从优化思维到借题发挥

从优化思维到借题发挥卜以楼学习数学离不开解题．华罗庚说过，学数学不解题，犹如入宝山而空返．大师一语道出了数学解题的重要性，而数学解题教学却又常常陷入下列怪圈：许多学生课堂上一听就会，课后练习一做就错．会而不对，对而不全，全而不简，已成为一部分学生解题的通病．出现这种问题的根源在于：教学中，往往对问题解决只是展现解法、展现思路，对思路的寻找过程以及为什么要这样解、怎样想到这样解重视不够，对解决问题中思维与策略的自然性与合理性揭示不够，给人以“买椟还珠”的感觉．因此，我们在教学中，要高位理解数学、理解学生、理解数学教学，高度把握数学习题（问题）的本质，深入挖掘数学习题的教育价值，既要优化解题思路，又要借题发挥，对习题（问题）进行变式、延伸和拓展，让学生的数学思维在解数学习题中静静地流淌．1 问题再现我校八年级（上）期中测验，命题者编制了下列试题：如图1，点O 是等边A B C ∆内一点，0105=∠AOB ，α=∠BOC ，将BOC ∆绕点C 点按顺时针方向旋转060，得ADC ∆，连接OD ． （1）试判断COD ∆的形状，并说明理由；（2）当0150=α时，试判断AOD ∆的形状，并说明理由；（3）探究：当α为多少度时，AOD ∆是等腰三角形？2 解法探究2．1问题立意对于问题（1）要求学生能运用图形旋转不变性，得到OCD ∆是等边三角形．而问题(2)要求学生能挖掘出图形在旋转过程中，始终存在下列两个等量关系，即：由0360=∠+∠+∠+∠DOA COD BOC AOB ，BOC ADC ∠=∠．195,60.DOA ODA αα+∠=︒⎧⎨∠+︒=⎩可得 当0150α=时， 有045OAD ∠=,090ODC ∠=，显然ODA ∆为等腰直角三角形． 对于问题（3）要求学生能根据上述两个等量关系，对该问题运用分类的思想方法进行如下探索．设AOD β∠=．① 当OAD ∠为顶角，则有AOD ADO β∠=∠=．图1AB C D195,60.αββα+=︒⎧⎨+︒=⎩则 127.5,67.5.αβ=︒⎧⎨=︒⎩解得 ② 当AOD ∠为顶角时，有01802OAD ADO β-∠=∠=． 195,18060.2αββα+=︒⎧⎪⎨︒-+︒=⎪⎩则 105,90.αβ=︒⎧⎨=︒⎩解得 ③当ODA ∠为顶角，则有AOD DAO β∠=∠=．195,180260.αββα+=︒⎧⎨︒-+︒=⎩则 150,45.αβ=︒⎧⎨=︒⎩解得 ∴当01127.5α=，02105α=，03150α=时，AOD ∆为等腰三角形．2.2优化思路在进行试题分析和试卷评讲中，我们发现有必要优化上述的解题思路．这是因为有不少同学认为，只有当0150α=时，才有045OAD ∠=这样的结论，因而有必要对问题（3）用上述提供的方法（即用方程组）去解决．若把解题的结果也当作问题的信息，可以得到：当OAD ∠为顶角时，则OAD ∆的三角分别为045，067.5，067.5；若当AOD ∠为顶角时和当ODA ∠为顶角时，OAD ∆的三角都为090，045，045．即不论α为多少时，总有045OAD ∠=．反思本题的内在逻辑关系，我们有0195AOD α∠=-，060ODA α∠=-，显然0135AOD ODA ∠+∠=，则必有045OAD ∠=，也就是说OAD ∠与角α的大小无关．这样在解决第（3）问时，我们就没有必要运用方程组解决问题．综上，本题第（3）部的求解过程可做如下优化．∵0195AOD α∠=-，060ODA α∠=-；∴当OAD ∠为顶角时， 有0019560αα-=-， 0127.5α=．当AOD ∠为顶角时，有000180(195)2(60)αα--=-，0105=α．当ODA ∠为顶角时，有00602(195)αα-=-， 0150=α． 上述解题过程再反思，条件045DOA ∠=仍没有得到充分利用．