2017年秋季新版华东师大版九年级数学上学期24.4、解直角三角形学案4
华东师大版九年级数学上册《24章 解直角三角形 24.4 解直角三角形 解直角三角形》公开课教案_19
24.4.1 解直角三角形(1)第一课时学习目标设计依据一课程标准的相关要求：理解解直角三角形的含义，知道解直角三角形的常见类型，会利用直角三角形的边角关系解直角三角形二教材分析：本节课是在掌握了直角三角形的有关性质以及边角之间的各种关系的基础上解决实际问题。
三中招考点：1 会利用直角三角形的边角关系解直角三角形；2 会利用直角三角形的边角关系解决实际问题。
四学情分析：本节课是对于解直角三角形概念的理解，内容比较简单，绝大多数学生应该能够理解和接受，但对于数值的计算容易出错。
学习目标：1 体会解直角三角形的含义。
2 知道解直角三角形的常见类型，会利用直角三角形的边角关系解直角三角形。
3 重、难点：重点：知道解直角三角形的常见类型，会利用直角三角形的边角关系解直角三角形。
难点：会利用直角三角形的边角关系解直角三角形。
评价任务1 理解解直角三角形的含义；2 会利用直角三角形的边角关系解直角三角形。
教学过程：学习目标一理解解直角三角形的含义自学指导一内容：课本p111-例2以上时间：3分钟要求：认真阅读课本，判断什么是解直角三角形？完成自学检测一。
自学检测一1.结合课本p111-例2以上页内容，思考以下问题并和组内同学交流：（1）三角形有几个元素？（2）解直角三角形的概念是：（3）在例1中你能求出另外两个锐角是（可以用计算器）.2解决练习第一题？学生能理解解直角三角形的概念要求学生能够说出怎样使用计算归纳总结：三角形的每一个内角；每一条边都叫做一个元素器。
教学环节教学活动评价要点两类结构学习目标二：知道解直角三角形的常见类型，会利用直角三角形的边角关系解直角三角形。
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自学指导二内容：课本p112-113时间：5分钟要求：认真阅读课本，了解解直角三角形的类型，完成自学检测二。
自学检测练二：1、P113习题第2题（2）在电线杆离地面8米高的地方向地面拉一条长10米的缆绳，问这条缆绳应固定在距离电线杆底部多远的地方？要求90%以上学生能够熟练掌握归纳总结：已只一边和一角时应选择适当的边角关系计算时采用宁乘勿除的原则归纳总结：解直角三角形，只有下面两中情况：（1)已知两条边;(2)已只一边和一锐角课堂小结我的收获：我的疑惑：作业布置：习题24.4的第1、2、题课后反思：。
华师大版数学九年级上册24.4《直角三角形的性质》教学设计
华师大版数学九年级上册24.4《直角三角形的性质》教学设计一. 教材分析《直角三角形的性质》是华师大版数学九年级上册第24章《三角形的性质》的最后一节内容，也是整个初中数学中关于三角形性质的重要部分。
本节内容主要介绍直角三角形的性质，包括直角三角形的边角关系、勾股定理及其应用。
通过本节的学习，学生能进一步理解直角三角形的特征，掌握直角三角形的相关性质，提高解题能力。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了锐角三角形和钝角三角形的性质，对三角形的性质有一定的了解。
但是，对于直角三角形的性质，特别是勾股定理的理解和应用，部分学生可能还存在困难。
因此，在教学过程中，需要关注学生的学习差异，针对性地进行教学。
三. 教学目标1.理解直角三角形的性质，掌握直角三角形的边角关系。
2.掌握勾股定理，并能运用勾股定理解决实际问题。
3.培养学生的空间想象能力，提高解题能力。
4.激发学生学习数学的兴趣，培养学生的合作意识和探究精神。
四. 教学重难点1.教学重点：直角三角形的性质，勾股定理的推导和应用。
2.教学难点：勾股定理的理解和应用，解决实际问题。
五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生主动探究直角三角形的性质。
2.运用多媒体辅助教学，直观展示直角三角形的性质，提高学生的空间想象能力。
3.采用合作学习的方式，让学生在讨论中解决问题，培养学生的合作意识。
4.通过举例讲解，引导学生学会运用勾股定理解决实际问题。
六. 教学准备1.准备相关的教学课件和教学素材。
2.准备练习题和拓展题，以便进行课堂练习和课后巩固。
3.准备黑板和粉笔，以便进行板书。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体展示一些生活中的直角三角形，如教室的黑板、楼梯的台阶等，引导学生关注直角三角形的存在。
提问：这些直角三角形有什么特殊的性质吗？2.呈现（10分钟）通过PPT展示直角三角形的性质，包括直角三角形的边角关系、勾股定理。
在展示过程中，引导学生思考这些性质是如何得出的。
华东师大版九年级数学上册《24章 解直角三角形 24.4 解直角三角形 解直角三角形》公开课教案_17
解直角三角形教案复习目标1、在运用解直角三角形的知识解决实际问题时，找到或适当构造直角三角形是前提；2、正确分析和把握直角三角形中的边角问题是关键；3、主要思想方法：（1）函数思想：锐角的正弦、余弦和正切统称为的三角函数；（2）转化思想：在运用三角函数解决实际问题时，需要把有关的锐角放到直角三角形中，这时通常需要添加垂线、平行线等辅助线；（3）数形结合思想。
教学过程考情分析•从近几年的中考题来看，解直角三角形属于必考内容，一般在解答题中出现，主要考查解直角三角形的应用，考查题型比较单一，但背景丰富。
预计2018年中考仍会考查三角函数的相关概念、三角函数的应用以及特殊的三角函数和一般锐角的三角函数相结合，并以实际生活为背景的题型。
（9分左右）知识再现解直角三角形的依据三边之间的关系锐角之间的关系边角之间的关系（锐角三角函数）30°，45°，60°的三角函数值ＡＣa概念反馈在解直角三角形及应用时经常接触到的一些概念（1）仰角和俯角（2）坡度i:（3）方向角本章专题讲解专题一：锐角三角函数的定义专题概述：锐角三角函数的定义在解某些问题时可用作一种基本的方法。
1， 在Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠B＝35°，AB ＝7，则BC 的长为( )A ，7sin35° B.7cos35°C ．7cos35°D ．7tan35° 2，在锐角三角形ABC 中，若|cosA-½|+|tanB-1|=0则∠C 的度数是 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。
专题二：解直角三角形专题概述：解直角三角形的知识在解决实际问题中有广泛的应用。
因此要掌握直角三角形的一般解法，即已知一边一锐角和已知两边的两种情况，有时要与方程、不等式、相似三角形及圆等知识结合在一起，要注意各种方法的灵活运用.同时要注意常用辅助线的画法：构造直角三角形。
(2015中考变式题)如图，在△ABC 中，∠A ＝30°，tanB ＝32，AC ＝23，则AB 的长是( )A ．3＋ 3B ．2＋2 3C ．5 D.92专题三：解直角三角形的实际应用专题概述：解直角三角形的知识在生活和生产中有广泛的应用，如在测量高度、距离、角度，确定方案时都常用到解直角三角形。
华师大版-数学-九年级上册-24.4.4解直角三角形(4) 导学案
课 题主备人参与者 数学组成员课 型新授课使用时间教 者学习目标1. 理解坡度的有关术语2.用三角函数有关知识解决问题，学会解决坡度（坡比）问题。
3.进一步培养分析问题、解决问题的能力。
4.渗透数形结合的思想方法，进一步培养用数学的意识。
重 难 点重点：解决有关坡度的实际问题难点：理解坡度的有关术语，会综合运用勾股定理、直角三角形的边角关系和角角关系，解决简单的实际问题。
