(江苏专版)2014届高考数学大二轮专题复习-审题-解题-回扣压轴大题突破练(二)-文
2014年江苏省高考压轴卷数学
2014年江苏省高考压轴卷数学1．设全集U=R ，A ={}1,2,3,4,5，B ={ x ∈R ︱x 2+ x －6=0}，则下图中阴影表示的集合为▲ . 2. 若,32121=+-xx 则3322x x-+= ▲ .3. 设函数2()ln f x x x =-，若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为y ax b =+，则=+b a ▲ .4．已知a =log 0.55，b =log 0.53，c =log 32，d =20.3，则a,b,c,d 依小到大排列为 ▲ .5．已知函数()()12321,2log 1,2x e x f x x x -⎧-<⎪=⎨-≥⎪⎩，则()()2f f = ▲ .6．函数f (x )的定义域为 ▲ .7．设定义在R 上的函数()f x ，满足(2)()0f x f x +-=，若01x <<时()f x =2x ，则21(log )48f = ▲ . 8．函数2()xf x x e =在区间(),1a a +上存在极值点，则实数a 的取值范围为 ▲ .9．已知命题p ：{|||4}A x x a =-<，命题q :{|(2)(3)0}B x x x =-->,若p ⌝是q ⌝的充分条件，则a 的取值范围为 ▲ .10．已知函数3()f x x x x =+,若2(2)(3)0f x f x ++<，则实数x 的取值范围是 ▲ .11．若函数2()ln f x mx x =+在定义域内是增函数，则实数m 的取值范围是 ▲ .12．对于R 上可导的非常数函数)(x f ，若满足0)(')1(≥-x f x ，则(0)(2)2(1)f f f +与的大小关系为 ▲ .13．下列四个命题中，所有真命题的序号是 ▲ . ①,()()m m m R f x m x-+∃∈=-243使1是幂函数；②若函数()f x 满足(1)(1)f x f x +=-，则函数()f x 周期为2； ③如果10≠>a a 且，那么)(log )(log x g x f a a =的充要条件是)()(x g x f a a=；④命题“,x R x x ∀∈--≥2都有320”的否定是“,x R x x ∃∈--≤2使得320”.14．已知函数1()()2(),f x f x f x =满足当x ∈[1,3]，()ln f x x =，若在区间1[,3]3内，函数()()g x f x ax =-有三个不同零点，则实数a 的取值范围是 ▲ .二.解答题: 本大题共6小题．共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分14分）设集合21|,0,11x A y y x x x +⎧⎫==≥≠⎨⎬-⎩⎭且，集合{}22|lg (21),B x y x a x a a a R ⎡⎤==-+++∈⎣⎦．（1）求集合,A B ； （2）若AB R =,求实数a 的取值范围16．（本小题满分14分）设命题p ：存在x ∈R ，使关于x 的不等式220x x m +-≤成立；命题q ：关于x 的方程(4)394x x m -⋅=+有解；若命题p 与q 有且只有一个为真命题，求实数m 的取值范围．17．（本小题满分14分） 设21()log 1axf x x x -=--为奇函数，a 为常数． （1）求a 的值；（2）判断并证明函数)(x f 在),1(+∞∈x 时的单调性；（3）若对于区间[]2,3上的每一个x 值，不等式()2x f x m >+恒成立，求实数m 取值范围．18. （本小题满分16分）某国庆纪念品，每件成本为30元，每卖出一件产品需向税务部门上缴a 元（a 为常数，4≤a ≤6)的税收.设每件产品的售价为x 元，根据市场调查，当35≤x ≤40时日销售量与1e x⎛⎫⎪⎝⎭（e 为自然对数的底数）成正比.当40≤x ≤50时日销售量与2x 成反比，已知每件产品的售价为40元时，日销售量为10件.记该商品的日利润为L (x )元.（1）求L （x )关于x 的函数关系式；（2）当每件产品的售价x 为多少元时，才能使L （x )最大，并求出L （x )的最大值.19. （本小题满分16分）已知命题p :“函数()y f x =的图像关于点( )P a b 、成中心对称图形”的充要条件为“函数()y f x a b =+- 是奇函数”.（1）试判断命题p 的真假？并说明理由；（2）设函数32()3g x x x =-，求函数()g x 图像对称中心的坐标;（3）试判断“存在实数a 和b ,使得函数()y f x a b =+- 是偶函数”是“函数 ()y f x =的图像关于某直线成轴对称图像”成立的什么条件？请说明理由．20．（本小题满分16分）设函数()ln f x a x x1=+，a ∈R ．（1）求函数)(x f 的单调区间；（2）当0a >时，若对任意0x >，不等式()2f x a ≥成立，求a 的取值范围； （3）当0a <时，设10x >，20x >，试比较)2(21x x f +与2)()(21x f x f +的大小并说明理由．数学加试试卷解答题（共4小题，每小题10分共40分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 21. 求下列函数)32(sin 2π+=x y 的导数.22. 将水注入锥形容器中，其速度为min /43m ，设锥形容器的高为m 8，顶口直径为m 6，求当水深为m 5时，水面上升的速度.23. 证明下列命题:（1）若函数f （x ）可导且为周期函数，则f'（x ）也为周期函数； （2）可导的奇函数的导函数是偶函数.24. 已知()()3211ln ,32f x xg x x x mx n ==+++，直线与函数()(),f x g x 的图象都相切于点()1,0 （1）求直线的方程及()g x 的解析式；（2）若()()()'h x f x g x =-（其中()'g x 是()g x 的导函数），求函数()h x 的值域.参考答案一.填空题: 本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上1．{}2 2．18 3．1 4. a <b <c <d 5. 1 6. {}2x x > 7.438. (3,2)(1,0)--⋃- 9.16a -≤≤10.(2,1)-- 11. 0m ≥ 12. (0)(2)2(1)f f f +> （≥）13.① 14. ln 31[,)3e二.解答题: 本大题共6小题．共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.解：（1）A ＝{}|12x x x ≤->或 …………………………………………………………5分B ＝{}|1x x a x a <>+或 …………………………………………………………8分（2）由AB R =得，11a +≤-或2a > …………………………………………12分即2a ≤-或 2a >,所以(](),22,a ∈-∞-+∞ ………………………………14分16.解：由命题p 为真：440m ∆=+≥，得1m ≥- ………………………………4分 由(4)394xxm -⋅=+得44303x xm ⎛⎫=-+≤ ⎪⎝⎭所以命题q 为真时，0m ≤ ………………………………8分若命题p 为真，命题q 为假，则1m ≥-且0m >得0m >若命题p 为假，命题q 为真，则1m <-且0m ≤得1m <- ………………………12分 所以实数m 的取值范围为(,1)(0,)-∞-+∞ ………………………………………14分17. 解：（1）由条件得：0)()(=+-x f x f ，2211log log 011ax axx x +-∴+=---， 化简得0)1(22=-x a ，因此1,012±==-a a ，但1=a 不符合题意，因此1-=a ． ………………4分 （也可以直接根据函数定义域关于坐标原点对称，得出结果，同样给分）（2）判断函数)(x f 在),1(+∞∈x 上为单调减函数；证明如下：设121x x <<<+∞121212212222112121111()()log log log ()1111x x x x f x f x x x x x x x x x +++--=--+=⋅+----+ 121x x <<<+∞ 21120,10,10x x x x ∴->±>±> 12121212(1)(1)(1)(1)1x x x x x x x x +---+=-+-12122112()0x x x x x x --++=-> 又1212(1)(1)0,(1)(1)0x x x x +->-+>∴12121111x x x x +-⋅-+，1221211log 011x x x x +-⋅>-+，又210x x ->∴12()()0f x f x ->，即12()()f x f x > ∴函数)(x f 在),1(+∞∈x 上为单调减函数；（也可以利用导数证明，对照给分） ………………………………………………9分 （3）不等式为()2xm f x <-恒成立，min [()2]x m f x ∴<-)(x f 在[2,3]x ∈上单调递减，2x 在[2,3]x ∈上单调递增，()2x f x ∴-在[2,3]x ∈上单调递减，当3x =时取得最小值为10-，(,10)m ∴∈-∞-。
【步步高 江苏专用(理)】2014届高三数学《大二轮专题复习与增分策略》专题七 第2讲
说明：矩阵乘法 MN 的几何意义为对向量的连续实施的两 次几何变换(先 TN 后 TM)的复合变换．
主干知识梳理
专题七 第2讲
一般地，对于平面上的任意一个点 (向量)(x，y)，若按照 对应法则 T， 总能对应惟一的一个平面点(向量)(x′， y′)，
本 讲 栏 目 开 关
则称 T 为一个变换，简记为 T：(x，y)→(x′，y′)或 T： x x′ → . y y′ 2．几种常见的平面变换 (1)恒等变换；(2)伸缩变换；(3)反射变换；(4)旋转变换； (5)投影变换；(6)切变变换．
主干知识梳理
专题七 第2讲
1．矩阵乘法的定义
本 讲 栏 目 开 关
b11 一般地， 我们规定行矩阵[a11，a12]与列矩阵 b 的乘法规则 21 b11 a b 为[a11，a12] ＝[a11b11＋a12b21]，二阶矩阵 与列矩 c d b21 x a bx ax＋by 阵 的乘法规则为 ＝ . c d y y cx＋dy
－ － －
热点分类突破
(2013· 江苏)已知矩阵 矩阵 A－1B.
解 设矩阵 A
本 讲 栏 目 开 关
－1 则 0 －a 即 2c
a 的逆矩阵为 c
－1 A＝ 0
专题七 第2讲
1 0 ， B ＝ 0 2
2 ，求 6
本 讲 栏 目 开 关
(1)取曲线f(x，y)＝0上的任意一点A(x，y)； (2)A(x，y)通过二阶矩阵变换得A′(x′，y′)； (3)用x表示x′，y表示y′代入f(x，y)＝0，得g(x′，y′)＝ 0； (4)g(x′，y′)＝0用x代替x′，y代替y′，得g(x，y)＝0，即 为所求．
(江苏专版)2014届高考数学大二轮专题复习 审题 解题 回扣(要点回扣+易错警示+查缺补漏)中档大
中档大题保分练 中档大题保分练(一)(推荐时间：50分钟)1．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，m ＝(cos(x －B )，cos B )，n ＝⎝⎛⎭⎪⎫cos x ，－12，f (x )＝m ·n ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝14.(1)求角B 的值；(2)若b ＝14，BA →·BC →＝6，求a 和c 的值． 解 (1)f (x )＝m ·n ＝cos x ·cos(x －B )－12cos B＝cos 2x cos B ＋cos x sin x sin B －12cos B＝12(cos 2x ·cos B ＋sin 2x ·sin B )＝12cos(2x －B )， ∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝14，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－B ＝12， 又∵B 为△ABC 的内角，∴2π3－B ＝π3即B ＝π3.(2)由BA →·BC →＝6，及B ＝π3，得ac ·cos π3＝6，即ac ＝12，在△ABC 中，由余弦定理：b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B 得 14＝a 2＋c 2－2ac cos π3，a 2＋c 2＝26，从而(a ＋c )2－2ac ＝26，(a ＋c )2＝50，∴a ＋c ＝5 2.解方程组⎩⎨⎧ac ＝12a ＋c ＝52，得⎩⎨⎧a ＝22c ＝32，或⎩⎨⎧a ＝32c ＝22.2．设数列{a n }的前n 项和为S n ，点⎝⎛⎭⎪⎫n ，S n n(n ∈N *)均在函数y ＝2x －1的图象上．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝4a n a n ＋1，T n 是数列{b n }的前n 项和，求证：T n <1.(1)解 由条件S n n＝2n －1，即S n ＝2n 2－n . 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝()2n 2－n －[2(n －1)2－(n －1)]＝4n －3.又n ＝1时，a 1＝S 1＝1适合上式， 所以a n ＝4n －3(n ∈N *)． (2)证明 b n ＝4a n a n ＋1＝44n －34n ＋1＝14n －3－14n ＋1. ∴T n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－15＋⎝ ⎛⎭⎪⎫15－19＋⎝ ⎛⎭⎪⎫19－113＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫14n －3－14n ＋1 ＝1－14n ＋1.∵n ∈N *，∴－14n ＋1<0，∴1－14n ＋1<1，即T n <1.3．M 公司从某大学招收毕业生，经过综合测试，录用了14名男生和6名女生．这20名毕业生的测试成绩如茎叶图所示(单位：分)，公司规定：成绩在180分以上者到“甲部门”工作；180分以下者到“乙部门”工作．另外只有成绩高于180分的男生才能担任“助理工作”．(1)如果用分层抽样的方法从“甲部门”人选和“乙部门”人选中选取8人，再从这8人中选3人，那么至少有一人是“甲部门”人选的概率是多少？(2)若从所有“甲部门”人选中随机选3人，用X 表示所选人员中能担任“助理工作”的人数，写出X 的分布列，并求出X 的数学期望．解 (1)用分层抽样的方法， 每个人被抽中的概率是820＝25.根据茎叶图，有“甲部门”人选10人，“乙部门”人选10人， 所以选中的“甲部门”人选有10×25＝4人，“乙部门”人选有10×25＝4人．用事件A 表示“至少有一名甲部门人选被选中”， 则它的对立事件A 表示“没有一名甲部门人选被选中”， 则P (A )＝1－P (A )＝1－C 34C 38＝1－456＝1314.因此，至少有一人是“甲部门”人选的概率是1314.(2)依题意，所选毕业生中能担任“助理工作”的人数X 的取值分别为0,1,2,3. P (X ＝0)＝C 06C 34C 310＝130，P (X ＝1)＝C 16C 24C 310＝310，P (X ＝2)＝C 26C 14C 310＝12，P (X ＝3)＝C 36C 04C 310＝16，因此，X 的分布列如下：X 0 1 2 3 P1303101216所以X 的数学期望E (X )＝0×30＋1×10＋2×2＋3×6＝5.4．在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是直角梯形，AB ∥CD ，∠ABC＝90°，AB ＝PB ＝PC ＝BC ＝2CD ，平面PBC ⊥平面ABCD . (1)求证：AB ⊥平面PBC ；(2)求平面ADP 与平面BCP 所成的二面角(小于90°)的大小；(3)在棱PB 上是否存在点M 使得CM ∥平面PAD ？若存在，求PMPB的值；若不存在，请说明理由．(1)证明 因为∠ABC ＝90°， 所以AB ⊥BC .因为平面PBC ⊥平面ABCD ， 平面PBC ∩平面ABCD ＝BC ，AB ⊂平面ABCD ，所以AB ⊥平面PBC .(2)解 如图，取BC 的中点O ，连接PO . 因为PB ＝PC ，所以PO ⊥BC . 因为平面PBC ⊥平面ABCD ，平面PBC ∩平面ABCD ＝BC ，PO ⊂平面PBC ， 所以PO ⊥平面ABCD .以O 为原点，OB 所在的直线为x 轴，在平面ABCD 内过O 垂直 于BC 的直线为y 轴，OP 所在的直线为z 轴建立空间直角坐标系O －xyz .不妨设BC ＝2.由AB ＝PB ＝PC ＝BC ＝2CD 可得，P (0,0，3)，D (－1,1,0)，A (1,2,0)．所以DP →＝(1，－1，3)，DA →＝(2,1,0)． 设平面ADP 的法向量为m ＝(x ，y ，z )． 因为⎩⎪⎨⎪⎧m ·DP →＝0，m ·DA →＝0，所以⎩⎨⎧x －y ＋3z ＝0，2x ＋y ＝0.令x ＝－1，则y ＝2，z ＝ 3. 所以m ＝(－1,2，3)．取平面BCP 的一个法向量n ＝(0,1,0)．所以cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m |·|n |＝22.所以平面ADP 和平面BCP 所成的二面角(小于90°)的大小为π4.(3)解 在棱PB 上存在点M 使得CM ∥平面PAD ，此时PM PB ＝12.取AB 的中点N ，连接CM ，，MN ， 则MN ∥PA ，AN ＝12AB .因为AB ＝2CD ， 所以AN ＝CD . 因为AB ∥CD ，所以四边形ANCD 是平行四边形， 所以∥AD .因为MN ∩＝N ，PA ∩AD ＝A ， 所以平面MNC ∥平面PAD .因为CM⊂平面MNC，所以CM∥平面PAD.。
(江苏专版)2014届高考数学大二轮专题复习 审题 解题 回扣(要点回扣+易错警示+查缺补漏)第一篇
