2019年高考数学(文)高频考点揭秘与仿真测试专题34平面向量平面向量的应用_含解析

专题34 平面向量平面向量的应用
【考点讲解】
一、具本目标：
一）向量的应用
1.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.
2.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.
二）考点解读与备考:
1.近几年常以考查向量的共线、数量积、夹角、模为主，基本稳定为选择题或填空题，难度较低；
2.常与平面几何、三角函数、解析几何等相结合，以工具的形式进行考查，常用向量的知识入手.力学方面应用的考查较少.
3.备考重点：
(1) 理解有关概念是基础，掌握线性运算、坐标运算的方法是关键；
(2)解答与平面几何、三角函数、解析几何等交汇问题时，应注意运用数形结合的数学思想，将共线、垂直等问题，通过建立平面直角坐标系，利用坐标运算解题.
4.难点：向量与函数、三角函数、解析几何的综合问题.以向量形式为条件，综合考查了函数、三角、数列、曲线等问题.要充分应用向量的公式及相关性质，会用向量的几何意义解决问题，有时运用向量的坐标运算更能方便运算.
二、知识概述：
常见的向量法解决简单的平面几何问题：
1.垂直问题:
⊥⇔ .
(1)对非零向量a与b,a b
(2)若非零向量 .
2.平行问题:
(1)向量a与非零向量b共线,当且仅当存在唯一一个实数λ,使得 .
(2)设是平面向量,则向量a与非零向量b共线⇔ .
3.求角问题:
(1)设,a b 是两个非零向量,夹角记为α,则cos α= . (2)若
是平面向量,则cos α= .
4.距离（长度）问题:
(1)设(,)a x y =,则2
2
a a == ,即a = .
(2)
若
,
且
a AB
=,则
.
【答案】1.
2.(1)a b λ=,(2)
3.(1)
a b a b
⋅⋅,(2).
4.(1)
(2)
.
【优秀题型展示】 1. 在平面几何中的应用： 已知ABC D 中，,BC 边上的高为AD ，求点D
和向量AD 的坐标.
解得⎩⎨
⎧==1
1
y x ∴点D 坐标为（1，1），AD ＝（－1，2）. 【答案】AD ＝（－1，2）
【变式】已知四边形ABCD 的三个顶点(02)A ，，(12)B --，，(31)C ，，且2BC AD =，则顶点D 的坐标为 （ ） A ．722⎛
⎫ ⎪⎝⎭
，
B ．122⎛⎫- ⎪⎝⎭
，
C ．(32)，
D ．(13)，
【答案】A
【变式】已知正方形OABC 的边长为1，点D E 、分别为AB BC 、的中点，求cos DOE ∠的值.
【解析】以OA OC 、为坐标轴建立直角坐标系,如图所示.
由已知条件,可得
2.在三角函数中的应用： 已知向量3(sin ,)4
a x =，
．设函数，已
知在ABC ∆中，内角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，若a =
，2b =，sin B =，求
（[0,
]3
x π
∈）的取值范围.
因为+
32.
所以
=12
-
,
，,
所以.
【答案】
3.在解析几何中的应用：
（1）已知直线x ＋y ＝a 与圆x 2＋y 2
＝4交于A 、B 两点，且|OA →＋OB →|＝|OA →－OB →|，其中O 为坐标原点，则实数a 的值为________．
【解析】如图所示，以OA 、OB 为边作平行四边形OACB ， 则由|OA →＋OB →|＝|OA →－OB →
|得， 平行四边形OACB 是矩形，OA →⊥OB →
.
由图象得，直线y ＝－x ＋a 在y 轴上的截距为±2.
【答案】±2
（2)椭圆
的焦点为F ,1F 2，点P 为其上的动点，当∠F 1P F 2为钝角时，点P 横
坐标的取值范围是 .
【答案】（
）
法二：F 1（－5,0）F 2（5,0）,设P （x,y ）.
