初二数学9.3 平行四边形(2)课件
湘教版八年级数学下册平行四边形教学课件(2课时共37张)
我思 我进步
通过本节课，你有什么收获？ 你还存在哪些疑问，和同伴交流.
D
四边形ABCD是
平行四边形
B
平行四边形ABCD记作“□ ABCD”.
C
新知探究 1
每位同学根据定义画一个平行四边形，测量平行四边形
（或图中的□ABCD）四条边的长度、四个角的大小，
由此你能做出什么猜测？
A
D
B
C
通过视察和测量，我发 现平行四边形的对边相
等 ，对角相等.
你能证明吗？
如图，连接AC.
答：1.不是.反例：
2.不是.反例：
练习
3.如图，把△ABC的中线AD延长至E，使得DE=AD，连 接EB，EC.求证：四边形ABEC是平行四边形.
证明：∵D是BC的中点， ∴BD=CD. ∵DE=AD， ∴四边形ABEC是平行四边形.
4. 如图，□ABCD的对角线相交于点O，直线MN经过
点O，分别与AB，CD交于点M，N，连接AN，CM.求 证：四边形AMCN是平行四边形. 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AO=CO，BO=DO，∠MBO=∠NDO. ∵∠BOM=∠DON， ∴△BOM≌△DON(ASA).∴MO=NO. ∴四边形AMCN是平行四边形.
A
D
1O4
3
2
B
C
由此得到平行四边形的性质定理：
平行四边形的对角线相互
平分.
【例3】如图，在□ABCD中，对角线AC与BD相
交于点O，AC=6，BD=10，CD=4.8.试求△COD 的周长.
解：∵AC，BD为平行四边形ABCD的对角线，
∴OC=
1 2
AC=3，OD=
1 2
平行四边形的判定(2)(课件)-八年级数学下册(人教版)
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形吗？
如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB=CD.
求证：四边形ABCD是平行四边形.
证明：连接AC.
∵ AB∥CD
∴ ∠1=∠2
又∵ AB=CD，AC=CA
∴ △ABC≌△CDA (SAS)
∴ BC=DA
∴ 四边形ABCD的两组对边分别相等，它是平行四边形.
BQ=_________cm；CQ=_________cm.
15-2t
(3)当t为何值时，四边形PDCQ是平行四边形?
解:(3)∵AD//BC
∴当DP=CQ时，四边形PDCQ是平行四边形.
∴12-t=2t
解得t=4
∴t=4s时，四边形PDCQ是平行四边形.
平行四边形判定定理4：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
t
12-t
AP=_________cm；DP=_________cm；
BQ=_________cm；CQ=_________cm.
2t
15-2t
(1)用含t的代数式表示:
12-t
t
AP=_________cm；DP=_________cm；
2t
BQ=_________cm；CQ=_________cm.
4.如图，在□ABCD中，E，F分别是边BC，AD上的点，有下列条件:
①AE//CF;②BE=FD;③∠1=∠2;④AE=CF.若要添加其中一个条件，使四边
形AECF一定是平行四边形，则添加的条件可以是( B )
A.①②③④
B.①②③
C.②③④
D.①③④
5.已知四边形ABCD，有以下四个条件:①AB//CD;②AB=CD;③BC// AD;④
人教版八年级数学下册《平行四边形的性质》平行四边形PPT优质教学课件
10 ●O
∴AC= AB2−BC2= 102−82=6
∵OA=OC，∴OA=12AC=3
B
C
∴S ABCD= BC×AC=8×6=48．
随堂检测
1．如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若 AC＝14，BD＝8，AB＝10，则△OAB的周长为 21 ．
2．如图，平行四边形ABCD中，AD＝5cm，AB⊥BD， 点O是两条对角线的交点，OD＝2cm，则AB＝ 3 cm．
叫做这两条平行线之间的距离．
如图，直线a∥b，A是直线a上的任意
A
a
一点，AB ⊥b ，B是垂足，线段AB的
b
长就是a、b之间的距离．
B
随堂检测
1．如图，在 ABCD中，
A
D
A：基础知识：
B
C
若∠A=130°，则∠B=_5_0_°___ 、∠C=_1_3_0_°__ 、∠D=__5_0_°__．
B：变式训练： （1）若∠A+ ∠C= 200°，则∠A=__1_0_0_°_ 、∠B=__8_0_°__； （2）若∠A：∠B= 5：4，则∠C=__1_0_0_°_ 、∠D=___8_0_°_．
随堂检测
C:拓展延伸：
A
D
如图，在 ABCD中，
B
C
（1）∠A：∠B ： ∠C ： ∠D的度数可能是( B )
A． 1 ： 2 ： 3 ： 4
B．3 ： 2 ： 3 ： 2
C．2 ： 3 ： 3 ： 2
D．2 ： 2 ： 3 ： 3
（2）连接AC， 若∠D=60°， ∠DAC=40°，则 ∠B=_6_0_°_，
一条直线的距离相等．
已知：如图，EF∥MN，A，D是直线
专题9.3 平行四边形(第2课时)(备作业)八年级数学下册同步备课系列(苏科版)
第9章中心对称图形——平行四边形9.3 平行四边形（第2课时）一、单选题（共6小题）1.如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，要使四边形ABCD成为平行四边形还需要条件（）A．AB＝DC B．∠1＝∠2C．AB＝AD D．∠D＝∠B【答案】D【分析】根据等腰梯形的定义判断A；根据平行线的性质可以判断B；根据平行四边形的判定可判断C；根据平行线的性质和三角形的内角和定理求出∠BAC＝∠DCA，推出AB∥CD即可．【解答】解：A、符合条件AD∥BC，AB＝DC，可能是等腰梯形，故A选项错误；B、根据∠1＝∠2，推出AD∥BC，不能推出平行四边形，故B选项错误；C、根据AB＝AD和AD∥BC不能推出平行四边形，故C选项错误；D、∵AD∥BC，∴∠1＝∠2，∵∠B＝∠D，∴∠BAC＝∠DCA，∴AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，故D选项正确．故选：D．【知识点】等腰梯形的性质、三角形内角和定理、平行四边形的判定、平行线的判定与性质2.如图，在▱ABCD中，DE平分∠ADC，AD＝6，BE＝2，则▱ABCD的周长是（）A．60B．30C．20D．16【答案】C【分析】根据角平分线的定义以及两直线平行，内错角相等求出∠CDE＝∠CED，再根据等角对等边的性质可得CE＝CD，然后利用平行四边形对边相等求出CD、BC的长度，再求出▱ABCD的周长．【解答】解：∵DE平分∠ADC，∴∠ADE＝∠CDE，∵▱ABCD中，AD∥BC，∴∠ADE＝∠CED，∴∠CDE＝∠CED，∴CE＝CD，在▱ABCD中，AD＝6，BE＝2，∴AD＝BC＝6，∴CE＝BC﹣BE＝6﹣2＝4，∴CD＝AB＝4，∴▱ABCD的周长＝6+6+4+4＝20．故选：C．【知识点】平行四边形的性质3.如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，若AC＝6，BD＝8，则AB的长可能是（）A．10B．8C．7D．6【答案】D【分析】根据三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，可得出AB的取值范围，进而得出结论．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝AC＝3，OB＝BD＝4，在△AOB中：4﹣3＜AB＜4+3，即1＜AB＜7，∴AB的长可能为6．故选：D．【知识点】平行四边形的性质、三角形三边关系4.如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，AC＝4，BD＝7，△DBC的周长比△ABC的周长（）A．短3B．短6C．长3D．长6【答案】C【分析】根据平行四边形的对边相等可以转化为求两条对角线的差即可得到正确的选项．