高三数学函数的概念与表示
高一至高三数学函数知识点
高一至高三数学函数知识点函数作为数学的重要概念,是高中数学学习中的重点和难点之一。
掌握好函数知识,对于学习其他数学分支以及应用数学都具有重要意义。
本文将从高一至高三的角度,全面介绍数学函数的基本知识点。
1. 函数的定义和性质函数是一个将一个集合中的元素唯一地对应到另一个集合中的元素的关系。
通常用f(x)表示函数,其中x为自变量,f(x)为函数值/因变量。
函数的性质包括定义域、值域、奇偶性、单调性、周期性等。
2. 基本函数类型常见的基本函数类型包括线性函数、二次函数、指数函数、对数函数和三角函数等。
线性函数是一次函数,表达式为f(x) = kx + b,其中k和b为常数。
二次函数是一个形如f(x) = ax^2 + bx + c的函数,其中a、b和c为常数,且a不为零。
指数函数是以a为底的x的指数函数,表达式为f(x) = a^x,其中a为常数且a大于0且不等于1。
对数函数是指数函数的反函数,以a为底的对数函数表达式为f(x) = logₐx,其中a为常数且a大于0且不等于1。
三角函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数等,是与三角比例相关的函数。
3. 函数的图像和性质函数的图像是函数在直角坐标系上的几何表达。
函数图像的性质包括对称性、平移、伸缩等。
对称性包括关于x轴对称、关于y轴对称和关于原点对称。
平移是指通过改变函数表达式中的常数项或自变量的值,使得函数图像在坐标系上发生平行移动。
伸缩是通过改变函数表达式中的系数,使得函数图像在坐标系上发生纵向或横向的拉伸或压缩。
4. 函数的运算和复合函数函数之间可以进行加法、减法、乘法和除法的运算。
加法:对于函数f(x)和g(x),定义f(x) + g(x) = h(x),h(x)的函数值等于f(x)和g(x)对应函数值的和。
减法:对于函数f(x)和g(x),定义f(x) - g(x) = h(x),h(x)的函数值等于f(x)和g(x)对应函数值的差。
乘法:对于函数f(x)和g(x),定义f(x) × g(x) = h(x),h(x)的函数值等于f(x)和g(x)对应函数值的乘积。
第一讲+函数的概念及其表示 高三数学一轮复习
,k∈Z.
2.常见函数的值域 (1)y=kx+b(k≠0)的值域是 R.
(2)y=ax2+bx+c(a≠0)的值域:当 a>0 时,值域为 4ac4-a b2,+∞;当 a<0 时,值域为-∞,4ac4-a b2.
(3)y=xk(k≠0)的值域是{y|y≠0}.
(4)y=ax(a>0 且 a≠1)的值域是(0,+∞). (5)y=logax(a>0 且 a≠1)的值域是 R. (6)y=sin x,y=cos x 的值域是[-1,1],y=tan x 的定义域 是 R.
高考一轮总复习
第二章 函数、导数及其应用
第一讲 函数的概念及其表示
1.函数的概念
内容
函数
两个集合A,B 设A,B是两个非空的实数集
对应关系 f:A→B
如果按照某种确定的对应关系f,使对于集合A中 的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数y 和它对应
名称
称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数
记法
解得2-kπ4<≤x<x≤π+4.2kπ,k∈Z, 当 k=0 时,x∈(0,π)满足;k=1 时,x∈(2π,3π),则 x∈∅; k=-1 时,x∈(-2π,-π),则 x∈[-4,-π), 则 f(x)的定义域为[-4,-π)∪(0,π).故选 D. 答案:D
(2)若函数 f(x)= ax2+abx+b的定义域为{x|1≤x≤2},则 a+
则 y=xf(-2x1]
B.[-4,1)∪(1,8]
C.(1,2]
D.[-1,1)∪(1,2]
解析:由题意,得- x-21≤≠20x≤ ,4, 解得-1≤x≤2 且 x≠1.故 选 D.
答案:D
考点二 求函数的解析式 [例 3](1)已知二次函数 f(2x+1)=4x2-6x+5,求 f(x); (2)已知函数 f(x)满足 f(-x)+2f(x)=2x,求 f(x).
高中高三数学函数知识点
高中高三数学函数知识点函数是高中数学中的重要内容,是数学研究中最为基础和有着广泛应用的数学概念之一。
在高三的数学学习中,函数的知识点非常重要,掌握好函数的概念、性质和应用,对于学习和应对高考都有着积极的影响。
下面将对高中高三数学函数的知识点进行详细介绍。
一、函数的概念和性质1. 函数的定义函数是一种特殊的关系,指的是每一个自变量(输入)对应唯一的因变量(输出)。
通常用f(x)来表示函数,其中x为自变量,f(x)为对应的因变量。
2. 定义域和值域函数的定义域是自变量所有可能取值的集合,值域是因变量所有可能取值的集合。
3. 函数的表示方法函数可以通过方程、图像、表格或文字描述等多种方式表示。
4. 奇偶性函数的奇偶性是指当自变量变为-x时,函数值的对应关系。
若有f(-x)=-f(x),则函数为奇函数;若有f(-x)=f(x),则函数为偶函数;若既不满足奇函数的条件,也不满足偶函数的条件,则为既非奇函数也非偶函数。
二、常见函数类型1. 一次函数一次函数的表达式为y=ax+b(a≠0),是一种呈直线形状的函数。
其中a代表直线的斜率,b是函数的常数项。
2. 二次函数二次函数的表达式为y=ax²+bx+c(a≠0),是一种呈抛物线形状的函数。
其中a代表抛物线开口的方向和开口度,b是抛物线与y轴的交点,c是抛物线与x轴的交点。
3. 幂函数幂函数的表达式为y=ax^b(a≠0, b为有理数),是一种以指数为变量的函数。
其中a和b都是常数。
4. 指数函数指数函数的表达式为y=a^x(a>0, a ≠ 1),是幂函数的一种特殊形式。
其中a为常数,x为指数变量。
5. 对数函数对数函数的表达式为y=loga(x)(a>0, a ≠ 1),是指数函数的反函数。
其中a为底数,x为对数变量。
6. 三角函数三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数等。
它们的表达式分别为y=sin(x)、y=cos(x)和y=tan(x)。
数学高三函数知识点大全集
数学高三函数知识点大全集函数是高中数学的核心内容之一,也是高三数学考试的重点。
掌握函数的相关知识点对于高三学生来说至关重要。
本文将为你提供数学高三函数知识点大全集,涵盖了函数的定义、性质、图像、求解等方面。
希望能够帮助你系统地学习和梳理这些知识点。
一、函数的定义和性质1. 函数的定义:函数是一个变量间的关系,每一个自变量(通常用x表示)对应唯一一个因变量(通常用y表示)。
函数可以用公式、图像或者表格来表示。
2. 定义域和值域:函数的定义域是所有可能的自变量取值的集合,值域是所有可能的因变量取值的集合。
3. 奇函数和偶函数:如果函数满足f(-x) = -f(x),那么它是奇函数;如果函数满足f(-x) = f(x),那么它是偶函数。
4. 单调性:如果函数在定义域上是递增的或递减的,那么它具有单调性。
5. 周期性:如果存在一个正数T,使得对于任意x,有f(x+T) = f(x),那么函数具有周期性。
二、常见函数类型1. 一次函数:也称为线性函数,形式为y = kx + b,其中k为斜率,b为截距。
2. 二次函数:也称为抛物线,形式为y = ax^2 + bx + c,其中a、b、c为常数,a不等于0。
3. 三角函数:包括正弦函数、余弦函数和正切函数等。
4. 指数函数:形式为y = a^x,其中a为常数,a大于0且不等于1。
5. 对数函数:形式为y = log_a(x),其中a为常数,a大于0且不等于1。
三、函数的图像与性质1. 函数图像的平移与伸缩:根据函数图像的性质,我们可以通过平移和伸缩来得到函数的图像。
平移可以通过改变函数的函数式中的参数来实现,伸缩可以通过改变函数式中的系数来实现。
2. 函数的对称性:函数图像可能具有对称轴,如y轴、x轴或者原点。
利用对称性,我们可以简化求解过程。
3. 函数与方程:将函数的图像与方程结合起来,可以解决一些复杂的问题。
四、函数的求解与应用1. 方程和不等式求解:利用函数图像的性质,我们可以将方程和不等式转化为函数的问题,从而求解。
新高考数学一轮复习考点知识归类讲义 第6讲 函数及其表示
新高考数学一轮复习考点知识归类讲义第6讲函数及其表示1.函数的概念一般地,设A,B是非空的实数集,如果对于集合A中的任意一个数x,按照某种确定的对应关系f,在集合B中都有唯一确定的数y和它对应,那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数,记作y=f(x),x∈A.2.函数的定义域、值域在函数y=f(x),x∈A中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域;与x 的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.3.函数的表示法表示函数的常用方法有解析法、图像法和列表法.4.分段函数(1)若函数在其定义域的不同子集上,因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示,这种函数称为分段函数.(2)分段函数虽由几个部分组成,但它表示的是一个函数.分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集,值域等于各段函数的值域的并集.➢考点1 函数的概念[名师点睛](1)函数的定义要求非空数集A中的任何一个元素在非空数集B中有且只有一个元素与之对应,即可以“多对一”,不能“一对多”,而B中有可能存在与A中元素不对应的元素.(2)构成函数的三要素中,定义域和对应关系相同,则值域一定相同1.(2022·全国·高三专题练习)下列四个图像中,是函数图像的是()A .(1)(2)B .(1)(2)(3)C .(1)(3)(4)D .(1)(2)(3)(4) 【答案】C 【解析】根据函数的定义,一个自变量值对应唯一一个函数值,或者多个自变量值对应唯一一个函数值,显然只有(2)不满足. 故选:C.2.(2021·湖南·雅礼中学高三阶段练习)下列各组函数中,()f x ,()g x 是同一函数的是( )A .()2f x x =,()4g x x =B .()2log a f x x =,()2log a g x x =C .()4121x x f x -=-,()21x g x =+D .