高中数学必修五(课堂PPT)
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人教高中数学 必修五 2.1 第二课时 数列的递推公式(共17张PPT)
并归纳出通项公式:
(1)a 1 =0, a n 1 = a n +(2n-1) (n∈N);
(2)
a1
=1,
a n1=
2 an
an
2
(n∈N);
(3) a 1 =3,a n 1 =3a n -2 (n∈N,).
解:(1) a 1=0, a 2 =1,a 3 =4,a 4 =9,a 5=16, ∴ a n =(n-1)2 ;
1,1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,… 斐波那契数列
an2an1an,
例5:已知数列 an 满足:a1=5,an=an-1+3(n≥2)
(1)写出这个数列an 的前五项为
。
(2)这个数列 an 的通项公式是 an 3n2
。
累差叠加法 ( n 2 ) a n a n 1 f( n ) 或 a n 1 a 者 n f( n )
(1)a1=0,an+1=an+(2n-1),n∈N+;
(2)a1=1,a n 1
2an an 2
,
n∈N+;
解:(1)因为a1=0,an+1=an+(2n-1),n∈N+; 所以, a2=1 , a3=4, a4=9, a5=16 ,
归纳出它的通项公式是an=(n-1)2 。
(2)a1=1,a n 1
又 a1a2a3 9
解得 a 3
9 4
同理可得 a 4
16 9
,
a5
25 16
a3
a5
92561 4 16 16
(2) 2 5 6 是此数列中的项吗?
225
解:(2)令
256 225
n2 (n 1)2
(1)a 1 =0, a n 1 = a n +(2n-1) (n∈N);
(2)
a1
=1,
a n1=
2 an
an
2
(n∈N);
(3) a 1 =3,a n 1 =3a n -2 (n∈N,).
解:(1) a 1=0, a 2 =1,a 3 =4,a 4 =9,a 5=16, ∴ a n =(n-1)2 ;
1,1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,… 斐波那契数列
an2an1an,
例5:已知数列 an 满足:a1=5,an=an-1+3(n≥2)
(1)写出这个数列an 的前五项为
。
(2)这个数列 an 的通项公式是 an 3n2
。
累差叠加法 ( n 2 ) a n a n 1 f( n ) 或 a n 1 a 者 n f( n )
(1)a1=0,an+1=an+(2n-1),n∈N+;
(2)a1=1,a n 1
2an an 2
,
n∈N+;
解:(1)因为a1=0,an+1=an+(2n-1),n∈N+; 所以, a2=1 , a3=4, a4=9, a5=16 ,
归纳出它的通项公式是an=(n-1)2 。
(2)a1=1,a n 1
又 a1a2a3 9
解得 a 3
9 4
同理可得 a 4
16 9
,
a5
25 16
a3
a5
92561 4 16 16
(2) 2 5 6 是此数列中的项吗?
225
解:(2)令
256 225
n2 (n 1)2
第三章3.1基本不等式-北师大版高一数学必修5课件(共21张PPT)
探究结果
1. 对于任意实数a,b,总有 a2 b2 2ab 如何证明?
当且仅当a=b时,等号成立.
特别地,如果 a 0,b 0 ,我们用 a , b 分别代替a,b,可得
a b 2 ab,即a b ab, 2
当且仅当a=b时,等号成立.
探究结果 1. 对于
a,b,总有 a2 b2 2ab
当且仅当a=b时,等号成立.
2. 如果a,b都是
,那么 a b ab 2
当且仅当a=b时,等号成立.
我们称上述不等式为
ab ,其中 2 称为a,b的算术
平均数, ab 称为a,b
. 因此,基本不等式又被称为
均值不等式.
探究结果 1. 对于
a,b,总有 a2 b2 2ab
当且仅当a=b时,等号成立.
当且仅当a=b时,等号成立.
文字语言可叙述为:两个非负实数的算术平均数不小于它们 的几何平均数.
从数列的角度看:两个正实数的等差中项不小于它们正的等 比中项.
课堂升华 几何解释
如图,AB是圆O的直径,AC=a,BC=b,过点C作CD⊥AB交圆O上半
圆于D. 由射影定理可知
D
CD ab, 而OD a b ,
同向相加可得 a b c ab ac bc, 当且仅当a b c时,等号成立.
例题讲解
例2 若a b 1,比较P lg a lg b,Q 1 (lg a lg b), 2
R lg a b 的大小关系. 2
解 因为a b 1,所以 lg a lg b 0,
由 ab a b , 2
证明 (方法2)
ab
2
ab 2ab
ab(b a) 2ab
11
ba
高中数学人教A版必修5《等差数列》PPT课件
本节课主要学习:
一个定义: an-an-1=d(d是常数,n≥2, n∈N*) 一个公式:an=a1+(n-1)d 一种思想:方程思想 一个概念: A=a+b/2
方法二
由递推公式:an-an-1=d (d是常数,n≥2,n∈N*)
可得:
a2-a1=d
a3-a2=d a4-a3=d
……
an-an-1=d
列。 这也是判断,证明一个数列是等差数列的一种方 法。 等差中项法
高中数学人教A版必修5《等差数列》P PT课件
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5.证明数列为等差数列的方法: (1)定义法: an an1 d (n 2) (2)等差中项法:2an an1 an1(n 2)
解法一
高中数学人教A版必修5《等差数列》P PT课件
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证明: 1 , 1 , 1 成等差数列 abc
2 11 b ac
bcba bcabac2
ac
a
c
(a b c)(1 1) 2 ac
(a b c) 2 2 b
2(a c) 2b 2 bb
4
4 an1
(n
1)记bn
1 an 2
(1)求证:数列bn 是等差数列;
(2)求数列an 的通项公式
构造法
解:(2)由(1)知,b n
1 2
(n 1)
1 2
n 2
bn
1 an 2
an
1 bn
2
2 n
2
求数列通项公式的方法:
(1)公式法;
(2)累加法;an1 an f (n)
(3)累乘法;an1 f (n)
一个定义: an-an-1=d(d是常数,n≥2, n∈N*) 一个公式:an=a1+(n-1)d 一种思想:方程思想 一个概念: A=a+b/2
方法二
由递推公式:an-an-1=d (d是常数,n≥2,n∈N*)
可得:
a2-a1=d
a3-a2=d a4-a3=d