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AD＝BC，∵AC＝4，BD＝7，∴△DBC的周长﹣△ABC的周长＝BD+CD+BC﹣（AB+BC+AC）＝BD﹣AC＝7﹣4＝3，∴△DBC的周长比△ABC的周长长3，故选：C．【知识点】平行四边形的性质5.如图，在▱ABCD中，点E在BC上，且CD＝CE，连接DE，过点A作AF⊥DE，垂足为F，若∠DAF＝48°，则∠C的度数为（）A．84°B．96°C．98°D．106°【答案】B【分析】首先根据AF⊥DE，∠DAF＝48°得到∠ADE＝90°﹣∠DAF＝90°﹣48°＝42°，然后利用四边形ABCD是平行四边形得到∠CED＝∠ADF＝42°，再根据CD＝CE，得到∠CDE＝∠DEC＝42°，从而利用三角形的内角和定理求得∠C＝180°﹣∠DEC﹣∠EDC＝180°﹣42°﹣42°＝96°即可．【解答】解：∵AF⊥DE，∠DAF＝48°，∴∠ADE＝90°﹣∠DAF＝90°﹣48°＝42°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠CED＝∠ADF＝42°，∵CD＝CE，∴∠CDE＝∠DEC＝42°，∴∠C＝180°﹣∠DEC﹣∠EDC＝180°﹣42°﹣42°＝96°，故选：B．【知识点】平行四边形的性质6.如图，在平行四边形ABCD中，AD＝2AB，作CE⊥AB于点E，点F是AD的中点，连接CF，EF．关于下列四个结论：①∠BCF＝∠DCF；②∠FEC＝∠FCE；③∠AEF＝∠CFD；④S△CEF＝S△BCE，则所有正确结论的序号是（）A．①②③④B．①②③C．②③④D．③④【答案】B【分析】由平行四边形的性质结合等腰三角形的判定与性质可得∠DFC＝∠BCF，DFC＝∠DCF，可证明①；取EC的中点G，连接FG，则FG为梯形AECD的中位线，再证明FG⊥CE，可证明②；根据平行线的性质可得∠AEC＝∠DCE＝90°，进而可证明③；而无法证明④．【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC，AB＝CD，∴∠DFC＝∠BCF，∵点F是AD的中点，∴AD＝2DF，∵AD＝2AB，∴AD＝2CD，∴DF＝CD，∴∠DFC＝∠DCF，∴∠BCF＝∠DCF，故①正确；取EC的中点G，连接FG，则FG为梯形AECD的中位线，∴FG∥AB，∵CE⊥AB，∴FG⊥CE，∴EF＝CF，∴∠FEC＝∠FCE，故②正确；∵CE⊥AB，AB∥CD，∴CE⊥CD，∴∠AEC＝∠DCE＝90°，即∠AEF+∠FEC＝∠DCF+∠FCE＝90°，∴∠AEF＝∠DCF，∵∠DCF＝∠CFD，∴∠AEF＝∠CFD，故③正确；根据现有条件无法证明S△CEF＝S△BCE，故错误④．故选：B．【知识点】全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线、平行四边形的性质二、填空题（共6小题）7.在▱ABCD中，若∠A+∠C＝342°，则∠B＝度．【答案】9【分析】根据平行四边形的性质进行解答即可．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A＝∠C，∠A+∠B＝180°，∵∠A+∠C＝342°，∴∠A＝171°，∴∠B＝180°﹣171°＝9°，故答案为：9．【知识点】平行四边形的性质8.如图，▱ABCD的一个外角∠CBE是70°，则∠D的大小是．【答案】110°【分析】利用已知可先求出∠CBA＝110°，根据平行四边形的性质知，平行四边形的对角相等，则∠D可求解．【解答】解：∵∠CBE＝70°，∴∠CBA＝110°，在平行四边形中，∴∠D＝∠CBA＝110°，故答案为：110°．【知识点】平行四边形的性质9.如图，已知▱ABCD的周长为18cm，BC＝2AB，∠A＝2∠B，则▱ABCD的面积为cm2．【分析】根据▱ABCD的周长为18cm，BC＝2AB，∠A＝2∠B，可求得AB和BC，在Rt△ABE中可求得AE，可求出四边形ABCD的面积．【解答】解：如图，过点A作AE⊥BC于点E，∵▱ABCD的周长为18cm，BC＝2AB，∴2（AB+BC）＝18，∴6AB＝18，∴AB＝3，∴BC＝6，∵∠A+∠B＝180°，∠A＝2∠B，∴3∠B＝180°，∴∠B＝60°，∴AE＝，∴▱ABCD的面积为：BC•AE＝6×＝9（cm2）．故答案为：9．【知识点】平行四边形的性质10.在平行四边形ABCD中，∠A＝30°，AD＝2，BD＝2，则平行四边形ABCD的面积等于．【分析】过D作DE⊥AB于E，解直角三角形得到AB＝2，根据平行四边形的面积公式即可得到结论．【解答】解：过D作DE⊥AB于E，在Rt△ADE中，∵∠A＝30°，AD＝2，∴DE＝AD＝，AE＝AD＝3，在Rt△BDE中，∵BD＝2，∴BE＝＝＝2，如图1，∴AB＝4，∴平行四边形ABCD的面积＝AB•DE＝4，如图2，AB＝2，∴平行四边形ABCD的面积＝AB•DE＝2，如图3，过B作BE⊥AD于E，在Rt△ABE中，设AE＝x，则DE＝2﹣x，∵∠A＝30°，BE＝x，在Rt△BDE中，∵BD＝4，∴42＝（x）2+（2﹣x）2，∴x＝，x＝2（不合题意舍去），∴BE＝1，∴平行四边形ABCD的面积＝AD•BE＝1×2＝2，如图4，当AD⊥BD时，平行四边形ABCD的面积＝AD•BD＝4，故答案为：2或4．【知识点】三角形的面积、平行四边形的性质11.如图所示，在平行四边形ABCD中，AB＝3，BC＝4，∠B＝60°，E是BC的中点，EF⊥AB于点F，则△DEF的面积为平方单位．【分析】根据平行四边形对边平行可得AB∥CD，再利用两直线平行，内错角相等可得∠B＝∠ECG，根据线段中点的定义可得BE＝CE，然后利用“角边角”证明△BEF和△CEG全等，根据全等三角形对应边相等可得BF＝CG，再解直角三角形求出EF、BF，求出DG，然后利用三角形的面积公式列式计算即可得解．【解答】解：在平行四边形ABCD中，AB∥CD，∴∠B＝∠ECG，∵E为BC的中点，∴BE＝CE＝BC＝×4＝2，在△BEF和△CEG中，，∴△BEF≌△CEG（ASA），∴BF＝CG，∵∠B＝60°，∴∠FEB＝30°，∴BF＝BE＝1，EF＝，∵平行四边形ABCD的对边CD＝AB＝3，∴DG＝CD+CG＝3+1＝4，∵EF⊥AB，AB∥CD，∴DG⊥FG，∴S△DEF＝EF•DG＝××4＝2．故答案为：2．【知识点】勾股定理、平行四边形的性质12.如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点P，且AB＝PC，∠PBC＝2∠PCB，则∠A＝°．【答案】60【分析】作△PBC关于BC的对称图形△DBC，再根据角平分线定义可得BD∥AC，延长BD到点E，使BE ＝AC，可得四边形ABEC是平行四边形，设∠PCB＝α，可得∠DCE＝∠CDE＝3α，进而证明△CDE是等边三角形，可得结论．【解答】解：如图，作△PBC关于BC的对称图形△DBC，∴∠DBC＝∠PBC，∠PCB＝∠DCB，CD＝CP，∵CP是∠ACB的平分线，∴∠BCA＝2∠PCB，∵∠PBC＝2∠PCB，∴∠DBC＝∠BCA，∴BD∥AC，延长BD到点E，使BE＝AC，∴四边形ABEC是平行四边形，设∠PCB＝α，∴∠BCD＝∠ACP＝α，∴∠PBC＝∠DBC＝∠BCA＝2α，∴∠ACD＝3α，∠ABD＝6α，∵四边形ABEC是平行四边形，∴∠ACE＝∠ABE＝6α，∴∠DCE＝3α，∵∠CDE＝∠DBC+∠DCB＝3α，∴∠DCE＝∠CDE，∴CE＝ED，∵AB＝CE，AB＝PC，∴CE＝CP，∴CE＝ED，∵CD＝CP，∴CE＝ED＝CD，∴△CDE是等边三角形，∴∠E＝60°，∴∠A＝∠E＝60°．故答案为：60°．【知识点】轴对称的性质、角平分线的性质、平行四边形的判定与性质三、解答题（共6小题）13.如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且AC＝6，BD＝10，AB＝4．（1）求∠BAC的度数：（2）求▱ABCD的面积．【分析】（1）首先利用平行四边形的性质求得对角线的一半的长，然后利用勾股定理的逆定理判定直角即可；（2）利用底×高求得面积即可．