(江苏专用)2019高考数学二轮复习专题八第2讲分类讨论思想、转化与化归思想课件理

合集下载

2019江苏高考数学二轮练习教学案(祥解)--分类讨论思想

2019江苏高考数学二轮练习教学案（祥解）--分类讨论思想注意事项：认真阅读理解，结合历年的真题，总结经验，查找不足！重在审题，多思考，多理解！无论是单选、多选还是论述题，最重要的就是看清题意。

在论述题中，问题大多具有委婉性，尤其是历年真题部分，在给考生较大发挥空间的同时也大大增加了考试难度。

考生要认真阅读题目中提供的有限材料，明确考察要点，最大限度的挖掘材料中的有效信息，建议考生答题时用笔将重点勾画出来，方便反复细读。

只有经过仔细推敲，揣摩命题老师的意图，积极联想知识点，分析答题角度，才能够将考点锁定，明确题意。

分类讨论是一种重要的数学思想方法，当问题的对象不能进行统一研究时，就需要对研究的对象按某个标准进行分类，然后对每一类分别研究，给出每一类的结论，最终综合各类结果得到整个问题的解答、实质上分类讨论就是“化整为零，各个击破，再集零为整”的数学策略、分类原那么：(1)所讨论的全域要确定，分类要“既不重复，也不遗漏”；(2)在同一次讨论中只能按所确定的一个标准进行；(3)对多级讨论，应逐级进行，不能越级、讨论的基本步骤：(1)确定讨论的对象和讨论的范围(全域)；(2)确定分类的标准，进行合理的分类；(3)逐步讨论(必要时还得进行多级分类)；(4)总结概括，得出结论、引起分类讨论的常见因素：(1)由概念引起的分类讨论；(2)使用数学性质、定理和公式时，其限制条件不确定引起的分类讨论；(3)由数学运算引起的分类讨论；(4)由图形的不确定性引起的分类讨论；(5)对于含参数的问题由参数的变化引起的分类讨论、简化和避免分类讨论的优化策略：(1)直接回避、如运用反证法、求补法、消参法等有时可以避开繁琐讨论；(2)变更主元、如分离参数、变参置换等可避开讨论；(3)合理运算、如利用函数奇偶性、变量的对称、轮换以及公式的合理选用等有时可以简化甚至避开讨论；(4)数形结合、利用函数图象、几何图形的直观性和对称特点有时可以简化甚至避开讨论、注：能回避分类讨论的尽可能回避、1.一条直线过点(5,2)且在x 轴，y 轴上截距相等，那么这直线方程为________、2.正三棱柱的侧面展开图是边长分别为6和4的矩形，那么它的体积为________.3.函数f(x)＝ax 2－a a ＋1x ＋12a ＋1的定义域为一切实数，那么实数a 的取值范围是________、4.数列{a n }的前n 项和为S n ＝2n 2＋n －1(n ∈N *)，那么其通项a n ＝________.【例1】在△ABC 中，sinB ＝154，a ＝6，b ＝8，求边c 的长、【例2】解关于x的不等式：ax2－(a＋1)x＋1<0(a∈R)、【例3】设等比数列{a n}的公比为q，前n项和S n>0(n＝1,2，…)、(1)求q的取值范围；(2)设b n＝a n＋2－a n＋1，记{b n}的前n项和为T n，试比较S n与T n的大小.【例4】函数f(x)和g(x)的图象关于原点对称，且f(x)＝x2＋2x.(1)求函数g(x)的解析式；(2)假设h(x)＝g(x)－λf(x)＋1在[－1,1]上是增函数，求实数λ的取值范围、1.(2017·全国)双曲线的一条渐近线方程为3x －2y ＝0，那么该双曲线的离心率为________、2.(2017·辽宁)设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧21－x，x ≤1，1－log 2x ，x>1，那么满足f(x)≤2的x 的取值范围是________、3.(2017·江苏)实数a ≠0，函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ，x<1，－x －2a ，x ≥1，假设f(1－a)＝f(1＋a)，那么a 的值为________、4.(2017·福建)函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －3，x ≤0，－2＋lnx ，x>0，的零点个数为________、5.(2017·江西)设f(x)＝13x 3＋mx 2＋nx.(1)如果g(x)＝f ′(x)－2x －3在x ＝－2处取得最小值－5，求f(x)的解析式；(2)如果m ＋n<10(m ，n ∈N ＋)，f(x)的单调递减区间的长度是正整数，试求m 和n 的值、(注：区间(a ，b)的长度为b －a)6.(2017·江苏)设f(x)是定义在区间(1，＋∞)上的函数，其导函数为f ′(x)、如果存在实数a 和函数h(x)，其中h(x)对任意的x ∈(1，＋∞)都有h(x)>0，使得f ′(x)＝h(x)(x 2－ax ＋1)，那么称函数f(x)具有性质P(a)、设函数f(x)＝lnx ＋b ＋2x ＋1(x>1)，其中b 为实数、(1)求证：函数f(x)具有性质P(b);(2)求函数f(x)的单调区间、(2017·南通)(本小题总分值16分)各项均不为零的数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 1＝c,2S n ＝a n a n ＋1＋r.(1)假设r ＝－6，数列{a n }能否成为等差数列？假设能，求c 满足的条件；假设不能，请说明理由、(2)设P n ＝a 1a 1－a 2＋a 3a 3－a 4＋…＋a 2n －1a 2n －1－a 2n ，Q n ＝a 2a 2－a 3＋a 4a 4－a 5＋…＋a 2na 2n －a 2n ＋1，假设r ＞c ＞4，求证：对于一切n ∈N *，不等式－n<P n －Q n <n 2＋n 恒成立、(1)解：n ＝1时，2a 1＝a 1a 2＋r ，∵a 1＝c ≠0，∴2c ＝ca 2＋r ，a 2＝2－rc .(1分) n ≥2时，2S n ＝a n a n ＋1＋r ，①2S n －1＝a n －1a n ＋r ，②①－②，得2a n ＝a n (a n ＋1－a n －1)、∵a n ≠0，∴a n ＋1－a n －1＝2.(3分)那么a 1，a 3，a 5，…，a 2n －1，…成公差为2的等差数列，a 2n －1＝a 1＋2(n －1)、 a 2，a 4，a 6，…，a 2n ，…成公差为2的等差数列，a 2n ＝a 2＋2(n －1)、要使{a n }为等差数列，当且仅当a 2－a 1＝1.即2－rc －c ＝1，r ＝c －c 2.(4分) ∵r ＝－6，∴c 2－c －6＝0，得c ＝－2或3.∵当c ＝－2时，a 3＝0不合题意，舍去、∴当且仅当c ＝3时，数列{a n }为等差数列.(5分)(2)证明：a 2n －1－a 2n ＝[a 1＋2(n －1)]－[a 2＋2(n －1)]＝a 1－a 2＝c ＋rc －2.a 2n －a 2n ＋1＝[a 2＋2(n －1)]－(a 1＋2n)＝a 2－a 1－2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋r c .(8分)∴P n ＝1c ＋r c －2⎣⎢⎡⎦⎥⎤na 1＋n n －12×2＝1c ＋r c －2n(n ＋c －1)(9分) Q n ＝－1c ＋r c⎣⎢⎡⎦⎥⎤na 2＋n n －12×2＝－1c ＋r cn ⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋1－r c .(10分)P n －Q n ＝1c ＋r c －2n(n ＋c －1)＋1c ＋r cn ⎝⎛⎭⎪⎫n ＋1－r c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1c ＋r c －2＋1c ＋r c n 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c －1c ＋r c －2＋1－r cc ＋r c n.(11分) ∵r ＞c ＞4，∴c ＋r c ≥2r ＞4，∴c ＋rc －2＞2，∴0＜1c ＋r c －2＋1c ＋r c<12＋14＝34＜1.(13分)且c －1c ＋r c －2＋1－r c c ＋r c ＝c －1c ＋r c －2＋c ＋1c ＋r c －1＞－1.(14分) 又∵r ＞c ＞4，∴r c >1，那么0＜c －1<c ＋r c －2,0<c ＋1<c ＋rc . ∴c －1c ＋r c －2＜1，c ＋1c ＋r c <1.∴c －1c ＋r c －2＋c ＋1c ＋r c －1＜1.(15分) ∴对于一切n ∈N *，不等式－n<P n －Q n <n 2＋n 恒成立、(16分)专题七数学思想方法第18讲分类讨论思想1.函数f(x)＝12(sinx ＋cosx)－12|sinx －cosx|，那么f(x)的值域是____________、【答案】⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，22解析：f(x)＝12(sinx ＋cosx)－12|sinx －cosx|＝⎩⎪⎨⎪⎧cosxsinx ≥cosx sinx sinx ＜cosxf(x)∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，22.2.(2017·徐州三模)设函数f(x)＝x 2－alnx 与g(x)＝1a x －x 的图象分别交直线x ＝1于点A 、B ，且曲线y ＝f(x)在点A 处的切线与曲线y ＝g(x)在点B 处的切线平行、(1)求函数f(x)，g(x)的解析式；(2)当a>1时，求函数h(x)＝f(x)－g(x)的最小值；(3)当a<1时，不等式f(x)≥mg(x)在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，12上恒成立，求实数m 的取值范围、解：(1)由f(x)＝x 2－alnx ，得f ′(x)＝2x －a x ，由g(x)＝1a x －x ，得g ′(x)＝1a －12x .又由题意得f ′(1)＝g ′(1)，即2－a ＝1a －1，故a ＝2或a ＝12. 当a ＝2时，f(x)＝x 2－2lnx ，g(x)＝12x －x ，当a ＝12时，f(x)＝x 2－12lnx ，g(x)＝2x －x.(2)当a>1时，h(x)＝f(x)－g(x)＝x 2－2lnx －12x ＋x ，得h ′(x)＝2x －2x －12＋12x ＝2x －1x ＋1x－x －12x＝(x －1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤4x x ＋x ＋x ＋1x 2x . 由x>0，得4x x ＋x ＋x ＋1x2x>0. 故当x ∈(0,1)时，h ′(x)<0，h(x)递减；当x ∈(1，＋∞)时，h ′(x)>0，h(x)递增、所以h(x)的最小值为h(1)＝1－2ln1－12＋1＝32. (3)a ＝12时，f(x)＝x 2－12lnx ，g(x)＝2x －x.当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，12时，f ′(x)＝2x －12x ＝4x 2－12x <0，f(x)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，12上为减函数，f(x)≥f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝14＋12ln2.当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，12时，g ′(x)＝2－12x ＝4x －12x >0，g(x)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，12上为增函数，且g(x)≤g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝1－22，且g(x)≥g ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝0，要使不等式f(x)≥mg(x)在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，12上恒成立，当x ＝14时，m 为任意实数，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，12时，m ≤f x g x ，而⎣⎢⎡⎦⎥⎤f xg x min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝2＋24ln(4e)，所以m ≤2＋24ln(4e)、 3.设a 为实数，函数f(x)＝2x 2＋(x －a)|x －a|.(1)假设f(0)≥1，求a 的取值范围； (2)求f(x)的最小值；(3)设函数h(x)＝f(x)，x ∈(a ，＋∞)，直接写出(不需给出演算步骤)不等式h(x)≥1的解集、点拨：本小题主要考查函数的概念、性质、图象及解一元二次不等式等基础知识，考查灵活运用数形结合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力、解：(1)假设f(0)≥1，那么－a|a|≥1⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，a 2≥1a ≤－1.(2)当x ≥a 时，f(x)＝3x 2－2ax ＋a 2，f(x)min ＝⎩⎪⎨⎪⎧f a a ≥0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3，a ＜0＝⎩⎪⎨⎪⎧2a 2，a ≥0，2a 23，a ＜0.当x ≤a 时，f(x)＝x 2＋2ax －a 2，f(x)min ＝⎩⎪⎨⎪⎧fa a ≥0，f aa ＜0＝⎩⎪⎨⎪⎧－2a 2，a ≥0，2a 2，a ＜0.综上可得f(x)min ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2a 2，a ≥0，2a23，a ＜0.(3)x ∈(a ，＋∞)时，h(x)≥1得3x 2－2ax ＋a 2－1≥0，Δ＝4a 2－12(a 2－1)＝12－8a 2. 当a ≤－62或a ≥62时，Δ≤0，x ∈(a ，＋∞)；当－62＜a ＜62时，Δ>0，得：⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a －3－2a 23⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a ＋3－2a 23≥0，x ＞a.讨论得：当a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫22，62时，解集为(a ，＋∞)；当a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－62，－22时，解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤a ，a －3－2a 23∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫a ＋3－2a 23，＋∞；当a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，22时，解集为⎣⎢⎡⎭⎪⎫a ＋3－2a 23，＋∞. 基础训练1.2x －5y ＝0或x ＋y －7＝0解析：分直线过原点和不过原点两种情况、2.43或833解析：分侧面矩形长、宽分别为6和4或4和6两种情况、3.0≤a ≤1解析：由题知ax 2－a(a ＋1)x ＋12(a ＋1)≥0对x ∈R 恒成立，分a ＝0和a ＞0两种情况讨论、4.a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，4n －1，n ≥2且n ∈N*解析：在使用公式a n ＝S n －S n －1时要注意条件n ≥2，n ∈N *.例题选讲例1解析：sinB ＝154，a ＜b ，假设B 为锐角，那么cosB ＝14，由余弦定理得， c 2＋36－2×6×c ×cosB ＝64，即c 2－3c －28＝0，∴c ＝7；假设B 为钝角，那么cosB ＝－14，由余弦定理得c 2＋36－2×6×c ×cosB ＝64，即c 2＋3c －28＝0，∴c ＝3，故边c 的长为7或3.(注：在三角形中，内角的取值范围是(0，π)，b ＞a ，cosB ＝14，那么B 可能是锐角也可能是钝角，故要分两种情况讨论、但此题如改成a ＝8，b ＝6，那情况又如何呢？)变式训练△ABC 中，sinA ＝12，cosB ＝513，求cosC.解：∵0＜cosB ＝513＜22，B ∈(0，π)，∴45°＜B ＜90°，且sinB ＝1213. 假设A 为锐角，由sinA ＝12，得A ＝30°，此时cosA ＝32；假设A 为钝角，由sinA ＝12，得A ＝150°，此时A ＋B ＞180°. 这与三角形的内角和为180°相矛盾，可见A ≠150°. ∴cosC ＝cos[π－(A ＋B)]＝－cos(A ＋B)＝－(cosA ·cosB －sinA ·sinB)＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫32·513－12·1213＝12－5326.例2解：(1)当a ＝0时，原不等式化为－x ＋1＜0，∴x ＞1.(2)当a ≠0时，原不等式化为a(x －1)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a ＜0， ①假设a ＜0，那么原不等式化为(x －1)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a ＞0，∵1a ＜0，∴1a ＜1，∴不等式解为x ＜1a 或x ＞1.②假设a ＞0，那么原不等式化为(x －1)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a ＜0.(ⅰ)当a ＞1时，1a ＜1，不等式解为1a ＜x ＜1； (ⅱ)当a ＝1时，1a ＝1(ⅲ)当0＜a ＜1时，1a ＞1，不等式解为1＜x ＜1a . 综上所述，得原不等式的解集为：当a ＜0时，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫xx ＜1a 或x ＞1；当a ＝0时，解集为{x|x ＞1}；当0＜a ＜1时，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x1＜x ＜1a ；当a ＝1当a ＞1时，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x 1a ＜x ＜1.变式训练解关于x 的不等式a x －1x －2＞1(a ∈R 且a ≠1)、解：原不等式可化为：a －1x 2－ax －2＞0， ①当a ＞1时，原不等式与⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a －2a －1(x －2)＞0同解、由于a －2a －1＝1－1a －1＜1＜2，∴原不等式的解为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，a －2a －1∪(2，＋∞)、②当a ＜1时，原不等式与⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a －2a －1(x －2)＜0同解、由于a －2a －1＝1－1a －1，假设a ＜0，a －2a －1＝1－1a －1＜2，解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫a －2a －1，2；假设a ＝0时，a －2a －1＝1－1a －1＝2假设0＜a ＜1，a －2a －1＝1－1a －1＞2，解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，a －2a －1.综上所述，当a ＞1时不等式解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，a －2a －1∪(2，＋∞)；当0＜a ＜1时，解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，a －2a －1；当a ＝0a ＜0时，解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫a －2a －1，2.例3解：(1)因为{a n }是等比数列，S n >0，可得a 1＝S 1>0，q ≠0.当q ＝1时，S n ＝na 1>0；当q ≠1时，S n ＝a 11－qn1－q＞0，即1－qn1－q ＞0(n ＝1,2,3，…)，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－q ＞0，1－q n ＞0n ＝1，2，3或⎩⎪⎨⎪⎧1－q ＜0，1－q n ＜0n ＝1，2，3.由于n 可为奇数，可为偶数，故q ＞1或－1＜q ＜1且q ≠0.综上，q 的取值范围是(－1,0)∪(0，＋∞)、(2)由b n ＝a n ＋2－a n ＋1＝a n (q 2－q)，∴T n ＝(q 2－q)S n .∴T n －S n ＝(q 2－q －1)S n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫q －1＋52⎝ ⎛⎭⎪⎫q －1－52S n .又S n ＞0，－1＜q ＜0或q ＞0，－1＜q ＜1－52或q ＞1＋52时T n ＞S n ； 1－52＜q ＜0或0＜q ＜1＋52时，T n ＜S n . q ＝1±52时，S n ＝T n .(注：等差、等比数列的通项、前n 项的和是数列的基础，一个数列的前n 项和求其通项时，对n ＝1与n ≥2要分别予以研究，而涉及等比数列求和或用错位相减法求和时，要对公比q 是否为1进行分类讨论、)例4解：(1)利用函数图象的对称求解函数的问题、容易求出g(x)＝－x 2＋2x.(2)h(x)＝－(1＋λ)x 2＋2(1－λ)x ＋1，(解法1)为求实数λ的取值范围，就要对λ的取值分类、(1)当λ＝－1时，h(x)＝4x ＋1，此时h(x)在[－1,1]上是增函数，(2)当λ≠－1时，对称轴方程为x ＝1－λ1＋λ.①当λ＜－1时，需满足1－λ1＋λ≤－1，解得λ＜－1； ②当λ＞－1时，1－λ1＋λ≥1，解得－1＜λ≤0.综上可得λ≤0.(解法2)由题知，h ′(x)＝－2(1＋λ)x ＋2(1－λ)≥0对x ∈[－1,1]恒成立、即(1＋x)λ≤1－x 对x ∈[－1,1]恒成立，显然x ＝－1时上式恒成立，λ∈R ， x ∈(－1,1]时，λ≤1－x 1＋x ＝21＋x －1，函数y ＝21＋x －1在x ∈(－1,1]上单调减，函数的最小值为0.∴λ≤0，经检验符合题意、(注：两种解法，值得思考，在做分类讨论题时要尽可能回避复杂的讨论、) 变式训练设0<x<1，a>0，且a ≠1，比较|log a (1－x)|与|log a (1＋x)|的大小、解：(解法1)因为0<x<1，所以0<1－x<1,1＋x>1，那么0<1－x 2<1. ①当0<a<1时，由log a (1－x)>0，log a (1＋x)<0，所以|log a (1－x)|－|log a (1＋x)|＝log a (1－x)－[－log a (1＋x)] ＝log a (1－x 2)>0，即|log a (1－x)|>|log a (1＋x)|.②当a>1时，由log a (1－x)<0，log a (1＋x)>0，得|log a (1－x)|－|log a (1＋x)|＝－log a (1－x)－log a (1＋x) ＝－log a (1－x 2)>0，即|log a (1－x)|>|log a (1＋x)|.由①②可知，|log a (1－x)|>|log a (1＋x)|.(注：在解答该类问题时，首先从概念出发判断出绝对值内的数(或式子)的符号，然后再去掉绝对值符号(这时需按条件进行分类讨论确定)，再按照相关的法那么去计算，直至得出结论、其实这道题是可以回避讨论的、)(解法2)因为0<x<1，所以0<1－x<1,1＋x>1，那么0<1－x 2<1.|log a (1－x)|＝|lg 1－x ||lga|＝－lg 1－x |lga|，|log a (1＋x)|＝lg 1＋x|lga| |log a (1－x)|－|log a (1＋x)|＝－lg 1－x 2|lga|＞0， ∴|log a (1－x)|>|log a (1＋x)|. 高考回顾1.132或133解析：由渐近线方程为3x －2y ＝0知a b ＝32或b a ＝32.2.[0，＋∞)解析：f(x)≤2得⎩⎪⎨⎪⎧x ≤1，21－x ≤20≤x ≤1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＞1，1－log 2x ≤2x ＞1.3.a ＝－34解析：分a ＜0和a ≥0两种情况讨论、4.2解析：当x ≤0时，令x 2＋2x －3＝0，解得x ＝－3；当x ＞0时，令－2＋lnx ＝0，解得x ＝100，所以函数有两个零点、 5.解：(1)f(x)＝13x 3＋mx 2＋nx ，∴f ′(x)＝x 2＋2mx ＋n.又∵g(x)＝f ′(x)－2x －3＝x 2＋(2m －2)x ＋n －3在x ＝－2处取极值，那么g ′(－2)＝2(－2)＋(2m －2)＝0m ＝3，又在x ＝－2处取最小值－5.那么g(－2)＝(－2)2＋(－2)×4＋n －3＝－5n ＝2， ∴f(x)＝13x 3＋3x 2＋2x.(2)要使f(x)＝13x 3＋mx 2＋nx 单调递减，那么f ′(x)＝x 2＋2mx ＋n ＜0.又递减区间长度是正整数，所以f ′(x)＝x 2＋2mx ＋n ＝0两根设为a ，b(a ＜b)、即有：b －a 为区间长度、又b －a ＝a ＋b 2－4ab ＝4m 2－4n ＝2m 2－n(m ，n ∈N ＋)、又b －a 为正整数，且m ＋n<10，所以m ＝2，n ＝3或m ＝3，n ＝5符合、 6.(1)证明：f ′(x)＝1x －b ＋2x ＋12＝1xx ＋12(x 2－bx ＋1)、∵x ＞1时，h(x)＝1xx ＋12＞0恒成立，∴函数f(x)具有性质P(b)、(2)解：设φ(x)＝x 2－bx ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －b 22＋1－b 24，φ(x)与f ′(x)的符号相同、当1－b24＞0，－2＜b ＜2时，φ(x)＞0，f ′(x)＞0，故此时f(x)在区间(1，＋∞)上递增；当b ＝±2时，对于x ＞1，有f ′(x)＞0，所以此时f(x)在区间(1，＋∞)上递增；当b ＜－2时，φ(x)图象开口向上，对称轴x ＝b2＜－1，而φ(0)＝1.对于x ＞1，总有φ(x)＞0，f ′(x)＞0，故此时f(x)在区间(1，＋∞)上递增；当b ＞2时，φ(x)图象开口向上，对称轴x ＝b 2＞1，方程φ(x)＝0的两根分别为：b ＋b 2－42，b －b 2－42，而b ＋b 2－42＞1，b －b 2－42＝2b ＋b 2－4∈(0,1)、当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，b ＋b 2－42时，φ(x)＜0，f ′(x)＜0，故此时f(x)在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1，b ＋b 2－42上递减；同理得：f(x)在区间⎣⎢⎡⎭⎪⎫b ＋b 2－42，＋∞上递增、综上所述，当b ≤2时，f(x)在区间(1，＋∞)上递增；当b ＞2时，f(x)在⎝ ⎛⎭⎪⎫1，b ＋b 2－42上递减； f(x)在⎣⎢⎡⎭⎪⎫b ＋b 2－42，＋∞上递增、。