教 法 探索式、启发式教学学 法 自主预习，合作探究教学准备1．教师准备：收集与本节有关的资料、制成教学课件。
2．学生准备：复习直角三角形的基本性质及解直角三角形的方法，•预习本节课内容。
．教学过程（主要环节）集体备课教师活动学生活动个性展示创设情境激趣导入在修路、挖河、开渠和筑坝时，设计图纸上都要注明斜坡的倾斜程度.如图25.3.5，坡面的铅垂高度（h ）和水平长度（l ）的比叫做坡面坡度（或坡比）.记作i ,即i =l h. 坡度通常写成1∶m 的形式，如i =1∶6.坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作a ，有i ＝lh=tan a显然，坡度越大，坡角a 就越大，坡面就越陡.引导回顾 学生思考，引入课题提出疑问探索新知1、已知一段坡面上，铅直高度为3，水平宽度为1，则坡度i =（ ），坡角为（ ）。
2、已知一段坡面上，铅直高度为3，坡面长为32，则坡度i =（ ），坡角为（ ）。
3、一段坡面的坡角为60°，则坡度i =______；教师引导、分析，设置问题，分组活动，指导探理解探究讨论方法小组交流图25.3.5==2.4AEAE DE 32tan 2.4︒=28tan 2.4︒=合作交流 尝试练习 问题1 如图，在山坡上种树，要求株距(相邻两树间的水平距离)是5.5m ，测得斜坡的倾斜角是24°，求斜坡上相邻两树的坡面距离是多少(精确到0.1m )．问题2 如图．是一座人行天桥的示意图，天桥的高是l 0米，坡面的倾斜角为45°，为了方便行人安全过天桥，市政部门决定降低坡度．使新坡面的倾斜角为30°若新坡脚前需留2 ．5米的人行道，问离原坡脚10米的建筑物是否需要拆除?请说明理由(参考数据2 1.414,3 1.732≈≈)引导分析，示范解答。
2017年秋九年级数学上册24.4解直角三角形4教案新版华东师大版09143
24.4解直角三角形（4）教学目标：综合运用前面所学的知识，通过添加适当的辅助线来构造Rt△,从而解决较复杂的实际问题。
重点难点:利用前面所学知识，解决较复杂的实际问题教学过程：一、复习、练习1.Rt△ABC 中，∠C=90°,CD⊥AB 于D,若AD=2，CD=4,则tanB=212.R t△ABC 中，∠A=90°,sinB=32,c=2,则b=5543.Rt△ABC 中，∠C=90°，斜边上中线CD=3，AC=3.6，tan∠DCB=43二、应用例1如图△ABC 中，∠B=45°，∠C=60，AD⊥BC 于D，AD=2，求：（1）BC 的长（2）S ABC∆解：（1）∵AD⊥BC，∠B=45°，∠C=60°，AD=2∴BD=2，CD=332∴BC=2+332（2）∴S ABC ∆=21×2×（2+332）=2+332例2如图，为调整数学格局，充分发挥资源优势，现将地处A、B 两地的两所技校合并成职业技术教育中心，为方便A、B 两校师生的交往，学校准备在相距5千米的A、B 两地修筑一条笔直公路AB，经测量，在A 地的北偏东60°方向，B 地的西偏北45°方向的C 处有一半径为1.8千米的湖泊，问计划修筑的这条公路会不会穿过湖泊？分析：要想知道公路会不会穿过湖泊，就必须知道点C 到AB 的距离是否大于1.8千米。
解：过C 作CD⊥AB 于D.由题意知∠CAD=30°，在Rt△ACD 中，AD=CD CAD CD 3cot =∠⋅，在Rt△BCD 中，同理可得CD=DB，∴AB=AD+BD=（3+1）CD =5，∴CD≈1.84（千米）＞1.8千米答：计划修筑的这条公路不会穿过湖泊。
例3如图，河对岸有一电线杆CD，从A 点测得电线杆顶端的仰角为18°，前进30米，到B 处测得D 点的仰角为36°，求电线杆的高度（精确到0.1米）解：∵∠ADB=∠DBC-∠A=36°-18°=18°=∠A，∴DB=AB=30，在Rt△ABC 中，CD=5878.030sin ⨯=∠⋅DBC BD ≈17.6（米）答：电线杆的高度约为17.6米。
华东师大版九年级数学上册《24章 解直角三角形 24.4 解直角三角形 解直角三角形》公开课教案_4
24.4解直角三角形(2)教学目标:1、使学生了解仰角、俯角的概念，使学生根据直角三角形的知识解决实际问题。
2、逐步培养分析问题、解决问题的能力。
教学重点:要求学生善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系，从而解决问题。
教学难点:要求学生善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系，从而解决问题。
教学过程:（复习提问）1、解直角三角形指什么？2、解直角三角形主要依据什么？（1）勾股定理（2）锐角之间的关系（3）边角之间的关系导课：问题：小玲家对面新造了一幢图书大厦，小玲心想：“站在地面上可以利用解直角三角形测得图书大厦的高，站在自家窗口能利用解直角三角形测出大厦的高吗？他望着大厦顶端和大厦底部，可测出视线与水平线之间的夹角各一个，但这两个角如何命名呢？（如图所示）∠BAC与∠DAC在测量中叫什么角？（学生回答后引入新课课题---解直角三角形2：仰角、俯角）设疑自探看到本节课题，你想知道什么问题？（学生提出问题，教师归纳、板书，形成自探提纲）自探提示（一）：请同学们自学教材p113页内容，独立解决以下问题，时间4分钟。
1、什么叫仰角？2、什么叫俯角？3、本课导语的图中，有仰角和俯角吗？若有，请指出其中的仰角和俯角。
解疑合探（一）（学生自学结束后，小组内交流讨论自探过程中遇到的疑难问题，达成共识）1、在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；2、从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角。
自探提示（二）如图，为了测量旗杆的高度AB，在离旗杆22.7米的C处，用高1.20米的测角仪CD测得旗杆顶端A的仰角为22°，求旗杆AB的高.（精确到0.1米）(tan22°≈0.404)解疑合探（二）解：在Rt△ADE中，AE＝DE×tan a＝BC×tan a＝22.7×tan 22°≈9.17AB＝BE＋AE＝AE＋CD＝9.17＋1.20≈10.4（米）答:旗杆的高度约为10.4米．质疑再探在本节课的探究和学习过程中你还有那些疑惑或问题？请大胆提出来，大家共同解决。
华东师大版)九年级数学上册《24.4解直角三角形》教学设计
2.提问：“我们已经学习了勾股定理，那么如何利用勾股定理来解决直角三角形中的未知问题呢？”通过这个问题，引发学生对解直角三角形方法的思考。
3.引导学生回顾Βιβλιοθήκη 股定理的内容，为新课的学习做好知识铺垫。
c.正切函数：在直角三角形中，对于角A，正切函数定义为对边与邻边的比值，即tanA =对边/邻边。
2.通过具体实例，讲解如何运用三角函数解决直角三角形中的未知问题，如求角度和边长。
3.结合计算器，让学生学会计算三角函数的值，并解决实际问题。
（三）学生小组讨论
1.将学生分成小组，每组讨论以下问题：
a.如何利用三角函数解决实际问题？
三、教学重难点和教学设想
（一）教学重难点
1.理解并掌握三角函数的定义和性质，特别是正弦、余弦、正切函数在实际问题中的应用。
2.能够运用勾股定理和三角函数解决直角三角形中的未知角度和边长问题，以及解决一些实际问题。
3.培养学生运用数形结合、分类讨论等数学思想方法分析和解决问题的能力。
（二）教学设想
1.教学导入：通过生活中的实例，如测量旗杆高度、楼间距等，引出解直角三角形的问题，激发学生的学习兴趣，使其认识到数学与现实生活的紧密联系。
4.教学策略：
a.分层教学：针对学生的不同水平，设计不同难度的练习题，使每个学生都能在原有基础上得到提高。