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝CO，BO＝DO，∵AC＝6，BD＝10，∴AO＝3，BO＝5，∵AB＝4，∴AB2+AO2＝OB2，∴∠BAC＝90°；（2）▱ABCD的面积＝AB×AC＝4×6＝24．【知识点】平行四边形的性质14.如图，▱ABCD的对角线相交于点O，过O的直线分别交AD、BC于点M、N，求证：OM＝ON．【分析】根据平行四边形的对角线互相平分可得OA＝OC，再根据平行四边形的对边平行可得AD∥BC，利用两直线平行，内错角相等可得∠MAO＝∠NCO，然后利用“角边角”证明△AMO和△CNO全等，根据全等三角形对应边相等即可得证．【解答】证明：平行四边形ABCD中，OA＝OC，AD∥BC，∴∠MAO＝∠NCO，在△AMO和△CNO中，，∴△AMO≌△CNO（ASA），∴OM＝ON．【知识点】全等三角形的判定与性质、平行四边形的性质15.如图，在平行四边形ABCD中，点E，F为对角线AC上的两点，且AE＝CF，连接DE，BF．（1）写出图中所有的全等三角形；（2）求证：DE∥BF．【分析】（1）由平行四边形的性质得出AB＝CD，AD＝CB，AB∥CD，AD∥CB，证出内错角相等∠BAF＝∠DCE，∠DAE＝∠BCF，由SSS证明△ABC≌△CDA；由SAS证明△ABF≌△CDE；由SAS证明△ADE≌△CBF；（2）由△ABF≌△△CDE，得出对应角相等∠AFB＝∠CED，即可证出DE∥BF．【解答】（1）解：△ABC≌△CDA，△ABF≌△△CDE，△ADE≌△CBF；理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AD＝CB，AB∥CD，AD∥CB，∴∠BAF＝∠DCE，∠DAE＝∠BCF，在△ABC和△CDA中，，∴△ABC≌△CDA（SSS）；∵AE＝CF，∴AF＝CE，在△ABF和△CDE中，，∴△ABF≌△CDE（SAS）；在△ADE和△CBF中，，∴△ADE≌△CBF（SAS）．（2）证明：∵△ABF≌△△CDE，∴∠AFB＝∠CED，∴DE∥BF．【知识点】平行线的判定、平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质16.如图，已知▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AD＝12，BD＝10，AC＝26．（1）求△ADO的周长；（2）求证：△ADO是直角三角形．【分析】（1）根据平行四边形的对角线互相平分确定AO和DO的长，然后求得周长即可；（2）利用勾股定理的逆定理判定直角三角形即可．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴对角线AC与BD相互平分，∴OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，∵AC＝26，BD＝10，∴OA＝13，OD＝5，∵AD＝12，∴△AOD的周长＝5+12+13＝30；（2）由（1）知OA＝13，OD＝5，AD＝12，∵52+122＝132 ，∴在△AOD中，AD2+DO2＝AO2 ，∴△AOD是直角三角形．【知识点】平行四边形的性质、勾股定理的逆定理17.如图，四边形ABCD为平行四边形，E为BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F．（1）求证：△ABE≌△FCE；（2）过点D作DG⊥AE于点G，H为DG的中点．判断CH与DG的位置关系，并说明理由．【分析】（1）根据平行四边形的性质，利用ASA即可证明．（2）结论：CH⊥DG．利用三角形中位线定理，证明CH∥AF即可解决问题．【解答】解：（1）∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∴∠B＝∠ECF∵E为BC的中点，∴BE＝CE，在△ABE和△FCE中，∴△ABE≌△FCE．（2）结论：CH⊥DG．理由如下：∵△ABE≌△FCE，∴AB＝CF，∵AB＝CD，∴DC＝CF，∵H为DG的中点，∴CH∥FG∵DG⊥AE，∴CH⊥DG．【知识点】平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质18.如图，在平行四边形ABCD中，AC是对角线，且AB＝AC，CF是∠ACB的角平分线交AB于点F，在AD上取一点E，使AB＝AE，连接BE交CF于点P．（1）求证：BP＝CP；（2）若BC＝4，∠ABC＝45°，求平行四边形ABCD的面积．【分析】（1）设AP与BC交于H，根据平行线的性质得到∠AEB＝∠CBE，根据等腰三角形的性质得到∠ABE＝∠AEB，推出BE平分∠ABC，求得AP平分∠BAC，根据线段垂直配电箱的性质即可得到结论；（2）根据线段垂直平分线的性质和平行四边形的面积公式即可得到结论．【解答】解：（1）设AP与BC交于H，∵在平行四边形ABCD中，AD∥BC，∴∠AEB＝∠CBE，∵AB＝AE，∴∠ABE＝∠AEB，∴∠ABE＝∠CBE，∴BE平分∠ABC，∵CF是∠ACB的角平分线，BE交CF于点P，∴AP平分∠BAC，∵AB＝AC，∴AH垂直平分BC，∴PB＝PC；（2）∵AH垂直平分BC，∴AH⊥BC，BH＝CH＝BC＝2，∵∠ABH＝45°，∴AH＝BH＝2，∴平行四边形ABCD的面积＝4×2＝8．【知识点】三角形的面积、平行四边形的性质。
平行四边形(第2课时)(课件)八年级数学下册(苏科版)
探究新知 证明猜想
猜想1．两组对边分别相等的四边形是平行四边形．
已知：如图，四边形ABCD中，AD＝BC，AB＝DC． 求证：四边形ABCD是平行四边形．
A
分析：先证△ABD≌△CDB，再证AD∥BC，AB∥DC，
得四边形ABCD是平行四边形．
B
D C
探究新知
证明： 如图，连接BD． ∵AB＝CD，AD＝CB，BD＝DB， ∴△ABD≌△CDB， ∴∠1＝∠2，∠3＝∠4， ∴AB∥CD，AD∥CB， ∴四边形ABCD是平行四边形．
D
F
C A.2个
C.4个
G
H
B.3个 D.5个
A
E
B
分析：▱ABCD 、▱DEBF 、▱AECF 、▱EHFG
课堂练习
3.如图，四边形AEFD和EBCF都是平行四边形. 求证： 四边形ABCD是平行四边形.
A E
B
证明：∵四边形AEFD是平行四边形， D
∴AD//EF，ADEF. F
∵四边形EBCF是平行四边形， C
课堂练习
2.已知四边形ABCD中有四个条件：AB∥CD，AB=CD，BC∥AD，
BC=AD，从中任选两个，不能使四边形ABCD成为平行四边形的
选法是
（C ）
A．AB∥CD，AB=CD
B．AB∥CD，BC∥AD
C．AB∥CD，BC=AD
D．AB=CD，BC=AD
课堂练习
2.如图，E，F分别是▱ABCD的边AB，CD的中点，则图 中平行四边形的个数共有( C).
A
B
C
方法一：
探究新知
A
D
B
C
方法依据：两组对边分别平行的四边形是平行四边形.
人教版八年级数学下册期末复习课件：平行四边形 (共47张PPT)
论的个数是
()
• A．2
• B．3
• C．4
• D．5
7．如图，在△ABC 中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，P 为边 BC 上一动点，PE⊥
AB 于点 E，PF⊥AC 于点 F，M 为 EF 中点，则 AM 的最小值为
(D )
A．54
B．45
C．53
D．65
8．如图，ABCD 是正方形，E、F 分别是 DC 和 CB 的延长
∠CBF，∴BF平分∠ABC．
• (3)解：△BEF是等腰三角形．理由如下：过 点F作FG⊥BE于点G.∵AD∥BC，FG⊥BE，
BE⊥AD，∴FG∥AD∥BC．∵F为CD的中点，
∴EG＝BG，∴EF＝BF，∴△BEF是等腰三
• ★集训2 特殊平行四边形的性质与判定的相 关计算与证明
• 7．已知四边形ABCD中，对角线AC与BD相A 交于点O，AD∥BC，下列判断中错误的是 ()
D．4 个
(B )
• 二、填空题(每小题5分，共20分)
• 9．已知一个菱形的两条对角线的长分别为 5210和24，则这个菱形的周长为______.