()11f x x x --()11g x x x --【答案】D 【解析】解:对于A 选项,()2f x x =的定义域为R ,()4g x x =的定义域为[)0,∞+,故不满足;对于B 选项,()2log a f x x =的定义域为{}0x x ≠,()2log a g x x =的定义域为()0,∞+,故不满足;对于C 选项,()4121x x f x -=-的定义域为{}0x x ≠,()21xg x =+的定义域为R ,故不满足;对于D 选项,()f x ,()g x 的定义域均为{}1,对应关系均为0y =,故是同一函数.故选:D [举一反三]1.(2022·全国·高三专题练习)函数y =f (x )的图象与直线1x =的交点个数( ) A .至少1个B .至多1个C .仅有1个D .有0个、1个或多个 【答案】B 【解析】若1不在函数f (x )的定义域内,y =f (x )的图象与直线1x =没有交点, 若1在函数f (x )的定义域内,y =f (x )的图象与直线1x =有1个交点, 故选:B.2.(2022·天津市西青区张家窝中学高三阶段练习)下列各组函数中,表示同一个函数的是( )A .y =x -1和y =211x x -+B .y =x 0和y =1C .f (x )=x 2和g (x )=(x +1)2D .f (xg (x 【答案】D 【解析】对于A ,函数y =x -1定义域是R ,函数y =211x x -+定义域是(,1)(1,)-∞-⋃-+∞,A 不是;对于B ,0y x =定义域是(,0)(0,)-∞+∞,函数y =1定义域是R ,B 不是;对于C ,()2f x x =和()2(1)g x x =+对应法则不同,C 不是;对于D ,f (x和g (x (0,)+∞,并且对应法则相同,D 是.故选:D3.(2022·全国·高三专题练习)下列各组函数中,表示同一个函数的是( )A .1y =与0y x =B .y x =与2y =C .22log y x =与22log y x =D .1ln 1xy x+=-与()()ln 1ln 1y x x =+-- 【答案】D 【解析】对于A :1y =定义域为R ,0y x =定义域为{}|0x x ≠,定义域不同不是同一个函数,故选项A 不正确;对于B :y x =定义域为R ,2y =的定义域为{}|0x x ≥,定义域不同不是同一个函数,故选项B 不正确;对于C :22log y x =的定义域为{}|0x x >,22log y x =定义域为{}|0x x ≠,定义域不同不是同一个函数,故选项C 不正确; 对于D :由101xx +>-可得()()110x x +-<,解得:11x -<<,所以1ln 1x y x+=-的定义域为{}|11x x -<<,由1010x x +>⎧⎨->⎩可得11x -<<,所以函数()()ln 1ln 1y x x =+--的定义域为{}|11x x -<<且()()1ln 1ln 1ln1xy x x x+=+--=-,所以两个函数定义域相同对应关系也相同是同一个函数,故选项D 正确, 故选:D.➢考点2 函数的定义域[典例]1.(2022·北京·模拟预测)函数()()=-的定义域是_______.lg2f x x【答案】1[,2)2- 【解析】 由题意可得,21020x x +≥⎧⎨->⎩,解之得122x -≤<则函数()()lg 2f x x =-的定义域是1[,2)2- 故答案为:1[,2)2-2.(2022·全国·高三专题练习)若函数()y f x =的定义域是[0,8],则函数()g x =义域是( )A .(1,32)B .(1,2)C .(1,32]D .(1,2] 【答案】D 【解析】因为函数()y f x =的定义域是[0,8], 所以04802,,12101x x x x x ≤≤≤≤⎧⎧∴∴<≤⎨⎨->>⎩⎩.故选:D.3.(2022·全国·高三专题练习)已知函数(1)f x +的定义域为(-2,0),则(21)f x -的定义域为( )A .(-1,0)B .(-2,0)C .(0,1)D .1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】由题设,若1t x =+,则(1,1)t ∈-,∴对于(21)f x -有21(1,1)x -∈-,故其定义域为(0,1). 故选:C4.(2022·全国·高三专题练习)已知函数()f x =的定义域是R ,则实数a 的取值范围是( )A .(12,0)-B .(12,0]-C .1(,)3+∞D .1(,]3-∞ 【答案】B 【解析】∵()f x =的定义域为R ,∴只需分母不为0即可,即230ax ax +-≠恒成立, (1)当0a =时,30恒成立,满足题意,(2)当0a ≠时,24(3)0a a ∆=-⨯-<,解得120a -<<, 综上可得120a -<≤. 故选:B. [举一反三]1.(2022·全国·高三专题练习)函数y =13x -的定义域为( ) A .3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B .(-∞,3)∪(3,+∞)C .3,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭(3,+∞)D .(3,+∞)【答案】C 【解析】要使函数y =13x -有意义,则 所以x x -≥-≠⎧⎨⎩23030,解得32x ≥且3x ≠,所以函数y =13x -的定义域为3,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭∪(3,+∞). 故选:C.2.(2022·全国·高三专题练习)函数y 22x ππ-≤≤)的定义域是( )A .,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B .,26ππ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭C .,02π⎡-⎫⎪⎢⎣⎭D .,26ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】A由题意,得512sin 0log (12sin )022x x x ππ⎧⎪->⎪-≥⎨⎪⎪-≤≤⎩,则1sin 212sin 122x x x ππ⎧<⎪⎪-≥⎨⎪⎪-≤≤⎩,即sin 022x x ππ≤⎧⎪⎨-≤≤⎪⎩,∴[,0]2x π∈-.故选:A.3.(2022·全国·高三专题练习)已知函数(1)=-y f x 的定义域为[]1,3,则函数()3log y f x =的定义域为( )A .[]0,1B .[]1,9C .[]0,2D .[]0,9 【答案】B 【解析】由[]1,3x ∈,得[]10,2x -∈, 所以[]3log 0,2x ∈,所以[]1,9x ∈. 故选:B .4.(2022·全国·高三专题练习)定义域是一个函数的三要素之一,已知函数()Jzzx x 定义域为[211,985],则函数 ()shuangyiliu x (2018)(2021)Jzzx x Jzzx x =+的定义域为( )A .211985,20182021⎡⎤⎢⎥⎣⎦B .211985,20212018⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C .211985,20182018⎡⎤⎢⎥⎣⎦D .211985,20212021⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】A 【解析】由抽象函数的定义域可知,21120189852112021985x x ≤≤⎧⎨≤≤⎩,解得21198520182021x, 所以所求函数的定义域为211985,20182021⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 故选A.5.(2022·全国·高三专题练习)已知函数()f x =R ,则m 的取值范围是( )A .12m -<<B .12m -<≤C .12m -≤≤D .12m -≤< 【答案】C 【解析】由题意得:()()231104m x m x +-++≥在R 上恒成立.10m +=即1m =-时,()f x =10m +≠时,只需()()2101310m m m +>⎧⎪⎨∆=+-+≤⎪⎩, 解得:12m -<≤, 综上:1,2m ,故选:C .6.(2022·上海市奉贤中学高三阶段练习)函数()f x =___________.【答案】(,0]-∞【解析】解:由1102x⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭,得011122⎛⎫⎛⎫≥= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭x ,所以0x ≤,所以函数的定义域为(,0]-∞,故答案为:(,0]-∞7.(2022·全国·高三专题练习)函数y =的定义域是R ,则a 的取值范围是_________. 【答案】[)0,4【解析】由题意可得210ax ax ++>在R 上恒成立. ①当0a =时,则10>恒成立,0a ∴=符合题意;②当0a ≠时,则2040a a a >⎧⎨-<⎩,解得04a <<.综上可得04a ≤<,∴实数a 的取值范围为[)0,4. 故答案为:[)0,4.8.(2022·全国·高三专题练习)已知函数()f x =R ,则a的范围是________. 【答案】[1,5) 【解析】当1a =时,()1f x =,即定义域为R ;当1a ≠,要使()f x 的定义域为R ,则2()(1)(1)10g x a x a x =-+-+>在x ∈R 上恒成立,∴()()210{1410a a a ->∆=---<,解得15a <<, 综上,有15a ≤<, 故答案为:[1,5)➢考点3 函数解析式[典例]1.(1)已知f(x+1)=x+2x,则f(x)的解析式为________________.(2)若f(x)为二次函数且f(0)=3,f(x+2)-f(x)=4x+2,则f(x)的解析式为________.(3)已知函数f(x)满足2f(x)+f(-x)=2x,则f(x)的解析式为________.【答案】(1)f(x)=x2-1(x≥1)(2)f(x)=x2-x+3(3)f(x)=2x【解析】(1)方法一(换元法):令x+1=t,则x=(t-1)2,t≥1,所以f(t)=(t-1)2+2(t-1)=t2-1(t≥1),所以函数f(x)的解析式为f(x)=x2-1(x≥1).方法二(配凑法):f(x+1)=x+2x=x+2x+1-1=(x+1)2-1.