第三章第四节+矩阵的分块运算

7
返回
准对角矩阵 定义.设A为n 阶方阵, 经分块后, 可表示为 定义. 为 阶方阵 经分块后
A1 0 0 ⋯ 0 0 A 0 ⋯ 0 2 , A= ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 0 0 0 ⋯ A s 其中Ai 为ni阶方阵( i = 1, 2,⋯ , s ), 则A称为准对角阵 称为准对角阵. 称为准对角阵
§4 矩阵的分块运算
一、分块的矩阵概念 二、分块矩阵的运算规则
1
返回
一、分块的矩阵概念
在处理阶数较高的矩阵运算时,常采用分 在处理阶数较高的矩阵运算时 常采用分 常采用 块法.即 块法 即用若干条纵线和横线把大矩阵分成许 多块小矩阵. 多块小矩阵.此时把大矩阵看成由这些小块矩 阵所构成的矩阵.每一个小矩阵称为它的子块 子块, 阵所构成的矩阵.每一个小矩阵称为它的子块, 以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵 分块矩阵. 以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵. 在运算中,可以把小矩阵当作数一样来处 在运算中 可以把小矩阵当作数一样来处 从而使运算简化为子块之间的运算,而子块 理,从而使运算简化为子块之间的运算 而子块 从而使运算简化为子块之间的运算 的阶数一般都比大矩阵的阶数要低. 的阶数一般都比大矩阵的阶数要低
0 0 ⋯ A2 + B2 0 ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 0 0
它们还是准对角阵. 它们还是准对角阵
10
返回
准对角阵的行列式具有如下性质: 准对角阵的行列式具有如下性质:
A = A1 ⋅ A2 ⋯ As . 由此可知,若 Ai ≠ 0 ( i = 1,2,⋯ , s ), 则 A ≠ 0, 若 从而A可逆 可逆, 从而 可逆 且有
如果Ai 与Bi 是同阶的( i = 1, 2,⋯ , s ), 则
9
返回
A1 B1 0 AB = ⋯ 0 A1 + B1 0 A+ B = ⋯ 0
0 0 ⋯ A2 B2 0 ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 0 0
, ⋯ As Bs 0 0 ⋯ , ⋯ As + Bs 0 0 ⋯
a11 a A = 21 a31 a12 a22 a32 a13 a23 a33
3
a14 = B11 a24 B21 a34
B12 . B22
返回
二、分块矩阵的运算规则
1. 设矩阵 与B有相同的行数与列数 采用 设矩阵A与 有相同的行数与列数 有相同的行数与列数,采用 相同的分块法得
A12 + B12 ⋯ A1 s + B1 s A22 + B22 ⋯ A2 s + B2 s . ⋯ ⋯ ⋯ Ar 2 + Br 2 ⋯ Ars + Brs
2.
A11 ⋯ ⋯ ⋯ 设 A= Ar 1 ⋯ λ A11 ⋯ λA= λ Ar 1
2
返回
例如， 例如，把A分成若干子块 分成若干子块
a11 A = a21 a31 a12 a22 a32 a13 a23 a33 a14 = A11 a24 A21 a34 A12 A22 A13 . A14
当然，还有其它分块法 比如： 当然，还有其它分块法. 比如：
( i = 1,2,⋯ , r ; j = 1,2,⋯ , t ).
6
返回
注意: 在分块矩阵的乘积中,左矩阵列的分 注意 在分块矩阵的乘积中 左矩阵列的分 法必须与右矩阵行的分法一样. 法必须与右矩阵行的分法一样
4. 设 A11 ⋯ A1 s A = ⋯ ⋯ ⋯ , 则 Ar 1 ⋯ Ars A '11 ⋯ A 'r 1 ⋯ ⋯ ⋯ . A' = A '1 s ⋯ A 'rs
A1 −1 0 −1 A = ⋯ 0 0 A2 −1 ⋯ 0
11
0 0 ⋯ 0 . ⋯ ⋯ ⋯ −1 0 ⋯ As 0 ⋯
返回
A1s , λ 为数, 则 ⋯ Ars ⋯ λ A1 s . ⋯ ⋯ ⋯ λ Ars
5
返回
3. 设A = (aij )m×n , B = (bij )n× p , 把A和B分成 若干小矩阵 :
A11 ⋯ A1 s B11 ⋯ B1t ⋯ ⋯ ⋯ , B = ⋯ ⋯ ⋯ . A= Ar 1 ⋯ Ars Bs 1 ⋯ Bst C11 ⋯ C1 t 于是有 AB = ⋯ ⋯ ⋯ , C r 1 ⋯ C rt 其中 C ij = Ai 1 B1 j + Ai 2 B2 j + ⋯ + Ais Bsj
A11 ⋯ A1 s B11 ⋯ B1 s ⋯ ⋯ ⋯ , B = ⋯ ⋯ ⋯ . A= Ar 1 ⋯ Ars Br 1 ⋯ Brs
其中子块Aij 与Bij的行数相同, 列数也相同, 则有
4
返回
A11 + B11 A + B 21 21 A+ B = ⋯ A r 1 + Br 1准对角矩阵ຫໍສະໝຸດ 运算规律 对于两个有相同分块的准对角阵
8
返回
A1 0 0 ⋯ 0 0 A 0 ⋯ 0 2 , A= ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 0 0 0 ⋯ A s B1 0 0 ⋯ 0 0 B 0 ⋯ 0 2 , B= ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 0 0 0 ⋯ B s