b.适时反馈：在教学过程中，及时关注学生的学习情况，给予针对性的指导和鼓励，提高学生的学习信心。
5.教学评价：
a.过程性评价：关注学生在课堂讨论、实践操作等方面的表现，鼓励学生积极参与，培养其探究精神和创新能力。
九年级上册数学华东师大版教案24.4解直角三角形高品质版
24．4 解直角三角形第1课时解直角三角形及其应用【知识与技术】使学生理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形．【过程与方法】经过综合运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐渐培育学生剖析问题、解决问题的能力．【感情态度】浸透数形联合的数学思想，培育学生优秀的学习习惯．【教课要点】直角三角形的解法．【教课难点】三角函数在解直角三角形中的灵巧运用．一、创建情境，导入新知1．勾股定理的内容是什么？2．直角三角形中两锐角的关系是什么？3．直角三角形中边角有什么关系？4．△ABC中，∠C＝90°，(1)假定∠A＝30°，c＝10cm，那么a＝_______，b＝_______，∠B＝________．a b(2)假定∠A＝40°，c＝10cm，那么由sinA＝c，可得a＝______＝______，由cos A＝c得，b＝______＝______．二、合作研究，理解新知1．指引学生对三角函数进行变形，如由sin aA＝c，得a＝c·sin aA，c＝sin A等．(1)我们已掌握Rt△ABC的边角关系、三边关系、角角关系，利用这些关系，在知道此中的两个元素(起码有一个是边)后，便可求出其他的元素．2．“为何两个元素中起码有一条边？〞让全体学生思虑，在作出正确回复后，教师请学生归纳什么是解直角三角形？在直角三角形中，由的边角关系求出未知的边与角，叫做解直角三角形．3．对应练习如图①和②，依据图中的数据解直角三角形；①②在△ABC中，∠C为直角，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，且b＝20，∠B35°，解这个三角形(精准到0.1)．在△ABC中，∠C为直角，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，且c＝20，∠B35°，解这个三角形(精准到0.1)．【教课说明】(1)指引学生用多种方法解并组织学生比较各样方法中哪些较好，选一种板演．达成以后指引学生小结“一边一角，如何解直角三角形？〞答：先求此外一角，而后选用适合的函数关系式求另两边．计算时，利用所求的量如不比原始数据简易的话，最好用题中原始数据计算，这样偏差小些，也比较靠谱，防备第一步错致使一错究竟．做完以上练习后归纳解直角三角形的种类：①两条边；②一条边和一个锐角．在解直角三角形的过程中，常会碰到近似计算，本书除特别说明外，边长保留四个有效数字，角度精准到1′.知识运用例：以下列图，一棵大树在一次激烈的地震中于离地面5米处折断倒下，树顶落在离树根12米处．大树在折断以前高多少？教师展现教材中例1(图24.4.1)．我们在碰到实质问题时，熟习的问题联系起来，再把新问题转变为熟习的问题来进行研究．题变为我们熟习的图形呢？老是第一把新问题与我们那么，如何把这个实质问学生着手试试，分组沟通后，举手回复．师生共同绘图转变为直角三角形．明确：对于现实问题平时化为数学模型来办理，这里表达数学建模的思想.解：利用勾股定理能够求出折断倒下局部的长度为52＋122＝13.＋5＝18(米)．所以，大树在折断以前高为18米．三、试试练习，掌握新知根基练习1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，a、b、c是△ABC的三边，a＝5，b＝53，求c，∠A、∠B的值．2．教材第113页练习第1题．拓展练习3．在锐角△ABC中，AB＝6，AC＝7，∠B＝60°，求BC的长．4．请同学们达成?研究在线·高效讲堂?“随堂练习〞局部．四、讲堂小结，梳理新知经过本节课的学习，你有什么收获？本节的重要内容是解直角三角形的相关知识，解直角三角形的依照是勾股定理、两锐角互余和边角之间的关系，一般有两种种类：两边，一边和一锐角，解题时要选择适合的关系式，尽可能使用原题数据和防备做除法运算．五、深入练习，牢固新知请同学们达成?研究在线·高效讲堂?“课时作业〞局部．1．教材习题第1、2题．2．以下列图，是某单位的泊车棚上方的角钢固定架，E、F将BC四平分．问制成这样的钢架共需角钢多少米？假定BC＝15米，∠B＝28°，点(不考虑焊接损失，结果保留到D、1米)33．如图，在△ABC中，∠A＝30°，tan B＝2，AC＝23，求AB.第2课时方向角与解直角三角形第3课时仰角、俯角与解直角三角形【知识与技术】1．认识仰角、俯角、方向角的观点．2．能依据直角三角形的知识解决与仰角、俯角、方向角相关的实质问题．【过程与方法】能够借助协助线解决实质问题，掌握数形联合、抽象归纳的思想方法．【感情态度】感知本节与实质生活的亲密联系，认识知识应用于实践的意义．【教课要点】解直角三角形在实质中的应用．【教课难点】将某实质问题中的数目关系，归纳为直角三角形中元素之间的关系，进而解决问题．一、创建情境，导入新知1．什么叫解直角三角形？2．如图，△ABC中，∠B＝45°，∠C＝60°，AD⊥BC于D，AD＝2，求BC的长．二、合作研究，理解新知1．方向角指引学生复习与方向角相关的知识．例题．例1：如图，城气象部门测得今年第9号台风上午8时在A城南偏东30°的海面生成，A并以每小时40海里的速度向正北方向挪动，上午10时测得台风中心移到了A城南偏东45°的方向，假定台风中心120海里的范围内将受台风影响，问A城能否会受9号台风影响？剖析：A城能否会受台风影响，就是A城到台风挪动路线BC的距离能否大于120海里．解：过A作⊥于，设＝＝，那么＝3，AE BC E AE EC x BE x∵BC＝2×40＝80，∴BC＝BE－CE＝(3－1)x＝80.x＝40(3＋1)≈109.3<120.A城会受台风影响．【教课说明】经过例题，学会解决与方向角相关的问题．2．俯角、仰角几个观点：①铅垂线；②水平线；③视野；④仰角：视野在水平线的上方，视野与水平线的夹角；⑤俯角：视野在水平线的下方，视野与水平线的夹角．说明：学生阅读教材“读一读〞．教课时，能够让学生仰望灯或俯视桌面以领会仰角与俯角．例题例2：如图，为了丈量电线杆的高度AB，在离电线杆米的C处，用高米的测角仪CD测得电线杆顶端B的仰角α＝22°，求电线杆AB的高．(精准到米)解：在Rt△BDE中，BE＝DE×tanα＝AC×tanα＝×tan22°≈，∴AB＝BE＋AE＝BE＋DC＝＋≈(米)．答：电线杆的高度约为米．(3)练习教材第114页练习第1题．三、试试练习，掌握新知1.如图，小雅家(图中点O处)门前有一条东西走向的公路，经测得有一水塔处)在她家北偏东60度500m处，那么水塔所在的地点到公路的距离AB是((图中点)AA．250m B．2503m500C.33m D．2503m2．教材第114页练习第2题．如图，某数学兴趣小组在活动课上丈量学校旗杆高度，小明的眼睛与地面的距离AB是m，看旗杆顶部M的仰角为45°；小红的眼睛与地面的距离CD是m，看旗杆顶部M的仰角为30°.两人相距28米且位于旗杆双侧(点B、N、D在同一条直线上)．恳求出旗杆的高度．(参照数据：2≈，3≈，结果保留整数)MN【教课说明】达成上述问题后，让学生总结解决与仰角、俯角、方向角相关的问题时，常用以下两个根本图形．ACAC AC AC此中第一个图中知足：DE＝tanα＋tanβ，第二个图中知足DE＝tanα－tanβ.可让学生推导出这两个式子．4．请同学们达成?研究在线·高效讲堂?“随堂练习〞局部．四、讲堂小结，梳理新知经过本节课的学习，你有什么收获？