九年级数学下册2.4过不共线三点作圆学案新湘教版
九年级数学下册2.4过不共线三点作圆教案(新版)湘教版
2．4 过不共线三点作圆1．掌握过不共线的三点作圆的方法；2．认识三角形的外接圆和外心的概念，并会进行运用．(重点)一、情境导入如图所示，点A ，B ，C 表示因支援三峡工程建设而移民的某县新建的三个移民新村．这三个新村地理位置优越，空气清新，环境幽雅．花园式的建筑住宅让人心旷神怡，但迁居后发现一个极大的现实问题：学生目前就读的学校离家太远，给学生上学和家长接送学生带来了很大的麻烦．根据上面的实际情况，政府决定为这三个新村就近新建一所学校，让三个村到学校的距离相等，你能帮助他们为学校选址吗？二、合作探究探究点一：过不共线三点作圆如图，AB ︵是一座石拱桥的桥拱．请你确定出AB ︵所在圆的圆心．解析：要作AB ︵所在圆的圆心，就要在AB ︵上确定三点．找与这三点距离都相等的那个点．即是圆心．解：作法：1.在AB ︵上任找异于A 、B 的一点C ；2．连接AC 、BC ；3．分别作线段AC 、BC 的垂直平分线，两线交于点O ，则点O 即为所求作的AB ︵所在圆的圆心．方法总结：确定已知弧所在圆的圆心，只需在弧上任取两条弦，这两条弦的垂直平分线的交点即为圆心．探究点二：三角形的外接圆及外心的相关计算【类型一】 与圆的内接三角形有关的角的计算如图，△ABC 内接于⊙O ，若∠OAB ＝20°，则∠C 的度数是________．解析：由OA ＝OB ，知∠OAB ＝∠OBA ＝20°，所以∠AOB ＝140°，根据圆周角定理，得∠C ＝12∠AOB ＝70°.故填70°. 方法总结：在圆中求圆周角的度数，可以根据圆周角定理找相等的角实现互换，也可以寻找同弧所对的圆周角与圆心角的关系．【类型二】 与圆的内接三角形有关线段的计算如图，在△ABC 中，O 是它的外心，BC ＝24cm ，O 到BC 的距离是5cm ，求△ABC 的外接圆的半径．解：连接OB ，过点O 作OD ⊥BC 于D ，则OD ＝5cm ，BD ＝12BC ＝12cm.在Rt△OBD 中，OB ＝OD 2＋BD 2＝52＋122＝13(cm)．即△ABC 的外接圆的半径为13cm.方法总结：由外心的定义可知外接圆的半径等于OB ，过点O 作OD ⊥BC ，易得BD ＝12cm.由此可求它的外接圆的半径．三、板书设计教学过程中，强调三角形的外接圆的圆心到三角形三个顶点的距离相离，它是三角形三边垂直平分线的交点．在圆中充分利用这一点可解决相关的计算问题． 第（1）课时课题：书法---写字基本知识课型：新授课教学目标：1、初步掌握书写的姿势，了解钢笔书写的特点。
湘教版数学九年级下册教学设计：2.4 过不共线三点作圆
湘教版数学九年级下册教学设计：2.4 过不共线三点作圆一. 教材分析湘教版数学九年级下册第2.4节“过不共线三点作圆”是圆的基本性质和几何作图的重要组成部分。
本节内容是在学生已经掌握了圆的定义、圆的性质以及圆的方程的基础上进行学习的，通过本节的学习，使学生能够掌握过不共线三点作圆的方法，进一步培养学生的几何思维能力和作图能力。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的几何知识和逻辑思维能力，对于圆的性质和方程应该已经有所了解。
但是在作图方面，可能还存在一些困难，因此，在教学过程中，需要注重引导学生进行实际操作，培养学生的动手能力和观察能力。
三. 教学目标1.让学生理解过不共线三点作圆的原理和方法。
2.培养学生运用几何知识解决实际问题的能力。
3.培养学生的动手操作能力和观察能力。
四. 教学重难点1.过不共线三点作圆的原理和方法。
2.如何引导学生将几何知识运用到实际问题中。
五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生通过实际问题理解过不共线三点作圆的原理和方法。
2.采用分组合作学习法，让学生在实际操作中相互交流、讨论，培养学生的团队协作能力。
3.采用案例分析法，让学生通过分析实际案例，掌握过不共线三点作圆的方法。
六. 教学准备1.准备相关的几何模型和教具，用于引导学生进行实际操作。
2.准备一些实际问题，让学生进行分析和讨论。
3.准备PPT，用于辅助教学。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引出本节内容：“在平面上有三个点，如何作一个圆，使得这个圆经过这三个点？”让学生思考并尝试解答这个问题。
2.呈现（10分钟）讲解过不共线三点作圆的原理和方法，引导学生理解并掌握这个方法。
3.操练（10分钟）让学生分组进行实际操作，尝试用刚学到的方法过不共线的三点作圆。
教师巡回指导，解答学生的疑问。
4.巩固（5分钟）通过一些实际问题，让学生运用过不共线三点作圆的方法进行解答，巩固所学知识。
5.拓展（5分钟）引导学生思考：过共线三点能否作圆？如果可以，如何作圆？进一步拓展学生的知识面。
2024九年级数学下册第2章圆2.4过不共线三点作圆习题课件新版湘教版 (1)
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4.如图，学校某处空地上有A，B，C三棵树，现准备建一个圆形景
观鱼池，要求A，B，C三棵树恰好在圆周上，请你帮忙设计鱼池.
要求在图中作出鱼池轮廓，保留作图痕迹并将圆心标记为点O.
解：如图，连接AB，BC，分别作AB，
BC的垂直平分线，它们交于点O，以
OA的长度为半径，O为圆心作圆，则
∴△ABC的外接圆半径＝ ×4 ＝2 .
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14.[推理能力]已知AD是△ABC的高，△ABC外接圆☉O的半径为R.
(1)如图，当△ABC为锐角三角形时，求证：AB·AC＝2R·AD；
(1)证明：如答图①所示，连接AO并延长交☉O于点E，连接CE.
∵∠B与∠E是所对的圆周角，∴∠B＝∠E.
＝ .∵AE
＝ ，即AB·AC＝2R·AD.
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13.如图，∠BAC的平分线交△ABC的外接圆于点D，∠ABC的平分线交
AD于点E.
(1)求证：DE＝DB；
(1)证明：∵AD平分∠BAC，BE平分∠ABC，
∴∠BAE＝∠CAD，∠ABE＝∠CBE.
∵∠DBC＝∠CAD，∴∠DBC＝∠BAE.
