2020届河北衡水金卷新高考原创考前信息试卷(五)理科数学
2020届河北衡水金卷新高考押题信息考试(一)理科数学
2020届河北衡水金卷新高考押题信息考试（一）理科数学★祝你考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考考查范围。
2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
4、主观题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非主观题答题区域的答案一律无效。
5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
6、保持卡面清洁，不折叠，不破损。
7、本科目考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.已知i 为虚数单位，复数(2)i z i-=在复平面对应点Z 在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】C 【解析】 试题解析：()212i z i i-==--，对应点在第三象限，故选 C ．考点：复数与复平面内的点的对应关系．点评：本题考查了复数的运算，根据复数的实部和虚部确定复数对应点所在的象限． 2.11a<成立的充要条件是（ ） A. 1a > B. 0a <C. 0a ≠D. 1a >或0a <【答案】D 【解析】 【分析】解分式不等式即可得解； 【详解】解：因为11a <，110a ∴-<，10a a -∴<，即10a a->，解得1a >或0a <，即()(),01,a ∈-∞+∞U ， 故11a<成立的充要条件是“1a >或0a <”. 故选：D【点睛】本题考查分式不等式的解法及充要条件的理解，属于基础题. 3.已知圆柱的轴截面周长为12，体积为V ，则下列总成立的是（ ） A. 8V π≥ B. 8V π≤ C. V π≥ D. V π≤【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，圆柱的底面半径r 和高h 满足等式4212r h +=，即26r h +=．由此结合基本不等式，可得28V r h ππ=≤，即可得到本题答案．【详解】解：设圆柱的底面半径为r ，高为h ，由题意 得：4212r h +=，即26r h +=，∴体积为()33218633V r h r r h ππππ⎡⎤⎛⎫=++=⨯= ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭… 当且仅当r h =时取等号，由此可得8V π≤恒成立 故选：B ．【点睛】本题给出圆柱的轴截面周长为定值，讨论圆柱体积的最值．着重考查了圆柱的体积公式和运用基本不等式求最值等知识，属于中档题．4.设α，β为两个不同平面，a ，b 是两条不同的直线，则下列结论正确的是（ ）A. 若a b ⊥r r，b α⊥，则//a αB. 若a α⊂，b β⊂，则a 与b 是异面直线C. 若a α⊥，b β⊥，a b ⊥r r，则αβ⊥ D. 若b αβ=I ，//a b 则//a α且//a β 【答案】C 【解析】 【分析】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解．【详解】解：对于A ：由a b ⊥r r，b α⊥，则//a α或a α⊂，故A 错误；对于B ：若a α⊂，b β⊂，则a 与b 可能是异面直线、平行或相交，故B 错误； 对于C ：若a α⊥，b β⊥，a b ⊥r r，则αβ⊥，故C 正确；对于D ：若b αβ=I ，//a b ，则//a α或a α⊂或a β⊂，故D 错误； 故选：C【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，属于中档题．5.曲线()ln f x x x =+在1x =处的切线方程是（ ） A. 1y x =- B. 2y x =- C. 21y x =- D. 22y x =-【答案】C 【解析】 【分析】求出函数的导数，可得切线的斜率，运用点斜式方程即可得到所求切线的方程． 【详解】解：()f x x lnx =+的导数为1()1f x x'=+， ()11121f ∴'=+=可得()f x x lnx =+在1x =处的切线斜率为2， 切点为(1,1)，即有()f x x lnx =+在1x =处的切线方程为12(1)y x -=-， 即为21y x =-． 故选：C ．【点睛】本题考查导数的运用：求切线的方程，考查导数的几何意义，正确求导和运用点斜式方程是解题的关键，属于基础题．6.把函数()sin y x x R =∈的图象上所有的点向左平移6π个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到图象的函数表达式为（ ） A. sin 2,3y x x R π⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭B. sin 2,3y x x R π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭C. 1sin ,26y x x R π⎛⎫=-∈⎪⎝⎭D. 1sin ,26y x x R π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】试题分析：由题意函数()sin y x x R =∈的图象上所有的点向左平移6π个单位长度得到，再把所得图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到1sin ,26y x x R π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭考点：几何概型7.直线2y x =绕原点顺时针旋转45°得到直线l ，若直线l 的倾斜角为α，则cos2=α（ ） A. 35-B.35C. 45-D.45【答案】D 【解析】 【分析】由题意可得tan 1tan(45)21tan ααα++︒==-，求得tan α 的值，再根据二倍角公式、同角三角函数的基本关系求得cos2α的值．【详解】解：由题意可知tan 1tan(45)21tan ααα++︒==-，1tan 3α∴=，222222222211cos sin 1tan 43cos 2cos sin cos sin 1tan 5113ααααααααα⎛⎫- ⎪--⎝⎭∴=-====++⎛⎫+ ⎪⎝⎭， 故选：D ．【点睛】本题主要考查直线的倾斜角和斜率，一条直线到另一条直线的角的计算公式，及三角恒等变换的相关知识，属于基础题．8.《几何原本》卷 2 的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有如图所示图形，点F 在半圆O 上，点C 在直径AB 上，且OF AB ⊥，设AC a =，BC b =，则该图形可以完成的无字证明为（ ）A.(0,0)2a bab a b +≥>> B. 22(0,0)a b ab a b +≥>>C.2(0,0)abab a b a b≤>>+ D. 220,0)22a b a b a b ++≤>>【答案】D 【解析】令,AC a BC b ==，可得圆O 的半径2a b r +=，又22a b a bOC OB BC b +-=-=-=，则()2222222()442a b a b a b FC OC OF -++=+=+=，再根据题图知FO FC ≤，即2222a b a b ++≤本题答案选Ｄ．9.已知定义域为R 的奇函数()f x 满足3122f x f x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且当01x ≤≤时，()3f x x =，则52f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ） A. 278-B. 18-C. 18D. 278【答案】B 【解析】 【分析】根据()f x 满足3122f x f x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，从而得出5122f f ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再根据()f x 是奇函数，且当01x 剟时，3()f x x =，从而得出12f ⎛⎫-⎪⎝⎭的值，即可得解． 【详解】解：依题意，()f x 满足3122f x f x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭311122f f ⎛⎫⎛⎫∴+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即5122f f ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 又()f x 是定义域为R 的奇函数，()()f x f x -=-，即1122f f ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 因为当01x ≤≤时，()3f x x =，3111228f ⎛⎫⎛⎫∴== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故51112228f f f⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭故选：B【点睛】考查奇函数的应用，以及函数求值的方法，属于基础题． 10.若{},1,0,1,2a b ∈-，则函数2()2f x ax x b =++有零点的概率为( ) A.1316B.78C.34D.58【答案】A 【解析】【详解】试题分析：显然总的方法中数为：16种当0a =时：()2f x x b =+无论b 取{}1,0,1,2-中何值，原函数必有零点，所以有4种取法；当0a ≠时，函数2()2f x ax x b =++为二次函数，若有零点须使：0∆≥即440ab -≥即1ab ≤，所以,a b 取值组成的数对分别为：()()()()()()()()()1,0,1,0,2,0,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,2,1-------共9种， 综上符合条件的概率为：94131616+=，所以答案为：A. 解法二：（排除法）总的方法种数为16种，其中原函数若无零点须有0a ≠且∆<0即1ab >，所以此时,a b 取值组成的数对分别为：()()()1,2,2,1,2,2共3种，所以所求有零点的概率为：31311616-=，答案为A. 考点：1.分情况讨论思想；2.二次函数的零点.11.已知A ，B 是圆22:4O x y +=上的两个动点，且|2AB =u u u r ，2133OC OA OB =+u u u r u u u r u u u r．若M 是线段AB 的中点，则OC OM ⋅=u u u r u u u u r（ ）A. 3B.C. 2D. -3【答案】A 【解析】利用已知向量表示所求向量，利用向量的数量积化简求解即可．【详解】解：由2133OC OA OB =+u u u r u u u r u u u r ，()12OM OA OB +=u u u u u u r r u u u u r， 所以2211111332262213OC OM OA OB OA OB OA OB OA OB ⎛⎫⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u rg g g， 又OAB ∆为等边三角形，所以22cos602OA OB =⨯⨯︒=u u u r u u u rg ．221111114423623623OC OM OA OB OA OB =++=⨯+⨯+⨯=u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r g g ，则OC OM u u u r u u u u r g 的值为：3．故选：A ．【点睛】本题考查向量的数量积的应用，向量在几何中的应用，考查计算能力，属于基础题．12.已知c 是椭圆()222210x ya b a b+=>>的半焦距，则b c a +取得最大值时椭圆的离心率为（ ）A.12B.13C.2【答案】C 【解析】 【分析】由b c b a a +=+，结合01b a <<，可设cos b a θ=，0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则4b c a πθ+⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．可知当4πθ=，即2b a =时，b c a +取最大值，由此求得椭圆的离心率．详解】解：b c b c b b a a a a a +=+==0a b >>Q ，01ba∴<<．设cos b a θ=，0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则cos sin cos 4b c a πθθθθ+⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭．∴当4πθ=，即b a =时，b c a +取最大值，此时2c e a ====．【点睛】本题考查椭圆的简单性质，考查三角函数知识，正确换元是关键，属于中档题．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分．把答案填写在答题卡相应的题号后的横线上）13.在平面直角坐标系中，动点P 在椭圆22:1169x y C +=上运动，则点P 到直线50x y --=的距离的最大值为______．【答案】【解析】 【分析】求出与已知直线平行且与椭圆221169x y +=相切的直线方程，根据椭圆的性质可得两条切线中与已知直线距离较远的那条直线上的点P 到直线50x y --=的最大值．【详解】解：设直线0x y m -+=与椭圆221169x y +=相切联解消去y ，得222532161440x mx m ++-=∴()()2232425161440m m ∆=-⨯⨯-=，解得5m =或5-∴与直线50x y --=平行且与椭圆相切的直线方程为50x y -±=其中与直线50x y --=距离较远的是50x y -+=，且距离为d ==P ∴到直线50x y --=的最大距离为故答案为：【点睛】本题考查了点到直线的距离公式、椭圆的简单几何性质和直线与圆锥曲线的关系等知识，属于中档题．14.已知0a >，0b >，若a ，2，b 依次成等差数列，则14a b+的最小值为______． 【答案】94【分析】根据等差中项的性质可得4a b +=，则14a b+=，再利用乘“1”法及基本不等式计算可得； 【详解】解：因为0a >，0b >，且a ，2，b 依次成等差数列， 所以22a b +=⨯，14a b+∴= 所以1414141495524444a b b a b a a b a b a b a b ⎛⎫+⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+⋅=++≥+⋅= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 当且仅当4b a a b =，即43a =，83b =时取等号，故14a b+的最小值为94，故答案为：94【点睛】本题考查基本不等式的性质以及应用，涉及等差中项的定义，属于中档题. 15.已知三棱锥P ABC -中，PC ⊥平面ABC ，若6PC BC ==，2AB =，PA 与平面ABC 所成线面角的正弦值为6，则三棱锥P ABC -外接球的表面积为______．【答案】16π 【解析】 【分析】根据已知可得AB BC ⊥，可得三棱锥P ABC -的外接球，即为以PC ，AC ，AB 为长宽高的长方体的外接球，根据已知PC 、AC 、AB 的长，代入长方体外接球直径（长方体对角线）公式，易得球半径，即可求出三棱锥外接球的表面积．【详解】解：PC ⊥Q 平面ABC ，PA 与平面ABC 所成线面角的正弦值为64∴6PC PA =，4PA ∴=， 根据勾股定理可得2210AC PA PC =-=在ABC ∆中，=BC AC =，2AB =，则ABC ∆为直角三角形．三棱锥P ABC -外接球即为以PC ，AC ，AB 为长宽高的长方体的外接球，故24R ==，三棱锥外接球的表面积为2416S R ππ==． 故答案为：16π．【点睛】本题考查的知识点是球内接多面体，其中利用割补法，将三棱锥P ABC -的外接球，转化为一个长方体的外接球是解答的关键，属于中档题．16.已知函数()()320g x ax bx cx d a =+++≠的导函数为()f x ，0a b c ++=且()()010f f >，设1x ，2x 是方程()0f x =的两个根，则12x x -的取值范围为______．【答案】23⎫⎪⎣⎭【解析】 【分析】由题意得：2()32f x ax bx c =++，1x ，2x 是方程()0f x =的两个根，由韦达定理得，1223b x x a+=-，123c x x a =，于是求212||x x -224129b ac a -=，又0a b c ++=，从而有2212444||933b b x x a a ⎛⎫⎛⎫-=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭①，又()()010f f >，可求得21ba-<<-，代入①即可求得212||x x -的范围，从而得解． 【详解】解：()()320g x ax bx cx d a =+++≠Q()232g x ax bx c ∴=++由题意得：2()32f x ax bx c =++，1x Q ，2x 是方程()0f x =的两个根，故1223bx x a +=-，123c x x a=， ∴()222121212241249b acx x x x x x a --=+-=g ，又0a b c ++=，c a b ∴=--代入上式，∴222221222412()1241244499933b a a b a b ab b b x x a a a a ++++⎛⎫⎛⎫-===++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭①，又()()010f f ⋅>Q ，()(2)0a b a b ∴++<，即22230a ab b ++<，0a ≠Q ，两边同除以2a 得：2320b b a a ⎛⎫⎛⎫++< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； 21b a ∴-<<-，代入①得21214||,39x x ⎡⎫-∈⎪⎢⎣⎭， 1232||,3x x ⎡⎫∴-∈⎪⎢⎪⎣⎭． 故答案为：32,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭． 【点睛】本题考查根与系数的关系，着重考查韦达定理的使用，难点在于对条件“()()010f f >”的挖掘，充分考察数学思维的深刻性与灵活性，属于难题．三、解答题（本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知函数()()2log 15f x x x a =-+-- （1）当2a =时，求函数()f x 的最小值；（2）当函数()f x 的定义域为R 时，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）1；（2）(),4-∞ 【解析】【详解】（1）当2a =时，函数的定义域满足：|150x x a -+--，即152x x a -+->=．设()15g x x x =-+-，则()26,515{4,1562,1x x g x x x x x x -≥=-+-=<<-≤，()()()2min min 42,log 421g x a f x =>==-=．（2）因为函数的定义域为，所以不等式恒成立，只要即可； 又（当且仅当时取等号），所以，即的取值范围是．考点：1．函数的定义域；2．绝对值不等式；3．恒成立问题．【方法点睛】处理绝对值不等式问题，主要从去掉绝对值符号入手，往往讨论变量的范围去掉绝对值符号，变成分段函数求解问题；证明问题还往往涉及的应用．18.已知A ，B ，C 是ABC V 的内角，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且满足22sin sin C A --2sin sin sin A B B =．（1）求角C 的大小； （2）若6A π=，ABC V 3，M 为BC 的中点，求AM ．【答案】（1）23C π=；（2）7AM =【解析】 【分析】（1）直接利用同角三角函数关系式的变换的应用，余弦定理的应用求出结果． （2）利用正弦定理余弦定理和三角形的面积公式的应用求出结果． 【详解】解：（1）因为222sin sin sin sin sin A A B B C --=， 利用正弦定理整理得：222c b a ab -=+，结合余弦定理：2221cos 22a b c C ab +-==-，由于：0C π<< 整理得：23C π=． （2）因为6A π=，ABC ∆3所以ABC ∆为等腰三角形， 且顶角23C π=． 因为13sin 324ABC S ab C ∆===， 所以：2a b ==．在MAC ∆中，2AC =，1CM =，23C π=， 所以2222cos AM AC CM AC CM C =+-g g g 1412212=++⨯⨯⨯， 7=解得7AM=．【点睛】本题考查的知识要点：同角三角函数的基本关系，正弦定理，余弦定理，求面积公式，综合性较强，考查学生分析推理，计算化简的能力，属于中档题．19.如图，三棱锥A BCD -中，AB ⊥平面BCD ，BC CD ⊥，3AB CD ==，2BC =，E 为AC 的中点，F 为AD 的中点．（1）证明：平面BEF ⊥平面ABC ； （2）求多面体BCDFE 的体积． 【答案】（1）证明见解析；（2）34BCDFE V = 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直的判定与性质定理可证：CD ⊥平面ABC ，再利用三角形的中位线定理可得：//EF CD ．再利用线面垂直的判定、面面垂直的判定即可证明；（2）由（1）知//EF CD ，利用三角形相似的性质可得：14AEF ACD S S ∆∆=，得到14B AEF B ACD V V --=，求出B ACD V -即可得出．【详解】（1）证明：AB ⊥Q 平面BCD ，CD ⊂平面BCD ，AB CD ∴⊥，又BC CD ⊥，AB BC B ⋂=，AB Ì平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，CD \^平面ABC ，又E 、F 分别是AC 、AD 的中点，//EF CD ∴．EF ∴⊥平面ABC又EF ⊂平面BEF ，∴平面BEF ⊥平面ABC ．（2）由（1）知//EF CD ， ~AEF ACD ∴∆∆．12AE AF EF AC AD CD ∴=== ∴14AEF ACD S S ∆∆=， ∴14B AEF B ACD V V --=，∴3311132444424BCDFE B ACD A BCD BCD V V V S AB --∆====⨯⨯=g ． 【点睛】本题考查了线面面面垂直的判定与性质定理、三角形的中位线定理、三角形相似的性质三棱锥的体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，考查了空间想象能力，属于中档题．20.在平面直角坐标系xoy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为()4R πθρ=∈，曲线C的参数方程为sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）．（1）写出直线l 及曲线C 的直角坐标方程；（2）过点M 且平行于直线l 的直线与曲线C 交于A ，B 两点，若83MA MB ⋅=，求点M 的轨迹及其直角坐标方程．【答案】（1）直线l 的直角坐标方程为y x =，曲线C 的直角坐标方程为2212xy +=．（2）点M 的轨迹是椭圆2226x y +=夹在平行直线y x =±之间的两段弧． 【解析】 【分析】（1）利用极坐标与直角坐标方程的互化，直接写出直线l 的普通方程，消去参数可得曲线C 的直角坐标方程；（2）设点0(M x ，0)y 以及平行于直线l 的直线参数方程，直线l 与曲线C 联立方程组，通过8||||3MA MB =g，即可求点M 轨迹的直角坐标方程．通过两个交点推出轨迹方程的范围．【详解】解：（1）Q 直线l 的极坐标方程为()4R πθρ=∈，∴直线l 的倾斜角为4π，且经过原点， 故直线的直角坐标方程为y x =，Q 曲线C的参数方程为(sin x y θθθ⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数），∴曲线C 的直角坐标方程为2212x y +=．（2）设点0(M x ，0)y 及过点M的直线为0102:2x x l y y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩， 由直线1l 与曲线C相交可得：222000032202t x y +++-=， 8||||3MA MB =Q g ，2200228332x y +-∴=，即：220026x y +=，∴点M 轨迹的直角坐标方程2226x y +=，表示一椭圆．取y x m =+代入22x得：2234220x mx m ++-=由0∆…解得m故点M 的轨迹是椭圆2226x y +=夹在平行直线y x =±之间的两段弧．【点睛】本题以直线与椭圆的参数方程为载体，考查直线与椭圆的综合应用，轨迹方程的求法，注意轨迹的范围的求解，是易错点，属于中档题．21.已知抛物线()21:20C x py p =>和圆()222:12C x y ++=，倾斜角为45°直线1l 过抛物线1C 的焦点，且1l 与圆2C 相切． （1）求p 的值；（2）动点M 在抛物线1C 的准线上，动点A 在1C 上，若1C 在A 点处的切线2l 交y 轴于点B ，设MN MA MB =+u u u u r u u u r u u u r．求证点N 在定直线上，并求该定直线的方程．【答案】（1）6p =；（2）点N 在定直线3y =上． 【解析】 【分析】（1）设出直线1l 的方程为2py x =+，由直线和圆相切的条件：d r =，解得p ； （2）设出(,3)M m -，运用导数求得切线的斜率，求得A 为切点的切线方程，再由向量的坐标表示，可得N 在定直线上；【详解】解：（1）依题意设直线1l 的方程为2p y x =+， 由已知得：圆222:(1)2C x y ++=的圆心2(1,0)C -，半径r =因为直线1l 与圆2C 相切，所以圆心到直线1:2pl y x =+的距离d ===6p =或2p =-（舍去）．所以6p =；（2）依题意设(,3)M m -，由（1）知抛物线1C 方程为212x y =，所以212x y =，所以6x y '=，设11(,)A x y ，则以A 为切点的切线2l 的斜率为16x k =，所以切线2l 的方程为1111()6y x x x y =-+．令0x =，211111111266y x y y y y =-+=-⨯+=-，即2l 交y 轴于B 点坐标为1(0,)y -，所以11(,3)MA x m y =-+u u u r ， 1(,3)MB m y =--+u u u r，∴()12,6MN MA MB x m =+=-u u u u r u u u r u u u r，∴1(,3)ON OM MN x m =+=-u u u r u u u u r u u u u r．设N 点坐标为(,)x y ，则3y =， 所以点N 在定直线3y =上．【点睛】本题考查抛物线的方程和性质，直线与圆的位置关系的判断，考查直线方程和圆方程的运用，以及切线方程的求法，考查化简整理的运算能力，属于综合题． 22.已知函数()2ln f x x mx =-，()()212g x mx x m R =+∈，令()()()F x f x g x =+ （1）当12m =时，求函数()f x 的单调区间； （2）若关于x 的不等式()1F x mx ≤-恒成立，求整数m 的最小值． 【答案】（1）()f x 的单调递增区间为()0,1，单调递减区间为()1,+∞． （2）2 【解析】 【分析】（1）先求函数的定义域，然后求导，通过导数大于零得到增区间；（2）不等式恒成立问题转化为函数的最值问题，应先求导数，研究函数的单调性，然后求函数的最值； 【详解】解：（1）当12m =时，21(),02f x lnx x x =->211(),(0)x f x x x x x-∴'=-=>．令()0f x '>得210x ->又0x >，所以01x <<．所以()f x 的单调递增区间为(0,1)． 令()0f x '<得210x -<又0x >，所以1x >．所以()f x 的单调递减区间为()1,+∞． 综上可得：()f x 的单调递增区间为()0,1，单调递减区间为()1,+∞． （2）令21()()(1)(1)12G x F x mx lnx mx m x =--=-+-+．所以21(1)1()(1)mx m x G x mx m x x-+-+'=-+-=．当0m „时，因为0x >，所以()0G x '>所以()G x 在(0,)+∞上是递增函数， 又因为()31202G m =-+>． 所以关于x不等式()0G x „不能恒成立．当0m >时，1()(1)()m x x mG x x-+'=-． 令()0G x '=得1x m =，所以当1(0,)x m ∈时，()0G x '>；当,1()mx ∈+∞时，()0G x '<．因此函数()G x 在1(0,)x m ∈是增函数，在,1()mx ∈+∞是减函数．故函数()G x 的最大值为11()2G lnm m m=-． 令1()2h m lnm m =-，因为()1102h =>，()12204h ln =-<． 又因为()h m 在(0,)m ∈+∞上是减函数，所以当2m …时，()0h m <． 所以整数m 的最小值为2．【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性的基本思路，不等式恒成立问题转化为函数最值问题来解的方法．属于中档题．。
2020届河北衡水金卷新高考原创考前信息试卷(一)理科数学
2020届河北衡水金卷新高考原创考前信息试卷（一）理科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A=，B=，则A B=A.[-1，)B.)C.(0，)D.R2.已知复数z的共轭复数为，且满足2z=32i，则=A. B. C.3 D.53.执行如图所示的程序框图，若输入的n=3，则输出的S=A.1B.5C.14D.304.已知等比数列的前n项和为S n，若a3 =，S3=，则的公比为A.或B.或C.3或2D.3或 25.的展开式中的系数为A.6B.24C.32D.486.我国古代著名数学家刘徽的杰作《九章算术注》是中国最宝贵的数学遗产之一，书中记载了他计算圆周率所用的方法。
先作一个半径为1的单位圆，然后做其内接正六边形，在此基础上做出内接正6×(n=1，2，…)边形，这样正多边形的边逐渐逼近圆周，从而得到圆周率，这种方法称为“刘徽割圆术”。
2020届河北衡水金卷新高考原创押题考试(二)理科数学
2020届河北衡水金卷新高考原创押题考试（二）理科数学一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合M={|ln(1)x y x =-}，集合N={|,x y y e x R =∈}，(e 为自然对数的底数)则M N ⋂=（ ） A. {|1x x <} B. {1x x }C. {|01x x <<}D. ∅【答案】C 【解析】 试题分析：{|ln(1)}{|1}x y x x x =-=<，，故＝．考点：集合的运算．2.已知直线,m n 分别在两个不同的平面,αβ内，则“m n ⊥”是“αβ⊥”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】D 【解析】 【分析】将直线,m n 放入正方体1111ABCD A B C D -中,进而判断即可.【详解】在正方体1111ABCD A B C D -中,设1m AD =,n AB =,若m n ⊥,即1AD AB ⊥, 但平面1ABD 和平面ABCD 不垂直,即α与β不垂直,故充分性不成立 ；设m BC =,11n A D =,若αβ⊥,则平面ABCD ⊥平面11A ADD ,但BC 和11A D 不垂直,即m 与n 不垂直,故必要性不成立. 故选:D.【点睛】本题考查两命题的充分性和必要性的判断,考查直线间,平面间的空间的位置关系.3.已知向量,a b r r不共线，若()()3//a b ka b +-r r r r ，则实数k =（ ）A. 13-B. 12-C.13D.12【分析】由向量共线的性质得()3ka b a b λ-=+r r r r，由此能求出实数k 的值．【详解】由于()()3//a b ka b +-r r r r ，所以存在实数λ，使得()3ka b a b λ-=+r r r r，因此k λ=且31λ=-，解得13k =-. 故选：A【点睛】本题考查实数值的求法，考查向量共线的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 4.一个简单几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A. 9636π+B. 7248π+C. 4896π+D. 2448π+【答案】D 【解析】 【分析】该几何体是由两部分组成的，左半部分是四分之一圆锥，右半部分是三棱锥，运用锥体体积公式可以求解.． 【详解】该几何体是由左右两部分组成的锥体，左半部分是四分之一圆锥，其体积V 左=211π6843⨯⨯n =24π，右半部分是三棱锥，其体积1166832V =⨯⨯⨯⨯右=48，所以该几何体的体积2448V 总π=+.故选D.【点睛】本题考查了组合体的三视图问题，以及锥体体积公式，需要平常多强化空间想象能力． 5.为了弘扬我国优秀传统文化，某中学广播站在中国传统节日：春节，元宵节，清明节，端午节，中秋节五个节日中随机选取两个节日来讲解其文化内涵，那么春节和端午节至少有一个被选中的概率是（ ） A. 0.3B. 0.4C. 0.6D. 0.7【分析】先求出从五个节日中随机选取两个节日的所有基本事件数，再求出春节和端午节至少有一个被选中的基本事件数，然后根据古典概型概率公式求解即可．【详解】由题意得，从五个节日中随机选取两个节日的所有情况有2510C =种，设“春节和端午节至少有一个被选中”为事件A ，则事件A 包含的基本事件的个数为123227C C +=．由古典概型概率公式可得12322527()0.710C C P A C +===． 故选D ．【点睛】解答本题的关键有两个：一是判断出所求概率的类型，本题中结合题意可得属于古典概型；二是正确求出所有的基本事件数和所求概率的事件包含的基本事件数．求事件的个数时可根据排列组合的知识求解，本题考查分析判断能力和计算能力，属于基础题． 6.对于函数()21x f x e =+的图象，下列说法正确的是（ ） A. 关于点()1,0对称 B. 关于点()0,1对称 C. 关于直线1x =对称 D. 关于直线y x =对称【答案】B 【解析】 【分析】整理()f x 为()111x x e f x e -=++,设()()11xx e g x x R e -=∈+,可判断()g x 是奇函数,进而利用图象变换得到()f x 的图象性质.【详解】∵()2111111xx x e f x e e -=-+=+++,令()()11xx e g x x R e -=∈+,则()()1111x x x xe e g x g x e e -----===-++,∴()g x 为奇函数,则其图象关于原点对称.将其图象向上平移1个单位长度可得()f x 图象,所以()f x 图象关于()0,1对称. 故选:B.【点睛】本题考查函数奇偶性的应用,考查判断函数的对称性.7.设F 为抛物线2:4C y x =的焦点，过F 的直线l 与C 相交于,A B 两点，AB 的中点在直线1y =上，则直线l 的方程为（ ） A. 22y x =- B. 1y x =- C. 22y x =-+ D. 1y x =-+【答案】A 【解析】 【分析】由,A B 在抛物线上可得2114y x =①,2224y x =②,由AB 的中点在直线1y =上,可得1212y y +=,利用①-②可得直线AB 的斜率为2,即可设:2AB y x b =+,将焦点坐标代入求解即可.【详解】由题,设()()1122,,,A x y B x y ,则2114y x =①,2224y x =②,且1212y y +=, ①-②得()()()1212124y y y y x x -+=-,即121212124222y y y y x x y y -===+-+, 即直线AB 的斜率为2,设:2AB y x b =+,把()1,0F 代入直线方程得2b =-, ∴直线:22l y x =- 故选:A.【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系的应用,考查求直线方程.8.已知函数()sin()(0)2f x x πωφωϕ=+><，图象相邻两条对称轴之间的距离为2π，将函数()y f x =的图象向左平移3π个单位后，得到的图象关于y 轴对称，那么函数()y f x =的图象（ ） A. 关于点,012π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称B. 关于点,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称C. 关于直线12x π=-对称D. 关于直线12x π=对称【答案】B 【解析】 【分析】先根据相邻两条对称轴的距离可得周期为T π=，从而2ω=，再根据平移变换得到新图像对应的解析式，根据其对称性可计算φ，从而可确定()f x 图像的对称轴和对称中心，故可得正确答案．【详解】因为相邻两条对称轴的距离为2π，故22T π=，T π=，从而2ω=． 设将()f x 的图像向左平移3π单位后，所得图像对应的解析式为()g x ， 则()2sin 23g x x πφ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，因()g x 的图像关于y 轴对称，故()01g =±，所以2sin 13πφ⎛⎫+=± ⎪⎝⎭，2,32k k Z ππφπ+=+∈，所以,6k k Z πφπ=-∈， 因2πφ<，所以6πφ=-．又()sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，令2,62x k k Z πππ-=+∈，故对称轴为直线,23k x k Z ππ=+∈，所以C ，D 错误； 令2,6x k k π-=π∈Z ，故,212k x k Z ππ=+∈，所以对称中心为,0,212k k Z ππ⎛⎫+∈⎪⎝⎭，所以A 错误，D 正确． 综上，选D ．【点睛】一般地，我们研究()sin y A ωx φ=+的图像和性质时，通常用复合函数的方法来讨论，比如求函数的单调区间时，我们先确定u x ωϕ=+的单调性，再函数的单调性确定外函数sin y u =的单调区间后求出x 的范围即可，比如求函数的对称轴、对称中心时，可以由sin y u =的对称轴或对称中心得到相应的对称轴或对称中心.9.在ABC ∆中，BC 边上的中线AD 的长为2，点P 是ABC ∆所在平面上的任意一点，则PA PB PA PC ⋅+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r的最小值为（ ）A. 1B. 2C. -2D. -1【答案】C 【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，使得点D 在原点处，点A 在y 轴上，则(0,2)A ．