……
an-an-1=d
列。 这也是判断,证明一个数列是等差数列的一种方 法。 等差中项法
高中数学人教A版必修5《等差数列》P PT课件
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5.证明数列为等差数列的方法: (1)定义法: an an1 d (n 2) (2)等差中项法:2an an1 an1(n 2)
解法一
高中数学人教A版必修5《等差数列》P PT课件
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证明: 1 , 1 , 1 成等差数列 abc
2 11 b ac
bcba bcabac2
ac
a
c
(a b c)(1 1) 2 ac
(a b c) 2 2 b
2(a c) 2b 2 bb
4
4 an1
(n
1)记bn
1 an 2
(1)求证:数列bn 是等差数列;
(2)求数列an 的通项公式
构造法
解:(2)由(1)知,b n
1 2
(n 1)
1 2
n 2
bn
1 an 2
an
1 bn
2
2 n
2
求数列通项公式的方法:
(1)公式法;
(2)累加法;an1 an f (n)
(3)累乘法;an1 f (n)
高中数学《对数函数》课件(共14张PPT)
底数的取值范围:底数a必须为正实数,且不能等于1。 输入值的范围:对数函数的输入值必须大于0且小于a的实数。 对数的运算顺序:对于多个对数的运算,应先将对数函数的自变量化简到最简形式,再计算对 数值。
谢谢大家
人教版高中数学必修五
五、对数函数的应用
对数函数在数学、物理、工程等领域中广泛应用,用于处理指数运算、比例运算、数值比较等 问题。 对数函数可以用于实现数据压缩和扩展,例如在声音信号处理中,可以使用对数函数将声音信 号的动态范围进行调整,以提高声音的质量和清晰度。 对数函数还可以用于计算复利、估算自然对数的值、求解方程组等问题。 在使用对数函数时,需要注意以下几点:
a>1: 当:x>1时, 图像在y轴上方; 当0<x<1时,图像在下方;
0<a<1:
当:x>1, 图像在y轴下方;
当 0<x<1, 图像在轴上方;
函数性质
定义域:x>0
值域: R 当x=1时,y=0。
增函数 减函数
a>1: 当x>1, 则 y>0, 当0<x<1, 则y<0; 0<a<1: 当:x>1, 则y<0 当0<x<1, 则y>0;
5. 函数值分布:a>1: 当:x>1时, 图像在y轴上方; 当0<x<1时,图像在y轴下方;
函数性质 定义域:x>0 值域: R 当x=1时,y=0。
增函数
a>1: 当x>1, 则 y>0, 当0<x<1, 则y<0;
0 a 1 y loga x
x 1
图像的特征 1.图像位于y轴右侧; 2. 图像在y轴的投影占满了整个y轴; 3. 过(1.0)点 4. 单调性: 0<a<1时,图像下降; 5. 函数值分布: 0<a<1: 当:x>1, 图像在y轴下方; 当 0<x<1, 图像在轴上方;
谢谢大家
人教版高中数学必修五
五、对数函数的应用
对数函数在数学、物理、工程等领域中广泛应用,用于处理指数运算、比例运算、数值比较等 问题。 对数函数可以用于实现数据压缩和扩展,例如在声音信号处理中,可以使用对数函数将声音信 号的动态范围进行调整,以提高声音的质量和清晰度。 对数函数还可以用于计算复利、估算自然对数的值、求解方程组等问题。 在使用对数函数时,需要注意以下几点:
a>1: 当:x>1时, 图像在y轴上方; 当0<x<1时,图像在下方;
0<a<1:
当:x>1, 图像在y轴下方;
当 0<x<1, 图像在轴上方;
函数性质
定义域:x>0
值域: R 当x=1时,y=0。
增函数 减函数
a>1: 当x>1, 则 y>0, 当0<x<1, 则y<0; 0<a<1: 当:x>1, 则y<0 当0<x<1, 则y>0;
5. 函数值分布:a>1: 当:x>1时, 图像在y轴上方; 当0<x<1时,图像在y轴下方;
函数性质 定义域:x>0 值域: R 当x=1时,y=0。
增函数
a>1: 当x>1, 则 y>0, 当0<x<1, 则y<0;
0 a 1 y loga x
x 1
图像的特征 1.图像位于y轴右侧; 2. 图像在y轴的投影占满了整个y轴; 3. 过(1.0)点 4. 单调性: 0<a<1时,图像下降; 5. 函数值分布: 0<a<1: 当:x>1, 图像在y轴下方; 当 0<x<1, 图像在轴上方;
高中数学必修5《数列求和-裂项相消法》PPT
常见的裂项公式:
(二)、典例:
谢谢大家!
二、教学重点和难点: 重点:裂项相消的方法和形式。能将一些特殊数
列的求和问题转化为裂项相消求和问题。 难点:用裂项相消的思维过程,不同的数列采用
不同的方法,运用转化与化归思想分析问题和解决问 题。
பைடு நூலகம்
三、教学过程: (一)复习:
常用求和方法: 1.错位相减法:
适用于一个等差数列和一个等比数列(公比不等于1)对应项相乘构成的数列求和. 2.分组求和法:
把一个数列分成几个可以直接求和的数列的和(差)的形式. 3.倒序相加法:
如果一个数列中,与首尾两端“距离”相等两项的和等于同一个常数,那么可用倒序相加求 和.
4.裂项相消法:
把一个数列的通项公式分成两项差的形式, 相加过程中消去中间项,只剩有限项再求和.注意: 在抵消过程中,有的是依次抵消,有的是间隔抵 消。
适用范围。进一步熟悉数列求和的不同呈现形式及解决策略。 2 过程与方法目标 经历数列裂项相消法求和的探究过程、深化过程和推广
过程。培养学生发现问题、分析问题和解决问题的能力。体会 知识的发生、发展过程,培养学生的学习能力。
3 情感与价值观目标 通过数列裂项相消求和法的推广应用,使学生认识到在
学习过程中的一切发现、发明,一切好的想法和念头都可以发 扬光大。激发学生的学习热情和创新意识,形成锲而不舍的钻 研精神和合作交流的科学态度。感悟数学的简洁美﹑对称美。
高中数学必修五 数列求和之裂项相消法
考纲要求
考纲研读
1.掌握等差数列、等比数列的 对等差、等比数列的求和以考
求和公式.
查公式为主,对非等差、非等
比数列的求和,主要考查分组
2.了解一般数列求和的几种方 求和、裂项相消、错位相减等
(二)、典例:
谢谢大家!
二、教学重点和难点: 重点:裂项相消的方法和形式。能将一些特殊数
列的求和问题转化为裂项相消求和问题。 难点:用裂项相消的思维过程,不同的数列采用
不同的方法,运用转化与化归思想分析问题和解决问 题。
பைடு நூலகம்
三、教学过程: (一)复习:
常用求和方法: 1.错位相减法:
适用于一个等差数列和一个等比数列(公比不等于1)对应项相乘构成的数列求和. 2.分组求和法:
把一个数列分成几个可以直接求和的数列的和(差)的形式. 3.倒序相加法:
如果一个数列中,与首尾两端“距离”相等两项的和等于同一个常数,那么可用倒序相加求 和.