若放大该条件，如图2，在AOD ∆中，045OAD ∠=，0195AOD α∠=-，060ODA α∠=-，则解题过程又可优化为下列形式：∴当OAD ∆为顶角时，有002(195)135α-=，0127.5α=． 当AOD ∠为顶角时，有006045α-=， 0105α=．当ODA ∠为顶角时，有0019545α-=， 0150α=．图2 DA O2.3借题发挥本题提供了丰富的图形背景和数量关系，在评讲试卷时，借题发挥，对问题进行变式、拓展，与学生一起探究．笔者在原问题的基础上进行了如下尝试．（4）当α为多少度时，AC OD ⊥．解析：OCD ∆为等边三角形， 若AC OD ⊥，则AC 是OD 的垂直平分线，则OA AD =，即AOD ADO ∠=∠， 0127.5α=．（5）四边形AOCD 可能为梯形吗？可能为等腰梯形吗？解析：若四边形AOCD 为梯形，则分以下两种情况进行讨论：①CD ∥AO ，由于045OAD ∠=，则0135ADC ∠=，即0135α=，此时0000360105135120,AOC ∠=--=00045120165OAD AOC ∠+∠=+=．即AD 不与OC 平行．∴ 当0135=α时，四边形AOCD 为梯形．而045=∠OAD ，0120=∠AOC ，∴四边形AOCD 只能是梯形，不可能是等腰梯形．②AD ∥OC ，由于045=∠OAD ，则0135=∠AOC ，则0000120135105360=--=α．此时045=∠OAD ，0120==∠αADC ，即AO 不与CD 平行．∴当0120=α时，四边形AOCD 为梯形．而045=∠OAD ，0120==∠αADC ， ∴四边形AOCD 只能是梯形，不可能是等腰梯形．（6）将AOB ∠的度数由0105调整到多少度时，有060=∠OAD ．解析：设x AOB =∠，则x AOD --=∠α0300，060-=∠αADO ， ∵x x ADO AOD -=-+--=∠+∠000240)60()300(αα，又060=∠OAD ， ∴00060180240-=-x ，则0120=x ．故当0120=∠AOB 时，060=∠OAD ．（7）四边形AODC 可能为平行四边形吗？若不能，在不改变题目要义的基础上，怎样改造本题的条件，才能使四边形AODC 为平行四边形？解析：首先，判断四边形AODC 是不是平行四边形．我们知道，045=∠OAD ，060=∠OCD ，则OCD OAD ∠≠∠，∴四边形OADC 不可能为平行四边形；其次，在不改变题目要义的基础上，研究改造本题条件的方法策略．反观本题，共有三个条件，一是ABC ∆为等边三角形；二是0105=∠AOB ；三是将BOC ∆绕点C 点按顺时针方向旋转060．而将BOC ∆绕C 点按顺时针方向旋转060，是为了让线段BC 与AC 重合而设计的，或者说ABC ∆为等边三角形是为将BOC ∆绕C 点按顺时针方向旋转060时，使线段BC 与AC 重合的保障，因此，为了不改变原题的命题本意，一要在“ABC ∆是等边三角形”这一大背景下（此时为了让线段BC 与AC 重合，旋转角只能为060），对“AOB ∠的度数”这个可变条件进行改造；二要在“ABC ∆是等腰三角形”这一大背景下（此时为了让线段BC 与AC 重合，旋转角不一定为060，则需AC BC =），对“AOB ∠的度数”和“旋转角的度数”这两个可变条件进行改造．现在按照上述方法策略改造条件．（1）在“ABC ∆是等边三角形”这一大背景下，“旋转角为060”这个条件不变，改变“0105=∠AOB ”这个条件．∵BOC ADC α∠=∠=； 060OCD ∠=,若四边形AODC 为平行四边形, 则0120AOC ∠=．∴AOB ∠0000360120120120=--=．