设点P 的坐标为(,)x y ，则(,2),(,)PA x y PO x y =--=--u u u v u u u v， 故22()22(2)PA PB PA PC PA PB PC PA PO x y y ⋅+⋅=⋅+=⋅=+-u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v222[(1)]22x y =+--≥-，当且仅当0,1x y ==时等号成立．所以PA PB PA PC ⋅+⋅u u u v u u u v u u u v u u u v的最小值为2-．选C ．10.已知四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，其中ABCD 为正方形，PAD ∆为等腰直角三角形，2PA PD ==，则四棱锥P ABCD -外接球的表面积为（ ）A. 10πB. 4πC. 16πD. 8π【答案】D 【解析】【详解】因为PAD ∆为等腰直角三角形，2PA PD ==,故,则点到平面ABCD 的距离为,而底面正方形的中心到边的距离也为,则顶点正方形中心的距离,正方形的外接圆的半径为,故正方形ABCD 的中心是球心,则球的半径为,所以该几何体外接球的表面积,应选D ．11.设12,F F 分别为双曲线()2222:1,0x y E a b a b-=>左、右焦点，以坐标原点O 为圆心，1OF 为半径的圆与双曲线E 的右支相交于,P Q 两点，与E 的渐近线相交于,,,A B C D 四点，若四边形12PFQF 的面积与四边形,,,A B C D的面积相等，双曲线E的离心率为（）【答案】C【解析】【分析】由双曲线的定义和勾股定理可求得2122PF PF b⨯=，从而可得四边形12PFQF的面积，然后求出点圆O与E的渐近线在第一象限的交点为(),a b，可求出四边形ABCD的面积，然后可得答案.【详解】由双曲线的定义及平面几何知识可知122PF PF a-=，①222124PF PF c+=，②2-②①得2122PF PF b⨯=，∴四边形12PFQF的面积为21121222S PF PF b=⨯⨯=，由222x y cby xa⎧+=⎪⎨=⎪⎩，当0,0x y>>，解得,x a y b==，∴圆O与E的渐近线在第一象限的交点为(),a b.∴四边形ABCD的面积24S ab=，∵224b ab=，∴2ba=，即2224,c a cea a-===故选：C【点睛】本题考查双曲线定义渐进性的简单应用，属于中档题.12.对任意实数()222,,22a aa b e b e a a b-+++的最小值是（）A.14B.12C.34D. 1【答案】B【解析】【分析】整理条件可得()()()2222222a a a e b e a a b a b e b-+++=-+-,设()(),,,aM a eN b b ,则M 为函数x y e =图象上任意一点,N 为函数y x =图象上任意一点,则()22222a a e b e a a b -+++的最小值等价于2MN 的最小值,进而利用导函数的几何意义求解即可.【详解】由于()()()2222222a a a e b e a a b a b e b -+++=-+-,设()(),,,aM a e N b b ,则M 为函数xy e=图象上任意一点,N 为函数y x =图象上任意一点,则()22222aa eb e a a b -+++的最小值等价于2MN 的最小值,令1x y e '==,∴0x =,因此,点()0,1到直线y x =的距离最小,其值为2,故所求最小值为12.故选:B.【点睛】本题考查曲线上一点到直线上一点的距离最值问题,考查导函数的几何意义的应用,考查转化思想.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上.13.53)x的展开式的常数项为__________． 【答案】15- 【解析】 【分析】在53x ⎫⎪⎭展开式的通项公式中，令x 的幂指数等于零，求出r 的值，即可求出展开式的常数项．【详解】解：由于53x ⎫⎪⎭展开式的通项公式为55415·(1)?3?r r r r r T C x -+=-， 令550r -=，解得1r =，故展开式的常数项是15-， 故答案为15-．【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题． 14.某次考试后，对全班同学数学成绩进行整理，得到表：将以上数据绘制成频率分布直方图后，可估计出本次考试成绩的中位数是__________． 【答案】115 【解析】 【分析】由表格中数据可知各分数段的学生数学成绩的频率,即直方图中每个矩形的面积,而中位数左侧的所有小矩形的面积之和应为0.5,进而求解即可.【详解】由题意可知,直方图每个矩形的面积表示对应的频率,直方图四个矩形的面积从左向右依次为0.1,0.3,0.4,0.2,由于中位数左侧的矩形面积之和为0.5,故中位数位于第3个矩形处,而前2个矩形面积之和为0.4,故第3个矩形在中位数左侧的面积为0.1, 故中位数为区间[)110,130的最靠左的四等分点处,故中位数为115.故答案为:115.【点睛】本题考查利用频率分布直方图求中位数,考查数据处理能力.15.已知直角三角形 ABC 两直角边长之和为3，将ABC ∆绕其中一条直角边旋转一周，所形成旋转体体积的最大值为__________，此时该旋转体外接球的表面积为___________. 【答案】 (1). 43π (2). 25π 【解析】 【分析】设直角三角形的两边分别为,a b ,则3a b +=,假设以长度为b 的直角边为轴旋转形成的旋转体,则体积为()2211333V a b a a ππ==-,利用导函数即可求得最值；设外接球的半径为R ,则满足()22212R R =-+,进而求解即可.【详解】设直角三角形的两边分别为,a b ,则3a b +=,以长度为b 的直角边为轴旋转形成的旋转体的体积为()2211333V a b a a ππ==-()03a <<, 则()21633V a a π'=-,令0V '=,解得0a =或2a =,所以当02a <<时,0V '>；当23a <<时,0V '<, 所以当2a =时,体积最大,最大值为43π,此时圆锥的底面半径为2,高为1, 设外接球的半径为R ,则()22212R R =-+,所以外接球的半径为52,其表面积为25π故答案为:43π；25π 【点睛】本题考查旋转体的体积,考查外接球的表面积,考查利用导函数求最值.16.已知变量m 的取值完全由变量a b c d ,,,的取值确定.某同学进行了四次试验，每次试验中他预先设定好a b c d ,,,四个变量的取值，然后记录相应的变量m 的值，得到表：则m 关于a b c d ,,,的表达式可能是______________. 【答案】()2a b m cd +=或()8m a b cd =+或223a b m cd+=或其他符合条件的解析式【解析】 【分析】本题为开放题,答案并不唯一,对比试验数据,进而求解即可.【详解】本题为开放题,答案并不唯一,例如,考生可对比试验①②推断m 与d 成反比, 对比试验②③推断m 与c 成反比,对比③④推断m 与+a b 成反比,由此可得a bm k cd+=, 代入试验①的数据,解得2k =,故()2a b m cd+=是一种可能的表达式， 此外,答案中列举的其他解析式均符合题意,故答案为:()2a b m cd+=或()8m a b cd =+或223a b m cd +=或其他符合条件的解析式. 【点睛】本题考查求解析式,考查数据处理能力.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分17.已知n S 是正项数列{}n a 的前n 项和，且对任意n ∈+N ，均有2423n n n S a a =+-.（1）求n a ； （2）求数列(){}1nn a -的前n 项和n T .【答案】（1）21n a n =+；（2）()()111nn T n =-+-【解析】 【分析】（1）由题,当2n ≥时,2111423n n n S a a ---=+-,与条件作差可得2211422n n n n n a a a a a --=-+-,即()()1120n n n n a a a a --+--=,由{}n a 为正项数列知10n n a a ->+,则120n n a a ---=,进而求解即可；（2）利用错位相减法求解即可.【详解】（1）由2423n n n S a a =+-①可知,当2n ≥时,2111423n n n S a a ---=+-②,①-②得,2211422n n n n n a a a a a --=-+-,整理得()()1120n n n n a a a a --+--=,由{}n a 为正项数列知10n n a a ->+,故120n n a a ---=, 故{}n a 是以2为公差的等差数列,又①中,当1n =时,可解得13a =或11a =-（舍）, 所以21n a n =+（2）根据题意,()()357121nn T n =-+-++-+L ③③⨯()1-,则()()()()135121121nn n T n n +-=-++--+-+L ④③-④,得()()()1232212121nn n T n +=-+-++---+L ()()()()1113212111n nn ---=-+⨯+-+-- ()()2122nn =-+-+则()()111nn T n =-+-【点睛】本题考查由n a 与n S 的关系求通项公式,考查错位相减法求数列的和,考查运算能力.18.已知12,A A 分别为椭圆222:12x y C b+=的左右顶点，P 为C 上异于12,A A 的点，且直线1PA 与2PA 的斜率乘积为12-. （1）求椭圆C 的方程；（2）若B 为椭圆C 的上顶点，F 为C 的右焦点，PBF ∆的面积为1，求直线PB 的方程.【答案】（1）2212x y +=；（2）0x =或220x y -+=【解析】 【分析】（1）由题可得左右顶点为())12,A A ,设()00,P x y ,则22222x y b -=⋅,利用斜率公式处理1212PA PA k k ⋅=-,可求得2b ,即可求得椭圆方程； （2）分别讨论直线PB 斜率不存在与存在的情况,利用弦长公式和点到直线距离求三角形面积,进而求解即可.【详解】（1）由题意知())12,A A ,设()00,P x y ,则22222x y b -=⋅,因为12220201222PA PA y b k k x ⋅===-=--,解得21b =，故椭圆方程为2212x y +=（2）由题,上顶点为()0,1B ,右焦点为()1,0F ,当直线BP 斜率不存在时,BP 方程为0x =,易知此时BPF ∆面积为1,符合题意； 当直线BP 斜率存在时,设BP 方程为1y kx =+,联立22121x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩,得()221240k x kx ++=,解得1224,012k x x k =-=+,∴122412k BP x k=-=+,点F 到直线BP,由24112BPF k S k ∆==+,解得12k =, 此时112y x =+,即220x y -+= 故直线BP 的方程为0x =或220x y -+=【点睛】本题考查由椭圆的几何性质求椭圆的方程,考查直线与椭圆的位置关系的应用,考查椭圆内的三角形面积的应用,考查运算能力.19.如图,在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，AD BC ∥，1AB BC PA ===，2AD =，90PAD DAB ABC ∠=∠=∠=︒，点E 在棱PC上，且CE CP λ=.（Ⅰ）求证：CD AE ⊥；（Ⅱ）是否存在实数λ，使得二面角C AE D --的余弦值为10？若存在，求出实数λ的值；若不存在，请说明理由.【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）10. 【解析】【详解】试题分析：(1)由边长和勾股定理得CD AC ⊥，又平面PAD ⊥平面ABCD ，由定理证得CD ⊥平面PAC CD AE ∴⊥ (2) 建立空间直角坐标系, 得出平面AEC 的一个法向量为()1,1,0n CD u u u v v ==-，设平面AED 的一个法向量为m v，由题意计算得出结果解析：（Ⅰ）过点C 作CF AB ∥交AD 于D ，1AB BC ==Q ，2AD =，90DAB ABC o ∠=∠=四边形ABCF 为正方形，且1AF FD ==，2AC =在Rt CFD △中，2CD =，在ACD V 中，2224CD AC AD +==CD AC ∴⊥ 90,PAD PA AD o Q ∠=∴⊥又平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD I 平面ABCD AD =PA ∴⊥平面ABCD PA CD ∴⊥ ,PA AC ⊂Q 平面PAC ，且PA AC A =ICD \^平面PAC CD AE ∴⊥（Ⅱ）90PAD PA AD ∠=∴⊥o Q又平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD I 平面ABCD AD =PA ∴⊥平面ABCD PA CD ∴⊥，PA AB ⊥以点A 为坐标原点，AB 、AD 、AP 所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，()()()()()()0,0,0,0,0,1,1,1,0,0,2,0,1,1,0,0,2,0A P C D CD AD =-=u u u v u u u v假设存在实数λ使得二面角C AE D --的余弦值为10，令CE CP λ=u u u v u u u v Q 点E 在棱PC 上，[]0,1λ∴∈设()()(),,,1,1,1,1,1E x y z CE CP x y z λλ=∴--=--u u u v u u u vQ()1,1,E λλλ∴--则()1,1,AE u u u vλλλ=--，CD ⊥Q 平面PAC ，∴平面AEC 的一个法向量为()1,1,0n CD u u uv v ==-设平面AED 的一个法向量为()111,,m x y z =v由00m AE m AD ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u v v 得()()11111100x y z y λλλ⎧-+-+=⎨=⎩令1z =得()1,0,1,0,111m λλλλλ-⎛⎫==-- ⎪--⎝⎭v 取(),0,1m λλ=--v()2210cos ,12m n m n m n λλ⋅∴===+-⨯v vv vv v 化简得23840λλ-+=又[]0,1λ∈ 23λ∴= 存在实数23λ=使得二面角C AE D --的余弦值为10. 20.某人某天的工作是：驾车从A 地出发，到B C 、两地办事，最后返回A 地，,,A B C 三地之间各路段行驶时间及当天降水概率如表：若在某路段遇到降水，则在该路段行驶的时间需延长1小时，现有如下两个方案： 方案甲：上午从A 地出发到B 地办事，然后到达C 地，下午在C 地办事后返回A 地； 方案乙：上午从A 地出发到C 地办事，下午从C 地出发到达B 地， 办事后返回A 地.（1）设此人8点从A 地出发，在各地办事及午餐的累积时间为2小时.且采用方案甲，求他当日18点或18点之前能返回A 地的概率；（2）甲、乙两个方案中，哪个方案有利于办完事后能更早返回A 地？ 【答案】（1）0.598；（2）甲方案 【解析】 【分析】（1）若各路段均不会遇到降水,则返回A 地的时间为17点,则若18点或18点之前能返回A 地的充要条件是降水的路段数不超过1,进而求解即可；（2）设某路段正常行驶时间为x ,降水概率为p ,则()()11EX x p x p x p =-++=+,进而讨论每一路段行驶时间的期望,再得到方案甲、乙的总行驶时间的期望,比较即可.【详解】（1）由题意可知,若各路段均不会遇到降水,则返回A 地的时间为17点, 因此若18点或18点之前能返回A 地的充要条件是降水的路段数不超过1,记事件123,,M M M 分别表示在上午AB 路段降水,上午BC 降水,下午CA 路段降水,则所求概率()()()()123123123123P P M M M P M M M P M M M P M M M =+++0.70.80.10.30.80.10.70.20.10.70.80.90.598=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=（2）设某路段正常行驶时间为x ,降水概率为p ,则该路段行驶时间X 的分布列为:故()()11EX x p x p x p =-++=+设采用甲、乙两种方案所花费的总行驶时间分别为,Y Z ,则2.3 2.23.98.4EY =++=, 2.6 2.7 3.38.6EZ =++=,8.48.6<,因此采用甲方案更有利于办事之后能更早返回A 地.【点睛】本题考查互斥事件的概率加法公式的应用,考查两点分布的分别列和期望,考查数据处理能力.21.已知函数()()1,ln 1xx e f x g x x x +==-. （1）当1x >时，不等式()f x m >成立，求整数m 的最大值；（参考数据：ln20.693,ln3 1.099≈≈）； （2）证明：当1x >时，()()f x g x <. 【答案】（1）最大值为3；（2）见解析 【解析】 【分析】 （1）先求导可得()21ln 1ln x x f x x--'=,设()1ln 1F x x x=--,由()F x '可判断()F x 在()1,+∞上为增函数,由()()453ln 30,4ln 4034F F =-<=->可得()03,4x ∃∈使得()()000F x f x '==,则()()0min f x f x =,进而求解即可；（2）要证()()f x g x <,即证21ln 0xx x e-->,设()21ln x x h x x e -=-,利用导函数判断()h x 的单调性,由()10h =,进而求解即可.【详解】（1）当1x >时,()21ln 1ln x x f x x--'=,令()1ln 1F x x x =--,则()2110F x x x'=+>,因此()F x 在()1,+∞上为增函数, 又()()453ln 30,4ln 4034F F =-<=->, ∴()03,4x ∃∈使得()()000F x f x '==,即001ln 1x x =+, 当01x x <<时,()0f x '<,()f x 为减函数；当0x x >时,()0f x '>,()f x 为增函数；∴()()()0000min 00113,41ln 1x x f x f x x x x ++====∈+,所以整数m 的最大值为3（2）法一：要证()()f x g x <,即证21ln 0xx x e-->, 令()21ln xx h x x e -=-,则()2321212x x xx x e x x xh x x e xe -++--'=-=, 令()322xx e x x x ϕ=+--,则()2341xx e x x ϕ'=+--,()()64,6x xx e x x e ϕϕ'''''=+-=+,∵()0x ϕ'''>,∴()x ϕ''在()1,+∞上为增函数,又()12e ϕ''=-,∴()0x ϕ''>, ∴()x ϕ'在()1,+∞上为增函数,又()12e ϕ'=-,∴()0x ϕ'>,∴()x ϕ在()1,+∞上为增函数,又()12e ϕ=-,∴()0x ϕ>,即()0h x '>, ∴()h x 在()1,+∞上为增函数,∴()()10h x h >=,故()()f x g x <.【点睛】本题考查利用导函数处理函数恒成立问题,考查利用导函数证明不等式,考查利用导函数判断函数的单调性.（二）选考题：共10分22.在极坐标系Ox 中，直线,m n 的方程分别为cos 3,sin 2ρθρθ==，曲线2236:45sin C ρθ=+.以极点O 为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系. （1）将直线,m n 的方程与曲线C 的方程化成直角坐标方程；（2）过曲线C 上动点P 作直线,m n 的垂线，求由这四条直线围成的矩形面积的最大值.【答案】（1）224936x y +=；（2）max 9S =+【解析】 【分析】(1)由直角坐标方程与极坐标方程的互化的公式，直接得出答案.(2)由条件可设()3cos ,2sin P θθ，则矩形的两边长分别为33cos ,22sin θθ--，然后用换元法可求矩形面积的最大值.【详解】解：（1）由cos ,sin x y ρθρθ==得 直线,m n 的直角坐标方程分别为3,2x y ==， 曲线C 的方程为224936x y +=；（2）由（1）知曲线22:194x y C +=，故可设()3cos ,2sin P θθ，矩形的两边长分别为33cos ,22sin θθ--，∴矩形的面积()()()33cos 22sin 61sin cos sin cos S θθθθθθ=--=--+，令sin cos t θθ⎡+=∈⎣，则21sin cos 2t θθ-=，2363,S t t t ⎡=-+∈⎣，当t =max 9S =+.【点睛】本题考查直角坐标方程与极坐标方程的互化、椭圆的参数方程以及换元法求最值，属于中档题. 23.已知()215f x x ax =-+-(a 是常数，a R ∈)． (1)当1a =时，求不等式()0f x ≥的解集；(2)若函数()f x 恰有两个不同的零点，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）{x |4x ≤-或2x ≥}；（2）(2,2)-【解析】【分析】（1）当a=1时，f（x）14,21 36,2 x xx x⎧--<⎪⎪⎨⎪-≥⎪⎩，把1240xx⎧<⎪⎨⎪--≥⎩或12360xx⎧≤⎪⎨⎪-≥⎩的解集取并集，即得所求；②由f（x）=0得|2x﹣1|=﹣ax+5，作出y=|2x﹣1|和y=﹣ax+5 的图象，观察可以知道，当﹣2＜a＜2时，这两个函数的图象有两个不同的交点，由此得到a的取值范围．【详解】(1)当1a=时，()215f x x ax=-+-=14,2136,2x xx x⎧--<⎪⎪⎨⎪-≥⎪⎩，由()0f x≥，得1240xx⎧<⎪⎨⎪--≥⎩或12360xx⎧≤⎪⎨⎪-≥⎩，解得4x≤-或2x≥，故不等式()0f x≥的解集为{x|4x≤-或2x≥}．(2)令()f x=0，得215x ax-=-，则函数()f x恰有两个不同的零点转化为21y x=-与5y ax=-+的图象有两个不同的交点，在同一平面直角坐标系中作出两函数的图象如图所示，结合图象知当22a-<<时，这两个函数的图象有两个不同的交点，所以当22a-<<时，函数()f x恰有两个不同的零点，故实数a的取值范围为()2,2-．【点睛】含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向．。
2020届河北省衡水金卷高三第五次联考数学(理)试卷
2020届河北省衡水金卷高三第五次联考数学（理工类）★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则满足的集合的个数为（）A. B. C. 1 D.2.已知为虚数单位，复数，则（）A. B. C. D.3.已知平面向量的夹角为，且，则与的夹角是（）A. B. C. D.4.空气质量指数是一种反映和评价空气质量的方法，指数与空气质量对应如下表所示：如图是某城市2018年12月全月的指数变化统计图.根据统计图判断，下列结论正确的是（）A. 整体上看，这个月的空气质量越来越差B. 整体上看，前半月的空气质量好于后半月的空气质量C. 从数据看，前半月的方差大于后半月的方差D. 从数据看，前半月的平均值小于后半月的平均值5.的展开式中，常数项为（）A. B. C. D.6.若数列的前项和为，且，则（）A. B. C. D.7.若是上的奇函数，且，则是的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件8.已知函数的部分图像如图所示，点在图象上，若，且，则（）A. B. C. D.9.若直线与圆相交，且两个交点位于坐标平面上不同的象限，则的取值范围是（）A. B. C. D.10.在空间直角坐标系中，四面体各顶点坐标分别为，，则该四面体外接球的表面积是（）A. B. C. D.11.设点是抛物线上的动点，是的准线上的动点，直线过且与（为坐标原点）垂直，则点到的距离的最小值的取值范围是（）A. B. C. D.12.已知函数.若不等式的解集中整数的个数为，则的取值范围是（）A. B. C. D.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.中国古代数学专家（九章算术）中有这样一题：今有男子善走，日增等里，九日走里，第一日，第四日，第七日所走之和为里，则该男子的第三日走的里数为__________．14.根据下列算法语句，当输入时，输出的最大值为__________．15.已知是上的偶函数，且当时，，则不等式的解集为___．16.设为平面外两条直线，其在平面内的射影分别为两条直线和.给出下列个命题：①；②与平行或重合；③；④ .其中所有假命题的序号是__________．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答. 第22、23题为选考题，考生依据要求作答.（一）必考题：共60分.17.在中，角的对边分别为，若成等差数列，且.求的值；若，求的面积.18.某花圃为提高某品种花苗质量，开展技术创新活动，在实验地分别用甲、乙方法培训该品种花苗.为观测其生长情况，分别在实验地随机抽取各株，对每株进行综合评分，将每株所得的综合评分制成如图所示的频率分布直方图.记综合评分为及以上的花苗为优质花苗.求图中的值，并求综合评分的中位数.用样本估计总体，以频率作为概率，若在两块试验地随机抽取棵花苗，求所抽取的花苗中的优质花苗数的分布列和数学期望；填写下面的列联表，并判断是否有的把握认为优质花苗与培育方法有关.附：下面的临界值表仅供参考.（参考公式：，其中.）19.如图，在边长为的正方形中，点分别是的中点，点在上，且.将分别沿折叠，使点重合于点，如图所示.试判断与平面的位置关系，并给出证明；求二面角的余弦值.20.已知椭圆的右焦点为，过点且垂直于轴的直线与椭圆相交所得的弦长为.求椭圆的方程；过椭圆内一点，斜率为的直线交椭圆于两点，设直线（为坐标原点）的斜率分别为，若对任意，存在实数，使得，求实数的取值范围. 21.已知函数.若在上单调递增，求的取值范围；若，不等式恒成立，求的取值范围.（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极坐标建立极坐标系，圆的极坐标方程为.求的普通方程；将圆平移，使其圆心为，设是圆上的动点，点与关于原点对称，线段的垂直平分线与相交于点，求的轨迹的参数方程.23.设，且.若不等式恒成立，求实数的取值范围；是否存在实数，使得，并说明理由.。
2020届河北衡水金卷新高考原创考前信息试卷(五)文科数学
2020届河北衡水金卷新高考原创考前信息试卷（五）文科数学★祝考试顺利★ 注意事项：1、考试范围：高考范围。
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如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合{4,5,7,9}M =，{3,4,7,8,9}N =，全集U M N =⋃，则集合()U M N ⋂ð中的元素共有（ ） A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个2.在复平面内，复数21(1)ii +-对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3.若0a b <<，则下列不等式中不成立的是（ ） A ．||||a b >B ．22ab >C.11a b> D ．11a b a>- 4.总体由编号为01，02，…19，20的20个个体组成.利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为（ ）A ．01B ．02C ．07D ．085.已知函数()cos 221f x x x =++，则下列判断错误的是（ ） A ．()f x 的最小正周期为πB ．()f x 的值域为[1,3]-C ．()f x 的图象关于直线6x π=对称 D ．()f x 的图象关于点,04π⎛⎫-⎪⎝⎭对称 6.已知平面α内一条直线l 及平面β，则“l β⊥”是“αβ⊥”的（ ） A ．充分必要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件7.设2,(10)()[(6)],(10)x x f x f f x x -≥⎧=⎨+<⎩则(5)f 的值为（ ）A ．10B ．11C ．12D ．138.在直角ABC △中，2C π∠=，4AB =，2AC =，若32AD AB =u u u r u u u r，则CD CB ⋅=u u u r u u u r （ ）A ．18-B ．63-C ．18D ．639.如图是我国古代建筑中的一种装饰图案，形若铜钱，寓意富贵吉祥.在圆内随机取一点，则该点取自阴影区域内（阴影部分由该圆的四条四分之一圆弧围成）的概率是（ ）A ．12B ．13C ．41π-D ．42π-10.函数||()2sin 2x f x x =⋅的图像大致是（ ）A ．B ．C ．D ．11.若直线220(0,0)ax by a b -+=>>始终平分圆222410x y x y ++-+=的圆周，则12a b+的最小值为（ ）A.322+B.323+C.4D.512.对于实数x ，规定[]x 表示不大于x 的最大整数，那么不等式24[]36[]450x x -+<成立的x 的范围是（ ）A.315,22⎛⎫⎪⎝⎭ B.[2,8] C.[2,8) D.[2,7]第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.3.已知双曲线2221(0)3x y a a -=>的离心率为2，则a =_____. 14.在ABC △中，内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若223a b bc -=，sin 23sin C B =，则A =____.15.三棱锥P ABC -中，PA ⊥底面ABC ，22PA =，底面ABC △中4BAC π∠=，边2BC =，则三棱锥P ABC -外接球的体积等于______.16.已知函数2()ln f x ax x x =-在1,e⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递增，则实数a 的取值范围是______.三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分17.设等差数列{}n a 满足39a =-，105a =. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）求{}n a 的前n 项和n S 及使得n S 最小的n 的值.18.如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，AB AD ⊥，点E 在线段AD 上，且CE AB P .（Ⅰ）求证：CE ⊥平面PAD ；（Ⅱ）若1PA AB ==，3AD =，2CD =，45CDA ∠=︒，求四棱锥P ABCD -的正弦值.19.眼保健操是一种眼睛的保健体操，主要是通过按摩眼部穴位，调整眼及头部的血液循环，调节肌肉，改善眼的疲劳，达到预防近视等眼部疾病的目的.某学校为了调查推广眼保健操对改善学生视力的效果，在应届高三的全体800名学生中随机抽取了100名学生进行视力检查，并得到如图的频率分布直方图. （1）若直方图中后三组的频数成等差数列，试估计全年级视力在5.0以上的人数；（2）为了研究学生的视力与眼保健操是否有关系，对年级不做眼保健操和坚持做眼保健操的学生进行了调查，得到下表中数据，根据表中的数据，能否在犯错的概率不超过0.005的前提下认为视力与眼保健操有关系？是否做操是否近视不做操做操近视 44 32 不近视618 附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++()2P k k ≥0.10 0.05 0.025 0.010 0.005k2.7063.841 5.024 6.635 7.87920.如图，椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的长轴长为4，点,,A B C 为椭圆上的三个点，A 为椭圆的右端点，BC过中心O ，且||2||BC AB =，3ABC S =△.（1）求椭圆的标准方程；（2）设,P Q 是椭圆上位于直线AC 同侧的两个动点（异于,A C ），且满足PBC QBA ∠=∠，试讨论直线BP 与直线BQ 斜率之间的关系，并求证直线PQ 的斜率为定值.21.已知函数3211()(,)32a f x x x bx a ab +=-++∈R ，且其导函数()f x '的图像过原点. （1）若存在0x <，使得()9f x '=-，求a 的最大值；（2）当0a >时，求函数()f x 的零点个数.（二）选考题：共10分.请考生在22、23题任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分. 22.[选修4-4：坐标系与参数方程]已知曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=，直线l 的参数方程为31212x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）. （1）求曲线C 的直角坐标方程与直线l 的普通方程；（2）已知点(1,0)M ，直线l 与曲线C 交于A B 、两点，求||MA MB -‖‖. 23.[选修4-5：不等式选讲] 已知函数()|2|f x x a a =-+（1）当2a =时，求不等式()6f x ≤的解集；（2）设函数()|21|g x x =-.当x R ∈时，()()3f x g x +≥，求a 的取值范围.文科数学参考答案一、选择题：二、填空题13.1 14.6π 15.323π 16.1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭三、解答题17解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由1(1)n a a n d =+-及39a =-，105a =得112995a d a d +=-⎧⎨+=⎩ 解得1132a d =-⎧⎨=⎩数列{}n a 的通项公式为215n a n =- （2）由（1）知214n S n n =-因为2(7)49n S n =-- 所以7n =时，n S 取得最小值.18解：（1）证明 因为PA ⊥平面ABCD ，CE ⊂平面ABCD ，所以PA CE ⊥. 因为AB AD ⊥，CE AB P ，所以CE AD ⊥.又PA AD A ⋂=，所以CE ⊥平面PAD .（2）解：由（1）可知CE AD ⊥在Rt CDE △中，cos451DE CD =⋅︒=，sin451CE CD =⋅︒=所以2AE AD ED =-=.又因为1AB CE ==，CE AB P ，所以四边形ABCE 为矩形.所以12ECD ABCE ABCD S S S AB AE CE DE =+=⋅+⋅△矩形四变形 15121122=⨯+⨯⨯=又PA ⊥平面ABCD ，1PA =，115513326ABCD P ABCD V S PA -=⋅=⨯⨯=四边形四棱锥19.解：（1）由图可知，第一组有3人，第二组7人，第三组27人， 因为后三组的频数成等差数列，共有100(3727)63-++=（人）所以后三组频数依次为24，21，18， 所以视力在5.0以上的频率为0.18，故全年级视力在5.0以上的人数约为8000.18144⨯=人（2）22100(4418326)50507624k ⨯⨯-⨯=⨯⨯⨯1507.8957.87919=≈> 因此能在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为视力与眼保健操有关系.21.解：3211()32a f x x x bx a +=-++，2()(1)f x x a x b '=-++ 由(0)0f '=得0b =，()(1)f x x x a '=--.（1）存在0x <，使得()(1)9f x x x a '=--=-，991()6a x x x x ⎛⎫--=--=-+-≥= ⎪⎝⎭，7a ≤-，当且仅当3x =-时，7a =-. 所以a 的最大值为7-. （2）当1a >时，x ，()f x '，()f x 的变化情况如上表： ()f x 的极大值(0)0f a =>，()f x 的极小值2331111(1)(1)306624f a a a a a ⎡⎤⎛⎫+=-+=-+-+<⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦又14(2)03f a -=--<，213()(1)32f x x x a a ⎡⎤=-++⎢⎥⎣⎦，3(1)02f a a ⎛⎫+=> ⎪⎝⎭. 所以函数()f x 在区间(2,0)-，(0,1)a +，31,(1)2a a ⎛⎫++ ⎪⎝⎭内各有一个零点，故函数()f x 共有三个零点.22.解：（1）对于曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=，可得24cos ρρθ=，又由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，可得224x y x +=，即22(2)4x y -+=，所以曲线C 的直角坐标方程为22(2)4x y -+=.由直线l的参数方程为112x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），消去参数可得， 直线l的普通方程为1)3y x =-，即33y x =-. （2）设,A B 两点对应的参数分别为12,t t ，将直线l的参数方程112x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）代入曲线22:40C x y x +-=中，可得22114104t ⎛⎫⎛⎫++-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.化简得230t --=，设点,A B 所对应的参数分别是12,t t故12t t +=12t t ⋅=所以1212||||||||||MA MB t t t t -=-=+=‖23.解：（1）当2a =时，()|22|2f x x =-+.解不等式|22|26x -+„得13x -剟.因此()6f x „的解集为{|13}x x -剟.（Ⅱ）当x R ∈时，()()|2||12||212||1|f x g x x a a x x a x a a a +=-++--+-+=-+…， 所以当x R ∈时，()()3f x g x +…等价于|1|3a a -+≥.①当1a „时，①等价于13a a -+…，无解.当1a >时，①等价于13a a -+…，解得2a …. 所以a 的取值范围是[2,)+∞.。
2020届河北省衡水金卷新高考第一次摸底考试数学(理)试题
2020届河北省衡水金卷新高考第一次摸底考试数学试题（理）★祝考试顺利★ 注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
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第Ⅰ卷 选择题部分一、选择题（每小题只有一个选项正确，每小题5分，共60分。