2014届高考数学（文科，某某专版）大二轮专题复习-审题·解题·回扣 word版（要点回扣+易错警示+查缺补漏）：第一篇审题是解题的开端，深入细致的审题是成功解题的必要前提．著名数学教育家波利亚说，“最糟糕的情况就是学生没有弄清问题就进行演算和作图．”为此波利亚总结出一X“怎样解题表”，将解题的过程分为四个阶段．其中第一步弄清问题就是我们常说的审题．审题就是多角度地观察，由表及里，由条件到结论，由数式到图形，洞察问题实质，选择正确的解题方向．事实上，很多考生往往对审题掉以轻心，或不知从何处入手进行审题，致使解题失误而丢分，真是令人痛心不已．本讲结合实例，教你正确的审题方法，给你制订一条“审题路线图”，破解高考不再难．一审条件挖隐含任何一个数学问题都是由条件和结论两部分构成的．条件是解题的主要素材，充分利用条件间的内在联系是解题的必经之路．条件有明示的，有隐含的，审视条件更重要的是要充分挖掘每一个条件的内涵和隐含的信息，发挥隐含条件的解题功能．例1已知0≤α<β<γ<2π，且sin α＋sin β＋sin γ＝0，cos α＋cos β＋cos γ＝0，求β－α.审题路线图条件sin α＋sin β＋sin γ＝0，cos α＋cos β＋cos γ＝0根据审题路线图，可以规X 地将题目解出．解 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧sin α＋sin β＝－sin γ， ①cos α＋cos β＝－cos γ， ②①2＋②2得2＋2(sin αsin β＋cos αcos β)＝1， 故cos(β－α)＝－12.由0≤α<β<γ<2π，知0<β－α<2π，所以β－α＝2π3或β－α＝4π3.同理可得cos(γ－α)＝－12，0<γ－α<2π，所以γ－α＝2π3或γ－α＝4π3.由于β<γ，得β－α<γ－α，所以β－α取小值，γ－α取大值，即β－α＝2π3.设α，β都是锐角，且cos α＝55，sin(α＋β)＝35，则cos β等于( ) A.2525B.255C.2525或255 D.55或525答案 A解析 依题意得sin α＝1－cos 2α＝255， cos(α＋β)＝±1－sin2α＋β＝±45.又α，β均为锐角，所以0<α<α＋β<π，cos α>cos(α＋β)． 因为45>55>－45，所以cos(α＋β)＝－45.于是cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α ＝－45×55＋35×255＝2525.故选A.二审结论会转换问题解决的最终目标就是求出结论或说明已给结论正确或错误．因而解决问题时的思维过程大多都是围绕着结论这个目标进行定向思考的．审视结论，就是在结论的启发下，探索已知条件和结论之间的内在联系和转化规律．善于从结论中捕捉解题信息，善于对结论进行转化，使之逐步靠近条件，从而发现和确定解题方向．例2 已知抛物线C ：x 2＝2py (p >0)的焦点为F ，A 、B 是抛物线C 上异于坐标原点O 的不同两点，抛物线C 在点A ，B 处的切线分别为l 1，l 2，且l 1⊥l 2，l 1与l 2相交于点D . (1)求点D 的纵坐标； (2)证明：直线AB 过定点． 审题路线图通过审视结论，我们画出了审题路线图，根据审题路线图，即可规X 求解． (1)解 如图，设点A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)． ∵l 1，l 2分别是抛物线C 在点A ，B 处的切线， ∴直线l 1的斜率k 1＝y ′|x ＝x 1＝x 1p， 直线l 2的斜率k 2＝y ′|x ＝x 2＝x 2p. ∵l 1⊥l 2，∴k 1k 2＝－1，得x 1x 2＝－p 2.∵A ，B 是抛物线C 上的点，∴y 1＝x 212p ，y 2＝x 222p .∴直线l 1的方程为y －x 212p ＝x 1p (x －x 1)，直线l 2的方程为y －x 222p ＝x 2p(x －x 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y －x 212p ＝x 1px －x 1y －x 222p ＝x2px －x 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1＋x 22y ＝－p2.∴点D 的纵坐标为－p2.(2)证明 ∵F 为抛物线C 的焦点，∴F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2.∴AF →＝⎝⎛⎭⎪⎫－x 1，p 2－x 212p ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 1，p 2－x 212p ，BF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 2，p 2－x 222p ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 2，p 2－x 222p . ∵p 2－x 212p p 2－x 222p＝p 2－x 21p 2－x 22＝－x 1x 2－x 21－x 1x 2－x 22＝x 1x 2， ∴AF →∥BF →，即直线AB 过定点F .已知椭圆x 22＋y 24＝1的上、下焦点分别为F 1、F 2，点P 在第一象限且是椭圆上一点，并满足PF 1→·PF 2→＝1，过P 作倾斜角互补的两条直线PA 、PB 分别交椭圆于A 、B 两点．(1)求证：直线AB 的斜率为定值； (2)求△PAB 面积的最大值．(1)证明 由条件可得F 1(0，2)，F 2(0，－2)， 设P (x 0，y 0) (x 0>0，y 0>0)，则PF 1→＝(－x 0，2－y 0)，PF 2→＝(－x 0，－2－y 0)， 所以PF 1→·PF 2→＝x 20－(2－y 20)＝1， 又点P (x 0，y 0)在椭圆上， 所以x 202＋y 204＝1，所以x 2＝4－y 202，从而4－y 202－(2－y 20)＝1，得y 0＝ 2.则点P 的坐标为(1，2)．因为直线PA 、PB 的斜率必存在，故不妨设直线PB 的斜率为k (k >0)，则直线PB 的方程为y －2＝k (x －1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y －2＝k x －1x 22＋y 24＝1，消去y ，得(2＋k 2)x 2＋2k (2－k )x ＋(2－k )2－4＝0， 设B (x B ，y B )，A (x A ，y A )，则1＋x B ＝2k k －22＋k2，x B ＝2k k －22＋k 2－1＝k 2－22k －22＋k2， 同理可得x A ＝k 2＋22k －22＋k2， 则x A －x B ＝42k2＋k2，y A －y B ＝－k (x A －1)－k (x B －1)＝8k 2＋k2. 所以直线AB 的斜率k AB ＝y A －y Bx A －x B＝2为定值． (2)解 由(1)可设直线AB 的方程为y ＝2x ＋m .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋m x 22＋y 24＝1，消去y ，得4x 2＋22mx ＋m 2－4＝0， 由Δ＝(22m )2－16(m 2－4)>0，得m 2<8， 即－22<m <22，又点P 到直线AB 的距离为d ＝|m |3，则S △PAB ＝12|AB |d ＝121＋2|x A －x B |d＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫4－12m 2×3×|m |3＝18m 2－m 2＋8≤18⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2－m 2＋822＝ 2. 当且仅当m ＝±2时取等号． 所以△PAB 面积的最大值为 2. 三审图形抓特点在不少数学高考试题中，问题的条件往往是以图形的形式给出，或将条件隐含在图形之中，因此在审题时，要善于观察图形，洞悉图形所隐含的特殊的关系、数值的特点、变化的趋势．抓住图形的特征，运用数形结合的数学思想方法，是破解考题的关键． 例3 给定两个长度为1的平面向量OA →和OB →，它们的夹角为120°.如图所示，点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上变动，若OC →＝xOA →＋yOB →，其中x ，y ∈R ，则x ＋y 的最大值是______．审题路线图〈观察方向一〉〈观察方向二〉〈观察方向三〉解析建立如图所示的坐标系，则A(1,0)，B(cos 120°，sin 120°)，即B (－12，32)．设∠AOC ＝α，则OC →＝(cos α，sin α)． ∵OC →＝xOA →＋yOB →＝(x,0)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－y2，32y ＝(cos α，sin α)．∴⎩⎪⎨⎪⎧x －y2＝cos α，32y ＝sin α.∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin α3＋cos α，y ＝2sin α3，∴x ＋y ＝3sin α＋cos α＝2sin(α＋30°)． ∵0°≤α≤120°，∴30°≤α＋30°≤150°. ∴x ＋y 有最大值2，当α＝60°时取最大值． 答案 2点评 从上面三种审题角度看，认真审图，抓住图形特征，解题又快又准，所以观察方向三值得考虑．如图是半径为2，圆心角为90°的直角扇形OAB ，Q 为AB 上一点， 点P 在扇形内(含边界)，且OP →＝tOA →＋(1－t )OB →(0≤t ≤1)，则OP →·OQ →的最大值为________． 答案 4解析 ∵OP →＝tOA →＋(1－t )OB →， ∴B ，P ，A 三点共线，∴BP →＝tBA →， 又0≤t ≤1，∴P 在线段BA 上运动． ∵Q 为AB 上一点，设∠POQ ＝θ，∴OP →·OQ →＝|OP →||OQ →|cos θ＝2|OP →|cos θ≤2|OP →|≤2×2＝4， 即当P ，Q 重合且位于A 或B 处时，OP →·OQ →取得最大值4. 四审结构定方案数学问题中的条件和结论，很多都是以数式的结构形式进行搭配和呈现的．在这些问题的数式结构中，往往都隐含着某种特殊关系，认真审视数式的结构特征，对数式结构进行深入分析，加工转化，可以寻找到突破问题的方案．例4 在锐角△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .若b a ＋a b ＝6cos C ，则tan C tan A ＋tan Ctan B的值是________． 审题路线图 〈观察方向一〉〈观察方向二〉解析 由b a ＋a b＝6cos C ，得b 2＋a 2＝6ab cos C . 化简整理得2(a 2＋b 2)＝3c 2，将tan C tan A ＋tan C tan B 切化弦，得sin C cos C ·(cos A sin A ＋cos Bsin B ) ＝sin C cos C ·sin A ＋Bsin A sin B ＝sin C cos C ·sin Csin A sin B＝sin 2Ccos C sin A sin B . 根据正、余弦定理得 sin 2Ccos C sin A sin B＝c 2ab ·a 2＋b 2－c 22ab＝2c 2a 2＋b 2－c 2＝2c 232c 2－c 2＝4. 答案 4点评 观察方向二从数式的特点出发，选择特殊化方法，这种解题方案往往会达到令人非常满意的效果．已知O 是锐角△ABC 的外接圆的圆心，且∠A ＝θ，若cos B sin C ·AB →＋cos C sin B·AC→＝2mAO →，则m ＝________(用θ的三角函数表示)． 答案 sin θ解析 方法一 设AB ＝c ，AC ＝b ，AO ＝R ， 将等式cos B sin C ·AB →＋cos C sin B ·AC →＝2mAO →两边平方，得cos 2B ·⎝⎛⎭⎪⎫c sin C 2＋cos 2C ·⎝ ⎛⎭⎪⎫b sin B 2＋2cos B cos C ·c sin C ·b sin B ·cos θ＝4m 2R 2.设△ABC 的外接圆半径为R ，由正弦定理，得 cos 2B ＋cos 2C ＋2cos B cos C cos θ＝m 2.降幂，得1＋12cos 2B ＋12cos 2C ＋2cos B cos C cos θ＝m 2，则m 2＝1＋12cos[(B ＋C )＋(B －C )]＋12cos[(B ＋C )－(B －C )]＋2cos B cos C cos θ， 将上式右边展开并化简，得m 2＝1＋cos θcos(B ＋C )＝1－cos 2θ＝sin 2θ.注意到m >0，可知m ＝sin θ. 方法二 设AB ＝c ，AC ＝b ，AO ＝R ， ∠BAO ＝α，∠CAO ＝β.等式cos B sin C ·AB →＋cos C sin B ·AC →＝2mAO →两边同时乘以AO →，得cos B sin C ·cR cos α＋cos C sin B ·bR cos β＝2mR 2， 由正弦定理及cos α＝c2R＝sin C ，cos β＝b2R ＝sin B ，得cos B sin C ＋cos C sin B ＝m ，所以m ＝sin(C ＋B )＝sin θ.方法三 设A ＝B ＝C ＝θ＝60°，AB ＝AC ＝1， 则AB →＋AC →＝23mAO →，上式两边平方，得1＋1＋1＝4m 2，注意到m >0， 所以m ＝32＝sin 60°＝sin θ. 五审图表、数据找规律题目中的图表、数据包含着问题的基本信息，往往也暗示着解决问题的目标和方向．在审题时，要认真观察分析图表、数据的特征和规律，常常可以找到解决问题的思路和方法．例5(2012·某某)某超市为了了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示.一次购物量1至4件5至8件9至12件13至16件17件及以上顾客数(人)x 3025y 10结算时间(分钟/人)1 1.52 2.5 3已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%.(1)确定x，y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过．．．2分钟的概率．(将频率视为概率) 审题路线图解(1)由已知得25＋y＋10＝55，x＋30＝45，所以x＝15，y＝20.该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本，顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计，其估计值为1×15＋1.5×30＋2×25＋2.5×20＋3×10100＝1.9(分钟)．(2)记A为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”，A1，A2，A3分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为1分钟”，“该顾客一次购物的结算时间为1.5分钟”，“该顾客一次购物的结算时间为2分钟”．将频率视为概率得P(A1)＝15100＝320，P(A2)＝30100＝310，P (A 3)＝25100＝14. 因为A ＝A 1∪A 2∪A 3，且A 1，A 2，A 3是互斥事件， 所以P (A )＝P (A 1∪A 2∪A 3) ＝P (A 1)＋P (A 2)＋P (A 3) ＝320＋310＋14＝710. 故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为710.对某校高一年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取M 名学生作为样本，得到这M 名学生参加社区服务 的次数．根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图：次数分组 频数 频率 [10,15) 10 0.25[15,20) 25n [20,25) mp[25,30) 20.05 合计M1(1)求出表中的M 、p 及图中a 的值；(2)若该校高一年级有学生360人，试估计他们参加社区服务的次数在区间[15,20)内的人数；(3)在所取样本中，从参加社区服务的次数不少于20次的学生中任选2人，求至多一人参加社区服务次数在区间[20,25)内的概率．解 (1)由区间[10,15)内的频数是10，频率是0.25知，10M＝0.25，所以M ＝40.因为频数之和为40，所以10＋25＋m ＋2＝40，解得m ＝3，p ＝m M ＝340，n ＝2540＝0.625.因为a 是区间[15,20)内的频率组距，所以a ＝n5＝0.125.(2)参加社区服务的次数在区间[15,20)内的人数约为360×0.625＝225.(3)在样本中，在区间[20,25)内的人数为3，可分别记为A ，B ，C ，在区间[25,30)内的人数为2，可分别记为a ，b .从该5名同学中取出2人的取法有(A ，a )，(A ，b )，(B ，a )，(B ，b )，(C ，a )，(C ，b )，(A ，B )，(A ，C )，(B ，C )，(a ，b )，共10种，至多一人在区间[20,25)内的情况有(A ，a )，(A ，b )，(B ，a )，(B ，b )，(C ，a )，(C ，b )，(a ，b )，共7种，所以至多一人参加社区服务次数在区间[20,25)内的概率为710.六审细节更完善审题不仅要从宏观上、整体上去分析、去把握，还要更加注意审视一些细节上的问题．例如括号内的标注、数据的X 围、图象的特点等．因为标注、X 围大多是对数学概念、公式、定理中所涉及的一些量或解析式的限制条件．审视细节能适时地利用相关量的约束条件，调整解决问题的方向．所以说重视审视细节，更能体现审题的深刻性． 例6 各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，S n ＝14a 2n ＋12a n (n ∈N *)．(1)求a n ；(2)令b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a n ， n 为奇数，b n2， n 为偶数，＝b 2n ＋4 (n ∈N *)，求{}的前n 项和T n .审题路线图解 (1)a 1＝S 1＝14a 21＋12a 1⇒14a 21－12a 1＝0，因为a 1>0，故a 1＝2； 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1 ＝14a 2n ＋12a n －14a 2n －1－12a n －1， 所以14(a 2n －a 2n －1)－12(a n ＋a n －1)＝0，即(a n ＋a n －1)(a n －a n －1－2)＝0.因为a n >0，所以a n －a n －1＝2，即{a n }为等差数列， 所以a n ＝2n (n ∈N *)．(2)c 1＝b 6＝b 3＝a 3＝6，c 2＝b 8＝b 4＝b 2＝b 1＝a 1＝2，n ≥3时，＝b 2n ＋4＝b 2n －1＋2＝b 2n －2＋1＝a 2n －2＋1＝2n －1＋2，此时，T n ＝8＋(22＋2)＋(23＋2)＋…＋(2n －1＋2)＝2n＋2n ；当n ＝2时，T 2＝22＋2×2＝8＝c 1＋c 2.所以T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧6， n ＝1，2n ＋2n ， n ≥2且n ∈N *.点评 从审题路线图可以看出，细节对思维的方向不断地修正着．已知数列{a n }的首项a 1＝t >0，a n ＋1＝3a n 2a n ＋1，n ＝1,2，….(1)若t ＝35，求证：⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n －1是等比数列，并求出{a n }的通项公式； (2)若a n ＋1>a n 对一切n ∈N *都成立，求t 的取值X 围． (1)证明 由题意知a n >0，1a n ＋1＝2a n ＋13a n ＝13a n ＋23，1a n ＋1－1＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n －1，由于a 1＝t ＝35，所以1a 1－1＝23.所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n －1是首项为23，公比为13的等比数列，1a n －1＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1＝23n ， 所以a n ＝3n3n ＋2.(2)解 由(1)知1a n ＋1－1＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n －1，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n －1的通项为1a n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1t －1⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1，由a 1>0，a n ＋1＝3a n2a n ＋1知a n >0，又a n ＋1>a n ，得1a n ＋1<1a n.即⎝ ⎛⎭⎪⎫1t －1⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ＋1<⎝ ⎛⎭⎪⎫1t －1⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1＋1， 得1t－1>0，又t >0，所以t 的取值X 围是(0,1)．1．解题先审题，养成认真审题，缜密思考的良好习惯．2．审题要慢要细，要谨慎思考：(1)全部的条件和结论；(2)必要的图形和图表；(3)数学式子和数学符号．要善于捕捉题目中的有效信息，要有较强的洞察力和显化隐含条件的能力．要制订和用好审题路线图．3．审题路线图：一审条件挖隐含→二审结论会转换→三审图形抓特点→四审结构定方案→五审图表、数据找规律→六审细节更完善.。
【步步高 江苏专用(理)】2014届高三数学《大二轮专题复习与增分策略》专题七 第1讲
