2019届高考理科数学第一轮总复习检测28
2019届一诊理科数学试题(定稿)
[机密 ]2019 年1月 25日前高 2019 届学业质量调研抽测（第一次）理科数学试题卷理科数学试题卷共6 页，考试时间 120 分钟，满分 150 分 .注意事项：1．答题前，考生务势必自己的姓名、准考据号填写在答题卡上 .2．作答时，务势必答案写在答题卡上，写在本试卷及底稿纸上无效 .3．考试结束后，将本试卷、答题卡一并回收.一、选择题：本大题共12 小题，每题 5 分，共 60 分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的.1. 已知会合 A ={ 1， 2 ， m } ， B ={ 3 ， 4 } ，若 A ∪ B ={ 1， 2 ， 3， 4 } ，则实数 m 为A. 1或 2B. 2 或 3C. 1或3 D. 3 或4 2. 命题 p : (2x)( x 1) 0 ；命题 q ： 0 x 1．则命题 p 成立是命题 q 成立的A ．必需不充足条件B ．充足不用要条件C ．充足必需条件D．既不充足也不用要条件3. 已知 15sincos(2) ，则 tan 2 =A ．15 B．15 ．15 157C8D ．784. 甲、乙、丙、丁四位同学参加奥赛， 此中只有一位获奖， 有人走访了四位同学， 甲说： “是乙或丙获奖． ”乙说： “甲、 丙都未获奖． ”丙说： “我获奖了 . ” 丁说： “是乙获奖． ”已知四位同学的话只有一句是对的，则获奖的同学是A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁5. 下表是我国某城市在 2018 年 1 月份至 10 月份各月最低温与最高温（° C ）的数据表．月份 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 最高温5 9 9 11 17 24 27 30 31 21 最低温-12-31-271719232510理科数学试题 第 1 页（共 6页）已知该城市的各月最低温与最高温拥有有关关系，依据该表，则以下结论错误的选项是A．最低温与最高温为正有关B．每个月最高温与最低温的均匀值在前8 个月逐月增添开始a 2, t0t t aC．月温差（最高温减最低温）的最大值出此刻 1 月D．1 至 4 月的月温差（最高温减最低温）相对于7 至 10 月，颠簸性更大a1 6.如下图的程序框图，运转程序后，输出的a 的值为1 aA．1B．3C．4D．7t 3是347117.《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目：把 120 个面包分给 5 个人，使每人所得成等差数列，且使许多的三份之和的1是较少的两份之和，则最少的一份面包个数为7A .2B .11C . 13D .468. 从 6 种不一样的颜色中选出一些颜色给如下图的 4 个格子涂色，每个格子涂一种颜色，且相邻的两个格子颜色不一样，则不一样的涂色方法有否输出a结束第 6 题图A．360种B．种C．种D．750种第 8 题图5106309.将函数f()2sin2x2cos 2x的图象向左平移个单位，获得 y g( x) 的图象，x66则以下说法正确的选项是．函数 g (x) 的最小正周期为2B．函数 g( x) 的最小值为1ACg (x) 的图象对于x对称D．函数 g( x)在2,上单一递减．函数6310. 已知函数f ( x)2x log 32x，若不等式 f (1) 3 成立，则实数m 的取值范围是2x m A．1,B．,1C． (0, 1)D． (1,1) 2211.已知抛物线C y22 px 的焦点F与双曲线4x24 y21的右焦点同样，过点 F 分别：3理科数学试题第 2 页（共 6页）作两条直线 l 1 ， l 2 ，直线 l 1 与抛物线 C 交于 A ， B 两点，直线 l 2 与抛物线 C 交于 D ， E两点，若 l 1 与 l 2 的斜率的平方和为 1，则 | AB |+| DE | 的最小值为A ． 16B． 20C ． 24D． 3212. 如图，四边形 OABC 是边长为 1的正方形，OD 3 ，点 P 为 BCD 内（含界限）的动点，设 OPOCOD( ,R) ，则的最大值是54A ． 1B．9CB420PC ．3D． 17460OA第 12 题图D二、填空题：此题共4 个小题，每题5 分，共 20 分．把答案填写在答题卡相应地点上．13. 已知复数 z 1 1 2i ， z 1 z 2 2 i ，则 z 1 z 2 __________．14. 在1 ) 9 （用数字作答）．（ xx 2 的睁开式中，常数项是15. 若直线 l ：y kx2 2与曲线 C ：3 2 225 交于 A ,B两点，则（x 2） （ y 3 2）AB 的最小值为．16. 已知函数 yf ( x) 和 y g( x) 的图象对于 y 轴对称，当函数 y f (x) 和 y g( x) 在区间 [ a ，b ] 上同时递加或许同时递减时， 把区间 [ a ，b ] 叫做函数 y f ( x) 的“不动区间” . 若区间 [ 1， 2 ] 为函数 f (x) 2x t 的“不动区间”，则实数t 的取值范围是．理科数学试题 第 3 页（共 6页）三、解答题：共70 分.解答时应写出必需的文字说明、演算步骤或推理过程.并答在答题卡相应的地点上．第17 题第21题为必考题，每个试题考生都一定做答.第 22 题第 23 题为选考题，考生依据要求作答.（一）必考题：共60 分.17． ( 本小题满分12 分）已知数列 { a} 的前n 项和为 S，n 1．S n22n n（Ⅰ）求数列 { a n } 的通项公式；（Ⅱ）令 b n(3n 1)a n，设数列 { b n } 的前 n 项和为 T n，求 T n.18． ( 本小题满分12 分）自来水企业对某镇居民用水状况进行检查，从该镇居民中随机抽取50户作为样本，得到他们 10月份的用水量（单位：吨），用水量分组区间为[5 ， 15]，（ 15， 25] ，（ 25，35] ，（ 35， 45] ，由此获得样本的用水量频次散布直方图（如图）．（Ⅰ）求 a 的值，并依据样本数据，试预计该镇居民10 月份用水量的众数与均匀值；（Ⅱ）以样本的频次作为概率，从该镇居民中随机抽取3户，此中10 月份用水量在[5 ，15] 内的用户数为X ，求 X 的散布列和数学希望．频次组距a0 515253545用水量（吨）第18 题图理科数学试题第 4 页（共 6页）19．( 本小题满分 12 分）如下图，一公园有一块三角形空地ABO ，此中 OA= 3km, OB = 3 3km,? AOB 90o ．公园管理方拟在中间开挖一个三角形人工O湖 OMN ，此中 M , N 在边 AB 上（ M , N 不与 A, B 重合，M 在 A, N 之间）， 且 ? MON30o ．B（Ⅰ）若 M 在距离 A 点 1km 处，求 OM 的长； AM N第 19 题图（Ⅱ）为节俭投入资本，三角形人工湖OMN 的面积要尽可能小．设 ? AOMq ， 试确立 q 的大小，使 VOMN 的面积最小．20． ( 本小题满分12 分）如图，已知椭圆 C ：x 2y 2 1 ，其左右焦点为 F 1( 2,0) 及 F 2 (2,0) ，过点 F 1 的直线交a 2b 2椭圆 C 于 A , B 两点，线段 AB 的中点为 G ，AB 的中垂线与 x 轴和 y 轴分别交于 D ，E两点，且 | AF 1 | 、 | F 1F 2 | 、 |AF 2 | 组成等差数列．yy（Ⅰ）求椭圆 C 的方程；AGF 1DG1 ，△ OED （ O 为原点）的面积D O（Ⅱ）记△的面积为 SxF 2F 1为 S 2 ．试问：能否存在直线AB ，使得 S 1BEyS 2 ？请说明第 20 题图原因．21． ( 本小题满分 12 分）已知 a R ，函数 f ( x) ln( x 1) x 2ax 2 ．（Ⅰ）若函数 f ( x) 在 [ 2,) 上为减函数，务实数a 的取值范围；理科数学试题 第 5 页（共 6页）（Ⅱ）设正实数m m m1 m21，求证：对 ( 1,) 上的随意两个实数x1x2 1、 2 知足、，总有 f (m1 x1m2 x2 )m1 f (x1 )m2 f ( x2 ) 成立．( 二）选考题：共10 分.请考生在第22 、23题中任选一题作答.如多做，则按所做的第一题计分 .22. 【选修 4-4 ：坐标系与参数方程】( 本小题满分10 分）在直角坐标系 xoy 中，直线l的参数方程为x 1 t(t为参数）O为极点，at，以坐标原点y4x 轴正半轴为极轴成立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为24sin 5 0.（ I ）若点P的极坐标为1，，且点 P 在直线l上，求直线l 的直角坐标方程；（ II ）若直线l与曲线C交于A, B两点，当AB最小时，求直线l的极坐标方程.23.【选修 4-5 ：不等式选讲】 ( 本小题满分 10 分）已知函数 f ( x) x 21x 1 ．2（ I ）求函数f (x)的图象与x轴所围成的三角形的面积；（II ）设函数f ( x)的最小值为M，若对于x的不等式x2x 2m M 有实数解，务实数m 的取值范围．高2019 届学业质量调研抽测（第一次）理科数学参照答案及评分建议一、选择题：1-5 DABDB 6-10 CADCD 11-12CD二、填空题：13．3 i，， 15 ．2 5 ，16．[ 2,1 ]．2三、解答题：理科数学试题第 6 页（共 6页）17．解： (I)当 n 2 时，利用公式 a n S n S n1，可得 a n2n，.................4分考证当 n 1 时是合适的，即a nnn N*）（..........................5分2；（ II) T n b1 b2b3... b n22522823...(3n 1)2n,①2T n222523824...(3n1)2n +1, ② (7)分① - ②得：T n4322323 ...32 n(3 n1)2 n 1...........9分4 34(12n 1 )(3 n1)2n 18 (3n4)2n 1，12T n8 (3n4)2 n 1............................................12分18. 解：（ I ）由题意得，（0.02+0.032+ a +0.018 ）× 10=1，解得a =0.03 ； ........2分由最高矩形中点的横坐标为20，可预计该镇居民10 月份用水量的众数约为20吨； .......................................................4 分50 户居民 10 月份用水量的均匀值为：x=0.2 ×10+0.32 × 20+0.3 × 30+0.18 × 40=24.6 （吨），故预计该镇居民10 月份每户用水量的均匀值约为吨． .. ............6 分（Ⅱ）利用样本预计整体，该镇居民10 月份用水量在 [5 ， 15]内的概率为 0.2,则 X ～ B （3，1），X=0，1，2，3；50436*******；P（ X 0) =C（）=；P（ X 1)=C（）=35355125125=C241212； P（ X3)313=1．.............10分P（ X 2)（5）=125= C（5）125 353∴ X 的散布列为：X0123 P6448121 125125125125理科数学试题第 7 页（共 6页）E（ X）644821213．.................12分013125512512512519. 解：（Ⅰ）在V ABO中，OA= 3，OB = 3 3，? AOB90o，? OAB60 o，.................................................2分在 VOAM中，由余弦定理得： OM 2 = AO 2 + AM 2 -2AO ?AM cos A 7 ，OM =7 ，..................................................5分（Ⅱ） ? AOM q,0o < q <60o，在 VOAM 中，由OM=OA，得 OM =33，sin 行OAB sin OMA2sin(q + 60o )在 VOAN 中，由ON=OA，得 ON 3 3 3 3，sin 行OAB sin ONA2sin(90 )2cos (8)分S =1OM 仔ONsin MON =1? 3 3 3 31V OMN2 2 2sin(60 )2cos2＝27＝2760 )cos cos8 3cos216sin(8sin＝2743cos2 4 34sin 2＝27,060．......................11分60 )438sin(2当 26090 ，即15时，27取最小值．60 )48sin(23应设计 ? AOM15o，可使 VOMN 的面积最小．..................12分20．解：（ I ）|AF1|、|F1F2|、|AF2|组成等差数列，y2 a =| AF1 |+|AF2|=2|F1F2|=8，Ay a=4．....2分GD O又由于 c=2，因此b2=12， .....................3分F1F2xB E y理科数学试题第 8 页（共 6页）椭圆 C 的方程为x 2 y 2分161 ． (4)12（ II ）假定存在直线 AB ，使得 SS ，明显直线 AB 不可以与x ， y 轴垂直．设 AB 方12程为 yk( x 2) , (5)分将其代入 x2y 21，整理得 （4k 23）x 2 16k 2 x 16k 248 0 , (6)分16 12设 A,)B16k 2（ x 1 y 1x 1 x 2,， （ x 2 , y 2 ) ， 3 4k 2点 G 的横坐标为x 1 x 28k22，G8k22，6k2 )． (8)分23 4k（4k 4k3 3DG ⊥ AB ，6k2k 22k 23 4k 2 k1，解得 x D，即 D （ ， 0） ,8k 23 4k 2 4k 2x D33 4k2∵ Rt △ GDF 1 和 Rt △ ODE 相像，∴若 S 1S 2 ，则 | GD |=| OD |, (10)分8k 22k 2 2 ) 2(6k )22k 2 2 ，整理得 8 k 2（34k 234k4k 2 3 4k +9=0．3方程 8 k 2 +9=0 无解， 不存在直线 AB ，使得 S 1S 2 ． (12)分21． 解：（ I ）f ' (x)12xa， (1)分x 1函数 f ( x) 在 [ 2,) 上为减函数，即 f ' ( x)12x a 0在 [ 2,) 上恒成立，x11也即 a2x在 [2, ) 上恒成立， (3)分x 1令 h( x)2x1 ，则 h( x) 在 [ 2, ) 上为增函数， h(x)min = h(2) = 11 ，11x 1 3a分3 ； (5)理科数学试题 第 9 页（共 6页）（ II ）设1x1x2，令 F（x) f (m1 x m2 x2 ) m1 f(x) m2 f (x2 ) ，x （ 1, x2 ] ，则)0 ，（），F ' x) m1 f '( m1x m2 x2 ) m1 f '( x)m（1f '(m1x m2 x2 ) f '( x)F（ x2m1 x m2 x2x x(m11)m2 x2m2 x m2 x2m2 ( x2x)0 ，m1x m2 x2x ， (7)分又 f '( x)12x a ，1，x 1 f ''( x)( x 1)22 0f ' (x) 在 ( 1,) 上是减函数， f ' (m1x m2 x2 ) f ' (x) ，m（f '( m x m x) f '( x)） 0（0 ，......................9分11 2 2，即 F ' x)F（ x) （1, x2]上是减函数，F（ x) F ( x2 ) 0，在F（ x)0 ，f ( m1x m2x2) m1f ( x) m2f ( x2) 0，...........................11分x （ 1, x2 ] ，有 f (m1x m2 x2 )m1 f (x)m2 f ( x2 ) ，又1x1x2，f (m1 x1m2x2) m1f ( x1) m2f ( x2).................................12分22．解：（I）由x1t(t为参数）l 的直角坐标方程为：y4a( x 1),..2分得，直线y4at由 P 的极坐标为1，得： P 的直角坐标为1，0 ............................3分,又点 P 在直线上，代入得a2，...............................................4分∴直线 l 的直角坐标方程为：y2x 2 .......................................5分（ II ）由24sin50 得曲线C 的直角坐标方程为：x2y 2 4 y50 ,即：x2( y 2)29. ..........................................................6分理科数学试题第 10 页（共 6页）∴曲线 C 的圆心为 M (0,2) ，半径 r 3. ............................................. 7 分 ∵直线 l ： y 4 a( x 1) 过定点 N (1,4) ，且该点在圆 C 内 ,..........................8 分 ∴直线 l 与圆 C 交于 A, B 两点，当 AB 最小时 , 有 l MN , k l k MN 1,...............9 分 k l 1 0 1 直线 l 的直角坐标方程 y 4 1 ( x 1) 4 2 2 , 2 , 化为极坐标方程为： cos2 sin 9 0 . (10)分 23. 解：（ I ）原函数可化为：1 x 3(x 2) 2f ( x) 31( 2 x 2) , (3)x 分 2 1 x 3( x 2) 2 函数 f ( x) 的图象与 x 轴所围成的三角形三极点坐标分别为： ( 6,0),( 2, 2),( 2 ,0) 3,∴此三角形面积 S 12 6) 165分 ( 3 2.................................. 2 3 . （ II ）由（ I ）知函数 f ( x) 的最小值 M = f ( 2) 2 , (6)分 ? 对于 x 的不等式 x 2 x 2m M 有实数解即 x 2 x 2m 2 有实数解， 即 2m x 2 x 2 有实数解 , .................................................8 分 令 h(x) x 2 x 2 , 当 x 1 时， h(x)min ( 1 ) 2 1 2 7 2 2 2 4 ,2m 7 , 即 m 7 . ........................................................ 10 分 4 8理科数学试题 第 11 页（共 6页）理科数学试题第 12 页（共 6页）。
新版精编2019年高考数学第一轮复习完整版考核题库(含参考答案)