） 1．已知集合，，则( )A ．B ．C ．D ．2．与函数相同的函数是( )A B ．)10(log ≠>=a a a y x a 且 C ．D ．3.原命题：“设a ，b ，c ∈R ，若a ＞b ，则ac 2＞bc 2”，在原命题以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2D. 44．幂函数在上单调递增，则的值为( )A ． 2B ． 3C ． 4D ． 2或45. 已知97log c ,)97(b ,)97(a ,22)x (f 23121xx===-=--则()()(),,f a f b f c 的大小顺序为( )A ．()()()f b f a f c <<B ．()()()f c f b f a <<C ．()()()f c f a f b <<D ．()()()f b f c f a <<6.已知函数1x )(23=++=在bx ax x x f 处有极值10，则等于( )A. 1B. 2C.D.7.函数)32(log )(221--=x x x f 的单调递减区间是（ ）A.B.C.D.8．下列四个命题中真命题的个数是( ) ①若是奇函数，则的图像关于轴对称；②若，则；③若函数对任意满足，则是函数的一个周期；④命题“存在”的否定是“任意”A ．B ．C ．D ． 9.函数xx x y 2)(3-=的图象大致是( )10.已知定义域为R 的奇函数()f x 满足()()30f x f x -+=,且当3,02x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时, ()()2log 27f x x =+,则()2017f =( )A. 2log 5-B. 2C. 2-D. 2log 511．设定义域为R 的函数f(x)=.1,01||,1|lg |⎩⎨⎧=≠-x x x ，则关于x 的方程f 2(x)+bf(x)+c=0有7个不同实数解的充要条件是 ( )A ．b<0且c>0B ．b>0且c<0C ．b<0且c=0D ．b ≥0且c=0 12．已知()(),ln xf x eg x x ==，若()()f t g s =，则当s t -取得最小值时， ()f t 所在区间是（ ）A.()ln2,1 B ． 1,ln22⎛⎫⎪⎝⎭C ． 11,3e ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ． 11,2e ⎛⎫⎪⎝⎭第Ⅱ卷二、填空(每小题5分,共20分)13.设函数，则f [f （2）]=______．14.若函数y =f （x ）的定义域是⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21，则函数y =f （log 2x ）的定义域为______． 15．已知⎩⎨⎧≥<--=)1(log )1()3()(x x x a x a x f a 是(-∞,+∞)上的增函数，那么实数a 的取值范围是___________．16．已知函数()()4log 3(0),{130,4xx x x f x x x +->=⎛⎫-+≤ ⎪⎝⎭若()f x 的两个零点分别为12,x x ，则12x x -=__________．三、解答题(17题10分,其它各题每题12分,共70分.) 17.已知函数（1）当x ∈[2,4]，求该函数的值域； （2）若对于恒成立，求m 的取值范围．18.已知a R ∈，命题:p “[0,2],240x x x a ∀∈-+≤均成立”， 命题:q “函数2()ln(2)f x x ax =++定义域为R ”．（1）若命题p 为真命题，求实数a 的取值范围；（2）若命题""p q ∨为真命题，命题""p q ∧为假命题，求实数a 的取值范围．()()()()()()(].2,02.213.1923的范围上是减函数，求在若函数的值的极值点，求实数是函数若函数a x f e x g a x f y x x ax x f x ⋅===-=20.已知函数y =a x （a ＞0且a ≠1）在[1，2]上的最大值与最小值之和为20，记．（1）求a 的值；（2）证明f （x ）+f （1-x ）=1；（3）求)20192018()20193()20192(20191f f f f ++++ ）（的值．21、已知函数)(ln 2)12(21)(2R a x x a ax x f ∈++-=（1）若曲线)(x f y =在1=x 和3=x 处的切线互相平行，求a 的值； （2）求)(x f 的单调区间；22.已知函数()2ln f x x ax =+， ()1g x x b x =++，且直线12y =-是函数()f x 的一条切线． （Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）对任意的1x ⎡∈⎣，都存在[]21,4x ∈,使得()()12f x g x =，求b 的取值范围；（Ⅲ）已知方程()f x cx =有两个根12,x x （12x x <），若()1220g x x c ++=，求证： 0b <．数学试题（理）答案第Ⅰ卷选择题部分一、选择题（每小题只有一个选项正确，每小题5分，共60分。
【高中教育】2020(衡水金卷)普通高等学校招生全国统一考试模拟数学试题五理
（1）求椭圆的标准方程；
（2）动直线交椭圆于，两径为，且，求
21。已知函数，，其中为常数。
（1）当，且时，求函数的单调区间及极值；
（2）已知，，若函数有2个零点，有6个零点，试确定的值。
A． B． C。 或或不存在 D．或
10。 已知抛物线的焦点为,双曲线的右焦点为，过点的直线与抛物线在第一象限的交点为，且抛物线在点处的切线与直线垂直，则的最大值为（ ）
A． B． C。 D．2
11。 已知函数的导函数 (其中为自然对数的底数)，且，为方程的两根，则函数，的值域为（ ）
A． B． C。 D．
19。 解：（1）由频率分布直方图可知，得分在的频率为，故抽取的学生答卷数为，又由频率分布直方图可知，得分在的频率为0。2，所以。
又，得，所以。
。
（2）“合格”与“不合格”的人数比例为，因此抽取的10人中“合格”有6人，“不合格”有4人，所以有40，35，30，25，20共5种可能的取值。4
，，
，，
A．8 B．10 C。 12 D．16
7。 下列函数在其定义域内既是增函数又是奇函数的是（ ）
A． B． C。 D．
8。下面推理过程中使用了类比推理方法，其中推理正确的个数是
①“数轴上两点间距离公式为，平面上两点间距离公式为”，类比推出“空间内两点间的距离公式为“；
AB|=√(x2-x1)2+(y2-y1)2+(z2-z1)
【高中教育】2020（衡水金卷）普通高等学校招生全国统一考试模拟数学试题五理
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2020届河北衡水金卷新高考原创考前信息试卷(三)理科数学
2020届河北衡水金卷新高考原创考前信息试卷（三）理科数学★祝考试顺利★ 注意事项：1、考试范围：高考范围。
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4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
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7、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合P={65|<<-x x }，Q={065|2≤--x x x }，则P ⋂Q=____（桃源县第四中学）A 、{61|<<-x x }B 、{61|≤≤-x x }C 、{61|<≤-x x } D 、{61|≤<-x x }答案：由已知得Q=[-1，6] P=（-5，6）故P ⋂Q=[-1，6]故选C 2.设复数z 满足3(1)z i z +=- ，则下列说法正确的是 ( ) A. z 的虚部为2i B.z 为纯虚数C. z =D. 在复平面内，z 对应的点位于第二象限答案：C 由3(1)z i z +=-得3(3)(1)1212i i i z i i -+-+-===-++，z =3.设等差数列{}n a 的前n 项的和为n S ，若5347S a =+，11a =，则6a = ( ) (桃源一中)A. 37B.16C. 13D. -9答案：B 设等差数列{}n a 的公差为d ，由5347S a =+得：115(51)54(2)72a d a d ?+=++，将11a =代入上式解得3d =，故61511516a a d =+=+=（法二：5347S a =+，又535S a =，所以37a =，由11a =得3d =， 故61511516a a d =+=+=4.如图是某市连续16日的空气质量指数趋势统计图，空气质量指数(AQI)小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染．则下列说法不正确的是 ( ) (桃源一中) A ．这16日空气重度污染的频率为0.5 B ．该市出现过连续4天空气重度污染C ．这16日的空气质量指数的中位数为203D ． 这16日的空气质量指数的平均值大于200答案：D 这16日空气重度污染的频率为80.516=故A 正确；12日，13日，14日，15日连续4天空气重度污染，故B 正确；中位数为1(192214)2032+=，故C正确；1200[(147543(43)6x =++++-+(120)(48)60(117)(40)-+-++-+-+(21)(62)14216323(8)]200-+-+++++-<，（也可根据图形判断，8个数据大于200，8个数据小于200，小于200的8个数据整体与200相差较大），故D 不正确.5.已知P 为抛物线C ：24y x =上一点，F 为C 的焦点，若4PF =，则ΔOPF 的面积为 ( ) (桃源一中)A.3 B. 3 C. 23 D.4答案：A 设00()P x y ，，抛物线的焦点(10)F ，，准线为1x =-，由抛物线的定义可知：0(1)4PF x =--=03x \=代入C 的方程得023y =?，Δ011||||123322OPF S OF y =?创=6.函数()sin()f x A x ωϕ=+的图象如图所示，将函数()f x 的图象向右平移12π个单位长度，得到)(x g y =的图像，则下列说法不正确的是 ( ) (桃源一中)A ．函数()g x 的最大值为3B ．函数()g x 关于点(0)12π，对称 C ．函数()g x 在(0)2π，上单调递增 D ．函数()g x 的最小正周期为πππ答案：B 由图可知3A =，353()41234T πππ=--=，2T πω\==，，将点5(3)12π，代入3sin(2)y x ϕ=+，得2()3πφk πk Z =-+?，故()3sin(2)3f x x π=-，右平移12π个单位长度得：()3sin[2()]3sin(2)3cos 21232πππy g x x x x ==--=-=-，故A ，C ，D 正确 ，选B7.已知向量a 与a+b 的夹角为60°，| a |=1，| b |=，则ab= ( ) (桃源一中)A.0B.2-32- D.0或32-答案：A 如图，AB a BC b AC a b ===+uu u r r uu u r r uu u r r r，，，由余弦定理：2222sin BC AB AC AB AC A =+-鬃，已知601A AB BC =?=，，，代入上式得2AC =，222AB BC AC \+=，故90B =?，即a b ^r r ，\0a b ?r r法二：设a r 与b r 的夹角为θ，由题设 ()1||cos60a a b a b ?=??r r r r r，即21||2a a b a b +?+r r r r r ，所以11||2θa b +=+r r，224(1)()4(1)θa b θ\+=+=+r r即22cos cos 0θθ+=，所以cos 0θ=或--(1)式，舍去，故0a b ?r r8.随机设置某交通路口亮红绿灯的时间，通过对路口交通情况的调查，确定相邻两次亮红灯与亮绿灯的时间之和为100秒，且一次亮红灯的时间不超过70秒，一次亮绿灯的时间不超过60秒，则亮绿灯的时间不小于亮红灯的时间的概率为 ( ) (桃源一中)A.67 B.35 C. 13 D.110答案：C 设亮绿灯的时间随机设置为t 秒，则60t £，亮红灯的时间10070t -?，所以3060t ＃，亮绿灯的时间不小于亮红灯的时间即为50t ³，由几何概型的概率公式知：6050160303P -==-9.362()x x-的展开式中的常数项为 ( ) (桃源一中)A. 240B. 180C. 60-D.80-答案：B 62)x 的通项为63262rr rC x -，所以362()x x -的展开式中的常数项为612344262x C x-和662226(1)2C x --?，又4422662224060180C C -=-=，所以362()x x-的展开式中的常数项为18010.设函数121()(1)x f x ex -=--，则不等式()(21)f x f x >+的解集为 ( ) (桃源一中)A. (10)-， B.(1)-?，- C.1(1)3-， D.1(10)(0)3-U ， 答案：D ()f x 的定义域为{|1}x x ¹，考虑函数21()xg x e x =-为偶函数，在(0,)+∞上单调递增，在(,0)-∞上单调递减，g(x)的图像向右平移1个单位得到()f x 的图像，所以函数()f x 关于x =1对称，在(,1)-∞上单调递减，在(1,)+∞上单调递增.由()(21)f x f x >+，可得1211|1||(21)1|x x x x ì¹ïïï+?íïï->+-ïïî，解得：113x -<<且0x ¹11.几何体甲与乙的三视图如右图，几何体甲的正视图和侧视图为两个全等的等腰三角形，且等腰三角形的高与几何体乙的三视图中的圆的直径相等，若几何体甲与乙的体积相等，则几何体甲的外接球的表面积与几何体乙的表面积之比为 ( ) (桃源一中) A.32 B.94 C. 49D.132+答案：B 由三视图可知甲为圆锥，乙为球，设球的半径为R ，设圆锥底面半径为r ，则圆锥高2h R =，因为甲与乙的体积相等，所以324133πR πr h =，即222R r =，2r R ∴=；设圆锥的外接球半径为1R ，则22211()R r h R =+-即222112(2)R R R R =+-，132R R ∴=，故几何体甲的外接球与几何体乙的表面积之比为2124944R R ππ=.12.已知函数2106()0x x x f x lnx x x ìïï+?ïï=íïï>ïïïî，，，()()g x f x ax =-（其中a 为常数），则下列说法中正确的个数为 ( ) (桃源一中)①函数()f x 恰有4个零点； ②对任意实数a ，函数()g x 至多有3个零点； ③若a ≤0，则函数()g x 有且仅有3个零点；④若函数()g x 有且仅有3个零点，则a 的取值范围为11( 0][ )62e-∞U ，，(桃源一中) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4答案：B 当0x £时，()f x 的图像为抛物线216y x x =+的一部分当0x >时，当0x >时，21ln ()xf x x-¢=，所以(0,)x e Î时，()0f x ¢>，()f x 单调递增，(,)x e ??时，()0f x ¢<，()f x 单调递减，画出()f x 的图像如图所示，由图可知()f x 恰有3个零点，故①不正确； 设()f x 的过原点的切线的斜率为1k ，切点为000ln (,)x P x x ，2ln 1ln ()x x x x -¢=，由022000201ln ln x k x x x k x ì-ïï=ïïïïïíïïïï=ïïïî，解得011,2x e k e == ()f x 在0x =处的切线2l 的斜率为22001111()|(2)|6662x x k x x x e==¢=+=+=<，因为()()g x f x ax =-零点个数，即函数()y f x =与y ax =的交点个数，由图可知：12a e >时，有1个交点；12a e =时，有2个交点；11[ )62a e∈，时，有3个交点；1(0 )6a ∈，时，有4个交点；(,0]a ∈-∞时，有3个交点.所以 ②不正确；③④正确.（说明：显然0x =是()g x 的零点，x ≠0时，也可转化为()f x a x=零点的个数问题，也可以画图得出答案）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡．．．中对应题号后的横线上）13.已知函数()ln(1)xf x xe x =++，则曲线()y f x =在0x =处的切线方程为__2y x =__.(桃源一中)14已知实数,x y 满足约束条件10330,10x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪+-≥⎩则=32z x y -的最小值为 -215.已知数列{}n a 的各项为正，记n S 为{}n a 的前n 项和，若2113()2nn n na a n N a a *++=?-，11a =，则5S =___121________.(桃源一中)16. 已知双曲线C:22221(0,0)x y a b a b -=>>，O 是坐标原点，F 是C 的右焦点，过F的直线与C 的两条渐近线的交点分别为,,A B 且OAB ∠为直角，记OAF ∆和OAB∆的面积分别为OAF S ∆和OAB S ∆，若13OAF OAB S S ∆∆=，则双曲线C 的离心率为答案：.3或三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（本小题12分）已知向量m (sin x =-，，n =(1cos )x ，，且函数()f x =mn .(Ⅰ)若5(0 )6πx Î，，且2()3f x =，求sin x 的值； (Ⅱ)在锐角ΔABC 中，角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，若a ，=4ΔABC的面积为 且1()sin 32πf A c B +=，求ΔABC 的周长. (桃源一中)解：(Ⅰ)()f x =mn (sin x =-，(1cos )x ×，sin x x =-2sin()3πx =-………………(2分）Q 2()3f x =，\1sin()33πx -=又5(0 )6πx Î，，( )332πππx \-?，，cos()33πx -=……………………(4分）所以111sin sin[()]3332326ππx x +=-+=??……………………(6分） (Ⅱ)因为1()sin 32πf A c B +=，所以12sin sin 2A cB =，即4sin sin A c B =由正弦定理可知4a bc =，又a =4所以bc =16 ……………………(8分）由已知ΔABC的面积1sin 2bc A =sin A =，又(0)2πA Î，\3πA =……………………(10分） 由余弦定理得222cos 1b c bc A +-=，故2232b c +=，从而2()64b c += 所以ΔABC 的周长为12……………………(12分） 18．（本小题12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，AD BC ∥，AB AD ⊥，22AD BC AB ==，O 是AD 的中点． (Ⅰ)在线段PA 上找一点E ，使得BE ∥平面PCD ，并证明；(Ⅱ)在(1)的条件下，若2PA PD AD ===，求平面OBE 与平面POC 所成的锐二面角的余弦值．(桃源一中)解：(Ⅰ)E 是线段PA 的中点，……………………(1分） 证明：连接BE ，OE ，OB ，∵O 是AD 的中点，∴OE PD ∥，又OE ⊄平面PCD ，PD ⊂平面PCD ，∴OE ∥平面PCD ，……………………(3分）又∵底面ABCD 是直角梯形，22AD BC AB ==，∴OB CD ∥，又OB ⊄平面PCD ，CD ⊂平面PCD ，∴OB ∥平面PCD ，……………………(4分）∵OE ⊂平面OBE ，OB ⊂平面OBE ，OE OB O =I ， ∴平面OBE ∥平面PCD ，又BE ⊂平面OBE ，∴BE ∥平面PCD ．……………………(6分） （也可通过线线平行来证明线面平行）(Ⅱ)∵平面PAD ⊥平面ABCD ，2PA PD AD ===，∴PO AD ⊥，∴PO ⊥平面ABCD ，且1OC =，3PO =，以O 为原点，如图建立空间直角坐标系O xyz -，……………………(8分）得()0,0,0O ，()1,1,0B -，()0,0,3P ，()1,0,0C ，130,,22E ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，得130,,22OE ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭u u u r ，()1,1,0OB =-u u u r ，设(),,m x y z =u r是平面OBE 的一个法向量，则m OE m OB⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩u r u u u r u r u u u r ，得300y z x y ⎧-+=⎪⎨-=⎪⎩，取3x =，得()3,3,1m =u r，……………………(10分）又易知()0,1,0n =r是平面POC 的一个法向量，设平面OBE 与平面POC 所成的锐二面角为θ，则cos cos ,7m n m n m nθ⋅====⋅u r r u r r u r r ， 即平面OBE 与平面POC所成的锐二面角的余弦值为7．……………………(12分）19．（本小题12分）随着快递行业的崛起，中国快递业务量惊人，2018年中国快递量世界第一，已连续五年突破五百亿件，完全超越美日欧的总和，稳居世界第一名．某快递公司收取费的标准是：不超过1kg 的包裹收费8元；超过1kg 的包裹，在8元的基础上，每超过1kg(不足1kg ，按1kg 计算)需再收4元．该公司将最近承揽(接收并发送)的100件包裹的质量及件数统计如下(表1)：表1：公司对近50天每天承揽包裹的件数(在表2中的“件数范围”内取的一个近似数据)、件数范围及天数，列表如下(表2)：(Ⅰ)将频率视为概率，计算该公司未来3天内恰有1天揽件数在(100，300]内的概率； (Ⅱ) ①根据表1中最近100件包裹的质量统计，估计该公司对承揽的每件包裹收取快递费的平均值：②根据以上统计数据，公司将快递费的三分之一作为前台工作人员的工资和公司利润，其余用作其他费用．目前，前台有工作人员5人，每人每天揽件数不超过100件，日工资80元．公司正在考虑是否将前台人员裁减1人，试计算裁员前、后公司每天揽件数的数学期望；若你是公司决策者，根据公司每天所获利润的期望值，决定是否裁减前台工作人员1人? (桃源一中)解：(Ⅰ)将频率视为概率，样本中包裹件数在(100，300]内的天数为102535+=，频率为3575010f ==，故该公司1天揽件数在(100，300]内的概率为710………(2分）未来3天包裹件数在(100，300]内的天数X 服从二项分布，即7(3 )10X B :， 所以未来3天内恰有1天揽件数在[100，299]内的概率为：12373189()()10101000P C ==………(5分）(Ⅱ) ①由题 可知，样本中包裹质量（kg)、快递费（元）、包裹件数如下表所示：所以每件包裹收取快递费的平均值为 ()14383012151682042412100⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=………(7分） ②根据题意及①，揽件数每增加1，公司快递收入增加12（元）若不裁员，则每天可揽件的上限为500件，公司每日揽件数情况如下：E(Y)=50×0.1+150×0.2+250×0.5+350×0.1+450×0.1=240∴公司每日利润的期望值为1240125805603⨯⨯-⨯=元………(9分） 若裁员1人，则每天可揽件的上限为400件，公司每日揽件数情况如下： E(Y)=50×0.1+150×0.2+250×0.5+350×0.1+400×0.1=235∴公司每日利润的期望值为1235124806203⨯⨯-⨯=元………(11分） 因为560<620 ，所以公司应将前台工作人员裁员1人．………(12分）20.有一种曲线画图工具如图1所示．是滑槽的中点，短杆ON 可绕O 转动，长杆MN 通过N 处铰链与ON 连接，MN 上的栓子D 可沿滑槽AB 滑动，且21==ON DN ，1=DM ．当栓子D 在滑槽AB 内作往复运动时，带动N 绕转动，M 处的笔尖画出的曲线记为C ．以为原点，所在的直线为轴建立如图2所示的平面直角坐标系．快递费（元）8 12 16 20 24 包裹件数43301584件数范围 (0，100] (100,200] (200,300] (300，400] (400，500] 天数 5 10 25 5 5 每天承揽包裹的 件数Y50 150 250 350 450 概率P 0.1 0.2 0.5 0.1 0.1 件数范围 (0，100] (100，200] (200，300] (300，400] (400，500] 天数 5 10 25 5 5 每天承揽包裹 的件数Y50 150 250 350 400 概率P 0.1 0.2 0.5 0.1 0.1（Ⅰ）求曲线C 的轨迹方程；（2)设2F 为曲线C 的右焦点，P 为曲线C 上一动点，直线2PF 斜率为)0(≠k k ，且2PF 与曲线C 的另一个交点为Q ，是否存在点),0(t T ，使得TQP TPQ ∠=∠,若存在，求t 的取值范围；若不存在，请说明理由.（芷兰实验学校谌兴明供题）解（1）设),(y x M 则）（0,2x D ，则1)2(22=+-y x x 及1422=+y x 5'Λ（2）设直线PQ 的方程为(3)y k x =，将(3)y k x =代入2214x y +=，得()222214831240k x k x k +-+-=；设()()1122,,,P x y Q x y ，线段PQ 的中点为()00,N x y ，(2121200022433,3214214x x y y k kx y k x k k ++-=====++， 即2433k k N -⎝⎭8'Λ因为TQP TPQ ∠=∠所以直线TN 为线段PQ 的垂直平分线，所以TN PQ ⊥，则·1TN PQ k k =-， 所以33334k t k k==+01'Λ2341143ktk k k --+=-当0k >时，因为144k k +≥，所以0,4t ⎛∈ ⎝⎦，当k 0<时，因为144k k +≤-，所以,04t ⎡⎫∈-⎪⎢⎪⎣⎭.综上，存在点T ，使得||TP TQ =，且t 的取值范围为⎡⎫⎛⋃⎪ ⎢⎪ ⎣⎭⎝⎦21'Λ21．（本小题12分）已知函数()(ln )x f x xe a x x =-+，其中 2.71828e =L 为自然对数的底数.（1）若()1f x ≥，求实数a 的值； （2）证明：2(2ln )2(1sin )x x e x x x >+--.（常德市一中） 解：（1）法一：当0a ≤时，111()(ln )1222h a a =-+=-<与()1f x ≥恒成立矛盾，不合题意；当0a >时，(1)()'()x x xe a f x x+-=，令()x x a h e x =-，则'()(1)0x h x x e =+>，所以()h x 在(0,)+∞上递增，又(0)0h a =-<，()(1)0a a h a ae a a e =-=-> 故存在0(0,)x ∈+∞，使0()0h x =，且00x x e a =，00l n n l x x a =+当0(0,)x x ∈时，()0h x <，'()0f x <，()f x 递减， 当0(,)x x ∈+∞时，()0h x >，'()0f x >，()f x 递增 所以0min 0000()())n n l (l x e a a a f x f x x a x x ==-=-+故()1f x ≥，即ln 10a a a --≥，令()ln 1a a a a ϕ=--， 则'()ln a a ϕ=-，知()a ϕ在(0,1)上递增，在(1,)+∞上递减， 所以max ()(1)0a ϕϕ==，要使()ln 10a a a a ϕ=--≥，当且仅当1a = 综上，实数a 的值为1法二：ln ()(ln )(ln )x x x f x xe a x x e a x x +=-+=-+，令ln ,t x x t R =+∈ 则()1f x ≥等价于10t e at --≥，对任意t R ∈恒成立，令()1t h t e at =--， 当0a <时，10()220ah t e e =-<-<与()0h t ≥恒成立矛盾，不合题意；当0a =时，()1t h t e =-，11(1)110h e e--=-=-<与()0h t ≥恒成立矛盾，不合题意； 当0a >时，'()t a h t e =-，()h t 在(,ln )a -∞上递减，在(ln ,)a +∞上递增，所以()h t 的最小值为(ln )ln 1h a a a a =--令()ln 1a a a a ϕ=--，则'()ln a a ϕ=-，知()a ϕ在(0,1)上递增，在(1,)+∞上递减， 所以max ()(1)0a ϕϕ==，要使()ln 10a a a a ϕ=--≥，当且仅当1a = （2）由（1）知，当1a =时，ln 1x xe x x --≥，即ln 1x xe x x ≥++， 所以22ln x x e x x x x ≥++，下面证明2ln (2ln )2(1sin )x x x x x x x ++>+--，即证：222sin 0x x x -+-> 令2()22sin g x x x x =-+-，'()212cos g x x x =--当01x <≤时，显然'()g x 单调递增，'()'(1)12cos112cos 03g x g π≤=-<-=，所以()g x 在(0,1]上单调递减，()(1)22sin10g x g ≥=->， 当1x >时，显然2,22sin 0x x x ->-≥，即()0g x >故对一切(0,)x ∈+∞，都有()0g x >，即2ln (2ln )2(1sin )x x x x x x x ++>+-- 故原不等式2(2ln )2(1sin )x x e x x x >+--成立22．(本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy 中，直线1C ：10x y +-=，曲线 2C ：⎩⎨⎧+==ϕϕsin 1cos a y a x (ϕ为参数,0>a )，以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系.(Ⅰ)说明2C 是哪一种曲线，并将2C 的方程化为极坐标方程.(Ⅱ)曲线3C 的极坐标方程为0θα=(0>ρ)，其中0tan 2α=，0(0)2παÎ，，且曲线 3C 分别交1C ，2C 于点A ，B两点，若3OB OA =，求a 的值. (桃源一中)解：(Ⅰ) 由⎩⎨⎧+==ϕϕsin 1cos a y a x 消去参数ϕ得：2C 的普通方程为222)1(a y x =-+，……………………（2分）则2C 是以)10(，为圆心，a 为半径的圆. ……………………（3分）∵θρθρsin ,cos ==y x ，∴2C 的极坐标方程为222)1sin ()cos (a =-+θρθρ，即2C 的极坐标方程为01sin 222=-+-a θρρ，……………………（5分）(Ⅱ)曲线3C 极坐标方程为0θα=(0>ρ)，0tan 2α=，且0sin α=所以曲线3C 的直角坐标方程为2y x =)0(>x由102x y y x ì+-=ïïíï=ïî解得：1323x y ìïï=ïïíïï=ïïïî，12()33A \，……………………（7分）OA \=，OB \=8分）故点B的极坐标为0)α，代入01sin 222=-+-a θρρ得a =10分）23．(本小题满分10分) [选修4-5：不等式选讲] 设函数()|||1|f x x a x =+++.(I)若1a =-，求不等式()3f x ≤的解集;(II)已知关于x 的不等式()|2|6f x x x ++≤+在[]1,1x ∈-上恒成立，求实数a 的取值范围.解：( I) 1a =-时，21()|1||1|21121x x f x x x x x x -<-⎧⎪=-++=-≤≤⎨⎪>⎩，由()3f x ≤得不等式的解集为3322x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭. …………(5分)(II)由题知|||1||2|6x a x x x +++++≤+在[]1,1x ∈-上恒成立，且当[]1,1x ∈-时，|1|1,|2|2x x x x +=++=+，||3x a x ∴+≤-，33x a x x ∴-≤+≤-，332a x ∴-≤≤-， …………(7分)又函数32y x =-在[]1,1x ∈-上的最小值为1，31a ∴-≤≤，即a 的取值范围是[]3,1-. …………(10分)。
2020届河北省衡水金卷新高考原创精准模拟考试(五)化学试卷
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
26．（14分）亚硝酸钙是一种阻锈剂，可用于燃料工业，某兴趣小组拟制备Ca(NO2)2并对其性质进行探究。
[背景素材]Ⅰ.NO+NO2+Ca(OH)2=Ca(NO2)2+H2O
Ⅱ. Ca(NO2)2能被酸性KMnO4溶液氧化成NO ，MnO 被还原为Mn2+
Ⅲ.亚硝酸不稳定，易分解，且有一定氧化性，在酸性条件下，Ca(NO2)2能将I−氧化为I2，2NO +4H++2I−=I2+2NO↑+2H2O，S2O 能将I2还原为I−，I2+2S2O =2I−+S4O 。
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2020届河北省衡水金卷新高考原创精准模拟考试（五）
化学试卷
★祝考试顺利★
注意事项：
1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
A．简单离子半径：X>Y>Z
B．最高价氧化物对应水化物的碱性：X>Y
C．W、Z的简单氢化物的沸点：W<Z
D．Z与X、Y两种元素都能形成二元离子化合物
11．某化学小组拟设计微生物燃料电池将污水中的乙二胺[H2N(CH2)2NH2]氧化成环境友好的物质，工作原理如图所示(a、b均为石墨电极）。下列分析正确的是
河北省衡水市2020年高考数学信息卷(金考卷系列)(5)理
.x 28 .若二项式（3x N *）展开式中含有常数项，则 n 的最小取值是A. 5B. 6C. 7D. 82020年春季期河北衡水高考信息卷（金考卷系列）理数（5）、选择题 1 •已知复数z -—2— （i 为虚数单位 1 i）,则复数z 的共轭复数为( )A. 1 iB. 1 iC. 1 iD. 1 i2 .设 u R, Ax| x 0 , B x| 2x 1 ,则 A (C U B) ( )A. x| 0 x1B. x 10 x1C. x | x 0D. x | x 13 . 2020年全国有24个省份提高了最低工资标准，为了了解城市居民的消费水平，某社会研究所对全国十大城市进行职工工资水平x （千元）与居民人均消费水平 y （千元）统计调查，y 与x 具有相关关系,回归方程 y 0.66x1.562.某城市居民人均消费水平为7.675（千兀），估计该城市人均消费额占人均工资收入的百分比约为( )A. 83%B. 72%C. 67%D. 66%4.已知数列2a na n 满足a n 11 (0 a n)2 若 ,若a 〔 6冲,则 a 18( )2a n1 1 17(a n1)2A 6 r 5c 31A.—B.—C.-D.—777 75 .已知命题 p:函数 f(x) 2ax 2 x 1（a 0）在（0,1）内恰有一个零点 ;命题q :函数y x 2 a 在（0,）上是减函数，若p 且 q 为真命题，则实数a 的取值范围是（ ） A. a 1 B. a 2C. 1a 2D. a 1 或 a 26 .已知钝角的终边过点 (sin 2 ,sin 4 ) ,且 cos-,则 tan的值为 （）21 1A.1B.c.- D. 1227 .函数f (x)2,2 |sinx sin(xcosx|丄是( )sin x cosxA.周期为一的偶函数B.周期为的非奇非偶函数2C.周期为的偶函数D.周期为一的非奇非偶函数29 .若直线l 被圆x 22y 4所截得的弦长为2— x 2 ..3, 1与曲线3y 2 1的公共点个数为 A. 1个 B. 2个 C. 1个或2个 ( )D. 1个或0个 10•函数f(x)的图象在定义域 R 上连续,若xf (x) 0,则下列表达式正确的为( )A. f( 1)f(1)0 B. f( 1)f(1) f(0) C f( 1) f(1)f(0)D f( 1)f(1)2f(0)11 .已知函数f (x)2x 1 (x0),把方程f (x) x 的根据按从小到大的顺序排列f (x 1)1 (x 0)成一个数列，则该数列的通项公式为( )A a nn(n°B. a nn(n 1)C. a n n 1D. a n 2n 22r r r r r r 12.平面向量的集合 A 到A 的映射f 由f(X) X 2(X a)a 确定,其中a 为常向量•若映射r u r u r u rf 满足f (x) f (y) x y 对x, y A 恒成立，则a 的坐标不可能 是 ()二、填空题13.某学校组织乒乓球比赛，甲班有5名男同学,3名女同学报名；乙班有6名男同学,2名女同学报名■若从甲、乙两班中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选 法共有 _________________ 种.14.已知抛物线y 2 4px(p 0),弦AB 过焦点F ,设| AB | m ,三角形AOB 的面积为S ,则S 2 ____________ (用含有 m, p 的式子表示).15.已知点 M ( 3,0), N(3,0),圆 C : (x 1)2 (y a)2a 2 (a 0),过 M ,N 与圆 C 相切的两直线相交于点 P ,则点P 的轨迹方程为 _______________ . 16.空间一条直线h 与一个正四棱柱的各个面所成的角都为，则另一条直线12与这个正四棱柱的各条棱所成的角都为，则下列说法正确的是 __________________①此四棱柱必为正方体；②l 1与四棱柱的各边所成的角也相等 ；③若四棱标语为正四棱柱，h 与这个正四棱柱的各条棱所成的角都为，则sin 2sin 21.A. (0,0)B.(吾) C (二鸟2 2三、解答题17.在ABC中，角A, B,C所对的边分别为a,b,c.已知si nA si nC psi nB(p R),且1 .2 ac -b .45(1) 当p ,b 1时，求a,c的值；4(2) 若角B为锐角，求p的取值范围.18.设数列a n的前n项和为S n,且S n ( 1) 务(0, 1).(1)求a n的通项公式;(2)若lim S n的值存在，求的取值范围n19.某地工商局对本地流通的某品牌牛奶进行质量监督抽查，结果显示，刚刚销售的一批牛奶合格率为80%.(1) 若甲从超市购得2瓶,恰都为合格品的概率；(2) 若甲每天喝2瓶牛奶，求三天中喝到不合格牛奶的天数的期望.20 .如图，在直四棱柱ABCD ABGD中，底面ABCD为等腰梯形，AB//CD,AB 4,BC CD 2, AA1(1)证明：直线EE1//平面FCC1;⑵求二面角B FC1 C的余弦值？21 •已知圆C的圆心为C(m,0)(m 3),半径为,5 ,圆C与椭圆E :2 2x y1(a b 0)有一个公共点A(3,1),F1、F?分别是椭圆的左、右焦点•2 ,2a b(I)求圆C的标准方程；(n)若点P的坐标为(4, 4),试探究斜率为k的直线PF1与圆C能否相切，若能,求出椭圆E和直线PF i的方程,若不能,请说明理由mx22•已知函数f x —一m, n R在x 1处取得极值2 。
2020届河北衡水金卷新高考押题信息考试(五)理科数学
2020届河北衡水金卷新高考押题信息考试（五）理科数学★祝你考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考考查范围。
