高中物理第五章曲线运动章末总结教学案新人教版必修2

第五章曲线运动章末总结一、运动的合成和分解1.小船渡河的两类典型问题设河宽为d、水流的速度为v水(方向：沿河岸指向下游)、船在静水中的速度为v船(方向：船头指向).图1(1)最短时间船头垂直于河岸行驶，t min ＝dv 船，与v 水的大小无关.船向下游偏移：x ＝v 水t min (如图1甲所示). (2)最短航程①若v 船>v 水，则x min ＝d ，此时船的航向垂直于河岸，船头与上游河岸成θ角，满足cos θ＝v 水v 船(如图乙所示). ②若v 船<v 水，此时船头指向应与上游河岸成θ′角，满足cos θ′＝v 船v 水，则x min ′＝d cos θ′＝v 水v 船d (如图丙所示). 2.绳、杆关联速度问题绳、杆等连接的两个物体在运动过程中，其速度通常是不一样的，但两者的速度是有联系的(一般两个物体沿绳或杆方向的速度大小相等)，我们称之为“关联”速度.解决此类问题的一般步骤如下：第一步：先确定合运动，物体的实际运动就是合运动；第二步：确定合运动的两个实际作用效果，一是沿牵引方向的平动效果，改变速度的大小；二是沿垂直于牵引方向的转动效果，改变速度的方向； 第三步：按平行四边形定则进行分解，作好运动矢量图； 第四步：根据沿绳(或杆)牵引方向的速度相等列方程.例1 如图2所示，两次渡河时船头指向均垂直于岸，且船相对水的速度大小不变.已知第一次实际航程为A 至B ，位移为x 1，实际航速为v 1，所用时间为t 1.由于水速增大，第二次实际航程为A 至C ，位移为x 2，实际航速为v 2，所用时间为t 2.则( )图2A.t 2>t 1，v 2＝x 2v 1x 1B.t 2>t 1，v 2＝x 1v 1x 2 C.t 2＝t 1，v 2＝x 2v 1x 1D.t 2＝t 1，v 2＝x 1v 1x 2答案 C解析 设河宽为d ，船自身的速度为v ，则t 1＝t 2；对合运动，过河时间t ＝x 1v 1＝x 2v 2，故C 正确.针对训练1 (多选)某河宽为600 m ，河中某点的水流速度v 与该点到较近河岸的距离d 的关系如图3所示.船在静水中的速度为 4 m/s ，要想使船渡河的时间最短，下列说法正确的是( )图3A.船在航行过程中，船头应与河岸垂直B.船在河水中航行的轨迹是一条直线C.渡河的最短时间为240 sD.船离开河岸400 m 时的速度大小为2 5 m/s 答案 AD解析 若船渡河的时间最短，船在航行过程中，必须保证船头始终与河岸垂直，选项A 正确；因水流的速度大小发生变化，根据运动的合成与分解可知，船在河水中航行的轨迹是一条曲线，选项B 错误；渡河的最短时间为t min ＝d v 船＝6004s ＝150 s ，选项C 错误；船离开河岸400 m 时的水流速度大小与船离开河岸200 m 时的水流速度大小相等，即v 水＝3300×200 m/s＝2 m/s ，则船离开河岸400 m 时的速度大小为v ′＝v 船 2＋v 水 2＝42＋22m/s ＝2 5 m/s ，选项D 正确. 例2 (多选)如图4所示，人在岸上拉船，已知船的质量为m ，水的阻力恒为F f ，当轻绳与水面的夹角为θ时，船的速度为v ，人的拉力大小为F ，则此时( )图4A.人拉绳行走的速度为v cos θB.人拉绳行走的速度为vcos θC.船的加速度为F cos θ－F fmD.船的加速度为F －F fm答案 AC解析 船的运动产生了两个效果：一是使滑轮与船间的绳缩短，二是使绳绕滑轮顺时针转动，因此将船的速度按如图所示进行分解，人拉绳行走的速度v 人＝v ∥＝v cos θ，选项A 正确，B 错误；绳对船的拉力等于人拉绳的力，即绳的拉力大小为F ，与水平方向成θ角，因此F cos θ－F f ＝ma ，解得a ＝F cos θ－F fm，选项C 正确，D 错误.