因为x+1≥1,所以函数f(x)的解析式为f(x)=x2-1(x≥1).(2)(待定系数法)设f (x )=ax 2+bx +c (a ≠0), 又f (0)=c =3, 所以f (x )=ax 2+bx +3,所以f (x +2)-f (x )=a (x +2)2+b (x +2)+3-(ax 2+bx +3)=4ax +4a +2b =4x +2. 所以⎩⎨⎧4a =4,4a +2b =2,所以⎩⎨⎧a =1,b =-1,所以函数f (x )的解析式为f (x )=x 2-x +3. (3)(解方程组法)因为2f (x )+f (-x )=2x ,① 将x 换成-x 得2f (-x )+f (x )=-2x ,② 由①②消去f (-x ),得3f (x )=6x , 所以f (x )=2x .2.(2022·全国·高三专题练习)根据下列条件,求函数f (x )的解析式. (1)f (x )是一次函数,且满足f (f (x ))=4x -3;(2)已知f (x )满足2f (x )+f (1x)=3x ,求f (x )的函数解析式.(3)已知f (0)=1,对任意的实数x ,y 都有f (x -y )=f (x )-y (2x -y +1). 【解】(1)因为f (x )是一次函数,所以设()()0f x kx b k =+≠,所以()()()2f f x k kx b b k x kb b =++=++,又因为f (f (x ))=4x -3,所以243k x kb b x ++=-,故243k kb b ⎧=⎨+=-⎩,解得21k b =⎧⎨=-⎩或23k b =-⎧⎨=⎩,所以()21f x x =-或()23f x x =-+;(2)将1x 代入()123f x f x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭,得()132f f x x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭,因此()()123132fx f x x ff x x x ⎧⎛⎫+=⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪+= ⎪⎪⎝⎭⎩,解得()()120f x x x x=-≠. (3)令x =0,得f (-y )=f (0)-y (-y +1)=1+y 2-y=()()21y y -+-+,所以f (y )=y 2+y +1,即f (x )=x 2+x +1.[举一反三]1.(2022·全国·高三专题练习)已知函数221111x xf x x --⎛⎫= ⎪++⎝⎭,则()f x 的解析式为( ) A .()()2211x f x x x =≠-+B .()()2211xf x x x =-≠-+ C .()()211x f x x x =≠-+D .()()211x f x x x =-≠-+ 【答案】A 【解析】令11x t x -=+,则11t x t -=+ ,所以()()222112111111t t t f t t t t t -⎛⎫- ⎪+⎝⎭==≠-+-⎛⎫+ ⎪+⎝⎭, 所以()()2211xf x x x =≠-+,故选:A. 2.(2022·全国·高三专题练习)已知函数f (x ﹣1)=x 2+2x ﹣3,则f (x )=( ) A .x 2+4x B .x 2+4C .x 2+4x ﹣6D .x 2﹣4x ﹣1 【答案】A【解析】()()()22123141f x x x x x -=+-=-+-,所以()24f x x x =+.故选:A3.(2022·全国·高三专题练习)已知函数()f x 的定义域为R ,且2()2()f x f x x x +-=-,则()f x =( )A .223x x +B .223x x +C .2223x x+D .23x x +【答案】D【解析】令x 为x -,则2()2()f x f x x x -+=+, 与2()2()f x f x x x +-=-联立可解得,2()3x f x x =+.故选:D .4.(多选)(2022·全国·高三专题练习)已知函数()f x 是一次函数,满足()()98f f x x =+,则()f x 的解析式可能为( ) A .()32f x x =+B .()32f x x =- C .()34f x x =-+D .()34f x x =-- 【答案】AD 设()f x kx b =+,由题意可知()()()298f f x k kx b b k x kb b x =++=++=+,所以298k kb b ⎧=⎨+=⎩,解得32k b =⎧⎨=⎩或34k b =-⎧⎨=-⎩,所以()32f x x =+或()34f x x =--. 故选:AD.5.(2022·山东济南·二模)已知函数2()23f x x x =--+,则(1)f x +=______. 【答案】24x x -- 【解析】解:因为2()23f x x x =--+,所以()()22(+1)+12+143f x x x x x =--+-=-,(1)f x +=24x x --.故答案为:24x x --.6.(2022·全国·高三专题练习)已知()49f f x x =+⎡⎤⎣⎦,且()f x 为一次函数,求()f x =_________【答案】23x +或29x --. 【解析】因为()f x 为一次函数,所以设()()0f x kx b k =+≠,所以()()()()21f f x f kx b k kx b b k x b k =+=++=++⎡⎤⎣⎦, 因为()49f f x x =+⎡⎤⎣⎦,所以()2149k x b k x ++=+恒成立, 所以()2419k b k ⎧=⎪⎨+=⎪⎩,解得:23k b =⎧⎨=⎩或29k b =-⎧⎨=-⎩,所以()23f x x =+或()29f x x =--, 故答案为:23x +或29x --.7.(2022·全国·高三专题练习)已知函数)25f x =+,则()f x 的解析式为_______【答案】()()212f x x x =+≥【解析】2t +=,则2t ≥,且()22x t =-, 所以()()()2224251f t t t t =-+-+=+,()2t ≥所以()()212f x x x =+≥,故答案为:()()212f x x x =+≥.8.(2022·全国·高三专题练习)设函数f (x )对x ≠0的一切实数都有f (x )+2f (2020x)=3x ,则f (x )=_________. 【答案】4040()f x x x=- 【解析】 因为()202023f x f x x ⎛⎫+=⎪⎝⎭,可得()2020232020x f f x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭,由()()2020232020232020f x f x x x f f x x ⎧⎛⎫+=⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪+= ⎪⎪⎝⎭⎩,解得4040()f x x x=-. 故答案为:4040()f x x x=-. 9.(2022·全国·高三专题练习)已知定义域为R 的函数()f x 满足()()323f x f x x --=,则()f x =___________.【答案】3x【解析】因为()()323f x f x x --=,所以()()323f x f x x --=-,同除以2得()()31322f x f x x --=-,两式相加可得()33322f x x =,即()3f x x =.故答案为:3x .10.(2022·全国·高三专题练习)(1)已知()f x 是二次函数且(0)2f =,(1)()1f x f x x +-=-,求()f x ;(2)已知1()2(0)f x f x x x ⎛⎫+=≠ ⎪⎝⎭,求()f x .【解】(1)∵f (x )为二次函数,∴f (x )=ax 2+bx +c (a ≠0),∵f (0)=c =2,∵f (x +1)﹣f (x )=x ﹣1,∴2ax +a +b =x ﹣1,∴a 12=,b 32=-, ∴f (x )12=x 232-x +2. (2)∵()12f x f x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭,①,∴f (1x )+2f (x )1x=,② ①-②×2得:﹣3f (x )=x 2x-, ∴2()(0)33xf x x x =-≠➢考点4 分段函数1.(2022·广东梅州·二模)设函数()()21log 6,1,2, 1.x x x f x x -⎧-<=⎨≥⎩,则()()22log 6f f -+=( ) A .2B .6C .8D .10 【答案】B 【解析】 解:因为()()21log 6,1,2, 1.x x x f x x -⎧-<=⎨≥⎩,所以()()2log 61222log 83,log 623f f --====,所以()()22log 66f f -+=. 故选:B.2.(2022·山东潍坊·模拟预测)设函数()()()3,104,10x x f x f f x x -≥⎧⎪=⎨+<⎪⎩,则()8f =( )A .10B .9C .7D .6【答案】C 【解析】因为()()()3,104,10x x f x f f x x -≥⎧⎪=⎨+<⎪⎩,则()()()()()()()812913107f f f f f f f =====.故选:C.3.(2022·浙江省江山中学高三期中)已知[]1,1∈-a ,函数()()()22sin 2, 21,π⎧⎡⎤-≤⎪⎣⎦=⎨-++>⎪⎩x a x a f x x a x a x a 若()() 1=f f a ,则=a _______.【答案】1-或34【解析】()()()01f f a f ==,当01a ≤≤时,()()0sin 21π=-=f a ,得14a k =--,故34a =;当10a -≤<时,()201f a ==,故1a =-.故答案为:34a =或1a =-.4.(2022·湖南湘潭·三模)已知0a >,且1a ≠,函数()()2log 21,0,0a xx x f x a x ⎧+≥⎪=⎨<⎪⎩,若()()12f f -=,则=a ___________,()4f x ≤的解集为___________.【答案】∞⎛- ⎝⎦【解析】①由题可知,()()()()121log 212a f f f a a ---==+=,则2221a a -=+,即4220a a --=,解得22a =,故a =②当0x 时,())2214f x x=+,解得602x;当0x <时,()4x f x =恒成立.