2020年山东省淄博市高三一模数学试题

数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

l ．已知集合{}{}220,2A x x x B x Z x =--==∈≤，则A B ⋂= A ．{1，2}B ．{1，－2}C ．{－1，2}D ．{－1，－2}2．复数()()2a i i --的实部与虚部相等，其中i 为虚数单位，则实数a = A ．3B ．13-C. 12-D ．1-3．设m R ∈，命题“存在m>0，使方程20x x m +-=有实根”的否定是 A ．任意m>0，使方程20x x m +-=无实根 B ．任意m ≤0，使方程20x x m +-=有实根 C ．存在m>0，使方程20x x m +-=无实根 D ．存在m ≤0，使方程20x x m +-=有实根4. 52mx⎫+⎪⎭的展开式中5x 的系数是10-，则实数m= A ．2B ．1C ．1-D ．2-5．函数()()[]sin 0f x x θπ=+在，上为增函数，则θ的值可以是 A ．0B.2πC. πD ．32π6.若圆锥轴截面面积为60°，则体积为A.3B.3C.3D.37.2019年10月17日是我国第6个“扶贫日”，某医院开展扶贫日“送医下乡”医疗义诊活动，现有五名医生被分配到四所不同的乡镇医院中，医生甲被指定分配到医院A ，医生乙只能分配到医院A 或医院B ，医生丙不能分配到医生甲、乙所在的医院，其他两名医生分配到哪所医院都可以，若每所医院至少分配一名医生，则不同的分配方案共有 A.18种 B.20种 C.22种 D.24种8.在ABC ∆中，0,2,OA OB OC AE EB AB AC λ++===u u u ur u u u u r u u u r u u u r u u u r r u u u r u u u r ，若9AB AC AO EC ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r ，则实数=λ A.33B.32C.63D.62二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分。

9.已知抛物线()220y px p =>上一点M 到其准线及对称轴的距离分别为3和22，则p的值可以是 A.2B.6C.4D.810.在正方体1111ABCD A B C D -中，P ，Q 分别为棱BC 和棱1CC 的中点，则下列说法正确的是A. 1//BC 平面AQPB.平面APQ 截正方体所得截面为等腰梯形C. 1A D ⊥平面AQPD.异面直线QP 与11A C 所成的角为60o11.居民消费价格指数（Consumer Price Index ，简称CPI ），是度量居民生活消费品和服务价格水平随着时间变动的相对数，综合反映居民购买的生活消费品和服务价格水平的变动情况.下图为国家统计局于2020年4月公布的2019年3月至2020年3月CPI 数据同比和环比涨跌幅折线图：（注：同比=CPI CPI 本月去年同月，同比涨跌幅=100%CPI CPICPI-⨯本月去年同月去年同月，环比=CPI CPI 本月上月，环比涨跌幅=100%CPI CPICPI-⨯本月上月上月） 则下列说法正确的是A.2019年12月与2018年12月CPI 相等B.2020年3月比2019年3月CPI 上涨4.3%C.2019年7月至2019年11月CPI 持续增长D.2020年1月至2020年3月CPI 持续下降12.已知函数()y f x =是R 上的奇函数，对于任意x R ∈，都有()()()42f x f x f +=+成立，当[)0,2x ∈时，()21xf x =-，给出下列结论，其中正确的是A. ()20f =B.点()4,0是函数()y f x =的图象的一个对称中心C.函数()y f x =在[]6,2--上单调递增D.函数()y f x =在[]6,6-上有3个零点三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.曲线()11ln f x x x=+在点()()1,1f 处的切线方程是___________. 14.记n S 为数列{}n a 的前n 项和，若12n n Sa =-，则7S =___________.15.如图，12,A A 分别是双曲线()22:10y C x a a-=>的左、右顶点，以实轴为直径的半圆交其中一条渐近线于点M ，直线2MA 交另一条渐近线于点N ，若1//MA NO u u u u r u u u r，则a =___________，若2F 为双曲线右焦点，则2MF O ∆的周长为_________.（本题第一空2分，第二空3分）16.某校为了解家长对学校食堂的满意情况，分别从高一、高二年级随机抽取了20位家长的满意度评分，其频数分布表如下：根据评分，将家长的满意度从低到高分为三个等级：假设两个年级家长的评价结果相互独立，根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率.