请学生总结：经过学习两个例题及练习，初步学会把一些实质问题转变为数学识题，过解直角三角形来解决，详细来说，本节课经过让学生把实质问题转变为数学识题，切解直角三角形，进而把问题解决．通利用正本课波及一种重要数学思想：转变思想．五、深入练习，牢固新知请同学们达成?研究在线·高效讲堂?“课时作业〞局部．1．教材习题第3、4题．2.在我市迎接奥运圣火的活动中，某校教课楼上悬挂着宣传条幅DC，小丽同学在点A处，测得条幅顶端D的仰角为30°，再向条幅方向行进10米后，又在点B处测得条幅顶端D的仰角为45°，测点A、B和C离地面高度都为米，求条幅顶端D点距离地面的高度．(计算结果精准到米，参照数据：2≈，3≈1.732)3．如图，在小山的西侧A处有一热气球，以30米/分钟的速度沿着与垂直方向所成夹角为30°的方向升空，40分钟后抵达C处，这时热气球上的人发现，在A处的正东方向有一处着火点B，十分钟后，在D处测得着火点B的俯角为15°，求热气球升空点A与着火点B的距离．(结果保留根号，参照数据：sin15°＝6－26＋2，cos15°＝，tan15°＝442－3)第4课时利用坡角或坡比解直角三角形【知识与技术】会运用解直角三角形相关知识解决与坡度、坡角相关的实质问题．【过程与方法】逐渐培育学生剖析问题、解决问题的能力；浸透数形联合的数学思想和方法．【感情态度】进一步感知本节与实质生活的亲密联系，认识知识应用于实践的意义．【教课要点】解决相关坡度的实质问题．【教课难点】理解坡度的相关术语．一、创建情境，导入新知前面我们研究了与仰角、俯角、方向角相关的问题，今日研究与坡度、坡角相关的问题．二、合作研究，理解新知1．坡度、坡角的观点展现教材中“读一读〞，你看懂图了吗？几个观点：铅垂高度h；水平长度l；h(3)坡度(坡比)i：坡面的铅垂高度h和水平长度l的比i＝l；h(4)坡角α：坡面与水平面的夹角α；i＝l＝tanα.明显，坡度i越大，坡角α就越大，坡面就越陡．2．例题例1：如图，在山坡上种树，要求株距(相邻两树间的水平距离)是m，测得斜坡的倾斜角是24°，求斜坡上相邻两树间的坡面距离是多少(精准到m)．剖析：(1)例题中出现很多术语——株距、倾斜角，这些观点学生未接触过，比较生疏，而株距观点又是学生易记错之处，所以教师最好准备教具：用木板钉成一斜坡，再在斜坡上钉几个铁钉，利用这种直观教具更简单说明术语，切合学生的思想特色．指引学生将实质问题转变为数学识题画出图形(上图中的第二个图)．：Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝m，∠A＝24°，求AB.(3)学生运用解直角三角形知识完整能够独立解决例1.教师可请一名同学上黑板做，其余同学在练习本上做，教师巡视．AC解：在Rt△ABC中，cos A＝AB，ACAB＝cos A＝≈6.0(米)．答：斜坡上相邻两树间的坡面距离约是米．教师指引学生评论黑板上的解题过程，做到全体学生都掌握．3．练习：(1)沿山坡行进10米，相应高升5米，那么山坡坡度________，坡角________．(2)假定一斜坡的坡面的余弦为310，那么坡度为______．10(3)堤坝横断面是等腰梯形．(以下列图)①假定AB＝10，CD＝4，高h＝4，那么坡度i＝______，AD＝______；②假定AB＝10，CD＝4，i＝1，那么h＝______．5知识运用例2：如图，一段路基的横断面是梯形，高为米，上底的宽是米，路基的坡面与地面的倾角分别是32°和28°.求路基下底的宽．(精准到米)先让学生思虑：在碰到梯形时怎么把它切割成能够解决的图形呢？解：作DE⊥AB，CF⊥AB，垂足分别为E、F.由题意可知DE＝CF＝4.2(米)，CD＝EF＝12.51(米)．在Rt△ADE中，DE≈6.72(米)．∵i＝＝tan32°，∴AE＝tan32°AE在Rt△中，同理可得＝≈7.90(米)．BFC BF tan28°(1)AB＝AE＋EF＋BF≈＋＋≈(米)．答：路基下底的宽约为米．例3：沿水库拦水坝的背水坡，将坝顶加宽2m，坡度由本来的1∶2改为1∶，坝高6m，坝长50m，求：加宽局部横断面的面积；达成这一工程需要的土方是多少？剖析：加宽局部的横断面AFEB为梯形，故经过作梯形的高结构直角三角形，利用坡度的变化求解．∴解：(1)设梯形ABCD为原大坝的横截面图，梯形AFEB为加宽局部，过A、F分别作AG⊥BC于G，FH⊥BC于H.在Rt△ABG中，由i AB＝1∶2，AG＝6，得BG＝12，在Rt△EFH中，由i EF＝1∶，FH＝6，得EH＝15，EB＝EH－BH＝EH－(BG－HG)＝15－(12－2)＝5，S四边形AFEB＝1(2＋5)×6＝21m2.2V＝50×S四边形AFEB＝21×50＝1050m3.【教课说明】例3可依据学生状况、时间选择解说．三、试试练习，掌握新知1．在坡角为30°的斜坡上两树间的水平距离AC为2m，那么两树间的坡面距离AB为()A．4m B.3m433mC.mD．432．某商场门前的台阶截面以下列图．每级台阶的宽度(如CD)均为30cm，每级台阶高度(如BE)均为20cm.为了方便残疾人行走，商场决定将此中一个门的门前台阶改造成供轮椅行走的斜坡，而且设计斜坡的倾斜角为9°，请计算从斜坡起点A到台阶前的点B的水平距离．(参照数据：sin9°≈°≈，tan9°≈0.16)3．如图，水库堤坝的横断面成梯形ABCD，DC∥AB.迎水坡AD长为23米，上底DC长为2米，背水坡BC长也为2米，又测得∠DAB＝30°，∠CBA＝60°，求下底AB的长．答案：解：过D、C分别作DE⊥AB于E，CF⊥AB于F.在Rt△ADE中，∠A＝30°，AD＝23.DE＝AD sin30°＝3，AE＝AD cos30°＝3.在Rt△CBF中，BF＝BC cos60°＝1，∴AB＝AE＋EF＋BF＝3＋2＋1＝6(米)．答：下底的长为6米．4．请同学们达成?研究在线·高效讲堂?“随堂练习〞局部．四、讲堂小结，梳理新知经过本节课的学习，你有什么收获？教师请学生总结：1．在这种实质应用题中，都是直接或间接地把问题放在直角三角形中，固然有一些专业术语，但要明确各术语指的什么元素，要擅长发现直角三角形，用三角函数等知识解决问题．2．利用解直角三角形的知识解决实质问题的一般过程是：将实质问题抽象为数学识题(画出平面图形，转变为解直角三角形的问题)；依据条件的特色，适中采用锐角三角函数去解直角三角形；获得数学识题的答案；获得实质问题的答案．五、深入练习，牢固新知请同学们达成?研究在线·高效讲堂?“课时作业〞局部．教材第116页练习．2.如图，梯形是拦水坝的横断面图(图中i＝1∶3是指坡面的铅直高度DEABCD与水平宽度CE的比)，∠B＝60°，AB＝6，AD＝4，求拦水坝的横断面ABCD的面积．(结果保留三位有效数字．参照数据：3≈，2≈1.414)对爸爸的印象，从记事的时候，就有了，他留给我的印象就是缄默少言的，但是脸上却一直有浅笑，不论家里碰到了什么样的困难，只需有爸爸在，全部都能够雨过天晴的，小时候，家里很穷，但是作为孩子的我们〔我和哥哥〕，却很幸福。
华师大版九年级数学上册教案附教学反思：24.4 解直角三角形