第1讲几何证明选讲【高考考情解读】高考中主要考查三角形相似、平行截割定理、直角三角形射影定理以及与圆有关的性质和判定，考查逻辑推理能力．与圆有关的切线、割线以及三角形的综合问题是高考的热点．高考中主要是应用定理解决有关求角、求线段长、求线段长的比以及证明等类型的题目，题型以解答题形式出现，难度为中档，分值为10分．1．相似三角形的判定与性质(1)判定定理①两角对应相等的两个三角形相似；②三边对应成比例的两个三角形相似；③两边对应成比例，并且夹角相等的两个三角形相似．(2)性质定理①相似三角形对应边上的高的比、中线的比和对应角平分线的比都等于相似比．②相似三角形周长的比等于相似比．③相似三角形面积的比等于相似比的平方．2．直角三角形的射影定理及逆定理(1)射影定理：直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项．(2)射影定理的逆定理：如果一个三角形一边上的高是另两边在这条边上的射影的比例中项，那么这个三角形是直角三角形．3．圆周角与圆心角定理(1)圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．(2)圆心角定理：圆心角的度数等于它所对弧的度数．(3)推论：①同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等；②半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径．4．圆内接四边形的性质与判定定理(1)判定定理：如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆． 推论：如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆． (2)性质定理：①圆的内接四边形的对角互补；②圆内接四边形的外角等于它的内角的对角．5． 圆的切线的判定及性质(1)圆的切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． (2)圆的切线的性质定理①圆的切线垂直于经过切点的半径． ②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． ③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．(3)弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角． 6． 直线与圆位置关系的“四定理”(1)相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．(2)割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等．(3)切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．(4)切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角.考点一 相似三角形的判定与性质例1 如右图，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，且AB ＝2CD ，E 、F 分别是AB 、BC 的中点，EF 与BD 相交于点M . (1)求证：△EDM ∽△FBM ； (2)若DB ＝9，求BM .(1)证明 ∵E 是AB 的中点，∴AB ＝2EB . ∵AB ＝2CD ，∴CD ＝EB .又AB ∥CD ，∴四边形CBED 是平行四边形． ∴CB ∥DE ，∴⎩⎪⎨⎪⎧∠DEM ＝∠BFM ，∠EDM ＝∠FBM ， ∴△EDM ∽△FBM .(2)解 ∵△EDM ∽△FBM ， ∴DM BM ＝DEBF. ∵F 是BC 的中点， ∴DE ＝2BF .∴DM ＝2BM ， ∴BM ＝13DB ＝3.判定三角形相似的常用方法：(1)利用三角形判定定理； (2)利用平行线分线段成比例定理； (3)利用与圆有关的“四定理”．(1)(2013·陕西改编)如图，AB 与CD 相交于点E ，过E 作BC 的平行线与AD 的延长线相交于点P .已知∠A ＝ ∠C ，PD ＝2DA ＝2，求PE 的长． 解 ∵BC ∥PE ，∴∠PED ＝∠C ＝∠A ，∴△PDE ∽△PEA ，∴PE P A ＝PDPE ，则PE 2＝P A ·PD ，又∵PD ＝2DA ＝2，∴P A ＝PD ＋DA ＝3. ∴PE ＝P A ·PD ＝ 6.(2)如图，梯形ABCD 内接于⊙O ，AD ∥BC ，过点C 作⊙O 的切线，交 BD 的延长线于点P ，交AD 的延长线于点E . ①求证：AB 2＝DE ·BC ；②若BD ＝9，AB ＝6，BC ＝9，求切线PC 的长． ①证明 ∵AD ∥BC ， ∴AB ＝CD ，∠EDC ＝∠BCD .又PC 与⊙O 相切，∴∠ECD ＝∠DBC . ∴△CDE ∽△BCD ，∴DC BC ＝DE DC .∴CD 2＝DE ·BC ， 即AB 2＝DE ·BC .②解 由①知，DE ＝AB 2BC ＝629＝4，∵AD ∥BC ，∴△PDE ∽△PBC ， ∴PD PB ＝DE BC ＝49. 又∵PB －PD ＝9，∴PD ＝365，PB ＝815.∴PC 2＝PD ·PB ＝365×815＝54252.∴PC ＝545.考点二 圆的切割线定理的应用例2 如图所示，已知P A 与⊙O 相切，A 为切点，PBC 为割线，D 为⊙O 上一点，AD ，BC 相交于点E . (1)若AD ＝AC ，求证：AP ∥CD ；(2)若F 为CE 上一点使得∠EDF ＝∠P ，已知EF ＝1，EB ＝2， PB ＝4，求P A 的长．(1)证明 ∵P A 是⊙O 的切线，AD 是弦， ∴∠P AD ＝∠ACD . ∵AD ＝AC ， ∴∠ADC ＝∠ACD ， ∴∠P AD ＝∠ADC ， ∴AP ∥CD .(2)解 ∵∠EDF ＝∠P ， 又∠DEF ＝∠PEA ， ∴△DEF ∽△PEA ， 有EF EA ＝EDEP， 即EF ·EP ＝EA ·ED .而AD ，BC 是⊙O 的相交弦， ∴EC ·EB ＝EA ·ED ， 故EC ·EB ＝EF ·EP ，∴EC ＝EF ·EP EB ＝1×(2＋4)2＝3.由切割线定理有P A 2＝PB ·PC ＝4×(3＋2＋4)＝36， ∴P A ＝6.在与圆有关的问题中，或在特殊的几何图形中，常利用“四定理”及三角形相似等知识来证明线段相等或线段成比例等问题．一般地，涉及圆内的两条相交弦时首先考虑相交弦定理，涉及两条割线时要想到割线定理，涉及切线和割线时要注意应用切割线定理，要注意相交弦定理中线段之间的关系与切割线定理中线段之间的关系的区别．(1)(2013·广东改编)如图，AB 是圆O 的直径，点C 在圆O 上，延长BC 到D使BC ＝CD ，过C 作圆O 的切线交AD 于E .若AB ＝6，ED ＝2，求BC 的长．解 因为C 为BD 中点，且AC ⊥BC ， 所以△ABD 为等腰三角形．又∵AB ＝AD ＝6，∴AE ＝4，DE ＝2， 又AE AC ＝ACAD⇒AC 2＝AE ·AD ＝4×6＝24，AC ＝2 6. 在△ABC 中，BC ＝AB 2－AC 2＝36－24＝2 3.(2)如图，⊙O 的半径OB 垂直于直径AC ，M 为AO 上一点，BM 的延长线交⊙O 于N ，过N 点的切线交CA 的延长线于P . ①求证：PM 2＝P A ·PC ；②若⊙O 的半径为23，OA ＝3OM ，求MN 的长．①证明 如图，连结ON ，则ON ⊥PN ，且△OBN 为等腰三角形， 则∠OBN ＝∠ONB .∵∠PMN ＝∠OMB ＝90°－∠OBN ， ∠PNM ＝90°－∠ONB ， ∴∠PMN ＝∠PNM ，∴PM ＝PN . 根据切割线定理，有PN 2＝P A ·PC ， ∴PM 2＝P A ·PC .②解 ∵OA ＝23，OA ＝3OM ，∴OM ＝2， 在Rt △BOM 中，BM ＝OB 2＋OM 2＝4， 延长BO 交⊙O 于点D ，连结DN . 由条件易知△BOM ∽△BND ，于是BO BN ＝BM BD ，即23BN ＝443，∴BN ＝6.∴MN ＝BN －BM ＝6－4＝2. 考点三 圆的有关性质的综合应用例3 (2013·课标全国Ⅱ)如图，CD 为△ABC 外接圆的切线，AB 的延长线交直线CD 于点D ，E 、F 分别为弦AB 与弦AC 上的点，且BC ·AE ＝DC ·AF ，B 、E 、F 、C 四点共圆． (1)证明：CA 是△ABC 外接圆的直径；(2)若DB ＝BE ＝EA ，求过B 、E 、F 、C 四点的圆的面积与△ABC 外接圆面积的比值． (1)证明 因为CD 为△ABC 外接圆的切线， 所以∠DCB ＝∠A ，由题设知BC F A ＝DCEA ，故△CDB ∽△AEF ，所以∠DBC ＝∠EF A .因为B ，E ，F ，C 四点共圆，所以∠CFE ＝∠DBC ，故∠EF A ＝∠CFE ＝90°. 所以∠CBA ＝90°，因此CA 是△ABC 外接圆的直径．(2)解 连结CE ，因为∠CBE ＝90°， 所以过B ，E ，F ，C 四点的圆的直径为CE ， 由DB ＝BE ，有CE ＝DC ， 又BC 2＝DB ·BA ＝2DB 2， 所以CA 2＝4DB 2＋BC 2＝6DB 2.而DC 2＝DB ·DA ＝3DB 2，故过B ，E ，F ，C 四点的圆的面积与△ABC 外接圆面积的比 值为12.高考中对几何证明的命题集中在圆和三角形、四边形相结合的综合性题目上，这类试题往往要综合运用多个定理和添加一定的辅助线才能解决．已知圆的切线时，第一要考虑过切点和圆心的连线得直角；第二应考虑弦切角定理；第三涉及线段成比例或线段的积时要考虑切割线定理．同时注意四点共圆的判定及性质的应用．(2013·课标全国Ⅰ)如图，直线AB 为圆O 的切线，切点为B ，点C 在圆上，∠ABC 的角平分线BE 交圆于点E ，DB 垂直BE 交圆于点D .(1)证明：DB ＝DC ；(2)设圆的半径为1，BC ＝3，延长CE 交AB 于点F ，求△BCF 外接圆的半径．(1)证明 连结DE ， 则∠DCB ＝∠DEB ， ∵DB ⊥BE ，∴∠DBC ＋∠CBE ＝90°，∠DEB ＋∠EDB ＝90°， ∴∠DBC ＋∠CBE ＝∠DEB ＋∠EDB ，又∠CBE ＝∠EBF ＝∠EDB ， ∴∠DBC ＝∠DEB ＝∠DCB ， ∴DB ＝DC .(2)解 由(1)知：∠CBE ＝∠EBF ＝∠BCE ， ∴CE ＝BE ， ∴∠BDE ＝∠CDE ，∴DE 是BC 的垂直平分线，设交点为H ，则BH ＝32， ∴OH ＝1－34＝12，∴DH ＝32，∴tan ∠BDE ＝3232＝33，∴∠BDE ＝30°，∴∠FBE ＝∠BDE ＝30°，∴∠CBF ＋∠BCF ＝90°，∴∠BFC ＝90°， ∴BC 是△BCF 的外接圆直径． ∴△BCF的外接圆半径为32.1． 几何证明的难度应严格控制，在解决同一个问题的过程中，相似三角形(或全等三角形)的使用不宜超过两次，添置的辅助线不超过三条．2． 相似三角形是平面几何中极为重要的内容．从概念上看，相似是全等的拓展，全等只是相似的特殊情形，而且研究有关全等的各种问题几乎都可以平行地研究有关各种相似问题．3． 圆是轴对称图形，利用这一点可研究垂径定理和圆心角、弧、弦、弦心距的关系定理．关系定理使我们在圆心角、弧、弦、弦心距的证明中得以相互转化；垂径定理又可与等腰三角形的性质定理相沟通．4． 直线和圆的相切的位置关系，以及由它引伸出来的一系列知识，如切线长定理、弦切角定理和与圆有关的比例线段定理又是本节的重点，利用上述定理可以很方便地证明角相等、线段相等以及线段的比例问题．1． 如图，在△ABC 中，D 为BC 边的中点，E 为AD 上的一点，延长BE交AC 于点F .若AE AD ＝14，求AFAC的值．解 如图，过点A 作AG ∥BC ，交BF 的延长线于点G .∵AE AD ＝14，∴AE ED ＝13. 又∵△AGE ∽△DBE ， ∴AG BD ＝AE ED ＝13. ∵D 为BC 中点，BC ＝2BD ，∴AG BC ＝16.∵△AGF ∽△CBF ，∴AF FC ＝AG BC ＝16，∴AF AC ＝17.2． 如图，AB 是⊙O 的直径，C ，F 为⊙O 上的点，AC 是∠BAF 的平分线，过点C 作CD ⊥AF 交AF 的延长线于D 点，CM ⊥AB ，垂足为 点M .(1)求证：DC 是⊙O 的切线； (2)求证：AM ·MB ＝DF ·DA .证明 (1)如图，连结OC ， ∵OA ＝OC ，∴∠OCA ＝OAC . 又∵CA 是∠BAF 的平分线， ∴∠DAC ＝∠OAC .∴∠DAC ＝∠OCA .∴AD ∥OC .又CD ⊥AD ，∴OC ⊥CD ，即DC 是⊙O 的切线．(2)∵CA 是∠BAF 的平分线，∠CDA ＝∠CMA ＝90°，AC ＝AC ， ∴△ACD ≌△ACM ，∴CD ＝CM .由(1)知DC 2＝DF ·DA ，又CM 2＝AM ·MB ， ∴AM ·MB ＝DF ·DA .(推荐时间：60分钟)1． 如图，∠B ＝∠D ，AE ⊥BC ，∠ACD ＝90°，且AB ＝6，AC ＝4，AD ＝12，求BE 的长．解 ∵AC ＝4，AD ＝12，∠ACD ＝90°， ∴CD 2＝AD 2－AC 2＝128，∴CD ＝8 2. 又∵AE ⊥BC ，∠B ＝∠D ，∴△ABE ∽△ADC ， ∴AB AD ＝BE CD ，∴BE ＝AB ·CD AD ＝6×8212＝4 2.2． 如图，A ，E 是半圆周上的两个三等分点，直径BC ＝4，AD ⊥BC ，垂足为D ，BE 与AD 相交于点F ，求AF 的长．解 如图，连结CE ，AO ，AB .根据A ，E 是半圆周上的两个三等分点，BC 为直径，可得∠CEB ＝90°，∠CBE ＝30°，∠AOB ＝60°，故 △AOB 为等边三角形，AD ＝3，OD ＝BD ＝1，∴DF ＝33， ∴AF ＝AD －DF ＝233.3． 如图，已知P A 、PB 是圆O 的切线，A 、B 分别为切点，C 为圆O 上不与A 、B 重合的另一点，若∠ACB ＝120°，求∠APB 的大小． 解 如图，连结OA ，OB ，∠P AO ＝∠PBO ＝90°，∵∠ACB ＝120°，∴∠AOB ＝120°. 又P ，A ，O ，B 四点共圆， 故∠APB ＝60°.4． (2013·广东改编)如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝3，BE ⊥AC ，垂足为E ，求ED的长．解 如图，作DF ⊥AC 于点F ， 由AB ＝3，BC ＝3知∠BAC ＝60°. 从而AE ＝32，同理CF ＝32，DF ＝32，所以EF ＝AC －AE －CF ＝23－32－32＝ 3. 所以在△DEF 中：DE 2＝DF 2＋EF 2＝94＋3＝214，所以DE ＝212. 5． (2012·江苏)如图，AB 是圆O 的直径，D ，E 为圆O 上位于AB 异侧的两点，连结BD 并延长至点C ，使BD ＝DC ，连结AC ，AE ，DE . 求证：∠E ＝∠C .证明 如图，连结OD ，因为BD ＝DC ，O 为AB 的中点， 所以OD ∥AC ，于是∠ODB ＝∠C . 因为OB ＝OD ，所以∠ODB ＝∠B . 于是∠B ＝∠C .因为点A ，E ，B ，D 都在圆O 上，且D ，E 为圆O 上位于AB 异侧的 两点，所以∠E 和∠B 为同弧所对的圆周角，故∠E ＝∠B . 所以∠E ＝∠C .6． 如图，P A 切⊙O 于点A ，割线PBC 经过圆心O ，OB ＝PB ＝1，OA绕点O 逆时针旋转60°到OD ，求PD 的长． 解 方法一 连结AB ，∵P A 切⊙O 于点A ，B 为PO 的中点， ∴AB ＝OB ＝OA ，∴∠AOB ＝60°，∴∠POD ＝120°.在△POD 中，由余弦定理得PD 2＝PO 2＋DO 2－2PO ·DO ·cos ∠POD ＝4＋1－4×(－12)＝7.∴PD ＝7.方法二 过D 作DE ⊥PC ，垂足为E ，∴∠POD ＝120°，∴∠DOE ＝60°，可得OE ＝12，DE ＝32，在Rt △PED 中，PD ＝PE 2＋DE 2＝254＋34＝7.7． 如图，AB ，CD 是圆O 内的两条平行弦，BF ∥AC ，BF 交CD 于点E ，交圆O 于点F ，过A 点的切线交DC 的延长线于点P ，若PC ＝ ED ＝1，P A ＝2，求AC 的长．解 ∵P A 是⊙O 的切线，∴由切割线定理得P A 2＝PC ·PD .∵P A ＝2，PC ＝1，∴PD ＝4.又∵PC ＝ED ＝1，∴CE ＝2，由题意知四边形ABEC 为平行四边形，∴AB ＝CE ＝2，连结BC ，如图，∵P A 是⊙O 的切线，∴∠P AC ＝∠CBA .∵AB ，CD 是圆的两条平行弦，∴∠PCA ＝∠CAB ，∴△P AC ∽△CBA ，∴PC CA ＝CAAB ，∴AC 2＝PC ·AB ＝2，∴AC ＝ 2.8． 如图，已知△ABC 的两条角平分线AD 和CE 相交于H ，∠B ＝60°，F 在AC 上，且AE ＝AF .证明：(1)B 、D 、H 、E 四点共圆；(2)CE 平分∠DEF .证明 (1)在△ABC 中，因为∠B ＝60°，所以∠BAC ＋∠BCA ＝120°.因为AD 、CE 分别是∠BAC 、∠DCF 的平分线，所以∠HAC ＋∠HCA ＝60°，故∠AHC ＝120°.于是∠EHD ＝∠AHC ＝120°.所以∠EBD ＋∠EHD ＝180°，所以B 、D 、H 、E 四点共圆．(2)连结BH ，则BH 为∠ABC 的平分线，得∠HBD ＝30°.由(1)知B 、D 、H 、E 四点共圆，所以∠CED ＝∠HBD ＝30°.又∠AHE ＝∠EBD ＝60°，由已知可得EF ⊥AD ，可得∠CEF ＝30°.所以CE 平分∠DEF .9． (2013·江苏)如图，AB 和BC 分别与圆O 相切于点D ，C ，AC 经过圆心O ，且BC ＝2OC .求证：AC ＝2AD .证明 连结OD .因为AB 和BC 分别与圆O 相切于点D ，C ，所以∠ADO ＝∠ACB ＝90°.又因为∠A ＝∠A ，所以Rt △ADO ∽Rt △ACB .所以BC OD ＝AC AD .又BC ＝2OC ＝2OD ，故AC ＝2AD .10．(2013·辽宁)如图，AB 为⊙O 的直径，直线CD 与⊙O 相切于E ，AD垂直CD 于D ，BC 垂直CD 于C ，EF 垂直AB 于F ，连结AE ，BE . 证明：(1)∠FEB ＝∠CEB ；(2)EF 2＝AD ·BC .证明 (1)由直线CD 与⊙O 相切，得∠CEB ＝∠EAB .由AB 为⊙O 的直径，得AE ⊥EB ，从而∠EAB ＋∠EBF ＝π2；又EF ⊥AB ，得∠FEB ＋∠EBF ＝π2，从而∠FEB ＝∠EAB .故∠FEB ＝∠CEB .(2)由BC ⊥CE ，EF ⊥AB ，∠FEB ＝∠CEB ，BE 是公共边，得Rt △BCE ≌Rt △BFE ，所以BC ＝BF .同理可证，得AD ＝AF .又在Rt △AEB 中，EF ⊥AB ，故EF 2＝AF ·BF ，所以EF 2＝AD ·BC .。
【步步高 江苏专用(理)】2014届高三数学《大二轮专题复习与增分策略》专题一 第2讲
第2讲
函数、基本初等函数的图象与性质
【高考考情解读】 1．高考对函数的三要素，函数的表示方法等内容的考查以基
本 础知识为主，难度中等偏下. 讲 栏 目 2．函数图象和性质是历年高考的重要内容，也是热点内容， 开 对图象的考查主要有两个方面：一是识图，二是用图，即 关
利用函数的图象，通过数形结合的思想解决问题；对函数 性质的考查，则主要是将单调性、奇偶性、周期性等综合 一起考查，既有具体函数也有抽象函数．常以填空题的形 式考查，且常与新定义问题相结合，难度较大．
3 1 1 － ＝0＋－ ＝－ . 4 2 4
3 1 1 － ＝f ＝－ . 4 2 2
热点分类突破
专题一 第2讲
函数的性质主要是函数的奇偶性、单调性和周期性
本 讲 栏 目 开 关
以及函数图象的对称性， 在解题中根据问题的条件通过变换函 数的解析式或者已知的函数关系， 推证函数的性质， 根据函数 的性质解决问题．
讲 栏 解析 根据对任意 t∈R 都有 f(t)＝f(1－t)可得 f(－t)＝f(1＋t)， 目 开 即 f(t＋1)＝－f(t)，进而得到 f(t＋2)＝－f(t＋1)＝－[ －f(t)] ＝ 关
f(t)，得函数 y＝f(x)的一个周期为 2，
故 f(3)＝f(1)＝f(0＋1)＝－f(0)＝0，f 所以 f(3)＋f
热点分类突破
专题一 第2讲
(1)(2013· 天津改编)已知函数 f(x)是定义在 R 上的 偶函数， 且在区间[0， ＋∞)上单调递增． 若实数 a 满足 f(log2a)
本 讲 栏 目 开 关
＋f( log 1 a )≤2f(1)，则 a 的取值范围是________． (2)已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数， 且当 x>0 时， f(x)＝ex＋a， 若 f(x)在 R 上是单调函数，则实数 a 的最小值是________．
【步步高 江苏专用(理)】2014届高三数学《大二轮专题复习与增分策略》专题六 第4讲
热点分类突破
专题六 第4讲
(3)复数运算中常用的结论 ①(1± i)2＝± 2i； 1＋i ② ＝ i； 1－ i 1－i ③ ＝－i； 1＋ i ④－b＋ai＝i(a＋bi)； ⑤i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，其中 n∈N.
