可以得到新的函数图象M1,若图象M1上仅存在两个点到直线y=﹣6的距离为2,求a的值.20.(2022•义安区模拟)已知抛物线的图象经过坐标原点O.(1)求抛物线解析式.(2)若B,C是抛物线上两动点,直线BC:y=kx+b恒过点(0,1),设直线OB为y =k1x,直线OC为y=k2x.①若B、C两点关于y轴对称,求k1k2的值.②求证:无论k为何值,k1k2为定值.。

常考二次函数证明题

常考二次函数证明题

二次函数题库及答案二次函数证明题(难度一般)1.如图,已知抛物线y=﹣x 2+bx+c 与x 轴交于点A (﹣1,0)和点B(3,0),与y 轴交于点C ,连接BC 交抛物线的对称轴于点E ,D 是抛物线的顶点.(1)求此抛物线的解析式;(2)直接写出点C 和点D 的坐标;(3)若点P 在第一象限内的抛物线上,且S △ABP =4S △COE ,求P 点坐标.2.甲、乙两人进行羽毛球比赛,羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分,如图,甲在O 点正上方1m 的P 处发出一球,羽毛球飞行的高度y (m )与水平距离x (m )之间满足函数表达式y=a (x﹣4)2+h ,已知点O 与球网的水平距离为5m ,球网的高度为1.55m .(1)当a=﹣124时,①求h 的值;②通过计算判断此球能否过网. (2)若甲发球过网后,羽毛球飞行到与点O 的水平距离为7m ,离地面的高度为125m 的Q 处时,乙扣球成功,求a 的值.3.如图,在平面直角坐标系中,二次函数的图象与x 轴交于A 、B 两点, A 点在原点的左侧,B 点的坐标为(3,0),与y 轴交于C (0,-3)点.(1)求这个二次函数以及直线BC 的解析式;(2)直接写出点A 的坐标;(3)当x 为何值时,一次函数的值大于二次函数的值.4.如图,在平面直角坐标系xOy 中,已知抛物线2y x bx c =++的对称轴是直线3x =,且抛物线与直线AB 交于A 、B 两点,其中A(1,3),B (6,n ). (1)求抛物线的表达式和点B 的坐标;(2)设抛物线与y 轴交于点C ,在抛物线上是否存在一点M ,满足2BCM AC S S ∆∆=, 若存在,请求出点M 的坐标;若不存在,请说明理由.5.如图,已知二次函数y1=-x2+bx+c的图象过A(2,0),B(0,-6)两点.(1)求这个二次函数的解析式;(2)设该二次函数的对称轴与x轴交于点C,连结BA,BC,求△ABC的面积;(3)求点B和点C所在直线的解析式y2,并根据图像求出当x为何值时,y1≥y2.6.(本题满分10分)如图,抛物线与x轴相交于A、B 两点,与y轴相交于点C,点D是直线BC下方抛物线上一点,过点D作y轴的平行线,与直线BC相交于点E.(1)求直线BC的解析式;(2)当线段DE的长度最大时,求点D的坐标.7.如图,已知二次函数的图象与x轴交于点 A、点B,交 y 轴于点 C.(1)求直线 BC的函数表达式;(2)如图,P为线段BC上一点,过点P作y轴平行线,交抛物线于点D,当△BDC的面积最大时,求点P的坐标;(3)在(2)的条件下,在轴上是否存在一点M使△CPM的周长最小,若存直接写出周长的最小值;若不存在,请说明理由.8.抛物线y=x2+bx+c经过点A、B,已知A(-1,0),B(3,0).(1)求抛物线的解析式;(2)若抛物线的顶点为C,直线AC交y轴于点D,求ΔBCD的面积。

二次函数经典例题及解答

二次函数经典例题及解答

⎧⎪⎨⎪⎩二次函数一、中考导航图1.二次函数的意义;2.二次函数的图象;3.二次函数的性质⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩顶点对称轴开口方向增减性顶点式:y=a(x-h)2+k(a ≠0)4.二次函数 待定系数法确定函数解析式一般式:y=ax 2+bx+c(a ≠0) 两根式:y=a(x-x 1)(x-x 2)(a ≠0)5.二次函数与一元二次方程的关系。