24．4解直角三角形24．4.1解直角三角形及其简单应用●教学目标知识与技能理解解直角三角形的概念，并能熟练地根据题目中的已知条件解直角三角形．过程与方法通过综合运用直角三角形的相关知识解直角三角形，逐步培养学生分析问题解决问题的能力．情感态度与价值观在教学中逐步培养学生分析问题、解决问题的能力，渗透数形结合的数学思想和方法．●教学重点重点根据条件解直角三角形．难点从条件出发，正确选用适当的边角关系解题．教学设计一师一优课一课一名师(设计者：)教学过程设计一、创设情景，明确目标在直角三角形ABC中，∠C＝90°，a，b，c，∠A，∠B这五个元素间有哪些等量关系？1．边与边的关系：________________(勾股定理)2．角与角的关系：______________(两锐角互余)3．边角关系：sinA＝______，cosA＝______，tanA＝______，sinB＝______，cosB＝______，tanB＝______(锐角三角函数)二、自主学习，指向目标预习课本第112页至第113页，做《名师学案》的“知识储备”部分．三、合作探究，达成目标探究点解直角三角形活动在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形．问题：1．在直角三角形ABC中，∠C＝90°，已知两直角边长分别为a，b，如何求斜边c，和锐角∠A，∠B?2．在直角三角形ABC中，∠C＝90°，已知一直角边a，锐角A，如何求b，c和∠B?【展示点评】1．根据勾股定理，可求出斜边c，根据tanA＝a：b，可求出∠A，根据两锐角互余，可求出∠B.2．根据锐角三角函数tanA＝a：b，可求出边b，根据勾股定理可求出斜边c，根据两锐角互余，可求出∠B.【反思小结】1．题目中如果知道了两直角边，可首先根据勾股定理，求出斜边，再根据锐角三角函数，求出两锐角．2．题目中如果知道了一个锐角和一边，可首先根据锐角三角函数求出另外两边，根据两锐角互余，求出另外一锐角．【例题讲解】例1如图，一棵大树在一次强烈的地震中于离地面5米处折断倒下，树顶落在离树根12米处，则大树在折断之前高多少？解：利用勾股定理可以求出折断后倒下部分的长度为52＋122＝13(米)，13＋5＝18(米)答：大树在折断之前高18米．例2如图，在相距2000米的东、西两座炮台A、B处同时发现入侵敌舰C，在炮台A 处测得敌舰C在它的南偏东40°的方向，在炮台B处测得敌舰C在它的正南方，试求敌舰与两炮台的距离．(精确到1米)解：在Rt△ABC中，∵∠CAB＝90°－∠DAC＝50°，BCAB＝tan∠CAB，∴BC＝AB·tan∠CAB＝2000×tam50°≈2384(米)．∵ABAC＝cos50°，∴AC＝ABcos50°＝2000cos50°≈3111(米)．答：敌舰与A、B两炮台的距离分别约为3111米和2384米．【针对训练】见课本第113页练习第1，2题．四、总结梳理，内化目标1．解直角三角形常用到的知识点：勾股定理，两锐角互余，锐角三角函数．2．解直角三角形通常有下列两种情况：一、已知两直角边；二、已知一边和一锐角．五、达标检测，反思目标1．(中考·甘孜州)如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝30°，D是边AB上一点，∠BDC＝45°，AD＝4，求BC的长．(结果保留根号)2．(中考·厦门)已知钝角三角形ABC ，点D 在BC 的延长线上，连接AD ，若∠DAB ＝90°，∠ACB ＝2∠D ，AD ＝2，AC ＝32，根据题意画出示意图，并求tanD 的值．六、布置作业，巩固目标见课本第117页习题第1，2题． ●教学反思本节课为了充分发挥学生的主观能动性，可引导学生通过小组讨论，大胆地发表意见，提高学生学习数学的兴趣．能够使学生自己构造实际问题中的直角三角形模型，并通过解直角三角形解决实际问题．24．4.2仰角、俯角与解直角三角形的应用●教学目标知识与技能理解俯角和仰角的概念，并利用其解直角三角形．过程与方法综合利用仰角和俯角以及解直角三角形的知识，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．情感态度与价值观经历数学知识的挖掘与欣赏过程，进一步感受数学知识在图案设计中的应用，从而激发学生学习数学的兴趣．●教学重点重点理解仰角和俯角的概念，并运用解直角三角形．难点把实际问题转化为直角三角三角形求解．教学设计一师一优课一课一名师(设计者：)教学过程设计一、创设情景，明确目标1．什么是解直角三角形？2．解直角三角形至少需要几个条件？二、自主学习，指向目标预习课本第113页到114页，做《名师学案》的“知识储备”部分．三、合作探究，达成目标探究点仰角、俯角与解直角三角形活动阅读下文并做例题：如图，在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角：从上往下看，视线与水平的夹角叫做俯角．例题：如图：为了测量旗杆的高度BC，在离旗杆底部10米的A处，用高1.50米的测角仪DA测得旗杆顶端C的仰角α＝52°，求旗杆BC的高．(精确到0.1米)【展示点评】解：在Rt△CDE中∵CE＝DE×tanα＝AB×tanα＝10×tan52°≈12.80，∴BC＝BE＋CE＝DA＋CE≈1.50＋12.80＝14.3(米)答：旗杆BC的高度约为14.3米【反思小结】1．从上往下看，视线与水平线的夹角叫俯角；从下往上看，视线与水平线的夹角叫仰角．2．在解决仰角，俯角问题时，通常要添加辅助线，构造直角三角形，然后解直角三角形．【针对训练】见课本第114页练习第1，2题．四、总结梳理，内化目标1．仰角、俯角的定义；2．添加辅助线构造直角三角形．五、达标检测，反思目标1．(中考·嘉兴)如图，在地面上的点A处测得树顶B的仰角为α度，AC＝7米，则树高BC为__7tanα__米(用含α的代数式表示)．,第2题图)2．热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30°，看这栋楼底部的俯角为60°，热气球与高楼的水平距离为120米，这栋楼有多高？六、布置作业，巩固目标见课本第117页习题第3题．●教学反思上课前多揣摩，让学生更多地参与到课堂的教学过程中，让学生体验思考的过程，体验成功的喜悦和失败的挫折，舍得把课堂让给学生，让学生做课堂这个小小舞台的主角．使课堂更加鲜活，充满人性魅力，下课后多反思，做好反馈工作，不断总结得失，不断进步．只有这样，才能真正提高课堂教学效率．24．4.3 坡度、坡角与解直角三角形的应用●教学目标 知识与技能理解坡角、坡度的概念，并能解直角三角形． 过程与方法通过综合运用直角三角形的相关知识解直角三角形，逐步培养学生分析问题解决问题的能力．情感态度与价值观在教学中逐步培养学生分析问题、解决问题的能力，渗透数形结合的数学思想和方法． ●教学重点 重点 理解坡角、坡度的概念，并运用解直角三角形． 难点 把实际问题转化为直角三角形求解．教学设计一师一优课 一课一名师 (设计者： )教学过程设计一、创设情景，明确目标在修路、挖河、开渠和筑坝时，设计图纸上都要注明斜坡的倾斜程度．如图，坡面的铅垂高度(h)和水平长度(l)的比叫做坡面的坡度(或坡比)，记作i ，即i ＝hl .坡度通常写成1∶m 的形式，如i ＝1∶6.坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，有i ＝hl ＝tanα.显然，坡度越大，坡角α就越大，坡面就越陡． 二、自主学习，指向目标预习课本第115页，做《名师学案》的“知识储备”部分． 三、合作探究，达成目标探究点 坡比、坡角与解直角三角形活动例题：如图，一段路基的横断面是梯形，高为4.2米，上底宽为12.51米，其坡面的坡角分别是32°和28°，求路基下底的宽．(精确到0.1米)【展示点评】解：作DE ⊥AB ，CF ⊥AB ，垂足分别为点E 、F.由题意可知：DE ＝CF ＝4.2米 EF ＝CD ＝12.51米在Rt △ADE 中，DE AE ＝4.2AE ＝tan32° ∴AE ＝ 4.2tan32°≈6.72米在Rt △BCF 中，同理可得BF ＝4.2tan28°≈7.90米 ∴AB ＝AE ＋EF ＋BF ≈6.72＋12.51＋7.90≈27.1米 答：路基下底的宽约为27.1米 【反思小结】1．坡度(坡比)：坡面的铅垂高度h 和水平长度l 的比叫做坡面的坡度(或者坡比) 记作：i ＝hl坡度通常写成1∶m 的形式；2．坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，有i ＝hl＝tanα，坡度越大，坡角α就越大，坡面就越陡；反过来，坡角越大，坡比越大，坡面越陡． 3．作高构造直角三角形是常见的辅助线作法． 【针对训练】见课本第116页练习． 四、总结梳理，内化目标利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：(1)将实际问题抽象为数学问题(画出平面图形，转化为解直角三角形的问题，也就是建立适当的数学模型)；(2)根据条件的特点，适当选用锐角三角函数，运用直角三角形的有关性质，解直角三角形；(3)得到数学问题的答案； (4)得到实际问题的答案． 五、达标检测，反思目标 1．(中考·德州)如图是拦水坝的横断面，斜坡AB 的水平宽度为12米，斜面坡度为1∶2，则斜坡AB 的长为( B )A ．43米B ．65米C ．125米D ．24米 2．(中考·镇江)如图，小明从点A 处出发，沿着坡角为α的斜坡向上走了0.65千米到达点B ，sinα＝513，然后又沿着坡度为i ＝1：4的斜坡向上走了1千米达到点C.问小明从A 点到点C 上升的高度CD 是多少千米？(结果保留根号)六、布置作业，巩固目标见课本第121页第12题．●教学反思将解直角三角形应用到实际生活中，有利于培养学生的空间想象能力，即要求学生通过对实物的观察或根据文字语言中的某些条件，画出适合他们的图形．这一方面在教学过程应由学生展开，并留给学生思考的时间，给学生充分的自主思考空间和时间，让学生积极主动地学习．。
华东师大版数学九年级上册24.4解直角三角形教学设计
4.设计丰富的例题和练习，让学生在实际操作中巩固所学知识，提高解题能力。
5.注重知识间的联系，引导学生将解直角三角形与勾股定理、相似三角形等知识进行整合，形成完整的知识体系。
（三）情பைடு நூலகம்态度与价值观
1.培养学生对数学的兴趣和热情，激发学生主动学习的欲望。
3.重点：培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
难点：激发学生的创新思维，提高学生的应用意识和解决实际问题的能力。
（二）教学设想
1.教学方法：
（1）采用情境教学法，创设与学生生活密切相关的问题情境，引导学生主动探究解直角三角形的原理和方法。
（2）运用问题驱动法，引导学生提出问题，通过合作、讨论、探究等方式解决问题，培养学生的逻辑思维能力和团队合作精神。
2.教学内容：针对学生的个体差异，进行个性化辅导。
教学过程：关注学生的解题过程，针对不同学生的需求，给予个性化的辅导和指导。鼓励学生提问，解答学生的疑惑，提高学生的解题能力。
（五）总结归纳
1.教学内容：对本节课的重点知识进行梳理和总结。
教学过程：教师带领学生回顾本节课所学的知识点，如解直角三角形的原理、三角函数的应用、计算器使用等。通过提问、解答等方式，强化学生对知识点的记忆。
（3）优秀学生：完成课本习题24.4第5题，并撰写解题报告，探讨解直角三角形在实际问题中的应用。
5.预习作业：布置下一节课的相关预习内容，让学生提前了解下节课的知识点，为课堂学习做好准备。
作业要求：
1.学生在完成作业时，要认真审题，规范书写，确保解题过程的准确性。
2.鼓励学生在解题过程中相互讨论、交流，提高解题效率。
华东师大版九年级数学上册《24章 解直角三角形 24.4 解直角三角形 解直角三角形》教学案例_17
28.2 解直角三角形（一）一、教学目标1、使学生理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形．2、通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．3、渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯．二、教学重点、难点1．重点：直角三角形的解法．2．难点：三角函数在解直角三角形中的灵活运用．三、教学步骤(一)复习引入1．在三角形中共有几个元素？2．直角三角形ABC 中，∠C=90°，a 、b 、c 、∠A 、∠B 这五个元素间有哪些等量关系呢？(1)边角之间关系如果用α∠表示直角三角形的一个锐角，那上述式子就可以写成.的对边的邻边；的邻边的对边；斜边的邻边；斜边的对边αααααααααα∠∠=∠∠=∠=∠=cot tan cos sin(2)三边之间关系a 2 +b 2 =c 2 (勾股定理)(3)锐角之间关系∠A+∠B=90°．以上三点正是解直角三角形的依据，通过复习，使学生便于应用．（二）教学过程1．我们已掌握Rt △ABC 的边角关系、三边关系、角角关系，利用这些关系，在知道其中的两个元素(至少有一个是边)后，就可求出其余的元素．这样的导语既可以使学生大概了解解直角三角形的概念，同时又陷入思考，为什么两个已知元素中必有一条边呢？激发了学生的学习热情．2．教师在学生思考后，继续引导“为什么两个已知元素中至少有一条边？”让全体学生的思维目标一致，在作出准确回答后，教师请学生概括什么是解直角三角形？(由直角三角形中除直角外的两个已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形)．3．例题例1 在Rt △ABC 中，已知∠C =90°，a = 17， c ＝34．解这个直角三角形解这个直角三角形完成之后引导学生小结“已知一边一角，如何解直角三角形？”答：先求另外一角，然后选取恰当的函数关系式求另两边．计算时，利用所求的量如不比原始数据简便的话，最好用题中原始数据计算，这样误差小些，也比较可靠，防止第一步错a b A b a A c b A c a A ====cot ;tan ;cos ;sin b a B a b B c a B c b B ====cot ;tan ;cos ;sin导致一错到底4．巩固练习P91说明：解直角三角形计算上比较繁锁，条件好的学校允许用计算器．但无论是否使用计算器，都必须写出解直角三角形的整个过程．要求学生认真对待这些题目，不要马马虎虎，努力防止出错，培养其良好的学习习惯．(四)总结与扩展请学生小结：在直角三角形中，除直角外还有五个元素，知道两个元素(至少有一个是边)，就可以求出另三个元素．。
华师大版九年级数学上册24.4.1解直角三角形教学设计
7.评价与反思，促进成长：采用多元化评价方式，关注学生的过程表现和成果展示。引导学生进行自我反思，发现不足，制定改进措施，促进学生的成长。
8.融入信息技术，提高教学效果：利用多媒体、网络等信息技术手段，形象生动地展示解题过程，提高课堂教学效果。
3.突破难点，强化方法：通过讲解和演示，引导学生理解并掌握三角函数的定义和用法，结合具体例题，让学生在实际操作中突破难点。
4.合作学习，培养团队精神：组织学生进行小组讨论、交流，共同解决问题。教师在此过程中，引导学生学会倾听、表达、协作，培养团队精神。
5.创设互动课堂，提高学生参与度：鼓励学生提问、发表见解，教师及时给予反馈，营造积极向上的课堂氛围，提高学生的课堂参与度。
1.学生对勾股定理的应用还不够熟练，需要在实际例题中加强训练，提高解题速度和准确率。
2.学生对三角函数的理解和应用尚处于起步阶段，需要通过具体实例，让学生感受三角函数在解直角三角形中的价值。
3.部分学生对数学学习的兴趣不高，需要设计有趣、富有挑战性的教学活动，激发学生的学习热情。
4.学生在团队合作中，可能存在沟通不畅、分工不明确等问题，教师需引导学生学会相互协作，提高团队效率。
（二）讲授新知
1.讲解勾股定理法：通过具体例题，让学生理解并掌握如何运用勾股定理求解直角三角形的边长。
2.介绍三角函数法：讲解正弦、余弦、正切函数的定义和性质，引导学生学会运用三角函数求解直角三角形中的未知角度。
3.结合实际例题，展示如何运用勾股定理法和三角函数法求解直角三角形，让学生直观地感受解题过程。
华东师大版九年级上册 24.4 解直角三角形学案设计
DC第七讲 解直角三角形授课班级： 课程类型：□复习 □预习 □习题 上课日期： 年 月 日重点：三角函数的含义 难点：三角函数的计算考点一、直角三角形的性质1、直角三角形的两个锐角互余：可表示如下：∠C=90° ∠A+∠B=90°2、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。
3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半4、勾股定理： 如果直角三角形的两直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么a 2＋b 2＝c 2. 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方ABCa b c弦股勾勾：直角三角形较短的直角边 股：直角三角形较长的直角边 弦：斜边勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a ，b ，c 有下面关系：a 2＋b 2＝c 2，那么这个三角形是直角三角形。
Type 1直角三角形的性质[例1] 在 直角三角形ABC 中，∠ACB=90度，CD 是AB 边上中线，若CD=5cm,则AB=_____，三角形ABC 的面积=____________[变式] 在直角三角形ABC 中，∠ACB=90度，CD 是AB 边上中线，图中有__________个等腰三角形.[例2] 如图，在△ABC 中，∠B=∠C ，D 、E 分别是BC 、AC 的中点，AB=6，求DE 的长。
[变式1]如图，在锐角三角形ABC 中，AD ⊥BC 于D,E 、F 、G 分别是AC 、AB 、BC 的中点。
求证：四边形OEFG 是等腰梯形。
[变式2] 如图所示，BD 、CE 是三角形ABC 的两条高，M 、N 分别是BC 、DE 的中点 求证：MN ⊥DE考点二、锐角三角函数的概念 1、如图，在△ABC 中，∠C=90°①锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记为sinA ，即c asin =∠=斜边的对边A A②锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记为cosA ，即c bcos =∠=斜边的邻边A A③锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记为tanA ，即b atan =∠∠=的邻边的对边A A A④锐角A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切，记为cotA ，即abcot =∠∠=的对边的邻边A A A2、锐角三角函数的概念锐角A 的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A 的锐角三角函数 3、一些特殊角的三角函数值（1）互余关系：sinA=cos(90°—A)，cosA=sin(90°—A) ；（2）平方关系：1cos sin 22=+A A （3）倒数关系：tanA ∙tan(90°—A)=1 （4）商（弦切）关系：tanA=AAcos sin 5、锐角三角函数的增减性当角度在0°~90°之间变化时，（1）正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；（2）余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）；（3）正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；（4）余切值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大） ype 2 锐角三角函数求值问题[例1] 如图所示，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝13，BC ＝5，求∠A ，∠B 的正弦、余弦、正切值．[变式1]（1）在Rt △ABC 中，∠C 为直角，a=1，b=2，则cosA=________ ，tanA=_________． （2）在Rt △ABC 中，∠C 为直角， ∠A=300，b=4，则a=__________，c=__________．[变式2] 在△ABC 中，∠C 为直角，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别是a 、b 、c ，已知b=3， c=14．求∠A 的四个三角函数． [例2][变式]Type 3 特殊的锐角三角函数计算[例4] （1）11(1|1sin 30|2-⎛⎫--+ ⎪⎝⎭° （2）(tan 45π︒︒-+[变式]（1）︒-++︒-︒30sin 1160sin 260sin 2（2）︒-+-︒30sin 1)160(cos 2Type 5 锐角三角函数的关系 [例5] 已知求锐角．[变式]若∠A 为锐角，且tan 2A+2tanA-3=0，则∠A=______度．[例6]已知α为锐角，tan α=2，求aa aa sin 2cos 5cos 3sin -+[变式1] 已知α为锐角，tan α=31 ，求aa a sin 1cos tan ++BEDC BA[变式2]已知α为锐角，且1sin cos 5αα-=，求sin cos αα+的值．Type 6 综合问题[例1] 如图，在矩形ABCD 中，DE ⊥AC 于E ，设ADE α∠=，且35cos α=，AB=4，则AD 的长为多少？[变式1] △ABC 中，∠C=90°，D 为BC 中点，DE ⊥AB 于E ，tanB=21，AE=7，求DE 长。
华师大版数学九年级上册24.4《直角三角形的性质》说课稿
华师大版数学九年级上册24.4《直角三角形的性质》说课稿一. 教材分析华师大版数学九年级上册第24.4节《直角三角形的性质》是学生在学习了锐角三角形、钝角三角形的基础上，进一步探讨直角三角形的性质。
本节课的内容包括直角三角形的定义、直角三角形的边角关系、直角三角形的内切圆等。
通过本节课的学习，学生能够深入理解直角三角形的性质，提高解决问题的能力。
二. 学情分析九年级的学生已经掌握了锐角三角形和钝角三角形的基本知识，对于三角形的性质有一定的了解。
但是，对于直角三角形的特殊性质，学生可能还比较陌生。
因此，在教学过程中，我将会以引导为主，让学生通过观察、思考、讨论，自主地发现和总结直角三角形的性质。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：让学生掌握直角三角形的定义和性质，能够运用这些性质解决实际问题。
2.过程与方法目标：通过观察、思考、讨论等过程，培养学生的逻辑思维能力和团队协作能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣，培养学生的自主学习能力。
四. 说教学重难点1.教学重点：直角三角形的定义和性质。
2.教学难点：直角三角形性质的推导和应用。
五. 说教学方法与手段在本节课的教学中，我将采用问题驱动的教学方法，引导学生通过观察、思考、讨论等方式自主地发现和总结直角三角形的性质。
同时，我会运用多媒体教学手段，如PPT、几何画板等，为学生提供丰富的教学资源，帮助学生更好地理解和掌握知识。
六. 说教学过程1.导入：通过复习锐角三角形和钝角三角形的性质，引出直角三角形的性质，激发学生的学习兴趣。