4.裂项相消法:
把一个数列的通项公式分成两项差的形式, 相加过程中消去中间项,只剩有限项再求和.注意: 在抵消过程中,有的是依次抵消,有的是间隔抵 消。
适用范围。进一步熟悉数列求和的不同呈现形式及解决策略。 2 过程与方法目标 经历数列裂项相消法求和的探究过程、深化过程和推广
过程。培养学生发现问题、分析问题和解决问题的能力。体会 知识的发生、发展过程,培养学生的学习能力。
3 情感与价值观目标 通过数列裂项相消求和法的推广应用,使学生认识到在
学习过程中的一切发现、发明,一切好的想法和念头都可以发 扬光大。激发学生的学习热情和创新意识,形成锲而不舍的钻 研精神和合作交流的科学态度。感悟数学的简洁美﹑对称美。
高中数学必修五 数列求和之裂项相消法
考纲要求
考纲研读
1.掌握等差数列、等比数列的 对等差、等比数列的求和以考
求和公式.
查公式为主,对非等差、非等
比数列的求和,主要考查分组
2.了解一般数列求和的几种方 求和、裂项相消、错位相减等
北师大版高二数学上册必修5第一章数列第一课数列的概念课件(共21张PPT)
明朝未及,我只有过好每一个今天,唯一的今天。
昨日的明天是今天。明天的昨日是今天。为什么要计较于过去呢(先别急着纠正我的错误,你确实可以在评判过去中学到许多)。但是我发现有的人过分地瞻前顾后了。为 何不想想“现在”呢?为何不及时行乐呢?如果你的回答是“不”,那么是时候该重新考虑一下了。成功的最大障碍是惧怕失败。这些句子都教育我们:不要惧怕失败。如 果你失败了他不会坐下来说:“靠,我真失败,我放弃。”并且不是一个婴儿会如此做,他们都会反反复复,一次一次地尝试。如果一条路走不通,那就走走其他途径,不 断尝试。惧怕失败仅仅是社会导致的一种品质,没有人生来害怕失败,记住这一点。宁愿做事而犯错,也不要为了不犯错而什么都不做。不一定要等到时机完全成熟才动手。 开头也许艰难,但是随着时间的流逝,你会渐渐熟悉你的事业。世上往往没有完美的时机,所以当你觉得做某事还不是时候,先做起来再说吧。喜欢追梦的人,切记不要被 梦想主宰;善于谋划的人,切记空想达不到目标;拥有实干精神的人,切记选对方向比努力做事重要。太阳不会因为你的失意,明天不再升起;月亮不会因为你的抱怨,今 晚不再降落。蒙住自己的眼睛,不等于世界就漆黑一团;蒙住别人的眼睛,不等于光明就属于自己!鱼搅不浑大海,雾压不倒高山,雷声叫不倒山岗,扇子驱不散大雾。鹿 的脖子再长,总高不过它的脑袋。人的脚指头再长,也长不过他的脚板。人的行动再快也快不过思想!以前认为水不可能倒流,那是还没有找到发明抽水机的方法;现在认 为太阳不可能从西边出来,这是还没住到太阳从西边出来的星球上。这个世界只有想不到的,没有做不到的!不是井里没有水,而是挖的不够深;不是成功来的慢,而是放 弃速度快。得到一件东西需要智慧,放弃一样东西则需要勇气!终而复始,日月是也。死而复生,四时是也。奇正相生,循环无端,涨跌相生,循环无端,涨跌相生,循环 无穷。机遇孕育着挑战,挑战中孕育着机遇,这是千古验证了的定律!种子放在水泥地板上会被晒死,种子放在水里会被淹死,种子放到肥沃的土壤里就生根发芽结果。选
昨日的明天是今天。明天的昨日是今天。为什么要计较于过去呢(先别急着纠正我的错误,你确实可以在评判过去中学到许多)。但是我发现有的人过分地瞻前顾后了。为 何不想想“现在”呢?为何不及时行乐呢?如果你的回答是“不”,那么是时候该重新考虑一下了。成功的最大障碍是惧怕失败。这些句子都教育我们:不要惧怕失败。如 果你失败了他不会坐下来说:“靠,我真失败,我放弃。”并且不是一个婴儿会如此做,他们都会反反复复,一次一次地尝试。如果一条路走不通,那就走走其他途径,不 断尝试。惧怕失败仅仅是社会导致的一种品质,没有人生来害怕失败,记住这一点。宁愿做事而犯错,也不要为了不犯错而什么都不做。不一定要等到时机完全成熟才动手。 开头也许艰难,但是随着时间的流逝,你会渐渐熟悉你的事业。世上往往没有完美的时机,所以当你觉得做某事还不是时候,先做起来再说吧。喜欢追梦的人,切记不要被 梦想主宰;善于谋划的人,切记空想达不到目标;拥有实干精神的人,切记选对方向比努力做事重要。太阳不会因为你的失意,明天不再升起;月亮不会因为你的抱怨,今 晚不再降落。蒙住自己的眼睛,不等于世界就漆黑一团;蒙住别人的眼睛,不等于光明就属于自己!鱼搅不浑大海,雾压不倒高山,雷声叫不倒山岗,扇子驱不散大雾。鹿 的脖子再长,总高不过它的脑袋。人的脚指头再长,也长不过他的脚板。人的行动再快也快不过思想!以前认为水不可能倒流,那是还没有找到发明抽水机的方法;现在认 为太阳不可能从西边出来,这是还没住到太阳从西边出来的星球上。这个世界只有想不到的,没有做不到的!不是井里没有水,而是挖的不够深;不是成功来的慢,而是放 弃速度快。得到一件东西需要智慧,放弃一样东西则需要勇气!终而复始,日月是也。死而复生,四时是也。奇正相生,循环无端,涨跌相生,循环无端,涨跌相生,循环 无穷。机遇孕育着挑战,挑战中孕育着机遇,这是千古验证了的定律!种子放在水泥地板上会被晒死,种子放在水里会被淹死,种子放到肥沃的土壤里就生根发芽结果。选
人教A版高中数学必修5课件:2.2等差数列定义及通项公式(共37张PPT)
证明.在求{an}通项公式时,要用到{an-2}是等差数列,先求 1
{an-2}的通项,再求{an}的通项公式.
➢ 等差数列的判定与证明 等差数列的判定方法有以下二种: (1)定义法:an+1-an=d(常数)(n∈N*)⇔{an}为等差数列; (2)等差中项法:2an+1=an+an+2(n∈N*)⇔{an}为等差数 列. 如果要证明一个数列是等差数列,必须用定义法或等差 中项法.
(2)注意定义中“每一项与它的前一项的差”这一运算 要求,它的含义也有两个:其一是强调作差的顺序,即后面 的项减前面的项;其二是强调这两项必须相邻.