本 讲 栏 目 开 关
押题精练
专题六 第4讲
本 讲 栏 目 开 关
热点分类突破
专题六 第4讲
(2)执行如图所示的流程图，输出的结果 S 的值为________．
本 讲 栏 目 开 关
热点分类突破
专题六 第4讲
解析
(1)执行程序后，a1＝4a＋1＝1，k1＝k＋1＝2；
a2＝4a1＋1＝5，k2＝k1＋1＝3；
本 讲 栏 目 开 关
a3＝4a2＋1＝21，k3＝k2＋1＝4； a4＝4a3＋1＝85，k4＝k3＋1＝5； a5＝4a4＋1＝341，k5＝k4＋1＝6. 要使输出的 a＝341，判断框中应为“k<6”，即 n＝6.
2 2 ∴ | z | ＝ － 1 ＋ － 1 ＝ 2， 本 讲 栏 ∴p1 是假命题；
目 2 2 ∵ z ＝ ( － 1 － i) ＝2i， 开 关
∴p2 是真命题；
∵ z ＝－1＋i，∴p3 是假命题； ∵z 的虚部为－1，∴p4 是真命题． 其中的真命题共有 2 个：p2，p4.
答案 (1)6
(2)－1
热点分类突破
专题六 第4讲
考点二 例2
本 讲 栏 目 开 关
复数的基本概念
10 (1)(2013· 安徽改编)设 i 是虚数单位， 若复数 a－ (a∈R) 3－i
是纯虚数，则 a 的值为________． (2)(2013· 四川改编)如图，在复平面内，点 A 表示复数 z，则图中表示 z 的共轭复数的点 是________．
(江苏专版)2014届高考数学大二轮专题复习 审题 解题 回扣(要点回扣+易错警示+查缺补漏) 解答题八个答题
第3讲 解答题的八个答题模板【模板特征概述】数学解答题是高考数学试卷中的一类重要题型，通常是高考的把关题和压轴题，具有较好的区分层次和选拔功能．目前的高考解答题已经由单纯的知识综合型转化为知识、方法和能力的综合型解答题．在高考考场上，能否做好解答题，是高考成败的关键，因此，在高考备考中学会怎样解题，是一项重要的内容．本节以著名数学家波利亚的《怎样解题》为理论依据，结合具体的题目类型，来谈一谈解答数学解答题的一般思维过程、解题程序和答题格式，即所谓的“答题模板”．“答题模板”就是首先把高考试题纳入某一类型，把数学解题的思维过程划分为一个个小题，按照一定的解题程序和答题格式分步解答，即化整为零．强调解题程序化，答题格式化，在最短的时间内拟定解决问题的最佳方案，实现答题效率的最优化．已知函数f (x )＝2cos x ·sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋3－3sin 2x ＋sin x cos x ＋1.(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求函数f (x )的最大值及最小值；(3)写出函数f (x )的单调递增区间．审题路线图 不同角化同角→降幂扩角→化f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋h →结合性质求解.在△ABC 中，若a cos 22＋c cos 22＝2b .(1)求证：a ，b ，c 成等差数列； (2)求角B 的取值范围．审题路线图 (1)化简变形―→用余弦定理转化为边的关系―→变形证明 (2)用余弦定理表示角―→用基本不等式求范围―→确定角的取值范围(1)证明 因为a cos2C2＋c cos2A2＝a ·1＋cos C 2＋c ·1＋cos A 2＝32b ， 所以a ＋c ＋(a cos C ＋c cos A )＝3b ，故a ＋c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a ·a 2＋b 2－c 22ab ＋c ·b 2＋c 2－a 22bc ＝3b ，整理，得a ＋c ＝2b ， 故a ，b ，c 成等差数列．(2)解 cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac＝a 2＋c 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋c 222ac＝a 2＋c 2－2ac 8ac ≥6ac －2ac 8ac ＝12，因为0<B <π，所以0<B ≤π3.已知数列{n }的前项和为n ，1＝1，n ＋1＝2n ＋1 (∈N )，等差数列{b n }中，b n >0 (n ∈N *)，且b 1＋b 2＋b 3＝15，又a 1＋b 1、a 2＋b 2、a 3＋b 3成等比数列．(1)求数列{a n }、{b n }的通项公式；(2)求数列{a n ·b n }的前n 项和T n . 审题路线图 (1)a n ＝S n －S n －1 n→消去S n →得a n ＋1＝3a n →a n ＝3n －1空间线、面位置关系的证明及空间角的计算问题如图，在七面体中，四边形是边长为2的正方形，MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，且MD＝2，NB＝1，MB与ND交于P点．(1)在棱AB上找一点Q，使QP∥平面AMD，并给出证明；(2)求平面BNC与平面MNC所成锐二面角的余弦值．审题路线图(1)P是△ABM的一边BM上的点→在另一边AB上一定存在一点Q使PQ ∥AM →BQ QA ＝BP PM ＝NB MD ＝12.(2)建立坐标系→构造法向量→求夹角.解 (1)当BQ ＝13AB 时，有QP ∥平面AMD .证明：∵MD ⊥平面ABCD ，NB ⊥平面ABCD ，∴MD ∥NB . ∴BP PM ＝NB MD ＝12.又QB QA ＝12.∴QB QA ＝BPPM. ∴在△MAB 中，QP ∥AM . 又QP ⊄平面AMD ，AM ⊂平面AMD ， ∴QP ∥平面AMD . (2)以DA 、DC 、DM 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系如图，则D (0，0，0)，B (2，2，0)，C (0，2，0)，M (0，0，2)，N (2，2，1)．∴CM →＝(0，－2，2)，CN →＝(2，0，1)，DC →＝(0，2，0)． 设平面MNC 的法向量为n 1＝(x ，y ，z )， 则{n 1·CM ，→＝0，n 1·CN →＝0. ∴{ －2y ＋2z ＝0，x ＋z ＝0.取x ＝1，∴n 1＝(1，－2，－2)．又NB ⊥平面ABCD ， ∴NB ⊥DC ，又DC ⊥BC .∴DC ⊥平面BNC .∴平面BNC 的法向量n 2＝DC →＝(0，2，0)，cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1||n 2|已知定点(－1，0)及椭圆＋3＝5，过点的动直线与椭圆相交于A ，B 两点． (1)若线段AB 中点的横坐标是－12，求直线AB 的方程；(2)在x 轴上是否存在点M ，使MA →·MB →为常数？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．审题路线图 设AB 的方程y ＝k (x ＋1)→待定系数法求k →写出方程；设M 存在即为(m ，0)→求MA →·MB →→在MA →·MB →为常数的条件下求m .⎪⎧Δ＝36k 4－k 2＋k 2－， ①将③代入，整理得MA →·MB →＝m －k 2－53k 2＋1＋m 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2m －13k 2＋－2m －1433k 2＋1＋m ＝m ＋2m －13－6m ＋14k 2＋.已知一个袋中装有3个白球和3个红球，这些球除颜色外完全相同．(1)每次从袋中取一个球，取出后不放回，直到取到一个红球为止，求取球次数ξ的分布列和数学期望E (ξ)；(2)每次从袋中取一个球，取出后放回接着再取一个球，这样取3次，求取出红球次数η的数学期望E (η)．审题路线图 取到红球为止→取球次数的所有可能1，2，3，4→求对应次数的概率→列分布列→求E (ξ)．取出后放回，这是条件→每次取到红球的概率相同→三次独立重复试验→利用公式.已知函数f (x )＝a ln x ＋x＋x (a ≠0)．(1)若曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与直线x －2y ＝0垂直，求实数a 的值；(2)讨论函数f (x )的单调性；(3)当a ∈(－∞，0)时，记函数f (x )的最小值为g (a )，求证：g (a )≤12e 2.审题路线图 (1)f ′(1)＝－2→求a .(2)讨论f ′(x )>0或f ′(x )<0→f (x )的单调区间．(3)求f (x )的最小值g (a )的函数表达式→求g (a )在(－∞，0)上的最大值→g (a )≤12e 2.(1)解 f (x )的定义域为{x |x >0}．f ′(x )＝a x －2a 2x2＋1 (x >0)．根据题意，有f ′(1)＝－2，所以2a 2－a －3＝0，解得a ＝－1或a ＝32.(2)解 f ′(x )＝a x －2a 2x 2＋1＝x 2＋ax －2a 2x 2＝x －a x ＋2ax 2(x >0)．①当a >0时，因为x >0，由f ′(x )>0得(x －a )(x ＋2a )>0，解得x >a ； 由f ′(x )<0得(x －a )(x ＋2a )<0，解得0<x <a .所以函数f (x )在(a ，＋∞)上单调递增，在(0，a )上单调递减． ②当a <0时，因为x >0，由f ′(x )>0得(x －a )(x ＋2a )>0， 解得x >－2a ；由f ′(x )<0得(x －a )(x ＋2a )<0，解得0<x <－2a . 所以函数f (x )在(－2a ，＋∞)上单调递增，在(0，－2a )上单调递减． (3)证明 由(2)知，当a ∈(－∞，0)时，函数f (x )的最小值为f (－2a )，即g (a )＝f (－2a )＝a ln(－2a )＋2a2－2a －2a ＝a ln(－2a )－3a .g ′(a )＝ln(－2a )＋a ·－2－2a －3＝ln(－2a )－2，令g ′(a )＝0，得a＝－12e 2.当a 变化时，g ′(a )，g (a )的变化情况如下表：a (－∞，－12e 2)－12e 2 (－12e 2，0) g ′(a ) ＋0 － g (a )极大值－12e 2是g (a )在(－∞，0)上的唯一极值点，且是极大值点，从而也是g (a )的最大值点．所以g (a )最大值＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12e 2＝－12e 2ln ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12e 2－3⎝ ⎛⎭⎪⎫－12e 2 ＝－12e 2ln e 2＋32e 2＝12e 2.所以，当a ∈(－∞，0)时，g (a )≤12e 2.已知函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d ，当x ＝－3和x ＝1时取得极值．(1)求b 和c 的值；(2)若对于任意x ∈[－1，2]，f (x )<2d 2－1恒成立，求d 的取值范围．审题路线图 f (x )→f ′(x )→⎩⎪⎨⎪⎧f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝0f＝0→求b ，c →在[－1，2]上求f (x )的最大值→解不等式f (x )max <2d 2－1→d 的取值范围．解 (1)∵f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d ，∴f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c . 又∵x ＝－23和x ＝1是f (x )的极值点，∴⎩⎪⎨⎪⎧f －23＝0f＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－232＋2b －23＋c ＝0，3×12＋2b ×1＋c ＝0，解之得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－12c ＝－2.检验b ＝－12，c ＝－2符合要求．(2)由(1)知f (x )＝x 3－12x 2－2x ＋d ，∴f ′(x )＝3x 2－x －2，令f ′(x )＝0得x 1＝－23，x 2＝1，当x ∈[－1，－23)时，f ′(x )>0，即f (x )在[－1，－23)上为增函数．当x ∈(－23，1)时，f ′(x )<0，即f (x )在(－23，1)上为减函数．当x ∈(1，2]时，f ′(x )>0，即f (x )在(1，2]上为增函数． 又f (－23)＝2227＋d ，f (2)＝2＋d ，∴f (2)＝2＋d >f (－23)＝2227＋d ，∴当x ∈[－1，2]时，f (x )max ＝2＋d ， 又x ∈[－1，2]时，f (x )<2d 2－1恒成立．高考数学解答题虽然具有较强的知识综合性，思维的灵活性，但所考查的数学知识、方法，基本数学思想是不变的，题目形式的设置是相对稳定的，因而本讲结合近几年高考的重点、热点题型，通过对答题思路的分析、梳理，构建了几类重点题型的“答题模板”，目的是给考生一个在考前回顾如何规范思维，如何有效答题的辅助材料．重点是思维过程、规范解答和反思回顾，结合着具体题型给出了具有可操作性的答题程序．希望能够举一反三，对考生答题有所帮助．11。
(江苏专版)2014届高考数学大二轮专题复习 审题 解题 回扣(要点回扣+易错警示+查缺补漏)压轴大题突破练