则在 ABC ∆是等边三角形”这一大背景下，“旋转角为060”这个条件不变的情况下，将AOB ∠调整为0120时，四边形AODC 为平行四边形．（2）在“ABC ∆是等腰三角形”这一大背景下，对“AOB ∠的度数”和“旋转角的度数”这两个可变条件进行改造．在此背景下，由于涉及到改变两个条件，我们不妨运用科学研究中的“控制变量法”的思想方法，对原命题进行改造和探究．显然，一是研究只改变两个条件中的一个条件的情况，二是研究两个条件都改变的情况．① 控制“旋转角为060”这个条件不变， 改变 “0105=∠AOB ” 这个条件． 在旋转角为060的限制下，要保证线段BC 与AC 重合，则ABC ∆必为等边三角形，根 据上述结论，显然有将AOB ∠调整为0120时，四边形AODC 为平行四边形．②控制“0105=∠AOB ”这个条件不变，改变“旋转角的度数”这个条件（图3）．∵255AOC α∠=︒-, 0105AOB ∠=，BOC ADC α∠=∠=； 若四边形AODC 为平行四边形, 则AOC ADC ∠=∠,∴ AOC α∠=．即0255αα-=，0127.5α=．∴0000180180127.552.5OCD α∠=-=-= 则当AC BC =时，在0105=∠AOB 这个条件不变的情况下，将BOC ∆绕点C 按顺时针旋转052.5时，四边形AODC 为平行四边形．③“0105=∠AOB ”和“旋转角为060”这两个条件都改变”． 在图3中，若设BOC α∠=, AOB β∠=, OCA γ∠=，则旋转角为2γ．若四边形AODC 为平行四边形，则AOC ADC α∠=∠=, BCO ACO ACD α∠=∠=∠=,2180,2360.αγαβ+=︒⎧⎨+=︒⎩则有 我们可通过赋α的值，求出β，2γ的值，从而确定AOB ∠和旋转角的大小． A B CDβαγγO 图33 教学启示3.1要引导学生对习题进行一题多解引导学生一题多解，就是引领学生多角度看待同一问题，运用不同的路径去解决同一个问题．只有让学生挖掘出不同的解题方法和解题路径，为学生提供优化解题方法的基础，提供选择解题路径的条件，学生才会有优化解题的思维过程的欲望和冲动，才会对比这些方法的优劣、分析这些路径的曲直，比较这些策略的高低．最为关键的是学生在这些思维过程和活动中，看清了问题的本质，学会了思考问题的方法，领悟了解决问题的策略，提升了有效思维的水平．3.2要引导学生对解题过程进行优化引导学生优化解题过程，就是要让学生在解决问题中，学会删除不必要的或者是迂回的解题过程，让学生关注知识交叉点、方法的关联点、思维的高峰点，使学生站在思维的山巅上，“一览众出小”．优化解题过程，还要求学生不要急于获取解决问题的结果，满足于问题的解决，而是要让学生用审视的眼光，反思解决问题的思想方法，反观解决问题的方法路径，达到增加优化意识，提升思维水平的目的，这正是数学教学终极目标在教学中的具体体现．现在的问题是，我们在教学中要舍得花时间让学生有反思、优化的时间，在教学中要精选问题，让学生有反思、优化的载体，在教学中要沉下心来，与学生一起探讨问题的方法策略，让学生有反思、优化的空间，这才是突破数学教学的关键举措之一．3.3要引导学生对习题进行变式延伸引导学生对问题进行变式延伸，让学生借题发挥，就是在学生对问题进行一题多解，优化解题思维的基础上，在学生看清问题的本质的基础上，再根据问题中的条件与结论对问题进行再研究的过程．这个过程是一个思维提升的过程，是增加思维高度与厚度的过程，有着丰富的实际意义和深远的价值意义．而对问题的变式延伸，又是在上述思维活动中逐渐形成的．变式延伸的途径方法通常有：变更题目的表达方式或背景，打破不同解题路径和思维方式，变换几何图形的位置、形状和大小，改变题目中的条件与结论．总之，要让学生形成以简驭繁，审同辨异、同中观异、异中观同的好习惯．【原文出处】《中学数学教学参考》（中旬）2012，1—2：36—38。