(3)注意定义中的“同一常数”这一要求,否则这个数 列不能称为等差数列.
2.怎样认识等差数列通项公式 (1)确定 a1 和 d 是确定通项的一般方法. (2)由方程思想,根据 an,a1,n,d 中任何三个量可求 解另一个量,即知三求一. (3)通项公式可变形为 an=dn+(a1-d),可把 an 看作自 变量为 n 的一次函数.
∴294<d≤3.又 d 为整数, ∴d=3. ∴an=a1+(n-1)·d=-24+3(n-1)=3n-27. ∴通项公式为 an=3n-27.
10.如果一个数列的各项都是实数,且从第二项开始, 每一项与它前一项的平方差是相同的常数,则称该数列为等 方差数列,这个常数叫做这个数列的公方差.
(1)设数列{an}是公方差为 p 的等方差数列,求 an 和 an- 1(n≥2)的关系式;
项公式是
.
3.等差中项
如果 a,A,b 成等差数列,那么 A 叫做 a 与 b 的等差
中项.
1.正确理解等差数列的定义 (1)注意定义中“从第 2 项起”这一前提条件的两层含 义,其一,第 1 项前面没有项,无法与后续条件中“与前一 项的差”相吻合;其二,定义中包括首项这一基本量,且必 须从第 2 项起保证使数列中各项均与其前面一项作差.
{an-2}的通项,再求{an}的通项公式.
➢ 等差数列的判定与证明 等差数列的判定方法有以下二种: (1)定义法:an+1-an=d(常数)(n∈N*)⇔{an}为等差数列; (2)等差中项法:2an+1=an+an+2(n∈N*)⇔{an}为等差数 列. 如果要证明一个数列是等差数列,必须用定义法或等差 中项法.
(2)注意定义中“每一项与它的前一项的差”这一运算 要求,它的含义也有两个:其一是强调作差的顺序,即后面 的项减前面的项;其二是强调这两项必须相邻.
(3)注意定义中的“同一常数”这一要求,否则这个数 列不能称为等差数列.
2.怎样认识等差数列通项公式 (1)确定 a1 和 d 是确定通项的一般方法. (2)由方程思想,根据 an,a1,n,d 中任何三个量可求 解另一个量,即知三求一. (3)通项公式可变形为 an=dn+(a1-d),可把 an 看作自 变量为 n 的一次函数.
∴294<d≤3.又 d 为整数, ∴d=3. ∴an=a1+(n-1)·d=-24+3(n-1)=3n-27. ∴通项公式为 an=3n-27.
10.如果一个数列的各项都是实数,且从第二项开始, 每一项与它前一项的平方差是相同的常数,则称该数列为等 方差数列,这个常数叫做这个数列的公方差.
(1)设数列{an}是公方差为 p 的等方差数列,求 an 和 an- 1(n≥2)的关系式;
项公式是
.
3.等差中项
如果 a,A,b 成等差数列,那么 A 叫做 a 与 b 的等差
中项.
1.正确理解等差数列的定义 (1)注意定义中“从第 2 项起”这一前提条件的两层含 义,其一,第 1 项前面没有项,无法与后续条件中“与前一 项的差”相吻合;其二,定义中包括首项这一基本量,且必 须从第 2 项起保证使数列中各项均与其前面一项作差.
高中数学必修5优质课件:基本不等式
第七页,编辑于星期日:二十三点 三十九分。
解得 x=1- 22,y= 2-1,∴当 x=1- 22,y= 2 -1 时,1x+1y有最小值 3+2 2.
法二:1x+1y=1x+1y·1=1x+1y(2x+y)=3+2yx+xy≥3 +2 xy·2yx=3+2 2,
以下同解法一.
第八页,编辑于星期日:二十三点 三十九分。
A.最大值为 0
B.最小值为 0
Байду номын сангаасC.最大值为-4
D.最小值为-4
解析:∵x<0,∴f(x)=--x+-1x-2≤-2-2=-4, 当且仅当-x=-1x,即 x=-1 时取等号. 答案:C
第二十二页,编辑于星期日:二十三点 三十九 分。
2.若 a>b>0,则下列不等式成立的是( ) A.a>b>a+2 b> ab B.a>a+2 b> ab>b C.a>a+2 b>b> ab D.a> ab>a+2 b>b
[解] (1)∵m,n>0 且 m+n=16, 所以由基本不等式可得 mn≤m+2 n2=1262=64, 当且仅当 m=n=8 时,mn 取到最大值 64.∴12mn 的最大值为 32.
第六页,编辑于星期日:二十三点 三十九分。
(2)∵x>3,∴x-3>0,x-4 3>0,于是 f(x)=x+x-4 3=x-3
基本不等式
【知识梳理】
1.重要不等式 当 a,b 是任意实数时,有 a2+b2≥ 2ab ,当且仅当 a=b 时,等号成立. 2.基本不等式
a+b (1)有关概念:当 a,b 均为正数时,把 2 叫做正 数 a,b 的算术平均数,把 ab 叫做正数 a,b 的几何平均数.
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高中数学人教版必修五:基本不等式(共23张PPT)
基本不等式:
ab
a
b 2
(第一课时)
2019/10/5
一、情境创设 导入课题
第24届国际数学家大会(ICM2002)的会标
问题 :你能在这个图中找出一些相等关系或不 等关系吗?
二、自主探究 推导公式
问题 1:在正方形 ABCD 中有4个全等的直角三角形.设直角三角形的
两条直角边长为a,b,正方形ABCD的面积为 S ,4个直角三角形的面积和
2
又称为基本不等式
4、从数列角度看:
把
ab 2
看做两个正数a,b 的等差中项,
ab 看做正数a,b的等比中项,
那么上面不等式可以叙述为:
两个正数的等差中项不小于它们的等比 中项。
还有没有其它的证明方法证明均值 不等式呢?
二、自主探究 推导公式 探究:如图,AB 是圆的直径,点 C 是 AB上一点,
显然,④是成立的.当且仅当 a b 时,④中的等号成立.
2019/10/5
析 : a 0,b 0,
a b ab a b 2 ab ( a b)2 0
2
2
2
即 a b ab 2
当且仅当 a b即a b等号成立
上面所证结论通常称为均值不等式
(2)设矩形的长、宽分别为x(m),y(m),
依题意有2(x+y)=36,即x+y=18, 因为x>0,y>0,所以, xy ≤ x y
2
因此 xy ≤9
将这个正值不等式的两边平方,得xy≤81, 当且仅当x=y时,式中等号成立,此时x=y=9,
因此,当这个矩形的长与宽都是9m时,它的 面积最大,最大值是81m2。
ab
a
b 2
(第一课时)
2019/10/5
一、情境创设 导入课题
第24届国际数学家大会(ICM2002)的会标
问题 :你能在这个图中找出一些相等关系或不 等关系吗?