2019年高考数学第一轮复习模拟测试题学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________一、选择题1．设三棱柱ABC-A 1B 1C 1的体积为V ，P 、Q 分别是侧棱AA 1、CC 1上的点，且PA=QC 1，则四棱锥B-APQC 的体积为（ ）（A ）16V （B ）14V （C ）13V （D ）12V (2005全国3文)2．（2010湖北文9）若直线y x b =+与曲线3y =b 的取值范围是（ ）A.[1-1+B.[1,3]C.[-1,1+D.[1-3．已知函数f (x)=1-xe ,g(x)=.342-+-x x 若有f(a)=g(b)，则b 的取值范围为（ ） （A ）．]22,22[+- （B ）．)22,22(+- （C ）．[1，3]（D ）．(1,3) （2011湖南文8）4．[ ]． A ．1001 B ．1000C ．999D ．998二、填空题5．若两个球的表面积之差为48π，它们的大圆周长之和为12π，则这两个球的半径之差为____________6．向量OA =（1，2），OB = (2，-1），OC =（1+m ，3），若点A 、B 、C 三点共线，则实数m 应满足的条件为 ．7．利用简单随机抽样的方法，从n 个个体中（n ＞13）中抽取13个个体，若第二次抽取时，余下的每个个体被抽到的概率为13，则在整个抽样过程中，每个个体被抽到的概率为_____． 〖解〗3713 8．函数cos sin y x x x =-在3,22ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦的最小值为 .9．计算：2(1)i i +=______10．程序如下：t ←1i ←2While i ≤4t ←t ×ii ←i ＋1End While Print t以上程序输出的结果是 ．11．一个靶子上有10个同心圆，半径依次为1、2、……、10，击中由内至外的区域的成绩依次为10、9、……、1环，则不考虑技术因素，射击一次,在有成绩的情况下成绩为10环的概率为 .12．如果圆x 2＋y 2－4x －4y －10＝0上至少有三点到直线ax ＋by ＝0的距离为22，那么直线ax ＋by ＝0斜率的取值范围为________．解析：由题知圆心的坐标为(2,2)且圆上至少有三点到直线ax ＋by ＝0的距离为22，则 有|2a ＋2b |a 2＋b 2≤2⇒a 2＋b 2＋4ab ≤0⇒－2－3≤a b ≤－2＋3，即2－3≤－a b ≤2＋ 3.13．已知等差数列{}{}34,81n n n n n n n a b n T T n +=-S ，的前项和分别为S 和且则88ab = 14．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线22214x y m m -=+，则m 的值为▲ ．15．在等比数列}{n a 中，若b a a a a a a =+>=+2019109),0(，则10099a a +=_______16．设集合2{3,log },{,}P a Q a b ==，若{0}P Q =，则PQ = ．17．设{}{}2,3A X X B X X ==＜＜＜＜︱-1︱1，则AB = .18．汽车轮胎的磨损与汽车行驶的距离成正比，已知某品牌的前轮轮胎可行驶的里程为m 千米，后轮轮胎可行驶n 千米，m n <．若在行驶一定的里程之后，将前后的两对轮胎互换，则可增加行驶的里程数，那么一套新的轮胎最多可以保证行驶的里程是 千米．19．等差数列{}n a 的前3项和为21，其前6项和为24，则其首项1a 为 20．已知函数()x f 的定义域为[0，1]，值域为[1，2]，则函数()2+x f 的定义域和值域分别是21．若二项式7()+x a 展开式中，5x 项的系数是7，则)(lim 242nn a a a +++∞→ = .22．命题：2,10x R x x ∃∈++≤的否定是 ▲ ．23．已知：如图，∠ACB ＝∠DBC ，要使△ABC ≌△DCB ，只需增加的一个条件是_____________________________（只需填写一个你认为适合的条件）.24．函数y =的定义域为 .25．设n S 是公差不为零的等差数列{}n a 的前ｎ项和，若137920,,,a a a a =且成等比数列，则10S = ▲ ．26．数列{}n a 前n 项和为n S ，已知113a =，且对任意正整数,m n ，都有m n m n a a a +=⋅，若n S a <恒成立则实数a 的最小值为 1227． 已知如图所示的程序框图(未完成)，设当箭头a 指向①时，输出的结果为S ＝m ，当箭头a 指向②时，输出的结果为S ＝n ，则m ＋n 的值为28．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且。
2019届高三一轮复习第一阶段测评考试数学(理)试题(PDF版)
１ 已知 ｆ （ ） 是定义在（ ， 上的可导函数， （ ） （ ） 是ｆ （ ） 的导函数， 且 ｆ （ ） 恒成立， 则 １ ０ ． ｘ ０ ＋ɕ） ｆ ᶄ ᶄ ｘ ＋ｆ ｘ ｘ ｘ ｌ ｎ ｘ ＞ ０ ｘ 下列不等式恒成立的是 （ ） １ １ （ ） （ ） （ ） （ ） ＞ ０ Ｄ ． ｆ ｘ ＋ｆ ＜ ０ Ａ ． ｆ ｘ ＞ｘ Ｂ ． ｆ ｘ ＜ ０ Ｃ ． ｆ ｘ ＋ｆ ｘ ｘ 已知定义在 Ｒ上的函数 ｆ （ ） 满足 ｆ （ ） （ ） ， 且ｆ （ ） ·ｆ （ ） ， 若ｆ （ ） （ ） １ １ ． ｘ ｘ ＋ｆ －ｘ ＝ａ ２ ｘ ２ ｘ ＋ ４ ＝－ １ ２ ０ １ ６ ＋ｆ ２ ０ １ ７ ＝ ， 且ｆ （ ） ， 则ａ （ ） － １ － １ ＝ １ ＝ Ａ ． － ３ Ｂ ． － ２ Ｃ ． ０ Ｄ ． ２ ｘ ２ （ ） （ ） 的图象恒在 ｘ 轴的上方， 则实数 ａ的取值范围是 （ ） 已知函数 ｆ （ ） ｘ － １ －ｘ ＋ａ ＋ １ ｘ ＞ ０ １ ２ ． ｘ ＝ｅ ２ ２ （ （ ）－ ］ ［ （ ）， Ａ ． －ɕ， ｌ ｎ ２ ＋ɕ） １ Ｂ ． ｌ ｎ ２ ＋ １ ２ ２ ， （ （ ） （ （ ） ， ＋ １ ＋ɕ） Ｄ ． ｌ ｎ ２ － １ Ｃ ． ｌ ｎ ２ ＋ɕ）
{
}
（
）
１ { ２} Ｃ ． { ｘ －２＜ｘ＜１ ２}
下列函数中， 既是偶函数， 又在（ ， 上单调递减的是 ３ ． ０ ＋ɕ）
ｘ （ ） Ａ ． ｆ ｘ ＝ｅ － １
（ ） Ｂ ． ｆ ｘ ＝ｘ ＋ １ （ ） Ｄ ． ｆ ｘ ＝ ２ ｘ
（ ） Ｃ ． ｆ ｘ ＝ｌ ｇ ｜ ｘ ｜ ４ 曲线 ｙ 在ｘ 处的切线的斜率为 ４ ． ＝ｘ ＋ ４ ｓ ｉ ｎ ｘ ＝π ３ Ａ ． － ２ 下列说法不正确的是 ５ ． Ｂ ． － １
2019届高三数学一轮复习第一次检测考试试题 理(含解析)
亲爱的同学：这份试卷将再次记录你的自信、沉着、智慧和收获，我们一直投给你信任的目光……2019高三一轮复习第一次检测考试数学（理科）试题一、选择题(共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1.已知集合A={x∈N|x2+2x﹣3≤0}，则集合A的真子集个数为（）A. 3B. 4C. 31D. 32【答案】A【解析】【分析】求出集合，由此能求出集合A的真子集的个数．【详解】由题集合，∴集合A的真子集个数为．故选：A．【点睛】本题考查集合真子集的个数的求法，考查真子集等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．2.命题：“，”的否定为A. ,B. ,C. ,D. ,【答案】C【解析】特称命题的否定是全称命题，特称命题“”的否定为全称命题：，故选C.3.若，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：先对两边取对数，求出的值，再根据对数的换底公式和运算性质计算，即可求出答案.详解：，，故选B.点睛：本题考查指对互化，对数的换底公式和运算性质，属于基础题.4.设，则等于（）A. B. C. 1 D.【答案】D【解析】【分析】原积分化为根据定积分的计算法则计算即可【详解】由题故选：D．【点睛】本题考查了定积分的计算，关键是求出原函数，属于基础题，5.已知曲线f(x)=lnx+在点（1，f（1））处的切线的倾斜角为，则a的值为（）A. 1B. ﹣4C. ﹣D. ﹣1【答案】D【解析】分析：求导，利用函数f（x）在x=1处的倾斜角为得f′（1）=﹣1，由此可求a的值.详解: 函数（x＞0）的导数，∵函数f（x）在x=1处的倾斜角为∴f′（1）=﹣1，∴1+=﹣1，∴a=﹣1．故选：D．点睛：求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点及斜率，其求法为：设是曲线上的一点，则以的切点的切线方程为：．若曲线在点的切线平行于轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为．6.已知偶函数f（x）在[0，+∞）单调递增，若f（2）=﹣2，则满足f（x﹣1）≥﹣2的x的取值范围是（）A. （﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）B. （﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）C. [﹣1，﹣3]D. （﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）【答案】B【解析】【分析】根据题意，结合函数的奇偶性与单调性分析可得若，即有，可得，解可得的取值范围，即可得答案．【详解】根据题意，偶函数在单调递增，且，可得，若，即有，可得，解可得：即的取值范围是；故选：B．【点睛】本题考查函数的单调性与奇偶性的综合应用，关键是利用函数的奇偶性与单调性转化原不等式．7.已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+2）=﹣f（x），若f（﹣1）＞﹣2，f（﹣7）=，则实数a的取值范围为（）A. B. （﹣2，1） C. D.【答案】C【解析】【分析】由是定义在上的奇函数，且满足，求出函数的周期，由此能求出实数的取值范围．【详解】∵是定义在上的奇函数，且满足，，函数的周期为4，则又，即，即解得故选C．【点睛】本题考查函数的周期性和奇偶性的应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．8.若函数f（x）=a x﹣a﹣x（a＞0且a≠1）在R上为减函数，则函数y=log a（|x|﹣1）的图象可以是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由函数在上为减函数，由此求得的范围，结合的解析式．再根据对数函数的图象特征，得出结论．【详解】由函数在上为减函数，故．函数是偶函数，定义域为函数的图象，时是把函数的图象向右平移1个单位得到的，故选：C．【点睛】本题主要考查函数的奇偶性和单调性的应用，对数函数的图象特征，函数图象的平移规律，属于中档题．9.已知函数f（x）是定义域为R的周期为3的奇函数，且当x∈（0，1.5）时f（x）=ln（x2﹣x+1），则方程f（x）= 0在区间[0，6]上的解的个数是（）A. 5B. 7C. 9D. 11【答案】C【解析】【分析】要求方程在区间上的解的个数，根据函数是定义域为的周期为3的奇函数，且当时，可得一个周期内函数零点的个数，根据周期性进行分析不难得到结论．【详解】∵时，令，则，解得，又∵是定义域为的的奇函数，∴在区间上，，又∵函数是周期为3的周期函数则方程在区间的解有0，1，1.5，2，3，4，4.5，5，6共9个故选：D．【点睛】本题考查函数零点个数的判断，考查函数的奇偶性，周期性的应用，属中档题. 10.点P在边长为1的正方形ABCD的边上运动，M是CD的中点，则当P沿A﹣B﹣C﹣M运动时，点P经过的路程x与△APM的面积y的函数y=f（x）的图象的形状大致是图中的（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】随着点P的位置的不同，讨论三种情形即在AB上，在BC上，以及在CM上分别建立面积的函数，分段画出图象即可．【详解】根据题意得，分段函数图象分段画即可，故选：A．【点睛】本题主要考查了分段函数的图象，分段函数问题，应切实理解分段函数的含义，把握分段解决的策略．11.对于任意x∈R，函数f（x）满足f（2﹣x）=﹣f（x），且当x≥1时，函数f（x）=lnx，若a=f（2﹣0.3），b=f（log3π），c=f（﹣）则a，b，c大小关系是（）A. b＞a＞cB. b＞c＞aC. c＞a＞bD. c＞b＞a【答案】A【解析】【分析】由判断函数关于点对称，根据时是单调增函数，判断在定义域上单调递增；再由自变量的大小判断函数值的大小．【详解】对于任意函数满足，∴函数关于点对称，当时，是单调增函数，∴在定义域上是单调增函数；由∴∴b＞a＞c．故选：A．【点睛】本题主要考查了与函数有关的命题真假判断问题，涉及函数的单调性与对称性问题，是中档题．12.设函数f'（x）是函数f（x）（x∈R）的导函数，已知f'（x）＜f（x），且f'（x）=f'（4﹣x），f（4）=0，f（2）=1，则使得f（x）﹣2e x＜0成立的x的取值范围是（）A. （﹣2，+∞） B. （0，+∞） C. （1，+∞） D. （4，+∞）【答案】B【解析】【分析】构造函数，利用的导数判断函数的单调性，求出不等式的解集即可．【详解】设则即函数在上单调递减，因为，即导函数关于直线对称，所以函数是中心对称图形，且对称中心，由于，即函数过点，其关于点（的对称点（也在函数上，所以有，所以而不等式即即所以故使得不等式成立的的取值范围是故选：B．【点睛】本题考查了利用导数判断函数的单调性，并由函数的单调性和对称性解不等式的应用问题，属中档题．二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上．）13.已知命题p：“存在x∈R，使”，若“非p”是假命题，则实数m的取值范围是_____．【答案】【解析】试题分析：非p即：“对任意x∈R， 4x+2x+1+m0”，如果“非p”是假命题，即m－4x－2x+1，而令t=，y===，，所以m<0，故答案为。
四川省成都市第七中学2019届高三第一次诊断性检测数学(理)试题(解析版)
2019年四川省成都七中高考数学一诊试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.若随机变量～，且，则A. B. C. D.【答案】A【解析】解：随机变量～，且，．故选：A．由已知结合正态分布曲线的对称性即可求解．本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量和的应用，考查曲线的对称性，属于基础题．2.函数的图象大致是A. B. C. D.【答案】D【解析】解：函数的定义域为R，，故排除A，C；，当时，，可知在上为减函数，排除B．故选：D．由函数的定义域及排除A，C，再由导数研究单调性排除B，则答案可求．本题考查函数的图象及图象变换，训练了利用导数研究函数的单调性，是中档题．3.“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在探求球体体积时构造的一个封闭几何体，它由两等径正贯的圆柱体的侧面围成，其直观图如图其中四边形是为体现直观性而作的辅助线当“牟合方盖”的正视图和侧视图完全相同时，其俯视图为A. B. C. D.【答案】B【解析】解：根据几何体的直观图：由于直观图“牟合方盖”的正视图和侧视图完全相同时，该几何体的俯视图为有对角线的正方形．故选：B．直接利用直观图“牟合方盖”的正视图和侧视图完全相同，从而得出俯视图形．本题考查的知识要点：直观图和三视图之间的转换，主要考查学生的空间想象能力和转化能力，属于基础题型．4.设i是虚数单位，复数z满足，则z的虚部为A. 1B.C.D. 2【答案】C【解析】解：由，得，即．的虚部为．故选：C．把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．5.执行如图的算法程序，若输出的结果为120，则横线处应填入A.B.C.D.【答案】C【解析】解：模拟程序的运行，可得，执行循环体，，执行循环体，，执行循环体，，执行循环体，，执行循环体，，由题意，此时，不满足条件，退出循环，输出S的值为120．可得横线处应填入的条件为．故选：C．分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出变量S的值，要确定进入循环的条件，可模拟程序的运行，用表格对程序运行过程中各变量的值进行分析，不难得到题目要求的结果．算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视程序填空也是重要的考试题型，这种题考试的重点有：分支的条件循环的条件变量的赋值变量的输出其中前两点考试的概率更大此种题型的易忽略点是：不能准确理解流程图的含义而导致错误．6.设实数x，y满足，则的最大值是A. B. C. 1 D.【答案】D【解析】解：画出满足条件的平面区域，如图示：而的几何意义表示过平面区域内的点与点的连线的斜率，由，解得：，，故选：D．画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义，求解即可．本题主要考查线性规划的应用以及直线斜率的求解，利用数形结合是解决本题的关键．7.“”是“”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】D【解析】解：，推不出，推不出，“”是“”的既不充分也不必要条件．故选：D．首先转化，然后根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键．8.函数的图象的一条对称轴方程是A. B. C. D.【答案】B【解析】解：．由，得，，当时，，即函数的对称轴为，故选：B．利用两角和差的余弦公式结合辅助角公式进行化简，结合三角函数的对称性进行求解即可．本题主要考查三角函数的对称性，利用辅助角公式将函数进行化简是解决本题的关键．9.将多项式分解因式得，m为常数，若，则A. B. C. 1 D. 2【答案】D【解析】解：由，，可得：，解得，即为：，时，，故选：D．由两，通过，求出m，然后利用二项式定理求解即可．本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10.已知正三棱锥的高为6，侧面与底面成的二面角，则其内切球与四个面都相切的表面积为A. B. C. D.【答案】B【解析】解：过顶点V做平面ABC是正三棱锥，为中心，过O做，垂足为D，连接VD，则为侧面与底面成的二面角，侧面与底面成的二面角，，，，，，．，为内切球的半径．，内切球的表面积．故选：B．过顶点V做平面ABC，过O做，垂足为D，连接VD，则为侧面与底面成的二面角，从而，分别求出OD、AB、VD的长，由此利用等体积法求解．本题考查棱锥的外接球球半径的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．11.设a，b，c分别是的内角A，B，C的对边，已知，设D是BC边的中点，且的面积为，则等于A. 2B. 4C.D.【答案】A【解析】解：，，，，，，，，故选：A．先根据正余弦定理求出，，再将，化为，后用数量积可得．本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属基础题．12.如果不是等差数列，但若，使得，那么称为“局部等差”数列已知数列的项数为4，记事件A：集合2，3，4，，事件B：为“局部等差”数列，则条件概率A. B. C. D.【答案】C【解析】解：由已知数列{x n}的项数为4，记事件A：集合{x1，x2，x3，x4}{1，2，3，4，5}，则事件A的基本事件为：，，，，，共5个，在满足事件A的条件下，事件B：{x n}为“局部等差”数列有，共1个，即条件概率P（B|A）=，故选：C．由即时定义可得：事件A的基本事件为：，，，，，共5个，在满足事件A的条件下，事件B：{x n}为“局部等差”数列有，共1个，由条件概率可得：P（B|A）=，得解．本题考查了对即时定义的理解及条件概率，属中档题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.某学校初中部共120名教师，高中部共180名教师，其性别比例如图所示，已知按分层抽样抽方法得到的工会代表中，高中部女教师有6人，则工会代表中男教师的总人数为______．【答案】12【解析】解：高中部女教师有6人，占，则高中部人数为x，则，得人，即抽取高中人数15人，则抽取初中人数为人，则男教师有人故答案为：12根据高中女教师的人数和比例，先求出抽取高中人数，然后在求出抽取初中人数即可得到结论．本题主要考查分层抽样的应用，根据人数比例以及男女老少人数比例建立方程关系是解决本题的关键．14.设抛物线C：的焦点为F，准线为l，点M在C上，点N在l上，且，若，则的值为______．【答案】3【解析】解：根据题意画出图形，如图所示；抛物线，焦点，准线为；设，，则，解得，；，，又，，解得．故答案为：3．根据题意画出图形，结合图形求出抛物线的焦点F和准线方程，设出点M、N的坐标，根据和求出的值．本题考查了抛物线的方程与应用问题，也考查了平面向量的坐标运算问题，是中档题．15.设，，c为自然对数的底数，若，则的最小值是______．【答案】【解析】解：，，则，即，由基本不等式得，则，当且仅当，即当时，等号成立，因此，的最小值为．故答案为：．利用定积分计算出，经过配凑得出，将代数式与代数式相乘，利用基本不等式可得出的最小值．本题考查定积分的计算，同时也考查了利用基本不等式求最值，解决本题的关键在于对代数式进行合理配凑，考查计算能力，属于中等题．