2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
4、主观题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非主观题答题区域的答案一律无效。
5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
6、保持卡面清洁，不折叠，不破损。
7、本科目考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.1.若集合{}2|280A x x x =--<，{}2|90B x x =-≤，则集合A B =U （ ）A. (]2,3-B. (]4,3-C. [)3,2-D. [)3,4- 【答案】D【解析】【分析】求解一元二次不等式，解得集合,A B ，再求并集即可.【详解】对集合A ：2280x x --<，解得()2,4x ∈-；对集合B ：290x -≤，解得[]3,3x ∈-，故可得[)3,4A B ⋃=-.故选：D.【点睛】本题考查一元二次不等式的求解，以及集合并运算，属基础题.2.已知复数z 满足(12)|34|z i i +=+（i 是虚数单位），则z 的共轭复数z =（ ）A. 12i +B. 12i -C. 12i -+D. 12i -- 【答案】A【解析】【分析】 先求34i +的模长，再利用复数除法运算求得复数z ，写出其共轭复数即可.【详解】因为345i +==， 故()()()512512121212i z i i i i -===-++-， 故其共轭复数z =12i +.故选：A.【点睛】本题考查复数模长的求解，复数的除法运算，以及共轭复数的求解，属综合基础题.3.已知双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的两条渐近线互相垂直，焦距为（ ）A. 3B. 6C. 9D. 12【答案】B【解析】【分析】根据渐近线垂直，可得,a b 的关系，结合焦距的长度，列方程组，即可求得结果. 【详解】因为两条渐近线互相垂直，故可得21b a ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，又因为焦距为2c =结合222a b c +=，解得3,3,a b c ===故实轴长26a =.故选：B.【点睛】本题考查双曲线方程的求解，属基础题.4.已知m ，n 为两条不同的直线，α，β，γ为三个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）A. 若//m α，//n α，则//m nB. 若αβ⊥，γβ⊥且m αγ⋂=，则m β⊥C. 若m α⊂，n ⊂α，//m β，//n β，则//αβD. 若m α⊥，//n β，αβ⊥，则m n ⊥【答案】B【解析】【分析】根据线线平行，线线垂直，线面垂直，面面垂直的判定，对选项进行逐一分析即可.【详解】对A ：若//m α，//n α，则//m n ，或m 与n 是异面直线，或m 与n 相交，故A 错误； 对B ：若αβ⊥，γβ⊥且m αγ⋂=，不妨取交线m 上一点P ，作平面γ的垂线为l ，因为,l γαγ⊥⊥，且点P α∈，故l α⊂；同理可得l β⊂，故l 与m 是同一条直线，因为l γ⊥，故m γ⊥.故B 选项正确.对C ：只有当m 与n 是相交直线时，若m α⊂，n ⊂α，//m β，//n β，才会有//αβ.故C 错误；对D ：若m α⊥，//n β，αβ⊥，则m 与n 的关系不确定，故D 错误.故选：B .【点睛】本题考查线线平行，面面平行，面面垂直的判定，属综合基础题.5.数列{}n a 是公差为2的等差数列，n S 为其前n 项和，且1a ，4a ，13a 成等比数列，则4S =（ ）A. 8B. 12C. 16D. 24【答案】D【解析】【分析】根据等比中项的定义，结合数列的公差为2，列方程即可求得数列的首项，进而利用公式求得4S .【详解】因为1a ，4a ，13a 成等比数列，故可得21134a a a ⋅=，即可得()()2111246a a a +=+，解得13a =.故4S 14324242a ⨯⨯=+=. 故选：D.【点睛】本题考查等差数列前n 项和与通项公式基本量的计算，涉及等比中项，属综合基础题.6.若正整数n 除以正整数m 的余数为r ，则记为r nMODm =，例如212 5MOD =.如图程序框图的算法源于我国古化著名的《中国剩余定理》，执行该程序框图，则输出的i 等于（ ）A. 2B. 4C. 8D. 16【答案】D【解析】【分析】 模拟执行程序，根据循环结构，逐步执行，即可得到结果.【详解】模拟执行程序如下：7,1n i ==开始，2,9i n ==，不满足13nMOD =，故4,13i n ==，满足13nMOD =，但不满足25nMOD =，故8,21i n ==，不满足13nMOD =，故16,37i n ==，满足13nMOD =，满足25nMOD =，输出16i =.故选：D.【点睛】本题考查循环结构语句的执行，只需按照程序框图模拟执行即可，属基础题.7.为了解某市居民用水情况，通过抽样，获得了100位居民某年的月均用水量(单位：吨).将数据按照[)0,0.5，…，[]4,4.5分成9组，绘制了如图所示的频率分布直方图.政府要试行居民用水定额管理，制定一个用水量标准a .使85 %的居民用水量不超过a ，按平价收水费，超出a 的部分按议价收费，则以下比较适合做为标准a 的是（ ）A. 2.5吨B. 3吨C. 3.5吨D. 4吨【答案】B【解析】【分析】 根据频率分布直方图中，长方形面积表示频率，找出将面积分割为0.85和0.15的数值，即为标准a .【详解】根据频率分布直方图，结合题意可得：()0.080.50.160.50.300.50.440.50.500.5 2.50.50.85a ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+-⨯=解得 2.72a =.故要满足85 %的居民用水量不超过a ，则a 比较合适的取值为3吨.故选：B.【点睛】本题考查频率分布直方图中，频率的计算，属基础题.8.天文学中为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯(Hipparchus ，又名依巴谷)在公元前二世纪首先提出了星等这个概念.星等的数值越小，星星就越亮；星等的数值越大，它的光就越暗.到了1850年，由于光度计在天体光度测量中的应用，英国天文学家普森(..M R Pogson )又提出了衡量天体明暗程度的亮度的概念.天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足()1221 2.5lg lg m m E E -=-.其中星等为i m 的星的亮度为()1,2i E i =.已知“心宿二”的星等是1.00.“天津四” 的星等是1.25.“心宿二”的亮度是“天津四”的r 倍，则与r 最接近的是(当x 较小时， 2101 2.3 2.7x x x ≈++)A. 1.24B. 1.25C. 1.26D. 1.27【答案】C【解析】【分析】根据题意，代值计算，即可得r ，再结合参考公式，即可估算出结果.【详解】根据题意可得：()211 1.25 2.5lgE lgE -=- 可得12110E lg E =，解得1110210E r E ==， 根据参考公式可得111 2.3 2.7 1.25710100r ≈+⨯+⨯=， 故与r 最接近的是1.26.故选：C. 【点睛】本题考查对数运算，以及数据的估算，属基础题.9.已知函数2()2sin 2163f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则下列判断正确的是（ ） A. ()f x 的图象关于6x π=对称 B. ()f x 为奇函数C. ()f x 的值域为[]3,1-D. ()f x 在0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数 【答案】A【解析】【分析】 利用降幂扩角公式以及辅助角公式，将三角函数化简为标准正弦型三角函数，再对选项进行逐一分析即可.【详解】2()2sin 2163f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1cos 22133x x ππ⎛⎫⎛⎫=-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 2sin 236x ππ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭ 2sin 26x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.因为2sin 262f ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭是该函数的最大值，故6x π=是函数的对称轴，故A 正确； 因为()()2sin 26f x x f x π⎛⎫-=--≠- ⎪⎝⎭，故该函数不是奇函数，故B 错误； 因为[]2sin 22,26x π⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，故()f x 的值域为[]2,2-，故C 错误； 由x ∈0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，可得52,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，在此区间内，正弦函数不单调，故D 错误； 综上所述，正确的是A .故选：A.【点睛】本题考查利用降幂扩角公式以及辅助角公式化简三角函数，以及正弦型函数性质的求解，属综合性基础题.10.已知0,4πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()sin sin a αα=，()cos sin b αα=，()sin cos c αα=，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A. b a c <<B. b c a <<C. a b c <<D. c b a << 【答案】A【解析】【分析】 因为0,4πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故可得cos sin αα>，由指数函数和幂函数的单调性即可比较大小. 【详解】因为0,4πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故可得10cos sin αα>>>， 根据指数函数()(),0,1x y sin sin αα=∈是单调减函数，可得sin αcos sin sin ααα<，即可得b a <；根据幂函数(),0,1sin y x sin αα=∈是单调增函数，可得sin sin cos sin αααα>，即可得c a >综上所述：c a b >>.故选：A.【点睛】本题考查正弦函数和余弦函数在区间上的大小关系，以及指数函数和幂函数的单调性，属综合中档题.11.已知抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ，过点F 且斜率为3的直线交抛物线于点M （M 在第一象限），MN l ⊥于点N ，直线NF 交y 轴于点D ，则||MD =（ ）A. 4B. 23C. 2D. 3【答案】B【解析】【分析】设出直线方程，联立抛物线方程，求得点M 的坐标，即可得N 点坐标，进而可求得MF 的方程，容易得点D 的坐标，用两点之间的距离公式即可求得MD 的长度.【详解】根据题意，作图如下：由题可知，点()1,0F ，故直线FM 的方程为)31y x =-，联立抛物线方程24y x =可得231030x x -+=，解得13x =或3x = 因为点M 在第一象限，故可得(3,23M . 又因为准线方程为1x =-，故可得(23N -. 则直线FN 的方程为)31y x =--，令0x =，解得3y =，即可得()0,3D . 故9323MD =+=.故选：B.【点睛】本题考查抛物线中线段长度的求解，关键是要逐步求解出点的坐标即可.12.已知函数ln 1,1()1(2),13x x f x x x -≥⎧⎪=⎨+<⎪⎩，若αβ<且()()f f αβ=，则βα-的取值范围是（ ） A. []83ln3,6-B. )283ln3,1e ⎡--⎣C. []94ln3,6-D. )294ln 3,1e ⎡--⎣ 【答案】B【解析】【分析】根据()f x 的函数图像，结合()()f f αβ=，求得β的取值范围以及,αβ之间的等量关系，将βα-表示为β的函数，求该函数在区间上的值域即可. 【详解】因为ln 1,1()1(2),13x x f x x x -≥⎧⎪=⎨+<⎪⎩，故其函数图像如下所示：令11lnx -=，解得2x e =；令11lnx -=-，解得1x =.数形结合可知，若要满足()()f f αβ=，且αβ<，则()21,e β∈，且()1213ln αβ+=-，解得35ln αβ=-. 故βα-35ln ββ=-+，()21,e β∈. 令()()235,1,g x x lnx x e =-+∈，则()31g x x'=-，令()0g x '=，解得3x =， 故()g x 在区间()1,3单调递减，在区间()23,e单调递增， 则()()()2216,3833,1g g ln g ee ==-=-， 故())2833,1g x ln e ⎡∈--⎣. 即可得βα-)2833,1ln e ⎡∈--⎣. 故选：B.【点睛】本题考查利用导数研究函数的值域，以及构造函数的能力，数形结合的能力，属综合性中档题.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13.已知单位向量a r ，b r 满足()22a a b ⋅+=r r r ，则向量a r 与向量b r 的夹角的大小为__________． 【答案】3π 【解析】【分析】根据向量的数量积运算，结合单位向量模长为1，代值计算即可.【详解】因为a r ，b r 均是单位向量，故可得1,1a b ==r r ，故可得()222,?2a a b a a b cos a b ⋅+=+=r r r r r r r r ， 即2?,?1cos a b =r r ，解得1,?2cos a b =r r ， 又因为向量夹角的范围为[]0,π， 故,a b r r 的夹角为3π. 故答案为：3π. 【点睛】本题考查向量数量积的运算，属基础题.14.已知点N 在圆224470x y x y +-++=上，点M 在直线3460x y -+=上，则MN 的最小值为______.【答案】3【解析】【分析】根据直线和圆相离，即可得圆心到直线的距离减去半径，即为所求.【详解】因为圆方程为224470x y x y +-++=，故圆心坐标为()2,2,1r -=，则圆心到直线的距离41d ==>，则直线与圆相离. 故MN 的最小值为413d r -=-=.故答案为：3.【点睛】本题考查圆心到直线上一点距离的最值问题，属基础题.15.造纸术是我国古代四大发明之一.纸张的规格是指纸张制成后，经过修整切边，裁成一定的尺寸.现在我国采用国际标准，规定以A0、A1、…、A10；B0、B1、…、B10等标记来表示纸张的幅面规格.复印纸幅面规格只采用A 系列和B 系列，其中A 系列的幅面规格为：①A0规格的纸张的幅宽（以x 表示）和长度（以y 表示）的比例关系为:x y =；②将A0纸张沿长度方向对开成两等分，便成为A1规格.A1纸张沿长度方向对开成两等分，便成为A2规格，…，如此对开至A8规格.现有A0、A1、A2、…、A8纸各一张.若A4纸的面积为2624cm ，则这9张纸的面积之和等于______2cm .【答案】19929【解析】【分析】根据题意，求出4A 纸张的长度和宽度，构造纸张面积的等比数列，利用等比数列前n 项和的计算公式，即可求得.【详解】由题可设，0A 纸的面积为S ，根据题意，纸张面积是首项为S ，公比为12的等比数列， 则容易知4A 纸张的面积为416242S ⎛⎫⨯= ⎪⎝⎭，故可得9984S =， 故纸张面积是一个首项为9984，公比为12的等比数列， 故9张纸的面积之和为911219929112S ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦=-.故答案为：19929.【点睛】本题考查实际问题中等比数列的应用，问题的关键是要构造等比数列，属中档题.16.如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，有下列四个命题：①1BC 与平面11BCD A 所成角为30°；②三棱锥1A A BD -与三棱锥11C A BD -的体积比为1:2；③过点A 作平面α，使得棱AB ，AD ，1AA 在平面α上的正投影的长度相等，则这样的平面α有且仅有一个；④过1BD 作正方体的截面，设截面面积为S ，则S 的最小值为62. 上述四个命题中，正确命題的序号为______.【答案】①②④【解析】【分析】根据线面角的求解方法，棱锥体积的求解，正方体截面的相关性质，对选项进行逐一分析即可求得.【详解】对①：连接1C D 交1D C 与H ，连接BH ，作图如下：因为1111ABCD A B C D -是正方体，故可得BC ⊥平面11CC D D ，又因为CH ⊂平面11CC D D ，故可得CH BC ⊥，又1CH D C ⊥，故可得CH ⊥平面1//MN A C ，则1C BH ∠即为所求线面角.在1Rt C BH n中，11122CH C D C B === 故可得1112CH sin C BH C B ∠==，又线面角的范围为0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 故130C BH ∠=︒，则1BC 与平面11BCD A 所成角为30°，故①正确；对②：因为正方体棱长为1， 故可得11111111113326A A BD A ABD ABD V V S A A --==⨯=⨯⨯⨯⨯=n ； 而棱锥11 C A BD -的体积可以理解为正方体的体积减去4个体积都和1A A BD V -相等的三棱锥的体积， 故1111463A A BD V -=-⨯=. 故棱锥1 A A BD -与三棱锥11 C A BD -的体积比为1:2，故②正确；对③：若棱1,,AD AA AB 在平面α的同侧，则α为过点A 且与平面1A BD 平行的平面；若棱1,,AD AA AB 中有一条棱与另外两条棱分别在平面α的异侧，则这样的平面有3个；故满足题意的平面α有4个.故③错误；对④：根据题意，取11,AA C C 中点为,M N ,则过1BD 作正方体的截面如下：则过1BD 的所有截面中，当截面1D MBN 为菱形时，面积最小， 其面积为11162322S MN D B =⨯=⨯⨯=. 故④正确.总上所述，正确的有①②④.【点睛】本题考查线面角的求解，正方体截面面积的求解，涉及棱锥体积的计算，属中档题. 三、解答题：第17~21题每题12分，解答应在答卷的相应各题中写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，ABCD 是正方形，E 是CD 中点，点F 在BC 上，且3BF FC =.（1）证明EF ⊥平面PAE ；（2）若54PA AB =，求平面PAB 与平面PEF 所成二面角的正弦值. 【答案】(1)证明见详解；(2)53【解析】【分析】（1）根据PA ⊥平面ABCD ，可得EF PN ⊥，再证EF AE ⊥，即可由线线垂直推证线面垂直； （2）以A 为坐标原点，建立空间直角坐标系，分别求得两个平面的法向量，再求出夹角的余弦，转化为正弦值即可.【详解】（1）因为PA ⊥平面ABCD ，EF ⊂平面ABCD ，故可得EF PA ⊥；设底面正方形的边长为4，故可得2216425AE AD DE =+=+=，22145EF FC CE =+=+=，221695AF AB BF =+=+=，故在AFE n 中，满足222AE EF AF +=，故可得AE EF ⊥；又,PA AE ⊂平面PAE ，且PA AE A ⋂=，则EF ⊥平面PAE ，即证.（2）因为PA ⊥平面ABCD ,,AB AD ⊂平面ABCD ，故可得,PA AB PA AD ⊥⊥，又底面ABCD 为正方形，故可得AB AD ⊥，故以A 为坐标原点，以,,AB AD AP 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系如下图所示：设4AB =，故可得()()()()()0,0,0,0,0,5,4,0,0,2,4,0,4,3,0A P B E F设平面PEF 的法向量为(),,m x y z =r， 则00m EF m PE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r r u u u r r ，则202450x y x y z -=⎧⎨+-=⎩ 取2y =，则()1,2,2m =r .不妨取平面PAB 的法向量()0,1,0n r=. 则2,?391m n cos m n m n ⋅===⨯r r r r r r . 设平面PAB 与平面PEF 所成二面角的平面为θ，则251cos ,sin m n θ=-=r r .即平面PAB 与平面PEF所成二面角的正弦值为3. 【点睛】本题考查由线线垂直推证线面垂直，以及利用向量法求解二面角的大小，属综合中档题. 18.已知ABC ∆的面积为3，BC 边上的高是2，tan 3A =.（1）求ABC ∆外接圆的半径；（2）求AB 和AC 的长.【答案】(1)；(2) AB AC ==AB AC ==【解析】【分析】（1）利用三角形的面积公式求得BC ，再利用同角三角函数关系，求得sinA ，最后利用正弦定理，即可求得外接圆半径；（2）利用面积公式以及余弦定理，求得AB 和AC 的方程组，解方程组即可.【详解】设三角形的边长,,BC a AC b AB c ===.（1）由面积公式1232S a =⨯=，解得3a =. 因为3tanA =，()0,A π∈，故由同角三角函数关系，容易得cosA sinA ==.由正弦定理可得2a R sinA ===故ABC n. （2）由面积公式可得132S bcsinA ==，结合（1）中所求，可得bc =由余弦定理可得2292b c cosA bc +-==，解得2213b c +=， 即()213213b c bc +=+=+=解得b c +=+bc =可得b c ==b c ==故AB AC ==AB AC ==【点睛】本题考查利用正弦定理和余弦定理解三角形，以及三角形外接圆半径的求解，属综合基础题. 19.在统计调查中，问卷的设计是一门很大的学问，特别是对一些敏感性问题.例如学生在考试中有无作弊现象，社会上的偷税漏税等.更要精心设计问卷.设法消除被调查者的顾虑，使他们能够如实回答问题，否则被调查者往往会拒绝冋答，或不提供真实情况，为了调查中学生中的早恋现象，随机抽出300名学生，调查中使用了两个问題.①你的学籍号的最后一位数是奇数（学籍号的后四位是序号）；②你是否有早恋现象，让被调查者从装有4个红球，6个黑球（除颜色外完全相同）的袋子中随机摸取两个球.摸到两球同色的学生如实回答第一个问题，摸到两球异色的学生如实回答第二个问题，回答“是”的人往一个盒子中放一个小石子，回答“否”的人什么都不放，后来在盒子中收到了78个小石子.（1）你能否估算出中学生早恋人数的百分比？（2）若从该地区中学生中随机抽取一个班（40人），设其中恰有X 个人存在早恋的现象，求X 的分布列及数学期望.【答案】(1)5%；(2)分布列见详解，数学期望为21400. 【解析】【分析】（1）先计算出摸两个球，出现同色和异色的概率，据此计算出回答第一个问题和第二个问题的人数，再根据学籍号最后一位是奇数的概率为12，计算出回答第一个问题选择“是”的同学个数，从而算出回答早恋选择“是”的同学个数，据此估算百分比即可；（2）根据题意可知，X 服从二项分布，结合（1）中所求，写出分布列，计算出数学期望即可.【详解】（1）从10个球中随机摸取两个球，摸到两球同色的的概率2246210715C C P C +==. 故回答第一个问题的人数为730014015⨯=人，则回答第二个问题的人数为160人； 又学籍号最后一位是奇数还是偶数，是等可能的， 故回答第一个问题，选择“是”是的同学个数为1140702⨯=人， 则回答第二个问题，选择“是”的同学个数为8人，则中学生早恋人数的百分比为85%160=. （2）根据（1）中所求，可知1~2,?20X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，且X 可取值为0,1,2， 故可得()02211902020P X C ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()111211912020P X C ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()202211922020P X C ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 故X 的分布列如下所示：故()36119121012400400400400E X =⨯+⨯+⨯=. 【点睛】本题考查简单随机抽样的特点，以及二项分布分布列的求解和数学期望的计算，属综合性中档题. 20.已知函数2()ln f x ax x x x =--（a R ∈）.（1）当1a e=时，求曲线()y f x =在点(,())e f e 处的切线方程； （2）若()f x 在定义域内为单调函数，求实数a 的取值范围. 【答案】(1)y x =-；(2) ,2e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.【解析】【分析】（1）对函数求导，解得函数在点()(),e f e 处切线的斜率，根据点斜式即可求得切线方程； （2）构造函数()22lnx g x x+=，利用导数求解其值域，再根据()f x '与()g x 之间的关系，求解恒成立问题即可得参数的范围. 【详解】（1）当1a e =时，()2x f x xlnx x e=--，故()22f x x lnx e '=--；故可得()()1,f e f e e -'==-，故切线方程为：()y e x e +=--，整理得y x =-.故曲线()y f x =在点()(),e f e 处的切线方程为y x =-.（2）因为()2ln f x ax x x x =--，故可得()22f x ax lnx '=--. 若()f x 在定义域内为单调函数，则()0f x '≥恒成立，或()0f x '≤恒成立.构造函数()22lnx g x x +=，故可得()()‘212lnx g x x -+=， 令()’0g x =，解得1x e =， 故()g x 在区间10,?e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在区间1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减. 故()12max e g x g e ⎛⎫== ⎪⎝⎭，且当x 趋近于0时，()g x 趋近于-∞. 故(),2e g x ⎛⎤∈-∞ ⎥⎝⎦. 若要保证()0f x '≥在定义域内恒成立，即220ax lnx --≥恒成立， 即22lnx a x +≥在定义域内恒成立，则只需()2max e a g x ≥=； 若要保证()0f x '≤在定义域内恒成立，则220ax lnx --≤恒成立， 则22lnx a x+≤在定义域内恒成立，但()g x 没有最小值，故舍去. 综上所述，要保证()f x 在定义域内单调函数， 则,2e a ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭. 【点睛】本题考查导数的几何意义，以及根据函数单调性，利用导数求参数的范围，属综合中档题.21.点(,)P x y 与定点(1,0)F -的距离和它到直线:3l x =-设点P 的轨迹为曲线E . （1）求曲线E 的方程；（2）过点F 的直线l 与曲线E 交于A ，B 两点，设AB 的中点为M ，C ，D 两点为曲线E 上关于原点O对称的两点，且CO OM λ=u u u r u u u u r （0λ>），求四边形ACBD 面积的取值范围.【答案】(1)22 132x y +=；(2) 4,⎡⎣. 【解析】 【分析】（1）设出点P 的坐标，根据题意，列出方程，整理化简即可求得动点的轨迹方程；（2）设出直线AB 的方程，利用弦长公式求得AB ，再利用OC OM λ=u u u r u u u u r ，建立直线CD 与AB 之间的联系，再利用点到直线的距离，以及面积公式，将四边形面积表示为函数形式，求该函数的值域即可. 【详解】（1）设动点(),P x y ，则P 到直线:3l x =-的距离3d x =+， 由题可知：PF d ==， 两边平方整理可得：22132x y += 故曲线E 的方程为：22132x y +=. （2）因为(0)OC OM λλ=>u u u r u u u u r ，故,O M 两点不可能重合，则直线AB 的斜率不可能为0，故可设直线AB 方程为1x my =-，联立椭圆方程22132x y +=， 可得()2223440m y my +--=，设,A B 两点坐标分别为()()1122,,,x y x y ， 则可得12122244,2323m y y y y m m -+==++， 则()121226223x x m y y m +=+-=-+ 故可得2232,2323m M m m ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，因为(0)OC OM λλ=>u u u r u u u u r ，故可得,,0,C M D 四点共线， 故可得2222233323CD m m m k m +==--+. 不妨设直线CD 方程为y kx =，23m k =-， 联立直线y kx =与椭圆方程22132x y += 可得()22236k x +=，设()()3344,,,C x y D x y ，则33x y ==-C ⎛- ⎝则44x y ==D 则点,C D 到直线AB 的距离为：1d =2d = 将23m k =-代入上式即可得：21d ==，22d =故212223m d d ++=又根据弦长公式可得：22123m AB m +==+故四边形面积()221222*********m m S AB d d m ++=+=⨯+==因为23322m+≥，则21120,?332m⎛⎤∈ ⎥⎝⎦+，21221,1332m⎡⎫-∈⎪⎢⎣⎭+⎫⎪⎪⎣⎭故4,⎡⎣.故四边形ACBD面积的取值范围为4,⎡⎣.【点睛】本题考查椭圆轨迹方程的求解，以及椭圆中四边形面积的范围问题，计算量相对较大，属综合性困难题.22.在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线E的极坐标方程为2ρ=，四边形ABCD的四个顶点都在曲线E上.（1）求曲线E的直角坐标方程；（2）若AC，BD相交于点()1,1P，求||||||||PA PB PC PD⋅⋅⋅的值.【答案】(1)224x y+=；(2)4【解析】【分析】（1）将2ρ=两边平方，利用公式，即可转化为直角坐标方程；（2）写出直线,AC BD的参数方程，根据直线参数的几何意义，即可求得.【详解】（1）将2ρ=两边平方，即可得24ρ=，即可得224x y+=.（2）因为直线,AC BD都经过点()1,1P，故直线AC的参数方程为：1(1x tcosy tsinααα=+⎧⎨=+⎩为参数)；直线BD 的参数方程为：1(1x tcos y tsin θθθ=+⎧⎨=+⎩为参数)； 联立直线AC 的方程与224x y +=可得：()22220t cos sin t αα++-=，设,A C 两点对应的参数为12,t t ，故可得122t t =-；同理联立直线BD 的方程与224x y +=可得：()22220t cos sin t θθ++-=，设,B D 两点对应的参数为34,t t ，故可得342t t =-；根据直线参数方程中t 的几何意义可知：||||||||PA PB PC PD ⋅⋅⋅12344t t t t ==.即为所求.【点睛】本题考查极坐标方程转化为直角坐标方程，以及利用直线参数方程中参数的几何意义，求解线段长度的乘积，属基础题.23.已知函数()|1||2|f x x x =-++.（1）求不等式()5f x ≤的解集；（2）若不等式()21f x x ax ≥-+的解集包含[]1,1-，求实数a 的取值范围. 【答案】(1)[] 3,2-；(2)[] 1,1-. 【解析】【分析】（1）分类讨论，求解不等式即可；（2）将问题转化为二次函数在区间上恒成立的问题，列出不等式组即可求得.【详解】（1）当2x ≤-时，()5f x ≤等价于215x --≤，解得[]3,2x ∈--；当21x -<<时，()5f x ≤等价于35≤，恒成立，解得()2,1x ∈-；当1x ≥时，()5f x ≤等价于215x +≤，解得[]1,2x ∈；综上所述，不等式的解集为[]3,2-.（2）不等式()21f x x ax ≥-+的解集包含[]1,1-， 等价于()21f x x ax ≥-+在区间[]1,1-上恒成立， 也等价于220x ax --≤在区间[]1,1-恒成立.则只需()22g x x ax =--满足： ()10g -≤且()10g ≤即可.即120,120a a +-≤--≤，解得[]1,1a ∈-.【点睛】本题考查绝对值不等式的求解，以及二次函数在区间上恒成立的问题，属综合基础题.。
2020届河北衡水金卷新高考原创押题考试(三)理科数学
2020届河北衡水金卷新高考原创押题考试（三）理科数学一、选择题（每小题5分，共60分）1.已知全集U =R ，集合{|lg }A x y x ==, 集合{|1}B y y ==，那么U A C B ⋂= （ ）A. φB. (]0,1C. ()0,1D. ()1,+∞【答案】C 【解析】 【分析】先化简集合A 和B,再求U U C B A C B ⋂和.【详解】由题得A={x|x>0},B={y|y≥1}，所以{|1},(0,1)U U C B y y A C B =<∴⋂=. 故答案为C【点睛】(1)本题主要考查集合的化简和运算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 集合的运算要注意灵活运用维恩图和数轴，一般情况下，有限集的运算用维恩图分析，无限集的运算用数轴，这实际上是数形结合的思想的具体运用. 2.复数()2211i i+++的共轭复数是 A. 1i + B. 1i -C. 1i -+D. 1i --【答案】B 【解析】()()22121121112i i i i i ⋅-++=+-+=++Q ，故其共轭复数是1i - ，选B 3.已知向量,a b r r不共线，若()()3//a b ka b +-r r r r ，则实数k =（ ）A. 13- B. 12-C.13D.12【答案】A 【解析】 【分析】由向量共线的性质得()3ka b a b λ-=+r r r r，由此能求出实数k 的值．【详解】由于()()3//a b ka b +-r r r r ，所以存在实数λ，使得()3ka b a b λ-=+r r r r，因此k λ=且31λ=-，解得13k =-. 故选：A【点睛】本题考查实数值的求法，考查向量共线的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 4.执行如图所示的程序框图，输出S 的值为（ ）A. 2log 101-B. 22log 31-C.92D. 6【答案】B 【解析】【详解】第一次循环，23log 2,2S i =+=；第二次循环，2233log 2log ,32S i =+=；以此类推得第七次循环，22223893log 2log log 3log 8,8272S i =++=+==L ；结束循环输出229log 2log 312=-，选B. 点睛：算法与流程图考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.5.一次数学考试后，某老师从甲，乙两个班级中各抽取5人，记录他们的考试成绩，得到如图所示的茎叶图，已知甲班5名同学成绩的平均数为81，乙班5名同学成绩的中位数为73，则x y -的值为（ ）A. 2B. -2C. 3D. -3【答案】D 【解析】由茎叶图知727786(80)908157073x y +++++⎧=⎪⎨⎪+=⎩，解得0,3x y ==， 所以3x y -=-，故选D .6.《中国诗词大会》（第二季）亮点颇多，十场比赛每场都有一首特别设计的开场诗词在声光舞美的配合下，百人团齐声朗诵，别有韵味．若《将进酒》《山居秋暝》《望岳《送杜少府之任蜀州》和另确定的两首诗词排在后六场，且《将进酒》排在《望岳》的前面，《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》不相邻且均不排在最后，则后六场的排法有（ ） A. 288种 B. 144种 C. 720种 D. 360种【答案】B 【解析】 【分析】根据题意分2步进行分析：①用倍分法分析《将进酒》，《望岳》和另外两首诗词的排法数目；②用插空法分析《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》的排法数目，由分步计数原理计算可得答案【详解】根据题意分2步进行分析：①将《将进酒》，《望岳》和另外两首诗词的4首诗词全排列，则有4424A =种顺序Q 《将进酒》排在《望岳》的前面，∴这4首诗词的排法有44122A =种②，这4首诗词排好后，不含最后，有4个空位，在4个空位中任选2个，安排《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》，有3412A =种安排方法则后六场的排法有1212144⨯=种 故选B【点睛】本题考查的是有关限制条件的排列数的问题，第一需要注意先把不相邻的元素找出来，将剩下的排好，这里需要注意定序问题除阶乘，第二需要将不相邻的两个元素进行插空，利用分步计数原理求得结果，注意特殊元素特殊对待．7.在平面直角坐标系中，不等式组22200x y x y x y r +≤⎧⎪-≤⎨⎪+≤⎩(r 为常数)表示的平面区域的面积为π，若x ，y 满足上述约束条件，则z ＝13x y x +++的最小值为( )A. －1B. －5217+ C.13D. －75【答案】D 【解析】作出不等式组表示的平面区域，如图所示，由题意，知214r ππ=，解得2r =．因为目标函数12133x y y z x x ++-==+++表示区域内上的点与点(3,2)P -连线的斜率加上1，由图知当区域内的点与点P 的连线与圆相切时斜率最小．设切线方程为2(3)y k x -=+，即320kx y k -++=，则有23221k k +=+，解得125k =-或0k =（舍），所以min 127155z =-=-，故选D ．8.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，点(,3)n n S +*()n N ∈在函数32xy =⨯的图象上，等比数列{}n b 满足1n n n b b a ++=*()n N ∈，其前n 项和为n T ，则下列结论正确的是（ ）A. 2n n S T =B. 21n n T b =+C. n n T a >D. 1n n T b +<【答案】D 【解析】【详解】由题意可得：332,323nnn n S S +=⨯=⨯- ，由等比数列前n 项和的特点可得数列{}n a 是首项为3，公比为2的等比数列，数列的通项公式：132n n a -=⨯ ，设11n nb b q -= ，则：111132n n n b q b q --+=⨯ ，解得：11,2b q == ，数列{}n b 的通项公式12n nb -= ，由等比数列求和公式有：21nn T =- ，考查所给的选项：13,21,,n n n n n n n n S T T b T a T b +==-<< .本题选择D 选项.9.