现从高一、高二年级各随机抽取1名家长，记事件A ：“高一家长的满意度高于高二家长的满意度等级”，则事件A 发生的概率为__________.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（10分）等差数列{}()n a n N *∈中，123,,a a a 分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且其中的任何两个数不在下表的同一列.（1）请选择一个可能的{}123,,a a a 组合，并求数列{}n a 的通项公式；（2）记（1）中您选择的{}n a 的前n 项和为n S ，判断是否存在正整数k ，使得12,,k k a a S +成等比数列，若有，请求出k 的值；若没有，请说明理由. 18.（12分）如图，在直线2ACB ACB π∆∠=中，，,23CAB AC π∠==，点M 在线段AB 上.（1）若3 sin3CMA∠=，求CM的长；（2）点N是线段CB上一点，172BMN ACBMN S S∆∆==，且，求BM+BN的值.19.（12分）如图所示，在四棱锥P ABCD-中，底面ABCD为正方形，,6,8,10,PA AB PA AB PD N⊥===为PC的中点，F为棱BC上的一点。

（1）证明：面PAF⊥面ABCD；（2）当F为BC中点时，求二面角A NF C--余弦值.20.（12分）根据国家统计局数据，1978年至2018年我国GDP总量从0.37万亿元跃升至90万亿元，实际增长了242倍多，综合国力大幅提升.将年份1978，1988，1998，2008，2018分别用1，2，3，4，5代替，并表示为t；y表示全国GDP总量，表中()511ln1,2,3,4,5,5i i iiz y i z z====∑.（1）根据数据及统计图表，判断$$dt y bt a y ce =+=与（其中e=2.718…为自然对数的底数）哪一个更适宜作为全国GDP 总量y 关于t 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由），并求出y 关于t 的回归方程；（2）使用参考数据，估计2020年的全国GDP 总量.线性回归方程$$y bxa =+$中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为： ()()()$121,niii ni i x x y y bay bx x x==--==--∑∑$$. 参考数据：21.（12分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的短轴长为312,F F ，点B 是椭圆上位于第一象限的任一点，且当2120BF F F ⋅=u u u u r u u u u r时，232BF =u u u u r . （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若椭圆C 上点A 与点B 关于原点O 对称，过点B 作BD 垂直于x 轴，垂足为D ，连接AD 并延长交C 于另一点M ，交y 轴于点N.（i ）求ODN ∆面积最大值；（ii ）证明：直线AB 与BM 斜率之积为定值. 22.（12分）已知函数()()1ln f x x x R x λλ⎛⎫=+-∈⎪⎝⎭. （1）当1x >时，不等式()0f x <恒成立，求λ的最小值； （2）设数列()1n a n N n *=∈，其前n 项和为n S ，证明：2ln 24n n na S S -+>.数学试题参考答案及评分标准一、单英选择题：1-8 CBAC DDBD二、多项选择题：9.AC 10.ABD 11.BC 12.AB 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13.230x y +-=；14. 254-；15.3、3+16.0.42.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（10分） 解：（1）由题意可知：有两种组合满足条件： ①1238,12,16a a a ===，此时等差数列{}18,4n a a d ==，，……………………2分 所以其通项公式为 44n a n =+. …………………………4分 ②1232,4,6a a a ===，此时等差数列{}n a ，12,2a d ==，……………………2分 所以其通项公式为2n a n =. ……………………………4分（2）若选择①，226n S n n =+. ………………………………5分则()()222226221420k S k k k k +=+++=++.……………………………………6分若12,,k k a a S +成等比数列，则212k k a a S +=g ，…………………………………………7分即()()2244821420k k k +=++，整理，得222171059k k k k k ++=++=-，即，………………………………9分 此方程无正整数解，故不存在正整数k ，使12,,k k a a S +成等比数列.