• 10．【湖北武汉中考】以正方形ABCD的边 A30D°或作15等0°边△ADE，则∠BEC的度数是 _______________.
• 11．如图，矩形ABCD的对角2线0 BD的中点为 O，过点O作OE⊥BC于点E，连接OA，已知 AB＝5，BC＝12，则四边形ABEO的周长为 ______.
• 4．如图，在□ABCD中，E、F分别是AB、
DC边上的点，AF与DE相交于点P，BF与CE 相41交于点Q.若S△APD＝16 cm2，S△BQC＝25 cm2，则图中阴影部分的面积为______cm2.
湘教版八年级下册数学精品教学课件 第2章四边形 平行四边形的性质 第1课时 平行四边形的边、角的性质
∴2x+3x= 180°,
解得 x= 36°.
∴ ∠A = ∠C=72°, ∠B= ∠D=108°.
(2)若 ABCD的周长为28cm,AB:BC=3:4,求各边的长度. 解： (2)在平行四边形ABCD中, ∵AB=CD，BC=AD. 又∵AB+BC+CD+AD=28cm, ∴AB+BC= 14cm. ∵AB:BC=3:4,设AB=3ycm,BC=4ycm, ∴3y+4y=14，解得y=2. ∴AB=CD=6cm，BC=AD=8cm.
平行四边形的性质除了对边互相平行以外，还有:
A
D
B
C
平行四边形的对边相等．
平行四边形的对角相等．
动手做一做:剪两张对边平行的纸条随意交叉叠放在一 起，重合部分构成了一个四边形，转动其中一张纸条， 线段AD和BC的长度有什么关系？为什么？
解：AD和BC的长度相等. 理由如下：由题意知 AB//CD,AD//BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴AD=BC.
B
FC
∴ △ABE≌ △CDF.
∴BE=DF.
练一练
1.如图，在□ABCD中.
(1)若∠A=130°，则∠B=___5_0_°_ ，∠C=__1_3_0_°_ ， ∠D=___5_0_°_.
(2)若AB=3,BC=5,则它的周长= __1_6___.
(3)若∠A+ ∠C= 200°，则∠A=_1_0_0_°_，∠B=__8_0_°__.
第2章 四边形
八年级数学下（XJ） 教学课件
2.2.1 平行四边形的性质
第1课时 平行四边形的边、角性质
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
9.3平行四边形(2)-苏科版八年级数学下册培优训练
9.3平行四边形(2)-苏科版八年级数学下册 培优训练一、选择题1、在四边形ABCD 中，AD||BC ，若ABCD 是平行四边形，则还应满足（ ）A. 180A C ︒∠+∠=B.B D 180︒∠+∠=C. A B 180︒∠+∠=D.180A D ︒∠+∠=2、下列给出的条件中，能判定四边形ABCD 是平行四边形的是( )A ．AB ∥CD ，AD ＝BC B ．AB ＝AD ，CB ＝CDC ．AB ＝CD ，AD ＝BC D ．∠B ＝∠C ，∠A ＝∠D3、在下列条件中，不能判定四边形ABCD 是平行四边形的是( )A ．∠A ＝∠C ，∠B ＝∠D B ．∠A ＝∠B ＝∠C ＝90°C ．∠A ＋∠B ＝180°，∠B ＋∠C ＝180°D ．∠A ＋∠B ＝180°，∠C ＋∠D ＝180°4、要使四边形ABCD 是平行四边形,则∠A ∶∠B ∶∠C ∶∠D 可能为 ( )A.2∶3∶6∶7B.3∶4∶5∶6C.3∶3∶5∶5D.4∶5∶4∶55、如图，下列选项中，不能判定四边形ABCD 是平行四边形的是( )A ．AD ∥BC ，AB ∥CD B ．AB ∥CD ，AB ＝CDC ．AD ∥BC ，AB ＝DC D ．AB ＝DC ，AD ＝BC(5题) (6题) (8题)6、如图，在平行四边形ABCD 中，E ，F 分别是边BC ，AD 上的点，有下列条件：①AE ∥CF; ②BE ＝FD;③∠1＝∠2; ④AE ＝CF . 若要添加其中一个条件，使四边形AECF 一定是平行四边形，则添加的条件可以是( )A ．①②③④B ．①②③C ．②③④D ．①③④7、在四边形ABCD 中：①AB ∥CD ；②AD ∥BC ；③AB ＝CD ；④AD ＝BC.从以上选择两个条件使四边形ABCD 为平行四边形的选法共有( )A ．3种B ．4种C ．5种D ．6种8、如图,E 是▱ABCD 的边AD 延长线上一点,连接BE ,CE ,BD ,BE 交CD 于点F .添加以下条件,不能判定四边形BCED 为平行四边形的是 ( )A.∠ABD =∠DCEB.DF =CFC.∠AEB =∠BCDD.∠AEC =∠CBD9、如图所示，四边形ABCD 是平行四边形，按下列条件得到的四边形BFDE 是平行四边形的个数是( )①图甲，DE ⊥AC ，BF ⊥AC ； ②图乙，DE 平分∠ADC ，BF 平分∠ABC ；③图丙，E 是AB 的中点，F 是CD 的中点； ④图丁，E 是AB 上一点，EF ⊥AB .A ．3个B ．4个C ．1个D ．2个10、如图在▱ABCD 中，过对角线BD 上一点作EF ∥BC ，GH ∥AB ，图中面积相等的平行四边形有_____对．A ．2对B ．3对C ．4对D ．5对(10题) (11题)二、填空题11、如图，以∆ABC 的顶点A 为圆心，以BC 长为半径作弧，再以顶点C 为圆心，以AB 长为半径作弧，两引交于点D ，连接AD ，CD.若∠B=65，则∠ADC 的大小为________12、四边形ABCD 中，已知AD ∥BC ，要使四边形ABCD 为平行四边形，需要增加条件13、在四边形ABCD 中,AB =CD ,请添加一个条件 ,使得四边形ABCD 是平行四边形.14、一个四边形的边长依次是a ,b ,c ,d ,且a 2+b 2+c 2+d 2=2ac +2bd ,则这个四边形是 ,依据是 .15、如图，ABCD 中，60ABC ︒∠=，E ，F 分别在CD 和BC 的延长线上，AE ⫽BD,EF ⊥BC,EF=3,AB的长为________(15题) (17题)16、在平面直角坐标系xOy中,▱OABC的三个顶点O(0,0)、A(3,0)、B(4,2),则其第四个顶点的坐标是.17、如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,且AD>BC,BC=6 cm,P、Q分别从A、C同时出发,P以1 cm/s的速度由A向D运动,Q以2 cm/s的速度由C向B运动, 秒后,四边形ABQP是平行四边形.18、在直角坐标系中,点A、B的坐标分别为(-2,4)、(-5,2),点M在x轴上,点N在y轴上.如果以点A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形,那么符合条件的点M有个.19、如图,平行四边形ABCD中,AB=8 cm,AD=12 cm,点P在AD边上以每秒1 cm的速度从点A向点D运动,点Q在BC边上以每秒4 cm的速度从点C出发,在CB间往返运动,两个点同时出发,当点P到达点D时停止(同时点Q也停止),在运动以后,以P、D、Q、B四点组成平行四边形的次数有次.(19题) (20题)20、如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝3，BC＝5，△ABD、△ACE、△BCF都是等边三角形，则四边形AEFD的面积为．三、解答题21、已知：如图，在四边形ABCD中，AB||CD，对角线AC，BD相交于点0，BO=DO，求证：四边形ABCD是平行四边形.22、已知：如图，E，F分别是▱ABCD的边AD，BC的中点．求证：AF＝CE.23、如图，在ABCD中，分别以AD，BC为边向内作等边∆ADE和等边∆BCF，连接BE，DF.求证：四边形BEDF是平行四边形24、已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，E，F为对角线AC上两点，且AE＝CF，DF∥BE.