16.若函数有三个不同的零点，则实数a的取值范围是______．【答案】【解析】解：由题意函数可知：函数图象的左半部分为单调递增指数函数的部分，有一个零点，函数图象的右半部分为开口向上的3次函数的一部分，必须有两个零点，，，如上图，要满足题意：，，可得，解得．综合可得，故答案为：．由题意可得需使指数函数部分与x轴有一个交点，3次函数的图象由最小值并且小于0，x大于0的部分，只有两个交点．本题考查根的存在性及根的个数的判断，数形结合是解决问题的关键，属中档题．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.正项等比数列中，已知，．Ⅰ求的前n项和；Ⅱ对于Ⅰ中的，设，且，求数列的通项公式．【答案】解：Ⅰ正项等比数列的公比设为q，已知，，可得，，解得，，即；Ⅱ，且，可得．【解析】Ⅰ正项等比数列的公比设为q，运用等比数列的通项公式，解方程可得首项和公比，即可得到所求求和；Ⅱ由，结合数列的分组求和和等比数列的求和公式，计算可得所求和．本题考查等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的恒等式和求和方法：分组求和，考查方程思想和运算能力，属于基础题．18.“黄梅时节家家雨”“梅雨如烟暝村树”“梅雨暂收斜照明”江南梅雨的点点滴滴都流润着浓洌的诗情每年六、七月份，我国长江中下游地区进入持续25天左右的梅雨季节，如图是江南Q镇～年梅雨季节的降雨量单位：的频率分布直方图，试用样本频率估计总体概率，解答下列问题：Ⅰ“梅实初黄暮雨深”假设每年的梅雨天气相互独立，求Q镇未来三年里至少有两年梅雨季节的降雨量超过350mm的概率；Ⅱ“江南梅雨无限愁”在Q镇承包了20亩土地种植杨梅的老李也在犯愁，他过去种植的甲品种杨梅，平均每年的总利润为28万元而乙品种杨梅的亩产量亩与降雨量之间的关系如下面统计表所示，又知乙品种杨梅的单位利润为元，请你帮助老李排解忧愁，他来年应该种植哪个品种的杨梅可以使总利润万元的期望更大？需说明理由【答案】解：Ⅰ频率分布直方图中第四组的频率为，则江南Q镇在梅雨季节时降雨量超过350mm的概率为，所以Q镇未来三年里至少有两年梅雨季节的降雨量超过350mm的概率为或；Ⅱ根据题意，总利润为元，其中，700，600，400；所以随机变量万元的分布列如下图所示；则总利润万元的数学期望为万元，因为，所以老李来年应该种植乙品种杨梅，可使总利润的期望更大．【解析】Ⅰ由频率分布直方图计算对应的频率，利用频率估计概率，求出对应的概率值；Ⅱ根据题意计算随机变量的分布列和数学期望，比较得出结论和建议．本题考查了频率分布直方图和离散型随机变量的分布列应用问题，是中档题．19.已知椭圆的离心率为，且经过点．Ⅰ求椭圆的标准方程；Ⅱ设O为椭圆的中心，点，过点A的动直线l交椭圆于另一点B，直线l上的点C满足．，求直线BD与OC的交点P的轨迹方程．【答案】解：Ⅰ椭圆的离心率，且，，，椭圆的标准方程为，Ⅱ设直线l的方程为当t存在时，由题意，代入，并整理可得，解得，于是，即，设，，解得，于是，，，，，，直线BD与OC的交点P的轨迹是以OD为直径的圆除去O，D两点，轨迹方程为，即，【解析】Ⅰ根据椭圆的离心率和，即可求出椭圆的方程，Ⅱ设直线l的方程为当t存在时，由题意，代入，并整理可得，求出点B的坐标，根据向量的运算求出点C的坐标，再根据向量的运算证明，即可求出点P的轨迹方程本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，椭圆的方程的求法，考查转化思想以及计算能力，函数与方程的思想的应用．20.如图，在多面体ABCDE中，AC和BD交于一点，除EC以外的其余各棱长均为2．Ⅰ作平面CDE与平面ABE的交线l并写出作法及理由；Ⅱ求证：平面平面ACE；Ⅲ若多面体ABCDE的体积为2，求直线DE与平面BCE所成角的正弦值．【答案】解：Ⅰ过点E作或的平行线，即为所求直线l．理由如下：和BD交于一点，，B，C，D四点共面，又四边形ABCD边长均相等，四边形ABCD为菱形，从而，又平面CDE，且平面CDE，平面CDE，平面ABE，且平面平面，．证明：Ⅱ取AE的中点O，连结OB，OD，，，，，，平面OBD，平面OBD，，又四边形ABCD是菱形，，又，平面ACE，又平面BDE，平面平面ACE．解：Ⅲ由多面体ABCDE的体积为2，得，，设三棱锥的高为h，则，解得，，平面ABE，以O为原点，OB为x轴，OE为y轴，OD为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，0，，0，，1，，1，，1，，1，，设平面BCE的法向量y，，则，取，得，设直线DE与平面BCE所成角为，则．直线DE与平面BCE所成角的正弦值为．【解析】Ⅰ过点E作或的平行线，即为所求直线由AC和BD交于一点，得A，B，C，D四点共面，推导出四边形ABCD为菱形，从而，进而平面CDE，由此推导出．Ⅱ取AE的中点O，连结OB，OD，推导出，，从而平面OBD，进而，由四边形ABCD是菱形，得，从而平面ACE，由此能证明平面平面ACE．Ⅲ由，得，求出三棱锥的高为，得平面ABE，以O为原点，OB为x轴，OE为y轴，OD为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法能求出直线DE与平面BCE 所成角的正弦值．本题考查两平面的交线的求法，考查面面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．21.已知函数，其中a为常数．Ⅰ若曲线在处的切线在两坐标轴上的截距相等，求a之值；Ⅱ若对，都有，求a的取值范围．【答案】解：Ⅰ函数的导数为，由题意可得，，可得切线方程为，即有，解得；Ⅱ若对，，在递减，当时，，在递减，，由恒成立，可得，与矛盾；当时，，在递增，可得即，由恒成立，可得且，可得；当时，，，且在递减，可得存在，，在递增，在递减，故，由恒成立，可得，，可得，又的最大值为，由，，可得，设，，，可得在递增，即有，即，不等式恒成立，综上可得a的范围是．【解析】Ⅰ求得的导数，可得切线的斜率和切点，由题意可得a的方程，解方程可得a；Ⅱ若对，，在递减，讨论，，，结合函数的单调性和不等式恒成立思想，以及函数零点存在定理，构造函数法，即可得到所求范围．本题考查导数的运用：求切线方程和单调性、极值和最值，考查函数零点存在定理和分类讨论思想方法，以及各种函数法，考查化简整理的运算能力，属于难题．22.在平面直角坐标系xOy中曲线C的参数方程为其中t为参数在以O为极点、x轴的非负半轴为极轴的极坐标系两种坐标系的单位长度相同中，直线l的极坐标方程为．Ⅰ求曲线C的极坐标方程；Ⅱ求直线l与曲线C的公共点P的极坐标．【答案】解：Ⅰ平面直角坐标系xOy中曲线C的参数方程为其中t为参数，曲线C的直角坐标方程为，，将，代入，得曲线C的直角坐标方程为，，将，代入，得，曲线C的极坐标方程为Ⅱ将l与C的极坐标方程联立，消去，得，，，，方程的解为，即，代入，得，直线l与曲线C的公共点P的极坐标为【解析】Ⅰ由曲线C的参数方程求出曲线C的直角坐标方程，由此能求出曲线C的极坐标方程．Ⅱ将l与C的极坐标方程联立，得，从而，进而方程的解为，由此能求出直线l与曲线C的公共点P的极坐标．本题考查曲线的极坐标方程的求法，考查直线与曲线的公共点的极坐标的求法，考查直角坐标方程、参数方程、极坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．23.已知函数，且a，b，．Ⅰ若，求的最小值；Ⅱ若，求证：．【答案】解：Ⅰ由柯西不等式可得，当且仅当时取等号，即；，即的最小值为．证明：Ⅱ，，故结论成立【解析】Ⅰ根据柯西不等式即可求出最小值，Ⅱ根据绝对值三角不等式即可证明．本题考查了柯西不等式和绝对值三角形不等式，考查了转化和化归的思想，属于中档题．。
精选最新2019年高考数学第一轮复习考核题库(含参考答案)
2019年高考数学第一轮复习模拟测试题学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________一、选择题1．（2013年高考安徽（文））如图所示,程序据图(算法流程图)的输出结果为（ ）A ．34B ．16C ．1112D ．25242．甲：A 1、A 2是互斥事件；乙：A 1、A 2是对立事件，那么（B ） A. 甲是乙的充分但不必要条件 B. 甲是乙的必要但不充分条件C. 甲是乙的充要条件D. 甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件(2006湖北文)3．在)2,0(π内，使x x cos sin >成立的x 的取值范围是（ ） A ．)45,()2,4(ππππ B ．),4(ππ C ．)45,4(ππ D ．)23,45(),4(ππππ（2002山东理4）4．设{an}是递增等差数列,前三项的和为12,前三项的积为48,则它的首项是 A.4 B.2C.1D.6二、填空题5．在等差数列{}n a 中，若42≥S ，93≤S ，则4a 的最大值为 ▲ .6．方程)2(log )12(log 255-=+x x 的解集为7．极坐标方程4cos ρθ=化为直角坐标方程是8．不等式0622<+--x x 的解集是 .9．已知点P 在直线,042上=+-y x 且到x 轴的距离是到y 轴的距离的32倍，则点P 的坐标是10．已知C 321818-=k k C ，则k= 。
11． 已知()(),4,2,3,2,=-=∈AC k BC Z k 10≤，则△ABC 为直角三角形的概率是 ★ ．7312．右图给出的是计算11113519++++的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是i > ；(2011年3月苏、锡、常、镇四市高三数学教学情况调查一)1013．1．由数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中小于50000的偶数共有____14．一个多面体的直观图及三视图如图所示，则多面体A CDEF -的体积为 ▲ ．（第10题图）15．右图是一个算法的流程图，则输出的值是 ▲ .16．若数列*12,(,),12n n n a b an b a N b Z b ==+∈∈≥-,记(,0),(0,)n n n n A a B b ，直线n n A B 的斜率为n k ，数列{}n k 前7项依次递减，则满足条件的数列{}n b 的个数为 ．17．执行右边的程序框图,若30=p ，则输出的n =_______________．18．在ABC 中，7,60,2ABCc C S ===，求ABC 的周长19．已知实数x ，y ，z 满足x + y + z = 1，x 2 + y 2 + z 2 = 3，则xyz 的最大值为______．20． 下列几个命题，其中正确的命题有 ▲ ．（填写所有正确命题的序号） ①函数2)3(log 2+-=x y 的图象可由x y 2log =的图象向上平移2个单位,向右平移3个单位得到； ②函数132)(+-=x x x f 的图象关于点)2,1(成中心对称； ③在区间(0,)+∞上函数21x y =的图像始终在函数x y =的图像上方； ④任一函数图像与垂直于x 轴的直线都不可能有两个交点. 21．要得到)42sin(π-=x y 的图像，且使平移的距离最短，则需将sin 2y x =的图像即可得到．22．如图，一个圆锥形容器的高为a ，内装有一定量的水，如果将容器倒置，这时所形成的圆锥的高恰为2a（如图2-②），则图2-①中的水面高度为 .23．如图，ABC ∆中，D 是BC 边上的中线，且BC =AD =ABC ∆周长的最大值为 ▲ ．24．抛物线2x y -=的焦点坐标为___________.25．已知函数()()()22log 0412344x x f x x x x ⎧<≤⎪=⎨-+>⎪⎩若方程()(=∈f x t t )R 有四个不同的实数 根1x ,2x ,3x ,4x ，则4321x x x x 的取值范围为 (32,34) 26． 定义在R 上的函数()f x 满足()(2)f x f x =+，当[]35x ∈，时，()24f x x =--． 给2-①2-②(第9题图)出下列不等式：①((sin cos 6π6πf f <；②(sin1)(cos1)f f >；③(()cos sin 332π2πf f <；④(cos2)(sin 2)f f >．其中正确的是 （用序号表示）． ④27．已知函数f (x )＝ (1＋tan x )cos 2x 的定义域为⎝⎛⎭⎫0， π2，则函数f (x )的值域为________． （0，1＋22 ]28．已知平面向量αβ，，满足==1αβ，且α与-βα夹角为120°，则()1-2t t αβ+的取值范围29．已知R 上可导函数)(x f 的图象如图所示，则不等式0)()32(2>'--x f x x 的解集为__________________________.30．已知集合A ＝{0，m}，B ＝{1，2}，A ∩B ＝{1}，则A ∪B ＝＿＿＿＿31．已知点P 在直线210x y+-=上,点Q 在直线230x y ++=上，PQ 的中点为00(,)M x y ,且002y x >+,________. 32．如图是一个算法流程图．若输入A =3，B =5，则输出A ，B 的值分别为 ▲ ．33．1000、1200和1500，现采用按年级75人，则这次调查三个年级共抽查了 人．34．已知⊙A ：221x y +=，⊙B : 22(3)(4)4x y -+-=，P 是平面内一动点，过P 作⊙A 、⊙B 的切线，切点分别为D 、E ，若PE PD =，则P 到坐标原点距离的最小值为 ▲ .三、解答题35．已知2()ln ,()3f x x x g x x ax ==-+-． (1) 求函数()f x 在[,2](0)t t t +>上的最小值；(2) 对一切(0,)x ∈+∞，2()()f x g x ≥恒成立，求实数a 的取值范围； (3) 证明：对一切(0,)x ∈+∞，都有12ln x x e ex>-成立36．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，121,2a a ==，且点),(1+n n S S 在直线1y kx =+上 （Ⅰ）求k 的值；（Ⅱ）求证：{}n a 是等比数列；（Ⅲ）记n T 为数列{}n S 的前n 项和，求10T 的值．37．设有关于x 的一元二次方程2220x ax b ++=，（1）若a 是从0123，，，四个数中任取的一个数，b 是从012，，三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率；（2）若a 是从区间[03]，任取的一个数，b 是从区间[02]，任取的一个数，求上述方程有实根的概率。
2019届高三一轮复习第一阶段测评考试数学(理)试题(PDF版)答案1
象关 于 坐 标 原 点 对 称， 排除 Ｄ ； 又 当 ｘ＞０时， ᶄ＝ ｙ － ４ ｌ ｎ ２ ， 则函数在（ ， 上单调递减， 排除 ０ ０ ＋ɕ） ｘ －ｘ ２ ＜ （ ） － ２ ２ ， 故选 Ａ Ｂ和 Ｃ ． 利用函数的奇偶性、 单调性等性质， 结合排除法求解 ． 全能解析】 本题考查函数的构造、 导数的应用 ． 由 １ ０ ． Ｃ 【 １ （ ） 可得［ （ ） ］ （ ） ， 即 ｙ ｘ ｌ ｎ ｘ ＞０ ｆ ｘ ｌ ｎ ｘ ｆ ｘ ＋ｆ ᶄ ᶄ＞０ ＝ ｘ （ ） ， 上单调递增， 当 ｘ 时， （ ） ｆ ｘ ｌ ｎ ｘ在（ ０ ＋ɕ） ＝１ ｆ １ ＞ １ ， 显然有 ｆ （ ） ； 当 ｘ 时， 不妨设 ｘ ０ ｘ ＋ｆ ＞０ ＞ ≠１ ｘ １ １ １ １ （ ） ， ， 则 ｘ ｆ ｘ ｌ ｎ ｘ ＞ｆ ｌ ｎ ＝－ｆ ｌ ｎ ｘ １ ＞ ， ｘ ｘ ｘ ｘ １ ， 同 理， 也有 也有 ｆ （ ）＋ ｆ ＞０ ０＜ ｘ＜１时， ｘ ｘ １ ， 故选 Ｃ （ ） ＞ ０ ． ｆ ｘ ＋ｆ ｘ 【 超级链接 · 拓展】 函数的常见构造： （ ） （ ） ｘ ｆ ｘ ＋ｋ ｆ ｘ ＞ ０ ᶄ ｋ （ ） 化为［ （ ） ·ｘ ， ］ （ ）－ ｋ （ ） ｘ ＞０ ｆ ｘ ᶄ＞０ ｘ ｆ ᶄ ｘ ｆ ｘ ＞０ （ ） ｆ ｘ ， （ ） （ ） 化为［ （ ） · （ ） 化为 ＞ ０ ｆ ᶄ ｘ ＋ｋ ｆ ｘ ＞ ０ ｆ ｘ ｘ ＞ ０ ｋ ᶄ ｘ （ ） ｆ ｘ ｋ ｘ ， ］ （ ） （ ） 化为 ᶄ ＞ ０ ｆ ᶄ ＞ ０ ． ｅ ｘ －ｋ ｆ ｘ ＞ ０ ｋ ｘ ᶄ ｅ 全能解析】 本题考查函数的周期性、 求函数值 ． 令 １ １ ． Ｃ 【 ， 由ｆ （ ） ·ｆ （ ） 得 ｆ （ ） ·ｆ （ ） ２ ｘ ＝ｔ ２ ｘ ２ ｘ ＋４ ＝－１ ｔ ｔ ＋４ ＝ ， 即ｆ （ ） ·ｆ （ ） ， 所以 ｆ （ ） （ ） ， － １ ｔ ＋ ４ ｔ ＋ ８ ＝－ １ ｔ ＝ｆ ｔ ＋８ 所以 ｆ （ ） 的周期为 ８ ， 所以 ｆ （ ）＋ｆ （ ）＝ ｘ ２０ １ ６ ２０ １ ７ （ ） （ ） ， 又 ｆ （ ） ， 且 ｆ （ ） （ ） ｆ ０ ＋ｆ １ ＝－ １ －１ ＝１ １ ＋ｆ －１ ＝ ａ ， （ ）＝ａ ， 所以 ａ－１ ， 所以 ａ＝０ ， 故 ａ ２ ｆ ０ ＋ ＝ －１ ２ 选Ｃ ． 【 超级链接 · 拓展】 利用周期函数的定义有： 若ｆ （ ） ｘ ＝ （ ） ， 则周期 Ｔ＝｜ ； 若 ｆ （ ） （ ） ， 则 ｆ ｘ ＋ａ ａ ｜ ｘ ＝－ｆ ｘ ＋ａ 周期 Ｔ＝ ； 若 ｆ （ ） ·ｆ （ ） （ 为常数） ， 则 ２ ｜ ａ ｜ ｘ ｘ ＋ａ ＝ｂ ｂ 周期 Ｔ＝ 结合函数性质有： （ ） 的图 ２ ｜ ａ ｜ ． ＝ｆ ｘ ①若 ｙ 象有两条对称轴 ｘ ， （ ） ， 则ｙ （ ） 是 ＝ａ ｘ ＝ｂ ａ ＝ｆ ｘ ≠ｂ 周期函数， 且一个周期为 Ｔ＝ ； （ ） ２ ｜ ａ －ｂ ｜ ＝ｆ ｘ ②若 ｙ 的图象有两个对称中心 Ａ （ ， ） ， （ ， ） （ ） ， 则 ａ ０ Ｂ ｂ ０ ａ ≠ｂ （ ） 是周期函数， 且一个周期为 Ｔ＝ ； ｙ ＝ｆ ｘ ２ ｜ ａ －ｂ ｜ ③如 果函数 ｙ （ ） 的图象有一个对称中心 Ａ （ ， ） 和一 ＝ｆ ｘ ａ ０ 条对称轴 ｘ （ ） ， 则函数 ｙ （ ） 是周期函 ＝ｂ ａ ＝ｆ ｘ ≠ｂ 数， 且一个周期为 Ｔ＝ ４ ｜ ａ －ｂ ｜ ． 全能解析】 本题考查函数的图象、 导数与最值关 １ ２ ． Ｄ 【 ｘ （ ） （ 系． ） （ ） ， 则当 ０ 时， 函 ｘ ＝ｘ ｅ ｆ ᶄ － ２ ｘ ＞０ ＜ｘ ＜ｌ ｎ ２ 数ｆ （ ） 单调递减； 当ｘ 时， 函数 ｆ （ ） 单调递增， ｘ ＞ｌ ｎ ２ ｘ ２ （ ） ） ， 于是由题意， 得 故ｆ （ ） ｌ ｎ ２ ＝ａ－（ ｌ ｎ ２ －１ ｘ ｍ ｉ ｎ ＝ｆ ２ ２ （ ）＞ ， 得 ａ （ ）， 故选 Ｄ ０ ＞ ｌ ｎ ２ － １ ａ － ｌ ｎ ２ － １ ． 【 超级链接·反三】 求解函数的零点通常考虑： （ ） 转 １ 化为方程的根， 通过解方程求解； （ ） 构造新函数结 ２ 合函数的单调性， 结合零点存在性定理求解， 注意利 用导数判断函数的单调性； （ ） 转化为两个函数， 直 ３ 观观察两个函数图象的交点情况进行求解 ．
2019年高考(理科)数学总复习综合试题(一)含答案及解析