∵∠DBE＝∠CBE＋∠DBC，∠DEB＝∠ABE＋
第2章
圆
湘教版数学九年级下册2.4《过不共线三点作圆》教学设计
湘教版数学九年级下册2.4《过不共线三点作圆》教学设计一. 教材分析湘教版数学九年级下册2.4《过不共线三点作圆》是本册教材中的一个重要内容。
在此之前，学生已经学习了圆的基本概念、圆的性质等知识。
本节课通过教授过不共线三点作圆的方法，使学生更深入地理解圆的性质，培养学生的几何思维能力。
教材通过具体的例子引导学生探索、发现、归纳圆的性质，从而提高学生的数学素养。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的几何知识基础，对圆的概念和性质有初步的了解。
但是，对于过不共线三点作圆的原理和应用，学生可能还存在一定的困惑。
因此，在教学过程中，需要关注学生的认知水平，引导学生通过实际操作和思考，理解并掌握过不共线三点作圆的方法。
三. 教学目标1.让学生理解过不共线三点作圆的原理。
2.培养学生运用圆的性质解决实际问题的能力。
3.提高学生的几何思维能力，培养学生的数学素养。
四. 教学重难点1.过不共线三点作圆的原理。
2.如何运用圆的性质解决实际问题。
五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生主动探索、发现、归纳圆的性质。
2.利用几何画板等软件，进行动态演示，帮助学生直观理解过不共线三点作圆的原理。
3.通过实际例题，让学生运用圆的性质解决实际问题，巩固所学知识。
六. 教学准备1.准备相关教学PPT，包括理论知识、实例分析等。
2.准备几何画板软件，用于动态演示。
3.准备相关练习题，用于巩固所学知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引出本节课的主题：过不共线三点作圆。
例如，讲解一个 farmer 问题： farmer 有三个奶牛，分别位于不同的地方，他想围一个圆形牧场，如何确定圆的位置和半径？2.呈现（15分钟）讲解过不共线三点作圆的原理，引导学生通过实际操作和思考，发现并归纳圆的性质。
利用几何画板软件进行动态演示，帮助学生直观理解。
3.操练（15分钟）让学生分组进行实际操作，尝试过不共线三点作圆。
湘教版数学九年级下册2.4《过不共线三点作圆1》说课稿
湘教版数学九年级下册2.4《过不共线三点作圆 1》说课稿一. 教材分析湘教版数学九年级下册2.4《过不共线三点作圆 1》是本节课的主要内容。
教材从实际问题出发，引导学生认识圆的定义，并通过实例让学生掌握过不共线三点作圆的方法。
本节课的内容是学生对圆的基本概念和性质的进一步理解，也是对圆的画法的基本训练。
教材通过问题驱动的方式，引导学生探究过不共线三点作圆的方法，培养学生的动手操作能力和解决问题的能力。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经学习了圆的基本概念和性质，对圆的画法有一定的了解。
但是，对于过不共线三点作圆的具体方法，学生可能还没有完全掌握。
因此，在教学过程中，我需要根据学生的实际情况，引导学生通过实例理解过不共线三点作圆的方法，并加以巩固。
三. 说教学目标本节课的教学目标有三：1.让学生理解圆的定义，掌握过不共线三点作圆的方法。
2.培养学生动手操作能力和解决问题的能力。
3.通过对圆的画法的探究，培养学生的逻辑思维能力和团队合作能力。
四. 说教学重难点本节课的重难点是让学生理解并掌握过不共线三点作圆的方法。
过不共线三点作圆是圆的基本画法之一，对于学生来说，理解和掌握这一方法需要一定的空间想象能力和逻辑思维能力。
因此，在教学过程中，我需要通过实例和操作，引导学生理解和掌握这一方法。
五. 说教学方法与手段在本节课的教学过程中，我将采用问题驱动的教学方法，通过实例和操作，引导学生理解和掌握过不共线三点作圆的方法。
同时，我会利用多媒体教学手段，如PPT和几何画板，来辅助教学，使学生更直观地理解和掌握圆的画法。
六. 说教学过程1.导入：通过一个实际问题，引导学生认识圆的定义，激发学生的学习兴趣。
2.探究：引导学生通过实例，探究过不共线三点作圆的方法，并总结出规律。
3.巩固：让学生通过操作，巩固过不共线三点作圆的方法。
4.应用：让学生运用过不共线三点作圆的方法，解决实际问题。
5.总结：对本节课的内容进行总结，强调重点和难点。
九年级数学下册 2_4 过不共线三点作圆学案2(新版)湘教版
2.4 过不共线三点作圆 学习目标 1． 了解不共线三点确定一个圆的方法，三角形的外接圆及外心等概念；2． 经历不共线三个点确定一个圆的探索过程，培养学生的探索能力．重点难点 重点：掌握过不共线三点作圆的方法，了解三角形的外接圆及外心等概念．难点：怎么样去确定过不在同一条直线上的三点的圆的圆心.学习过程：一、课前抽测： A B1．怎样作线段的垂直平分线？已知线段AB ，求作：线段AB 的垂直平分线L2．三角形两边垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离是否相等？若在△ABC 中，边AB 与边BC 的垂直平分线交于点P ，则PA= = ，为什么？3．位置和大小确定一个圆.决定圆的大小的是圆的 ，决定圆的位置的是 .二、自主学习：阅读教材，回答下列问题.1．（１）经过一个已知点Ａ画圆； ·A想一想：经过已知点A 可以画多少个圆？（2）经过两个已知点C 、B 画圆.想一想：①经过两个已知点可以画多少个圆？C · · B②圆心在哪儿？半径怎么确定？B CA P2．设三点A,B,C不在同一直线上.⑴过三点A,B,C的圆的圆心在哪儿?怎么确定？A··BC·⑵过不在同一直线上的三点A,B,C如何作圆?已知:不在同一直线上的三点A,B,C，求作:圆O,使它经过点A,B,C.作法: ①连结AB,作线段AB的；②连结BC,作线段BC的；③以和的交点O为圆心,以为半径作圆，则圆O就是所求作的圆．⑶过不在同一直线上的三点A,B,C能作多少个圆?为什么？⑷过同一直线上的三点A,B,C能作一个圆吗?为什么？定理：不在同一直线上的三个点 .强调：（１）过同一直线上三点不行；（２）“确定”一词应理解成“有且只有”. 3．三角形的外接圆： .圆的内接三角形：.外心： .三、合作探究：例1：作出下列三角形的外接圆（只要作图痕迹，不要求作法）归纳：锐角三角形的外心在三角形的直角三角形的外心是三角形钝角三角形的外心在三角形的四、展示质疑：1．如图，A 、B 、C 表示三个工厂，要建一个供水站，使它到这三个工厂的距离相等，求供水站的位置（用点P 表示，保留作图痕迹）。