双曲线2222:1(0,0)x y M a b a b-=>>的左、右焦点为1F ，2F ，抛物线N ：()220y px p =>的焦点为2F ，点P 为双曲线M 与抛物线N 的一个交点，若线段1PF 的中点在y 轴上，则该双曲线的离心率为（ ）A.1B.1C.D.【答案】B 【解析】 【分析】先根据抛物线焦点为2F ，求得2p c =;再根据线段1PF 的中点在y 轴上，可得P 点横坐标，分析可知2PF x ⊥轴.由双曲线通经公式可得22PF p c ==，即可由勾股定理及双曲线定义得,a c 关系，进而求得离心率.【详解】抛物线N ：()220y px p =>焦点为2F则抛物线焦点为,02p ⎛⎫⎪⎝⎭，()2,0F c ，()1,0F c - 所以2pc =，即2p c =， 因为线段1PF 的中点在y 轴上， 所以P 点横坐标为c ， 则2PF x ⊥轴所以22PF p c ==，即212PF F F =则12PF ==根据双曲线定义可知122PF PF a -=所以22c a -=解得1ce a === 故选:B【点睛】本题考查了双曲线离心率的求法，抛物线焦点与双曲线焦点的关系，双曲线的几何意义，中点坐标公式的应用，属于中档题.10.已知函数1()cos 626f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，若存在123,,,,n x x x x L 满足12306n x x x x π≤<<<<≤L ，且()()()()()()12231n n f x f x f x f x f x f x --+-++-L ()*122,n n N =≥∈，则n 的最小值为（ ）A. 6B. 10C. 8D. 12【答案】C 【解析】 【分析】由辅助角公式先将函数()f x 化简，当()()()()1max min n n f x f x f x f x --=-时n 取得最小值，由正弦函数的性质即可求得n x 的值即可求解.【详解】函数1()sin cos 2626f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，根据助辅助角公式化简可得()sin sin 66f x x x ππ⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭因为()()()()1max min 2n n f x f x f x f x --=-=所以当()()()()()()12231n n f x f x f x f x f x f x --+-++-L ()*122,n n N=≥∈时，n 的取值满足12330,,22x x x ππ===，4557,22x x ππ==，678911,,622x x x πππ=== 所以此时n 的最小值为8 故选:C【点睛】本题考查了正弦函数的图像与性质应用，辅助角化简三角函数式的应用，属于中档题.11.设12,F F 分别为双曲线()2222:1,0x y E a b a b-=>左、右焦点，以坐标原点O 为圆心，1OF 为半径的圆与双曲线E 的右支相交于,P Q 两点，与E 的渐近线相交于,,,A B C D 四点，若四边形12PFQF 的面积与四边形,,,A B C D 的面积相等，双曲线E 的离心率为（ ）【答案】C 【解析】 【分析】由双曲线的定义和勾股定理可求得2122PF PF b ⨯=，从而可得四边形12PFQF 的面积，然后求出点圆O 与E 的渐近线在第一象限的交点为(),a b ，可求出四边形ABCD 的面积，然后可得答案.【详解】由双曲线的定义及平面几何知识可知122PF PF a -=，①222124PF PF c +=，②2-②①得2122PF PF b ⨯=，∴四边形12PFQF 的面积为21121222S PF PF b =⨯⨯=， 由222x y c b y xa ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，当0,0x y >>，解得,x a y b ==，∴圆O 与E 的渐近线在第一象限的交点为(),a b . ∴四边形ABCD 的面积24S ab =，∵224b ab =，∴2b a =，即2224,c a ce a a-===故选：C【点睛】本题考查双曲线定义渐进性的简单应用，属于中档题.12.已知函数22()1x f x e ax bx =-+-，其中,a b ∈R ，e 为自然对数的底数，若(1)0f =，'()f x 是()f x 的导函数，函数'()f x 在区间(0,1)内有两个零点，则a 的取值范围是（ ）A. 22(3,1)e e -+B. 2(3,)e -+∞C. 2(,22)e -∞+D. 22(26,22)e e -+【答案】A 【解析】 【分析】利用f （1）＝0得出a ，b 的关系，根据f ′（x ）＝0有两解可知y ＝2e 2x 与y ＝2ax +a +1﹣e 2的函数图象在（0，1）上有两个交点，做出两函数图象，根据图象判断a 的范围． 【详解】解：∵f （1）＝0，∴e 2﹣a +b ﹣1＝0，∴b ＝﹣e 2+a +1， ∴f （x ）＝e 2x ﹣ax 2+（﹣e 2+a +1）x ﹣1， ∴f ′（x ）＝2e 2x ﹣2ax ﹣e 2+a +1， 令f ′（x ）＝0得2e 2x ＝2ax ﹣a ﹣1+e 2， ∵函数f ′（x ）在区间（0，1）内有两个零点，∴y ＝2e 2x 与y ＝2ax ﹣a ﹣1+e 2的函数图象在（0，1）上有两个交点， 作出y ＝2e 2x 与y ＝2ax ﹣a ﹣1+e 2＝a （2x ﹣1）+e 2﹣1函数图象，如图所示：若直线y＝2ax﹣a﹣1+e2经过点（1，2e2），则a＝e2+1，若直线y＝2ax﹣a﹣1+e2经过点（0，2），则a＝e2﹣3，∴e2﹣3＜a＜e2+1．故选：A．点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．二、填空题（每小题5分，共20分）13.中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”.其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形式，如下表：表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，以此类推，例如6613用算筹表示就是：，则7288用算筹式可表示为__________.【答案】【解析】 【分析】根据题意，分别用横式或纵式表示出7288的各位数字，合并后即可得解. 【详解】根据题意， 7288用算筹式表示时: 千位需要用横式表示，即7用来表示;百位需要用纵式表示，即2用来表示;十位需要用横式表示，即8用来表示;个位需要用纵式表示，即8用来表示.所以7288用算筹式可表示为；故答案为:.【点睛】本题考查了数学在中国传统文化中的应用，对所给条件分析清晰，进行合理运用，属于基础题.14.若随机变量()2~2,3X N ，且()()1P X P x a ≤=≥，则()52x a ax x ⎛+⋅- ⎝展开式中3x 项的系数是__________． 【答案】1620 【解析】随机变量()2~2,3X N ，均值是2，且()()1P X P x a ≤=≥，∴3a =；∴()()()55522233693x a ax x x x x x x x x ⎛⎛⎛+=+=++- ⎝⎝⎝； 又53x x ⎛ ⎝展开式的通项公式为()()35552155313rrr r r r r r T C x C xx ---+⎛=⋅⋅=-⋅⋅⋅ ⎝， 令3512r -=，解得83r =，不合题意，舍去；令3522r -=，解得2r =，对应2x 的系数为()232512270C -⋅⋅=；令3532r -=，解得43r =，不合题意，舍去；∴展开式中3x 项的系数是62701620⨯=，故答案为1620.点睛：本题考查了正态分布曲线的特点及其几何意义，也考查二项式系数的性质与应用问题，是基础题；根据正态分布的概率性质求出a 的值，再化()()5522693x a ax x x x ⎛⎛+=++ ⎝⎝；利用(53x ⎛ ⎝展开式的通项公式求出含2x 的系数，即可求出对应项的系数.15.关于x的方程1xe m x =-无实根，则实数m 的取值范围为___．【答案】)20,e ⎡⎣【解析】 【分析】程1x e m x =-无实根,即直线()1y m x =-与曲线x y e =无公共点，找直线()1y m x =-与曲线x y e =相切的时候m 的值，然后分析可得答案.【详解】由1x e m x =-，得()1xe m x =-，若直线()1y m x =-与曲线xy e =相切，设切点为()00,x y ，00xy e = ，∵e xy '=，∴0x m e =， ∴()0001xx e ex =-，∴02x =，∴2m e =.直线()1y m x =-恒过点()1,0.因为原方程无实数根，所以实数m 的取值范围为)20,e ⎡⎣.故答案为：)20,e⎡⎣【点睛】本题考查方程的根的情况，转化为两曲线的交点问题，属于中档题.16.如图，在ABC ∆中，三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且222a b c bc =++，a ，S 为ABC ∆的面积，圆O 是ABC ∆的外接圆，P 是圆O上一动点，当cos S B C +取得最大值时，PA PB ⋅u u u r u u u r的最大值为_______.【答案】332+. 【解析】试题分析：∵222a b c bc =++，∴2221cos 22b c a A bc +-==-，∴23A π=，设圆O 的半径为R ，则322sin sin3a R A π===，∴1R =，∴13cos cos sin 3cos cos 2S B C bc A B C +=+ 33cos cos bc B C =+3sin sin 3cos cos 3cos()B C B C B C =+=-， 当6B C π==时，3cos cos S B C +取得最大值，建立如图直角坐标系，则(0,1)A ，31(,)2B -，31(,)22C ，设(cos ,sin )P θθ，则 31(cos ,sin 1)(cos ,sin )2PA PB θθθθ⋅=-+-u u u r u u u r 3333cos sin 3cos()2223πθθθ=-+=++，当且仅当cos()13πθ+=时，PA PB ⋅u u u r u u u r 取最大值3+32.考点：1.正余弦定理解三角形；2.三角恒等变形；3.平面向量数量积的坐标运算.三、解答题（17，18，19，20，21每题12分，22，23选做一题每题10分，共70分）17.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，345S S S +=.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令11(1)n n n n b a a -+=-，求数列{}n b 的前2n 项和2n T .【答案】（Ⅰ）21n a n =-（Ⅱ）284n n -- 【解析】试题分析: （Ⅰ）求等差数列通项公式,一般方法为待定系数法,即根据条件列出关于首项与公差的方程组,解出首项与公差再代入通项公式即可,（Ⅱ）涉及符号数列求和,一般方法为分组求和,即按奇偶,项的正负重新组合,利用平方差公式转化为求特殊数列(如等差数列)的和.试题解析: （Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，由345S S S +=可得1235a a a a ++=， 即253a a =，所以3(1)14d d +=+，解得2d =．∴ 1(1)221n a n n =+-⨯=-．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得：112(1)(21)(21)(1)(41)n n n b n n n --=-⋅-+=-⋅-.∴ 22222122(411)(421)(431)(441)(1)4(2)1n n T n -⎡⎤=⨯--⨯-+⨯--⨯-++-⋅⨯-⎣⎦L 22222241234(21)(2)n n ⎡⎤=-+-++--⎣⎦L22(21)4(1234212)4842n n n n n n +=-+++++-+=-⨯=--L ． 点睛：本题采用分组转化法求和，即通过两个一组进行重新组合，将原数列转化为一个等差数列. 分组转化法求和的常见类型有分段型（如,{2,n nn n a n =为奇数为偶数）及本题的符号型（如2(1)n n a n =- ） 18.如图，在四边形ABCD 中，//AB CD ，23BCD π∠=，四边形ACFE 为矩形，且CF ⊥平面ABCD ，AD CD BC CF ===.（1）求证：EF ⊥平面BCF ；（2）点M 在线段EF 上运动，当点M 在什么位置时，平面MAB 与平面FCB 所成锐二面角最大，并求此时二面角的余弦值. 【答案】（1）见解析；（2）77【解析】【详解】试题分析：（Ⅰ）在梯形ABCD 中，设1AD CD BC ===，题意求得2AB =,再由余弦定理求得23AB =,满足222AB AC BC =+,得则BC AC ⊥.再由CF ⊥平面ABCD 得AC CF ⊥，由线面垂直的判定可.进一步得到AC 丄平面BCF ;（Ⅱ）分别以直线,,CA CB CF 为:x 轴，y 轴轴建立如图所示的空间直角坐标系，设1AD CD CF === ,令FM λ=()03λ≤≤得到,,,C A B M 的坐标，求出平面MAB 的一法向量.由题意可得平面的FCD 一个法向量，求出两法向量所成角的余弦值，可得当λ0=时，有最小值为7,此时点M 与点F 重合. 试题解析：（Ⅰ）证明：在梯形ABCD 中，∵//AB CD ,设1AD CD BC ===， 又∵23BCD π∠=,∴2AB =,∴2222cos603AC AB BC AB BC =+-⋅⋅︒= ∴222AB AC BC =+.则BC AC ⊥. ∵CF ⊥平面ABCD ,AC ⊂平面ABCD ，∴AC CF ⊥,而CF BC C =I ,∴AC ⊥平面BCF .∵//EF AC ,∴EF ⊥平面BCF . （Ⅱ）解：分别以直线,,CA CB CF 为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，设1AD CD BC CD ====，令(03FM λλ=≤≤， 则())()()0,0,0,3,0,0,0,1,0,,0,1C AB M λ，∴()()3,1,0,,1,1AB BM λ=-=-u u u v u u u u v设(),,n x y z =v为平面MAB 的一个法向量，由00n AB n BM ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u u v v 得300x y x y z λ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩，取1x =，则()1,3,3n λ=-v ，∵()1,0,0m =v是平面FCB 的一个法向量，∴()()22cos ,133134n m n m n mλλ⋅===++-⨯-+v vv v v v∵03λ≤≤，∴当0λ=时，cos θ有最小值为77， ∴点M 与点F 重合时，平面MAB 与平面FCB 所成二面角最大，此时二面角的余弦值为7. 19.噪声污染已经成为影响人们身体健康和生活质量的严重问题，为了了解强度D （单位：分贝）与声音能量I （单位：2/W cm ）之间的关系，将测量得到的声音强度i D 和声音能量()1,2,,10i I i =L 数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.表中lg i i W I =，101110i i W W ==∑ （1）根据表中数据，求声音强度D 关于声音能量I 的回归方程lg D a b I =+；（2）当声音强度大于60分贝时属于噪音，会产生噪声污染，城市中某点P 共受到两个声源的影响，这两个声源的声音能量分别是1I 和2I ，且10121410I I +=.已知点P 的声音能量等于声音能量1I 与2I 之和.请根据（1）中的回归方程，判断P 点是否受到噪声污染的干扰，并说明理由. 附：对于一组数据()()()1122,,,,,n n v v v μμμL，其回归直线v αβμ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为：()()()121ii i ii uuuu v v uu β∧==--=-∑∑，v u αβ∧∧=-【答案】（1）10lg 160.7i D I =+（2）会受到干扰,理由见解析. 【解析】 【分析】（1）令lg i i W I =，建立D 与W 的线性回归方程，结合所给公式求得b .代入样本中心点求得a ，即可得声音强度D 关于声音能量I 的回归方程. （2）由点12P I I =+，结合10121410I I +=，利用基本不等式求得点P 能量的最小值.由（1）得声音强度D 的预报值，比较大小即可判断.【详解】（1）令lg i i W I =，则i D a bW =+由表中参考数据可得()()()10110215.1100.51i i i i i W W D D b W W==--===-∑∑ 将45.7,11.5D W ==-代入i D a bW =+ 可得()45.71011.5160.7a D bW =-=+⨯-= 所以10160.7D W =+即声音强度D 关于声音能量I 的回归方程为10lg 160.7i D I =+ （2）已知点P 的声音能量等于声音能量1I 与2I 之和， 所以12P I I =+而10121410I I +=，即101214101I I -⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭所以12P I I =+()1012121410I I I I -⎛⎫=+⨯⨯+ ⎪⎝⎭1021124105I I I I -⎛⎫=⨯++ ⎪⎝⎭10910-≥⨯由（1）可知点P 的声音强度预报值为()10min 10lg 910160.710lg960.760D -=⨯+=+>所以点P 会受到噪声污染的干扰【点睛】本题考查了非线性回归方程的求法，利用线性回归方程进行预报与判断，属于中档题.20.已知12P ⎫⎪⎭在椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>上，F 为右焦点，PF x ⊥轴，,,,A B C D 为椭圆上的四个动点，且AC ，BD 交于原点O . （1）判断直线:()(,)2m n l x m n y m n R ++-=∈与椭圆的位置关系； （2设()11,A x y ，()22,B x y 满足12124y y x x =，判断AB BC k k +的值是否为定值，若是，请求出此定值，并求出四边形ABCD 面积的最大值，否则说明理由.【答案】（1）直线l 与椭圆相切或相交.（2）AB BC k k +的值是定值，0AB BC k k +=；()max 1ABCD S = 【解析】 【分析】（1）将直线l 变形，可确定直线l 所过定点的坐标，可得该定点坐标在椭圆上，即可判断出直线l 与椭圆的位置关系.（2）先根据条件，求得椭圆的标准方程.讨论直线AB 的斜率情况可知当斜率不存在或斜率为0时不满足12124y y x x =.进而设直线AB 的方程为y kx m =+，联立椭圆方程，利用韦达定理及等式12124y y x x =，化简即可求得k 的值，确定AB BC k k +为定值；由点到直线距离公式求得d ，利用弦长公式求得AB ，即可用m 表示出AOB S ∆，由二次函数性质求得AOB S ∆的最大值，并根据4ABCD AOB S ∆=即可求得ABCD S 的最大值.【详解】（1）直线11:()(,)222m n l x m n y m n m n R ++-=+∈，将直线方程化简变形可得022x x y m y n ⎛⎛++-= ⎝⎭⎝⎭，因为,m n R ∈，令0202x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得12x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ，所以直线l过定点12P ⎫⎪⎭， 而由P 在椭圆上，可知直线l 与椭圆相切或相交.（2）12P ⎫⎪⎭在椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>上，PF x ⊥轴，由椭圆性质可得212b c a ==，则222212c ba abc ⎧=⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩解得2,1a b == ，所以椭圆的标准方程为2214x y +=，因为()11,A x y ，()22,B x y ，,,,A B C D 为椭圆上的四个动点且AC ，BD 交于原点O . 所以()11,C x y --，()22,D x y --，当直线AB 的斜率不存在时，不满足12124y y x x =，因而直线AB 的斜率一定存在.当直线AB 斜率存在且为0时，不满足12124y y x x =，所以直线AB 的斜率一定存在且不为0. 设直线AB 的方程为y kx m =+.则2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，化简可得()()222418410k x kmx m +++-=， 所以()2121222418,4141m km x x x x k k -+=-⋅=++，()()()()2222284414416410,km k m k m ∆=-+-=-+>①因为1122,kx m y kx m y =+=+，所以()()()2212121212y y kx m kx m k x x km x x m =++=+++，则()()2222222414184414141m m km k km m k k k ⎡⎤--⎛⎫⎢⎥⨯+⨯-+= ⎪⎢⎥+++⎝⎭⎢⎥⎣⎦， 整理可得241k =， 解得12k =±.由题意可知A B C D 、、、的位置等价，所以不妨设12AB k =，则12BC k =-， 则11022AB BC k k +=-=， 即AB BC k k +为定值.直线AB 的方程为12y x m =+.即102x y m -+= 则点O 到直线AB的距离为d =因为()2121222418,4141m km x x x x k k -+=-⋅=++代入可得()212122,21x x m x x m +=-⋅=-则由弦长公式可得AB =所以1122AOB S AB d ∆=⋅⋅====当21m =时取等号.而21m =时满足①. 所以()max 1AOB S ∆=此时44ABCD AOB S ∆==故四边形ABCD 面积的最大值的最大值为4【点睛】本题考查了直线过定点的求法，直线与椭圆位置关系的判断，椭圆标准方程的求法，韦达定理在求弦长公式中的应用，椭圆中的四边形面积问题综合应用，属于难题. 21.已知函数()()()21'0xf x ax x e f =+-+.（1）讨论函数()f x 的单调性； （2）若()()()ln ,xx g x ef x x h x e -=+=，过()0,0O 分别作曲线()yg x =与()yh x =的切线12,l l ，且1l 与2l 关于x 轴对称，求证:()321222e e a e ++-<<-.【答案】(1)见解析；(2) 见解析. 【解析】试题分析：(1) 求出()'f x ，分五种情讨论，分别令()'0f x >得增区间，()'0f x <得减区间；（2）根据导数的几何意义可求出两切线的斜率分别为,e e -，根据切点处两函数纵坐标相等可得关于1,x a 的两个等式，由其中一个等式求得1x 的范围，再根据另一个等式利用导数求得a 的范围.试题解析：由已知得()()()2'21,'00xf x ax a x e f ⎡⎤=++=⎣⎦，所以()()21xf x ax x e =+-.(1)()()()2'2121xxf x ax a x e x ax a e ⎡⎤⎡⎤=++=++⎣⎦⎣⎦. ① 若0a >，当12x a<--或0x >时，()'0f x >；当120x a --<<时，()'0f x <，所以()f x 的单调递增区间为()1,2,0,a ⎛⎫-∞--+∞ ⎪⎝⎭；单调递减区间为12,0a ⎛⎫--⎪⎝⎭. ②若()()()0,1,'x xa f x x e f x xe ==-=，当0x >时，()'0f x >；当0x <时，()'0f x <，所以()f x 的单调递增区间为()0,+∞；单调递减区间为(),0-∞. ③ 若102a -<<，当12x a >--或0x <时，()'0f x <；当102x a <<--时，()'0f x >，所以()f x 的单调递增区间为10,2a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭；单调递减区间为()1,0,2,a ⎛⎫-∞--+∞ ⎪⎝⎭.④若()211,'022x a f x x e =-=-≤，故()f x 的单调递减区间为(),-∞+∞.⑤若12a <-，当12x a <--或0x >时，()'0f x <；当120x a--<<时，()'0f x >，所以()f x 的单调递增区间为12,0a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭；单调递减区间为()1,2,0,a ⎛⎫-∞--+∞ ⎪⎝⎭.当0a >时，()f x 的单调递增区间为()1,2,0,a ⎛⎫-∞--+∞ ⎪⎝⎭；单调递减区间为12,0a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭. 当0a =时，()f x 的单调递增区间为()0,+∞；单调递减区间为(),0-∞.当102a -<<时，()f x 的单调递增区间为10,2a ⎛⎫--⎪⎝⎭；单调递减区间为()1,0,2,a ⎛⎫-∞--+∞ ⎪⎝⎭.当12a =-时，()f x 的单调递减区间为(),-∞+∞；当12a <-时，()f x 单调递增区间为12,0a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭ ； 单调递减区间为1,2a ⎛⎫-∞-- ⎪⎝⎭,()0,+∞； (2)()()()22ln 1ln 1ln xx x g x ef x x e ax x e x ax x x --=+=-+-+=+-+,设2l 的方程为2y k x =，切点为()22,x y ，则222222,x x y y e k e x ===，所以2221,,x y e k e ===.由题意知12k k e =-=-，所以1l 的方程为y ex =-，设1l 与()y g x =的切点为()11,x y ，则()111121111111'21,22y e k g x ax e a x x x x +==++==-=--. 又2111111ln y ax x x ex =++-+=-,即1113ln 022e x x ++-=，令()()1311ln ,'222e e u x x x u x x++=+-=+，在定义域上，()'0u x >，所以()0,+∞上，()u x 是单调递增函数，又()2310,ln 021212e e e e u u e e -⎛⎫=>=+-< ⎪++⎝⎭，所以()1?01e u u e ⎛⎫< ⎪+⎝⎭，即111e x e <<+，令11t x =，则()()2111,12e t a t t e t e +⎡⎤<<=-++⎣⎦，所以()()32112,122e e e a a a a e e +++⎛⎫>=-<=- ⎪⎝⎭，故 ()321222e e a e ++-<<-.【方法点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性以及不等式的证明，属于难题.不等式证明问题是近年高考命题的热点，命题主要是和导数、绝对值不等式及柯西不等式相结合，导数部分一旦出该类型题往往难度较大，要准确解答首先观察不等式特点，结合已解答的问题把要证的不等式变形，并运用已证结论先行放缩，然后再化简或者进一步利用导数证明.22.在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos 3sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为(cos sin )1ρθθ-=．（1）求C 和l 的直角坐标方程；（2）已知直线l 与y 轴交于点M ，且与曲线C 交于A ，B 两点（A 在第一象限），则11||||MA MB -的值． 【答案】（1）曲线C 为229x y +=，直线l 为10x y --=.（2）8- 【解析】 【分析】（1）消去曲线C 参数方程中的参数，将曲线C 的参数方程化为直角坐标方程；利用极坐标转化为直角坐标的公式，将直线l 的极坐标方程化为直角坐标方程.（2）求得M 点的坐标，写出直线l 的参数方程，并代入229x y +=，化简后写出韦达定理，根据直线参数的几何意义求得11||||MA MB -的值. 【详解】（1）曲线C 的参数方程为3cos 3sin x y θθ=⎧⎨=⎩，两式平方相加得229x y +=.直线l 的极坐标方程为(cos sin )1ρθθ-=，即10x y --=.（2）直线:10l x y --=与y 轴的交点为()0,1M -，所以直线l的参数方程为212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数）.代入229x y +=并化简得280t -=，所以12128t t t t +=⋅=-.画出图像如下图所示，依题意设A 点对应1t ，B 点对应2t .则11||||MA MB-121212118t t t t t t +=+==-.【点睛】本小题主要考查参数方程转化为普通方程，极坐标方程转化为直角坐标方程，考查利用直线参数的几何意义进行计算，属于中档题.23.[选修4-5：不等式选讲]:已知函数()2f x x a x a =++-. （1）当1a =时，求不等式()42f x x ≥-+的解集； （2）设0a >，0b >，且()f x 的最小值为t .若33t b +=，求12a b+的最小值. 【答案】（1） 7(,][1,)3-∞--+∞U （2）322+【解析】 【分析】（1）当1a =时，()|2||1|f x x x =++-，原不等式可化为2|2||1|4x x ++-≥，分类讨论即可求得不等式的解集；（2）由题意得，()f x 的最小值为t ，所以3t a =，由333a b +=，得1a b +=，利用基本不等式即可求解其最小值．【详解】（1）当1a =时，()21f x x x =++-，原不等式可化为2214x x ++-≥，① 当2x ≤-时，不等式①可化为2414x x ---+≥，解得73x ≤-，此时73x ≤-； 当21x -<<时，不等式①可化为2414x x +-+≥，解得1x ≥-，此时11x -≤<； 当1x ≥时，不等式①可化为2414x x ++-≥，解得13x ≥，此时1x ≥， 综上，原不等式的解集为][7,1,3⎛⎫-∞-⋃-+∞ ⎪⎝⎭.（2）由题意得，()2f x x a x a =++-≥ ()()23x a x a a +--=，因为()f x 的最小值为t ，所以3t a =，由333a b +=，得1a b +=，所以()1212a b a b a b ⎛⎫+=+⋅+ ⎪⎝⎭2333b a a b =++≥+=+， 当且仅当2b a a b =，即1a =，2b =12a b+的最小值为3+【点睛】本题主要考查了绝对值不等式问题，对于含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向．。
2020届河北衡水金卷新高考原创考前信息试卷(四)理科数学
2020届河北衡水金卷新高考原创考前信息试卷（四）理科数学★祝考试顺利★ 注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
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4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一.选择题（本大题共12小题，共60分）1. 设集合{}290A x x =-＜，{}B x x N =∈，则A B =I ( )A ．{}0,1,2,3B ．{}1,2C ．{}0,1,2D ．{}2,1,0,1,2--2. 已知命题:sin 1P x R x ∀∈≤，，则p ⌝为( ) A. 00sin 1x R x ∃∈≥，B ．sin 1x R x ∀∈≥，C ．00sin 1x R x ∃∈>，D ．sin 1x R x ∀∈>， 3.已知(,)a bi a b +∈R 是11ii-+的共轭复数，则a b +=( )A.1-B.12-C.12D.14. 已知双曲线22220,0():1x y C a a b b -=＞＞的一条渐近线与直线350x y -+=垂直，则双曲线C 的离心率等于( )A. 2 B ．103 C.10 D ．2 25. 下列函数中，既是奇函数，又是R上的单调函数的是()A．()()ln1f x x=+B．()1f x x-=C．()()()222,02,0x x xf xx x x⎧+≥⎪=⎨-+<⎪⎩D．()()()()200,012,,xxxf x xx⎧<⎪⎪⎪==⎨⎪⎛⎫⎪->⎪⎪⎝⎭⎩6.若(cos)cos2f x x=，则(sin)12fπ=()A．12-B．32-C．12D．327. 某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业者岗位分布条形图，则下列结论中不一定正确的是()注：90后指1990年及以后出生，80后指1980—1989年之间出生，80前指1979年及以前出生．A．互联网行业从业人员中90后占一半以上B．互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20％C．互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80前多D．互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多8. 将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案种数是()A．18种B．36种C．54种D．72种9. 赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为《周碑算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的）.类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形的概率是( )A ．BC ．D ．10.如图，已知椭圆C 的中心为原点O ，为C 的左焦点，P 为C 上一点，满足，且，则椭圆C 的方程为A.221255x y += B.2214525x y += C.2213010x y += D.2213616x y += 11. 在ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，D 是AB 的中点，若1CD =，且()()1sin sin sin 2a b A c b C B ⎛⎫-=+- ⎪⎝⎭，则ABC △面积的最大值是( )A ．15 B ．15C ．15D ．215 12. 已知函数()||xe f x x =，关于x 的方程2()(1)()40f x m f x m ++++=（m ∈R ）有四个相异的实数根，则m 的取值范围是( )A ．44,1e e ⎛⎫--- ⎪+⎝⎭B.()4,3-- C.4,31e e ⎛⎫--- ⎪+⎝⎭D.4,1e e ⎛⎫--+∞ ⎪+⎝⎭第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13.已知2a =r ，3b =r ，,a b r r 的夹角为30o，//(2)(2)a b a b λ++r r r r ，则()()a b a b λ+•-=r rr r _________．14. 我国古代数学专著《九章算术》对立体几何有深入的研究，从其中的一些数学用语可见，譬如“鳖臑”意指四个面都是直角三角形的三棱锥．某“鳖臑”的三视图(图中网格纸上每个小正方形的边长为1)如图所示，已知该几何体的高为22，则该几何体外接球的体积为________．15. 设O 为坐标原点，)1,2(A ，若点),(y x B 满足⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤≤≤≤+10121122y x y x ，则OB OA ⋅的最大值是_________．16. 已知函数()sin cos f x x x =+，则下列结论中正确的是_______ __． ①()f x 是周期函数； ②()f x 的对称轴方程为,4k x k Z π=∈； ③()f x 在区间3,44ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上为增函数； ④方程6()5f x =在区间3,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦有6个根.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．侧 俯主（一）必考题：共60分．17.（本小题满分12分）如图，在三棱锥中，，，，，，分别为，中点．（1）求证：；（2）求二面角的大小．18.（本小题满分12分）某中学准备组建“文科”兴趣特长社团，由课外活动小组对高一学生文科、理科进行了问卷调查，问卷共100道题，每题1分，总分100分，该课外活动小组随机抽取了200名学生的问卷成绩(单位：分)进行统计，将数据按照[0,20)，[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]分成5组，绘制的频率分布直方图如图所示，若将不低于60分的称为“文科方向”学生，低于60分的称为“理科方向”学生．理科方向文科方向总计男110女50总计(1)根据已知条件完成下面2×2列联表，并据此判断是否有99%的把握认为是否为“文科方向”与性别有关？(2)将频率视为概率，现在从该校高一学生中用随机抽样的方法每次抽取1人，共抽取3次，记被抽取的3人中“文科方向”的人数为ξ，若每次抽取的结果是相互独立的，求ξ的分布列、期望E(ξ)和方差D(ξ)．参考公式和参考临界值见后：参考公式：K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d . 参考临界值：19. （本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且n 、n a 、n S 成等差数列，22log (1)1n n b a =+-. （1）证明数列{}1n a +是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 中去掉数列{}n a 的项后余下的项按原顺序组成数列{}n c ，求12100c c c ++⋅⋅⋅+的值.20. （本小题满分12分）从抛物线C ：22(0)x py p =>外一点P 作该抛物线的两条切线PA PB 、（切点分别为A B 、），分别与x 轴相交于C D 、，若AB 与y 轴相交于点Q ，点()0,2M x 在抛物线C 上，且3MF =（F 为抛物线的焦点）.（1）求抛物线C 的方程；（2）①求证：四边形PCQD 是平行四边形.②四边形PCQD 能否为矩形？若能，求出点Q 的坐标；若不能，请说明理由.21. （本小题满分12分）已知函数2()2ln f x x x x =-，函数2()(ln )a g x x x x=+-，其中a R ∈，0x 是()g x 的一个极值点，且0()2g x =. （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）求实数0x 和a 的值； （3）证明：11ln(2n 1).(n )2nk N +=>+∈（二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答．如果多做，那么按所做的第一题计分．22．（本小题满分10分）【选修4—4：坐标系与参数方程】在平面直角坐标系xoy 中，曲线1C ：2cos 2sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数），在以平面直角坐标系的原点为极点、x 轴的正半轴为极轴，且与平面直角坐标系xoy 取相同单位长度的极坐标系中，曲线2C ：πsin 16ρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭．（1）求曲线1C 的普通方程以及曲线2C 的平面直角坐标方程；（2）若曲线1C 上恰好存在三个不同的点到曲线2C 的距离相等，求这三个点的极坐标．23．（本小题满分10分）【选修4—5：不等式选讲】已知()()()(),0,,11,212a b a b b a f x x x ∈+∞-=-=++-. （1）求22a b +的最小值；（2）若对任意(),0,a b ∈+∞，都有()()224f x a b ≤+，求实数x 的取值范围.理科数学答案一.选择题1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12C CD B C B D B A D A A二.填空题13. 1 14. 43 15. 516. ①②④三.解答题17. （1）连接．因为，所以．因为，，所以．又，所以．而，所以．（2）因为且交于，，所以，则以为原点建立空间直角坐标系，如图：所以，，，所以，．设平面的法向量，所以令，得．，所以平面的法向量为．由图知，由图知，所以，即二面角的大小为．18.解：(1)由频率分布直方图可得分数在[60,80)之间的学生人数为0.012 5×20×200＝50，在[80,100]之间的学生人数为0.007 5×20×200＝30，所以低于60分的学生人数为120.因此列联表为又K 2＝200×(80×50－30×40)120×80×110×90≈16.498＞6.635，所以有99%的把握认为是否为“文科方向”与性别有关．(2)易知从该校高一学生中随机抽取1人，则该人为“文科方向”的概率为p ＝80200＝25. 依题意知ξ～B ⎝⎛⎭⎫3，25，所以P (ξ＝i )＝C i 3⎝⎛⎭⎫25i ⎝⎛⎭⎫1－253－i (i ＝0,1,2,3)，所以ξ的分布列为所以期望E (ξ)＝np ＝65，方差D (ξ)＝np (1－p )＝1825.19. 解析：（1）因为n ，n a ，n S 成等差数列，所以2n n S n a +=，① 所以()()11122n n S n a n --+-=≥．②① －②，得1122n n n a a a -+=-，所以()()11212n n a a n -+=+≥． 又当1n =时，1112S a +=，所以11a =，所以112a +=， 故数列{}1n a +是首项为2，公比为2的等比数列，所以11222n n n a -+=⋅=，即21nn a =-．（2）根据（1）求解知，()22log 121121n n b n =+--=-，11b =，所以12n n b b +-=， 所以数列{}n b 是以1为首项，2为公差的等差数列．又因为11a =，23a =，37a =，415a =，531a =，663a =，7127a =，8255a =， 64127b =，106211b =，107213b =，所以()()1210012107127c c c b b b a a a +++=+++-+++L L L ()()127107121322272⨯+⎡⎤=-+++-⎣⎦L()72121072147212-⨯=-+-2810729=-+11202=．20. 解：（1）因为232pMF =+=,所以2p =，即抛物线C 的方程是24x y = （2）由24x y =得24x y =，'2x y =.设221212,,,44x x A x B x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则直线PA 的方程为()211142x x y x x -=-， ① 则直线PB 的方程为()222242x xy x x -=-，② 由①和②解得：1212,24x x x x x y +==，所以1212,24x x x x P +⎛⎫ ⎪⎝⎭设点()0,Q t ，则直线AB 的方程为y kx t =+由24x yy kx t⎧=⎨=+⎩得2440x kx t --= ,则12124,4x x k x x t +==- 所以()2,P k t -，所以线段PQ 被x 轴平分，即被线段CD 平分， 在①中，令0y =解得12x x =，所以1,02x C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，同理得2,02x D ⎛⎫⎪⎝⎭，所以线段CD 的中点， 坐标为12,04x x +⎛⎫⎪⎝⎭，即(),0k ， 又因为直线PQ 的方程为ty x t k=-+，所以线段CD 的中点(),0k 在直线PQ 上， 即线段CD 被线段PQ 平分,因此，四边形PCQD 是平行四边形。