二、自主探究 推导公式
问题 1:在正方形 ABCD 中有4个全等的直角三角形.设直角三角形的
两条直角边长为a,b,正方形ABCD的面积为 S ,4个直角三角形的面积和
2
又称为基本不等式
4、从数列角度看:
把
ab 2
看做两个正数a,b 的等差中项,
ab 看做正数a,b的等比中项,
那么上面不等式可以叙述为:
两个正数的等差中项不小于它们的等比 中项。
还有没有其它的证明方法证明均值 不等式呢?
二、自主探究 推导公式 探究:如图,AB 是圆的直径,点 C 是 AB上一点,
显然,④是成立的.当且仅当 a b 时,④中的等号成立.
2019/10/5
析 : a 0,b 0,
a b ab a b 2 ab ( a b)2 0
2
2
2
即 a b ab 2
当且仅当 a b即a b等号成立
上面所证结论通常称为均值不等式
(2)设矩形的长、宽分别为x(m),y(m),
依题意有2(x+y)=36,即x+y=18, 因为x>0,y>0,所以, xy ≤ x y
2
因此 xy ≤9
将这个正值不等式的两边平方,得xy≤81, 当且仅当x=y时,式中等号成立,此时x=y=9,
因此,当这个矩形的长与宽都是9m时,它的 面积最大,最大值是81m2。
2020秋新版高中数学人教A版必修5课件:第一章解三角形 1.2.4 .pptx
在三角形中,当涉及两边的和、两边的积或两边的平方和或三角
形的面积时,常用余弦定理解答.
-11-
第4课时 几何计算问题
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Z Z D 知识梳理 HISHISHULI
重难聚焦
HONGNANJUJIAO
典例透析
IANLITOUXI
题型一 题型二 题型三 题型四
【变式训练1】 设△ABC的内角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,且
(1)若△ABC 的面积等于 3, 求������, ������的值;
(2)若sin C+sin(B-A)=2sin 2A,求△ABC的面积. 分析(1)利用余弦定理和面积公式列关于a,b的方程组求解; (2)先利用正弦定理得a与b的关系,再利用余弦定理得a与b的另一 个关系,列方程组求解a,b,进而求面积.
第4课时 几何计算问题 题型一 题型二 题型三 题型四
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反思1.有关长度问题,要有方程意识.设未知数,列方程求解是经常 用到的方法.列方程时,要注意一些隐含关系的应用.
2.要灵活运用正、余弦定理及三角形面积公式.
-18-
第4课时 几何计算问题 题型一 题型二 题型三 题型四
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解(1)由余弦定理及已知条件得a2+b2-ab=4.
又因为△ABC 的面积等于 3,
所以
1 2
������������sin
人教版A版高中数学必修5:基本不等式: ≤(a+b)_课件28
[课堂笔记]
【证明】法一:∵a>0,b>0,a+b=1,∴1+1a=1+a+a b=
2+ba.同理,1+1b=2+ab.∴1+1a 1+1b =2+ba2+ab =5+2ba+ab≥5+4=9,当且仅当ba=ab,即 a=b 时取“=”. ∴1+1a1+1b≥9,当且仅当 a=b=12时等号成立.
则 y=14·2x(1-2x)≤142x+21-2x2=116,
当且仅当 2x=1-2x,即 x=14时取到等号,∴ymax=116. (2)∵x<3,∴x-3<0,∴3-x>0,∴f(x)=x-4 3+x=x-4 3+ (x-3)+3
=-3-4 x+(3-x)+3≤-2 3-4 x·(3-x)+3=-1,
基本不等式
1.基本不等式:
a+b ab≤ 2
基本不等式成立的条件是什么?等号成立的条件又是什么?
提示: a>0且b>0;a=b时取等号
a+2 b叫做 a,b 的算术平均数, ab叫做 a,b 的几何平均数.
2.常用的几个重要不等式
(1)a2+b2≥__2_a_b__(a,b∈R); (2)ab___≤___(a+2 b)2(a,b∈R); (3)a2+2 b2___≥___(a+2 b)2(a,b∈R); (4)ba+ab≥__2____(a,b 同号且不为零).
在利用基本不等式解决实际应用问题时,一定要注意问题中 所涉及变量的取值范围,即函数的定义域,分析在该范围内 是否存在使基本不等式的等号成立的变量值,若存在,则可 利用基本不等式求解,若使基本不等式的等号成立的变量值 不在函数定义域内,则应利用导数研究函数的单调性,根据 单调性求最值.
3.围建一个面积为 360 m2 的矩形场地, 要求矩形场地的一面利用旧墙(利用的旧 墙需维修),其他三面围墙要新建,在旧 墙对面的新墙上要留一个宽度为 2 m 的进出口,如图所示.已 知旧墙的维修费用为 45 元/m,新墙的造价为 180 元/m.设利 用的旧墙长度为 x(单位:m),修建此矩形场地围墙的总费用 为 y(单位:元). (1)将 y 表示为 x 的函数; (2)试确定 x,使修建此矩形场地围墙的总费用最少,并求出最 少总费用.
【证明】法一:∵a>0,b>0,a+b=1,∴1+1a=1+a+a b=
2+ba.同理,1+1b=2+ab.∴1+1a 1+1b =2+ba2+ab =5+2ba+ab≥5+4=9,当且仅当ba=ab,即 a=b 时取“=”. ∴1+1a1+1b≥9,当且仅当 a=b=12时等号成立.
则 y=14·2x(1-2x)≤142x+21-2x2=116,
当且仅当 2x=1-2x,即 x=14时取到等号,∴ymax=116. (2)∵x<3,∴x-3<0,∴3-x>0,∴f(x)=x-4 3+x=x-4 3+ (x-3)+3
=-3-4 x+(3-x)+3≤-2 3-4 x·(3-x)+3=-1,
基本不等式
1.基本不等式:
a+b ab≤ 2
基本不等式成立的条件是什么?等号成立的条件又是什么?
提示: a>0且b>0;a=b时取等号
a+2 b叫做 a,b 的算术平均数, ab叫做 a,b 的几何平均数.
2.常用的几个重要不等式
(1)a2+b2≥__2_a_b__(a,b∈R); (2)ab___≤___(a+2 b)2(a,b∈R); (3)a2+2 b2___≥___(a+2 b)2(a,b∈R); (4)ba+ab≥__2____(a,b 同号且不为零).
在利用基本不等式解决实际应用问题时,一定要注意问题中 所涉及变量的取值范围,即函数的定义域,分析在该范围内 是否存在使基本不等式的等号成立的变量值,若存在,则可 利用基本不等式求解,若使基本不等式的等号成立的变量值 不在函数定义域内,则应利用导数研究函数的单调性,根据 单调性求最值.