湘教版数学九年级下册2.4《过不共线三点作圆 1》教学设计
湘教版数学九年级下册2.4《过不共线三点作圆 1》教学设计一. 教材分析湘教版数学九年级下册2.4《过不共线三点作圆》是圆的基础知识章节，主要让学生了解并掌握过不共线三点作圆的原理和方法。
本节课的内容是在学生已经掌握了圆的定义、性质和画法的基础上进行学习的，对于进一步深化学生对圆的理解，培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力有着重要的作用。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对圆的概念和性质有一定的了解。
但是，对于过不共线三点作圆的原理和具体操作方法，可能还存在一定的困惑。
因此，在教学过程中，需要教师引导学生通过观察、思考、操作等活动，逐步理解和掌握过不共线三点作圆的方法。
三. 教学目标1.让学生了解过不共线三点作圆的原理和方法。
2.培养学生观察、思考、操作的能力，提高学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
3.培养学生合作学习的习惯，增强学生的团队意识。
四. 教学重难点1.过不共线三点作圆的原理的理解。
2.过不共线三点作圆方法的掌握。
五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生通过观察、思考、操作等活动，自主探索过不共线三点作圆的原理和方法。
2.采用合作学习的教学方法，让学生在小组内进行讨论和交流，共同完成任务。
3.采用案例分析的教学方法，让学生通过分析具体案例，加深对过不共线三点作圆方法的理解。
六. 教学准备1.准备相关的教学案例和图片，用于引导学生观察和分析。
2.准备教学课件，用于辅助教学。
3.准备练习题，用于巩固所学知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提问方式引导学生回顾圆的定义和性质，为新课的学习做好铺垫。
2.呈现（10分钟）教师通过课件或板书，呈现过不共线三点作圆的原理和具体方法，引导学生理解和掌握。
3.操练（10分钟）教师提出具体问题，让学生运用所学的原理和方法进行操作，巩固所学知识。
4.巩固（10分钟）教师通过练习题，检验学生对过不共线三点作圆方法的掌握程度，并对学生的错误进行讲解和指导。
2.4过不共线的三点作圆导学案--2022-2023学年湘教版九年级数学下册
2.4 过不共线的三点作圆导学案一、学习目标1.理解过不共线的三点作圆的基本概念及性质；2.掌握三点定圆的判定方法；3.能够应用三点定圆解决实际问题。
二、学习重点1.三点定圆的判定方法；2.实际问题中三点定圆的应用。
三、学习方法1.理论学习：通过教科书和其他相关资料，理解过不共线的三点作圆的概念、性质，掌握三点定圆的判定方法；2.实例演练：通过解题实例，巩固三点定圆的应用能力；3.自主探究：通过课外拓展或实践中发现和解决问题，提高对三点定圆的理解和应用能力。
四、学习过程本节课内容主要涵盖三个部分：1.圆的定义与性质回顾；2.过不共线的三点作圆的基本概念与性质；3.三点定圆的判定方法及其应用。
4.1 圆的定义与性质回顾在开始学习过不共线的三点作圆之前，我们首先需要回顾圆的定义与性质。
圆是一个平面上所有与一个给定点的距离都相等的点的集合。
圆的性质包括：•圆上任意两点之间的线段是圆上最短的弧；•直径是圆的最长的弦，并且它同时也是圆的对称轴；•圆的内部是由圆心到圆上所有点的距离小于圆的半径的区域；•圆的外部是由圆心到圆上所有点的距离大于圆的半径的区域。
4.2 过不共线的三点作圆的基本概念与性质过不共线的三点作圆也是圆的一种。
当三个点不共线时，它们可以唯一确定一个圆。
过三个不共线点的圆叫做过这三个点的唯一圆。
过三点的唯一圆性质：1.任意三点不共线，则可确定一个圆；2.可以通过两条不同的弦或一个直径来确定一个圆；3.圆心是确定的，它是三角形外接圆的圆心。
4.3 三点定圆的判定方法及其应用三点定圆是指通过三个不共线点确定某一个圆，并且求出这个圆的半径和圆心坐标。
三点定圆的判定方法有以下两种：1.过任意三点只有唯一一个圆（步骤见下）；2.快速构造定圆（略）。
三点定圆的应用主要涉及以下两种情况：1.已知三个点，求过这三个点的唯一圆的半径和圆心坐标；2.已知一个圆和另外两个点，求过这两个点的唯一圆的半径和圆心坐标。
2023九年级数学下册第2章圆2.4过不共线三点作圆教案(新版)湘教版
本节课的核心素养目标为：通过探索过不共线三点的圆的作图方法，培养学生的直观想象能力；通过解决实际问题，提高学生的数学建模能力；通过小组合作交流，增强学生的数据分析与合作交流能力；同时，让学生体会数学与实际生活的联系，提升学生的数学应用意识。
三、学情分析
九年级的学生已经学习了一段时间的数学，对于基础的代数、几何知识有一定的掌握。他们已经学习了圆的基本概念、圆的性质以及圆的周长和面积等知识。在能力方面，学生们已经具备了一定的逻辑思维能力、空间想象能力和问题解决能力。在素质方面，学生们已经具备了一定的团队合作意识和沟通能力。
然而，学生们在学习过程中也存在一些问题。首先，部分学生对于圆的概念和性质理解不深，容易与其它几何图形混淆。其次，学生在解决几何问题时，往往缺乏清晰的解题思路和方法，对于如何运用已知条件和定理不够熟练。此外，部分学生对于数学的实际应用意识较弱，对于数学与现实生活的联系认识不足。
针对以上学情分析，本节课的教学重点在于帮助学生深化对圆的概念和性质的理解，培养学生的解题思路和方法，同时增强学生的数学应用意识。在教学过程中，我将注重引导学生通过实际问题来理解和应用圆的性质，并通过小组合作交流，提高学生的合作沟通能力和问题解决能力。
九．课堂
1. 课堂评价：
- 通过提问：教师可以通过提问的方式了解学生对课堂内容的掌握情况，及时发现学生的疑惑和问题。例如，教师可以针对圆的性质和作图方法进行提问，学生需要能够清晰地表达自己的思路和理解。
- 观察：教师应时刻关注学生的学习状态，观察他们是否能够积极参与课堂讨论，是否能够认真听讲和记录笔记。
四、教学资源
1. 软硬件资源：黑板、粉笔、多媒体投影仪、几何模型、圆规、直尺等。
2. 课程平台：学校提供的网络教学平台，用于上传教学资料和布置作业。
初中数学湘教版九年级下册《2.4过不共线三点作圆》教案