2020届河北衡水金卷新高考原创考前信息试卷(二十)理科数学
2020届河北衡水金卷新高考原创考前信息试卷（二十）理科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题:本大题共12小题，每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.在复平面内,复数1i i +对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限C.第三象限D.第四象限 2.已知集合A=2{1,2,3},{|40},B x x x m =++=若A∩B={1} ,则B=( )A.{1,3}B. {1,-3}C. {1,5}D. {1,-5}3.已知某地区初中水平及以上的学生人数如图所示.为了解该地区学生对新型冠状病毒的了解程度，拟采用分层抽样的方法来进行调查。
若高中生需抽取的20名学生，则抽取的学生总人数为（ ）A.40B.60C.120D.3604.在△ABC 中,AB c AC b ==u u u r u u u r ,若点D 满足1,2BD DC =u u u r u u u r 则AD =u u u r () 12.33A b c + 21.33B b c + 41.33C b c - 11.22D b c + 5.圆2266x y x y +=+上到直线x +y-2 =0的距离为1的点的个数为( )A.1B.2C.3D.4 6.已知函数f(x)是定义在R 上的偶函数,在区间(0, +∞)上单调递增,且f( -1) =0,则(21)()0x f x -⋅>的解集为( )A.(-∞，-1) ∪(1, +∞)B.( -1,0)∪(0,1)C.( -∞,-1)∪(0,1)D.( -1,0)∪(1, +∞)7.已知关于x 的方程sinx + cosx = a 在区间[0,2π]恰有两个根α ,β,则sin(α +β) +cos(α +β)=()A.1B. -1C.1或-1D.2a8.某几何体的三视图如图所示(单位:cm)，则该几何体的体积(单位:cm³ )是( )1.6A 31.B 1.2C 5.6D 9.一个球从h 米高处自由落下，每次着地后又跳回到原高度的一半再落下,当它第10次着地时,全程共经过( )米8.2h A 9.2h B 8.32h C h - 9.32h D h - 2510.(2)x x y ++的展开式中,25x y 的系数为( )A.30B.40C.60D.12011.已知双曲线2222:1(30)x y C b a a b-=>>的左右焦点分别为12,F F ,3的直线过点2F 且交C 于A,B 两点.若212||2||BF F F =,则C 的离心率为( )32.2A 27B + .25C + .23D +12.已知三次函数322()3(3x f x ax a x b a =+-+>0)有两个零点,若方程)0[(]f x f '=有四个实数根,则实数a 的范围为( )AB)C +∞D 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分。
2020届河北衡水金卷新高考原创押题考试(四)理科数学
2020届河北衡水金卷新高考原创押题考试（四）数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数21a i i -+为纯虚数（其中i 是虚数单位），则实数a 的值为（ ） A. 2-B. 1-C. 1D. 2【答案】D【解析】【分析】化简复数为a bi +(),a b R ∈,然后由复数的实部等于零且虚部不等于零,求出实数a 即可.【详解】Q 2(2)(1)221(1)(1)22a i a i i a a i i i i ----+==-++-为纯虚数， ∴2020a a -=⎧⎨+≠⎩，即2a =． 故选:D【点睛】本题考查复数的除法运算和复数的基本概念;属于基础题.2.设集合A={1,-}0,1,2，1{|1}B x x =<，则A B I 的真子集个数为（ ） A. 1B. 3C. 5D. 7 【答案】B【解析】【分析】利用分式不等式的解法求出集合B ,由集合的交运算求出A B I ，再由真子集的定义求出集合A B I 的真子集即可.【详解】由11x<得，110x -<，∴10x x ->， 1x ∴>或0x <,所以集合}{10B x x x =><或， 又因为A={1,-}0,1,2,所以{}1,2A B =-I ，即A B I 的真子集为{}{}1,2,φ-,所以A B I 的真子集个数为2213-=.故选:B【点睛】本题考查集合的交运算和集合真子集个数的求解;属于基础题、常考题型.3.若平面向量,a b r r 满足()2a b b -⊥r r r ，则下列各式恒成立的是（ ） A. a b a +=r r r B. a b b +=r r r C. a b a -=r r r D. a b b -=r r r【答案】C【解析】【分析】 根据向量垂直，推出()20a b b -⋅=r r r ，解得22a b b ⋅=r r r ，配凑2222a b a b a +-⋅=r r r r r ，即可求解. 【详解】∵()2a b b -⊥r r r ，∴()20a b b -⋅=r r r ，即22a b b ⋅=r r r ，∴2222a b a b a +-⋅=r r r r r ，即a b a -=r r r . 故选：C.【点睛】本题考查向量垂直关系转化成数量积，运用配凑法构造模长关系，属于基础题.4.已知m ，n 是两条不同直线，α是一个平面，m α⊄，n α⊂，则“m //n ”是“m //α”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据线面平行的性质结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】若m //n 由线面平行的定义知m //α成立，即充分性成立，若m //α，则m 与n 可能平行可能异面直线，故必要性不成立，即“m //n ”是“m //α”的充分不必要条件，故选A ．【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合线面平行的性质定理是解决本题的关键．5.公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”，利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出的n 值为（ ）（参考数据：003 1.732,sin150.2588,sin750.9659≈≈≈ ）A. 48B. 36C. 24D. 12【答案】C【解析】【分析】 由6n =开始，按照框图，依次求出s ，进行判断．【详解】00116s 6sin60 2.598,n 12s 12sin303,22n =⇒=⨯≈=⇒=⨯= 01n 24s 24sin152=⇒=⨯ 3.1058≈，故选C. 【点睛】框图问题，依据框图结构，依次准确求出数值，进行判断，是解题关键．6.函数622log ()14x f x x =+-的大致图象为（ ） A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】首先根据()f x 为偶函数排除BC 选项，在根据特殊值排除A 选项，从而得出正确选项.【详解】由于()f x 的定义域为()()()(),22,00,22,-∞-⋃-⋃⋃+∞且()()f x f x -=，所以()f x 为偶函数，图像关于y 轴对称，排除BC 选项.由于()612222log 4log 241111214412f =+=+=+=>-，所以A 选项错误.所以正确的为D.故选：D【点睛】本小题主要考查函数图像的判断，考查函数的奇偶性，属于基础题.7.设ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且22cos b c B a +=，则A ∠的大小为（ ） A. 30°B. 60︒C. 120︒D. 150︒【答案】C【解析】【分析】利用正弦定理把边化成角,再由()C A B π=-+和两角和的正弦公式进行展开化简,求出cos A 即可.【详解】根据题意,由正弦定理可得：sin 2sin 2cos sin B C B A +=， 即sin 2sin 2cos sin B C B A +=，因为()C A B π=-+,∴sin 2sin()sin 2sin cos 2cos sin 2cos sin B A B B A B A B B A ++=++=，sin 2cos sin 0B A B ∴+=，sin 0B ≠Q ，12cos 0A ∴+=，解得1cos 2A =-，(0,180)A ∈︒︒Q ，120A ∴=︒. 故选：C【点睛】本题考查利用正弦定理边化角和两角和的正弦公式求三角形内角;属于中档题、常考题型. 8.若函数()121x a f x =--的图象关于原点对称，则实数a 等于（ ） A. 2-B. 1-C. 1D. 2【答案】A【解析】【分析】由题意知，函数()f x 为奇函数,利用()()0f x f x -+=,化简整理即可求出实数a .【详解】因为函数()121x a f x =--的图象关于原点对称， 所以函数()f x 为奇函数，则有()()0f x f x -+=， 即(1)(1)02121x x a a --+-=--，化简可得，(21)2021x x a -+=-， 解可得2a =-.故选:A【点睛】本题考查奇函数的定义和性质;根据题意,挖掘题中隐含的条件:函数()f x 为奇函数是求解本题的关键;属于中档题.9.在(3)(1)(*)n x x n N -+∈的展开式中，已知各项系数之和为64，则3x 的系数是（ ）A. 10B. 20C. 30D. 40【答案】B【解析】【分析】 令1x =,可得展开式各项系数和为1264n +=,据此求出n ,对于()1nx +利用二项式定理展开即可求解. 【详解】在(3)(1)(*)n x x n N -+∈的展开式中，令1x =，则展开式各项系数之和为1264n +=，5n ∴=，则55432(3)(1)(3)(1)(3)(5101051)n x x x x x x x x x x -+=-+=-+++++，则3x 的系数是301020-=，故选：B【点睛】本题考查利用二项式定理求展开式中某项的系数; 令1x =,求出各项系数和是求解本题关键;属于基础题、常考题型.10.如图是函数()sin()f x x ωϕ=+（其中0>ω，0)ϕπ<<的部分图象，则5()6f π-的值为（ ）A. 2-B. 22C. 22-D. 12- 【答案】B【解析】【分析】结合正弦函数的图象知,354122T ππ-=,据此求出ω,再根据五点法作图可得()532,12k k z πϕπ⨯+=∈,求出ϕ即可求解. 【详解】由题意知,354122T ππ-=，因为2T πω=，所以3ω=， 再根据五点法作图可得()532,12k k z πϕπ⨯+=∈， 因为0ϕπ<<，34πϕ∴=，∴函数3()sin(3)4f x x π=+， 则55332()sin()sin()sin 624244f ππππππ-=-+=-+= 故选：B【点睛】本题考查结合正弦函数的图象与性质求()sin y x ωϕ=+的解析式;考查数形结合的思想和等价转化的思想;属于中档题、常考题型.11.若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上存在点P 与右焦点F 关于其渐近线对称，则该双曲线的离心率（ ） A. 2 B. 3 C. 2 D. 5【答案】D【解析】【分析】根据题意知,过右焦点F (),0c 且垂直渐近线b y x a =的直线方程为：0()a y x c b -=--， 联立渐近线方程b y x a=与0()a y x c b -=--，求出对称中心的点坐标,再利用中点坐标公式求出点P 的坐标,把点P 代入双曲线的方程即可求解. 【详解】根据题意知,过右焦点F (),0c 且垂直渐近线b y x a =的直线方程为：0()a y x c b -=--， 联立渐近线方程b y x a=与0()a y x c b -=--， 解之可得2a x c=，ab y c =，故对称中心的点坐标为2(a c ，)ab c ， 设点()00,P x y ，由中点坐标公式可得200202c x a c y ab c⎧+=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩,解得20022a x c c ab y c ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩, 所以对称点P 的坐标为22(a c c-，2)ab c ， 将点P 代入双曲线的方程可得222222222(2)41a c a b a c b c--=， 结合222+=a b c ，化简可得225c a =，故可得c e a==． 故选:D【点睛】本题主要考查双曲线的几何性质,两直线的位置关系,意在考查学生对数学知识的熟练掌握程度和综合运用能力、运算能力;属于中档题.12.设max{,}p q 表示p ，q 两者中较大的一个，已知定义在[0,2]π的函数()max{2sin ,2cos }f x x x =，满足关于x 的方程22()(12)()0f x m f x m m +-+-=有6个不同的解，则m 的取值范围为（ ）A. (-B. (1,1+C. 2)D. (1+【答案】C【解析】【分析】根据题干得到()f x m =或()1f x m =-，画出函数(){}max 2sin ,2cos f x x x =的图像，找()f x m =和()1f x m =-与(){}max 2sin ,2cos f x x x =的交点个数使得交点有6个即可.【详解】由()()()22120f x m f x m m +-+-=，可得()f x m =或()1f x m =-.函数(){}max 2sin ,2cos f x x x =的图像如图所示，所以22212m m ⎧<<⎪⎨-<-<⎪⎩，解得22m <<.故答案为C.【点睛】这个题目考查了复合函数方程根的问题，一般先找到内外层，分别研究内外层函数的根即可得到结果.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上13.如图，EFGH 是圆O 的内接正方形，将一颗豆子随机扔到圆O 内，记事件A ：“豆子落在正方形EFGH 内”，事件B ：“豆子落在扇形OEH （阴影部分）内”，则条件概率(|)P B A =__．【答案】14【解析】【分析】利用与面积有关的几何概型公式求出()(),P A P AB ,然后代入条件概率公式()()()P AB P B A P A =即可求解.【详解】如图,设正方形边长为a，由几何概型的概率公式可得,P（A）2222()aππ==⨯，21122()22()aaP ABaππ⨯==⨯，∴由条件概率公式可得,1()12(|)2()4P ABP B AP Aππ===．故答案为：14【点睛】本题考查与面积有关的几何概型和条件概率的求解;熟练掌握概率公式是求解本题的关键;属于中档题、常考题型.14.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为__【答案】14π【解析】【分析】通过分析三视图,得出该几何体是圆柱，挖去一部分，然后结合图中数据,代入圆柱的体积公式求解即可. 【详解】根据几何体的三视图，得出该几何体是圆柱，挖去一部分，如图:结合图中数据知,该几何体的体积2212424148Vπππ=⨯⨯-⨯⨯⨯=.故答案为：14π【点睛】本题考查三视图还原几何体及求几何体的体积;根据三视图正确还原几何体是求解本题的关键;重点考查学生的空间想象能力属于中档题、常考题型.15.化简()2tan122cos 121sin12︒︒︒=-________. 【答案】8【解析】【分析】由二倍角公式得出22cos 121cos 24︒︒-=，再将分子分母同乘以cos12︒结合商数关系化简得出sin12cos 24sin12cos12︒︒︒︒︒-，逆用两角差的正弦公式，二倍角的正弦公式求解即可.【详解】原式()sin122sin 60122sin 48cos12811cos24sin12sin 48sin 4844︒︒︒︒︒︒︒︒︒-=====. 故答案为：8【点睛】本题主要考查了利用两角差的正弦公式，商数关系以及二倍角公式化简求值，属于中档题.16.已知函数22ln 3()x x f x m x++=+，若01,4x ⎡⎫∃∈+∞⎪⎢⎣⎭，使得00(())f f x x =，则m 的取值范围是______【答案】[0)-【解析】【分析】由题意，设()0t f x =，得()00f x x =有零点，化简得2ln 3x m x+-=，转化为直线y m =-与()2ln 3x g x x+=有交点，利用导数求得函数()g x 的单调性与最值，结合图象，即可求解． 【详解】由题意，设()0t f x =，∵()()00f f x x =，∴()0f t x =，∴()00f x x =有零点， 即()22ln 3x x f x m x x++=+=，整理得2ln 3x m x +-=， 即直线y m =-与()2ln 3x g x x +=有交点，又由()22ln 1'x g x x +=-，（1 4x ≥），令()'0g x =，解得ex e=， 当1,4e x ⎡⎫∈⎪⎢⎪⎣⎭时，()'0g x >，函数()g x 单调递增， 当,e x ⎡⎤∈+∞⎢⎥⎣⎦时，()'0g x <，函数()g x 单调递减， ∴()2max e g x g e ⎛⎫== ⎪⎪⎝⎭， 又()143ln1604g ⎛⎫=->⎪⎝⎭，当x →+∞时，()0g x →， 分别画出y m =-与()y g x =的图象，如图所示；由图象可得当02m e <-≤，即20e m -≤<时，y m =-与()y g x =有交点， 故答案为)2,0e ⎡-⎣．【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的零点问题，其中解答中函数的零点问题转化为直线y m =-与()2ln 3x g x x+=有交点，再利用导数求得函数的单调性与最值，结合图象求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及转化思想的应用．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.已知数列{}n a 满足11a =，且112n n a a n +-=+，其中*n N ∈． （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）求证：12311111211n n a a a a n +++++⋯+<+． 【答案】（Ⅰ）2n a n =；（Ⅱ）见详解.【解析】 【分析】（Ⅰ）根据题意,121n n a a n +-=+,利用累加法求出数列{}n a 的通项公式即可;（Ⅱ）由（Ⅰ）知,2n a n =，利用放缩法知，211111(1)1n a n n n +=<-++,再由裂项相消法求和即可证明. 【详解】（Ⅰ）因为数列{}n a满足11a =，且112n n a a n +-=+，即121n n a a n +-=+， 由累加法得，()()()112211n n n n n a a a a a a a a ---=-+-+⋅⋅⋅+-+， 即()()()22112123312n n n a n n n -+=-+-+⋅⋅⋅++==，故数列{}n a 的通项公式为2n a n =.（Ⅱ）证明：因为211111(1)1n a n n n +=<-++， 所以1231111111111112231n a a a a n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⋅⋅⋅+<+-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 因为11111121112223111n n n n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+-+⋅⋅⋅+-=-= ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 即12311111211n n a a a a n +++++⋯+<+. 【点睛】本题主要考查累加法求通项公式、裂项相消法求和和利用放缩法证明不等式;考查推理论证能力、运算求解能力；累加法和放缩法的应用是求解本题的关键;属于中档题. 18.如图，在四边形ABCD 中，//AB CD ，23BCD π∠=，四边形ACFE 为矩形，且CF ⊥平面ABCD ，AD CD BC CF ===.（1）求证：EF ⊥平面BCF ；（2）点M 在线段EF 上运动，当点M 在什么位置时，平面MAB 与平面FCB 所成锐二面角最大，并求此时二面角的余弦值. 【答案】（1）见解析；（2）77【解析】【详解】试题分析：（Ⅰ）在梯形ABCD 中，设1AD CD BC ===，题意求得2AB =,再由余弦定理求得23AB =,满足222AB AC BC =+,得则BC AC ⊥.再由CF ⊥平面ABCD 得AC CF ⊥，由线面垂直的判定可.进一步得到AC 丄平面BCF ;（Ⅱ）分别以直线,,CA CB CF 为:x 轴，y 轴轴建立如图所示的空间直角坐标系，设1AD CD CF === ,令FM λ=()03λ≤≤得到,,,C A B M 的坐标，求出平面MAB 的一法向量.由题意可得平面的FCD 一个法向量，求出两法向量所成角的余弦值，可得当λ0=时，有最小值为7,此时点M 与点F 重合. 试题解析：（Ⅰ）证明：在梯形ABCD 中，∵//AB CD ,设1AD CD BC ===， 又∵23BCD π∠=,∴2AB =,∴2222cos603AC AB BC AB BC =+-⋅⋅︒= ∴222AB AC BC =+.则BC AC ⊥. ∵CF ⊥平面ABCD ,AC ⊂平面ABCD ，∴AC CF ⊥,而CF BC C =I ,∴AC ⊥平面BCF .∵//EF AC ,∴EF ⊥平面BCF . （Ⅱ）解：分别以直线,,CA CB CF 为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，设1AD CD BC CD ====，令(03FM λλ=≤≤， 则())()()0,0,0,3,0,0,0,1,0,,0,1C AB M λ，∴()()3,1,0,,1,1AB BM λ=-=-u u u v u u u u v 设(),,n x y z =v为平面MAB 的一个法向量，由n ABn BM⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u vvu u u u vv得30x yx y zλ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩，取1x=，则()1,3,3nλ=-v，∵()1,0,0m=v是平面FCB的一个法向量，∴()()22cos,133134n mn mn mλλ⋅===++-⨯-+v vv vv v∵03λ≤≤，∴当0λ=时，cosθ有最小值为77，∴点M与点F重合时，平面MAB与平面FCB所成二面角最大，此时二面角的余弦值为7.19.大型中华传统文化电视节目《CCTV中国诗词大会》以“赏中华诗词，寻文化基因，品生活之美”为宗旨，深受广大观众喜爱，各基层单位也通过各种形式积极组织、选拔和推荐参赛选手．某单位制定规则如下：（1）凡报名参赛的诗词爱好者必须先后通过笔试和面试，方可获得入围CCTV正赛的推荐资格；（2）笔试成绩不低于85分的选手进入面试，面试成绩最高的3人获得推荐资格．在该单位最近组织的一次选拔活动中，随机抽取了一个笔试成绩的样本，据此绘制成频率分布直方图（如图1)．同时，也绘制了所有面试成绩的茎叶图（如图2，单位：分）．（Ⅰ）估计该单位本次报名参赛的诗词爱好者的总人数；（Ⅱ）若从面试成绩高于（不含）中位数的选手中随机选取3人，设其中获得推荐资格的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望Eξ．【答案】（Ⅰ）60人；（Ⅱ）分布列见解析，97Eξ=【解析】【分析】（Ⅰ）由频率分布直方图求出对应的频率,利用茎叶图估计所求的总人数即可;（Ⅱ）根据题意知,ξ可能的取值为0,1,2,3,计算对应概率,列出分布列,代入数学期望公式求解即可. 【详解】（Ⅰ）由频率分布直方图知，笔试成绩不低于85分的频率为230.2523762a aa a a a a+=++++，由茎叶图知，参加面试的人数为15人，所以估计该单位本次报名参赛的诗词爱好者的总人数为150.2560÷=（人)； （Ⅱ）面试成绩高于（不含）中位数的选手有7人，其中获得推荐资格的有3人， 所以从7人中随机选取3人，获得推荐资格的人数0ξ=，1，2，3，计算()0334374035C C P C ξ===,()12343718135C C P C ξ===, ()21343712235C C P C ξ===,()3034371335C C P C ξ===, 所以随机变量ξ的分布列为：所以数学期望为41812190123353535357E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=． 【点睛】本题考查频率分布直方图和茎叶图的应用及利用排列组合、二项式定理求随机变量的分布列、数学期望;考查学生的运算能力;属于中档题、常考题型.20.设动圆P 经过点(1,0)F -，且与圆22:270(G x y x G +--=为圆心）相内切．（Ⅰ）求动圆圆心P 的轨迹E 的方程；（Ⅱ）设经过F 的直线与轨迹E 交于A 、B 两点，且满足GH GA GB =+u u u u r u u u r u u u r的点H 也在轨迹E 上，求四边形GAHB 的面积．【答案】（Ⅰ）2212x y +=；（Ⅱ）S =【解析】 【分析】（Ⅰ）因为圆G 的圆心(1,0)G，半径为P 与圆G 相内切，利用椭圆的定义可知,动圆圆心P 的轨迹是以F ，G为焦点且长轴长为（Ⅱ）设直线l 的方程为1x ty =-，(t 一定存在），代入2222x y +=，并整理得22(2)210t x ty +--=，利用韦达定理、向量的坐标运算,结合已知条件即可求解. 【详解】（Ⅰ）由已知可得,圆G 的圆心(1,0)G，半径为 由圆P 与圆G相内切，得||||2PF PG +=>， 由椭圆定义可知，动圆圆心P 的轨迹是以F ，G 为焦点且长轴长为2212x y +=．（Ⅱ）设直线l 的方程为1x ty =-，(t 一定存在），代入2222x y +=，并整理得22(2)210t x ty +--=，所以判别式△2244(2)0t t =++>恒成立， 设1(1A ty -，1)y ，2(1B ty -，2)y ，由韦达定理可得,12222ty y t +=+,12212y y t -=+, 设0(H x ，0)y ,则()()()0011221,,2,,2,GH x y GA ty y GB ty y =-=-=-u u u r u u u r u u u r由GH GA GB =+u u u u r u u u r u u u r，得012012122x ty ty y y y -=-+-⎧⎨=+⎩，即2012201226()3222t x t y y t ty y y t ⎧+=+-=-⎪⎪+⎨⎪=+=⎪+⎩，即22262,22t t H t t ⎛⎫+- ⎪++⎝⎭，又点H 在轨迹E 上，故2222222(6)412(2)(2)t t t t ++=++， 即4212280t t --=，解得214t =，（舍负），因为GH GA GB =+u u u u r u u u r u u u r,所以四边形GAHB 为平行四边形,所以平行四边形GAHB 的面积为12S FG y y =⋅-==即S ==因为214t =，所以四边形GAHB 的面积为S ． 【点睛】本题考查椭圆的定义及其几何性质、直线与椭圆的位置关系；重点考查学生的运算求解能力；方程思想和韦达定理的应用与向量的坐标运算相结合是求解本题的关键;属于综合型强、难度大型试题. 21.已知函数()a lnxf x x+=，其中a 为常数， 2.71828e ≈为自然对数的底数． （Ⅰ）若()f x 在区间[1，]e 上的最小值为1，求a 的值；（Ⅱ）若“00x ∃>，使00()1x f x e >-”为假命题，求a 的取值范围． 【答案】（Ⅰ）1a e =-；（Ⅱ）1a … 【解析】 【分析】（Ⅰ）求得函数()f x 的导数()'fx ,利用导数()'f x 判断函数()f x 的单调性,求函数()f x 的极值即最值,由题意知, 函数()f x 的最小值只能在1x =或x e =处取得,分别解方程求解即可.（Ⅱ）若“00x ∃>，使00()1x f x e >-”为假命题，等价于0x ∀>，()1x f x e -…为真命题,即0x ∀>，x a lnx xe x +-…恒成立,通过分离参数法和构造函数法,令()()x g x xe lnx x =-+,结合导数判断函数()g x 的单调性,由零点存在性定理求出函数()g x 的最小值,进而求出实数a 的取值范围即可. 【详解】（Ⅰ）由题意知,函数()a lnx f x x +=的导数为21()a lnxf x x --'=， 所以当10a x e -<<时，()0f x '>，()f x 单调递增， 当1a x e ->时，()0f x '<，()f x 单调递减，所以当1a x e -=时()f x 有极大值即最大值，即有()f x 的最小值只能在1x =或x e =处取得． 若f （1）1=,解得1a =,此时()f e 21e=<与函数()f x 最小值为1相矛盾， 故1a =不符合题意；若f （e ）1=，解得1a e =-，此时()1f 11e =->符合题意； 综上可知1a e =-；（Ⅱ）若“00x ∃>，使00()1x f x e >-”为假命题， 即0x ∀>，()1x f x e -…为真命题， 等价于0x ∀>，可得x a lnx xe x +-…恒成立, 化简可得0x ∀>，()x a xe lnx x -+…恒成立，令()()x g x xe lnx x =-+,则11()(1)(1)(1)()x xg x x e x e x x'=+-+=+-，令1()xh x e x =-，则1()xh x e x=-在()0,∞+上单调递增，因为1()202h =<,()1h 10e =->，由零点存在性定理知,函数()h x 在1(2，1)存在唯一零点t ，即有1()0th t e t=-=，则1t te =，两边同时取以e 为底的对数可得，0t lnt +=，所以当0x t <<时，()0h x <，即()0g x '<，()g x 单调递减， 当x t >时，()0h x >，即()0g x '>，()g x 单调递增， 所以当x t =时,函数()g x 有极小值即最小值,()()min ln 1t g x g t te t t ==--=，所以实数a 的取值范围为1a …．【点睛】本题考查利用导数判断函数的单调性,求函数的极值、最值;通过构造函数,判断函数的单调性、求最值，解决恒成立问题是求解本题的关键;重点考查学生的运算求解能力、转化与化归能力;属于综合型强、难度大型试题.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一题计分22.已知直线112:2x t l y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴且两坐标系中具有相同的长度单位，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为2sin (3)a a ρθ-=>-. （1）将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）若曲线C 与直线l 有唯一公共点，求实数a 的值.【答案】（1）(223y x a +=+,()3a >- （2）94a =-【解析】 【分析】（1）由极坐标方程与直角坐标方程转化公式，代入即可得解.（2）将直线参数方程化为普通方程，利用直线与圆相切的性质即可求得a 的值. 【详解】（1）曲线C的极坐标方程为2sin (3)a a ρθ-=>-.化为直角坐标方程可得22a y x -=+化为标准方程可得(223y x a -+=+，()3a >-（2）直线112:x t l y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），0y -= 由（1）可知曲线C:(223y x a +=+为圆因为曲线C 与直线l 有唯一公共点，由点到直线距离公式可知d ==解得94a =-【点睛】本题考查了极坐标与直角坐标方程的转化，参数方程化为普通方程，直线与圆的位置关系应用，属于中档题.23.已知0a >，0b >，记A =，B a b =+.（1B -的最大值；（2）若4ab =，是否存在,a b ，使得6A B +=？并说明理由. 【答案】（1）1 （2）存在,理由见解析. 【解析】 【分析】 （1）将A =，B a b =+B -中，配成二次函数形式，结合二次函数性质即可求得最大值.（2）假设存在,a b ，使得6A B +=和4ab =,x y ==将方程组化简后再令,t x y =+可得关于t 的一元二次不等式.结合判别式即可判断是否存在正数解，即可判断是否存在,a b .【详解】（1）0a >，0b >，记A =，B a b =+B -()a b =-+a b =--+221212⎫-+≤⎪⎪⎭⎭=- 当且仅当12a b ==时取等号B -的最大值为1（2）存在,a b ，使得6A B +=.理由如下: 假设存在,a b ，使得6A B +=.则64A B a b ab ⎧+=+=⎪⎨=⎪⎩,0,0x y x y ==>>则方程组可化为2262x y x y xy ⎧+++=⎨=⎩令,0t x y t =+>将上述方程组化为2100t t +-=则1410410∆=+⨯=>且12100t t =-<所以2100t t +-=由正实数根，即存在正数t 满足方程 因此存在,x y 使得t 为正数也就存在,a b ，使得6A B +=，4ab =同时成立【点睛】本题考查了方程和不等式的综合应用，由二次函数性质求最值，一元二次方程的根与判别式关系的应用，属于中档题.。
2020届河北衡水金卷新高考原创押题考试(五)理科数学