3.围建一个面积为 360 m2 的矩形场地, 要求矩形场地的一面利用旧墙(利用的旧 墙需维修),其他三面围墙要新建,在旧 墙对面的新墙上要留一个宽度为 2 m 的进出口,如图所示.已 知旧墙的维修费用为 45 元/m,新墙的造价为 180 元/m.设利 用的旧墙长度为 x(单位:m),修建此矩形场地围墙的总费用 为 y(单位:元). (1)将 y 表示为 x 的函数; (2)试确定 x,使修建此矩形场地围墙的总费用最少,并求出最 少总费用.
高中数学必修五全册课件PPT(全册)人教版
答:此船可以继续一直沿正北方向航行
变式练习:两灯塔A、B与海洋观察站C的距离都 等于a km,灯塔A在观察站C的北偏东30o,灯塔B 在观察站C南偏东60o,则A、B之间的距离为多 少?
练习2.自动卸货汽车的车厢采用液压机构。设计时需要计算
油泵顶杆BC的长度.已知车厢的最大仰角是60°,油泵顶点B 与车厢支点A之间的距离为1.95m,AB与水平线之间的夹角为 6°20’,AC长为1.40m,计算BC的长(精确到0.01m).
(按角A分类)
A的范围
a,b关系
解的情况
A为钝角或直角
a>b a≤b
一解 无解
a<bsinA
无解
A为锐角
a=bsinA bsinA<a<b
一解 两解
a≥b
一解
思考 : 在ABC中, a x, b 2, A 450,若这个三角形有
两解,则x的取值范围是 _____2_,_2____
正弦定理的推论: =2R (R为△ABC外接圆半径) (边换角)
(2)方位角:指北方向线顺时针旋转到目标方向线
所成的角叫方位角。
B 30°北
点A在北偏东60°,方位角60°.
A 60°
点B在北偏西30°,方位角330°. 西
东
点C在南偏西45°,方位角225°. C 点D在南偏东20°,方位角160°.
45°20° 南D
3.水平距离、垂直距离、坡面距离。
垂
坡面距离
C ba
AB a=bsinA 一解
C b aa
C
C
b
a
a
b
A B2 B1 A
B
bsinA<a<b 两解
一解
A
变式练习:两灯塔A、B与海洋观察站C的距离都 等于a km,灯塔A在观察站C的北偏东30o,灯塔B 在观察站C南偏东60o,则A、B之间的距离为多 少?
练习2.自动卸货汽车的车厢采用液压机构。设计时需要计算
油泵顶杆BC的长度.已知车厢的最大仰角是60°,油泵顶点B 与车厢支点A之间的距离为1.95m,AB与水平线之间的夹角为 6°20’,AC长为1.40m,计算BC的长(精确到0.01m).
(按角A分类)
A的范围
a,b关系
解的情况
A为钝角或直角
a>b a≤b
一解 无解
a<bsinA
无解
A为锐角
a=bsinA bsinA<a<b
一解 两解
a≥b
一解
思考 : 在ABC中, a x, b 2, A 450,若这个三角形有
两解,则x的取值范围是 _____2_,_2____
正弦定理的推论: =2R (R为△ABC外接圆半径) (边换角)
(2)方位角:指北方向线顺时针旋转到目标方向线
所成的角叫方位角。
B 30°北
点A在北偏东60°,方位角60°.
A 60°
点B在北偏西30°,方位角330°. 西
东
点C在南偏西45°,方位角225°. C 点D在南偏东20°,方位角160°.
45°20° 南D
3.水平距离、垂直距离、坡面距离。
垂
坡面距离
C ba
AB a=bsinA 一解
C b aa
C
C
b
a
a
b
A B2 B1 A
B
bsinA<a<b 两解
一解
A
高中数学必修五课件:3.4-1《基本不等式》(人教A版必修5)
D
y
x
C
当且仅当 x=2y 时,等号成立 即x=12,y=6
因花此园解,面x这积x个最2y矩大2y2形,4,的最可长大得为面积1xy2是m162、72宽m为2 6m时,
18
变式:如图,用一段长为24m 的篱笆围一个一边 靠墙的矩形花园,问这个矩形的长、宽各为多少时, 花园的面积最大,最大面积是多少?
-1
=1,
当且仅当 x+1= x1+1, 即 x=0 时, 取“=”号.
∴当 x=0 时, 函数 f(x) 的最小值是 1.
26
2.
若
0<x<
1 2
,
求函数
y=x(1-2x)
的最大值.
分析:2 x+(1-2x) 不=1是为 常数.
配凑系数
解:
∵0<x<
1 2
,
∴1-2x>0.
∴y=x(1-2x)=
a2 b2≥2ab
当且仅当a=b时,等号成立 适用范围: a,b∈R 文字叙述为: 两数的平方和不小于它们积的2倍.
如果a 0,b 0,我们用 a, b分别代替a,b, 可得到什么结论?
8
如果a 0,b 0,我们用 a, b分别代替a,b, 可得到什么结论?
替换后得到: ( a )2 ( b )2≥2 a b 即: a b≥2 ab 即: a b≥ ab (a 0,b 0) 2
适用范围: a>0,b>0
在数学中,我们把
a
b 2
叫做正数a,b的算术平均数,
ab 叫做正数a,b的几何平均数;
文字叙述为: 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
人教版A版高中数学必修5:等差数列_课件26
等差数列
1
1.等差数列的定义及等差中项 (1)如果一个数列从第2项起,每一项与前一项的差都等于同一
个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫等差数 列的公差,通常用字母d表示.定义的表达式为an+1an=d(n∈N*).
2
(2)对于正整数m、n、p、q,若m+n=p+q,则等差数列中am
、an、ap、aq的关系为am+an=ap+aq;如果aa,A,bb成等差数
10n n2 n2 10n
50
(n≤5), (n 5).
38
错源二
忽略为零的项
【典例2】在等差数列{an}中,已知a1=10,前n项和为Sn,且 S10=S15,求n取何值时,Sn有最大值,并求出最大值.
39
[错解]设公差为d,由S10 S15, 得
10a1
10 9 2
A.5
B.-5
C.1
D.-1
解析:解法一:a1=1,a2=5,an+2=an+1-an(n∈N*)可得该数列为 1,5,4,-1,-5,-4,1,5,4,…
由此可得a1000=-1.
15
解法二:∵an+2=an+1-an,an+3=an+2-an+1(n∈N*),两式相加可得 an+3=-an,an+6=an,
通项公式,则可以利用定义法,否则,可以利用等差中项法.
18
【典例1】已知数列{an}的通项公式an=pn2+qn(p、q∈R,且 p、q为常数).