湘教版数学九年级2.4过不共线三点作圆教学设计阅读下面的材料，想一想：要确定一个圆必须满足几个条件？一位考古学家在长沙马王堆汉墓挖掘时，发现一圆形瓷器碎片，你能帮助这位考古学家画出这个碎片所在的整圆，以便于进行深入的研究吗？一、确定圆的条件的探究1、合作探究一：如何过一个点A作一个圆？过点A作圆，可以作多少个圆？请动手画图试一试并归纳出结论．以不与A点重合的任意一点为圆心，以这个点到A点的距离为半径画圆即可；过一个点可作无数个圆．2、合作探究二：如何过两点A、B作一个圆？过两点可以作多少个圆？其圆心的分布有什么特点?与线段AB有什么关系？请动手画图试一试并归纳出结论．作线段AB的垂直平分线，以其上任意一点为圆心，以这点和点A或B的距离为半径画圆即可；过两点可作无数个圆．通过上面的探究活动你发现了什么结论？请通过小组合作交流归纳出结论．归纳：（1）过平面内一个点A的圆，是以点A以外的任意一点为圆心，以这点到A的距离为半径的圆,这样的圆有无数个．（2）经过平面内两个点A，B的圆，是以线段AB垂直平分线上的任意一点为圆心，以这一点到A 或B的距离为半径的圆．这样的圆有无数个．3、合作探究三：如何过不在同一直线上的三个点作圆？可以作多少个圆？你能过不在同一直线上的三点作圆吗？请完成下面的探究过程．假设经过不在同一直线上的A、B、C三点存在⊙O．（1）圆心O到A、B、C三点距离（填“相等”或”不相等”）.（2）如果O点到A、B的距离相等，则点O应在线段AB的_____________上，同理点O也应在线段AC的______________上．（3）点O应是线段AB、AC的____________交点，半径为OA的长，所以_____作圆．根据上面的探究过程你能完成下面的例题吗？例已知：不在同一直线上的三点A、B、C．求作：⊙O，使它经过点A、B、C．作法：1、连结AB，作线段AB的垂直平分线MN；2、连接AC，作线段AC的垂直平分线EF，交MN于点O；3、以O为圆心，OB为半径作圆．所以⊙O就是所求作的圆．归纳：经过不在同一直线上的三点可以作一个圆而且只能作一个圆．探究过同一直线上的三点A、B、C能作一个圆吗? 为什么？二、三角形的外接圆，三角形的外心1、经过△ABC的三个顶点可以作一个圆吗？为什么？教师讲解三角形的外接圆等概念．经过三角形各顶点的圆叫作这个三角形的外接圆．☉O叫做△ABC的________，这个三角形叫作这个圆的内接三角形，△ABC叫做☉O的____________．2、三角形的外心：三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心．怎样作三角形的外心？小组合作交流归纳三角形的外心有何性质？三、探究活动四：三角形与它的外心的位置关系．分别画一个锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，再画出它们的外接圆，观察并叙述各三角形与它的外心的位置关系．结论：锐角三角形的外心位于三角形内；直角三角形的外心位于直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心位于三角形外．应用：课前的引例中的圆形瓷器碎片如何还原？请用所学的知识解决这个问题．方法：1、在圆弧上任取三点A、B、C；2、作线段AB、BC的垂直平分线，其交点O即为圆心；3、以点O为圆心，OC长为半径作圆．⊙O即为所求．1、三角形的外心具有的性质是（）A．到三边的距离相等B．到三个顶点的距离相等C．外心在三角形的外D．外心在三角形内2、小明不慎把家里的圆形镜子打碎了，其中四块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形镜子，小明带到商店去的一块碎片应该是（）A．第一块B．第二块C．第三块D．第四块3、如图，点A，B，C均在6×6的正方形网格格点上，过A，B，C三点的外接圆除经过A，B，C三点外还能经过的格点数为5_________．4、如图所示，破残的圆形轮片上，弦AB的垂直平分线交弧AB于点C，交弦AB于点D．已知：AB=24 cm，CD=8 cm．（1）求作此残片所在的圆（不写作法，保留作图痕迹）；（2）求（1）中所作圆的半径．5、如图，△ABC内接于⊙O，∠B=30°，AC=2 cm，求⊙O的半径．6、如图所示，锐角△ABC，∠A=60°，其外接圆的半径为3，求BC．。
湘教版数学九年级下册2.4 过不共线三点作圆教案与反思
2.4 过不共线三点作圆落红不是无情物，化作春泥更护花。
出自龚自珍的《己亥杂诗·其五》李坑学校李忠华【知识与技能】1.理解、确定圆的条件及外接圆和外心的定义.2.掌握三角形外接圆的画法.【过程与方法】经过不在同一直线上的三点确定一个圆的探索过程,让我们学会用尺规作不在同一直线上的三点的圆.【情感态度】在探究过不在同一直线上的三点确定一个圆的过程中,进一步培养探究能力和动手能力,提高学习数学的兴趣.【教学重点】确定圆的条件及外接圆和外心的定义.【教学难点】任意三角形的外接圆的作法.一、情境导入，初步认识如图所示,点A,B,C表示因支援三峡工程建设而移民的某县新建的三个移民新村.这三个新村地理位置优越,空气清新,环境幽雅.花园式的建筑住宅让人心旷神怡,但安居后发现一个极大的现实问题:学生就读的学校离家太远,给学生上学和家长接送学生带来了很大的麻烦.根据上面的实际情况,政府决定为这三个新村就近新建一所学校,让三个村到学校的距离相等,你能帮助他们为学校选址吗?二、思考探究，获取新知1.确定圆的条件活动1如何过一点A作一个圆?过点A可以作多少个圆?活动2如何过两点A、B作一个圆?过两点可以作多少个圆?【教学说明】以上两个问题要求学生独立动手完成,让学生初步体会,已知一点和已知两点都不能确定一个圆,并帮助学生得出如下结论.(1)过平面内一个点A的圆,是以点A以外的任意一点为圆心,以这点到A的距离为半径的圆,这样的圆有无数个.(2)经过平面内两个点A,B的圆,是以线段AB垂直平分线上的任意一点为圆心,以这一点到A或B的距离为半径的圆.这样的圆有无数个.活动3如图,已知平面上不共线三点A、B、C,能否作一个圆,使它刚好都经过A,B,C三点.【教学说明】假设经过A、B、C三点的圆存在,圆心为O,则点O到A、B、C三点的距离相等,即OA=OB=OC,则点O位置如何确定?是否唯一确定?教师提示到此,让学生动手画圆,最后教师归纳出.(3)经过不在同一直线上的三个点A,B,C的圆,是以AB,BC,CA的垂直平分线的交点为圆心,以这一点到点A,点B或点C的距离为半径的圆,这样的圆只有一个.例1判断正误:(1)经过三点可以确定一个圆.(2)三角形的外心就是这三角形两边垂直平分线的交点.