求证：四边形ABCD为平行四边形．25、如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，延长BC到E，使CE＝BC，连接AE交CD于点F，点F是CD的中点．求证：(1)△ADF≌△ECF；(2)四边形ABCD是平行四边形．26、如图，在四边形ABCD中，BD垂直平分AC，垂足为点F，E为四边形ABCD外一点，且∠ADE＝∠BAD，AE⊥AC.(1)求证：四边形ABDE是平行四边形；(2)如果DA平分∠BDE，AB＝5，AD＝6，求AC的长．9.3平行四边形(2)-苏科版八年级数学下册 培优训练（答案）一、选择题1、在四边形ABCD 中，AD||BC ，若ABCD 是平行四边形，则还应满足（ ）A. 180A C ︒∠+∠=B.B D 180︒∠+∠=C. A B 180︒∠+∠=D.180A D ︒∠+∠= 答案： 结合平行四边形判定法则，可知还需要满足AB||CD ，可知应该满足0180A D ∠+∠=，故选D2、下列给出的条件中，能判定四边形ABCD 是平行四边形的是( C )A ．AB ∥CD ，AD ＝BC B ．AB ＝AD ，CB ＝CDC ．AB ＝CD ，AD ＝BC D ．∠B ＝∠C ，∠A ＝∠D3、在下列条件中，不能判定四边形ABCD 是平行四边形的是( D )A ．∠A ＝∠C ，∠B ＝∠D B ．∠A ＝∠B ＝∠C ＝90°C ．∠A ＋∠B ＝180°，∠B ＋∠C ＝180°D ．∠A ＋∠B ＝180°，∠C ＋∠D ＝180°4、要使四边形ABCD 是平行四边形,则∠A ∶∠B ∶∠C ∶∠D 可能为 ( )A.2∶3∶6∶7B.3∶4∶5∶6C.3∶3∶5∶5D.4∶5∶4∶5答案D 根据平行四边形的判定:两组对角分别相等的四边形是平行四边形,可知只有D 正确.5、如图，下列选项中，不能判定四边形ABCD 是平行四边形的是(C )A ．AD ∥BC ，AB ∥CD B ．AB ∥CD ，AB ＝CDC ．AD ∥BC ，AB ＝DC D ．AB ＝DC ，AD ＝BC6、如图，在平行四边形ABCD 中，E ，F 分别是边BC ，AD 上的点，有下列条件：①AE ∥CF; ②BE ＝FD;③∠1＝∠2; ④AE ＝CF . 若要添加其中一个条件，使四边形AECF 一定是平行四边形，则添加的条件可以是(B )A ．①②③④B ．①②③C ．②③④D ．①③④7、在四边形ABCD 中：①AB ∥CD ；②AD ∥BC ；③AB ＝CD ；④AD ＝BC.从以上选择两个条件使四边形ABCD 为平行四边形的选法共有( B )A ．3种B ．4种C ．5种D ．6种8、如图,E 是▱ABCD 的边AD 延长线上一点,连接BE ,CE ,BD ,BE 交CD 于点F .添加以下条件,不能判定四边形BCED 为平行四边形的是 ( )A.∠ABD =∠DCEB.DF =CFC.∠AEB =∠BCDD.∠AEC =∠CBD答案C ∵四边形ABCD 是平行四边形,∴AD ∥BC ,AB ∥CD ,∴DE ∥BC ,∠ABD =∠CDB ,A.∵∠ABD =∠DCE ,∴∠DCE =∠CDB ,∴CE ∥DB ,∴∠DCE =∠CDB ,∴BD ∥CE ,∴四边形BCED 为平行四边形,故A 不符合题意;∵DE ∥BC ,∴∠DEF =∠CBF ,在△DEF 与△CBF 中,∠DEF =∠CBF ,∠DFE =∠CFB ,若添加DF =CF ,则△DEF ≌△CBF (AAS),∴EF =BF ,又∵DF =CF ,∴四边形BCED 为平行四边形,故B 不符合题意;∵AE ∥BC ,∴∠AEB =∠CBF ,C.∵∠AEB =∠BCD ,∴∠CBF =∠BCD ,∴CF =BF ,同理,EF =DF ,∴不能判定四边形BCED 为平行四边形,故C 符合题意;∵AE ∥BC ,∴∠DEC +∠BCE =∠EDB +∠DBC =180°,D.∵∠AEC =∠CBD ,∴∠BDE =∠BCE ,∴四边形BCED 为平行四边形,故D 不符合题意, 故选C.9、如图所示，四边形ABCD 是平行四边形，按下列条件得到的四边形BFDE 是平行四边形的个数是(A )①图甲，DE ⊥AC ，BF ⊥AC ； ②图乙，DE 平分∠ADC ，BF 平分∠ABC ；③图丙，E 是AB 的中点，F 是CD 的中点； ④图丁，E 是AB 上一点，EF ⊥AB .A ．3个B ．4个C ．1个D ．2个10、如图在▱ABCD 中，过对角线BD 上一点作EF ∥BC ，GH ∥AB ，图中面积相等的平行四边形有__B ___对．A ．2对B ．3对C ．4对D ．5对二、填空题11、如图，以∆ABC 的顶点A 为圆心，以BC 长为半径作弧，再以顶点C 为圆心，以AB 长为半径作弧，两引交于点D ，连接AD ，CD.若∠B=65 ，则∠ADC 的大小为________答案：结合平行四边形判定，对边相等的四边形为平行四边形，可知065ADC ∠=12、四边形ABCD 中，已知AD ∥BC ，要使四边形ABCD 为平行四边形，需要增加条件AB ∥CD 或∠A ＝∠C 或∠B ＝∠D13、在四边形ABCD 中,AB =CD ,请添加一个条件 ,使得四边形ABCD 是平行四边形.解析 ∵AB =CD ,∴当AD =BC ,或AB ∥CD 时,四边形ABCD 是平行四边形.(答案不唯一)14、一个四边形的边长依次是a ,b ,c ,d ,且a 2+b 2+c 2+d 2=2ac +2bd ,则这个四边形是 ,依据是 .答案 平行四边形;两组对边分别相等的四边形是平行四边形解析 由已知得a 2+b 2+c 2+d 2-2ac -2bd =(a 2+c 2-2ac )+(b 2+d 2-2bd )=(a -c )2+(b -d )2=0,∴a =c ,b =d .∴该四边形为平行四边形.依据是两组对边分别相等的四边形是平行四边形15、如图，ABCD 中，60ABC ︒∠=，E ，F 分别在CD 和BC 的延长线上，AE ⫽BD,EF ⊥BC,EF=3,AB 的长为________解：因为四边形ABCD 是平行四边形，,ABDC AB CD ∴=‖， AE BD ‖，∴四边形ABDE 是平行四边形，AB DE CD ∴==，即D 为CE 中点，EF BC ⊥，90EFC ︒∴∠=，ABCD ‖，60DCF ABC ︒∴∠=∠=， 30CEF ︒∴∠=，3EF =2CE ∴=，∴AB=116、在平面直角坐标系xOy 中,▱OABC 的三个顶点O (0,0)、A (3,0)、B (4,2),则其第四个顶点的坐标是.解析∵O(0,0),A(3,0),∴OA=3,∵四边形OABC是平行四边形,∴BC∥OA,BC=OA=3,∵B(4,2),∴点C的坐标为(4-3,2),即C(1,2).故答案为(1,2).17、如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,且AD>BC,BC=6 cm,P、Q分别从A、C同时出发,P以1 cm/s的速度由A向D运动,Q以2 cm/s的速度由C向B运动, 秒后,四边形ABQP是平行四边形.解析设t秒后,四边形APQB是平行四边形,则AP=t cm,QC=2t cm,BQ=(6-2t)cm,∵AD∥BC, ∴AP∥BQ,当AP=BQ时,四边形ABQP是平行四边形,∴t=6-2t,∴t=2,当t=2时,AP=BQ=2<BC<AD,符合.综上所述,2秒后,四边形ABQP是平行四边形18、在直角坐标系中,点A、B的坐标分别为(-2,4)、(-5,2),点M在x轴上,点N在y轴上.如果以点A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形,那么符合条件的点M有个.解析如图所示.