压轴大题突破练(三)(推荐时间：60分钟)1． 已知函数f (x )＝12x 2－2a ln x ＋(a －2)x ，a ∈R . (1)当a ＝1时，求函数f (x )图象在点(1，f (1))处的切线方程；(2)当a <0时讨论函数f (x )的单调性；(3)是否存在实数a ，对任意的x 1，x 2∈(0，＋∞)且x 1≠x 2有f x 2－f x 1x 2－x 1>a 恒成立？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，说明理由．解 f ′(x )＝x －2a x ＋a －2＝x －2x ＋a x(x >0)． (1)当a ＝1时，f ′(x )＝x －x ＋x ，f ′(1)＝－2，∴所求的切线方程为y －f (1)＝－2(x －1)，即4x ＋2y －3＝0.(2)①当－a ＝2，即a ＝－2时，f ′(x )＝x －2x ≥0，f (x )在(0，＋∞)上单调递增．②当－a <2，即－2<a <0时，∵0<x <－a 或x >2时，f ′(x )>0；－a <x <2时，f ′(x )<0，f (x )在(0，－a )，(2，＋∞)上单调递增，在(－a ，2)上单调递减；③当－a >2，即a <－2时，∵0<x <2或x >－a 时，f ′(x )>0；2<x <－a 时，f ′(x )<0，f (x )在(0，2)，(－a ，＋∞)上单调递增，在(2，－a )上单调递减．(3)假设存在这样的实数a 满足条件，不妨设x 1<x 2.由f x 2－f x 1x 2－x 1>a 知f (x 2)－ax 2>f (x 1)－ax 1成立， 令g (x )＝f (x )－ax ＝12x 2－2a ln x －2x ， 则函数g (x )在(0，＋∞)上单调递增，∴g ′(x )＝x －2a x－2≥0，即2a ≤x 2－2x ＝(x －1)2－1在(0，＋∞)上恒成立．∴a ≤－12，故存在这样的实数a 满足题意， 其范围为⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－12. 2． 已知圆C ：(x ＋3)2＋y 2＝16，点A (3，0)，Q 是圆上一动点，AQ 的垂直平分线交CQ于点M ，设点M 的轨迹为E .(1)求轨迹E 的方程；(2)过点P (1，0)的直线l 交轨迹E 于两个不同的点A 、B ，△AOB (O 是坐标原点)的面积S ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫35，45，若弦AB 的中点为R ，求直线OR 斜率的取值范围． 解 (1)由题意，得|MC |＋|MA |＝|MC |＋|MQ |＝|CQ |＝4>23，所以点M 的轨迹是以A ，C 为焦点，长轴长为4的椭圆，即轨迹的方程为x 24＋y 2＝1. (2)记A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，R (x 0，y 0)，由题意，直线l 的斜率不可能为0，故可设直线l ：x ＝my ＋1，由⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋4y 2＝4，x ＝my ＋1消去x ，得(4＋m 2)y 2＋2my －3＝0. 所以⎩⎪⎨⎪⎧ y 1＋y 2＝－2m 4＋m 2，y 1·y 2＝－34＋m 2.S ＝12|OP |·|y 1－y 2|＝12y 1＋y 22－4y 1y 2 ＝2m 2＋3m 2＋4， 由S ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫35，45，解得1<m 2<6， 即m ∈(－6，－1)∪(1，6)．因为R (x 0，y 0)是AB 的中点，所以y 0＝y 1＋y 22＝－m 4＋m 2，x 0＝my 0＋1＝44＋m2.故直线OR 的斜率k ＝y 0x 0＝－m 4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－64，－14∪⎝ ⎛⎭⎪⎫14，64. 3． 已知x ＝3是函数f (x )＝a ln(1＋x )＋x 2－10x 的一个极值点．(1)求a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间；(3)若直线y ＝b 与函数y ＝f (x )的图象有3个交点，求b 的的取值范围．解 (1)∵f ′(x )＝a 1＋x＋2x －10， ∴f ′(3)＝a4＋6－10＝0，故a ＝16. (2)由(1)，知f (x )＝16ln(1＋x )＋x 2－10x ，x ∈(－1，＋∞)， f ′(x )＝x 2－4x ＋1＋x ＝x －x －1＋x .当x ∈(－1，1)∪(3，＋∞)时，f ′(x )>0；当x ∈(1，3)时，f ′(x )<0.则f (x )的单调递增区间是(－1，1]和[3，＋∞)，单调递减区间是[1，3]．(3)由(2)知，f (x )在(－1，1)上单调递增，在(1，3)上单调递减，在(3，＋∞)上单调递增，且当x ＝1或x ＝3时，f ′(x )＝0.所以f (x )的极大值为f (1)＝16ln 2－9，极小值为f (3)＝32ln 2－21.所以在f (x )的三个单调区间(－1，1]，[1，3]，[3，＋∞)上，当且仅当f (3)<b <f (1)，直线y ＝b 与y ＝f (x )的图象有3个交点，如图所示．因此，b 的取值范围为(32ln 2－21，16ln 2－9)．4． 已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴，离心率为22，它的一个焦点恰好与抛物线y 2 ＝4x 的焦点重合．(1)求椭圆C 的方程；(2)设椭圆的上顶点为A ，过A 作椭圆C 的两条动弦AB 、AC ，若直线AB 、AC 的斜率之积为14，试问直线BC 是否经过一定点？若经过，求出该定点坐标；若不经过，请说明理由． 解 (1)设所求椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，∵2p ＝4，∴p ＝2，抛物线的焦点为F (1，0)， ∴椭圆的一个焦点为F (1，0)，∴c ＝1.又∵c a ＝22，∴a ＝2，∴b 2＝a 2－c 2＝1，故所求椭圆的方程为x 22＋y 2＝1.(2)由(1)知A (0，1)．当直线BC 的斜率不存在时，设BC ：x ＝x 0， 设B (x 0，y 0)，则C (x 0，－y 0)，k AB ·k AC ＝y 0－1x 0·－y 0－1x 0＝1－y 20x 20＝12x 20x 20＝12≠14，不合题意．故直线BC 的斜率存在，设直线BC 的方程为y ＝kx ＋m ， 并代入椭圆方程，整理得：(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2(m 2－1)＝0 ①由Δ＝(4km )2－8(1＋2k 2)(m 2－1)>0得2k 2－m 2＋1>0，②设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，则x 1，x 2是方程①的两根，∴x 1＋x 2＝－4km 1＋2k 2，x 1·x 2＝m 2－1＋2k 2，由k AB ·k AC ＝y 1－1x 1·y 2－1x 2＝14得4y 1y 2－4(y 1＋y 2)＋4＝x 1x 2，即4(kx 1＋m )(kx 2＋m )－4(kx 1＋m ＋kx 2＋m )＋4＝x 1x 2， 亦即(4k 2－1)x 1x 2＋4k (m －1)(x 1＋x 2)＋4(m －1)2＝0，24k 2－1m 2－11＋2k 2－16k 2m m －11＋2k 2＋4(m －1)2＝0，整理得(m －1)(m －3)＝0，又∵m ≠1，∴m ＝3，此时直线的方程为y ＝kx ＋3， 所以直线BC 恒过一定点P (0，3)．。
【步步高 江苏专用(理)】2014届高三数学《大二轮专题复习与增分策略》专题三 第3讲
热点分类突破
专题三 第3讲
考点一 例1
本 讲 栏 目 开 关
归纳推理
(2013· 湖北)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种
多边形数，如三角形数1,3,6,10，„，第n个三角形数为 nn＋1 1 2 1 ＝ n ＋ n，记第n个k边形数为N(n，k)(k≥3)，以 2 2 2 下列出了部分k边形数中第n个数的表达式： 1 2 1 三角形数 N(n,3)＝ n ＋ n， 2 2 正方形数 五边形数 N(n,4)＝n2， 3 2 1 N(n,5)＝ n － n， 2 2
答案 a3 (1) 8
(2)内角平分线 a
热点分类突破
考点三 直接证明与间接证明
专题三 第3讲
1 31＋an＋1 21＋an 例 3 已知数列{an}满足：a1＝ ， ＝ ， 2 1－an 1－an＋1
2 anan＋1<0 (n≥1)；数列{bn}满足：bn＝a2 － a n＋1 n (n≥1)．
x ＝x1＋x2， 2 0 则有 y1＋y2 y0＝ . 2
热点分类突破
2 2 x2 y2 1－x2 1－y2 两式相减得 2 ＝ 2 ， a b
专题三 第3讲
本 讲 栏 目 开 关
x1－x2x1＋x2 y1－y2y1＋y2 即 ＝ ， a2 b2 y1－y2y1＋y2 b2 即 ＝a2， x1－x2x1＋x2
24－2 4－24 ∴N(10,24)＝ 2 ×100＋ 2 ×10 ＝1 100－100＝1 000.
热点分类突破
专题三 第3讲
归纳推理的一般步骤是： (1)通过观察个别事物发
本 讲 栏 目 开 关
现某些相同的性质； (2)从已知的相同性质中推出一个明确表 述的一般性命题． 并且在一般情况下， 如果归纳的个别事物越 多，越具有代表性，那么推广的一般性结论也就越可靠．
(江苏专版)2014届高考数学大二轮专题复习 审题 解题 回扣 中档大题保分练(二) 文
中档大题保分练(二)(推荐时间：50分钟)1． 已知函数f (x )＝32sin 2x －12(cos 2x －sin 2x )－1，x ∈R ，将函数f (x )向左平移π6个单位后得到函数g (x )，设△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .(1)若c ＝7，f (C )＝0，sin B ＝3sin A ，求a 和b 的值；(2)若g (B )＝0且m ＝(cos A ，cos B )，n ＝(1，sin A －cos A tan B )，求m ·n 的取值范围．解 (1)f (x )＝32sin 2x －12cos 2x －1＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6－1 g (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6－π6－1＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1 由f (C )＝0，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫2C －π6＝1. ∵0<C <π，∴－π6<2C －π6<116π， ∴2C －π6＝π2，∴C ＝π3.cos π3. ， ∴m ·n ＝cos A ＋cos B (sin A －cos A tan B )＝cos A ＋sin A cos B －cos A sin B＝32sin A ＋12cos A ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π6. ∵A ＋C ＝5π6，∴0<A <5π6，∴π6<A ＋π6<π，∴0<sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π6≤1. ∴m ·n 的取值范围是(0,1]．2． 某市文化馆在春节期间举行高中生“蓝天海洋杯”象棋比赛，规则如下：两名选手比赛时，每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时结束．假设选手甲与选手乙比赛时，甲每局获胜的概率皆为23，且各局比赛胜负互不影响． (1)求比赛进行4局结束，且乙比甲多得2分的概率；(2)设ξ表示比赛停止时已比赛的局数，求随机变量ξ的分布列和数学期望．解 (1)由题意知，乙每局获胜的概率皆为1－23＝13. 比赛进行4局结束，且乙比甲多得2分即前两局乙胜一局，3,4局连胜，则P 2＝C 1213·23·13·13＝481. (2)由题意知，ξ的取值为2,4,6.则P (ξ＝2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝59，P (ξ＝4)＝C 1213·23⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋C 1213·23⎝ ⎛⎪⎫13⎛⎪⎫121·22＝16.3BAD ＝ABCD ，且BB 1＝2a ，E 为CC 1的中点，F 为AB 的中点．(1)求证：△DEB 1为等腰直角三角形；(2)求二面角B 1－DE －F 的余弦值．(1)证明 连接BD ，交AC 于O ，因为四边形ABCD 为菱形，∠BAD ＝60°，所以BD ＝a ， 因为BB 1、CC 1都垂直于面ABCD ，所以BB 1∥CC 1，又面B 1C 1D 1∥面ABCD ，所以BC ∥B 1C 1.所以四边形BCC 1B 1为平行四边形，则B 1C 1＝BC ＝a ，因为BB 1、CC 1、DD 1都垂直于面ABCD ，所以DB 1＝DB 2＋BB 21＝a 2＋2a 2＝3a ， DE ＝DC 2＋CE 2＝a 2＋a 22＝6a 2， B 1E ＝B 1C 21＋C 1E 2＝a 2＋a 22＝6a 2， 所以DE 2＋B 1E 2＝6a 2＋6a 24＝3a 2＝DB 21， 所以△DEB 1为等腰直角三角形．(2)解 取DB 1的中点H ，因为O ，H 分别为DB ，DB 1的中点，所 以OH ∥BB 1.以OA ，OB ，OH 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则D ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－a 2，0，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32a ，0，22a ，B 1⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 2，2a ， F ⎝ ⎛⎭⎪⎫34a ，a 4，0， 所以DB 1→＝(0，a ，2a )，DE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32a ，a 2，22a ，DF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34a ，34a ，0. 设面DB 1E 的法向量n 1＝(x 1，y 1，z 1)，则n 1·DB →1＝0，n ·DE →＝0，即ay 1＋2az 1＝0且－32ax 1＋a 2y 1＋22az 1＝0， 令z 1＝1，则n 1＝(0，－2，1)设面DFE 的法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)，则n 2·DF →＝0，n 2·DE →＝0即34ax 2＋34ay 2＝0 且－32ax 2＋a 2y 2＋22az 2＝0， 令x 2＝1，则n 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－33，263，则cos 〈n 1，n 2〉＝63＋2633×1＋13＋83＝22， 则二面角B 1－DE －F 的余弦值为22. 4． 已知n ∈N *，数列{d n }满足d n ＝3＋－n 2，数列{a n }满足a n ＝d 1＋d 2＋d 3＋…＋d 2n ；又知数列{b n }中，b 1＝2，且对任意正整数m ，n ，b m n ＝b n m .(1)求数列{a n }和数列{b n }的通项公式；(2)将数列{b n }中的第a 1项，第a 2项，第a 3项，……，第a n 项，……删去后，剩余的项按从小到大的顺序排成新数列{c n }，求数列{c n }的前2 013项和．解 方法一 (1)∵d n ＝3＋－n 2， ∴a n ＝d 1＋d 2＋d 3＋…＋d 2n .＝3×2n 2＝3n . 又由题知：令m ＝1，则b 2＝b 21＝22，b 3＝b 31＝23，…，b n ＝b n 1＝2n .若b n ＝2n ，则b m n ＝2nm ，b n m ＝2mn ，∴b m n ＝b n m 恒成立． 6项、第9项……删去后构成的新数列{c n }中的奇b 1＝1，b 2＝4，公比均是8， c 4＋c 6＋…＋c 2 012) ＝－81 0071－＋－1－＝20×81 006－67. 方法二 (1)＝d 1＋d 2＋…＋n ＝3n . 由b m n ＝b nm 及b 1＝2>0知b n >0，对b m n ＝b n m 两边取对数得，m lg b n ＝n lg b m ，令m ＝1，得lg b n ＝n lg b 1＝n lg 2＝lg 2n ，∴b n ＝2n .(2)T 2 013＝c 1＋c 2＋…＋c 2 013＝b 1＋b 2＋b 4＋b 5＋b 7＋b 8＋…＋b 3 018＋b 3 019＝(b 1＋b 2＋…＋b 3 019)－(b 3＋b 6＋…＋b 3 018)＝－23 0191－2－－81 0061－23＝20×81 006－67.。
2014江苏高考数学解答题专题突破