(3)三角形的外心到三边的距离相等.(4)经过不在同一直线上的四点能作一个圆.【分析】经过不在同一直线上的三点确定一个圆;三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等;经过不在同一直线上的四点不一定能作一个圆.解:(1)×(2)√(3)×(4)×2.三角形的外接圆，三角形的外心.活动4经过△ABC的三个顶点可以作一个圆吗?请动手画一画.【教学说明】因为△ABC的三个顶点不在同一条直线上,所以过这三个顶点可以作一个圆,并且只可以作一个圆,并且得出如下结论.1三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，它的圆心叫做三角形的外心，是三角形三边垂直平分线的交点.2.三角形的外心到三角形三顶点的距离相等.强调:任意一个三角形都有唯一的一个外接圆,但对于一个圆来说,它却有无数个内接三角形.教学延伸:经过不在同一直线上的任意四点能确定一个圆吗?什么样的特殊四边形能确定一个圆?【教学说明】提示:不一定.对角互补的四边形一定可以确定一个圆.例2小明家的房前有一块矩形的空地,空地上有三棵树A,B,C,小明想建一个圆形花坛,使三棵树都在花坛的边上.(1请你帮小明把花坛的位置画出来(尺规作图,不写作法,保留作图痕迹).(2)若在△ABC中,AB=8米,AC=6米,∠BAC=90°,试求小明家圆形花坛的面积.解:(1)用尺规作出两边的垂直平分线,作出图.⊙O即为所求的花坛的位置.(2)∵∠BAC=90°AB=8米,AC=6,∴BC=10米,∴△ABC外接圆的半径为5米.∴小明家圆形花坛的面积为25π平方米.三、运用新知，深化理解1.下列说法正确的是（）A.过一点A的圆的圆心可以是平面上任意点B.过两点A、B的圆的圆心在一条直线上C.过三点A、B、C的圆的圆心有且只有一点D.过四点A、B、C、D的圆不存在2.已知a、b、c是△ABC三边长，外接圆的圆心在△BC一条边上的是（）A.a=15,b=12,c=11B.a=5,b=12,c=12C.a=5,b=12,c=13D.a=5,b=12,c=143.下列说法正确的是（）A.过一点可以确定一个圆B.过两点可以确定一个圆C.过三点可以确定一个圆D.三角形一定有外接圆4.在一个圆中任意引两条平行直线，顺次连结它们的四个端点组成一个四边形，则这个四边形一定是（）A.菱形B.等腰梯形C.矩形D.正方形【教学说明】通过练习巩固三角形的外心和外接圆的概念，强调过不在同一条直线上的三点确定唯一一个圆.【答案】1.B 2.C 3.D 4.C四、师生互动，课堂小结1.师生共同回顾：过已知点作圆，条件一是确定圆心，二是确定半径，不在同一直线上的三个点确定一个圆.了解三角形的外接圆、外心等概念.2.通过这节课的学习,你掌握了哪些新知识,还有哪些疑问?请与同伴交流.【教学说明】教师引导学生回顾知识点,让学生大胆发言,进行知识提炼和知识归纳.1.教材P63第1、2题.2.完成同步练习册中本课时的练习.本节课从生活实际需要引入,到学生动手画满足条件的圆、培养学生动手、动脑的习惯.在动手画圆的过程中层层深化,得出新知识.加深了学生对新知的认识,并运用新知解决实际问题.体验应用知识的快感,以此激发学习数学的兴趣.【素材积累】1、不求与人相比，但求超越自己，要哭旧哭出激动的泪水，要笑旧笑出成长的性格。
湘教版数学九年级下册说课稿：2.4过不共线三点作圆
湘教版数学九年级下册说课稿：2.4 过不共线三点作圆一. 教材分析湘教版数学九年级下册第2.4节“过不共线三点作圆”是圆的基本性质和圆的方程学习的基础内容。
本节内容主要让学生了解并掌握过不共线三点可以确定一个圆的性质，以及如何利用这一性质来作圆。
教材通过生活实例引入课题，让学生感受数学与生活的紧密联系，激发学生的学习兴趣。
紧接着，教材引导学生通过合作、探究、发现的方式来认识和证明过不共线三点作圆的性质，培养学生的合作意识和探究能力。
二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经掌握了直线、圆的基本概念和性质，具有一定的几何直观能力和逻辑思维能力。
但部分学生对几何图形的直观感知能力较弱，对于证明过程的理解和运用还有待提高。
此外，学生对于合作探究的学习方式还不太熟悉，需要教师在教学过程中加以引导和培养。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：让学生掌握过不共线三点作圆的性质，并能够运用这一性质解决实际问题。
2.过程与方法目标：通过合作、探究、发现的学习方式，培养学生的合作意识和探究能力。
3.情感态度与价值观目标：让学生感受数学与生活的紧密联系，增强学生对数学学习的兴趣和信心。
四. 说教学重难点1.教学重点：过不共线三点作圆的性质及应用。
2.教学难点：如何引导学生理解和证明过不共线三点作圆的性质。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、合作探究法、讲解法等。
2.教学手段：多媒体课件、黑板、几何模型等。
六. 说教学过程1.导入新课：通过生活实例引入过不共线三点作圆的概念，让学生感受数学与生活的联系。
2.探究新知：引导学生分组合作，利用几何模型进行探究，发现并证明过不共线三点作圆的性质。
3.讲解示范：教师对过不共线三点作圆的性质进行讲解，并通过几何模型进行示范。
4.练习巩固：学生独立完成练习题，加深对过不共线三点作圆性质的理解。
5.拓展应用：引导学生运用过不共线三点作圆的性质解决实际问题。
6.课堂小结：教师和学生一起总结本节课的主要内容和收获。
九年级数学下册 2.4 过不共线三点作圆学案 湘教版(2021学年)
2０1７春九年级数学下册2.4 过不共线三点作圆学案（新版）湘教版编辑整理:尊敬的读者朋友们:这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望(2017春九年级数学下册 2.4 过不共线三点作圆学案(新版）湘教版)的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈,这将是我们进步的源泉,前进的动力。
本文可编辑可修改,如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅,最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2017春九年级数学下册２.4 过不共线三点作圆学案(新版）湘教版的全部内容。