2020届河北衡水金卷新高考原创押题考试（五）理科数学一、单选题1.已知集合1|244x A x ⎧⎫=≤⎨⎬⎩⎭…，{|B y y ==，则A B =I （ ） A. {2} B. {0} C. [2.2]- D. [0.2]【答案】B 【解析】 【分析】分别计算集合[2,2]A =-，集合{0}B =，再求A B I .【详解】由1244x剟，得22x -剟，即[2,2]A =-，由y =，得2x =，所以0y =，所以{0}B =，所以{0}A B =I . 故答案选B【点睛】本题考查了集合的交集，属于简单题. 2.设a R ∈，若复数1ia i-+在复平面内对应的点位于实轴上，则a =（ ） A. 2 B. 1C. -1D. -2【答案】C 【解析】 【分析】 化简1i a i -+得()2111a a i a --++，再根据条件求a . 【详解】由于()()()22111111i a i a a ii a i a a ----+-==+++ 由复数1ia i-+在复平面内对应的点位于实轴上. 所以10a +=，所以1a =-.故选：C.【点睛】本题考查复数的除法运算，和复数在复平面上对应的点，属于基础题.3.l 、m 、n 表示空间中三条不同的直线，α、β表示不同的平面，则下列四个命题中正确的是（ ） A. 若m α⊂，n β⊂，//αβ，则//m n B. 若m α⊂，n β⊂，//m β，//n α，则//αβC. 若l αβ=I ，m α⊂，n β⊂，l m ⊥，l n ⊥，则αβ⊥D. 若m α⊂，n β⊂，m β⊥，n α⊥，则αβ⊥ 【答案】D 【解析】 【分析】逐一分析各选项中命题的正误，可得出合适的选项.【详解】对于A 选项，若m α⊂，n β⊂，//αβ，则m 与n 无公共点，所以m 与n 平行或异面，A 选项错误；对于B 选项，若m α⊂，n β⊂，//m β，//n α，则α与β平行或相交，B 选项错误；对于C 选项，若l αβ=I ，m α⊂，n β⊂，l m ⊥，l n ⊥，则α与β斜交或垂直，C 选项错误； 对于D 选项，若m α⊂，n β⊂，m β⊥，n α⊥，由平面与平面垂直的判定定理可得αβ⊥，D 选项正确. 故选：D.【点睛】本题考查线面关系、面面关系有关命题真假的判断，可以利用空间中平行、垂直的判定和性质定理进行判断，也可以利用几何体模型来进行判断，考查推理能力，属于中等题.4.已知a v ，b v 为互相垂直的单位向量，若c a b =-v v v，则cos ,b c =v v （ ）A. 2-B.2C. D.【答案】A 【解析】【分析】利用向量夹角公式即可得到结果.【详解】代数法：cos ,b a b b c b c b c ⋅-⋅<>==⋅r r r r r r rr r22===-r r r ，故选A. 【点睛】本题考查向量夹角公式，考查向量的运算法则及几何意义，考查学生的运算能力与数形结合能力，属于基础题.5.设12,F F 分别为椭圆()222:11x E y a a+=>的左、右焦点，过2F 且垂直于x 轴的直线与E 相交于,A B 两点，若1F AB ∆为正三角形，则a = （）A.2C.32D. 2【答案】A 【解析】 【分析】由2F A x ⊥ 轴，可求出2AF ，在12Rt AF F ∆中可以建立关于a 的方程，求解出a . 【详解】设2(,0),F c 由2F A x ⊥ 轴，则(,)A c y ，则222222211c a c y a a a -=-==，1221F F AF a ==， 在12Rt AF F ∆中，122tan60F F AF =. 1a =，即424430a a --=，解得232a =， a =故选：A【点睛】本题考查椭圆的基本性质，求椭圆方程中的参数，属于基础题. 6.设x,y,z 是互不相等的正数，则下列不等式中不恒成立的是（ ）A. 2211x x x x++≥C. 12x y x y-+≥- D. x y x z y z -≤-+- 【答案】C 【解析】【详解】试题分析：x y x z z y x z z y x z y z -=-+-≤-+-=-+-，故D 恒成立； 由于函数()1f x x x=+,在(]0,1单调递减；在[)1,+∞单调递增, 当1x >时, ()()221,x x f x f x >>>即2211x x x x +>+,当01x <<,()()2201,x x f x f x <<即2211x x x x++≥正确，即A 正确；=<=,故B 恒成立，若1x y -=-,不等式12x y x y-+≥-不成立, 故C 不恒成立,故选C ． 考点：1、基本不等式证明不等式；2、单调性证明不等式及放缩法证明不等式． 7.在ABC ∆中，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若60A =︒，a =3b c +=，则ABC ∆的面积为( )D. 2【答案】B 【解析】 【分析】根据余弦定理求得bc ,再根据三角形面积公式即可求解.【详解】在ABC ∆中,60A =︒,a =3b c +=由余弦定理2222cos a b c bc A =+-代入可得223b c bc =+-,即()233b c bc =+-所以2bc =则ABC ∆的面积1133sin 22222ABC S bc A ∆==⨯⨯=故选:B【点睛】本题考查了余弦定理在解三角形中的应用,三角形面积公式的应用,属于基础题.8.在平面直角坐标系xOy 中，已知2111ln 0x x y --=，2220x y --=，则()()221212x x y y -+-的最小值为( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】B 【解析】根据条件得到()()221212x x y y -+-表示的是曲线2111ln x x y -=，222x y -=上两点的距离的平方，∵y=x 2﹣lnx ，∴y′=2x﹣1x（x ＞0）， 由2x ﹣1x=1，可得x=1，此时y=1， ∴曲线C 1：y=x 2﹣lnx 在（1，1）处的切线方程为y ﹣1=x ﹣1，即x ﹣y=0，与直线x ﹣y ﹣2=0的距离为2=2， ∴()()221212x x y y -+-的最小值为2． 故答案为B ．点睛：本题考查两点间距离的计算，考查导数知识的运用，求出曲线C 1：y=x 2-lnx 与直线x-y-2=0平行的切线的方程是关键．注意做新颖的题目时，要学会将新颖的问题转化为学过的知识题型，再就是研究导数小题时注意结合函数的图像来寻找灵感，有助于解决题目.9.算筹是在珠算发明以前我国独创并且有效的计算工具，为我国古代数学的发展做出了很大贡献.在算筹计数法中，以“纵式”和“横式”两种方式来表示数字，如图：表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推，遇零则置空，如图：如果把5根算筹以适当的方式全部放入 下面的表格中，那么可以表示的三位数的个数为（ ）A. 46B. 44C. 42D. 40 【答案】B 【解析】 【分析】先按每一位算筹的根数分类，再看每一位算筹的根数能组成几个数字. 【详解】按每一位算筹的根数分类一共有15种情况,如下(5,0,0),(4,1,0),(4,0,1),(3,2,0),(3,1,1),(3,0,2),(2,3,0), (2,2,1),(2,1,2),(2,3,0),(1,4,0),(1,3,1),(1,2,2),(1,1,3),(1,0,4),2根以上的算筹可以表示两个数字，运用分布乘法计数原理， 则上列情况能表示的三位数字个数分别为：2，2，2，4，2，4，4，4，4，4，2，2，4，2，2， 根据分布加法计数原理，5根算筹能表示的三位数字个数为：22242444442242244++++++++++++++=.故选B.【点睛】本题考查分类加法计数原理和分布乘法计数原理，考查分析问题解决问题的能力.10.设抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ,抛物线C 与圆22:(3)3C x y +='交于M ,N 两点,若||6MN =则MNF V 的面积为( )A.2 B.38C.32D.32【答案】B 【解析】 【分析】由圆C '过原点，知,M N 中有一点M 与原点重合，作出图形，由3C M C N ''==，6MN =，得C M C N ''⊥，从而直线MN 倾斜角为4π，写出N 点坐标，代入抛物线方程求出参数p ，可得F 点坐标，从而得三角形面积．【详解】由题意圆C '过原点，所以原点是圆与抛物线的一个交点，不妨设为M ，如图， 由于3C M C N ''==，6MN =，∴C M C N ''⊥，∴4C MN π'∠=，4NOx π∠=，∴点N 坐标为(3,3)，代入抛物线方程得2(3)23p =⨯，32p =， ∴3(,0)4F ，113332248FMN N S MF y ∆=⨯=⨯⨯=． 故选：B.【点睛】本题考查抛物线与圆相交问题，解题关键是发现原点O 是其中一个交点，从而MNC '∆是等腰直角三角形，于是可得N 点坐标，问题可解，如果仅从方程组角度研究两曲线交点，恐怕难度会大大增加，甚至没法求解．11.在内接于球O 的四面体ABCD 中,有AB CD t ==,6AD BC ==,7AC BD ==,若球O 的最大截面的面积是554π,则t的值为( )A. 5B. 6C. 7D. 8【答案】A【解析】【分析】由题意将四面体放入长方体中,由长方体的对角线与外接球的直径相等可求出外接球的半径,球的最大截面既是过球心的圆,由题意求出外接球的半径,进而求出t的值.【详解】将四面体放入到长方体中,AB与CD,AD与BC,AC与BD相当于一个长方体的相对面的对角线,设长方体的长,宽,高分别是,,a b c则22222222276a b tb ca c⎧+=⎪+=⎨⎪+=⎩,∴()2222285a b c t++=+球O的最大截面的面积是554π,球的最大截面即是过球心的大圆,设球的半径为R则2554Rππ=,∴2222(2)55,2R R a b c==++∴2222(2)R a b c=++,255285t∴⨯=+,解得:5t=,故选:A.【点睛】考查三棱锥的外接球的半径的与长方体棱长的关系,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.12.已知函数22()ln(1)f x x x a x=--(a∈R),若()0f x≥在x∈(0,1］时恒成立,则实数a的取值范围是 A.［4,+ ∞） B. [12,+∞) C. [2,+∞) D. [1,+∞)【答案】B 【解析】 【分析】首先将式子化简，将参数a 化为关于x 的函数，之后将问题转化为求最值问题来解决，之后应用导数研究函数的单调性，从而求得函数的最值，在求解的过程中，注意对函数进行简化，最后用洛必达法则，通过极限求得结果.【详解】根据题意，有22ln (1)0,((0,1])x x a x x --≥∈恒成立，当1a ≠时，将其变形为22ln 1x xa x ≥-恒成立，即2max 2ln ()1x x a x ≥-，令22ln ()1x xg x x =-，利用求得法则及求导公式可求得3222ln '()(1)x x x x g x x --=-，令3()2ln h x x x x x=--，可得22'()312ln 232ln 3h x x x x x =---=--，可得26(26233''()6x x x h x x x x x+--=-==，因为(0,1]x ∈，所以(0,)3x ∈时，''()0h x <，,1]3x ∈时，''()0h x >，所以函数)'(h x在(0,3x ∈时单调减，在3x ∈时单调增，即'()132ln ln 32h x h ≥=--=-，而'(1)0h =，所以()h x在上是减函数，且(1)0h =，所以函数()h x在区间上满足()0h x ≥恒成立，同理也可以确定()0h x ≥在上也成立，即'()0g x ≥在(0,1]x ∈上恒成立，即22ln ()1x xg x x =-在(0,1]x ∈上单调增，且22111ln 2ln 2ln 11lim lim lim 1222x x x x x x x x x x x →→→++===-，故所求的实数a 的取值范围是1[,)2+∞，故选B. 点睛：该题属于应用导数研究函数最值的综合问题，在解题的过程中，注意构造新函数，并且反复求导，研究函数的单调性，从而确定出函数值的符号，从而确定出函数的单调性，从而得出函数在哪个点处取得最值，还有需要应用洛必达法则求极限来达到求最值的目的.二、填空题13.已知a 、b 、c 分别是ABC ∆三个内角A 、B 、C 的对边，1cos 2a Bbc +=，则角A 的大小为___________. 【答案】3π 【解析】 【分析】根据正弦定理,将表达式转化为角的表达式,由三角形内角的定理,化简即可求得角A . 【详解】因为a 、b 、c 分别是ABC ∆三个内角A 、B 、C 的对边,1cos 2a Bbc += 由正弦定理可得1sin cos sin sin 2A B B C += 因为sin sin()C A B =+ 展开化简可得1sin cos sin sin cos sin cos 2A B B A B B A +=+ 即1sin sin cos 2B B A = 因为三角形中sin 0B ≠ 则1cos 2A = 解得3A π=故答案:3π 【点睛】本题考查了正弦定理在解三角形中的简单应用,属于基础题.14.现有高一学生两人，高二学生两人，高三学生一人，将这五人排成一行，要求同一年级的学生不能相邻，则不同的排法总数为______. 【答案】48 【解析】 【分析】先求得五个人的全排列,除去相邻的情况,即为同一年级学生不相邻的情况. 【详解】将五个人全排列,共有55A 种;高一学生和高二学生都相邻:捆绑法把高一两个人和高二两个人看成一个整体,再三个团体全排列,共有223223A A A 种. 高一学生相邻,高二学生不相邻:捆绑法把高一学生作为一个整体排列,和高三学生再全排列,将高二的学生插3个空位中的两个,共有222223A A A 种. 高二学生相邻,高一学生不相邻:捆绑法把高而学生作为一个整体排列,和高三学生再全排列,将高一的学生插3个空位中的两个,共有222223A A A 种. 所以满足同一年级的学生不能相邻的总排列方法有5223222222522322322312024242448A A A A A A A A A A ---=---=种故答案为:48【点睛】本题考查了排列问题的综合应用,对于相邻问题,通常使用捆绑法作为一个整体处理,对于不相邻问题,通常采用插空法处理,属于中档题.15.已知直线1y x =-与双曲线()2210,0ax by a b +=><的渐近线交于A ，B 两点，且过原点和线段AB中点的直线的斜率为a b =______.【答案】【解析】 【分析】根据双曲线方程表示出双曲线的渐近线方程,与直线方程联立可得,A B 两点坐标,利用中点坐标公式求得中点M 的坐标.即可由直线斜率公式求得ab. 【详解】双曲线()2210,0ax by a b +=><所以其渐近线方程为y x = 因为直线1y x =-与渐近线交于A ,B 两点则1y x y x =-⎧⎪⎨=⎪⎩解得x y ⎧=⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪=⎪⎪⎩x y ⎧=⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪=⎪⎪⎩即两个交点坐标为A ⎛,B ⎛ 设,A B 中点坐标为M 则由中点坐标公式可得11,1a b M a a bb ⎛⎫ ⎪ ⎝+⎪⎪+⎭由题意OM k =则2M OM My a k x b===-故答案为: -【点睛】本题考查了双曲线的渐近线方程的简单应用,直线交点坐标的求法,斜率公式及中点坐标公式的应用,化简过程较为繁琐,属于中档题.16.已知边长为ABCD 的顶点都在同一个球面上，若3BAD π∠=，平面ABD ⊥平面CBD ，则该球的球面面积为___________.【答案】20π 【解析】 【分析】根据题意,画出空间几何图形.由几何关系,找出球心.由勾股定理解方程即可求得球的半径,进而得球的面积. 【详解】根据题意, G 为底面等边三角形CBD重心,作OG ⊥底面CBD .作AE BD ⊥交BD 于E ,过O 作OF AE ⊥交AE 于F .连接,AO OC 画出空间几何图形如下图所示:因为等边三角形CBD 与等边三角形ABD 的边长为23,且3BAD π∠=所以23sin33AE CE π==⨯=G 为底面等边三角形CBD 的重心,则113133EG CE ==⨯=,2GC = 面ABD ⊥平面CBD因而四边形OGEF 为矩形,设OG h =,则EF h =,球的半径为r 在Rt AFO ∆和Rt OGC ∆中()222222312h r h r⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩解得15h r =⎧⎪⎨=⎪⎩ 所以球的表面积为()2244520S r πππ==⨯=故答案为: 20π【点睛】本题考查了空间几何体的结构特征,三棱锥外接球的半径与表面积求法,属于中档题.三、解答题17.如图，四棱锥S ABCD -的底面是边长为1的菱形，其中60DAB ∠=︒，SD 垂直于底面ABCD ，3SB =；（1）求四棱锥S ABCD -的体积；（2）设棱SA 的中点为M ，求异面直线DM 与SB 所成角的大小．【答案】(1) 66；(2) 3π．【解析】 【分析】（1）求出1BD =，3AC =，2SD =，由此能求出四棱锥S ABCD -的体积．（2）取BC 中点E ，以D 为原点，DA 为x 轴，DE 为y 轴，DS 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线DM 与SB 所成角．【详解】解：（1）∵四棱锥S ABCD -的底面是边长为1的菱形，其中60DAB ∠=︒，SD 垂直于底面ABCD ，3SB =，∴1BD =，11211cos1203AC =+-⨯⨯⨯︒=，22312SD BD SB =-=-=，1131322ABCD S AC BD =⨯⨯=⨯⨯=， ∴四棱锥S ABCD -的体积113623326ABCD V S SD =⨯⨯=⨯⨯=． （2）取BC 中点E ，以D 为原点，DA 为x 轴，DE 为y 轴，DS 为z 轴，建立空间直角坐标系，()1,0,0A ，(2S ，12,0,22M ⎛ ⎝⎭，132B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭， 122DM ⎛= ⎝⎭u u u u r ，1322SB ⎛= ⎝u u r ，设异面直线DM 与SB 所成角为θ，则31cos 2DM SB DM SBθ⋅===⋅u u u u r u u r u u u ur u u r ，故3πθ=， ∴异面直线DM 与SB 所成角为3π． 【点睛】本题考查了异面直线及其所成的角以及棱锥的体积，需熟记椎体的体积公式，异面直线所成的角可采用空间向量法进行求解． 18.已知函数3()sin cos 22f x x x ωω=+（其中0>ω）． （1）若函数()f x 的最小正周期为3π,求ω的值，并求函数()f x 的单调递增区间； （2）若2ω=，0α<<π，且3()2f α=，求α的值． 【答案】（1）23ω=，递增区间332k k π⎡⎤π-ππ+⎢⎥⎣⎦，（k Z ∈）；（2）12πα=或4π.【解析】 【分析】（1）利用辅助角公式化简，根据函数f （x ）的最小正周期为3π，即可求ω的值和单调递增区间； （2）将ω＝2，可得f （x ）解析式，0＜α＜π，由()32f α=，利用三角函数公式即可求α的值． 【详解】解：（1）函数()322f x sin x x ωω=+=sin （ωx 6π+）， ∵函数f （x ）的最小正周期为3π，即T ＝3π2πω=∴ω23=那么：()236f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由2222362k x k πππππ-≤+≤+，k ∈Z ， 得：332k x k ππππ-≤≤+∴函数f （x ）的单调递增区间为332k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，，k ∈Z ；（2）函数()32f x sin x x ωω=+=（ωx 6π+），∵ω＝2∴f （x）=（2x 6π+）， ()32f α=，可得sin （2α6π+）=∵0＜α＜π，∴6π≤（2α6π+）136π≤2α63ππ+=或23π解得：α4π=或α12π=．【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．19.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足2*1()2nn a S n N +⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭.数列{}n b 的前n 项和为n T ，满足*2()n n T b n N =-∈.（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）求数列2n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和'n S . 【答案】（1）21n a n =-,112n n b -⎛⎫ ⎪⎝⎭=；（2）23'32n nn S +=-. 【解析】 【分析】（1）根据题意，求得12,a a ，然后求得公差，即可求出数列{}n a 的通项，再利用11,1,2n n n T n b T T n -=⎧=⎨-≥⎩ 求得{}n b 的通项公式； （2）先求出2n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项，然后利用数列求和中错位相减求和'n S . 【详解】解：（1）由212n n a S +⎛⎫= ⎪⎝⎭，得211112a S a +⎛⎫== ⎪⎝⎭，解得11a =. 由222122112a S a a a +⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭，解得23a =或21a =-.若21a =-，则2d =-，所以33a =-.所以2331312a S +⎛⎫=-≠= ⎪⎝⎭，故21a =-不合题意，舍去. 所以等差数列{}n a 的公差212d a a =-=， 故21n a n =-.数列{}n b 对任意正整数n ，满足2n n T b =-. 当1n =时，1112b T b ==-，解得11b =；当1n >时，()()11122n n n n n n n b T T b b b b ---=-=---=-， 所以()1122n n b b n -=≥. 所以{}n b 是以首项11b =，公比12q =的等比数列， 故数列{}n b 的通项公式为112n n b -⎛⎫= ⎪⎝⎭.（2）由（1）知2122n n n a b n -=， 所以2311352321'...22222n n nn n S ---=+++++，①所以2311132321' (22222)n nn n n S +--=++++，② ①-②，得2311122221'...222222n n n n S +-=++++-211111121 (22222)n n n -+-⎛⎫=++++- ⎪⎝⎭ 111112212112212n n n -+⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭-⎢⎥⎣⎦=+--1111211222n n n -+-⎛⎫=+--⎪⎝⎭， 所以23'32n nn S +=-. 【点睛】本题主要考查了数列的综合（包含数列通项的求法，以及求和中错位相减），易错点在于是否检验n=1的情况，以及计算的失误，属于中档题.20.已知椭圆C ：22221x y a b +=()0a b >>的离心率2e =，左、右焦点分别是1F 、2F ，且椭圆上一动点M 到2F1，过2F 的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）当1F AB ∆以1F AB ∠为直角时，求直线AB 的方程；（3）直线l 的斜率存在且不为0时，试问x 轴上是否存在一点P 使得OPA OPB ∠=∠，若存在，求出P 点坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）2212x y +=（2）直线AB 的方程为1y x =-+或1y x =-（3）存在，()2,0P【解析】 【分析】（1）由椭圆C的离心率2e =，且椭圆上一动点M 到2F1，列出方程组，求得,a b 的值，即可得到椭圆的标准方程；（2）设直线AB l ：()1y k x =-，则1AF l ：()11y x k=-+，联立方程组，求得k 的值，即可求得直线的方程；（3）设AB l ：()1y k x =-，联立方程组，根据根与系数的关系，求得12x x +，12x x ，再由斜率公式和以0AP BP k k +=，即可求解点P 的坐标，得到答案.【详解】（1）由题意，椭圆C的离心率e =，且椭圆上一动点M 到2F1，可得22221c e a a c a b c ⎧==⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得11a cb ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，所以椭圆的标准方程为2212x y +=.（2）由题意可知，当k 不存在时，1F AB ∆不符合题意. 设直线AB l ：()1y k x =-，则1AF l ：()11y x k=-+， ∴()()111y k x y x k ⎧=-⎪⎨=-+⎪⎩，得()2211k x k +=-，∴22212,11k k A k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭∴()()()222222218211k k kk-+=++，427610k k --=，∴21k =，直线AB 的方程为1y x =-+或1y x =-.（3）设(),0P m ，()11,A x y ，()22,B x y ，AB l ：()1y k x =-，()22122y k x x y ⎧=-⎨+=⎩∴()2222124220k x k x k +-+-=， ∴2122412k x x k +=+，21222212k x x k-=+， ∵11AP y k x m =-，22BP y k x m =-，所以()()()()1221120AP BPy x m y x m k k x m x m -+-+==--， ∴()1221120y x y x m y y +-+=，∴()()1212220kx x k mk x x km -+++=， ∴24km k =，2m =，∴()2,0P .【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程的求解、及直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用,解答此类题目，通常联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等. 21.已知函数1()ln f x a x x=-，a R ∈． （1）若曲线()y f x =在点处的切线与直线20x y +=垂直，求a 的值；（2）求函数()f x 的单调区间；（3）当1a =，且2x ≥时，证明：(1)25f x x -≤-． 【答案】（1）1（2）见解析（3）见解析 【解析】【详解】（1）函数()f x 的定义域为{}0x x ，21()a f x x x '=+． 又曲线()y f x =在点处的切线与直线20x y +=垂直，所以(1)12f a '=+=，即1a =．（2）由于21()ax f x x ='+． 当0a ≥时，对于，有()0f x '>在定义域上恒成立，即()f x 在上是增函数．当0a <时，由()0f x '=，得．当时，()0f x '>，()f x 单调递增；、 当时，()0f x '<，()f x 单调递减．(3)当1a =时，1(1)ln(1)1f x x x -=---，．、令1()ln(1)251g x x x x =---+-． 2211(21)(2)()21(1)(1)x x g x x x x --=+-=----'． 当2x >时，()0g x '<，()g x 在单调递减． 又(2)0=g ，所以()g x 在恒为负．所以当时，()0g x ≤．即1ln(1)2501x x x ---+≤-． 故当1a =，且2x ≥时，(1)25f x x -≤-成立． 22.在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩（其中t 为参数，且0)απ<<，在以O为极点、x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系（两种坐标系取相同的单位长度）中，曲线C 的极坐标方程为22tan cos ρθθ=，设直线l 经过定点P ，且与曲线C 交于A 、B 两点． （Ⅰ）求点P 的直角坐标及曲线C 的直角坐标方程； （Ⅱ）求证：不论a 为何值时，2211||||+PA PB 为定值．【答案】（Ⅰ）直角坐标为(1,0)，22(0)y x x =≠；（Ⅱ）见解析 【解析】 【分析】（Ⅰ）根据题意,令直线l 的参数方程中0t =即可求出点P 的直角坐标，整理化简曲线C 的极坐标方程,结合cos ,sin x y ρθρθ==,即可得到曲线C 的直角坐标方程;（Ⅱ）将直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程，根据参数t 的几何意义,利用韦达定理即可证明2211||||+PA PB 为定值. 【详解】（Ⅰ）因为直线l 的参数方程为1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩（其中t 为参数，且0)απ<<， 所以当0t =时，得点(1,0)P ，即点P 的直角坐标为(1,0)；又曲线C 的极坐标方程为22tan cos ρθθ=， 2sin 2cos 0ρθθ∴=≠，22sin 2cos 0ρθρθ∴=≠，Q cos ,sin x y ρθρθ==，22(0)y x x ∴=≠，即曲线C 的直角坐标方程为22(0)y x x =≠；（Ⅱ）证明：将直线l 的参数方程1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩代入22(0)y x x =≠， 整理得22sin 2cos 20t t αα--=，其中0απ<<，所以判别式△2224cos 8sin 44sin 0ααα=+=+>，由韦达定理可得,1222cos sin t t αα+=，1222sin t t α-=， 由参数方程中参数的几何意义可得,2221212222221212()211114cos 4sin 1||||()4t t t t PA PB t t t t αα+-++=+===， 即不论a 为何值时，2211||||+PA PB 都为定值1． 【点睛】本题考查极坐标方程与直角坐标方程的互化及参数方程中参数的几何意义;利用参数方程中参数的几何意义是证明2211||||+PA PB 为定值的关键;属于中档题、常考题型. 23.已知不等式|2||1|5x x -++…的解集为M ．（Ⅰ）求M ；（Ⅱ）设m 为M 中的最大元素，正数a ，b 满足a b m +=【答案】（Ⅰ）{|23}M x x =-剟；（Ⅱ）【解析】【分析】（Ⅰ）利用分段讨论法,分12x -<<，1x ≤-,2x ≥三种情况分别去绝对值解不等式,然后再取并集即可; （Ⅱ）由（Ⅰ）知，3a b +=，先平方,利用均值不等式求出2的最大值,然后再开方即可。
2020届河北省衡水金卷新高考押题模拟考试(五)理科数学
2020届河北省衡水金卷新高考押题模拟考试（五）理科数学★祝考试顺利★ 注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
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4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题1.若集合{}2xA y y ==，(){}ln 1B x y x ==-，则A B =I （ ）． A. [)0,+∞ B. ()0,1C. (),1-∞D. [)1,+∞【答案】B 【解析】 【分析】先计算集合,A B ，再计算A B I 得到答案.【详解】集合()0,A =+∞，集合(),1B =-∞，故()0,1A B =I ． 故选B【点睛】本题考查了交集运算，属于基础题型.2.设复数z 满足1i z --=z 的最大值为（ ）．A.B. 2C.D. 4【答案】C【解析】 【分析】通过复数的几何意义，得到最大值为直径，计算得到答案.【详解】复数z 对应复平面上的点是以()1,1为半径的圆，故z 的最大值即为圆的直径． 故选C【点睛】本题考查了复数模的最大值，找出对应的几何意义是解题的关键. 3.下列关于命题的说法错误．．的是（ ）． A. “1ω=”是“函数()π3sin 3f x x ω⎛⎫=-⎪⎝⎭最小正周期为2π”的充要条件 B. 命题“若2320x x -+=，则2x =”的逆否命题为“若2x ≠，则2320x x -+≠” C. 命题“若随机变量()1,4X N ~，()0P X m ≤=，则()0212P X m <<=-”为真命题 D. 若命题0:P n N ∃∈，021000n >，则:P n N ⌝∀∈，21000n ≤ 【答案】A 【解析】 【分析】函数()π3sin 3f x x ω⎛⎫=- ⎪⎝⎭最小正周期为2π得到1ω=±，错误；根据逆否命题，否命题，正态分布的对称性得到BCD 正确.【详解】A. 1ω=-时函数()π3sin 3f x x ω⎛⎫=- ⎪⎝⎭最小正周期也为2π，故错误； B. 根据逆否命题的定义知B 正确； C. 根据正态分布的对称性知C 正确； D. 根据特称命题的否定得到D 正确. 故选A【点睛】本题考查了命题的判断，意在考查学生的推断能力.4.设0.23x =，3log 2y =，cos2z =，则（ ）． A. z y x << B. y z x <<C. z x y <<D. x z y <<【答案】A 【解析】 【分析】根据函数单调性分别比较与0,1的大小关系得到答案.【详解】0.231x =>，30log 21y <=<，cos20z =<，故z y x << 故选A【点睛】本题考查数值的大小比较，意在考查学生对于函数单调性的应用.5.已知平面向量()1,a m =r ，()2,5b =r ，(),3c m =r，且()()a c ab +-r r r r P ，则m =（ ）．A. 3-或1B. 2或1-C.D.32± 【答案】D 【解析】 【分析】计算得到()1,3a c m m +=++r r ，()1,5a b m -=--rr 根据()()a c ab +-r r r r P 计算得到答案.【详解】因为()1,3a c m m +=++r r ，()1,5a b m -=--rr ，()()a c ab +-r r r r P∴()()153m m m +-=--，∴2320m m --=，解得32m ±=． 故选D【点睛】本题考查了向量的平行，意在考查学生的计算能力.6.在椭圆22142x y +=上有一点P ，F 1、F 2是椭圆的左、右焦点，△F 1PF 2为直角三角形，这样的点P 有（ ）A. 2个B. 4个C. 6个D. 8个【答案】C 【解析】【分析】由椭圆的性质可知：椭圆的上下顶点(0,i B 对1F 、2F 张开的角θ最大，可得90θ=︒．当1PF x ⊥轴或2PF x ⊥轴时，也满足题意．即可得出．【详解】由椭圆的性质可知：椭圆的上下顶点(0,i B 对1F 、2F 张开的角θ最大，b =Q 2a =，c =90θ=︒．这样的点P 有两个；当1PF x ⊥轴或2PF x ⊥轴时，也满足题意．这样的点P 有4个； 因此△12F PF 为直角三角形，则这样的点P 有6个． 故选C ．【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直角三角形，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7.已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足2124n n a S n +=++，且21a -，3a ，7a 恰好构成等比数列的前三项，则4a =（ ）． A. 1 B. 3 C. 5 D. 7【答案】C 【解析】 【分析】根据2124n n a S n +=++化简得到11n n a a +=+，再根据21a -，3a ，7a 成等比数列计算得到答案. 【详解】∵2124n n a S n +=++，当2n ≥，()21214n n a S n -=+-+，两式相减，化简得()2211n n a a +=+，∵0n a >，∴11n n a a +=+，数列{}n a 是公差1的等差数列．又21a -，3a ，7a 恰好构成等比数列的前三项，∴()()211126a a a +=+， ∴12a =，∴45a =． 故选C【点睛】本题考查了数列的项的计算，意在考查学生对于数列公式方法的灵活运用. 8.执行如图所示的程序框图，输出S 的值为（ ）．A. 3213log 2+B. 2log 3C. 4D. 2【答案】D 【解析】 【分析】根据框图依次计算得到答案.【详解】22233,1;3log 2,2;3log 2log ,3;2S i S i S i ===+==+= 222343log 2log log 4,423S i =+==；2log 42S == ，输出答案. 故选D【点睛】本题考查了框图算法，意在考查学生的阅读理解能力.9.关于圆周率π，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的浦丰实验和查理斯实验．受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计π的值：先请100名同学每人随机写下一个x ，y 都小于1的正实数对(),x y ；再统计两数能与1构成钝角三角形三边的数对(),x y 的个数m ；最后再根据统计数m 估计π的值，假如某次统计结果是28m =，那么本次实验可以估计π的值为（ ）．A.227B.4715C.7825D.5317【答案】C 【解析】 【分析】 根据约束条件22110x y x y +>⎧⎨+-<⎩画出可行域，得到面积，根据几何概型得到答案. 【详解】∵0101x y <<⎧⎨<<⎩而满足构成钝角三角形，则需22110x y x y +>⎧⎨+-<⎩画出图像：弓形面积：28π110042=-，∴78π25=． 故选C【点睛】本题考查了几何概型，画出图像是解题的关键，意在考查学生的综合应用能力.10.设F 为双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点，过坐标原点的直线依次与双曲线C 的左.右支交于点P Q 、，若2,60PQ QF PQF =∠=︒，则该双曲线的离心率为（ ） A. 13+ B.3 C. 23+ D. 423+【答案】A 【解析】∵|PQ |=2|QF |,∠PQF =60°,∴∠PFQ =90°，设双曲线的左焦点为F 1,连接F 1P ,F 1Q ，由对称性可知,F 1PFQ 为矩形,且|F 1F |=2|QF|,1QF =， 不妨设()1220F F m m =>，则1,QF QF m ==，故121212F F c e a QF QF ====-. 本题选择A 选项.点睛：双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a ，c ，代入公式ce a=； ②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合b 2＝c 2－a 2转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围)． 11.在正方体1111ABCD A B C D -中，P ，Q 分别为1AD ，1B C 上的动点，且满足1AP B Q =，则下列4个命题中，所有正确命题的序号是（ ）． ①存在P ，Q 的某一位置，使AB PQ ∥ ②BPQ V 的面积为定值③当0PA >时，直线1PB 与直线AQ 一定异面 ④无论P ，Q 运动到何位置，均有BC PQ ⊥ A. ①②④ B. ①③C. ②④D. ①③④【答案】D 【解析】 【分析】依次判断，每个选项：①当P ，Q 分别为棱1AD ，1B C 的中点时满足，正确；取特殊位置BPQ V 的面积为变化，故错误；③假设不成立推出矛盾，正确；④BC ⊥平面PFGQ ，正确.