针对训练2 如图5所示，水平面上有一汽车A ，通过定滑轮用绳子拉同一水平面上的物体B ，当拉至图示位置时，两绳子与水平面的夹角分别为α、β，二者速度分别为v A 和v B ，则v A 和v B 的比值为多少？图5答案 cos β∶cos α解析 物体B 实际的运动(合运动)水平向右，根据它的实际运动效果可知，两分运动分别为沿绳方向的分运动(设其速度为v 1)和垂直绳方向的分运动(设其速度为v 2).如图甲所示，有v 1＝v B cos β①汽车A 实际的运动(合运动)水平向右，根据它的实际运动效果，两分运动分别为沿绳方向的分运动(设其速度为v 3)和垂直绳方向的分运动(设其速度为v 4).如图乙所示，则有v 3＝v A cos α②又因二者沿绳子方向上的速度相等，即v 1＝v 3③ 由①②③式得v A ∶v B ＝cos β∶cos α.二、解决平抛运动的三个突破口 1.把平抛运动的时间作为突破口平抛运动规律中，各物理量都与时间有联系，所以只要求出抛出时间，其他的物理量都可轻松解出.2.把平抛运动的偏转角作为突破口如图6可得tan θ＝gt v 0＝2h x (推导：tan θ＝v y v x ＝gt v 0＝gt 2v 0t ＝2h x )tan α＝hx，所以有tan θ＝2tan α.从以上各式可以看出偏转角和其他各物理量都有关联，通过偏转角可以确定其他的物理量.图63.把平抛运动的一段轨迹作为突破口图7平抛运动的轨迹是一条抛物线，已知抛物线上的任意一段，就可求出水平初速度和抛出点，其他物理量也就迎刃而解了.设图7为某小球做平抛运动的一段轨迹，在轨迹上任取两点A 和B ，E 为AB 的中间时刻. 设t AE ＝t EB ＝T由竖直方向上的匀变速直线运动得FC －AF ＝gT 2，所以T ＝Δyg ＝FC －AFg由水平方向上的匀速直线运动得v 0＝EF T＝EFg FC －AF.例3 如图8所示，在倾角为37°的斜面上从A 点以6 m/s 的初速度水平抛出一个小球，小球落在B 点，求：(g 取10 m/s 2)图8(1)A 、B 两点间的距离和小球在空中飞行的时间；(2)小球刚碰到斜面时的速度方向与水平方向夹角的正切值.答案 (1)6.75 m 0.9 s (2)32解析 (1)如图所示，设小球落到B 点时速度的偏转角为α，运动时间为t .则tan 37°＝h x ＝gt 22v 0t ＝56t又因为tan 37°＝34，解得t ＝0.9 s由x ＝v 0t ＝5.4 m则A 、B 两点间的距离l ＝xcos 37°＝6.75 m(2)在B 点时，tan α＝v y v 0＝gt v 0＝32.三、圆周运动的动力学问题1.分析物体的运动情况，明确圆周轨道在怎样的一个平面内，确定圆心在何处，半径是多大.2.分析物体的受力情况，弄清向心力的来源，跟运用牛顿第二定律解直线运动问题一样，解圆周运动问题，也要先选择研究对象，然后进行受力分析，画出受力示意图.3.由牛顿第二定律F ＝ma 列方程求解相应问题，其中F 是指向圆心方向的合外力(向心力)，a是向心加速度，即v 2r或ω2r 或用周期T 来表示的形式.例4 如图9所示，两根长度相同的轻绳(图中未画出)，连接着相同的两个小球，让它们穿过光滑的杆在水平面内做匀速圆周运动，其中O 为圆心，两段细绳在同一直线上，此时，两段绳子受到的拉力之比为多少？图9答案 3∶2解析 对两小球受力分析如图所示，设每段绳子长为l ，对球2有F 2＝2ml ω2对球1有：F 1－F 2＝ml ω2由以上两式得：F1＝3mlω2故F1F2＝32.针对训练3 如图10所示，一根细线下端拴一个金属小球P，细线的上端固定在金属块Q上，Q放在带小孔的水平桌面上.小球在某一水平面内做匀速圆周运动(圆锥摆).现使小球改到一个更高一些的水平面上做匀速圆周运动(图上未画出)，两次金属块Q都保持在桌面上静止.则后一种情况与原来相比较，下面的判断中正确的是( )图10A.Q受到桌面的静摩擦力变大B.Q受到桌面的支持力变大C.小球P运动的角速度变小D.