绝密 ★ 启用前2019年高考（理科）数学总复习综合试题（一）总分：150分，时间：120分钟注意事项：1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3、非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分． 1．在复平面内，复数z ＝cos 3＋isin 3(i 为虚数单位)，则|z |为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．42．|x |·(1－2x )＞0的解集为( ) A ．(－∞，0)∪⎝⎛⎭⎫0，12 B ．⎝⎛⎭⎫－∞，12 C ．⎝⎛⎭⎫12，＋∞D ．⎝⎛⎭⎫0，12 3．已知双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为3，则该双曲线的渐近线方程为( )A ．x －2y ＝0B ．2x －y ＝0C ．2x ±y ＝0D ．x ±2y ＝04．执行如图所示的程序框图，若输入的n 的值为5，则输出的S 的值为( )此卷只装订不密封级 姓名 准考证号 考场号 座位号A．17 B．36C．52 D．725．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”问此人第4天和第5天共走了() A．60里B．48里C．36里D．24里6．函数f(x)＝(cos x)·ln |x|的大致图象是()7．如图，半径为5 cm的圆形纸板内有一个相同圆心的半径为1 cm的小圆，现将半径为1 cm 的一枚硬币抛到此纸板上，使整块硬币完全随机落在纸板内，则硬币与小圆无公共点的概率为( )A ．12B ．2125C ．14D ．348．如图，正四面体A -BCD 中，E 、F 分别是棱BC 和AD 的中点，则直线AE 和CF 所成的角的余弦值为( )A ．13B ．23C ．14D ．349．已知a ＞0，x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1x ＋y ≤3y ≥a (x －3)，若z ＝2x ＋y 的最小值为1，则a 等于( )A ．14B ．12C ．1D ．210．在△ABC 中，BC ＝6，AB ＝2,1＋tan A tan B ＝2ABAC ，则AC ＝( )A ．6－1B ．1＋ 6C ．3－1D ．1＋ 311．已知点P 是直线2x －y ＋3＝0上的一个动点，定点M (－1,2)，Q 是线段PM 延长线上的一点，且|PM |＝|MQ |，则Q 点的轨迹方程是( )A ．2x ＋y ＋1＝0B ．2x －y －5＝0C ．2x －y －1＝0D ． 2x －y ＋5＝012．设函数f (x )满足xf ′(x )＋f (x )＝ln x x ，f (e)＝1e，则函数f (x )( )A ．在(0，e)上单调递增，在(e ，＋∞)上单调递减B ．在(0，＋∞)上单调递增C ．在(0，e)上单调递减，在(e ，＋∞)上单调递增D ．在(0，＋∞)上单调递减二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．在二项式⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3x －123x 6的展开式中，第四项的系数为________． 14．设S n 是数列{a n }的前n 项和，2S n ＋1＝S n ＋S n ＋2(n ∈N *)，若a 3＝3，则a 100＝______． 15．已知向量|a |＝2，b 与(b －a )的夹角为30°，则|b |最大值为________．16．设点M ，N 是抛物线y ＝ax 2(a ＞0)上任意两点，点G (0，－1)满足GN →·GM →＞0，则a 的取值范围是_________．三、解答题：17．(12分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n ＋1是首项和公差均为12的等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝a 2n ＋1＋a 2n ＋2a n ＋1·a n ＋2，求数列{b n }的前n 项和T n ．18．(12分)2017年省内事业单位面向社会公开招聘工作人员，为保证公平竞争，报名者需要参加笔试和面试两部分，且要求笔试成绩必须大于或等于90分的才有资格参加面试，90分以下(不含90分)则被淘汰．现有2 000名竞聘者参加笔试，参加笔试的成绩按区间[30,50)，[50,70)，[70,90)，[90,110)，[110,130)，[130,150]分段，其频率分布直方图如下图所示(频率分布直方图有污损)，但是知道参加面试的人数为500，且笔试成绩在[50,110)的人数为1 440．(1)根据频率分布直方图，估算竞聘者参加笔试的平均成绩；(2)若在面试过程中每人最多有5次选题答题的机会，累计答题或答错3题即终止答题．答对3题者方可参加复赛．已知面试者甲答对每一个问题的概率都相同，并且相互之间没有影响．若他连续三次答题中答对一次的概率为964，求面试者甲答题个数X的分布列和数学期望．19．(12分)如图，在四棱锥P-ABCD中，已知PB⊥底面ABCD，BC⊥AB，AD∥BC，AB＝AD＝2，CD⊥PD，异面直线P A与CD所成角等于60°．(1)求证：平面PCD⊥平面PBD；(2)求直线CD和平面P AD所成角的正弦值；(3)在棱P A上是否存在一点E，使得平面P AB与平面BDE所成锐二面角的正切值为5？若存在，指出点E的位置，若不存在，请说明理由．20．(12分)如图，已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左右顶点分别是A(－2，0)，B(2，0)，离心率为22.设点P (a ，t )(t ≠0)，连接P A 交椭圆于点C ，坐标原点是O ．(1)证明：OP ⊥BC ；(2)若三角形ABC 的面积不大于四边形OBPC 的面积，求|t |的最小值．21．(12分)已知函数f (x )＝2x －(x ＋1)ln x ，g (x )＝x ln x －a x 2－1． (1)求证：对∀x ∈(1，＋∞)，f (x )＜2；(2)若方程g (x )＝0有两个根，设两根分别为x 1、x 2，求证：ln x 1＋ln x 22＞1＋2x 1x 2．以下两题请任选一题： [选修4－4：坐标系与参数方程]22．(10分)已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝mty ＝3t(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ2cos 2θ＋4ρ2sin 2θ＝4，直线l 过曲线C的左焦点F ．(1)直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求|AB |； (2)设曲线C 的内接矩形的周长为c ，求c 的最大值．[选修4－5：不等式证明选讲]23．(10分)已知函数f (x )＝9sin 2x ＋4cos 2x ，x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且f (x )≥t 恒成立． (1)求实数t 的最大值；(2)当t 取最大时，求不等式⎪⎪⎪⎪x ＋t5＋|2x －1|≤6的解集．2019年高考（理科）数学总复习综合试题（一）答案及解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分． 1．在复平面内，复数z ＝cos 3＋isin 3(i 为虚数单位)，则|z |为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：|z |＝cos 23＋sin 23＝1.故选A ． 答案：A2．|x |·(1－2x )＞0的解集为( ) A ．(－∞，0)∪⎝⎛⎭⎫0，12 B ．⎝⎛⎭⎫－∞，12 C ．⎝⎛⎭⎫12，＋∞ D ．⎝⎛⎭⎫0，12 解析：由不等式|x |(1－2x )＞0可得 x ≠0，且1－2x ＞0，求得x ＜12，且x ≠0，故选A ．答案：A3．已知双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为3，则该双曲线的渐近线方程为( )A ．x －2y ＝0B ．2x －y ＝0C ．2x ±y ＝0D ．x ±2y ＝0解析：双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为3，可得c a ＝3，即a 2＋b 2a 2＝3，可得b a ＝2.则该双曲线的渐近线方程为x ±2y ＝0.故选D ． 答案：D4．执行如图所示的程序框图，若输入的n 的值为5，则输出的S 的值为( )A ． 17B ．36C ．52D ．72解析：根据程序框图可知k ＝1，S ＝0，进入循环体后，循环次数、S 的值、k 的值的变化情况为：所以输出的S 的值为72.故选D ．5．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”问此人第4天和第5天共走了( )A ．60里B ．48里C ．36里D ．24里解析：记每天走的路程里数为{a n }，可知{a n }是公比q ＝12的等比数列，由S 6＝378，得S 6＝a 1⎝⎛⎭⎫1－1261－12＝378，解得：a 1＝192，∴a 4＝192×123＝24，a 5＝192×124＝12，此人第4天和第5天共走了24＋12＝36里．故选C ．答案：C6．函数f (x )＝(cos x )·ln |x |的大致图象是( )解析：函数f (x )＝(cos x )·ln |x |是偶函数，排除C ，D ． 当x ＝π6时，f ⎝⎛⎭⎫π6＝32·ln π6＜0.排除A ，故选B ． 答案：B7．如图，半径为5 cm 的圆形纸板内有一个相同圆心的半径为1 cm 的小圆，现将半径为1 cm 的一枚硬币抛到此纸板上，使整块硬币完全随机落在纸板内，则硬币与小圆无公共点的概率为( )A ．12B ．2125C ．14D ．34解析：记“硬币落下后与小圆无公共点”为事件A ，硬币要落在纸板内，硬币圆心距离纸板圆心的距离应该小于4，其面积为16π，无公共点也就意味着，硬币的圆心与纸板的圆心相距超过2 cm ，以纸板的圆心为圆心，作一个半径2 cm 的圆，硬币的圆心在此圆外面，则硬币与半径为1 cm 的小圆无公共交点．所以有公共点的概率为416，无公共点的概率为P (A )＝1－416＝34，故选D ．答案：D8．如图，正四面体A -BCD 中，E 、F 分别是棱BC 和AD 的中点，则直线AE 和CF 所成的角的余弦值为( )A ．13B ．23C ．14D ．34解析：连接BF 、EF ，∵正四面体A -BCD 中，E 、F 分别是棱BC 和AD 的中点，∴BF ⊥AD ，CF ⊥AD ，又BF ∩CF ＝F ，∴AD ⊥面BCF ，∴AE 在平面BCF 上的射影为EF ，设异面直线AE 和CF 所成的角为θ，正四面体棱长为1，则AE ＝CF ＝32，EF ＝22.∵cos θ＝cos ∠AEF ·cos ∠EFC ，∴cos θ＝2232×2232＝23.故直线AE 和CF 所成的角的余弦值为23.故选B ．答案：B9．已知a ＞0，x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1x ＋y ≤3y ≥a (x －3)，若z ＝2x ＋y 的最小值为1，则a 等于( )A ．14B ．12C ．1D ．2解析：先根据约束条件画出可行域，如图示：z ＝2x ＋y ，将最小值转化为y 轴上的截距的最小值，当直线z ＝2x ＋y 经过点B 时，z 最小，由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝12x ＋y ＝1得：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝－1，代入直线y ＝a (x －3)得，a ＝12， 故选B ．答案：B10．在△ABC 中，BC ＝6，AB ＝2,1＋tan A tan B ＝2ABAC ，则AC ＝( )A ．6－1B ．1＋ 6C ．3－1D ．1＋ 3解析：∵1＋tan A tan B ＝2AB AC ，∴sin (A ＋B )sin B cos A ＝2c b ，∴sin C sin B cos A ＝2c b ，∴1cos A ＝2，即cos A ＝12，A ∈(0，π)，解得A ＝π3． 由余弦定理可得：(6)2＝22＋b 2－4b cos π3，∴b 2－2b －2＝0，解得b ＝1＋ 3.故选D ． 答案：D11．已知点P 是直线2x －y ＋3＝0上的一个动点，定点M (－1,2)，Q 是线段PM 延长线上的一点，且|PM |＝|MQ |，则Q 点的轨迹方程是( )A ．2x ＋y ＋1＝0B ．2x －y －5＝0C ．2x －y －1＝0D ． 2x －y ＋5＝0解析：设Q (x ，y )，则P (－2－x,4－y )，代入2x －y ＋3＝0得2x －y ＋5＝0． 答案：D12．设函数f (x )满足xf ′(x )＋f (x )＝ln x x ，f (e)＝1e，则函数f (x )( ) A ．在(0，e)上单调递增，在(e ，＋∞)上单调递减 B ．在(0，＋∞)上单调递增C ．在(0，e)上单调递减，在(e ，＋∞)上单调递增D ．在(0，＋∞)上单调递减解析：∵[xf (x )]′＝xf ′(x )＋f (x )，∴[xf (x )]′＝ln x x ＝⎝⎛⎭⎫ln 2x 2＋c ′，∴xf (x )＝12ln 2x ＋c ，∴f (x )＝ln 2x 2x ＋c x，∵f (e)＝1e ，∴1e ＝12e ＋c e ，即c ＝12，∴f ′(x )＝2ln x －ln 2x 2x 2－12x 2＝－ln 2x －2ln x ＋12x 2＝－(ln x －1)22x 2＜0，∴f (x )在(0，＋∞)为减函数．故选D ． 答案：D二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．在二项式⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3x －123x 6的展开式中，第四项的系数为________． 解析：由已知二项式得到展开式的第四项为： T 4＝C 36(3x )3⎝ ⎛⎭⎪⎫－123x 3＝－52． 答案：－5214．设S n 是数列{a n }的前n 项和，2S n ＋1＝S n ＋S n ＋2(n ∈N *)，若a 3＝3，则a 100＝______． 解析：∵S n 是数列{a n }的前n 项和，2S n ＋1＝S n ＋S n ＋2(n ∈N *)， ∴数列{S n }是等差数列，设公差为d ，可得S n －S n －1＝d ． ∴a 3＝S 3－S 2＝d ＝3，则a 100＝S 100－S 99＝d ＝3.故答案为3． 答案：315．已知向量|a |＝2，b 与(b －a )的夹角为30°，则|b |最大值为________． 解析：以|a |，|b |为邻边做平行四边形ABCD ，设AB →＝a ，AD →＝b ， 则BD →＝b －a ，由题意∠ADB ＝30°，设∠ABD ＝θ，∵|a |＝2，∴在△ABD 中，由正弦定理可得，AB sin 30°＝AD sin θ，∴AD ＝4sin θ≤4.即|b |的最大值为4.故答案为4． 答案：416．设点M ，N 是抛物线y ＝ax 2(a ＞0)上任意两点，点G (0，－1)满足GN →·GM →＞0，则a 的取值范围是_________．解析：过G 点作抛物线的两条切线，设切线方程为y ＝kx －1， 切点坐标为A (x 0，y 0)，B (－x 0，y 0)，则由导数的几何意义可知⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝ax 20y 0＝kx 0－12ax 0＝k ，解得k ＝±2a ．∵GN →·GM →＞0恒成立，∴∠AOB ＜90°， 即∠AGO ＜45°，∴|k |＞tan45°＝1，即2a ＞1， 解得a ＞14.故答案为⎝⎛⎭⎫14，＋∞．答案：⎝⎛⎭⎫14，＋∞ 三、解答题：17．(12分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n ＋1是首项和公差均为12的等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝a 2n ＋1＋a 2n ＋2a n ＋1·a n ＋2，求数列{b n }的前n 项和T n ．解：(1)∵⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n ＋1是首项和公差均为12的等差数列，∴S n n ＋1＝12＋12(n －1)＝n2，∴S n ＝n (n ＋1)2．∴n ＝1时，a 1＝S 1＝1；n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n (n ＋1)2－n (n －1)2＝n .n ＝1时也成立．∴a n ＝n ．(2)b n ＝a 2n ＋1＋a 2n ＋2a n ＋1·a n ＋2＝(n ＋1)2＋(n ＋2)2(n ＋1)(n ＋2)＝n ＋1n ＋2＋n ＋2n ＋1＝2＋1n ＋1－1n ＋2，∴数列{b n }的前n 项和T n ＝2n ＋⎝⎛⎭⎫12－13＋⎝⎛⎭⎫13－14＋…＋⎝⎛⎭⎫1n ＋1－1n ＋2＝2n ＋12－1n ＋2．18．(12分)2017年省内事业单位面向社会公开招聘工作人员，为保证公平竞争，报名者需要参加笔试和面试两部分，且要求笔试成绩必须大于或等于90分的才有资格参加面试，90分以下(不含90分)则被淘汰．现有2 000名竞聘者参加笔试，参加笔试的成绩按区间[30,50)，[50,70)，[70,90)，[90,110)，[110,130)，[130,150]分段，其频率分布直方图如下图所示(频率分布直方图有污损)，但是知道参加面试的人数为500，且笔试成绩在[50,110)的人数为1 440．(1)根据频率分布直方图，估算竞聘者参加笔试的平均成绩；(2)若在面试过程中每人最多有5次选题答题的机会，累计答题或答错3题即终止答题．答对3题者方可参加复赛．已知面试者甲答对每一个问题的概率都相同，并且相互之间没有影响．若他连续三次答题中答对一次的概率为964，求面试者甲答题个数X 的分布列和数学期望．解：(1)设竞聘者成绩在区间[30,50)，[90,110)，[110,130)的人数分别为x ，y ，z ， 则(0.017 0＋0.014 0)×20×2 000＋x ＝2 000－500，解得x ＝260， (0.017 0＋0.014 0)×20×2 000＋y ＝1 440，解得y ＝200， 0．003 2×20×2 000＋200＋z ＝500，解得z ＝172， 竞聘者参加笔试的平均成绩为：12 000×(260×40＋200×100＋172×120)＋(0.014×60＋0.017×80＋0.003 2×140)×20＝78.48(分)．(2)设面试者甲每道题答对的概率为p ，则C 13p (1－p )2＝964，解得p ＝34， 面试者甲答题个数X 的可能取值为3,4,5， 则P (X ＝3)＝⎝⎛⎭⎫343＋⎝⎛⎭⎫143＝716，P (X ＝4)＝C 13⎝⎛⎭⎫14⎝⎛⎭⎫343＋C 13⎝⎛⎭⎫34⎝⎛⎭⎫142⎝⎛⎭⎫14＝45128， P (X ＝5)＝1－P (X ＝3)－P (X ＝4)＝1－716－45128＝27128，∴X 的分布列为：E (X )＝716×3＋45128×4＋27128×5＝483128．19．(12分)如图，在四棱锥P -ABCD 中，已知PB ⊥底面ABCD ，BC ⊥AB ，AD ∥BC ，AB ＝AD ＝2，CD ⊥PD ，异面直线P A 与CD 所成角等于60°．(1)求证：平面PCD ⊥平面PBD ；(2)求直线CD 和平面P AD 所成角的正弦值；(3)在棱P A 上是否存在一点E ，使得平面P AB 与平面BDE 所成锐二面角的正切值为5？若存在，指出点E 的位置，若不存在，请说明理由．(1)证明：∵PB ⊥底面ABCD ，∴PB ⊥CD ， 又∵CD ⊥PD ，PD ∩PB ＝P ，PD ，PB ⊂平面PBD ， ∴CD ⊥平面PBD ，∵CD ⊂平面PCD ， ∴平面PCD ⊥平面PBD ．(2)解：如图，以B 为原点，BA 、BC 、BP 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，由(1)知△BCD 是等腰直角三角形，∴BC ＝4，设BP ＝b (b ＞0)，则B (0,0,0)，A (2,0,0)，C (0,4,0)，D (2,2,0)，P (0,0，b )， 则P A →＝(2,0，－b )，CD →＝(2，－2,0)， ∵异面直线P A 、CD 所成角为60°，∴cos 60°＝|P A →·CD →||P A →||CD →|＝44＋b 2·22＝12，解得b ＝2， ∵AD →＝(0,2,0)，P A →＝(2,0，－2)，设平面P AD 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·AD →＝2y ＝0n ·P A →＝2x －2z ＝0，取x ＝1，得n ＝(1,0,1)，设直线CD 和平面P AD 所成角为θ，则sin θ＝|cos 〈CD →，n 〉|＝|CD →·n ||CD →||n |＝22×8＝12，∴直线CD 和平面P AD 所成角的正弦值为12．