2011年高中数学 1.2《数列的函数特性》课件 北师大版必修5

14 。 3
综上所述，数列{bn}中项的最小值为 b4
274 14 ，最大值为 b1 。 243 3
[总结]“数列是一类特殊的函数”在此两例中体现得淋漓尽致， “特殊”是指自变量的取
2
5 83 y 6 x ， 值为自然数。 练习中数列 bn 可以看成二次函数 因此数列{bn}的最大 （小） 发现 18 54
当 0 q 1 时， f (1) s n
2sn1 sn2 an1 (q 1) 0 ；当 q 1 时，
f (q) s n q 2 2s n1q sn2 a1 (1 q) 0 。因此其图象与 x 轴必有两个不同的交点，则对应方程的判别式
，从而
由此可知：不满足条件①，即不存在常数c>0，使结论成立
②当时
，若条件①成立，因
且 此时，
，故只能有
即
但
时，
不满足条件②，即不存在常数c>0,使结论成立.
综合①②,即不存在常数c>0,使结论成立.
点拨： （1）设 f ( x) sn x 2 2sn1 x sn2 ，下证其图象与 x 轴有两个不同的交点，显然 S n ＞０，故其开口向上，令它的公比为 q，当 q＝1 时， f ( x) a1 (nx n 2)( x 1) ；
很多方法来解决，但是我们从中不难发现利用函数图象直观简便。
设计意图：函数图象是函数特征的直观体现，利用图象解决数 学问题（以形助数）是我们在解决问题中经常采用的手段。在 数列中，我们可以利用等差数列通项公式、前n项和公式及等比 数列的通项公式中展示的图象关系来解决问题，常常会起到意 想不到的效果。
例 3、已知数列 a n
n 1
为减函数,所以当 n=1,2,3,4 时, a n
274 ； 令 n=5 时， bn 1.576 ， 243
n 1
5 5 ; 当 n≥5,n∈N 时, a n 。 18 18
令 n=4 时， bn
2 所以 b4 b5 。因为 a n 3
Hale Waihona Puke (0,1] ，所以 a n =1 即 n=1 时，bn 最大值为 b1
例 2、在等差数列 a n 中，s n 是其前 n 项和，公差为 d 0 . （1）若 a n =m， a m =n(m≠n)，求 a m n （2）若 s m =s n (m≠n)，求 s m n
n(n 1)d d 2 d = n ( a1 )n 可知： s n 是关于 n 的二次 2 2 2 d 2 d 式，且无常数项，令 f( x )= x ( a1 ) x ，由 s m =s n 2 2 mn 得 f(m)=f(n)，则 x = 为此二次函数图象的对称轴， 2
设 f (n)=
1 2n 1
A、
1 1 1 (n∈N)，则 f (n+1)－ f (n)等于（ ） n 1 n 2 2n 1 1 1 1 1 B、 C、 D、 2n 2 2n 1 2n 2 2n 1 2n 2
点拨：此题从形式上看是考查对数列的通项的意义的理解，但事实上更侧重 于对函数符号及对应关系的考查，解决它的关键在于如何引导我们对函数 1 1 1 1 的概念的本质的理解，即如何正确表示 f (x) = x 1 x 2 x 3 2x
1 2
设计意图:此题意在寻找递增数列的条件，通过转化归结为恒成立 类型的问题，再利用函数的单调性求出最小值，从而得到结果。
an 练习 已知数列｛an｝的公式是 an= ，其中 a、b 均为正常数， bn 1
那么 an 与 an+1 的大小关系是 ( )
(A) an<an+1 (B) an>an+1 (C) an=an+1 (D)与 n 的取值相关
an
22 19 16 13 10 7 4 1 o －2
●
●
● ●
● ● ●
1 ●
2
3
4
5
6
7
8
9
n
(2)求和公式Sn=na1+d,可以写成Sn= n2+(a1-)n,它 是n的二次函数（缺常数项），它的图象是过原 点的抛物线上的一群孤立点。
a1 q
2、关于等比数列{an}
通项公式an=a1qn-1,可以写成an= 当q>0且q≠1时，y= · n(n∈N*)。 q
f ( x 1) ，从而得出答案Ｄ。
设计意图：通过对数列中的通项公式，前 n 项和公式等这些特殊函数关系的
概念的理解与分析，充分认识 a n 与 n ，S n 与 n 之间的对应关系，从而合理地找到 解决问题的办法。
2n 2 3n 1 ( p, q 是非零常数） 练习：等差数列｛an｝中， an ，则 p, q 应满足的关 pn q
图 片 欣 赏
数列的函数特性