2014江苏高考数学解答题专题突破数学解答题是高考数学试卷中的一类重要题型，这些题涵盖了中学数学的主要内容，具有知识容量大、解题方法多、能力要求高、突显数学思想方法的运用以及要求考生具有一定的创新意识和创新能力等特点，解答题综合考查学生的运算能力、逻辑思维能力、空间想象能力和分析问题、解决问题的能力，分值占90分，主要分六块：三角函数(或与平面向量交汇)、立体几何、应用问题、函数与导数(或与不等式交汇)、数列(或与不等式交汇)、解析几何(或与平面向量交汇)．从历年高考题看综合题这些题型的命制都呈现出显著的特点和解题规律，从阅卷中发现考生“会而得不全分”的现象大有人在，针对以上情况，在高考数学备考中认真分析这些解题特点及时总结出来，这样有针对性的进行复习训练，能达到事半功倍的效果．【应对策略】解答题是高考数学试卷的重头戏，占整个试卷分数的半壁江山，考生在解答解答题时，应注意正确运用解题技巧．(1)对会做的题目：要解决“会而不对，对而不全”这个老大难的问题，要特别注意表达准确，考虑周密，书写规范，关键步骤清晰，防止分段扣分．解题步骤一定要按教科书要求，避免因“对而不全”失分．(2)对不会做的题目：对绝大多数考生来说，更为重要的是如何从拿不下来的题目中分段得分．我们说，有什么样的解题策略，就有什么样的得分策略．对此可以采取以下策略：①缺步解答：如遇到一个不会做的问题，将它们分解为一系列的步骤，或者是一个个小问题，先解决问题的一部分，能解决多少就解决多少，能演算几步就写几步．特别是那些解题层次明显的题目，每一步演算到得分点时都可以得分，最后结论虽然未得出，但分数却已过半．②跳步解答：解题过程卡在某一过渡环节上是常见的．这时，我们可以先承认中间结论，往后推，看能否得到结论．若题目有两问，第(1)问想不出来，可把第(1)问作“已知”，先做第(2)问，跳一步再解答．③辅助解答：一道题目的完整解答，既有主要的实质性的步骤，也有次要的辅助性的步骤．实质性的步骤未找到之前，找辅助性的步骤是明智之举．如：准确作图，把题目中的条件翻译成数学表达式，根据题目的意思列出要用的公式等．罗列这些小步骤都是有分的，这些全是解题思路的重要体现，切不可以不写，对计算能力要求高的，实行解到哪里算哪里的策略．书写也是辅助解答，“书写要工整，卷面能得分”是说第一印象好会在阅卷老师的心理上产生光环效应．④逆向解答：对一个问题正面思考发生思维受阻时，用逆向思维的方法去探求新的解题途径，往往能得到突破性的进展．顺向推有困难就逆推，直接证有困难就间接证．细心计算，规范解答，全面拿下三角与向量题【示例】► (2012·苏锡常镇调研测试)如图，在四边形ABCD 中，已知AB ＝13，AC ＝10，AD ＝5，CD ＝65，AB →·AC →＝50.(1)求cos ∠BAC 的值；(2)求sin ∠CAD 的值；(3)求△BAD 的面积．解题突破 (1)根据数量积的定义式的变形式求；(2)在△ACD 中，利用余弦定理求cos ∠CAD ，再利用平方关系求解；(3)利用两角和公式求∠BAD 的正弦值，代入三角形面积公式求解．解 (1)因为AB →·AC →＝|AB →||AC →|cos ∠BAC ，所以cos ∠BAC ＝AB →·AC →|AB →||AC →|＝5013×10＝513.(2分) (2)在△ADC 中，AC ＝10，AD ＝5，CD ＝65，由余弦定理，得cos ∠CAD ＝AC 2＋AD 2－CD 22AC ·AD ＝102＋52－(65)22×10×5＝35.(4分) 因为∠CAD ∈(0，π)，所以sin ∠CAD ＝ 1－cos 2∠CAD ＝ 1－⎝⎛⎭⎫352＝45.(6分)(3)由(1)知，cos ∠BAC ＝513. 因为∠BAC ∈(0，π)，所以sin ∠BAC ＝ 1－cos 2∠BAC ＝ 1－⎝⎛⎭⎫5132＝1213.(8分) 从而sin ∠BAD ＝sin(∠BAC ＋∠CAD )＝sin ∠BAC cos ∠CAD ＋cos ∠BAC sin ∠CAD＝1213×35＋513×45＝5665.(11分) 所以S △BAD ＝12AB ·AD ·sin ∠BAD ＝12×13×5×5665＝28.(14分)评分细则 (1)没有写cos ∠BAC ＝AB →·AC →|AB →||AC →|直接计算的，扣1分.,(2)不交代∠CAD 的范围的，扣1分；,(3)不交代∠BAC 范围的，扣1分.【突破训练】 (2012·苏锡常镇调研测试(一))在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m ＝⎝⎛⎭⎫2cos C 2，－sin C ，n ＝⎝⎛⎭⎫cos C 2，2sin C ，且m ⊥n . (1)求角C 的大小；(2)若a 2＝2b 2＋c 2，求tan A 的值．解 (1)∵m ⊥n ，∴m ·n ＝0.则2cos 2C 2－2sin 2C ＝0.(2分) (阅卷说明：无中间分)∵C ∈(0，π)，∴cos C 2＞0，sin C ＞0.∴cos C 2＝sin C (4分) (阅卷说明：得到2cos 2C ＋cos C －1＝0也得2分)则sin C 2＝12.(6分) 又C 2∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴C 2＝π6.则C ＝π3.(8分) (阅卷说明：以上有一处写范围不扣分，否则扣1分)(2)∵C ＝π3，由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－ab . 又∵a 2＝2b 2＋c 2，∴a 2＝2b 2＋a 2＋b 2－ab .则a ＝3b .(10分)由正弦定理，得sin A ＝3sin B ．(11分)∵C ＝π3，∴sin A ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2π3－A .(12分) 即sin A ＝－33cos A ．(13分)∵cos A ＝0上式不成立，即cos A ≠0，∴tan A ＝－3 3.(14分)(阅卷说明：结果正确不扣分)【抢分秘诀】1．解决三角函数图象问题，主要从函数图象上的点入手，抓住函数图象上的关键点，而对于作图问题往往利用函数在一个周期内的五点确定函数图象的形状，识图问题需要利用关键点确定解析式中参数的取值，而图象的伸缩、平移变换也可以利用关键点帮助准确记忆相关规律．2．解决三角函数的最值与范围问题，要从三角函数的性质入手，常常转化为两类问题求解：一是通过化简、变换及换元转化为正弦、余弦函数的最值与范围问题求解；二是通过换元分解为基本初等函数和正弦、余弦函数的最值、三角函数的有界性和基本初等函数的单调性问题解决．3．解决三角函数的化简、求值与证明问题的基本思路是：第一，观察角与角之间的关系，注意角的变形应用，角的变换是三角函数变换的核心；第二，看函数名称之间的关系，通常是统一为正弦、余弦函数的形式；第三，观察代数式的结构特点，对于三角公式要记忆准确，应用公式要认真分析，合理转化，避免盲目性．4．解三角形或多边形问题均以三角形为载体，其解题过程的实质是将三角形中的问题转化为代数问题或方程问题，解题要从三角形的边角关系入手，依据题设条件合理设计解题程序，灵活进行边角之间的互化．善于观察，注意转化，做好立体几何不是难事【示例】► (2012·南师大附中阶段检测)如图，四棱椎P -ABCD 的底面为矩形，且AB ＝2，BC ＝1，E ，F 分别为AB ，PC 中点．(1)求证：EF ∥平面P AD ；(2)若平面P AC ⊥平面ABCD ，求证：平面P AC ⊥平面PDE .解题突破 (1)由E ，F 分别为AB ，PC 中点．取PD 的中点M ，再证四边形AEMF 是平行四边形．(2)在矩形ABCD 中，根据AB ＝2BC ，可得DA AE ＝CD DA，从而可证△DAE ∽△CDA .再证明DE ⊥AC ，根据面面垂直的性质和判定可得平面P AC ⊥平面PDE .证明 (1)法一 取线段PD 的中点M ，连接FM ，AM .因为F 为PC 的中点，所以FM ∥CD ，且FM ＝12CD . 因为四边形ABCD 为矩形，E 为AB 的中点，所以EA ∥CD ，且EA ＝12CD . 所以FM ∥EA ，且FM ＝EA .所以四边形AEFM 为平行四边形．所以EF ∥AM .(5分)又AM ⊂平面P AD ，EF ⊄平面P AD ，所以EF ∥平面P AD .(7分)法二 连接CE 并延长交DA 的延长线于N ，连接PN .因为四边形ABCD 为矩形，所以AD ∥BC ，所以∠BCE ＝∠ANE ，∠CBE ＝∠NAE .又AE ＝EB ，所以△CEB ≌△NEA ，所以CE ＝NE .又F 为PC 的中点，所以EF ∥NP .(5分)又NP ⊂平面P AD ，EF ⊄平面P AD ，所以EF ∥平面P AD .(7分)法三 取CD 的中点Q ，连接FQ ，EQ .在矩形ABCD 中，E 为AB 的中点，所以AE ＝DQ ，且AE ∥DQ .所以四边形AEQD 为平行四边形，所以EQ ∥AD .又AD ⊂平面P AD ，EQ ⊄平面P AD ，所以EQ ∥平面P AD .(2分)因为Q ，F 分别为CD ，CP 的中点，所以FQ ∥PD .又PD ⊂平面P AD ，FQ ⊄平面P AD ，所以FQ ∥平面P AD .又FQ ，EQ ⊂平面EQF ，FQ ∩EQ ＝Q ，所以平面EQF ∥平面P AD .(5分)因为EF ⊂平面EQF ，所以EF ∥平面P AD .(7分)(2)设AC ，DE 相交于G .在矩形ABCD 中，因为AB ＝2BC ，E 为AB 的中点．所以DA AE ＝CD DA＝ 2.又∠DAE＝∠CDA，所以△DAE∽△CDA，所以∠ADE＝∠DCA.又∠ADE＋∠CDE＝∠ADC＝90°，所以∠DCA＋∠CDE＝90°.由△DGC的内角和为180°，得∠DGC＝90°.即DE⊥AC.(9分)因为平面P AC⊥平面ABCD因为DE⊂平面ABCD，所以DE⊥平面P AC，(12分)又DE⊂平面PDE，所以平面P AC⊥平面PDE.(14分)评分细则(1)第一问，方法1和2，下结论时：不交代平面外一条直线与平面内一条直线平行，一律扣2分；方法3，直接由线线平行→面面平行，扣3分；(2)第二问，不用平面几何知识证明DE⊥AC，扣2分.【突破训练】(2012·南师附中统测)如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，四边形ABCD是菱形，AC＝6，BD＝63，E是PB上任意一点．(1)求证：AC⊥DE；(2)当△AEC面积的最小值是9时，求证：EC⊥平面P AB.(1)证明连接BD，设AC与BD相交于点F.因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD.(4分)又因为PD⊥平面ABCD，AC⊂平面PDB，E为PB上任意一点，DE⊂平面PBD，所以AC⊥DE.(7分)(2)解连ED.由(1)知AC⊥平面PDB，EF⊂平面PBD，所以AC⊥EF.S△ACE＝12AC·EF，在△ACE面积最小时，EF最小，则EF⊥PB.S△ACE＝12×6×EF＝9，解得EF＝3，(10分)由PB⊥EF且PB⊥AC得PB⊥平面AEC，则PB⊥EC，又由EF＝AF＝FC＝3得EC⊥AE，而PB∩AE＝E，故EC⊥平面P AB.(14分)【抢分秘诀】(1)在解答中，遵循先证明后计算的原则．注重考查立体问题平面化，面面问题，线面化再线线化的化归过程．(2)根据题目的条件画出图形，注意图形的合理性、美观性和直观性．有些性质的判定和长度的计算及点的位置的确定，往往需借助图形的直观性而估算一个大概，而且有利于经过计算或论证得到的最后的结果的验证．(3)要注意立体几何语言的表达方法，要简明扼要、清楚明白、符合逻辑的进行表述，要以课本上的表述为示范，尽快地掌握要领．各个命题的因果关系要明明白白，计算过程清晰明了，保证无误．重视立体几何语言的严谨性、科学性和简捷性，往往思路正确，而表述有误，因此失分真是太可惜！(4)立体几何的概念、公理、定理、计算公式等，应牢固掌握，同时尽可能多的掌握一些重要结论．因为这些知识都是学习立体几何的基本工具，它是思维浓缩的精华内容，是规律的总结，也是进行推理、论证和计算的基础．看似复杂，实则简单，带你融会贯通应用题【例1】► (2012·南京高三调研)经销商用一辆J 型卡车将某种水果从果园运送(满载)到相距400 km 的水果批发市场．据测算，J 型卡车满载行驶时，每100 km 所消耗的燃油量u (单位：L)与速度v (单位：km/h)，的关系近似地满足u ＝⎩⎨⎧100v ＋23，0＜v ≤50，v 2500＋20，v ＞50.除燃油费外，人工工资、车损等其他费用平均每小时300元．已知燃油价格为每升(L)7.5元．(1)设运送这车水果的费用为y (元)(不计返程费用)，将y 表示成速度v 的函数关系式；(2)卡车该以怎样的速度行驶，才能使运送这车水果的费用最少？解题突破 由u 是关于v 的分段函数，得y 也是关于v 的分段函数，求出各段函数的最小值，再比较大小，而求函数最值的方法可以有函数图象法、单调性法、导数法等，其中导数法是求函数最值的一种相当重要的方法．解 (1)由题意，当0＜v ≤50时，y ＝7.5·400100u ＋300·400v ＝30·⎝⎛⎭⎫100v ＋23＋300·400v ＝123 000v ＋690，当v ＞50时，y ＝7.5·400100u ＋300·400v ＝30·⎝⎛⎭⎫v 2500＋20＋300·400v ＝3v 250＋120 000v ＋600， 所以y ＝⎩⎨⎧ 123 000v ＋690，0＜v ≤50，3v 250＋120 000v ＋600，v ＞50.(8分)(2)当0＜v ≤50时，y ＝123 000v ＋690是单调减函数，故v ＝50时，y 取得最小值y min ＝123 00050＋690＝3 150；当v ＞50时，y ＝3v 250＋120 000v ＋600(v ＞50) 由y ′＝3v 25－120 000v 2＝3(v 3－106)25v 2＝0，得v ＝100 当50＜v ＜100时，y ′＜0，函数y ＝3v 250＋120 000v ＋600单调递减． 所以当v ＝100时，y 取得最小值y min ＝3×100250＋120 000100＋600＝2 400由于3 150＞2 400，所以当v ＝100时，y 取得最小值．答当卡车以100 km/h 的速度驶时，运送这车水果的费用最少．(16分)评分细则 (1)第一问，有一段求解错误的，扣4分；(2)第二问，有一段函数最值求解错误的，扣2分；没有将两个最小值比较的，扣2分，不写答案的，扣1分.【例2】► (2012·南通市数学学科基地密卷(一)，18)如图所示：一吊灯的下圆环直径为4 m ，圆心为O ，通过细绳悬挂在天花板上，圆环呈水平状态，并且与天花板的距离(即OB )为2 m ，在圆环上设置三个等分点A 1，A 2，A 3.点C 为OB 上一点(不包含端点O 、B )，同时点C 与点A 1，A 2，A 3，B 均用细绳相连接，且细绳CA 1，CA 2，CA 3的长度相等。
江苏专用理2014届高三数学《大二轮专题复习与增分策略》专题三第1讲-课件
热点分类突破
专题三 第1讲
考点一 与等差数列有关的问题
例1
本
在等差数列{an}中，满足 3a5＝5a8，Sn 是数列{an}的前 n
讲 项和．
栏
目 开 关
(1)若 a1>0，当 Sn 取得最大值时，求 n 的值； (2)若 a1＝－46，记 bn＝Sn－n an，求 bn 的最小值．
热点分类突}有最大项；
栏 目
②若数列{Sn}有最大项，则 d<0；
开 关
③若数列{Sn}是递增数列，则对任意 n∈N*，均有 Sn>0；
④若对任意 n∈N*，均有 Sn>0，则数列{Sn}是递增数列．
(2)(2013·课标全国Ⅰ改编)设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，
(2)由(1)及 a1＝－46，得 d＝－223×(－46)＝4，
∴an＝－46＋(n－1)×4＝4n－50，
Sn＝－46n＋nn－ 2 1×4＝2n2－48n.