当AB平行且等于N1M1时,四边形ABM1N1是平行四边形;当AB平行且等于N2M2时,四边形ABN2M2是平行四边形;当AB为对角线时,四边形AN3BM3是平行四边形.故符合题意的点M有3个.19、如图,平行四边形ABCD中,AB=8 cm,AD=12 cm,点P在AD边上以每秒1 cm的速度从点A向点D运动,点Q在BC边上以每秒4 cm的速度从点C出发,在CB间往返运动,两个点同时出发,当点P到达点D时停止(同时点Q也停止),在运动以后,以P、D、Q、B四点组成平行四边形的次数有次.解析设经过t秒,以点P、D、Q、B为顶点组成平行四边形,如图,∵以点P、D、Q、B为顶点组成平行四边形,∴DP=BQ,分为以下情况:①点Q的运动路线是C-B时,可列方程为12-4t=12-t,解得t=0,此时不符合题意;②点Q的运动路线是C-B-C时,可列方程为4t-12=12-t,解得t=4.8;③点Q的运动路线是C-B-C-B时,可列方程为12-(4t-24)=12-t,解得t=8;④点Q的运动路线是C-B-C-B-C时,方程为4t-36=12-t,解得t=9.6;⑤点Q的运动路线是C-B-C-B-C-B时,可列方程为12-(4t-48)=12-t,解得t=16,此时P点走的路程为16>AD,此时不符合题意.∴共3次.故答案为3.20、如图，在△ABC 中，AB ＝4，AC ＝3，BC ＝5，△ABD 、△ACE 、△BCF 都是等边三角形，则四边形AEFD 的面积为6 ．三、解答题21、已知：如图，在四边形ABCD 中，AB||CD ，对角线AC ，BD 相交于点0，BO=DO ，求证：四边形ABCD 是平行四边形.证明： AB CD ‖，ABO CDO,BAO DCO ∴∠=∠∠=∠，又BO DO =()AOB COD AAS ∴∆≅∆，AB CD ∴=，所以四边形ABCD 是平行四边形.22、已知：如图，E ，F 分别是▱ABCD 的边AD ，BC 的中点．求证：AF ＝CE.证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ＝BC ，AD ∥BC ，∵E ，F 分别是AD ，BC 的中点，∴AE ＝CF ，∴四边形AFCE 是平行四边形，∴AF ＝CE.23、如图，在ABCD 中，分别以AD ，BC 为边向内作等边∆ADE 和等边∆BCF ，连接BE ，DF.求证：四边形BEDF 是平行四边形证明： ∵四边形ABCD 是平行四边形，CD AB,AD CB,DAB BCD ∴==∠=∠又∵∆ADE 和∆CBF 都是等边三角形，∴AE=DE=AD=BC=CF=FB,∠DAE=∠BCF=60,∴∠BCD-∠BCF=∠DAB-∠DAE,即∠DCF=∠BAE,()DCF BAE SAS ∴≅，DF BE ∴=,又∵DE=FB, ∴四边形BEDF 是平行四边形.24、已知：如图，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，E ，F 为对角线AC 上两点，且AE ＝CF ，DF ∥BE.求证：四边形ABCD 为平行四边形．证明：∵AB ∥CD ，∴∠DCA ＝∠BAC ，∵DF ∥BE ，∴∠DFA ＝∠BEC ，∴∠AEB ＝∠DFC ，在△AEB 和△CFD 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠DCF ＝∠EAB ，AE ＝CF ，∠DFC ＝∠AEB ，∴△AEB ≌△CFD(ASA)，∴AB ＝CD ，∵AB ∥CD ，∴四边形ABCD 为平行四边形．25、如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，延长BC 到E ，使CE ＝BC ，连接AE 交CD 于点F ，点F 是CD的中点．求证：(1)△ADF ≌△ECF ；(2)四边形ABCD 是平行四边形．证明：(1)∵AD ∥BC ，∴∠DAF ＝∠E ，∵点F 是CD 的中点，∴DF ＝CF ，在△ADF 与△ECF 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠DAF ＝∠E ∠AFD ＝∠EFC DF ＝CF，∴△ADF ≌△ECF(AAS) (2)∵△ADF ≌△ECF ，∴AD ＝EC ，∵CE ＝BC ，∴AD ＝BC ， ∵AD ∥BC ，∴四边形ABCD 是平行四边形26、如图，在四边形ABCD 中，BD 垂直平分AC ，垂足为点F ，E 为四边形ABCD 外一点，且∠ADE ＝∠BAD ，AE ⊥AC .(1)求证：四边形ABDE 是平行四边形；(2)如果DA 平分∠BDE ，AB ＝5，AD ＝6，求AC 的长．(1)证明：∵AE ⊥AC ，BD 垂直平分AC ，∴AE ∥BD ，∵∠ADE ＝∠BAD ，∴DE ∥AB ，∴四边形ABDE 是平行四边形；(2)解：∵DA 平分∠BDE ，∴∠ADE ＝∠ADB ，∴∠BAD ＝∠ADB ，∴AB ＝BD ＝5，设BF ＝x ，则52－x 2＝62－(5－x )2，解得x ＝75， ∴AF ＝AB 2－BF 2＝245，∴AC ＝2AF ＝485.。
冀教版初中数学八年级下册教学课件 第二十二章 四边形 平行四边形的判定(第2课时)
解:(1)已知:如图所示,在四边形ABCD中,BC=AD,AB=CD. 求证:四边形ABCD是平行四边形.
AB CD,
(2)证明:连接BD,在△ABD和△CDB中,
平行四边形的判定定理: (1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形. (2)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. (3)两组对边分别相等的四边形是平行四边形. (4)两条对角线互相平分的四边形是平行四边形.
(教材第127页例3)已知:如图所示,▱ABCD的两条对角线AC,BD相 交于点O,E,F分别为OA,OC的中点. 求证四边形EBFD是平行四边形.
③再加上条件“AO=CO”,则四边形ABCD一定是平行四边形.
④再加上条件“∠DBA=∠CAB”,则四边形ABCD一定是平行四边形.
A.①和②
B.①③和④ C.②和③ D.②③和④
解析:∵一组对边平行且相等的四边形是平行四边形,∴①不正 确;∵AB∥CD,∴∠ABC+∠BCD=180°,∵∠BAD=∠BCD,∴∠ABC +∠BAD=180°,∴AD∥BC,∴四边形ABCD是平行四边形,∴②正 确;∵AB∥CD,∴△AOB∽△COD,∴AO∶CO=BO∶DO,∵AO=CO, ∴BO=DO,∴四边形ABCD是平行四边形,∴③正 确;∵∠DBA=∠CAB,∴AO=BO,∵AB∥CD,∴△AOB∽△COD,∴A O∶CO=BO∶DO,∵AO=BO,∴CO=DO,∴四边形ABCD不一定是平 行四边形,∴④不正确.故选C.
分析:由题意可得OB=OD,OA=OC,再由OE=
人教版初中八年级下册数学课件 《矩形》平行四边形(第2课时矩形的判定)
矩形 第二课时矩形的判定
课标解读
1.理解矩形的定义，能够利用矩形的定义判定四边形是矩形。 2.掌握矩形的判定定理，并能灵活运用这些判定定理解决问题。 3.通过探索矩形的判定定理，进一步培养视图能力，以及推理论证 能力。
知识梳理 矩形的判定 1.定义法：有一个角是直角的平行四边形是矩形
4
4.八年级（3）班同学要在广场上布置一个矩形的花坛，计划用红花 摆成两条对角线.如果一条对角线用了38盆红花，还需要从花房运来 多少盆红花？为什么？如果一条对角线用了49盆呢？
解：还需要从花房运来38盆“红花”. 因为，矩形的对角线相等，所以另一条对角线也需38盆“红花”.且 不应除去两条对角线的交点，这是因为38盆是偶数，因此对较线的 交点没有摆花盆. 如果一条对角线用了49盆，那么应从花房运来48盆“红花”.因为矩 形的对角线相等，但由于49盆是奇数，因此对角线交点应已摆放花 盆，所以，另一条对角线上的花盆数应少1盆.