…………………10分若选择②，2n S n n =+， ……………………………5分则()()2222256k S k k k k +=+++=++， ……………………………6分若12,,k k a a S +成等比数列，则212k k a a S +=g ， ……………………………7分即()()222256k k k =++，整理得2560k k --=，因为k 为正整数，所以k =6.……………………………9分 故存在正整数6k =，使12,,k k a a S +成等比数列. …………………………10分 18.（12分）解：（1）在CAM ∆中，已知sin 233CAM CMA AC π∠=∠==，，由正弦定理，得sin sin CM ACCAM CMA=∠∠，……………………………………………………………2分于是，解得sin2333sin 32AC CM CMA π⋅⋅===∠⋅.…………………………………………4分（2）因为12BMN ACB S S ∆∆=，所以111sin 2232622BM BN π⋅⋅⋅=⨯⨯⨯， 解得 43BM BN ⋅=. ……………………………………6分 在BMN ∆中，由余弦定理得，()222232cos216MN BM BN BM BN BM BN BM BN π⎛⎫=+-⋅=+-⋅⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭，……………………………………9分 即()22372431BM BN ⎛⎫=+-⨯⨯+ ⎪⎪⎝⎭， ()()22198343BM BN +=+=+，………………………………………………11分故43BM BN +=+. ……………………………………………………………12分 19.（12分）证明：（1）因为底面ABCD 为正方形，所以AD=AB=8 又因为610PA PD ==，，满足222PA AD PD +=， 所以PA AD ⊥又,PA AB AD ⊥⊂面ABCD ，AB ⊂面ABCD ，AB AD A ⋂=，所以PA ⊥面ABCD. …………………………4分 又因为PA ⊂面PAF ，所以，面PAF ⊥面ABCD.………………………………………5分 （2）由（1）知AB,AD,AP 两两垂直，以A 为坐标原点，以AB,AD,AP 分别为,,x y z 轴建系如图所示，则()()()()()0,0,0,0,0,6,8,0,0,8,8,0,0,8,0A P B C D 则()()4,4,3,8,4,0N F ，所以()()()()8,4,0,4,4,3,0,8,0,8,8,6AF AN BC PC ====-u u u r u u u r u u u r u u u r，…………7分设面ANF 法向量为()1111,,n x y z =u u r ，则由1111111084044300n AF x y x y z n AN ⎧⋅=+=⎧⎪⎨⎨++=⋅=⎩⎪⎩u u r u u u r u u r u u u r得， 令111133331,,,14242z x y n ⎛⎫===-=- ⎪⎝⎭u u r 得，即；…………………………………9分同理可得，面PBC 的法向量为()23,0,4n =u u r，………………………………………10分所以12121233014cos ,n n n n n n ⨯++⨯⋅<>===u r u u r u r u u r u u u u u u r u u u r u r ， 所以二面角A NF C --余弦值为.……………………………………………12分 20.（12分） 解：（1）根据数据及图表可以判断，dt y ce =更适宜作为全国GDP 总量y 关于t 的回归方程. …………………………2分对dty ce =两边取自然对数得ln ln y c dt =+，令ln ,ln ,z y a c b d ===，得z a bt =+. …………………………………………3分因为()()()5125114.051.40510ii z i ii tt z btt-==-===-∑∑$， ………………………………………5分 所以 1.903 1.4053 2.312a z bt=-=-⨯=-$，………………………………………7分 所以z 关于t 的线性回归方程为 1.405 2.312zt =-$， 所以y 关于t 的回归方程为$()1.405 2.3122.312 1.405t t y e e e --==. ………………………8分（2）将 5.2t =代入$ 1.405 2.312t y e-=，其中1.405 5.2 2.312 4.994⨯-=，…………10分于是2020年的全国GDP 总量约为：$ 4.9945148y e e =≈=万亿元.…………………12分21.（12分）解：（1）设()2,0F c ，由2120BF F F ⋅=u u u u r u u u u r，得212BF F F ⊥.