热点分类突破
专题三 第1讲
∴bn＝Sn－n an＝2n2－5n2n＋50
本 ＝2n＋5n0－52≥2 2n×5n0－52＝－32，
讲 栏 目
等差数列
(4){an} 为 等 差 数 列 ⇔
(5){an}为等比数列，an>0⇔ {a an } 为 等 比 数 列 (a>0
{logaan}为等差数列
且 a≠1)
主干知识梳理
专题三 第1讲
(1)若m、n、p、
(1)若m、n、p、
q∈N*，且m＋n＝p＋ q∈N*，且m＋n＝p
本 讲
性质
q，则am＋an＝ap＋aq (2)an＝am＋(n－m)d
本 故 a1＝－m－2 1，
2014年江苏省高考数学试卷压轴题的解答、推广及联想
2014年江苏省高考数学试卷压轴题的解答、推广及联想徐道【期刊名称】《中学数学月刊》【年(卷),期】2015(000)001【总页数】2页(P58-59)【作者】徐道【作者单位】江苏省如皋市教师进修学校 226500【正文语种】中文2014年江苏省高考数学试卷压轴题是：已知函数设fn(x)是fn-1(x)的导数，n∈N*.(1)求的值；(2) 证明：对任意的n∈N*,等式都成立.解 (1)由得xf0(x)=sin x,两端取导数得f0(x)+xf1(x)=cos x①.对①两端取导数,2f1(x)+xf2(x)=-sin x②，将代入②得(2)由①②可猜测③.当n=1,2时,③即①，②，已证.假设n=k时等式③成立，即有两端求导，得即n=k+1时③成立.故由数学归纳法原理，n∈N*时③成立.由③得n∈N*时都成立.与《扬子晚报》2014年6月11日公布的“标准解法”相比，这种解法稍有不同.第(1)题“标准解法”是分别求出f1(x)与f2(x),再分别求出与从而求出之值.这种解法欠缺之处有两点：一是运算量较大，出错的可能较大；二是与第(2)题证明的关联性几乎没有，未能启发证第(2)题的思路.而本文解法较好解决了以上两个不足之处.可能有读者要说，考生解第(1)题时不会想到先求x.实质上如果考生将(1)(2)两题作为一个“整体”考虑是函数2f1(x)+xf2(x)当时的函数值；而是函数|nfn-1(x)+xfn(x)|当的函数值，显然2f1(x)+xf2(x)是nfn-1(x)+xfn(x)当n=2时的特殊情形，则很容易获得本文给出的解法.将压轴题中条件“”改为“”,其余条件不变，可得如下结论：结论1 已知函数设fn(x)是fn-1(x)的导数,n-m∈N，则④,⑤.⑥.规定显然④⑤是压轴题的推广.我们以m=3为例来证明结论1，一般情形仿m=3可证.即x3f0(x)=sin x.所以[x3f0(x)]′=(sin x)′，故3x2f0(x)+x3f1(x)=cos x.将此式两端求导得,6xf0(x)+6x2f1(x)+x3f2(x)=-sin x.这个等式两端再求导得,6f0(x)+18xf1(x)+9x2f2(x)+x3f3(x)=-cos x,即已证m=3且n-m=0时④成立. 假设m=3且n-m=k时④成立,即有两端求导得即注意到上述等式即为已证m=3且n-m=k+1时④式成立.由数学归纳法原理，当m=3,n-m∈N时④式也成立.由④易得⑤⑥成立.将压轴题中条件“”分母“x”改为一个三角函数cosx，可得如下结论：结论2 已知函数f0(x)=tan x(x>0)，设fn(x)为fn-1(x)的导数，n∈N,则⑦，⑧.证明用数学归纳法证明⑦.n=0时⑦成立.将此式左端求导而已证n=1时⑦也成立.假设n=k时⑦成立,即有⑨.对⑨式左端求导得, ).而对⑨的右端求导得已证n=k+1时⑦也成立. 故由数学归纳法原理，n∈N时⑦成立.令代入⑦,即得⑧.。
(江苏专版)2014届高考数学大二轮专题复习 审题 解题 回扣(要点回扣+易错警示+查缺补漏)数列的
数列的综合应用 (推荐时间：70分钟)1．已知数列{a n }满足：a 1＝1，a 2＝a (a >0)．数列{b n }满足b n ＝a n a n ＋1(n ∈N *)．(1)若{a n }是等差数列，且b 3＝12，求a 的值及{a n }的通项公式；(2)若{a n }是等比数列，求{b n }的前n 项和S n .解 (1)∵{a n }是等差数列，a 1＝1，a 2＝a ，∴a n ＝1＋(n －1)(a －1)．又∵b 3＝12，∴a 3a 4＝12，即(2a －1)(3a －2)＝12，解得a ＝2或a ＝－56. ∵a >0，∴a ＝2.∴a n ＝n .(2)∵{a n }是等比数列，a 1＝1，a 2＝a (a >0)，∴a n ＝an －1，∴b n ＝a n a n ＋1＝a 2n －1. ∵b n ＋1b n＝a 2， ∴数列{b n }是首项为a ，公比为a 2的等比数列．当a ＝1时，S n ＝n ；当a ≠1时，S n ＝a a 2n －1a 2－1＝a 2n ＋1－a a 2－1. 综上，S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ n a ＝1，a 2n ＋1－a a 2－1a ≠1. 2．在等比数列{a n }中，a 1>0，n ∈N *，且a 3－a 2＝8，又a 1、a 5的等比中项为16.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝log 4a n ，数列{b n }的前n 项和为S n ，是否存在正整数k ，使得1S 1＋1S 2＋1S 3＋…＋1S n <k 对任意n ∈N *恒成立．若存在，求出正整数k 的最小值；不存在，请说明理由． 解 (1)设数列{a n }的公比为q ，由题意可得a 3＝16.又a 3－a 2＝8，则a 2＝8，∴q ＝2.∴a n ＝2n ＋1.(2)∵b n ＝log 42n ＋1＝n ＋12，∴S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝n n ＋34. ∵1S n ＝4n n ＋3＝43⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋3， ∴1S 1＋1S 2＋1S 3＋…＋1S n＝43⎝ ⎛⎭⎪⎫11－14＋12－15＋13－16＋…＋1n －1n ＋3 ＝43⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋13－1n ＋1－1n ＋2－1n ＋3<229， ∴正整数k 的最小值为3.3．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝－12n 2＋kn (其中k ∈N ＋)，且S n 的最大值为8. (1)确定常数k ，并求a n ；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫9－2a n 2n 的前n 项和T n . 解 (1)由题知，当n ＝k ∈N *时， S n ＝－12n 2＋kn 取得最大值，即8＝S k ＝－12k 2＋k 2＝12k 2， 故k 2＝16(k ∈N *)，因此k ＝4，从而a n ＝S n －S n －1＝92－n (n ≥2)． 又a 1＝S 1＝72，所以a n ＝92－n . (2)设b n ＝9－2a n 2n ＝n 2n －1， T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝1＋22＋322＋…＋n －12n －2＋n 2n －1， 所以T n ＝2T n －T n ＝2＋1＋12＋…＋12n －2－n 2n －1 ＝4－12n －2－n 2n －1＝4－n ＋22n －1. 4．(2012·某某)在等差数列{a n }中，a 3＋a 4＋a 5＝84，a 9＝73.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)对任意m ∈N *，将数列{a n }中落入区间(9m,92m)内的项的个数记为b m ，求数列{b m }的前m 项和S m .解 (1)因为{a n }是一个等差数列，所以a 3＋a 4＋a 5＝3a 4＝84，所以a 4＝28.设数列{a n }的公差为d ，则5d ＝a 9－a 4＝73－28＝45，故d ＝9.由a 4＝a 1＋3d 得28＝a 1＋3×9，即a 1＝1，所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝1＋9(n －1)＝9n －8(n ∈N *)．(2)对m ∈N *，若9m <a n <92m ，则9m ＋8<9n <92m ＋8，因此9m －1＋1≤n ≤92m －1， 故得b m ＝92m －1－9m －1.于是S m ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b m＝(9＋93＋…＋92m －1)－(1＋9＋…＋9m －1) ＝9×1－81m 1－81－1－9m 1－9 ＝92m ＋1－10×9m ＋180. 5．已知等差数列{a n }的首项a 1＝4，且a 2＋a 7＋a 12＝－6.(1)求数列{a n }的通项公式a n 与前n 项和S n ；(2)将数列{a n }的前四项抽去其中一项后，剩下三项按原来顺序恰为等比数列{b n }的前三项，记{b n }的前n 项和为T n ，若存在m ∈N ＋，使对任意n ∈N ＋总有T n <S m ＋λ恒成立，某某数λ的最小值．解 (1)由a 2＋a 7＋a 12＝－6得a 7＝－2，又a 1＝4，所以公差d ＝－1，所以a n ＝5－n ，从而S n ＝n 9－n2.(2)由题意知b 1＝4，b 2＝2，b 3＝1，设等比数列的公比为q ，则q ＝b 2b 1＝12， 所以T n ＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12＝8⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n . 因为f (n )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 是关于自然数n 的减函数， 所以{T n }是递增数列，得4≤T n <8.又S m ＝m 9－m2＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫m －922＋818， 当m ＝4或m ＝5时，S m 取得最大值，即(S m )max ＝S 4＝S 5＝10，若存在m ∈N ＋，使对任意n ∈N ＋总有T n <S m ＋λ恒成立，则8≤10＋λ，得λ≥－2， 所以λ的最小值为－2.6．某工厂为扩大生产规模，今年年初新购置了一条高性能的生产线，该生产线在使用过程中的维护费用会逐年增加，第一年的维护费用是4万元，从第二年到第七年，每年的维护费用均比上年增加2万元，从第八年开始，每年的维护费用比上年增加25%.(1)设第n 年该生产线的维护费用为a n ，求a n 的表达式；(2)若该生产线前n 年每年的平均维护费用大于12万元时，需要更新生产线．求该生产线前n 年每年的平均维护费用，并判断第几年年初需要更新该生产线？解 (1)由题知，当n ≤7时，数列{a n }是首项为4，公差为2的等差数列，故a n ＝4＋(n －1)×2＝2n ＋2.当n ≥8时，数列{a n }从a 7开始构成首项为a 7＝2×7＋2＝16，公比为1＋25%＝54的等比数列， 则此时a n ＝16×⎝ ⎛⎭⎪⎫54n －7， ∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2n ＋2，n ≤7，16×⎝ ⎛⎭⎪⎫54n －7，n ≥8. (2)设S n 为数列{a n }的前n 项和， 当1≤n ≤7时，S n ＝4n ＋n n －12×2＝n 2＋3n ， 当n ≥8时，由S 7＝70，则S n ＝70＋16×54×1－⎝ ⎛⎭⎪⎫54n －71－54＝80×⎝ ⎛⎭⎪⎫54n －7－10， ∴该生产线前n 年的每年平均维护费用为S n n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ n ＋3，1≤n ≤7，80×⎝ ⎛⎭⎪⎫54n －7－10n ，n ≥8.当1≤n ≤7时，⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 为递增数列，当n ≥8时， 因为S n ＋1n ＋1－S n n ＝80×⎝ ⎛⎭⎪⎫54n －6－10n ＋1－80×⎝ ⎛⎭⎪⎫54n －7－10n ＝80×⎝ ⎛⎭⎪⎫54n －7·⎝ ⎛⎭⎪⎫n 4－1＋10n n ＋1>0， ∴S n ＋1n ＋1>S n n. ∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也为递增数列． 又∵S 77＝10<12，S 88＝80×54－108＝11.25<12， S 99＝80×⎝ ⎛⎭⎪⎫542－109≈12.78>12， 则第9年年初需更新生产线．。
2014江苏高考数学试题及答案
2014江苏高考数学试题及答案2014年江苏高考数学试题及答案已经正式发布。
本文将为大家提供详细的试题及答案解析，希望对广大考生有所帮助。
第一部分选择题1. 设集合A={1,2,3,4}, B={1,2,3,4,5}，则 A∪B的幂集个数为（）A. 16B. 25C. 32D. 64答案：C解析：集合A有4个元素，所以幂集中的子集个数为2^4=16。
集合B有5个元素，所以幂集中的子集个数为2^5=32。
故A∪B的幂集个数为32。
2. 抛一枚硬币，两次抛掷的结果都是“正面向上”的概率是（）A. 0.25B. 0.5C. 0.75D. 1答案：B解析：每次抛掷硬币都有两种可能的结果：正面向上或反面向上。
由于每次抛掷是相互独立的，所以两次抛掷结果都是“正面向上”的概率为0.5*0.5=0.25。
3. 若正方形的对角线长为2√2，则其面积为（）A. 4B. 2C. 8D. 16答案：B解析：设正方形的边长为a，则根据勾股定理可知，a^2 + a^2 =(2√2)^2。
解得a=2，即正方形的边长为2，所以面积为2*2=4。
第二部分填空题1. 若函数f(x) = ax^2 + bx + c 的图象与x轴有两个交点，且a、b、c都是整数，则函数f(x)的韦达定理可以表示为__________。
答案：b^2 = 4ac解析：根据韦达定理可知，二次函数f(x)与x轴有两个交点的充分必要条件是判别式D（也就是b^2 - 4ac）大于零。
2. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn = 3n^2 + 2n，则其公差为__________。
答案：3解析：等差数列的前n项和的通项公式为Sn = (a1 + an) * n / 2，带入已知条件可得(2a1 + (n-1)d/2)*n = 3n^2 + 2n。
整理化简可得an = a1 + (n-1)d = 3n + 2。
对比等差数列的通项公式可知公差为3。
第三部分解答题1. 已知直线L与曲线y = x^2 - 4x + 3相切，求直线L的方程。
(江苏专版)2014届高考数学大二轮专题复习 审题 解题 回扣(要点回扣+易错警示+查缺补漏)中档大题保分练
中档大题保分练(六)(推荐时间：50分钟)1． 如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A 在x 轴正半轴上，直线AB 的倾斜角为3π4，|OB |＝2，设∠AOB ＝θ，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4.(1)用θ表示点B 的坐标及|OA |； (2)若tan θ＝－43，求OA →·OB →的值．解 (1)由题意，可得点B 的坐标为(2cos θ，2sin θ)． 在△ABO 中，|OB |＝2，∠BAO ＝π4，∠B ＝π－π4－θ＝3π4－θ.由正弦定理，得|OB |sinπ4＝|OA |sin B ，即|OA |＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫3π4－θ.(2)由(1)，得OA →·OB →＝|OA →|·|OB →|·cos θ ＝42sin ⎝⎛⎭⎪⎫3π4－θcos θ.因为tan θ＝－43，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4，所以sin θ＝45，cos θ＝－35.又sin ⎝⎛⎭⎪⎫3π4－θ＝sin 3π4cos θ－cos 3π4sin θ＝22×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35－⎝ ⎛⎭⎪⎫－22×45＝210， 故OA →·OB →＝42×210×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝－1225.2． 如图，已知斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1的底面是正三角形，侧面ABB 1A 1是菱形，且∠A 1AB ＝60°，M 是A 1B 1的中点，MB ⊥AC . (1)求证：MB ⊥平面ABC ；(2)求二面角A 1－BB 1－C 的余弦值．(1)证明 ∵侧面ABB 1A 1是菱形，且∠A 1AB ＝60°， ∴△A 1BB 1为正三角形，又∵点M 为A 1B 1的中点，∴BM ⊥A 1B 1， ∵AB ∥A 1B 1，∴BM⊥AB ，由已知MB ⊥AC ，又AC ∩AB ＝A ，∴MB ⊥平面ABC .(2)解 如图建立空间直角坐标系， 设菱形ABB 1A 1边长为2，得B 1(0，－1，3)，A (0，2，0)，C (3，1，0)，A 1(0，1，3)． 则BA 1→＝(0，1，3)，BA →＝(0，2，0)，BB 1→＝(0，－1，3)，BC →＝(3，1，0)．设面ABB 1A 1的法向量n 1＝(x 1，y 1，z 1)， 由n 1⊥BA →，n 1⊥BA →1得，⎩⎨⎧2y 1＝0，y 1＋3z 1＝0，令x 1＝1，得n 1＝(1，0，0)．设面BB 1C 1C 的法向量n 2＝(x 2，y 2，z 2)， 由n 2⊥BB 1→，n 2⊥BC →得⎩⎨⎧－y 2＋3z 2＝0，3x 2＋y 2＝0.令y 2＝3，得n 2＝(－1，3，1)， 得cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1||n 2|＝－11·5＝－55.又二面角A 1－BB 1－C 为锐角， 所以所求二面角的余弦值为55. 3． 某班体育课进行篮球投篮比赛，比赛规则如下：每位同学有4次投篮机会，其中一次在三分线外投篮，投中得3分，不中不得分，其余3次在罚球线外投篮，每投中一次得1分，不中不得分，已知某位同学在三分线外投篮命中的概率为12，且在比赛中得6分的概率为427.(1)求该同学在罚球线外投篮命中的概率；(2)求该同学参加比赛所得分数X 的分布列及数学期望．解 (1)设该同学在罚球线外投篮命中的概率为p ，在比赛中得6分需4次投篮全中，则12·p 3＝427， 解得p ＝23.(2)X 的可能取值有0，1，2，3，4，5，6，则P (X ＝0)＝12·⎝ ⎛⎭⎪⎫133＝154；P (X ＝1)＝12·C 13·23·⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝19；P (X ＝2)＝12·C 23·⎝ ⎛⎭⎪⎫232·13＝29； P (X ＝3)＝12·⎝ ⎛⎭⎪⎫133＋12·⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝16；P (X ＝4)＝12·C 13·23·⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝19；P (X ＝5)＝12·C 23·⎝ ⎛⎭⎪⎫232·13＝29；P (X ＝6)＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝427.所以所求分布列为数学期望E (X )＝0×54＋1×9＋2×9＋3×6＋4×9＋5×9＋6×27＝2.4． 已知等比数列{a n }满足2a 1＋a 3＝3a 2，且a 3＋2是a 2，a 4的等差中项．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝a n ＋log 21a n，S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，求使S n －2n ＋1＋47<0成立的正整数n 的最小值．解 (1)设等比数列{a n }的公比为q .由⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋a 3＝3a 2，a 2＋a 4＝a 3＋，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋q2＝3a 1q ， ①a 1q ＋q 3＝2a 1q 2＋4， ②由①，得q 2－3q ＋2＝0，解得q ＝1或q ＝2. 当q ＝1时，不合题意舍去；当q ＝2时，代入②，得a 1＝2.则a n ＝2·2n －1＝2n.(2)因为b n ＝a n ＋log 21a n ＝2n ＋log 212n ＝2n－n ，所以S n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n ＝2－1＋22－2＋23－3＋ (2)－n ＝(2＋22＋23＋ (2))－(1＋2＋3＋…＋n ) ＝－2n 1－2－n＋n 2＝2n ＋1－2－12n －12n 2. 因为S n －2n ＋1＋47<0，所以2n ＋1－2－12n －12n 2－2n ＋1＋47<0，即n 2＋n －90>0，解得n >9或n <－10. 又n ∈N *， 故使S n －2n ＋1＋47<0成立的正整数n 的最小值为10.。
2014届高考数学江苏专用(文)审题·解题·回扣中档大题保分练(三)