得到答案. 【详解】①当P ，Q 分别为棱1AD ，1B C 的中点时满足，正确； ②当P 与A 重合时：212BPQ S a =V ；当P 与1D重合时：2BPQ S =V （a为正方体边长），错误；③当0PA >时，假设直线1PB 与直线AQ 是共面直线，则AP 与1B Q 共面，矛盾，正确； ④如图所示：,F G 分别为,P Q 在平面内的投影，易证BC ⊥平面PFGQ ，正确. 故选D【点睛】本题考查了空间几何中直线的平行，垂直，异面，意在考查学生的空间想象能力.12.设函数()f x 的定义域为R ，()()f x f x -=且()(2)f x f x =-，当[]0,1x ∈时，()3f x x =，则函数()=|cos()|()g x x f x π-在区间13[,]22-上的所有零点的和为（ ）A. 4B. 3C. 2D. 1【答案】B 【解析】函数f （x ）的定义域为R ，f （-x ）=f （x ），可知函数是偶函数，f （x ）=f （2-x ），可知函数的对称轴为：x=1，当x∈[0，1]时，f （x ）=x 3，函数g （x ）=|cos （x π）|-f （x ）可知函数是偶函数，g （x ）=|cos （x π）|-f （x ）=0，可得|cos （x π）|=f （x ），在同一个直角坐标系中画出函数y=|cos （x π）|，y=f （x ）的图象如图：函数在区间11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 上的零点的和为：0．函数在13,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦时，两个函数的交点关于x=1对称，零点有3个，零点的和为：3． 故选B ．点睛：本题考查函数与方程的综合应用，抽象函数以及数形结合思想方法的应用，考查作图能力以及计算能力，函数零点的问题都转化为两个函数图像的交点问题，数形结合的思想是本题要考查的关键.二、填空题13.等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若3221a S =+，4321a S =+，则公比q 等于_________. 【答案】3 【解析】 【分析】将题中两等式作差可得出4332a a a -=，整理得出433a a =，由此可计算出43a q a =的值. 【详解】将等式3221a S =+与4331a S =+作差得4332a a a -=，433a a ∴=， 因此，该等比数列的公比433a q a ==，故答案为3. 【点睛】本题考查等比数列公比的计算，在两个等式都含前n 项和时，可以利用作差法转化为有关项的等式去计算，考查运算求解能力，属于中等题.14.在四面体P ABC -中，3PA BC ==，2PB AC ==，3PC AB ==______．82π【解析】 【分析】如图所示：将四面体P ABC -放入长方体中，利用勾股定理得到22228a b c R ++==，计算得到答案. 【详解】如图所示：将四面体P ABC -放入长方体中：设长方体的边长分别为,,a b c ，则222222394a b b c a c ⎧+=⎪+=⎨⎪+=⎩相加得到2222482a b c RR ++==∴=体积为：348233V R ππ== 故答案为82π【点睛】本题考查了三棱锥的外接球问题，将三棱锥放入长方体是解题的关键.15.国产杀毒软件进行比赛，每个软件进行四轮考核，每轮考核中能够准确对病毒进行查杀的进入下一轮考核，否则被淘汰．已知某个软件在四轮考核中能够准确杀毒的概率依次是56，35，34，13，且各轮考核能否通过互不影响．则该软件至多进入第三轮考核的概率为______． 【答案】58【解析】 【分析】将题目分为只进入第一轮，第二轮和第三轮三种情况，分别计算概率相加得到答案. 【详解】设事件()1,2,3,4i A i =表示“该软件能通过第i 轮考核”， 由已知得()156P A =，()235P A =，()334P A =，()413P A =， 设事件C 表示“该软件至多进入第三轮”，则()()()()()112123112123P C P A A A A A A P A P A A P A A A =++=++15253156656548=+⨯+⨯⨯=． 故答案为58【点睛】本题考查了概率的计算，分类利用独立性是解题的关键. 16.设函数()()πsin 05f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，已知()f x 在[]0,2π有且仅有5个零点，则ω的取值范围是______．【答案】1229,510⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】 【分析】分别计算π5π5x ω+=和π6π5x ω+=的端点值，计算得到答案. 【详解】由于()f x 在[]0,2π有且仅有5个零点，则令π5π5x ω+=，解得24π2π5x ω=≤，得125ω≥； 再令π6π5x ω+=，解得29π2π5x ω=>，得2910ω<．故答案为1229,510⎡⎫⎪⎢⎣⎭ 【点睛】本题考查了三角函数的零点问题，意在考查学生的综合应用能力.三、解答题17.设ABC V 的内角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ．已知角A ，B ，C 成等差数列，C 为钝角，且满足2222sin 0a bc C b c +--=．（1）求角A ，B ，C 的大小； （2）若2a =，求ABC V 的面积S 的值．【答案】(1) π12A =，π3B =，7π12C = (2) 3+【解析】 【分析】（1）根据等差数列得到π3B =，利用余弦定理得到π2C A =+，计算得到答案. （2）利用正弦定理得到4c =+. 【详解】（1）因为A ，B ，C 成等差数列，∴2B A C =+， 又πA B C ++=，∴3πB =，π3B =． 由2222sin 0a bc C b c +--=和余弦定理可得222πsin cos sin 22b c a C A A bc +-⎛⎫===+ ⎪⎝⎭． ∵C 为钝角，而π2A +也是钝角， ∴π2C A =+， ① 又2π3A C +=，②联立①②解得π12A =，7π12C =，∴π12A =，π3B =，7π12C=为所求．（2）由2a =和正弦定理sin sin a cA C=可得 1ππ7π22sin2sin 234124πππsin sin 1234c ⎛⎫++ ⎪⎝⎭====+⎛⎫- ⎪⎝⎭∴(11sin 24322S ac B ==⨯⨯+=+ 所以ABC V 的面积S 的值是3+【点睛】本题考查了正弦定理，余弦定理，面积公式，意在考查学生对于三角函数公式的应用能力. 18.如图1，PAD △是以AD 为斜边直角三角形，1PA =，BC AD ∥，CD AD ⊥，22AD DC ==，12BC =，将PAD △沿着AD 折起，如图2，使得2PC =．（1）证明：面PAD ⊥平面ABCD ； （2）求二面角A PB C --大小的余弦值． 【答案】(1)证明见解析；(2) 13301【解析】 【分析】（1）利用勾股定理得到CD PD ⊥，证明CD ⊥面PAD 得到答案.（2）如图，以O 为坐标原点，垂直OD 方向为x 轴，OD 为y 轴，OP 为z 轴建立空间直线坐标系，分别计算平面的法向量，再计算法向量夹角得到答案. 【详解】（1）证明：∵1DC =，2PC =，223PD AD PA -=∴222PD CD PC +=，即CD PD ⊥．又CD AD ⊥，PD AD D ⋂=，∴CD ⊥面PAD ，CD ⊂面ABCD ，∴面PAD ⊥面ABCD ．（2）如图，以O 为坐标原点，垂直OD 方向为x 轴，OD 为y 轴，OP 为z 轴建立空间直线坐标系．10,,02A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，()1,1,0B ，31,,02C ⎛⎫⎪⎝⎭，30,0,2P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭． 设面BPC 的法向量为()111,,m x y z =r，由00m BC m BP ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v r u u u v r ，得1132x z =，10y =，取)3,0,2m =r设面PAB 的法向量为()222,,n x y z =r，由00n AB n BP ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v r u u u v r ， 得22302x y +=，222302x y z --+=，取3,3n ⎛=- ⎝r∴13301cos ,301m n m n m n ⋅==⋅r rr rr r ，由图形可知二面角A PB C --为钝角， 所以二面角A PB C --大小的余弦值为13301301-． 【点睛】本题考查了面面垂直和二面角，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.19.在平面直角坐标系中，已知曲线C 上的动点P 到点1,04F ⎛⎫⎪⎝⎭的距离与到直线1:4l x =-的距离相等．（1）求曲线C 的轨迹方程；（2）过点()1,1M 分别作射线MA 、MB 交曲线C 于不同的两点A 、B ，且MA MB ⊥．试探究直线AB 是否过定点？如果是，请求出该定点；如果不是，请说明理由．【答案】(1) 2y x = (2) 直线AB 过定点()2,1-． 【解析】 【分析】（1）根据题意得到221144x y x ⎛⎫-+=+ ⎪⎝⎭，化简得到答案. （2）设直线AB 的方程为x my t =+，联立方程利用韦达定理得到12y y m +=，12y y t =-，根据0MA MB ⋅=u u u r u u u r得到()()120t m t m +---=，故2t m =+代入方程得到答案.【详解】（1）设(,)P x y ，依题意14PF x =+，即221144x y x ⎛⎫-+=+ ⎪⎝⎭， 化简得2y x =，∴曲线C 的轨迹方程为2y x =． （2）直线AB 经过定点()2,1-证明：如图，依题意，直线AB 斜率不能为0，所以设直线AB 的方程为x my t =+联立2y x =得20y my t --=，240m t ∆=+> ①，设()1,A x y 、()2,B x y ，则12y y m +=，12y y t =-．又MA MB ⊥，∴0MA MB ⋅=u u u r u u u r，即()()()()121211110x x y y --+--=，即()()12121212110x x x x y y y y -+++-++=，又211y x =，222y x =，∴()()()2212121212320y y y y y y y y -++-++=，∴()()()22223232120t t m m t t m m t m t m ---+=--+-=+---=，依题意，直线AB 不经过M ，∴1m t +≠， 所以，2t m =+．此时代入①式恒成立．而当2t m =+时，直线AB 方程为2x my m =++，即()()210x m y --+=， 即直线AB 过定点()2,1-． 综上，直线AB 过定点()2,1-．【点睛】本题考查了轨迹方程，定点问题，将MA MB ⊥转化为0MA MB ⋅=u u u r u u u r是解题的关键，意在考查学生的转化能力和计算能力.20.2019年3月5日，国务院总理李克强作出的政府工作报告中，提到要“惩戒学术不端，力戒学术不端，力戒浮躁之风”．教育部2014年印发的《学术论文抽检办法》通知中规定：每篇抽检的学术论文送3位同行专家进行评议，3位专家中有2位以上（含3位）专家评议意见为“不合格”的学术论文，将认定为“存在问题学术论文”．有且只有1位专家评议意见为“不合格”的学术论文，将再送另外2位同行专家（不同于前3位专家）进行复评，2位复评专家中有1位以上（含1位）专家评议意见为“不合格”的学术论文，将认定为“存在问题学术论文”．设每篇学术论文被每位专家评议为“不合格”的概率均为()01p p <<，且各篇学术论文是否被评议为“不合格”相互独立． （1）若12p =，求抽检一篇学术论文，被认定为“存在问题学术论文”的概率； （2）现拟定每篇抽检论文不需要复评的评审费用为900元，需要复评的总评审费用1500元；若某次评审抽检论文总数为3000篇，求该次评审费用期望的最大值及对应p 的值． 【答案】(1) 2532 (2) 最高费用为350万元．对应13p =． 【解析】 【分析】（1）根据题意得到()5432312179f p p p p p =-+-+，代入数据计算得到答案.（2）设每篇学术论文的评审费为X 元，则X 的可能取值为900，1500，计算得到()()290018001E X p p =+-，求导得到单调性计算最大值得到答案.【详解】（1）因为一篇学术论文初评被认定为“存在问题学术论文”的概率为()2233331C p p C p -+，一篇学术论文复评被认定为“存在问题学术论文”的概率为()()2213111C p p p ⎡⎤---⎣⎦， 所以一篇学术论文被认定为“存在 问题学术论文”的概率为()()()()22223313331111f p C p p C p C p p p ⎡⎤=-++---⎣⎦()()()2223313111p p p p p p ⎡⎤=-++---⎣⎦5432312179p p p p =-+-+．∴12p =时，125232f ⎛⎫= ⎪⎝⎭所以抽检一篇的学术论文被认定为“存在问题学术论文”的概率为2532． （2）设每篇学术论文的评审费为X 元，则X 的可能取值为900，1500．()()21315001P X C p p ==-，()()21390011P X C p p ==--，所以()()()()2221133900111500190018001E X C p p C p p p p ⎡⎤=⨯--+⨯-=+-⎣⎦．令()()21g p p p =-，()0,1p ∈，()()()()()2121311g p p p p p p '=---=--．当10,3p ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g p '>，()g p 在10,3⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增； 当1,13p ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g p '<，()g p 在1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减． 所以()g p 的最大值为14327g ⎛⎫=⎪⎝⎭． 所以评审最高费用为44300090018001035027-⎛⎫⨯+⨯⨯= ⎪⎝⎭（万元）．对应13p =． 【点睛】本题考查了概率计算的应用，数学期望，意在考查学生的计算能力和应用能力. 21.已知函数()()ln 01x xf x a a x =-<-． （1）求()f x 的单调区间并判断单调性；（2）若()()()2h x x x f x =-⋅，且方程()h x m =有两个不相等的实数根1x ，2x ．求证：121x x +>．【答案】(1) 单调增区间为()0,1，()1,+∞．见解析；(2)证明见解析【解析】 【分析】（1）求导得到()()21ln 1x xf x x --'=-，根据导数的正负得到函数的单调区间.（2）()()22ln 0h x x x ax ax a =-+<求导得到()2ln 2h x x x x ax a '=+-+，存在α 使()h x '在()0,α上单调递减，在(),α+∞上单调递增，得到()()2222110x x x x --->，化简得到答案.【详解】（1）依题意，定义域为()()0,11,+∞U ，()()21ln 1x xf x x --'=-设()1ln g x x x =--，则()11g x x'=-， 当()0,1x ∈时，()0g x '<，∴()()10g x g >=，∴()0f x '>， ∴()f x 在()0,1上单调递增．当()1,x ∈+∞时，()0g x '>，∴()()10g x g >=，∴()0f x '>， ∴()f x 在()1,+∞上单调递增．综上可得，函数()f x 的单调增区间为()0,1，()1,+∞．（2）()()22ln 0h x x x ax ax a =-+<，∴()2ln 2h x x x x ax a '=+-+，设()()m x h x '=，∴()2ln 23m x x a '=-+，∴()m x '在()0,∞+上单调递增， 当0x →时，()0m x '<，()1320m a '=->，∴必存在()0,1α∈，使得()0m α'=，即2ln 230a α-+=， ∴()h x '在()0,α上单调递减，在(),α+∞上单调递增，又()20h a αα'=-<，()110h a '=->，设()00h x '=，则()00,1x ∈， ∴()h x 在()00,x 上单调递减，在()0.,x +∞上单调递增， 又()10h =，不妨设12x x <，则100x x <<，021x x <<，由（1）知()()()()()()()()()()21011102202022h x f x x x f x f x f x f x h x f x x x ⎧>-⎫<⎪⎪⇒⎬⎨>⎪<-⎭⎪⎩， ∴()()()()()()2202221011f x x x h x h x f x x x ->=>-，∴()()()()222211212110x x x x x x x x ---=-+->，∴121x x +>．【点睛】本题考查了函数的单调性和零点问题，综合性强，计算量大，意在考查学生的综合应用能力和计算能力.22.在直线坐标系xOy 中，曲线1C的参数方程为2cos x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数），以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系． （1）写出1C 的普通方程和极坐标方程； （2）设A ，B 是1C 上的两点，且OA OB ⊥，求2211OAOB+的值．【答案】(1)普通方程是22143x y +=．极坐标方程为2221cos sin 43ααρ=+ (2) 712 【解析】 【分析】（1）直接利用参数方程和极坐标方程公式得到答案.（2）不妨设()1,A ρθ，2π,2B ρθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，故22221sin cos 43θθρ==+，代入2222121111OAOBρρ+=+化简得到答案.【详解】（1）曲线1C的参数方程为2cos x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数）移项后两边平方可得2222cos sin 143x y αα+=+=即曲线1C 的普通方程是22143x y +=．因为cos x ρα=，sin y ρα=，代入上式可得1C 的极坐标方程为2222cos sin 143ραρα+=．即2221cos sin 43ααρ=+． （2）因为A ，B 是1C 上的两点，且OA OB ⊥， 所以不妨设()1,A ρθ，2π,2B ρθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭． 由()1,A ρθ在曲线1C 上可知22211cos sin 43θθρ=+．同理，2π,2B ρθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭在曲线1C 上可知222222ππcos sin 1sin cos 224343θθθθρ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+=+． 所以，22222222121111cos sin sin cos 11743434312OA OB θθθθρρ+=+=+++=+=． 【点睛】本题考查了极坐标和参数方程，意在考查学生对于极坐标和参数方程的理解和计算能力. 23.已知函数()21f x m x =--，m ∈R ，且1()02f x +≥的解集为{}11x x -≤≤. （1）求m 的值；（2）若,,a b c 都为正数，且111232ma b c ++=，证明：239a b c ++≥. 【答案】（1）2m =； （2）见解析. 【解析】 【分析】（1）根据题意，分析可得20m x -≥的解集为{}11x x -≤≤，化简可得m 的值；（2）由（1）的结论2m =，则111123a b c ++=，()111232323a b c a b c a b c ⎛⎫++=++++ ⎪⎝⎭，结合基本不等式的性质分析可得结论．【详解】（1）()21f x m x =--，m R ∈，且102f x ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭的解集为{}11x x -≤≤， 可得20m x -≥的解集为{}11x x -≤≤，所以2m =.（2）因为,,a b c 都为正数，所以111123a b c ++=，所以()111232323a b c a b c a b c ⎛⎫++=++++ ⎪⎝⎭232332332ba ac bc a b c a c b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭≥32229=+++=，当且仅当233a b c ===时，等号成立，即239a b c ++≥.【点睛】本题考查绝对值不等式的解法以及基本不等式的性质，关键是求出m 的值．。
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2020届河北衡水金卷新高考原创考前信息试卷（五）理科数学★祝考试顺利★ 注意事项：1、考试范围：高考范围。
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7、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题（每小题5分，共60分．下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1．集合}{220A x x x =--≤，{}10B x x =-<，则A B U = ( ).A.}{1x x <B.}{11x x -≤< C .{}2x x ≤ D .{}21x x -≤< 2．纯虚数z 满足()i zz 421-=⋅+，则z 的共轭复数为（ ）A. 2i -B. 2iC. 4i -D. 4i3．各项均为正数的等比数列{}n a 中，1a ={}n a 的前n 项和为3,2n S S =+.则7a =（ ）A ．B ．C ．8D ．144．在ABC ∆中，2CM MB =u u u u r u u u r ，0AN CN +=u u u r u u u r u r，则（ ）A. 2136MN AB AC =+u u u u r u u u r u u u rB. 2736MN AB AC =+u u u u r u u u r u u u rC. 1263MN AC AB -=u u u u r u u u r u u u r D. 7263MN AC AB-=u u u u r u u u r u u u r5．把不超过实数x 的最大整数记为[]x ，则函数[]()f x x =称作取整函数，又叫高斯函数，在[]1,4 上任取x ，则[]2x x ⎡⎤=⎣⎦的概率为（ ）A ．14B.13C.12D.236．函数11lg-=x y 的大致图象为( )7．设向量()()1,1,3,3-==b a ρρ，若()()b a b a ρρρρλλ-⊥+，则实数=λ（ ）A ．3B ．1C ．1±D ．3±8．已知实数a ，b 满足11122a b⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则（ ） A.11a b> B. 22log log a b > C. a b < D.sin sin a b >9．已知1cos 63πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin 26πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ） A. 89-B.89C.79D. 79-10．已知双曲线22221x y a b-=的左、右焦点分别为1F ，2F ，过右焦点2F 作垂直于x 轴的弦MN ，交双曲线于M 、N 两点，若1MF N ∠=2π，则双曲线的离心率e =（ ）A ．2B ．3C ．5 D ．21+11．世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割.如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿.”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为36︒的等腰三角形（另一种是顶角为108︒的等腰三角形）.例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金ABC ∆中，51BC AC -=.根据这些信息，可得sin 234︒=（ ） A.1254- B. 358+- C. 514+- D. 458+-12．⎪⎩⎪⎨⎧>-≤-=，，2,21log 2,2)(2x x x x x x f a 的值域为R ，则)22(f 的取值范围是（ ） A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-21,B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-45,C ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞-,45D ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡--21,45 二、填空题（每小题5分，共20分）13．将函数()()0,0(),2f x Asin wx A w πϕϕ+>><=的图象向右平移12π个单位，再将所有点的横坐标扩大为原来的2倍，得到()2sin g x x =的图象，则A w ϕ++= ．14．已知数列{}n a ，若数列{}n n a 13-的前n 项和51651-⨯=n n T ，则5a 的值为 . 15．某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出19种商品，第二天售出13种商品，第三天售出18种商品；前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种，则该网店这三天售出的商品最少有 种．16．在三棱锥A BCD -中，,,4,AB AC DB DC AB DB AB BD ==+=⊥，则三棱锥A BCD -外接球的体积的最小值为 .三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本小题满分12分）在公差不为0的等差数列{}n a 中，841,,a a a 成等比数列，数列{}n a 的前10项和为45.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若11+=n n n a a b ，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求n T .18．（本小题满分12分）如图，正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长均2，D 为棱1BB （不包括端点）上一动点，E 是AB 的中点． （Ⅰ）若1AD A C ⊥，求BD 的长；（Ⅱ）当D 在棱1BB （不包括端点）上运动时，求平面1ADC 与平面ABC 的夹角的余弦值的取值范围．19．（本小题满分12分）某学校共有1000名学生，其中男生400人，为了解该校学生在学校的月消费情况，采取分层抽样随机抽取了100名学生进行调查，月消费金额分布在450~950之间．根据调查的结果绘制的学生在校月消费金额的频率分布直方图如图所示：将月消费金额不低于750元的学生称为“高消费群”．（1）求a 的值，并估计该校学生月消费金额的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）现采用分层抽样的方式从月消费金额落在[550,650)，[750,850)内的两组学生中抽取10人，再从这10人中随机抽取3人，记被抽取的3名学生中属于“高消费群”的学生人数为随机变量X ，求X 的分布列及数学期望；（3）若样本中属于“高消费群”的女生有10人，完成下列22⨯列联表，并判断是否有97.5%的把握认为该校学生属于“高消费群”与“性别”有关？（参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++）20．（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的两个焦点与短轴的一个端点连线构成等边三角形，且椭圆C 的短轴长为23． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）是否存在过点()0,2P 的直线l 与椭圆C 相交于不同的两点M ，N ，且满足2OM ON ⋅=u u u u v u u u v（O 为坐标原点）若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．21．（本小题满分12分）已知函数()()21ln f x a x x =-+，a ∈R ． （1）当2a =时，求函数()y f x =在点()()1,1P f 处的切线方程；（2）当1a =-时，令函数()()ln 21g x f x x x m =+-++，若函数()g x 有两个零点，求实数m 的取值范围． [选修4-4：极坐标与参数方程]22．（本小题满分10分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos ,22sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线M 的极坐标方程为2sin 23202πρθθ⎛⎫=<<⎪⎝⎭. （1）求曲线C 的极坐标方程；（2）已知β为锐角，直线():l R θβρ=∈与曲线C 的交点为A （异于极点），l 与曲线M的交点为B ，若OA OB ⋅=，求l 的直角坐标方程. [选修4-5：不等式选讲]23．已知函数()()120f x x a x a a=+-->. （1）当1a =时，解不等式()1f x ≤-；（2）若不等式()3f x ≤恒成立，求实数a 的取值范围.高三理科数学参考答案一、选择题（共12小题，每小题5分）二、填空题（共4小题，每小题5分）13、46π+14、16 15、16，29 16、82π三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.解：设等差数列{}n a 的公差为d ，由841,,a a a 成等比数列可得，8124a a a ⋅=，即()()d a a d a 731121+=+，d a a d d a a 1212121796+=++∴，0≠d Θ，d a 91=∴． -------------------------3分 （1）由数列{}na 的前10项和为45，得454510110=+=d a S，即454590=+d d ，故3,311==a d ，--------------------------------5分 故数列{}na 的通项公式为38+=n a n ；----------------------------------6分（2）()()⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=++==+9181998911n n n n a a b n n n -------------------8分⎪⎭⎫⎝⎛+-+++-+-+-=9181121111111101101919n n T n Λ ---------10分 999191919+=+-=⎪⎭⎫⎝⎛+-=n n n n ---------------------------------12分 18.证明：（Ⅰ），由AC=BC ，AE=BE ，知CE ⊥AB ， 又平面ABC ⊥平面ABB 1A 1，所以CE ⊥平面ABB 1A 1而AD ⊂平面ABB 1A 1，∴AD ⊥CE ，又AD ⊥A 1C 所以AD ⊥平面A 1CE ，所以AD ⊥A 1E ．易知此时D 为BB 1的中点，故BD=1． --------------------------------5分（Ⅱ）以E 为原点，EB 为x 轴，EC 为y 轴，过E 作垂直于平面ABC 的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系，设 BD=t ，则A （-1，0，0），D （1，0，t ），C 1（0，3，2），AD u u u v =（2，0，t ），1AC u u u u v =（1，3，2），设平面ADC 1的法向量n v=（x ，y ，z ）， 则1·20·320n AD x tz n AC x y z ⎧=+=⎪⎨=++=⎪⎩u u u v v u u u u vv ，取x=1，得21,,33n t t ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭v ， 平面ABC 的法向量m v=（0，0，1），--------------------------------9分设平面ADC 1与平面ABC 的夹角为θ，∴cos θ=··m nm nv vv v =222414133tt t⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭=2327t t -+=()2316t -+由于t ∈（02）,故cos θ∈（21，2]． 即平面ADC 1与平面ABC 的夹角的余弦值的取值范围为（217，22]．----------12分19.（1）由题意知，100(0.00150.00250.00150.001)1a ++++=，解得0.0035a =， 样本的平均数为：5000.156000.357000.258000.159000.10670x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（元）， 所以估计该校学生月消费金额的平均数为670元．--------------------------------4分（2）由题意，从[550,650)中抽取7人，从[750,850)中抽取3人． 随机变量X 的所有可能取值有0，1，2，3，()337310k kC C P X k C -==（0,1,2,3k =）， 所以，随机变量X 的分布列为随机变量X的数学期望35632119()012312012012012010E X =⨯+⨯+⨯+⨯=．----------------------------8分（3）由题可知，样本中男生40人，女生60人，属于“高消费群”的25人，其中女生10人； 得出以下22⨯列联表：222()100(10251550)505.556 5.024()()()()406025759n ad bc K a b c d a c b d -⨯⨯-⨯===≈>++++⨯⨯⨯，所以有97.5%的把握认为该校学生属于“高消费群”与“性别”有关．--------------------12分20.【解析】（1）由题意得：2222232 b a c a b c ===+⎧⎪⎨⎪⎩，···········2分解得23a b ⎧==⎪⎨⎪⎩，∴椭圆C 的标准方程是22143x y +=···········4分（2）当直线l 的斜率不存在时，(3M ，(0,3N -3OM ON ⋅=-u u u u v u u u v，不符合题意···········5分当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为2y kx =+，()11,M x y ，()22,N x y由221 432x y y kx +==+⎧⎪⎨⎪⎩消y 整理得：()22341640k x kx +++=， ()()221616340k k ∆=-+>，解得12k <-或12k >，···········6分 1221634k x x k +=-+，122434x x k=+，···········7分 ∴1212OM ON x x y y ⋅=+=u u u u v u u u v()()21212124k x x k x x ++++()222222413216124343434k k k k k k +-=-+=+++，···········9分 ∵2OM ON ⋅=u u u u v u u u v ，∴221612234k k -=+，···········10分解得2k =±，满足0∆>，···········11分···········12分21.【答案】（1）切线方程为1y x =-；（2）实数m【解析】（1）当2a =时，()()221ln f x x x =-+224ln 2x x x =-++． 当1x =时，()10f =，所以点()()1,1P f 为()1,0P ，···········1分，因此()11k f '==．···········2分因此所求切线方程为()0111y x y x -=⨯-⇒=-．···········4分 （2）当1a =-时，()22ln g x x x m =-+，···········6分 ，所以当()0g x '=时，1x =，···········7分时，()0g x '>；当1e x <<时，()0g x '<；故()g x 在1x =处取得极大值也即最大值()11g m =-．···········8分，()2e 2e g m =+-，()g x 上的最小值为()e g ，······10分故()g x 在区间上有两个零点的条件是所以实数m ···········12分22.【详解】解：（1）由题意知曲线C 的直角坐标方程为()2224x y +-=， 即224x y y +=， 所以24sin ρρθ=，即4sin ρθ=，故曲线C 的极坐标方程为4sinρθ=.-----------------------------5分（2）因为曲线M 的极坐标方程为2sin 23202πρθθ⎛⎫=<<⎪⎝⎭， 所以ρ=将θβ=代入，得OB =因为曲线C 的极坐标方程为4sin ρθ=，所以4sin OA β=所以OA OB ⋅===则tan 2β=，故l 的直角坐标方程为2y x =--------------------------------10分 23.【详解】（1）Q ()()120f x x a x a a=+--> 当1a =，()1f x ≤-- 11 - 可得|2||1|1x x +--≤-若2x -≤则2(1)1x x ----≤-，即31-≤-，显然成立若21x -<<，2(1)1,x x +--≤-可得22x ≤-，故1x ≤-若1x ≥，2(1)1,x x +--≤-可得31≤-，显然不成立.综上所述，(,1]x ∈-∞-（2）Q ()3f x ≤ ∴111||2||||22x a x x a x a a a a +--≤+-+=+ 1112|2|2a x a x a a a a∴--≤+--≤+ 要保证不等式()3f x ≤恒成立，只需保证123a a +≤， 解得112a ≤≤ 综上所述，1,12a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦。