微积分课件1(面向21世纪课程教材)

(4) 取最值函数
y max{ f ( x ), g( x )}
y
f ( x) g( x )
y min{ f ( x ), g( x )}
y
f ( x) g( x )
o
x
o
x
对应规则以用方程 F(x,y)=0 形式表示的函数。 (5)隐函数：
如 1) x 2 e y x 3 , 2) x 2 e xy y 2 3 x
-x
f ( x )
o 奇函数
x
x
例1、判断函数
f ( x) x ln(x x 1)
2
的奇偶性。
解： f ( x ) f ( x ) x ln(x x 2 1) x ln( x x 2 1)
f ( x2 )
y f ( x)
y f ( x)
fห้องสมุดไป่ตู้( x1 )
f ( x2 )
单减
f ( x1 )
o
x1
x2
x o
x1
x2
x
三、奇偶性
(1)设D关于原点对称 , 对于x D, 有 f ( x ) f ( x )
或f ( x )＋f ( x ) 2 f ( x )
y
称 f ( x )为偶函数 ;
x0
x0
x0
x
( x0 , x0 ) 称为点x0 的左邻域, ( x0 , x0＋ ) 称为点x0 的右邻域 。
满足 x M ( M 0) 的 x 的集合称为∞点的 M 邻域。
即∞点的 M 邻域是 (, M ) ( M ,)
§1.3
函数关系
一、常量与变量: 在某过程中数值保持不变的量称为常量, 而数值变化的量称为变量。 注意 常量与变量是相对“过程”而言的。
(2) 符号函数
1 当x 0 y sgn x 0 当x 0 1 当x 0
y 1 o -1 y x
x sgn x x
1 4 (3) 取整函数 y=[x] 3 2 [x]表示不超过 x 的最大整数 x -4 -3 -2 -1 o -11 2 3 4 5 -2 -3 -4 阶梯曲线
图像关于 y轴对称
y f ( x)
f ( x )
-x o 偶函数 x
f ( x)
x
(2)设D关于原点对称 , 对于x D, 有 f ( x ) f ( x )
; 或f ( x )＋f ( x ) 0 称 f ( x )为奇函数
y
y f ( x)
图像关于原 点对称
f ( x)
定义: 点集 {( x, y) y f ( x), x D} 称为函数 y f ( x ) 的图像。
要点：
y
Z
f ( x0 )
y f ( x) ( x0 , f ( x0 ))
D x0
(1) 定义域非空；
o
x
如 y sinx 2 就不是函数 (2) 自变量取定一个值，相应的函数值只有一个(单值函数)。 如 x 2 y 2 1 就不是单值函数，而是多值的，
f (1) 2 , f (3) 3 2 1
2 0 x 3 1 f ( x 3) ( x 3) 2 1 x 3 2
3 x 2 2 x 1 2 x 1
故
D f ( x 3) [3,1]
( ) , ( ) 1
3x 2 f (3 x 2) _____; 3x 1 3x 2 f (3 x 2) (3 x 2) 1
1 1 1 t , 代入已知等式得 f (t ) 解：法一，令 t x 1 1 1 t 1 1 1 t f( ) 法二， f ( ) x 1 1 1 ( ) x
对于隐函数x 2 e y x 3
由e y 3 x x 2 可得其显函数式y ln 3 x x 2


而隐函数 x 2 e xy y 2 3 x要转为显函数就很困难 。
§1.4
函数的简单性质
一、有界性
若X D, M 0, x X , 有 f ( x ) M 成立,
A B : 集合 A 与 B 的所有公共元素构成的新集合。
如 A {2, 3, 5} B {1 ,2, 3, 4} 则 A B { 2, 3}
A B :
属于 A ，但不属于 B 的元素构成的新集合。 则 A B { 5}
如 A {2, 3, 5} B {1 ,2, 3, 4} 显然，
b
o
x x
闭区间:
半开区间:
(a, b] x a x b
[a, b) x a x b
有限区间： a, b 都是有限数，
b a 称为区间的长度。
无限区间：a, b 中至少有一个是无限数 ∞。
[a ,) { x a x }
o
a
x
( , b) { x x b}
二、单调性 设函数 f ( x ) 的定义域为 D, 区间 I D , 若对于区间 I 上任意两点 x1 x2 恒有 1、 f ( x2 ) f ( x1 ) 0 则称函数f ( x )在区间I 上单调增加。
x2 x1
2、 f ( x 2 ) f ( x1 ) 0 则称函数f ( x )在区间I 上单调减少。 x 2 x1 单增 y y
如大于0且小于1 的实数集
二、集合的表示法 列举法： 把集合中的元素一一列举出来写在花括号中。 如 A {2, 3, 5, 7}
N {1 ,2, 3, 4 ,5, }
描述法： 集合 {元素元素所具有的共同特征 }
如 A {x x 2 3x 4}
B {( x, y)1 x2 y 2 4 }
2 D { x x 1 0} (,1] [1,) x 1 则
2
两个函数只有在上述两要素都相同时才相等。
例3、判定下列各对函数是否相同。
(1) f ( x) ln(x 2 3x 2), g( x) ln(x 1) ln(x 2)
解：f ( x )的定义域由 x 2 3 x 2 0解出是 (,1) (2,)
微 积 分
第二版
朱来义 主编 讲授：叶茂功
高等教育出版社
目录
第1章 函数 第2章 极限与连续 第3章 导数与微分 第4章 中值定理与导数的应用 第5章 不定积分
第1章 函数
• §1.1 • §1.2 • §1.3 • §1.4 • §1.5 • §1.6 集合 实数集 函数关系 函数的简单性质 反函数与复合函数 初等函数
x 1 0 的定义域由 解出是 x 2 0
g( x)
(2,)
定义域不同，两个函数不相等
(2) f ( x) ln(1 x 2 ), g( x) ln(1 x) ln(1 x)
解：按照对数性质，对应规则是相同的，且定义域都是 (1,1) 两要素相同，两个函数相等
当x0 D时, 称f ( x0 )为函数在点 x0处的函数值。
当函数用解析式表示时，将表达式中的 x 代为 x 0 即得 f ( x0 ) 全体函数值组成的数集 Zf { y y f ( x), x D} 称为函数的值域。
x , 则 例1、设 f ( x ) x 1
解： f ( )
o
b
x
二、绝对值: 运算性质:
a a0 a a a 0
( a 0)
a b a b;
ab a b ;
a a ; b b
x a ( a 0)
a
a
a x a;
a
0
a
x
x a ( a 0)
a
x a 或 x a;
0
a
x
, 且 0， 三、邻域: 设 x0 与 是两个实数
A
A
/
则 A/ {0,2,4,6,8,10, } 常用数集: N={自然数} Q={有理数} Z={整数}
U R={实数}
N Z , Z Q , Q R.
三、集合的运算
A B :
集合 A 与 B 的元素合并构成的新集合。 则 A B {1 ,2, 3, 4,5}
如 A {2, 3, 5} B {1 ,2, 3, 4}
A B A B
/
集合的运算的逻辑含义：
“∪”=或者，至少成立一个； “∩”=并且，同时成立；
“—”=肯定前者的同时否定后者。
A
/
= 否定A
§1.2 实数集
区间的端点
一、区间: 介于某两个实数 a < b 之间的全体实数。 开区间:
(a, b) x a x b
a b [a, b] x a x b o a
则称函数f ( x ) 在X上有界, 否则称无界。
y
M y=f(x) o -M 有界
y 上界 M
x
X 下界
o -M
X
x
无界
如
1 f ( x) 在( , ) 内有界，下界0、上界1 2 1 x
1
在 [ 1 , 6 ]上有界 如f ( x) ln x在(0,1]上无界，
ln6
0
1
0 1 6
§1.1
一、概念
集合
用大写字母表示
集合: 具有某种特定属性的事物的总体。 元素: 组成集合的事物的个体。 （性质：确定、互异、无序）
用小写字母表示
a 在 M 中， 记作 a M a 不在 M 中，记作 a M