将x c =代入22221x y a b+=，得22232b b y BF a a ===u u u u r ，即，………………………2分由b =2a =，………………………………………………………………3分所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=. ……………………………………………4分 （2）设()()1122,,,B x y M x y ，则()()111,,0A x y D x --， （i ）易知ON 为ABD ∆的中位线，所以10,2y N ⎛⎫-⎪⎝⎭， 所以1111111112244ODN y S x x y x y ∆=⋅-=⋅=，………………………………………5分 又()11,B x y 满足22143x y +=，所以2211112432x y x +=≥⋅=11x y ≤，……………………………………6分故11144ODN S x y ∆=≤，当且仅当12x =112x y ==时取等号， 所以ODN ∆…………………………………………………………7分 （ii ）记直线AB 斜率为()110y k k x =>，则直线AD 斜率为1111222y y kx x ==，所以直线AD 方程为()12ky x x =-. ………………………………………8分 由()1222143k y x x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得()222221132120k x k x x k x +-+-=，……………………9分 由韦达定理得()2112223k x x x k -+=+，所以()2211212233233k x k x x x k k +=+=++，代入直线AD 方程，得31223k x y k =+，…………………………………………………………………11分于是，直线BM 斜率()311221221112332333BM k x kx y y k k x x k k x x k --+===--+-+， 所以直线AB 与BM 斜率之积为定值32-. ………………………………………12分 22.（12分）解：（1）由()()1ln f x x x R x λλ⎛⎫=+-∈ ⎪⎝⎭，得()22x x f x x λλ-+-'=.………2分 当12λ≥时，方程20x x λλ-+-=的2140λ∆=-≤，因式2x x λλ-+-在区间()1,+∞上恒为负数.所以1x >时，()0f x '<，函数()f x 在区间()1,+∞上单调递减.又()10f =，所以函数()0f x <在区间()1,+∞上恒成立； ……………………3分 当102λ<<时，方程20x x λλ-+-=有两个不等实根，且满足1211122x x λλ-+=<<=， 所以函数()f x 的导函数()f x '在区间⎛ ⎝⎭上大于零，函数()f x在区间⎛ ⎝⎭上单增，又()10f =，所以函数()f x在区间⎛ ⎝⎭上恒大于零，不满足题意； ………………………………………………………………4分 当0λ≤时，在区间()()11,ln ln f x x x x x λ⎛⎫+∞=+-≥ ⎪⎝⎭上，函数ln y x =在区间()1,+∞上恒为正数，所以在区间()1,+∞上()f x 恒为正数，不满足题意；…………5分 综上可知：若1x >时，不等式()0f x <恒成立，λ的最小值为12. …………6分 （2）由第（1）知：若1x >时，()()1111ln 22x x x x x x +-⎛⎫<--= ⎪⎝⎭. …………7分 若n N *∈，则()111111121ln 112121n n n n n n n ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫++⋅+- ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎣⎦⎣⎦+<= ⎪+⎛⎫⎝⎭+ ⎪⎝⎭，即()()11ln 1ln 221n n n n +-<++成立. …………………………………………8分 将n 换成1n +，得()()()()11ln 11ln 121211n n n n ++-+<+⎡⎤⎣⎦+++⎡⎤⎣⎦成立，即 ()()()()11ln 2ln 12122n n n n +-+<+++， 以此类推，得()()()()11ln 3ln 22223n n n n +-+<+++，…………………… ()()11ln 2ln 212214n n n n--<+- 上述各式相加，得 11111ln 2ln ln 2212214n n n n n n n-=<+++⋅⋅⋅++++-， ……………………10分 又2111112212n n S S n n n n -=++⋅⋅⋅++++-， …………………………11分 所以2ln 24n n n a S S -+>. ……………………………12分。