3.已知平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，△AOB是等 边三角形，AB=4cm. (1)这个平行四边形是矩形吗？说明你的理由; (2)求这个平行四边形的面积.
解：（1）是.∵△AOB是等边三角形，
∴AO=BO
1
1
又∵AO=2 AC，BO2= BD.
∴AC=BD.
∴ ABCD是矩形.
（2）S 1 ABCD= 2 3 4 4 16 3 2
已知：如图，∠A=∠B=∠C=90°.
A
D
求证：四边形ABCD是矩形
证明：∵∠A=∠B=∠C=90° ∴∠D=90°
B
C
∴∠A=∠C，∠B=∠D，
∴四边形ABCD是平行四边形 ， ∵∠A=90°
人教版八年级数学下册《平行四边形的判定》平行四边形PPT精品课件
新知探究
于是我们又得到平行四边形的一个判断定理： 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
数学表达式：如图，∵AB ＝∥ CD， ∴四边形ABCD是平行四边形．
例题精析
例1 如图，在▱ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点.
求证：四边形EBFD是平行四边形.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
人教版八年级数学下册
第十八章 平行四边形
平行四边形的判定
第1课时
新课导入
前面我们学习了平行四边形的定义和性质，它们的内容是什么？ 平行四边形的定义：
两组对边分别平行的四边形叫平行四边形； 平行四边形的性质：
对边相等，对角相等，对角线互相平分.
新课导入 一、复习反思，引出课题
学习完定义和性质后，由以前经验接下来我们应该研究什么？
定义
性质
判？定
平行四边形的判定
新课探究
根据以往学习一些图形判定定理的经验，如何寻找平行四边形 的判定方法？
性质定理 两直线平行，同位角相等
角平分线上的点到角两边的距离相等
线段垂直平分线上的点到线段两端点的距 离相等
全等三角形的对应边相等 ……
判定定理 同位角相等，两直线平行
角的内部，到角两边距离相等的 点在这个角的角平分线上
∴ △AOD≌△COB．
∴ ∠OAD=∠OCB．
∴ AD∥BC． 同理 AB∥DC．
判定3： 对角线互相平分的四边形是平行四边形．
∴ 四边形ABCD是平行四边形．
新课探究
两组对边分别平行 两组对边分别相等 两组对角分别相等 对角线互相平分
的四边形是平行四边形
例题精析
例1 如图，AB=DC=EF，AD=BC，DE=CF.求证：AB∥EF.
人教版八年级数学下册 第十八章 平行四边形第2课时 平行四边形对角线的性质(课件)
AO4C5B
的面积 =
S
ABCD
25
20 25
85（cm2）.
故答案为 5 .
8
平行四边形的性质
性质
数学语言
图示
平行四边形的对 ∵四边形ABCD是平行四边形
边
边相等.
∴AD=BC, AB=CD.
平行四边形的对 ∵四边形ABCD是平行四边形
角
角相等.
∴∠A=∠C，∠B=∠D.
∵四边形ABCD是平行四边形
D1
3C
A4
O 2B
面积探索
想一想 △ABD 的面积与 △CDB 的面积有什么关系？
△ABC 的面积与△CDA 的面积呢？
因为 S△ABD = S△ABO + S△DAO ，
D1
S△CDB = S△BCO + S△CDO ， 所以 S△ABD = S△CDB . 同理可得，S△ABC = S△CDA .
可是当四个孩子看到时，争论不休，都认为自己分 的土地比其他人少．老人这样分地合理吗？
面积探索
说一说，△ABO，△BCO，△CDO，△DAO 它们的 面积有什么关系？
【提示】
D1
3C
平行四边形的对角线互相平分. 三角形中线等分面积.
A4
O 2B
面积探索
说一说，△ABO，△BCO，△CDO，△DAO 它们的 面积有什么关系？
C
AO 为邻边作平行四边形 AOC1B，对
角线交于点 O1；以 AB，AO1 为邻边
O
C1
作平行四边形 AO1C2B … 以此类推，
O1
C2
O2
则平行四边形 AO4C5B 的面积为
A
B
平行四边形的判定课件人教版数学八年级下册2
∵点G是AB的中点，BE=EF
G
∴GE是△ABF的一条中位线，
A
∴GE∥AF，即CE∥AF，
C
E O F
H
D
同理可得 CF∥AE， ∴四边形AFCE是平行四边形． ∴OA=OC，OE=OF， 又∵BE=DF， ∴OB=OD， ∴四边形ABCD是平行四边形．
B G A
C
E O F
H
D
归纳新知
平 行 四 边 形 的 判 定
D
A
B
O
C
2.如图， 在平行四边形 ABCD 中，EF 过对角线 BD 的中
点 O. 求证：四边形 BFDE 是平行四边形.
证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形
A
FD
∴OB=OD，AD//BC
O
∵ AD//BC ∴∠FDO=∠EBO
BE
C
∵ ∠FDO=∠EBO，OD=OB， ∠FOD=∠EOB
∴△FDO≌△EBO，OF=OE
(1)求证：四边形DEBF是平行四边形； (2)当DE＝DF时，求EF的长．
解：(1)∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠DFO＝∠BEO，又∵∠DOF＝ ∠BOE，OD＝OB，∴△DOF≌△BOE(AAS)，∴DF＝BE，又∵DF∥BE，∴四边形 DEBF是平行四边形
(2)∵DE＝DF，四边形 DEBF 是平行四边形，∴四边形 DEBF 是菱形，∴ DE＝BE，EF⊥BD，OE＝OF，设 AE＝x，则 DE＝BE＝8－x，在 Rt△ADE 中，根据勾股定理，有 AE2＋AD2＝DE2，∴x2＋62＝(8－x)2，解得 x＝74 ，∴ DE＝8－74 ＝245 ，在 Rt△ABD 中，根据勾股定理，有 AB2＋AD2＝BD2，∴BD ＝ 62＋82 ＝10，∴OD＝12 BD＝5，在 Rt△DOE 中，根据勾股定理，有 DE2 － OD2＝OE2，∴OE＝ （245）2－52 ＝145 ，∴EF＝2OE＝125
八年级数学《平行四边形性质 》课件
小组展示
A
D
一、 平行四边形的相关概念：
1、定义：有两组对边分别平行的四B 边形叫平行C四边形. 2、特征：a、属于四边形； b、有两组对边分别平行.
3、符号：“ ”如平行四边形ABCD记作： ABCD；
读作：平行四边形ABCD
4、有关名称：
A
D
（1）对边，（2）邻边；
∟
∟
（3）对角，（4）邻角；
D
3. 如图， ABCD中，DE⊥AB，BF⊥CD，垂 足分别为E，F．求证：AE=CF．
两条平行线中，一条直线 D 上任意一点到另一条直线
的距离，叫做两条平行线
之间的距离
A E
FC B
DE=BF 吗？
两条平行线间的距离处 处相等
已知 : 如图, ABCD , AB=8cm,BC=10cm,∠B=30°.
B
C
（5）高。
返回
5．证明平行四边形的对边平行且相等
6．证明平行四边形的对角相等，邻角互 补
平行四边形的性质：
平行四边形的对边平行；
四边形ABCD是平行四边形 AB CD;AD BC
平行四边形的对边相等；
四边形ABCD是平行四边形 AB CD; AD BC
平行四边形的对角相等；
四边形ABCD是平行四边形 A C;B D
求 : ABCD 的面积.
A
D
解: 过A作AE⊥BC于点Ｅ
在Rt△ABE中,
B
∠B= 30°, AB=8 .
EC
∴ AE=
1 2
AB=
1 2
×8 =4
∴ ABCE的面积
S ABCD =BC·AE
=10×4 =40(cm2).
人教版《平行四边形的性质》初中数学-教学课件2
)
证明:在▱ABCD中,AD∥BC,
又∵AM=CN,∴△ABM≌△CDN, 如图,▱ABCD的对角线AC和BD相交于点O,对于以O为公共顶点的4个三角形来说,下面结论中错误的是(
)
∴∠AMB=∠CND,
∴∠BMO=∠DNO,∴BM∥DN.
返回
数学
6.【例3】如图,在▱ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,过点O 的直线分别交AD,BC于点M,N,若△CON的面积为2,△DOM 的面积为4,求△AOB的面积.