(3)假设棱P A 上存在一点E ，使得平面P AB 与平面BDE 所成锐二面角的正切值为5， 设PE →＝λP A →(0＜λ＜1)，且E (x ，y ，z )，则(x ，y ，z －2)＝λ(2,0，－2)， ∴E (2λ，0,2－2λ)，设平面DEB 的一个法向量为m ＝(a ，b ，c )， BE →＝(2λ，0,2－2λ)，BD →＝(2,2,0)，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·BE →＝2λa ＋(2－2λ)c ＝0m ·BD →＝2a ＋2b ＝0，取a ＝λ－1，得m ＝(λ－1,1－λ，λ)，平面P AB 的法向量p ＝(0,1,0)，∵平面P AB 与平面BDE 所成锐二面角的正切值为5， ∴平面P AB 与平面BDE 所成锐二面角的余弦值为66， ∴|cos 〈m ，p 〉|＝|m ·p ||m ||p |＝1－λ2(1－λ)2＋λ2＝66， 解得λ＝23或λ＝2(舍)，∴在棱P A 上存在一点E ，使得平面P AB 与平面BDE 所成锐二面角的正切值为5，E 为棱P A 上靠近A 的三等分点．20．(12分)如图，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左右顶点分别是A (－2，0)，B (2，0)，离心率为22.设点P (a ，t )(t ≠0)，连接P A 交椭圆于点C ，坐标原点是O ．(1)证明：OP ⊥BC ；(2)若三角形ABC 的面积不大于四边形OBPC 的面积，求|t |的最小值． (1)证明：由题意可知：a ＝2，e ＝ca ＝1－b 2a 2＝22，则b ＝1， ∴椭圆的标准方程：x 22＋y 2＝1，设直线P A 的方程 y ＝t22(x ＋2)，则⎩⎨⎧x 22＋y 2＝1y ＝t22(x ＋2)，整理得：(4＋t 2)x 2＋22t 2x ＋2t 2－8＝0， 解得：x 1＝－2，x 2＝42－2t 24＋t 2，则C 点坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫42－2t24＋t2，4t 4＋t 2， 故直线BC 的斜率k BC ＝－2t ，直线OP 的斜率k OP ＝t 2， ∴k BC ·k OP ＝－1， ∴OP ⊥BC ；(2)解：由(1)可知：四边形OBPC 的面积 S 1＝12×|OP |×|BC |＝2|t ||t 2＋2|t 2＋4，则三角形ABC 的面积S 2＝12×22×4|t |4＋t 2＝42|t |4＋t 2，由42|t |4＋t 2≤2|t ||t 2＋2|t 2＋4，整理得：t 2＋2≥4， 则|t |≥2，∴|t |min ＝2，|t |的最小值2．21．(12分)已知函数f (x )＝2x －(x ＋1)ln x ，g (x )＝x ln x －a x 2－1． (1)求证：对∀x ∈(1，＋∞)，f (x )＜2；(2)若方程g (x )＝0有两个根，设两根分别为x 1、x 2，求证：ln x 1＋ln x 22＞1＋2x 1x 2．证明：(1)∵f (x )＝2x －(x ＋1)ln x ， ∴f ′(x )＝1－ln x －1x ，令h (x )＝1－ln x －1x，∴h ′(x )＝－1x ＋1x 2＝1－xx 2＜0，在(1，＋∞)恒成立，∴h (x )在(1，＋∞)单调递减， ∴h (x )＜h (1)＝1－ln 1－1＝0，∴f (x )在(1，＋∞)单调递减，∴f (x )＜f (1)＝2， ∴对∀x ∈(1，＋∞)，f (x )＜2(2)由g (x )＝x ln x －ax 2－1＝0，得ln x －1x ＝ax ，于是有ln x 1－1x 1＝ax 1，ln x 2－1x 2＝ax 2，两式相加得ln x 1x 2－x 1＋x 2x 1x 2＝a (x 1＋x 2)，①，两式相减得lnx 2x 1－x 1－x 2x 1x 2＝a (x 2－x 1)，②， 由②可得lnx 2x 1x 2－x 1＋1x 1x 2＝a ，③，将③代入①可得，ln x 1x 2－x 1＋x 2x 1x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫ln x 2x 1x 2－x 1＋1x 1x 2(x 1＋x 2)， 即ln x 1x 2－2×x 1＋x 2x 1x 2＝x 1＋x 2x 2－x 1·ln x 2x 1，不妨设0＜x 1＜x 2，t ＝x 2x 1＞1，则x 1＋x 2x 2－x 1·ln x 2x 1＝t ＋1t －1 ln t ，由(1)可得t ＋1t －1ln t ＞2，∴ln x 1x 2－2×x 1＋x 2x 1x 2＞2，∵ln x 1x 2－2×x 1＋x 2x 1x 2＜4x 1x 2x 2x 1＝ln x 1x 2－4x 1x 2＝2ln x 1x 2－4x 1x 2，∴2ln x 1x 2－4x 1x 2＞2，∴ln x 1x 2－2x 1x 2＞1， 即ln x 1＋ln x 22＞1＋2x 1x 2． 以下两题请任选一题：[选修4－4：坐标系与参数方程]22．(10分)已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝mty ＝3t(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ2cos 2θ＋4ρ2sin 2θ＝4，直线l 过曲线C 的左焦点F ．(1)直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求|AB |； (2)设曲线C 的内接矩形的周长为c ，求c 的最大值．解：(1)曲线C ：x 24＋y 2＝1，∴F (－3，0)，曲线C 与直线联立得13t 2－23t －1＝0，方程两根为t 1，t 2，则AB ＝2|t 1－t 2|＝1613． (2)设矩形的第一象限的顶点为(2cos θ，sin θ)⎝⎛⎭⎫0＜θ＜π2，所以c ＝4(2cos θ＋sin θ)＝45sin(θ＋φ)， 所以当sin(θ＋φ)＝1时，c 最大值为45． [选修4－5：不等式证明选讲]23．(10分)已知函数f (x )＝9sin 2x ＋4cos 2x ，x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且f (x )≥t 恒成立． (1)求实数t 的最大值；(2)当t 取最大时，求不等式⎪⎪⎪⎪x ＋t5＋|2x －1|≤6的解集． 解：(1)因为f (x )＝9sin 2x ＋4cos 2x ，x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且f (x )≥t 恒成立， 所以只需t ≤f (x )min ，又因为f (x )＝9sin 2x ＋4cos 2x ＝⎝⎛⎭⎫9sin 2x ＋4cos 2x (sin 2x ＋cos 2x )＝13＋9cos 2x sin 2x ＋4sin 2xcos 2x≥13＋29×4＝25，所以t ≤25，即t 的最大值为25．(2)t 的最大值为25时原式变为|x ＋5|＋|2x －1|≤6， 当x ≥12时，可得3x ＋4≤6，解得12≤x ≤23；当x ≤－5时，可得－3x －4≤6，无解；当－5≤x ≤12时，可得－x ＋6≤6，可得0≤x ≤12；综上可得，原不等式的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |0≤x ≤23．。
2019届高三理科数学一轮复习《充分条件和必要条件》专题测试
2019届高三理科数学一轮复习《充分条件和必要条件》一、选择题（本大题共12小题）1.若两个集合A、B是非空集合，则“AA=⋃”的（）BBA=⋂”是“AA. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件2.设，则“”是“”的( )A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件3.在中，角所对边分别为，若是钝角三角形，则p是q的（）条件A. 充分非必要B. 必要非充分C. 充要条件D. 既不充分也不必要4.设{ a n}是等比数列，则“a1＜a2＜a3是“数列{ a n}是递增数列”的（）条件A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充要D. 既不充分也不必要5.若实数，则“”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6.“”是“函数有零点”的（）条件A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充分必要D. 既不充分也不必要7.若集合A={1,}、B={3,4}, 则“m= 2 ”是“A∩ B={4}”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件8.在中，角对应的边分别为．若则“”是" ”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件9.“”是“”的（）A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件10.若a、b、c是常数，则“a＞0且b2－4 ac＜0”是“对任意x∈R，有ax2+ bx+ c＞0”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 必要条件11.“x＞5”的一个必要而不充分条件是（）A. B. C. D.12.“是函数在区间内单调递增”的（）A. 充分必要条件B. 必要不充分条件C. 充分不必要条件D. 既不充分也不必要条件二、填空题（本大题共4小题）13.有下列四个命题：①命题“若则互为倒数”的逆命题；②命题“面积相等的三角形全等”的否定；③命题“若则有实根”的否命题；④命题“直线和直线垂直的充要条件是”，其中是真命题的序号是_____________14.“函数在上是单调递增函数”是“函数在上是单调递增函数”的条件（填“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”）；15.若＜＜是不等式m-1＜x＜m+1成立的一个充分非必要条件，则实数m的取值范围是______ ．16.“”是“”的___________条件. (选填“充要”、“充分不必要”、“必要不充分”“既不充分也不必要”)三、解答题（本大题共6小题）17.命题p：实数满足，其中；命题q：实数满足或，且是的必要不充分条件，求的取值范围.18.已知集合 .（1）能否相等？若能，求出实数的值；若不能，试说明理由；（2）若命题，命题，且是充分不必要条件，求实数的取值范围 .19.已知命题：，命题：.（1）若，求实数的值；（2）若是的充分条件，求实数的取值范围.20.集合A＝＝－＋，，，B＝{x| x＋m2≥1}．若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，求实数m的取值范围．21.已知p:,q:,若是的必要不充分条件，求实数m的取值范围。
2019届高三数学一模检测试题 理(含解析)新人教版
2019届高中毕业班第一次质量检测数学（理科）试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题60分）和第Ⅱ卷（非选择题90分）两部分，满分150分，考试时间120分钟. 注意事项：1．答题前，务必在试卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致. 务必在答题卡背面规定的地方填写姓名和座位号后两位.2．答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.3．答第Ⅱ卷时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡．．．上书写，要求字体工整、笔迹清晰. 作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚. 必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效．．．．．．．．.．．．．．．．．．．．．．，在试题卷．．．．、草稿纸上答题无效4．考试结束，务必将试卷和答题卡一并上交.参考公式：球的表面积公式：球的体积公式：第Ⅰ卷（选择题满分60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请在答题卷的相应区域答题．．．．．．．．．．．．.）1. 集合，集合，则等于A. B. C. D.【答案】B【解析】集合集合，........................则.故选B.2. 已知复数，，,是虚数单位，若是实数，则A. B. C. D.【答案】A【解析】复数，，.若是实数，则，解得.故选A.3. 若双曲线与直线无交点，则离心率的取值范围是A. B. C. D.【答案】D【解析】双曲线的渐近线为.若双曲线与直线无交点，则.离心率.所以.故选D.4. 如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为的扇形，是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于的小路．已知某人从沿走到用了2分钟，再沿着走到用了3分钟.若此人步行的速度为每分钟50米，则该扇形的半径的长度为( )米.A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：设该扇形的半径为r米，连接CO．由题意，得CD=150（米），OD=100（米），∠CDO=60°，在△CDO中，，即，，解得（米）．考点：1．扇形面积公式；2．余弦定理求三角形边长5. 《九章算术》卷5《商功》记载一个问题“今有圆堡瑽，周四丈八尺，高一丈一尺 .问积几何？答曰：二千一百一十二尺.术曰：周自相乘，以高乘之，十二而一”.这里所说的圆堡瑽就是圆柱体，它的体积为“周自相乘，以高乘之，十二而一”. 就是说：圆堡瑽（圆柱体）的体积为(底面圆的周长的平方高)，则由此可推得圆周率的取值为A. B. C. D.【答案】A【解析】设圆柱体的底面半径为，高为，由圆柱的体积公式得体积为：.由题意知.所以，解得.故选A.6. 下列判断错误的是A. 若随机变量服从正态分布,则；B. 若组数据的散点都在上，则相关系数；C. 若随机变量服从二项分布：, 则；D. 是的充分不必要条件；【答案】D【解析】对于A.若随机变量服从正态分布，则，由得.,A正确；对于B.若组数据的散点都在上，则相关系数，B正确；对于C. 若随机变量服从二项分布：, 则；对于D.若，未必有，例如当时，，充分性不成立，D错误.故选D.7. 执行如图所示的程序框图，若输入的，则输出的，的值分别为A. B. C. D.【答案】C【解析】执行程序：均为偶数，且所以；均为偶数，且所以；均为偶数，且所以；不均为偶数，且所以;不均为偶数，且所以.此时，所以输出.故选C.点睛：本题主要考查程序框图的循环结构流程图. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.8. 已知定义在上的函数满足，且是偶函数，当时，.令，若在区间内，函数有4个不相等实根，则实数的取值范围是A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意知，是定义在R上的周期为2的偶函数，令,作其与y=f(x)的图象如下，函数有4个不相等实根，等价于与y=f(x)有4个交点，所以，解得.故选C.点睛：已知函数零点(方程根)的个数，求参数取值范围的三种常用的方法：(1)直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法，先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．一是转化为两个函数的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为的交点个数的图象的交点个数问题9. 我国的第一艘航空母舰“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有架“歼—”飞机准备着舰，如果乙机不能最先着舰，而丙机必须在甲机之前着舰（不一定相邻），那么不同的着舰方法种数为A. B. C. D.【答案】C【解析】架“歼—”飞机着舰的方法共有种，乙机最先着舰共有种，如果乙机不能最先着舰，而丙机必须在甲机之前着舰（不一定相邻）有：.故选C.10. 2017年中学数学信息技术研讨会,谈到了图像计算器在数学教学中的应用.如图输入曲线方程,计算器显示线段，则线段的曲线方程为A.B.C.D.【答案】A【解析】根据题中示例可知：之所以可以表示为之所以可以表示线段.因为方程等价于，即，即为线段.由此可得题中线段的方程为：，等价于.故选A.11. 如图是某几何体的三视图，正视图是等边三角形，侧视图和俯视图为直角三角形，则该几何体外接球的表面积为A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：由三视图可知，这个几何体是三棱锥.如图所示，为球心，为等边三角形的外心，由图可知，故外接球面积为.考点：三视图.【思路点晴】设几何体底面外接圆半径为,常见的图形有正三角形,直角三角形,矩形,它们的外心可用其几何性质求;而其它不规则图形的外心,可利用正弦定理来求.若长方体长宽高分别为则其体对角线长为;长方体的外接球球心是其体对角线中点.找几何体外接球球心的一般方法:过几何体各个面的外心分别做这个面的垂线,交点即为球心.12. 设函数，其中,若存在唯一的整数，使得，则的取值范围是A. B. C. D.【答案】A【解析】设.恒过(，恒过(1,0)因为存在唯一的整数，使得，所以存在唯一的整数，使得在直线下方.因为，所以当时，,单调递减；当时，,单调递增.所以.作出函数图象如图所示：根据题意得：，解得：.故选A.点睛：利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题，同时也可以转化为两个函数的图象关系..第Ⅱ卷（非选择题满分90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请在答题卷的相应区域答题．．．．．．．．．．．．.）13. 的展开式的常数项为_______________．【答案】70【解析】试题分析：的展开式中第项为令可得故展开式中的常数项为，故答案为.考点：二项展开式定理的应用.14. 将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象，若在上为增函数，则的最大值为__________．【答案】2【解析】函数的图象向右平移个单位，得到函数，y=g(x)在上为增函数，所以，即：ω⩽2，所以ω的最大值为：2.故答案为：2.点睛：三角函数中函数图象的平移变化是常考知识点，也是易错题型.首项必须看清题目中是由哪个函数平移，平移后是哪个函数；其次，在平移时，还要注意自变量x的系数是否为1，如果x有系数，需要将系数提出来求平移量，平移时遵循“左加右减”.15. 已知直线过点，若可行域的外接圆直径为20，则_____．【答案】【解析】由题意知可行域为图中△OAB及其内部，解得，又,则∠AOB=30°，由正弦定理得，解得.故答案为.16. 给出以下四个命题，其中所有真命题的序号为___________．①函数在区间上存在一个零点，则的取值范围是；②“”是“成等比数列”的必要不充分条件；③，；④若，则.【答案】②③④【解析】①,∵在区间(−1,1)上存在一个零点，∴,解得或，故①错误；②，若“”，则不一定成等比数列，例如，但“成等比数列”则有，所以“”成立，“”是“成等比数列”的必要不充分条件，故②正确；③,由图可知,单位圆O中，，设,又，所以，故③正确；④,∵为增函数,均为减函数，∴，故④正确；故答案为②③④.三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请在答题卷的相应区域．．．．．．．．．．答题．．.）17. 已知数列是等差数列，数列是公比大于零的等比数列，且, . （1）求数列和的通项公式;（2）记，求数列的前项和.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）设出等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q，且q>0．