2。
4 过不共线三点作圆１。
了解不共线三点确定一个圆的方法,三角形的外接圆及外心等概念;2。
经历不共线三个点确定一个圆的探索过程，培养学生的探索能力.自学指导阅读课本P6１～６２,完成下列问题.知识探究1．(1)经过一个已知点Ａ画圆；·A想一想:经过已知点A可以画多少个圆?解：无数个.(2）经过两个已知点C、B画圆．想一想:①经过两个已知点可以画多少个圆?C··B解：无数个.②圆心在哪儿？半径怎么确定?解：圆心选取线段ＢC的垂直平分线上任意一点．半径取这一点与点B（C)的距离。
２.设三点A,B，C不在同一直线上.⑴过三点Ａ,B，Ｃ的圆的圆心在哪儿？怎么确定?A··BC·解:圆心为线段AB,BC垂直平分线的交点.⑵过不在同一直线上的三点A,B,C如何作圆?已知：不在同一直线上的三点A,B,Ｃ，求作:圆Ｏ，使它经过点A,B,Ｃ.作法：①连结AB,作线段AB的垂直平分线EF；②连结BC，作线段BC的垂直平分线MＮ；③以EＦ和MN的交点O为圆心,以OA(或ＯB或ＯＣ)为半径作圆,则圆O就是所求作的圆.⑶过不在同一直线上的三点A,B,C能作多少个圆？为什么?解:1个。
⑷过同一直线上的三点Ａ，B,C能作一个圆吗?为什么?解：不能.定理：不在同一直线上的三个点确定一个圆。
九年级数学下册 第2章 圆 课题 过不共线三点作圆学案
课题：过不共线三点作圆【学习目标】1．理解确定圆的条件及外接圆和外心的定义． 2．掌握三角形外接圆的画法． 【学习重点】确定圆的条件及外接圆和外心的定义． 【学习难点】任意三角形的外接圆的作法．情景导入 生成问题情景导入：1．圆心和半径分别确定圆的什么？答：圆心确定圆的位置；半径确定圆的大小．2．平面内一定点A ，如何过点A 作一个圆？过点A 可作多少个圆？答：任取平面内一点O 为圆心，以OA 为半径作圆即可，过点A 的圆可作无数个． 3．平面内有两定点A ，B ，如何过A ，B 两点作一个圆？过两点可作多少个圆？答：以线段AB 垂直平分线上任意一点为圆心，以这点到点A 的距离为半径画圆即可，这样的圆有无数个．自学互研 生成能力知识模块一 不在同一直线上的三点确定一个圆 阅读教材P61～P62，完成下列问题：如何过不在同一直线上的三个点作圆？可作多少个圆？答：由上面作图可知，过A ，B 两点圆的圆心在AB 的垂直平分线上，过B ，C 两点的圆的圆心在BC 的垂直平分线上，两条垂直平分线交于一点O ，且OA ＝OB ＝OC ，以OA 为半径作圆即可，由于圆心与半径的唯一性，这样的圆有且只有一个．即不在同一直线上的三个点确定一个圆．【例1】 在同一平面内，过已知A ，B ，C 三个点可以作圆的个数为( D )A ．0个B ．1个C ．2个D ．0个或1个【变例1】 用尺规法找出BAC ︵所在圆的圆心；(保留作图痕迹，不写作法)略．【变例2】 如图，OA ＝OB ＝OC ，且∠ACB＝30°，且∠AOB 的大小是( C )A ．40°B ．50°C ．60°D ．70°知识模块二 三角形的外接圆和外心什么是三角形的外接圆？什么是三角形的外心？答：经过三角形各个顶点的圆叫这个三角形的外接圆，三角形外接圆的圆心叫作这个三角形的外心，这个三角形叫作这个圆的内接三角形，三角形的外心是它的三条边的垂直平分线的交点，它到各个顶点的距离相等．【例2】 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝6，求△ABC 外接圆的半径．解：作AD⊥BC，垂足为D ，连接OB.∴AD＝52－32＝4. 设OA ＝r ，OB 2＝OD 2＋BD 2，即r 2＝(4－r)2＋32，解得r ＝258.【变例1】 在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，且△ABC 的面积为12，则△ABC 外接圆的半径为__256或258__．【变例2】 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6cm ，BC ＝8cm ，则它的外心与顶点C 之间的距离是( A )A ．5cmB ．6cmC ．7cmD ．8cm【变例3】 点O 是△ABC 的外心，若∠BOC ＝80°，则∠BAC 的度数为( C )A ．40°B ．100°C ．40°或140°D ．40°或100°交流展示 生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自学互研”得出的结论展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一 不在同一直线上的三点确定一个圆 知识模块二 三角形的外接圆和外心检测反馈 达成目标1．三角形的外心是( B )A ．三角形三角平分线交点B ．三角形三条边的垂直平分线的交点C ．三角形三条高的交点D ．三角形三条中线的交点2．(普洱中考)⊙O 是△A BC 的外接圆，∠OCB ＝40°，则∠A 的度数是( B )A ．40°B ．50°C ．60°D ．100°3．(济南中考)如图⊙O 的半径为1，△ABC 是⊙O 的内接等边三角形，点D ，E 在圆上，四边形BCDE 为矩形，这个矩形的面积是( B )A ．2B . 3C .32D .32课后反思查漏补缺1．收获：_____________________________________________________________________ 2．存在困惑：__________________________________________________________________。
湘教版数学九年级下册导学案：2.4过不共线三点作图(无答案)
湘教版数学九年级下册导学案：2.4过不共线三点作图（无答案）
湘教版九年级下册数学导学案
2.4过不共线三点作图
【学习目标】
1、经历不在同一直线上的三点确定一个圆的探索过程。
2、了解不在同一直线上的三点确立一个圆以及过不在同一直线上的三点作圆的方法。
3、了解三角形的外接圆，三角形的外心等概念。
【预习导学】
自主预习教材P61—P62，完成下列问题。
（1）如何过一点A作一个圆？过点A可以作多少个圆？
（2）如何过两点A作一个圆？过两点可以作多少个圆？
（3）如何过不在同一直线上的三个点作圆？可作多少个圆？
【探究展示】
探究1：已知：不在同一直线上的三点A、B、C
求作：ΘＯ，使它经过点A、B、C。
【知识梳理】
以”本节课我们学到了什么?”启发学生谈
谈本节课的收获.