2.新课导入：介绍直角三角形的定义，引导学生观察和思考直角三角形的特殊性质。
3.性质探究：引导学生通过观察、思考、讨论等方式，自主地发现和总结直角三角形的性质。
4.性质证明：运用几何画板等教学手段，引导学生证明直角三角形的性质。
5.性质应用：通过实例，引导学生运用直角三角形的性质解决实际问题。
6.课堂小结：总结本节课的主要内容和知识点，帮助学生巩固所学。
【新华东师大版】九年级数学上册：24.4《解直角三角形》学案(4课时)
24.4解直角三角形(1)【学习目标】使学生理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯．【学习重点】直角三角形的解法．【学习难点】三角函数在解直角三角形中的灵活运用【课标要求】能利用三角函数的知识解决实际问题【知识回顾】1．在三角形中共有几个元素？2．直角三角形ABC中，∠C=90°，a、b、c、∠A、∠B这五个元素间有哪些等量关系呢？(1)边角之间关系(2)三边之间关系(3)锐角之间关系【自主学习】1、如图所示，一棵大树在一次强烈的地震中于离地面10米处折断倒下，树顶落在离树根24米处．大树在折断之前高多少？【例题学习】2、一个公共房屋门前的台阶共高出地面1．2米．台阶被拆除后，换成供轮椅行走的斜坡．根据这个城市的规定，轮椅行走斜坡的倾斜角不得超过9°．从斜坡的起点至楼门的最短的水平距离该是多少？（sin9°≈0.16，cos9°≈0.99，tan9°≈0.16，精确到0．1米）【巩固训练】3、如图，从点C测得树的顶角为33º，BC＝20米，则树高AB多少米？（参考数据：sin33°≈0.54，cos33°≈0.84，tan33°≈0.65，结果精确到0.1米）4、小明放一个线长为125米的风筝，他的风筝线与水平地面构成39°角．他的风筝有多高？（sin39°≈0.63，cos39°≈0.78，tan39°≈0.81，精确到1米）【归纳小结】【作业】1、在△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，那么sinA=________．2、在△ABC中，∠C=90°，sinA=35，则cosA的值是（）A．35B．45C．916.2525D3、如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图．其中AB．CD分别表示一楼．二楼地面的水平线，∠ABC=150°，BC的长是8 m，则乘电梯从点B到点C上升的高度h是（）Am B．4 m C． m D．8 m4、某人想沿着梯子爬上高4米的房顶，梯子的倾斜角（梯子与地面的夹角）不能大于60°，否则就有危险，那么梯子的长至少为（）A．8米B．C米D米5、在平静的湖面上，有一枝红莲，高出水面1米，阵风吹来，红莲被风吹到一边，花朵齐及水面，已知红莲移动的水平距离为2米，问这里水深多少？6、如图，在一棵树的10米高B处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树20米处的池塘A处．另一只爬到树顶D后直接跃到A处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，求这棵树的高度．7、若河岸的两边平行，河宽为900米，一只船由河岸的A处沿直线方向开往对岸的B处，AB与河岸的夹角是600，船的速度为5米/秒，求船从A到B处约需时间几分。
新华东师大版九年级数学上册：24.4《解直角三角形4》学案
25.3 解直角三角形 (4)【学习目标】依据直角三角形的知识解决有关坡度坡角的实质问题．逐渐培育分析问题、解决问题的能力。
【学习要点】擅长将某些实质问题中的数目关系归纳为直角三角形中元素之间的关系，从而解决问题。
【学习难点】实质问题转变为数学模型。
【课标要求】能利用三角函数的知识解决实质问题。
【自主学习】在修路、挖河、开渠和筑坝时，设计图纸上都要注明斜坡的倾斜程度．如图，坡面的铅垂高度（h）和水平长度（l ）的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作 i ，即i h．l坡度平时写成1∶ m 的形式，如i ＝ 1∶6．坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，有i h ＝tanα．明显，坡度越大，坡角α就越大，坡面就越陡．l【例题学习】1、如图，一段路基的横断面是梯形，高为4． 2 米，上底的宽是12．51 米，路基的坡面与地面的倾角分别是32°和 28°．求路基下底的宽．（精确到0． 1 米sin32 °≈ 0.529 ，cos32 °≈ 0.848 ，tan32 °≈ 0.624 ，sin28 °≈ 0.469 ，cos28 °≈0.848 ， tan28 °≈ 0.532 ）【牢固练习】2、如图，有一段斜坡BC 长为 10 米，坡角CBD 12 ，为方便残疾人的轮椅车通行，现准备把坡角降为 5°．（ 1）求坡高 CD ;（ 2）求斜坡新起点A 与原起点B 的距离（精确到0.1 米， sin12 °≈ 0.208 ，cos12 °≈ 0.978 ，tan12 °≈ 0.213 ，sin5 °≈ 0.087 ，cos5 °≈ 0.996 ，tan5 °≈ 0.087 ）C°12°A5BD3、庞亮和李强相约周六去登山，庞亮从北坡山脚C 处出发，以24 米 / 分钟的速度登攀，同时，李强从南坡山脚B 处出发．如图，已知小山北坡的坡度i1∶ 3 ，山坡长为 240 米，南坡的坡角是 45°．问李强以什么速度登攀才能和庞亮同时到达山顶 A ？（将山路 AB 、 AC 看作线段，结果保留根号）。
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A B C
D
用解直角三角形解视角问题
一、学习目标
理解仰角、俯角、方向角并会解直角三角形的知识解与仰角、俯角、方向角有关的实际问题。
二、学习重点
重点: 应用解直角三角形的知识解决与仰角、俯角、方向角有关的实际问题。
难点：把实际问题转化为数学问题？
三、自主预习
（一）知识回顾
1.如何构建直角三角形？如何作辅助线？
2直角三角形的边角关系？
3.仰角与俯角
4.方向角
（1）如图方向角：OA：_____，OB：_______，OC：_______，OD：________．
（2）东南、西南可以表示哪个方向？
四、合作探究
1．如图，塔AB和楼CD的水平距离为80m，从楼顶C处及楼底D处测得塔顶A的仰角分别为450和600，试求塔高和楼高。
2. 一艘轮船由海平面上A地出发向南偏西400的方向行驶40海里到达B地，再由B地向北偏西20°方向行驶40海里到达C地，求A、C两地相距？
C
B
A 北
北
五、巩固反馈
1.王英同学从A 地沿北偏西0
60方向走100m 到B 地，再从B 地向正南方向走200m 到C 地，此时王英同学离A 地（ ）
A 、
、100m C 、150m D 、
2.如图，一艘轮船向正东方向航行，上午9时测得它在灯塔P 的南偏西300
方向，距离灯塔120海里的M 处，上午11时到达这座灯塔的正南方向的N 处，则这艘轮船在这段时间内
航行的平均速度是 海里/时。
3.在数学活动课上，九年级（1）班数学兴趣小组的同学们测量校园内一棵大树的高度，设计的方案及测量数据如下：
(1)在大树前的平地上选择一点A ，测得由点看大树顶端C 的仰角为35°；
(2)在点A 和大树之间选择一点B （A 、B 、D 在同一直线上），测得由点B 看大树顶端C 的仰角恰好为45°；
(3)量出A 、B 两点间的距离为4.5 .
请你根据以上数据求出大树CD 的高度.(结果保留3个有效数字)
北东
M
P N
A
B
C
D
第3题图。