由已知列式求得等差数列的公差和等比数列的公比，代入等差数列和等比数列的通项公式得答案；（2）由c n=a bn结合数列{a n}和{b n}的通项公式得到数列{c n}的通项公式，结合等比数列的前n项和求得数列{c n}的前n项和S n．试题解析：（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，且．由，得，解得．所以．由，得，又，解得．所以．（2）因为，所以．18. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，,且,平面.（1）求与平面所成角的正弦值;（2）棱上是否存在一点,满足？若存在，求的长；若不存在，说明理由.【答案】（1）；（2）见解析.【解析】试题分析：（1）建立空间直角坐标系，借助空间向量数量积的坐标形式进行求解；（2）依据题设条件，运用向量的坐标形式建立方程，即判定方程是否有解：解：（1）依题意，以为坐标原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，则，从而.设平面的法向量为,则，且，即，且，不妨取，则，所以平面的一个法向量,此时，所以与平面所成角的正弦值为；（2）设，则则，由得，化简得，，该方程无解，所以，棱上不存在一点满足.19. 心理学家分析发现视觉和空间能力与性别有关，某数学兴趣小组为了验证这个结论，从兴趣小组中按分层抽样的方法抽取名同学（男人，女人），给所有同学几何题和代数题各一题，让各位同学只能自由选择其中一道题进行解答.选题情况如下表（单位：人）：（1）能否据此判断有的把握认为视觉和空间能力与性别有关？（2）现从选择做几何题的名女生中，任意抽取两人,对她们的答题情况进行全程研究，记甲、乙两位女生被抽到的人数为，求的分布列和.附表及公式：【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】试题分析：（1）计算K2，对照附表做结论；（2）使用组合数公式和古典概型的概率计算公式分别计算X取不同值时的概率，得到X的分布列，求出数学期望．试题解析：（1）由表中数据得的观测值：，所以根据统计有的把握认为视觉和空间能力与性别有关.（2）可能取值为，，，，的分布列为：.点睛：求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；第二步是“探求概率”，即利用排列组合，枚举法，概率公式（常见的有古典概型公式、几何概率公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积，以及对立事件的概率公式等），求出随机变量取每个值时的概率；第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布(如二项分布，则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式()求得.因此，应熟记常见的典型分布的期望公式，可加快解题速度.20. 已知椭圆的左、右焦点分别为、，短轴两个端点为、，且四边形是边长为的正方形.（1）求椭圆的方程；（2）若、分别是椭圆的左、右端点，动点满足，连接，交椭圆于与点.证明：为定值.【答案】（1）；（2）见解析.【解析】试题分析：（1）求椭圆标准方程，关键是求出，为此要列出关于的两个等式，由椭圆的性质及，四边形是边长为2的正方形，知；（2）本小题采用解析几何的基本方法，设，写出直线方程，再代入椭圆方程求得点坐标，然后直接计算，可得定值．试题解析：（1），，∴，∴椭圆方程为．（2），，设，，则，，直线，即，代入椭圆得，∵，∴，，∴，∴（定值）考点：椭圆的标准方程，椭圆的综合应用．【名师点晴】1．确定一个椭圆的标准方程，必须要有一个定位条件（即确定焦点的位置）和两个定形条件（即确定a，b的大小）．当焦点的位置不确定时，应设椭圆的标准方程为＋＝1 （a>b>0）或＋＝1 （a>b>0），或者不必考虑焦点位置，直接设椭圆的方程为mx2＋ny2＝1 （m>0，n>0，且m≠n）．2．解析几何中的定值问题，可根据已知条件设出一个参数，用这个参数表示出相应点的坐标，直线斜率、直线方程或曲线方程等等，再求出结论，如本题求出，它的最终结果与参数无关，是定值．21. 已知函数.（1）讨论的单调性；（2）若有两个极值点，，证明：.【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】试题分析：（1）先求出函数的导数，通过讨论a的范围，确定导函数的符号，从而判断函数的单调性；（2）表示出，设令,通过求导进行证明．试题解析：（1）函数的定义域为..，方程的判别式.①当时，，∴，故函数在上递减；②当时，，由可得，.函数的减区间为；增区间为.所以，当时，在上递减；当时，在上递增，在，上递减.（2）由（1）知当时，函数有两个极值点，且.设，则，，所以在上递增，，所以.考生注意：请在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一个题目计分.作答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题目后的方框涂黑．22. 选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，以为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为，直线的参数方程为（为参数），直线与曲线交于，两点.（1）写出曲线的直角坐标方程和直线的普通方程;（2）若，求的值.【答案】（1）曲线，直线；（2）.【解析】试题分析：（1）将曲线C的方程两边分别乘以，再利用极坐标与直角坐标互化公式即可将极坐标方程化为直角坐标方程，对直线方程，消去参数t,即可化为普通方程；（2）将直线的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，化为关于t二次方程，利用根与系数关系及参数t的几何意义，即可求出|PM|+|PN|的值.试题解析：(1)曲线C的直角坐标方程为，直线的普通方程. 6分(2)直线的参数方程为(t为参数),代入y2=4x, 得到,设M,N对应的参数分别为t1,t2则所以|PM|+|PN|=|t1+t2|=14分考点：直角坐标方程与参数方程的互化；极坐标方程与直角坐标方程互化；直线的参数方程中参数的意义；直线与抛物线的位置关系.23. 选修4—5：不等式选讲已知函数，，且的解集为.（1）求的值；（2）若是正实数，且，求证：.【答案】（1）；（2）见解析.【解析】试题分析：（1）由题意可得的解集为，由绝对值不等式的解法即可得；（2）将代入得，可得,展开运用基本不等式即可证得. 试题解析：（1）因为，所以等价于，由有解，得，且其解集为.又的解集为，故（2）由（1）知，又是正实数，由均值不等式得：，当且仅当时取等号，所以.。
山东省2019届高三第一次大联考理科数学试题(含解析)
一、选择题1．已知集合3{(,)|}A x y y x ==，{(,)|}B x y y x ==，则A B 的元素个数是（）A.0B. 1C. 2D. 3 答案： D 解答：【评析】本题考查集合的表示、交集的运算，考查幂函数的图像.凸显了直观想象考查.解答本题首先要能理解集合,A B 表示的是点集，表示的是两个幂函数的图像上所有点组成的集合，其次需要熟悉常见幂函数的图像，最后要理解集合A B 的元素个数就是这两个函数图像交点的个数.由幂函数3,y x y x ==的图像可以知道，它们有三个交点(1,1),(0,0),(1,1)--，所以集合A B有三个元素．2．已知在复平面内，复数12,z z 对应的点分别是12(2,1),(1,1)Z Z -，则复数12z z 对应的点在（） A.第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限D.第四象限 答案： D 解答：【评析】本题考查复数的几何意义、复数运算，突显数学运算、直观想象的考查.解答本题首先 要理解复平面内点与复数的对应关系，其次要能熟练进行复数的四则运算.122i (2i)(1i)13i 1i 22z z ----===+，对应的点的坐标是13(,)22-，在第四象限． 3．已知{}n a 是等差数列，且12343,6a a a a +=-+=-，则{}n a 的前10项和等于（）A. 15-B. 25-C. 45-D. 60- 答案： C 解答：【评析】本题考查等差数列的判定、通项公式、前n 项和公式，考查方程思想.突显了数学建模的考查.解答本题首先要知道{}n a 是等差数列，则212{}nn a a 也是等差数列，建立等差数列模型，其次是要找好新等差数列的首项123a a +=-及公差3412'()()d a a a a ,最后需要理解到{}n a 的前10项和即为数列212{}nn a a 的前5项和.解答本题也可以首先根据条件列出两个关于1,a d的方程，从而求出1,a d,再利用前n 项和公式求解.101234910()()()3(12345)45S a a a a a a =++++++=-⨯++++=-．4.已知向量(1,0),(3,4)a b ==-的夹角为θ，则cos θ2等于（）A. 725-B.725 C. 2425-D.2425答案： A 解答：【评析】本题考查向量的坐标运算、二倍角公式，突显了数学抽象的考查.解答本题首先要根据 向量夹角公式和坐标运算公式求出cos ,再利用二倍角的余弦公式求解.33cos 155θ-==-⨯，所以27cos 22cos 125θθ=-=-． 5．已知00(,)A x y 是抛物线24y x =上的点，点F 的坐标为(1,0)，则“0[1,3]x ∈”是“||[3,4]AF ∈”的（）A.充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 答案： B 解答：【评析】本题考查抛物线的定义、标准方程、充要条件的判定，突显了逻辑推理的考查.解答本题首先要根据抛物线的标准方程和定义找到||AF 与0x的关系，从而发现||[3,4]AF 的等价条件，其次要正确理解条件与结论的关系，准确作出判断.||[3,4]AF ∈001[3,4][2,3]x x ⇔+∈⇔∈，因为[2,3][1,3]⊂≠，所以选B ．6．下图是相关变量,x y 的散点图，现对这两个变量进行线性相关分析，方案一：根据图中所有数据，得到线性回归方程11y b x a =+，相关系数为1r ；方案二：剔除点(10,21)，根据剩下数据得到线性回归方程：22y b x a =+，相关系数为2r .则（）A.1201r r <<<B. 2101r r <<<C. 1210r r -<<<D. 2110r r -<<< 答案： D 解答：【评析】本题考查线性回归分析，重点考查散点图、相关系数，突显了数据分析、直观想象的考查.解答本题首先要能理解散点图，其次需要理解相关系数与正负相关的关系，最后还需要理解相关系数的意义：其绝对值越接近1，说明两个变量越具有线性相关性.负相关，所以12,0r r <，因为剔除点(10,21)后，剩下点数据更具有线性相关性，||r 更接近1，所以2110r r -<<<．7.设23342,log 15,log 20a b c ===，则,,a b c 的大小关系是（） A.a b c << B. a c b << C. b c a << D. c b a << 答案： B 解答：【评析】本题考查对数运算，考查指数、对数函数的性质，考查不等式的性质，考查函数与方程思想，突显了数学运算、数学建模的考查.解答本题首先需要根据对数运算将,b c 化简，然后建立指数函数、对数函数模型，根据指数函数、对数函数的性质判断,,a b c 与2的大小关系，最后还需要根据换底公式、不等式性质等判断出,b c 的大小关系.122a <=，3log 92b >=，4log 162c >=，所以a 最小，341log 5,1log 5b c =+=+，因为11lg 5lg 50lg 3lg 4lg 3lg 4lg 3lg 4b c <<⇒>⇒>⇒>． 8.执行如图所示程序框图，输出的结果是（）A.5B. 6C. 7D. 8 答案： B 解答：【评析】本题考查程序框图、等比数列的判定、等比数列的前n项和公式，突显了数学运算、数学建模的考查.解答本题首先要根据程序框图正确得到等比数列模型，再根据等比数列前n 项和公式求解.该题易错点是B 是数列1{2}n 的前1n 项和，而不是数列{2}n 的前n 项和. 如图所示i n =时，B 是等比数列1{2}n -的前1n +项和，即21122221n n B +=++++=-，由1100210117n B n +≥⇒≥⇒+≥，所以输出的是6．9．过两点(4,0),(4,0)A B -分别作斜率不为0且与圆226290(0)x y x my m +--+=≠相切的直线,AC BC ，当m 变化时，交点C 的轨迹方程是（）A.221(3)97x y x -=> B. 221(4)169x y x -=>C. 212(0)y x x => D. 216(0)y x x => 答案： A 解答：【评析】本题考查圆的方程、双曲线的定义及其标准方程.突显了直观想象、逻辑推理的考查.解答本题首先要正确根据圆的方程找到圆心和半径，然后根据圆的切线性质发现动点C 满足的几何条件，从而判断出动点C 的轨迹，再根据双曲线的标准方程找出轨迹方程.圆方程为222(3)()x y m m -+-=与x 轴相切于点(3,0)M ，设,AC BC 与圆的切点分别为,N P ，则||||||||||||6AC BC AN BP AM BM -=-=-=，所以点C 的轨迹是以,A B 为焦点且实轴长为6的双曲线的右支，所以选A ．10.在解三角形的问题中，其中一个比较困难的问题是如何由三角形的三边,,a b c 直接求三角形的面积，据说这个问题最早是由古希腊数学家阿基米德解决的，他得到了海伦公式即()()()S p p a p b p c =---，其中1()2p a b c =++．我国南宋著名数学家秦九韶（约1202-1261）也在《数书九章》里面给出了一个等价解法，这个解法写成公式就是2221()4S c a =-∆，这个公式中的∆应该是（） A.2()2a cb ++ B.2a c b+- C. 2222c a b +-D.2a b c++ 答案： C 解答：【评析】本题考查余弦定理、三角形面积公式、同角三角函数关系式，弘扬中国古代数学文化，突显了数学抽象的考查.解答本题首先要注意观察、联想三角形面积公式1sin 2Sca B ,从而发现∆应该等于|cos |ca B ,再根据余弦定理得到答案.因为222cos 2c a b ac B +-=1sin 2ac B S ==．11．如图，1111ABCD A B C D -是棱长为4的正方体，P QRH -是棱长为4的正四面体，底面ABCD ,QRH 在同一个平面内，QH BC //，则正方体中过AD 且与平面PHQ 平行的截面面积是（）A.B.C.D. 答案： C 解答：【评析】本题考查正棱锥的平行关系、等角定理，考查空间想象能力，突显了直观想象的考查.解答本题首先要根据面面平行的性质定理确定截面的形状，再根据正四面体的性质、等角定理等确定点,E F 的具体位置、AE 的长度，从而求出截面面积.设截面与1111,A B D C 分别相交于点,E F 则//EF AD ，过点P 作平面QRH 的垂线，垂足为O，则O 是底面QRH 的中心.设OR HQ G =，则EAB PGO ∠=∠，又因为23RG RO OG ===，3PO ==，所以sin sin 3PO EAB PGO PG ∠=∠==，所以43EA EA =⇒=，所以四边形AEFD的面积4S =⨯=．12．已知函数e ,0,()2e (1),0xx m mx x f x x x -⎧++<⎪=⎨⎪-≥⎩（e 为自然对数的底），若方程()()0f x f x -+=有且仅有四个不同的解，则实数m 的取值范围是（） A.(0,e) B. (e,+)∞ C. (0,2e) D.(2e,)+∞答案： D 解答：【评析】本题考查函数的奇偶性、函数零点、导数的几何意义，考查函数与方程思想、数形结合思想、转化与化归思想，突显了直观想象、数学抽象、逻辑推理的考查.解答本题首先需要根据方程特点构造函数()()()F x f x f x ,将方程根的问题转化为函数零点问题，并根据函数的奇偶性判断出函数()F x 在(0,)上的零点个数，再转化成方程1e ()2x x m x =-解的问题，最后利用数形结合思想，构造两个函数，转化成求切线斜率问题，从而根据斜率的几何意义得因为函数()()()F x f x f x =-+是偶函数，(0)0F ≠，所以零点成对出现，依题意，方程有两个不同的正根，又当0x >时，()e 2x mf x mx -=-+，所以方程可以化为： e e e 02x x x m mx x -++-=，即1e ()2x x m x =-，记()e x g x x =，()e (1)x g x x '=+，设直1()2y m x =-与()g x 图像相切时的切点为(,e )tt t ，则切线方程为e e (1)()tty t t x t -=+-，过点1(,0)2，所以1e e (1)()12t t t t t t -=+-⇒=或12-（舍弃），所以切线的斜率为2e ，由图像可以得2e m >． 二、填空题13．5(2)(1)a b c --的展开式中，32a b c 的系数是. 答案：40-解答：【评析】本题考查二项式定理，突显了数学运算的考查.解答本题首先要将5(2)(1)a b c --化成55(2)(2)a b c a b ---，并注意到5(2)a b -的展开式中不会出现32a b c ，最后用二项式定理求5(2)c a b -⋅-中32a b c 的系数，从而得解.依题意，只需求5(2)c a b -⋅-中32a b c 的系数，是225(2)40C -⋅-=-．14. 已知ABC ∆是等腰直角三角形，||||1AC BC ==，()(R,0)CP CA CB λλλ=+∈>，4AP BP ⋅=，则λ等于.2解答：【评析】本题考查向量的运算、坐标法，考查方程思想，突显直观想象的考查.解答本题首先需要依据直观想象，根据条件建立直角坐标系，将向量的几何运算转化为坐标运算，其次需要根据条件建立关于实数的方程，通过解方程得到解.以,CA CB 所在直线分别为x 轴，y 轴，建立直角坐标系，则(1,0),(0,1),(0,0),(,)A B C P λλ，所以(1,),(,1)AP BP λλλλ=-=-， 所以2(1)4λλ-=，解得2λ=或1-（舍去）.15. 如图，已知四棱锥P ABCD -底面是边长为4的正方形，侧面PBC 是一个等腰直角三角形，PB PC =，平面PBC ⊥平面ABCD ，四棱锥P ABCD -外接球的表面积是.答案：32π解答：【评析】本题考查两平面垂直的性质、球的性质及表面积公式，考查空间想象能力，突显了直观想象的考查.解答本题首先要理解到外接球球心与各面中心连线垂直该面，从而通过找两个面的中心，并依据面面垂直的性质过中心作垂线，找到外接球的球心，然后确定外接球的半径，并计算球的表面积得到解.DCBAP过PBC ∆的外心即BC 的中点E 作平面PBC 的垂线，该垂线过正方形的中心O ，所以点O 为该四棱锥外接球的球心，其半径R OA ==2432S R ππ==．16. 已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足12,a =-2S 是34,S S 的等差中项．设m 是整数，若存在N n +∈，使得等式3(1)402n n n S a m a m ++⋅+=成立，则m 的最大值是. 答案：16解答：【评析】本题考查等差中项、等比数列的通项公式及前n 项和公式，考查函数思想.突显了数学运算、数学建模的考查.解答本题首先需要依据条件求出等比数列的通项公式及前n 项和公式，然后要利用函数思想，为了求m 的最值，需要把m 表示成n 的函数，最后根据,m n 是整数确定这个函数的定义域，从而找到这个函数值域，得到m 的最大值. 因为2S 是34,S S 的等差中项，所以34243234322222S S S S S S S a a q +=⇒-=-⇒=-⇒=-，所以(2)nn a =-，12(2)3n n S +---=，等式3(1)402n n n S a m a m ++⋅+=，化为：2(2)[(2)4]0n n m -+-+=， OE DCB AP因此2(2)16(2)4(2)4(2)4n nn n m --==--+-+-+，因为m 为整数，所以|(2)4|161,2,3nn -+≤⇒=，当1n =时，2482m m -=--+⇒=-， 当2n =时，164428m m -=-+⇒=-， 当3n =时，1684164m m -=--+⇒=-． 