1.本节课重点有掌握的知识是什么？
2. 在学习的过程中你的困惑是什么？
3.你对自己本节课的表现满意的地方在哪里？
【当堂检测】
1、判断题：
（1）任何一个三角形都有外接圆。
（）
（2）等边三角形的外心是这个三角形三条角平分线的交点。
（）
（3）直角三角形的外心是其斜边的中心。
（）
（4）一个三角形的外心，不可能在三角形的外部。
（）
2、如图（3），锐角三角形ABC内接于ΘＯ，若ΘＯ的半径为6，sinA=
3
2，求BC的长。
【学后反思】（图3）
O A
·
通过本节课的学习，
1.你学到了什么？
2.你还有什么样的困惑？
3.你对自己本节课的表现满意的地方在哪儿？哪些地方还需改进？。
湘教版数学九年级下册第2章圆2.4过不共线三点作圆作业设计
2.4 过不共线三点作圆一、选择题1．已知O为△ABC的外心，若∠A＝80°，则∠BOC的度数为( )A．40° B．80° C．120° D．160°2．下列说法错误的是( )A．三角形的外心到三角形各顶点的距离相等B. 三角形的外心到三角形三边的距离相等C. 三角形的外心一定在三角形一边的垂直平分线上D. 三角形任意两边的垂直平分线的交点，是这个三角形的外心3．下列命题中正确的有( )①过两点可以作无数个圆；②经过三点一定可以作圆；③任意一个三角形都有外接圆，而且只有一个外接圆；④任意一个圆有且只有一个内接三角形．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个4．若一个三角形的外心在这个三角形的一边上，则这个三角形是( ) A．锐角三角形 B．直角三角形C．钝角三角形 D．不能确定5．小颖同学在手工制作中，把一个边长为12 cm的等边三角形纸片贴到一个圆形的纸片上，若三角形的三个顶点恰好都在这个圆上，则圆的半径为( )A．2 3 cm B．4 3 cmC．6 3cm D．8 3 cm6．A，B，C为平面上的三点，AB＝2，BC＝3，AC＝5，则( )A．可以画一个圆，使点A，B，C都在圆周上B. 可以画一个圆，使点A，B在圆周上，点C在圆内C. 可以画一个圆，使点A，C在圆周上，点B在圆外D. 可以画一个圆，使点A，C在圆周上，点B在圆内7．2017·仙桃如图K－15－1所示，坐标平面上有A(0，a)，B(－9，0)，C(10，0)三点，其中a＞0，若∠BAC＝100°，则△ABC的外心在( )图K －15－1A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 二、填空题8．在联欢晚会上，有A ，B ，C 三名同学站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩一个游戏要求在他们中间放一个木凳，使他们抢坐到凳子的机会相等，则凳子应放在△ABC 的三条________线的交点最适当. 9．若AB ＝4 cm ，则过点A ，B 且半径为3 cm 的圆有________个．10．由正方形的四个顶点和它的中心这五个点能确定________个不同的圆．11．已知一个等边三角形的外接圆的半径为1，则圆心到三角形的边的距离为________． 12．如图K －15－2，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是BC 边上的中线，分别以点A ，C 为圆心，以大于12AC 长为半径画弧，两弧分别交于点E ，F ，直线EF 与AD 相交于点O ，若OA ＝2，则△ABC 的外接圆的面积为________．图K －15－213．2017·宁夏如图K －15－3，点A ，B ，C 均在6×6的正方形网格格点上，过点A ，B ，C的外接圆除经过A ，B ，C 三点外还能经过的格点数为________．图K －15－3三、解答题14．某市要承办一项大型比赛，在市内有三个体育馆承接所有比赛，现要修建一个运动员公寓，使得运动员公寓到三个体育馆的距离相等，若三个体育馆的位置如图K－15－4所示，那么运动员公寓应建立在何处？请你作出图形并加以说明．图K－15－415．如图K－15－5所示，等腰三角形ABC的顶角∠A＝120°，BC＝12 cm，求它的外接圆的直径．图K－15－5 16．2017·临沂如图K－15－6，∠BAC的平分线交△ABC的外接圆于点D，∠ABC的平分线交AD于点E.(1)求证：DE＝DB；(2)若∠BAC＝90°，BD＝4，求△ABC外接圆的半径．图K－15－617．如图K －15－7，四边形ABCD 为圆内接四边形，对角线AC ，BD 交于点E ，延长DA ，CB交于点F ，且∠CAD ＝60°，DC ＝DE . 求证：(1)AB ＝AF ；(2)点A 为△BEF 的外心(即△BEF 外接圆的圆心)．图K －15－7素养提升联想三角形外心的概念，我们可引入如下概念：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫作此三角形的准外心．例：已知PA ＝PB ，则点P 为△ABC 的准外心(如图K －15－8①)． (1)如图②，CD 为等边三角形ABC 的边AB 上的高，准外心P 在高CD 上，且PD ＝12AB ，求∠APB的度数；(2)如图③，若△ABC 为直角三角形，∠C ＝90°，AB ＝13，BC ＝5，准外心P 在AC 边上，试求PA 的长．图K －15－8参考答案1．[解析] D ∵O 为△ABC 的外心，∠A ＝80°，∴∠BOC ＝2∠A ＝160°.故选D .2．[解析] B 三角形的外心是三角形三边的垂直平分线的交点，所以到三个顶点的距离相等． 3．[解析] B ①③正确，②缺少“不在同一直线上的三点”的条件，④任意一个圆有无数个内接三角形． 4．B 5.B6．[解析] D ∵A ，B ，C 是平面上的三点，AB ＝2，BC ＝3，AC ＝5，∴AB ＋BC ＝AC ，∴可以画一个圆，使点A ，C 在圆上，点B 在圆内． 7．[解析] D ∵B(－9，0)，C(10，0)， ∴△ABC 的外心在直线x ＝12上．∵∠BAC ＝100°，∴△ABC 的外心在三角形的外部， ∴△ABC 的外心在第四象限． 8．垂直平分9．[答案] 2[解析] 这样的圆能画2个．如图，作AB 的垂直平分线l ，再以点A 为圆心，3 cm 为半径作圆交l 于O 1和O 2，然后分别以O 1和O 2为圆心，以3 cm 为半径作圆，则⊙O 1和⊙O 2为所求圆． 10．511．[答案] 0.5[解析] 如图，连接OC.∵△ABC 是圆的内接正三角形，∴∠OCD ＝30°. 又∵OD ⊥BC ，OC ＝1， ∴OD ＝12OC ＝0.5.12．[答案] 4π[解析] ∵AB ＝AC ，AD 是BC 边上的中线， ∴AD 垂直平分BC.∵分别以点A ，C 为圆心，以大于12AC 长为半径画弧，两弧分别交于点E ，F ，∴EF 垂直平分AC.∵直线EF 与AD 相交于点O ， ∴点O 为△ABC 外接圆的圆心， ∴AO 为△ABC 外接圆的半径， ∴△ABC 的外接圆的面积为4π. 13．