(1)当p和q满足什么条件时,数列{an}是等差数列; (2)求证:对任意实数p和q,数列{an+1-an}是等差数列. [解](1)an+1-an=[p(n+1)2+q(n+1)]-(pn2+qn)=2pn+p+q,要使
1
1.等差数列的定义及等差中项 (1)如果一个数列从第2项起,每一项与前一项的差都等于同一
个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫等差数 列的公差,通常用字母d表示.定义的表达式为an+1an=d(n∈N*).
2
(2)对于正整数m、n、p、q,若m+n=p+q,则等差数列中am
、an、ap、aq的关系为am+an=ap+aq;如果aa,A,bb成等差数
10n n2 n2 10n
50
(n≤5), (n 5).
38
错源二
忽略为零的项
【典例2】在等差数列{an}中,已知a1=10,前n项和为Sn,且 S10=S15,求n取何值时,Sn有最大值,并求出最大值.
39
[错解]设公差为d,由S10 S15, 得
10a1
10 9 2
A.5
B.-5
C.1
D.-1
解析:解法一:a1=1,a2=5,an+2=an+1-an(n∈N*)可得该数列为 1,5,4,-1,-5,-4,1,5,4,…
由此可得a1000=-1.
15
解法二:∵an+2=an+1-an,an+3=an+2-an+1(n∈N*),两式相加可得 an+3=-an,an+6=an,
通项公式,则可以利用定义法,否则,可以利用等差中项法.
18
【典例1】已知数列{an}的通项公式an=pn2+qn(p、q∈R,且 p、q为常数).
(1)当p和q满足什么条件时,数列{an}是等差数列; (2)求证:对任意实数p和q,数列{an+1-an}是等差数列. [解](1)an+1-an=[p(n+1)2+q(n+1)]-(pn2+qn)=2pn+p+q,要使
1.1.2余弦定理-人教A版高中数学必修五课件
试一试
若三角形的三边为7,8,3,试判断此三角形的形
状.
钝角三角形
四.小结
四类解三角形问题:
(1)已知两角和任意一边,求其他两边和一角; (2)已知两边和其中一边的对角,求其他的边和 角。 (3)已知两边和它们的夹角,求第三边和其他两 个角; (4)已知三边,求三个角。
五、题型探究
题型一 余弦定理的简单应用
解:由余弦定理知,有 cos B a 2 c 2 b2 , 2ac
代入c a cos B, 得c a a 2 c 2 b2 , b2 c 2 a 2 2ac
△ABC是以A为直角的直角三角形,sin C c a
又 b a sin C, b a c c. a
△ ABC也是等腰三角形
又 2cos Asin B sin C,且sin B 0 cos A sin C c . 2sin B 2b
由余弦定理,有 cos A b2 c 2 a 2 , 2bc
c b2 c 2 a 2 ,即c 2 b2 c 2 a 2 , a b
2b
2bc
又 (a b c)(a b c) 3ab,且a b
例3、在△ABC中,a2>b2+c2,那么A是( A )
A、钝角
B、直角
C、锐角
D、不能确定
结论:一般地,判断△ABC是锐角,直角还是钝角
三角形,可用如下方法.
设a是最长边,则由 cos
A
b2
c2
a2
可得
2bc
(1)A为直角⇔a²=b²+c²
(2)A为锐角⇔a²<b²+c²
(3)A为钝角⇔a²>b²+c²
又 2cos Asin B sin C,
高中数学北师大版必修五2.1《余弦定理》ppt参考课件
(1)余弦定理的内容. (2)余弦定理的证明 ( 3 )余弦定理的应用
编后语
老师上课都有一定的思路,抓住老师的思路就能取得良好的学习效果。在上一小节中已经提及听课中要跟随老师的思路,这里再进一步论述听课时如何 抓住老师的思路。
① 根据课堂提问抓住老师的思路。老师在讲课过程中往往会提出一些问题,有的要求回答,有的则是自问自答。一般来说,老师在课堂上提出的问 题都是学习中的关键,若能抓住老师提出的问题深入思考,就可以抓住老师的思路。
C Q
80O
BO
P
A
D
分析 经过3时,甲到达点P,OP=4×3=12(km),乙到达点
Q,OQ=4.5×3=13.5(km),问题转化为在△OPQ中,已知
OP=12km, OQ=13.5km,∠POQ= 80O,求PQ的长.
解 经过3时后,甲到达点P,OP=4×3=12(km),乙到达点 Q,OQ=4.5×3=13.5(km).依余弦定理,知
C≈36°
B=180°-(A+C)≈100°.
2. ΔABC中,a=2,b=2 2,C=15°,解此三角形.
解:∵ c2 a 2 b2 2ab cosC=8-4 3
∴c= 6 2
∴cos B a 2 c 2 b2 =- 2
2ac
2
∴B=135°
∴ A= 180°-(B+C) = 30°
④ 紧跟老师的推导过程抓住老师的思路。老师在课堂上讲解某一结论时,一般有一个推导过程,如数学问题的来龙去脉、物理概念的抽象归纳、语 文课的分析等。感悟和理解推导过程是一个投入思维、感悟方法的过程,这有助于理解记忆结论,也有助于提高分析问题和运用知识的能力。
⑤ 搁置问题抓住老师的思路。碰到自己还没有完全理解老师所讲内容的时候,最好是做个记号,姑且先把这个问题放在一边,继续听老师讲后面的 内容,以免顾此失彼。来自:学习方法网
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第二章 2.2 第1课时
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修5
下列数列是等差数列的是( )
A.13,15,17,19
B.1, 3, 5, 7
C.1,-1,1,-1
D.0,0,0,0
[答案] D
[解析] ∵15-13≠17-15,故排除 A;∵ 3-1≠ 5- 3,故排 除 B;
第二章 2.2 第1课时
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修5
课堂典例讲练
第二章 2.2 第1课时
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修5
思路方法技巧 等差数列的定义及判定 已知数列的通项公式为 an=6n-1,问这个数列 是等差数列吗?若是等差数列,其首项与公差分别是多少? [解析] ∵an+1-an=[6(n+1)-1]-(6n-1)=6(常数), ∴{an}是等差数列,其首项 a1=6×1-1=5,公差为 6.
第二章 2.2 第1课时
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修5
等差数列{an}中,a3=5,a7=13,求通项公式 an.
[解析] 设数列{an}的首项为 a1,公差为 d,由题意,得
a1+2d=5
a1=1
,解得
.
a1+6d=13
d=2
∴an=a1+(n-1)d=2n-1.
第二章
第 1 课时 等差数列的概念与通项公式
4
第二章 数列
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课前自主预习 课堂典例讲练
名师辨误做答 课后强化作业
第二章 2.2 第1课时
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课前自主预习
第二章 2.2 第1课时
∵-1-1≠1-(-1),故排除 C,∴选 D.