三、解答题17．如图，点,A B 分别是圆心在原点，半径为1和2的圆上的动点．动点A 从初始位置0(cos,sin )33A ππ开始，按逆时针方向以角速度s /rad 2作圆周运动，同时点B 从初始位置)0,2(0B 开始，按顺时针方向以角速度s /rad 2作圆周运动．记t 时刻，点B A ,的纵坐标分别为12,y y ．（Ⅰ）求4t π=时刻，,A B 两点间的距离；（Ⅱ）求12yy y =+关于时间(0)t t >的函数关系式，并求当(0,]2t π∈时，这个函数的值域．答案：（Ⅰ）7；（Ⅱ）[2．解答：【评析】考查余弦定理、三角函数的定义、两角和与差的三角函数公式、三角函数的图像，考查函数思想、数形结合思想，突显了数学建模的考查.解答本题第一问首先要确定π4t=时刻,A B两点的坐标及,OA OB的长度、夹角，再利用两点距离公式或余弦定理求解；解答本题第二问，需要根据三角函数的定义先确定12,y y与t的函数关系式，从而得到所求函数关系式，再利用两角和与差的三角函数公式将函数关系式化成sin()y A x k（或cos()y A x k）的形式，最后根据三角函数图像确定值域.（Ⅰ）4tπ=时，,232xOA xOBπππ∠=+∠=，所以23AOBπ∠=，…… 2分又||1,||2OA OB==，所以2222||12212cos73ABπ=+-⨯⨯=，即,A B两点间的距离为7. ………………6分（Ⅱ）依题意，1sin(2)3y tπ=+，ty2sin22-=，………………8分所以3sin(2)2sin22sin2)323y t t t t tππ=+-=-=+，即函数关系为)(0)3y t tπ=+>，………………10分当(0,]2tπ∈时，2(,]333tπππ4+∈，所以1cos(2)[1,)32tπ+∈-，[2y∈．…12分18．已知四棱锥ABCD P -的底面ABCD 是等腰梯形，CD AB //，ACBD O =，AC PB ⊥，222====CD AB PB PA ，3=AC .（Ⅰ）证明：平面⊥PBD 平面ABCD ；（Ⅱ）点E 是棱PC 上一点，且//OE 平面PAD ，求二面角A OB E --的余弦值． 答案： （Ⅰ）见解析；（Ⅱ）2-． 解答：【评析】本题考查线面、面面垂直关系的判定，考查线面平行的性质，考查空间向量的应用，考查二面角的计算，考查转化与化归思想，考查空间想象能力，突显了直观想象、数学运算的考查.解答本题第一问首先需要在面ABCD 内发现垂直关系，再利用判定定理转化为线面垂直，从而得到面面垂直；解答本题第二问首先要通过垂直关系的判定正确建立空间直角坐标系找好,,A B P 的坐标，然后将线面平行即//OE 平面PAD 转化为线线平行PA OE //，从而确定平面的法向量，最后根据法向量求出二面角的余弦.本题特色是通过平行关系的转化避开了计算点E 的坐标，简化了求法向量的运算，本题要特别注意的是所求二面角是钝角，其余弦值为负.（Ⅰ）证明：等腰梯形ABCD 中，OAB ∆∽OCD ∆，所以2OA ABOC CD==，又3AC =，所以2OA =，所以2=OB . 所以222OA OB AB +=，所以OB OA ⊥，即BD AC ⊥，………………3分 又因为AC PB ⊥，且BDPB 于点B ，所以⊥AC 平面PBD ，又因为AC ⊂平面ABCD ，因此平面⊥PBD 平面ABCD . …6分 （Ⅱ）连接PO ，由（Ⅰ）知，⊥AC 平面PBD ，所以PO AC ⊥，所以222=-=OA PA PO ，所以222PO OB PB +=，即OB PO ⊥，………………7分 如图以,,OA OB OP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则(2,0,0),(0,2,0),(0,0,2)A B P ，平面AOB 的法向量(0,0,1)m =， 因为//OE 平面PAD ，⊂OE 平面PAC ， 平面PAC平面PA PAD =，所以PA OE //，………………9分设平面EOB 的法向量为(,,)n x y z =，则n OB ⊥，即0=y ，(,,)(2,0,2)0n OE n AP x y z x z ⊥⇒⊥⇒⋅-=⇒=，令1x =，则(1,0,1)n =，……11分所以cos ,2m n <>==，所以所求二面角的余弦值是2-．……………12分19．某公司生产某种产品，一条流水线年产量为10000件，该生产线分为两段，流水线第一段生产的半成品的质量指标会影响第二段生产成品的等级，具体见下表：从第一道生产工序抽样调查了100件，得到频率分布直方图如图：若生产一件一等品、二等品、三等品的利润分别是100元、60元、100 元.（Ⅰ）以各组的中间值估计为该组半成品的质量指标，估算流水线第一段生产的半成品质量指标的平均值；（Ⅱ）将频率估计为概率，试估算一条流水线一年能为该公司创造的利润；（Ⅲ）现在市面上有一种设备可以安装到流水线第一段，价格是20万元，使用寿命是1年，安装这种设备后，流水线第一段半成品的质量指标服从正态分布2(80,2)N ，且不影响产量.请你帮该公司作出决策，是否要购买该设备？说明理由．（参考数据：()0.6826P X μσμσ-<≤+=，(22)0.9548P X μσμσ-<≤+=，(33)0.9974P X μσμσ-<≤+=）答案： （Ⅰ）80.2； （Ⅱ）30万元； （Ⅲ）见解析. 解答：【评析】本题考查频率分布直方图、样本平均数的估算、独立事件的概率、随机变量的分布列及数学期望、正态分布，突显了数学建模、数据分析的考查.解答本题第一问首先要根据频率分布直方图确定各组的频率及中间值，再根据样本平均数的计算公式计算得到平均数；解答本题第二问首先要确定随机变量X 的所有可能取值，再根据独立事件的概率公式求出分布列，最后利用数学期望公式求X 的数学期望；本题第三问首先要根据正态分布的性质确定好,2μσμσ--等，然后类似第二问求出随机变量Y 的分布列及数学期望，最后根据随机变量,X Y 的数学期望的大小决策.本题特色综合考察概率统计的几个主要模型、体现概率统计在实际中的主要应用：用于决策. （Ⅰ）平均值为：720.1760.25800.3840.2880.1580.2⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.…3分 （Ⅱ）由频率直方图，第一段生产半成品质量指标(74P x ≤或86)x >0.25=，(7478P x <≤或8286)x <≤0.45=，(7882)0.3P x <≤=，………………4分设生产一件产品的利润为X 元，则(100)P X ==0.20.250.40.450.60.30.41⨯+⨯+⨯=， (60)0.30.250.30.450.30.30.3P X ==⨯+⨯+⨯=，(100)0.50.250.30.450.10.30.29P X =-=⨯+⨯+⨯=，………………7分所以生产一件成品的平均利润是1000.41600.31000.2930⨯+⨯-⨯=元，所以一条流水线一年能为该公司带来利润的估计值是30万元. ………………8分 （Ⅲ）374,78,82,386μσμσμσμσ-=-=+=+=，………………9分 设引入该设备后生产一件成品利润为Y 元，则(100)0.00260.20.31480.40.68260.60.536P Y ==⨯+⨯+⨯=， (60)0.00260.30.31480.30.68260.30.3P Y ==⨯+⨯+⨯=，(100)0.00260.50.31480.30.68260.10.164P Y =-=⨯+⨯+⨯=，………………11分所以引入该设备后生产一件成品平均利润为1000.536600.31000.16455.2EY =⨯+⨯-⨯=元，所以引入该设备后一条流水线一年能为该公司带来利润的估计值是55.2万元， 增加收入55.23020 5.2--=万元， 综上，应该引入该设备.………………12分20．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左右焦点分别为12(1,0),(1,0)F F -，点000(,)(0)P x y y >是椭圆C 上的一个动点，当直线OP的斜率等于2时，2PF x ⊥轴. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过点P 且斜率为02x y -的直线1l 与直线2:2l x =相交于点Q ，试判断以PQ 为直径的圆是否过x 轴上的定点？若是，求出定点坐标；若不是，说明理由. 答案：（Ⅰ）2212x y +=； （Ⅱ）见解析. 解答：【评析】本题考查椭圆的标准方程与几何性质、直线方程，考查数形结合思想、特殊与一般思想，突显了直观想象、数学运算、逻辑推理的考查.解答本题第一问首先要根据题设给的点P 的特殊位置，建立关于,,a b c 的等式，再通过解方程求出,,a b c ，从而得到所求标准方程；解答本题第二问首先要根据条件利用直线方程的点斜式得到直线1l 的方程，并能利用椭圆方程整理化简方程，然后求出点Q 的坐标，再根据圆的知识转化成向量垂直，待定出定点坐标.本题特色是回避了直线与椭圆方程联立，利用韦达定理求解.（Ⅰ）依题意22b a ac =⇒=，………………2分又因为221a b -=，所以2a =2=a .所以椭圆C 的方程为2212x y +=. ………………5分（Ⅱ）直线1l 的方程：0000()2x y y x x y -=--即22000022y y x x x y =-++，………………6分依题意，有220012x y +=，即220022x y +=，所以1l 的方程为0022x x y y +=，所以点01(2,)x Q y -，………………8分 设定点(,0)M m ，由000010()(2)0x MP MQ x m m y y -⋅=⇒--+⋅=，………………10分 即20(1)(1)0m x m -+-=，所以1m =，综上，存在定点(1,0)M 符合条件.………………12分 21．已知函数x xax a x f e )(e )(2-+=（e 为自然对数的底，a 为常数，a R ∈）有两个极值点21,x x ，且210x x <<．（Ⅰ）求a 的取值范围；（Ⅱ）若0)(2121<++x x m x x 恒成立，求实数m 的取值范围． 答案：（Ⅰ）(2e,)+∞；（Ⅱ）]21,(--∞.解答： 【评析】本题考查导数运算、导数的应用，考查函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合思想、分类与整合思想，突显了数学抽象、数学建模、逻辑推理的考查.解答本题第一问首先要通过导数运算将极值点问题转化为方程解的问题，从而转化成两个函数图像交点问题，再根据导数的应用确定函数的极值点、单调性，从而画出简图，判断出所求范围；解答本题第二问首先要灵活根据隐含条件消元，将不等式转化为关于12x x 的不等式，从而构造函数，建立函数模型，再通过分类讨论该函数的单调性，确定实数m 的取值范围.（Ⅰ）xxax x f e e 2)(2-='，由0)(='x f 得xa xe 2=，………………2分依题意，该方程有两个不同正实数根，记x x h x e 2)(=，则2)1(e 2)(x x x h x -='，当01x <<时，()0h x '<；当1>x 时，()0h x '>，所以函数()h x 在1x =处取得最小值(1)2e h =，所以a 的取值范围是(2e,)+∞.…………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）得：21(1,)x x ∈+∞，且112e xax =，所以112ln ln ln x x a +=+，222ln ln ln x x a +=+，所以1212ln ln x x x x -=-，………………6分因此0)(2121<++x x m x x 恒成立，即22122121(ln ln )()0x x x x m x x -+-<恒成立，即22221112ln 0x x x m x x x -+<，设21x t x =，即1ln ()0t m t t +-<在(1,)t ∈+∞上恒成立，从而0m <，记1()ln ()g t t m t t =+-，(1)0g =，211()(1)g t m t t'=++22(1)m t tt ++=，…8分 ① 当12m ≤-时，t t 212>+，所以t t m -<+)1(2，从而()0g t '<， 则()g t 在区间[1,)+∞上单调递减，所以当1t >时，()(1)0g t g <=恒成立；……………10分② 102m -<<时，()0g t '>等价于2110t t m ++<，2140m∆=->， 所以2110t t m ++=有两根21,t t ，且121211,0t t t t m=+=->，可以不妨设2110t t <<<， ()0g t '>在),1(2t t ∈时成立，所以()g t 在区间),1(2t 上单调递增，当),1(2t t ∈时，()(1)0g t g >=，即1ln ()0t m t t+-<在(1,)t ∈+∞上不恒成立，综上，m 的取值范围是]21,(--∞．………………12分四、选做题（2选1）22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为4cos (0)ρθρ=>．M 为曲线1C 上的动点，点P 在射线OM 上，且满足||||20OM OP ⋅=． （Ⅰ）求点P 的轨迹2C 的直角坐标方程；（Ⅱ）设2C 与x 轴交于点D ，过点D 且倾斜角为56π的直线l 与1C 相交于,A B 两点，求||||DA DB ⋅的值．答案： （Ⅰ）5x =； （Ⅱ）5. 解答：【评析】本题考查直线与圆的极坐标方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化、直线参数方程的应用，突显了直观想象的考查.解答本题第一问首先要依据动点,P M 的极坐标的关系找到点P 的极坐标方程，再化为直角坐标方程；解答本题第二问首先要根据条件确定直线l 的参数方程，依据参数t 的几何意义，结合解方程，利用韦达定理得到解.（Ⅰ）设P 的极坐标为)0)(,(>ρθρ，M 的极坐标为)0)(,(11>ρθρ，由题设知1,4cos OP OM ρρθ===．所以20cos 4=θρ，………………2分即2C 的极坐标方程cos 5(0)ρθρ=>，所以2C 的直角坐标方程为5x =．………………5分（Ⅱ）交点)0,5(D ，所以直线l的参数方程为5,212x t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）， 曲线1C 的直角坐标方程)0(0422≠=-+x x y x ， 代入得：05332=+-t t ，70∆=>，………………8分设方程两根为12,t t ，则12,t t 分别是,A B 对应的参数， 所以5||||||21==⋅t t DB DA ．………………10分 23.选修4-5：不等式选讲 已知函数|1|||)(-++=x a x x f ．（Ⅰ）当1=a 时，求不等式4)(+≥x x f 的解集；（Ⅱ）若不等式1)(2-≥a x f 恒成立，求实数a 的取值范围．答案：（Ⅰ）4{|3x x ≤-或4}x ≥； （Ⅱ）[1,2]-． 解答：【评析】本题考查绝对值不等式的解法、绝对值不等式定理，考查转化与化归思想、分类与整合思想，突显了数学运算、逻辑推理的考查.解答本题第一问首先要通过对绝对值内式子符号的讨论，将不等式转化为一元一次不等式组，再分别解各不等式组，最后求各不等式组解集的并集，得到所求不等式的解集；解答本题第二问首先要利用绝对值不等式定理得到函数()f x 的最小值，将不等式恒成立问题转化为关于a 的不等式解的问题，再通过对绝对值内式子符号的讨论，转化为不含绝对值的不等式组，最后求解不等式组.（Ⅰ）不等式为4|1||1|+≥-++x x x ，可以转化为：1,114x x x x ≤-⎧⎨---+≥+⎩或11,114x x x x -<<⎧⎨+-+≥+⎩或1,114x x x x ≥⎧⎨++-≥+⎩，………………2分 解得43x ≤-或4x ≥，所以原不等式的解集是4{|3x x ≤-或4}x ≥. ………………5分 （Ⅱ）|1||)1()(|)(min +=--+=a x a x x f ，所以1|1|2-≥+a a ⎩⎨⎧-≥---<⇔11,12a a a 或2111a a a ≥-⎧⎨+≥-⎩，………………8分 解得a ∈∅或21≤≤-a .所以实数a 的取值范围是[1,2]-．………………10分。
福州市2019届高三普通高中毕业班第一次质量检测理科数学试题(独家有答案)
福州市2019届高三普通高中毕业班第一次调研理科数学（满分：150分 时间：120分钟） 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）温馨提示：1．答题前，考生先将自己的姓名、班级、座号填写在答题卡上。
2．考生作答时，将答案写在答题卡上。
请按照题号在各题的答题区域内作答.在草稿纸、试题卷上答题无效。
3．考生不能使用计算器答题第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的. 把答案填写在答题卷相应位置上. 1.已知集合{|A x y ==，A B ⋂=∅，则集合B 不可能是A ．{|1}x x <-B ．{(,)|1}x y y x =-C ．2{|}y y x =- D ．{|1}x x ≥- 2．已知tan 43α=，则sin2α的值为 A. 2425- B. 2425 C. 725- D. 7253.下列判断错误的是A ．“||||am bm <”是“||||a b <”的充分不必要条件B ．命题“,0x R ax b ∀∈+≤”的否定是“00,0x R ax b ∃∈+>”C ．若()p q ⌝∧为真命题，则,p q 均为假命题D ．命题“若p ，则q ⌝”为真命题，则“若q ，则p ⌝”也为真命题4. 在平面直角坐标系xOy 中，四边形ABCD 是平行四边形，()2,1-=AB ，()1,2=AD , 则AC AD ⋅等于A. 5B. 4C. 3D. 2 5.已知函数()x f ax =的图像过点()2,4，令()()n f n f a n ++=11,*∈N n 。