返回
数学
解:∵四边形 ABCD 是平行四边形, ∴∠CAD=∠ACB,OA=OC, 而∠AOM=∠CON,∴△CON≌△AOM, ∴S△AOD =S△DOM +S△AOM =S△DOM +S△CON =4+2=6, 又∵OB=OD,∴S△AOB =S△AOD =6.
返回
数学
10.如图,▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O,过点O的直线 交AD于点E,交BC于点F.直线EF两旁的梯形的面积相等吗? 为什么?
∴∠EDO=∠FBO,∠DEO=∠BFO, 解决一类问题、一系列问题。
29 定理 线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等 32 定理1 关于某条直线对称的两个图形是全等形
∴△DEO≌△BFO,∴DE=BF. 30 逆定理 和一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上
(4)立体几何。此专题注重点线面的关系，用空间向量解决点线面的问题是重点。 ○3课后及时复习.写完作业后对当天老师讲的内容进行梳理，可以适当地做25分钟左右的课外题.可以根据自己的需要选择适合自己的课外书.其课外题内容大概就是今天上
第十八章 平行四边形
第2课时 平行四边形的性质(2)
平行四边形复习课件2022——2023学年人教版八年级下册数学
3.(2021•云南20题8分)如图，四边形ABCD是矩形，E，F分别 是线段AD，BC上的点，O是EF与BD的交点．若将△BED沿 直线BD折叠，则点E与点F重合． (1)求证：四边形BEDF是菱形；
(2)若ED＝2AE，AB•AD＝3 3 ，
求EF•BD的值．
(1)证明：由折叠的性质可知△BED ≌△BFD， ∴BE＝BF, DE＝DF, ∠EBD＝∠FBD. ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC，∴∠EDB＝∠FBD， ∴∠EBD＝∠EDB，∴BE＝DE. ∵BE＝BF，DE＝DF， ∴BE＝BF＝DE＝DF， ∴四边形BEDF是菱形．
（2）任意平行四边形的中点四边形是什么形状？为什么？
（3）任意矩形、菱形和正方形的中点四边形是什么形状？为 什么？
走进中考
1.(2019•云南20题8分)如图，四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O， AO＝OC，BO＝OD，且∠AOB＝2∠OAD. (1)求证：四边形ABCD是矩形； (2)若∠AOB∶∠ODC＝4∶3，求
两条平行线中，一条直线
D H C b 上任意一点到另一条直线的距
离叫做两条平行线之间的距离.
a 平行线之间的距离处处相等。
2.三角形的中位线定理：
A
D
E
B
C
三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于 第三边的一半．
3.直角三角形斜边上的中线：
A
O
B
C
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
五、中点四边形（拓展）
∠ADO的度数．
(1)证明：∵AO＝OC, BO＝OD， ∴四边形ABCD是平行四边形． 又 ∵∠AOB ＝ 2∠OAD ， ∠AOB ＝ ∠OAD＋∠ADO， ∴∠OAD＝∠ADO，∴AO＝OD. ∵AC ＝ AO ＋ OC ＝ 2AO ， BD ＝ BO ＋ OD＝2OD， ∴AC＝BD，∴四边形ABCD是矩形．
平行四边形的判定(2)++课件+2022—2023学年人教版数学八年级下册++
∥
=
∥ =
四边形是平行四边形
平行四边形
的判定
应用新知
基础
训练
平行四边形的性质与判定
. 如图，在平行四边形中，是对角线，过、两点分别
作 ⊥ ， ⊥ ，、为垂足.
求证：四边形是平行四边形
∵ = ∥
∴ 四边形是平行四边形
平行四边形
的判定
应用新知
基础
训练
平行四边形的性质与判定
. 已知：如图四边形和四边形都是平行四边形.
求证：四边形是平行四边形.
证明： ∵
∴
∵
平行四边形
∴
的性质
∴
∴
四边形是平行四边形
∥
=
D
B
C
学习新知
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
平行四边形的任意一组对边平行且相等
已知：在四边形中， ∥ ， = .
求证：四边形是平行四边形.
证明：连接
∵ ∥
∴ ∠ = ∠
又 ∵ = =
∴ △ ≌△
∴ =
18.1.2平行四边形的判定
第二课时
第十八章
平
行
四
边
形
作业
. 如图，将平行四边形的对角线向两个方向延长至
点和点，使 = .
求证：四边形是平行四边形．
O
证明：连接AC交EF于点O
∵ 四边形ABCD是平行四边形
∴ = =
∵ =
∴ + = +
∵ = =
∴ 四边形是平行四边形
A
D
1
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八年级数学 （下册）
第九章 中心对称图形 ——平行四边形
1、什么是平行四边形？ 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.
2、我们学习了平行四边形的哪些性质？ 边：两组对边分别相等 两组对边分别平行 角：两组对角分别相等 对角线：互相平分 A
O
D
C
平行四边形的两组对边分别相等； 平行四边形的两组对角分别相等；
AD∥BC
AB∥DC DC∥EF
DE∥CF
DC=EF
DE=CF
AB∥ DC∥EF
对角线互相平分的四边形是平行四边形。
平行四边形的这个判定方法，又该如何证明呢？ A D 已知，如图，在四边形ABCD中， 3 1 AC与BD相交于点O，OA=OC， O OB=OD，求证：四边形ABCD是 2 4 平行四边形。 B C 证明：OA=OC ∠AOD=∠COB △ADO ≌△CBO OB=OD
OA=OC OB=OD 四边形ABCD是平行四边形
例3 如图 ABCD的对角线AC、BD相交 于点O， E、F是AC上的两点，并且AE=CF，求证: 四边形 BFDE是平行四边形。
A D E O B
证明： 因为四边形ABCD是平行四边形， 所以OA=OC， OB=OD。 因为AE=CF，
F C
所以OE=OF。
AD=CB 同理可证AB=DC 四边形ABCD 是平行四边形
两组对角分别相等的四边形是平行四边形. 平行四边形这个判定方法，又怎么证明呢？
A B
已知：如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C， ∠ B=∠D ，求证：四边形ABCD是平行四边形 . 证明： 在四边形ABCD中， ∠A+∠B+∠C+∠D=360°。 D 因为∠A=∠C， ∠B=∠D， 所以∠A+∠D=180°， C ∠A+∠B=180°。 所以AB∥DC，AD∥BC。 所以四边形ABCD是平行四边形。
平行四边形有哪些判定方法？
两组对边分别平行的四边形是平行四边形（定义）； 两组对边分别相等的四边形是平行四边形； 两组对角分别相等的四边形是平行四边形； 对角线互相平分的四边形是平行四边形。
如图，用符号表示如下：
AD∥BC AB∥DC 四边形ABCD是 平行四边形
A
D
O
B C AD=BC 四边形ABCD是平行四边形 AB=DC ∠BAD=∠BCD 四边形ABCD是平行四边形 ∠ABC=∠ADC
又OB=OD， 所以四边形BFDE是平行四边形。
你还有其他 的证明方法 吗？
解：图中互相平行的线段有： AB//DC//EF， AD//BC， DE//CF B 理由如下：
AB=DC AD=BC
如图，AB=DC=EF，AD=BC，DE=CF， 图中有哪些互相平行的线段？ D A
E F
C
四边形ABCD 是平行四边形 四边形CDEF 是平行四边形
平行四边形的对角线互相平分。
思考：我们已经学习了平行四边形的这些性质， 那么它们的逆命题各是什么呢？
两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
对角线互相平分的四边形是平行四边形。
我们得到的这些逆命题都成立吗？我们一起 探讨一下吧：
两组对边分别相等的四边形是平行四边形. 平行四边形这个判定方法，我们如何证明？
已知：如图，在四边形ABCD中，AB=DC， AD=BC，求证：四边形ABCD是平行四边形 . 证明：连接AC， 在△ABC 和△CDA中， A 1 D 4 AB=CD(已知)， 3 AD=BC(已知)， 2 B C AC=CA(公共边)， 所以△ABC ≌ △CDA (SSS)。 所以∠1=∠2， ∠3=∠4。 所以AB∥DC，AD∥BC。 所以四边形ABCD是平行四边形。