数列可以看作是一个定义域为N*（正整数集）或它的有限子集 {1，2，3，…，k}的函数（“离散型”函数），当自变量由小到大 的顺序依次取值时所对应的一列函数值。数列的通项公式an=f(n)是 数列的第n项an与自变量n之间的函数解析式，数列的图象是横坐标 为正整数的一系列的离散的点。 数列作为一种特殊的函数，具有函数的本质属性，我们称 之为数列的函数特性，即用函数的观点来理解数列，解决数列中的 某些问题。事实上，任何数列问题都蕴含着函数的本质及意义，具 有函数的一些固有特征。作为特殊的函数，数列是函数概念的继续 和延伸。另外，数列与函数的整合也是当今高考命题的重点与热点， 因此我们在解决数列问题时，应充分利用函数有关知识，以它的概 念、图象、性质为纽带，架起函数与数列间的桥梁，揭示它们间的 内在联系，从而有效地学好数列问题。因此，学完《数列》后，一 方面要用函数的观点加深了解数列，拓展我们的知识,提升我们的 能力；另一方面也为今后学习高等数学中有关级数的知识和解决现 实生活中的一些实际问题打下了基础。
思路导引:要比较 an 与 an+1 的大小关系,其实就是要判断 an= 看,函数 f(x)=
ax 的单调性在《函数》一章中已会判断. bx 1 an 的单调性.从函数的观点 bn 1
解：an=
an a = ∵a、b 均为正常数，∴an 随 n 的增大而增大。故选 A，答案：A。 1 bn 1 b n
（1995 年全国高考试题）
（1）证明
（2）是否存在常数 c 0 使得
分析：本题主要是考查对数、不等式、数列等基础知识，推理 能力以及分析问题和解决问题的能力。
(1)证明：设 ①当时
的公比为 ，从而
,由题设条件设
②当时
，从而
由①，②知，
根据对数函数的性质知
（2）解：要使 则有
成立，
①
②
①当时
五、以构造函数为途径，巧妙转化数列问题
构造函数解决数学问题是函数思想中的中心所在，其实 质是把所求问题转化为以函数背景的问题，再利用函数的有 关概念、图象、性质来帮助解决，这样有利于培养学生的数 学思想方法与解题能力。
例 6、 设 a n 是由正数组成的等比数列， S n 是其前 n 项和。
lg s n lg sn 2 lg s n1 ； 2 lg(sn c) lg(s n2 c) lg(s n1 c) 成立？并证明。 2
n 96 n 98
, n N *，求所有 a n 中的最大值和最小值。
98 96 n 98
解：将数列 a n 的通项公式变形为 a n 1
f ( x) 1 x 98
，考察函数
，示意图如右，所以 n=10 时，
1 10 98
y
●
9
f(n)的最大值为
1 9 98
点拨： （2）由 s n =n a1 +
因此 f(m+n)= f(0)=0，即 s m n =0 。
sn d d 2 d d 另解：由 s n = n ( a1 )n 得 n a1 可知： a n 是关于 n 的一次式， n 2 2 2 2
则三点（m,
sm s s ), (n, n ), (m n, m n ) 共线，易求 s m n =0 。当然此题可以有其它 m n mn
六、把握数列的函数特性 辨析函数与数列联系 与区别
通过上述几例的分析与说明，我们发现，利用函数的概念、 图象、性质为纽带，架起函数与数列间的桥梁，揭示了它们间的 内在联系， 通过数列与函数知识的相互交汇，把函数概念、图象、 性质有机地融入到数列中，渗透了函数思想；从而有效地分解数 列问题。同时也使我们的思维能力得以不断发展与提高。另外， 对上述问题还有许多其它的解法，课后去发现、探究。 数列的通项并不能用我们熟悉的函数把它们联系起来，这 时可以通过研究数列的单调性帮助我们求得数列的最值。一般地， 函数单调性的判断过程为：在给定区间D内任取x1<x2，比较f(x1) 与f(x2)的大小。而数列，由于其自变量取值范围的特殊性，在判 断其是否具有单调性时，只需观察前后项之间的关系，即比较和 或者f(n)与f(n+1)的大小。下面通过实例来辨析数列与函数的内 在联系和本质上的区别
例５、已知数列 a n 是以 a 为首项，a 为公比的等比数列(a>0,a≠1)，令 b n =a n lga n 若 bn 中每一项总小于它后面的项，求实数 a 的取值范围。
点拨： 由已知得 a n =a n ， b n =na n lga， b n 1 > b n ， nlga<(n+1)alga 则 又 则
系式是
．
2n 2 3n 1 (n 1)( 2n 1) 解： a n ，考虑到 an 是关于 n 的一次函数，故 pn q pn q