记数列{}n a 的前n 项和为n S ,则2017S 等于A.12016-B.12017-C.12018-D.12018+6.若直线y x =上存在点(,)x y 满足约束条件40230x y x y x m+-≤⎧⎪⎪--≤⎨⎪≥⎪⎩, 则实数m 的最大值 A.-1 B ．1 C ．32D ．27.将函数x x f 2sin )(=的图像保持纵坐标不变，先将横坐标缩短为原来的21，再向右平移6π个单位长度后得到)(x g ，则)(x g 的解析式为A.)6sin()(π-=x x g B.)6sin()(π+=x x g C.)324sin()(π-=x x g D.)64sin()(π-=x x g 8. 已知,,A B C 三点都在以O 为球心的球面上， ,,OA OB OC 两两垂直，三棱锥O ABC -的体积为43，则球O 的表面积为 A.316π B.16π C.323π D.32π9.在△ABC 中，内角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，满足bc a c b =-+222，0>⋅BC AB ，23=a ,则cb +的取值范围是 A.⎪⎭⎫ ⎝⎛23,1 B.⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛23,23 C.⎪⎭⎫ ⎝⎛23,21 D.⎥⎦⎤ ⎝⎛23,21 10. 某四面体的三视图如图所示,正视图、俯视图都是腰长为2的 等腰直角三角形,侧视图是边长为2的正方形,则此四面体的四 个面中最大面积为A. 32B. 4C. 22D. 6211．已知()3f x x =,若[]1,2x ∈时，()()210f x ax f x -+-≤，则a 的取值范围是A.1a ≤B.1a ≥C.32a ≥D.32a ≤ 12.ABC ∆中，32AB AC =，点G 是ABC ∆的重心，若BG CG λ=，则λ的取值范围是A.1(4B.2(3C.27(,)38D.17(,)48第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在答题卷相应位置上 13.直线10x -=的倾斜角为 .14.设函数()f x x ax m＝＋的导函数'()21f x x ＝＋，则21()f x dx -⎰的值等于 .15．如图，在四棱柱1111D C B A ABCD -中，底面ABCD 是正方形，侧棱1AA ⊥底面ABCD . 已知3,11==AA AB ，E 为AB 上一个动点，则CE E D +1的最小值为 .16．已知函数||()e cos πx f x x -=+，给出下列命题：①()f x 的最大值为2； ②()f x 在(10,10)-内的零点之和为0； ③()f x 的任何一个极大值都大于1.其中所有正确命题的序号是____ ____．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知1cos 23A =-，3c =，sin 6sin A C =．（Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）若角A 为锐角，求b 的值及△ABC 的面积．18．（本小题满分12分）已知等比数列{}n a 是递增数列，它的前n 项和为n S ，38a =，且10是24,a a 的等差中项. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求数列1{}nn a +的前n 项和n T . 19．（本小题满分13分）如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，//AD BC ，3PA =，4AD =，23AC =，60ADC ∠=，E 为线段PC 上一点，且PE PC λ=．（Ⅰ）求证：CD AE ⊥；（Ⅱ）若平面PAB ⊥平面PAD ，直线AE 与平面PBC 33，求λ的值．EDCBAP20．（本小题满分12分）已知圆M 过两点(1,1),(1,1)C D --，且圆心M 在20x y +-=上． (Ⅰ) 求圆M 的方程；(Ⅱ) 设P 是直线3480x y ++=上的动点，,PA PB 是圆M 的两条切线，,A B 为切点，求四边形PAMB 面积的最小值． 21．（本小题满分12分）已知函数()ln ,f x x mx m m R =-+∈． （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间．（Ⅱ）若()0f x ≤在(0,)x ∈+∞上恒成立，求实数m 的取值范围． （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，任意的0a b <<，求证：()()1(1)f b f a b a a a -<-+．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知直线l 的方程为41,532,5x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），在以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线G 的方程为)4sin(22πθρ+=，正方形OABC 内接于曲线G ，且C B A O ,,,依逆时针方向排列，A 在极轴上.（Ⅰ）将直线l 和曲线G 的方程分别化为普通方程和直角坐标方程；（Ⅱ）若点P 为直线l 上任意一点，求2222PC PB PA PO +++的最小值.23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数122121)(++-=x x x f . （Ⅰ）求函数)(x f 的最小值m ；（Ⅱ）若正实数b a ,满足m ba =+21，且b a x f 2)(+≤对任意的正实数b a ,恒成立，求x 的取值范围.福州市2019届高三普通高中毕业班第一次调研理科数学参考答案1-5 DBCAC 6-10 DCBBA 11-12 CD 13.6π 14. 5615.10 16. ①②③ 12.选D ；设()2,30AB t AC t t ==>。
甘肃省2019届高三第一次高考诊断考试理科数学试卷Word版含解析
2019年甘肃省高考数学一诊试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用复数的除法运算，将复数化简为的形式，由此得出正确选项.【详解】依题意，原式，故选A.【点睛】本小题主要考查复数的除法运算，考查运算求解能力，属于基础题.2.已知全集，集合，，那么集合（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先求得集合的补集，然后求其与集合的交集.【详解】依题意，故，故选C.【点睛】本小题主要考查集合补集的运算，考查集合交集的运算，属于基础题.3.已知平面向量，的夹角为，，，则（）A. 4B. 2C.D.【答案】B【解析】【分析】将两边平方，利用向量数量积的运算求解得出数值，然后开方得到结果.【详解】依题意.故选B.【点睛】本小题主要考查向量的数量积运算，考查向量模的坐标表示，属于基础题.4.抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求得抛物线的焦点，双曲线的渐近线，再由点到直线的距离公式求出结果.【详解】依题意，抛物线的焦点为，双曲线的渐近线为，其中一条为，由点到直线的距离公式得.故选C.【点睛】本小题主要考查抛物线的焦点坐标，考查双曲线的渐近线方程，考查点到直线的距离公式，属于基础题.5.已知函数的图象如图所示，则的解析式可能是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据函数图像上的特殊点，对选项进行排除，由此得出正确选项.【详解】对于A,B两个选项，，不符合图像，排除A,B选项.对于C选项，，不符合图像，排除C选项，故选D.【点睛】本小题主要考查根据函数图像选择相应的解析式，考查利用特殊值法解选择题，属于基础题.6.若函数在为增函数，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用函数的导函数在区间恒为非负数列不等式，用分离常数法求得的取值范围.【详解】依题意，在区间上恒成立，即，当时，，故，在时为递增函数，其最大值为，故.所以选A.【点睛】本小题主要考查利用导数求解函数单调性有关的问题，考查正切函数的单调性，属于中档题.7.若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】运行程序，当时退出程序，输出的值.【详解】运行程序，，判断否，，判断否，，……，以此类推，，判断是，退出循环，输出，故选C.【点睛】本小题主要考查计算循环结构程序框图输出的结果，属于基础题.8.《数术记遗》是《算经十书》中的一部，相传是汉末徐岳（约公元2世纪）所著，该书主要记述了：积算（即筹算）太乙、两仪、三才、五行、八卦、九宫、运筹、了知、成数、把头、龟算、珠算计数14种计算器械的使用方法.某研究性学习小组3人分工搜集整理14种计算器械的相关资料，其中一人4种、另两人每人5种计算器械，则不同的分配方法有（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】本题涉及平均分组问题，先计算出分组的方法，然后乘以得出总的方法数.【详解】先将种计算器械分为三组，方法数有种，再排给个人，方法数有种，故选A.【点睛】本小题主要考查简单的排列组合问题，考查平均分组要注意的地方，属于基础题.9.在中，，，，则的面积为（）A. 15B.C. 40D.【答案】B【解析】【分析】先利用余弦定理求得，然后利用三角形面积公式求得三角形的面积.【详解】由余弦定理得，解得，由三角形面积得，故选B.【点睛】本小题主要考查余弦定理解三角形，考查三角形的面积公式，属于基础题.10.四棱锥的顶点均在一个半径为3的球面上，若正方形的边长为4，则四棱锥的体积最大值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】设正方形的中心为，当在于球心的连线上时，四棱锥高最高，体积取得最大值，利用勾股定理计算出高，然后求得四棱锥的最大体积.【详解】设正方形的中心为，当在于球心的连线上时，四棱锥高最高，由于底面面积固定，则高最高时，四棱锥体积取得最大值.设高为，，球的半径为，故，解得.故四棱锥的体积的最大值为.故选D.【点睛】本小题主要考查几何体外接球有关问题，考查四棱锥体积的计算，所以基础题. 11.直线过抛物线的焦点，且交抛物线于，两点，交其准线于点，已知，，则（）A. 2B.C.D. 4【答案】C【解析】过分别做准线的垂线交准线于两点，设，根据抛物线的性质可知，，根据平行线段比例可知，即，解得，又，即，解得，故选C.【点睛】抛物线的定义在解题中的应用，当已知曲线是抛物线时，可利用抛物线上的点满足定义，点到焦点的距离转化点为到准线的距离，这样可利用三角形相似或是平行线段比例关系可求得距离弦长以及相关的最值等问题12.已知函数是函数的导函数，，对任意实数都有，则不等式的解集为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】令,,所以函数是减函数，又，所以不等式的解集为本题选择B选项.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.若实数，满足约束条件，则的最大值是_____．【答案】8【解析】【分析】画出可行域，将基准直线向下平移到可行域边界位置，由此求得目标函数的最大值. 【详解】画出可行域如下图所示，由图可知，目标函数在点处取得最大值，且最大值为.【点睛】本小题主要考查利用线性规划求目标函数的最大值的方法，属于基础题.14.已知，均为锐角，，，则_____．【答案】【解析】【分析】先求得的值，然后求得的值，进而求得的值.【详解】由于为锐角，且，故，.由，解得，由于为锐角，故.【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，考查两角差的正切公式，属于中档题.15.直三棱柱中，底面为正三角形，，是的中点，异面直线与所成角的余弦值是，则三棱柱的表面积等于_____．【答案】【解析】【分析】作出异面直线与所成角，利用余弦定理求出三棱柱的高，进而求得三棱柱的表面积.【详解】设是的中点，画出图像如下图所示，由于，故是异面直线与所成角.设三棱柱的高为，则，,由于异面直线与所成角的余弦值是，在三角形中，由余弦定理得，解得.故三棱柱的表面积为.【点睛】本小题主要考查线线所成角，考查余弦定理，考查三棱柱的表面积，属于基础题.16.已知定义在上的偶函数，满足，且在区间上是增函数，①函数的一个周期为4；②直线是函数图象的一条对称轴；③函数在上单调递增，在上单调递减；④函数在内有25个零点；其中正确的命题序号是_____（注：把你认为正确的命题序号都填上）【答案】①②④【解析】【分析】先求得，由此函数的周期性.通过证明求得函数的对称轴，根据奇偶性、周期性和单调性画出函数的图像，由此判断③④的真假.【详解】令得，即，由于函数为偶函数，故.所以，所以函数是周期为的周期函数，故①正确.由于函数为偶函数，故，所以是函数图像的一条对称轴，故②正确.根据前面的分析，结合函数在区间上是增函数，画出函数图像如下图所示.由图可知，函数在上单调递减，故③错误.根据图像可知，，零点的周期为，共有个零点，故④正确.综上所述正确的命题有①②④.【点睛】本小题主要考查函数的周期性、单调性、对称性等性质，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．17.已知等差数列满足，.（Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）设是等比数列的前项和，若，，求．【答案】(I)；(Ⅱ)，或【解析】【分析】（I）由，可计算出首项和公差，进而求得通项公式。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第一节分类加法计数原理与
分步乘法计数原理
【最新考纲】 1.理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理.2.能正确区分“类”和“步”，并能利用两个原理解决一些简单的实际问题．
1．分类加法计数原理
完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m ＋n种不同的方法．
2．分步乘法计数原理
完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法．
1．(质疑夯基)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的
打“×”)
(1)在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同．()
(2)在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能直接完成这件事．()
(3)在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的．()
(4)在分步乘法计数原理中，事情是分两步完成的，其中任何一个单独的步骤都能完成这件事．()
答案：(1)×(2)√(3)√(4)×
2．现有4种不同颜色要对如图所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的两块不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有()
A．24种B．30种
C．36种D．48种
解析：按A→B→C→D顺序分四步涂色，共有4×3×2×2＝48(种)．
答案：D
3．(2018·滨洲模拟)甲、乙两人从4门课程中选修2门，则甲、
乙所选课程中恰有1门相同的选法有()
A．6种B．12种
C．24种D．30种
解析：分步完成，第一步，甲、乙选修同一门课程有4种方法．第二步，甲从剩余的3门课程选一门有3种方法．第三步，乙从剩余的2门中选修一门课程有2种方法．∴甲、乙恰有1门相同课程的选法有4×3×2＝24(种)．
答案：C
4．从集合{1，2，3，…，10}中任意选出三个不同的数，使这三个数成等比数列，这样的等比数列的个数为()
A．3 B．4
C．6 D．8
解析：以1为首项的等比数列为1，2，4；1，3，9；
以2为首项的等比数列为2，4，8；
以4为首项的等比数列为4，6，9；
把这四个数列顺序颠倒，又得到4个数列，
∴所求的数列共有2(2＋1＋1)＝8(个)．
答案：D
5．(2018·全国卷改编)有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有________种．
解析：由题意知，选2名男医生、1名女医生的方法有C26C15＝
75(种)．
答案：75
两个原理
分类加法计数原理与分步乘法计数原理，都涉及完成一件事的不同方法的种数．它们的区别在于：分类加法计数原理与分类有关，各种方法相互独立，用其中的任一种方法都可以完成这件事；分步乘法计数原理与分步有关，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了，这件事才算完成．
三点注意
1．切实理解“完成一件事”的含义，以确定需要分类还是需要分步进行，综合问题一般是先分类再分步．
2．分类的关键在于要做到“不重不漏”，分步的关键在于要正确设计分步的程度，即合理分类，准确分步．
3．确定题目中是否有特殊条件限制．
一、选择题
1．从3名男同学和2名女同学中选1人主持本班某次主题班会，不同选法种数为()
A．6种B．5种
C．3种D．2种
解析：由分类加法计算原理知总方法数为3＋2＝5(种)．
答案：B
2．从集合{0，1，2，3，4，5，6}中任取两个互不相等的数a，b组成复数a＋bi，其中虚数有()
A．30个B．42个
C．36个D．35个
解析：∵a＋bi为虚数，
∴b≠0，即b有6种取法，a有6种取法．
由分步乘法计数原理知可以组成6×6＝36个虚数．
答案：C
3．集合P＝{x，1}，Q＝{y，1，2}，其中x，y∈{1，2，3，…，9}，且P⊆Q.把满足上述条件的一个有序整数对(x，y)作为一个点的坐标，则这样的点的个数是()
A．9 B．14
C．15 D．21
解析：当x＝2时，x≠y，点的个数为1×7＝7(个)．
当x≠2时，由P⊆Q，∴x＝y.
∴x可从3，4，5，6，7，8，9中取，有7种方法．
因此满足条件的点共有7＋7＝14(个)．
答案：B
4．(2018·石家庄质检)有4件不同颜色的衬衣，3件不同花样的
裙子，另有2套不同样式的连衣裙．“五一”节需选择一套服装参加歌舞演出，则有几种不同的选择方式()
A．24 B．14
C．10 D．9
解析：第一类：一件衬衣，一件裙子搭配一套服装有4×3＝12种方式，第二类：选2套连衣裙中的一套服装有2种选法．∴由分类加法计数原理，共有12＋2＝14种选择方式．
答案：B
5．从1，3，5，7，9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a，b，共可得到lg a－lg b的不同值的个数是() A．9 B．10
C．18 D．20
解析：由于lg a－lg b＝lg a
b(a>0，b>0)，从1，3，5，7，9中任
取两个作为a
b有A
2
5
＝20种，又
1
3与
3
9相同，
3
1与
9
3相同．
∴lg a－lg b的不同值的个数为A25－2＝18.
答案：C
二、填空题
6．已知集合M＝{1，－2，3}，N＝{－4，5，6，－7}，从M，N这两个集合中各选一个元素分别作为点的横坐标，纵坐标，则这样的坐标在直角坐标系中可表示第一、第二象限内不同的点的个数是________．
解析：分两类：第一类，第一象限内的点，有2×2＝4(个)；第二类，第二象限内的点，有1×2＝2(个)．由分类加法计数原理，共有4＋2＝6个不同的点．
答案：6
7．从8名女生4名男生中，选出3名学生组成课外小组，如果按性别比例分层抽样，则不同的抽取方法数为______种．解析：从男生中抽1人有4种方法，从女生中抽2人有C28＝28种方法．
∴由分步乘法计数原理，共有28×4＝112种方法．
答案：112
8．如果把个位数是1，且恰有3个数字相同的四位数叫作“好数”，那么在由1，2，3，4四个数字组成的有重复数字的四位数中，“好数”共有________个．
解析：当相同的数字不是1时，共有C13个，当相同的数字是1时，共有C13C13个，由分类加法计数原理知共有“好数”C13＋C13C13＝12(个)．
答案：12
10．回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数．如22，121，3 443，94 249等．显然2位回文数有9个：11，22，33，...，99；3位回文数有90个：101，111，121，...，191，202， (999)
则
(1)4位回文数有________个；
(2)2n＋1(n∈N*)位回文数有________个．
解析：(1)4位回文数相当于填4个方格，首尾相同，且不为0，共9种填法；中间两位一样，有10种填法．
共计9×10＝90(种)填法，即4位回文数有90个．
(2)根据回文数的定义，此问题也可以转化成填方格，由分步计数原理，共有9×10n种填法．
答案：(1)90(2)9×10n
三、解答题
11．电视台在“欢乐在今宵”节目中拿出两个信箱，其中放着竞猜中成绩优秀的观众来信，甲箱中有30封，乙箱中有20封，现由主持人抽奖确定幸运观众，若先确定一名幸运之星，再从两箱中各确定一名幸运观众，有多少种不同结果？
解：(1)幸运之星在甲箱中抽取，选定幸运之星，再在两箱内各抽一名幸运观众有30×29×20＝17 400种结果．
(2)幸运之星在乙箱中抽取，有20×19×30＝11 400种结果，所以共有不同结果17 400＋11 400＝28 800(种)．
12．在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列(数字允许重复)表示一个信息，不同排列表示不同信息．若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息有多少条？
解：若4个位置的数字都不同的信息个数为1；若恰有3个位置
的数字不同的信息个数为C34；若恰有2个位置上的数字不同的信息个数为C24.由分类加法计数原理，满足条件的信息有1＋C34＋C24＝11(条)．。