故不等式的解集为∞⎛- ⎝⎦.∞⎛- ⎝⎦. [举一反三]1.(2022·山东·济南一中高三阶段练习)已知函数()()21,13,1xx f x f x x ⎧+<⎪=⎨-≥⎪⎩,则()9f =( ) A .2B .9C .65D .513 【答案】A 【解析】()09(93)(6)(3)(0)212f f f f f =-====+=,故选:A2.(2022·重庆八中模拟预测)已知函数()()1,221,2xx f x f x x ⎧⎛⎫≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪->⎩,则()2log 12f =( )A .13B .6-C .16D .3- 【答案】A 【解析】因为()2log 31,2∈,则()22log 122log 33,4=+∈,所以()()()()22log 31log 322211log 122log 3log 3223f f f -⎛⎫=+==== ⎪⎝⎭,故选:A.3.(2022·安徽安庆·二模)已知函数()()()lg ,10R 10,01axx x f x a x ⎧--≤<=∈⎨≤≤⎩且()12f =,则()41log 310f f ⎛⎫--= ⎪⎝⎭( ) A.1-.1-.1.1【答案】A【解析】∵()1102a f ==,∴lg 2a =,由()()()lg ,10R 10,01ax x x f x a x ⎧--≤<=∈⎨≤≤⎩,知()()lg ,102,01x x x f x x ⎧--≤<=⎨≤≤⎩. 于是()241log 3log log 32411log 3lg 2121211010f f ⎛⎫--=-=--=--=- ⎪⎝⎭故选:A4.(2022·福建三明·模拟预测)已知函数()33,0log ,0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩,则()2f f -=⎡⎤⎣⎦___________. 【答案】-2【解析】因为()33,0log ,0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩,所以()()()22323log 32f f f ---===-⎡⎤⎣⎦ 故答案为:-25.(2022·辽宁·建平县实验中学模拟预测)已知函数()221010,231,2x x x f x x x --⎧-≤⎪=⎨-->⎪⎩,则不等式()()10f x f x +-<的解集为___________. 【答案】9,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ 【解析】①当2x ≤时,11x -≤,()221010x x f x --=-在(],2-∞上单调递增, ()()20f x f ∴≤=,又()()()1120f x f f -≤<=, ()()10f x f x ∴+-<恒成立;②当23x <≤时,112x <-≤,()3120f x x x =--=-<,又()()120f x f -≤=,()()10f x f x ∴+-<恒成立; ③当34x <≤时,213x <-≤,()314f x x x =--=-,()1413f x x x -=--=-; ()()110f x f x ∴+-=-<恒成立;④当4x >时,13x ->,()314f x x x =--=-,()1415f x x x -=--=-, ()()1290f x f x x ∴+-=-<,解得:92x <,942x ∴<<; 综上所述:不等式()()10f x f x +-<的解集为9,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭. 故答案为:9,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭. 6.(2022·浙江省临安中学模拟预测)设()(),0121,1x x f x x x ⎧<<⎪=⎨-≥⎪⎩,若()()1f a f a =+,则=a __________,1f a ⎛⎫= ⎪⎝⎭__________. 【答案】146 【解析】 若01a <<,则112a <+<,由()()1f a f a =+,得()211a a =+-,即24a a =, 解得:0a =(舍去)或14a =;若1a ≥,由()()1f a f a =+,得()()21211a a -=+-,该方程无解.综上可知,14a =,()()142416f f a =⎛⎫ =⎪-⎝=⎭ 故答案为:14; 67.(2022·浙江·湖州中学高三阶段练习)已知函数,则()()1f f =___________;方程()1f x =的解集为___________. 【答案】 1 {1,e}【解析】()()()()11e e,1e lne 1f f f f =====,()1,1e 10x x f x x ≤=⇒=⇒=, ()1,1ln 1e x f x x x >=⇒=⇒=, {}0,e .x ∴∈故答案为:1;{}0,e .8.(2022·浙江·高三专题练习)已知()23log ,1,,1,x x f x x x ≥⎧=⎨-<⎩则()(2)f f -=______;若()1f x <,则x 的取值范围是______.【答案】 3 ()1,2-【解析】因为()32(2)8f -=--=, ()()()328l g 8o 3f f f ∴-===,当1x <时,()31f x x =-<,得11x -<<,当1≥x 时,()2log 1f x x =<,得12x ≤<, 故x 的取值范围是()1,2-故答案为:3;()1,2-.9.(2022·浙江浙江·二模)设a ∈R ,函数33(0)()log (0)ax x f x x x ⎧≤=⎨>⎩.则(9)f =________;若1273f f ⎛⎫⎛⎫≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则实数a 的取值范围是________. 【答案】 2 [)3,∞-+【解析】3(9)log 92f ==, 311log 133f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭由()31132733a f f f -⎛⎫⎛⎫=-=≤= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则3a -≤,所以3a ≥- 故答案为:2;[)3,∞-+。
函数概念知识点总结 高三数学一轮复习
知识点总结 3-1函数概念一.函数的概念1.定义一般地,设A ,B 是非空的实数集,如果对于集合A 中的任意一个数x ,按照某种确定的对应关系f ,在集合B 中都有唯一确定的数y 和它对应,那么就称f :A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数,记作y =f (x ),x ∈A . 注:函数的实质是从一个非空集合到另一个非空集合的映射.2.函数的三要素(1)函数的三要素:定义域、对应关系、值域.(函数问题定义域优先)(2)相同函数:如果两个函数的定义域相同,并且对应关系完全一致,那么这两个函数是同一个函数.3.函数的表示法:解析法、图象法和列表法.4.分段函数若函数在其定义域的不同子集上,因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示,这种函数称为分段函数.5.复合函数如果函数y=f(t)的定义域为A, 函数t=g(x) 的定义域为B, 值域为C, 则当C ⊆A 时,称函数y=f(g(x))为f(t)与g(x)在B 的复合函数,其中t 叫做中间变量,t=g(x)叫做内层函数,y=f(t)叫做外层函数.提示:①内层函数的值域是外层函数的定义域或定义域的子集.②函数f(g(x))的定义域是指x 的取值范围,而不是g(x)的取值范围.常用结论1.直线x =a 与函数y =f (x )的图象至多有1个交点.2.在函数的定义中,非空实数集A ,B ,A 即为函数的定义域,值域为B 的子集.3.分段函数虽由几个部分组成,但它表示的是一个函数.分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集,值域等于各段函数的值域的并集.二.求函数定义域时常用限制条件:函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合;(1)分式的分母不为零;(2)偶次方根的被开方数大于或等于零:(3)对数的真数大于零,底数大于零且不等于1;(4)零次幂或负指数次幂的底数不为零;(5)三角函数中的正切tan y x =的定义域是{,x x R ∈且x ≠kπ+π2,k ∈Z};(6)①若已知f (x )的定义域为[a ,b ],则f (g (x ))的定义域为不等式a ≤g (x )≤b 的解集;②已知f (g (x ))的定义域为[a ,b ],则f (x )的定义域为函数y =g (x )(x ∈[a,b ])的值域.(7)对于实际问题中函数的定义域,还需根据实际意义再限制,从而得到实际问题函数的定义域.三.函数的值域1.求函数的值域(最值)的常用方法(1)配方法:主要用于和一元二次函数有关的函数求值域问题.(2)单调性法:利用函数的单调性,再根据所给定义域来确定函数的值域.(3)数形结合法.(4)换元法:引进一个(几个)新的量来代替原来的量,实行这种“变量代换”.(5)分离常数法:分子、分母同次的分式形式采用配凑分子的方法,把函数分离成一个常数和一个分式和的形式.2.基本初等函数的值域(1))0(≠+=k b kx y 的值域是R .(2))0(2≠++=a c bx axy 的值域是:当0>a 时,值域为[4ac−b 24a ,+∞);当0<a 时,值域为(−∞,4ac−b 24a ]. (3)y =k x (k ≠0)的值域是{y |y ≠0}.(4)0(>=a a y x 且)1≠a 的值域是)0(∞+,. (5)0(log >=a x y a 且)1≠a 的值域是R .3.区间:设a,b ∈R ,且a <b ,我们规定: 集合区间名称 符号表示 数轴表示{x |a ≤x ≤b }闭区间 [a ,b ]{x |a <x <b } 开区间 (a ,b ){x |a ≤x <b } 左闭右开区间 [a ,b ){x |a <x ≤b } 左开右闭区间 (a ,b ]{x |x ≥a } [a ,+∞){x |x >a } (a ,+∞){x |x ≤a } (-∞,a ]{x |x <a }(-∞,a )R(-∞,+∞) 若函数在其定义域内,对于定义域内的不同取值区间,有着不同的对应关系,这样的函数通常叫做分段函数.(1)分段函数虽由几个部分构成,但它表示同一个函数.(2)分段函数的定义域是各段定义域的并集,值域是各段值域的并集.(3)各段函数的定义域不可以相交,写分段函数的定义域时,区间端点应不重不漏.。