[答案] 5[解析] 如图，分别作AB ，AC 的中垂线，两直线的交点为O ，以O 为圆心、OA 长为半径作圆，则⊙O 即为过A ，B ，C 三点的圆． 由图可知，⊙O 还经过点D ，E ，F ，G ，H 这5个格点． 故答案为5.14．解：连接AB ，AC ，分别作AB ，AC 的垂直平分线MN ，FD ，交点G 即为运动员公寓所建立的位置．图略．15．解：如图，过点A 作直径AD ，交BC 于点E ，连接OC.∵AB ＝AC ，∴AB ︵＝AC ︵， ∴AD 垂直平分BC ， ∴EC ＝12BC ＝6 cm .∵∠BAC ＝120°， ∴∠OAC ＝60°. 又∵OA ＝OC ，∴△OAC 为等边三角形， ∴∠AOC ＝60°.在Rt △OEC 中，sin ∠EOC ＝ECOC ，∴OC ＝632＝4 3(cm )，∴它的外接圆的直径为8 3 cm .16．解：(1)证明：∵BE 平分∠ABC ，AD 平分∠BAC ，∴∠ABE ＝∠CBE ，∠BAE ＝∠CAD ， ∴BD ︵＝CD ︵， ∴∠DBC ＝∠BAE.∵∠DBE ＝∠CBE ＋∠DBC ，∠DEB ＝∠ABE ＋∠BAE ， ∴∠DBE ＝∠DEB ， ∴DE ＝DB.(2)连接CD ，如图所示．由(1)得BD ︵＝CD ︵， ∴CD ＝BD ＝4. ∵∠BAC ＝90°， ∴BC 是直径， ∴∠BDC ＝90°，∴BC ＝BD 2＋CD 2＝4 2，∴△ABC 外接圆的半径＝12×4 2＝2 2.17．证明：(1)因为DC ＝DE ， 所以∠DEC ＝∠ACD ，则∠ABF ＝∠ADC ＝120°－∠ACD ＝120°－∠DEC ＝120°－(60°＋∠ADE)＝60°－∠ADE ，而∠F ＝60°－∠ACF. 因为∠ACF ＝∠ADE ，所以∠ABF ＝∠F ，所以AB ＝AF. (2)四边形ABCD 内接于⊙O ， 所以∠ABD ＝∠ACD.又DE ＝DC ，所以∠ACD ＝∠DEC ＝∠AEB ， 所以∠ABD ＝∠AEB ，所以AB ＝AE. 又因为AB ＝AF ，所以AB ＝AF ＝AE ， 即点A 是△BEF 的外心． [素养提升]解：(1)①若PB ＝PC ，连接PB ， 则∠PCB ＝∠PBC.∵CD 为等边三角形ABC 的高， ∴AD ＝BD ，∠PCB ＝30°， ∴∠PBD ＝∠PBC ＝30°， ∴PD ＝33DB ＝36AB. 与已知PD ＝12AB 矛盾，∴PB ≠PC.②若PA ＝PC ，连接PA ，则∠PCA ＝∠PAC. ∵CD 为等边三角形ABC 的高， ∴AD ＝BD ，∠PCA ＝30°， ∴∠PAD ＝∠PAC ＝30°， ∴PD ＝33DA ＝36AB. 与已知PD ＝12AB 矛盾，∴PA ≠PC.③若PA ＝PB ，由PD ＝12AB ，得PD ＝BD ，∴∠BPD ＝45°，故∠APB ＝90°. (2)①若PB ＝PA ，设PA ＝x. ∵∠C ＝90°，AB ＝13，BC ＝5， ∴AC ＝12，则CP ＝12－x ， ∴x 2＝(12－x)2＋52， 解得x ＝16924，即PA ＝16924.②若PA ＝PC ，则PA ＝6.③若PC ＝PB ，由图知，在Rt △PBC 中，不可能存在此种情况． 综上所述，PA ＝16924或PA ＝6.。
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2.4 过不共线三点作圆
1.了解不共线三点确定一个圆的方法，三角形的外接圆及外心等概念；
2.经历不共线三个点确定一个圆的探索过程，培养学生的探索能力．
自学指导阅读课本P61~62，完成下列问题.
知识探究
1．（1）经过一个已知点Ａ画圆；·A
想一想：经过已知点A可以画多少个圆？
解：无数个.
（2）经过两个已知点C、B画圆.
想一想：①经过两个已知点可以画多少个圆？
C·· B
解：无数个.
②圆心在哪儿？半径怎么确定？
解：圆心选取线段B C的垂直平分线上任意一点.半径取这一点与点B（C）的距离.
2．设三点A,B,C不在同一直线上.
⑴过三点A,B,C的圆的圆心在哪儿?怎么确定？
A··B
C·
解：圆心为线段AB,BC垂直平分线的交点.
⑵过不在同一直线上的三点A,B,C如何作圆?
已知:不在同一直线上的三点A,B,C，求作:圆O,使它经过点A,B,C.
作法: ①连结AB,作线段AB的垂直平分线EF；
②连结BC,作线段BC的垂直平分线MN；
③以 EF和MN的交点O为圆心,以OA（或OB或OC）为半径作圆，则圆O就是所求作的圆．
⑶过不在同一直线上的三点A,B,C能作多少个圆?为什么？
解：1个.
⑷过同一直线上的三点A,B,C能作一个圆吗?为什么？
解：不能.
定理：不在同一直线上的三个点确定一个圆.
强调：（１）过同一直线上三点不行；（２）“确定”一词应理解成“有且只有”.
3.经过三角形各顶点的圆叫作这个三角形的外接圆,外接圆的圆心叫作这个三角形的外心,这个三角形叫作这个圆的内接三角形，三角形的外心是它的三条边的垂直平分线的交点.
自学反馈
1.下列说法错误的是( C )
A．过一点有无数多个圆
B．过两点有无数多个圆
C．过三点只能确定一个圆
D．过直线上两点和直线外一点，可以确定一个圆
2.如图，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是（B ）
A.点P
B.点Q
C.点R
D.点M
活动1 小组讨论
例作出下列三角形的外接圆（只要作图痕迹，不要求作法）
解：略.
活动2 跟踪训练
1. 若三角形的外心在它的一条边上，那么这个三角形是直角三角形．
2. 如图，直角坐标系中一条圆弧经过网格点A，B，C，其中B点坐标为（4，4），则该圆弧所在圆的圆心坐标为（2，0）．
3.若O为△ABC的外心，且∠BOC=60°，则∠BAC的度数为 30°或150°．
4.⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC=120°，AB=AC=3，BD是⊙O的直径，连接AD．求AD的长．
解：∵BD是直径，∴∠BAD=90°.
又∵AB=AC，∠BAC=120°，∴∠C=30°.∴∠D=30°.
又AB=3，∴BD=2AB=6.∴AD==3．
5.如图（1）△ABC为直角三角形，∠A=90°，BC=6；
如图（2）△ABC为锐角三角形，∠A=60°，BC=6；
如图（3）△ABC为钝角三角形，∠A=150°，BC=6；+
操作：①分别画出能够覆盖上述三个三角形的最小圆；
②计算：分别求出上面画出的三个最小圆的半径．
解：（1）操作：如图
（2）连接OB，OC，过点O作OD⊥BC，在直角三角形中，
∵BC=6，∴OB=OC=3。
∴⊙O的半径为3.
在锐角三角形中，∵∠A=60°，BC=6，∴∠BOC=120°，∠OBC=30°，DB=DC=3. ∴cos30°=，∴OB=3×=2.
∴⊙O的半径为2.
在钝角三角形中，∵∠A=150°，BC=6，∴∠BOC=60°，∠D
活动3 课堂小结
本节课你学到了什么？有什么收获和体会？还有什么困惑？。