高考数学二轮复习上篇专题整合突破专题八数学思想方法第2讲分类讨论思想、转化与化归思想练

创新设计（江苏专用）2017届高考数学二轮复习上篇专题整合突破专题八数学思想方法第2讲分类讨论思想、转化与化归思想练习理编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（创新设计（江苏专用）2017届高考数学二轮复习上篇专题整合突破专题八数学思想方法第2讲分类讨论思想、转化与化归思想练习理）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为创新设计（江苏专用）2017届高考数学二轮复习上篇专题整合突破专题八数学思想方法第2讲分类讨论思想、转化与化归思想练习理的全部内容。

专题八数学思想方法第2讲分类讨论思想、转化与化归思想练习理一、填空题1。

等比数列{a n｝中，a3＝7，前3项之和S3＝21,则公比q的值是________。

解析当公比q＝1时，a1＝a2＝a3＝7,S3＝3a1＝21，符合要求.当q≠1时，a1q2＝7，错误!＝21，解之得，q＝－错误!或q＝1(舍去）.综上可知,q＝1或－错误!.答案1或－错误!2。

过双曲线错误!－错误!＝1（a＞0,b＞0）上任意一点P，引与实轴平行的直线，交两渐近线于R,Q两点，则错误!·错误!的值为________.解析当直线PQ与x轴重合时，|错误!|＝|错误!｜＝a.答案a23.方程sin2x＋cos x＋k＝0有解，则k的取值范围是________.解析求k＝－sin2x－cos x的值域.k＝cos2x－cos x－1＝错误!错误!－错误!.当cos x＝错误!时，k min＝－错误!，当cos x＝－1时，k max＝1,∴－54≤k≤1.答案错误!4。

若数列｛a n｝的前n项和S n＝3n－1，则它的通项公式a n＝________。

2019版高考数学二轮复习专题对点练3 分类讨论思想、转化与化归思想文

专题对点练3 分类讨论思想、转化与化归思想一、选择题1.设函数f(x)=若f(a)>1,则实数a的取值范围是()A.(0,2)B.(0,+∞)C.(2,+∞)D.(-∞,0)∪(2,+∞)2.函数y=5的最大值为()A.9B.12C.D.33.在等比数列{a n}中,a3=7,前3项的和S3=21,则公比q的值是()A.1B.-C.1或-D.-1或4.若m是2和8的等比中项,则圆锥曲线x2+=1的离心率是()A.B.C.D.5.已知中心在坐标原点,焦点在坐标轴上的双曲线的渐近线方程为y=±x,则该双曲线的离心率为()A. B.C. D.6.若a>0,且a≠1,p=log a(a3+1),q=log a(a2+1),则p,q的大小关系是()A.p=qB.p<qC.p>qD.当a>1时,p>q;当0<a<1时,p<q7.若函数f(x)=x3-tx2+3x在区间[1,4]上单调递减,则实数t的取值范围是()A.B.(-∞,3)C.D.[3,+∞)8.(2018安徽黄山一模)已知函数f(x)=e|x|+|x|.若关于x的方程f(x)=k有两个不同的实根,则实数k的取值范围是()A.(0,1)B.(1,+∞)C.(-1,0)D.(-∞,-1)二、填空题9.已知函数f(x)=a x+b(a>0,a≠1)的定义域和值域都是[-1,0],则a+b= .10.设f(x)是定义在R上的奇函数,且当x≥0时,f(x)=x2,若对任意x∈[a,a+2],f(x+a)≥f(3x+1)恒成立,则实数a的取值范围是.11.函数y=的最小值为.12.在三棱锥P-ABC中,PA,PB,PC两两互相垂直,且AB=4,AC=5,则BC的取值范围是.三、解答题13.已知a≥3,函数F(x)=min{2|x-1|,x2-2ax+4a-2},其中min{p,q}=(1)求使得等式F(x)=x2-2ax+4a-2成立的x的取值范围;(2)①求F(x)的最小值m(a);②求F(x)在区间[0,6]上的最大值M(a).专题对点练3答案1.B解析若2a-3>1,解得a>2,与a<0矛盾,若>1,解得a>0,故a的范围是(0,+∞).2.D解析设a=(5,1),b=(),∵a·b≤|a|·|b|,∴y=5=3.当且仅当5,即x=时等号成立.3.C解析当公比q=1时,则a1=a2=a3=7,S3=3a1=21,符合要求.当公比q≠1时,则a1q2=7,=21,解得q=- (q=1舍去).综上可知,q=1或q=-.4.D解析因为m是2和8的等比中项,所以m2=2×8=16,所以m=±4.当m=4时,圆锥曲线+x2=1是椭圆,其离心率e=;当m=-4时,圆锥曲线x2-=1是双曲线,其离心率e=.综上知,选项D正确.5.C解析当焦点在x轴上时,,此时离心率e=;当焦点在y轴上时,,此时离心率e=.故选C.6.C解析当0<a<1时,可知y=a x和y=log a x在其定义域上均为减函数,则a3+1<a2+1,∴log a(a3+1)>log a(a2+1),即p>q.当a>1时,y=a x和y=log a x在其定义域上均为增函数,则a3+1>a2+1,∴log a(a3+1)>log a(a2+1),即p>q.综上可得p>q.7.C解析f'(x)=3x2-2tx+3,由于f(x)在区间[1,4]上单调递减,则有f' (x)≤0在[1,4]上恒成立,即3x2-2tx+3≤0,即t≥在[1,4]上恒成立,因为y=在[1,4]上单调递增,所以t≥,故选C.8.B解析方程f(x)=k化为方程e|x|=k-|x|.令y1=e|x|,y2=k-|x|.y2=k-|x|表示斜率为1或-1的平行折线系.当折线与曲线y=e|x|恰好有一个公共点时,k=1.由图知,关于x的方程f(x)=k有两个不同的实根时,实数k的取值范围是(1,+∞).故选B.9.- 解析当a>1时,函数f(x)= a x+b在[-1,0]上为增函数,由题意得无解.当0<a<1时,函数f(x)=a x+b在[-1,0]上为减函数,由题意得解得所以a+b=-.10.(-∞,-5]解析因为当x≥0时,f(x)=x2,所以此时函数f(x)在[0,+∞)上单调递增.又因为f(x)是定义在R上的奇函数,且f(0)=0,所以f(x)在R上单调递增.若对任意x∈[a,a+2],不等式f(x+a)≥f(3x+1)恒成立,则x+a≥3x+1恒成立,即a≥2x+1恒成立,因为x∈[a,a+2],所以(2x+1)max=2(a+2)+ 1=2a+5,即a≥2a+5,解得a≤-5.即实数a的取值范围是(-∞,-5].11.解析原函数等价于y=,即求x轴上一点到A(1,1),B(3,2)两点距离之和的最小值.将点A(1,1)关于x轴对称,得A'(1,-1),连接A'B交x轴于点P,则线段A'B的值就是所求的最小值,即|A'B|=.12.(3,)解析如图所示,问题等价于长方体中,棱长分别为x,y,z,且x2+y2=16,x2+z2=25,求的取值范围,转化为y2+z2=41-2x2,∵x2+y2=16,∴0<x<4,∴41-2x2∈(9,41),即BC的取值范围是(3,).13.解 (1)由于a≥3,则当x≤1时,(x2-2ax+4a-2)-2|x-1|=x2+2(a-1)(2-x)>0,当x>1时,(x2-2ax+4a-2)-2|x-1|=(x-2)(x-2a).所以,使得等式F(x)=x2-2ax+4a-2成立的x的取值范围为[2,2a].(2)①设函数f(x)=2|x-1|,g(x)=x2-2ax+4a-2,则f(x)min=f(1)=0,g(x)min=g(a)=-a2+4a-2,所以,由F(x)的定义知m(a)=min{f(1), g(a)},即m(a)=②当0≤x≤2时,F(x)≤f(x)≤max{f(0),f(2)}=2=F(2),当2≤x≤6时,F(x)≤g(x)≤max{g(2),g(6)}=max{2,34-8a}=max{F(2),F(6)}.所以,M(a)=。

最新文档-2019版高考数学文科二轮专题复习课件：第一部分转化与化归思想、分类讨论思想(共44张PPT)-PPT精

点
C
到
AB
的距离
d＝|2－25－3|＝
3， 5
则阴影部分 D 的面积为 2×12× 5× 35＝3.
答案：(1)C (2)B
[规律方法] 1．一般问题特殊化，使问题处理变得直接、简单．特殊问题一般化，可以使我们从宏观整体的高度把握问题的一般规律，从而达到成批处理问题的效果． 2．对于某些选择题、填空题，如果结论唯一或题目提供的信息暗示答案是一个定值时，把题中变化的量用特殊值代替，即可得到答案．
→0，
பைடு நூலகம்
故 f(x)的最大值为 f12＝2e－12，则 m≥2e－12. 答案：D
角度正与反、主与次的转化【例 3】 (1)设 y＝(log2x)2＋(t－2)log2x－t＋1，若 t 在[－2，2]上变化时，y 恒取正值，则 x 的取值范围是 ________________． (2)若对于任意 t∈[1，2]，函数 g(x)＝x3＋m2 ＋2x2 －2x 在区间(t，3)上总不为单调函数，则实数 m 的取值范围是________________．
因为 h′(x)＝1x－1≤0，所以函数 h(x)在[1，＋∞)上为减函数，又 x∈[1，m)，所以 h(x)min＝h(m)＝1＋ln m－m. 所以要使得对任意 x∈[1，m]，t 值恒存在，只需 1＋ln m－m≥－1. 因为 h(3)＝ln 3－2＝ln1e·3e＞ln 1e＝－1，
角度特殊与一般的转化
【例 1】 (1)过抛物线 y＝ax2(a＞0)的焦点 F，作一
直线交抛物线于 P，Q 两点，若线段 PF 与 FQ 的长度分
别为 p，q，则1p＋1q等于( )
A．2a
1 B.2a
C．4a