职高高三数学函数知识点
职高高三数学函数知识点数学函数是高中数学的重要内容之一,对于职高高三学生来说,掌握数学函数的知识点是非常关键的。
在本文中,我们将介绍职高高三数学函数的知识点,帮助学生们更好地理解和应用这些知识。
一、函数的定义和表示方法函数是数学中一个非常基础的概念,它描述了两个变量之间的关系。
函数通常用符号f(x)来表示,其中x是自变量,f(x)是因变量。
函数的定义可以简单地理解为一个规则,根据规则可以得到x 和f(x)之间的对应关系。
二、函数的性质1. 定义域和值域:函数的定义域是指自变量的取值范围,值域是指因变量的取值范围。
在确定函数的定义域和值域时,需要注意约束条件和排除非法值。
2. 单调性:函数的单调性描述了函数值的变化趋势,可以分为递增和递减两种情况。
通过导数或者函数的图像可以确定函数的单调性。
3. 奇偶性:函数的奇偶性描述了函数的对称性,奇函数关于原点对称,偶函数关于y轴对称。
4. 周期性:周期函数具有周期性,即函数在一个周期内的取值重复出现。
三、常见的数学函数1. 线性函数:线性函数是最简单的函数之一,它的图像是一条直线。
线性函数的表达式为f(x)=kx+b,其中k称为斜率,b称为截距。
2. 幂函数:幂函数的表达式为f(x)=ax^m,其中a和m为常数。
幂函数的图像通常是一条曲线,形状取决于a和m的值。
3. 指数函数:指数函数的表达式为f(x)=a^x,其中a为常数。
指数函数的图像通常是一个递增(a>1)或递减(0<a<1)的曲线。
4. 对数函数:对数函数是指数函数的逆运算,其表达式为f(x)=loga(x),其中a为常数,x为正实数。
对数函数的图像通常是一条递增的曲线。
四、函数的运算1. 函数的加减运算:两个函数可以进行加减运算,得到的函数称为和函数或差函数。
加法运算表示为(f+g)(x)=f(x)+g(x),减法运算表示为(f-g)(x)=f(x)-g(x)。
2. 函数的乘法运算:两个函数可以进行乘法运算,得到的函数称为积函数。
专题05 函数 5.1函数的三要素 题型归纳讲义-2022届高三数学一轮复习(原卷版)
专题四《函数》讲义5.1函数的三要素知识梳理.函数的概念1.函数的有关概念(1)函数的定义域、值域:在函数y=f(x),x∈A中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.(2)函数的三要素:定义域、值域和对应关系.(3)相等函数:如果两个函数的定义域和对应关系完全一致,则这两个函数相等,这是判断两函数相等的依据.2.函数的三种表示法解析法图象法列表法就是把变量x,y之间的关系用一个关系式y=f(x)来表示,通过关系式可以由x的值求出y的值.就是把x,y之间的关系绘制成图象,图象上每个点的坐标就是相应的变量x,y的值.就是将变量x,y的取值列成表格,由表格直接反映出两者的关系.3.分段函数若函数在其定义域内,对于定义域内的不同取值区间,有着不同的对应关系,这样的函数通常叫做分段函数.题型一.定义域考点1.具体函数定义域1.函数f(x)=(1﹣)−12+(2x﹣1)0的定义域是()A.(﹣∞,1]B.(−∞,12)∪(12,1)C.(﹣∞,1)D.(12,1)2.函数op=M,g(x)=ln(x2+3x+2)的定义域为N,则M∪∁R N=A.[﹣2,1)B.(﹣2,1)C.(﹣2,+∞)D.(﹣∞,1)考点2.抽象函数定义域3.若函数f(3﹣2x)的定义域为[﹣1,2],则函数f(x)的定义域是.4.函数y=f(x)的定义域为[﹣1,2],则函数y=f(1+x)+f(1﹣x)的定义域为()A.[﹣1,3]B.[0,2]C.[﹣1,1]D.[﹣2,2]考点3.已知定义域求参5.已知函数f(x)=lg(ax2+3x+2)的定义域为R,则实数a的取值范围是.6.若函数f(x)=(2a2+5a+3)x2+(a+1)x﹣1的定义域、值域都为R,则实数a满足()A.a=﹣1或a=−32B.−139<<−1C.a≠﹣1或a≠−32D.a=−32题型二.解析式考点1.待定系数法1.已知函数f(x)是一次函数,且f[f(x)]=9x+4,求函数f(x)的解析式.2.已知f(x)是二次函数,且满足f(0)=1,f(x+1)﹣f(x)=2x,则f(x)的解析式是.考点2.换元法3.已知o−1)=−2,则函数f(x)的解析式为.4.已知f(1−1+)=1−21+2,求f(x)的解析式.考点3.凑配法5.(1)已知f(1)=1−2,求f(x)的解析式;(2)已知f(x+1)=x2+12,求f(x).6.已知f(3x)=4x log23+10,则f(2)+f(4)+f(8)+…+f(210)的值等于.考点4.方程组法7.已知函数f(x)满足f(x)+2f(﹣x)=3x,则f(1)=.8.已知函数f(x),g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数,f(x)+g(x)=2•3x,则函数f(x)=.考点5.求谁设谁9.已知函数f(x)为奇函数,当x∈(0,+∞)时,f(x)=log2x,(1)求f(x)的解析式;(2)当f(x)>0时.求x的取值范围.10.定义域为R的函数f(x)满足f(x+1)=2f(x),且当x∈(0,1]时,f(x)=x2﹣x,则当x∈(﹣1,0]时,f(x)的值域为()A.[−18,0]B.[−14,0]C.[−18,−14]D.[0,14]考点6.利用对称求解析式11.下列函数中,其图象与函数y=lnx的图象关于直线x=1对称的是()A.y=ln(1﹣x)B.y=ln(2﹣x)C.y=ln(1+x)D.y=ln(2+x)12.设函数y=f(x)的图象与y=2x+a的图象关于y=﹣x对称,且f(﹣2)+f(﹣4)=1,则a=()A.﹣1B.1C.2D.4题型三.值域考点1.利用单调性求值域1.下列函数中,与函数op=(15)的定义域和值域都相同的是()A.y=x2+2x,x>0B.y=|x+1|C.y=10﹣x D.=+12.已知函数f(x)=log3(x﹣2)的定义域为A,则函数g(x)=(12)2﹣x(x∈A)的值域为()A.(﹣∞,0)B.(﹣∞,1)C.[1,+∞)D.(1,+∞)考点2.换元法3.函数=2+41−的值域为()A.(﹣∞,﹣4]B.(﹣∞,4]C.[0,+∞)D.[2,+∞)4.函数f(x)=log2(x2﹣2x+3)的值域为()A.[0,+∞)B.[1,+∞)C.R D.[2,+∞)考点3.分离常数5.函数=2r1r1在x∈[0,+∞)上的值域是.6.已知函数op=2+4,则该函数在(1,3]上的值域是()A.[4,5)B.(4,5)C.[133,5)D.[133,5] 7.函数=2+2r2r1的值域是.8.下列求函数值域正确的是()A.函数=5K14r2,x∈[﹣3,﹣1]的值域是{U≠54}B.函数=2−3r1的值域是{U≤−1,≥−15}C.函数=sB+1K2,∈[2,2)∪(2,p的值域是{U≤4K4,≥1K2} D.函数=+1−2的值域是{U−1≤≤2}课后作业.函数的三要素1.函数op=−2+9+10−2B(K1)的定义域为()A.[1,10]B.[1,2)∪(2,10]C.(1,10]D.(1,2)∪(2,10]2.已知函数f(x)=l2,>03,<0,则no14)]的值为()A.19B.13C.﹣2D.3 3.已知o p=2−2,则函数f(x)的解析式为()A.f(x)=x4﹣2x2(x≥0)B.f(x)=x4﹣2x2C.op=−2o≥0)D.op=−24.已知函数f(x)满足2f(x﹣1)+f(1﹣x)=2x﹣1,求:f(x)解析式.5.已知f(x)=(1−2p+3o<1)Bo≥1)的值域为R,那么a的取值范围是()A.(﹣∞,﹣1]B.(﹣1,12)C.[﹣1,12)D.(0,1)6.用min{a,b,c}表示a,b,c三个数中的最小值设f(x)=min{2x,x+2,10﹣x}(x≥0),则f(x)的最大值为.。
高三数学函数有哪些知识点
高三数学函数有哪些知识点在高三数学课程中,函数是一个重要的概念。
它是数学中最基础也是最广泛应用的数学对象之一。
在学习高三数学函数时,有一些重要的知识点需要我们掌握。
本文将介绍高三数学函数的一些核心知识点,帮助大家了解和掌握函数的相关内容。
一、函数的定义和性质函数是一种特殊的映射关系,也可以理解为从一个集合的元素到另一个集合的元素的对应关系。
函数有定义域、值域和对应关系的性质。
在学习函数的定义过程中,我们需要明确函数的定义和函数值的性质,并学会通过例子理解和应用。
二、一次函数与二次函数一次函数和二次函数是高中数学中最基础的两类函数。
一次函数的形式为 y = kx + b,其中 k 和 b 是常数,图像是一条直线;二次函数的形式为 y = ax^2 + bx + c,其中 a、b 和 c 是常数,图像是一个开口向上或向下的抛物线。
在学习一次函数和二次函数时,我们需要掌握它们的图像、性质以及在实际问题中的应用。
三、指数函数与对数函数指数函数和对数函数是高三数学中的重要内容。
指数函数的形式为 y = a^x,其中 a 是常数且大于 0,指数函数的图像呈现出递增或递减的特点;对数函数是指数函数的反函数,形式为 y =logₐx,其中 a 是常数且大于 0 且不等于 1。
学习指数函数和对数函数时,我们需要了解它们的定义、性质以及在各个领域中的应用。
四、三角函数三角函数是一类以角度为自变量的函数,包括正弦函数、余弦函数和正切函数等。
在学习三角函数时,我们需要熟悉三角函数的定义、性质以及它们在三角恒等式、几何图形等方面的应用。
五、复合函数和反函数复合函数是函数的一种组合形式,将一个函数的输出当作另一个函数的输入。
反函数是与原函数满足一一对应关系的函数。
在学习复合函数和反函数时,我们需要掌握它们的定义、性质以及在实际问题中的应用。
六、参数方程和极坐标方程参数方程是使用参数表示的一类函数形式,可以用来描述曲线在平面上的运动轨迹。
高中数学知识点总结——函数_高三数学知识点总结
高中数学知识点总结——函数_高三数学知识点总结函数是数学中非常重要的一个概念,它是描述一种特定关系的数学工具,可以帮助我们理解和分析各种问题。
在高中数学中,函数是一个非常重要的知识点,下面我将对高中数学中关于函数的知识点进行总结和概括。
一、函数的定义函数是一种特殊的关系,它将一个集合中的每一个元素都对应到另一个集合中的唯一一个元素上。
数学上用符号f(x)表示函数,其中x称为自变量,f(x)称为因变量。
函数通常表示为y=f(x)的形式。
二、函数的表示函数可以用图象、公式、文字描述等不同方式来表示。
1. 图象表示:函数的图象是一个平面上的曲线。
2. 公式表示:可以用代数式或方程来表示函数。
比如y=x^2就表示了一种函数关系。
3. 文字描述:有时我们也可以用文字描述来表示函数关系,比如“某数加上3的积”的函数可以表示为f(x) = x + 3。
三、函数的性质1. 定义域:函数的自变量的取值范围,也就是可以通过函数运算的自变量的集合。
2. 值域:函数的因变量的取值范围,也就是通过函数运算后得到的因变量的集合。
3. 奇偶性:函数的奇偶性是指当自变量为正负时,函数值的对称性,即f(-x) =f(x)(偶函数)或者f(-x) = -f(x)(奇函数)。
4. 单调性:函数的单调性是指在定义域上自变量增加时,因变量是增加还是减少。
5. 周期性:如果存在一个正数T,使得对于定义域内的任意x,都有f(x+T)=f(x),则称函数具有周期性。
四、常见的基本函数1. 幂函数:y=x^n (n为整数)2. 开方函数:y=√x3. 指数函数:y=a^x (a>0且a≠1, a为底数)4. 对数函数:y=log_a(x) (a>0且a≠1, a为底数)5. 三角函数:包括正弦函数、余弦函数、正切函数等五、初等函数的性质1. 幂函数的性质:幂函数y=x^n (n为整数)的图像关于y轴对称(n为偶数时);若n>1,则y=x^n的图像单调递增,若n<1,则y=x^n的图像单调递减。
高三数学专题复习《函数》
高三数学专题复习《函数》一、基础知识定义1 映射,对于任意两个集合A ,B ,依对应法则f ,若对A 中的任意一个元素x ,在B 中都有唯一一个元素与之对应,则称f : A →B 为一个映射。
定义2 单射,若f : A →B 是一个映射且对任意x , y ∈A , x ≠y , 都有f (x )≠f (y )则称之为单射。
定义3 满射,若f : A →B 是映射且对任意y ∈B ,都有一个x ∈A 使得f (x )=y ,则称f : A →B 是A 到B 上的满射。
定义4 一一映射,若f : A →B 既是单射又是满射,则叫做一一映射,只有一一映射存在逆映射,即从B 到A 由相反的对应法则f -1构成的映射,记作f -1: A →B 。
定义5 函数,映射f : A →B 中,若A ,B 都是非空数集,则这个映射为函数。
A 称为它的定义域,若x ∈A , y ∈B ,且f (x )=y (即x 对应B 中的y ),则y 叫做x 的象,x 叫y 的原象。
集合{f (x )|x ∈A }叫函数的值域。
通常函数由解析式给出,此时函数定义域就是使解析式有意义的未知数的取值范围,如函数y =3x -1的定义域为{x |x ≥0,x ∈R}.定义6 反函数,若函数f : A →B (通常记作y =f (x ))是一一映射,则它的逆映射f -1: A →B 叫原函数的反函数,通常写作y =f -1(x ). 这里求反函数的过程是:在解析式y =f (x )中反解x 得x =f -1(y ),然后将x , y 互换得y =f -1(x ),最后指出反函数的定义域即原函数的值域。
例如:函数y =x -11的反函数是y =1-x1(x ≠0). 定理1 互为反函数的两个函数的图象关于直线y =x 对称。
定理2 在定义域上为增(减)函数的函数,其反函数必为增(减)函数。
定义7 函数的性质。
(1)单调性:设函数f (x )在区间I 上满足对任意的x 1, x 2∈I 并且x 1< x 2,总有f (x 1)<f (x 2) (f (x )>f (x 2)),则称f (x )在区间I 上是增(减)函数,区间I 称为单调增(减)区间。
高三总复习数学课件 函数的概念及表示
答案:B
2.已知函数 f(x)的定义域为[-2,1],则函数 f(3x-1)的定义域为
()
A.(-7,2)
B.13,23
C.[-7,2]
D.-13,23
解析:设 3x-1=t,由函数 f(x)的定义域为[-2,1],得函数 f(t)的定义域为[-
2,1],即-2≤t≤1,因此-2≤3x-1≤1,解得-13≤x≤23.
三要素
定义域 、对应关系 、值域 是构成函数的三要素
(3)表示函数的常用方法
解析法
一般情况下,必须注明函数的定义域
列表法
选取的自变量要有代表性,能反映定义域的特征
注意定义域对图象的影响:与x轴垂直的直线与函数图象最多有一个 图象法
公共点
2.分段函数
在函数定义域内,对于自变量x取值的不同区间,有着不同的 对应关系 , 定义
[题点全训] 1.函数 y= -lgx(2x++21x)+3的定义域为
()
A.(-1,3]
B.(-1,0)∪(0,3]
C.[-1,3]
D.[-1,0)∪(0,3]
-x2+2x+3≥0, 解析:要使函数有意义,x 需满足x+1>0,
x+1≠1,
解得-1<x<0 或 0<x≤3,
所以函数的定义域为(-1,0)∪(0,3].故选 B.
系 B中都有 唯一 确定的数y和它对应
名称
称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数
记法
_y_=__f_(x_)_,__x_∈__A_
(2)构成函数的三要素
定义域 值域
在函数y=f(x),x∈A中,x叫做 自变量 ,x的取值范围A叫做函 数的 定__义__域__
与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做 函数的__值__域__
什么叫高三数学函数知识点
什么叫高三数学函数知识点高三数学函数知识点数学函数是高中数学中的重要知识点,对于高中生来说,理解和掌握数学函数相关概念和性质尤为重要。
本文将从数学函数的定义、性质、图像等方面进行详细介绍。
一、数学函数的定义在高中数学中,函数是一种特殊的关系。
函数通常用f(x)表示,其中x称为自变量,f(x)则是因变量。
函数的定义可以简单描述为:对于集合A和集合B之间的一种关系,如果对于集合A中的每个元素a,都能够找到集合B中唯一的元素b和a相关联,则称这种关系是一个函数。
二、数学函数的性质1. 定义域和值域:函数的定义域是自变量可能的取值范围,而值域则是函数在定义域上可能取到的所有值的集合。
2. 单调性:函数的单调性可以分为增函数和减函数两种。
增函数是指在定义域内,随着自变量的增大,函数值也随之增大;减函数则相反。
3. 奇偶性:函数的奇偶性是指函数关于y轴的对称性。
奇函数在关于原点对称时,函数值的正负与自变量的正负一致;偶函数则在关于y轴的对称时,函数值不受自变量正负的影响。
4. 周期性:周期函数是指存在一个正数T,使得对于函数中的任意x,有f(x+T)=f(x)。
常见的周期函数有正弦函数和余弦函数。
三、基本数学函数1. 常数函数:f(x) = c,其中c为常数。
常数函数的图像为一条平行于x轴的直线。
2. 一次函数:f(x) = ax + b,其中a和b为常数且a ≠ 0。
一次函数的图像为一条斜率为a的直线。
3. 二次函数:f(x) = ax^2 + bx + c,其中a、b和c为常数且a ≠ 0。
二次函数的图像为一条开口朝上或朝下的抛物线。
4. 幂函数:f(x) = x^n,其中n为整数,可以是正整数、负整数或零。
幂函数的图像形状取决于n的正负和奇偶性。
5. 指数函数:f(x) = a^x,其中a为正实数且a ≠ 1。
指数函数的图像为一条逐渐递增(或递减)的曲线。
6. 对数函数:f(x) = loga(x),其中a为正实数且a ≠ 1。
高三数学函数知识点大全
高三数学函数知识点大全函数是数学中一个重要的概念,它在高中数学中占据着重要地位。
在高三数学学习中,掌握函数的知识点是至关重要的。
本文将为您提供高三数学函数知识点的详细介绍,帮助您系统地学习和掌握这一内容。
一、函数的概念和性质函数是对应关系的一种特殊情况,它包括定义域、值域、图像等重要概念。
函数的性质包括奇偶性、单调性、周期性等。
1. 函数的定义函数是一个自变量和因变量之间的对应关系。
当自变量的取值在定义域内时,函数有且仅有一个因变量与之对应。
2. 定义域和值域函数的定义域是自变量的取值范围,而值域是因变量的取值范围。
3. 图像和对称性函数的图像是定义域中所有点的集合,它可以用平面直角坐标系表示。
函数可以具有奇偶对称性或轴对称性。
4. 单调性和极值点函数的单调性可以分为增函数和减函数,通过导数的正负性可以判断。
函数的极值点是函数图像上的最高点和最低点。
5. 周期性周期函数是指具有周期性的函数,可以通过函数图像的重复性进行判断。
常见的周期函数有正弦函数和余弦函数。
二、常见的数学函数在高三数学中,我们接触到许多常见的数学函数,包括线性函数、二次函数、指数函数、对数函数等。
下面将详细介绍这些函数及其性质。
1. 线性函数线性函数是指函数的表达式为f(x) = kx + b的函数,其中k和b 为常数。
线性函数的图像是一条直线,具有单调性和不断增长或不断减少的特点。
2. 二次函数二次函数是指函数的表达式为f(x) = ax^2 + bx + c的函数,其中a、b和c为常数且a ≠ 0。
二次函数的图像通常是一个开口朝上或朝下的抛物线,具有对称轴和最值点。
3. 指数函数指数函数是指函数的表达式为f(x) = a^x的函数,其中a为底数且a > 0且a ≠ 1。
指数函数的图像是以指数为自变量的曲线,具有递增或递减的特点。
4. 对数函数对数函数是指函数的表达式为f(x) = logₐx的函数,其中a为底数且a > 0且a ≠ 1。
函数概念及其表示课件-2025届高三数学一轮复习
四、教材升华:
例6、(多选)如图,∆0是边长为2的正三角形,记∆0位于直线
= (t > 0)左侧的图形的面积(), 则下列说法正确的是(C D)
、 = 1时,()的值最大.
、 ≥ 2时,()的值最大为 3.
3
、当1 < ≤ 2时() = −
( − 2)2 + 3
和给定锐角A的Rt∆ABC的面积s是角A的邻边长的函数s =
= tanA)
1
1
2
分析:E= mv , v > 0, s = m 2 , > 0,
2
2
1
1
2
E= mv , v > 0, 与s = m 2 , > 0, 定义域和对应关系都相同,
2
2
所以是同一个函数。
三、回归教材:
练习1、下列各组中的函数是否是同一个函数?
∈ , = ()是否为函数?
分析: 2 = −, �� ∈ (−∞, 0], 当 = −1时,
2 = 1, = ±1. ∴ = ()不是函数.
(2)∀
∈ , = ()是否为函数?
分析: = − 2 , ∈ (−∞, +∞), 任意的都有唯一的与之对应
2.3.1 函数的概念
及其表示
第三章 函数的概念与性质
一、知识框图:(课前自主学习)
函数的概念
函数
的概
念及
其表
示
函数的定义域
函数的值域
函数的表示法
二、概念解读:
1.函数:
一般地,设A,B是非空实数集,如果对于集合A中的任意一个数,按照
某种确定的对应关系,在集合B中都有唯一确定的数和它对应,那么就称
高三数学函数的知识点
高三数学函数的知识点函数是数学中一种重要的概念,它在高三数学中占据着很大的比重。
本文将介绍高三数学函数的知识点,帮助学生们加深对函数概念和相关内容的理解。
一、函数的定义和性质1.1 函数的定义:函数是一种对应关系,将一个集合的每个元素都对应到另一个集合的唯一元素上。
通常用符号表示为:y=f(x),其中x是自变量,y是因变量。
1.2 定义域和值域:函数的定义域是自变量的取值范围,值域是因变量的取值范围。
函数的图像表示了自变量和因变量之间的关系。
1.3 奇偶性:函数的奇偶性描述了函数图像关于y轴对称的性质。
如果函数满足f(-x)=-f(x),则该函数是奇函数;如果函数满足f(-x)=f(x),则该函数是偶函数。
1.4 单调性:函数的单调性描述了函数图像的递增或递减特点。
如果对于定义域内的任意x1、x2,当x1<x2时有f(x1)<f(x2),则函数是递增的;当x1<x2时有f(x1)>f(x2),则函数是递减的。
二、函数的基本类型2.1 常数函数:常数函数是指对任意的x值,函数的输出恒为一个常数。
例如,f(x)=3就是一个常数函数,其图像为一条水平线段。
2.2 一次函数:一次函数是指函数的表达式中只有x的一次幂,没有其他次数的幂。
例如,f(x)=2x+1就是一个一次函数,其图像为一条直线。
2.3 二次函数:二次函数是指函数的表达式中含有x的二次幂,并且没有其他次数的幂。
例如,f(x)=x^2+3就是一个二次函数,其图像为一个开口朝上的抛物线。
2.4 指数函数:指数函数是以常数为底数的x的幂函数。
例如,f(x)=2^x就是一个指数函数,其图像为递增的曲线。
2.5 对数函数:对数函数是指以常数为底数的对数函数。
例如,f(x)=log2(x)就是一个对数函数,其图像为递增而缓慢的曲线。
三、函数的运算和性质3.1 四则运算:函数之间可以进行加减乘除的四则运算。
例如,对于函数f(x)=2x和g(x)=x+1,可以进行f+g、f-g、f*g和f/g的运算。
函数的图像知识点高三复习
函数的图像知识点高三复习在高三数学的复习中,函数的图像知识点是非常重要的内容之一。
理解函数的图像特点可以帮助我们更好地解决与函数相关的各类问题。
本文将简要介绍函数的图像知识点,并带您回顾一些重要的概念和定理。
一、基本概念回顾1. 函数的定义:函数是一种特殊的关系,每个自变量都对应唯一的因变量。
常用的函数表示方法包括表达式、图像、映射关系、函数图、函数式等。
2. 定义域和值域:函数的定义域是自变量的取值范围,值域是因变量的取值范围。
3. 奇偶性:对于函数f(x),如果满足 f(-x) = f(x),则称该函数为偶函数;如果满足 f(-x) = -f(x),则称该函数为奇函数。
4. 单调性:设函数f(x)在定义域上有定义,若对于任意的x₁、x₂(x₁ < x₂),都有 f(x₁) ≤ f(x₂),则称f(x)在该定义域上是递增的;若对于任意的x₁、x₂(x₁ < x₂),都有 f(x₁) ≥ f(x₂),则称f(x)在该定义域上是递减的。
5. 极值和最值:设函数f(x)在定义域上有定义,如果存在x=a,使得f(a) ≥ f(x)(或f(a) ≤ f(x))对于该定义域内的任意x成立,则称 f(a) 为 f(x) 的极大值(或极小值);如果存在 x=b,使得f(b) ≥f(x)(或f(b) ≤ f(x))对于该定义域内的任意x成立,则称 f(b) 为f(x) 的最大值(或最小值)。
二、函数图像的特征1. 函数图像的对称性:函数图像可以表现出对称性,分为关于x轴对称、关于y轴对称和关于原点对称三种情况。
对称性可以根据奇偶性和函数的解析式进行判断。
2. 函数图像的平移:通过改变函数图像的解析式中的常数项,可以实现将函数图像在平面上进行平移。
平移可以使图像向左右、上下或者斜向平移。
3. 函数图像的伸缩:通过改变函数图像的解析式中的系数,可以实现对图像进行伸缩。
伸缩可以使图像在横向或纵向发生变换,使其变得更宽或更窄,更高或更低。
高三数学函数的概念
4.提高题
例5、 设M a, b, c, N 1,0,1
(1)求从M到N的映射的个数; 27
(2)从M到N的映射满足f(a)+f(b)+f(c)=0,试确定 这样的映射f的个数。 7 练习: 设集合M 1,0,1 , N 2,3,5, 映射 f : M N , 使对任意的 x M 都有 x+f(x)+xf(x)是奇数,这样的映射f共有(
1 u 1 v D f u , g v 1 u 1 v
2.关于函数(映射)定义
例2、集合 A 3,4, B 5,6,7 ,那么从A→B的映射 有 9 个,从B→A的映射 8 个,从B→A,且A中 每个元素都有原像的映射有 6 个,。
变式一
设集合A和B都是自然数集合N,映射f: A→B 把集合A中的元素n映射到集合B中的元素 2n+n,则在映射f下,像20的原象是 4 .
2 ( x 1 ) ,x 1 练习2.(2004. 人教版理科)设函数 f ( x ) , 4 x 1, x 1
7 1求f f f =1 2若f a 3, 求 a的值. 1.5或 4 6
作业 优化设计P11 闯关训练
伏天氏 /ddxs/143670/ 伏天氏
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一下慕容凌娢。拜托,是你先提出这个话题的好不好,难得我这么有灵感,配你演了一出史诗级虐心催泪大剧,你怎么能一句话就跳到片尾 了呢?我还没演够呢!慕容凌娢突然又了一种棺材盖按不住了的感觉,好心塞啊。“说起来,上次还真要多谢妹妹帮我摆脱困境呢。”柳茗 十分机智的转移了话题,“我呢,无以为报,倒是有一物,想赠与妹妹,若是妹妹能赏脸收下,我心里也好受些。”说着,她向一直立在他 身后的侍女示意。慕容凌娢这时才发现,那是女手里一直捧着一个狭长的木质盒子。(古风一言)醉酒惜花音 欲问梦何处 身在峰转处 洽如 此生 扭转暂不停焉。(从君行小剧场)笄筱玦:“蓝瘦香菇,我用尽了洪荒之力,猴塞雷的老司机还是狗带了,我只好自己去撩妹,然恶这 一切都是套路。感觉身体被掏空的我在家里沙发上来了个葛优瘫。”慕容凌娢:“你是脑残片嗑多了吗?”韩哲轩:“这貌似是2016网络用 语的盘点。”慕容凌娢:“对呀,按照先后顺序排名,仅用于娱乐。大家不要想多。”第062章 钓鱼,捕鲸都可以了!“说起来,上次还真 要多谢妹妹帮我摆脱困境呢。”柳茗十分机智的转移了话题,“我呢,无以为报,倒是有一物,想赠与妹妹,若是妹妹能赏脸收下,我心里 也好受些。”说着,她向一直立在他身后的侍女示意。慕容凌娢这时才发现,那是女手里一直捧着一个狭长的木质盒子。看不出具体是什么 木料,但很有光泽,盒盖上还可有几株惟妙惟肖的兰花,让人仿佛能嗅到淡淡的清香。盒子都这么高大上了,一定不会是买椟还珠的套路, 毕竟如此单纯的古代人应该还不知道什么叫“过度包装”。侍女走到慕容凌娢面前,把盒子塞给了她,“给,这可是柳茗姐姐很珍爱的东西 呢,一直放着,自己有没用过……”“欣儿,别这样说。”柳茗语气严厉了许多,随即又转过脸来笑道,“欣儿这丫头不懂事,妹妹不会介 意吧。”“无妨无妨。”慕容凌娢高频率的摇头,她可不想再立FLAG了。“姐姐如此客气作何,平日里你待我不薄,互帮互助是应该的,如 此贵重的礼物白绫实在是不能接受。”“妹妹倒是太客气了呢。”柳茗说着已经打开了盒盖,里面安静的躺着一支白玉箫,没有反射 出太 多的光芒,但竟然能给人一种眼前一亮的清新之感,内部干净透彻,云雾状的玉花如果不在灯下观察,也很难分辨。都说美玉无瑕,可真正 没有瑕疵的玉可真是少之又少,以至于慕容凌娢有了一种真玉有瑕的错觉。可是这回,她没有对这支玉箫产生任何怀疑,只是惊奇的盯着它 内部那丝丝缕缕,如云雾一般的玉花,竟然能给人一种说不出的朦胧感。“好神奇。”慕容凌娢小声嘟囔。“妹妹也是精通音律之人,这白 玉箫若是归来妹妹,也算是锦上添花了。”柳茗笑
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1 u 1 v D f u , g v 1 u 1 v
2.关于函数(映射)定义
例2、集合 A 3,4, B 5,6,7 ,那么从A→B的映射 有 9 个,从B→A的映射 8 个,从B→A,且A中 每个元素都有原像的映射有 6 个,。
变式一
设集合A和B都是自然数集合N,映射f: A→B 把集合A中的元素n映射到集合B中的元素 2n+n,则在映射f下,像20的原象是 4 .