21PF F ∠ 为钝角，
∴
=
2
5109
x -<. 解得：
.
∴点P 横坐标的取值范围是（）.
【答案】（）
【真题分析】
1.【2017浙江，15】已知向量,满足则
的最
小值是________，最大值是_______．
设
，则
，
那么有
，因为
，所
以
，可以得到
的最小值是4，最大值是52
.
【答案】4，2. 【2015高考安徽，文15】ABC ∆是边长为2的等边三角形，已知向量b a 、满足a AB
2=→，
，则下列结论中正确的是 .（写出所有正确结论得序号）
①a
为单位向量；②b 为单位向量；③b a ⊥；④→BC b // ；⑤。

【解析】本题主要考查平面向量的基本概念和基本性质的应用.
∵等边三角形ABC 的边长为2,a AB
2=＝21=⇒,故①正确；
∵
∴
，故②
错误，④正确；由于
夹角为
120，故③错误；又
∵
∴
，故⑤正确 因此，正确的编号是①④⑤
【答案】①④⑤
3.【2014上海,文14】已知曲线C ：，直线l ：x=6.若对于点A （m ，0）,存在
C 上的点P 和l 上的点Q 使得
，则m 的取值范围为 .
【解析】本题考点是向量线性运算与解析几何中点与直线的位置关系的应用.由
知A 是PQ 的中点，设(,)P x y ，则
，由题意
20x -≤≤，26m x -=，解得23m ≤≤．
【答案】[2,3]
4.【 2014湖南16】在平面直角坐标系中,O 为原点,动点D 满足CD =1，则
的最大值是_________.
【答案】1+ 5.【2014，安徽文10】设,a b 为非零向量，2b a =，两组向量1234,,,x x x x 和均由2个a 和2个b 排列而成，若
所有可能
取值中的最小值为2
4a ，则a 与b 的夹角为
（ ）
A ．23π
B ．
3π C ．6
π
D ．0 【解析】本题的考点是向量的数量积运算与分类讨论思想的应用．
由题意
有以下三种可能：①
；②
；
③
，已知第②种情况原式的值最小，即
，解得
，即
,3
a b π
=
，故选B ．
【答案】 6.已知向量a ＝(sin θ，cos θ)与b ＝(3，1)，其中θ∈(0，π
2
)．
(1)若a ∥b ，求sin θ和cos θ的值；(2)若f (θ)＝(a ＋b )2
，求f (θ)的值域．
【解析】(1)∵a ∥b ，∴sin θ·1－3cos θ＝0，求得tan θ＝ 3.
又∵θ∈(0，π2)，∴θ＝π
3.
∴sin θ＝
32，cos θ＝12
. (注：本问也可以结合sin 2θ＋cos 2
θ＝1或化为2sin(θ－π3
)＝0来求解)
(2)f (θ)＝(sin θ＋3)2＋(cos θ＋1)2
＝23sin θ＋2cos θ＋5＝4sin(θ＋π6)＋5，
又∵θ∈(0，π2)，θ＋π6∈(π6，2π3)，12<sin(θ＋π
6)≤1，
∴7<f (θ)≤9，即函数f (θ)的值域为(7,9].
7.已知j i ,是x ,y 轴正方向的单位向量，设a =
,
b
=,且满足||a
|－|b ||=2.求点P (x ,y )的轨迹C 的方程.
8.在直角坐标系xOy 中，已知点，点(,)P x y 在ABC
∆三边围成的区域（含边界）上，且.
（1）若2
3
m n ==
，求||OP ；（2）用,x y 表示m n -，并求m n -的最大值. 【解析】
（1）
，(2,1)AC =.
，又23
m n =
=
.
，
.
（2）
即，两式相减得：.
令y x t -=，由图可知，当直线y x t =+过点(2,3)B 时，t 取得最大值1，故m n -的最大值为1.
【答案】（1）（2）
，1.。