中档大题保分练(三)(推荐时间：50分钟)1． 已知向量m ＝(sin x,1)，n ＝⎝⎛⎭⎫3A cos x ，A 2cos 2x (A >0)，函数f (x )＝m ·n 的最大值为6. (1)求A ；(2)将函数y ＝f (x )的图象向左平移π12个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，求g (x )在⎣⎡⎦⎤0，5π24上的值域． 解 (1)f (x )＝m ·n ＝3A sin x cos x ＋A 2cos 2x ＝A ⎝⎛⎭⎫32sin 2x ＋12cos 2x ＝A sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. 因为A >0，由题意知A ＝6.(2)由(1)得f (x )＝6sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. 将函数y ＝f (x )的图象向左平移π12个单位后得到y ＝6sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π12＋π6＝6sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象；再将得到的图象上各点横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，得到y ＝6sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π3的图象． 因此g (x )＝6sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π3. 因为x ∈⎣⎡⎦⎤0，5π24， 所以4x ＋π3∈⎣⎡⎦⎤π3，7π6， 故g (x )在⎣⎡⎦⎤0，5π24上的值域为[－3,6]． 2． 已知向量a ＝(2,1)，b ＝(x ，y )．(1)若x ∈{－1,0,1,2}，y ∈{－1,0,1}，求向量a ∥b 的概率；(2)若x ∈[－1,2]，y ∈[－1,1]，求向量a ，b 的夹角是钝角的概率．解 (1)共包含12个基本事件．Ω＝{(－1，－1)，(－1,0)，(－1,1)，(0，－1)，(0,0)，(0,1)，(1，－1)，(1,0)，(1,1)，(2，－1)，(2,0)，(2,1)}，设“a ∥b ”为事件A ，由a ∥b ，得x ＝2y ，则A ＝{(0,0)，(2,1)}，含2个基本事件，则P (A )＝212＝16. (2)设“a ，b 的夹角是钝角”为事件B ，由a ，b 的夹角是钝角，可得a ·b <0，即2x ＋y <0，且x ≠2y .Ω＝⎩⎨⎧ (x ，y )⎪⎪⎪ ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－1≤x ≤2，－1≤y ≤1，，B ＝⎩⎨⎧ (x ，y )⎪⎪⎪⎪ ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－1≤x ≤2，－1≤y ≤1，2x ＋y <0，x ≠2y ，则P (B )＝S B S Ω＝12×⎝⎛⎭⎫12＋32×23×2＝13. 3． 如图1，在等腰△ABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，AC ，BC 边的中点，现将△ACD 沿CD翻折，使得平面ACD ⊥平面BCD .(如图2)(1)求证：AB ∥平面DEF ；(2)求证：BD ⊥AC ；(3)设三棱锥A －BCD 的体积为V 1，多面体ABFED 的体积为V 2，求V 1∶V 2的值．(1)证明 在△ABC 中，由E ，F 分别是AC ，BC 的中点，得EF ∥AB ，又AB ⊄平面DEF ，EF ⊂平面DEF ，∴AB ∥平面DEF .(2)证明 ∵平面ACD ⊥平面BCD ，平面ACD ∩平面BCD ＝CD ，AD ⊥CD ，且AD ⊂平面ACD ，∴AD ⊥平面BCD .又BD ⊂平面BCD ，∴AD ⊥BD .又∵CD ⊥BD ，且AD ∩CD ＝D ，∴BD ⊥平面ACD .又AC ⊂平面ACD ，∴BD ⊥AC .(3)解 由(2)可知AD ⊥平面BCD ，∴AD 是三棱锥A －BCD 的高，∴V 1＝13·AD ·S △BCD ， 又∵E ，F 分别是AC ，BC 边的中点，∴三棱锥E －CDF 的高是三棱锥A －BCD 高的一半，三棱锥E －CDF 的底面积是三棱锥A －BCD 底面积的一半，∴三棱锥E －CDF 的体积V E －CDF ＝14V 1， ∴V 2＝V 1－V E －CDF ＝V 1－14V 1＝34V 1， ∴V 1∶V 2＝4∶3.4． 已知数列{a n }是一个公差大于零的等差数列，且a 3a 6＝55，a 2＋a 7＝16，数列{b n }的前n项和为S n ，且S n ＝2b n －2.(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)设c n ＝anb n ，T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n ，求T n .解 (1)依题意，设等差数列{a n }的公差为d (d >0)，则有⎩⎪⎨⎪⎧(a 1＋2d )(a 1＋5d )＝55 ①2a 1＋7d ＝16 ②将②代入①得(16－3d )(16＋3d )＝220，即d 2＝4，∵d >0，∴d ＝2，a 1＝1，∴a n ＝2n －1，当n ＝1时，S 1＝2b 1－2，b 1＝2，当n ≥2时，b n ＝S n －S n －1＝(2b n －2)－(2b n －1－2)＝2b n －2b n －1，∴b n ＝2b n －1.∴{b n }是以2为首项，2为公比的等比数列． 即b n ＝2n .(2)c n ＝a n b n ＝2n －12n ，T n ＝12＋322＋…＋2n －12n ③ 12T n ＝122＋323＋…＋2n －32n ＋2n －12n ＋1 ④∴③－④得，12T n ＝12＋222＋223＋…＋22n －2n －12n ＋1＝12＋12＋122＋…＋12n －1－2n －12n ＋1＝12＋12⎝⎛⎭⎫1－12n －11－12－2n －12n ＋1＝32－2n ＋32n ＋1∴T n ＝3－2n ＋32n .。
2014届高考数学江苏专用(文)审题·解题·回扣中档大题保分练(二)
中档大题保分练(二)(推荐时间：50分钟)1． 已知函数f (x )＝32sin 2x －12(cos 2x －sin 2x )－1，x ∈R ，将函数f (x )向左平移π6个单位后得到函数g (x )，设△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .(1)若c ＝7，f (C )＝0，sin B ＝3sin A ，求a 和b 的值；(2)若g (B )＝0且m ＝(cos A ，cos B )，n ＝(1，sin A －cos A tan B )，求m ·n 的取值范围． 解 (1)f (x )＝32sin 2x －12cos 2x －1＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6－1 g (x )＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π6－π6－1＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－1 由f (C )＝0，∴sin ⎝⎛⎭⎫2C －π6＝1. ∵0<C <π，∴－π6<2C －π6<116π， ∴2C －π6＝π2，∴C ＝π3. 由sin B ＝3sin A ，∴b ＝3a . 由余弦定理得(7)2＝a 2＋b 2－2ab cos π3. ∴7＝a 2＋9a 2－3a 2，∴a ＝1，b ＝3.(2)由g (B )＝0得sin ⎝⎛⎭⎫2B ＋π6＝1， ∵0<B <π，∴π6<2B ＋π6<136π， ∴2B ＋π6＝π2，∴B ＝π6. ∴m ·n ＝cos A ＋cos B (sin A －cos A tan B )＝cos A ＋sin A cos B －cos A sin B ＝32sin A ＋12cos A ＝sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6. ∵A ＋C ＝5π6，∴0<A <5π6，∴π6<A ＋π6<π，∴0<sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6≤1. ∴m ·n 的取值范围是(0,1]．2． 某园林局对1 000株树木的生长情况进行调查，其中杉树600株，槐树400株．现用分层抽样方法从这1 000株树木中随机抽取100株，杉树与槐树的树干周长(单位：cm)的抽查结果如下表：(1)求(2)如果杉树的树干周长超过60 cm 就可以砍伐，请估计该片园林可以砍伐的杉树有多少株？(3)树干周长在30 cm 到40 cm 之间的4株槐树有1株患虫害，现要对这4株树逐一进行排查直至找出患虫害的树木为止．求排查的树木恰好为2株的概率．解 (1)按分层抽样方法随机抽取100株，可得槐树为40株，杉树为60株，∴x ＝60－6－19－21＝14，y ＝40－4－20－6＝10.估计槐树树干周长的众数为45 cm.(2)1460×600＝140， 估计该片园林可以砍伐的杉树有140株．(3)设4株树为B 1，B 2，B 3，D ，设D 为有虫害的那株，基本事件为(D )，(B 1，D )，(B 2，D )，(B 3，D )，(B 1，B 2，D )，(B 1，B 3，D )，(B 2，B 1，D )，(B 2，B 3，D )，(B 3，B 1，D )，(B 3，B 2，D )，(B 1，B 2，B 3)，(B 1，B 3，B 2)，(B 2，B 1，B 3)，(B 2，B 3，B 1)，(B 3，B 1，B 2)，(B 3，B 2，B 1)共16种，设事件A ：排查的树木恰好为2株，事件A 包含(B 1，D )，(B 2，D )，(B 3，D )3种，∴P (A )＝316.3． 如图，在四棱锥S －ABCD 中，AB ⊥AD ，AB ∥CD ，CD ＝3AB ＝3，平面SAD ⊥平面ABCD ，E 是线段AD 上一点，AE ＝ED ＝3，SE ⊥AD .(1)证明：平面SBE ⊥平面SEC ；(2)若SE ＝1，求三棱锥E －SBC 的高．(1)证明 ∵平面SAD ⊥平面ABCD ，平面SAD ∩平面ABCD ＝AD ，SE ⊂平面SAD ， SE ⊥AD ，∴SE ⊥平面ABCD .∵BE ⊂平面ABCD ，∴SE ⊥BE .∵AB ⊥AD ，AB ∥CD ，CD ＝3AB ＝3，AE ＝ED ＝3，∴∠AEB ＝30°，∠CED ＝60°.∴∠BEC ＝90°，即BE ⊥CE .结合SE ∩CE ＝E ，得BE ⊥平面SEC .∵BE ⊂平面SBE ，∴平面SBE ⊥平面SEC .(2)解 如图，作EF ⊥BC 于F ，连结SF .由BC ⊥SE ，SE 和EF 相交，得BC ⊥平面SEF .由BC 在平面SBC 内，得平面SEF ⊥平面SBC .过E 作EG ⊥SF 于点G ，则EG ⊥平面SBC ，即线段EG 的长即为三棱锥E －SBC 的高．由SE ＝1，BE ＝2，CE ＝23得BC ＝4，EF ＝3，所以SF ＝2.在Rt △SEF 中，EG ＝SE ·EF SF ＝32， 所以三棱锥E －SBC 的高为32. 4． 已知n ∈N *，数列{d n }满足d n ＝3＋(－1)n2，数列{a n }满足a n ＝d 1＋d 2＋d 3＋…＋d 2n ；又知数列{b n }中，b 1＝2，且对任意正整数m ，n ，b m n ＝b n m .(1)求数列{a n }和数列{b n }的通项公式；(2)将数列{b n }中的第a 1项，第a 2项，第a 3项，……，第a n 项，……删去后，剩余的项按从小到大的顺序排成新数列{c n }，求数列{c n }的前2 013项和．解 方法一 (1)∵d n ＝3＋(－1)n 2， ∴a n ＝d 1＋d 2＋d 3＋…＋d 2n .＝3×2n 2＝3n . 又由题知：令m ＝1，则b 2＝b 21＝22，b 3＝b 31＝23，…，b n ＝b n 1＝2n .若b n ＝2n ，则b m n ＝2nm ，b n m ＝2mn ，∴b m n ＝b n m 恒成立．若b n ≠2n ，当m ＝1，b m n ＝b n m 不成立，∴b n ＝2n .(2)由题知将数列{b n }中的第3项、第6项、第9项……删去后构成的新数列{c n }中的奇数列与偶数列仍成等比数列，首项分别是c 1＝2，c 2＝4，公比均是8， T 2 013＝(c 1＋c 3＋c 5＋…＋c 2 013)＋(c 2＋c 4＋c 6＋…＋c 2 012) ＝2×(1－81 007)1－8＋4×(1－81 006)1－8＝20×81 006－67. 方法二 (1)a n ＝d 1＋d 2＋…＋d 2n ＝32×2n ＝3n . 由b m n ＝b n m 及b 1＝2>0知b n >0，对b m n ＝b n m 两边取对数得，m lg b n ＝n lg b m ，令m ＝1，得lg b n ＝n lg b 1＝n lg 2＝lg 2n ，∴b n ＝2n .(2)T 2 013＝c 1＋c 2＋…＋c 2 013＝b 1＋b 2＋b 4＋b 5＋b 7＋b 8＋…＋b 3 018＋b 3 019＝(b 1＋b 2＋…＋b 3 019)－(b 3＋b 6＋…＋b 3 018)＝2(1－23 019)1－2－8(1－81 006)1－23 ＝20×81 006－67.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
(江苏专版)2014届高考数学大二轮专题复习-审题-解题-回扣压轴大题突破练(二)-文
压轴大题突破练(二)
(推荐时间：60分钟)
1．已知椭圆M的中心为坐标原点，且焦点在x 轴上，若M的一个顶点恰好是抛物线y2＝8x
的焦点，M的离心率e＝1
2
，过M的右焦点F
作不与坐标轴垂直的直线l，交M于A，B 两点．
(1)求椭圆M的标准方程；
(2)设点N(t,0)是一个动点，且(NA→＋NB→)⊥AB→，求实数t的取值范围．
解(1)由题知a＝2，又e＝1
2
，所以c＝1，
b＝ 3.
所以椭圆M的标准方程为x2
4
＋
y2
3
＝1.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，设l：x＝my ＋1(m∈R，m≠0)，
⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝my ＋1，x 24＋y 23
＝1⇒(3m 2
＋4)y 2
＋6my －9＝
0.
则y 1＋y 2＝－6m 3m 2＋4，
①
(NA →＋NB →)⊥AB →⇒|NA →|＝|NB →|⇒(x 1－t )2＋y 21＝(x 2－t )2＋y 22⇒(x 1－x 2)(x 1＋x 2－2t )＋(y 21－y 2
2)
＝0，
将x 1＝my 1＋1，x 2＝my 2＋1代入上式整理得： (y 1－y 2)[(m 2
＋1)(y 1＋y 2)＋m (2－2t )]＝0， 由y 1≠y 2知(m 2＋1)(y 1＋y 2)＋m (2－2t )＝0， 将①代入得t ＝13m 2＋4
，
所以实数t ∈⎝
⎛⎭⎪⎫
0，14.
2． 已知函数f (x )＝ax ＋ln x ，g (x )＝e x
.
(1)当a ≤0时，求f (x )的单调区间；
(2)若不等式g (x )<x －m
x
有解，求实数m 的
取值范围．
解 (1)f (x )的定义域是(0，＋∞)，f ′(x )＝a ＋1
x
(x >0)，
1°当a ＝0时，f ′(x )>0，∴f (x )在(0，＋∞)上单调递增；
2°当a <0时，由f ′(x )＝0，解得x ＝－1
a
，
则当x ∈⎝
⎛⎭⎪⎫
0，－1a 时，f ′(x )>0，f (x )单调
递增，
当x ∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－1a ，＋∞时，f ′(x )<0，f (x )单调
递减，
综上所述：当a ＝0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增，
当a <0时，f (x )在⎝
⎛⎭⎪⎫
0，－1a 上单调递增，在
⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－1a ，＋∞上单调递减． (2)由题意：e x
<x －m x
有解，即e x
x <x －m 有
解，
因此只需m <x －e x
x ，x ∈(0，＋∞)有解即
可，
设h (x )＝x －e
x
x ，h ′(x )＝1－e x
x －
e
x
2x
＝1－e x
⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋
12x ， 因为x ＋
12x
≥2
1
2
＝2>1，且x ∈(0，＋∞)时e x
>1，
所以1－e x
⎝
⎛⎭⎪⎫
x ＋
12x <0，即h ′(x )<0. 故h (x )在(0，＋∞)上单调递减， ∴h (x )<h (0)＝0，故m <0.
3． 已知函数f (x )＝a ln x －ax －3(a ∈R)．
(1)若a ＝－1，求函数f (x )的单调区间； (2)若函数y ＝f (x )的图象在点(2，f (2))处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t ∈[1,2]，函
数g (x )
＝x
3
＋
x 2
⎣
⎢⎡⎦
⎥⎤
f ′x ＋f(m
2
)
(f ′(x )是f (x )的导数)在区间(t,3)上总不是单调函数，求m 的取值范围；
(3)求证：ln 22×ln 33×ln 44×…×ln n n <
1
n (n ≥2，n ∈N *
)．
解 (1)当a ＝－1时，f ′(x )＝x －1
x
(x >0)
解f ′(x )>0得x ∈(1，＋∞)；解f ′(x )<0得x ∈(0,1)．
f (x )的单调增区间为(1，＋∞)，减区间为
(0,1)．
(2)∵f ′(x )＝a 1－x
x
(x >0)，
∴f ′(2)＝－a
2
＝1得a ＝－2，f (x )＝－2ln
x ＋2x －3，
g (x )＝x 3
＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫m 2＋2x 2
－2x ，
∴g ′(x )＝3x 2
＋(m ＋4)x －2.
∵g (x )在区间(t,3)上总不是单调函数，且
g ′(0)＝－2，
∴⎩⎨⎧
g ′
t <0
g ′
3
>0
.
由题意知：对于任意的t ∈[1,2]，g ′(t )<0恒成立，
∴⎩⎪⎨⎪
⎧
g ′1<0g ′2<0g ′3>0
，∴－37
3
<m <－9.
(3)证明如下：由(1)可知
当x ∈(1，＋∞)时，f (x )>f (1)，即－ln x ＋x －1>0，
∴0<ln x <x －1对一切x ∈(1，＋∞)成立．
∵n ≥2，n ∈N *
，则有0<ln n <n －1， ∴0<ln n n <n －1n
.
∴ln 22·ln 33·ln 44·…·
ln n n <12·23·34·…·n －1n ＝1
n
(n ≥2，n ∈N *)． 4． 已知F 1、F 2是椭圆x 2a 2＋y
2
b
2＝1(a >b >0)的左、
右焦点，且离心率e ＝1
2，点P 为椭圆上的
一个动点，△PF 1F 2的内切圆面积的最大值为4π
3
. (1)求椭圆的方程；
(2)若A 、B 、C 、D 是椭圆上不重合的四个点，满足向量F 1A →与F 1C →共线，F 1B →与F 1D →共线，且AC →·BD →＝0，求|AC →|＋|BD →|的取值范围． 解 (1)由几何性质可知：
当△PF1F2内切圆面积取最大值时，
即S△PF1F2取最大值，且(S△PF1F2)max＝
1
2
·2c·b＝bc.
由πr2＝4
3
π得r＝
23
3
.
又C△PF1F2＝2a＋2c为定值，S△PF1F2＝r 2
C△PF1F2，
综上得
bc
2a＋2c
＝
3
3
；
又由e＝c
a
＝
1
2
，可得a＝2c，即b＝3c，
解得c＝2，b＝23，a＝4，
故椭圆方程为x2
16
＋
y2
12
＝1.
(2)①当直线AC与BD中有一条直线垂直于x轴时，
|AC→|＋|BD→|＝6＋8＝14.
②当直线AC 斜率存在但不为0时， 设AC 的方程为：y ＝k (x ＋2)，
由⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝k x ＋2x 216＋y
2
12
＝1
消去y 可得(3＋4k 2
)x 2
＋16k 2x ＋16k 2
－48＝0，
x 1＋x 2＝－16k 2
3＋4k 2，x 1x 2＝16k 2
－483＋4k 2. 代入弦长公式得：|AC →|＝|AC | ＝1＋k 2x 1＋x 2
2
－4x 1x 2＝
24
k 2
＋1
3＋4k
2
， 同理由⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝－1k x ＋2x 216＋y 2
12
＝1
消去y 可得⎝
⎛⎭⎪⎫3＋4k 2x 2＋16k 2x ＋16
k 2－48＝0，
11 代入弦长公式得：|BD →|＝24k 2＋13k 2＋4， 所以|AC →|＋|BD →|＝
168k 2＋123＋4k 24＋3k 2
＝168
12＋1k 2＋1－1k 2＋12 令1k 2＋1
＝t ∈(0,1)，则－t 2＋t ＋12∈⎝
⎛⎦⎥⎤12，494， 所以|AC →|＋|BD →|∈⎣⎢⎡⎭
⎪⎫967，14， 由①②可知，|AC →|＋|BD →|的取值范围是⎣⎢⎡⎦
⎥⎤967，14.。