6.抛物线y=ax 2+bx+c 的图象与a 、b 、c 之间的关系。

三、中考知识梳理 1.二次函数的图象在画二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)的图象时通常先通过配方配成y=a(x+b 2a)2+ 4a 24ac-b 的形式,先确定顶点(-b 2a,4a 24ac-b ),然后对称找点列表并画图,或直接代用顶点公式来求得顶点坐标. 2.理解二次函数的性质抛物线的开口方向由a 的符号来确定,当a>0时,在对称轴左侧y 随x 的增大而减小;在对称轴的右侧,y 随x 的增大而增大;简记左减右增,这时当x=-b 2a 时,y 最小值=4a24ac-b ;反之当a<•0时,简记左增右减,当x=-b2a时y 最大值=4a 24ac-b .3.待定系数法是确定二次函数解析式的常用方法一般地,在所给的三个条件是任意三点(或任意三对x,y•的值)•可设解析式为y=ax 2+bx+c,然后组成三元一次方程组来求解;在所给条件中已知顶点坐标或对称轴或最大值时,可设解析式为y=a(x-h)2+k;在所给条件中已知抛物线与x•轴两交点坐标或已知抛物线与x 轴一交点坐标和对称轴,则可设解析式为y=a(x-x 1)(x-x 2)来求解. 4.二次函数与一元二次方程的关系抛物线y=ax 2+bx+c 当y=0时抛物线便转化为一元二次方程ax 2+bx+c=0,即抛物线与x 轴有两个交点时,方程ax 2+bx+c=0有两个不相等实根;当抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴有一个交点,方程ax 2+bx+c=0有两个相等实根;当抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴无交点,•方程ax 2+bx+c=0无实根.5.抛物线y=ax 2+bx+c 中a 、b 、c 符号的确定a 的符号由抛物线开口方向决定,当a>0时,抛物线开口向上;当a<0时,•抛物线开口向下;c 的符号由抛物线与y 轴交点的纵坐标决定.当c>0时,抛物线交y 轴于正半轴;当c<0时,抛物线交y 轴于负半轴;b 的符号由对称轴来决定.当对称轴在y•轴左侧时,b 的符号与a 的符号相同;当对称轴在y 轴右侧时,b 的符号与a 的符号相反;•简记左同右异. 6.会构建二次函数模型解决一类与函数有关的应用性问题,•应用数形结合思想来解决有关的综合性问题. 四、中考题型例析 1. 二次函数解析式的确定例1 求满足下列条件的二次函数的解析式 (1)图象经过A(-1,3)、B(1,3)、C(2,6); (2)图象经过A(-1,0)、B(3,0),函数有最小值-8; (3)图象顶点坐标是(-1,9),与x 轴两交点间的距离是6.分析:此题主要考查用待定系数法来确定二次函数解析式.可根据已知条件中的不同条件分别设出函数解析式,列出方程或方程组来求解.(1)解:设解析式为y=ax 2+bx+c,把A(-1,3)、B(1,3)、C(2,6)各点代入上式得3,3,642.a b c a b c a b c =-+⎧⎪=++⎨⎪=++⎩ 解得1,0,2.a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴解析式为y=x 2+2.(2)解法1:由A(-1,0)、B(3,0)得抛物线对称轴为x=1,所以顶点为(1,-8).• 设解析式为y=a(x-h)2+k,即y=a(x-1)2-8. 把x=-1,y=0代入上式得0=a(-2)2-8,∴a=2. 即解析式为y=2(x-1)2-8,即y=2x 2-4x-6.解法2:设解析式为y=a(x+1)(x-3),确定顶点为(1,-8)同上, 把x=1,y=-8•代入上式得-8=a(1+1)(1-3).解得a=2, ∴解析式为y=2x 2-4x-6.解法3:∵图象过A(-1,0),B(3,0)两点,可设解析式为:y=a(x+1)(x-3)=ax 2-2ax-3a. ∵函数有最小值-8.∴24(3)(2)4a a a a---=-8.又∵a ≠0,∴a=2.∴解析式为y=2(x+1)(x-3)=2x 2-4x-6.(3)解:由顶点坐标(-1,9)可知抛物线对称轴方程是x=-1,xyO又∵图象与x 轴两交点的距离为6,即AB=6.由抛物线的对称性可得A 、B 两点坐标分别为A(-4,0),B(2,0), 设出两根式y=a(x-x 1)·(x-x 2),将A(-4,0),B(2,0)代入上式求得函数解析式为y=-x 2-2x+8.点评:一般地,已知三个条件是抛物线上任意三点(或任意3对x,y 的值)可设表达式为y=ax 2+bx+c,组成三元一次方程组来求解;•如果三个已知条件中有顶点坐标或对称轴或最值,可选用y=a(x-h)2+k 来求解;若三个条件中已知抛物线与x 轴两交点坐标,则一般设解析式为y=a(x-x 1)(x-x 2). 2. 二次函数的图象例2 (2003·孝感)y=ax 2+bx+c(a ≠0)的图象如图所示,则点M(a,bc)在( • ). A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 分析:由图可知: 抛物线开口向上⇒a>0.002y c bx y b a ⇒<=-⇒<⎫⎪⎬⎪⎭抛物线与轴负半轴相交对称轴在轴右侧⇒bc>0.∴点M(a,bc)在第一象限. 答案:A.点评:本题主要考查由抛物线图象会确定a 、b 、c 的符号.例3 (2003·岳阳)已知一次函数y=ax+c 二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0),它们在同一坐标系中的大致图象是( ).分析:一次函数y=ax+c,当a>0时,图象过一、三象限;当a<0时,图象过二、•四象限;c>0时,直线交y 轴于正半轴;当c<0时,直线交y 轴于负半轴;•对于二次函数y=•ax 2+bx+c(a ≠0)来讲:⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩开口上下决定a的正负左同右异(即对称轴在y轴左侧,b的符号与a的符号相同;)来判别b的符号抛物线与y轴的正半轴或负半轴相交确定c 的正负解:可用排除法,设当a>0时,二次函数y=ax 2+bx+c 的开口向上,而一次函数y=•ax+c 应过一、三象限,故排除C;当a<0时,用同样方法可排除A;c 决定直线与y 轴交点;也在抛物线中决定抛物线与y 轴交点,本题中c 相同则两函数图象在y 轴上有相同的交点,故排除B.答案:D.3. 二次函数的性质例4 (2002·杭州)对于反比例函数y=-2x与二次函数y=-x 2+3,•请说出他们的两个相同点:①_________,•②_________;•再说出它们的两个不同点:••①________,••②_________.分析:本小题是个开放性题目,可以从以下几点性质来考虑①增减性②图象的形状③最值④自变量取值范围⑤交点等.解:相同点:①图象都是曲线,②都经过(-1,2)或都经过(2,-1);不同点:①图象形状不同,②自变量取值范围不同,③一个有最大值,一个没有最大值. 点评:本题主要考查二次函数和反比例函数的性质,有关函数开放性题目是近几年命题的热点.4. 二次函数的应用例5 (2003·厦门)已知抛物线y=x 2+(2k+1)x-k 2+k, (1)求证:此抛物线与x 轴总有两个不同的交点.(2)设x 1、x 2是此抛物线与x 轴两个交点的横坐标,且满足x 12+x 22=-2k 2+2k+1. ①求抛物线的解析式.②设点P (m 1,n 1)、Q(m 2,n 2)是抛物线上两个不同的点,•且关于此抛物线的对称轴对称. 求m+m 的值.分析:(1)欲证抛物线与x 轴有两个不同交点,可将问题转化为证一元二次方程有两个不相等实数根,故令y=0,证△>0即可.(2)①根据二次函数的图象与x 轴交点的横坐标即是一元二次方程的根.由根与系数的关系,求出k 的值,可确定抛物线解析式;•②由P 、Q 关于此抛物线的对称轴对称得n 1=n 2,由n 1=m 12+m 1,n 2=m 22+m 2得m 12+m 1=m 22+m 2,即(m 1-m 2)(m 1+m 2+1)=0可求得m 1+m 2=-1. 解:(1)证明:△=(2k+1)2-4(-k 2+k) =4k 2+4k+1+4k 2-4k=8k 2+1. ∵8k 2+1>0,即△>0,∴抛物线与x 轴总有两个不同的交点.(2)①由题意得x1+x2=-(2k+1), x1· x2=-k2+k.∵x12+x22=-2k2+2k+1,∴(x1+x2)2-2x1x2=-2k2+2k+1,即(2k+1)2-2(-k2+k)=-2k2+k+1,4k2+4k+1+2k2-2k=-2k2+2k+1.∴8k2=0,∴k=0,∴抛物线的解析式是y=x2+x.②∵点P、Q关于此抛物线的对称轴对称,∴n1=n2.又n1=m12+m1,n2=m22+m2.∴m12+m1=m22+m2,即(m1-m2)(m1+m2+1)=0.∵P、Q是抛物上不同的点,∴m1≠m2,即m1-m2≠0.∴m1+m2+1=0即m1+m2=-1.点评:本题考查二次函数的图象(即抛物线)与x轴交点的坐标与一元二次方程根与系数的关系.二次函数经常与一元二次方程相联系并联合命题是中考的热点.基础达标验收卷一、选择题:1.(2003·大连)抛物线y=(x-2)2+3的对称轴是( ).A.直线x=-3B.直线x=3C.直线x=-2D.直线x=22.(2004·重庆)二次函数y=ax2+bx+c的图象如图,则点M(b,ca)在( ).A.第一象限;B.第二象限;C.第三象限;D.第四象限3.(2004·天津)已知二次函数y=ax2+bx+c,且a<0,a-b+c>0,则一定有( ).A.b2-4ac>0B.b2-4ac=0C.b2-4ac<0D.b2-4ac≤04.(2003·杭州)把抛物线y=x2+bx+c的图象向右平移3个单位,再向下平移2个单位,所得图象的解析式是y=x2-3x+5,则有( ).A.b=3,c=7B.b=-9,c=-15C.b=3,c=3D.b=-9,c=215.(2004·河北)在同一直角坐标系中,一次函数y=ax+c和二次函数y=ax2+c的图象大致为( ).6.(2004·昆明)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的顶点P的横坐标是4,•图象交x轴于点A(m,0)和点B,且m>4,那么AB的长是( ).A.4+mB.mC.2m-8D.8-2m二、填空题1.(2004·河北)若将二次函数y=x2-2x+3配方为y=(x-h)2+k的形式,则y=_______.2.(2003·新疆)请你写出函数y=(x+1)2与y=x2+1具有的一个共同性质_______.3.(2003·天津)已知抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为x=2,且经过点(1,4)和点(5,0),则该抛物线的解析式为_________.4.(2004·武汉)已知二次函数的图象开口向下,且与y轴的正半轴相交,请你写出一个满足条件的二次函数的解析式:_________.5.(2003·黑龙江)已知抛物线y=ax2+x+c与x轴交点的横坐标为-1,则a+c=_____.6.(2002·北京东城)有一个二次函数的图象,三位学生分别说出了它的一些特点:甲:对称轴是直线x=4;乙:与x轴两个交点的横坐标都是整数;丙:与y轴交点的纵坐标也是整数,且以这三个交点为顶点的三角形面积为3.请你写出满足上述全部特点的一个二次函数解析式:三、解答题1.已知函数y=x2+bx-1的图象经过点(3,2).(1)求这个函数的解析式;(2)画出它的图象,并指出图象的顶点坐标;(3)当x>0时,求使y≥2的x取值范围.2.已知抛物线y=- 12x2+(6- 2m)x+m-3与x轴有A、B两个交点,且A、B两点关于y轴对称.(1)求m的值;(2)写出抛物线解析式及顶点坐标;(3)根据二次函数与一元二次方程的关系将此题的条件换一种说法写出来.一、学科内综合题1.如图,二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于B、C两点,•与y轴交于A点.(1)根据图象确定a、b、c的符号,并说明理由;(2)如果点A的坐标为(0,-3),∠ABC=45°,∠ACB=60°,•求这个二次函数的解析式.二、实际应用题3.某公司推出了一种高效环保型洗涤用品,年初上市后,•公司经历了从亏损到盈利的过程.下面的二次函数图象(部分)•刻画了该公司年初以来累积利润s(万元)与销售时间t(月)之间的关系(即前t个月的利润总和s与t之间的关系).根据图象(图)提供的信息,解答下列问题:(1)由已知图象上的三点坐标,求累积利润s(万元)与时间t(月)之间的函数关系式;(2)求截止到几月末公司累积利润可达到30万元;(3)求第8个月公司所获利润是多少万元?4.如图,有一座抛物线形拱桥,在正常水位时水面AB•的宽为20m,如果水位上升3m时,水面CD的宽是10m.(1)建立如图所示的直角坐标系,求此抛物线的解析式;(2)现有一辆载有救援物资的货车从甲地出发需经过此桥开往乙地,已知甲地距此桥280km(桥长忽略不计).货车正以每小时40km的速度开往乙地,当行驶1小时时,•忽然接到紧急通知:前方连降暴雨,造成水位以每小时0.25m的速度持续上涨(货车接到通知时水位在CD处,当水位达到桥拱最高点O时,禁止车辆通行),试问:如果货车按原来速度行驶,能否完全通过此桥?若能,请说明理由;若不能,•要使货车安全通过此桥,速度应超过每小时多少千米?答案:基础达标验收卷一、1.D 2.D 3.A 4.A 5.B 6.C二、1.(x-1)2+2 2.图象都是抛物线或开口向上或都具有最低点(最小值)3.y=-12x 2+2x+52 4.如y=-x 2+1 5.1 6.y=15x 2-85x+3或y=-15x 2+85x-3或y=-17x 2-87x+1或y=-17x 2+87x-1三、1.解:(1)∵函数y=x 2+bx-1的图象经过点(3,2), ∴9+3b-1=2,解得b=-2. ∴函数解析式为y=x 2-2x-1. (2)y=x 2-2x-1=(x-1)2-2. 图象略.图象的顶点坐标为(1,-2).(3)当x=3时,y=2,根据图象知,当x ≥3时,y ≥2. ∴当x>0时,使y ≥2的x 的取值范围是x ≥3. 2.(1)设A(x 1,0) B(x 2,0). ∵A 、B 两点关于y 轴对称.∴12120,0.x x x x +=⎧⎨≤⎩∴2(60,2(3)0.m ⎧⎪=⎨--≤⎪⎩解得m=6. (2)求得y=-12x 2+3.顶点坐标是(0,3) (3)方程-12x 2)x+m-3=0的两根互为相反数(或两根之和为零等). 3.解:(1)符合条件的抛物线还有5条,分别如下:①抛物线AEC; ②抛物线CBE; ③抛物线DEB; ④抛物线DEC; ⑤抛物线DBC. (2)在(1)中存在抛物线DBC,它与直线AE 不相交. 设抛物线DBC 的解析式为y=ax 2+bx+c.将D(-2, 92),B(1,0),C(4,0)三点坐标分别代入,得942,20,164.a b c a b c a b c ⎧-+=⎪⎪++=⎨⎪++=⎪⎩解这个方程组,得a=14,b=-54,c=1. ∴抛物线DBC 的解析式为y=14x 2-54x+1.【另法:设抛物线为y=a(x-1)(x-4),代入D(-2, 92),得a=14也可.】 又将直线AE 的解析式为y=mx+n.将A(-2,0),E(0,-6)两点坐标分别代入,得20,6.m n n -+=⎧⎨=-⎩解这个方程组,得m=-3,n=-6. ∴直线AE 的解析式为y=-3x-6. 能力提高练习 一、1.解:(1)∵抛物线开口向上,∴a>0.又∵对称轴在y 轴的左侧, ∴-2ba<0,∴b>0. 又∵抛物线交于y 轴的负半轴. ∴c<0.(2)如图,连结AB 、AC.∵在Rt △AOB 中,∠ABO=45°, ∴∠OAB=45°.∴OB=OA.∴B(-3,0). 又∵在Rt △ACO 中,∠ACO=60°, ∴OC=OA ·cot60°3∴3 设二次函数的解析式为 y=ax 2+bx+c(a ≠0).由题意930,330,3.a b ca b cc-+=⎧⎪++=⎨⎪=-⎩3,31,3.abc⎧=⎪⎪⎪⇒=-⎨⎪=-⎪⎪⎩∴所求二次函数的解析式为y=33x2+ (3-1)x-3.3.解:(1)设s与t的函数关系式为s=at2+bt+c由题意得1.5,422,255 2.5;a b ca b ca b c++=-⎧⎪++=-⎨⎪++=⎩或1.5,422,0.a b ca b cc++=-⎧⎪++=-⎨⎪=⎩解得1,22,0.abc⎧=⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎩∴s=12t2-2t.(2)把s=30代入s=12t2-2t, 得30=12t2-2t.解得t1=0,t2=-6(舍).答:截止到10月末公司累积利润可达到30万元.(3)把t=7代入,得s=12×72-2×7=212=10.5;把t=8代入,得s=12×82-2×8=16.16-10.5=5.5.答:第8个月公司获利润5.5万元.4.解:(1)设抛物线的解析式为y=ax2,桥拱最高点O到水面CD的距离为hm,则D(5,-h),B(10,-h-3).∴25,100 3.a ha h=-⎧⎨=--⎩解得1,251.ah⎧=-⎪⎨⎪=⎩抛物线的解析式为y=-125x2.(2)水位由CD处涨到点O的时间为:1÷0.25=4(小时).货车按原来速度行驶的路程为:40×1+40×4=200<280, ∴货车按原来速度行驶不能安全通过此桥.设货车速度提高到xkm/h.当4x+40×1=280时,x=60.∴要使货车完全通过此桥,货车的速度应超过60km/h.。

二次函数几何证明专题训练

二次函数几何证明专题训练

1、如图,二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点,且A点坐标为(-3,0),经过B点的直线交抛物线于点D(-2,-3)。

(1)求抛物线的解析式和直线BD解析式(2)过x轴上点E(a,0)(E点在B点的右侧)作直线EF∥BD,交抛物线于点F,是否存在实数a使四边形BDFE是平行四边形?如果存在,求出满足条件的a;如果不存在,请说明理由(备用图)(1)求一次函数及抛物线的函数表达式.(2)已知在对称轴上是否存在一点P,使得△PBC的周长最小?若存在,请求出点P的坐标.(3)点D是线段OC上的一个动点(不与点O、点C重合),过点D作DE‖PC 交x轴于点E,连接PD、PE.设CD的长为m,△PDE的面积为S,求S与m之间的函数关系式,并说明S是否存在最大值?若存在,请求出最大值;若不存在,请说明理由.如图,在平面直角坐标系中,已知矩形ABCD的三个顶点B(1,0),C(3,0),D(3,4),以A为顶点的抛物线y=ax2+bx+c过点C,动点P从点A出发,沿线段AB向点B运动,同时动点Q从点C出发,沿线段CD向点D运动,点P,Q 的运动速度均为每秒1个单位,运动时间为t秒,过点P作PE⊥AB交AC于点E。

(1)直接写出点A的坐标,并求出抛物线的解析式;(2)过点E作EF⊥AD于F,交抛物线于点G,当t为何值时,△ACG的面积最大?最大值为多少?(3)在动点P,Q运动的过程中,当t为何值时,在矩形ABCD内(包括边界)存在点H,使以C,Q,E,H为顶点的四边形为菱形?请直接写出t的值。

如图,抛物线y=41x 2 -23x-4与x 轴交与A ,B 两点(点B 在点A 的右侧),与y 轴交于点C ,连接BC ,以BC 为一边,点O 为对称中心作菱形BDEC ,点P 是x 轴上的一个动点,设点P 的坐标为(m ,0),过点P 作x 轴的垂线l 交抛物线于点Q .(1)求点A ,B ,C 的坐标.(2)当点P 在线段OB 上运动时,直线l 分别交BD ,BC 于点M ,N .试探究m 为何值时,四边形CQMD 是平行四边形,此时,请判断四边形CQBM 的形状,并说明理由.(3)当点P 在线段EB 上运动时,是否存在点Q ,使△BDQ 为直角三角形?若存在,请直接写出点Q 的坐标;若不存在,请说明理由.已知:如图,在四边形OABC中,AB∥OC,BC⊥x轴于点C,A(1,-1),B(3,-1),动点P从点O出发,沿着x轴正方向以每秒2个单位长度的速度移动.过点P作PQ垂直于直线OA,垂足为点Q,设点P移动的时间t秒(0<t<2),△OPQ 与四边形OABC重叠部分的面积为S.(1)求经过O、A、B三点的抛物线的解析式,并确定顶点M的坐标;(2)用含t的代数式表示点P、点Q的坐标;(3)如果将△OPQ绕着点P按逆时针方向旋转90°,是否存在t,使得△OPQ的顶点O或顶点Q在抛物线上?若存在,请求出t的值;若不存在,请说明理由;(4)求出S与t的函数关系式.已知抛物线y=-mx2+4x+2m与x轴交于点A(α,0),B(β,0),且2-β1α1= +(1)求抛物线的解析式.(2)抛物线的对称轴为l,与y轴的交点为C,顶点为D,点C关于l的对称点为E,是否存在x轴上的点M,y轴上的点N,使四边形DNME的周长最小?若存在,请画出图形(保留作图痕迹),并求出周长的最小值;若不存在,请说明理由.(3)若点P在抛物线上,点Q在x轴上,当以点D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形时,求点P的坐标.如图,在矩形OABC 中,OA=5,AB=4,点D 为边AB 上一点,将△BCD 沿直线CD 折叠,使点B 恰好落在OA边上的点E 处,分别以OC,OA 所在的直线为x 轴,y 轴建立平面直角坐标系.(1)求OE 的长;(2)求经过O,D,C 三点的抛物线的解析式;(3)一动点P 从点C 出发,沿CB 以每秒2 个单位长的速度向点B 运动,同时动点Q 从E 点出发,沿EC 以每秒1 个单位长的速度向点C 运动,当点P 到达点B 时,两点同时停止运动.设运动时间为t 秒,当t为何值时,DP=DQ;(4)若点N 在(2)中的抛物线的对称轴上,点M 在抛物线上,是否存在这样的点M 与点N,使得以M,N,C,E 为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请求出M 点的坐标;若不存在,请说明理由.。

二次函数题目总汇

二次函数题目总汇

二次函数题目总汇1.如图,四边形ABCD是边长为1的正方形,四边形EFGH是边长为2的正方形,点D与点F重合,点B,D(F),H在同一条直线上,将正方形ABCD沿F?H方向平移至点B与点H重合时停止,设点D、F之间的距离为x,正方形ABCD与正方形EFGH重叠部分的面积为y,则能大致反映y与x之间函数关系的图象是( )A( B(C( D(2yxx,,,3652.将抛物线绕顶点旋转180?,再沿对称轴平移,得到一条与直线交于点(2,m)的新抛物线,新抛物线的解析式为 yx,,,22yxaxa,,,,(1)3.若二次函数的图象与x轴有两个不同的交点,其中只有一个交点在x轴的正半轴上,则a的取值范围是 (2yaxbxc,,,4.已知二次函数中,函数y与自变量x的部分对应值如下表: x ....-1 0 1 2 4 ...... ..y ....0 -3 -4 3 5 .... .. .. (1)求该二次函数的关系式;(2)若A(-4,y1),B(,y2)两点都在该函数的图象上,试比较y1与y2的大小;(3)若A(m-1,y1),B(m+1,y2)两点都在该函数的图象上,试比较y1与y2的大小(5.如图,直角坐标系中,两条抛物线有相同的对称轴,下列关系不正确的是A(h=m B(k=n C(k,n D(h,0,k,06.如图,在直角坐标系中,点A,B,C的坐标分别为(-1,0),(3,0),(0,3),过A,B,C三点的抛物的对称轴为直线l,D为对称轴l上一动点.(1)求抛物线的解析式;(2)求当AD+CD最小时点D的坐标;(3)以点A为圆心,以AD为半径作?A(证明:当AD+CD最小时,直线BD与?A相切;写出直线BD与?A相切时,D点的另一个坐标:2yx,7. 将二次函数的图象向右平移1个单位,再向上平移2个单位后,所得图象的函数表达式是( )2222yx,,,(1)2yx,,,(1)2yx,,,(1)2yx,,,(1)2A( B( C( D(2yx,,18.已知点(x1,y1),(x2,y2)均在抛物线上,下列说法中正确的是A(若y1=y2,则x1=x2 B(若x1=-x2,则y1=-y2 C(若0,x1,x2,则y1,y2 D(若x1,x2,0,则y1,y22yaxhk,,,()9.y=-配方成的形式是2yaxbxc,,,10.二次函数的图象如图所示,则下列各式一定成立的是( ) ,b2A( B( C( D( bac,,40abc,,,0abc,,,02a2yxbxc,,,11.如图,抛物线经过A(-1,0),B(4,5)两点,解答下列问题:(1)求抛物线的解析式(2)若抛物线的顶点为D,对称轴所在直线交x 轴于点E,连接AD,点F为AD 中点,求出线段EF的长(2yaxbxc,,,12.如图,抛物线与x轴交于点(-1,0),对称轴为x=1,则下列结论中正确的是A(a,0 B(当x,1时,y随x的增大而增大2C(c,0 D(x=3是一元二次方程的一个根 axbxc,,,01213.已知二次函数, xx,2(1)它的最大值为 ;(2)若存在实数m,n使得当自变量x的取值范围是m?x?n时,函数值y的取值范围恰好是3m?y?3n,则m= ,n= (14. 如图,抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点(-1,0),对称轴为x=1,则下列结论中正确的是( )A(a,0 B(当x,1时,y随x的增大而增大2C(c,0 D(x=3是一元二次方程的一个根 axbxc,,,02yxx,,,4515. 已知抛物线((1)直接写出它与x轴、y轴的交点的坐标;22yxx,,,45yaxhk,,,()(2)用配方法将化成的形式(2yxbxc,,,16. 已知函数(x?0),满足当x=1时,y=-1,且当x=0与x=4时的函数值相等(2yxbxc,,,(1)求函数(x?0)的解析式并画出它的图象(不要求列表);2,xbxcx,,,(0)(2)若f(x)表示自变量x相对应的函数值,且又已fx(),,,,2(0)x,知关于x的方程f(x)=x+k有三个不相等的实数根,请利用图象直接写出实数k 的取值范围(2ykxkx,,,,(2)217. 已知抛物线(其中k,0)((1)求该抛物线与x轴的交点及顶点的坐标(可以用含k的代数式表示); (2)若记该抛物线顶点的坐标为P(m,n),直接写出|n|的最小值; (3)将该抛物线先向右平移1/2个单位长度,再向上平移1/k个单位长度,随着k的变化,平移后的抛物线的顶点都在某个新函数的图象上,求新函数的解析式(不要求写自变量的取值范围)(2yaxbxc,,,18. 已知抛物线(a,0)过O(0,0)、A(2,0)、B(-3,y1)、C(4,y2)四点,则y1 y2 (填“,”、“,”或“=”)(31m,ymxx,,,4519. 已知:函数是二次函数((1)求m的值;(2)写出这个二次函数图象的对称轴: ,顶点坐标: ;(3)求图象与x轴的交点坐标(19. (如图,动点P从点A出发,沿线段AB运动至点B后,立即按原路返回(点P在运动过程中速度大小不变(则以点A为圆心,线段AP长为半径的圆的面积S与点P的运动时间t之间的函数图象大致为( )A. B.C. D.20. 如图,抛物线与x轴交于A(1,0),B(-3,0)两点,与y轴交于点C(0,3)((1)求此抛物线的解析式;(2)在x轴上找一点D,使得以点A、C、D为顶点的三角形是直角三角形,求点D的坐标(2ymxx,,,3221. 已知函数(m是常数)(经过y轴上的一个定点; (1)求证:不论m为何值,该函数的图象都(2)若一次函数y=x+1的图象与该函数的图象恰好只有一个交点,求m的值及这个交点的坐标(2yaxbxca,,,,(0)22. 已知二次函数的图象如图所示,有下列四个结论:?2b,0;?c,0;?;?a-b+c,0,其中正确的个数有几个。

二次函数规律题

二次函数规律题

二次函数规律题
类型一、线
【分析】(1)令抛物线中y=0,可得出A、B的坐标,即可确定OA,OB的长.根据△OCA∽△OBC,可得出关于OC、OA、OB的比例关系式即可求出OC的长.
(2)利用相似三角形的对应边成比例和勾股定理来求C点的坐标.将C点坐标代入抛物线中即可求出抛物线的解析式.
类型二、角
【分析】(1)根据向右平移横坐标加写出平移后的抛物线解析式,然后写出顶点M的坐标,令x=0求出A点的坐标,把x=3代入函数解析式求出点B的坐标;
(2)过点B作BE⊥AO于E,过点M作MF⊥AO于M,然后求出∠EAB=∠EBA=45°,同理求出∠FAM=∠FMA=45°,然后求出△ABE 和△AMF相似,根据相似三角形对应边成比例列式求出AM:AB,再求出∠BAM=90°,然后根据锐角的正切等于对边比邻边列式即可得解;
(3)过点P作PH⊥x轴于H,分点P在x轴的上方和下方两种情况利用α的正切值列出方程求解即可.
类型三、三角形
【分析】(1)将M、N的坐标代入列方程组求出a,c的值即可;
(2)①设A(0,m),用m的代数式分别表示AB、AM,然后
△ABM∽△OMN列出等式求出m的值;
②分3种情况讨论Ⅰ.当AB=MP=3时,Ⅱ.当AM=MP=3时,Ⅲ.当BM=MP=3时,分别求即可!
类型四、平行四边形
【分析】(1)由已知,应用待定系数法问题可解;
(2)根据已知条件求出点D的坐标,并且由线段OC、OB相等、CD∥x轴及等腰三角形性质证明△CDB≌△CGB,利用全等三角形求出点G的坐标,求出直线BP的解析式,联立二次函数解析式,求出点P的坐标.
(3)设出点N坐标,根据平行四边形对角线互相平分的性质,表示点M坐标,代入函数关系式,问题可解.。

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二次函数证明题(难度一般)
11.如图,在平面直角坐标系xOy 中,已知抛物线2
y x bx c =++的
对称轴是直线3x =,且抛物线与直线AB 交于A 、B 两点,其中A
(1,3),B (6,n ).
(1)求抛物线的表达式和点B 的坐标;
(2)设抛物线与y 轴交于点C ,在抛物线上是否存在一点M ,满足2BCM AC S S ∆∆=, 若存在,请求出点M 的坐标;若不存在,请说
明理由.
12.如图,已知二次函数的图象与x 轴交于点
A 、点
B ,交 y 轴于点
C .
(1)求直线 BC 的函数表达式;
(2)如图,P 为线段BC 上一点,过点P 作y 轴平行线,交抛物线于
点D ,当△BDC 的面积最大时,求点P 的坐标;
(3)在(2)的条件下,在轴上是否存在一点M 使△CPM 的周长最
小,若存直接写出周长的最小值;若不存在,请说明理由.
13.如图,直线y=x+2与抛物线y=ax 2+bx+6(a≠0)相交于A (,)和B
(4,m ),点P 是线段AB 上异于A 、B 的动点,过点P 作PC ⊥x 轴于点D ,
交抛物线于点C .
(1)求抛物线的解析式;
(2)是否存在这样的P 点,使线段PC 的长有最大值,若存在,求出这个
最大值;若不存在,请说明理由;
(3)求∆PAC 为直角三角形时点P 的坐标.
14.(12分)如图,在平面直角坐标系中,二次函数2=++y x bx c 的图象与x 轴交于A 、B 两点,B 点的坐标为(3,0),与y 轴交于点()03C -,,点P 是直线BC 下方抛物线上的一个动点.
(1)求二次函数解析式;
(2)连接PO ,PC ,并将△POC 沿y 轴对折,得到四边形POP C '.是否存
在点P ,使四边形POP C '为菱形?若存在,求出此时点P 的坐标;若不
存在,请说明理由;
(3)当点P 运动到什么位置时,四边形ABPC 的面积最大?求出此时P
点的坐标和四边形ABPC 的最大面积.
15.如图,抛物线2y ax bx c =++经过A(-1,0)、B(3, 0)、C (0 ,3)三
点。

(1)求抛物线的函数关系式;
(2)在抛物线上存在一点P ,使△ABP 的面积为8,请求出点P 的坐标.
(3)在抛物线的对称轴上是否存在一点Q ,使得QC+QA 最短?若Q 点存在,
求出Q 点的坐标;Q 点不存在,请说明理由.
16.如图,二次函数212y x bx c =-++的图象经过A(2,0),B(0,-6)两点. (1)求这个二次函数的解析式;
(2)设该二次函数的对称轴与x 轴交于点C ,连接BA ,BC ,求△ABC
的面积.
(3)在x 轴上是否存在一点P ,使△ABP 为等腰三角形,若存在,
求出P 的坐标,若不存在,说明理由.
参考答案
1.(1)y=﹣x 2+2x+3;(2) C (0,3),D (1,4);(3) P (2,3)
2.(1)①53,②能;(2)-15 3.(1) 223y x x =-- , 3y x =- ;(2) (-1,0);(3) 0<x <3时
4.(1)B (6,8).;(2)存在,( 319+,18)或(319-,18).
5.(1)y 1= -x 2+4x-6;(2)△ABC 的面积=6;(3)0≤x≤5.
6.(1);(2)D (2,-1).
7.(1)y=+(2)(,)(3) 8.(1)223y x x =-- (2)4
9.解:(1)∵B (4,m )在直线y=x+2上
∴m=6,即B(4,6)
∵A 和B (4,6)在抛物线上

解得
∴抛物线的解析式
; (2)存在.
设动点P 的坐标为(n ,n+2),点C 的坐标为(n ,2n 2-8n+6),
∴PC=(n+2)-(2n 2-8n+6),
=-2n 2+9n-4,
=-2(n-94)²+498
∵-2<0,
∴当n=
94时,线段PC 最大且为498
. 10.(1)抛物线表达式为y =-12x 2+x +4,顶点坐标为(1, 92);
(2) ①S △ABM 的最大值为4; ②3.
11.(1) y=-x 2+2x+3.(2)(
37,0)
12.(1)223y x x =-- (2)32⎫-⎪⎪⎝⎭ (3)315,24⎛⎫- ⎪⎝⎭ , 758 . 13.(1) 223y x x =-++; (2) ()11,4p ; (3)存在,(3)Q (1,2)
14.(1)y =﹣x 2+2x+3.(2) ﹣m 2+3m (0<m <3).(3)m=1.5;M(1.5,1.5) N(1.5, 154)
15.(1)抛物线的解析式为()214y x =--,点D 的坐标为(2,-3);
(2)点P 的坐标为(1,-2);
(3)Q 点坐标为(1,0).
16.(1)y =-1
2x 2+4x -6;
(2)S △ABC =6;
(3)点P 坐标为(-2,0)或()2-或()2+或()80-,。

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