2019年高考数学考纲解读与热点难点突破专题23分类讨论思想转化与化归思想教学案文含解析

分类讨论思想、转化与化归思想【高考题型示例】题型一、概念、定理分类整合概念、定理分类整合即利用数学中的基本概念、定理对研究对象进行分类，如绝对值的定义、不等式的转化、等比数列{a n }的前n 项和公式等，然后分别对每类问题进行解决.解决此问题可以分解为三个步骤：分类转化、依次求解、汇总结论.汇总结论就是对分类讨论的结果进行整合.例1.若一条直线过点(5，2)，且在x 轴，y 轴上截距相等，则这条直线的方程为( )A.x ＋y －7＝0B.2x －5y ＝0C.x ＋y －7＝0或2x －5y ＝0D.x ＋y ＋7＝0或2y －5x ＝0答案 C解析设该直线在x 轴，y 轴上的截距均为a ，当a ＝0时，直线过原点，此时直线方程为y ＝25x ，即2x －5y ＝0；当a≠0时，设直线方程为x a ＋y a＝1，求得a ＝7，则直线方程为x ＋y －7＝0. 例2. 已知S n 为数列{a n }的前n 项和，且S n ＝2a n －2，则S 5－S 4的值为( ) A.8 B.10 C.16 D.32答案 D解析当n ＝1时，a 1＝S 1＝2a 1－2，解得a 1＝2.因为S n ＝2a n －2，当n≥2时，S n －1＝2a n －1－2，两式相减得a n ＝2a n －2a n －1，即a n ＝2a n －1，则数列{a n }为首项为2，公比为2的等比数列，则S 5－S 4＝a 5＝25＝32.例3.已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12，B ＝{x|mx －1＝0，m∈R}，若A∩B＝B ，则所有符合条件的实数m 组成的集合是( )A.{0，－1，2}B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫－12，0，1 C.{－1，2}D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，0，12 答案 A解析因为A∩B＝B ，所以B ⊆A.若B 为∅，则m ＝0；若B≠∅，则－m －1＝0或12m －1＝0，解得m ＝－1或2.综上，m∈{0，－1，2}.故选A. 例 4.设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ sin πx 2，－1<x<0，e x －1，x≥0.若f(1)＋f(a)＝2，则实数a 的所有可能取值的集合是________.答案 ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－22，1题型二、图形位置、形状分类整合图形位置、形状分类整合是指由几何图形的不确定性而引起的分类讨论，这种方法适用于几何图形中点、线、面的位置关系的研究以及解析几何中直线与圆锥曲线的位置关系.例5.已知正三棱柱的侧面展开图是边长分别为6和4的矩形，则它的体积为( )A.833B.4 3C.239D.43或833答案 D解析当矩形长、宽分别为6和4时，体积V ＝2×3×12×4＝4 3；当长、宽分别为4和6时，体积V ＝43×233×12×6＝833. 例6.已知变量x ，y 满足的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x≥0，y≥2x，kx －y ＋1≥0表示的是一个直角三角形围成的平面区域，则实数k等于( )A.－12B.12C.0D.0或－12 答案 D 解析不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x≥0，y≥2x，kx －y ＋1≥0表示的可行域如图阴影部分所示(含边界)，由图可知，若要使不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x≥0，y≥2x，kx －y ＋1≥0表示的平面区域是直角三角形，只有当直线y ＝kx ＋1与直线x ＝0或y ＝2x 垂直时才满足.结合图形可知斜率k 的值为0或－12. 例7.设圆锥曲线C 的两个焦点分别为F 1，F 2，若曲线C 上存在点P 满足|PF 1|∶|F 1F 2|∶|PF 2|＝4∶3∶2，则曲线C 的离心率为________.答案 12或32解析不妨设|PF 1|＝4t ，|F 1F 2|＝3t ，|PF 2|＝2t ，其中t>0.若该曲线为椭圆，则有|PF 1|＋|PF 2|＝6t ＝2a ，|F 1F 2|＝3t ＝2c ，e ＝c a ＝2c 2a ＝3t 6t ＝12；若该曲线为双曲线，则有|PF 1|－|PF 2|＝2t ＝2a ，|F 1F 2|＝3t ＝2c ，e ＝c a ＝2c 2a ＝3t 2t ＝32. 综上，曲线C 的离心率为12或32. 例8.抛物线y 2＝4px(p>0)的焦点为F ，P 为其上的一点，O 为坐标原点，若△O PF 为等腰三角形，则这样的点P 的个数为________.答案 4解析当|PO|＝|PF|时，点P 在线段OF 的中垂线上，此时，点P 的位置有两个；当|OP|＝|OF|时，点P 的位置也有两个；对|FO|＝|FP|的情形，点P 不存在.事实上，F(p ，0)，若设P(x ，y)，则|FO|＝p ，|FP|＝x －p2＋y 2，若x －p 2＋y 2＝p ，则有x 2－2px ＋y 2＝0，又∵y2＝4px，∴x2＋2px＝0，解得x＝0或x＝－2p，当x＝0时，不构成三角形.当x＝－2p(p>0)时，与点P在抛物线上矛盾.∴符合要求的点P有4个.题型三、含参问题分类整合某些含有参数的问题，由于参数的取值不同会导致所得的结果不同，需对参数进行讨论，如含参数的方程、不等式、函数等. 解决这类问题要根据解决问题需要合理确定分类标准，讨论中做到不重不漏，结论整合要周全.例9.已知实数a，x，a>0且a≠1，则“a x>1”的充要条件为( )A.0<a<1，x<0B.a>1，x>0C.(a－1)x>0D.x≠0答案 C解析由a x>1知，a x>a0，当0<a<1时，x<0；当a>1时，x>0.故“a x>1”的充要条件为“(a－1)x>0”.例10.若函数f(x)＝ax2＋4x－3在[0，2]上有最大值f(2)，则实数a的取值范围为( )A.(－∞，－1]B.[－1，＋∞)C.(－∞，0)D.(0，＋∞)答案 B例11.设函数f(x)＝x2－ax＋a＋3，g(x)＝ax－2a，若存在x0∈R，使得f(x0)<0和g(x0)<0同时成立，则实数a的取值范围为( )A.(7，＋∞)B.(－∞，－2)∪(6，＋∞)C.(－∞，－2)D.(－∞，－2)∪(7，＋∞)答案 A解析由f(x)＝x2－ax＋a＋3知，f(0)＝a＋3，f(1)＝4.又存在x0∈R，使得f(x0)<0，所以Δ＝a2－4(a＋3)>0，解得a<－2或a>6.又g(x)＝ax －2a 的图象恒过点(2，0)，故当a>6时，作出函数f(x)和g(x)的图象如图1所示，当a<－2时，作出函数f(x)和g(x)的图象如图2所示.由函数的图象知，当a>6时，若g(x 0)<0，则x 0<2，∴要使f(x 0)<0，则需⎩⎪⎨⎪⎧ a>6，f 2<0，解得a>7.当a<－2时，若g(x 0)<0，则x 0>2，此时函数f(x)＝x 2－ax ＋a ＋3的图象的对称轴x ＝a 2<－1，故函数f(x)在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，＋∞上为增函数，又f(1)＝4，∴f(x 0)<0不成立.综上，实数a 的取值范围为(7，＋∞).题型四、特殊与一般的转化一般问题特殊化，使问题处理变得直接、简单，也可以通过一般问题的特殊情形找到一般思路；特殊问题一般化，可以使我们从宏观整体的高度把握问题的一般规律，从而达到成批处理问题的效果；对于某些选择题、填空题，可以把题中变化的量用特殊值代替，得到问题答案或者思路.例1.据统计某超市两种蔬菜A ，B 连续n 天价格分别为a 1，a 2，a 3，…，a n 和b 1，b 2，b 3，…，b n ，令M ＝{m|a m＜b m ，m ＝1，2，…，n}，若M 中元素个数大于34n ，则称蔬菜A 在这n 天的价格低于蔬菜B 的价格，记作：A ＜B ，现有三种蔬菜A ，B ，C ，下列说法正确的是( )A.若A ＜B ，B ＜C ，则A ＜CB.若A ＜B ，B ＜C 同时不成立，则A ＜C 不成立C.A ＜B ，B ＜A 可同时不成立D.A ＜B ，B ＜A 可同时成立答案 C解析特例法：例如蔬菜A 连续10天价格分别为1，2，3，4，…，10，蔬菜B 连续10天价格分别为10，9，…，1时，A ＜B ，B ＜A 同时不成立，故选C.例2.过抛物线y ＝ax 2(a>0)的焦点F ，作一直线交抛物线于P ，Q 两点.若线段PF 与FQ 的长度分别为p ，q ，则1p ＋1q 等于( ) A.2a B.12a C.4a D.4a 答案 C 解析抛物线y ＝ax 2(a>0)的标准方程为x 2＝1a y(a>0)，焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14a . 过焦点F 作直线垂直于y 轴，则|PF|＝|QF|＝12a ，∴1p ＋1q＝4a. 例3.已知函数f(x)＝(a －3)x －ax 3在[－1，1]上的最小值为－3，则实数a 的取值范围是( )A.(－∞，－1]B.[12，＋∞)C.[－1，12]D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，12 答案 D解析当a ＝0时，函数f(x)＝－3x ，x∈[－1，1]，显然满足条件，故排除A ，B ；当a ＝－32时，函数f(x)＝32x 3－92x ， f′(x)＝92x 2－92＝92(x 2－1)，当－1≤x≤1时，f′(x)≤0，所以f(x)在[－1，1]上为减函数，所以f(x)min ＝f(1)＝32－92＝－3，满足条件，故排除C. 综上，选D.例4.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ，b ，c 成等差数列，则cos A ＋cos C 1＋cos Acos C＝________. 答案 45解析令a ＝b ＝c ，则△ABC 为等边三角形，且cos A ＝cos C ＝12，代入所求式子，得cos A ＋cos C 1＋cos Acos C ＝12＋121＋12×12＝45. 五、命题的等价转化将题目已知条件或结论进行转化，使深奥的问题浅显化、繁杂的问题简单化，让题目得以解决.一般包括数与形的转化，正与反的转化，常量与变量的转化，图形形体及位置的转化.例5.由命题“存在x 0∈R，使0|1|e x -－m≤0”是假命题，得m 的取值范围是(－∞，a)，则实数a 的值是( )A.(－∞，1)B.(－∞，2)C.1D.2答案 C解析命题“存在x 0∈R，使0|1|e x -－m≤0”是假命题，可知它的否定形式“任意x∈R，e |x －1|－m>0”是真命题，可得m 的取值范围是(－∞，1)，而(－∞，a)与(－∞，1)为同一区间，故a ＝1.例6.如图所示，已知三棱锥P －ABC ，PA ＝BC ＝234，PB ＝AC ＝10，PC ＝AB ＝241，则三棱锥P －ABC 的体积为( )A.40B.80C.160D.240答案 C解析因为三棱锥P －ABC 的三组对棱两两相等，则可将此三棱锥放在一个特定的长方体中(如图所示)，把三棱锥P －ABC 补成一个长方体AEBG －FPDC ，可知三棱锥P －ABC 的各棱分别是此长方体的面对角线.不妨令PE ＝x ，EB ＝y ，EA ＝z ，则由已知，可得⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2＝100，x 2＋z 2＝136，y 2＋z 2＝164，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝6，y ＝8，z ＝10.从而知V P －ABC ＝V AEBG －FPDC －V P －AEB －V C －ABG －V B －PDC －V A －FPC ＝V AEBG －FPDC －4V P －AEB ＝6×8×10－4×16×6×8×10＝160. 例7.对于满足0≤p≤4的所有实数p ，使不等式x 2＋px>4x ＋p －3成立的x 的取值范围是________________. 答案 (－∞，－1)∪(3，＋∞)解析设f(p)＝(x －1)p ＋x 2－4x ＋3，则当x ＝1时，f(p)＝0，所以x≠1.f(p)在[0，4]上恒为正等价于⎩⎪⎨⎪⎧ f 0>0，f 4>0，即⎩⎪⎨⎪⎧ x －3x －1>0，x 2－1>0，解得x>3或x<－1.例8.如果实数x ，y 满足等式(x －2)2＋y 2＝1，那么y ＋3x －1的取值范围是________. 答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫43，＋∞ 解析设k ＝y ＋3x －1，则y 表示点P(1，－3)和圆(x －2)2＋y 2＝1上的点的连线的斜率(如图).从图中可知，当过P 的直线与圆相切时斜率取最值，此时对应的直线斜率分别为k PB 和k PA ，其中k PB 不存在.由圆心C(2，0)到直线y ＝kx －(k ＋3)的距离|2k －k ＋3|k 2＋1＝r ＝1，解得k ＝43，所以y ＋3x －1的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫43，＋∞.题型六、函数、方程、不等式之间的转化函数、方程与不等式就像“一胞三兄弟”，解决方程、不等式的问题需要函数的帮助，解决函数的问题需要方程、不等式的协作.例9.已知函数f(x)＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a x －2，若对任意x∈[2，＋∞)，恒有f(x)>0，则实数a 的取值范围是________. 答案 (2，＋∞)解析根据题意，得x ＋a x－2>1在[2，＋∞)上恒成立，即a>－x 2＋3x 在[2，＋∞)上恒成立，又当x ＝2时，(－x 2＋3x)max ＝2，所以a>2.。

2019高考数学二轮复习专题八数学思想、数学核心素养与数学文化第3讲分类讨论、转化与化归思想

第3讲分类讨论、转化与化归思想数学思想解读 1.分类讨论思想是当问题的对象不能进行统一研究时，就需要对研究的对象按某个标准进行分类，然后对每一类分别研究，给出每一类的结论，最终综合各类结果得到整个问题的解答.实质上分类讨论就是“化整为零，各个击破，再集零为整”的数学思想.2.转化与化归思想方法用在研究、解决数学问题时，思维受阻或寻求简单方法或从一种状况转化到另一种情形，也就是转化到另一种情境使问题得到解决，这种转化是解决问题的有效策略，同时也是获取成功的思维方式.热点一分类讨论思想的应用应用1 由概念、法则、公式、性质引起的分类讨论【例1】 (1)若函数f (x )＝a x(a >0，a ≠1)在[－1，2]上的最大值为4，最小值为m ，且函数g (x )＝(1－4m )x 在[0________.(2)在等比数列{a n }中，已知a 3＝32，S 解析 (1)若a >1，有a 2＝4，a －1＝m. 1＝92，显然成立.∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 2＝32， ①a 1（1＋q ＋q 2）＝92. ②由②①，得1＋q ＋q 2q 2＝3，即2q 2－q －1＝0，所以q ＝－12或q ＝1(舍去).当q ＝－12时，a 1＝a 3q2＝6，综上可知，a 1＝32或a 1＝6.答案 (1)14 (2)32或6探究提高 1.指数函数、对数函数的单调性取决于底数a ，因此，当底数a 的大小不确定时，应分0<a <1，a >1两种情况讨论.2.利用等比数列的前n 项和公式时，若公比q 的大小不确定，应分q ＝1和q ≠1两种情况进行讨论，这是由等比数列的前n 项和公式决定的.【训练1】 (1)(2018·长沙一中质检)已知S n 为数列{a n }的前n 项和且S n ＝2a n －2，则S 5－S 4的值为( )A.8B.10C.16D.32(2)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin （πx 2），－1<x <0，e x －1，x ≥0.若f (1)＋f (a )＝2，则a 的所有可能取值的集合是________.解析 (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝2a 1－2，解得a 1＝2. 因为S n ＝2a n －2，当n ≥2时，S n －1＝2a n －1－2，两式相减得，a n ＝2a n －2a n －1，即a n ＝2a n －1，则数列{a n }为首项为2，公比为2的等比数列，则S 5－S 4＝a 5＝25＝32. (2)f (1)＝e 0＝1，即f (1)＝1. 由f (1)＋f (a )＝2，得f (a )＝1. 当a ≥0时，f (a )＝1＝ea －1，所以a ＝1.当－1<a <0时，f (a )＝sin(πa 2)＝1，所以πa 2＝2k π＋π2(k ∈Z ).所以a 2＝2k ＋12(k ∈Z )，k 只能取0，此时a 2＝12，因为－1<a <0，所以a ＝－22. 则实数a 取值的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－22，1.答案 (1)D (2)⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－22，1应用2 由图形位置或形状引起的分类讨论【例2】 (1)已知变量x ，y 满足的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥2x ，kx －y ＋1≥0表示的是一个直角三角形围成的平面区域，则实数k ＝( ) A.－12B.12C.0D.－12或0(2)设圆锥曲线C 的两个焦点分别为F 1，F 2，若曲线C 上存在点P 满足|PF 1|∶|F 1F 2|∶|PF 2|＝4∶3∶2，则曲线C 的离心率等于________.解析 (1)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥2x ，kx －y ＋1≥0表示的可行域如图(阴影部分)所示.由图可知，若要使不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥2x ，kx －y ＋1≥0表平面区域是直角三角形，只有当直线kx －y ＋1＝0与直线y 轴或y ＝2x 垂直时才满足.结合图形可知斜率k 的值为0或－12.(2)不妨设|PF 1|＝4t ，|F 1F 2|＝3t ，|PF 2|＝2t ，其中t ≠0. 若该曲线为椭圆，则有|PF 1|＋|PF 2|＝6t ＝2a ，|F 1F 2|＝3t ＝2c ，e ＝c a ＝2c 2a ＝3t 6t ＝12；若该曲线为双曲线，则有|PF 1|－|PF 2|＝2t ＝2a ，|F 1F 2|＝3t ＝2c ，e ＝c a ＝2c 2a ＝3t 2t ＝32.答案 (1)D (2)12或32探究提高 1.圆锥曲线形状不确定时，常按椭圆、双曲线来分类讨论，求圆锥曲线的方程时，常按焦点的位置不同来分类讨论.2.相关计算中，涉及图形问题时，也常按图形的位置不同、大小差异等来分类讨论. 【训练2】设F 1，F 2为椭圆x 29＋y 24＝1的两个焦点，P 为椭圆上一点.已知P ，F 1，F 2是一个直角三角形的三个顶点，且|PF 1|>|PF 2|，则|PF 1||PF 2|的值为________.解析若∠PF 2F 1＝90°.则|PF 1|2＝|PF 2|2＋|F 1F 2|2，又因为|PF 1|＋|PF 2|＝6，|F 1F 2|＝25，解得|PF 1|＝143，|PF 2|＝43，所以|PF 1||PF 2|＝72.若∠F 1PF 2＝90°，则|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2，所以|PF 1|2＋(6－|PF 1|)2＝20，所以|PF 1|＝4，|PF 2|＝2，所以|PF 1||PF 2|＝2.综上知，|PF 1||PF 2|＝72或2.答案 72或2应用3 由变量或参数引起的分类讨论【例3】已知f (x )＝x －a e x(a ∈R ，e 为自然对数的底数). (1)讨论函数f (x )的单调性；(2)若f (x )≤e 2x对x ∈R 恒成立，求实数a 的取值范围. 解 (1)f ′(x )＝1－a e x，x ∈(－ln a ，＋∞)，则f ′(x )<0. (－ln a ，＋∞)上的单调递减. 2xa ≥－e x，则－e 2x>0∴g (x )在(－∞，0)上单调递增. 当x >0时，1－e 2x<0，g ′(x )<0， ∴g (x )在(0，＋∞)上单调递减. 所以g (x )max ＝g (0)＝－1，所以a ≥－1. 故a 的取值范围是[－1，＋∞).探究提高 1.(1)参数的变化取值导致不同的结果，需对参数进行讨论，如含参数的方程、不等式、函数等.(2)解析几何中直线点斜式、斜截式方程要考虑斜率k 存在或不存在，涉及直线与圆锥曲线位置关系要进行讨论.2.分类讨论要标准明确、统一，层次分明，分类要做到“不重不漏”.【训练3】已知函数f (x )＝4x 3＋3tx 2－6t 2x ＋t －1，x ∈R ，其中t ∈R .当t ≠0时，求f (x )的单调区间.解 f ′(x )＝12x 2＋6tx －6t 2. 令f ′(x )＝0，解得x ＝－t 或x ＝t2.因为t ≠0，所以分两种情况讨论：①若t <0，则t2<－t .当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：所以，f (x )的单调递增区间是⎝⎛⎭⎪⎫－∞，t 2，(－t ，＋∞)；f (x )的单调递减区间是⎝⎛⎭⎪⎫t 2，－t .②若t >0，则－t <t2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：所以，f (x )的单调递增区间是(－∞，－t )，⎝ ⎛⎭⎪⎫2，＋∞；f (x )的单调递减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－t ，t 2.热点二转化与化归思想应用1 特殊与一般的转化【例4】 (1)过抛物线y ＝ax 2(a >0)的焦点F ，作一直线交抛物线于P ，Q 两点.若线段PF 与FQ 的长度分别为p ，q ，则1p ＋1q等于( )A.2aB.12aC.4aD.4a(2)(2017·浙江卷)已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，则|a ＋b |＋|a －b |的最小值是________，最大值是________.解析 (1)抛物线y ＝ax 2(a >0)的标准方程为x 2＝1a y (a >0)，焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14a .过焦点F 作直线垂直于y 轴，则|PF |＝|QF |＝12a ，∴1p ＋1q＝4a .(2)由题意，不妨设b ＝(2，0)，a ＝(cos θ，sin θ)，则a ＋b ＝(2＋cos θ，sin θ)，a －b ＝(cos θ－2，sin θ). 令y ＝|a ＋b |＋|a －b |＝（2＋cos θ）2＋sin 2θ＋（cos θ－2）2＋sin 2θ ＝5＋4cos θ＋5－4cos θ，令y ＝5＋4cos θ＋5－4cos θ，则y 2＝10＋225－16cos 2θ∈[16，20].由此可得(|a ＋b |＋|a －b |)max ＝20(|a ＋b |＋|a －b |)min ＝16＝4，即|a ＋b |＋|a －b |的最小值是4.特殊问题一般化，可以使我们.可以.d ≠0，那么( ) B.a 1a 8<a 4a 5 C.a 1＋a 8>a 4＋a 5D.a 1a 8＝a 4a 5(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ，b ，c 成等差数列，则cos A ＋cos C1＋cos A cos C ＝________.解析 (1)取特殊数列{a n }，其中a n ＝n (n ∈N *). 显然a 1·a 8＝8<a 4·a 5＝20.(2)令a ＝b ＝c ，则△ABC 为等边三角形，且cos A ＝cos C ＝12，代入所求式子，得cos A ＋cos C1＋cos A cos C＝12＋121＋12×12＝45.答案 (1)B (2)45应用2 函数、方程、不等式之间的转化【例5】已知函数f (x )＝3e |x |.若存在实数t ∈[－1，＋∞)，使得对任意的x ∈[1，m ]，m ∈Z 且m >1，都有f (x ＋t )≤3e x ，试求m 的最大值. 解 ∵当t ∈[－1，＋∞)且x ∈[1，m ]时，x ＋t ≥0， ∴f (x ＋t )≤3e xx ＋t≤e x t ≤1＋ln x －x .∴原命题等价转化为：存在实数t ∈[－1，＋∞)，使得不等式t ≤1＋ln x －x 对任意x ∈[1，m ]恒成立.令h (x )＝1＋ln x －x (1≤x ≤m ).∵h ′(x )＝1x－1≤0，∴函数h (x )在[1，＋∞)上为减函数，又x ∈[1，m ]，∴h (x )min ＝h (m )＝1＋ln m －m . ∴要使得对任意x ∈[1，m ]，t 值恒存在，只需1＋ln m －m ≥－1.∵h (3)＝ln 3－2＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ·3e >ln 1e＝－1，h (4)＝ln 4－3＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ·4e 2<ln 1e＝－1，又函数h (x )在[1，＋∞)上为减函数，∴满足条件的最大整数m 的值为3.探究提高 1.函数与方程、不等式联系密切，解决方程、不等式的问题需要函数帮助. 2.解决函数的问题需要方程、不等式的帮助，因此借助于函数与方程、不等式进行转化与化归可以将问题化繁为简，一般可将不等关系转化为最值(值域)问题，从而求出参变量的范围. 【训练5】在平面直角坐标系xOy 中，A (－12，0)，B (0，6)，点P 在圆O ：x 2＋y 2＝50上.若PA →·PB →≤20，则点P 的横坐标的取值范围是________. 解析设点P (x ，y )，且A (－12，0)，B (0，6).则PA →·PB →＝(－12－x ，－y )·(－x ，6－y )＝x (12＋x )＋y (y －6)≤20，又x 2＋y 2＝50，∴2x －y ＋5≤0，则点P 在直线2x －y ＋5＝0上方的圆弧上(含交点)，即点P 在MCN 上，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋5，x 2＋y 2＝50，解得x ＝－5或x ＝1，结合图形知，－52≤x ≤1.故点P 横坐标的取值范围是[－52，1]. 答案 [－52，1]应用3 正与反、主与次的转化【例6】 (1)设y ＝(log 2x )2＋(t －2)log 2x －t ＋1，若t 在[－2，2]上变化时，y 恒取正值，则x 的取值范围是________.(2)若对于任意t ∈[1，2]，函数g (x )＝x 3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m2＋2x 2－2x 在区间(t ，3)上总不为单调函数，则实数m 的取值范围是________.解析 (1)设y ＝f (t )＝(log 2x －1)t ＋(log 2x )2－2log 2x ＋1，则f (t )是一次函数，当t ∈[－2，2]时，f (t )>0恒成立，则⎨⎪⎧f （－2）>0，即⎨⎪⎧（log 2x ）2－4log 2x ＋3>0，2， x >8，)在区间(t ，3)上总为单调函数， g ′(x )≤0在(t ，3)上恒成立. ＋4≥2x－3x .t 恒成立，则m ＋4≥－1，即m ≥－5；由②得m ＋4≤2x －3x ，当x ∈(t ，3)时恒成立，则m ＋4≤23－9，即m ≤－373.∴使函数g (x )在区间(t ，3)上总不为单调函数的m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－373，－5.答案 (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪(8，＋∞) (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－373，－5探究提高 1.第(1)题是把关于x 的函数转化为在[0，4]内关于t 的一次函数大于0恒成立的问题.在处理多变元的数学问题时，我们可以选取其中的参数，将其看作是“主元”，而把其它变元看作是参数.2.第(2)题是正与反的转化，由于不为单调函数有多种情况，先求出其反面，体现“正难则反”的原则.【训练6】已知函数f (x )＝x 3＋3ax －1，g (x )＝f ′(x )－ax －5，其中f ′(x )是f (x )的导函数.对满足－1≤a ≤1的一切a 的值，都有g (x )<0，则实数x 的取值范围为________. 解析由题意，知g (x )＝3x 2－ax ＋3a －5，令φ(a )＝(3－x )a ＋3x 2－5，－1≤a ≤1. 对－1≤a ≤1，恒有g (x )<0，即φ(a )<0，∴⎩⎪⎨⎪⎧φ（1）<0，φ（－1）<0，即⎩⎪⎨⎪⎧3x 2－x －2<0，3x 2＋x －8<0，解得－23<x <1.故当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，1时，对满足－1≤a ≤1的一切a 的值，都有g (x )<0.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，1。

江苏专用高考数学二轮复习数学思想方法部分专题转化与化归思想学案

专题3转化与化归思想化归就是转化和归结，它是解决数学问题的基本方法，在解决数学问题时，人们常常是将需要解决的问题，通过某种转化手段，归结为另一个相对较容易解决的或者已经有解决模式的问题，以求得问题的解答.中学数学处处都体现出化归的思想，如化繁为简、化难为易、化未知为已知，化高次为低次等，它是解决问题的一种最基本的思想.1．f (x )是R 上的奇函数，f (x ＋2)＝f (x )，当0≤x ≤1时，f (x )＝x ，则f (7.5)等于________．解析：由f (x ＋2)＝f (x )知，f (x )的周期为2，所以f (7.5)＝f (－0.5)＝－f (0.5)＝－0.5. 答案：－0.52．若m ，n ，p ，q ∈R 且m 2＋n 2＝a ，p 2＋q 2＝b ，ab ≠0，则mp ＋nq 的最大值是________．解析：(mp ＋nq )2＝m 2p 2＋2mpnq ＋n 2q 2≤m 2p 2＋m 2q 2＋n 2p 2＋n 2q 2＝(m 2＋n 2)(p 2＋q 2)＝ab . 所以－ab ≤mp ＋nq ≤ab ，当且仅当mq ＝np 时等号成立．答案：ab3.如图，把椭圆x 225＋y 216＝1的长轴AB 分成8等份，过每个分点作x 轴的垂线交椭圆的上半部分于P 1，P 2，P 3，P 4，P 5，P 6，P 7七个点，F 是椭圆的一个焦点，则P 1F ＋P 2F ＋P 3F ＋P 4F ＋P 5F ＋P 6F ＋P 7F ＝________.解析：设椭圆的另一个焦点为F ′，根据椭圆的对称性知，P 1F＋P 7F ＝P 1F ＋P 1F ′＝2a ，P 2F ＋P 6F ＝P 3F ＋P 5F ＝2a ，又|P 4F |＝a ，∴P 1F ＋P 2F ＋P 3F ＋P 4F ＋P 5F ＋P 6F ＋P 7F ＝7a ＝35.答案：354．已知关于x 的方程x 2＋2a log 2(x 2＋2)＋a 2－3＝0有惟一解，则实数a 的值为________．解析：令f (x )＝x 2＋2a log 2(x 2＋2)＋a 2－3，显然f (x )是偶函数，方程f (x )＝0要有惟一实根，则此根必为x ＝0，故2a ＋a 2－3＝0，解得a ＝1或a ＝－3，当a ＝－3时，易知方程f (x )＝0不止有一个实根，故a ＝1.答案：15．已知三棱锥S －ABC 的三条侧棱两两垂直，SA ＝5，SB ＝4，SC ＝3，D 为AB 的中点，E 为AC 的中点，则四棱锥S －BCED 的体积为________．解析：由S △ADE ＝14S △ABC ，得V S －BCED ＝34V S －ABC ＝34V A －BSC ＝34×13×12×SB ×SC ×SA ＝152.答案：152[典例1](1)如图，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝1，BC ＝2，AC ＝ 5，AA 1＝3，M 为线段BB 1上的一动点，则当AM ＋MC 1最小时，△AMC 1的面积为________．(2)若不等式x 2108＋y 24≥xy3k 对于任意正实数x ，y 总成立的必要不充分条件是k ∈[m ，＋∞)，则正整数m 只能取________．[解析] (1)将侧面展开后可得：当A 、M 、C 1三点共线时，AM ＋MC 1最小，又AB ∶BC＝1∶2，AB ＝1，BC ＝2，CC 1＝3，所以AM ＝2，MC 1＝2 2.又在原三棱柱中AC 1＝9＋5＝14，所以cos ∠AMC 1＝AM 2＋C 1M 2－AC 212AM ·C 1M ＝2＋8－142×2×22＝－12，故sin ∠AMC 1＝32.所以三角形面积为S ＝12×2×22×32＝ 3.(2)由x 2108＋y 24≥xy3k (x >0，y >0)⇒1xy ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2108＋y 24≥13k ⇒x 108y ＋y 4x ≥13k ，所以13k 小于等于x 108y ＋y 4x (x >0，y >0)的最小值，因为x 108y ＋y4x≥2x 108y ·y4x＝1108(当且仅当x 2＝27y 2时取等号)，所以3k≥108＝27×4＝2×332⇒log 33k≥log 3(2×332)⇒k ≥log 32＋32.所以k 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫log 32＋32，＋∞，所以k ∈[m ，＋∞)是k ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫log 32＋32，＋∞的必要不充分条件，即m <log 32＋32∈(2,3)，所以m ＝1或m ＝2.[答案] (1) 3 (2)1或21．把空间问题转化为平面问题是立体几何的基本思想，是化归思想在数学应用中的具体体现． 2．不等式恒成立的问题，一般转化为求函数的最值问题． [演练1]如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，底面为直角三角形，∠ACB ＝90°，AC ＝6，BC＝CC 1＝2，P 是BC 1上一动点，则CP ＋PA 1的最小值是________．解析：连结A 1B ，沿BC 1将△CBC 1展开与△A 1BC 1在同一个平面内，如图所示，连结A 1C ，则A 1C 的长度就是所求的最小值．通过计算，可得∠A 1C 1B ＝90°.又∠BC 1C ＝45°，∴∠A 1C 1C ＝135°. 由余弦定理可求得A 1C ＝5 2. 答案：5 2 [典例2]已知椭圆x 24＋y 22＝1，A ，B 是其左、右顶点，动点M 满足MB ⊥AB ，连结AM 交椭圆于点P ，在x 轴上有异于点A ，B 的定点Q ，以MP 为直径的圆经过直线BP ，MQ 的交点，则点Q 的坐标为________．[解析] 法一：取P (0，2)，则M (2,22)，设Q (q,0)，由以MP 为直径的圆经过直线BP ，MQ 的交点可知，MQ ⊥PB ，则有k MQ ·k PB ＝－1，即222－q ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＝－1. 解得q ＝0，即得Q (0,0)．法二：设M (2，m )，则直线AM 的方程为y ＝m4(x ＋2)，联立错误!消去y 并整理得，m 2＋832x 2＋m 28x ＋m 28－1＝0，则x P ＝m 28－1－2·m 2＋832＝－2·m 2－8m 2＋8， y P ＝m 4(x P ＋2)＝8mm 2＋8，所以k PB ＝8mm 2＋8－2·m 2－8m 2＋8－2＝－2m ，设Q (q,0)，则k MQ ＝m 2－q ＝－1k PB ＝m2，解得q ＝0，即得Q (0,0)．法三：设P (x 0，y 0)，则直线AP 的方程为y ＝y 0x 0＋2(x ＋2)，可得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，4y 0x 0＋2，设Q (q,0)，则k MQ ·k PB＝－1，即4y 0x 0＋22－q ·y 0x 0－2＝－1，所以y 20x20－4·42－q ＝－1.又x 204＋y 202＝1，可得y 20x 20－4＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 204x 20－4＝－12，进而求得q ＝0，故Q (0,0)．[答案] (0,0)本题把圆过某点的问题转化为两直线的垂直问题，以便于建立方程求解，法一是用特例法，取P 的特殊位置，利用两直线垂直建立方程求解，过程简单，避免了“小题大做”．法二、法三是一般法，设出一个点的坐标，求解另一点的坐标，再由垂直关系建立方程求解．[演练2]过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点F (－c,0)(c >0)，作圆x 2＋y 2＝a 24的切线，切点为E ，延长FE交曲线右支于点P ，若OE ＝12( OF ＋OP )，则双曲线的离心率为________．解析：由OE ＝12( OF ＋OP )可知E 为PF 的中点，则PF ＝2EF ＝2c 2－a 24＝ 4c 2－a 2.设双曲线的另一个焦点为F ′，则PF ′＝2EO ＝a ，则由双曲线的定义得 4c 2－a 2－a ＝2a ，即4c 2＝10a 2，e ＝102. 答案：102[典例3]若关于x 的方程x 4＋ax 3＋ax 2＋ax ＋1＝0有实数根，求实数a 的取值范围．[解] 由x 4＋ax 3＋ax 2＋ax ＋1＝0，得⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 2＋a ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x＋a ＝0，即⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x 2＋a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＋a －2＝0，令t ＝x ＋1x(t ∈(－∞，－2]∪[2，＋∞))，则函数f (t )＝t 2＋at ＋a －2在t ∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)上有零点，因为Δ＝a 2－4a ＋8>0恒成立，所以f (－2)≤0或f (2)≤0或⎩⎪⎨⎪⎧－a 2>2，f 2>0或⎩⎪⎨⎪⎧－a 2<－2，f －2>0，解得a ≤－23或a ≥2.所以a 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－23∪[2，＋∞)．本题利用换元法先把四次方程转化为二次方程，再把方程有实根的问题转化为函数有零点的问题，从而可以数形结合求解．[演练3]设x ，y 为正实数，a ＝ x 2＋xy ＋y 2，b ＝p xy ，c ＝x ＋y .(1)如果p ＝1，则是否存在以a ，b ，c 为三边长的三角形？请说明理由；(2)对任意的正实数x ，y ，试探索当存在以a ，b ，c 为三边长的三角形时p 的取值范围．解：(1)存在；∵p ＝1时b <a <c ，且c －a ＝x ＋y －x 2＋xy ＋y 2 ＝xyx ＋y ＋x 2＋xy ＋y 2<xy ＝b ，所以p ＝1时，存在以a ，b ，c 为三边长的三角形． (2)∵a <c ，∴若a ，b ，c 构成三角形，只需⎩⎪⎨⎪⎧a ＋c >b ，c －a <b ，即⎩⎨⎧x ＋y ＋x 2＋xy ＋y 2>p xy ，x ＋y －x 2＋xy ＋y 2<p xy ，两边除以xy ，令xy ＝t ，得⎩⎪⎨⎪⎧f t >p ，g t <p ，这里f (t )＝t ＋1t＋t ＋1t＋1，g (t )＝t ＋1t－t ＋1t＋1，由于f (t )＝t ＋1t＋t ＋1t ＋1≥2＋2＋1＝2＋3，所以g (t )＝t ＋1t－t ＋1t＋1＝1t ＋1t＋t ＋1t＋1≤2－3，当且仅当t ＝1时，f (t )取最小值2＋3，g (t )取最大值2－ 3.因此2－3<p <2＋ 3.即p 的取值范围为(2－3，2＋3)时，以a ，b ，c 为三边的三角形总存在． [专题技法归纳]等价转化是把未知解的问题转化到在已有知识范围内可解的问题的一种重要的思想方法．通过不断的转化，把不熟悉、不规范、复杂的问题转化为熟悉、规范甚至模式化、简单的问题．历年高考，等价转化思想无处不见，我们要不断培养和训练自觉的转化意识，这有利于强化解决数学问题中的应变能力，提高思维能力和技能、技巧．等价转化思想方法的特点具有灵活性和多样性．在应用等价转化的思想方法去解决数学问题时，没有一个统一的模式去进行．它可以在数与数、形与形、数与形之间进行转换；它可以在宏观上进行等价转化，如在分析和解决实际问题的过程中，普通语言向数学语言的翻译；它可以在符号系统内部实施转换，即所说的恒等变形．消去法、换元法、数形结合法等等，都体现了等价转化思想，我们经常在函数、方程、不等式之间进行等价转化．1．设x ，y ∈R 且3x 2＋2y 2＝6x ，则x 2＋y 2的取值范围是________．解析：法一：由6x －3x 2＝2y 2≥0，得0≤x ≤2. 由y 2＝3x －32x 2，得x 2＋y 2＝－12x 2＋3x＝－12(x －3)2＋92∈[0,4]．法二：由3x 2＋2y 2＝6x ，得(x －1)2＋y 232＝1，设⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝cos α，y ＝62sin α，则x 2＋y 2＝1＋2cos α＋cos 2α＋32sin 2α＝1＋32＋2cos α－12cos 2α＝－12cos 2α＋2cos α＋52∈[0,4]．答案：[0,4]2．已知a >b >1，且log a b ＋3log b a ＝132，则a ＋1b 2－1的最小值为________．解析：令t ＝log a b <log a a ＝1，则log b a ＝1t，则log a b ＋3log b a ＝132可化为t ＋3t ＝132.解得t ＝12或t ＝6(舍去)，即log a b ＝12，则b ＝a ，即b 2＝a ，所以a ＋1b 2－1＝a ＋1a －1＝(a －1)＋1a －1＋1≥2 a －1×1a －1＋1＝3，当且仅当a －1＝1a －1，即a ＝2时取等号．答案：33．若不等式x 2＋px >4x ＋p －3对一切0≤p ≤4均成立，则实数x 的取值范围是________．解析：∵x 2＋px >4x ＋p －3，∴(x －1)p ＋x 2－4x ＋3>0，令g (p )＝(x －1)p ＋x 2－4x ＋3，则要使它对0≤p ≤4均有g (p )>0，只要有⎩⎪⎨⎪⎧g0>0，g 4>0，解得x >3或x <－1.答案：(－∞，－1)∪(3，＋∞)4．若函数y ＝cos π3x 在区间[0，m ]上至少取得2个最大值点，则正整数m 的最小值为________．解析：因为x ∈[0，m ]，所以π3x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3m ，因为函数y ＝cos π3x 在区间[0，m ]上至少取得2个最大值点，所以π3m ≥2π，即m ≥6，所以正整数m 的最小值为6.答案：65．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆x 2＋y 2＝4上有且仅有四个点到直线12x －5y ＋c ＝0的距离为1，则实数c 的取值范围是________．解析：原命题等价于圆心(0,0)到直线12x －5y ＋c ＝0的距离小于1，即|c |13<1，故c 的取值范围是(－13,13)．答案：(－13,13)6．已知函数f (x )＝log 3mx 2＋8x ＋nx 2＋1的定义域为R ，值域为[0,2]，则m ＝________，n ＝________.解析：由u ＝mx 2＋8x ＋n x 2＋1，得(u －m )x 2－8x ＋(u －n )＝0.∵x ∈R ，u －m ≠0，∴Δ＝(－8)2－4(u －m )(u －n )≥0.即u 2－(m ＋n )u ＋(mn －16)≤0.由1≤u ≤9知，关于u 的一元二次方程u 2－(m ＋n )u ＋(mn －16)＝0的两根为1,9，由韦达定理，得m ＋n ＝1＋9，mn －16＝1×9，解得m ＝n ＝5.答案：5 57．设三棱柱ABC －A 1B 1C 1的体积为V ，P ，Q 分别是侧棱AA 1，CC 1上的点，且PA ＝QC 1，则四棱锥B －APQC 的体积为________．解析：特殊化法，取直棱柱，且P ，Q 为侧棱的中点，连结AQ ，则V B －APQC ＝2V B －AQC ＝2V Q －ABC ＝2×13S △ABC ·QC＝2×13S △ABC ×12C 1C ＝13S △ABC ×C 1C ＝13V .答案：13V8．设实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y －2≤0，x ＋2y －5≥0，y －2≤0，则u ＝y x －xy的取值范围是________．解析：由可行域得区域内的点与原点连线的斜率范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，2，故令t ＝yx，则t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，2， u ＝t －1t ，根据函数u ＝t －1t 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，2上单调递增，得u ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－83，32.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－83，32 9．设A 1，A 2为椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右顶点，若在椭圆上存在异于A 1，A 2的点P ，使得PO ·PA 2＝0，其中O 为坐标原点，则椭圆的离心率e 的取值范围是________．解析：由题设知∠OPA 2＝90°，设P (x ，y )(x >0)，以OA 2为直径的圆方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 22＋y 2＝a24，与椭圆方程联立得e 2x 2－ax ＋b 2＝0.由题设知，要求此方程在(0，a )上有实根，∵x ＝a 为其一根，则另一根为ae2－a ，且a e 2－a <a .解得e 2>12，所以e 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1. 答案：⎝⎛⎭⎪⎫22，1 10．已知集合A ＝{x |x 2＋a ≤(a ＋1)x ，a ∈R }，存在a ∈R ，使得集合A 中所有整数元素的和为28，则实数a 的取值范围是________．解析：到不等式x 2＋a ≤x (a ＋1)，即(x －a )(x －1)≤0，因此该不等式的解集中必有1与a .要使集合A 中所有整数元素的和为28，必有a >1.注意到以1为首项、1为公差的等差数列的前7项和为71＋72＝28，因此由集合A 中所有整数元素的和为28得7≤a ＜8，即实数a 的取值范围是[7,8)．答案：[7,8)11．我们知道，在三角形ABC 中，若三边a ，b ，c 满足c 2＝a 2＋b 2，则三角形ABC 是直角三角形，现在请你研究：若c n＝a n＋b n(n ≥3的自然数)，问三角形ABC 为哪种三角形？为什么？解：三角形ABC 是锐角三角形．∵c n＝a n＋b n， ∴c >a ，c >b 即c 是三角形ABC 的最大边， ∴要证角C 是锐角，只要证cos C >0即可．而cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab，即证a 2＋b 2>c 2，构造函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a c x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b c x.∵c >a ，c >b ，∴1>a c>0,1>b c>0. ∴f (x )在(0，＋∞)上是减函数．∵n >2，∴f (n )<f (2)，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a c n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b c n <⎝ ⎛⎭⎪⎫a c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b c 2，而⎝ ⎛⎭⎪⎫a c n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b c n ＝1， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b c 2>1，即a 2＋b 2>c 2. 故当n >2时，三角形是锐角三角形．12．若定义在(－∞，4]上的减函数f (x )，使得不等式f (m －sin x )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2m －74＋cos 2x 对于一切实数x 均成立，求m 的取值范围．解：依题意⎩⎪⎨⎪⎧m －sin x ≤4，1＋2m －74＋cos 2x ≤4，1＋2m －74＋cos 2x ≤m －sin x ，1＋2m ≥0对任意x ∈R 恒成立．由不等式的性质可知，第二个不等式可省略，故⎩⎪⎨⎪⎧m －sin x ≤4，m －1＋2m ≥－⎝⎛⎭⎪⎫sin x －122－121＋2m ≥0，对x ∈R 恒成立．因为(m －sin x )max ＝m ＋1，⎝⎛⎭⎪⎫sin x －122min ＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤4，1＋2m －m ≤12，1＋2m ≥0，解此不等式组，得m ＝－12或32≤m ≤3，即m 的取值范围为⎩⎨⎧m ⎪⎪⎪⎭⎬⎫m ＝－12，或32≤m ≤3.。

高考数学二轮复习专题八第2讲分类讨论思想、转化与化归思想提升训练理

第2讲分类讨论思想、转化与化归思想一、填空题1．若数列{a n }的前n 项和S n ＝3n －1，则它的通项公式a n ＝________．解析当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n －1－(3n －1－1)＝2×3n －1；当n ＝1时，a 1＝S 1＝2，也满足式子a n ＝2×3n －1，∴数列{a n }的通项公式为a n ＝2×3n －1. 答案 2×3n －12．过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1上任意一点P ，引与实轴平行的直线，交两渐近线于R ，Q 两点，则PR →·PQ →的值为________．解析当直线PQ 与x 轴重合时，|PR →|＝|PQ →|＝a . 答案 a 23．等比数列{a n }中，a 3＝7，前3项之和S 3＝21，则公比q 的值为________．解析当公比q ＝1时，a 1＝a 2＝a 3＝7，S 3＝3a 1＝21，符合要求．当q ≠1时，a 1q 2＝7，a 1（1－q 3）1－q ＝21，解之得，q ＝－12或q ＝1(舍去)．综上可知，q ＝1或－12. 答案 1或－124．方程sin 2x ＋cos x ＋k ＝0有解，则k 的取值范围是________．解析求k ＝－sin 2x －cos x 的值域．k ＝cos 2x －cos x －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x －122－54.当cos x ＝12时，k min ＝－54，当cos x ＝－1时，k max ＝1，∴－54≤k ≤1. 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－54，1 5．钝角三角形ABC 的面积是12，AB ＝1，BC ＝2，则AC 等于________．解析 ∵S △ABC ＝12AB ·BC ·sin B ＝12×1×2sin B ＝12，∴sin B ＝22，∴B ＝π4或3π4.当B ＝3π4时，根据余弦定理有AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos B ＝1＋2＋2＝5，所以AC＝5，此时△ABC 为钝角三角形，符合题意；当B ＝π4时，根据余弦定理有AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos B ＝1＋2－2＝1，所以AC ＝1，此时AB 2＋AC 2＝BC 2，△ABC 为直角三角形，不符合题意．故AC ＝ 5.答案 5 6．在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝4，BC ＝5.点D 是边BC 上的动点，AD →＝xAB →＋yAC →，当xy 取最大值时，|AD →|的值为________．解析 ∵AB ＝3，AC ＝4，BC ＝5， ∴△ABC 为直角三角形．如图建立平面直角坐标系，A (0，0)，B (3，0)，C (0，4)，设D (a ，b )，由AD →＝xAB →＋yAC →，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3x ，b ＝4y ，∴xy ＝ab 12.又∵D 在直线l BC ：x 3＋y 4＝1上， ∴a 3＋b 4＝1，则a 3＋b 4≥2ab 12.∴ab 12≤14，即xy ≤14，当且仅当a ＝32，b ＝2时xy 取到最大值14，此时|AD →|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋22＝52. 答案 527．设F 1，F 2为椭圆x 29＋y 24＝1的两个焦点，P 为椭圆上一点．已知P ，F 1，F 2是一个直角三形的三个顶点，且PF 1＞PF 2，则PF 1PF 2的值为________．解析若∠PF 2F 1＝90°，则PF 21＝PF 22＋F 1F 22，∵PF 1＋PF 2＝6，F 1F 2＝25，解得PF 1＝143，PF 2＝43，∴PF 1PF 2＝72.若∠F 2PF 1＝90°，则F 1F 22＝PF 21＋PF 22＝PF 21＋(6－PF 1)2，解得PF 1＝4，PF 2＝2，∴PF 1PF 2＝2.综上所述，PF 1PF 2＝2或72. 答案 2或728．已知函数f (x )＝ax 3－3x ＋1对于x ∈[－1，1]总有f (x )≥0成立，则a ＝________．解析若x ＝0，则不论a 取何值，f (x )≥0显然成立；当x ＞0即x ∈(0，1]时，f (x )＝ax 3－3x ＋1≥0可化为 a ≥3x 2－1x 3.设g (x )＝3x 2－1x 3，则g ′(x )＝3（1－2x ）x 4，所以g (x )在区间⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1上单调递减，因为g (x )max ＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝4，从而a ≥4；当x ＜0即x ∈[－1，0)时，f (x )＝ax 3－3x ＋1≥0可化为a ≤3x 2－1x 3，g ′(x )＝3（1－2x ）x 4＞0，g (x )在区间[－1，0)上单调递增，因此g (x )min ＝g (－1)＝4，从而a ≤4，综上a ＝4.答案 4二、解答题9．数列{a n }中，a 1＝8，a 4＝2，且满足a n ＋2－2a n ＋1＋a n ＝0.(1)求数列的通项公式；(2)设S n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |，求S n .解 (1)a n ＋2－2a n ＋1＋a n ＝0，所以a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1－a n ，所以{a n ＋1－a n }为常数列，所以{a n }是以a 1为首项的等差数列，设a n ＝a 1＋(n －1)d ，a 4＝a 1＋3d ，所以d ＝2－83＝－2，所以a n ＝10－2n .(2)因为a n ＝10－2n ，令a n ＝0，得n ＝5.当n ＞5时，a n ＜0；当n ＝5时，a n ＝0；当n ＜5时，a n ＞0.所以当n ＞5时，S n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a 5－(a 6＋a 7＋…＋a n ) ＝T 5－(T n －T 5)＝2T 5－T n ＝n 2－9n ＋40，T n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，当n ≤5时，S n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝T n ＝9n －n 2. 所以S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧9n －n 2（n ≤5），n 2－9n ＋40 （n ＞5）. 10．已知函数g (x )＝ax x ＋1(a ∈R )，f (x )＝ln(x ＋1)＋g (x )．(1)若函数g (x )过点(1，1)，求函数f (x )的图象在x ＝0处的切线方程；(2)判断函数f (x )的单调性．解 (1)因为函数g (x )过点(1，1)，所以1＝a 1＋1，解得a ＝2，所以f (x )＝ln(x ＋1)＋2x x ＋1.由f ′(x )＝1x ＋1＋2（x ＋1）2＝x ＋3（x ＋1）2，则f ′(0)＝3，所以所求的切线的斜率为3.又f (0)＝0，所以切点为(0，0)，故所求的切线方程为y ＝3x .(2)因为f (x )＝ln(x ＋1)＋ax x ＋1(x ＞－1)，所以f ′(x )＝1x ＋1＋a （x ＋1）－ax （x ＋1）2＝x ＋1＋a （x ＋1）2.①当a ≥0时，因为x ＞－1，所以f ′(x )＞0，故f (x )在(－1，＋∞)上单调递增；②当a ＜0时，由⎩⎪⎨⎪⎧f ′（x ）＜0，x ＞－1，得－1＜x ＜－1－a ，故f (x )在(－1，－1－a )上单调递减；由⎩⎪⎨⎪⎧f ′（x ）＞0，x ＞－1，得x ＞－1－a ，故f (x )在(－1－a ，＋∞)上单调递增．综上，当a ≥0时，函数f (x )在(－1，＋∞)上单调递增；当a ＜0时，函数f (x )在(－1，－1－a )上单调递减，在(－1－a ，＋∞)上单调递增．11．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的一个焦点与抛物线y 2＝43x 的焦点F 重合，且椭圆短轴的两个端点与点F 构成正三角形．(1)求椭圆的方程； (2)若过点(1，0)的直线l 与椭圆交于不同的两点P ，Q ，试问在x 轴上是否存在定点E (m ，0)，使PE →·QE →恒为定值？若存在，求出E 的坐标，并求出这个定值；若不存在，请说明理由．解 (1)由题意，知抛物线的焦点为F (3，0)，所以c ＝a 2－b 2＝ 3.因为椭圆短轴的两个端点与F 构成正三角形，所以b ＝3×33＝1.可求得a ＝2，故椭圆的方程为x 24＋y 2＝1. (2)假设存在满足条件的点E ，当直线l 的斜率存在时设其斜率为k ，则l 的方程为y ＝k (x －1)．由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，y ＝k （x －1），得(4k 2＋1)x 2－8k 2x ＋4k 2－4＝0，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，所以x 1＋x 2＝8k 24k 2＋1，x 1x 2＝4k 2－44k 2＋1.则PE →＝(m －x 1，－y 1)，QE →＝(m －x 2，－y 2)，所以PE →·QE →＝(m －x 1)(m －x 2)＋y 1y 2＝m 2－m (x 1＋x 2)＋x 1x 2＋y 1y 2＝m 2－m (x 1＋x 2)＋x 1x 2＋k 2(x 1－1)(x 2－1)＝m 2－8k 2m 4k 2＋1＋4k 2－44k 2＋1＋k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 2－44k 2＋1－8k 24k 2＋1＋1 ＝（4m 2－8m ＋1）k 2＋（m 2－4）4k 2＋1＝（4m 2－8m ＋1）⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2＋14＋（m 2－4）－14（4m 2－8m ＋1）4k 2＋1＝14(4m 2－8m ＋1)＋2m －1744k 2＋1. 要使PE →·QE →为定值，令2m －174＝0，即m ＝178，此时PE →·QE →＝3364. 当直线l 的斜率不存在时，不妨取P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－32，由E ⎝ ⎛⎭⎪⎫178，0，可得PE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫98，－32，QE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫98，32，所以PE →·QE →＝8164－34＝3364.综上，存在点E ⎝ ⎛⎭⎪⎫178，0，使PE →·QE →为定值3364.。

2019-2020年高三数学第二轮专题复习转化与化归思想课堂资料

2019-2020年高三数学第二轮专题复习转化与化归思想课堂资料一、基础知识整合世界数学大师波利亚强调：“不断地变换你的问题”，“我们必须一再变化它，重新叙述它，变换它，直到最后成功地找到某些有用的东西为止”。

他认为，解题过程就是“转化”的过程，因此，“转化”是解数学题的重要思想方法之一。

“化归与转化的思想方法”思想方法，就是在把直接求解较为困难的问题转化为一个相对来说自己较为熟悉的，且在已有知识范围内可解的新问题，从而达到解决原问题的目的。

转化能给人带来思维的闪光点，找到解决问题的突破口化归与转化思想的实质是揭示联系，实现转化。

除极简单的数学问题外，每个数学问题的解决都是通过转化为已知的问题实现的。

从这个意义上讲，解决数学问题就是从未知向已知转化的过程。

化归与转化的思想是解决数学问题的根本思想，解题的过程实际上就是一步步转化的过程。

数学中的转化比比皆是，如未知向已知转化，复杂问题向简单问题转化，新知识向旧知识的转化，命题之间的转化，数与形的转化，空间向平面的转化，高维向低维转化，多元向一元转化，高次向低次转化，超越式向代数式的转化，函数与方程的转化等，都是转化思想的体现。

转化有等价转化和非等价转化。

等价转化前后是充要条件，所以尽可能使转化具有等价性；在不得已的情况下，进行不等价转化，应附加限制条件，以保持等价性，或对所得结论进行必要的验证。

化归与转化应遵循的基本原则：⑴熟悉化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题，以利于我们运用熟知的知识、经验和问题来解决。

⑵简单化原则：将复杂的问题化归为简单问题，通过对简单问题的解决，达到解决复杂问题的目的，或获得某种解题的启示和依据。

⑶和谐化原则：化归问题的条件或结论，使其表现形式更符合数与形内部所表示的和谐的形式，或者转化命题，使其推演有利于运用某种数学方法或其方法符合人们的思维规律。

⑷直观化原则：将比较抽象的问题转化为比较直观的问题来解决。

⑸正难则反原则：当问题正面讨论遇到困难时，可考虑问题的反面，设法从问题的反面去探求，使问题获解。

(江苏专用)2021高考数学二轮复习专题八第2讲分类讨论思想、转化与化归思想学案理

第2讲分类讨论思想、转化与化归思想高考定位分类讨论思想、转化与化归思想近几年高考每年必考，一般表达在解析几何、函数与导数及数列解答题中，难度较大.(1)由数学概念而引起的分类讨论：如绝对值的定义、不等式的定义、二次函数的定义、直线的倾斜角等.(2)由数学运算要求而引起的分类讨论：如除法运算中除数不为零，偶次方根被开方数为非负数，对数运算中真数与底数的要求，指数运算中底数的要求，不等式中两边同乘以一个正数、负数，三角函数的定义域，等比数列{a n}的前n项和公式等.(3)由性质、定理、公式的限制而引起的分类讨论：如函数的单调性、根本不等式等.(4)由图形的不确定性而引起的分类讨论：如二次函数图象、指数函数图象、对数函数图象等.(5)由参数的变化而引起的分类讨论：如某些含有参数的问题，由于参数的取值不同会导致所得的结果不同，或者由于对不同的参数值要运用不同的求解或证明方法等.转化与化归思想方法用在研究、解决数学问题时，思维受阻或寻求简单方法或从一种状况转化到另一种情形，也就是转化到另一种情境使问题得到解决，这种转化是解决问题的有效策略，同时也是获取成功的思维方式.常见的转化方法有：(1)直接转化法：把原问题直接转化为根本定理、根本公式或根本图形问题.(2)换元法：运用“换元〞把式子转化为有理式或使整式降幂等，把较复杂的函数、方程、不等式问题转化为易于解决的根本问题.(3)数形结合法：研究原问题中数量关系(解析式)与空间形式(图形)关系，通过互相变换获得转化途径.(4)等价转化法：把原问题转化为一个易于解决的等价命题，到达化归的目的.(5)特殊化方法：把原问题的形式向特殊化形式转化，并证明特殊化后的问题、结论适合原问题.(6)构造法：“构造〞一个适宜的数学模型，把问题变为易于解决的问题.(7)坐标法：以坐标系为工具，用计算方法解决几何问题是转化方法的一个重要途径.(8)类比法：运用类比推理，猜想问题的结论，易于确定.(9)参数法：引进参数，使原问题转化为熟悉的形式进展解决.(10)补集法：如果正面解决原问题有困难，可把原问题的结果看作集合A，而把包含该问题的整体问题的结果类比为全集U ，通过解决全集U 及补集∁U A 获得原问题的解决，表达了正难那么反的原那么.热点一分类讨论思想的应用[应用1] 由性质、定理、公式的限制引起的分类【例1－1】 (1)设数列{a n }的前n 项和为S n ，2S n ＝3n＋3，那么数列{a n }的通项a n ＝________.(2)实数a ≠0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ，x <1，－x －2a ，x ≥1.假设f (1－a )＝f (1＋a )，那么a 的值为________.解析 (1)由2S n ＝3n ＋3得：当n ＝1时，2S 1＝31＋3＝2a 1，解得a 1＝3；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝12[(3n ＋3)－(3n －1＋3)]＝3n －1，由于n ＝1时，a 1＝3不适合上式.∴数列{a n }的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3，n ＝1，3n －1，n ≥2.(2)当a >0时，1－a <1，1＋a >1，这时f (1－a )＝2(1－a )＋a ＝2－a ，f (1＋a )＝－(1＋a )－2a ＝－1－3a .由f (1－a )＝f (1＋a )得2－a ＝－1－3a ，解得a ＝－32，不合题意，舍去；当a <0时，1－a >1，1＋a <1，这时f (1－a )＝－(1－a )－2a ＝－1－a ，f (1＋a )＝2(1＋a )＋a ＝2＋3a . 由f (1－a )＝f (1＋a )得－1－a ＝2＋3a ，解得a ＝－34.综上可知，a 的值为－34.答案 (1)⎩⎪⎨⎪⎧3，n ＝1，3n －1，n ≥2 (2)－34探究提高由性质、定理、公式的限制引起的分类整合法往往是因为有的数学定理、公式、性质是分类给出的，在不同的条件下结论不一致的情况下使用，如等比数列的前n 项和公式、函数的单调性等.[应用2] 由数学运算要求引起的分类【例1－2】 (1)不等式|x |＋|2x ＋3|≥2的解集是________.(2)m ∈R ，那么函数f (x )＝(4－3m )x 2－2x ＋m 在区间[0，1]上的最大值为________. 解析 (1)原不等式可转化为⎩⎪⎨⎪⎧x ＜－32，－x －〔2x ＋3〕≥2，或⎩⎪⎨⎪⎧－32≤x ≤0，－x ＋〔2x ＋3〕≥2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，x ＋〔2x ＋3〕≥2.解得x ≤－53或－1≤x ≤0或x ＞0，故原不等式的解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－53∪[－1，＋∞). (2)①当4－3m ＝0，即m ＝43时，函数f (x )＝－2x ＋43，它在[0，1]上是减函数，所以f (x )max ＝f (0)＝43.②当4－3m ≠0, 即m ≠43时，f (x )是二次函数.当4－3m ＞0，即m ＜43时，二次函数f (x )的图象开口向上，对称轴方程x ＝14－3m ＞0，它在[0，1]上的最大值只能在区间端点取得(由于此处不涉及最小值，故不需讨论区间与对称轴的关系).f (0)＝m ，f (1)＝2－2m ，当m ≥2－2m ，又m ＜43，即23≤m ＜43时，f (x )max ＝m .当m ＜2－2m ，又m ＜43，即m ＜23时，f (x )max ＝2(1－m ).当4－3m ＜0，即m ＞43时，二次函数f (x )的图象开口向下，又它的对称轴方程x ＝14－3m ＜0，所以函数f (x )在[0，1]上是减函数，于是f (x )max ＝f (0)＝m .由①，②可知，这个函数的最大值为f (x )max＝⎩⎪⎨⎪⎧2－2m ，m ＜23，m ，m ≥23.答案 (1)⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－53∪[－1，＋∞) (2)f (x )max＝⎩⎪⎨⎪⎧2－2m ，m ＜23，m ，m ≥23探究提高由数学运算要求引起的分类整合法，常见的类型有除法运算中除数不为零，偶次方根为非负，对数运算中真数与底数的要求，指数运算中底数的要求，不等式两边同乘以一个正数、负数问题，含有绝对值的不等式求解，三角函数的定义域等，根据相应问题中的条件对相应的参数、关系式等加以分类分析，进而分类求解与综合. [应用3] 由参数变化引起的分类【例1－3】函数f (x )＝ln x ＋a (1－x ). (1)讨论f (x )的单调性；(2)当f (x )有最大值，且最大值大于2a －2时，求a 的取值范围. 解 (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x－a .假设a ≤0，那么f ′(x )＞0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增.假设a ＞0，那么当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，1a 时，f ′(x )＞0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞时，f ′(x )＜0，所以f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，1a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞上单调递减.综上，知当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a ＞0时，f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，1a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞上单调递减.(2)由(1)知，当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上无最大值；当a ＞0时，f (x )在x ＝1a处取得最大值，最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝ln 1a＋a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1a ＝－ln a ＋a －1.因此f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＞2a －2等价于ln a ＋a －1＜0.令g (a )＝ln a ＋a －1，那么g (a )在(0，＋∞)上单调递增，g (1)＝0. 于是，当0＜a ＜1时，g (a )＜0；当a ＞1时，g (a )＞0. 因此，a 的取值范围是(0，1).探究提高由参数的变化引起的分类整合法经常用于某些含有参数的问题，如含参数的方程、不等式，由于参数的取值不同会导致所得结果不同，或对于不同的参数值要运用不同的求解或证明方法. 热点二转化与化归思想 [应用1] 换元法【例2－1】实数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，a 2＋b 2＋c 2＝1，那么a 的最大值是________. 解析令b ＝x ，c ＝y ，那么x ＋y ＝－a ，x 2＋y 2＝1－a 2.此时直线x ＋y ＝－a 与圆x 2＋y 2＝1－a 2有交点，那么圆心到直线的距离d ＝|a |2≤1－a 2，解得a 2≤23，所以a 的最大值为63.答案63探究提高换元法是一种变量代换，也是一种特殊的转化与化归方法，是用一种变数形式去取代另一种变数形式，是将生疏(或复杂)的式子(或数)，用熟悉(或简单)的式子(或字母)进展替换；化生疏为熟悉、复杂为简单、抽象为具体，使运算或推理可以顺利进展. [应用2] 特殊与一般的转化【例2－2】 f (x )＝33x＋3，那么f (－2 015)＋f (－2 014)＋…＋f (0)＋f (1)＋…＋f (2 016)＝________.解析 f (x )＋f (1－x )＝33x ＋3＋331－x ＋3＝33x ＋3＋3x 3＋3x ＝3x＋33x＋3＝1， ∴f (0)＋f (1)＝1，f (－2 015)＋f (2 016)＝1，…，∴f (－2 015)＋f (－2 014)＋…＋f (0)＋f (1)＋…＋f (2 016)＝2 016. 答案 2 016探究提高一般问题特殊化，使问题处理变得直接、简单.特殊问题一般化，可以使我们从宏观整体的高度把握问题的一般规律，从而到达成批处理问题的效果. [应用3] 常量与变量的转化【例2－3】对任意的|m |≤2，函数f (x )＝mx 2－2x ＋1－m 恒为负，那么x 的取值范围为________.解析对任意的|m |≤2，有mx 2－2x ＋1－m ＜0恒成立，即|m |≤2时，(x 2－1)m －2xg (m )＝(x 2－1)m －2x ＋1，那么原问题转化为g (m )＜0恒成立(m ∈[－2，2]).所以⎩⎪⎨⎪⎧g 〔－2〕＜0，g 〔2〕＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧2x 2＋2x －3＞0，2x 2－2x －1＜0.解得7－12＜x ＜3＋12，即实数x 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫7－12，3＋12.答案 ⎝⎛⎭⎪⎫7－12，3＋12探究提高在处理多变元的数学问题时，我们可以选取其中的参数，将其看作是“主元〞，而把其他变元看作是常量，从而到达减少变元、简化运算的目的. [应用4] 正与反的相互转化【例2－4】假设对于任意t ∈[1，2]，函数g (x )＝x 3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m2＋2x 2－2x 在区间(t ，3)上总不为单调函数，那么实数m 的取值范围是________.解析 g ′(x )＝3x 2＋(m ＋4)x －2，假设g (x )在区间(t ，3)上总为单调函数，那么①g ′(x )≥0在(t ，3)上恒成立，或②g ′(x )≤0在(t ，3)上恒成立.由①得3x 2＋(m ＋4)x －2≥0，即m ＋4≥2x－3x 在x ∈(t ，3)上恒成立，∴m ＋4≥2t－3t 恒成立，那么m ＋4≥－1，即m ≥－5；由②得m ＋4≤2x－3x 在x ∈(t ，3)上恒成立，那么m ＋4≤23－9，即m ≤－373.∴函数g (x )在区间(t ，3)上总不为单调函数的m 的取值范围为－373＜m ＜－5.答案 ⎝⎛⎭⎪⎫－373，－5探究提高否认性命题，常要利用正反的相互转化，先从正面求解，再取正面答案的补集即可，一般地，题目假设出现多种成立的情形，且不成立的情形相对很少，从反面考虑较简单，因此，间接法多用于含有“至多〞、“至少〞及否认性命题情形的问题中.1.分类讨论思想的本质是“化整为零，积零为整〞.用分类讨论的思维策略解数学问题的操作过程：明确讨论的对象和动机→确定分类的标准→逐类进展讨论→归纳综合结论→检验分类是否完备(即分类对象彼此交集为空集，并集为全集).做到“确定对象的全体，明确分类的标准，分类不重复、不遗漏〞的分析讨论. 常见的分类讨论问题有： (1)集合：注意集合中空集讨论.(2)函数：对数函数或指数函数中的底数a ，一般应分a ＞1和0＜a ＜1的讨论；函数y ＝ax 2＋bx ＋c 有时候分a ＝0和a ≠0的讨论；对称轴位置的讨论；判别式的讨论.(3)数列：由S n 求a n 分n ＝1和n ＞1的讨论；等比数列中分公比q ＝1和q ≠1的讨论. (4)三角函数：角的象限及函数值范围的讨论.(5)不等式：解不等式时含参数的讨论，根本不等式相等条件是否满足的讨论. (6)立体几何：点、线、面及图形位置关系的不确定性引起的讨论.(7)平面解析几何：直线点斜式中k 分存在和不存在，直线截距式中分b ＝0和b ≠0的讨论；轨迹方程中含参数时曲线类型及形状的讨论. (8)去绝对值时的讨论及分段函数的讨论等. 2.转化与化归思想遵循的原那么：(1)熟悉化原那么：将陌生的问题转化为熟悉的问题，将未知的问题转化为的问题，以便于我们运用熟知的知识、经历和问题来解决.(2)简单化原那么：将复杂问题化归为简单问题，通过对简单问题的解决，到达解决复杂问题的目的，或获得某种解题的启示和依据.(3)和谐统一原那么：转化问题的条件或结论，使其表现形式更符合数与形内部所表示的和谐统一的形式；或者转化命题，使其推演有利于运用某种数学方法或符合人们的思维规律. (4)正难那么反原那么：当问题正面讨论遇到困难时，应想到问题的反面，设法从问题的反面去探讨，使问题获得解决.一、填空题1.等比数列{a n }中，a 3＝7，前3项之和S 3＝21，那么公比q 的值是________.解析当公比q ＝1时，a 1＝a 2＝a 3＝7，S 3＝3a 1q ≠1时，a 1q 2＝7，a 1〔1－q 3〕1－q＝21，解之得，q ＝－12或q ＝1(舍去).综上可知，q ＝1或－12.答案 1或－12x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)上任意一点P ，引与实轴平行的直线，交两渐近线于R ，Q 两点，那么PR →·PQ →的值为________.解析特殊位置法，当直线PQ 与x 轴重合时，|PR →|＝|PQ →|＝a . 答案 a 22x ＋cos x ＋k ＝0有解，那么k 的取值范围是________.解析转化为求k ＝－sin 2x －cos x 的值域.k ＝cos 2x －cos x －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x －122－54. 当cos x ＝12时，k min ＝－54，当cos x ＝－1时，k max ＝1，∴－54≤k ≤1.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－54，1 4.假设数列{a n }的前n 项和S n ＝3n－1，那么它的通项公式a n ＝________. 解析当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n－1－(3n －1－1)＝2×3n －1；当n ＝1时，a 1＝S 1＝2，也满足式子a n ＝2×3n －1，∴数列{a n }的通项公式为a n ＝2×3n －1.答案 2×3n －1a 为正常数，假设不等式1＋x ≥1＋x2－x 22a对一切非负实数x 恒成立，那么a 的最大值为________.解析原不等式即x 22a ≥1＋x2－1＋x (x ≥0)，(*)令1＋x ＝t ，t ≥1，那么x ＝t 2－1，所以(*)式可化为〔t 2－1〕22a ≥1＋t 2－12－t ＝t 2－2t ＋12＝〔t －1〕22对t ≥1恒成立，所以〔t ＋1〕2a≥1对t ≥1恒成立，又a 为正常数，所以a ≤[(t ＋1)2]min ＝4，故a 的最大值是4. 答案 46.△ABC 和点M 满足MA →＋MB →＋MC →k 使得CA →＋CB →＝kCM →成立，那么k 等于________. 解析 ∵MA →＋MB →＋MC →＝0，∴M 为△ABC 的重心，取AB 的中点D ， ∴CA →＋CB →＝2CD →＝2×32CM →＝3CM →，∵CA →＋CB →＝kCM →，∴k ＝3.答案 3F 1，F 2为椭圆x 29＋y 24＝1的两个焦点，PP ，F 1，F 2是一个直角三角形的三个顶点，且PF 1＞PF 2，那么PF 1PF 2的值为________. 解析假设∠PF 2F 1＝90°，那么PF 21＝PF 22＋F 1F 22，∵PF 1＋PF 2＝6，F 1F 2＝25，解得PF 1＝143，PF 2＝43，∴PF 1PF 2＝72.假设∠F 2PF 1＝90°，那么F 1F 22＝PF 21＋PF 22＝PF 21＋(6－PF 1)2，解得PF 1＝4，PF 2＝2， ∴PF 1PF 2＝2.综上所述，PF 1PF 2＝2或72. 答案 2或72f (x )＝ln x －14x ＋34x－1，g (x )＝－x 2＋2bx －4，假设对任意的x 1∈(0，2)，任意的x 2∈[1，2]，不等式f (x 1)≥g (x 2)恒成立，那么实数b 的取值范围是________.解析依题意，问题等价于f (x 1)min ≥g (x 2)max ，f (x )＝ln x －14x ＋34x －1(x ＞0)，所以f ′(x )＝1x －14－34x 2＝4x －x 2－34x2. 由f ′(x )＞0，解得1＜x ＜3，故函数f (x )单调递增区间是(1，3)，同理得f (x )的单调递减区间是(0，1)和(3，＋∞)，故在区间(0，2)上，x ＝1是函数f (x )的极小值点，这个极小值点是唯一的，所以f (x 1)min ＝f (1)＝－12.函数g (x 2)＝－x 22＋2bx 2－4，x 2∈[1，2].当b ＜1时，g (x 2)max ＝g (1)＝2b －5；当1≤b ≤2时，g (x 2)max ＝g (b )＝b 2－4；当b ＞2时，g (x 2)max ＝g (2)＝4b －8.故问题等价于⎩⎪⎨⎪⎧b ＜1，－12≥2b －5或⎩⎪⎨⎪⎧1≤b ≤2，－12≥b 2－4或⎩⎪⎨⎪⎧b ＞2，－12≥4b －8.解第一个不等式组得b ＜1，解第二个不等式组得1≤b ≤142，第三个不等式组无解.综上所述，b 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，142. 答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，142 二、解答题9.数列{a n }中，a 1＝8，a 4＝2，且满足a n ＋2－2a n ＋1＋a n ＝0.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设S n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |，求S n .解 (1)a n ＋2－2a n ＋1＋a n ＝0，所以a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1－a n ，所以{a n ＋1－a n }为常数列，所以{a n }是以a 1为首项的等差数列，设a n ＝a 1＋(n －1)d ，a 4＝a 1＋3d ，所以d ＝2－83＝－2，所以a n ＝10－2n .(2)因为a n ＝10－2n ，令a n ＝0，得n ＝5.当n ＞5时，a n ＜0；当n ＝5时，a n ＝0；当n ＜5时，a n ＞0. 记T n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，那么T n ＝n 〔8＋10－2n 〕2＝9n －n 2.所以当n ＞5时，S n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a 5－(a 6＋a 7＋…＋a n ) ＝T 5－(T n －T 5)＝2T 5－T n ＝n 2－9n ＋40，当n ≤5时，S n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝T n ＝9n －n 2.所以S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧9n －n 2〔n ≤5〕，n 2－9n ＋40 〔n ＞5〕.g (x )＝axx ＋1(a ∈R )，f (x )＝ln(x ＋1)＋g (x ). (1)假设函数g (x )过点(1，1)，求函数f (x )的图象在x ＝0处的切线方程； (2)判断函数f (x )的单调性.解 (1)因为函数g (x )过点(1，1)，所以1＝a 1＋1，解得a ＝2，所以f (x )＝ln(x ＋1)＋2xx ＋1.由f ′(x )＝1x ＋1＋2〔x ＋1〕2＝x ＋3〔x ＋1〕2，那么ff (0)＝0，所以切点为(0，0)，故所求的切线方程为y ＝3x . (2)因为f (x )＝ln(x ＋1)＋axx ＋1(x ＞－1)，所以f ′(x )＝1x ＋1＋a 〔x ＋1〕－ax 〔x ＋1〕2＝x ＋1＋a 〔x ＋1〕2. ①当a ≥0时，因为x ＞－1，所以f ′(x )＞0，故f (x )在(－1，＋∞)上单调递增；②当a ＜0时，由⎩⎪⎨⎪⎧f ′〔x 〕＜0，x ＞－1，得－1＜x ＜－1－a ，故f (x )在(－1，－1－a )上单调递减；由⎩⎪⎨⎪⎧f ′〔x 〕＞0，x ＞－1，得x ＞－1－a ，故f (x )在(－1－a ，＋∞)上单调递增.综上，当a ≥0时，函数f (x )在(－1，＋∞)上单调递增；当a ＜0时，函数f (x )在(－1，－1－a )上单调递减，在(－1－a ，＋∞)上单调递增.x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的一个焦点与抛物线y 2＝43x 的焦点F 重合，且椭圆短轴的两个端点与点F 构成正三角形. (1)求椭圆的方程；(2)假设过点(1，0)的直线l 与椭圆交于不同的两点P ，Q ，试问在x 轴上是否存在定点E (m ，0)，使PE →·QE →恒为定值？假设存在，求出E 的坐标，并求出这个定值；假设不存在，请说明理由.解 (1)由题意，知抛物线的焦点为F (3，0)，所以c ＝a 2－b 2＝ 3. 因为椭圆短轴的两个端点与F 构成正三角形，所以b ＝3×33＝1. 可求得a ＝2，故椭圆的方程为x 24＋y 2＝1.(2)假设存在满足条件的点E ，当直线l 的斜率存在时设其斜率为k ，那么l 的方程为y ＝k (x －1).由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，y ＝k 〔x －1〕得(4k 2＋1)x 2－8k 2x ＋4k 2－4＝0，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，解上述方程后易得：x 1＋x 2＝8k 24k 2＋1，x 1x 2＝4k 2－44k 2＋1.那么PE →＝(m －x 1，－y 1)，QE →＝(m －x 2，－y 2)，所以PE →·QE →＝(m －x 1)(m －x 2)＋y 1y 2 ＝m 2－m (x 1＋x 2)＋x 1x 2＋y 1y 2＝m 2－m (x 1＋x 2)＋x 1x 2＋k 2(x 1－1)(x 2－1)＝m 2－8k 2m 4k 2＋1＋4k 2－44k 2＋1＋k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 2－44k 2＋1－8k 24k 2＋1＋1＝〔4m 2－8m ＋1〕k 2＋〔m 2－4〕4k 2＋1＝〔4m 2－8m ＋1〕⎝⎛⎭⎪⎫k 2＋14＋〔m 2－4〕－14〔4m 2－8m ＋1〕4k 2＋1 ＝14(4m 2－8m ＋1)＋2m －1744k 2＋1. 要使PE →·QE →为定值，令2m －174＝0，即m ＝178，此时PE →·QE →＝3364.当直线l 的斜率不存在时，不妨取P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－32，.下载后可自行编辑修改，页脚下载后可删除。

高考数学(文)二轮复习简易通配套课件(江苏专用)：2-2转化与化归思想、分类讨论思想

•第2讲转化与化归思想、分类讨论思想•—、转化与化归思想•［思想概述］•转化化归思想的基本内涵是：人们在解决数学问题时，常常将待解决的数学问题4通过某种转化手段，归结为另一问题B,而问题B是相对较容易解决的或已经有固定解决模式的问题，且通过问题B的解决可以得到原问题力的解.用框图可直观地表•转化有等价转化和非等价转化，等价转化前后是充要条件，所以尽可能使转化具有等价性，等价转化策略就是把未知解的问题转化到在已有知识范围内可解的问题的一种重要的思想方法.通过不断地转化，把不熟悉、不规范、复杂的问题转化为熟悉、规范甚至模式化、简单的问题.在不得已的情况下，进行不等价转化，应附加限制条件，以.•［类型讲解］类型一具体与抽象、特殊与一般的转化【例1】已知f （e ）=sin 2e+sin 2（9+ar ） + sin2（e+）B ）,问是否存在常数or, 0,满足 0<cr<j6<TT,使得f ⑹为与0无关的定值.示为待解决的问题A （化归对象） V还原问题〃的解解由于/（0） = sin 2a+sin?"彳列=1 + cos%+cos%f （ _ a ） = sin 2a +sin 2（a _卩）,f （ _0） = sin?"+ sin 2（（z _#） ■sin 2a+sin 2^= 1 +cos 2a+cos 2^,sin 2a+sin 2（（z 一0） = sin?# + sin 2（a 一#）,cos 2a + cos 20= — 1,-? • 2 csnr （z=sm 0,一 7C 2 所以有化简整理得又因为所以得a=q 0=gt ・7T Z7T下面证0^/(^) = sin 26>+sin 2 0+氏+sin 2 0+可的值与0无关.k 3丿\ a 丿 1 (2於' 4f ⑹P 1—cos 20+1—cos 20+〒 <O+ 1 —COS 20+可< D1 71 =23 —cos 20—2cos(20+7i)cos 寸1 3=^[3—cos 20+cos 23] = 2- 所以兀0)为与&无关的定值.7T 2兀即存在常数卩=背,使得/⑹为与〃无关的定值.•［规律方法］⑴由于题目中的参数和变量较多，所以直接求解难以入手，因此对参数e 取特殊值，进行推理求解.• (2)当问题难以入手时，可以先对特殊情况或简单情形进行观察、分析，发现问题中特族的数量或吳紊结*勾或咅B分元朵z然启推广到一般情形，并加以证明.类型二换元及常量与变量的转化【例2】已知/⑴为定义在实数集R上的奇函数，且心）在7T[0, +°°）上是增函数.当OW0W 2时，是否存在这样的实数加，使Acos 20—3）+斤4血一2加cos 0）＞介0）对所有的7T眶0, 2均成立？若存在，求出所有适合条件的实数阻若不存在，请说明理由.解假设存在适合条件的观，由几劝是R上的奇函数可得/(0)=0.又在［0, +®)上是增函数，故/仗)在R上为增函数.由题设条件可得/(cos 2^—3)+/(4m —2mcos 0)>O. 又由为奇函数，可得/(cos 2^—3) >/(2mcos &一4加)，・*.cos 20一3>2加cos 3~4m,即cos?。

2019年高考数学考纲解读与热点难点突破专题分类讨论思想转化与化归思想教学案理

分类讨论思想、转化与化归思想【高考题型示例】题型一、概念、定理分类整合概念、定理分类整合即利用数学中的基本概念、定理对研究对象进行分类，如绝对值的定义、不等式的转化、等比数列{a n }的前n 项和公式等，然后分别对每类问题进行解决.解决此问题可以分解为三个步骤：分类转化、依次求解、汇总结论.汇总结论就是对分类讨论的结果进行整合.例1.若一条直线过点(5，2)，且在x 轴，y 轴上截距相等，则这条直线的方程为( ) A.x ＋y －7＝0 B.2x －5y ＝0C.x ＋y －7＝0或2x －5y ＝0D.x ＋y ＋7＝0或2y －5x ＝0 答案 C解析设该直线在x 轴，y 轴上的截距均为a ，当a ＝0时，直线过原点，此时直线方程为y ＝25x ，即2x －5y ＝0；当a≠0时，设直线方程为x a ＋ya ＝1，求得a ＝7，则直线方程为x ＋y －7＝0.例2. 已知S n 为数列{a n }的前n 项和，且S n ＝2a n －2，则S 5－S 4的值为( ) A.8 B.10 C.16 D.32 答案 D例3.已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12，B ＝{x|mx －1＝0，m∈R}，若A∩B＝B ，则所有符合条件的实数m 组成的集合是( )A.{0，－1，2}B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫－12，0，1C.{－1，2}D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，0，12答案 A解析因为A∩B＝B ，所以B ⊆A.若B 为∅，则m ＝0；若B≠∅，则－m －1＝0或12m －1＝0，解得m ＝－1或2.综上，m∈{0，－1，2}.故选A.例 4.设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧πx 2，－1<x<0，e x －1，x≥0.若f(1)＋f(a)＝2，则实数a 的所有可能取值的集合是________. 答案 ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－22，1 解析 f(1)＝e 0＝1，即f(1)＝1. 由f(1)＋f(a)＝2，得f(a)＝1. 当a≥0时，f(a)＝1＝ea －1，所以a ＝1.当－1<a<0时，f(a)＝sin(πa 2)＝1，所以πa 2＝2k π＋π2(k∈Z)，所以a 2＝2k ＋12(k∈Z)，k 只能取0，此时a 2＝12.因为－1<a<0，所以a ＝－22. 则实数a 的取值集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－22，1. 题型二、图形位置、形状分类整合图形位置、形状分类整合是指由几何图形的不确定性而引起的分类讨论，这种方法适用于几何图形中点、线、面的位置关系的研究以及解析几何中直线与圆锥曲线的位置关系.例5.已知正三棱柱的侧面展开图是边长分别为6和4的矩形，则它的体积为( ) A.833 B.4 3 C.239 D.43或833答案 D解析当矩形长、宽分别为6和4时，体积V ＝2×3×12×4＝4 3；当长、宽分别为4和6时，体积V ＝43×233×12×6＝833.例6.已知变量x ，y 满足的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x≥0，y≥2x，kx －y ＋1≥0表示的是一个直角三角形围成的平面区域，则实数k等于( )A.－12B.12C.0D.0或－12答案 D解析不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x≥0，y≥2x，kx －y ＋1≥0表示的可行域如图阴影部分所示(含边界)，由图可知，若要使不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x≥0，y≥2x，kx －y ＋1≥0表示的平面区域是直角三角形，只有当直线y ＝kx ＋1与直线x ＝0或y ＝2x 垂直时才满足.结合图形可知斜率k 的值为0或－12.例7.设圆锥曲线C 的两个焦点分别为F 1，F 2，若曲线C 上存在点P 满足|PF 1|∶|F 1F 2|∶|PF 2|＝4∶3∶2，则曲线C 的离心率为________. 答案 12或32解析不妨设|PF 1|＝4t ，|F 1F 2|＝3t ，|PF 2|＝2t ，其中t>0. 若该曲线为椭圆，则有|PF 1|＋|PF 2|＝6t ＝2a ， |F 1F 2|＝3t ＝2c ，e ＝c a ＝2c 2a ＝3t 6t ＝12；若该曲线为双曲线，则有|PF 1|－|PF 2|＝2t ＝2a ， |F 1F 2|＝3t ＝2c ，e ＝c a ＝2c 2a ＝3t 2t ＝32.综上，曲线C 的离心率为12或32.例8.抛物线y 2＝4px(p>0)的焦点为F ，P 为其上的一点，O 为坐标原点，若△OPF 为等腰三角形，则这样的点P 的个数为________. 答案 4解析当|PO|＝|PF|时，点P 在线段OF 的中垂线上，此时，点P 的位置有两个；当|OP|＝|OF|时，点P 的位置也有两个；对|FO|＝|FP|的情形，点P 不存在.事实上，F(p ，0)，若设P(x ，y)，则|FO|＝p ，|FP|＝－2＋y 2，若－2＋y 2＝p ，则有x 2－2px ＋y 2＝0，又∵y2＝4px，∴x2＋2px＝0，解得x＝0或x＝－2p，当x＝0时，不构成三角形.当x＝－2p(p>0)时，与点P在抛物线上矛盾.∴符合要求的点P有4个.题型三、含参问题分类整合某些含有参数的问题，由于参数的取值不同会导致所得的结果不同，需对参数进行讨论，如含参数的方程、不等式、函数等. 解决这类问题要根据解决问题需要合理确定分类标准，讨论中做到不重不漏，结论整合要周全.例9.已知实数a，x，a>0且a≠1，则“a x>1”的充要条件为( )A.0<a<1，x<0B.a>1，x>0C.(a－1)x>0D.x≠0答案 C解析由a x>1知，a x>a0，当0<a<1时，x<0；当a>1时，x>0.故“a x>1”的充要条件为“(a－1)x>0”.例10.若函数f(x)＝ax2＋4x－3在[0，2]上有最大值f(2)，则实数a的取值范围为( )A.(－∞，－1]B.[－1，＋∞)C.(－∞，0)D.(0，＋∞)答案B例11.设函数f(x)＝x2－ax＋a＋3，g(x)＝ax－2a，若存在x0∈R，使得f(x0)<0和g(x0)<0同时成立，则实数a的取值范围为( )A.(7，＋∞)B.(－∞，－2)∪(6，＋∞)C.(－∞，－2)D.(－∞，－2)∪(7，＋∞)答案 A解析由f(x)＝x2－ax＋a＋3知，f(0)＝a＋3，f(1)＝4.又存在x0∈R，使得f(x0)<0，所以Δ＝a2－4(a＋3)>0，解得a<－2或a>6.又g(x)＝ax －2a 的图象恒过点(2，0)，故当a>6时，作出函数f(x)和g(x)的图象如图1所示，当a<－2时，作出函数f(x)和g(x)的图象如图2所示.由函数的图象知，当a>6时，若g(x 0)<0，则x 0<2，∴要使f(x 0)<0，则需⎩⎪⎨⎪⎧a>6，，解得a>7.当a<－2时，若g(x 0)<0，则x 0>2，此时函数f(x)＝x 2－ax ＋a ＋3的图象的对称轴x ＝a 2<－1，故函数f(x)在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，＋∞上为增函数，又f(1)＝4，∴f(x 0)<0不成立. 综上，实数a 的取值范围为(7，＋∞). 题型四、特殊与一般的转化一般问题特殊化，使问题处理变得直接、简单，也可以通过一般问题的特殊情形找到一般思路；特殊问题一般化，可以使我们从宏观整体的高度把握问题的一般规律，从而达到成批处理问题的效果；对于某些选择题、填空题，可以把题中变化的量用特殊值代替，得到问题答案或者思路.例1.据统计某超市两种蔬菜A ，B 连续n 天价格分别为a 1，a 2，a 3，…，a n 和b 1，b 2，b 3，…，b n ，令M ＝{m|a m ＜b m ，m ＝1，2，…，n}，若M 中元素个数大于34n ，则称蔬菜A 在这n 天的价格低于蔬菜B 的价格，记作：A＜B ，现有三种蔬菜A ，B ，C ，下列说法正确的是( ) A.若A ＜B ，B ＜C ，则A ＜CB.若A ＜B ，B ＜C 同时不成立，则A ＜C 不成立C.A ＜B ，B ＜A 可同时不成立D.A ＜B ，B ＜A 可同时成立答案 C解析特例法：例如蔬菜A 连续10天价格分别为1，2，3，4，…，10，蔬菜B 连续10天价格分别为10，9，…，1时，A ＜B ，B ＜A 同时不成立，故选C.例2.过抛物线y ＝ax 2(a>0)的焦点F ，作一直线交抛物线于P ，Q 两点.若线段PF 与FQ 的长度分别为p ，q ，则1p ＋1q 等于( ) A.2a B.12a C.4a D.4a答案 C解析抛物线y ＝ax 2(a>0)的标准方程为x 2＝1a y(a>0)，焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14a .过焦点F 作直线垂直于y 轴，则|PF|＝|QF|＝12a ，∴1p ＋1q＝4a.例3.已知函数f(x)＝(a －3)x －ax 3在[－1，1]上的最小值为－3，则实数a 的取值范围是( ) A.(－∞，－1] B.[12，＋∞)C.[－1，12]D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，12答案 D例4.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ，b ，c 成等差数列，则cos A ＋cos C1＋cos Acos C ＝________.答案 45解析令a ＝b ＝c ，则△ABC 为等边三角形，且cos A ＝cos C ＝12，代入所求式子，得cos A ＋cos C 1＋cos Acos C ＝12＋121＋12×12＝45.五、命题的等价转化将题目已知条件或结论进行转化，使深奥的问题浅显化、繁杂的问题简单化，让题目得以解决.一般包括数与形的转化，正与反的转化，常量与变量的转化，图形形体及位置的转化. 例5.由命题“存在x 0∈R，使0|1|ex -－m≤0”是假命题，得m 的取值范围是(－∞，a)，则实数a 的值是( )A.(－∞，1)B.(－∞，2)C.1D.2 答案 C解析命题“存在x 0∈R，使0|1|ex -－m≤0”是假命题，可知它的否定形式“任意x∈R，e |x －1|－m >0”是真命题，可得m 的取值范围是(－∞，1)，而(－∞，a)与(－∞，1)为同一区间，故a ＝1.例6.如图所示，已知三棱锥P －ABC ，PA ＝BC ＝234，PB ＝AC ＝10，PC ＝AB ＝241，则三棱锥P －ABC 的体积为( )A.40B.80C.160D.240 答案 C解析因为三棱锥P －ABC 的三组对棱两两相等，则可将此三棱锥放在一个特定的长方体中(如图所示)，把三棱锥P －ABC 补成一个长方体AEBG －FPDC ，可知三棱锥P －ABC 的各棱分别是此长方体的面对角线. 不妨令PE ＝x ，EB ＝y ，EA ＝z ，则由已知，可得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝100，x 2＋z 2＝136，y 2＋z 2＝164，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝8，z ＝10.从而知V P －ABC ＝V AEBG －FPDC －V P －AEB －V C －ABG －V B －PDC －V A －FPC ＝V AEBG －FPDC －4V P －AEB ＝6×8×10－4×16×6×8×10＝160.例7.对于满足0≤p≤4的所有实数p ，使不等式x 2＋px>4x ＋p －3成立的x 的取值范围是________________. 答案 (－∞，－1)∪(3，＋∞) 解析设f(p)＝(x －1)p ＋x 2－4x ＋3，则当x ＝1时，f(p)＝0，所以x≠1.f(p)在[0，4]上恒为正等价于⎩⎪⎨⎪⎧，，即⎩⎪⎨⎪⎧－－，x 2－1>0，解得x>3或x<－1.例8.如果实数x ，y 满足等式(x －2)2＋y 2＝1，那么y ＋3x －1的取值范围是________.答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫43，＋∞ 解析设k ＝y ＋3x －1，则y 表示点P(1，－3)和圆(x －2)2＋y 2＝1上的点的连线的斜率(如图).从图中可知，当过P 的直线与圆相切时斜率取最值，此时对应的直线斜率分别为k PB 和k PA ，其中k PB 不存在.由圆心C(2，0)到直线y ＝kx －(k ＋3)的距离|2k －＋k 2＋1＝r ＝1，解得k ＝43，所以y ＋3x －1的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫43，＋∞.题型六、函数、方程、不等式之间的转化函数、方程与不等式就像“一胞三兄弟”，解决方程、不等式的问题需要函数的帮助，解决函数的问题需要方程、不等式的协作.例9.已知函数f(x)＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a x －2，若对任意x∈[2，＋∞)，恒有f(x)>0，则实数a 的取值范围是________.答案 (2，＋∞)解析根据题意，得x ＋a x －2>1在[2，＋∞)上恒成立，即a>－x 2＋3x 在[2，＋∞)上恒成立，又当x ＝2时，(－x 2＋3x)max ＝2，所以a>2.例10.在平面直角坐标系xOy 中，A(－12，0)，B(0，6)，点P 在圆O ：x 2＋y 2＝50上，若PA →·PB →≤20，则点P 的横坐标的取值范围是________. 答案 [－52，1]解析方法一因为点P 在圆O ：x 2＋y 2＝50上，所以设P 点坐标为(x ，±50－x 2)(－52≤x≤52). 因为A(－12，0)，B(0，6)，所以PA →＝(－12－x ，－50－x 2)或PA →＝(－12－x ，50－x 2)， PB →＝(－x ，6－50－x 2)或PB →＝(－x ，6＋50－x 2). 因为PA →·PB →≤20，先取P(x ，50－x 2)进行计算，所以(－12－x)·(－x)＋(－50－x 2)(6－50－x 2)≤20，即2x ＋5≤50－x 2. 当2x ＋5<0，即x<－52时，上式恒成立.当2x ＋5≥0，即x≥－52时，(2x ＋5)2≤50－x 2，解得－52≤x≤1，故x≤1.同理可得P(x ，－50－x 2)时，x≤－5. 又－52≤x≤52，所以－52≤x≤1. 故点P 的横坐标的取值范围为[－52，1]. 方法二设P(x ，y)，则PA →＝(－12－x ，－y)，PB →＝(－x ，6－y). ∵PA →·PB →≤20，∴(－12－x)·(－x)＋(－y)·(6－y)≤20，即2x －y ＋5≤0.如图，作圆O ：x 2＋y 2＝50，直线2x －y ＋5＝0与⊙O 交于E ，F 两点，∵P 在圆O 上且满足2x －y ＋5≤0， ∴点P 在EDF 上.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝50，2x －y ＋5＝0得F 点的横坐标为1，又D 点的横坐标为－52，∴P 点的横坐标的取值范围为[－52，1].例11.已知函数f(x)＝x 3＋3ax －1，g(x)＝f′(x)－ax －5，其中f′(x)是f(x)的导函数.对满足－1≤a≤1的一切a 的值，都有g(x)<0，则实数x 的取值范围为________.例12.已知函数f(x)＝ln x.若不等式mf(x)≥a＋x 对所有m∈[0，1]，x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 2都成立，则实数a 的取值范围为________. 答案 (－∞，－e 2]解析由题意得，a≤mln x－x 对所有的m∈[0，1]，x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 2都成立，令H(m)＝ln x·m－x ，m∈[0，1]，x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 2是关于m 的一次函数，因为x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 2，所以－1≤ln x≤2，所以⎩⎪⎨⎪⎧ln x·0－x≥a，ln x·1－x≥a，所以⎩⎪⎨⎪⎧a≤－x ，a≤ln x－x ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a≤－e 2，－min.令g(x)＝ln x －x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ≤x≤e 2，所以g′(x)＝1－x x ，所以函数g(x)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，1上是增函数，在[1，e 2]上是减函数，所以g(x)min ＝g(e 2)＝2－e 2，所以a≤2－e 2. 综上知a≤－e 2.11。

2019高考数学二轮复习数学思想融会贯二、分类讨论思想课件理

y2 y1 kMA+kMB= + . x1 2 x2 2
由y1=kx1-k,y2=kx2-k得
2kx1 x2 3k ( x1 x2 ) 4k kMA+kMB= . ( x1 2)( x2 2) x2 2 将y=k(x-1)代入 +y =1得 2
(2k2+1)x2-4k2x+2k2-2=0,
①若a=0,则f(x)=e2x,在(-∞,+∞)上单调递增. ②若a>0,则由f '(x)=0得x=ln a. 当x∈(-∞,ln a)时, f '(x)<0; 当x∈(ln a,+∞)时, f '(x)>0. 故f(x)在(-∞,ln a)上单调递减,在(ln a,+∞)上单调递增.
a . ③若a<0,则由f '(x)=0得x=ln 2
∵0<B<π,0<C<π,∴C= -B或C= +B. 2 2 ①当C= -B时,由A=2B且A+B+C=π,得A= ,B=C= ,这与“b 2 2 4 ≠c”矛盾,∴A≠ ; 2 5 ②当C= +B时,由A=2B且A+B+C=π,得A= ,B= ,C= ,∴A= . 8 2 4 4 8
.
答案解析
4
若a>1,则a2=4,a-1=m,此时a=2,m= ,此时g(x)=- x 在[0,+∞)
1 2
1
上为减函数,不合题意.
若0<a<1,有a-1=4,a2=m,
故a= ,m= ,此时g(x)= x 在[0,+∞)上为增函数,符合题意. 综上可知,a= .

2019年高考数学考纲解读专题23分类讨论思想转化与化归思想热点难点突破文含解析

分类讨论思想、转化与化归思想1.如果a 1，a 2，…，a 8为各项都大于零的等差数列，公差d ≠0，那么( )A.a 1a 8>a 4a 5B.a 1a 8<a 4a 5C.a 1＋a 8>a 4＋a 5D.a 1a 8＝a 4a 5答案 B解析取特殊数列1，2，3，4，5，6，7，8，显然只有1×8<4×5成立，即a 1a 8<a 4a 5.2.设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 3x －1，x <1，2x ，x ≥1，则满足f (f (a ))＝2f (a )的a 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，1B.[0，1]C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞ D.[1，＋∞) 答案 C解析由f (f (a ))＝2f (a )得f (a )≥1.当a <1时，有3a －1≥1，∴a ≥23，∴23≤a <1；当a ≥1时，有2a ≥1，∴a ≥0，∴a ≥1.综上，a ≥23，故选C. 3.过双曲线x 2－y 22＝1的右焦点F 作直线l 交双曲线于A ，B 两点，若|AB |＝4，则这样的直线l 有( ) A.1条 B.2条 C.3条 D.4条4.已知数列{a n }的前n 项和S n ＝p n－1(p 是常数)，则数列{a n }是( )A.等差数列B.等比数列C.等差数列或等比数列D.以上都不对答案 D解析 ∵S n ＝p n －1，∴a 1＝p －1，a n ＝S n －S n －1＝(p －1)p n －1(n ≥2)，当p ≠1且p ≠0时，{a n }是等比数列；当p ＝1时，{a n }是等差数列；当p ＝0时，a 1＝－1，a n ＝0(n ≥2)，此时{a n }既不是等差数列也不是等比数列.5.如图，在棱长为5的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，EF 是棱AB 上的一条线段，且EF ＝2，点Q 是A 1D 1的中点，点P 是棱C 1D 1上的动点，则四面体PQEF 的体积( )A.是变量且有最大值B.是变量且有最小值C.是变量且有最大值和最小值D.是常数答案 D解析点Q 到棱AB 的距离为常数，所以△EFQ 的面积为定值.由C 1D 1∥EF ，C 1D 1⊄平面EFQ ，EF ⊂平面EFQ ，可得棱C 1D 1∥平面EFQ ，所以点P 到平面EFQ 的距离是常数，于是可得四面体PQEF 的体积为常数.6. 设点P (x ，y )满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －3≤0，x －y ＋1≥0，x ≥1，y ≥1，则y x －x y的取值范围是( ) A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞ B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，32 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1 D.[－1，1] 答案 B解析作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －3≤0，x －y ＋1≥0，x ≥1，y ≥1所表示的可行域，如图阴影部分所示(包括边界)，其中A (2，1)，B (1，2)，令t ＝y x ，f (t )＝t －1t ，根据t 的几何意义可知，t 为可行域内的点与坐标原点连线的斜率，连接OA ，OB ，显然OA 的斜率12最小，OB 的斜率2最大，即12≤t ≤2.由于函数f (t )＝t －1t 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上单调递增，故－32≤f (t )≤32，即y x －x y 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，32.7.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ ln x ，x ＞0，m x，x <0，若f (x )－f (－x )＝0有四个不同的实根，则m 的取值范围是( )A.(0，2e)B.(0，e)C.(0，1)D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e8.已知函数f (x )＝x (e x －e －x )－cos x 的定义域为[－3，3]，则不等式f (x 2＋1)>f (－2)的解集为( )A.[－2，－1]B.[－2，2]C.[－2，－1)∪(1，2]D.(－2，－1)∪(1，2)答案 C解析因为f (－x )＝－x (e －x －e x )－cos(－x )＝x (e x －e －x)－cos x ＝f (x )，所以函数f (x )为偶函数，令g (x )＝x ⎝⎛⎭⎪⎫e x －1e x ，易知g (x )在[0，3]上为增函数，令h (x )＝－cos x ，易知h (x )在[0，3]上为增函数，故函数f (x )＝x (e x －e －x )－cos x 在[0，3]上为增函数，所以f (x 2＋1)>f (－2)可变形为f (x 2＋1)>f (2)，所以2<x 2＋1≤3，解得－2≤x <－1或1<x ≤2，故不等式f (x 2＋1)>f (－2)的解集为[－2，－1)∪(1，2].9.已知函数f (x )＝a x ＋b (a >0，a ≠1)的定义域和值域都是[－1，0]，则a ＋b ＝________.答案－32解析当a >1时，函数f (x )＝a x ＋b 在[－1，0]上为增函数，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ a －1＋b ＝－1，a 0＋b ＝0，无解.当0<a <1时，函数f (x )＝a x ＋b 在[－1，0]上为减函数，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ a －1＋b ＝0，a 0＋b ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝12，b ＝－2，所以a ＋b ＝－32. 10.设F 1，F 2为椭圆x 29＋y 24＝1的两个焦点，P 为椭圆上一点.已知P ，F 1，F 2是一个直角三角形的三个顶点，且|PF 1|>|PF 2|，则|PF 1||PF 2|的值为________. 答案 72或2 解析若∠PF 2F 1＝90°，则|PF 1|2＝|PF 2|2＋|F 1F 2|2，又|PF 1|＋|PF 2|＝6，|F 1F 2|＝25，所以|PF 1|＝143，|PF 2|＝43，所以|PF 1||PF 2|＝72. 若∠F 1PF 2＝90°，则|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2，所以|PF 1|2＋(6－|PF 1|)2＝20，且|PF 1|>|PF 2|，所以|PF 1|＝4，|PF 2|＝2，所以|PF 1||PF 2|＝2. 综上知，|PF 1||PF 2|＝72或2. 11.已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，则|a ＋b |＋|a －b |的最小值是________，最大值是________. 答案 4 25解析设a ，b 的夹角为θ，∵|a |＝1，|b |＝2，∴|a ＋b |＋|a －b |＝a ＋b 2＋a －b 2＝5＋4cos θ＋5－4cos θ.令y ＝5＋4cos θ＋5－4cos θ，则y 2＝10＋225－16cos 2θ.∵θ∈[0，π]，∴cos 2θ∈[0，1]，∴y 2∈[16，20]，∴y ∈[4，25]，即|a ＋b |＋|a －b |∈[4，25].∴|a ＋b |＋|a －b |的最小值是4，最大值是2 5.12.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两个焦点分别为F 1，F 2，若椭圆上存在点P 使得∠F 1PF 2＝120°，则椭圆C 离心率的取值范围是______________. 答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，1 解析当点P 在短轴端点时，∠F 1PF 2达到最大值，即∠F 1BF 2≥120°时，椭圆上存在点P 使得∠F 1PF 2＝120°，当∠F 1BF 2＝120°时，e ＝c a ＝sin 60°＝32，而椭圆越扁，∠F 1BF 2才可能越大，椭圆越扁，则其离心率越接近1，所以椭圆C 离心率的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，1.。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

(2)由数学运算要求而引起的分类讨论：如除法运算中除数不为零，偶次方根被开方
数为非负数，对数运算中真数与底数的要求，指数运算中底数的要求，不等式中两边同乘以一个正数、负数，三角函数的定义域，等比数列{an}的前n项和公式等. (3)由性质、定理、公式的限制而引起的分类讨论：如函数的单调性、基本不等式等.
1 (2)由(1)知，当 a≤0 时，f(x)在(0，＋∞)上无最大值；当 a＞0 时，f(x)在 x＝a处取得最大值，最大值为
因此
1 fa＞2a－2
1 fa＝ln
1 1 1－＝－ln a＋a－1. ＋ a a a
等价于 ln a＋a－1＜0.令 g(a)＝ln a＋a－1，则 g(a)在(0，＋∞)上单调
答案
37 －，－5 3
探究提高
否定性命题，常要利用正反的相互转化，先从正面求解，再取正面答案
的补集即可，一般地，题目若出现多种成立的情形，且不成立的情形相对很少，从反面考虑较简单，因此，间接法多用于含有“至多”、“至少”及否定性命题情形的问题中.
7－1 3＋1 2 ＜x＜ 2 ，即实数 x 的取值范围
为
7－1 3＋1 . ， 2 2

答案
7－1 3＋1 2 ， 2
探究提高
在处理多变元的数学问题时，我们可以选取其中的参数，将其看作是“主
元”，而把其他变元看作是常量，从而达到减少变元、简化运算的目的.
若 a≤0，则 f′(x)＞0，所以 f(x)在(0，＋∞)上单调递增. 若 a＞0，则当所以
1 1 f(x)在0，a上单调递增，在a，＋∞上单调递减.
综上，知当 a≤0 时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增；
当 a＞0
1 1 时，f(x)在0，a上单调递增，在a，＋∞上单调递减.
3，n＝1， an＝ n－1 ，n≥2. 3
(2)当 a>0 时，1－a<1，1＋a>1，这时 f(1－a)＝2(1－a)＋a＝2－a，f(1＋a)＝－(1＋a) 3 －2a＝－1－3a.由 f(1－a)＝f(1＋a)得 2－a＝－1－3a，解得 a＝－，不合题意，舍去； 2 当 a<0 时，1－a>1，1＋a<1，这时 f(1－a)＝－(1－a)－2a＝－1－a，f(1＋a)＝2(1＋a) 3 3 ＋a＝2＋3a.由 f(1－a)＝f(1＋a)得－1－a＝2＋3a，解得 a＝－ .综上可知， a 的值为－ . 4 4
解析
3x＋ 3 3 3 3 3x f(x)＋f(1－x)＝ x ＋－＝＋＝＝1，∴f(0)＋f(1)＝ 3 ＋ 3 31 x＋ 3 3x＋ 3 3＋3x 3x＋ 3
1，f(－2 015)＋f(2 016)＝1，…，∴f(－2 015)＋f(－2 014)＋…＋f(0)＋f(1)＋…＋f(2 016) ＝2 016.
答案
3，n＝1， (1) n－1 ，n≥2 3
3 (2)－4
探究提高
由性质、定理、公式的限制引起的分类整合法往往是因为有的数学定理、
公式、性质是分类给出的，在不同的条件下结论不一致的情况下使用，如等比数列的
前n项和公式、函数的单调性等.
[应用2] 由数学运算要求引起的分类
【例1－2】 (1)不等式|x|＋|2x＋3|≥2的解集是________.
换获得转化途径.
(4)等价转化法：把原问题转化为一个易于解决的等价命题，达到化归的目的.
(5)特殊化方法：把原问题的形式向特殊化形式转化，并证明特殊化后的问题、结论适合原问题. (6)构造法：“构造”一个合适的数学模型，把问题变为易于解决的问题. (7)坐标法：以坐标系为工具，用计算方法解决几何问题是转化方法的一个重要途径. (8)类比法：运用类比推理，猜测问题的结论，易于确定. (9)参数法：引进参数，使原问题转化为熟悉的形式进行解决.
2
2 3)上恒成立，或②g′(x)≤0 在(t，3)上恒成立.由①得 3x ＋(m＋4)x－2≥0，即 m＋4≥x － 2 3x 在 x∈(t，3)上恒成立，∴m＋4≥ t －3t 恒成立，则 m＋4≥－1，即 m≥－5；由②得 2 2 37 m＋4≤x －3x 在 x∈(t，3)上恒成立，则 m＋4≤3－9，即 m≤－ 3 .∴函数 g(x)在区间(t， 37 3)上总不为单调函数的 m 的取值范围为－ 3 ＜m＜－5.
(2)已知m∈R，则函数f(x)＝(4－3m)x2－2x＋m在区间[0，1]上的最大值为________.
解析 3 x＜－， 2 (1) 原不等式可转化为或－x－（2x＋3）≥2， 3 － ≤x≤0， 2 或－x＋（2x＋3）≥2
x＞0，解得 x＋（2x＋3）≥2.
1 又它的对称轴方程 x＝＜0，所以函数 f(x)在[0，1]上是减函数，于是 f(x)max＝f(0) 4－3m 2 2－2m，m＜3，＝m.由①，②可知，这个函数的最大值为 f(x)max＝ m，m≥2. 3
5 (1)－∞，－3∪[－1，＋∞)
答案
2 2 － 2 m ， m ＜， 3 (2)f(x)max＝ m，m≥2 3
探究提高
由数学运算要求引起的分类整合法，常见的类型有除法运算中除数不为零，
偶次方根为非负，对数运算中真数与底数的要求，指数运算中底数的要求，不等式两边同乘以一个正数、负数问题，含有绝对值的不等式求解，三角函数的定义域等，根据相应问题中的条件对相应的参数、关系式等加以分类分析，进而分类求解与综合.
递增，g(1)＝0.
于是，当 0＜a＜1 时，g(a)＜0；当 a＞1 时，g(a)＞0.因此，a 的取值范围是(0，1).
探究提高
由参数的变化引起的分类整合法经常用于某些含有参数的问题，如含参数
的方程、不等式，由于参数的取值不同会导致所得结果不同，或对于不同的参数值要
运用不同的求解或证明方法.
热点二转化与化归思想
[应用1] 换元法【例 2 － 1 】已知实数 a ， b ， c 满足 a ＋ b ＋ c ＝ 0 ， a2 ＋ b2 ＋ c2 ＝ 1 ，则 a 的最大值是 ________.
解析
2
令 b＝x，c＝y，则 x＋y＝－a，x2＋y2＝1－a2.此时直线 x＋y＝－a 与圆 x2＋y2＝
|a| 2 6 2 2 1－a 有交点，则圆心到直线的距离 d＝ ≤ 1－a ，解得 a ≤3，所以 a 的最大值为 3 . 2
(10)补集法：如果正面解决原问题有困难，可把原问题的结果看作集合A，而把包含该
问题的整体问题的结果类比为全集 U，通过解决全集U及补集∁UA获得原问题的解决，体现了正难则反的原则.
热点一 [应用 1]
分类讨论思想的应用由性质、定理、公式的限制引起的分类
【例 1－1】 (1)设数列{an}的前 n 项和为 Sn，已知 2Sn＝3n＋3，则数列{an}的通项 an＝ ________. (2) 已知实数 a≠0 ，函数 ________.
答案 6 3
探究提高
换元法是一种变量代换，也是一种特殊的转化与化归方法，是用一种变数
形式去取代另一种变数形式，是将生疏(或复杂)的式子(或数)，用熟悉(或简单)的式子 (或字母)进行替换；化生疏为熟悉、复杂为简单、抽象为具体，使运算或推理可以顺利进行.
[应用 2]
特殊与一般的转化
3 【例 2－2】已知 f(x)＝ x ，则 f(－2 015)＋f(－2 014)＋…＋f(0)＋f(1)＋…＋f(2 016) 3＋ 3 ＝________.
解析对任意的|m|≤2，有 mx2－2x＋1－m＜0 恒成立，即|m|≤2 时，(x2－1)m－2x＋1
＜0 恒成立.设 g(m)＝(x2－1)m－2x＋1，则原问题转化为 g(m)＜0 恒成立(m∈[－2，2]).
2 g （－ 2 ）＜ 0 ， 2 x ＋2x－3＞0，所以即 2 解得 g（2）＜0， 2x －2x－1＜0.
பைடு நூலகம்
5 5 x≤－或－1≤x≤0 或 x＞0，故原不等式的解集为－∞，－3 3
∪[－1，＋∞).
4 4 (2)①当 4－3m＝0，即 m＝时，函数 f(x)＝－2x＋，它在[0，1]上是减函数，所以 f(x)max 3 3 4 4 4 ＝f(0)＝3.②当 4－3m≠0, 即 m≠3时，f(x)是二次函数.当 4－3m＞0，即 m＜3时，二次 1 函数 f(x)的图象开口向上，对称轴方程 x＝＞0，它在[0，1]上的最大值只能在区间 4－3m 端点取得(由于此处不涉及最小值，故不需讨论区间与对称轴的关系).f(0)＝m，f(1)＝2－ 4 2 4 4 2m，当 m≥2－2m，又 m＜3，即3≤m＜3时，f(x)max＝m.当 m＜2－2m，又 m＜3，即 m 2 4 ＜3时，f(x)max＝2(1－m).当 4－3m＜0，即 m＞3时，二次函数 f(x)的图象开口向下，
答案 2 016
探究提高
一般问题特殊化，使问题处理变得直接、简单.特殊问题一般化，可以使我
们从宏观整体的高度把握问题的一般规律，从而达到成批处理问题的效果.
[应用3] 常量与变量的转化【例 2 － 3 】对任意的 |m|≤2 ，函数 f(x) ＝ mx2 － 2x ＋ 1 － m 恒为负，则 x 的取值范围为 ________.
第2讲
分类讨论思想、转化与化归思想
高考定位
分类讨论思想、转化与化归思想近几年高考每年必考，一般体现在解析
几何、函数与导数及数列解答题中，难度较大.
真题感悟 1.中学数学中可能引起分类讨论的因素 (1)由数学概念而引起的分类讨论：如绝对值的定义、不等式的定义、二次函数的定义、直线的倾斜角等.