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2.等差中项 如果 a,A,b 成等差数列,那么 A 叫做 a 与 b 的等差中项,
a+b 即 A=___2____.
破疑点:(1)在一个等差数列中,从第 2 项起,每一项(有穷数 列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等差中项,即 2an=an-1 +an+1;实际上,等差数列中的某一项是与其等距离的前后两项的 等差中项,即 2an=an-m+an+m(m、n∈N*,m<n).
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2.鞋的尺码,按照国家规定,有:22,22.5,________,________, ________,________….
[答案] 23 23.5 24 24.5
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3.等差数列的通项公式 首项为 a,公差为 d 的等差数列的通项公式为 ___a_n=__a_1_+__(_n_-__1_)_d__. 破疑点:通项公式 an=a1+(n-1)d 中,涉及四个量 a1、an、n、 d 知任意三个就可以列方程求另外一个.若通项公式变形为 an=dn +(a1-d),当 d≠0 时,可把 an 看成自变量 n 的一次函数(当 d=0 时,an=a1,此时数列{an}是常数列)从而等差数列{an}的图象为分 布于一直线上的一群孤立的点,其中公差 d 是这群孤立点所在直 线的斜率.
新课引入
汉朝的天文著作《周髀算经》中有记载,大意如下:在平地 上立八尺高的髀,日中测影,在二十四节气中,冬至影长 1 丈 3 尺 5 寸,以后每一节气影长递减 9 寸 916分;夏至影最短,仅长 1 尺 6 寸,以后每一节气影长递增 9 寸 916分.如果把这些影长记录 下来,会构成一个什么样的数列呢?
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破疑点:对于等差数列定义的理解要注意: (1)“从第 2 项起”也就是说等差数列中至少含有三项. (2)“每一项与它的前一项的差”不可理解为“每相邻两项的 差”. (3)“同一个常数 d”,d 是等差数列的公差,即 d=an-an-1 或 d=an+1-an,d 可以为零,当 d=0 时,等差数列为常数列,也 就是说,常数列是特殊的等差数列. (4)等差数列的定义是判断、证明一个数列为等差数列的重要 依据,即 an+1-an=d(常数)(n∈N*)⇔{an}是等差数列.
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自主预习
1.等差数列的定义. 一般地,如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的 差等于同一个常数,那么这个数列就叫做_等__差__数__列__,这个常数叫 做等差数列的__公__差__,公差通常用字母 d 表示.若公差 d=0,则 这个数列为__常__数__列__.
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温故知新
1.在现实生活中,我们经常这样数数,从 0 开始,每隔 5 数一 次 , 可 以 得 到 数 列 : 0,5 , ________ , ________ , ________ , ________,….
[答案] 10 15 20 25
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路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
1
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第二章
数列
2
第二章 数列
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第二章
2.2 等差数列
3
第二章 数列
ห้องสมุดไป่ตู้
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(2)数列{an}是等差数列⇔2an=an+1+an+1,这是判断等差数列 的重要依据.
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已知:1,x,y,10 构成等差数列,则 x、y 的值分别为________. [答案] 4,7 [解析] 由已知,x 是 1 和 y 的等差中项,即 2x=1+y①, y 是 x 和 10 的等差中项,即 2y=2x+10② 由①、②可解得 x=4,y=7.
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下列数列是等差数列的是( )
A.13,15,17,19
B.1, 3, 5, 7
C.1,-1,1,-1
D.0,0,0,0
[答案] D
[解析] ∵15-13≠17-15,故排除 A;∵ 3-1≠ 5- 3,故排 除 B;
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课堂典例讲练
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思路方法技巧 等差数列的定义及判定 已知数列的通项公式为 an=6n-1,问这个数列 是等差数列吗?若是等差数列,其首项与公差分别是多少? [解析] ∵an+1-an=[6(n+1)-1]-(6n-1)=6(常数), ∴{an}是等差数列,其首项 a1=6×1-1=5,公差为 6.
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等差数列{an}中,a3=5,a7=13,求通项公式 an.
[解析] 设数列{an}的首项为 a1,公差为 d,由题意,得
a1+2d=5
a1=1
,解得
.
a1+6d=13
d=2
∴an=a1+(n-1)d=2n-1.
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第 1 课时 等差数列的概念与通项公式
4
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2.等差中项 如果 a,A,b 成等差数列,那么 A 叫做 a 与 b 的等差中项,
a+b 即 A=___2____.
破疑点:(1)在一个等差数列中,从第 2 项起,每一项(有穷数 列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等差中项,即 2an=an-1 +an+1;实际上,等差数列中的某一项是与其等距离的前后两项的 等差中项,即 2an=an-m+an+m(m、n∈N*,m<n).
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3.等差数列的通项公式 首项为 a,公差为 d 的等差数列的通项公式为 ___a_n=__a_1_+__(_n_-__1_)_d__. 破疑点:通项公式 an=a1+(n-1)d 中,涉及四个量 a1、an、n、 d 知任意三个就可以列方程求另外一个.若通项公式变形为 an=dn +(a1-d),当 d≠0 时,可把 an 看成自变量 n 的一次函数(当 d=0 时,an=a1,此时数列{an}是常数列)从而等差数列{an}的图象为分 布于一直线上的一群孤立的点,其中公差 d 是这群孤立点所在直 线的斜率.
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破疑点:对于等差数列定义的理解要注意: (1)“从第 2 项起”也就是说等差数列中至少含有三项. (2)“每一项与它的前一项的差”不可理解为“每相邻两项的 差”. (3)“同一个常数 d”,d 是等差数列的公差,即 d=an-an-1 或 d=an+1-an,d 可以为零,当 d=0 时,等差数列为常数列,也 就是说,常数列是特殊的等差数列. (4)等差数列的定义是判断、证明一个数列为等差数列的重要 依据,即 an+1-an=d(常数)(n∈N*)⇔{an}是等差数列.
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1.等差数列的定义. 一般地,如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的 差等于同一个常数,那么这个数列就叫做_等__差__数__列__,这个常数叫 做等差数列的__公__差__,公差通常用字母 d 表示.若公差 d=0,则 这个数列为__常__数__列__.
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1.在现实生活中,我们经常这样数数,从 0 开始,每隔 5 数一 次 , 可 以 得 到 数 列 : 0,5 , ________ , ________ , ________ , ________,….
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(2)数列{an}是等差数列⇔2an=an+1+an+1,这是判断等差数列 的重要依据.
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已知:1,x,y,10 构成等差数列,则 x、y 的值分别为________. [答案] 4,7 [解析] 由已知,x 是 1 和 y 的等差中项,即 2x=1+y①, y 是 x 和 10 的等差中项,即 2y=2x+10② 由①、②可解得 x=4,y=7.