小球P运动的周期变大答案 A解析金属块Q保持在桌面上静止，对金属块和小球研究，竖直方向上没有加速度，根据平衡条件得知，Q受到桌面的支持力等于两个物体的总重力，保持不变，故B错误.设细线与竖直方向的夹角为θ，细线的拉力大小为F T，细线的长度为L.P球做匀速圆周运动时，由重力和细线的拉力的合力提供向心力，如图，则有F T＝mgcos θ，mg tan θ＝mω2L sin θ，得角速度ω＝gL cos θ，周期T＝2πω＝2πL cos θg，现使小球改到一个更高一些的水平面上做匀速圆周运动时，θ增大，cos θ减小，则得到细线拉力F T增大，角速度增大，周期T减小.对Q，由平衡条件知，F f＝F T sin θ＝mg tan θ，知Q受到桌面的静摩擦力变大，故A正确，C、D错误.故选A.四、圆周运动中的临界问题1.临界状态：当物体从某种特性变化为另一种特性时发生质的飞跃的转折状态，通常叫做临界状态，出现临界状态时，既可理解为“恰好出现”，也可理解为“恰好不出现”.2.轻绳类：轻绳拴球在竖直面内做圆周运动，过最高点时，临界速度为v＝gr，此时F绳＝0.3.轻杆类：(1)小球能过最高点的临界条件：v＝0；(2)当0＜v ＜gr 时，F 为支持力； (3)当v ＝gr 时，F ＝0； (4)当v ＞gr 时，F 为拉力.4. 汽车过拱形桥：如图11所示，当压力为零时，即G －m v 2R＝0，v ＝gR ，这个速度是汽车能正常过拱形桥的临界速度.v ＜gR 是汽车安全过桥的条件.图115.摩擦力提供向心力：如图12所示，物体随着水平圆盘一起转动，物体做圆周运动的向心力等于静摩擦力，当静摩擦力达到最大时，物体运动速度也达到最大，由F m ＝m v m2r得v m ＝F m r m，这就是物体以半径r 做圆周运动的临界速度.图12例5 如图13所示，AB 为半径为R 的光滑金属导轨(导轨厚度不计)，a 、b 为分别沿导轨上、下两表面做圆周运动的小球(可看做质点)，要使小球不脱离导轨，则a 、b 在导轨最高点的速度v a 、v b 应满足什么条件？图13答案 v a ＜gR v b ＞gR解析 对a 球在最高点，由牛顿第二定律得：m a g －F N a ＝m a v a2R①要使a 球不脱离轨道， 则F N a ＞0② 由①②得：v a ＜gR对b 球在最高点，由牛顿第二定律得：m b g ＋F N b ＝m b v b2R③要使b 球不脱离轨道， 则F N b ＞0④由③④得：v b ＞gR .针对训练4 如图14所示，叠放在水平转台上的小物体A 、B 、C 能随转台一起以角速度ω匀速转动，A 、B 、C 的质量分别为3m 、2m 、m ，A 与B 、B 与转台、C 与转台间的动摩擦因数都为μ，B 、C 离转台中心的距离分别为r 、1.5r .设最大静摩擦力等于滑动摩擦力.以下说法正确的是( )图14A.B 对A 的摩擦力一定为3μmgB.C 与转台间的摩擦力大于A 与B 间的摩擦力C.转台的角速度一定满足：ω ≤ 2μg3r D.转台的角速度一定满足：ω ≤ μg 3r答案 C解析 对A 受力分析，受重力、支持力以及B 对A 的静摩擦力，静摩擦力提供向心力，有F f ＝3m ω2r ，由此可知随着角速度的增大，摩擦力也增大，只有当A 要滑动时B 对A 的摩擦力才为3μmg ，故A 错误；由A 与C 转动的角速度相同，都是由摩擦力提供向心力，对A 有F f ＝3m ω2r ，对C 有F f C ＝m ω21.5r ，由此可知C 与转台间的摩擦力小于A 与B 间的摩擦力，故B 错误；当C 刚要滑动时的临界角速度为：μmg ＝m 1.5r ωC 2，解得ωC ＝ 2μg3r .对AB 整体要滑动时的临界角速度为：μ(2m ＋3m )g ＝(2m ＋3m )r ωAB 2，解得：ωAB ＝ μgr当A 刚要滑动时的临界角速度为：3μmg ＝3mr ωA 2解得：ωA ＝μgr由以上可知要想均不滑动角速度应满足：ω≤2μg3r，故C 正确，D 错误.。