已知集合M 1,2,3, m, N 4,7, n , n 3n , m, n N ,
4 2
变 式 二
映射f : x y 3x 1是从M到N的一个函数,则 m,n
的值分别为 B (A)2,5 (B)5,2
(C)3,6
(D)6,3
练习1:设” f:A→B”是从A到B的一个映射,
(3)函数的定义
①原始定义:设在某变化过程中有两个变量x、y,如 果对于x在某一范围内的每一个确定的值,y都有唯一 确定的值与它对应,那么就称y是x的函数,x叫作自 变量。 ②近代定义:设A、B都是非空的数的集合,f:x→y 是从A到B的一个对应法则,那么从A到B的映射f: A→B就叫做函数,记作y=f(x), 其中 x A, y B 原象集合A叫做函数的定义域,象集合C叫做函数的 值域。 (4)构成函数概念的三要素
D f x log
ax a
(a 0, a 1),
g x 3 x 3
练习:下列各对函数中,相同的是(D )
A f x
x 2 , g x x
B f x lg x 2 , gx 2 lg x
x 1 C f x lg , g x lg x 1 lgx 1 x 1
只要
)个
f (0)
是奇数即可,共3*3*2=18(个)
三、小结 1 、判断两个函数是否同一,要紧扣函数概念三要素: 定义域、值域和从定义域到值域的对应法则。 2、映射的定义是有方向性的,即从集合A到B与从集合 B 到 A 的映射是两个不同的映射,映射是一种特殊对应 关系,只有一对一、多对一的对应才是映射。 3、分段函数是重点和难点,关键是分段解决。
3x 1 (变式一)已知函数 f ( x) 的定义域为 2 ax ax 3
3
R,则实数a的取值范围 (变式二)已知函数f(x)的定义域为 1,1
x 求函数 f ax f 的定义域(其中a为正常数)。 a
(变式一)书P12例1。
1 1 , a a
①定义域②对应法则③值域
1.关于函数三要素
例1、下列各组函数中,表示相同函数的是
A f x ln x
x loga
2
, g x 2 ln x
(
D)
B f x a a 0, a 1
C f x
1 x
2
, gx xຫໍສະໝຸດ , g x 1 x ( x 1,1
3 3 D 5, , ,5 2 2 2 2
例2、求下列函数的定义域
6 5x x 2 x x
2y
25 x 2 lg cos x
3y
1 ax kb x
a 0, a 1, b 0, b 1
2010届高考数学复习 强化双基系列课件
03《函数的概念与表示》
《函数的概念》
(1)映射:设A、B是两个集合,如果按照某种映射 法则f,对于集合A中的任一个元素,在集合B中都有 唯一的元素和它对应,则这样的对应(包括集合A、B 以及A到B的对应法则f)叫做集合A到集合B的映射, 记作f:A→B。 (2) 象与原象:如果给定一个从集合A到集合B的映 射,那么集合A中的元素a对应的B中的元素b叫做a的 象,a叫做b的原象。
2、函数的定义域:
要使函数有意义的自变量x的取值的集合。 求函数定义域的主要依据: (1)分式的分母不为零; (2)偶次方根的被开方数不小于零,零取零次方没 有意义; (3)对数函数的真数必须大于零; (4)指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等 于1; 如果函数是由一些基本函数通过四则运算而得到的 ,那么它的定义域是由各基本函数定义域的交集。
2 ( x 1 ) ,x 1 练习2.(2004. 人教版理科)设函数 f ( x ) , 4 x 1, x 1
7 1求f f f =1 2若f a 3, 求 a的值. 1.5或 4 6
4.提高题
例5、 设M a, b, c, N 1,0,1 (1)求从M到N的映射的个数; 27 (2)从M到N的映射满足f(a)+f(b)+f(c)=0,试确定 这样的映射f的个数。 7
练习: 设集合M 1,0,1 , N 2,3,5, 映射 f : M N , 使对任意的 x M 都有 x+f(x)+xf(x)是奇数,这样的映射f共有(
0,3 上
( x 5) 2 3, x 6,3 1 f x x, x 3,3 3 2 ( x 5 ) 3, x 3,6
二.关于定义域
0 x 1 1y
D 6,1 1,0
2
是一次函数,在 3,6上是二次函数,且当 x 3,6 时, f x f 5 3 , f 6 2 ,求f(x)的解析式
。
ax x a b (4) 已知f(x)是定义在 6,6上的奇函数, 它在
2 2
1 3已知af x bf cx(a, b, c R, ab 0, a 2 b 2 ),求f x x c b
作业
优化设计P11 闯关训练
《函数的表示》
1、函数的表示有:解析式、图象法、表 格法。注意相互转化(数形结合)
2、函数解析式:函数的解析式就是用数学运算符号 和括号把数和表示数的字母连结而成的式子叫解析 式,解析式亦称“解析表达式”或“表达式”,简 称“式”。
求函数解析式的方法:
(1定义法 (2)变量代换法 (3)待定系数法 (4)函数方程法 (5)参数法 (6)实际问题
R , 当k 0 R,当 0 k 1 且a b D , 当k 1 ,且a b lo g a k , ,当k 0且a b b , lo g a k , 当k 0且a b b
三、小结 1、 函数的解析式及其求法; 2、 函数的定义域及求法。
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官儿咯/连您家仆役都别放到眼里咯……/第1413章/倒忙水清真是哪壶别开提哪壶/她现在仿佛抓住咯月影の软肋/那各丫头最怕说她卖主求荣投靠咯王爷那各新主子/所以动别动就拿她即将被王爷升职那件事情来要挟她/月影现在哪儿 有闲功夫考虑自己の委屈/她要抓紧时间趁着王爷那两天别在府里/赶快将水清哄骗好咯/别要等他回来还是惹事生非/所以根本没什么理会水清の冷嘲热讽/而是继续说道://仆役啊/您怎么没完没咯啦/唉/奴婢是您の奴才/怎么可能向 着外人说话?奴婢刚刚是想说/您若是壹定要哺育小小格の话/只能是天知/地知/您知/我和徐嬷嬷知/万别可再让第四各人晓得/特别是爷/更别能让爷晓得咯///哈哈哈/小丫头/您是说我可以亲自喂小小格咯?//嗯/反正别能再让其它 人晓得咯/否则/奴婢和徐嬷嬷全都要小命别保咯/您没咯我们那些奴才们别要紧/小小格可是别能没咯徐嬷嬷呢//月影の如意算盘是/趁着那两天王爷还没什么回来/就先由着水清の性子/毕竟哺育小小格可是壹件十分辛苦の差事/绝对 别是她想像中の那种玩耍而已/别出两天/她就会玩累咯/玩腻咯/玩厌咯/就会乖乖地向徐嬷嬷缴械投降/将小小格推到奶嬷嬷那里/她自己开始躲清闲、睡大觉/那各时候就算是王爷回咯府里/也是神别知鬼别觉地既哄骗咯水清/又别被 王爷抓咯现行/水清哪里晓得月影那心中暗暗打の啥啊主意/壹听说可以被允许哺育小小格/当即欢呼雀跃起来/手忙脚乱地开始哺喂起来/徐嬷嬷当然更别晓得月影打の是啥啊算盘/别但别好好规劝/竟然由着主子胡闹折腾/可是碍于月 影未来/二管家/の身份/徐嬷嬷只能是忍气吞声/和月影两各人壹起帮助水清承担起哺育小小格の重任/假设只徐嬷嬷壹各人哺育小小格是壹件极为简单の事情/只要半盏茶の功夫小小格就吃得饱饱の/心满意足地沉沉睡去/现在换作咯 水清/虽然她已经别是第壹次当额娘/却是第壹次亲自哺育/本就毫无半点经验/又笨手笨脚/而小小格早已习惯咯徐嬷嬷の怀抱/突然被送入壹各陌生の怀抱/根本别肯好好听话/哇哇地大哭起来/于是水清、月影、徐嬷嬷三各大人手忙脚 乱/顾此失彼/壹各扶着小小格の头/壹各托着小小格の腿/水清面对那各别好好吃饭の小小格也是急得满头大汗/手足无措/足足折腾咯半盏茶の功夫/小小格终于哭累咯/饿坏咯/别得已才接受咯那各亲额娘/望着咕咚咕咚大口大口地吃 奶の小小格/三各在累得筋疲力尽/没什么壹点儿成功の喜悦/水清发愁小小格啥啊时候能认咯她那各亲额娘/阿弥陀佛;徐嬷嬷发愁万壹被王爷晓得咯/小命休矣/月影发愁啥啊时候她家仆役才能够玩腻烦咯/知难而退/第1414章//心急 又过咯五天/王爷风尘仆仆地赶回到咯京城/比原计划多耽搁咯四天の时间/而那四天时间/竟是令他格外地煎熬/原本他是向水清下咯死命令/要她壹定坚持到他回来の那壹天再生小小格/现在竟是他首先食言/拖延咯四天才回来/就算是 水清想坚持/小小格能坚持吗?由于那壹路办差每日里走走停停/没什么固定の地点/所以排字琦根本无法给他递家书/后来考虑到年妹妹此番产子虽然情况凶险/但那些日子以来/天仙妹妹の情况稳定咯下来/壹天天地在向好の方向恢复 和发展/她の那颗悬着の心总算是放咯下来/想来看到完好如初の妹妹/又有壹各白白胖胖の小小格/王爷壹定是高兴还来别及呢/根本别会责罚到她の头上/所以虽然他回京の日子壹拖再拖/排字琦也没什么再想方设法给他修书报信/今 天是王爷回京の日子/可是即使回到咯